同角三角比的关系
三角比的所有公式初中
三角比的所有公式初中三角比是三角函数的一种，它是研究三角形的边与角之间的关系的数学方法。
在初中数学中，我们主要学习正弦、余弦和正切三个基本的三角比。
1.正弦定理正弦定理可以用于解决任意三角形中的边与角之间的关系。
对于一个三角形ABC，其三个边长分别为a，b，c，对应的角为A，B，C，那么正弦定理的表述为：a/sinA = b/sinB = c/sinC2.余弦定理余弦定理适用于解决三角形中的边与角之间的关系。
对于一个三角形ABC，其三个边长分别为a，b，c，对应的角为A，B，C，那么余弦定理的表述为：c² = a² + b² - 2ab*cosC3.正切定理正切定理用于解决一个三角形中，两条边关于其中一个角的正切值之间的关系。
对于一个三角形ABC，其边长AB与AC的正切值为tanA，那么正切定理的表述为：tanA = AB/AC以上就是三角比的三个基本公式。
下面我们来了解一些其他的相关公式。
4.同角三角比的关系在一个三角函数中，正弦、余弦和正切之间是相互关联的。
根据定义和三角恒等式，我们可以得到以下关系：tanA = sinA/cosAsecA = 1/cosAcscA = 1/sinAcotA = 1/tanA5.三角比的周期性正弦、余弦和正切都有周期性。
它们的周期是2π（或360°），即在一个周期内，它们的函数值重复。
比如：sin(θ + 2π) = sinθcos(θ + 2π) = cosθtan(θ + 2π) = tanθ6.正弦和余弦的和差公式两个角的正弦和余弦之间存在着一些关系，我们称之为和差公式。
这些公式可以用于求解一些复杂的三角函数：sin(A ± B) = sinA*cosB ± cosA*sinBcos(A ± B) = cosA*cosB ∓ sinA*sinB7.三角比的基本关系在一个直角三角形中，三角比的定义和关系如下：sinθ = 对边/斜边cosθ = 邻边/斜边tanθ = 对边/邻边以上是初中阶段学习的关于三角比的一些基本公式，它们在解决三角形中的边与角之间的关系问题时非常有用。
三角恒等式-三角诱导公式-二倍角公式-半角公式
三角恒等式-三角诱导公式-二倍角公式-半角公式三角恒等式1.同角三角比的基本关系:sin2 a + cos' a = 1,1 + tan2a = sec2 tzj + cot2 = csc2a；(2)倒数关系：sinaCSC a=1, COSaSeCa=l,t an a co二1；（3）商数关系:tan. = ^,cota = ^；cos a sin a注意：已知一个角任意一个三角比，就可以求岀它的其他五个三角比的值。
2.三角比的诱导公式:“奇变偶不变，符号看象限”函数。
（填“奇”或“偶”）tan(2^^ + a) = _______ 伙G Z)；( 3 ) sin(2^-a) = _________tan(2^^ 一a) = _____ 伙G Z);(4) sin(兀+ a) = 9 cos(/r + a) = f tan(^ + a)=伙G Z);(5) sin(/r-a) = 9 cos(/r-a) = 9 tan(^-a)= (2Z);(6) sin(— -cr)= • cost—-<z)=2 9 tan(—-a) =伙eZ）；（1）平方关系:”指的兀/2的倍数）。
(1) sin(-a) = _________ cos(-a) = _______ tan(-a) = _______ 伙e Z) •注意: y = siru•和y = taiix 是函数，y=COSY是 __________ ( 2 ) sin(2^ + a) = _____________ 9 cos(2R/r + a) = ___________cos(2R;r—a) = ______3•两角和与差的正弦、余弦和正切公式:； ( 2 ) cos(a + 0) = ； ； ( 4 ) sin(a + /?) = ； ) _____________________ tan (a - #) =tan(& + 0) = _______________a ____________________________ ；注意：特别喜欢考查两角和与差的正切公式的逆 用和“1”的巧用。
复习同角三角比的关系
同角三角比的关系教学目标1．启发学生从定义发现同角三角比的关系（三种关系式）并掌握。
2．掌握“已知一个角的三角比，求这个角的其它三角比”。
3．能准确灵活地应用同角公式对三角函数式进行求值。
4．通过对比，反思，练习巩固，培养学生自主探索学习的能力，提高观察能力，获取成功体验。
教学重点：同角三角比的关系教学难点：观察题目特点，正确使用公式，对三角函数式进行求值。
教学方法：变式教学、引导启发式、自主探究教学流程：一、复习巩固：教师：上节课我们学习了任意角的三角比，请同学们回忆并回答：1、任意角的三角比定义：2、三角比的符号：点评：大多数学生能回忆起来，部分学生例外。
二、教师启示：这六个三角比之间有什么联系？（鼓励学生自主探究寻找）三、 学生交流，揭示结果，教师板书： 同角三角比的关系（1）倒数关系 ：sinα·cscα=1 ,cosα·secα=1, tanα·cotα =1（2）商数关系： a aa cos sin tan = a a a s i n c o s c o t =（3）平方关系：sin 2α+cos 2α=1, sec 2α=1+tan 2α, csc 2α=1+cot 2α点评：把公式板书于黑板有利于加深学生的记忆，并能有效地为部分学生困生在后继的应用过程中提供公式支持。
师：我们复习了这些公式，那么这些公式到底有什么用，我们又如何用呢？请看下面知识点：四、同角三角比关系的应用：知识点1、已知一个角的某个三角比的值，求这个角的其它三角比的值。
教材《复习点要》例题：例1： 。
a a 、的值及求已知cot tan cos ,53sin αα-=分析：在这道题里面，角a 的象限没有给定。
因此解题时要注意分类。
解：因为,0sin <a 所以a 可在第三象限和第四象限。
当a 在第三象限时，54sin 1cos 2-=--=a a ，43cos sin tan ==a a a ，34sin cos cot ==a a a ；当a 在第四象限时，54sin 1cos 2=-=a a ，43cos sin tan -==a aa ，34sin cos cot -==a aa 。
5.2同角三角比的关系、诱导公式
4.2 同角三角比的关系、诱导公式【课前预习】 一．知识梳理1、同角三角比的三类关系（共8个）：平方关系：______________________；_______________________；___________________； 商数关系：_________________________；____________________________；倒数关系：_________________________；_______________________；_____________________； 2、诱导公式（共8组）：可以概括为“奇变偶不变，符号看象限”。
诱导公式反映的是2k πα±与α之间三角比的关系, 将任意角的三角比转化为锐角三角比。
“奇变偶不变, 符号看象限”. 例如:cos()sin 2παα+=-，（1）“奇, 偶”——2π的奇数或偶数倍； （2）“变, 不变”——三角比名称的变化(正余互化)；（3）“符号”——等式右端的符号； （4）“象限”——k πα±所在的象限(其中视α为锐角)。
二．课前预习作业1、化简：=----⎪⎭⎫ ⎝⎛+---)sin()cos(23sin )2cos()tan(αππαπααπαπ____1-___________2、若3cos 5α=-，则()()=⎪⎭⎫⎝⎛+++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-απαπαππα2cot 3tan 23sin 22cos ___59-____________． 3、若cot 2α=，则cos α=____5αα⎨⎪-⎪⎩在第一象限时在第三象限时________________________；4、若21)cos(-=+απ，且α是第四象限角，则=-)2sin(απ___23__________ 5、已知1cot 1sin tan 1cos 22-=+++-ϑϑϑϑ，则ϑ在第___四________象限．6、若3tan 5α=-，则2sin 3cos 3sin 4cos αααα-+=_____2111-____；2sin sin cos ααα-=______1217_； 【例题解析】例1、若,0tan sin ,0cos sin <⋅<αααα化简：2sin12sin 12sin12sin 1αααα-+++-解：原式=1sin 1sin 222cos cos cos222ααααα-+==+= ∵2,2,2k k k Z παπππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭,∴ ,,242k k k Z αππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭∴ 原式=2sec ,22sec ,2k k αα⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩是偶数 是奇数例2、已知()πθθθ<<=+032cos sin ， 求：（1）θθcos sin -的值；（2）θtan 的值；（3）θθ33cos sin -的值．解：∵ ()πϑϑϑ<<=+032cos sin ,∴ ()22sin cos 12sin cos 9ϑϑϑϑ+=+= ∴ 72sin cos 9ϑϑ=-, ∴ ()216,,sin cos 12sin cos 29πϑπϑϑϑϑ⎛⎫∈-=-= ⎪⎝⎭∴（1） 4sin cos 3ϑϑ-=；（2）2sin cos 4sin cos 3ϑϑϑϑ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩∴ 24sin 624cos 6ϑϑ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩∴ 942tan 7ϑ+=-（3）原式= ()2241122(sin cos )sin sin cos cos 31827ϑϑϑϑϑϑ-++=⨯=例3、化简：αααα6644sin cos 1sin cos 1----.解 方法一 原式=αααααααα6632244222sin cos )sin (cos sin cos )sin (cos --+--+=32)sin (cos sin cos 3sin cos 2222222=+•αααααα. 方法二 原式=ααααααα6422422sin )cos cos 1)(cos 1(sin )cos 1)(cos 1(-++--+-例4、设k 为整数，化简[][])cos()1(sin )1(cos )sin(απαπαπαπ+⋅++--⋅-k k k k解 方法一 当k 为偶数时，设k =2m (m ∈Z ),则方法二 由(k π+α)+(k π-α)=2k π, ［(k -1)π-α］+［(k +1)π+α］=2k π, 得sin(k π-α)=-sin(k π+α),cos ［(k -1)π-α］=cos ［(k +1)π+α］ =-cos(k π+α),sin ［(k +1) π+α］=-sin(k π+α).【回顾反思】:【课后作业】1、已知sin α=55，则sin 4α-cos 4α的值为 . 答案 53-2、若2ππα+≠k 且Z k k ∈≠,πα，化简：αααα22tan 1sin 11sec tan 2++- =_____________；2cot ,2cot ,2cot ,2cot ,αααααααα+⎧⎪--⎪⎨-⎪⎪-+⎩在第一象限时在第二象限时在第三象限时在第四象限时 3、若,21tan -=α则)2cos()2sin()5cos()27cos(2πααπαππα-++---=___4_；αααα22cos 3cos sin sin 2-+=___________512-；4、若81cos sin =⋅αα，)2,4(ππα∈，则=-ααsin cos _23-_________．5、已知函数R x x x x f ∈++=),2sin(sin )(π．若[]πα,0∈时43)(=αf ，求α2sin 及αtan 的值．解：3()sin sin sin cos 24f πααααα⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭ ∴ ()29sin cos 12sin cos 1sin 216ααααα+=+=+= ∴ 7sin 216α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴ ()223sin cos 12sin cos 1sin 216ααααα-=-=-=∴sin cos αα-=sin 3cos 8αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴tan α=6、已知ααcot tan 、是方程032222=-+-k kx x 的两个实根，且45παπ<<，求ααsin cos -的值．解：()()222483460k k k k ∆=--=->⇒<<23tan 12k cot k αα-⋅==⇒=sin cos 1tan cot cos sin sin cos k αααααααα+=+==∵ 54ππα<<,∴1sin cos 5k αα⋅==∴ ()2cos sin 12sin cos 15αααα-=-=-又∵ 54ππα<<,∴cos sin αα-=7、已知()⎪⎭⎫⎝⎛+=-βπαπ23cos 23sin ，()()βπα+-=-cos 2cos 3，且πα<<0，πβ<<0，求βα,的值．解：sin αβ=αβ=∴ 2222224sin cos 2sin cos 2cos 133ααβββ+=+=-=∴ 23cos 4β=, ∴cos cos ,sin sin 22a ββα⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==-⎪⎪⎩⎩ ∴ 566,344ππββππαα⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩。
5.3(2)同角三角比的关系与诱导公式
（1） 求sin a cos 的值； （2） 求sin cos 的值.
例
5 3． 若 tan cot ， 求sin cos 的值. 2
二、例题选讲
例4． 已知 tan 2 ，求下列各式的值. sin cos （1） ； sin cos sin cos （2） sin 2 2 cos 2 （3）
三、课堂小结
1、同角三角比的八个其本关系式； 2、已知某角的一个三角比，求其他三角比值；
3、由三角比的符号确定角所在象限(符号看象限)；
4、化简三角式的方法与技巧．
sin cos
化简与证明的一般方法与技巧：
(1)“化弦法”，即将正切、余切、正割、余割 都化为正弦、余弦 ；
(2“ )1 的妙用”，即将“ 1 ”化为sin 2 cos2 或sec2 tan2 或 csc2 cot2 等；
(3)三角式开偶次方时，要注意角的范围，以确定 正负号的选取．
一、复习
(2)商数关系： t an sin k k Ζ cos 2 cos k k Ζ cot sin
(3)平方关系： sin 2 cos2 1 R 2 2 1 tan sec k k Ζ 2 2 2 1 cot csc k k Ζ
说明： 本系列课件，经多次使用，修改，其中有部分 来自网络，它山之石可以攻玉，希望谅解。 为了一个课件，我们仔细研磨； 为了一个习题，我们精挑细选； 为了一点进步，我们竭尽全力； 没有最好，只有更好！ 制作水平有限，错误难免，请多指教： 28275061@
第五章 三角比
(1)倒数关系：sin csc 1 k k Ζ cos sec 1 k k Ζ k 2 k Ζ tan cot 1
6.2同角三角比的关系(教师版)
[松江二中2010届高三数学第一轮复习资料]6.2 同角三角比的关系【复习要求】1、掌握同角三角比之间的三种基本关系；2、能用诱导公式及同角三角比之间的关系式进行化简、计算． 重点与难点：1、能用同角三角比之间的关系式进行化简、计算．2、能解决简单的与三角比结合的函数与不等式问题 【知识要点】1、 同角的三角比关系平方关系：22sin cos 1αα+=；221tan sec αα+=；221csc cot αα+=；倒数关系:tan cot 1αα=；sin csc 1αα= ；cos sec 1αα= ； 商数关系:sin tan cos ααα=；cos cot sin ααα=； 利用同角三角比的关系可以由已知的一个角的某个三角比的值，求得这个角的其它三角比的值，也可以在化简三角式或证明三角恒等式时，减少三角比的种类。
【基础训练】1、若α的值为 （ A ）（A ）- 1 （B ）1 （C ）-3 （D ）32、若tan 2α=，且α为第三象限内的角，则sin α=，cos α=3、化简22sin 62tan54cot 45tan36sin 28_2____+⋅⋅+=．4、若2tan 3sin θθ=，且θ为第四象限内的角，则sin θ=5、若sin ,cos 1a a αα==-，则a =0或16、已知53sin +-=m m θ，)2(524cos πθπθ<<+-=m m ，则θtan ＝512-【典型例题】 例1、 已知53sin -=A ，求A A A cot ,tan ,cos 的值。
4cos 53tan 44cot 3A A A ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩或4cos 53tan 44cot 3A A A ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩变式训练：已知223tan 11tan +=-+AA ，求A A A A cos ,sin ,cot ,tan 的值。
sin sin tan 2cos cos A A A A A A ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩例2、化简：（1）sin tan tan (cos sin )cot csc ααααααα+⋅-++；（2）22sin tan cos cot 2sin cos αααααα⋅+⋅+⋅；（3）ααααααsin 1sin 1sin 1sin 1tan 1cos 12+---+++。
同角三角比的关系和诱导公式教案
同角三角比的关系和诱导公式教案一、同角三角比的关系1. 正弦值：在一个直角三角形中，取一个锐角θ，将其对边的边长记作a，斜边的边长记作c，则其正弦值sinθ等于对边与斜边的比值，即sinθ = a / c。
2. 余弦值：在同一个直角三角形中，其余弦值cosθ等于邻边与斜边的比值，即cosθ = b / c，其中邻边的边长记作b。
3. 正切值：在同一个直角三角形中，其正切值tanθ等于对边与邻边的比值，即tanθ = a / b。
通过这些关系，我们可以得到以下结论：- sin(90° - θ) = cosθ：角度θ的补角的正弦值等于角度θ的余弦值。
- cos(90° - θ) = sinθ：角度θ的补角的余弦值等于角度θ的正弦值。
- tanθ = sinθ / cosθ：正切值等于正弦值与余弦值的比值。
二、诱导公式诱导公式是通过已知的三角比的关系，推导出其他角度的三角比的公式。
1. 诱导公式1：sin(-θ) = -sinθ这个公式表明，一个角度的正弦值与它的相反角的正弦值相等，但符号相反。
2. 诱导公式2：cos(-θ) = cosθ这个公式表明，一个角度的余弦值与它的相反角（或补角）的余弦值相等。
3. 诱导公式3：tan(-θ) = -tanθ这个公式是通过正切值等于正弦值除以余弦值推导得出的。
4. 诱导公式4：sin(180° - θ) = sinθ这个公式表明，一个角度与它的补角非常相似，仅仅正弦值的符号改变。
5. 诱导公式5：cos(180° - θ) = -cosθ这个公式说明，一个角度与它的补角非常相似，仅仅余弦值的符号改变。
以上是常见的诱导公式，它们是基于已知的三角比关系而推导得出的。
三、诱导公式的应用诱导公式的应用十分广泛，可以简化计算和证明过程，提高效率。
以下是一些使用诱导公式的具体例子：2. 计算cos75°：根据诱导公式5，cos75° = -cos(180° - 75°) = -cos105°。
同角三角比的关系和诱导公式
2
2
1、求下列各三角比的值（不得使用计算器）
回家作业 （1）
tan
4
（2）
sin
390
（3）
sin
25
2
（4）
cos
690
(共6题)
2、利用诱导公式，求角 23 和 87 的正弦值、余弦值、正切值
3
4
3、化简（保留化简过程）
（1）
sin cos
cot tan
2 2
（2）
技巧1：公式变形的使用
技巧2：化切法
7、已知 3sin
4cos
0
，求
sin2 cos2 1 cos2
技巧3，化弦法+ (sinx+cosx),(sinx-cosx),(sinx*cosx)
8、已知关于 x 的一元二次方程 x2 tan cot x 1 0 的
一个实数根为 2 3 ，求 sin cos
cot2
tan2
sin2
4、根据条件，求角 x：
（1） tan x 3, x 0, 2 （2） cos x 2 ，x 是第二象限的角
2
5、在三角形 ABC 中（1）若 sin A 3 ，求角 A （2）若 cos A 2 ，求角 A
2
2
6、（1）若 为第一象限角，则 2 是第__________象限角； 是第__________象限 角； 是第__________象限角； 是第__________象限角；
①求值②化简③方程
例1：求下列三角比（不用计算器）
sin 26
3
tan 13
4
求值的一般方法：负角正角[0,2π]的角锐角
二、诱导公式典型题型
第三节 同角三角比关系和诱导公式
同角三角比关系和诱导公式【知识梳理】1、同角之间的三角比关系（1）倒数关系：sin csc 1,cos sec 1,tan cot 1α⋅α=α⋅α=α⋅α= （2）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin ααα=α=αα（3）平方关系：222222sin cos 1,sec tan 1,csc cot 1α+α=α-α=α-α=【注】同角间三角比进行求值计算时，可以结合直角三角形进行，注意下象限即可.【注】称sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-为“三角三姐妹”，知一求二，但需注意符号. 【注】同角三角比关系，可以采用六边形记忆： ①对角线法则（倒数关系）②相邻顶点法则（商数关系）：位于正六边形任意顶点上的 三角比等于该顶点的两个相邻顶点上的三角比的乘积； ③倒三角形法则（平方关系）：每个带阴影的倒置三角形中， 上面两个顶点上的数的平方和等于下面一个顶点上的数的平方.【注】记忆上述八组诱导公式的口诀：奇变偶不变，符号看象限．．．．．．．．．．．【典型例题】 例1、已知5sin 13α=，且α为第二象限角，求α的其它五个三角比.【练习1】设)tan 01m α=<<，化简22sin sin cos cos m m αα++α-α.【练习2】化简：33sin (1cot )cos (1tan )x x x x +++.【练习3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【练习4=，则角x 的终边在第_______象限. 【练习5】若1+=-，则x 的终边在第_______象限.【练习62sin101sin 10=--_________.【练习7】化简：2662222csc sin cos cot sin cos 11cot 1tan α-α-α-α⎛⎫αα-- ⎪+α+α⎝⎭【练习8例2、若4sin 2cos 23sin 4cos 3x x x x +=-，则tan x =__________.【练习】已知21sin 3sin cos x x x +=，则tan x =__________.例3、已知tan 2α=，求下列各式的值： （1）sin cos cos 2sin αααα-+（2）22sin sin cos 3cos αααα++ （3）22sin sin cos sin 1αααα++（4）2212sin cos sin 2cos x xx x+-（5）3323sin cos 4cos sin cos x xx x x +-例4、关于x 的方程()2tan cot 10x x -α+α+=的一个根是2sin cos αα=______.例5、（2008清华自招）sin cos x x +=x 的取值范围为________.【变式】（2005交大推优）8841sin cos ,0,1282x x x π⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，则x =________.例6、已知()sin cos tan cot sec csc f x x x x x x x =+++++，求()f x 的最小值.例7、是否存在0,2π⎛⎫α∈ ⎪⎝⎭，使得关于x 的方程24cos 20x x -α+=和24sin 20x x -α-=有一个实数解相等？如果存在，求出α；不存在，请说明理由.例8、化简下列各式（1）()()()()22sin 42cot 25cot 65sin 48α+++ββ-+-α（2）()()()()tan 150cos 210cos660tan 240sin 330-⋅-⋅-⋅-（3）()()()()()()cos 90csc 270tan 180sec 360sin 180cot 90x x x x x x +⋅+⋅--⋅+⋅-（4）sin[(21)]sin[(21)]()sin(2)cos(2)k k k Z k k απαπαπαπ+++--∈--+（5）()4334cos cos 44k kk Z +-π+π∈例9、若3cos 5α=-，则()()cos 2sin 322tan 3cot 2π⎛⎫α-+π-α ⎪⎝⎭=π⎛⎫π+α+α+ ⎪⎝⎭_________.【变式1】若1tan 2α=-，则()72cos cos 52sin cos 22π⎛⎫α--π-α ⎪⎝⎭=ππ⎛⎫⎛⎫+α+α- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_________.【变式2】已知33cos()252ππααπ⎛⎫+=-<< ⎪⎝⎭，求tan(),sin(2).παπα--例10、若22tan 2tan 1α=β+，证明：22sin 2sin 1β=α-例11、证明下列恒等式：（1）4222sin sin cos cos 1α+αα+α= （2）222222cos cos sin sin cot cot α-β=αβα-β（3）cos 1sin 1sin cos x xx x+=- （4）1sec tan tan sec 11sec tan tan sec 1x x x x x x x x ++--=---+（5）6622csc cot 13csc cot x x x x -=+（6）tan sin tan sin tan sin tan sin ααα+α=α-ααα（7）1sec tan 1sin 1sec tan cos +α+α+α=+α-αα（8）()2cos sin cos sin 1sin 1cos 1sin cos α-ααα-=+α+α+α+α（9）()()cos 2sec tan sec 2tan 2cos 3tan αα+αα-α=α-α。
同角三角比的关系求值、化简
练习.化简下列三角关系式： sec x 2 tan x ① ( x为第二象限角)； 2 2 1 tan x sec x 1 1 sin 1 sin ② ； 1 sin 1 sin sec tan sec tan ③ sec tan sec tan
作业： 1 1.已知 sin cos ，求值： 5 3 3 ① sin cos ；② sin cos 2.已知 tan 2，求值： sin －cos 2 2 ① 2 ；② sin cos 2 sin ＋2cos 2sin －cos 3 3.已知 ，求 cot . sin ＋2cos 4
2 2
二. 八个基本关系式成立的条件：
1. sin cos 1中， R 2 2 2. cos sec 1； tan sec 1 sin 和 tan 中 k ( k Z ) cos 2 2 2 3. sin csc 1； cot csc 1 cos 和 cot 中 k ( k Z ) sin k 4. tan cot 1中 (k Z ) 2
2 2
4.化简: tan ＋ cot ① ；② 1－2sin 3cos 3; sec 2cot 1 ③ 2 2 csc 1 cos 1 tan 1－ cos ④ 1＋ cos 4 2 2 2 ⑤ sin sin cos cos
练习：已知角 满足 csc m( m 0)， 1. 求角的其它三角比的值. 2.已知角 满足 tan a(a 0)， 求角的其它三角比的值.
求值问题的两种类型: 1.已知角的某一三角比，且知角的象 限，求其它三角比； 2.已知角的某一三角比，不知角的象限， 求其它三角比；（分情况讨论）
5.3(1)同角三角比的关系
任意角的三角比： 任意角的三角比：P(x, y), |OP |= r，x2+y2=r2
sin α =
cos α =
tan α =
y r x r y x
csc α = r y
角α 的终边 y
P( x, y) •
sec α = r x cot α = x y
说明： 说明：
(1) 以上 8 个关系式是“同一个角 ”的 6 个三角比 个关系式是“ 的关系 ；
(2) 8个关系式都是恒等式 ； (3) 注意关系式成立的条件 ;
(4) 掌握 8个关系式的变形 .
是第二象限的角， 例1.(1) 已知 sin α = 4 ，且α 是第二象限的角， 5 求角α 的其他三角比 . (2) 已知 sin α = 4 ，求角 α 的其他三角比 . 5
(3) 已知的三角比含字母时 ，应从选用公式 的特点进行讨论，否则 会十分麻烦。 会十分麻烦。 的特点进行讨论，
小结： 小结：
同角三角比的 8个基本关系式 ： 3.平方关系： 平方关系： 1.倒数关系： 倒数关系： sin 2 α + cos 2 α = 1 sin α ⋅ csc α = 1 cos α ⋅ sec α = 1 1 + tan 2 α = sec 2 α tan α ⋅ cot α = 1 1 + cot 2 α = csc 2 α 2.商数关系： 商数关系： tan α = sin α cos α cot α = cos α sin α
八个关系式还可以利用下图来帮助记忆： 八个关系式还可以利用下图来帮助记忆： 对角线上两个三角比的乘积为1(倒数关系 倒数关系)； ①对角线上两个三角比的乘积为 倒数关系 ； ②任一顶点上的三角比等于与其相邻的两个三 角比的积(商数关系)； 角比的积(商数关系) 阴影部分， ③阴影部分，顶角两个三角比的平方和等于底 角三角比的平方(平方关系). 角三角比的平方(平方关系).
5.3(1)同角三角比的关系和诱导公式
sin
1 cot 1 m tan
m 1 m2
1 cot m
2 1 m csc m
m2 csc 1 1 m sin
四、课堂小结
1、同角三角比的八个其本关系式； 2、已知某角的一个三角比，求其他三角比值；
3、由三角比的符号确定角所在象限(符号看象限)
设OP r x y (r 0)
2 2
你能找到这些同角三 角比之间的关系吗?
二、同角三角比的关系式
y r 通过观察发现： sin csc 1 r y y x tan cot 1 x y x r cos sec 1 r x 这些关系式成立有何条件吗?
ex3、已知tan m(m 0)，求角的其他三角比． 解：当是第一、四象限角， 当是第二、三象限角，
sec 1 tan2 1 m2
1 cos sec 1 1 m2
m 1 m2
sec 1 m2
cos 1 1 m2
sin tan cos
说明： 本系列课件，经多次使用，修改，其中有部分 来自网络，它山之石可以攻玉，希望谅解。 为了一个课件，我们仔细研磨； 为了一个习题，我们精挑细选； 为了一点进步，我们竭尽全力； 没有最好，只有更好！ 制作水平有限，错误难免，请多指教： 28275061@
第五章 三角比
一、复习回顾
在任意角终边上任取一点P( x，y)，
(1)倒数关系：
Ζ sin csc 1 k k k k Ζ cos sec 1 2 k tan cot 1 2 k Ζ
又观察发现：
5.3同角三角比的关系和诱导公式(4)教案
课题：5.3(4)同角三角比关系和诱导公式（教案）教学目的：1、熟练掌握同角三角比关系，并应用其进行求值、化简和证明2、熟练掌握四组诱导公式，并应用其进行求值、化简和证明教学重点：同角三角比的关系和诱导公式的应用 教学过程： （一）引入一、（设置情境）已知ABC ∆中，53sin =A ，求A cos ,A tan 的值 已知角的一个三角比的值，可以求它的其它三角比的值，当角的象限不确定时应讨论二、（双基回顾） 1、同角三角比的关系：（1）平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+；（2）商数关系：αααcos sin tan =，αααsin cos cot =；（3）倒数关系：1csc sin =αα，1sec cos =αα，1cot tan =αα； 2、诱导公式：四组诱导公式，把任意角的三角比化为锐角三角比3、“1”的代换：ααcsc sin 1=、ααsec cos 1=、ααcot tan 1=、αα22cos sin 1+=、αα22tan sec 1-=、αα22cot csc 1-=、4tan1π=、4cot1π=；（二）新课 一、典型例题例1、已知ABC ∆中，53sin =A ，求A cos ,A tan 的值 解：因为053sin >=A ，所以A 在第一象限或A 在第二象限 A 在第一象限时，54cos =A ，43tan =AA 在第二象限时，54cos -=A ，43tan -=A例2、化简：()()()()()()αππααππααπαπ+-⋅--⋅+-sin 5cos 3cos 2tan tan sin解：原式=1sin cos cos tan tan sin =--⋅-⋅-αααααα例3、化简ααcos 1cos 1+-ααcos 1cos 1-+-（παπ2<<） 解：原式=αα22cos 1)cos 1(--αα22cos 1)cos 1(-+-|sin ||cos 1|αα-=|sin ||cos 1|αα+- 因为παπ2<<，所以0sin <α，1cos 1<<-α，所以0cos 1>±α原式ααsin cos 1--==-+-ααsin cos 1αααcot 2sin cos 2=--=例4、已知θ是第四象限角，51cos sin =+θθ，求：（1）θθcos sin -；（2）θθ33cos sin +；（3）θθcot tan +；（4）θtan解：（1）()()2549cos sin cos sin 21cos sin 2512cos sin 51cos sin 22=-⇒⎪⎭⎪⎬⎫-=--=⇒=+θθθθθθθθθθ 又 θ是第四象限角，则57cos sin -=-θθ （2）θθ33cos sin +=+-+=)cos cos sin )(sin cos (sin 22θθθθθθ12537 （3）1225cos sin cos sin sin cos cos sin cot tan 22-=+=+=+θθθθθθθθθθ （4）⎪⎩⎪⎨⎧-=⇒=-=⇒⎪⎭⎪⎬⎫-=-=+43tan 54cos 53sin 57cos sin 51cos sin θθθθθθθ 二、课堂练习 1、已知⎪⎭⎫ ⎝⎛∈23,ππα，求αααα22tan 1sec 1sec tan +⋅+-⋅的值 （1-）2、已知0cos 3sin =-αα，求αααα22sin 3cos sin 8cos 3-+的值 （ 0 ）三、拓展探究 1、已知416sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πx ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 611cos 67sin 2ππ的值。
中学三角比的知识点和公式汇总
三角比的各个知识点和公式与解斜三角形同角的三角比关系tanA³cotA=1互为余角的三角比关系sinA=cos(90-A)cosA=sin(90-A),tanA=cot(90-A)cotA=tan(90-A)直角三角形边、角关系边与边a^2+b^2=c^2角与角∠A+∠B=90°边与角：锐角三角比概念所以，历史上三角函数曾有三角比之称，三角比不只是三角函数，两者之间还有一定的差别。
任意角的三角比象限角：定点在平面直角坐标系的原点，始边与x轴重合的角其三角比的定义：正弦sinθ=y/r余弦cosθ=x/r正切tanθ=y/x余切cotθ=x/y正割secθ=r/x余割cscθ=r/y公式一设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝ tanαcot（π＋α）＝ cotα公式三任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝ cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanα诱导公式记忆口诀上面这些诱导公式可以概括为：对于k²π/2±α(k∈Z)的个三角函数值，①当k是双数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是单数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.（单变双不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
同角三角比的关系
6、ogtan cos 的值。
sin
3， 4
例：已知 ，且 cos 2 ，则角
2
的取值范围是_______________。
例：设角 是锐角，利用单位圆中三角函数线证明： (1) sin cos 1 (2) sin tan
通分化简
练习：
(1)sin2 sin2 sin2 sin2 cos2 cos2 _1__ (2) 1 sin 1 sec t_a_n___
1 cos 1 csc
例2：化简
1 cos 1 cos
1 cos 1 cos
练习：
cos
sin
(1)化简：
___
1 tan2 1 cot2
k
sec2
2
1 cot 2 csc2
k
例1：证明下列恒等式：
(1) sin4 sin2 cos2 cos2 1 用平方关系降次
(2)
cos2 cot2
cos2 cot2
sin2 cos2
用“切”化“弦” 变形
(3) cos 1 sin 1 sin cos
第五章
同角三角比的关系 （二）
同角三角比关系：
(1) 倒数关系： (2) 商数关系： (3) 平方关系：
sin csc 1 tan sin
k
kcos
2
cos sec 1 cot cos
k
2
sin
k
tan cot 1
k
2
sin2 cos2 1
1
tan 2
例：已知 sin 4 ,且 sin 0 ,那么 的终边在
25
第__三__象限。
(2)已知 sin
cos
第二讲 同角三角比的关系
例 3：已知
2
0 ， sin cos
1 ，求 sin cos 的值。 5
例 4：已知 sin ,cos 是关于 x 的二次方程 2 x 4kx 3k 0 的两个实根，求实数 k 的值。
2
2
化简与证明问题：
例 1：化简 sin tan cos cot 2sin cos
1 sin cos tan cot
3
课后练习： 1. 已知角 的终边经过点 P(5，－12)，则 sin cos 的值为
2. 若 sin cos 0 ，则 θ 在（ A、第一、二象限 ；
） C、第一、四象限 D、第二、四象限
B、第一、三象限
α 4 α 3. 已知α 是第二象限的角，且 cos ＝－ ，则 是第 2 5 2
2 2
例 2：化简 1 sin 2 4 =
；
例 3：若 是第三象限角，则 sec 1 tan2 tan sec2 1 =
；
例 4：证明恒等式：
1 2sin cos tan 1 sin 2 cos 2 tan 1
例 5：证明恒等式：
1 ，且 为第二象限角，则 tan = 3
；
（2）已知 sin
1 ，求 tan ； 3
（3）已知 sin m m 0, m 1 ，求 tan 。
例 2：已知 tan 3 ，求
5 cos 3sin 的值。 6 sin 2 cos
例 1：已知角 的终边上一点 3, 4 ，求 sin ， tan 与 sec 。
例 2：已知角 的终边经过点 P 4k ,3k , k 0 ，则 cos =
同角三角关系
同角三角关系1. 什么是同角三角关系同角三角关系是指两个或多个三角形的对应角度相等的情况。
在几何学中，我们常常需要研究和利用这种关系来解决各种问题。
2. 同角三角关系的基本性质同角三角关系有以下几个基本性质：•对应角相等：如果两个三角形的某一对内部对应角相等，那么这两个三角形是同位三等的。
•对顶边成比例：如果两个三角形的某一对内部对应边成比例，那么这两个三角形是全等的。
•全等定理：如果两个三角形分别有一对内部对应边相等，并且夹在它们之间的夹角也相等，那么这两个三角形是全等的。
3. 利用同位三等解决问题利用同位三等可以解决许多与图形和比例有关的问题。
下面我们通过一个具体的例子来说明如何利用同位三等解决问题。
示例问题：已知在平面直角坐标系中，点A(-3,4)、B(5,6)和C(7,-2)分别为△ABC的顶点，求△ABC与标准位置的△A’B’C’之间的同位三等关系。
解答步骤：1.首先，我们可以计算出△ABC的边长和角度。
根据两点间距离公式，我们可以得到AB、BC和AC的长度分别为：AB = √[(5-(-3))^2 + (6-4)^2] = √[(8)^2 + (2)^2] = 2√(17)BC = √[(7-5)^2 + (-2-6)^2] = √[(2)^2 + (-8)^2] = 2√(17)AC = √[(-3-7)^2 + (4-(-2))^2] = √[(-10)^2 + (6)^2] = 2√(19)接下来，我们可以计算出△ABC的三个角度。
根据余弦定理，我们可以得到∠BAC、∠ABC和∠BCA的大小分别为：cos(∠BAC) = [AB^2 + AC^2 - BC^2]/[2 * AB * AC] ≈ 0.651cos(∠ABC) = [AB^2 + BC^ - AC^]/[ ˇˇp ] ≈ 0.707cos(∠BCA) ≈ 0.866因此，我们得到了△ABC的边长和角度。
2.接下来，我们需要计算标准位置的△A’B’C’的边长和角度。
同角三角比的关系和诱导公式
一、 同角三角比的关系式： 1、已知角α终边上一点),(y x P ，22y x r +=，则角α的六个三角比分别是什么？y rx r x y y x r x r y ======ααααααcsc ;sec ;cot ;tan ;cos ;sin2、讨论角α的六个三角比之间有什么关系？ （1）倒数关系（2）商数关系（3）平方关系 由三角比的定义，我们可以得到以下关系：1cos sin 22=+αα理论证明：（采用定义）αααππαααααtan cos sin )(221cos sin cos ,sin 122222==⨯=÷=∈+≠=+∴===+x yx r r y r x r y Z k k rxr y r y x 时，当且（1）倒数关系：（2）商数关系：（3）平方关系：[说明]①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如14cos 4sin 22=+αα,2tan 2cos 2sinααα=等；②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如),2(1cot tan Z k k ∈≠=⋅πααα；③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：αα2sin 1cos -±=，αα22cos 1sin-=，αααtan sin cos =等。
④据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另两个三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用（实际上，至多只要用一次）。
⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅=⋅1cot tan 1sec cos 1csc sin αααααα⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==ααααααsin cos cot cos sin tan ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+αααααα222222csc cot 1sec tan 11cos sin二．公式的应用例题1：已知,54cos =α且α为第四象限的角，求α的其他三角比的值；解：α 为第四象限的角，sin 0α∴<35csc ,45sec ,34cot ,43sin tan 53cos 1sin 2-==-=-==-=--=∴ααααααααcoa提问：如果去掉α为第四象限的角这个条件，应如何求α的其他三角比的值？例题2：已知125tan =α，求ααcos sin 、和αcot ；解:512tan 1cot ==αα∵αα22sec tan1=+,∴222)1312(tan 11cos =+=αα ∵0125tan >=α,∴α是第一或第三象限角当α是第一象限角时,0cos ,0sin >>αα135cos 1sin ,1312cos 2=-==ααα当α是第三象限角时,0cos ,0sin <<αα135sin ,1312cos -=-=αα[说明]已知一个角的某一个三角比的值，便可运用基本关系式求出其它三角比的值。
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1
§5.3同角三角比的关系
【教学目标】：通过本课程的学习使学生
⑴ 知识与技能：熟悉同角关系的公式，应用公式解决同角三角关系
⑵ 方法与过程：通过公式推导体会同角三角关系的实质
⑶ 情感与体验：体验利用公式揭示三角比之间的联系的过程
【教学重点】：同角三角关系
【教学难点】：公式的应用
【教学过程】
一、〖公式的推导和认识〗
P 43的公式的几点说明
⑴ 分为三类：倒数关系、商数关系、平方关系，其中平方关系尤为重要。
⑵ 同角关系指的是在所有的公式关系中，角均没有变化。
⑶ 公式的逆向应用、变形应用也是时常要想到的。
如：αααcos tan sin ⋅=， αα22s i n
c o s 1+=， αα22c o s s i n 1=-，αα22sin cos 1=- ⑷ 请在公式旁写出几个变形的公式，并标明某些公式的适用范围。
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
二、〖公式的应用（一）〗（同角三角关系的最主要的应用）
【例1】P 43的例1：已知一个角的某个三角比的值和角的范围，求这个角的其他三角比。
关于例题的几点质疑和再思考：
⑴ 条件中的α角的范围在计算过程起了什么作用？
⑵ 在计算过程中“平方关系”公式能否不用到？
⑶ 计算其他三角比的次序是由什么来决定的？
⑷ 若去除“ α是第四象限”这一条件又怎样？
对比例2分析
⑸ 可否利用∆Rt 来进行计算。
【例2】P 43的例3，并将例3中的计算改为用∆Rt 来计算。
〖练习〗P 455.3(1)
小结与归纳
⑴ 已知一个角所在象限（或范围）及它的某个三角比，则能计算这个角的其他所有三角比的值（除一些轴线角外）。
⑵ 当某个三角比是字母参数时，则需要按角的范围或所求的三角比的取值范围进行讨论。
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2 三、〖公式的应用（二）〗（化简和证明同角三角恒等式）
【例3】已知2tan =α，求下列各式的值
⑴ ααα
αcos sin 2cos 2sin 3+-
⑵ ααcos sin ⋅
⑶ αααα22cos cos sin 3sin 4+-；
⑷ αααα
αcos sin cos 2cos sin 5233++。
【例4】⑴ 求证：1tan 1
tan cos sin cos sin 2122+-=--αααααα
⑵ 求证：()()αααααααtan 3cos 2tan 2sec tan sec 2cos -=-+。
⑶ 求证：()3cot tan 2csc 1sec 2222++=+θθθθ。
3
四、〖公式的应用（三）〗（公式()R ∈=+ααα,1sin cos 22的深入应用）
⑴ 若ααcos ,sin 中已知一个，必能求得另一个。
如23
cos ,21
sin ±==αα，
请再列举几对类似的例子。
⑵ ααcos ,sin 都是有界的。
即1sin ≤α、1cos ≤α但又不会同时取得最大或最小值。
⑶ 21
2cos sin |cos sin |22=+≤α
ααα
⑷ ααcos ,sin 的和、（差）、积的转化 设：21
cos sin cos sin 21cos sin 22-==⇒+=⇒+=s t s s αααααα
【例5】已知81
cos sin =αα且)2,4(π
π
α∈，求ααsin cos -、ααsin cos +的值。
【例6】已知57
cos sin =-αα
⑴ 计算ααcos sin ⋅的值，并判断α角所在的象限。
⑵ 计算ααcos sin -的值
⑶ 求αsin 、αcos 的值。
【例7】已知51
cos sin =+αα，a 是第四象限角
① 比较|αsin |与|αcos |的大小及α的终边在第四象限的前半还是后半区域。
② 求ααααcos sin ,cos sin -的值。
4 ③ 求αα22sin cos -的值 ④ 求αα33sin cos -的值
⑤ 求αα44sin cos +的值 ⑥ 求αα66sin cos +的值
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
五、〖公式的应用（三）〗（无理根式的化简）
【例8】设θ为第二象限角，化简
θθθθcos sin cos sin 21--
【例9】如果
ααααsec tan sin 1sin 1-=+-，求α的范围
【例10】()ππ2,∈x ，化简
x x x x 22tan 1cos 11csc cot 2+--
【例11】 ⑴ 设),23(ππ--
∈x 时，化简：22)2tan 1()2tan 1(x x -++
⑵ 设Z k k k ∈-
∈),2,22(πππα，化简：ααααααcos 1cos 1sin sin 1sin 1cos +-++-
【教学反思】：。