1.2应用举例(1)距离、高度、角度

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人教A高中数学必修五同步课时分层训练：第1章解三角形第2课时含解析

第一章 1.2 应用举例第二课时高度、角度问题课时分层训练‖层级一‖|学业水平达标|1.如图，在湖面上高为10 m 处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)( )A ．2.7 mB ．17.3 mC ．37.3 mD ．373 m解析：选C 根据题图，由题意知CM ＝DM . ∴CM －10tan 30°＝CM ＋10tan 45°，∴CM ＝tan 45°＋tan 30°tan 45°－tan 30°×10≈37.3(m)，故选C. 2．渡轮以15 km/h 的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为4 km/h ，则渡轮实际航行的速度为(精确到0.1 km/h)( )A ．14.5 km/hB ．15.6 km/hC ．13.5 km/hD ．11.3 km/h解析：选C 由物理学知识，画出示意图如图．AB ＝15，AD＝4，∠BAD ＝120°.在▱ABCD 中，D ＝60°.在△ADC 中，由余弦定理，得AC ＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos D ＝16＋225－4×15＝181≈13.5(km/h)．故选C.3．某人在C 点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为( )A ．15米B ．5米C ．10米D ．12米解析：选C如图，设塔高为h ，在Rt △AOC 中，∠ACO ＝45°，则OC ＝OA ＝h .在Rt △AOD 中，∠ADO ＝30°，则OD ＝3h ，在△OCD 中，∠OCD ＝120°，CD ＝10，由余弦定理，得OD 2＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos ∠OCD ，即(3h )2＝h 2＋102－2h ×10×cos 120°，∴h 2－5h －50＝0，解得h ＝10或h ＝－5(舍去)．4．甲船在B 岛的正南A 处，AB ＝10 km ，甲船以4 km/h 的速度向正北航行，同时，乙船自B 岛出发以6 km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是( )A.1507 minB ．157 hC ．21.5 minD ．2.15 h 解析：选A 设经过x 小时时距离为s ，则在△BPQ 中，由余弦定理知PQ 2＝B P 2＋BQ 2－2BP ·BQ ·cos 120°，即s 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )·6x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝28x 2－20x ＋100，∴当x ＝514 h 时，s 2最小，即当航行时间为514 h ＝1507 min 时，s 最小．5.如图所示，在地面上共线的三点A ，B ，C 处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB ＝BC ＝60 m ，则建筑物的高度为( )A ．15 6 mB ．20 6 mC ．25 6 mD ．30 6 m解析：选D 设建筑物的高度为h ，由题图知，P A ＝2h ，PB ＝2h ，PC ＝233h ，∴在△PBA 和△PBC 中，分别由余弦定理，得cos ∠PBA ＝602＋2h 2－4h 22×60×2h，① cos ∠PBC ＝602＋2h 2－43h 22×60×2h.② ∵∠PBA ＋∠PBC ＝180°，∴cos ∠PBA ＋cos ∠PBC ＝0.③由①②③，解得h ＝306或h ＝－306(舍去)，即建筑物的高度为30 6 m.6．学校里有一棵树，甲同学在A 地测得树尖的仰角为45°，乙同学在B 地测得树尖的仰角为30°，量得AB ＝AC ＝10 m 树根部为C (A 、B 、C 在同一水平面上)，则∠ACB ＝ .解析：如图，AC ＝10，∠DAC ＝45°，∴DC ＝10.∵∠DBC ＝30°，∴BC ＝103， cos ∠ACB ＝102＋(103)2－1022×10×103＝32， ∴∠ACB ＝30°.答案：30°7.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝ m.解析：根据题图所示，AC ＝100 2.在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得AC sin 45°＝AM sin 60°⇒AM ＝100 3.在△AMN 中，MN AM ＝sin 60°，∴MN ＝1003×32＝150(m)．答案：1508．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正以每小时90海里的速度向它靠近，此时海盗船距观测站107海里，20分钟后测得海盗船距观测站20海里，再过分钟，海盗船到达商船．解析：如图，设观测站、商船、分别位于A，B处，开始时，海盗船位于C处，20分钟后，海盗船到达D处．在△ADC中，AC＝107，AD＝20，CD＝30，由余弦定理，得cos∠ADC＝AD2＋CD2－AC2 2AD·CD＝400＋900－7002×20×30＝12，则∠ADC＝60°.在△ABD中，由已知，得∠ABD＝30°，∠BAD＝60°－30°＝30°，所以BD＝AD＝20，2090×60＝403(分)．答案：40 39.在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A处发现桃树顶端点C的仰角大小为45°，往正前方走4米后，在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为75°.(1)求BC的长；(2)若小明身高为1.70米，求这棵桃树顶端点C离地面的高度(精确到0.01米，其中3≈1.732)．解：(1)∠CAB＝45°，∠DBC＝75°，则∠ACB＝75°－45°＝30°，AB＝4，由正弦定理得BCsin 45°＝4sin 30°，解得BC＝42(米)，即BC的长为4 2 米．(2)在△CBD中，∠CDB＝90°，BC＝42，∴DC＝42sin 75°.∵sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝6＋24，则DC ＝2＋23，∴CE ＝ED ＋DC ＝1.70＋2＋23≈3.70＋3.464≈7.16(米)，即这棵桃树顶端点C 离地面的高度约为7.16米．10．碧波万顷的大海上，“蓝天号”渔轮在A 处进行海上作业，“白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距“蓝天号”20海里的B 处．现在“白云号”以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而“蓝天号”同时以每小时8海里的速度由A 处向南偏西60°方向行驶，经过多少小时后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．解：如图，设经过t 小时，“蓝天号”渔轮行驶到C 处，“白云号”货轮行驶到D 处，此时“蓝天号”和“白云号”两船的距离为CD .根据题意，知在△ADC 中，AC ＝8t ，AD ＝20－10t ，∠CAD＝60°.由余弦定理，知CD 2＝AC 2＋AD 2－2×AC ×AD cos 60°＝(8t )2＋(20－10t )2－2×8t ×(20－10t )×cos 60°＝244t 2－560t ＋400＝244⎝ ⎛⎭⎪⎫t －70612＋400－244×⎝ ⎛⎭⎪⎫70612， ∴当t ＝7061时，CD 2取得最小值，即“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．‖层级二‖|应试能力达标|1．在一座20 m 高的观测台台顶测得对面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为( )A ．20⎝⎛⎭⎪⎫1＋33m B ．20(1＋3)m C ．10(6＋2)m D ．20(6＋2)m解析：选B 如图所示，AB 为观测台，CD 为水塔，AM 为水平线．依题意得AB ＝20，∠DAM ＝45°，∠CAM ＝60°，从而可知MD ＝20，AM ＝20，CM ＝203， ∴CD ＝20(1＋3)(m)． 2．在静水中划船的速度是每分钟40 m ，水流的速度是每分钟20 m ，如果船从岸边A 处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为( )A.π4B ．π3 C.π6 D ．512π解析：选C 设水流速度与船速的合速度为v ，方向指向对岸．则由题意知，sin α＝v 水v 船＝2040＝12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＝π6.故选C. 3.某工程中要将一长为100 m 倾斜角为75°的斜坡，改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长( )A ．100 2 mB ．100 3 mC ．50(2＋6)mD ．200 m解析：选A ∠BAC ＝75°－30°＝45°.在△ABC 中，AC ＝100 m ，由正弦定理，得BC sin ∠BAC＝AC sin B ，∴BC ＝AC sin ∠BAC sin B ＝100×sin 45°sin 30°＝1002(m)．故选A.4．如图，在O 点测量到远处有一物体做匀速直线运动，开始时物体位于P 点，1分钟后，其位置在Q 点，且∠POQ ＝90°，再过1分钟，该物体位于R 点，且∠QOR ＝30°，则tan ∠OPQ 的值为( )A.12 B ．22 C.32 D ．3解析：选C 由题意知，PQ ＝QR ，设其长为1，则PR ＝2.在△OPR 中，由正弦定理，得2sin 120°＝OP sin R .在△OQR 中，由正弦定理，得1sin 30°＝OQ sin R ，则tan ∠OPQ ＝OQ OP ＝sin 120°2sin 30°＝32.故选C.5．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距 m.解析：设两条船所在位置分别为A ，B 两点，炮台底部所在位置为C 点，在△ABC 中，由题意可知AC ＝30tan 30°＝303(m)，BC ＝30tan 45°＝30(m)，C ＝30°，AB 2＝(303)2＋302－2×303×30×cos 30°＝900，所以AB ＝30(m)．答案：306．某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30海里后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船 (填“有”或“无”)触礁的危险．解析：如图所示，暗礁位于C 处，开始时，轮船在A 处，航行30海里后，轮船在B 处．由题意在△ABC 中，AB ＝30，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝135°，则∠ACB ＝15°.由正弦定理，得BC＝AB sin ∠BAC sin ∠ACB ＝30sin 30°sin 15°＝156－24＝15(6＋2)．在Rt △BDC 中，CD ＝22BC ＝15(3＋1)>38.所以，此船无触礁的危险．答案：无7．如图，小明同学在山顶A 处观测到，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD ＝100 m ，汽车从C 点到B 点历时14 s ，则这辆汽车的速度为 m/s(精确到0.1，参数数据：2≈1.414，5≈2.236)．解析：由题意，AB ＝200 m ，AC ＝100 2 m ，在△ABC 中，由余弦定理可得BC ＝40 000＋20 000－2×200×1002×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22≈ 316．17 m ，这辆汽车的速度为316.17÷14≈22.6 m/s.答案：22.68.如图所示，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)n mile 的两个观测点．现位于A 点北偏东45°方向、B 点北偏西60°方向的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B点相距20 3 n mile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h，则该救援船到达D点需要多长时间？解：由题意，知AB＝5(3＋3)，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理得BDsin∠DAB ＝ABsin∠ADB，即BD＝AB sin∠DABsin∠ADB＝5(3＋3)sin 45°sin 105°＝5(3＋3)sin 45°sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝10 3 n mile.又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝60°，BC＝20 3 n mile，∴在△DBC中，由余弦定理，得CD＝BD2＋BC2－2BD·BC cos∠DBC＝300＋1 200－2×103×203×1 2＝30 n mile，则救援船到达D点需要的时间为3030＝1 (h)．。

高中数学新人教B版必修5课件：第一章解三角形1.2应用举例

∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平
面内),求两目标A,B之间的距离.
分析:要求出A,B之间的距离,可在△ABC(或△ADB)中去找关系,
但不管在哪个三角形中,AC,BC这些量都是未知的,需要在三角形中
找出合适的关系式,求出它们的值,然后解斜三角形即可.
Z 知识梳理 Z 重难聚焦
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题型一
题型二
题型三
题型四
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO

,
,

∴a=CD=BC-BD=tan ∠ − tan ∠ .
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Z 知识梳理 Z 重难聚焦
HISHISHULI
D典例透析 S随堂演练
HONGNANJUJIAO
IANLITOUXI
UITANGLIANXI

∴a=CD=BC-BD=tan ∠ − tan ∠ .
∵AC=BC,
∴∠A=∠ABC=
180°-80°
2
=50°.
∴∠ABG=180°-∠CBH-∠CBA=180°-120°-50°=10°.故选B.
答案:B
Z 知识梳理 Z 重难聚焦
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HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
2.三角形中的有关公式和结论
(1)直角三角形中各元素间的关系.
在△ABC中,若∠C=90°,AB=c,AC=b,BC=a,则有:
HISHISHULI
D典例透析 S随堂演练
HONGNANJUJIAO
IANLITOUXI
UITANGLIANXI
(2)斜三角形中各元素间的关系.
在△ABC中,若∠A,∠B,∠C为其内角,a,b,c分别表示∠A, ∠B,

新课标2017春高中数学第1章解三角形1.2应用举例第2课时高度角度问题课件新人教A版必修5

『规律总结』
航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解
决这类问题一定要搞清所给的角，画出符合题意的图形，将所给距离和角度标
在图中，然后分析可解的三角形及其与待求角问题的关系，确定解题步骤．
〔跟踪练习 3〕导学号 54742139 我缉私巡逻艇在一小岛 A 南偏西 50° 的方向，距小岛 A 12 n mile 的 B 处，发现隐藏在小岛边上的一走私船正开始向岛北偏西 10° 西方向行驶，测得其速度为每小时 10 n mile，问我巡逻艇需用多大的速度朝什么方向航行才能恰在两个小时后截获该走私船？(参考数据：sin38° ≈0.62)
3．在点 A 处观察一物体的视角为 50° ，请画出示意图. 导学号 54742132
[解析] 如图所示．
4．(2016· 浙江诸暨第一中学期中)为了测量河对岸的塔 AB 的高度，先在河岸上选一点 C，使 C 在塔底 B 的正东方向上，此时测得塔顶 A 的仰角为 60° .再由点 C 沿北偏东 15° 方向走了 20m 到达点 D，测得∠BDC＝45° ，则塔 AB 的高度为导学号 54742133 ( A ) A．20 6m C．20 2m B．20 3m D．20m
10m 导学号 54742131 30° ，斜坡 AB 的长度是________. 坡角 α 等于________
3 [解析] 由题意知，坡比 i＝tanα＝ . 3 ∵0° <α<90° ，∴坡角 α＝30° . 又∵坡高 BC＝5m， BC 5 ∴斜坡长 AB＝＝＝10m. sinα sin30°
命题方向3 ⇨测量角度问题
如图所示，当甲船位于 A 处时，获悉在其正东方向相距 20n mile 的 B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 30° ，相距 10n mile 的 C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援(角度精确到 1° )？导学号 54742138

人教B版高中数学必修五《第一章解三角形 1.2 应用举例》_2

第1课时解三角形应用举例—距离问题一、教材分析本课是人教B版数学必修5第一章解三角形中1.2的应用举例中测量距离(高度）问题。

主要介绍正弦定理、余弦定理在实际测量（距离、高度）中的应用。

因为在本节课前，同学们已经学习了正弦定理、余弦定理的公式及基本应用。

本节课的设计，意在复习前面所学两个定理的同时，加深对其的了解，以便能达到在实际问题中熟练应用的效果。

对加深学生数学源于生活，用于生活的意识做贡献。

二、学情分析距离测量问题是基本的测量问题，在初中，学生已经学习了应用全等三角形、相似三角形和解直角三角形的知识进行距离测量。

这里涉及的测量问题则是不可到达的测量问题，在教学中要让学生认识问题的差异，进而寻求解决问题的方法。

在某些问题中只要求得到能够实施的测量方法。

学生学习本课之前，已经有了一定的知识储备和解题经验，所以本节课只要带领学生勤思考多练习，学生理解起来困难不大。

三、教学目标（一）知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量（距离、高度）有关的实际问题。

（二）过程与方法通过应用举例的学习，经历探究、解决问题的过程，让学生学会用正、余弦定理灵活解题，从而获得解三角形应用问题的一般思路。

（三）情感、态度与价值观提高数学学习兴趣，感知数学源于生活，应用于生活。

四、教学重难点重点：分析测量问题的实际情景，从而找到测量和计算的方法。

难点：测量方法的寻找与计算。

五、教学手段计算机，PPT，黑板板书。

六、教学过程（设计）情景展示，引入问题情景一：比萨斜塔（展示图片）师：比萨斜塔是意大利的著名建筑，它每年都会按照一定度数倾斜，但斜而不倒，同学们想一想，如果我们不能直接测量这个塔的高度，该怎么知道它的高度呢？情景二：河流、梵净山（展示图片）师：如果我们不能直接测量，该怎么得出河流的宽度和梵净山的高度呢？引入课题：我们今天就是来思考怎么通过计算，得到无法测量的距离（高度）问题。

知识扩展：简单介绍测量工具（展示图片）1 经纬仪:测量度数2卷尺：测量距离长．[分析]由余弦定理得cos∠＝100＋36－1962×10×6＝－∴∠ADC＝120°，∠在△ABD中，由正弦定理得sin∠ADB、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从[分析]如图，因为B A AA AB 11+=，又[分析] 分别在△BCD 出BD 和AD ，然后在△ADBBCD中用余弦定理求得BC.如下图，为了测量河宽，在岸的一边选定两点ACAB＝45°，∠CBA＝75°，________米．[分析]在△ABC中，∵∠CAB＝45°，∠ABC＝75°，ACB＝60°，由正弦定理可得AC＝AB·sin∠ABCsin∠ACB＝120×sin75°sin60°＝20(32＋，设C到AB的距离为CD，则CD＝AC·sin∠CAB＝2＋6)sin45°＝20(3＋3)，∴河的宽度为20(3＋3)米．五个量中，a，两个小岛相距10 n mile，从岛望C岛和A岛成岛之间的距离为________n＝45°，由正弦定理．如图，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，测量时应当用数据( )[解析] 要测γ.2．某观察站C和500米，测得灯塔在观察站C正西方向，A．500米 BC．700米 D[解析]如图，由题意知，∠3002＋5002＋2×300七、板书设计八、教学反思1.本教案为解三角形应用举例，是对解三角形的较高的应用，难度相应的也有提高；例题选择典型，涵盖了解三角形的常考题型，突出了重点方法，并且通过同类型的练习进行巩固；课后通过基本题、模拟题和高考题对学生的知识掌握进行考查，使本节内容充分落实．教师要积极引导学生对这些应用问题进行探索，鼓励学生进行独立思考，并在此基础上大胆提出新问题．2.对于学生不知道如何处理的应用问题，教师通过转化，使学生能够理解，需要在练习中加强．。

高中数学必修5高中数学必修5《1.2应用举例(一)》教案

1.2解三角形应用举例第一课时一、教学目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语2、激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力二、教学重点、难点教学重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图三、教学设想1、复习旧知复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？2、设置情境请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。

如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。

于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。

今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。

3、新课讲授（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解(2)例1、如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55m ，∠BAC=︒51，∠ACB=︒75。

求A 、B 两点的距离(精确到0.1m)提问1：∆ABC 中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。

分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB 的对角，AC 为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC 的对角，应用正弦定理算出AB 边。

人教a版必修5学案：1.2应用举例(含答案)

1.2 应用举例材拓展1．常见的有关名词、术语名词、术语意义仰角与俯角与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角；目标视线在水平视线下方时叫俯角．如图1 方位角一般是指北方向线顺时针到目标方向线的水平角．如方位角60°是指北偏东60°坡角坡面与水平面的夹角坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i ＝hl ＝tan α(i 为坡比，α为坡角)，如图22．测量距离的基本类型及方案类别两点间不可通或不可视两点间可视但点不可达两点都不可达图形方法用余弦定理用正弦定理在△ACD 中用正弦定理求AC在△BCD 中用正弦定理求BC在△ABC 中用余弦定理求AB 结论AB ＝a 2＋b 2－2ab cos CAB ＝a sin C sin (B ＋C )①AC ＝a sin ∠ADCsin (∠ACD ＋∠ADC )②BC ＝a sin ∠BDCsin (∠BCD ＋∠BDC )；3.测量高度的基本类型及方案类别点B 与点C 、D 共线点B 与C 、D 不共线图形方法先用余弦定理求出AC 或AD ，再解直角三角形求出AB在△BCD 中先用正弦定理求出BC ，在△ABC 中∠A 可知，再用正弦定理求出AB结论AB ＝a ⎝⎛⎭⎫1tan ∠ACB －1tan ∠ADBAB ＝a sin ∠BDC ×tan ∠ACB sin (∠BCD ＋∠BDC )4.解三角形应用题的一般步骤(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知与所求，理清量与量之间的关系； (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型； (3)正确选择正、余弦定理求解；(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算的要求．可用下图描述：法突破一、测量距离问题方法链接：测量平面距离时，往往把要测量的距离化为某一个三角形的一条边，再运用正弦定理或余弦定理加以求解．当涉及的三角形较多时，应寻求最优解法．例1如图所示，某炮兵阵地位于A 点，两观察所分别位于C ，D 两点．已知△ACD 为正三角形，且DC ＝ 3 km ，当目标出现在B 时，测得∠CDB ＝45°，∠BCD ＝75°，求炮兵阵地与目标的距离是多少？(结果保留根号)分析要求AB 的长，可转化为解△ABC 或△ABD ，不管在哪个三角形中，AB 边所对的角∠ACB 或∠ADB 都是确定的，AC ＝AD ＝CD ＝3，所需要的是BC 边(或BD 边)，所以需先求BC 边(或BD 边)，可在△BCD 中，结合余弦定理求解．解在△BCD 中，∠CDB ＝45°，∠BCD ＝75°， ∴∠CBD ＝180°－∠BCD －∠CDB ＝60°.由正弦定理，得BD ＝CD sin 75°sin 60°＝12(6＋2)．在△ABD 中，∠ADB ＝45°＋60°＝105°，由余弦定理，得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos 105°＝3＋14(6＋2)2＋2×3×12(6＋2)×14(6－2)＝5＋2 3.∴AB ＝5＋2 3 (km)．∴炮兵阵地与目标的距离是5＋2 3 km. 二、测量高度问题方法链接：1.与测量高度有关的实际应用题主要有两类：一类是与铅垂线有关的问题，解决这类问题的关键是勾画出平面图形，再分析有关三角形中哪些边与角已知，要求高度，需要知道哪些边与角，其次要注意正弦定理、余弦定理以及解直角三角形的应用；另一类是立体问题，解决这类问题的关键是依据题意画好立体图形．2．与测量高度有关的问题多数会涉及到直角三角形中线段的计算，注意直角三角形中边角关系的运用．3．解决测量高度应用题易错的地方是：对有关术语没有正确理解，从而无法画出有关图形．例2 (1)如图所示，在山底测得山顶仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，求山高BC ；(2)某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米以后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．解 (1)∵∠SAB ＝∠CAB －∠CAS ＝45°－30°＝15°， ∠SBA ＝∠ABC －∠SBC ＝45°－15°＝30°， ∴∠ASB ＝180°－30°－15°＝135°.在△ABS 中，AB ＝AS ·sin 135°sin 30°＝1 000×2212＝1 0002(米)．∴BC ＝AB ·sin 45°＝1 0002×22＝1 000(米)．答山高BC 为1 000米． (2)依题意画出图，某人在C 处，AB 为塔高，沿CD 前进，CD ＝40米，此时∠DBF ＝45°，从C 到D 测塔的仰角，只有B 到CD 最短时，仰角才最大，这是因为tan ∠AEB ＝ABBE，AB为定值，要求出塔高AB ，必须先求BE ，而要求BE ，须先求BD (或BC )．在△BDC 中，CD ＝40(米)， ∠BCD ＝30°，∠DBC ＝135°.由正弦定理得CD sin ∠DBC ＝BDsin ∠DCB ，∴BD ＝40sin 30°sin 135°＝202(米)．在Rt △BED 中，∠BDE ＝180°－135°－30°＝15°.∴BE ＝DB sin 15°＝202×6－24＝10(3－1) (米)．在Rt △ABE 中，∠AEB ＝30°，∴AB ＝BE tan 30°＝103(3－3)(米)．故所求的塔高为103(3－3)米．三、测量角度问题方法链接：对于有些与角度有关的实际问题，我们无法直接测量其角度，则需要在实际问题中构造相关三角形，通过解三角形，求出相关角度．例3 一缉私艇发现在北偏东45°方向且距离12 n mile 的海面上有一走私船正以10 n mile/h 的速度沿东偏南15°方向逃窜．缉私艇的速度为14 n mile/h ，若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45°＋α的方向去追，求追及所需的时间和α角的正弦值．解设A ，C 分别表示缉私艇，走私船的位置，设经过x 小时后在B 处追上，则有AB ＝14x ，BC ＝10x ，∠ACB ＝120°.∴(14x )2＝122＋(10x )2－240x cos 120°，∴x ＝2，AB ＝28，BC ＝20，sin α＝20sin 120°28＝5314.∴所需时间为2小时，sin α＝5314.四、三角形中的求值问题方法链接：涉及三角形中的计算问题时，一些基本关系式经常用到，这些关系式是： (1)A ＋B ＋C ＝π，A ＝π－(B ＋C )； (2)A ＋B 2＋C 2＝π2，B ＋C 2＝π2－A 2；(3)sin C ＝sin (A ＋B )，cos(A ＋B )＝－cos C ； (4)tan(A ＋B )＝－tan C ，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ；(5)sin C 2＝cos A ＋B 2，cos C2＝sin A ＋B 2，tan A ＋B 2·tan C 2＝1；(6)A >B >C ⇔sin A >sin B >sin C . 例4 (2009·北京昌平区期末)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝7，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解 (1)在△ABC 中，由正弦定理得 a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入(2a －c )cos B ＝b cos C ，整理得2sin A cos B ＝sin B cos C ＋sin C cos B ，即2sin A cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A ，在三角形中，∵sin A >0，∴2cos B ＝1， ∵B 是三角形的内角， ∴B ＝60°.(2)在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac ·cos B ，将b ＝7，a ＋c ＝4，代入整理，得ac ＝3.故S △ABC ＝12ac sin B ＝32sin 60°＝334.五、证明平面几何问题方法链接：正弦定理和余弦定理是研究三角形的重要工具，在处理平面几何问题中有着广泛的应用．一些三角形中重要线段的求解和著名定理的证明都离不开正、余弦定理的综合运用．例5 已知凸四边形的边长分别为a 、b 、c 、d ，对角线相交成45°角，若S 为四边形的面积，求证：S ＝14(a 2－b 2＋c 2－d 2)．证明设凸四边形ABCD 的对角线相交于点O ，设AO 、CO 、BO 、DO 分别为m 、n 、p 、q ，则由面积公式得：S ＝12(mp ＋pn ＋nq ＋qm )sin 45° 由余弦定理得a 2＝m 2＋p 2＋2mp cos 45°① b 2＝n 2＋p 2－2np cos 45°② c 2＝n 2＋q 2＋2nq cos 45°③ d 2＝q 2＋m 2－2qm cos 45°④ 由①－②＋③－④得：a 2－b 2＋c 2－d 2＝2(mp ＋pn ＋nq ＋qm )cos 45° ∵(mp ＋pn ＋nq ＋qm )sin 45°＝2S . ∴a 2－b 2＋c 2－d 2＝4S ，即S ＝14(a 2－b 2＋c 2－d 2)．区突破1．忽略角的隐含范围而致错例1 在△ABC 中，B ＝3A ，求ba的取值范围．[错解] 由正弦定理得b a ＝sin B sin A ＝sin 3Asin A＝sin (A ＋2A )sin A ＝sin A cos 2A ＋cos A sin 2A sin A＝cos 2A ＋2cos 2A ＝4cos 2A －1.∵0≤cos 2A ≤1，∴－1≤4cos 2A －1≤3， ∵b a >0，∴0<b a≤3. [点拨] 忽略了三角形内角和为180°，及角A 、B 的取值范围，从而导致b a取值范围求错．[正解] 由正弦定理得b a ＝sin B sin A ＝sin 3Asin A＝sin (A ＋2A )sin A ＝sin A cos 2A ＋cos A sin 2Asin A＝cos 2A ＋2cos 2A ＝4cos 2A －1 ∵A ＋B ＋C ＝180°，B ＝3A . ∴A ＋B ＝4A <180°，∴0°<A <45°.∴22<cos A <1，∴1<4cos 2 A －1<3，∴1<b a<3. 温馨点评解三角问题，角的取值范围至关重要．一些问题，角的取值范围隐含在题目的条件中，若不仔细审题，深入挖掘，往往疏漏而导致解题失败．2．忽略角的大小隐含关系而致错例2 在△ABC 中，已知cos A ＝513，sin B ＝35，则cos C 的值为( )A.1665B.5665C.1665和5665 D ．－1665[错解] ∵cos A ＝513，0<A <π2，∴sin A ＝1213.∵sin B ＝35，0<B <π，∴cos B ＝±45.当cos B ＝45时，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1213×35－513×45＝1665.当cos B ＝－45时，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B＝1213×35－513×⎝⎛⎭⎫－45＝5665，选C. [点拨] 本题解答中关键一步是sin A >sin B ⇒∠A >∠B .从而确定cos B ＝45而不是cos B＝±45，否则会错选C.事实上，在△ABC 中，我们可以由正弦定理可证得sin A >sin B 的充要条件是A >B .[正解] ∵cos A ＝513，0<A <π2，∴sin A ＝1213.∵sin A >sin B ，从而a >b ，故∠A >∠B ，∴cos B ＝45，∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665，∴选A.3．忽略审题环节，画图不准而致错例3 在湖面上高h m 处，测得云C 的仰角为α，而湖中云之影(即云在湖中的像)的俯角为β，试证：云高为h ·sin (α＋β)sin (β－α)m.[点拨] 本题常因审题不准，题意不清画不出合乎题意图形而放弃或因画错图形而致错．[正解] 分析因湖面相当于一平面镜，故云C 与它在湖中的影D 关于湖面对称．设云高为CM ＝x ，则由△ADE 可建立含x 的方程，解出x 即可．解如图所示，设在湖面上高为h m 处的A ，测得C 的仰角为α，而C 在湖中的像D 的俯角为β，CD 与湖面交于M ，过A 的水平线交CD 于E ，设云高CM ＝x ，则CE ＝x －h ，DE ＝x ＋h ，AE ＝(x －h )cot α.又AE ＝(x ＋h )cot β，所以(x －h )cot α＝(x ＋h )cot β.解得x ＝tan β＋tan αtan β－tan α·h ＝h ·sin (α＋β)sin (β－α)(m)．题多解例在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O (如图1所示)的东偏南θ (cos θ＝210)方向300 km 的海面P 处，并以20 km/h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km/h 的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？解方法一 (构建三角形，解三角形)设在时刻t (h)台风中心为Q ，此时台风侵袭的圆形区域半径为10t ＋60 (km)，如图2所示．若在时刻t 城市O 受到台风的侵袭，则OQ ≤10t ＋60. 由余弦定理知OQ 2＝PQ 2＋PO 2－2·PQ ·PO ·cos ∠OPQ . 由于PO ＝300，PQ ＝20t ， cos ∠OPQ ＝cos(θ－45°) ＝cos θcos 45°＋sin θsin 45°＝210×22＋ 1－2102×22＝45，故OQ 2＝(20t )2＋3002－2×20t ×300×45＝202t 2－9 600t ＋3002.因此202t 2－9 600t ＋3002≤(10t ＋60)2，即t 2－36t ＋288≤0，解得12≤t ≤24.答 12小时后该城市开始受到台风的侵袭．方法二 (构建动圆，利用点圆关系)如图3所示，建立坐标系，以O 为原点，正东方向为x 轴正向．在时刻t (h)台风中心P (x t ，y t )的坐标为 ⎩⎨⎧x t ＝300×210－20×22t ，y t＝－300×7210＋20×22t .此时台风侵袭的区域是(x －x t )2＋(y －y t )2≤[r (t )]2，其中r (t )＝10t ＋60.若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有 (0－x t )2＋(0－y t )2≤(10t ＋60)2，即⎝⎛⎭⎫300×210－20×22t 2＋⎝⎛⎭⎫－300×7210＋20×22t 2≤(10t ＋60)2，即t 2－36t ＋288≤0，解得12≤t ≤24.答 12小时后该城市开始受到台风的侵袭．题赏析1．(2009·宁夏，海南)如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A 、B 、C 三点进行测量．已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF 的余弦值．分析为求∠DEF 的余弦值，应先求出线段DE 、DF 、EF 的长，求这三条线段的长时要充分构造直角三角形．解作DM ∥AC 交BE 于点N ，交CF 于点M . DF ＝MF 2＋DM 2＝302＋1702＝10298(m)， DE ＝DN 2＋EN 2＝502＋1202＝130(m)EF ＝(BE －FC )2＋BC 2＝902＋1202＝150(m)在△DEF 中，由余弦定理的变形公式，得 cos ∠DEF＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ·EF＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665.赏析本题是2009年宁夏、海南高考试题，有一定计算量，但难度不大，涉及到的三条线段DE 、DF 、EF 均可以借助直角三角形计算．2．(2009·福建)如图，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)，x ∈[0，4]的图象，且图象的最高点为S (3，23)；赛道的后一部分为折线段MNP ，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°.(1)求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？解 (1)依题意，有A ＝23，T4＝3，又T ＝2πω，∴ω＝π6.∴y ＝23sin π6x .当x ＝4时，y ＝23sin 2π3＝3，∴M (4,3)．又P (8,0)，∴MP ＝42＋32＝5. (2)在△MNP 中， ∠MNP ＝120°，MP ＝5. 设∠PMN ＝θ，则0°<θ<60°. 由正弦定理得 MP sin 120°＝NP sin θ＝MNsin (60°－θ)，∴NP ＝1033sin θ，MN ＝1033sin(60°－θ)，∴NP ＋MN ＝1033sin θ＋1033sin(60°－θ)＝1033⎝⎛⎭⎫12sin θ＋32cos θ＝1033sin(θ＋60°)． ∵0°<θ<60°， ∴60°<θ＋60°<120°， ∴当θ＝30°时，折线段赛道MNP 最长．即将∠PMN 设计为30°时，折线段赛道MNP 最长．赏析本题考查了三角函数的图象与性质以及解三角形等基础知识，旨在引导学生利用所学知识分析和解决实际问题．。

必修5课件 1.2 应用举例(一)

人教版必修五
第一章
解三角形
1.2 应用举例（第一课时）
例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是 55m，∠ABC=510,∠ACB=750.求A、B两点的距离(精确到0.1m)
B
A
C
例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、 B两点间距离的方法。
例3、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。
例4、如图，在山顶铁塔上B处测得地 0 ' 面上一点A的角 54 40 ,在塔底C处测得A 5001' 已知铁塔BC部分的高为处的俯角 27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)
例3、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北150的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在西偏北250的方向上,仰角为80,求此山的高度CD.
作业
某人在M汽车站的北偏西200的方向上的A处，观察到点 C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。公路的走向是M站的北偏东400 。开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10 千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？
.
A
.
B

.
D

基线.C思考如何测量地球与月亮之间的距离?
早在1671年,两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距离,利用几乎位于同一子午线的柏林与好望角,测量计算出 α,β的大小和两地之间的距离,从而算出了地球与月球之间的距离约为385400km.
A

高中数学第一章解三角形1.2应用举例第2课时高、角问题课件新人教A版必修5[1]

sin∠BDC sin∠CBD
CDsin ∠BDC s·sin β
所以 BC＝
＝
.
sin∠CBD sin （α＋β）
s·tanθ sin β
在 Rt△ABC 中，AB＝BCtan∠ACB＝
.
sin （α＋β）
第二十七页，共51页。
类型 3 角度问题 [典例 3] 如图所示，在坡度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 15°，向山顶前进了 100 米后到达 B 点，又从 B 点测得建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 45°，已知建筑物的高度为 50 m，求此山坡相对于水平面的倾斜角 θ 大小(精确到 1°)．
故山的高度为 15(1＋ 3)(米)．
第二十页，共51页。
类型 2 用正弦定理求空间中高度问题 [典例 2] 如下图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到 A 处时测得公路南侧远处一山脚 C 在东偏南 15°的方向上，行驶 5 km 后到达 B 处，测得此山脚在东偏南 30°的方向上，且山顶 D 的仰角为 8°，求此山的高度 CD(精确到 1 m，参考数据：tan 8°≈0.140 5)．
C．d1>20 m
D．d2<20 m
解析：仰角大说明距离小，仰角小说明距离大，即 d1<d2.
答案：B
第九页，共51页。
4．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡角为 15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°，第一排和最后一排的距离为 10 6 米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为 50 秒钟，则升旗手匀速升旗的速度为________．

正弦定理余弦定理应用举例(距离)(高度)(角度)

C1 C

D1 D

A1
A
C1 D1 sin D1 12 sin 120 BC1 sin B sin 15 18 2 6 6
2 A1 B BC1 18 6 3 2 AB A1 B AA1 （ 19.5 6 3） (m)
答：烟囱的高为（ . 19.5 6 3） (m)
又在△ABC中由正弦定理得： AC BC
sin B
sin A
10 A
50 40
B
AC sin A 5 3 故 sin B BC 14 ≈0.6186
B ≈ 38013’
故我舰行的方向为北偏东
11047’
探究提高求距离问题要注意：
（1）选定或确定要创建的三角形，要首先确定所
求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若
BD AB sin BAD 30 2 sin 75 6 2 30 2 15( 3 1) 4
0
CD BD BC 15 15 3 30 15 3 15(km)
练习3 如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得
20 2
C
M
解：在△ABC中∠ACB=120°∠ABC=15°由正弦定理得：
AC BC sin15 sin 45
由BC=20 2 ,可求AC ∴ 得AM= 15 2 5 6 ≈8.97>8
A
∴无触礁危险北 75 北 30
20 2
B
C
M
[例2].在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离A 3 1 n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向,距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3

1.2正余弦定理应用举例学案

四平市第一高级中学 2013级高一年级数学学科学案学案类型：新课材料序号： 3编稿教师：刘强审稿教师：朱立梅课题：1.2应用举例一、学习目标：1、加深对正弦定理、余弦定理的理解，提高熟练程度。

2、加深正弦定理、余弦定理在实际中的应用：①测量距离；②测量高度；③测量角度。

二、学习重、难点：教学重点：综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题。

教学难点：综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题。

三、知识导学：1、实际问题中常用的角（1）仰角和俯角：在视线和水平线所成角中，视线在水平线________的角叫做仰角，视线在水平线______的角叫做俯角。

（2）方位角：从正北方向_____转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α。

2、坡角与坡度（1）坡角坡面与水平面的夹角,即图中的角β。

（2）坡度坡度是指路线纵断面上同一坡段两点间的高度差与其水平距离的比值，即坡角的正切值，lh ==βtan 坡度。

四、典型例题：1、测量距离的问题【例1】为了测量河对岸两个建筑物B A 、之间的距离，在河岸边取点D C 、，︒=∠45BCD ,︒=∠75ACB ,︒=∠30ADC ,︒=∠45ADB ,3=CD 千米，已知D C B A 、、、在同一平面内，试求B A 、之间的距离。

水平线视线视线仰角俯角铅垂线αB 西南东北βh l2、测量高度【例2】如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的仰角︒=60α，在塔底C 处测得A 处的俯角︒=45β。

已知铁塔BC 部分的高为m 30，求出山高CD 。

3、测量角度【例3】一艘渔船在我海域遇险，且最多只能坚持45分钟，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为︒45、距离为10海里的C 处，并测得渔船以9海里/时的速度沿方位角为︒105的方向航行，我海军舰艇立即以21海里/时的速度前去营救。

求舰艇赶上遇险渔船所需的最短时间，能否营救成功？4、三角恒等式证明【例4】在△ABC 中，求证：)cos cos cos (2222C ab B ca A bc c b a ++=++。

学案5：1.2 应用举例

1.2 应用举例学习目标：1．熟练掌握正、余弦定理．2．能够运用正、余弦定理等知识和方法求解实际问题．学习重难点：1．求解距离、高度和角度问题．(重点)2．从实际问题中抽象出数学模型(即画出三角形)．(难点)学习过程：自学导引测量中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，把视线在水平线上方的角称为仰角，视线在水平线下方的角称为俯角．如下图①.(2)方位角指从正北方向按顺时针转到目标方向线所成的水平角．如方位角是45°，指北偏东45°，即东北方向．(3)方向角从指定方向到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.如下图②所示．试一试：如图所示，OA，OB的方位角各是多少？如何表示OA，OB的方向角？名师点睛1．解三角形应用题的一般思路(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型．(3)选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形的解还原为实际问题的解，注意实际问题中的单位、近似计算要求．这一思路可描述如下：2．解三角形应用题常见的两种情况(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解．课堂讲练互动：题型一测量距离问题例1：在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为3a2的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离．规律方法：解三角形应用问题的一般步骤：(1)准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；(2)画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解．变式训练1：如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12 6 n mile，在A 处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8 3 n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在货轮的南偏东60°.求：(1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处的距离．题型二测量高度问题例2：如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.规律方法：依题意画图是解决三角形应用题的关键．在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内视线与水平线的夹角．同时空间图形和平面图形要区分开，然后通过解三角形求解．变式训练2：如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.题型三测量角度问题例3：如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(3－1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．题后反思：实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．变式训练3：甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时3a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？课堂小结：利用解三角形知识解决实际问题要注意根据条件画出示意图，结合示意图构造三角形，然后转化为解三角形的问题进行求解．课堂检测：1．若a，b，c是△ABC的三边，且ca2＋b2>1，则△ABC一定是()A．直角三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．钝角三角形2．边长5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是()A．90° B．120°C．135° D．150°3．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于() A. 6 B．2C. 3D.24．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝()A．30° B．60°C．120° D．150°5.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？参考答案学习过程：自学导引试一试：OA 的方位角为60°，OB 的方位角为330°，OA 的方向角为北偏东60°，OB 的方向角为北偏西30°.课堂讲练互动：题型一测量距离问题例1：解：∵∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°，又∠DCA ＝60°，∴∠DAC ＝60°.∴AD ＝CD ＝AC ＝32a . 在△BCD 中，∠DBC ＝45°， ∴BC sin 30°＝CD sin 45°， ∴BC ＝64a . 在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 45° ＝34a 2＋38a 2－2×32a ×64a ×22＝38a 2. ∴AB ＝64a . ∴蓝方这两支精锐部队的距离为64a . 变式训练1：解：(1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，B ＝45°，由正弦定理得AD ＝AB sin B sin ∠ADB ＝126×2232＝24 (n mile)．所以A 处与D 处的距离为24 n mile.(2)在△ADC 中，由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos 30°，解得CD ＝8 3 n mile.即灯塔C 与D 处的距离为8 3 n mile.题型二测量高度问题例2：解：由于CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，所以CD ＝AD .因此只需在△ABD 中求出AD 即可，在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°，由AB sin 15°＝AD sin 45°，得AD ＝AB ·sin 45°sin 15°＝800×226－24＝800(3＋1) (m)．即山的高度为800(3＋1) m.变式训练2：解：在△BCD 中，∠BCD ＝α，∠BDC ＝β， ∴∠CBD ＝180°－(α＋β)，∴BC sin β＝s sin[180°－(α＋β)]，即BC sin β＝s sin (α＋β). ∴BC ＝sin βsin (α＋β)·s . 在△ABC 中，由于∠ABC ＝90°，∴AB BC＝tan θ， ∴AB ＝BC ·tan θ＝sin β·tan θsin (α＋β)·s . 题型三测量角度问题例3：解：设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝103t 海里，BD ＝10t 海里，在△ABC 中，由余弦定理，有BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos 120°＝6.∴BC ＝6海里．又∵BC sin A ＝AC sin ∠ABC， ∴sin ∠ABC ＝AC ·sin A BC ＝2·sin 120°6＝22， ∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上，∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CD sin ∠CBD， ∴sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12. ∴∠BCD ＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°，∴∠D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6.∴t ＝610小时≈15分钟．∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．变式训练3：解：如图所示．设经过t 小时两船在C 点相遇，则在△ABC 中，BC ＝at 海里，AC ＝3at 海里，B ＝90°＋30°＝120°，由BC sin ∠CAB ＝AC sin B得： sin ∠CAB ＝BC sin B AC＝at ·sin 120°3at ＝323＝12. ∵0°<∠CAB <90°，∴∠CAB ＝30°.∴∠DAC ＝60°－30°＝30°.所以甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．课堂检测：1．【答案】D 【解析】∵c a 2＋b2>1，即a 2＋b 2<c 2，a 2＋b 2－c 2<0，于是cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0. ∴∠C 为钝角，即得△ABC 为钝角三角形．2．【答案】B【解析】设中间的角大小为B ，由余弦定理，求得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝52＋82－722×5×8＝12. 而0<B <π，∴B ＝π3. ∴最大角与最小角的和是π－π3＝2π3＝120°. 3．【答案】D4．【答案】A【解析】由sin C ＝23sin B ，可得c ＝23b ，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝－3bc ＋c 22bc＝32，于是A ＝30°，故选A. 5.解：如图，连接A 1B 2.由已知A 2B 2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2. 又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形， ∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知，A 1B 1＝20， ∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45° ＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200， ∴B 1B 2＝10 2. 因此，乙船的速度为10220×60＝302(海里/时)．。

课件10：§1.2 应用举例

在△ABC 中，
由正弦定理得sin∠BCCAB＝sin1A2B0°，
所以
sin∠CAB＝BCsinAB120°＝1100×
3
2 3
＝12.
所以∠CAB＝30°，
所以舰艇航行的方位角为 75°.
反思提升解决实际问题应注意的问题
(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步． (2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题．
2．解三角形的实际应用举例
(1)测距离的应用
背景
可测元图形
素
两点均可到达
a、b、α
目标及解法
求 AB AB＝ __a2_＋__b_2－__2_a_bc_o_s_α_
背景Βιβλιοθήκη 可测图形元素只有一点可到达
b、α、β
目标及解法
求 AB ①测量 b，α，β ②AB＝
bsin β
__si_n_（_α_＋__β_）_
解：由正弦定理得 AC＝sin[180°20－sin（（3405°°＋＋4650°°＋）60°）] ＝20ssiinn4150°5°＝20sisnin4755°° ＝10(1＋ 3)(米)， BC＝sin[180°－（206s0i°n 4＋5°30°＋45°）] ＝20sisnin4545°°＝20(米)．
在△ABC 中，由余弦定理得 AB＝ AC2＋BC2－2AC×BCcos∠BCA ＝10 6(米)．所以 A、B 两点间的距离为 10 6米．
探究点 2 测量高度问题例 2 地平面上有一旗杆设为 OP，已知地平面上的一基线 AB，AB＝200 m，在 A 处测得 P 点的仰角为∠OAP ＝30°，在 B 处测得 P 点的仰角为∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝60°，求旗杆的高 h.

1.2应用举例

例3.如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，
A为烟囱的最高点。设计一种测量建筑物
高度AB的方法
解：选择一条水平基线HG，使H,G,B三点在同一条
直线上。由在H,G两点用测角仪测得A的仰视角分别
为,，CD=a测角仪的高是h。那么，在⊿ACD中，
根据正弦定理可得
A
D C
E
H
G
B
例4.在山顶铁塔B上处测得地面上点A的俯角，在塔底C处测得处的俯角，塔高BC为h，求山高CD.
A
B
30°
45°
D
30°
60°
C
A
B
30°
45°
D
30°
60°
3a
C
2
P24A2
【练习】某观测站C在城A的南偏西200的方向, 由城A出发的一条公路,走向是南偏东400,在C处测得公路上B处有一人,距C为31千米,正沿公路向A城走去,走了20千米后到达D处,此时CD间的距离为21千米,问此人还要走多少千米才能到达A城.
如图，甲船以每小时30 2海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船处于A1处时，乙船位于甲船的北偏西1050的方向B1处，此时两船相距20海里。当甲船航行 20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西1200方向的B2处，此时两船相距10 2海里，问乙船每小时航行多少海里？
, ∠BDA=
A
B
D

C
[例2]在一次反恐作战战前准备中，为了弄清基地组织两个训练营地A和B之间的距离,盟军在两
个相距为 3a 的观测点C和D处，测得ADB 300, 2
BDC 300, DCA 600, ACB 450,如图所示，求基地组织的这两训练营地之间的距离.

2020-2021学年高中数学人教A版必修第一章1.2应用举例-高度、角度问题课件(共23张PPT)

≈1.732)
A.11.4 km B.6.6 km C.6.5 km D.5.6 km
练习.如图,一栋建筑物AB的高为
m,在该建
筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面点
M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A,塔顶C的仰角分别是
15°和60°,在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°,则通
信塔CD的高为
【即时小测】一树干高15米,被台风吹断并歪倒,折断部分(长5米)与残存树干成120°角,树干折断处距离地面的高度是 ________米.(不求近似值)
【解析】作示意图,如图所示,由题意得
AB=10,BC=5,∠ABC=120°,由余弦定理
得AC2=102+52-2×10×5×cos120°=175,
由余弦定理得,BC2=AB2+AC2-
2AB·AC20·7c，os120°=2800,
所以BC=
AB ＝ BC ， sinACB sinBAC
由正弦定理得, AB sinBAC＝ 21 ,
BC
7
所以sin∠ACB=
由∠BAC=120°,知∠ACB为锐角,则cos∠ACB=2 7 .
7
由θ=∠ACB+30°,cosθ=cos(∠ACB+30°)
【练习】如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援,则cosθ的值为 __________.
【解析】在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,
=cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°= 21 .

天津市塘沽区紫云中学高中数学第一章解三角形配套课件：1.2应用举例(一)

2 2 ＝50
2
(m)．
2
答案 A
第十八页，编辑于星期日：八点一分。
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1.2（一）
2．从高出海平面 h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为 30°，看正南方向一只船俯角为 45°，则此时两船间的距离为
本
课
A．2h 米
栏目
C． 3h 米
开关
解析如图所示，
BC＝ 3h，AC＝h，
第十三页，编辑于星期日：八点一分。
研一研·问题探究、课堂更高效
1.2（一）
整理得 2t2－t－1＝0，解得 t＝1 或 t＝－12(舍去)．
即舰艇需 1 小时靠近渔船，此时 AB＝10 3，BC＝10，
本
在△ABC 中，由正弦定理得sin∠BCCAB＝sinA1B20°，
课栏目开关
所以
sin∠CAB＝BCsiAnB120°＝101× 0
栏目
10 3海里/小时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔
开
船所需的时间．
关
解如图所示，设所需时间为 t 小时，
则 AB＝10 3t，CB＝10t，
在△ABC 中，根据余弦定理，则有 AB2＝AC2＋BC2－
2AC·BCcos 120°，
可得(10 3t)2＝102＋(10t)2－2×10×
10tcos 120°，
跟踪训练 2 一次机器人足球比赛中，
甲队 1 号机器人由点 A 开始作匀速直
线运动，到达点 B 时，发现足球在点
本
D 处正以 2 倍于自己的速度向点 A 作
课匀速直线滚动．如图所示，已知 AB＝4 2 dm，AD＝17 dm，