解竞赛题的金钥匙之九(重叠问题)
第20讲 重叠问题(含解题思路和参考答案)
第20讲重叠问题（含解题思路与参考答案）一、解题方法1. 解答重叠问题，要用到数学中一个重要原理一一包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计算，应从他们的和中排除重复部分。
2. 解答重叠问题的应用题，必须从条入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次，明确要求的是哪一部分，从而找出解答方法。
3. 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合与集合之间的关系，这种图称为韦恩图(也叫文氏图)。
例题1.两块一样长的木板搭在一起共长160厘米，中间重叠部分是20厘米，如图，这两块木板各长多少厘米？解题思路：解题过程：把等长的两块木板的一端搭起来，搭在一起的长度就是重叠部分，重叠部分20厘米，所以这两块木板的总长度是160+20＝180（厘米），每块木板的长度是180÷2＝90（厘米）解：（160+20）÷2 ＝180÷2＝90（厘米）答：这两块木板各长90厘米。
巩固练习1. 把两根同样长的绳子的一端捆绑在一起，共长120厘米，两根绳子捆在一起的重叠部分长12厘米，原来两根绳子各长多少厘米？2. 两块一样长的红条幅缝在一起，变成一块长条幅，现在这两块条幅共长22米，中间重叠部分长6分米，原来两块条幅各长多少分米？3. 一根长80厘米的木棍，不小心被折成了长短不一的两段，现在把两段接起来，其中重叠部分长6厘米，两根木棍接起来后共长多少厘米？例题2.三(2)班同学排队做操，每行人数相同，亮亮的位置从左数起是第5个，从右数是第4个，从前数是第2个，从后数是第4个。
三(2)班共有多少人？解题思路：解题过程：根据题意画右图。
由图可看出：亮亮的位置从左数起是第5个，从右数是第4个，说明横有5+4－1＝8（个）人；从前数是第2个，从后数是第4个，说明竖行有2+4－1＝5（个）人。
所以二（3）班有8×5＝40（个）（说明：减“1”是因为亮亮重复数了一次）解：（5+4－1）×（2+4－1）＝8×5＝40（人）答：三（2）班共有40人。
初中奥数之重叠难题
初中奥数之重叠难题
重叠难题是初中奥数中的一类常见问题。
重叠难题要求学生找出满足多个条件的符合要求的元素数量或可能性。
解决重叠难题需要运用组合数学和逻辑推理的思维方法。
难题举例
以下是几个常见的重叠难题示例：
1. 设有5只红球、6只蓝球和4只绿球，从中选出3只球，使得至少包含1只红球和2只蓝球。
一共有多少种选法？
2. 某班级有10名男生和12名女生，从中选出3名学生组成辅导小组。
要求小组中至少有1名男生和1名女生，一共有多少种选法？
3. 某公司聘用了5名工程师、4名设计师和3名销售人员。
从中选出3人组成一个项目团队，要求团队中至少有1名工程师和1名设计师，一共有多少种选法？
解决思路
解决重叠难题可以使用以下思路：
1. 列出所需元素的可能情况组合。
2. 对每种组合进行条件筛选。
3. 统计满足条件的组合数量。
4. 根据条件和组合数量计算出最终答案。
解决方法
解决重叠难题的方法可以分为以下几步：
1. 确定所需元素的数量和条件。
2. 列出每个元素的可能选项。
3. 构建可能的组合。
4. 对每种组合进行条件筛选。
5. 统计满足条件的组合数量。
6. 根据组合数量得出最终答案。
总结
重叠难题是初中奥数中的一类常见问题，需要学生通过运用组合数学和逻辑推理的方法解决。
解决重叠难题的思路可以归纳为列出组合、筛选条件、统计数量和计算答案。
通过充分理解问题和灵活运用解题方法，学生可以有效地解决重叠难题。
三年级奥数《重叠问题》
三年级奥数《重叠问题》三年级奥数《重叠问题》公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]第九讲：重叠问题【知识要点】：三（1）班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗读比赛的12位同学每人发一份纪念品，当中队长玲玲将28份纪念品发下去时，却多出5份，这是怎么回事？对了，因为有5位同学既参加了绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了5份。
数学中，我们将这样的问题称为重叠问题。
解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。
【例1】六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。
小张从前数起，红旗是第8面；从后数起，红旗是第10面。
这行彩旗共多少面？【思路导航】根据题意画出下图。
从图上可以看出，从前数起红旗是第______面，从后数起是第______面，这样红旗就数了______次，重复了______次，所以这行彩旗共有[ ] ＋[ ]－[ ]＝[ ]面。
【课堂反馈1】1、小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数起排在第7个。
这队小朋友共有多少人？2、学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第21个。
这一行座位有多少个？【例2】同学们排队做操，每行人数同样多。
小明的位置从左数起是第4个，从右数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。
做操的同学共有多少个？【思路导航】根据题意画出下图。
由图可看出：小明的位置从左数第____个，从右数第____个，说明横行有[ ]＋[ ]－[ ]＝[ ]个人；从前数第_____个，从后数第_____个，说明竖行有[ ]＋[ ]－[ ]＝[ ]人。
所以做操的同学共有：[ ]×[ ]＝[ ]人。
青岛版五四制四年级上册第九单元信息窗一《重叠问题》教案
教案：《重叠问题》教学目标：1. 让学生理解重叠问题的概念，并能够识别和描述生活中的重叠现象。
2. 培养学生运用重叠问题的解决方法，解决实际问题。
3. 提高学生的观察、思考和解决问题的能力。
教学重点：1. 重叠问题的概念及解决方法。
2. 实际问题的解决应用。
教学难点：1. 重叠问题的解决方法在实际问题中的应用。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 实物或图片展示重叠现象。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师出示一些实物或图片，如两本书、两个圆圈等，引导学生观察并描述重叠现象。
2. 学生分享观察到的重叠现象，并讨论重叠问题的特点。
二、新课导入（10分钟）1. 教师引导学生思考重叠问题的解决方法，如比较大小、计算面积等。
2. 学生分组讨论，分享各自的解决方法，并进行总结。
三、实例讲解（10分钟）1. 教师出示一些实际问题，如两个圆圈重叠部分的面积计算、两个矩形的重叠部分的面积计算等。
2. 学生分组讨论，运用重叠问题的解决方法解决实际问题，并进行总结。
四、巩固练习（10分钟）1. 教师出示一些练习题，如计算两个圆圈重叠部分的面积、计算两个矩形的重叠部分的面积等。
2. 学生独立完成练习题，并进行交流讨论。
五、总结提升（5分钟）1. 教师引导学生回顾本节课所学内容，总结重叠问题的解决方法。
2. 学生分享自己的学习心得，并进行交流讨论。
六、作业布置（5分钟）1. 教师布置一些与重叠问题相关的作业，如计算两个圆圈重叠部分的面积、计算两个矩形的重叠部分的面积等。
2. 学生独立完成作业，并进行交流讨论。
教学反思：本节课通过实物或图片展示重叠现象，引导学生观察和描述重叠问题，培养了学生的观察和描述能力。
通过实例讲解和巩固练习，学生掌握了重叠问题的解决方法，并能够运用到实际问题中。
在小组讨论和交流中，学生能够分享自己的思考和方法，提高了学生的合作和交流能力。
通过本节课的学习，学生能够理解和解决重叠问题，提高了学生的数学思维能力。
“金钥匙”竞赛试题及答案
金钥匙科技竞赛试题及答案一、知识题（一）选择题1.（ B ）如果用天文望远镜观察太阳，会发现太阳上有小黑点。
这些小黑点叫太阳黑子。
太阳上为什么有黑子呢？A.任何东西都不可能完美，黑子就像是人类脸上的雀斑B.太阳黑子是太阳表面温度比较低的地方C.是太阳被其他星体撞伤留下的痕迹2.（ A ）关于手足口病，下列说法错误的是：A.手足口病是由多种肠道病毒引起的B.手足口病是一种皮肤病C.手足口病是一种传染病3.（ B ）在哺乳动物的心脏里，左心室流出的血流经主动脉、毛细血管、静脉管，然后流进什么地方？A.左心房B.右心房C.右心室4.（ C ）宇航员在神舟七号上执行任务时，使用的太空用笔不是普通的笔，因为有些笔在太空中不能正常使用。
下列哪种笔在太空中仍能正常使用呢？A.钢笔B.圆珠笔C.铅笔5.（ C ）在神七返回舱返回地面的过程中，宇航员保持下列哪种姿势更科学？A.令自己倒立B.抱着头坐在座位上C.躺下来6.（ B ）雪后，汽车车轮上套上铁链是为了：A.减少摩擦力B.增大摩擦力C.让雪化得更快些7.（ B ）开屏的孔雀是雌孔雀还是雄孔雀？A. 雌孔雀B.雄孔雀C.雌雄孔雀都可以开屏8.（ C ）在大气层中，含量最多的气体是：A.氮气B.氧气C.二氧化碳9.（ B ）月亮上为什么会有阴影？A.月球表面温度低的地方会形成阴影B.月亮反射太阳的光，它上面的高山和低谷反射光的强度不一样，就形成了阴影C.月亮上的阴影是月球上空的云层造成的10.（ B ）如果猫咪不喜欢你，会做出下列哪种行为？A. 竖起尾巴B. 摆动尾巴C.喉咙里发出咕噜咕噜的声音11.（ A ）植物身上的刺是从哪里来的？A.是由自身其他器官演变出来的B.植物的皮肤生病才会长刺C.植物吸收的肥料多了就会长刺12.（ C ）地震了，最先到达地面的波会是下列哪种波？A.表面波（L波）B.横波（S波）C.纵波（P波）13.（ C ）汶川地震属于哪种地震？A. 陷落地震B.诱发地震C.构造地震14.（ C ）下列关于光合作用的说法，正确的是A.光合作用在黑暗处也能进行B.光合作用的产物只是氧气C.在光合作用中，绿色植物、光和二氧化碳缺一不可15.（ B ）纳米是指：A.长度计量单位之一B.一种高科技材料C.水稻新品种16.（ B ）下列动物中，属于脊椎动物的是：A.蚂蚁B.壁虎C.蜗牛17.（ A ）下列垃圾中，可以通过堆积自然分解，成为有用的有机肥料的是：A.碎菜叶、蛋壳B.陶瓷碗、头发C.废纸、塑料袋18.（ B ）大多数鸟都有单腿站立的习惯，不过也有的鸟不会单腿站立。
三年级奥数《重叠问题》
第九讲：重叠问题【知识要点】：三（1）班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗读比赛的12位同学每人发一份纪念品，当中队长玲玲将28份纪念品发下去时，却多出5份，这是怎么回事对了，因为有5位同学既参加了绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了5份。
数学中，我们将这样的问题称为重叠问题。
解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。
【例1】六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。
小张从前数起，红旗是第8面；从后数起，红旗是第10面。
这行彩旗共多少面【思路导航】根据题意画出下图。
从图上可以看出，从前数起红旗是第______面，从后数起是第______面，这样红旗就数了______次，重复了______次，所以这行彩旗共有[ ] ＋[ ]－[ ]＝[ ]面。
【课堂反馈1】1、小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数起排在第7个。
这队小朋友共有多少人2、学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第21个。
这一行座位有多少个【例2】同学们排队做操，每行人数同样多。
小明的位置从左数起是第4个，从右数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。
做操的同学共有多少个【思路导航】根据题意画出下图。
由图可看出：小明的位置从左数第____个，从右数第____个，说明横行有[ ]＋[ ]－[ ]＝[ ]个人；从前数第_____个，从后数第_____个，说明竖行有[ ]＋[ ]－[ ]＝[ ]人。
所以做操的同学共有：[ ]×[ ]＝[ ]人。
【课堂反馈2】1、同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。
小红的位置无论从前数从后数，从左数还是从右数起都是第4个。
三年级上册数学教案-9数学广角—重叠问题︳人教新课标
三年级上册数学教案：数学广角—重叠问题教学目标1. 知识与技能：使学生理解重叠问题的概念，学会运用重叠问题解决实际生活中的问题。
2. 过程与方法：通过实例分析，培养学生观察、比较、概括的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生合作学习的精神。
教学内容1. 重叠问题的定义：介绍重叠问题的基本概念，通过实例让学生理解重叠问题。
2. 重叠问题的解决方法：讲解如何运用重叠问题解决实际问题，通过例题让学生掌握解题方法。
3. 实际生活中的应用：引导学生观察生活中存在的重叠问题，并尝试解决。
教学重点与难点1. 教学重点：理解重叠问题的概念，学会运用重叠问题解决实际问题。
2. 教学难点：如何引导学生观察、分析生活中的重叠问题，并尝试解决。
教具与学具准备1. 教具：PPT、黑板、粉笔。
2. 学具：练习本、铅笔。
教学过程1. 导入：通过PPT展示生活中常见的重叠现象，引发学生的兴趣和思考。
2. 新课讲解：讲解重叠问题的定义和解决方法，通过例题让学生理解并掌握。
3. 小组讨论：让学生分组讨论，观察生活中的重叠问题，并尝试解决。
板书设计数学广角—重叠问题内容：1. 重叠问题的定义2. 重叠问题的解决方法3. 实际生活中的应用作业设计1. 书面作业：完成练习册上的相关题目。
2. 实践作业：观察生活中存在的重叠问题，并尝试解决。
课后反思通过本节课的教学，学生对重叠问题有了基本的理解，能够运用重叠问题解决实际问题。
但在观察和分析生活中的重叠问题时，部分学生还存在一定的困难。
在今后的教学中，需要更多地引导学生观察生活，提高他们的问题解决能力。
本节课通过生动的实例和有趣的活动，激发了学生对数学的兴趣，使他们能够理解并运用重叠问题解决实际问题。
在教学过程中，教师应注重培养学生的观察、分析和解决问题的能力，使他们在生活中能够更好地运用所学知识。
教学重点与难点教学重点：理解重叠问题的概念，学会运用重叠问题解决实际问题。
三年级奥数：重叠问题，包含与排除问题的解题方法
三年级奥数：重叠问题，包含与排除问题的解题方法
在日常生活中，我们经常需要统计一些数据，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现。
为了使重复的部分不被重复计算，人们研究出一种新的计算方法，然后再把重复计算的数目排除，使得计算的结果既不重复也不遗漏。
解决重叠问题时，我们常常利用韦恩图（圆圈图）来帮助分析死牢，关键是找出重复的次数。
木板重叠问题
两块一样长的木块叠在一起，求每块木块的长度时，用重叠后的总长度加上重叠部分的长度，然后再除以2；两块不一样长的木块重叠在一起，求其中一块木块的长度时，用重叠后的总长度加上重叠部分的长度，然后再减去另一块木块的长度。
韦恩图解题
韦恩图解题
做这类重叠问题时，首先根据题目条件画出韦恩图：
总人数=分别参加两项的人数-两项都参加的人数；
两项都参加的人数=分别参加两项的人数和-总人数；
参加某一项的人数=总人数+两项都参加的人数-参加另一项的人数。
韦恩图解题
当题目中提到至少存在一种情况的时候，那么总人数中还可能会有两种情况都不存在的情况。
此时候的总人数=至少参加一项的人数+两项都不参加的人数。
青岛六年制数学一上《9简单的重叠问题》[张老师]【市一等奖】优质课
![青岛六年制数学一上《9简单的重叠问题》[张老师]【市一等奖】优质课](https://img.taocdn.com/s3/m/3de6af137e21af45b207a818.png)
《有趣的游戏》智慧广场——教学设计教学内容：青岛版一年级数学上册74、75页。
教学目标：1、结合具体情境，学会用画图的方式解决简单的重叠问题。
2、经历独立思考、合作探索的过程，提高思维能力，促进思维能力发展，形成运用集合直观的方法解决问题的策略，增长学生的聪明才智，发展学生的智力。
3、通过活动激发学生学习数学的兴趣和欲望，体验成功的乐趣，产生学好数学的自信心。
教学过程：二、激趣导入：师：同学们，喜欢猜谜语吗？生：喜欢。
师：老师给同学们猜个谜语：虽然不识字，能把字儿排，秋天一起走，春天一起来。
同学们知道是什么吗？抽生回答：大雁。
师：同学们真聪明一下子就猜出来了。
每年到了秋天大雁就要一起飞到南方去过冬，那场面壮观极了，同学们想不想看一看？生：想三、合作探究，学习新知。
课件出示情境图。
（一）看一看：你看到了什么？（蓝天、白云、大雁）师：大雁中有一只穿着花衣服，你看到了吗？谁来指一指？（生指）师：这一行大雁向哪飞？哪是前？哪是后？师：我们从最后一只大雁开始向前数，看看穿花衣服的大雁排在第几？师：现在如果让你数一数一共有几只大雁？你能数出吗？为什么数不出？生：有一朵云彩遮住了一部分大雁。
师：如果老师告诉你从前数，这只穿花衣服的大雁排第6，请同学们猜一猜这行大雁有几只吗？（二）猜一猜：有13只、12只等等。
到底谁猜得对能？下面就让我们去验证一下吧！（三）摆一摆：多媒体课件展示摆的过程1、先确定穿花衣服的大雁。
2、从前面数排第六，从后面数第三。
一边摆教具一边强调第几。
3、数一数一共多少只。
4、你有没有什么发现？穿花衣服的大雁数了两次，这种情况就是我们今天要学习的“重叠”问题（板书）。
如果在没有教具帮助的情况下，我们应该怎么做呢？(四)画一画：提示：1、用你喜欢的图形代表大雁。
2、穿花衣服的大雁和其他的大雁可用不同图形或涂上颜色。
3、想一想，你是怎样画的？全班展示：选有代表性的讲一讲。
（注意引导评价）（五）算一算：同学们请拿起笔先用你喜欢的图形表示穿花衣服的大雁，如果说从前数穿花衣服的大雁排第20，画一画，会怎样？（生可能本子不够用？）看来用画一画的方法，不行了。
三年级奥数重叠问题
三年级奥数重叠问题 Revised by Chen Zhen in 2021第九讲：重叠问题【知识要点】：三（1）班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗读比赛的12位同学每人发一份纪念品，当中队长玲玲将28份纪念品发下去时，却多出5份，这是怎么回事？对了，因为有5位同学既参加了绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了5份。
数学中，我们将这样的问题称为重叠问题。
解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。
【例1】六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。
小张从前数起，红旗是第8面；从后数起，红旗是第10面。
这行彩旗共多少面？【思路导航】根据题意画出下图。
从图上可以看出，从前数起红旗是第______面，从后数起是第______面，这样红旗就数了______次，重复了______次，所以这行彩旗共有[ ] ＋[ ]－[ ]＝[ ]面。
【课堂反馈1】1、小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数起排在第7个。
这队小朋友共有多少人？2、学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第21个。
这一行座位有多少个？【例2】同学们排队做操，每行人数同样多。
小明的位置从左数起是第4个，从右数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。
做操的同学共有多少个？【思路导航】根据题意画出下图。
由图可看出：小明的位置从左数第____个，从右数第____个，说明横行有[ ]＋[ ]－[ ]＝[ ]个人；从前数第_____个，从后数第_____个，说明竖行有[ ]＋[ ]－[ ]＝[ ]人。
所以做操的同学共有：[ ]×[ ]＝[ ]人。
【课堂反馈2】1、同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。
小学奥数专题-重叠问题(精华版)
小学奥数重叠问题专题日常生活或数学问题中，在把一些数据按照某个标准分类时，常常出现其中的一部分数据同时属于两种或两种以上不同的类别，这样在计算总数时就会出现重复计算的情况，这类问题就叫做重叠问题。
重叠问题中涉及到的容斥原理是奥数的四大原理之一，是奥数重要知识点。
学生学习奥数，一定要掌握容斥原理。
下面小编给大家分享解决重叠的方法。
1. 解答重叠问题要用到数学中一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
2. 解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次。
明确需要要求的是哪一部分，从而找出解答方法。
3. 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合和集合之间的关系。
这种图称为韦恩图（也叫文氏图）。
4. 解答重叠问题的常用方法是：先不考虑重叠的情况，把有重复包含的几个计数部分加起来，再从它们的和中排除重复部分元素的个数，使得计算的结果既无遗漏又不重复。
这个原理叫做包含与排斥原理，也叫容斥原理。
5. 容斥原理1：如果被计数的对象，被分为A、B两大类，则：被计数对象的总个数=A 类元素的个数+B类元素的个数-同时属于A类和B类的元素个数。
容斥原理2：如果被计数的对象，被分为A、B、C三大类，则：被计数对象的总个数=A 类元素的个数+B类元素的个数+C类元素的个数-同时属于A类和B类元素的个数-同时属于A类和C类元素个数-同时属于B类和C类元素个数+同时属于A类、B类、C类元素个数。
一、重叠问题之长度：（1）拼接（对接）（2）搭接（3）打结题目1：（搭接正问题：求总长度）把两段同样是20厘米长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。
中间重叠的部分是6厘米，粘好的纸条长多少厘米？题目2：（搭接反问题一：等长搭接，求原来长度）把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。
这段更长的纸条长30厘米，中间重叠的部分是6厘米，原来两条纸条各长多少厘米？题目3：（搭接反问题一：不等长搭接，求原来长度）两根木棍放在一起，从头到尾共长66厘米，其中一根木棍长48厘米，中间重叠部分长12厘米。
小学奥数专题-重叠问题(精华版)
小学奥数专题-重叠问题(精华版) XXX奥数重叠问题专题日常生活或数学问题中，在把一些数据按照某个标准分类时，常常出现其中的一部分数据同时属于两种或两种以上不同的类别，这样在计算总数时就会出现重复计算的情况，这类问题就叫做重叠问题。
重叠问题中涉及到的容斥原理是奥数的四大原理之一，是奥数重要知识点。
学生研究奥数，一定要掌握容斥原理。
下面小编给大家分享解决重叠的方法。
1.解答重叠问题要用到数学中一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
2.解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次。
明确需要要求的是哪一部分，从而找出解答方法。
3.在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合和集合之间的关系。
这种图称为XXX（也叫文氏图）。
4.解答重叠问题的常用方法是：先不考虑重叠的情况，把有重复包含的几个计数部分加起来，再从它们的和中排除重复部分元素的个数，使得计算的结果既无遗漏又不重复。
这个原理叫做包含与排斥原理，也叫容斥原理。
5.容斥道理1：如果被计数的对象，被分为A、B两大类，则：被计数对象的总个数=A类元素的个数+B类元素的个数-同时属于A类和B类的元素个数。
容斥道理2：如果被计数的对象，被分为A、B、C三大类，则：被计数对象的总个数=A类元素的个数+B类元素的个数+C类元素的个数-同时属于A类和B类元素的个数-同时属于A类和C类元素个数-同时属于B类和C类元素个数+同时属于A类、B类、C类元素个数。
一、重叠问题之长度：（1）拼接（对接）（2）搭接（3）打结题目1：（搭接正问题：求总长度）把两段同样是20厘米长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。
中间堆叠的局部是6厘米，粘好的纸条长几何厘米？题目2：（搭接反问题一：等长搭接，求原来长度）把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。
高中奥数之重叠谜题
高中奥数之重叠谜题引言重叠谜题是高中奥数中的一种有趣的问题类型。
它通过在一个或多个集合中找到相同或不同的元素来挑战学生的观察和逻辑推理能力。
本文将介绍重叠谜题的基本概念、解题方法以及在高中奥数中的应用。
一、重叠谜题的基本概念重叠谜题是一种通过比较两个或多个集合中的元素，找出其中相同或不同元素的问题。
这些集合可以是数字、字母、图形或其他形式的元素组成。
学生需要观察集合中的元素，通过分析和推理找出它们的相同或不同之处。
二、解决重叠谜题的方法1. 观察集合元素：首先，学生需要仔细观察每个集合中的元素，找出它们的共同点和差异。
可以通过比较集合的特征、数量、排列顺序等方面来进行观察。
2. 建立比较模型：根据观察结果，学生可以建立一个比较模型，将集合中的元素进行分类。
比如，可以使用表格或图表记录元素的共同特征和差异，以便更好地进行比较和分析。
3. 进行推理分析：基于比较模型，学生可以进行推理和分析，找出集合中的相同或不同之处。
学生可以运用逻辑推理、数学运算、图形变换等方法，解决重叠谜题。
三、高中奥数中的重叠谜题应用重叠谜题在高中奥数中经常出现，是考察学生观察力、推理能力和逻辑思维能力的重要题型之一。
它可以培养学生的思维敏锐性和问题解决能力。
在高中奥数的竞赛中，重叠谜题可以作为一种挑战，激发学生的兴趣和参与度。
结论重叠谜题是一种通过比较集合中的元素，找出相同或不同之处的问题。
学生可以通过观察、建立比较模型和进行推理分析来解决这类问题。
在高中奥数中，重叠谜题是一种常见的题型，可以培养学生的思维能力和问题解决能力。
参考文献（如果有的话）。
专题09 重叠问题(解析)
2022-2023学年小学三年级思维拓展举一反三精编讲义专题09 重叠问题知识精讲专题简析：三（1）班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗读比赛的12位同学每人发一份纪念品，当中队长玲玲将28份纪念品发下去时，却多出5份，这是怎么回事？对了，因为有5位同学既参加了绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了5份。
数学中，我们将这样的问题称为重叠问题。
解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。
典例分析【典例分析01】六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。
小张从前数起，红旗是第8面；从后数起，红旗是第10面。
这行彩旗共多少面？【思路引导】根据题意，画出下图：8面10面面从图上可以看出，从前数起红旗是第8面，从后数起是第10面，这样红旗就数了两次，重复了一次，所以这行彩旗共有8＋10－1=17面。
【典例分析02】同学们排队做操，每行人数同样多。
小明的位置从左数起是第4个，从右数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。
做操的同学共有多少个？【思路引导】根据题意，画出下图：由图可看出：小明的位置从左数第4个，右数第3个，说明横行有4＋3－1=6个人；从前数第5个，从后数第6个，说明竖行有5＋6－1=10人，所以做操的同学共有：6×10=60人。
【典例分析03】 把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。
如果这块钉在一起的木板长120厘米，中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米？【思路引导】把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的长度就是重叠部分，重叠的部分是16厘米，所以这两块木板的总长度是120＋16=136厘米，每块木板的长度是136÷2=68厘米。
2022年江苏省金钥匙科技竞赛决赛初三化学试题真题(含答案解析)
2022年“金钥匙”科技竞赛(初三学生CESL活动)决赛试题可能用到的相对原子质量：H：1C：12O：16Na：23Cl：35.5Fe：56Co：59Cu：64一、选择题(本题包括20个小题。
每小题2分，共40分。
每小题有1个或2个选项符合题意。
若两个答案的错选1个不得分，漏选1个扣1分。
请将答案填在下方的表格内。
)1.他享有“杂交水稻之父”的盛誉，创造了世界大面积水稻亩产最高纪录，带领科研团队研发的“海水稻”在高盐浓度条件下，也能有很高产量。
他是下图中的A.邓稼先B.杨振宁C.于敏D.袁隆平2.2022年2月第24届冬季奥林匹克运动会在我国北京-张家口举办。
比赛中冬奥会速滑赛道冰面修复时，工作人员最后喷向冰面的物质是A.液氮B.干冰C.水D.消毒剂3.商店里出售的橡胶运动鞋，鞋底有黑、白两种，黑色橡胶鞋底耐磨，这是因为在橡胶中加入了一种耐磨的填料，这种耐磨的填料是A.石墨粉B.活性炭C.炭黑D.木炭粉4.北宋沈括在《梦溪笔谈》中记载了用“苦泉水”制取铜的方法，其主要生产流程如下图所示。
对图中各操作步骤的解释合理的是A.①通过蒸发溶剂可获得晶体B.②通过复分解反应获得铜C.③所得硫酸铜溶液一定是饱和的D.④用铁单质置换出铜单质5.元素钴(Co)有多种可变化合价。
将11.9gCoCO 3在纯净氧气中加热可得到8.3g 钴的氧化物，则CoCO 3在纯氧中受强热发生反应的化学方程式(用箭头表示产生符号)是A.3CoCO 强热2CoO+CO ↑ B.34 CoCO 强热2322Co O +3CO ↑C.324 CoCO +3O 强热2522Co O +4CO D.324 CoCO +O 强热2322Co O +4CO 6.将一支敞口试管竖直放在盛有液氮的大烧杯中，一段时间后，试管中出现了少许浅蓝色液体，再将一支带由余烬的木条插入试管中，应该看到的实验现象是A.木条在试管上部没有复燃，在试管下部复燃B.木条在试管上部复燃，在试管下部熄灭C.木条始终没有复燃D.木条一接近试管口就复燃7.2022年春节，航天员在太空中用向玻璃环中注入有色溶液的方法制作出一个奥运五环(题图)。
重叠法解题
重叠法解题重叠法解题重叠法是一种常见的解题方法，它适用于许多领域，包括数学、物理、化学等。
在数学中，重叠法主要用于解决排列组合问题和几何问题。
本文将详细介绍重叠法的原理、应用以及解题技巧。
一、重叠法的原理重叠法的核心思想是将一个问题分解成若干个子问题，并且这些子问题之间存在交集。
通过计算交集部分来得到最终答案。
例如，在排列组合问题中，我们可以将一个大问题分解成若干个小问题，每个小问题都有一定数量的元素。
这些元素之间存在交集，我们可以通过计算交集部分来得到最终答案。
二、重叠法的应用1. 排列组合问题在排列组合问题中，重叠法被广泛应用。
例如，在一个班级中，有10个男生和8个女生。
如果要从这些人中选择3个人参加比赛，并且至少有1个女生参加比赛，那么该怎么做呢？首先，我们可以计算出从10个男生中选择3个人参加比赛的方案数为C(10,3)，即10*9*8/3*2*1=120。
接着，我们可以计算出从8个女生中选择3个人参加比赛的方案数为C(8,3)，即8*7*6/3*2*1=56。
但是，这样计算出来的答案不包括至少有1个女生参加比赛的情况。
因此，我们需要用重叠法来解决这个问题。
首先，我们可以计算出不考虑限制条件时的方案数为C(18,3)，即18*17*16/3*2*1=816。
然后，我们可以计算出只选男生参加比赛的方案数为C(10,3)，即10*9*8/3*2*1=120。
接着，我们可以计算出只选女生参加比赛的方案数为C(8,3)，即8*7*6/3*2*1=56。
最后，我们用总方案数减去只选男生和只选女生的方案数，得到至少有1个女生参加比赛的方案数为816-120-56=640。
2. 几何问题在几何问题中，重叠法也被广泛应用。
例如，在一个正方形内部画一个圆，并且让圆与正方形相切。
如果正方形边长为10cm，则圆的半径是多少？首先，我们可以通过勾股定理得知正方形对角线长度为10√2 cm。
因为圆与正方形相切，所以圆心到正方形中心的距离等于正方形对角线长度的一半，即5√2 cm。
三年级数学教学设计：“重叠问题”（精选5篇）
三年级数学教学设计：“重叠问题”（精选5篇）第一篇：三年级数学教学设计：“重叠问题”三年级数学教学设计：“重叠问题”三年级数学教学设计：“重叠问题”教学内容：人教版小学数学三年级下册第九单元《数学广角——重叠问题》教学目标：1.通过活动实例，初步渗透集合的思想方法，引导学生学会用韦恩图表示两个集合及它们的交集。
2.培养学生探索能力和会用集合思想解决实际问题的能力。
3.培养学生善于观察、善于思考，养成良好的学习习惯教学重、难点：理解集合图的各部分意义及解决简单问题的计算方法。
教学过程：一.问题情境，导入新课1、同学们，我们群力兆麟小学春季运动会即将召开了，来，看看我们班的报名单，这些是参加跑步比赛的同学（7人），这些是参加跳绳比赛的同学（8人），快来算一算，参加这两项比赛的同学一共有多少人？2、学生在汇报过程中发现问题（有人重复报名）3、教师追问：重复是什么意思？哪几人重复了？到底有几人参加比赛（12人）4、过渡：刚才我们在观察报名单，研究参加比赛总人数时，有同学说15人，有同学说14人，还有同学说12人，看来，问题的关键就在于这份报名单上没有将重复报名的3名同学清楚地表示出来。
你们能不能想个更加直观的办法，让我们一目了然就能知道哪些是参加跑步比赛的同学，哪些是参加跳绳比赛的同学，哪些是两项比赛都参加的同学。
（出现具体要求）二、自主探索，对比设计方案1、小组交流，教师巡视2、各小组汇报设计方案第一组：标注记号法第二组：分类记录第三组：利用两个交叉的圈表示4、对比交流，选择最佳方案（1）出示第二种和第三种方法，看看哪种方法更清楚，更直观，也更简便。
（2）学生发表自己的看法，达成共识（利用两个交叉的圈表示）（3）过渡：看来，我们在交流中发现，利用这样一幅图表示报名情况，不仅简便，而且还能从中获取这么多的信息，下面我们就一起将方法重新呈现在黑板上。
三、了解韦恩图的各部分意义1、教师在黑板上演示。
2、思考汇报：3、进一步巩固理解图中各部分表示的意思。
重叠问题练习题
重叠问题练习题重叠问题练习题重叠问题是数学中一个有趣且具有挑战性的题目类型。
它要求我们在给定的条件下，找到一种最优的解决方案，以最大化或最小化重叠的部分。
这类问题常常涉及到几何形状、图论和优化等领域，对于培养逻辑思维和解决实际问题非常有帮助。
在本文中，我们将介绍一些重叠问题的练习题，帮助读者更好地理解和应用相关概念。
题目一：最大重叠面积给定一个平面上的矩形列表，每个矩形由左下角和右上角的坐标表示。
请计算这些矩形的最大重叠面积。
解题思路：首先，我们可以将问题转化为一个图论的问题。
将每个矩形看作一个节点，如果两个矩形有重叠部分，则在它们之间添加一条边。
接下来，我们可以使用深度优先搜索或广度优先搜索算法来遍历图，并计算每个连通分量的面积。
最后，取所有连通分量中面积的最大值即为所求。
题目二：最小重叠次数给定一个字符串列表，每个字符串表示一个区间。
请计算这些区间的最小重叠次数。
解题思路：我们可以将每个区间表示为一个有向边，边的起点和终点分别对应区间的起始和结束位置。
接下来，我们可以使用拓扑排序算法来确定最小重叠次数。
首先，我们需要构建一个有向无环图，其中每个节点表示一个区间，每条边表示两个区间的重叠关系。
然后，我们可以从入度为零的节点开始，依次删除节点并更新其后继节点的入度。
最后，剩下的节点数即为最小重叠次数。
题目三：最大重叠路径给定一个有向无环图，每条边上有一个权值。
请计算从起点到终点的最大重叠路径。
解题思路：我们可以使用动态规划算法来解决这个问题。
首先，我们需要构建一个二维数组，其中每个元素表示从起点到当前节点的最大重叠路径。
然后，我们可以使用递推关系式来计算每个元素的值。
具体地说，对于每个节点，我们可以选择从它的前驱节点中的最大重叠路径加上当前边的权值，或者直接从前驱节点中选择最大重叠路径。
最后，最大重叠路径即为终点的最大重叠路径。
通过以上三个练习题，我们可以看到重叠问题的多样性和复杂性。
解决这类问题需要我们灵活运用数学和算法知识，并结合具体问题的特点进行分析和求解。
【精品】三年级上册数学教案-9 数学广角—重叠问题 ︳人教新课标(2014秋)
三年级数学广角——《重叠问题》教学目标：知识与能力：学生初步理解“重叠问题”，能借助韦恩图，解决简单的重叠问题，并能运用数学语言进行描述。
过程与方法：学生亲身经历学习、操作的过程，在观察、思考、讨论、交流中探索新知，促进学生形成良好的逻辑思维的能力。
情感态度价值观：在潜移默化中鼓励学生善于观察，乐于思考，养成良好的学习习惯，激发学习数学的兴趣。
教学重点：学生初步理解“重叠问题”，能借助韦恩图，解决实际问题教学难点：对重叠部分的理解教学方法：游戏法、讲解法。
教学准备：呼拉圈2个，多媒体课件等教学过程：一、游戏体验，激发兴趣，导入新课1.谈话导入，发现问题。
师：听说梅城完小196班的孩子表现特别棒，语文老师给我推荐了2位特别棒的孩子，数学老师也给我推荐了3位表现特别棒的孩子。
师：我想认识一下这些小朋友。
（出示名单，点到名的小朋友。
出现一个小朋友左右跑）2.解决问题，引出课题。
这个小朋友该怎么站。
有什么好的办法让他同时站在两个圈里？（生想出解决方案）师：你为什么要站在这里？你们的智慧碰撞出了知识的火花，我需要记录下来。
（在黑板上画出韦恩图）师：你们知道吗，这个图是著名数学家韦恩创造出来的。
你们刚才也像数学家一样，把这个图创造出来了，真了不起!（及时出示PPT，介绍韦恩图，引出重叠问题）二、深度体验，理解新知1.完善韦恩图。
师：让我们再仔细研究我们创造出的韦恩图，看到这个图，你能知道哪些小朋友是语文老师推荐的，哪些小朋友是数学老师推荐的吗？（不能）让我们把它创造得更加完美！2.理解韦恩图。
师：多么完美的创造呀！介绍每个圈的含义。
3.数形结合，解决问题。
师：2+3不是等于5吗？怎么图上只有4个人？生1:2+3-1=4(人)生2:1+1+2=4（人）说明每个数代表的意思生3:2-1+3=4(人)生4:3-1+2=4（人）……4.小结。
师：小朋友们真的很棒，这么短的时间，就发现了大数学家韦恩发现的问题，现在，我们用韦恩图来解决实际问题。
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九重叠问题我们先来看下面一个问题：有边长是4厘米与边长是5厘米的两个正方形成在桌面上（阴如右图，影部分是两个正方形的重叠部分），试求这两个正方形覆盖桌面的面积。
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0120_1.bmp} 要解答这个问题，如果只简单地把两个正方形面积相加，得4×4+5×5=41（平方厘米）就作为其覆盖桌面的面积，显然是错误的，这是因为我们多计算了一块阴影部分的面积。
这块面积是 3×3÷2=4.5（平方厘米），所以要将这块面积排除掉。
所以两个正方形覆盖桌面的面积是4×5+5×5-3×3÷2=36.5（平方厘米）。
一般来讲，这类问题就叫做重叠问题，它与一个应用很广的数学原理——容斥原理（“容”，就是包含、相交的含义，“斥”就是排除、去掉的含义）有密切的关系，它是解决重叠问题的主要理论依据，运用容斥原理可以解答很多有趣的数学问题。
下面我们通俗、直观地介绍两条容斥原理。
容斥原理（一）放在桌面上两张相交的圆纸片A、B 所覆盖的总面积等于它们的面积之和减去它们相交部分的面积。
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0121_1.bmp} 说明：容斥原理的确切内容，要用集合的知识阐述。
例1一个班42 名学生都订了报纸，订阅《中国少年报》的有32 人，订阅《小学生报》的有27 人。
有多少人订阅两种报纸？（1934 年《小学生报》全国数学竞赛题）解法1：假定全班每人只订一份报纸，则全班共有32+27=59 人，这比全班实际人数多59-42＝17 人，说明有17 人不是只订了一份报纸，而是既订了《中国少年报》又订了《小学生报》，所以在统计订阅报纸的人数时，有17 人重复计算了一次，形成比全班实际人数多了的情况。
由此，订阅两种报纸的人数是32+27-42=17（人）。
解法2：因为班内订《中国少年报》的有32 人，所以没有订《中国少年报》的有42-32=10 人，也就是在班内只订《小学生报》的有10 人，为什么题意中“订阅《小学生报》的有27 人”呢？这，说明有27-10=17 人既订了《中国少年报》、又订了《小学生报》。
由此，订阅两种报纸的人数是27-（42-32）＝17（人）。
解法3：如右图，设订阅两种报纸的有x人。
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0122_1.bmp} 如果我们在桌面上，把订《中国少年报》的学生用圆A围起来，圆A的面积表示订《中国少年报》的人数（32 人）；把订《小学生报》的学生用圆 B 围起来，圆B的面积表示订《小学生报》的人数（27 人）。
所以圆A与圆B的相交部分就是既订《中国少年报》又订《小学生报》的学生，这部分的面积表示他们的人数（x 人）。
则全班学生的人数（42 人）就是圆A、圆B覆盖在桌面上的总面积，按“容斥原理（一）”为等量关系列方程，得42=32+27-x。
解方程，得x=17。
答：订阅两种报纸的有17 人。
说明：第一、二两种解法是算术解法，解题思路比较抽象。
第三种解法是借助图形（一般叫“韦恩图”）直观、形象地表示了题意，然后利用容斥原理列出方程进行解答。
显然，如果第一、二两种解法用韦恩图来分析，就更能说明解题的思路。
例2 一个班有36 个学生，在一次测验中，答对第一题的25 人，答对第二题的23 人，两题都答对的15 人。
那么，两题都不对的有多少人？（1990）年徐州市鼓楼区小学数学竞赛预赛题）解法1：因为答对第一题的25 人当中有15 人同时答对第二题，所以第一题答对，第二题答错（也就是只答对第一题）的学生有25-15=10 人。
同理，第二题答对，第一题答错（也就是只答对第二题）的学生有23-15=8 人。
从全班学生总人数（36 人）中，减去这两部分学生人数，再减去两题都答对的人数（15 人），就能得到两题都不对的学生人数。
36-（25-15）-（23-15）-15=3（人）。
解法2：如右图，设两题都不对的有x人。
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0123_1.bmp} 如果我们在桌面上，把全班学生用长方形围起来，这个长方形的面积表示全班的人数（36 人）；把答对第一题的学生用圆A围起来，圆A的面积表示答对第一题的人数（25 人）；把答对第二题的学生用圆B围起来，圆B的面积表示答对第二题的人数（23 人），所以圆A与圆B的相交部分就是两题都答对的学生，这部分的面积表示他们的人数（15 人）。
在长方形内，两圆之外的部分就是两题都答错的学生，这部分的面积表示他们的人数（x 人）。
按“两圆覆盖在桌面上的总面积（可用容斥原理（一）求出）与两圆之外的部分的面积之和等于长方形的面积”为等量关系列方程，得（25+23-15）+x＝36。
解方程，得x=3。
答：两题都答不对的有3人。
说明：（1）要弄清为什么例1不要像例2那样作一个长方形，要全班学生围起来呢？这是因为例1中“全班42 名学生都订了报纸”，也就是说没有“不订报纸”的学生，所以，全班学生就是由圆A、圆B 围起来的部分，全班学生的人数（42 人）就是用圆A、圆B覆盖在桌面上的总面积来表示的。
（2）用韦恩图法解答例1、例2时，似乎解题冗长，不过理解它的思路后，书写格式可以简化。
这种解法在解答较复杂的重叠问题时将可以显示出它的许多优越性。
例3有77 名学生参加数学竞赛，分甲、乙两张考卷测试，答对甲卷者得60 分，答对乙卷者得40 分。
已知答完考卷后有50 人答对甲卷， 65 人答对乙卷，只有2人甲、乙两卷都答错了，这次考试只得40 分的有多少人？只得60 分的有多少人？得100 分的有多少人？解：如右图，把全班学生（77 人）用长方形围起来，在这个长方形内：答对甲卷的学生（50 人）用圆A围起来；答对乙卷的学生（65 人）用圆B围起为；圆A、圆B之外的部分就表示甲、乙两卷都答错的学生（2 人）。
由韦恩图可得{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0125_1.bmp}（1）至少答对一张考卷的人数（也就是答对A 卷或答对B 卷的人数）77-2＝75（人）。
（2）答对两张考卷的人数50＋65-75＝40（人）。
（3）只答对甲卷的人数50-40＝10（人）。
（4）只答对乙卷的人数65-40=25（人）。
验算10+40＋25+2=77（人）。
答：只得40 分的有25 人；只得60 分的有10 人；得100 分的有40 人。
说明：注意！“答对甲卷者”与“只答对甲卷者”是一字之差，答对甲卷者（50 人）应该包括两种情况：（1）只答对甲卷者（10 人），（2）答对甲、乙两张考卷者（40 人）。
例4在1～1000 的整数中，有多少个数既是5 的倍数又是7 的倍数？有多少个数是5的倍数但不是7的倍数？有多少个数是5的倍数或7的倍数？有多少个数既不是5的倍数又不是7的倍数？解：{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0126_1.bmp}在1～1000 的1000 个整数中：是5的倍数的数有1000÷5=200（个）；是7 的倍数的数有1000÷7≈142（个）。
如上图，把这1000 个整数用长方形围起来，在这个长方形内：是5 的倍数的数（200 个）用圆A围起来；是7的倍数的数（142 个）用圆B围起来。
（1）因为5与7是互质数，所以既是5的倍数又是7的倍数的数一定是（5×7）的倍数，一共有1000÷35≈28（个）。
显然，圆A、圆B 的相交部分的面积就是表示既是5 的倍数又是7 的倍数的数的个数（28 个）。
（2）是5的倍数但不是7的倍数的数有200-28=172（个）。
（3）是7的倍数但不是5的倍数的数有142-28=114（个）。
（4）是5的倍数或7的倍数的数有172+28+114=314（个）。
（5）既不是5的倍数又不是7的倍数的数有1000-314=686（个）。
答：有28 个数既是5的倍数又是7的倍数；有172 个数是5的倍数但不是7的倍数；有314 个数是5的倍数或7的倍数；有686 个数既不是5的倍数又不是7的倍数。
说明：“有多少个数是5的倍数或7的倍数”就是求圆A、圆B 覆盖在桌面上的总面积，因此也可以用容斥原理（一）得：200+142-28＝314（个）。
例5某班有学生46 人，在调查他们家中是否有电子琴和小提琴时发现，有电子琴的22 人，两种琴都没有的14 人，只有小提琴的与两种琴都有的人数比是5：3。
问：只有电子琴的有多少人？{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0127_1.bmp} 如上图，把全班学生（46 人）用长方形围起来，在这个长方形内，有小提琴的学生（未知）用圆A围起来，有电子琴的学生（22 人）用圆B围起来。
解法1：（1）有小提琴或电子琴的人数： 46-14=32（人）。
（2）只有小提琴的人数：32-22=10（人）。
（3）两种琴都有的人数：10×3=6（人）。
5（4）只有电子琴的人数：22-6=16（人）。
解法2：设只有电子琴的学生有x人，则两种琴都有的学生有（22-x）人，只有小提琴的学生有（22-）×x 5人。
3按“有小提琴或电子琴的人数与两种琴都那没有的人数之和等于全班人数”为等量关系列方程，得[（22-x）×5+22]14＋＝46。
3解方程，得x=16。
答：只有电子琴的学生有16 人。
例6一次数学测验，甲答错了题目总数的1，乙答错了3道题，两人4都答错的题目是题目总数的16。
求甲、乙都答对的题目数。
解：如下页图，把总的题目（设为n道）用长方形围起来，在这个长方形内，甲答错的题目（1n道）用圆围起来，乙A 4{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0129_1.bmp} 答错的题目（3 道）用圆B围起来。
设题目总数有道，甲、乙都答对的有n x道，则甲答错的有1n道，两4人都答错的有16n道，只有乙答错的有（3-1n）道。
6按“甲答错或乙答错的题目数与甲、乙都答对的题目数之和等于题目总数“为等量关系列方程得[14n+（3-16n）]+x=n。
（把n看作常量）1解方程，得x=11n-。
312因为x、n 都是自然数，所以n 是 12 的倍数，又因为只有乙答错的有113-6n≥0n18≤，由此可得n=12x。
这时，=1212×-3=8,x即=8。
答：两人都答对的有8道题。
例7某外语学校一个班的同学，在选学英语、法语、日语三个语种时，每人至少选学一个语种。
其中，选学英语的29 人，选学法语的25 人，选学日语的20 人。