第三节 矩阵的秩3-3

一、矩阵秩的概念
任何矩阵 Am × n , 总可经过有限次初等行 变换 梯形， 把它变为行阶 梯形，行阶 梯形矩阵中非零行的行 数是唯一确定的 .
矩阵的秩
定义1 在 m × n 矩阵 A 中任取 k 行 k 列（k ≤ m , k ≤ n），位于这些行列交叉 处的个 k 2 元素, 不改 ），位于这些行列交叉 阶行列式， 变它们在 A 中所处的位置次序而得 的k阶行列式， 称为矩阵 A 的 k 阶子式 .
的一个最高阶非零子式. 则这个子式便是A 的一个最高阶非零子式
1 2 例5 设 A = − 2 3
−2 −4
− 1 1 8 0 2 , b = 3 4 −2 3 4 − 6 0 − 6 2
求矩阵 A 及矩阵 B = ( A b )的秩 .
0 5 0 3 2 6 − 1 3 − 2 3 A= 2 0 1 5 − 3 1 6 − 4 −1 4
r1 ↔ r4 r2 − r4
r3 − 2r1 r4 − 3r1
6 4 −4 −1 1 3 1 −1 0 − 4 0 − 12 9 7 − 11 0 − 16 12 8 − 12
由阶梯形矩阵有三个非零行可知 R( A) = 3.
求 A 的一个最高阶子式 . ∵ R( A) = 3, 知 A 的最高阶非零子式为 3阶 . 阶
3 3 A 的 3 阶子式共有 C 4 • C 5 = 40 个 .
考察A的行阶梯形矩阵， 考察 的行阶梯形矩阵， 记A = ( a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ), 则矩阵 B = (a1 , a2 , a4 )的行 阶梯形矩阵为
2 −1 2 1 0 0 0 0
1 0 5 1
r3 ÷ 5
r4 − r3
2 − 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0
∴ R ( A ) = 2,
R ( B ) = 3.
矩阵秩的基本性质：
(1) 0 ≤ R ( Am×n ) ≤ min ( m, n ) ; T ( 2 ) R ( A ) = R ( A) ; ( 3) 若A ~ B, 则R ( A) = R ( B ) ; ( 4 ) 若P, Q可逆，则R ( PAQ ) = R ( A) ;
显然，非零行的行数为 ， 显然，非零行的行数为2，
∴ R ( A ) = 2.
此方法简单！ 此方法简单！
二 矩阵秩的有关定理
定理6.1 对矩阵施行初等变换，其秩不变 对矩阵施行初等变换，其秩不变. 定理 对矩阵A作初等变换时 如果交换A的两行 作初等变换时， 的两行(列 ， 证明 对矩阵 作初等变换时，如果交换 的两行 列)， 那末与两行(列 有关的子行列式的值只改变正 负号； 有关的子行列式的值只改变正、 那末与两行 列)有关的子行列式的值只改变正、负号；若 用非零常数k乘以 的某一行 列 ，那末与该行(列 有关的 乘以A的某一 用非零常数 乘以 的某一行(列)，那末与该行 列)有关的 子行列式的值必乘以k 若用数 乘以A的某一行 若用数k乘以 的某一行(列 再加到 子行列式的值必乘以 ;若用数 乘以 的某一行 列)再加到 A的另一行 列)，那末涉及这两行 列)的子行列式的值不变 的另一行(列 ，那末涉及这两行(列 的子行列式的值不变 的子行列式的值不变. 的另一行 总之， 作三种初等行(列 变换时 变换时， 的任何子行列 总之，对A作三种初等行 列)变换时，A的任何子行列 作三种初等行 式的“ 非零”性都不会改变， 式的“零”与“非零”性都不会改变，从而变换后得矩阵的非 零子式最高阶数不会改变.因此 因此， 零子式最高阶数不会改变 因此，初等变换不改变矩阵的 秩. 推论3.1 等价矩阵有相同的秩 等价矩阵有相同的秩. 推论 推论3.2 设A为m×n矩阵，P是m阶可逆矩阵，Q是n阶 矩阵， 是 阶可逆矩阵 阶可逆矩阵， 是 阶 推论 为 × 矩阵 可逆矩阵.则 可逆矩阵 则R(A)=R(PA)=R(AQ)=R(PAQ).
r2 − 2r1 1 − 2 2 − 1 r3 + 2r1 0 0 4 2 0 0 2 1 r4 − 3r1 0 0 − 6 − 3
1 0 5 1
r2 ÷ 2 r3 − r2
r4 + 3r2
1 − 2 0 0 0 0 0 0
1 − 2 0 0 0 0 0 0
第三节
矩阵的秩
教学目的：通过本节的教学使学生理解矩阵秩概念 教学目的：通过本节的教学使学生理解矩阵秩概念, 掌握矩阵初等变换求矩阵秩的方法. 掌握矩阵初等变换求矩阵秩的方法 教学要求：理解矩阵秩概念 熟记矩阵秩的有关公式 教学要求 理解矩阵秩概念,熟记矩阵秩的有关公式 理解矩阵秩概念 熟记矩阵秩的有关公式, 掌握矩阵秩的有关定理. 掌握矩阵秩的有关定理 教学重点：矩阵秩概念 掌握矩阵初等变换求矩阵秩 教学重点：矩阵秩概念,掌握矩阵初等变换求矩阵秩 的方法. 的方法
( 5)
( 6 ) R ( A + B ) ≤ R ( A) + R ( B ) ; ∗ ( 7 ) R ( AB ) ≤ min {R ( A) , R ( B )} ; ∗ (8) 若Am×n Bn×l = 0, 则R ( A) + R ( B ) ≤ n。
特别地 R ( A ) ≤ R ( A, b ) ≤ R ( A ) + 1.
计算A的 阶子式 阶子式， 计算 的3阶子式，
3 −2 1 3 2 3 −2 2 1 −2 2 =0 , 0 2 − 1 = 00 2 3 = 2 , − 1 3 = 00 − 1 3 = 0, = , −2 0 1 −2 0 5 0 1 5 −2 1 5 1
= 0.
∴ R ( A ) = 2.
1 3 − 2 2 做初等变换， 另解 对矩阵 A = 0 2 − 1 3 做初等变换， − 2 0 1 5 1 3 − 2 2 1 3 − 2 2 ∴ 0 2 − 1 3 ~ 0 2 − 1 3 , − 2 0 1 5 0 0 0 0
作初等行变换， 阶梯形矩阵： 解 对A作初等行变换，变成行 阶梯形矩阵：
0 5 0 3 2 6 − 1 3 − 2 3 A= 2 0 1 5 − 3 1 6 − 4 −1 4
r1 ↔ r4
1 6 − 4 −1 4 6 − 1 3 − 2 3 2 0 1 5 − 3 3 2 0 5 0
1 6 − 1 0 − 4 1 0 0 4 0 0 0
∵ R ( B ) = 3,
故 B 中必有 3 阶非零子式 . 且共有 4 个.
计算B 计算 的前三行构成的子式
3 22 05源自3 255 =2 0 5 3 − 2 6 6 0 11
2 5 = −2 = 16 ≠ 0. 6 11
~ ~ ~ 分析： 解 分析： B 的行阶梯形矩阵为 B = ( A, b ), 设 ~ 的行阶梯形矩阵， 则 A 就是 A 的行阶梯形矩阵， ~ ~ ~ 故从 B = ( A, b ) 中可同时看出 R( A) 及 R( B ).
1 2 B= −2 3
−2 −4
− 1 1 8 0 2 4 − 2 3 3 − 6 0 − 6 4 2
初等变换求矩阵秩的方法： 初等变换求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩. 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩
0 5 0 3 2 6 − 1 3 − 2 3 例4 设 A = , 求矩阵 A 的 2 0 1 5 −3 1 6 − 4 −1 4 秩，并求 A 的一个最高阶非零子式 ．
k k m × n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 C m • C n 个.
定义2 设在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 k 阶子 阶子式（ 式 D，且所有 r + 1 阶子式（如果存在的话 ）全等 的最高阶非零子式， 于 0，那末 D 称为矩阵 A的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R( A) .并规定零矩阵的秩 的秩， 等于零 . m × n 矩阵 A 的秩 R( A) 是 A 中不等于零的
子式的最高阶数 .
对于 AT， 显有 R( AT ) = R( A).
（2）R(Am×n) ≤min{m,n} . ） ×
矩阵， 为行满秩矩阵； 设A为m×n矩阵，当R(A)= m时，称A为行满秩矩阵； 为 × 矩阵 时 为行满秩矩阵 为列满秩矩阵. 当R(A)= n时，称A为列满秩矩阵 时 为列满秩矩阵 若A为n阶方阵，且R(A)= n，则称A为满秩矩阵 它既 为 阶方阵， ，则称 为满秩矩阵.它既 阶方阵 为满秩矩阵 是行满秩矩阵，又是列满秩矩阵.显然 方阵A可逆的充分 显然， 是行满秩矩阵，又是列满秩矩阵 显然，方阵 可逆的充分 必要条件是A为满秩矩阵 为满秩矩阵. 必要条件是 为满秩矩阵 阶方阵， 为降秩矩阵.由此 若A为n阶方阵，且R(A)< n，则称 为降秩矩阵 由此 为 阶方阵 ，则称A为降秩矩阵 方阵A不可逆的充分必要条件是 为降秩矩阵. 不可逆的充分必要条件是A为降秩矩阵 方阵 不可逆的充分必要条件是 为降秩矩阵 非奇异矩阵又称为满秩矩阵， 非奇异矩阵又称为满秩矩阵，而奇异矩阵又称为降秩 矩阵. 矩阵 例如 1 2 3 1 2 3 A= 0 1 2, B = 0 1 2. 0 0 1 0 2 4 显然， 为满秩矩阵 为满秩矩阵， 则为降秩矩阵. 显然， A为满秩矩阵，而B则为降秩矩阵 则为降秩矩阵
例1
1 2 3 求矩阵 A = 2 3 − 5 的秩 . 4 7 1
1 2 在 A 中， ≠ 0. 2 3
解
又 ∵ A的 3 阶子式只有一个 A， 且 A = 0，