高教五版高数(经济类)定积分的概念与性质随堂讲义

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目录
• 定积分的概念 • 定积分的计算 • 微积分的应用 • 定积分的物理应用 • 定积分的进一步理解
01
CATALOGUE
定积分的概念
定积分的定义
01
定积分是积分的一种，是函数在区间上积分和的极限。
02
定积分常用于计算平面图形的面积、体积等。
03
定积分的定义基于极限思想，通过分割、近似、求和、取极限等步骤来定义。
物体在重力作用下的功与能
总结词
通过定积分计算重力做功和能量变化
详细描述
在重力作用下，物体运动过程中重力所做的功和能量变化可以用定积分表示。通过定积分计算，可以得出重力做功和能量变化的具体数值。
05
CATALOGUE
定积分的进一步理解
定积分的极限思想
定积分是通过对曲线下的面积进行极限分割，再求和得到的结果，这个过程体现了极限的思想。
可加性
对于任意分割的两个区间上的定积分，其和等于两区间上定积分的和。
区间区间上定积分的值之和。
比较性质
如果函数在不同区间上单调增加或减少，则其定积分的值也相应增加或减少。
02
CATALOGUE
定积分的计算
微积分基本定理
总结词
微积分基本定理是定积分计算的基础，它建立了积分与微分的联系，为解决定积分问题提供了重要的思路和方法。
另一个函数的定积分进行计算。这些方法在实际应用中具有广泛的应用价值。
积分中值定理
总结词
积分中值定理揭示了定积分与被积函数之间的关系，它是解决定积分问题的一个重要工具。
详细描述
积分中值定理指出，对于连续函数f(x)在闭区间[a,b]上的定积分∫baf(x)dx=f(ξ)(b−a) ，其中ξ∈[a,b]。这个定理说明了定积分的结果等于被积函数在一个子区间上的取值与该区间长度的乘积。这个定理在解决定积分问题时非常有用，特别是当我们需要找到被

高教五版高数(经济类)广义积分随堂讲义

2017年4月15日星期六
8
二、无界函数（Unbounded 积分
引例:曲线开口曲边梯形的面积与 x 轴, y 轴和直线可记作
Functions）
的广义
所围成的
y
其含义可理解为
A lim
0

1
dx lim 2 x 1 x 0
lim 2(1 ) 2
0
当 q ≥ 1 时, 该广义积分发散 .
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内容小结
1. 广义积分
积分区间无限常义积分的极限被积函数无界
2. 两个重要的广义积分
, 1 , p 1 ( p 1) a
p 1 p 1
,
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q 1
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说明: (1) 有时通过换元 , 广义积分和常义积分可以互
新课引入
前面讨论的定积分，的积分，都是在有限区间上的有界函数这类积分属于通常意义下的积分. 还会遇到积分区间为无限或被积
但在实际问题中，
函数在积分区间上是无界的情况，这就需将定积分的概念推广，广义积分. 推广后的积分被称为
积分限有限
常义积分被积函数有界
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推广
无穷限的广义积分

2a

2a
2
2a 1 e 2 a e 2 a
a 0或a － 1
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2. 试证
解:

0
2 x dx , 并求其值 . d x 4 0 1 x4 1 x
令
1 1 1 14 t 2 d t

高教五版高数(经济类)定积分的计算方法随堂讲义

令
n sin (2
2
0
t ) d t 2 cos n t d t
0 n2

则
u ( n 1) sin

2
2
x cos x ,
n2
v cos x
I n [ cos x sin
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n 1
x] 0 (n 1) sin 0
0
1
答案为:
2
5
例 11 设 f (5) 2 ， f ( x)dx 3 计算 xf ( x)dx .
0 0
5
答案为:
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7
例12 证明
n 1 n 3 3 1 , n 为偶数 n n2 4 2 2
n 为奇数证: 令则 t x , 2

所以有
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二、定积分的分部积分法 1 定理2 设 u ( x) , v( x) C [a , b] , 则
b a
证:
[u ( x ) v ( x )] u ( x )v ( x ) u ( x )v( x )
两端在 [ a, b] 上积分 b b b u ( x) v( x) u ( x )v ( x ) dx u ( x )v( x ) dx a a a b b u ( x )v ( x ) u ( x ) v ( x ) dx a a
[ , ] 时，定理 1 仍成立 .
2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .
3) 换元公式也可反过来使用 , 即
f ( x) d x ( 令 x (t ) )

高教社2024高等数学第五版教学课件-5.1 定积分的概念与性质

第五章定积分
第一节定积分的概念与性质
一、问题的提出
实例1 (求曲边梯形的面积)
由连续曲线 = ()(() ≥ 0)、
轴、直线 = 、 = 所围成的图形
称为曲边梯形。
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
o
y
a
b
（四个小矩形）
x
o
a
b
x
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
→0
= max ∆
1≤≤
= σ=1 ± σ=1
=
→0

‫ ׬‬
±

‫ ׬‬
→0

性质1可以推广到有限个可积函数作和或者作差的情况.
性质2 被积函数的常数因子可提到积分号的外面，即

‫)( ׬‬
总有下式成立：

‫ )( ׬ = )( ׬‬+ ‫)( ׬‬.
例如，若 < < ，则

‫ ׬‬

=

‫ ׬‬
+

‫ ׬‬

，
故 ‫ )( ׬ = )( ׬‬− ‫)( ׬‬
= ‫ )( ׬‬+ ‫)( ׬‬.
证
因为 ≤ () ≤ ,由性质4得

‫ ׬‬

≤ ‫ ׬ ≤ )( ׬‬,

又‫ = ׬‬− ,

故( − ) ≤ ‫ ( ≤ )( ׬‬− ).
性质6(积分中值定理)
∈

[, ]，使‫)( ׬‬
设函数()在[, ]上连续，则至少存在一点

5.1 定积分的概念与性质

lim ෍ ( )Δ =
→0
=1
则称这个极限为函数()在区间[, ]上的定积分,记为

න ()d
第一节定积分的概念与性质

定积分
第五章
即
积分上限

定积分
积分和
න ()d = = lim ෍ ( )Δ
积分下限
→0

=1
被积被
积分积
[, ]积分区间函变表
[, ]
[, ]

( − )≤ න ()d ≤( − ) ( < )

证
∵ ≤()≤,

∴ න d≤ න ()d≤ න d ,

( − )≤ න () d≤( − ).

第一节定积分的概念与性质
此性质可用于
估计积分值的
第五章
8. 定积分中值定理
如果 () 在区间[, ]上连续, 则至少存在一点 ∈ [, ], 使

න ()d = ( )( − )

证
设()在[, ]上的最小值与最大值分别为 , ,

1
න ()d≤
则由性质7可得 ≤
−
根据闭区间上连续函数介值定理, ∃ ∈ [, ], 使
= lim ෍ ( )
=
lim ෍ ( ) ⋅
→∞
− →∞

故它是有限个数的平均值概念的推广.
第一节定积分的概念与性质
把区间[, ]分成个小区间,
[0 , 1 ], [1 , 2 ], ⋯ , [−1 , ], ⋯ , [−1 , ]
各个小区间的长度依次为

定积分的概念及性质课件

度、磁场强度等；在弹性力学中，定积分可以用于求解应力和应变等问题。
06
定积分的进一步应用
积分变换
积分变换的定义
积分变换是一种将函数在某一区间内的行为转化为另一种函数的方法，常见的积分变换包括傅里叶变换和拉普拉斯变换等。
积分变换的性质
积分变换具有一些重要的性质，例如线性性质、时间平移性质和微分性质等，这些性质在解决实际问题中具有广泛的应用。
积分变换的应用
积分变换在信号处理、图像处理和控制系统等领域有着广泛的应用，通过积分变换可以将复杂的信号或系统转换为易于分析和处理的函数形式。
傅里叶变换
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种将时间域函数转换为频域函数的方法，它可以将一个时间函数分解成一系列不同频率的正弦和余弦函数的线性组合。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换具有一些重要的性质，例如线性性质、对称性质和微分性质等，这些性质在解决实际问题中具有广泛的应用。
傅里叶变换的应用
傅里叶变换在信号处理、图像处理和控制系统等领域有着广泛的应用，通过傅里叶变换可以将复杂的信号或系统转换为易于分析和处理的频域函数形式。
反常积分
反常积分的定义
反常积分是一种在无穷区间上定义的积分，它通常用于处理一些在无穷远处收敛的函数。
符号的意义
定积分的符号表示一个函数在一个区间上的总值，其中“∫”表示积分号。
计算公式
定积分可以通过一个公式
来计算x，其中a和b
是区间的端点。
02
定积分的性质
连续函数的积分性质
积分区间可加性
对于任意两个不相交的区间[a,b]和[b,c]，有$\int_{a}^{c}f(x)dx = \int_{a}^{b}f(x)dx + \int_{b}^{c}f(x)dx$。

第五章积分 5-1 定积分的概念与基本性质

性质 4 若 f (x) 是 [a, b] 上的连续函数, 则 | f (x) | 也是 [a, b] 上的连续函数, 从而可积, 且
b
b
|
a
f (x)d
x|
|
a
f (x)|d
x.
证明由于 | f (x) | f (x) | f (x) |, 应用性质 3
b
b
b
a | f (x)|d x | a f (x) d x a | f (x)|d x,
43
4
1
1
1
2
7 1 sin 2
1 sin 2 x 1 sin 2
, 3
3
4
所以
21
3
4
4 7
d
x
3
4
dx 1 sin 2
x
3
4
2 3
d
x
.
18
《高等数学》课件 (第五章第一节)
推论 2 设 f R [a, b], 且在 [a, b] 上 f (x) 0, 则
b
a f ( x) d x 0.
性质 2 (积分对区间的可加性) 设 a c b, f R [a, b], 则 f R [a, c], f R [c, b],
且
b
c
b
f (x) d x f (x) d x f (x) d x.
a
a
c
一般, 当上式中三个积分都存在时, 无论 a, b, c 之间具有怎样的大小关系, 等式都成立.
当 f (x) R [a, b] 时, 可在积分的定义中, 对 [a, b] 作特殊的分
划, 并取特殊的 i [x i 1, x i] , 计算和式. 如等分区间 [a, b], 并取点 i 为 [x i 1, x i] 的右端点 x i 或左端点 x i 1 或中点.

定积分的概念与性质15页word

第五章定积分第一节定积分的概念与性质教学目的：理解定积分的定义，掌握定积分的性质，特别是中值定理. 教学重点：连续变量的累积，熟练运用性质. 教学难点：连续变量的累积，中值定理. 教学内容：一、定积分的定义１．曲边梯形的面积设)(x f y =在[]b a ,上非负，连续，由直线x a =，x b =，0y =及曲线)(x f y = 所围成的图形，称为曲边梯形．求面积：在区间[]b a ,中任意插入若干个分点b x x x x x a n n =<<<<=-1210 ，把[]b a ,分成n 个小区间[10,x x ],[21,x x ], … [n n x x ,1-]，它们的长度依次为：1122011,,,--=∆-=∆-=∆n n n x x x x x x x x x经过每一个分点作平行于y 轴的直线段，把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形，在每个小区间[i i x x ,1-]上任取一点i ξ，以[i i x x ,1-]为底，)(i f ξ为高的窄边矩形近似替代第i 个窄边梯形(1,2,,)i n =，把这样得到的n 个窄矩形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值，即n n i x f x f x f A ∆++∆+∆≈)()()(221ξξξ =∑=∆ni i i x f 1)(ξ．设{}0,,,m ax 21→∆∆∆=λλn x x x 时，可得曲边梯形的面积∑=→∆=ni i i A x f A 1)(lim ξ．2．变速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度)(t v v =是时间间隔[21,T T ]上t 的连续函数，且0v ≥，计算在这段时间内物体所经过的路程S在[21,T T ]内任意插入若干个分点212101T t t t t t T n n =<<<<=- ，把[21,T T ]分成n 个小段[10,t t ]，[21,t t ]，…， [n n t t ,1-]，各小段时间长依次为：,,,,1122011--=∆-=∆-=∆n n n t t t t t t t t t相应各段的路程为：n S S S ∆∆∆,,,21 ，在[i i t t ,1-]上任取一个时刻)(1i i i i t T t T ≤≤-，以i T 时的速度)(i T v 来代替[i i t t ,1-]上各个时刻的速度，则得：i i i t T v S ∆≈∆)( ),,2,1(n i =，进一步得到：n n t T v t T v t T v S ∆++∆+∆≈)()()(2211 =∑=∆ni t T v 111)(设{}0,,,,m ax 21→∆∆∆=λλ当n t t t 时，得：∑=→∆=ni i t T v S 1)(lim λ.3．定积分的定义由上述两例可见，虽然所计算的量不同，但它们都决定于一个函数及其自变量的变化区间，其次它们的计算方法与步骤都相同，即归纳为一种和式极限，即面积∑=→∆=ni iixf A 10)(limξλ，路程∑=→∆=ni iitT v S 1)(limλ.将这种方法加以精确叙述得到定积分的定义定义设函数],[)(b a x f 在上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 ，把区间[,]a b 分成n 个小区间],,[,],,[],,[12110n n x x x x x x -各个小区间的长度依次为1122011,,,--=∆-=∆-=∆n n n x x x x x x x x x .在每个小区间[i i x x ,1-]上任取一点i i i i x x ≤≤-εε1(),作函数值)(i f ε与小区间长度i x ∆的乘积),,,2,1()(n i x f i i =∆ε并作出和∑=∆=ni i i x f S 1)(ε.记},,,m ax {21n x x x ∆∆∆= λ,如果不论对[,]a b 怎样分法,也不论在小区间[i i x x ,1-]上点i ε怎样取法,只要当0λ→时,和S 总趋于确定的极限I ,这时我们称这个极限I 为函数)(x f 在区间[,]a b 上的定积分(简称积分)，记作⎰badx x f )(．即⎰badx x f )(=I =∑=→∆n i i i x f 1)(lim ελ,其中)(x f 叫做被积函数，dx x f )(叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，[,]a b 叫做积分区间.注意积分与积分变量无关，即：⎰⎰⎰==bab abadu u f dt t f dx x f )()()(.函数可积的两个充分条件：定理1 设],[)(b a x f 在上连续，则)(x f 在[,]a b 上可积．定理2 设],[)(b a x f 在上有界，且只有有限个间断点，则],[)(b a x f 在上可积．例利用定积分定义计算⎰12dx x .解 2()[0,1]f x x =是上的连续函数，故可积，因此为方便计算，我们可以对[0,1]n 等分，分点i i n i nix ξ;1,,2,1,-==取相应小区间的右端点，故 ∑∑∑===∆=∆=∆n i i in i i ini i i x x x x f 12121)(ξξ=∑∑===ni ni in n ni 1232111)(=)12)(1(6113++n n n n =)12)(11(61n n ++, 时0→λ（即时∞→n ），由定积分的定义得：⎰12dx x =31. 二、定积分的性质：为方便定积分计算及应用，作如下补充规定：(1) 当a b =时，0)(=⎰badx x f ,(2) 当a b >时，-=⎰badx x f )(⎰abdx x f )(.性质1 函数和（差）的定积分等于它们的定积分的和（差），即=±⎰dx x g x f b a)]()([±⎰badx x f )(⎰badx x g )(.证明=±⎰dx x g x f ba)]()([ini iix g f ∆±∑=→1)]()([lim ξξλ=±∆∑=→ini ixf 10)(limξλi ni i x g ∆∑=→1)(lim ξλ=±⎰badx x f )(⎰badx x g )(.性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即=⎰badx x kf )(k⎰badx x f )( (k 是常数).性质3 如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两个区间上定积分之和，即设a c b <<,则=⎰badx x f )(⎰+cadx x f )(⎰bcdx x f )(注意我们规定无论,,a b c 的相对位置如何，总有上述等式成立. 性质4 如果在区间[,]a b 上，则,1)(≡x f =⎰badx x f )(a b dx ba-=⎰.性质5 如果在区间[,]a b 上，则,0)(≥x f0)(≥⎰badx x f )(b a <证明：因,0)(≥x f 故),,3,2,1(0)(n i f i =≥ξ，又因),,2,1(0n i x i =≥∆，故0)(1≥∆∑=i ni i x f ξ，设12max{,,,},0n x x x λλ=∆∆∆→时，便得欲证的不等式.推论1 如果在[,]a b 上，则),()(x g x f ≤≤⎰badx x f )(⎰badx x g )( )(b a <.推论2≤⎰badx x f )(⎰badx x f )(.性质6 设M 与m 分别是函数],[)(b a x f 在上的最大值及最小值，则≤-)(a b m ≤⎰badx x f )()(a b M - )(b a <性质7 （定积分中值定理）如果函数)(x f 在闭区间[,]a b 上连续，则在积分区间[,]a b 上至少存在一点ξ，使下式成立：))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ （b a ≤≤ξ）.证明：利用性质6，⎰≤-≤b aM dx x f a b m )(1；再由闭区间上连续函数的介值定理，知在[,]a b 上至少存在一点ξ，使⎰-=ba dx x f ba f )(1)(ξ，故得此性质. 显然无论ab >，还是a b <，上述等式恒成立. 做本节后面练习，熟悉上面各性质.积分中值定理的几何释意如下：在区间[,]a b 上至少存在一个ξ，使得以区间[,]a b 为底边, 以曲线)(x f y =为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为)(ξf 的一个矩形的面积，见下图．（在下面做p286图5--4）小结：简捷综述上面各性质．第二节微积分基本公式教学目的：掌握微积分基本公式及其应用．教学重点：公式的应用．教学难点：公式的应用．教学内容：一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体在一直线上运动，在这直线上取定原点，正方向，单位长度，使其成为一数轴，时刻t 时物体所处的位置()S t ，速度)0)()((≥t v t v 不防设.物体在时间间隔],[21T T 内经过的路程可以用速度函数)(t v 在],[21T T 上的定积分来表达，即21()T T v t dx ⎰另一方面，这段路程可以通过位置函数)(t s 在区间],[21T T 的增量来表示，即)()(12T S T S -故⎰21)(T T dx t v =)()(12T S T S -.注意到()()S t v t '=，即()S t 是)(t v 的原函数.二、积分上限的函数及其导数设)(x f 在],[b a 上连续，并且设x 为],[b a 上任一点，设⎰=Φxadt t f x )()(.则函数)(x Φ具有如下性质：定理1 如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则积分上限函数⎰=Φxadt t f x )()(在],[b a 上具有导数，并且它的导数是()()()xad x f t dt f x dx 'Φ==⎰ （b x a ≤≤）.证明：（1）),(b a x ∈时，()()()x x x x ∆Φ=Φ+∆-Φ=()x xaf t dt +∆-⎰⎰xadt t f )(()()x xxf t dt f x ξ+∆==∆⎰,ξ在x x ∆与之间)()(ξf xx =∆∆Φ 0→∆x 时，有=Φ')(x )(x f .（2）时考虑或b a x =其单侧导数，可得=Φ')(a )(a f ，=Φ')(b )(b f由定理1可得下面结论定理2 如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则函数=Φ)(x ⎰xadt t f )(是)(x f 的一个原函数．Newton 的积分上限函数的几何意义如下：（P209图5—5放在下面）. 三、Newton —Leibniz 公式定理3 如果函数)(x F 是连续函数)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数，则=⎰badx x f )(-)(b F )(a F证明因)(x F 与)(x Φ均是)(x f 原函数，故-)(x F )(x Φ=c （b x a ≤≤）,又因=⎰badx x f )(-Φ)(b )(a Φ, 故=⎰badx x f )(-)(b F )(a F .为方便起见，把-)(b F )(a F 记作[)(x F ]ba .上述公式就是Newton —Leibniz 公式，也称作微积分基本公式．例1 31303133313102=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰x dx x ．例２计算 ⎰-+31211dx x. 解⎰-+31211dx x =[]π12731=-arctgx . 例3 计算⎰--12x dx.解 []2ln 2ln 1ln ln 11212-=-==⎰----x dx x.例4 计算x y sin =在[π,0]上与x 轴所围成平面图形的面积. 解 []2c o s s i n 00=-==⎰ππx x d x A .上例的几何释义如下：（书图P292， 5--4）.例5 汽车以每小时36km 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度2/5s m a -=刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少路程？解 0=t 时，s m v /100=,t at v t v 510)(0-=+=,2,510)(0=-==t t t v 故,故 =S )(10)510(22m dt t vtdt =-=⎰⎰.即刹车后，汽车需要走10m 才能停住.例6 设)(x f 在(0,)+∞内连续且()0f x >，证明函数⎰⎰=x xdtt f dt t tf x F 00)()()(在(0,)+∞内为单调增加函数．证明⎰xdt t tf dxd 0)(()xf x =，故)(x F '=()0020()()()()0()x xx xf x f t dt f x tf t dt f t dt->⎰⎰⎰. 故)(x F 在(0,)+∞内为单调增加函数.例7 求21cos 02lim xdt e t xx -→⎰.解dxd-=-⎰dt e t x21cos dxd dte t x 21cos 1-⎰=x xe 2cos sin -,利用Hospital 法则得21cos 02limx dt e t xx -→⎰=ex x e x x 212sin lim 2cos 0=-→.小结：Newton —Leibniz 公式.第三节定积分的换元法与分部积分法教学目的：掌握换元积分法和分部积分法. 教学重点：熟练运用换元积分法和分步积分法. 教学难点：灵活运用换元法和分部积分法. 教学内容：一、换元积分定理假设函数)(x f 在],[b a 上连续，函数)(t e x =满足条件：（1）,)(a d =ϕ;)(b =βϕ（2）)(t ϕ在[βα,]（或[αβ,]）上具有连续导数，且其值不越出],[b a , 则有=⎰badx x f )([]dt t t f ⎰'βαϕϕ)()(.例1 计算dx x a a⎰-022 （0a >）.解设t a x sin =则dt a dx cos =且0=x 时0=t ；2,π==t a x ,故dx x a a⎰-022=dt t atdt a⎰⎰+=202222)2cos 1(2cos ππ=42sin 2122202a t t aππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+. 换元公式也可以反过来使用，即[]='⎰b adx x x f )()(ϕϕ⎰βαdt t f )(.例2 计算dx x x ⎰25sin cos π.解设x t cos =，则-dt t x d x ⎰⎰-=015205cos cos π=dt t ⎰105=616106=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t .例3 计算dx x x ⎰-π053sin sin .解dx x x ⎰-π53sin sin =()dx x x ⎰π223cos sin =()dx x x ⎰π23cos sin =()-⎰dx x x 2023cos sin πxdx x cos )(sin 223⎰ππ=()-⎰x d x sin sin 023πx d x sin )(sin 223⎰ππ=54. 例4 计算dx x x ⎰++4122.解设12+=x t ，则=x 212-t ,10==t x 时；34==t x 时故dx x x ⎰++4122=tdt t t ⎰+-312221=()d t t ⎰+312321=3223321313=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+t t .例5 证明 1)若)(x f 在],[b a 上连续且为偶函数，则⎰-aadx x f )(=⎰adx x f 0)(22）若)(x f 在],[b a 上连续且为奇函数，则⎰-aadx x f )(=0.证明⎰-aadx x f )(=⎰-0)(a dx x f +⎰adx x f 0)(=⎰--0)(adx x f +⎰adx x f 0)(=⎰-adx x f 0)(+⎰a dx x f 0)(=⎰-+adx x f x f 0)]()([.1）)(x f 为偶函数时，)(x f +)(x f -=)(2x f ，故⎰-aadx x f )(=⎰adx x f 0)(2．2）)(x f 为奇函数时，)(x f +)(x f -=0，故⎰-aadx x f )(=0．例6 若)(x f 在[0,1]上连续，证明（1）⎰=2)(sin πdx x f ⎰20)(cos πdx x f ；（2）⎰=π)(sin dx x xf ⎰ππ)(sin 2dx x f ，由此计算⎰+π2cos 1sin dx xx x.证明（1）设dt dx t x -=-=则,2π且当0=x 时，2π=t ；当02==t x 时π,故⎰20)(sin πdx x f =t d t f ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--022sin ππ=()⎰02cos πdt t f =()⎰02cos πdx t f . （2）设t x -=π，则⎰π)(s i n dx x xf =⎰---0)()[sin()(πππt d t f t=⎰-)(sin ππdt t f ⎰0)(sin πdt t tf所以(sin )f t dx ππ=⎰⎰ππ)(sin 2dt t f .利用此公式可得：20sin 1cos x x x dx π=+⎰⎰+ππ02cos 1sin 2dx x x 201cos 21cosx d x ππ=-+⎰ []0(cos )2arctg x ππ=-=42π.例7 设函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧<<-+≥-01,cos 110,2x xx xe x ，计算⎰-41)2(dx x f ．解设则,2t x =-41(2)f x dx -=⎰21()f t dt -=⎰+⎰-01)(dt t f 2()f t dt ⎰111cos dt t-=++⎰⎰-22dt te t 4111222tge -=-+. 二、分部积分法设)(),(x v x u 在],[b a 上具有连续导数)(),(x v x u ''，则有()v u v u uv '+'='故⎰='badx uv )(⎰+'bavdx u ⎰'badx v u ，⎰⎰-=bab ab a vdu uv udv ][．这就是定积分的分部积分公式．例1⎰21arcsin xdx ．解设u=arcsin x ,,x v =则120a r c s i n x d x =⎰[]-21a r c s i n sx ⎰-210211dx xx12=arcsin 21+21⎰-21211dx xx112π=-. 例2 计算dx ex⎰1.解设t x =，则1d x =⎰210dt e t ⎰=dt te t ⎰102102t tde =⎰1022tte ⎡⎤=-⎣⎦dt e t ⎰122(1)e e =--2=. 例3 证明定积分公式xdx I n n ⎰=20sin π1331,,24221342,1.253n n n n n n n n n n π--⎧⋅⋅⋅⎪⎪-=⎨--⎪⋅⋅⎪-⎩为正偶数为大于的正奇数证明设xdx dv x u n sin ,sin1==-，由分部积分公式可得：--=⎰-xdx n I n n 202sin)1(πxdx n n ⎰-20sin )1(π2(1)(1)n n n I n I -=---故 21--=n n I nn I . 由此递推公式可得所证明等式.小结：分部积分公式.第四节广义积分教学目的：理解无穷限广义积分和无界函数广义积分和定义及计算. 教学重点：利用广义积分的定义计算. 教学难点：概念产生的背景. 教学内容：一、无穷限广义积分定义1 设函数)(x f 在区间[,)a +∞上连续，取a b >.如果极限-∞→b lim⎰badx x f )(存在，则称此极限为函数)(x f 在无穷区间[,)a +∞上的广义积分,记作⎰+∞adx x f )(,即⎰+∞adx x f )(=-∞→b lim⎰badx x f )(．这时也称广义积分⎰+∞adx x f )(收敛；如果上述极限不存在，函数)(x f 在无穷区间[,)a +∞上的广义积分⎰+∞adx x f )(就没有意义，习惯上称为广义积分⎰+∞adx x f )(发散，这时记号⎰+∞adx x f )(不再表示数值了．类似地，设函数)(x f 在区间(,]b -∞上连续,取a b >，如果极限-∞→a lim⎰badx x f )(存在，则称此极限为函数)(x f 在无穷区间(]b ,∞-上的广义积分，记作⎰∞-bdx x f )(，即⎰∞-bdx x f )(=-∞→a lim⎰badx x f )(．这时也称广义积分⎰∞-bdx x f )(收敛；如果上述极限不存在，就称广义积分⎰∞-b dx x f )(发散．设函数)(x f 在区间（+∞∞-,）上连续，如果广义积分⎰∞-0)(dx x f 和⎰+∞)(dx x f都收敛，则称上述两广义积分之和为函数)(x f 在无穷区间（+∞∞-,）上的广义积分，记作⎰+∞∞-dx x f )(，即()f x dx +∞-∞=⎰⎰∞-0)(dx x f +⎰+∞)(dx x f lima →-∞=⎰-0)(adx x f +-∞→b lim⎰bdx x f 0)(．这时也称广义积分⎰+∞∞-dx x f )(收敛；否则就称广义积分⎰+∞∞-dx x f )(发散．例1 计算广义积分dx x ⎰∞+∞-+211．解 211dx x +∞-∞=+⎰dx x ⎰∞-+0211+dx x ⎰∞++0211lim a →-∞=dx x a ⎰+0211+-∞→b limdx x b ⎰+0211lim a →-∞=[]+0a arctgx -∞→b lim []barctgx 0022πππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭.上述广义积分的几何释义如下：（书图P316 5--12）.例2 计算广义积分⎰+∞-0dt te pt （p 是常数，且0p >）解⎰+∞-0dt te pt l i m b →+∞=⎰-bpt dt te 0=+∞→b lim ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰--b pt bptdt e p e p t 0012001pt pt t e e p p +∞+∞--⎡⎤⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎣⎦1p =-221)10(10lim p p te ptt =----+∞→ 例3 证明广义积分⎰∞+>a p a dx x )0(1当1>p 时收敛；当1≤p 时发散. 证明当1=p 时，⎰∞+=a p dx x 1⎰∞+a dx x1=[]+∞=+∞0ln x ; 当1≠p ，⎰∞+=ap dx x 1⎪⎩⎪⎨⎧>-<∞+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∞+-1,11,111p p a p p x pa p ,故命题得证. 无界函数的广义积分定义2 设函数)(x f 在],[b a 上连续，而在点a 的右邻域内无界，取0>ε，如果+∞→εlim⎰+ba dx x f ε)(存在，则称此极限为函数)(x f 在],[b a 上的广义积分，仍然记作⎰badx x f )(，即⎰badx x f )(=+∞→εlim⎰+ba dx x f ε)(．这时也称广义积分⎰badx x f )(收敛．如果上述极限不存在，就称广义积分⎰b adx x f )(发散．类似地，设函数)(x f 在],[b a 上连续，而在点b 的左邻域内无界，取ε>0,如果极限+∞→εlim⎰-εb adx x f )(存在，则定义=⎰badx x f )(+∞→εlim⎰-εb adx x f )(．否则，就称广义积分⎰badx x f )(发散．设函数)(x f 在],[b a 上除点)(b c a c <<外连续，而在点c 的邻域内无界，如果两个广义积分⎰cadx x f )(与⎰bcdx x f )(都收敛，则定义()baf x dx =⎰⎰cadx x f )(+()bcf x dx =⎰+∞→εlim⎰-εc adx x f )(++∞→'εlim⎰'+bc dx x f ε)(否则，就称广义积分发散.例4 计算广义积分⎰-axa dx 022（0>a ）解⎰-axa dx 0220l i m ε→+=⎰--εa x a dx 0220l i m ε→+=ε-⎥⎦⎤⎢⎣⎡a a x 0a r c s i n0lim ε→+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0arcsina a εarcsin12π==. 例5 讨论广义积分⎰-1121dx x 的收敛性. 解 1211dx x-=⎰+⎰-0121dx x ⎰1021dx x ，而0lim+→ε-=⎰--ε121dx x 0lim +→εε--⎥⎦⎤⎢⎣⎡11x =0lim +→ε⎪⎭⎫ ⎝⎛-11ε=∞+ 故所求广义积分⎰-1121dx x 发散．例6 证明广义积分⎰-baqa x dx)(当1<q 时收敛；当1≥q 时发散．证明当,1时=q []+∞=-=-⎰ba baa x ax dx )ln(，发散; 当,1时≠q ⎰-baq a x dx )(=11(),1()11,1qbqa b a q x a q qq --⎧-<⎡⎤-⎪=-⎨⎢⎥-⎣⎦⎪+∞>⎩, 故命题得证.小结：无穷限广义积分与无界函数广义积分的定义.。

定积分的概念讲义

定积分的概念【知识要点】(1)定积分的定义及相关概念① 分割如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…x i －1<x i <…＜x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，区间[x i －1，x i ] 的长度1i i i x x x -∆=-。

② 近似取代 “以直代取”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．③ 求和作和式i ＝1n f (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －anf (ξi )， ④ 取极限当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x .即：()()1lim ni n i bb af x dx f anξ→∞=-=∑⎰ 注：在⎠⎛ab f (x )d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．（2）定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[a,b]上的函数()f x 连续且恒有()0f x ≥。

那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积。

(3 )定积分的性质 ①a b dx ba-=⎰1②⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)．（其中k 是不为0的常数）（定积分的线性性质）③⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛abf 2(x )d x . （定积分的线性性质）④⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )．（定积分对积分区间的可加性）说明：①推广：1212[()()()]()()()bb b bm m aaaaf x f x fx dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±⎰⎰⎰⎰②推广:121()()()()kbc c b aac c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰③性质解释：PCN M B AabOyxy=1yxOba【例题精讲】例1．计算定积分21(1)x dx +⎰分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为52。

高数学习资料含讲义及全部内容定积分的概念

第五章定积分的概念教学目的与要求：1．解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。

2．解广义积分的概念并会计算广义积分。

3．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。

5.1定积分概念一．定积分的定义不考虑上述二例的几何意义，下面从数学的角度来定义定积分定义设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点，把区间[a,b]分成n 个小区间，记},......,,max{,,......2,1,211n i i i x x x n i x x x ∆∆∆==-=∆-λ在[i i x x ,1-]上任意取一点i ξ，作和式：)1.......()(1ini ix f ∆∑=ξ 如果无论[a,b]作怎样分割，也无论i ξ在[i i x x ,1-]怎样选取，只要0→λ有→∆∑=i ni i x f 1)(ξI （I 为一个确定的常数），则称极限I 是f(x)在[a,b]上的定积分，简称积分，记做⎰badx x f )(即I=⎰badx x f )(其中f(x)为被积函数，f(x)dx 为积分表达式，a 为积分下限，b 为积分上限，x 称为积分变量，[a,b]称为积分区间。

注1．定积分还可以用δε-语言定义 2由此定义，以上二例的结果可以表示为A=⎰badx x f )(和S=⎰21)(T T dt t v3有定义知道⎰badx x f )(表示一个具体的书，与函数f(x)以及区间[a,b]有关，而与积分变量x 无关，即⎰badx x f )(=⎰b adu u f )(=⎰badt t f )(4定义中的0→λ不能用∞→n 代替5如果ini ix f Lim∆∑=→1)(ξλ存在，则它就是f(x)在[a,b]上的定积分，那么f(x)必须在[a,b]上满足什么条件f(x)在[a,b]上才可积分呢？经典反例：⎩⎨⎧=中的无理点，为，中的有理点，为]10[0]10[,1)(x x x f 在[0，1]上不可积。

《高数》定积分课件

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一场深入浅出、生动有趣的《高数》定积分知识演讲，解构常见问题，让你真正掌握定积分的要点和方法。
定积分的概念
什么是定积分？
定积分是用来计算曲线下面的面积或体积的方法。
定积分的意义
它可以帮助我们解决各种实际问题，如曲线下面的面积、体积等。
定积分的计算方法
定积分的基本计算方法包括换元法、分部积分法、换限积分法。
定积分的性质
基本性质
定积分满足线性性、可加性、伸缩性、位移性等基本性质。
运算法则
定积分的运算法则包括换元法、ຫໍສະໝຸດ 部积分法、换限积分法。应用领域
定积分在物理、经济、工程等领域有广泛应用。
定积分的计算
1
几何意义
定积分的计算可以用几何形象的方法
基本计算方法
2
来理解，几何意义明显。
常见的计算方法包括基本公式、分部
定积分在货币供应量计算、经济模型构建等方面有广泛应用。
定积分的拓展
除了用于计算面积和体积外，定积分还可以用于求解各类几何和物理现象的积分，以及概率论、统计分布、微积分方程等领域。
致谢
感谢各位聆听，希望新掌握的知识可以为您的学习和工作带来帮助。
积分法、换元法、反常积分。
3
常见例题解析
例题分析，掌握方法和技巧，熟练掌握定积分的计算方式
定积分的应用
在几何学中的应用
在物理学中的应用
在经济学中的应用
通过定积分可以计算平面图形的面积、曲线图形的弧长，从而在建筑设计中得到广泛应用。
在牛顿定律、万有引力等天文、力学问题中，定积分可以发挥关键作用。

高等数学第五章第一节定积分的概念及性质课件.ppt

二、定积分定义
a x0 x1 x2 xn b ,
任一种分法任取
总趋于确定的极限 I ,则称此极限 I 为函数
上的定积分,
记作
b
a
f
( x) dx
即
b a
f
(
x)
dx
lim
0
n
i1
f
(
i
)
xi
o
a x1
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
在区间
i
x xi1xi b
证: f (i ) xi 0
i1
b
n
a
f
( x) d
x
lim
0 i1
f
(i ) xi
0
推论1. 若在 [a , b] 上
则
推论2.
(a b)
证: f (x) f (x) f (x)
b
b
b
a f (x) dx a f (x) dx a f (x) dx
即
b
b
a f (x) dx a f (x) dx
使
因此定理成立.
说明:
• 积分中值定理对
• 可把
b
a f (x) dx f ( )
ba
因
y f (x) y
oa bx
故它是有限个数的平均值概念的推广.
例4. 计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均速度.
解: 已知自由落体速度为
v gt
故所求平均速度
1 1 g T 2 gT
第一节
第五章
定积分的概念及性质
一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的性质

经济数学定积分概念与性质学习教案

二. 定积分的几何(jǐ hé)意义
则
第24页/共49页
第二十五页，共49页。
二. 定积分(jīfēn)的几何意义
第25页/共49页
第二十六页，共49页。
二. 定积分(jīfēn)的几何意义
则图中阴影(yīnyǐng)部分的面积为
经
第18页/共49页
第十九页，共49页。
一. 定积分(jīfēn)定义
定义(dìngyì)4.1
其长度(chángdù)
即
第19页/共49页
第二十页，共49页。
一. 定积分(jīfēn)定义
积分(jīfēn)上限
积分下限
积分(jīfēn)变量
积分号
经以下四步:
A
第15页/共49页
第十六页，共49页。
一. 定积分(jīfēn)定义
如何求曲边梯形(tīxíng)的面积?
(1)分割; (2)近似代替; (3)求和(qiú hé); (4)取极限.
经以下四步:
A
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第十七页，共49页。
一. 定积分(jīfēn)定义
长
宽
直角梯形的面积可用矩形(jǔxíng)面积计算.
第2页/共49页
第三页，共49页。
一. 定积分(jīfēn)定义
第3页/共49页
第四页，共49页。
一. 定积分(jīfēn)定义
如左图,将其放入平面(píngmiàn)直角坐标系中.
对四周(sìzhōu)的不规则图形,面积怎么求? 只要将其求出,则大的不规则图形面积也即求出.
4.可积的充分条件(chōnɡ fēn tiáo jiàn):

定积分讲义-

第六章定积分及其应用积分学的另一个基本概念是定积分．本章我们将阐明定积分的定义，它的基本性质以及它的应用．此外，我们要重点讲述沟通微分法与积分法之间关系的微积分学基本定理，它把过去一直分开研究的微分和积分彼此互逆地联系起来,成为一个有机的整体．最后，我们把定积分的概念加以推广，简要讨论两类广义积分．§ 6.1 定积分的概念与性质1. 定积分的定义我们先来研究两个实际问题．例1 计算曲边梯形的面积设)(x f y =为闭区间],[b a 上的连续函数，且0)(≥x f ．由曲线)(x f y =，直线b x a x == ,及x 轴所围成的平面图形(图6—1）称为)(x f 在],[b a 上的曲边梯形，试求图6—1我们先来分析计算会遇到的困难．由于曲边梯形的高)(x f 是随x 而变化的，所以不能直接按矩形或直角梯形的面积公式去计算它的面积．但我们可以用平行于y 轴的直线将曲边梯形细分为许多小曲边梯形如图6—1所示．在每个小曲边梯形以其底边一点的函数值为高，得到相应的小矩形，把所有这些小矩形的面积加起来,就得到原曲边梯形面积的近似值．容易想象，把曲边梯形分得越细，所得到的近似值就愈接近原曲边梯形的面积,从而运用极限的思想就为曲边梯形面积的计算提供了一种方法．下面我们分三步进行具体讨论：(1）分割在],[b a 中任意插入1-n 个分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210把],[b a 分成n 个子区间],[10x x ，],[21x x ，…，],[1n n x x -，每个子区间的长度为1--=∆i i i x x x ),,2,1( n i =．（2）近似求和在每个子区间],[1i i x x -),,2,1( n i =上任取一点i ξ，作和式ini ix f ∆∑=1)(ξ (1。

1)（3) 取极限当上述分割越来越细（即分点越来越多，同时各个子区间的长度越来越小）时，和式（1。

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