华中科技大学电工电子学课件第3章

ψ
Im
三要素:
ωt
： 电流幅值（最大值）
ω ψ
： 角频率（弧度/秒）
： 初相角
正弦量三要素之一 --- 幅值
最大值
i = I m sin (ω t + ψ
)
最大值必须 大写加下标 m, 如：Um、Im
I m 为正弦电流的最大值
在工程中常用有效值表示大小。常用交流电表指示 的电压、电流读数，就是被测物理量的有效值。如： 我国民用单相交流电压Ｕ＝220V，即为有效值。
单位：赫兹，千赫兹 ...
3. 角频率 ω： 每秒变化的弧度 单位：弧度/秒 1 2π ω= = 2π f f = T T 我国工频电源： f =50 HZ, ω=314 rad/s, T=0.02 s
正弦波 三要素之三 -- 初相位
i = 2 I sin (ω t + ψ )
ψ：
（ ω t + ψ）
∑I
k =1
= 0 用有效值相量表示
∑I
k =1
n
• k
=0
同理 KVL :
∑u
k =1
n
k
= 0 每个uk 均用相量表示
∑U
k =1
n
•
km
= 0 用有效值相量表示
∑U
k =1
n
•
k
=0
正弦交流电路中, 有效值一般不符合KCL和KVL, 即： ∑U ≠ 0 ； ∑I ≠ 0
例3-5: 已知U1=U2=100V，初相位Ψ1=00,Ψ2=-900,求U读数 U1 R u1 U U2 C u2
可得
I=
Im 2
当 i = Im sin
(ω t +ψ ) 时，
可得
I=
Im 2
i可写为： 同理:
i = 2I sin (ω t +ψ )
u = Um sin (ω t +ψ )
U=
Um 2
u可写为： u = 2U sin (ω t +ψ )
正弦波三要素 之二--角频率
i
ωt
T
描述变化周期的几种方法 1. 周期 T： 变化一周所需的时间 2. 频率 f： 每秒变化的次数 单位：秒，毫秒..
第3章 单相正弦交流电路
交流电的概念
如果电流或电压每经过一定时间(T )就重复变化一次, 则称为周期性交变电流或交变电压。如正弦波、方波、 三角波、锯齿波 等。
u t
T
u t
T
正弦交流电路
如果交流电动势的大小与方向均随时间按正弦规 律变化，在电路中产生的电流、电压大小和方向也按 正弦规律变化，这样的电路称为正弦交流电路。
= (100 2 + j100 2 + 75 3 − j 75)V = ( 271.3 + j 66.4 )V = 279.3∠13.80 V u=279.3 2 sin(ωt+13.80) V
+j
&1 U
& U
+1
&2 U
三.基尔霍夫定理的相量形式
KCL :
n
∑i
k =1 • km
n
k
= 0 每个ik 均用相量表示
± j 称为90°旋转因子 相量乘以+j ，使相量逆时针转90° 相量乘以-j ，使相量顺时针转90°
相量法应用举例 例1: 已知瞬时值，求有效值相量。
π i = 141.4 sin 314t + A 6 已知:
解：
π u = 311.1 sin 314t − V 3
i t
正弦交流电的正方向
正弦交流电要规定正方向,瞬时值的正负与正方向有关
i
u
R
i
实际方向和假设方向一致
t
实际方向和假设方向相反
用小写字母表示 交流瞬时值
计算交流电路时，首先要规定物理量的 参考方向，然后才能用数学表达式描述。
3.1正弦量的基本概念 一、正弦交流电的三要素
Im
i
i = I m sin(ω t +ψ )
b
a
a2 + b2 b ϕ = tg − 1 a
U =
U = a + jb = U cos ϕ + jU sin ϕ
j
b
U U
欧拉公式: e jΨ= cosΨ+ jsinΨ
Ψ
a
+1
U= a + jb 代数式 = U(cosΨ + jsinΨ) 三角式 = Ue j Ψ 指数式 = U∠Ψ 极坐标形式
u = 5 2 sin(ω t + 126 ⋅ 9 o )
u = 5 2 sin(ω t − 126 ⋅ 9o )
相量的复数运算
1. 复数加 、减运算 设： U 1 = a 1 + jb1
U 2 = a 2 + jb2
则：
U = U1± U2 = (a1±a2 ) + j(b1±b2 ) = Ue jϕ
1.矢量长度 = Im 2.矢量与横轴夹角 Ψ= 欧拉公式 初相位 :
最大值相量：Im= Im e jΨ 有效值相量： I= I e jΨ
e jΨ= cosΨ+ jsinΨ 3.矢量以角速度ω逆时针方向旋转
相量的简化画法:
同频率正弦量任意 时刻, 相位关系 不变。可用t=0时 的矢量来计算。
Ψ
Um 或 U
141 .4 ∠30 o = 100 ∠30 o = 86 .6 + j50 2 A
I=
U=
311.1 ∠ − 60 o = 220∠ − 60 o = 110 − j 190.5 V 2
例2：已知相量，求瞬时值。
已知两个频率相同f =1000 Hz的正弦电流其相量形式 为：
o I1 = 100 ∠ − 60 A j 30 A I2 = 10 e
有效值必须大写，如：U、I
有效值概念
当
交流电流 i 通过电阻R在 一个T周期内产生的热量 与直流电流 I 通过同一 电阻在同一时间T内产生 的热量相等，则称 I 为 i 的有效值。
热效应相当
∫
T
0
i2R dt = I 2 RT
交流 直流 （均方根值）
则有
1 T 2 I= i dt ∫ T 0 i = Im sin (ω t +ψ ) 时，
ψ
(c)Ψ<0 -1800<Ψ<0 i(0)＜0
两个同频率正弦量间的相位差( 初相差)
i
Ψi Ψu
u
ωt
i = I m sin (ω t + ψ
u = U m sin (ω t + ψ
i
u
)
)
>0 =0 <0
ϕ = ( ωt + ψ u ) − ( ωt + ψ i ) = ψ u − ψ i
两种正弦信号的相位关系
ψ2
ψ
ψ1
U1
U
注意 ：
1. 只有正弦量才能用相量表示。 2. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上。
新问题提出： 平行四边形法则可以用于相量运算，但不够精确。 故引入相量的复数运算法。 相量 复数表示 复数运算
二.相量式
将相量 j
U 放到复平面上，可如下表示： U U
ϕ
+1
a、b分别为U在实轴 和虚轴上的投影
2. 复数乘、除法运算
ϕ A 1 = A 1e j 1 设： ϕ A 2 = A 2e j 2
乘法：
A = A1 A 2 = A1 A 2 e j(ϕ1 +ϕ 2 )
除法：
A1 A2
=
A1 A2
e
j (ϕ 1 − ϕ 2 )
3. 90o旋转因子: ±j
已知
+j
jI
± jα
& = Ae A
& C
α -α
最大值相量：Um= Um e jΨ 有效值相量：U= U e jΨ
1. 描述正弦量的有向线段称为相量 (phasor )。若其幅度
Um。用有效值表示,则用符号: U 用最大值表示,用符号：
2.实际应用中，矢量长度更多采用有效值，则用符号： 3. 相量符号U、I 包含幅度与相位信息。
U
I
4.相量与正弦量之间是一一对应的关系不是相等的关系 5.相量法变三角运算为复数运算,变微分方程为代数方程
：正弦波的相位角或相位
t = 0 时的相位，称为初相位或初相角。
i
ωt
说明：ψ 给出了观察正弦波的起点或参考点，
常用于描述多个正弦波之间的相位关系。
ψ
初相位的三种情况:
i
ωt
i
ωt
i
ωt
ψ
(a) Ψ=0 i(0)=0 (b)Ψ>0 0<Ψ<1800 i(0)＞0 参考正弦量: i(t)= Im sinωt
U2 j
ϕ2=120°
U1
ϕ1=60° ϕ3= -120° +1
U3
例： 计算相量的相位角时，要注意所在象限。 如：
U = 3 + j4
u = 5 2 sin(ω t + 53 ⋅ 1o )
U = 3 − j4
U = −3 + j4
U = −3 − j4
u = 5 2 sin(ω t − 53 ⋅ 1o )
正弦波的相量表示法举例
例1：将 u1、u2 用相量表示
u1 =
2U 1 sin (ω t + ψ 1 )
+j
u2 =