第二章线性控制系统

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《自动控制原理》第2章线性系统的传递函数

+
anc(t)
=
b0
dm dtm
r(t)
+
b1
d m−1 d t m −1
r(t)
++
bm−1
d dt
r(t)
+
bmr(t)
(m n)
设r(t), c(t)及各阶导数在t=0时的值均为零(零初始条件)，则对方程两端求拉氏变换，可得系统的传递函数
Ch2 控制系统的数学模型
◼ 传递函数的一般形式：
Ch2 控制系统的数学模型
第二章控制系统的数学模型
Ch2 控制系统的数学模型
本章内容
❖ 引言 ❖ 物理系统的微分方程 ❖ 拉氏变换与拉氏反变换 ❖ 线性系统的传递函数 ❖ 方框图及其等效变换 ❖ 信号流图与Mason公式*
Ch2 控制系统的数学模型
2.3 线性系统的传递函数
一. 传递函数的定义
Ux(s) =
I
(s) − I2(s) sC1
(2)
I 2 (s)
=
Ux
(s) −Uo(s) R2
(3)
U o (s)
=
I 2 (s) sC2
(4)
Ch2 控制系统的数学模型
I (s) = Ui (s) −U x (s) (1) R1
Ui _
I
1/R1
Ux
Ux(s) =
I
(s) − I2(s) sC1
Uo (s)
Ui (s) （b）
I(s) Uo (s)
Ch2 控制系统的数学模型
I(s)
（c）
Uo (s)
Ui (s)
I(s)
－ Uo (s) （d）

自动控制原理课件第二章线性系统的数学模型

c(t ) e
dt Leabharlann t

c( s )
g ( ) r ( ) d e s ( ) d 0 0 g ( )e s r ( )e s d d 0 0

0
g ( )e
5) 闭环系统传递函数G(s)的分母并令其为0，就是系统的特征方程。
• 涉及的是线性系统非线性系统必须进行线性化处理
§2-6 信号流程图
系统很复杂，为方便研究，也为了与实际对应，通常将复杂系统分解为若干典型环节的连接
数学模型的定义数学模型：描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程建立数学模型的方法：
解析法: 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。自动控制系统的组成可以是电气的，机械的，液压的，气动的等等，然而描述这些系统的数学模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研究自动控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关系而抓住这些系统的共同运动规律，控制系统的数学模型是通过物理学，化学，生物学等定律来描述的，如机械系统的牛顿定律，电气系统的克希霍夫定律等都是用来描述系统模型的基本定律。实验法: 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。数学模型的形式时间域：复数域：频率域：微分方程差分方程传递函数结构图频率特性状态方程
1 例1 : F ( s) ( s 1)(s 2)(s 3) c c c 1 2 3 s 1 s 2 s 3
1 1 c1 [ ( s 1)]s 1 ( s 1)(s 2)(s 3) 6 1 1 c2 [ ( s 2)]s 2 ( s 1)(s 2)(s 3) 15 1 1 c3 [ ( s 3)]s 3 ( s 1)(s 2)(s 3) 10 1 1 1 1 1 1 F ( s) 6 s 1 15 s 2 10 s 3 1 1 1 f (t ) e t e 2t e 3t 6 15 10

自动控制理论_哈尔滨工业大学_2 第2章线性系统的数学模型_(2.4.1) 典型环节的传递函数PPT

0
t
积分环节在单位阶跃输入下的响应
例：积分器
i2
C
ui R
_
i1
uo
+i1 i2Fra bibliotek1 Rui
(t)

C
d dt
u0
(t )
uo
(t)

1 RC
ui (t)dt
G(s) Uo (s) 1 1 Ui (s) RC s
二、几种典型环节的数学模型
4.微分环节
c(t) d r(t)
斜率1/T
0τ
t
例： • 汽车加速、火箭升空； ——作用力和输出速度
• 加热系统； ——加热量和温度变化
• 励磁回路； ——输入电压和励磁电流
惯性大小用τ来量度。 ——τ越大，接近目标值越慢，惯性越大；τ越小，接近目标值越快，惯性越小。
几乎任何物理系统都包含大大小小的惯性。
二、几种典型环节的数学模型
滞后环节
二、几种典型环节的数学模型
1.比例环节
y(t) Ku(t)
G(s) Y(s) K U (s)
K——称为比例系数或放大系数，也称为环节的增益，有量纲。
输出量无失真、无滞后、成比例地复现输入。
• 无弹性变形的杠杆；
——作用力和输出力
• 忽略非线性和时间迟后的运算放大器；
——比例放大器的输入电压和输出电压
τ＝RC—时间常数
当 r(t) 1(t) 时， R(s) 1
s
Y(s) s 1 1 s 1 s s 1
t
y(t) e
t=0时，输出幅值为1；
t→∞时，指数衰减至0。
二、几种典型环节的数学模型

第二章现代控制理论状态空间表达式

diL R1 R1 R2 R2 = uC − iL + e(t ) dt L( R1 + R2 ) L( R1 + R2 ) L( R1 + R2 )
即
(2-11)
(3) 列出状态空间描述iL 1 − ( R + R )C 1 2 R1 L( R1 + R2 ) − R1 1 ( R1 + R2 )C uC ( R1 + R2 )C (2-12) + e(t ) R1 R2 iL R2 − L( R + R ) L( R1 + R2 ) 1 2
§2.1 状态空间描述的概念 2.1.2 控制系统的状态空间描述举例
例2-1 R-L-C系统，求其状态空间描述
R
u
L i
C
uC
解 (1) 确定状态变量选择电容两端电压 uC (t )、电感通过的电流 i (t ) (2) 列写微分方程并化为一阶微分方程组基尔霍夫（Kirchhoff）电压定律，
(2-13)
令
1 − ( R + R )C 1 2 A= R1 L( R + R ) 1 2
1 ( R + R )C 2 b= 1 R2 L( R + R ) 1 2
−
R1 ( R1 + R2 )C R1 R2 − L( R1 + R2 )
n 维列向量，状态向量
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
n×n方阵，系统矩阵(或状态矩阵)，反映系统状态的内在联系
§2.1 状态空间描述的概念

第二章控制系统数学模型

s s 后，再求 F (s) 的极限值来求得。条件是当 t 和s 0时，等式两边各
有极限存在。
终值定理在分析研究系统的稳态性能时(例如分析系统的稳态误差，求取系统
输出量的稳态值等)有着很多的应用。因此终值定理也是一个经常用到的运算
定理。
7.初值定理： lim f (t) lim sF (s)
18
2
例2-1：写出RLC串联电路的微分方程。
ui
L
R
i
C
uo
ui 输入
uo 输出
[解]：据基尔霍夫电路定理：
L di dt
Ri
1 C
idt
ui
①
uo
1 C
idt
②
由②： i C d，uo代入①得： dt
LC
d 2uo dt 2
RC
duo dt
uo
ui
这是一个线性定常二阶微分方程。
3
例2-2 设一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所示，当外力 F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力F(t)与质量块的位移y(t)之间的微分方程。
uR uc Us
把 uR i R
和
ic
C
duc dt
代入电路，可得到电路的
微分方程：
RC
duc dt
uc
Us
23
现在对于上面的微分方程，我们用Laplace变换求解。
首先，利用Laplace变换中的微分定理，将微分方程变换成如下形式：
RC
duc dt
uc
Us
RCsU c (s) Uc (s) Us R(s)
利用待定系数法可求得：
A 1 ARC B 0
F (s) L[ f (t)] f (t)e st dt 0

现代控制工程-第二章线性系统的状态空间描述

1 x3 s

1 s

1 x1 s
y(t )
2
3
8 64
解：第一步：化简方框图，使得整个系统只有标准积分器（1/s）、比例器（k）及加法器组成。第二步：将上述调整过的结构图中的每个标准积分器（1/s）的输出作为一个独立的状态变量xi，积分器的输入端就是状态变量的一阶导数dxi/dt。第三步：写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系统的状态方程。
y Cx Du
图2－2 系统动态方程的方块图结构
状态空间分析法具有下列优越之处：
便于在数字计算机上求解；
容易考虑初始条件；能了解并利用处于系统内部的状态信息；数学描述简化；
适于描述多输入－多输出、时变、非线性、随机、离散等各类系统，是最优控制、最优估计、辨识、自适应控制等现代控制系统的基本描述方法。
例2.2.3求如图所示系统的动态方程。
（a）系统方块图
u(t )

s 1 s2
1 s3
1 s 2 8s 64
y(t )
（b）第一次等效变换

1 s3

u(t )

1 s2

1 s( s 8)
y(t )
64
（c）由标准积分器组成的等效方块图
u(t )

1 x4 s

(2-5)
y t cx t du(t )
，cn ，d为直接联系输入量、输出量其中 c c1，c2，的前向传递（前馈）系数，又称前馈系数。
多输入－多输出（含q个输出变量）线性定常连续系统的输出方程一般表达形式为：
y1 c11 x1 c1n xn d11u1 d1 pu p yq cq1 x1 cqn xn d q1u1 d qp u p

线性控制系统理论

2 0 4 det 0 1 1 0
1 1 1
rank Qc 3 n 基此，后三列无需进行计算，可用*号代替。据秩判据知，系统完全能控。
22
例：给定特征值两两相异的一个连续时间线性时不变系统，设其约当规范形状态方程为
x1 7 0 0 x1
– 由输入输出描述导出状态空间描述（*) – 由方块图描述导出状态空间描述(*)
2
• 线性时不变系统的特征结构 – 特征多项式(*) – 特征值(*) – 特征向量和广义特征向量
• 状态方程的约当规范形 – 特征值为两两相异的情形(*)
• 由状态空间描述导出传递函数矩阵 – 传递函数矩阵 – G(s)基于(A,B,C,D)的表达式(*)
• 能控性和能观测性的定义(*) – 对能控性和能观测性的直观讨论 – 能控性的定义 – 能观测性的定义
• 连续时间线性时不变系统的能控性判据 – 格拉姆矩阵判据(*) – 秩判据(*) – PBH判 – 约当规范性判据 – 能控性指数
• 连续时间线性时不变系统的能观测性判据 – 格拉姆矩阵判据(*) – 秩判据(*) – PBH判
0 1
1 1
d

0.5t
1 2
1.5

1 3
t
3

t 0.5t
1 2
t

5 6

t

1
t3

t2 ,t 1 ,10
3
3
21
例：给定一个连续时间线性时不变系统为
1 4 2 2 0

x

线性系统理论大纲
线性系统的状态空间描述
• 状态和状态空间

第二章线性系统的状态空间描述1

第二章线性系统的状态空间描述§2-1 状态空间的基本概念1、状态：系统的状态，是指系统的过去、现在和将来的状况。

（如：一个质点作直线运动，它的状态就是它每个时刻的位置和速度）2、状态变量：能完全表征系统运行状态的最小数目的一组变量。

（如果用最少的n 个变量x 1(t)， x 2(t)，……， x n (t)就能完全描述系统的状态，那么这n 个变量就是一组状态变量。

）3、状态向量：设一个系统有n 个状态变量，即x 1(t)，x 2(t)，……，x n (t)，用这n 个状态变量作为分量构成的向量x(t)称为该系统的状态向量。

记为Tn t x t x t x t x )](,),(),([)(21 =4、状态空间：由n 个状态变量作为坐标轴所构成的n 维空间，称为状态空间。

引入了状态和状态空间的概念之后，就可以建立动力学系统的状态空间描述了。

从结构的角度讲，一个动力学系统可用图2-1所示的方块图来表示。

其中x(t)表征系统的状态变量，u(t)为系统控制量（即输入量），y(t)为系统的输出变量。

与输入—输出描述不同，状态空间描述把系统动态过程的描述考虑为一个更为细致的过程：输入引起系统状态的变化，而状态和输入则决定了输出的变化。

5、状态方程：状态变量的一阶导数与状态变量、输入量的关系，称为系统的状态方程。

例：设单输入线性定常系统(LTI-Linear Time Invariant )的状态变量为x 1(t)，x 2(t)，……，x n (t)，输入为u(t),则一般形式的状态方程为：)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(2211222221212112121111t u b t x t a t x t a t x a t x t u b t x t a t x t a t x a t x t u b t x t a t x t a t x a t x n n nn n n nn n n n ++++='++++='++++='图2-1 动力学系统结构示意图上式可写成向量—矩阵形式：其中：6、输出方程：在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量、输入量之间的函数关系式，称为系统的输出方程。

线性控制系统教案2-信号与系统

G称为全通的，如果
对于全通系统，可推得如果S1与S2同维数，则
全通系统状态空间描述

定理2.2 设是能检测的，对称且满足Lyapunov
方程则下面各式成立： (a) 当且仅当A是稳定的； (b) 暗含； (c) ，是能控的，且暗含。
2.8 伴随算子 The Adjoint Operator

傅氏变换(Fourier transform):
2范数：
L2空间的内积
时频域之间的关系：和
哈代空间Hardy Spaces

G.H.Hardy 1877-1947
哈代空间是指在开右半平面解析和有界的函数集，即 H2 是哈代空间(H2 space):
时频域的同构(isomorphism)
线性控制系统 Linear Control Systems
张国山 zhanggs@
天津大学电气与自动化工程学院
第2章：信号与系统 Chapter 2: Signals and Sytems

2.1 Introduction 信号的表示与分类(representation and classification) 信号强度的测量(strength measure) 信号的范数和性质(norms and properties) 信号空间(signal space)

2.6 H范数与有关的代数关系
没有虚轴上的特征值. (c) (d)

关于哈密尔顿矩阵 On Hamiltonian matrix

涉及Riccati方程解及能稳性，内容较多，从略。
2.7 全通系ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ All Pass Systems

《现代控制理论》教案大纲

《现代控制理论》教案大纲第一章：绪论1.1 课程背景与意义1.2 控制系统的基本概念1.3 控制理论的发展历程1.4 教学内容与目标第二章：线性控制系统的基本理论2.1 数学基础2.1.1 向量与矩阵2.1.2 复数与复矩阵2.1.3 拉普拉斯变换与Z变换2.2 线性微分方程2.3 线性差分方程2.4 线性系统的状态空间描述2.5 线性系统的传递函数2.6 小结第三章：线性控制系统的稳定性分析3.1 系统稳定性的概念3.2 劳斯-赫尔维茨稳定性判据3.3 奈奎斯特稳定性判据3.4 李雅普诺夫稳定性理论3.5 小结第四章：线性控制系统的性能分析与设计4.1 性能指标4.1.1 稳态性能4.1.2 动态性能4.2 控制器设计方法4.2.1 比例积分微分（PID）控制器4.2.2 状态反馈控制器4.2.3 观测器设计4.3 小结第五章：非线性控制系统理论5.1 非线性系统的基本概念5.2 非线性方程与非线性微分方程5.3 非线性系统的状态空间描述5.4 非线性系统的稳定性分析5.5 小结第六章：非线性控制系统的性能分析与设计6.1 非线性性能指标6.2 非线性控制器设计方法6.2.1 反馈线性化方法6.2.2 滑模控制方法6.2.3 神经网络控制方法6.3 小结第七章：鲁棒控制理论7.1 鲁棒控制的概念与意义7.2 鲁棒控制的设计方法7.2.1 定义1-范数方法7.2.2 H∞控制方法7.2.3 μ-综合方法7.3 小结第八章：自适应控制理论8.1 自适应控制的概念与意义8.2 自适应控制的设计方法8.2.1 模型参考自适应控制8.2.2 适应律与自适应律8.2.3 自适应控制器的设计步骤8.3 小结第九章：现代控制理论在工程应用中的案例分析9.1 工业过程控制中的应用9.2 控制中的应用9.3 航空航天领域的应用9.4 小结第十章：总结与展望10.1 现代控制理论的主要成果与贡献10.2 现代控制理论的发展趋势10.3 面向未来的控制挑战与机遇10.4 小结重点和难点解析重点环节一：第二章中向量与矩阵、复数与复矩阵、拉普拉斯变换与Z变换的数学基础。

线性控制系统教案2-信号与系统

方程则下面各式成立： (a) 当且仅当A是稳定的； (b) 暗含； (c) ，是能控的，且暗含。
2.8 伴随算子 The Adjoint Operator
定义：性质：
2.9 逆系统 Inverse Systems
系统的逆系统如果两个系统表示为：则
求逆系统
−1 转换关系 y = G ( s )u ⇒ u = G ( s ) y 变换 x = A x + B u & x = Ax + Bu & y = Cx + Du u = − D −1Cx + D −1 y
线性系统的特征
G(α1w1 + α2 w2 ) = α1G(w1 ) + α2G(w2 )
线性系统信号传输的时频关系为 (卷积 convolution integral)
G(s)被称为系统的传递矩阵 2.2 无穷范数和2范数无穷范数和2 ∞-Norms and 2-Norms 2L∞空间定义为 L∞范数的定义为 L∞范数与L2范数之关系
2.7 全通系统 All Pass Systems
一些概念：全通(all pass)系统，带通(band pass)系统，低通 (low pass)系统，高通(high pass)系统. G称为全通的，如果对于全通系统，可推得如果S1与S2同维数，则
全通系统状态空间描述
定理2.2 设是能检测的，对称且满足Lyapunov
& x = ( A − BD −1C ) x + BD −1 y u = − D −1Cx + D −1 y
G −1 ( s) = − D −1C ( sI − ( A − BD −1C )) −1 BD −1 + D −1 得逆系统 = ( A − BD −1C , BD −1 , − D −1C , D −1 )

《自动控制原理》第2章线性系统的传递函数

《自动控制原理》第2章线性系统的传递函数线性系统是指系统的输出与输入之间存在线性关系的系统。

线性系统的传递函数是描述系统输入输出之间关系的一种数学表示方法。

在线性系统中，传递函数是一个复变函数，通常表示为H(s)，其中s是复变数，表示Laplace变换域中的复频率。

传递函数可以通过对系统的微分方程进行Laplace变换得到。

传递函数的形式可以根据系统的特点进行表示。

例如，对于一个惯性系统，其传递函数可以表示为H(s)=k/(Ts+1)，其中k是系统的增益，T是系统的时间常数。

传递函数的分子表示系统的输出与输入之间的增益关系，分母表示系统的动态响应特性。

通过传递函数，我们可以分析系统的频率响应特性。

频率响应可以通过将复变数s替换为jω，其中j是虚数单位，ω是真实频率。

通过计算传递函数在不同频率下的幅频特性和相频特性，我们可以了解系统对不同频率的输入信号的响应情况。

另外，传递函数还可以用于系统的稳定性分析。

对于一个线性时不变系统，如果其传递函数的分母没有极点位于劣半平面，即实部为负的复数域中，那么系统是稳定的。

通过分析传递函数的极点位置，我们可以判断系统的稳定性。

在实际应用中，我们可以利用传递函数进行系统的设计和控制。

例如，对于给定的控制要求，我们可以通过选择合适的传递函数参数，来设计满足要求的控制器。

控制器的设计过程可以通过将传递函数相乘或串联、并联等操作来实现。

总结起来，线性系统的传递函数是描述系统输入输出关系的一种数学表示方法。

通过传递函数，我们可以分析系统的频率响应和稳定性，并进行系统的设计和控制。

掌握传递函数的理论和应用，对于理解和应用自动控制原理具有重要意义。

以上是关于《自动控制原理》第2章线性系统的传递函数的1200字以上的介绍。

希望对读者理解和学习该章节内容有所帮助。

控制工程第二章线性系统的数学描述1

3. 控制系统中常见的三类数学模型 ➢ 输入输出描述，或外部描述 • 用数学方式把系统的输入量和输出量之间的关系表达出来。微分方程、传递函数、频率特性和差分方程。
➢ 状态空间描述或内部描述不仅可以描述系统输入、输出之间的关系，而且还可以描述系统的内部特性。它特别适用于多输入、多输出系统，也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统
解设回路电流为i(t)，由基尔霍夫电压定律可写出回路方程为 di(t) 1
L dt C i(t)dt Ri(t) ui (t)
1
C i(t)dt uo (t)
消去中间变量i(t)，可得描述该无源网络输入输出关系的微分方程
LC
d
2uo (t) dt 2
RC
duo (t) dt
uo
(t )
ui
(t )
也可以写为
T1T2
d 2uo (t) dt 2
T2
duo (t) dt
uo (t)
ui (t)
其中：T1 L R ， T2 RC 。这是一个典型的二阶线性常系数微分方程，对应的
系统称为二阶线性定常系统。
➢ 例: 下图表示一个含有弹簧、运动部件、阻尼器的机械位移装置。外力 f(t) 是系统的输入量，位移 y(t) 是系统的输出量。试确定系统的微分方程。
转动惯量J 粘滞摩擦系数f
扭转系数k
角位移
角速度
RLC串联网络电压u 电感L 电阻R
电容的倒数1/C 电荷q 电流i
*非线性微分方程的线性化
➢ 为什么要研究非线性方程的线性化问题？系统、元件非线性特性的普遍存在性；精确描述系统的动态方程通常为非线性微分方程；高阶非线性微分方程除计算机求解外，无一般形式的解，这给研究系统带来理论上的困难；线性微分方程理论比较成熟。

现代控制理论(第二章)线性系统的状态空间描述

H[t0 ,)
yc
1
yc
u
t t0 0
容易得到其解
yc
(t )
e
1t
yc
(0)
t
e1
(t
)u(
)d
显然，若其初始条件
yc
0
(0)
不能确定，则不能
唯一地确定其输出。
1.非零初始条件与脉冲输入
零初始条件：系统的初始条件为零是指系统在初始时刻没有能量储备。
注意：在建立线性系统的输入—输出描述时，必须假设系统的初始条件为零。
单变量线性时变系统输入－输出关系： y L(u)
用符号 g(t,τ) 表示该系统的单位脉冲响应，即
g(t,τ)L( (t ))
注意： g(t,τ) 是双变量函数; τ— 代表δ函数作用于系统的时刻； t — 代表观测其输出响应的时刻。
结论1：对单变量线性时变系统，u(t)为其输入变量，g(t,τ)为其单位脉冲响应，在初始
y
kp
u
s3 1s 2 2s 3
若对其参数一无所知，它的控制律设计就会复杂得多，而稳定性的分析事实上是无法进行的。
系统的输入—输出描述仅在松弛的条件下才能采用。
若系统在t0时刻是非松弛的，输出 y[t0 ,) 并不能单
单由 u[t0 ,) 所决定，即关系式不成立。考察简单的一阶系统：
y[t0 ,)
初始条件不为零时，可以将非零的初始条件等效成在初始时刻的一个脉冲输入。
单位脉冲函数（δ函数）
令
0
(t
t1
)
1
0
t t1 t1 t t1 t t1
当Δ→0时， (t t1) 的极限函数，即

第二章-线性系统理论-2.7最优控制

信息科学与技术学院自控教研室
二、研究最优控制的前提条件
在研究确定性系统的最优控制时，前提条件是： 1.给出受控系统的动态描述，即状态方程对连续时问系统对离散时间系统
2.7 最优控制
（6）
2.明确控制作用域在工程实际问题中，控制矢量意大。即上式的点往往不能在空间中任意取值，
而必须受到某些物理限制，例如，系统中的控制电压，控制功率不能取得任要满足某些约束条件，这时，在的集合，记作：空间中，把所有满足
信息科学与技术学院自控教研室
2.7 最优控制
3 无限时间状态调节器问题对于无限时间状态调节器，这里要强调以下几点： 1)适用于线性定常系统，且要求系统完全能控，而在有限时间状态调节器中则不强调这一点。 2)在性能泛函中，由于去了意义，即 3)与有限时间状态调节器一样，最优控制也是全状态的线性反馈，结构图也与前面的相同。但是，这里的P 是n×n 维的实对称常矩阵，是黎卡捉矩阵代数方程的解。因此，构成的是一个线性定常闭环系统。 4)闭环系统是渐近稳定的，即系统矩阵的特征值均具信息科学与技术学院自控教研室，而使终端泛函失
1
P(t ) 是下列黎卡提代数微分方程的解：
PA AT P PBQ2 BT P C T Q1C 0 g [ PBQ2 BT AT ]1 C T Q1 z
最优轨线满足： x (t ) [ A BQ 1BT P]x BQ 1BT g 2 2 信息科学与技术学院自控教研室
2.7 最优控制
相应的始端集为：
此时，
则称为可变始端。
和终端状态都是给
4．明确终端条件类似于始端条件，固定终端是指终端时刻定的。自由端则是在给定则是指情况下，

江苏大学线性系统理论(现代控制理论)考试必备--第2章

t0 , t 上为时间
为存在且ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一。 x (t )
第2章线性系统的运动分析
江苏大学电气学院
从数学的观点上看，上述条件可能显得过强而可减弱为如下3个条件：（1）系统矩阵A(t)的各个元 aij (t )在时间区间 t0 , t 上为绝对可积，即有：
t aij (t ) dt , i, j 1, 2,, n
性质9 e 的相似变换如果矩阵A的特征值互不相同，并且存在非奇异变换矩阵P，使得 A PAP 1，由 e At定义可得到：
At
e At Pe At P 1
第2章线性系统的运动分析
At e 三. 几种典型的矩阵指数函数
江苏大学电气学院
由于矩阵指数函数 e At在计算线性系统的响应起着十分
第2章线性系统的运动分析
江苏大学电气学院
二. 状态方程解的存在性和惟一性条件
当所选的状态变量不同时，所得状态方程不同，故状态方程不是唯一的。对任意的初始状态，只有当线性系统的状态方程的解存在且唯一时，对系统的分析才有意义。从数学上看，这就要求状态方程中的系数矩阵和输入作用满足一定的假设，它们是保证状态方程的解存在且唯一所
上式表明，条件（2）和（3）还可进一步合并为要求
B(t)u(t)的各元在时间区间上绝对可积。对于连续时间线性定常系统，系数矩阵A和B为常数矩阵且各元为有限值，条件（1）和（2）自然满足，存在惟
一性条件只归结为条件（3）。在本章随后各节的讨论中，总是假定系统满足上述存在性和惟一性的条件，并在这一前提下分析系统状态运动的演化规律。
At e 性质7 积的关系式
d At e Ae At eAt A dt

现代控制理论第2章线性系统的运动

定义矩阵向量eAt为状态转移矩阵
于是齐次状态方程的解为:
x(t ) e x(0) e x0
At At
(2 7)
另用拉氏变换法求解齐次微分方程:
x(t ) Ax(t ) sx(s) x(0) Ax(s)
x(s) (sI A) x(0)
1
拉氏反变换后得到齐次状态方程的解:
2. 状态转移矩阵的计算。
a. 直接求取；
b. 拉普拉斯变换；
c. 化矩阵A为对角型或约当型；
d.化矩阵指数 e At
为A的有限项。
（1）线性系统状态转移矩阵的基本性质
1 2 2 1 i i Φ(t ) e I At A t A t (2 9 1) 2! i!
表明 (t ) 具有分段组合的性质。
④ Φ1 (t ) Φ(t ) , Φ1 (t ) Φ(t ) 证：根据性质①和③及逆矩阵定义，有
Φt t Φt Φ t I Φ t t Φ t Φt I
Φ 1 (t ) Φ(t )
At
t0 0
x(t ) (t t0 )x(t0 )
x(t ) (t )x(0)
(2 10)
(2 9)
状态转移矩阵 (t )包含了系统自由运动的全部信息，完全表征了系统的动态特性,A的状态矩阵唯一。
几点解释：
① 如果t为某给定常数T，那么零输入响应 x(t ) 就是状态空间中由初始状态 x 0 经线性变换常数阵 (t ) 所致。
（一）齐次状态方程解的一般表达式
x(t ) A(t )x(t ),
x(t0 ) x0 ,
2
t t0
i
b 2t bi t

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