四川理工学院算法

用c’(X)=f(h(X))+g(X)，根据c’值最小的结点作为E-结
点的检索方法称为最小成本检索，简称LC-检索(least cost search)，伴之以限界函数的LC-检索，称为LC-
分枝-限界检索。
FIFO-检索和LIFO-检索是LC-检索的特殊情况。 如果令g(X)≡0，f(h(X))是结点X的级数，则LC-检索根
设想1：g(X)是结点X表示的状态中没有到达目标位置的非
空白牌的数目。显然状态X到达目标状态所需要的移动空 白牌的次数大于g(X)，比如状态X
1 2 3 11 15 4
5
9 13
6
10 14
8
12 7
只有7号牌不在目标位置上（空白牌除外），于是g(X)=1， 但是要使这个状态X变成目标状态，需要移动空白牌的次 数比1多得多。因此g(X)是精确成本c(X)的下界，而且g(X) 是容易求得的。 有如此定义的c’(X)，对于图8-3所示的实例，由初始状态 ①出发，把①作为E-结点，生成它的四个儿子②，③，④， ⑤后①成为死结点，因为c＇(2)=1+4，c＇(3)=1+4，c＇ (4)=1+2，c＇(5)=1+4，因此④成为E-结点，生成它的儿 子10 11 12，此时活结点是②、③、⑤、10、 11 12；因 为c’(10)=2+1，c＇(11)=2+3，c＇(12)=2+3，此刻具有最 小c＇值的活结点是10，它成为下一个E-结点，接着生成 22、 23，结点23被判定是目标结点 。这个设想是可行的， 而且是一个很好的方法。
1 1
2 6
3
2 8
8
3 9 19 B 10
18 11 24 B 29 12 35 13
34
4 15 51
50 14 16 56
5 17 61 B
7 13
40 B
45 B 26 52 B
B 18 9 B 19 11 B 30 15 B 20 14
21 22 16 B 31 31 答案结点 30
23 24 32 B 36 B
列的情况下所成的棋盘格局，此刻将活结点②，18，34， 50依次放入队列，从队列中取出②，作为E-结点，扩展② 生成③，⑧，13，利用限界函数③被杀死，将⑧，13加 入活结点队列，此时队列形如
18 ↑ 队头
34
50
8
13 ↑ 队尾
接下来，从队列中取出18作为E-结点，生成19，24,29,限 界函数杀死⒆，24，结点29加入活结点队列，下一个E-结点 是34，…，图8.4说明了用FIFO分枝-限界检索的过程，用限 界函数杀死的那些结点的下方有一个B字，在到达答案结点31 时，仅剩下活结点38以及54 仔细分析用FIFO分枝-限界检索4-后问题的状态空间树的过程， 在结点29之后，30并不是马上成为E-结点，而是从活结点表 中取得35作为E-结点，如果能将30作为E-结点的话，生成的 儿子结点31便是答案结点。FIFO没有把如果变为现实，尽管 距获得答案结点仅一步之遥，可FIFO毫不理会，固执地按活 结点表的先进先出原则决定谁是下一个E-结点，直到按此刻 板的顺序，轮到30作为E-结点，才生成31这个答案结点。这 是一个刻板的、寻规蹈矩的方法。如果能让30有着比其它活 结点表中的结点更高的优先权，在选择下一个E-结点时，按 优先权作出选择，那么可大大地提前找到答案结点。如果只 需找到一个答案结点，那么剩下的活结点就不必再检索了。 FIFO检索带有盲目性，LIFO检索也亦如此，不再累赘叙述。 下面介绍LC-检索，它克服了这种盲目性。
分支限界法离不开对问题状态空间树的搜索，基本搜索方
法是先进先出（FIFO）搜索，它类似BFS；或者是后进先 出（LIFO）搜索，它类似于DFS。
FIFO搜索法与LIFO搜索法的定义如下：对当前E-结点，先
从左至右地产生它的儿子，用限界函数对这些儿子进行检 查，如果不是死结点，就将它放入活结点表中，然后从活
其它合理的定义。一般地，定义一个成本函数来描述状态空
间树中结点的这一远近关系。C函数定义如下：
如果X是答案结点，则C(X)是状态空间树中从根到X的成 本（所谓成本，可以是级数，可以是上述“距离”，也可以 是计算复杂度）； 如果X不是答案结点，且子树X不包含任何答案结点 C(X)=∞；否则C(X)等于子树X中具有最小成本的答案结点的 成本。 这个定义是递归的，用计算结点的成本函数，对结点赋予 优先权是很合理的，但是仔细想一想，计算结点X的成本函 数值C(X)并不容易，它和解决原问题有同样的复杂度，因此， 虽然C(X)是精确的，但是却是不容易的。因此，试图在解决 问题中计算结点X的成本，C(X)的方法是不可取的。
第八章 分枝-限界法
8.1 状态空间树上的检索—FIFO，LIFO，LC检索
在状态空间树的生成过程中，如果已生成一个结点，而它的 所有儿子结点没有全部生成，则这种结点称为活结点，当前
正在生成儿子结点的活结点称为E-结点（正在扩展的结点），
不再进一步扩展或者儿子结点已全部生成的结点称作死结点。
8.1.1 FIFO(first in first out)，LIFO(last in first out) 检索
既然精确成本不易求得，那么可以考虑计算结点的估计 成本，估计成本函数g(X)≤C(X)。 g(X)易于计算。在选择下 一个E-结点时，选择活结点表中g(X)最小的活结点，作为下 一个E-结点。但是如果仅用g(X)作为选择下一个E-结点的标 准也未必就合理，因为它会导致检索偏向纵深进行。设X是 当前的E-结点，它的儿子为Y，那么g(Y)≤C(X)。因此在活结 点表中的其它结点的估计成本均大于g(Y)，于是Y在X之后变 成E-结点，然后Y的儿子们中又有一个变成E-结点，如此进 行下去，直到子树X全部检索完毕后，才也可能使那些在另 外一棵子树上的结点成为E-结点。如果g(X)=C(X)，这种纵 深检索正是所希望的。因为按这种最小成本优先检索可以很 快地到达离根最近的答案结点，其它子树上的结点就不必检 索了，但是若g(X)＜C(X)，偏向纵深检索，可能导致不能很 快地去检索离根结点最近的答案结点。比如，设结点W和Z， 若g(W)＜g(Z)，且Z比W更接近答案结点，但却不能优先地 检索Z。为了避免这种“纵深”的弊端，改革估计成本函数， 其做法是不仅考虑结点的估计成本g(X)，同时考虑，由根结 点到X的成本h(X)，定义新的成本估计函数 c’(X)=f(h(X))+g(X)，其中f是一个非降函数。用f≠0可以减少 偏向纵深检查的弊端。如果g(Y)＜ g(Z) ，但c’(Y)＞c’(Z)， 强迫优先检索Z。
据级数小的优先成为E-结点，这就是FIFO-检索；如
果f(h(X)) ≡0，且当Y是X的儿子时，总有g(Y)≤ g(X)， 这就是LIFO检索。
从c’的定义可以看出，定义g(X)是很重要的，它需要
对原问题有深入的理解和较强的数学表达能力，恰当 地给出g(X)是要付出艰辛的劳动的，而g(X)的好坏又
直接影响了算法的优劣。
例8.1 15谜问题（15-puzzle） 在4×4的方格棋盘上，将数字1，2，3，…，15以任意顺序 放置在棋盘的各个方格中，空出一格，如图8.2(a)为15谜问
题的一种初始棋盘格局。
1 2 3 4 5 15 12 1 5 2 6 3 7 4 8
7
8
6
9
11
10
14
13
9
13
10
14
11
15
12
结点表中依次取出一个结点作为E-结点在生成问题的状态
的方法中，需要一张活结点表。对E-结点检索完毕之后检 测以队列或栈的，重复前面过程，如果只要求找出一个解， 搜索进行到产生一个解为止；如果要求找出全部解，搜索 进行到活结点表空为止。以队列形式存放活结点的表的检 索方式称为FIFO-检索；以栈形式存放活结点的表的检索方 式称为LIFO-检索。这两种方法都用限界函数杀死还没有全 部生成其儿子结点的那些活结点。
一个E-结点一直保持到变成死结点为止，在检索过程中也 不断地用限界函数杀死那些不可能成为答案结点的结点。
它的检索顺序完全由活结点表控制，并且分支限界法适合
与最优化问题。
为了说明这两种检索方式再看4-后问题（例4.1） 设想棋盘的风格用A(1:n,1:n)的下标标记，假定两个皇后被 放置在(i,j)和(k,l)位置上，那么当且仅当i-j=k-l或i+j=k+l时， 这两个皇后在同一斜角线上，将这两个等式变形j-l=i-k和jl=k-i，因此|j-l|≠|i-k|，描述了隐式约束的第二条规定，以|jl|≠|i-k|作为限界函数。
图8.3给出了一个实例的状态空间树的前几级，图中已对 树作了一些修剪，对此实例，FIFO检索的顺序按图中结
点的编号顺序进行。
从检索的路径可以看出，这样的检索是很盲目的。下面考 虑如何用LC-分枝限界解此实例，成本函数c(X)定义成从 根到最近目标结点的路径长度。如前所述精确成本一般是 不容易求得的，估计成本c’(X)=f(X)+g(X),f(X)定义成从根 到X的路径长度，剩下的问题也是关键的问题，是如何定 义g(X)。
(a)初始状态
(b)目标状态
要求通过有限次移动，把一个初始状态变成图8.2(b)的 目标状态。移动规则是：每次只能在空格周围的四个数字 任选一个移入空格，当空格在边角位置时，只有二种或三 种数字向空格的移动是合法的，这个规则就是原问题的规 范函数，其目标函数是描述目标状态的棋盘格局。 显然移动数字与移动空格是等效的，如果对于某个状态A可 以通过一系列合法移动得到另一状态B。则称状态A可达状 态B。一个实例的状态空间树由初始状态可达的所有状态构 成。15谜问题一共有16！个棋盘格局。有人证明了，对于 任一给定的初始状态，有16！/2状态可由初始状态到达。 因此15谜问题的状态空间树很大。在求解15谜问题的一个 实例时，首先应确定目标状态是否存在于这一实例的状态 空间树中，也就是说实例是否有解，这是首先要解决的问 题。 如果给棋盘上的各个方格按行为主序编号1~16，空格为16 号，定义l(i)是棋盘上第i+1格到第16格中，比i格中棋子号码 小的棋子的个数，对于图8.2(a)，l(1)=0，l(2)=1，l(6)=10， l(16)=0，在图8.2(b)中有l(i)=0，1≤i≤16，设空格位于棋盘 第j行，第k列，可以证明如下事实。