1_有限单元法简介课案

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有限单元法简介
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二、有限单元法简介
2. 发展简史
1943年，Courant提出有限元法概念 1956年，Turner和Clough第一次用三角形单元离散飞机
机翼，借助有限元法概念研究机翼的强度及刚度
1960年，Clough正式提出有限元法（FEM） 20世纪60年代，我国数学家冯康把FEM总结成凡是椭圆
是在当今工程分析中获得最广泛应用的数值计算方法。 由于它的通用性和有效性，受到工程技术界的高度重视。 伴随着计算机科学和技术的快速发展，现已成为： 计算机辅助设计(CAD)—— Computer Aided Design 计算机辅助制造(CAM)—— Computer Aided Manufacture 的重要组成部分.
Institute of Mechanical Engineering and Automation
IMEA
有限元法基础
Finite Element Method
桂林电子科技大学机电工程学院
学习目的及方法
目的
了解FEM数学力学基础； 把握FEM求解具体问题的基本过程； 应用FEM ，特别是运用已有的通用或专用软件 求解实际工程技术问题；
向新领域扩展应用 大型通用程序的编制和设计 ANSYS, NASTRAN, ABAQUS 开发微机用版本 设计自动化及优化设计（CAD, CAE, CAM）
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二、有限单元法简介
4. 有限元法的分类
以方程中未知数代表的意义分类
有限元位移法：未知数为位移
割和能量极值原理，把求解区域离散为有限个单元的组
合，研究每个单元的特性，组装各单元，通过变分原理， 把问题化成线性代数方程组求解。
分析指导思想
化整为零，裁弯取直，以简驭繁，变难为易
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有限单元法(或称有限元法，FEM )—— Finite Element Method
材料的应力与应变呈线性关系,满足广义胡克定律 应变与位移也是线性关系
线弹性有限元问题归结为求解线性方程组问题，只需较少的计算时间。 如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。
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{f}
[N ]
— 单元内任意点的位移列矩阵
— 单元形函数矩阵 — 单元节点位移的列矩阵
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e

e
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三、有限单元法分析步骤
3、分析单元的力学特性
利用几何方程、本构方程和变分原理得到单元的 刚度矩阵和载荷矩阵
{R}e= [K]e {δ}e
{R}e — 单元节点力
[K]e — 单元刚度矩阵
O
三维实体热单元 TEMP
K
I
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J
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二、有限单元法简介
有限单元法的基本思想：
1、将一个连续域离散化为有限个单元，并通过有限个节点相连 接的等效集合体。由于单元能按照不同的联结方式进行组合， 且单元本身又可以有不同形状，因此可以模型化几何形状复杂 的求解域。 2、有限元法利用在每一个单元内假设的的近似函数来分片地表 示全求解域上待求的未知场函数。单元内的近似函数由未知场 函数在单元的各个节点的数值和其插值函数来表达。 3、一个问题的有限元分析中，未知场函数在各个节点上的数值 就成为新的未知量，从而使一个连续的无限自由度问题变成离 散的有限自由度问题。 4、一经求解出这些未知量，就可以通过插值函数计算出各个单 元内场函数的近似值，从而得到整个求解域上的近似解。显然， 随着单元数目的增加，也即单元尺寸的缩小，或者随着单元自 由度的增加以及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断改 进，如果单元是满足收敛要求的，近似解最后将收敛于精确解。
点进 行编号
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三、有限单元法分析步骤
2、选择位移插值函数
为了能用节点位移表示单元体的位移、应变和应力， 在分析连续体问题时，必须对单元中位移的分布做出
一定的假设，一般假定位移是坐标的某种简单函数。
选择适当的位移函数是有限单元法中的关键。
f N
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三、有限单元法分析步骤
有限元法分析问题的基本步骤：
1、结构的离散化
离散化就是将要分析的结构分割成有限个单元体，并在
单元的指定位置设置节点，使相邻单元的有关参数具有一定
的连续性，构成单元的集合体代替原来的结构。
结构离散化时，划分的单元大小和数目应根据计算精度 的要求和计算机的容量来决定 选取坐标（右手法则） 选择合适的单元，离散结构物为有限个单元，并对单元、节
载荷 节点: 空间中的坐标位置，具有一定自由度和 存在相互物理作用。
单元:
一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵 描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线、 面或实体以及二维或三维的单元等种类。
有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通 过节点连接，并承受一定载荷。 载荷
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有限单元法简介
一、数值模拟方法概述
工程技术领域中的许多力学问题和场问题，如固
体力学中的位移场、应力场分析；电磁学中的电磁
分析、振动特性分析；热力学中的温度场分析；流 体力学中的流场分析等，都可以归结为在给定边界 条件下求解其控制方程的问题。 虽然人们能够得到它们的基本方程和边界条件，
但是能够用解析法求解的是少数性质比较简单和
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自由度（DOFs－ degree of freedoms）
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。
UY ROTY
物理场 结构 热 电 流体 磁
自由度 位移 温度 电位 压力 磁位
ROTZ UZ
UX ROTX
结构 DOFs
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节点和单元
节点自由度是随连接该节点 单元类型 变化的。
大多数有限元通用软件拥有良好的用户界面、使 用方便，功能强大。
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二、有限单元法简介
[FEM求解工程问题思路]
工程问题的求解基本过程 工程中的问题 本构关系 线性的、边界规则的问题 解析法 精确解
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FEM犹如万能钥匙 ，是解决工程问题的 主流数值分析方法
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(2)用每个单元内所假设的近似函数来分片地表示全求解 域内待求的未知场变量。 • 每个单元内的近似函数由未知场函数(或其导数)在单元各 个节点上的数值和与其对应的插值函数来表达(此表达式 通常表示为矩阵形式)。 • 由于在联结相邻单元的节点上，场函数应具有相同的数 值，因而将它们用作数值求解的基本未知量。
边界比较规则的问题，实际结构的形状和所受到的 载荷往往比较复杂，按解析法求解是非常困难的。
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一、数值模拟方法概述
解决这类复杂问题主要有两种方法： 1、引入简化假设，使其达到能用解析法求解的状态，然 后求其近似解（未必可行，容易导致不正确的解答） 2、保留问题的复杂性，利用数值模拟方法求得问题的近 似解（较多采用）
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三、有限单元法分析步骤
4、集合所有单元平衡方程，得到整体结构的平衡方 程 先将各个单元刚度矩阵集合成整体刚度矩阵 [K]，然后将各单元的等效节点力列阵集合成总的
载荷列阵
[K ] =Σ[K]e
5、由平衡方程求解未知节点位移{δ}
按照问题的边界条件修改总的平衡方程，并进行求 解。
求解原来待求 场函数的无穷 多自由度问题
转换为
求解场函数节 点值的有限自 由度问题
(3)通过和原问题数学模型(基本方程、边界条件)等效的 变分原理或加权余量法，建立求解基本未知量(场函数的 节点值)的代数方程组或常微分方程组。此方程组称为有 限元求解方程，并表示成规范化的矩阵形式。接着用数值 方法求解此方程，从而得到问题的解答。
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(1)将一个表示结构或连续体的求解域离散为若干个子 域(单元)，并通过它们边界上的节点相互联结成为组 合体。
下图表示将一个二维多连通求解域离散为若干个单元 的组合体。图(a)和(b)分别表示采用四边形和三角形 单元离散的图形。各个单元通过它们的角节点相互联 结。
四、 有限元法分类
• 线弹性有限元法 • 非线性有限元法
线弹性有限元一般包括:
• 线弹性静力分析 • 线弹性动力分析
学习这些内容问题需具备： 材料力学、弹性力学、结构力学、数值方法、矩阵代数、 算法语言、振动力学、弹性动力学等方面的知识。
线弹性有限元法
研究对象:
理想弹性体 小变形假设
分析基础:
J
J 三维杆单元 (铰接) UX, UY, UZ
I L K
I
三维梁单元 UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ
二维或轴对称实体单元 UX, UY
I I P M L N K J 有限单元法简介 I
L
K J 三维四边形壳单元 UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ
J
O P 三维实体结构单元 UX, UY, UZ M L N
K F
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三、有限单元法分析步骤
6、单元应变和应力的计算
根据已知结点的位移利用弹性力学方程和位移插
值函数算出单元的应变和应力。
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有限元法的要点