小学六年级奥数余数综合之余数问题解题技巧

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小学六年级奥数余数综合之余数问题解题技巧

余数的性质

11.余数小于除数

2.带余除法：被除数＝除数×商

3.余数的运算：

（1）和的余数等于余数的和（2）积的余数等于余数的积

1带余除法：被除数＝一、本讲重点知识回顾

1．带余除法：被除数＝

2.余数运算：和的余数等于余数的和

积的余数等于余数的积

3. 同余：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，

则a b的差一定能被m整除则a，b的差一定能被m整除

4. 中国剩余定理：逐级满足法

小学奥数精讲：余数与同余问题

一、问题引入

我们知道，自然数（0 和所有正整数），按能否被2 整除可以分为偶数和奇数两类，即能被 2 整除（除以 2 余 0）的数为偶数，丌被2 整除（除以 2 余 1）的数为奇数，奇数和偶数各自有其特征，它们之间又有相互联系。同理，如果我们以除以3 的余数为标准，就可以将自然数分成三类，余 0、余 1、余 2；如果我们以除以 4 的余数为标准，就可以将自然数分成四类，余 0、余 1、余 2、余3；以除以 n 为标准，就可以将自然数划分为 n 类。那么除以 n 余数相同的一类数有何共同的性质呢？除以n 余数丌同的数之间又有何联系呢？这是本讲将要讨论的第二个问题——同余问题。

二、知识总结

1、首先根据上一讲的整除特征，做简单推导，即可得到下列求余方法。

【注】下列方法大家以理解为主，丌必死记。着重掌握除以3、4、

8、9、16 的余数求法即可。

①求除以 2 的余数：奇数余 1，偶数余 0；

②求除以 3 的余数：等于该数的各位数字之和除以 3 的余数；

③求除以 4 的余数：等于该数末两位组成的数除以 4 的余数；

④求除以 5 的余数：等于该数个位数除以 5 的余数；

⑤求除以 6 的余数：该数的各个数字之和除以 3 得余数 a，若该余数不原

数同奇同偶，则原数除以6 的余数为a，若该余数不

原数一奇一偶，则原数除以 6 的余数为 a+3；

⑥求除以7 的余数：等于该数的末三位不末三位以前的数字组成的数之差

除以 7 的余数，如果数字仍然太大丌能直接观察出来，

【奥数】六年级下册数学奥数课件-第2讲《余数问题综合》全国通用

mathematics
巩固提升
作业5：有一个自然数，用它分别去除61、90、130都有余数，3个余数的和是26，这3个余数中最大的一个是多少?答案：11
心有花种，静候花开！
下节课见！
练习3：一个布袋中装有5000多个小球，如果10个一包，最后还剩9个，如果9个一包，最后还剩8个……如果5个一包，最后还剩4个；那么如果13个一包，最后还剩多少个?答案：8个
mathematics
例题讲解
mathematics
例题讲解
例题4：（1）一个三位数除以9余2，除以12余2，那么这个三位数最小是多少?（2）一个数除以4余3，除以6余5，除以7余6，那么这个数最小是多少?（3）一个三位数除以3余2，除以5余3，除以7余4，那么这个三位数最小是多少?分析：(1)余数相同；(2)余数和除数的差相同；(3)逐步满足条件法.答案：（1）110；（2）83；（3）158
极限挑战
例题5：三个连续自然数依次是13、11、7的倍数，那么这三个连续自然数之和最小为多少?分析：能否将这道题目中三个连续的被除数，转化为同一个数，而这个数又有什么样的特点呢?答案：627
mathematics
极限挑战
例题6：有一个整数，用它分别去除157、234和324，得到的三个余数之和是100，这个整数是多少? 分析：如果把余数都去掉后，剩余的数有什么特点?答案：41

六年级奥数同余的解题规律知识

六年级奥数知识：同余的解题规律

在作除法运算时，我们有这样的经验：

(1)一些不同的数除以一个相同的数可能会得到相同的余数.如，除以5余3的数有

5×1+3=8，

5×2+3=13，

5×3+3=18，

5×4+3=23，

…………

(2)一个相同的'数除以一些不同的数，可能会有相同的余数.如，389分别除以5、7和11会得到相同的余数4.

389÷5=77 (4)

389÷7=55 (4)

389÷11=55 (4)

由此，我们可以来讨论下面的两个问题.

某数被5除余4，被7除也余4，被11除还余4.要求某数和某数最小是多少?读者一定会想到有：

5×7×11+4=389，

5×7×11×2+4=774，

5×7×11×3+4=1159，

…………

答案有无数多个，但最小的只能是389.

现在，我们把这个问题上升到一般形式.

问题一某数分别除以a、b、c、……，都得到相同的余数k.求某数最小是多少?聪明的读者，能得出答案吗?

需要请读者注意的是，382、767、1152分别除以5、7和11所得的余数2、4、8，虽然都不相同，但是都与相应的除数相差同样多.

即

5-2=3，

7-4=3，

11-8=3.

于是，我们也可以提这样的问题：

某数被5除余2，被7除余4，被11除余8.问某数是多少和某数最小是多少?读者一定会想到是

5×7×11×1-3=382，

5×7×11×2-3=767，

5×7×11×3-3=1152，

…………

答案有无数多个，但最小只能是382.

这个问题的一般形式是：

问题二某数分别除以a、b、c、……得数相应的余数分别是A、B、C、……，并且，这些余数跟相应的除数都相差同样多(也设为k)，即

小学奥数专题-余数性质(一)

1. 学习余数的三大定理及综合运用

2. 理解弃9法，并运用其解题

一、三大余数定理:

1.余数的加法定理 a 与b 的和除以c 的余数，等于a ，b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。

例如:23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当

余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。

例如:23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2

2.余数的加法定理

a 与

b 的差除以

c 的余数，等于a ，b 分别除以c 的余数之差。

例如:23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。

例如:23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4

3.余数的乘法定理

a 与

b 的乘积除以

c 的余数，等于a ，b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。

例如:23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。

例如:23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.

乘方:如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．

二、弃九法原理

在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的:

学而思小升初余数综合之余数问题解题技巧

一轮复习——余数综合之余数问题解题技巧
本讲主线 1、带余除法。 2、余数三大性质。 3、同余定理。 4、韩信点兵。
知识要点屋 1、带余除法被除数÷除数＝商…余数一般地，A÷B＝c…d d 0 整除余数 d 0 2、被除数＝除数×商＋余数
3、余数的三大性质： ⑴ 和的余数等于余数的和 ⑵ 差的余数等于余数的差 ⑶ 积的余数等于余数的积
【例7】(★★★) 某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小可能值是_______。
知识大总结 1. 带余除法 ⑴ 一般地，A÷B＝c…d ⑵ 变整除：A－d，可以被B，或c整除. 2. 余数的三大性质 ⑴ 余数的和、差、积. ⑵ 大数变小数，转化求解. 3. 同余问题 ⑴ A、B对C同余，则A、B差值可以被C整除 ⑵ C为差值的约数.(检验)
【小练习】 1013除以一个两位数，余数是12. 求所有符合条件的两位数.
1
Байду номын сангаас
例题精讲【例1】2003年全国小学数学奥林匹克试题(★) 有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？
【例2】(★★) 有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么第1997个数被3除所得的余数是多少？
【拓展】(★★★) 有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人。如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人 5本，书不够。如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够。问：第二组有多少人?

奥数数论：余数问题要点及解题技巧

奥数数论：余数问题要点及解题技巧(总2页)

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奥数数论：余数问题要点及解题技巧

一、基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0余数，q叫做a除以b的不完全商。

二、余数的性质：

①余数小于除数。

②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。

③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。

④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。三、同余的定义：

①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。

②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(modm)，读作a同余于b模m。

四、同余的性质：

①自身性：a≡a(modm)；

②对称性：若a≡b(modm)，则b≡a(modm)；

③传递性：若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则a≡c(modm)；

④和差性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a+c≡b+d(modm)，a-c≡b-d(modm)；

⑤相乘性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a×c≡b×d(modm)；

⑥乘方性：若a≡b(modm)，则an≡bn(modm)；

⑦同倍性:若a≡b(modm)，整数c，则a×c≡b×c(modm×c)；

五、被3、9、11除后的余数特征：

①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod9)或（mod3）；

小学奥数余数问题口诀及解题方法

【导语】马克思曾经说过：“⼀门学科只有成功的应⽤了数学，才能真正达到了完善的地步。”这句话充分显⽰了数学知识的⼴泛应⽤及学习数学的必要性和重要性。因此，数学作为认识世界的基础性学科，它可以在思想上⽀持不同学科的深⼊发展。以下是整理的相关资料，希望对您有所帮助。

【篇⼀】

【⼝诀】：

余数有(N-1)个，最⼩的是1，的是(N-1)。

周期性变化时，不要看商，只要看余。

例：

如果时钟现在表⽰的时间是18点整，那么分针旋转1990圈后是⼏点钟?

分针旋转⼀圈是1⼩时，旋转24圈就是时针转1圈，也就是时针回到原位。

1980/24的余数是22，所以相当于分针向前旋转22个圈，

分针向前旋转22个圈相当于时针向前⾛22个⼩时，

时针向前⾛22⼩时，也相当于向后24-22=2个⼩时，即相当于时针向后拔了2⼩时。

即时针相当于是18-2=16(点)。

【篇⼆】

除法运算中，被除数和除数之间的关系有两种：⼀种是整除，即被除数÷除数=商，这个商就叫做完全商;另⼀种是有余数的除法，即被除数÷除数=商……余数(余数

同余，是指a，b两个⾃然数，除以⾃然数n所得的余数如果相同，我们就称a、b对于除数n同余，在同余问题中常⽤的结论有：

(1)如果a，b除以n的余数相同，那么a与b的差能被n整除;

(2)如果a与b除以m的余数相同，那么a+b与a×b除以m的余数也相同。

求⼀个算式的结果除以⼀个数的余数有以下⽅法：

(1)a与b的乘积除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之积(或这个积除以c的余数);

(2)a与b的和除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之和(或这个和除以c的余数);

小学数学解题策略--余数问题

小学奥数中的 “余数问题”
余数的定义一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），若有a÷b＝q……r，或者a＝b×q＋r，0≦r<b 当r＝0时，称a能被b整除；当r ≠0时，称a不能被b整除，r为a除于b的余数，q为a除于b的商。
精品课件
余数的性质（1）被除数＝除数×商＋余数
除数＝（被除数－余数）÷商商＝（被除数－余数） ÷除数（2）余数小于除数
精品课件
• 1．小东在计算除法时，把除数87写成78，结果得到的商是54，余数是8.正确的商是_____,余数是_____.
• 2. a÷24=121……b,要使余数最大，被除数应该
等于_____. • 3. 一个三位数被37除余17,被36除余3,那么这个
三位数是_____.
精品课件
解1. 48,44. 依题意得被除数=78×54+8=4220 而4220=87×48+44,所以正确的商是48,余数是44. 解 2. 2927 因为余数一定要比除数小,所以余数最大为23,故有
精品课件
同余定理（一）如果a，b除于c的余数相同，就称a，b对于余数来说是同余的，且有a与b的差能被c整除。（a,b,c均为自然数）
精品课件
同余定理（二）
a与b的和除于c的余数，等于a，b分别除于c的余数之和（或这个和除于c的余数）

小学奥数数论问题：余数问题

余数有（N-1）个，最小的是1，最大的是（N-1）。周期*变化时，不要看商，只要看余。小编整理了相关的内容，欢迎欣赏与借鉴。

一、数论

1.奇偶*问题

奇+奇=偶奇×奇=奇

奇+偶=奇奇×偶=偶

偶+偶=偶偶×偶=偶

2.位值原则

形如：abc=100a+10b+c

3.数的整除特征：

整除数特征

2末尾是0、2、4、6、8

3各数位上数字的和是3的倍数

5末尾是0或5

9各数位上数字的和是9的倍数

11奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数

4和25末两位数是4(或25)的倍数

8和125末三位数是8(或125)的倍数

7、11、13末三位数与前几位数的差是7(或11或13)的倍数

4.整除*质

①如果c|a、c|b，那么c|(ab)。

②如果bc|a，那么b|a，c|a。

③如果b|a，c|a，且(b,c)=1,那么bc|a。

④如果c|b,b|a,那么c|a.

⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。

5.带余除法

一般地，如果a是整数，b是整数(b≠0),那么一定有另外两个整数

q和r，0≤r

当r=0时，我们称a能被b整除。

当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a 除以b的不完全商(亦简称为商)。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r,0≤r

6.唯一分解定理

任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即

n=p1×p2×...×pk

7.约数个数与约数和定理

设自然数n的质因子分解式如n=p1×p2×...×pk那么：

n的约数个数：d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)

小学奥数数论讲义第十八讲数论综合之余数相关问题强化篇

第十八讲数论综合之余数相关问题强化篇

【例1】

191919…19除以99的余数是多少？

20个19

【例2】

一个两位数被它的各位数字之和去除，余数最大是______。

【例3】求31997的最后两位数。

【例4】一个自然数除429，791，500所得的余数分别是a+5、2a、a，求这个自然数和a的值。

小学奥数-余数问题-完整版题型训练

数论问题之余数问题

教学目标

余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。

余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

三大余数定理：

1、余数的加法定理

a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.

2、余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.

3.同余定理

若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：

若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除

小学高级奥数第35讲-余数问题综合

当1991和1769除以某个自然数n，余数分别为2和1．那么，n最小是多少？
222 2 除以13所得余数是_____。
2000个"2"
777 77 除以41的余数是多少？
1996个7
著名的斐波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？
一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
有一个三位数，其中个位上的数是百位上的数的3倍。且这个三位数除以5余4，除以11余3。这个三位数是__________。
一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________。
甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。
课后作业
<作业7>
有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为 2113，则被除数是多少？
课后作业
<作业8>
有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?
有一个大于1的整数，除45，59，101所得的余数相同，求这个数。
一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a+5、2a、a，求这个自然数a的值。

六年级奥数第27讲同余法解题(教师版)

六年级奥数第27讲同余法解题(教师版）

余数问题主要包括了带余除法的定义,三大余数定理（加法余数定理,乘法余数定理,和同余定理）,及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

一、带余除法的定义及性质

一般地,如果a 是整数,b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b=q ……r,也就是a ＝b ×q ＋r, 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：

(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除,q 称为a 除以b 的商或完全商

(2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除,q 称为a 除以b 的商或不完全商

二、三大余数定理：

1.余数的加法定理

a 与

b 的和除以

c 的余数,等于a,b 分别除以c 的余数之和,或这个和除以c 的余数。当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。

2.余数的乘法定理

a 与

b 的乘积除以

c 的余数,等于a,b 分别除以c 的余数的积,或者这个积除以c 所得的余数。

3.同余定理

若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数,那么称a 、b 对于模m 同余,用式子表示为：a ≡b ( mod m ),左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a 同余于b,模m 。由同余的性质,我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a,b 除以同一个数m 得到的余数相同,则a,b 的差一定能被m 整除

教学目标

知识梳理

用式子表示为：如果有a≡b ( mod m ),那么一定有a－b＝mk,k是整数,即m|(a－b)

三、中国剩余定理

1.中国古代趣题

韩信点兵又称为中国剩余定理,相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少,韩信答说,每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。

小学奥数余数问题[1]

许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”

余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

一、带余除法的定义及性质

一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,

0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：

(1)当0

r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商

(2)当0

r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商

一个完美的带余除法讲解模型:

如图

这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。

二、三大余数定理：

1.余数的加法定理

a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等

于4，即两个余数的和3+1.

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2。

小学奥数数论讲义第十八讲数论综合之余数相关问题强化篇【精品】

第十八讲数论综合之余数相关问题强化篇

【例1】

191919…19除以99的余数是多少？

20个19

【例2】

一个两位数被它的各位数字之和去除，余数最大是______。

【例3】求31997的最后两位数。

【例4】一个自然数除429，791，500所得的余数分别是a+5、2a、a，求这个自然数和a的值。

小学六年级奥数 余数综合之余数问题解题技巧