哈尔滨工业大学2005级《代数与几何》期中试题

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代数几何综合(含答案)

23．（本小题7分）如图,在平面直角坐标系中,A(-3,0)，点C 在y 轴的正半轴上，BC ∥x 轴，且BC=5,AB 交y 轴于点D ，OD=23．（1）求出点C 的坐标；（2）过A 、C 、B 三点的抛物线与x 轴交于点E ，连接BE ．若动点M 从点A 出发沿x 轴向x 轴正方向运动，同时动点N 从点E 出发，在直线EB 上作匀速运动，两个动点的运动速度均为每秒1个单位长度，请问当运动时间t 为多少秒时，△MON 为直角三角形? 23．解：（1）∵ BC ∥x 轴， ∴ △BCD ∽△AOD ．∴ CD BC OD AO=． ∴ 535322CD =⨯=．∴ 53422CO =+=． ∴ C 点的坐标为 (0，4) ． ……………………… 1分（2）如图1，作BF ⊥x 轴于点F ，则BF= 4．由抛物线的对称性知EF=3．∴BE=5，OE=8，AE=11． ………………………… 2分根据点N 运动方向，分以下两种情况讨论： ① 点N 在射线EB 上．若∠NMO=90°，如图1，则cos ∠BEF=ME FENE BE=, ∴1135t t -=，解得558t =．……………… 3分若∠NOM=90°，如图2，则点N 与点G 重合．∵ cos ∠BEF=OE FEGE BE=， ∴ 835t =，解得403t =． …………………… 4分∠ONM=90°的情况不存在． ………………………………………………………… 5分 ② 点N 在射线EB 的反向延长线上．若∠NMO=90°，如图3，则cos ∠NEM= cos ∠BEF ，∴ME FENE BE =． ∴ 1135t t -=，解得552t =． …………………… 6分而∠NOM=90°和∠ONM=90°的情况不存在．…… 7分综上，当558t =、403t =或552t =时，△MON 为直角三角形．（第23题图2）D(N)（第23题图3）D（第23题）25.（7分）已知，抛物线22y ax bx =+-与x 轴的两个交点分别为A （1,0），B （4，0），与y 轴的交点为C ．（1）求出抛物线的解析式及点C 的坐标；（2）点P 是在直线x=4右侧的抛物线上的一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与△OCB 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（7分）解：（1）据题意，有0164202a b a b =+-⎧⎨=+-⎩，　．解得 1252a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，　． ∴抛物线的解析式为：215222y x x =-+-．点C 的坐标为：（0，-2）． ………………………（2）答：存在点P （x ，215222x x -+-），使以A ，P ，M ∵∠COB =∠AMP =90°，∴①当OC OBMP MA =时，△OCB ∽△MAP ． ②当OC OB MA MP=时，△OCB ∽△MP A ． ①OC MP OB MA =，∴215222241x x x -+=-．解得：x 1=8，x 2=1（舍）． ②OC MA OB MP =，∴221154222x x x -=-+．解得：x 3=5，x 4=1（舍）．综合①，②知，满足条件的点P 为：P 1（8，-14），P 2（5，-2）． ……………………… 7分24. 在△ABC 中，∠A =∠B =30°，AB=．把△ABC 放在平面直角坐标系中，使AB 的中点位于坐标原点O (如图)，△ABC 可以绕点O 作任意角度的旋转．(1) 当点BB 的横坐标；(2) 如果抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)的对称轴经过点C ，请你探究：当a =，12b =-，c =A ，B 两点是否都在这条抛物线上？并说明理由。

哈工大试题库及答案---几何精度习题

第二章几何量精度目的：从基本几何量的精度项目入手，了解几何量线性尺寸、角度尺寸、形状和位置精度的基本概念及有关国标的基本内容，形位精度和尺寸精度间的关系——公差原则。

重点：掌握尺寸精度及配合的选用；形位公差的标注；形位公差带的特点；公差原则。

难点：尺寸精度及配合的选用；形位公差带的特点；公差原则。

习题一、判断题〔正确的打√，错误的打X〕1．公差可以说是允许零件尺寸的最大偏差。

（）2．基本尺寸不同的零件，只要它们的公差值相同，就可以说明它们的精度要求相同。

（）3．国家标准规定，孔只是指圆柱形的内表面。

（）mm的轴，加工得愈靠近基本尺寸就愈精确。

（）4．图样标注φ200-0.0215．孔的基本偏差即下偏差，轴的基本偏差即上偏差。

（）6．某孔要求尺寸为φ20-0.046，今测得其实际尺寸为φ19.962mm，可以判断该孔合格。

-0.067（）7．未注公差尺寸即对该尺寸无公差要求。

（）8．基本偏差决定公差带的位置。

（）9．某平面对基准平面的平行度误差为0．05mm，那么这平面的平面度误差一定不大于0．05mm。

（）10．某圆柱面的圆柱度公差为0．03 mm，那么该圆柱面对基准轴线的径向全跳动公差不小于0．03mm。

（）11．对同一要素既有位置公差要求，又有形状公差要求时，形状公差值应大于位置公差值。

（）12．对称度的被测中心要素和基准中心要素都应视为同一中心要素。

（）13．某实际要素存在形状误差，则一定存在位置误差。

（）mm孔，如果没有标注其圆度公差，那么它的圆度误差值可任14．图样标注中Φ20+0.021意确定。

（）15．圆柱度公差是控制圆柱形零件横截面和轴向截面内形状误差的综合性指标。

（）16．线轮廓度公差带是指包络一系列直径为公差值t的圆的两包络线之间的区域，诸圆圆心应位于理想轮廓线上。

（）17．零件图样上规定Φd实际轴线相对于ΦD基准轴线的同轴度公差为Φ0．02 mm。

这表明只要Φd实际轴线上各点分别相对于ΦD基准轴线的距离不超过0．02 mm，就能满足同轴度要求。

哈工大工科数学分析期中考试题-刘星斯维提整理

（1） f ( x, y) 的偏导数是否存在？（2） f ( x, y) 是否可微？
2、（本题 3 分）设 f x, y 为恒大于零的连续函数，求证： f x dx

a
b
f x dx b a
a
b
1
2
3、（本题 5 分）设有一小山，取它的底面所在的平面为 xOy 坐标面，其底部所占区域为
1102002 班工数期中模拟考试
一、填空题（每题 1 分，共 8 分） 1、（1 分）函数的定义域是___________________________
x u cos v z z 2、（1.5 分）已知函数 z z x, y 由参数方程: y u sin v ,给定，试求 = x y z uv
1
1

3 2
2
d f (r cos , r sin )rdr11来自C．0
d f (r cos , r sin )rdr
0
1
D．

3 2
2
d f (r cos , r sin )rdr
0
1
1102002 班工数期中模拟考试
3、下列说法正确的是（）。 A. 若、有一个不存在则函数 f(x，y)在点（x0，y0）处一定没有极值
3、（1 分）曲面 S : 2 x 2 2 y 2 2 z 1 上切平面与直线 L : 轨迹方程为 4、（1 分） I
3x 2 y z 5 平行的切点的 x y z 0
x y 1
a x b y dxdy
�� = ��(��, ��) 在 �� = 0

哈工大2013秋代数与几何期末考试安排(第18周周一13：00-15：00)

2013年秋季学期《代数与几何》期末考试安排通知
各院系：
2013秋季学期《代数与几何》期末考试定于2013年12月30日（第18周周一）下午13：00-15：00进行，具体考场安排表附后（教室B开头为主楼，BD开头为东配楼，BX开头为西配楼）。

请数学系按考场选派主考教师，相关院系为每小班安排一名监考教师，基础学部通知学生考试地点。

监考教师乘车时间安排如下：
12：15 一区停车站（四辆大客车）
15：15 二区主楼门前（四辆大客车）
本科生院教务处
2013年12月4日2013级《代数与几何》期末考试安排（时间第18周周一下午13：00-15：00）
2013级《代数与几何》期末考试安排（时间第18周周一下午13：00-15：00）。

哈工大概率论与数理统计期末试卷(威海2005)

哈工大(威海)2004 /2005 学年春季学期一、选择题：（每小题2分，满分10分）1．下列命题中，正确者为（）(A) 若0=)A (P ,则A 是不可能事件。

(B) 若)B (P )A (P )B A (P +=Y ，则A 、B 互斥。

(C) 若1=-)AB (P )B A (P Y ，则1=+)B (P )A (P(D))B (P )A (P )B A (P -=-2．设),(N ~X 24μ，),(N ~Y 25μ，记14p )X (P =-≤μ25p )Y (P =+≥μ 则（）(A) 对任意实数μ有21p p = (B) 21p p <(C)只对μ的个别值才有21p p = (D) 21p p > 3. 设),(N ~X 10，),(N ~Y 11，且X 与Y 相互独立，则（）（A ）500.)Y X (P =≤+ （B ）501.)Y X (P =≤+ （C ）500.)Y X (P =≤- （D ）501.)Y X (P =≤- 4．设X 、Y 的方差存在，且不等于0，则DY DX )Y X (D +=+是X ，Y 的（）（A ）不相关的充分条件，但不是必要条件。

（B ）独立的必要条件，但不是充分条件。

（C ）不相关的必要条件，但不是充分条件。

（D ）独立的充要条件。

5. 设n X X X Λ,,21是总体)(N 2,σμ的样本，X 是样本均值，记212111∑=--=n i i )X X (n S ，21221∑=-=n i i )X X (n S ， 212311∑=--=n i i )X (n S μ ，21241∑=-=n i i )X (n S μ，则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是( )姓名班级: 学号注意行为规范遵守考试纪律（A ）11--=n /S X T μ （B ）12--=n /S X T μ二、填空题：（每小题2分，满分10分） 1．在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为 ( ) 2.=a （），=b （）3. 设随机变量X 和Y 的数学期望是2，方差分别是1和4，而相关系数为0.5,则根据切比雪夫不等式{}≤≥-6Y X P （）4.设总体X ～),(N 1μ，根据来自X 的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5，9750961.).(=Φ则X 的数学期望的置信度为0.95的置信区间为：（）5. 设正态总体),(N ~X 211σμ，正态总体),(N ~Y 222σμ，未知21μμ,，检验0H ：2221σσ≤，则应选择的统计量为（）三、设C ,B ,A 三个字母之一输入信道，输出原字母的概率为α，而输出其它一字母的概率都是21α-，今将字母串 CCCC ,BBBB ,AAAA 之一输入信道，输入的概率分别为 321p ,p ,p )p p p (1321=++，已知输出为ABCA ，问输入的是AAAA 的概率是多少？（本题满分8分）四、一民航大巴载有n 位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一车站没人下车就不停车，以Z 表示停车的次数，求)Z (E （设每位旅客在各个车站下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立）（本题满分8分）五、已知随机变量1X 和2X 的概率分布⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4121411101~X ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛2121210~X 。

哈尔滨工业大学高等代数2005真题

证明：如果对于任意n维向量，都有，，， Rn , 10.设都是数域上的多项式，是上的一个线性变换，如果 f ( x), g ( x) F Fn f ( ) g ( ) 0, f ( x), g ( x) 1且证明：（）的核等于的值域： 1 f ( ) g ker f g ( F n ). (2) F n等于的核与 f ( ) g 的核的直和： F n ker( f ( )) ker( g ( )).
n n
V.
0 3. 求n阶矩阵A= En- 1
Байду номын сангаас
1 1 . - 1 E A , 其中的特征矩阵的不变因子。 . . 1 （n 1)1
4. 设A为n阶反对称实矩阵。证明：（1）对任何n维非零实列向量X，均有X（E+A）X>0. ( 2) E+A, E- A可逆. 为实二次型，证明：A为正交阵的充要条件是 5. 设A为实对称可逆矩阵，f =XAX 可用正交变换将f 化成规范型。 6. 设是一组线性无关 1 , 2 ,..., r 向量， k11 k12 . . . k1r k21 k22 . . . k2 r 相关的充要条件是矩阵不可逆。 .... kr1 kr 2 . . . krr 7.设证明：对任意线性方程组 i (ai1 , ai 2 ,..., ain ), i 1, 2,..., s, b1 , b2 ,..., bs a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a x a x ... a x b 21 1 22 2 2n n 2 都有解的充要条件是，，，线性无关。 1 2 ... s ...... as1 x1 as 2 x2 ... asn xn bs n 8.设是维向量空间 n R 的一个变换，，表示，的内积。

哈工大《代数几何》试题(2008)_1模拟

哈尔滨工业大学远程教育学院学期代数与几何试题纸（闭卷，时间：90分钟）（所有答案必须写在答题纸上）一、填空题（每小题4分，共20分）1．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=219010003A ，则A 的行列式|A |= ． 2．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111111111111x x x x A ，且R (A )=1，则x= ． 3．设设矩阵三阶方阵A 的特征值为1，2，-3，则|A +3E |= ． 4．经过点M (1, 2, 3)且与直线11221-+=-=z y x 平行的直线方程为． 5．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=231,211βα，设A =αβ ′，其中β ′为β的转置，则A =．二、选择题（每小题4分，共20分） 1．设n (n ≥2)阶方阵A 满足A 2=E ，其中E 表示n 阶单位矩阵，则【】（A ）A =A -1．（B ）|A |=1．（C ）A =E ．（D ）A =-E ．2．设向量组α, β, γ线性无关，则【】（A ）向量组α+β, α-β, γ线性无关．（B ）向量组α, β-γ, α+β-γ线性无关．（C ）向量组α+β, β+γ, α-γ线性无关．（D ）向量组α, β+γ, α+β+γ线性无关．3．曲面xy =z 在R 3中表示的图形是【】（A ）椭圆面．（B ）单叶双曲面．（C ）马鞍面．（D ）锥面．4. 下列论断中正确的是【】（A ）相似矩阵有相同的特征值和特征向量．（B ）有相同特征值的两个同阶方阵相似．（C ）若两个矩阵相似，则它们相似于同一个对角矩阵．（D ）有相同特征值的任意两个同阶对角矩阵一定相似．5．设A m ×n 为齐次线性方程组AX =O 的系数矩阵，其秩为r ，则AX =O 有非零解的充要条件是【】（A ）r=n ．（B ）r<n ．（C ）r=m ．（D ）r<m ．三、（10分）求矩阵方程中的未知矩阵A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123654*********A 四、（10分）求经过点M (-1, -2, -3)，并垂直于平面x -2y +3z =1和2x +y -3z =2的交线的平面方程．五、（10分）设有向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=023,110,111,022,11154321ααααα 求其秩及一极大无关组．六、（20分）利用正交线性变换将二次型f (x 1,x 2,x 3)=2x 12-x 22-x 32-4x 1x 2+4x 1x 3+8x 2x 3化成标准形，写出所做的正交线性变换及相应的标准形．七、（10分）设λ为方阵A 的一个特征值，证明：2λ为矩阵2A 的一个特征值．参考答案一、6，1，0，132211--=-=-z y x ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----462231231 二、A ，A ，C ，D ，B 三、解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≠=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111611110011001123654111011001123654110011001111011001,111011001,0111101100112365411101100111A A 可逆故由于四、解：已知平面的法向量分别为n 1=(1,-2,3), n 2=(2,1,-3),所以，所求平面的法向量应与已知平面法向量垂直，可取所求平面的法向量为n =n 1×n 1，即又所求平面过点M (-1,-2,-3)，从而所求平面的点法式方程为3(x +1)+9(y +2)+5(z +3)=0，即3x +9y +5z =-36k j i k j i n 593312321++=--=五、解：()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==11000202200110101101211213012154321行αααααA因此，R (A )=3, α1, α1, α4为原向量组的一个极大无关组。

7代数几何综合题(含答案)

代数几何综合题Ⅰ、综合问题精讲：代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数和几何知识解题．Ⅱ、典型例题剖析【例1】（2005，温州，12分）如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，A 是 BD C 的中点，AE⊥AC 于A ，与⊙O 及CB 的延长线分别交于点F 、E ，且 BF AD =，EM 切⊙O 于M 。

⑴ △ADC∽△EBA ;⑵ AC2＝12 BC·CE；⑶如果AB ＝2，EM ＝3，求cot∠CAD 的值。

解:⑴∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE， ∵ BF AD =，∴∠DCA＝∠BAE，∴△CAD∽△AEB⑵ 过A 作AH⊥BC 于H(如图)∵A 是 BD C 中点，∴HC＝HB ＝12BC ， ∵∠CAE＝900，∴AC 2＝CH·CE＝12BC·CE⑶∵A 是 BD C 中点，AB ＝2，∴AC＝AB ＝2， ∵EM 是⊙O 的切线，∴EB·EC＝EM 2 ① ∵AC 2＝12 BC·CE，BC·CE＝8 ②①＋②得：EC(EB ＋BC)＝17，∴EC 2＝17 ∵EC 2＝AC 2＋AE 2，∴AE＝17－22＝13 ∵△CAD∽△ABE，∴∠CAD＝∠AEC， ∴cot∠CAD＝cot∠AEC＝AE AC ＝132点拨：此题的关键是树立转化思想，将未知的转化为已知的．此题表现的非常突出．如，将∠CAD 转化为∠AEC 就非常关键.【例2】（2005，自贡）如图 2－5－2所示，已知直线y=2x+2分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ，∠BAC=90○。

过C 作CD ⊥x 轴，D 为垂足．（1）求点 A 、B 的坐标和AD 的长；（2）求过B 、A 、C 三点的抛物线的解析式。

哈尔滨工业大学代数与几何期末考试试题

哈尔滨工业大学2007级代数与几何期末考试试题哈尔滨工业大学2007级《代数与几何》期末试题（此卷满分50分）注：本试卷中、、分别表示的秩，的转置矩阵、的伴随矩阵；表示单位矩阵.一、填空题（每小题2分，共10分）1．若矩阵满足，则的特征值只能是 .2．在空间直角坐标系中方程的图形是 .3．向量组的秩为4．若矩阵满足，是行满秩阵，则 .5．空间直角坐标系中曲线绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为.二、选择题（每小题2分，共10分）1．设是矩阵，则方程组有唯一解的充要条件是【】（A）；（B）；（C）；（D）.2．设有维列向量组（I）; 可由向量组（II）线性表示，则【】（A）若（I）线性无关，则（II）线性无关；（B）若（I）线性相关，则（II）线性相关；（C）若（I）线性无关，则；（D）若（II）线性无关，则.3．设，则必有【】（A）是正交阵；（B）是正定阵；（C）是对称阵；（D）.4．实二次型正定的充要条件是【】（A）；（B）；（C）；（D）.5．设, B都是阶实对称矩阵，则下列结论正确的是【】（A）若A与B等价，则A与B相似；（B）若A与B相似，则A与B合同；（C）若A与B合同，则A与B相似；（D）若A与B等价，则A与B合同.三、（本题5分）已知列向量组是的基，也是的基，求由基到基的过渡矩阵，并求在基下的坐标.四、（本题5分）设矩阵与相似，求.五、（本题6分）已知，其中，求.六、（本题6分）已知三阶实对称矩阵A的每行元素之和都等于2，且秩.（1）用正交变换将二次型化为标准形，并求所用的正交变换矩阵.（2）求, 其中m是大于等于1的自然数.七、（本题5分）设是阶方阵，，试证：若存在自然数使，则.八、（本题3分）设实矩阵，，是的列向量组. 实向量是齐次线性方程组的基础解系. 试证：向量组线性无关.参考答案一、填空题1、2.2、双叶双曲面.3、4、.5、.二、选择题1、A.2、C.3、 D.4、B.5、B.三、解：由知由基到基的过渡矩阵为在基下的坐标为四、解：由与相似，知是的特征值，所以，. 进而，由此得解得.五、解：. 由，得，整理得. 由知可逆，且，故.六、解：（1）因的每行元素之和都等于2，所以是的属于特征值2的特征向量. 因，所以是A特征值, 对应于有两个线性无关的特征向量.设是A的属于特征值的特征向量. 因实对称知X与正交，即.解得是A的属于特征值的特征向量，规范正交化得.将的属于特征值2的特征向量规范正交化得.令，则P为正交矩阵，在正交变换下，.（2），七、证：因，所以存在可逆矩阵使其中.于是故从而.八、证法1：设（1）因是齐次线性方程组的基础解系，用在左边乘（1）式两边得，进而，故，再由知由（1）知，由是基础解系，从而线性无关，于是，故线性无关.证法2：设（1）因是齐次线性方程组的基础解系，所以于是.由知线性无关，故的证明同上.证法3：设（1）得关于的齐次线性方程组系数行列式的证明同上.。

线性代数与空间解析几何》(哈工大版)课件幻灯和习题

2021/4/22
3
2、矩阵加法的运算规律
1 A B B A; 2 A B C A B C .
记-A=(-aij),成为矩阵A的负矩阵
3 A A 0, A B A B (aij bij )
2021/4/22
4
二、数与矩阵相乘
1、定义
数与矩阵A的乘积记作A或A , 规定为
A 2 0, 0 2
B 1 1, 1 1
则有 AB 2 2, 2 2
BA 2 2
2 2 AB BA. 此时称矩阵A、B可交换。
2021/4/22
16
例4
设
A
0 2
0 1
,
B
1 1
1 1
,
C
2 1
1 1
则AB
AC
0 3
0 3
注意4 矩阵不满足消去律，即：
a11
A
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
.
am1 am1 amn
2021/4/22
5
2、数乘矩阵的运算规律（设 A、B为 m n 矩阵， ,为数）
1 A A;
2 A A A;
3 A B A B.
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.
2021/4/22
1 3 1 1 2 3 10
2021/4/22
23
2、方阵的行列式
定义由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式，叫做方阵 A 的行列式，记作 A 或 det A.
例 A 2 6
3 8
则A2
3 2.
68
运算性质 1 AT A;
2 A n A;

线性代数与空间解析几何(哈工大)3

3．向量的投影：设有向量 , , 轴上的有向线段的值为（数量，正数，向为负数），称为向量上的投影，记作 .
则向为在轴
定理3.1 向量 AB 在轴 u上的投影=向量的模乘以向 Pr AB | AB | cos . 量与轴夹角的余弦，即：证：过点引轴且同向，，且有. 当与成锐角时，投影为正；钝角时，投影为负；直角时，投影为0.
二、数乘向量：
为了描述向量的“伸缩”，定义实数与向量的乘法. k Z , a 0 ，则 ka是一个向量， 1．定义：与 a 共线，模 | ka || k || a |, k 0 与 a 同向，时与 k 0反向， a .0a 0 若 a 0, ka k 0 0, k Z . 2．运算法则：（1） 1a a, (1)a a； k (la ) (kl )a ，（结合律）；（2）（3） k (a b) ka kb ；（4） (k l )a ka la ，（分配律）.
第三章几何向量
解析几何是用代数的方法研究几何图形的几何学. 中学学过平面解析几何，那是用代数方法研究平面向何图形. 空间解析几何是用代数方法研究空间几何图形，也是多元函数微积分的基础. 本章主要研究如下几个问题： 1. 几何向量的线性运算； 2. 几何向量的数量积（内积）、向量积（外积）、混合积； 3. 空间中的直线与平面.
(3a b) (a 2b) 3a a 6a b a b 2b b
3 | a |2 (6 )a b 2 | b |2 2 3 | a | (6 ) | a | | b | cos 2 | b |2
1
5．负向量：与大小相等，方向相反.

《线性代数与空间解析几何》(哈工大版)课件幻灯和习题1-习题课

00 00
x 1
0 0 x 1
00
x 1 0 0
0 0 (1)nn( x a1) 0 x
00
0 1
00 0x
证法二：按第一列展开，得
Dn=xDn-1+an 再根据上面的递推公式可得结果。
c1 xc2 xn1cn
证法三：Dn
0
1 0
0
x 1
00 00
0
00
0
0
an
例2 计算
1111
abcd D
a2 b2 c2 d 2
a4 b4 c4 d 4
解：构造
1111 1 abcd x
f (x) a2 b2 c2 d 2 x2
a3 b3 c3 d 3 x3
a4 b4 c4 d 4 x4
（这是一个范德蒙行列式）
=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a) 另外f(x)按最后一列展开，可得
1
11
1
an
an1 an Dn1
an1 an (a1a2 an2 an1Dn2 )
方法三：升级法。看例1
11
1 11
1
解：原式= 0 1 a1
1
1
a1
0
01
1 an 1 0
an
1 aa c1

i
n 2
1 ai 1
ci
n 1
i1 i
1
1

0
a1
0
5. 行列式按行（列）展开
1 ) 余子式与代数余子式２）关于代数余子式的重要性质
a A n ki k 1

高等代数05期中试题(含答案)

《高等代数》05-06年度第一学期期中试题一、单项选择题1．对任意n 阶方阵A 、B 总有[ ] A. AB = BA B. | AB | = | BA | C. (AB)T =A T B T D. (AB)2=A 2B 2 2. 在下列矩阵中，可逆的是[ ]A. 000010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B. 110220001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C. 110011121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭D. 100111101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3. 设A 是3阶方阵，且|A| = 2-，则| A -1 |等于[ ]. A. 2-B. 12-C.12D. 24. 设A 是m n ⨯矩阵，则齐次线性方程组Ax = 0仅有零解的充分必要条件是[ ]. A. A 的行向量线性无关 B. A 的行向量线性相关 C. A 的列向量线性无关 D. A 的列向量线性相关 5．设有m 维向量组12():,,...,n I ααα，则[ ]. A. 当m < n 时，()I 一定线性相关 B. 当m > n 时，()I 一定线性相关 C. 当m < n 时，()I 一定线性无关D. 当m > n 时，()I 一定线性无关6．已知1β、2β是非齐次线性方程组Ax b =的两个不同的解，1α、2α是其导出组0Ax =的一个基础解系，1k 、2k 为任意常数，则方程组Ax b =的通解可表成[ ]. A. 1211212()2k k ββαββ-+++ B. 1211212()2k k ββαββ++++C. 1211222k k ββαα-++D. 1211222k k ββαα+++7. 向量组12():,,...,n I ααα,（n>1）线性无关等价于[ ]. A. 存在一组不全为0的数n k k k ,,,21 ，使其线性组合∑=nk ii k 1α不等于0B. 其中任意两个向量线性无关C. 任何一个向量均不能用其它向量线性表出D. 存在一个向量不能用其它向量线性表出8. 设矩阵111121231A λ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭的秩为2，则λ=[ ].A. 2B. 1C. 0D. 1-9. 设A 是n 阶可逆矩阵，()adj A 是A 的伴随矩阵（adjoint of A ），则[ ]. A. 1()n adj A A-=B. ()adj A A =C. ()nadj A A =D. 1()adj A A -=10. 设A ，B 为n 阶方阵，满足AB = 0，则必有[ ]. A. A = 0 或 B = 0 B. A + B = 0 C. | A | = 0 或 | B | = 0 D. | A | + | B | = 0二、填空题11．设m n ⨯矩阵A 的m 个行向量线性无关，则矩阵TA 的秩为。

哈工大2005年秋季学期《集合论与图论》试题

集合论与图论计算机学院05年秋季一、解答下列问题，要求只给出答案（每题2分，共16分）1.设A B 、为集合，试求一个集合X ，合得A X B ∆=。

（ A B ∆ ）2.设{}1,2,3,4A =，{}1,2B =，试求从A 到B 的满射的个数。

（42214-=）3.设{}1,2,,10A = ，试求A 上反自反二无关系的个数。

（29022n n -=）4.设{}12,,,p A u u u = ，()112q p p ≤-。

试求以V 为顶点集具有条边的无向图的个数。

（ ⎝⎛-2/)1(p p q）5.设T 是一个有P 个顶点的正则二元树，试求下的叶子数，其中P 是奇数。

（12P +）6.正整数m 和n 为什么值时,Km n 为欧拉图？（m n 和为偶数）7.设(),G V E =为无向图，,V P E P ==。

如果G 是边通图，那么G 至少有几个生成树？（3个）8. 具有p 个顶点q 条边的平面连通图中，p 和q 应满足什么样的关系式？(36q p ≤-)二、以下各题要求只给出答案（每题2分，共14分）１.设{}()()(){},,,,,,,,,X a b c d R a b b c c a ==，试求R 的传递闭包。

（()()()()()()()()(),,,,,,,,,,a a b b c c a b b c c a a c b a c b ，，，，，，，）2.将置换（123456789791652348）分解为循环置换的乘积，然后分解成对换的乘积()()()()()()()()()173298465171329282426=。

3.设0000010110100000010000000A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦12345110000210110310100410110500001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 如果A 4.设{}{}0,1,,,,,,,B E a b c x y z == 。

05-06(1)《几何与代数(B)》期末考试试卷B参考答案及评分标准

北京交通大学2005-2006学年第一学期《几何与代数（B）I》期末考试试卷（B）评分标准1. （10分）已知三角形ABC 三个顶点的坐标分别是A(1,0,1),B(-1,2,0),C(1,1,1). 求BC边上的高。

解 BC=(2,-1,1), BA=(2,-2,1)。

....2分ijk BC⨯BA=2-11=i-2k。

....8分2-21BC⨯BABC边上的高为。

....10分 ==BC2.（10分）计算行列式1+a11111-a11。

111-b11111+b+a11111-a11解 111-b11111+b第 1 页共 9 页aa011-a1=111-b00b11011-a1=ab111-b0011100-a0=ab00-b00001 ....4分 1b01=ab111100-a1001-b00101 ....8分 1101=a2b2 ....10分 113. （12分）已知直线L1，L2 的方程分别为z⎧yz⎧⎪x+=-1⎪+=1L1：⎨23 ， L2：：⎨3：：⎪⎪⎩y=0⎩x=0（1）求L1，L2间的距离；（2）求过L1，且与L2平行的平面方程。

解（1）化L1，L2 的方程为点向式：xy-2zx+1yz== L2 ：== ....2分 0-23-103 取L1上点M1(0,2,0)，L2上点M2(-1,0,0)，L1的方向向量s1=(0,-2,3)，L2的方向向L1 ：量s2=(-1,0,,3)。

则第 2 页共 9 页-1-20 (M1M2,s1,s2)=0-23=12≠0， ....5分 -103从而L1与L2是异面直线。

又s1⨯s2=0-23=(-6,-3,-2)-103(M1M2,s1,s2)12从而L1与L2的距离为=。

....9分 7s1⨯s2i j k(2) 所求平面的法向量为s1⨯s2=(-6,-3,-2)。

又点M1在所求平面上，故所求平面方程为-6(x-0)-3(y-2)-2(z-0)=0即6x+3y+2z-6=0. ....12分⎧x2+y2+z2=14.（10分）求以曲线 S：⎨为准线，顶点在坐标原点的锥面方x+y+z=1⎩程。

几何与代数历年真题

01-02学年第二学期几何与代数期终考试试卷一〔30%〕填空题：1．设(1,2)α=,(1,1)β=-,则Tαβ=；Tαβ==； 100()Tαβ=；2．设矩阵120031130A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,234056007B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则行列式1AB -=；3．若向量组123,,ααα线性无关,则当参数k 时,122331,,k αααααα---也线性无关；4．矩阵1111011100110001A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭的伴随矩阵*A =⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭； 5．设矩阵A 与A E +均可逆,则1()G E A E -=-+,且1G -=；6．与向量(1,0,1)α=,(1,1,1)β=均正交的单位向量为；7．四点(1,1,1),(1,1,),(2,1,1),(2,,3)A B x C D y 共面的充要条件为；8．设实二次型22212312323(,,)2f x x x x kx x x x =+++,则当k 满足条件时,123(,,)1f x x x =是椭球面；当k满足条件时,123(,,)1f x x x =是柱面.二〔8%〕记1π为由曲线23z y x ⎧=-⎨=⎩绕z -轴旋转所产生的旋转曲面,2π为以1π与平面3:1x y z π++=的交线为准线,母线平行于z -轴的柱面.试给出曲面12ππ及的方程,并画出13ππ被所截有界部分在x y -平面上的投影区域的草图〔应标明区域边界与坐标轴的交点〕. 三〔8%〕求经过直线2221x y z x y z +-=⎧⎨-+-=⎩且与x y -平面垂直的平面方程.四〔12%〕求矩阵方程2XA X B =+的解,其中,311101010,321003A B ⎛⎫-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭.五〔12%〕设线性方程组1．问：当参数,p q 满足什么条件时,方程组无解、有唯一解、有无穷多解？ 2．当方程组有无穷多解时,求出其通解.六〔12%〕设矩阵11113120132A k ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭,已知()2A =秩.1．求参数k 的值；2．求一42,,()2;B AB O B ⨯==矩阵使得且秩3．问：是否存在秩大于2的矩阵M 使得O AM =？为什么？七〔12%〕设实对称矩阵1．求参数,k l 的值；2．求一正交阵,.TQ Q AQ B =使得八〔6%〕已知n 阶方阵A 相似于对角阵,并且,A 的特征向量均是矩阵B 的特征向量.证明：AB BA =.02-03学年第二学期几何与代数期终考试试卷一．填空题、单选题〔每小题３分,共３６分〕1．[]2002105132⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎢⎥-=⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； 2．1230110002-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； 3．若A 是正交矩阵,则行列式3T A A =；4．空间四点(1,1,1)A ,(2,3,4)B ,(1,2,)C k ,(1,4,9)D -共面的充要条件是k =； 5．点(2,1,1)P -到直线11:221x y z l -+==- 的距离为；6．若４阶方阵A 的秩为２,则伴随矩阵A *的秩为； 7．若可逆矩阵P 使AP PB =,1203B -⎛⎫=⎪⎝⎭,则方阵A 的特征多项式为； 8．若３阶方阵A 使,2,3I A I A A I --+都不可逆,则A 与对角阵相似〔其中,I 是３阶单位阵〕；9．若0111120A x y ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭与对角阵相合,则(,)x y =； 10．设()1234,,,A A A A A =,其中列向量124,,A A A 线性无关,31242A A A A =-+,则齐次线性方程组0Ax =的一个基础解系是；11．设,A B 都是３阶方阵,AB O =,()()2r A r B -=,则()()r A r B +=〔〕〔Ａ〕5；〔Ｂ〕4；〔Ｃ〕3；〔Ｄ〕212．设n 阶矩阵A 满足22A A =,则以下结论中未必成立的是〔〕〔Ａ〕A I -可逆,且1()A I A I --=-；〔Ｂ〕A O =或2A I =；〔Ｃ〕若2不是A 的特征值,则A O =；〔Ｄ〕0A =或2A I =. 二．计算题〔每小题8分,共24分〕13．2015110112313012-14．求直线211:212x y z l --+==在平面:210x y z π+-+= 上的垂直投影直线方程． 15．设XA AB X =+,其中102020101A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,101B -⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭,求99X ．三．计算题、解答题〔三小题共３２分〕 16．设向量组123(,,)V L ααα=是123,,ααα生成的空间．已知()2V =维,V β∈．（１）求,a b ；（２）求V 的一个基,并求β在此基下的坐标；（３）求V 的一个标准正交基． 17．用正交变换化简二次曲面方程求出正交变换和标准形〕并指出曲面类型．18．设D 为由yoz 平面中的直线0z =,直线,(0)z y y =≥与抛物线22y z +=围成的平面区域．将D 绕y 轴旋转一周得旋转体Ω．〔１〕画出平面区域D 的图形；〔２〕分别写出围成Ω的两块曲面12,S S 的方程；〔３〕求12,S S 的交线l 在zox 平面上的投影曲线C 的方程；〔４〕画出12,S S 和l ,C 的图形．四．证明题、解答题〔每小题４分,共８分〕19．设η是线性方程组Ax b =的一个解,0b ≠,12,ξξ是导出组0Ax =的基础解系．证明：12,,ηξηξη++线性无关．20．设α是３维非零实列向量,α=又T A αα=．〔１〕求A 的秩；〔２〕求A 的全部特征值；〔３〕问A 是否与对角阵相似？〔４〕求3I A -．0３-0４学年第二学期几何与代数期终考试试卷一．〔24%〕填空题 1．若向量i a j k α=+-,bi j k β=++,k =γ共面,则参数b a ,满足.2．过点)1,2,1(P 且包含x 轴的平面方程为.3．已知矩阵A 满足O I A A =-+322,则A 的逆矩阵1-A =.4．设矩阵120031130A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭,234056007B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则行列式=-12B A .5．设向量组1231312,2,311k ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则当k 时,123,,ααα线性相关.6．向量空间2R 中向量)3,2(=η在2R 的基)1,1(=α,)1,0(=β下的坐标为 .7．满足下述三个条件的一个向量组为,这三个条件是：①它是线性无关的；②其中的每个向量均与向量()121=α正交；③凡与α正交的向量均可由它们线性表示.8．已知22⨯矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d b c a A ,若对任意2维列向量η有0=ηηA T ,则d c b a ,,,满足条件. 二．〔12%〕假设矩阵B A ,满足AB B A =-,其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=021021020A .求B .三．〔15%〕设向量()Ta1021=α,()T 5122-=α,()T 4213-=α,()T c b 1=β. 问：当参数c b a ,,满足什么条件时1．β能用321,,ααα唯一线性表示？ 2．β不能用321,,ααα线性表示？3．β能用321,,ααα线性表示,但表示法不唯一？求这时β用321,,ααα线性表示的一般表达式. 四．〔8%〕设实二次型问：实数a 满足什么条件时,方程1),,(=z y x f 表示直角坐标系中的椭球面？五．〔12%〕设3阶方阵A 的特征值为2,2-,1,矩阵I aA aA B +-=43. 1．求参数a 的值,使得矩阵B 不可逆；2．问：矩阵B 是否相似于对角阵？请说明你的理由. 六．〔12%〕已知二次曲面1S 的方程为：223y x z +=,2S 的方程为：21x z -=.1．问：1S ,2S 分别是哪种类型的二次曲面？2．求1S 与2S 的交线在xOy 平面上的投影曲线方程； 3．画出由1S 与2S 所围成的立体的草图.七．〔10%〕假设33⨯实对称矩阵A 的秩为2,并且C AB =,其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110011B ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110011C .求A 的所有特征值与相应的特征向量；并求矩阵A 与9999A .八．〔7%〕证明题：1．设t ηηη,,,21 是齐次线性方程组θ=Ax 的线性无关的解向量,β不是其解向量.证明：t ηβηβηββ+++,,,,21 也线性无关.2．设A 是n 阶正定矩阵,证明：1>+A I .04-05学年第二学期几何与代数期终考试试卷一、 <24%>填空题1．以(1,1,2)A ,(2,1,1)B --,(1,1,1)C --为顶点的三角形的面积为；2．设3阶矩阵123(,,)A ααα=,23131(,2,)B ααααα=+-.若A 的行列式3A =,则B 的行列式B =； 3．若向量(1,0,1)α=,(2,1,1)β=-,(1,1,)k γ=-共面,则参数k =；4．若A 为n 阶方阵,则方阵2I O B A I ⎛⎫= ⎪⎝⎭的逆矩阵1B -=；5．已知向量111η⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭是矩阵11201122a A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的特征向量,则参数a =,相应的特征值等于；6．假设矩阵1000A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则在实矩阵11001110,,,,11021101B C D E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1300F ⎛⎫= ⎪⎝⎭中,与A 相抵的有；与A 相似的有；与A 相合的有．二、〔8%〕计算行列式121111x x x x x x xx xx ．三、〔10%〕假设200110102A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,121210B -⎛⎫= ⎪-⎝⎭,求矩阵方程3XB XA =+的解．四、〔14%〕假设矩阵1101011A λλλ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,000θ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,11a b ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭．1．已知齐次线性方程组Ax θ=的基础解系中有两个线性无关的解向量．试确定这时参数λ的值,并求这时Ax θ=的一个基础解系．2．若在非齐次线性方程组Ax b =的解集中,存在两个线性无关的解向量,但不存在更多的线性无关的解向量,试确定这时参数λ与a 的值,并求Ax b =的通解．五、〔10%〕已知直线l 过点(1,1,1)P ,与平面:1x y z π+-=平行,且与直线1121xy z λ- ==：相交.求直线l 的方向向量,并写出直线l 的方程．六、〔10%〕假设二次曲面1π的方程为：2242x y z +=；平面2π的方程为：1x z =-． 1. 1π与2π的交线向xy 平面作投影所得的投影曲线l 的方程为； 2. 该投影曲线绕x 轴旋转所得的旋转曲面π的方程为； 3. 在坐标系中画出投影曲线l 的草图〔请给坐标轴标上名称〕；4. 在坐标系中画出1π与2π所围成的立体的草图〔请给坐标轴标上名称〕．七、〔14%〕设二次型1．试就参数k 不同的取值范围,讨论二次曲面123(,,)1f x x x =的类型；2．假设0k >．若经正交变换X QY =,123(,,)f x x x 可以化成标准形222123224y y y +-,求参数k 与一个合适的正交矩阵Q ．八、〔10%〕证明题1．假设n 维向量112a b βαα=+,212c d βαα=+.若12,ββ线性无关,证明：12,αα线性无关,并且,行列式0a b c d ≠.2．假设,A B 都是n 阶实对称矩阵,并且,A 的特征值均大于a ,B 的特征值均大于b ,证明：A B +的特征值均大于a b +.05-06学年第二学期几何与代数期终考试试卷一. <24%>填空题1. 直角坐标系中向量(1,1,2)α=与(1,0,1)β=的向量积为；2. 过点(1,0,1)P 且与直线1211x y z-==垂直的平面的方程为； 3. 设0110P ⎛⎫=⎪⎝⎭,1011Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭,a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则1010P AQ =⎛⎫⎪⎝⎭；4. 若33⨯矩阵A 的秩为2, 123,,ααα是线性方程组Ax b =的解向量 ,并且()12,3,4Tα=,()232,4,6Tαα+= , 则线性方程组Ax b =的通解是；5. 设α是(1)n n >维列向量,则n 阶方阵TA αα=的行列式A 的值为； 6. 设A 是33⨯矩阵,若矩阵,2,23I A I A I A +--均不可逆,则行列式A = ； 7. 若3是n n ⨯矩阵A 的特征值,2A =,*A 是A 的伴随矩阵,则矩阵*A 的一特征值为； 8. 若222221x y z kxz +++=表示一单叶双曲面,则k 满足条件.二〔12%〕设1234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,101021001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,132011C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭,求11,A B --以与矩阵X ,使A O C X O B O ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.式中的O 均指相应的零矩阵.三〔10%〕设向量组123,,ααα线性无关 , 问: 参数,l m 满足什么条件时, 向量组12l αα+,23m αα+ ,13αα+也线性无关？四〔14%〕已知空间直角坐标系中三平面的方程分别为：1:21x y z π++=,2:2x y z πλ++=,1. 问：当λ取何值时这三个平面交于一点？交于一直线？没有公共交点？2. 当它们交于一直线时,求直线的方程.五〔12%〕已知33⨯矩阵10023302A aa a a -⎛⎫ ⎪=-+ ⎪ ⎪--+⎝⎭有一个二重特征值. 1. 试求参数a 的值,并讨论矩阵A 是否相似于对角阵.2. 如果A 相似于对角阵,求可逆矩阵P ,使得1P AP -=Λ是对角阵. 六〔10%〕假设,A B 是实对称矩阵.证明：分块矩阵A O M O B ⎛⎫=⎪⎝⎭是正定矩阵的充分必要条件是,A B 都是正定矩阵.七〔8%〕由与平面1z =-与点(0,0,1)M 等距离运动的动点(,,)P x y z 所生成的曲面记为1π,将yOz 平面上曲线250y z x ⎧+=⎨=⎩以z 轴为旋转轴所生成的旋转曲面记为2π.则：1.1π的方程是：；2π的方程是：；2. 1π与2π的交线在xOy 平面上的投影曲线方程是：；3. 在坐标系中画出由这两个曲面所围成的有限立体的简图．八〔10%〕证明题：1. 若22⨯实矩阵A 的行列式0A <,证明：A 必定相似于对角阵．2. 假设n n ⨯实对称矩阵A 的特征值为12,,,n λλλ,α是A 的属于特征值1λ单位特征向量,矩阵1TB A λαα=-．证明：B 的特征值为20,,,n λλ．06-07第二学期几何代数期终考试试卷一． <30%>填空题〔I 表示单位矩阵〕1.向量(1,0,1),(1,1,0),(1,1,)k αβγ=-=-=共面时参数k 的值为,此时,与这三个向量都正交的一个单位向量是； 2. 向量组123410110111,,,21131102αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的秩等于,这个向量组的一极大线性无关组是；3. 假设矩阵1(2,)2A t ⎛⎫= ⎪⎝⎭,若1是A 的特征值,则参数t 的值为；4. 二次型22(,,)22f x y z x z xy =++的正、负惯性指数分别为,下列图形中,能表示二次曲面(,,)1f x y z =的图形的标号为：〔A 〕,〔B 〕 ,〔C 〕 , 〔D 〕；5. 由曲线2z x y ⎧=⎨=⎩绕z -轴旋转所产生的旋转曲面方程为；6. 若向量组1211,1a αα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与向量组1211,2b ββ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等价,则参数,a b 必定满足条件；7. 若2130100A b a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与00010001c B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似,则(),,a b c =.二．〔10%〕已知向量组1234,,,αααα线性无关,问：当参数p 取何值时,向量组也线性无关？三．〔15%〕假设,p q 是参数,空间直角坐标系中平面123,,πππ的方程分别如下：1:21x y z π-+=,2:22x py z π++=,（1）问：当,p q 取何值时, 这三个平面的公共点构成一直线？（2）当它们的公共点构成一直线时,求直线的方向向量,并给出该直线的对称方程.四．〔15%〕设212010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,100010001⎛⎫⎪Λ=- ⎪ ⎪⎝⎭,并且AP P =Λ,求A 与99A .五．〔15%〕已知二次型22212312312(,,)4f x x x x x x x x =+--.（1）写出二次型f 的矩阵；（2）求一个正交变换x Qy =,把f 化为标准形, 并给出该标准形；（3）假设0a >,求222123123max (,,)x x x at f x x x ++==的值．六．〔15%〕证明题：1. 已知矩阵a b A I c d ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭,其中,2,1a d ad bc +=-=.证明：A 不与任何对角阵相似．2. 假设s n ⨯矩阵A 的秩等于r ,并且非齐次线性方程组Ax b =〔b θ≠〕有解.证明：Ax b =有并且只有1n r -+个线性无关的解向量． 3. 若A B 、都是可逆的实对称矩阵,且A B A B -、、都是正定矩阵,证明：11B A ---也是正定矩阵．。

线性代数与空间解析几何》哈工大版课件幻灯和习题(3)

a (n 1)b 1 b a b
1 b ba 1b bb
ab
a (n 1)b
0 a b
a (n 1)b(a b)n1.
0 ab
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13
a11 a1k
0
例3
设
D
ak1 c11
akk c1k
b11
b1n
cn1 cnk bn1 bnn
a11 a1k
b11 b1n
q11
0
设为 D2
q11 qnn .
qn1 pnk
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15
对 D 的前 k 行作运算 ri krj，再对后 n 列作运算 ci kc j ,把 D 化为下三角形行列式
p11
0
D
pk1 c11
pkk c1k
q11
,
cn1 cnk qn1 qnn
故 D p11 pkk q11 qnn D1 D2 .
则D等于下列两个行列式之和：
a11 a1i a1n a11 a1i a1n
D
a21
a2i
a2n
a21
a2i
a2n
an1 ani ann an1 an i ann
2021/4/22
8
性质６把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．
推论行列式的某一行（列）中各元素的公因子可以提到行列式符号的外面．
2021/4/22
6
性质４行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．
证明 a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain

我与数学北交数学史期中作业高分版

著名数学家及重要数学定理
欧几里德早在公元前300年，希腊人人欧几里德就
写了一本名叫《几何学原理》的书，书中整理了大量希腊人的几何学发现，特别是将那个时代的三大发明纳入这本书中。欧几里德收入的这些几何学理论直到今天仍对数学家们有很大的启发
著名数学家及重要数学定理
欧式几何的五条公设是：
著名数学家及重要数学定理
泰勒：
18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一，于1685 年8月18日在米德尔塞克斯的埃德蒙市出生。1709年后移居伦敦，获法学硕士学位。他在1712年当选为英国皇家会员会员，并于两年后获法学博士学位。同年（即1714年）出任英国皇家学会秘书，四年后因健康理由辞退职务。1717 年，他以泰勒定理求解了数值方程。
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314
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.”“这个米塞尔就是
是一条线索.馅饼英语叫Pie 而希腊语Pie
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就是π
π的近似值3.14.
用馅饼来暗示凶手所住的房间.”警方逮捕了米塞尔.
.
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看看上面的带箭头的两条直线，猜猜看哪条更长? 是上面那条吗?
著名数学家及重要数学定理
泰勒的主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书内以下列形式陈述出他已于1712年7月给其老师梅钦（数学家、天文学家）信中首先提出的著名定理－－泰勒定理：式内v为独立变量的增量，及为流数。他假定z随时间均匀变化，则为常数。