2017年高中数学第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用习题课件

所以
R2 2＝1－ 5 ∑ ＝1 i
180 2 ＝1－1 000＝0.82. yi－ y
2 2 2 由 R2 1＝0.845，R2＝0.82 知 R1＞R2，所以线性模型(1)的拟合
效果比较好．
11.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中 记录的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对照数据 x y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5
4＋2＋3＋5 7 49＋26＋39＋54 解析：由表可计算 x ＝ ＝2，y ＝ 4 4
7 ^x＋a ^上，且b ^为 ＝42，因为点2，42在回归直线^ y＝b
9.4，所以 42
7 ^ ^＝9.1，故回归方程为^ ＝9.4×2＋a，解得a y＝9.4x＋9.1，令 x＝6 得^ y＝65.5.
答案：10.5
三、解答题：每小题 15 分，共 45 分． 10．关于 x 与 y 有以下数据： x y 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70
有如下两个线性模型： (1)^ y＝6.5x＋17.5； (2)^ y＝7x＋17. 试比较哪一个拟合效果比较好．
解：由(1)得 yi－^ yi 与 yi－ y 的关系如下表： yi－^ yi yi－ y
答案：B
5．对变量 x，y 进行回归分析时，依据得到的 4 个不同的回 归模型作出残差图，则下列模型拟合精度最高的是( )
A
B
C
D
解析：带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．
答案：A
6．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取 5 对父 子的身高数据如表所示： 父亲身高 x(cm) 儿子身高 y(cm) 174 176 176 176 178 175 175 176 177 177 )
答案：C
二、填空题：每小题 5 分，共 15 分． 7．若 y 与 x 之间的一组数据为 x 0 1 2 3 4 y 1 3 5 5 6 则拟合这 5 对数据的回归直线一定经过的点是__________．
1＋2＋3＋4 1＋3＋5＋5＋6 解析：因为 x ＝ ＝2， y ＝ ＝4，由 5 5 ^x＋a ^一定过样本的中心( x ， y )，所以点(2,4)一定在 回归直线^ y ＝b 回归直线上．
所以
R2 1＝1－ 5 ∑ ＝1 i
155 2 ＝1－1 000＝0.845. yi－ y
由(2)得 yi－^ yi 与 yi－ y 的关系如下表： yi－^ yi yi－ y
5
－1
－5
8 10
－9 0
－3 20
－20 －10
2 2 2 2 2 2 ^ 所以∑ ( y － y ) ＝ ( － 1) ＋ ( － 5) ＋ 8 ＋ ( － 9) ＋ ( － 3) ＝180， i i i＝1 2 2 2 2 2 2 ∑ ( y － y ) ＝ ( － 20) ＋ ( － 10) ＋ 10 ＋ 0 ＋ 20 ＝1 000， i i＝1 2 ^ ∑ y － y i i i＝1 5 5
(1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据， 用最小二乘法求出 y 关于 x 的线 ^x＋a ^； 性回归方程^ y ＝b
(3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准 煤． 试根据(2)求出的线性回归方程， 预测生产 100 吨甲产品的生 产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ (参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)
第三章
统计案例
3． 1
回归分析的基本思想及其初步应用
①通过典型案例的探究， 进一步了解回归分析的基本 思想、方法及初步应用． ②了解线性回归模型与函数 作业 模型的差异，了解判断模型拟合效果的方法：相关指 目标 数和残差分析． ③体会有些非线性模型通过变换可以 转化为线性回归模型， 了解在解决实际问题的过程 中寻找更好的模型的方法． 作业 设计 限时：40 分钟 满分：90 分
3.164 3 R ＝1－24 642.83≈0.999 9，
2
即解释变量时间对预报变量繁殖细菌 10 －6.5 0.5 －20 －10 10 0 20
2 2 2 2 2 2 ^ 所以 ∑ ( y － y ) ＝ ( － 0.5) ＋ ( － 3.5) ＋ 10 ＋ ( － 6.5) ＋ 0.5 ＝ i i i＝1
155，
2 2 2 2 2 2 ∑ ( y － y ) ＝ ( － 20) ＋ ( － 10) ＋ 10 ＋ 0 ＋ 20 ＝1 000， i i＝1 2 ^ ∑ y － y i i i＝1 5 5
4
12． 为了研究某种细菌随时间 x 变化繁殖个数 y 的变化情况， 收集数据如下： 时间 x/天 1 2 12 3 25 4 49 5 95 6 190
繁殖个数 y 6
(1)用时间作解释变量， 繁殖个数作预报变量作出这些数据的 散点图； (2)求 y 与 x 之间的回归方程； (3)计算残差，相关指数 R2，并描述解释变量与预报变量之 间的关系．
解：(1)散点图如图所示：
(2)由散点图看出样本点分布在一条指数曲线 y＝c1ec2x 的周 围，于是令 z＝lny，则 x z 1 2 3 4 5 6
1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25
∴^ z ＝0.69x＋1.112， 则有^ y＝e0.69x
＋1.112
.
(3) ^ y y
答案：(2,4)
8．下表是某厂 1～4 月份用水量(单位：百吨)的一组数据， 月份 用水量 y 1 4.5 2 4 3 3 4 2.5
由其散点图可知，用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关 ^，则a ^＝__________. 关系，其回归直线方程是 y＝－0.7x＋a
^＝－0.7， 解析： x ＝2.5， y ＝3.5，b ^＝3.5＋0.7×2.5＝5.25. 所以a
则 y 对 x 的线性回归方程为( A．y＝x－1 B．y＝x＋1
1 C．y＝88＋2x D．y＝176
^ x＋a ^ ，因为 b ^＝ 解析： 设 y 对 x 的线性回归方程为 ^ y＝b －2×－1＋0×－1＋0×0＋0×1＋2×1 1 ^ 1 ＝ ，a＝176－ ×176 2 2 2 2 －2 ＋2 1 ^ ＝88，所以 y 对 x 的线性回归方程为y＝ x＋88. 2
解：(1)由题设所给数据，可得散点图如图．
2 (2)由数据，计算得：∑ x i i＝1 ＝86， 4
3＋4＋5＋6 x＝ ＝4.5， 4 2.5＋3＋4＋4.5 4 y＝ ＝3.5，已知∑ i＝1xiyi＝66.5. 4
所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为： －－ 66.5－4×4.5×3.5 ∑ i＝1xiyi－4 x y ^＝ 4 b ＝0.7， 2 2 2 ＝ 86 － 4 × 4.5 ∑ i＝1xi －4 x ^＝ y －b ^ x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35， a 因此，所求的线性回归方程为^ y＝0.7x＋0.35. (3)由(2)的回归方程及技改前生产 100 吨甲产品的生产能耗， 得降低的生产能耗为 90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤)．
答案：5.25
9． 如果某地的财政收入 x 与支出 y 满足线性回归方程 y＝bx ＋a＋e(单位：亿元)，其中 b＝0.8，a＝2，|e|≤0.5，如果今年该 地区财政收入为 10 亿元，则年支出预计不会超过__________亿 元．
解析：∵x＝10 时，y＝0.8×10＋2＋e＝10＋e， ∵|e|≤0.5，∴y≤10.5.
6 6
6.06 12.09 24.09 48.04 95.77 190.9 6 12 5 49 95 190
6 2 2 ^ ^ ∑ e ＝ ∑ ( y － y ) i i ＝3.164 3， i＝1 i i＝1 2 2 ∑ ( y － y ) ＝ ∑ y － 6 y ≈24 642.83， i i＝1 i＝1 i 2 6
解析：∵商品销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)负相关， ∴a＜0，排除 B、D.又∵x＝0 时，y≥0，故选 A.
答案：A
4．某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表： 广告费用 x(万元) 销售额 y(万元) 4 49 2 26 3 39 5 54
^x＋a ^中的b ^为 9.4，据此模型预报 根据上表可得回归方程^ y＝b 广告费用为 6 万元时销售额为( A．63.6 万元 B．65.5 万元 C．67.7 万元 D．72.0 万元 )
一、选择题：每小题 5 分，共 30 分． 1．如图四个散点图中，适合用线性回归模型拟合其中两个 变量的是( )
①
②
③
④ A．①② B．①③ C．②③ D．③④
解析：观察四个图可知，①③两个图中的样本点在一条直线 附近，因此适合用线性回归模型拟合．
答案：B
2．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量 x，y 的回归模型时， 分别选择了 4 种不同模型，计算可得它们的相关指数 R2 分别如 下表： 甲 R2 0.98 乙 0.78 丙 0.50 丁 0.85 )
哪位同学建立的回归模型拟合效果最好？( A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
解析：由于 R2 的值越大，回归模型拟合效果越好，故甲的 拟合效果最好．
答案：A
3．某商品销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)负相关，则其回 归方程可能是( ) B.^ y＝10x＋200 D.^ y＝10x－200
A.^ y＝－10x＋200 C.^ y＝－10x－200