苏教版高中数学选修2-12.3 双曲线.docx

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高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-1 2.3.1 双曲线的标准方程》

普通高中课程标准试验教科书《数学》选修2-1 苏教版3836P P江苏省扬州中学张慧玲y[教学设计]一、教材分析：1教材地位本节课是苏教版选修2-1 第2章第三节第一课时它是在学生学习了直线、圆和椭圆的基础上进一步研究学习的，也为后面的抛物线及其标准方程做铺垫2教材作用（重要模型，数形结合）圆锥曲线是一个重要的几何模型，有许多几何性质，这些性质在日常生活、生产和科学技术中有着广泛的应用同时，圆锥曲线也是体现数形结合思想的重要素材本节教材仍是继续训练学生用坐标法解决方程与曲线有关问题的重要内容，对它的教学将帮助学生进一步熟悉和掌握求曲线方程的一般方法双曲线的定义和标准方程是本节的基本知识，所以必须掌握而掌握好双曲线标准方程的推导过程又是理解和记忆标准方程的关键应用双曲线的有关知识解决数学问题和实际应用问题是培养学生基本技能和基本能力的必要环节坐标法是中学数学学习中必须掌握的一个重要方法，它充分体现了化归思想、数形结合思想，是用以解决实际问题的一个重要的数学工具双曲线和其方程分属于几何和代数这两个分立的体系，但是通过直角坐标系人们又将它们很好地结合在一起二、学情分析：1知识方面：学生已经学习椭圆，基本掌握了求曲线方程的一般方法，能对含有两个根式的方程进行化简，对数形结合、类比推理的思想方法有一定的体会2能力方面：学生在椭圆学习的基础上类比得出双曲线的定义及标准方程的推导、有一定的学习基础和分析问题、解决问题的能力，且有一定的群体性小组交流能力与协同讨论学习能力三、目标分析1知识与技能目标（1）理解双曲线的定义；（2）能根据已知条件求双曲线的标准方程；（3）进一步感受曲线方程的概念，了解建立曲线方程的基本方法2过程与方法目标（1）提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力；（2）培养学生利用数形结合这一思想方法研究问题；（3）培养学生的类比推理能力、观察能力、归纳能力、探索发现能力3情感、态度与价值观目标（1）亲身经历双曲线及其标准方程的获得过程，感受数学美的熏陶；显示距离度量值动画点A 建系MF 2圆F 1A（2）通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨；（3）发展学生用类比的方法探究事物运动规律，进一步认清事物运动的本质激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索，敢于创新的精神四、教学重点、难点与疑点分析1重点：双曲线的定义及其标准方程解决方法：通过学生动手实验、几何画板演示再通过讨论归纳得出双曲线的定义；对于双曲线的方程，可类比椭圆方程的推导得出方程并加以比较，加深认识2难点：双曲线定义的得出和标准方程的推导解决方法：通过动手实验、几何画板、探究讨论、类比归纳、达标检测3疑点：双曲线定义中“距离的差的绝对值为常数”的“绝对值”的理解解决方法：分析各种情况，说明定义中的常数要大于0 而小于21F F ，否则就是两条射线或没有轨迹，若没有“绝对值”就表示双曲线的一支五、教法学法分析1教法：（1）在教学目标的指导下，采用”信息环境下情境性问题解决”教学模式实施教学这种方法是以问题为中心，以学生主动探索数学知识和强化创新意识为主要特征的探究型教学方式在探索过程经历”提出问题———分析问题———建构数学———提炼总结———深化反思”五个不同的教学环节在整个教学过程中，教师利用问题引路，学生独立思考和分组讨论，从而自己解决问题（2）通过课件和动画展示数学知识的发生、发展过程;帮助学生理解抽象的数学概念;借助信息技术实现数学思维的“再现”2学法：在教师的组织，点拨，引导作用下，通过学生积极思考，大胆想象，总结规律，自己不能解决的问题通过小组讨论解决，充分发挥他们的主体作用，让学生置身于提出问题、思考问题、解决问题的动态过程中六、教学过程问题情境，寻求引领方法问题1 已知A 是圆1F 上一动点,圆内任取不同于圆心的一点2F ，连接与2AF 的垂直平分线交于点M ，随着A 点在圆1F 上运动，点M 么[设计思路]显示距离度量值动画点A 建系MF 2圆F 1A椭圆；并演示几何画板模拟过程、验证结果类比研究，感受双曲线形成问题2 将2F 点移到圆外，连接1AF 并延长与2AF 的垂直平分线交于点M ，问点M 轨迹是什么？ [设计思路]演示几何画板模拟过程，组织学生讨论，点M 具有什么样的性质？【设计意图】在2F 点从圆内移到圆外过程中，培养学生观察、类比、归纳问题的能力由以上实验及讨论，引导学生概括双曲线的定义剖析特征，提炼双曲线定义[设计思路]学生合作类比椭圆给出双曲线定义，研究为什么是绝对值，及常数的范围双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的集合叫双曲线即a MF MF 221=- 小于21F F注意：双曲线定义中平面内的动点到两定点的距离之差的绝对值是一个常数，范围是：)0(21F F ，6.3.2双曲线的定义深化探究：（通过后面的例1整理归纳总结）（1）平面内与两定点的距离的差等于常数)0(2>a a （小于21F F ）的点的轨迹是什么？（2）平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数)0(2>a a （等于21F F ）的点的轨迹是什么？（3）平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数)0(2>a a （大于21F F ）的点的轨迹是什么？（4）平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数)0(2=a a 的点的是轨迹什么？通过几何画板演示实验及讨论，引导学生归总结：平面内动点M 与两定点21,F F 的距离c F F 221=的差的绝对值等于常数a 2,（1）当c a 220<<时，轨迹是双曲线；（其中当a MF MF 221=-时，M 点轨迹是双曲线中靠近2F 的一支；y当a MF MF 212=-时，M 点轨迹是双曲线中靠近1F 的一支）；（2）当c a 22=时，轨迹是两条射线,是以1F 和2F 为端点向外的两条射线; （3）当c a 22>时，轨迹不存在；（4）当0=a ，轨迹是线段21F F 的垂直平分线【设计意图】在变化的过程中发现双曲线定义中要点，准确理解椭圆的定义建立起用联系与发展的观点看问题；为下一节深入研究方程系数的几何意义埋下伏笔类比椭圆，推导标准方程[设计思路]通过方程研究曲线，推导方程分为：建系、设点、列式、化简从推到过程、标准方程的形式处处与椭圆类比6.4.1双曲线的标准方程推导方法回忆椭圆的标准方程的推导步骤，来推导双曲线的标准方程．推导标准方程的过程就是求曲线方程的过程，可根据求动点轨迹方程的步骤，求出双曲线的标准方程过程如下：①建系②设点③列式④化简。

高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分第2章2.32.3.2双曲线的几何性质Word版含解析

2 3.2摘象问髓情境化，新知无哺自通[P28]1,9观察所给两个双曲线方程. x 2 y 4(1) 4 - 4 =1；2 2(2) x — y = 9.问题1:两个双曲线方程有何共同特点?提示：所给的两个双曲线方程的实轴长和虚轴长相等. 问题2:两个双曲线的离心率是多少？提示：.2.问题3:两双曲线的渐近线方程是什么？提示：渐近线方程y = ±x.实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线.［归纳*升华・领悟］1 •离心率e 反映了双曲线开口的大小， e 越大，双曲线的开口就越大.2 •双曲线有两条渐近线，渐近线与双曲线没有交点•渐近线方程用 a , b 表示时，受焦点所在坐标轴的影响.双曲线的几何性质［例1］求双曲线9y 2— 4X 2= — 36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.CLTB等轴双曲线鬲频考点题组化.名师一点就通［对应学生用书P28］［精解详析］由 9y 2— 4X 2=— 36 得2x_2［思路点拨］先化方程为标准形式，然后根据标准方程求出基本量但要注意焦点在哪条坐标轴上.••• a 2= 9, b 2 = 4. c 2 = a 2 + b 2= 13.a ,b ,c 即可得解,1,9C 1 C 22si n2cos2cos2si n212 () x 2 y2 2x y 1 21(1,0)y x|1 0| 亚 <2 2 .2316x 2 9y 21442 y 16 2x 彳 19a 4 b3 c 5.a 4b 3(05) (0,5)c e - a 54y4 3x .n |(仲0) (13 0)2a 62b 4c e 一13a~3~2y 3X .[ ]a bc1 ( )0< <T4C i2七1 cosC 2(3,0)(3,0)2Xcos［例2］求适合下列条件的双曲线标准方程:5⑴虚轴长为12,离心率为4；⑵顶点间距离为6，渐近线方程为尸号x ; (3) 求与双曲线x 2-2y 3 4= 2有公共渐近线，且过点M(2, - 2)的双曲线方程.b = 6,c = 10, a = 8.2 2 2 2•所求双曲线的标准方程为64-36=1或64―36=「 b 39⑵当焦点在x 轴上时，由a =2且a =3,得b =夕2 2•所求双曲线的标准方程为 x —性=1.9 81 当焦点在y 轴上时，由£ = 3且a = 3，得b = 2.b 22 2•所求双曲线的标准方程为 y — 7 = 1.9 42(3)设与双曲线— y 2= 1有公共渐近线的双曲线方程为2 2•••双曲线的标准方程为专一4 = 1. ［一点通］由双曲线的性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，其步骤为: (1) 判断：利用条件判断焦点的位置； ⑵设：设出双曲线的标准方程；(3) 列：利用已知条件构造关于参数的方程; (4) 求：解参数方程，进而得标准方程.%豊値冬袖必％34.(广东高考改编)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F(3,0)，离心率为2，则C 的［思路点拨］分析双曲线的几何性质，求出出双曲线的标准方程.［精解详析］(1)设双曲线的标准方程为2 2 2 2x y 亠 y xa 2-b 2=i 或a 2-b 2=i (a >0，b >0).由题知 2b = 12, c = 5,且 c 2= a 2 + b 2,a 4a ,b ,c 的值，再确定(讨论)焦点位置，写2x — y 2= k ,将点(2, - 2)代入,c 3 a 2 b 寸c2 a2y[32~22半2y_51.(3,0)1.(3,0)2J 19 162 2x y_9 16M(3,4)9 16孑孑1.b 2a 16 4a2a2M(3,4)b 2a[3] (1)M(3,4)5 b2202 2Ml 1.2016a216 4 9 4a22 2 』y_5 20ABC2_ b2 1.a ba2 55 b2554血X2155 55 'ABC 1202 2(2) __________________________________________________ 已知双曲线a 2-步=i (a>0, b>0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60。

苏教版数学选修2-1：2.3 双曲线2.3.1

1.已知双曲线的焦点在x 轴上，且a ＋c ＝9，b ＝3，则它的标准方程是________．解析：因为b ＝3，所以c 2－a 2＝(c ＋a )(c －a )＝9，所以c －a ＝1，a ＝4，此双曲线的标准方程是x 216－y29＝1.答案：x 216－y 29＝12.双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0，3)，那么k 的值是________．解析：焦点在y 轴上，所以双曲线的标准方程是y 2－8k －x 2－1k＝1，k <0，则⎝⎛⎭⎫－8k ＋⎝⎛⎭⎫－1k ＝3，解得k ＝－1.答案：－13.在双曲线中，c a ＝52，且双曲线与椭圆4x 2＋9y 2＝36有公共焦点，则双曲线方程是________．解析：与椭圆的知识点综合．焦点在x 轴上，由椭圆4x 2＋9y 2＝36知，c ＝5，所以a＝2，b 2＝c 2－a 2＝1，所以方程为x 24－y 2＝1.答案：x24－y 2＝14.过双曲线x 216－y 29＝1左焦点F 1的弦AB 长为6，则△ABF 2(F 2为右焦点)的周长是________．解析：据题意AF 2－AF 1＝2a ，BF 2－BF 1＝2a ，故(AF 2＋BF 2)－(AF 1＋BF 1)＝(AF 2＋BF 2)－AB ＝4a ，因此(AF 2＋BF 2)＝AB ＋4a ＝6＋16＝22，故三角形周长为22＋6＝28. 答案：285.已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1，4)，P 是双曲线右支上的动点，则PF ＋PA的最小值为________．解析：设双曲线的右焦点为F 1，则由双曲线的定义可知PF ＝2a ＋PF 1＝4＋PF 1， ∴PF ＋P A ＝4＋PF 1＋PA .∴当PF 1＋P A 最小时需满足PF 1＋P A 最小．由双曲线的图象可知当点A 、P 、F 1共线时，满足PF 1＋P A 最小，易求得最小值为AF 1＝5，故所求最小值为9.答案：9[A 级基础达标]1.椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a 2－y 22＝1的焦点相同，则a ＝________．解析：因为焦点在x 轴上，所以c ＝ 4－a 2＝a 2＋2，4－a 2＝a 2＋2，a 2＝1，a ＝±1.答案：1或－1 2.如图，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A ，B 为左，右焦点，且过C ，D 两顶点．若AB ＝4，BC ＝3，则此双曲线的标准方程为________．解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b21(a >0，b >0)．由题意，得B (2，0)，C (2，3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝a 2＋b 24a 2－9b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1b 2＝3，∴双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y23＝13.与x 2－y 24＝1有相同的焦点，且过点(2，3)的双曲线方程为________．解析：设方程为x 24－k －y 21＋k＝1(4－k >0，1＋k >0)，将点(2，3)代入方程得k ＝2.所以方程为x 22－y 23＝1.答案：x 22－y 23＝14.已知双曲线的两个焦点F 1(－10，0)，F 2(10，0)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|·|PF 2→|＝2，则该双曲线的方程是________．解析：由于三角形PF 1F 2为直角三角形，故PF 21＋PF 22＝4c 2＝40⇒(PF 1－PF 2)2＋2PF 1·PF 2＝40，由双曲线定义得(2a )2＋4＝40⇒a 2＝9，故b 2＝1，双曲线方程为x29－y 2＝1.答案：x 29－y 2＝15.设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若PF 1∶PF 2＝3∶2，则△PF 1F 2的面积为________．解析：双曲线的a ＝1，b ＝23，c ＝13.设PF 1＝3r ，PF 2＝2r .∵PF 1－PF 2＝2a ＝2，∴r ＝2.于是PF 1＝6，PF 2＝4.∵PF 21＋PF 22＝52＝F 1F 22，故知△PF 1F 2是直角三角形，∠F 1PF 2＝90°.∴S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2＝12×6×4＝12.答案：126.已知双曲线经过点A ⎝⎛⎭⎫1，4103，且a ＝4，求双曲线的标准方程．解：若设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则将a ＝4代入，得x 216－y2b 2＝1.又∵点A (1，4103)在双曲线上，∴116－1609b2＝1.由此得b 2<0， ∴不合题意，舍去．若设所求双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则将a ＝4代入得y 216－x2b2＝1，代入点A (1，4103)，得b 2＝9， ∴双曲线的标准方程为y 216－x29＝1.7.设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 位于y 轴右侧且纵坐标为4，求此双曲线的方程．解：法一：设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b21(a >0，b >0)，由题意知c 2＝36－27＝9，c ＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为15，于是有⎩⎪⎨⎪⎧42a2－（15）2b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5. 所以双曲线方程为y 24－x 25＝1.法二：设双曲线的方程为y 2a 2－x2b2＝1(a >0，b >0)，将点A 的纵坐标代入椭圆方程得A (15，4)，又两焦点分别为F 1(0，3)，F 2(0，－3)，所以2a ＝（15－0）2＋（4＋3）2－（15－0）2＋（4－3）2＝8－4＝4，a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，所以双曲线方程为y 24－x 25＝1.[B 级能力提升]8.若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)有相同的焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则PF 1·PF 2的值是________．解析：运用椭圆和双曲线的定义写出两个定义式，然后平方，观察之后，两式相减，求出整体未知数PF 1·PF 2的值．PF 1＋PF 2＝2m ，|PF 1－PF 2|＝2a ，所以PF 21＋PF 22＋2PF 1·PF 2＝4m ，PF 21－2PF 1·PF 2＋PF 22＝4a 2，两式相减得： 4PF 1·PF 2＝4m －4a 2，∴PF 1·PF 2＝m －a 2. 答案：m －a 29.已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，另一个焦点为F 2，点N 是PF 1的中点，则ON 的大小(O 为坐标原点)为________．解析：连接ON ，ON 是三角形PF 1F 2的中位线，所以ON ＝12PF 2，因为|PF 1－PF 2|＝8，PF 1＝10，所以PF 2＝2或18，ON ＝12PF 2＝1或9.答案：1或910.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F 1(－3，0)，过右焦点F 2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P ，且∠PF 1F 2＝30°，求该双曲线的标准方程．解：由题意在Rt △PF 1F 2中∠PF 2F 1＝90°，又∠PF 1F 2＝30°，则设PF 2＝m ，得F 1F 2＝3m ，PF 1＝2m ，又F 1F 2＝23，则解得m ＝2，所以2a ＝PF 1－PF 2＝2，所以b 2＝c 2－a2＝2，则所求双曲线的标准方程为x 2－y 22＝1.11.(创新题)在抗震救灾行动中，某部队在如图所示的P 处空降了一批救灾药品，急需把这批药品沿道路PA ，PB 送到矩形灾民区ABCD 中去，已知PA ＝100 km ，PB ＝150 km ，BC ＝60 km ，∠APB ＝60°，试在灾民区确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA 送药较近，而另一侧的点沿道路PB 送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程．解：灾民区ABCD 中的点可分为三类，第一类沿道路P A 送药较近，第二类沿道路PB 送药较近，第三类沿道路PA ，PB 送药一样远近，由题意可知，界线应该是第三类点的轨迹．设M 为界线上的任意一点，则有PA ＋MA ＝PB ＋MB ，即MA －MB ＝PB －P A ＝50(定值)．界线为以A ，B 为焦点的双曲线的右支的一部分．如图所示．以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，设所求双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2b 21(a >0，b >0)， ∵a ＝25，2c ＝AB ＝1002＋1502－2×100×150×cos60°＝507， ∴c ＝257，b 2＝c 2－a 2＝3750，∴双曲线方程为x 2625－y 23750＝1，因为C 的坐标为(257，60)，所以y 的最大值为60，此时x ＝35.因此界线的曲线方程为x 2625－y 237501(25≤x ≤35，y >0)．。

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§2.3 双曲线2.3.1 双曲线的标准方程课时目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．1．焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是__________________，焦点F 1________，F 2________.2．焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________________，焦点F 1__________，F 2__________.3．双曲线中a 、b 、c 的关系是____________．4．已知两点求双曲线的标准方程，当焦点位置不确定时可设为Ax 2＋By 2＝1(A ≠0，B ≠0，AB______0)5．双曲线的标准方程中，若x 2项的系数为正，则焦点在______轴上，若y 2项的系数为正，则焦点在______轴上．一、填空题1．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：|MF 1－MF 2|＝2a(a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的____________条件．2．已知双曲线x 29－y 216＝1上的一点P 到双曲线的一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为________．3．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标是(0,3)，则k 的值为________．4．设a>1，则双曲线x 2a 2－y 2(a ＋1)2＝1的离心率e 的取值范围为______________． 5．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是______________．6.设F1、F2是双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则PF 1·PF 2＝________.7．已知方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________． 8．F 1、F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 在双曲线上且满足PF 1·PF 2＝32，则∠F 1PF 2＝________.二、解答题9．已知双曲线过P 1⎝⎛⎭⎫－2，325和P 2⎝⎛⎭⎫437，4两点，求双曲线的标准方程．10.如图所示，在△ABC 中，已知AB ＝42，且三内角A 、B 、C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程，并指明表示什么曲线．能力提升 11.若点O 和点F （-2,0）分别为双曲线2221x y a-=(a>0)的中心和做焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为______________．12．设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．1．方程x 2m ＋y 2n＝1既可以表示椭圆又可以表示双曲线．当方程表示椭圆时，m 、n 应满足m>n>0或n>m>0，当m>n>0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当n>m>0时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆．当方程表示双曲线时，m 、n 应满足mn<0，当m>0，n<0时，方程表示焦点在x 轴上的双曲线；当m<0，n>0时，方程表示焦点在y 轴上的双曲线．2．知道双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，但不知道焦点在哪一个坐标轴上，这时双曲线的方程可设为x 2m ＋y 2n＝1 (mn<0)(或mx 2＋ny 2＝1，mn<0)． §2.3双曲线2．3.1 双曲线的标准方程知识梳理1.x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0) (－c,0) (c,0) 2.y 2a 2－x 2b 2＝1(a>0，b>0) (0，－c) (0，c) 3．c 2＝a 2＋b 24．< 5．x y作业设计 1．必要不充分解析根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲D ⇒/乙，只有当2a<F 1F 2且a ≠0时，其轨迹才是双曲线．2．93．－1 解析原方程可化为x 21k －y 28k＝1，由一个焦点坐标是(0,3)可知c ＝3，且焦点在y 轴上，由于c 2＝(－1k )＋(－8k )＝－9k＝9，所以k ＝－1. 4．(2，5)解析 ∵双曲线方程为x 2a 2－y 2(a ＋1)2＝1， ∴c ＝ 2a 2＋2a ＋1.∴e ＝c a ＝ 2＋1a 2＋2a＝ ⎝⎛⎭⎫1a ＋12＋1. 又∵a>1，∴0<1a <1.∴1<1a＋1<2. ∴1<⎝⎛⎭⎫1＋1a 2<4.∴2<e< 5. 5．x 2－y 24＝1 解析设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，因为c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5－a 2，所以x 2a 2－y 25－a 2＝1.由于线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则P 点的坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a 2－165－a 2＝1，解得a 2＝1或a 2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x 2－y 24＝1. 6．2解析 ∵|PF 1－PF 2|＝4，又PF 1⊥PF 2，F 1F 2＝25，∴PF 21＋PF 22＝20，∴(PF 1－PF 2)2 ＝20－2PF 1·PF 2＝16，∴PF 1·PF 2＝2.7．(－1,1)解析因为方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线，所以(1＋k)(1－k)>0.所以(k ＋1)(k －1)<0.所以－1<k<1.8．90°解析设∠F 1PF 2＝α，PF 1＝r 1，PF 2＝r 2.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得(2c)2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos α，∴cos α＝(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝36＋64－10064＝0.∴α＝90°. 9．解因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1 (mn<0)，因为P 1、P 2在双曲线上，所以有⎩⎨⎧ 4m ＋454n ＝1169×7m ＋16n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－116n ＝19. ∴所求双曲线方程为－x 216＋y 29＝1，即y 29－x 216＝1. 10．解如图，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则A(－22，0)，B(22，0)．由正弦定理得sin A ＝a 2R， sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R， ∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c 2，从而有CA －CB ＝12AB ＝22<AB. 由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支．∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6.所以顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1 (x>2)．故C 点的轨迹为双曲线的右支且除去点(2，0)．11．[3＋23，＋∞)解析由c ＝2得a 2＋1＝4， ∴a 2＝3，∴双曲线方程为x 23－y 2＝1. 设P(x ，y)(x ≥3)，OP →·FP →＝(x ，y)·(x ＋2，y)＝x 2＋2x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1 ＝43x 2＋2x －1(x ≥3)．令g(x)＝43x 2＋2x －1(x ≥3)，则g(x)在[3，＋∞)上单调递增，所以g(x)min ＝g(3)＝3＋2 3.∴OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞)．12．解方法一设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1 (a>0，b>0)，由题意知c 2＝36－27＝9，c ＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ 42a 2－(±15)2b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5. 所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1. 方法二将点A 的纵坐标代入椭圆方程得A(±15，4)，又两焦点分别为F 1(0,3)，F 2(0，－3)．所以2a ＝|(±15－0)2＋(4＋3)2－(±15－0)2＋(4－3)2|＝4，即a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.。

数学苏教版选修2-1教案：2.3.2 双曲线的几何性质 Word版含解析

2．3.2双曲线的几何性质(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)使学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质．(2)掌握双曲线标准方程中a，b，c的几何意义，理解双曲线的渐近线的概念及证明．(3)能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题．2．过程与方法(1)通过与椭圆的性质的类比，获得双曲线的性质，培养学生的观察能力、想象能力、数形结合能力，分析、归纳能力和逻辑推理能力，以及类比的学习方法．(2)通过对双曲线的性质的求解和应用，加深双曲线方程的求解及性质的理解，体会数形结合思想的应用．3．情感、态度与价值观培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的、变化的观点分析理解事物．●重点难点重点：从知识上来讲，要掌握如何利用双曲线标准方程的结构特征研究双曲线的几何性质；从学生的体验来说，需要关注学生在探究双曲线性质的过程中思维的过程展现，如类比思维、数形结合等．难点：双曲线渐近线方程和离心率的求解及应用．通过动画展示，让学生形象地体会双曲线渐近线的真正内涵，渐近线方程与双曲线方程的内在联系、渐近线斜率与离心率的关系．(教师用书独具)●教学建议这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中可以与其类比讲解，让学生自己进行探究，得到类似的结论，在教学中，学生自己能得到的结论应该让学生自己得到，凡是难度不大，经过学习学生自己能解决的问题，应该让学生自己解决，这样有利于调动学生学习的积极性，激发他们的学习积极性，同时也有利于学生建立信心，使他们的主动性得到充分发挥，从中提高学生的思维能力和解决问题的能力．渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难．因此，在教学过程中着重培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，从已有知识出发，层层设(释)疑，激活已知，启迪思维，调动学生自身探索的内驱力，进一步清晰概念(或图形)特征，培养思维的深刻性．●教学流程通过复习和预习，如何通过对双曲线的标准方程的讨论来研究它的几何性质．提问：椭圆有哪些几何性质，获取的途径有哪些？⇒由范围、对称性、顶点及离心率等研究双曲线的几何性质．既要数形结合直观感知，又要根据标准方程严格推证．⇒采用类比教学的方法，由焦点在x轴上的情形得出焦点在y轴上的情形．总结由双曲线标准方程推得渐近线方程的方法，共渐近线双曲线方程的设法．比较椭圆与双曲线几何性质的异同．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握由双曲线方程求其几何性质的方法，首先将方程化为标准方程，由方程得出基本量a，b，c，再写出相应的几何性质．注意椭圆、双曲线的区别．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握由双曲线的几何性质求其方程的方法，由几何性质得出基本量a，b.c，从而求出其标准方程．注意焦点所在坐标轴的不同对方程的影响．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握双曲线离心率或其范围的求解方法，求双曲线的离心率，即找基本量a，b，c的等式关系；求离心率的取值范围，即找基本量a，b，c的不等式关系．注意椭圆与双曲线离心率公式及范围的异同．⇒通过例4及变式训练，使学生掌握直线与双曲线位置关系的研究方法，会讨论公共点个数，会求弦长、弦中点等问题．体会方程思想的应用．⇒通过易错易误辨析，体会双曲线与直线交点个数的讨论方法，要注意直线平行于渐近线的情形，否则将会导致错误．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.已知双曲线方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．1．双曲线的对称轴和对称中心各是什么？【提示】坐标轴、坐标原点．2．双曲线与坐标轴有交点吗？【提示】与x轴有两个交点(－a,0)，(a,0)，与y轴没有交点．3．双曲线方程中x，y的取值范围是什么？【提示】|x|≥a，y∈R.1．双曲线的几何性质实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的离心率e＝ 2.求双曲线4x2－y2＝4的实轴长、虚轴长、焦点、顶点坐标、离心率和渐近线方程．【思路探究】化为标准方程→求基本量a，b，c→求几何性质【自主解答】原方程可化为x 2－y 24＝1，所以，a ＝1，b ＝2，c ＝5，因此，双曲线的实轴长和虚轴长分别为2a ＝2,2b ＝4，两个焦点分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，双曲线的两个顶点是A 1(－1,0)，A 2(1,0)，离心率e ＝ca＝5，渐近线方程为y ＝±2x .1．由双曲线方程求其几何性质时，首先应将方程化为标准形式，并注意焦点所在坐标轴．2．求解双曲线几何性质时，应注意与椭圆区分开，尤其是基本量a ，b ，c 的关系，对椭圆，a 2＝b 2＋c 2；对双曲线，c 2＝a 2＋b 2.求以椭圆x 216＋y 29＝1的两个顶点为焦点，两个焦点为顶点的双曲线方程，并求此双曲线的实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．【解】 ∵椭圆x 216＋y 29＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4b 1＝3，∴c 1＝7.∴对双曲线⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝c 1＝7c 2＝a 1＝4，∴b 2＝3，∴双曲线方程：x 27－y 29＝1.∴实轴长2a ＝27，虚轴长2b ＝6，离心率e ＝477，渐近线y ＝±377x .标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x 轴上，离心率为2，且过点(－5,3)； (2)焦距是10，实轴长是虚轴长的2倍；(3)过点(2，－2)且与x 22－y 2＝1有公共渐近线．【思路探究】题(1)已知焦点所在的坐标轴，则只需求出几何量a ，b 的值，便可得到双曲线的标准方程；题(2)中双曲线的焦点位置不确定，则应分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况进行讨论；题(3)中，可按焦点在x 轴、y 轴上分类讨论，更简单的做法是按公共渐近线的双曲线的统一设法求解方程．【自主解答】 (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．∵e ＝ca ＝2，∴c ＝2a ，b 2＝c 2－a 2＝a 2.把点(－5,3)代入双曲线方程，得a 2＝16. ∴所求双曲线的标准方程为x 216－y 216＝1.(2)由题意得2c ＝10,2a ＝4b ，即c ＝5，a ＝2b . 利用c 2＝a 2＋b 2，解得a 2＝20，b 2＝5.由于双曲线的焦点所在的轴不确定，故双曲线的标准方程为x 220－y 25＝1或y 220－x 25＝1.(3)法一当焦点在x 轴上时，由于b a ＝22，故可设方程为x 22b 2－y 2b 2＝1，代入点(2，－2)，得b 2＝－2(舍去)．当焦点在y 轴上时，可知a b ＝22，故可设方程为y 2a 2－x 22a 2＝1，代入点(2，－2)，得a 2＝2.∴所求双曲线方程为y 22－x 24＝1.法二因为所求双曲线与已知双曲线x 22－y 2＝1有公共的渐近线，故可设双曲线方程为x 22－y 21＝λ(λ≠0)，代入点(2，－2)，得λ＝－2. ∴所求双曲线的方程为x 22－y 2＝－2，即y 22－x 24＝1.1．根据双曲线的性质求双曲线的标准方程时，一般采用待定系数法，首先要根据题目中给出的条件，确定焦点所在的位置，然后设出标准方程的形式，找出a 、b 、c 的关系，列出方程求值，从而得到双曲线的标准方程．2．以y ＝±n m x 为渐近线的双曲线方程可设为x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)，以此求双曲线方程可避免分类讨论．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)实轴长为16，离心率为54；(2)顶点间的距离为6，渐近线方程为y ＝±32x .【解】 (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知2a ＝16，c a ＝54，c 2＝a 2＋b 2，解得c ＝10，a ＝8，b ＝6，所以双曲线标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)当焦点在x 轴上时，∵b a ＝32，a ＝3，∴b ＝92，∴双曲线标准方程为x 29－y 2814＝1；当焦点在y 轴上时，a b ＝32，a ＝3，∴b ＝2，∴双曲线标准方程为y 29－x 24＝1.(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为________；(2)如果双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是________．【思路探究】 (1)双曲线的焦点位置确定，则由渐近线方程得到a ，b 之间的关系式，结合c 2＝a 2＋b 2可求；(2)数形结合，根据该点的横坐标x >a 得出关于a ，c 的不等式，从而求e 的范围．【自主解答】 (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，所以其渐近线方程为y＝±b a x ，因为点(4，－2)在渐近线上，所以b a ＝12，根据c 2＝a 2＋b 2，可得c 2－a 2a 2＝14，解得e 2＝54，e ＝52(负值舍去)．(2)如图，∵AO ＝AF ，F (C,0)， ∴x A ＝c2，∵A 在右支上且不在顶点处，∴c 2>a ，∴e ＝c a >2. 【答案】 (1)52(2)(2，＋∞)1．求双曲线的离心率，就要根据题意得出基本量a ，b ，c 的等量关系，从而转化为关于e 的方程求解，并且要注意e >1.2．求离心率的取值范围，就要根据题意，得出关于基本量a ，b ，c 的不等关系，从而得出关于e 的不等式求解，并且注意e >1.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)、(0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率．【解】由l 过两点(a,0)，(0，b )，设l 的方程为bx ＋ay －ab ＝0. 由原点到l 的距离为34c ，得aba 2＋b 2＝34c . 将b ＝c 2－a 2代入，平方后整理，得16(a 2c 2)2－16×a 2c 2＋3＝0.令a 2c 2＝x ，则16x 2－16x ＋3＝0，解得x ＝34或x ＝14.∵e ＝ca，有e ＝1x .故e ＝233或e ＝2. ∵0<a <b ，故e ＝ca ＝a 2＋b 2a＝1＋b 2a2>2， ∴离心率e 为2.已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y＝kx －1，(1)若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．【思路探究】(1)联立消元→二次项系数不为0→Δ>0 (2)S △AOB计算办法S △AOB ＝12AB ·h 韦达定理S △AOB 被y 轴分割【自主解答】 (1)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，消去y 并整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0. ∵直线与双曲线有两个不同的交点，则满足条件⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋8(1－k 2)>0，解得－2<k <2，且k ≠±1.∴若l 与C 有两个不同交点，实数k 的取值范围为 (－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)． (2)法一设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，对于(1)中的方程(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2， ∴AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(－2k 1－k 2)2＋81－k 2＝(1＋k 2)(8－4k 2)(1－k 2)2.又∵点O (0,0)到直线y ＝kx －1的距离d ＝11＋k 2，∴S △AOB ＝12·AB ·d ＝128－4k 2(1－k 2)2＝2，即2k 4－3k 2＝0.解得k ＝0或k ＝±62.∴实数k 的值为±62或0.法二设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(1)得x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.又直线l 过点D (0，－1)， ∴S △OAB ＝S △OAD ＋S △OBD ＝12|x 1|＋12|x 2|＝12|x 1－x 2|＝2， ∴(x 1－x 2)2＝(22)2，即(－2k 1－k 2)2＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62.由(1)知上述k 的值符合题意， ∴实数k 的值为0或±62.1．直线与双曲线公共点个数的讨论，一般转化为方程根的个数讨论，但应注意消元后所得方程不一定是一元二次方程，只有二次项系数不为0的时候，才能利用Δ判别式．2．有关直线被双曲线截得的弦的问题，要注意弦长公式及韦达定理的综合应用，对于弦的端点坐标，一般采用“设而不求”的思想．已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A、B两点，试问A、B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长．【解】∵a＝1，b＝3，c＝2，∵直线l过点F2且倾斜角为45°，∴直线l的方程为y＝x－2，代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，∵x1·x2＝－72<0，∴A、B两点分别位于双曲线的左、右两支上．，∵x1＋x2＝－2，x1·x2＝－72∴AB＝1＋12|x1－x2|＝2·(x1＋x2)2－4x1x2＝2·(－2)2－4(－72)＝6.忽略分类讨论而致错求经过点P (1,3)且与双曲线4x 2－y 2＝1仅交于一点的直线的条数．【错解】直线的斜率显然存在．设过点P (1,3)的直线方程为y －3＝k (x －1)，联立直线方程与双曲线方程得⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝k (x －1)，4x 2－y 2＝1，整理得(4－k 2)x 2＋(2k 2－6k )x －k 2＋6k －10＝0，当4－k 2≠0时，由Δ＝0，得3k 2－24k ＋40＝0，即k ＝12±263.此时，过P 点的直线与双曲线仅交于一点，这样的直线有两条．【错因分析】本题的错解中忽略了4－k 2＝0，即直线平行于渐近线的情形．【防范措施】若直线与双曲线只有一个交点，则不仅要考虑相切的情形，还要考虑直线平行于渐近线的情形．不能误以为直线与双曲线只有相切时，才有一个交点．【正解】直线的斜率显然存在．设过点P (1,3)的直线方程为y －3＝k (x －1)，代入双曲线方程，得(4－k )2x 2＋(2k 2－6k )x －k 2＋6k －10＝0.当4－k 2≠0时，由Δ＝0，得3k 2－24k ＋40＝0，即k ＝12±263.当4－k2＝0时，即k＝±2时，过P点的直线与双曲线的渐近线平行，此时该直线与双曲线也仅交于一点．综上所述，共有4条．1．由双曲线的标准方程求双曲线的几何性质，首先应将方程化为标准形式，确定焦点所在坐标轴，再求其几何性质，求解时应注意与椭圆的几何性质区分开，不可混淆．2．渐近线是双曲线特有的几何性质，由双曲线方程要熟练写出其渐近线方程；反过来，由渐近线方程也应熟练设出相应双曲线方程．3．直线与双曲线的综合问题类似于直线与椭圆，主要利用方程思想求解，但也有不同，直线与椭圆，消元后所得方程二次项系数不为0，为真正的一元二次方程；直线与双曲线，消元后所得方程二次项系数可能为0，必要时需分类讨论.1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是________．【解析】双曲线2x 2－y 2＝8的标准方程为x 24－y 28＝1，实轴长为2a ＝4.【答案】 42．顶点是(±2,0)，焦点是(±3,0)的双曲线方程是________．【解析】 ∵a ＝2，c ＝3， ∴b 2＝c 2－a 2＝5， ∴双曲线方程为x 24－y 25＝1.【答案】 x 24－y 25＝13．若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则双曲线的离心率e ＝________. 【解析】由题意，b 2＝ac ，∴b 2a 2＝c a， ∴e 2－1＝e 即e 2－e －1＝0，∴e ＝1＋52.【答案】1＋524．(2013·课标全国卷Ⅰ改编)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为________．【解析】由e ＝52，得c a ＝52，∴c ＝52a ，b ＝c 2－a 2＝12a .而x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b a x ， ∴所求渐近线方程为y ＝±12x .【答案】 y ＝±12x一、填空题1．(2013·江苏高考)双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________．【解析】由双曲线方程可知a ＝4，b ＝3，所以两条渐近线方程为y ＝±34x .【答案】 y ＝±34x2．(2013·扬州高二检测)若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为2，则m 的值为________．【解析】显然m >0，∴e ＝1＋m ＝2，∴m ＝3.【答案】 33．(2013·福建高考改编)双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________．【解析】双曲线的渐近线为直线y ＝±12x ，即x ±2y ＝0，顶点为(±2,0)，∴所求距离为d＝|±2±0|5＝255.【答案】2554．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为________．【解析】双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为x 2a 2－y 29＝0，整理得3x ±ay ＝0，故a ＝2. 【答案】 25．(2013·常州高二检测)双曲线tx 2－y 2－1＝0的一条渐近线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，则双曲线的离心率为________．【解析】渐近线方程为y ＝±tx ，∵2x ＋y ＋1＝0的斜率为k ＝－2，∴t ＝12，∴t ＝14，∴双曲线方程为x 24－y 2＝1，∴e ＝1＋14＝52. 【答案】526．(2013·哈师大附中高二检测)y ＝kx ＋2与双曲线x 29－4y 29＝1右支交于不同的两点，则实数k 的取值范围是________．【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2x 29－49y 2＝1消去y 得：(1－4k 2)x 2－16kx －25＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－4k 2≠0Δ＝25－36k 2>016k1－4k2>0－251－4k2>0，∴－56<k <－12.【答案】 (－56，－12)7．已知点F是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．图2－3－1【解析】△ABE是等腰三角形，AE＝BE，∴只需∠AEB为锐角，∴∠AEF<45°，∴b2a＝AF<FE＝a＋c，∴e2－e－2<0，∴－1<e<2.又∵e>1，∴1<e<2，∴e∈(1,2)．【答案】(1,2)8．(2012·浙江高考改编)中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是________．图2－3－2【解析】设椭圆的长轴为2a ，双曲线的长轴为2a ′，由M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则2a ＝2×2a ′，即a ＝2a ′，又因为双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为c ，则双曲线的离心率为e ′＝c a ′，椭圆离心率e ＝ca ，故e ′e ＝a a ′＝2.【答案】 2 二、解答题9．(1)求焦点在x 轴上，过点(3，－2)，离心率为e ＝52的双曲线的标准方程； (2)求中心在原点，对称轴为坐标轴，一个焦点是(－4,0)，一条渐近线是3x －2y ＝0的双曲线方程及离心率．【解】 (1)焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则9a 2－2b 2＝1，① 又e ＝c a＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝52，得a 2＝4b 2.② 由①②得a 2＝1，b 2＝14，得双曲线标准方程为x 2－y 214＝1. (2)∵双曲线的一条渐近线是3x －2y ＝0， ∴可设双曲线方程为x 24－y 29＝λ(λ≠0)．∵其中一个焦点是(－4,0)， ∴4λ＋9λ＝16. ∴λ＝1613.∴双曲线方程为13x 264－13y 2144＝1，离心率e ＝c a ＝132.10．已知斜率为1的直线l 与双曲线x 2－y 22＝1交于A ，B 两点，且|AB |＝42，求直线l 的方程．【解】设直线l 的方程为y ＝x ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－y 2＝2y ＝x ＋b得x 2－2bx －b 2－2＝0， ∴x 1＋x 2＝2b ，x 1x 2＝－b 2－2， ∴由AB ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 28b 2＋8＝42，解得b ＝±1，∴直线l 的方程为x －y ±1＝0.图2－3－311．如图2－3－3，已知双曲线C 的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，离心率e ＝52，顶点到渐近线的距离为255.(1)求双曲线C 的方程；(2)P 是双曲线C 上一点，A 、B 两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一、第二象限．若AP →＝λPB →，λ∈[13，2]，求△AOB 面积的取值范围．【解】 (1)由题意，知双曲线C 的顶点(0，a )到渐近线ax －by ＝0的距离为255，∴ab a 2＋b 2＝255，即ab c ＝255. 由⎩⎪⎨⎪⎧ab c ＝255，c a ＝52，c 2＝a 2＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝5，∴双曲线C 的方程为y 24－x 2＝1.(2)由(1)知双曲线C 的两条渐近线方程为y ＝±2x . 设A (m,2m )，B (－n,2n )，m >0，n >0. 由AP →＝λPB →，得P 点的坐标为(m －λn 1＋λ，2(m ＋λn )1＋λ)．将P 点坐标代入y 24－x 2＝1，化简，得mn ＝(1＋λ)24λ.设∠AOB ＝2θ，∵tan(π2－θ)＝2，∴tan θ＝12，sin θ＝55，sin 2θ＝45.又OA ＝5m ，OB ＝5n ， ∴S △AOB ＝12OA ·OB sin 2θ＝2mn ＝12(λ＋1λ)＋1.记S (λ)＝12(λ＋1λ)＋1，λ∈[13，2]．由基本不等式，得S (λ)＝12(λ＋1λ)＋1≥12×2＋1＝2.当且仅当λ＝1λ，即λ＝1时，取等号．又S(13)＝83，S(2)＝94，∴当λ＝1时，△AOB的面积取得最小值2；当λ＝13时，△AOB的面积取得最大值83.∴△AOB面积的取值范围是[2，83].(教师用书独具)设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B .(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且P A →＝512PB →，求a 的值．【思路探究】 (1)利用Δ>0可得a 的范围，再写出离心率关于a 的表达式，可求出离心率的范围；(2)由根与系数的关系及向量坐标关系，可得到关于a 的方程，解出a 即可．【自主解答】 (1)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a 2－y 2＝1中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，①∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0，解得0<a <2且a ≠1.又双曲线的离心率e ＝1＋a 2a＝ 1a 2＋1， ∴e >62且e ≠ 2. (2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、P (0,1)． ∵P A →＝512PB →，∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．由此得x 1＝512x 2，由于x 1、x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，∴1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a 2.消去x 2，得－2a 21－a 2＝28960，由a >0得a ＝1713.1．本例中求双曲线离心率e 的取值范围，主要是利用了方程思想．2．圆锥曲线与向量知识的综合问题，若条件为向量式时，一般要进行坐标化．双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为l 1、l 2，经过右焦点F 垂直于l 1的直线分别交l 1、l 2于A 、B 两点．已知|OA →|、|AB →|、|OB →|成等差数列，且BF →与F A →同向．(1)求双曲线的离心率；(2)设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．【解】 (1)因为2|AB →|＝|OA →|＋|OB →|，又|OA →|2＋|AB →|2＝|OB →|2，因此有|OB →|2＝|OA →|2＋(|OA →|＋|OB →|2)2，化简有(5|OA →|－3|OB →|)(|OA →|＋|OB →|)＝0.于是得tan ∠AOB ＝43.又BF →与F A →同向，故∠AOF ＝12∠AOB ，所以2tan ∠AOF 1－tan 2∠AOF ＝43，解得tan ∠AOF ＝12或tan ∠AOF ＝－2(舍去)．因此b a ＝tan ∠AOF ＝12，a ＝2b ，c ＝a 2＋b 2＝5b ，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝52.(2)由a ＝2b 知，双曲线的方程可化为x 2－4y 2＝4b 2.①由l 1的斜率为12，c ＝5b 知，直线AB 的方程为y ＝－2(x －5b )．②将②代入①并化简，得15x 2－325bx ＋84b 2＝0.设AB 与双曲线的两交点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝325b 15，x 1·x 2＝84b 215＝28b 25.于是AB 被双曲线截得的线段长l ＝1＋(－2)2·|x 1－x 2|＝5·[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝5·[(325b 15)2－4×28b 25]＝43b .而已知l ＝4，所以43b ＝4，得b ＝3，a ＝6.故双曲线的方程为x 236－y 29＝1.。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-1 2.3.2 双曲线的几何性质》4

课题：直线与双曲线的位置关系〔一〕
执教者：施建新授课班级：高二〔3〕
教学目标：
①知识与技能：理解并掌握直线与双曲线的位置关系及其研究方法
②过程与方法：通过和直线与椭圆的位置关系类比，获得直线与双曲线的位
置关系及其研究方法
③情感态度与价值观：用联想、类比、归纳的方法，提高解决问题的能力；通过个人独立探索和团队合作讨论，提高探索新知识的能力，在探究过程中体验成功的乐趣
教学重点：直线与双曲线的位置关系及其应用
教学难点：对直线与双曲线的位置关系的理解
教学方法：小组讨论、启发、演示、讲练结合等
教学过程：
一、自主学习：
1、重温直线与椭圆的位置关系及其研究方法；
2、复习直线与圆锥曲线相交的弦长公式
设直线:=n，圆锥曲线：F,=0，它们的交点为P11,1，P22,2，设，
那么弦长公式为：①
②
二、合作探究：类比、联想得出直线与双曲线的位置关系及其研究方法
三、检测评价：
例1、假设直线与双曲线没有公共点，求的取值范围
变式一：假设直线与双曲线有一个公共点，求的取值范围
变式二：假设直线与双曲线有两个公共点，求的取值范围
变式三：假设直线与双曲线在左支上有两个公共点，求的取值范围
例2、〔1〕求直线被双曲线截得的弦长；
〔2〕求过定点的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程
四、归纳小结：
1、直线与双曲线的位置关系及其研究方法；
2、提炼数学思想及方法．
五、作业布置。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-1 2.3.1 双曲线的标准方程》1

§2．3．1 双曲线及其标准方程教学设计一、教学目标1了解双曲线的标准方程，能根据已知条件求双曲线的标准方程。

2．能用双曲线的标准方程处理简单的实际问题。

二、教学重点、难点重点：根据已知条件求双曲线的标准方程。

难点：用双曲线的标准方程处理简单的实际问题。

三、教具：电子白板、利用多媒体播放双曲线的形成过程。

四、教学时间：45分钟五、教学过程一复习1．椭圆的定义是什么？2．椭圆的标准方程是什么？3．双曲线的定义是什么？二双曲线的标准方程的推导方程提问：已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求椭圆标准方程的方法由学生来建立直角坐标系．注意：1．若常数要等于|F 1F 2|，则图形是什么？2．若常数要大于|F 1F 2|，能画出图形吗？3．定点F1、F2与动点M 不在平面上，能否得到双曲线？（强调“在平面内”）4．|MF1|与|MF2|哪个大？（当M 在双曲线右支上时，|MF1|＞|MF2|；当点M 在双曲线左支上时，|MF1|＜|MF2|）5．点M 与定点F1、F2距离的差是否就是|MF1|-|MF2|？（三）例题讲解例1 已知双曲线两个焦点分别为()15,0F -，()25,0F ，双曲线上一点P 到1F ，2F 距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．思考：已知两点F1-5，0、F25，0，求与它们的距离的差的绝对值是6的点的轨迹方程．如果把这里的数字6改为12，其他条件不变，会出现什么情况？例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）a=3,b=4，焦点在轴上；（2）a =A （2，－5），焦点在轴上。

例3如果方程11222=+-+m y m x 表示双曲线，求m 的范围变式1上述方程表示焦点在轴的双曲线时，求焦点坐标。

变式2 : 上述方程表示焦点在轴的椭圆时，求焦点坐标。

课堂小结：（四）课堂训练：224640x y -+=到它的一个焦点的距离等于1，求M 到另一个焦点的距离。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-1 2.3.1 双曲线的标准方程》7

2.3.1 双曲线的标准方程江苏省亭湖高级中学周语华教学目标：1．了解双曲线的标准方程的推导过程，能根据已知条件求双曲线的标准方程． 2．掌握双曲线两种标准方程的形式．教学重点：根据已知条件求双曲线的标准方程．椭圆和双曲线标准形式中a 、b 、c 间的关系．教学难点：用双曲线的标准方程处理简单的实际问题．教学过程：一、复习提问1．椭圆的定义是什么？平面内与两定点1F ，2F 的距离的和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆．教师要强调条件：（1）平面内；（2）到两定点1F ，2F 的距离的和等于常数；（3）常数122||a F F >． 2．椭圆的标准方程是什么？焦点在轴上的椭圆标准方程为()222210x ya b a b+=>>；焦点在轴上的椭圆标准方程为()222210x ya b b a +=>>．3．双曲线的定义是什么？平面内与两定点1F 、2F 的距离的差的绝对值是常数（小于12||F F ）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点1F 、2F 叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．二、双曲线的标准方程的推导方程提问：已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求椭圆标准方程的方法由学生来建立直角坐标系．无理方程的化简过程仍是教学的难点，让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理的数学活动过程．类比椭圆：设参量b 的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、,,a b c 的关系有明显的几何意义．类比：写出焦点在y 轴上，中心在原点的双曲线的标准方程()222210,0y xa b b a-=>>．焦点在轴上图形标准方程焦点坐标 F 1 ，F 2 ．F 1 ，F 2 ．a ，b ，c 之间的关系注意：1．若常数要等于12||F F ，则图形是什么？于12||F F ，能画出图形吗？3．定点1F ，2F 与动点M 不在平面上，能否得到双曲线？（强调“在平面内”） 4．1||M F 与2||M F 哪个大？（当M 在双曲线右支上时， 12||||M F M F >；当点M 在双曲线左支上时，12||||M F M F <）5．点M 与定点1F ，2F 距离的差是否就是12||||M F M F -？6．想一想：如何判断方程)0,0(12222>>=-b a b y a x 和)0,0(12222>>=-b a bx a y 所表示的双曲线焦点的位置？三、例题讲解例1 写出适合下列条件的双曲线的标准方程：⑴3,5==b c ,焦点在轴上；⑵焦点为)6,0(),6,0(21F F -，且过点（2，-5）， ⑶经过点)22,3()332,2(-B A 和1,F 2是双曲线116922=-y x 的左右两个焦点，21PF F ∠A B 800m A B /．（1）爆炸点在什么曲线上？（2）求这条曲线的方程．变化：一炮弹在某处爆炸,在A 、B 两处听到爆炸的声音的时间相差2。

苏教版高中数学选修(2-1)-2.3《双曲线的几何性质》教学教案1

双曲线的几何性质学习目标：1．能用对比的方法分析双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质2．掌握双曲线的渐近线的概念和证明；3．明确双曲线方程中,,a b c 的几何意义；重、难点：双曲线的范围、对称性、顶点和渐近线。

（一）复习：1．双曲线的定义和标准方程； 2．椭圆的性质；（二）新课讲解：以双曲线标准方程12222=-by a x 为例进行说明。

1．范围：观察双曲线的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线a x ±= 的外侧。

注意：从双曲线的方程如何验证？从标准方程12222=-b y a x 可知22221by a x ≥-，由此双曲线上点的坐标都适合不等式122≥ax ，即22a x ≥，a x ≥即双曲线在两条直线a x ±=的外侧。

2．对称性：双曲线12222=-by a x 关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线12222=-by a x 的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。

3．顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。

在双曲线12222=-by a x 的方程里，对称轴是,x y 轴，所以令0=y 得a x ±=，因此双曲线和x 轴有两个交点)0,()0,(2a A a A -，他们是双曲线12222=-by a x 的顶点。

令0=x ，没有实根，因此双曲线和y 轴没有交点。

1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。

2）实轴：线段2A A 叫做双曲线的实轴，它的长等于2,a a 叫做双曲线的实半轴长。

O x y A A ' C C ' B B ' 虚轴：线段2B B 叫做双曲线的虚轴，它的长等于2,b b 叫做双曲线的虚半轴长。

在作图时，我们常常把虚轴的两个端点画上（为要确定渐进线），但要注意他们并非是双曲线的顶点。

苏教版高中数学选修2-12.3双曲线同步练测(选修2-1)

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）2.3 双曲线（苏教版选修2-1）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、填空题(每小题5分，共55分)1.已知方程的图象是双曲线，那么的取值范围是 .2.与双曲线有共同的焦点，且过点（4， )的双曲线的标准方程为 .3. 若双曲线=1(a 0，b 0)的离心率是2，则的最小值为 .4. 若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线的离心率是 .5.若直线过点(3,0)与双曲线224936x y -=只有一个公共点，则这样的直线有条.6.设双曲线的半焦距为，直线过两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为 .7.已知双曲线=1(a ＞0，b ＞0)，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若OM ⊥ON ，则双曲线的离心率为 .8.过原点的直线，如果它与双曲线22134y x -=相交，则直线的斜率的取值范围是 .9. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为(7,0)F ，直线1y x =-与其交于M N 、两点，MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是． 10.过双曲线x y a b a b，22221(00)-=>>的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线相交于两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于 .11. 已知过点P (-3，0)的直线l 与双曲线 =1交于A 、B 两点，设直线l 的斜率为≠0)，弦AB 的中点为M ，OM 的斜率为为坐标原点)，则·= . 二、解答题（共45分）12.（14分）求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在轴上,虚轴长为12，离心率为54（2）顶点间的距离为6，渐近线方程为．13.（15分）直线与双曲线的右支交于不同的两点，求实数的取值范围．14.（16分）已知双曲线222210,0)x ya ba b-=>>（的离心率233e=，原点到过(,0),(0,)A aB b-的直线的距离是3 . 2（1）求双曲线的方程（2）已知直线5(0)y kx k=+?交双曲线于不同的两点，且都在以为圆心的圆上，求出的值.一、填空题1. 解析：由方程的图象是双曲线知，,即2. 解析：可设与已知双曲线有共同焦点的双曲线的方程为 =1(-9＜k ＜16)，再将已知点(4，3 )代入上面的方程可得到 - =1，解得k =12或k =-84(舍去).故双曲线的标准方程为.3. 解析：由离心率e =2，得 =2，从而b = a ＞0，所以 =a + ≥2 =2 = ，当且仅当a = ，即a = 时，“＝”成立.4. 或解析：由题意，=2×8=16，∴ m =±4.当m =4时，=1表示椭圆，e = = ；当m =-4时， =1表示双曲线，e = = .5.3 解析：双曲线方程化为标准方程为，则点(3,0)为双曲线的右顶点.过点(3,0)与x 轴垂直的直线满足题意，过点(3,0)与双曲线渐近线平行的2条直线满足题意，因此这样的直线共有3条.6.2 解析：由已知，直线的方程为.原点到直线的距离为34，则有2234ab c a b=+.又，所以，两边平方，得.两边同除以，并整理，得，所以或43.由，得222221a b b a a+=+＞2，所以.故．7. 解析：MN 为双曲线的通径，其长度为，又因为OM ⊥ON 且OM ＝ON ，∴ 在等腰Rt △MON中，有 =c ，∴=ac ，∴=ac ，∴=0，∴ e = （负值舍去） . 8. 解析：双曲线的渐近线方程为若直线l 与双曲线相交，则9.22125x y -= 解析：设双曲线方程为．将代入，整理得．由根与系数的关系得，则．又，解得，，所以双曲线的方程是10.2 解析：设双曲线的左焦点为右顶点为又因为MN 为圆的直径且点A 在圆上，所以F 为圆的圆心，且所以，即由11. 解析：设，，，，则线段AB 的中点M 的坐标是， )，直线AB 的斜率，直线OM 的斜率，故·，又双曲线的方程为，故，故= .二、解答题12.解：（1）焦点在轴上，设所求双曲线的方程为()222210,0x y a b a b -=>>．由题意，得解得8a =，6b =．所以焦点在轴上的双曲线的方程为2216436x y -=．（2）方法一：当焦点在轴上时，设所求双曲线的方程为()=222210,0.x y a b ab->>由题意，得解得所以焦点在轴上的双曲线的方程为2219814x y -=．同理可求得焦点在轴上的双曲线的方程为22194y x -=．方法二：设以32y x =?为渐近线的双曲线的方程为22(0).49x y λλ-=? 当λ＞时，246λ=，解得λ94．此时，所求的双曲线的方程为2219814x y -=．当λ＜时，296λ-=，解得λ．此时，所求的双曲线的方程为22194y x -=． 13.解：将直线的方程代入双曲线的方程后，整理得．依题意，直线与双曲线的右支交于不同两点，故解得的取值范围是．14.解：（1）因为23,3c a=原点到直线：的距离ab ab d c a b 2232===+，所以1, 3.b a == 故所求双曲线方程为22 1.3x y -=（2）把5y kx =+代入2233x y -=中,消去，整理得22(13)30780k x kx ---=. 设1122(,),(,),C x y D x y CD 的中点是00(,)E x y ，则120215213x x k x k+==-，y kx k 00255.13=+=-BE y k x k0011+==-，所以000,x ky k ++=即.又,所以,即。

苏教版高中数学选修2-1：2.3《双曲线》测试(选修2—1).docx

高中苏教选修（2-1）2.3双曲线水平测试题一、选择题1．到两定点12(30)(30)F F -，，，的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹是（） A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线答案：Ｄ2．双曲线22149x y -=的渐近线方程是（） A ．23y x =±B ．49y x =±C ．32y x =±D ．94y x =±答案：Ｃ3．已知双曲线2244x y -=上一点P 到双曲线的一个焦点的距离等于6，那么P 点到另一焦点的距离等于（） A ．10 B ．10或2C ．625+D ．625±答案：Ｂ4．方程22111x y k k+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是（） A ．11k -<< B ．0k >C ．0k ≥D ．1k >或1k <-答案：Ｄ5．双曲线22221124x y m m-=+-的焦距是（） A ．4B ．22C ．8D ．与m 有关答案：Ｃ6．已知平面内有一条线段AB ，其长度为4，动点P 满足3PA PB -=，O 为AB 的中点，则PO 的最小值为（） A ．32B ．1C ．2D ．3答案：Ａ二、填空题7．若双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则这个双曲线的离心率为．答案：538．与椭圆2214924x y +=有相同的焦点且以43y x =±为渐近线的双曲线方程为．答案：221916x y -= 9．已知双曲线221(0)9x y m m-=>的离心率为2，则m 的值为．答案：2710．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(02)，，则双曲线的标准方程为．答案：22144y x -= 11．设中心在原点的椭圆与双曲线22221x y -=有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是．答案：2212x y += 12．对于曲线22:141x y C k k +=--，给出下面四个命题： ①曲线C 不可能表示椭圆；②当14k <<时，曲线C 表示椭圆；③若曲线C 表示双曲线，则1k <或4k >； ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则512k <<．其中所有正确命题的序号为．答案：③④ 三、解答题13．求中心在原点，对称轴为坐标轴，一个焦点是(40)-，，一条渐近线是320x y -=的双曲线方程及离心率．解：双曲线的一条渐近线是320x y -=，∴可设双曲线方程为22(0)49x y λλ-=≠．焦点是(40)-，，∴由22149x y λλ-=，得4916λλ+=． 1613λ∴=． ∴双曲线方程为221313164144x y -=，离心率132c e a ==．14．已知12F F ，是双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右两焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，若1245PF F ∠=时，求双曲线的渐近线方程．解：由2(0)F c ，，设0()P c y ，，则220221y c a b-=，那么222021c b y b a a⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，因为1245PF F ∠=，所以120F F y =，即22b c a=．也就是22244()a a b b +=，得22(222)b a =+．故渐近线方程为222y x =±+．15．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点所到的时间比其他两个观测点晚期4s ．已知各观测点到该中心的距离都是1020m ．试确定该巨响发生的位置．（假定当时声音传播的速度为340m/s ，相关各点均在同一平面上）．解：以接报中心为原点O ，正东、正北方向分别为x 轴、y 轴的正向建立平面直角坐标系．设A B C ，，分别是西、东、北观测点，则(10200)(10200)(01020)A B C -，，，，，．设()P x y ，为巨响发生点，由A C ，同时听到巨响，得PA PC =，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y x =-．因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声，故34041360PB PA -=⨯=．由双曲线定义知P 点在以A B ，为焦点的双曲线22221x y a b-=上，依题意得680a =，1020c =，22222210206805340b c a =-=-=⨯，故双曲线方程为222216805340x y -=⨯．用y x =-代入上式，得6805x =±，由PB PA >，得6805x =-，6805y =，即(68056805)P -，，所以68010PO =．故巨响发生在接报中心的西偏北45，距中心68010m 处．高中苏教选修（2-1）2.3双曲线水平测试题一、选择题1．设P 是双曲线22219x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=，12F F ，分别是双曲线的左、右焦点，若13PF =，则2PF =（） A ．1或5B ．6C ．7D ．9答案：C2．焦点为(06)，，且与双曲线2212x y -=有相同的渐近线的双曲线方程是（）A ．2211224x y -= B ．2211224y x -= C ．2212412y x -= D ．2212412x y -= 答案：B3．过双曲线221169x y -=左焦点1F 的弦AB 长为6，则2ABF △（2F 为右焦点）的周长是（） A ．28 B ．22C ．14D ．12答案：Ａ4．已知m n ，为两个不相等的非零实数，则方程0mx y n -+=与22nx my mn +=所表示的曲线可能是（）答案：Ｃ5．已知双曲线方程为2214y x -=，过点(10)P ，的直线L 与双曲线只有一个公共点，则L 的条数共有（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1答案：Ｂ6．已知双曲线22221x y a b -=(00)a b >>，的左、右焦点分别为12F F ，，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为（）A ．43B ．53C ．2D ．73答案：Ｂ二、填空题7．直线1y x =+与双曲线22123x y -=相交于A B ，两点，则AB = ．答案：468．已知定点A B ，，且6AB =，动点P 满足4PA PB -=，则PA 的最小值是．答案：59．若双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的一条渐近线的倾斜角为π(0)2αα<<，其离心率为．答案：sec α10．直线y x b =+与双曲线2222x y -=相交于A B ，两点，若以AB 为直径的圆过原点，则b = ．答案：2±11．若直线y x m =+与曲线24y x =--有且仅有一个公共点，则m 的取值范围为．答案：(](]202--∞，，12．双曲线221169x y -=上有点12P F F ，，是双曲线的焦点，且12π3F PF ∠=，则12F PF △的面积是．答案：93 三、解答题13．已知动点P 与双曲线221x y -=的两个焦点12F F ，的距离之和为定值，且12cos F PF ∠的最小值为13-，求动点P 的轨迹方程．解：221x y -=，2c ∴=．设1PF m =，2PF n =，则2m n a +=（常数0a >），所以点P 是以12F F ，为焦点，2a 为长轴的椭圆，2222a c >=，2a ∴>．由余弦定理，有2221212cos 2m n F F F PF mn+-∠=2212()22m n mn F F mn+--=2241a mn-=-．222m n mn a +⎛⎫= ⎪⎝⎭≤，∴当且仅当m n =时，mn 取得最大值2a ．此时12cos F PF ∠取得最小值22241a a --，由题意2224113a a --=-，解得23a =， 222321b a c ∴=-=-=． P ∴点的轨迹方程为2213x y +=．14．求过点(32)-，，离心率为52e =的双曲线的标准方程．解：（1）若焦点在x 轴上，设方程为22221x y a b -=，则22921a b-=，又2222252c c a b e a a a +====，得224a b =．由①、②，得21a =，214b =，得方程为2241x y -=．（2）若焦点在y 轴上，同理可得2172b =-不合题意．故所求双曲线标准方程为2241x y -=．15．已知双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，，B 是右顶点，F 是右焦点，点A 在x 轴的正半轴上，且满足OA ，OB ，OF 成等比数列，过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P ．（1）求证：PA OP PA FP =；（2）若直线l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于点D E ，，求双曲线C 的离心率e 的取值范围．（1）证明：直线l 为()ay x c b =--， ① 在第一、三象限的渐近线by x a=， ②解①、②得垂足2a ab P c c ⎛⎫⎪⎝⎭，．因为OA ，OB ，OF 成等比数列，所以可得点20a A c ⎛⎫⎪⎝⎭，．所以0ab PA c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，2a ab OP c c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，2b ab FP c c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，．所以222a b PA OP c =，222a b PA FP c=-．因此PA OP PA FP =；（2）解：由222222()a y x c bb x a y a b ⎧=--⎪⎨⎪-=⎩，，得4442222222220a a a c b x cx a b b b b ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为直线l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于点D E ，，所以42222124220a c a b b x x a b b⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=<-，所以4220a b b->，即44b a >，22b a >，222c a a ->，222c a >，22e >，因此2e >．。

苏教版高中数学选修2-12.3.2 双曲线的几何性质

2.3.2 双曲线的几何性质双基达标(限时15分钟)1．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线垂直，则双曲线的离心率e 为________．解析由于渐近线垂直，则双曲线为等轴双曲线．答案22．双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y ＝－x ，则双曲线方程为__________．解析设双曲线方程为y 2－x 2＝λ(λ≠0)．∵焦点为(0，±43)，∴λ>0，∵2λ＝(43)2，∴λ＝24. 答案 y 2－x 2＝243．双曲线的两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为__________．解析渐近线夹角为60°，则渐近线y ＝b a x 的倾角为30°，从而e ＝1sin 30°＝2或e＝1cos 30°＝233.答案 2或2334．中心在坐标原点，离心率为53的圆锥曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为____________．解析 ∵c a ＝53，∴a 2＋b 2a 2＝259.∴b a ＝43.∵双曲线的焦点在y 轴上， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±a bx . ∴所求双曲线的渐近线方程y ＝±34x .答案 y ＝±34x5．焦点为(0，6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是__________．解析设所求双曲线的方程为x 22λ－y 2λ＝1(λ≠0)．∵双曲线的一个焦点为(0，6)，且其在y 轴上， ∴λ<0.∴－λ－2λ＝36，λ＝－12. ∴所求双曲线方程是y 212－x 224＝1.答案y 212－x 224＝1 6．(1)求双曲线x 24－y 23＝－1的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)已知双曲线x 29－y 216＝1与双曲线－x 29＋y 216＝1，它们的离心率e 1，e 2是否满足等式e 1－2＋e 2－2＝1?解 (1)将双曲线方程x24－y23＝－1化为标准方程为y 23－x 24＝1.由此可知a 2＝3，b 2＝4，所以a ＝3，b ＝2，c ＝a 2＋b 2＝7，故焦点坐标为(0，7)， (0，－7)；离心率e ＝c a ＝213；渐近线方程为y ＝±a b x ＝±32x . (2)双曲线x 29－y 216＝1中，可知a 2＝9，b 2＝16，于是有c 2＝a 2＋b 2＝25，即c ＝5，又a ＝3，故离心率e 1＝53.双曲线－x 29＋y 216＝1中，可知a 2＝16，b 2＝9，于是有c 2＝25，即c ＝5，又a ＝4，故离心率e 2＝54.所以e 1－2＋e 2－2＝(53)－2＋(54)－2＝(35)2＋(45)2＝1，即e 1－2＋e 2－2＝1.综合提高(限时30分钟)7．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为________．解析双曲线x 24－y 212＝1的焦点为(4，0)、(－4，0)．渐近线方程为y ＝±3x .由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等．d ＝|43＋0|3＋1＝2 3.答案 2 38．双曲线的焦点在y 轴上，且它的一个焦点在直线5x －2y ＋20＝0上，两焦点关于原点对称，离心率e ＝53，则此双曲线的方程是____________．解析焦点坐标为(0，10)，故c ＝10，a ＝6，b ＝8. 答案y 236－x 264＝1 9．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是双曲线上一点，且PF 1⊥PF 2，PF 1·PF 2＝4ab ，则双曲线的离心率是________．解析由题意，|PF 1－PF 2|＝2a ，①PF 12＋PF 22＝4c 2①平方得PF 12＋PF 22－2PF 1·PF 2＝4a 2，即4c 2－8ab ＝4a 2，因此b ＝2a由于c 2－a 2＝4a 2，因此c 2＝5a 2，即e ＝ 5. 答案510．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)、F 2(c ，0)．若双曲线上存在点P 使sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝ac ，则该双曲线的离心率的取值范围是________．解析方法一：sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝PF 2PF 1(由正弦定理得)，∴PF 2PF 1＝a c ＝1e.∴PF 1＝ePF 2. 又∵|PF 1－PF 2|＝2a (e ＞1)， ∴(e －1)PF 2＝2a ，∴PF 2＝2a e －1.由双曲线性质知PF 2≥c －a ，∴2a e －1≥c －a ，即2e －1≥e －1，得e 2－2e －1≤0，又∵e ＞1，得1＜e ≤1＋ 2. 方法二：由PF 2＝2a e －1，得PF 1＝2ea e －1，于是由PF 1＋PF 2≥F 1F 2，得2a e －1＋2ea e －1≥2c ，即1e －1＋ee －1≥e ，所以 e 2－2e －1≤0，解得1<e ≤1＋ 2.答案 (1，2＋1]11．双曲线过点P (3，－2)，离心率e ＝52，求其标准方程．解依题意，双曲线的实轴可能在x 轴上，也可能在y 轴上，分别讨论如下：若双曲线的实轴在x 轴上，设x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)为所求．由e ＝52，得c 2a 2＝54① 由点P (3，－2)在双曲线上，得9a2－2b2＝1②又a 2＋b 2＝c 2.由①②③得a 2＝1，b 2＝14③∴双曲线标准方程为x 2－y 214＝1.若双曲线的实轴在y 轴上，设y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．同理有c 2a 2＝54，2a 2－9b 2＝1，a 2＋b 2＝c 2.解之得b 2＝－172(不合题意，舍去)．故双曲线的实轴只能在x 轴上，所求双曲线标准方程为x 2－y 214＝1.12．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 作双曲线斜率大于零的渐近线的垂线l ，垂足为P ，设l 与双曲线的左、右两支相交于点A 、B .(1)求证：点P 在直线x ＝a 2c上；(2)求双曲线的离心率e 的范围．(1)证明设双曲线的右焦点为F (c ，0)，斜率大于零的渐近线方程为y ＝b ax .则l 的方程为y ＝－a b (x －c )，从而点P 坐标为(a 2c ，ab c )．因此点P 在直线x ＝a 2c上．(2)解由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－ab（x －c ），x 2a 2－y2b 2＝1，消去y 得(b 4－a 4)x 2＋2a 4cx －a 2(a 2c 2＋b 4)＝0.∵A 、B 两点分别在双曲线左、右两支上，设A 、B 两点横坐标分别为x A 、x B . 由b 4－a 4≠0且x A x B <0.即－a 2（a 2c 2＋b 4）b 4－a 4<0，得b 2>a 2.即b 2a2>1，∴e ＝1＋b 2a2> 2. 故e 的取值范围为(2，＋∞)．13．(创新拓展)已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x 2＋y 2＝10相交于点P (3，－1)，若此圆过点P 的切线与双曲线的渐近线平行，求此双曲线的方程．解切点为P (3，－1)的圆的切线方程为：3x －y －10＝0，∵双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称． ∴两渐近线方程为3x ±y ＝0，设所求的双曲线方程为 9x 2－y 2＝λ(λ≠0)∵点P (3，－1)在所求的双曲线上， ∴λ＝80.∴所求曲线的方程为 x 2809－y 280＝1.。

高中数学：2.3 双曲线素材2 苏教版选修2—1

双曲线的几何性质概要1．双曲线22221x y a b-=的几何性质（参考教材P39图2-3-5）（1）X 围：x a ≥或x a -≤，y ∈R ．（2）对称性：双曲线关于x 轴、y 轴和原点对称．（3）顶点：12(0)(0)A a A a -，，，这两个点称为双曲线的顶点，线段12A A 叫做双曲线的实轴，长为2a ；线段12B B （12(0)(0)B b B b -，，，）叫做双曲线的虚轴，长为2b ．（4）渐近线：双曲线特有的性质，方程为by x a=±．等轴双曲线：222(0)x y a a -=≠，它的渐近线方程为y x =±，离心率e =（5）离心率：离心率1ce a=>，随着e 的增大，双曲线开口逐渐变得开阔．对渐近线的理解应掌握以下几点：（1）“渐近”的含义：当双曲线的各支向外延伸时，与两条渐近线逐渐接近，接近的程度是无限的，但永不相交．（2）要掌握根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的求法．∵222200b x y x y y x a a b a b=±⇔±=⇔-=，∴把标准方程22221x y a b-=中的“１”用“０”替换即可得出渐近线方程．（3）双曲线的渐近线也是用来反映双曲线的开口大小程度的．所以双曲线的离心率与渐近线之间有着密切的联系，二者之间可以互求．已知渐近线方程时，可得的值，于是22222221c a b b e a a a +⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，因此可求出离心率e 的值；而已知离心率的值，也可求出渐近线的方程，即ba=．但要注意，当双曲线的焦点所在的坐标轴不确定时上述两类问题都有两解． 2．特别提示学习双曲线的几何性质，可以用类比思想，即象讨论椭圆的几何性质一样去研究双曲线的标准方程，从而得出双曲线的几何性质．双曲线系的三种形态1．过已知定点A 、B 的双曲线系221(0)mx ny mn +=<例1 求过两点(23)A -，，(7B --，且中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程．解：设所求双曲线为221(0)mx ny mn +=<．∵双曲线过(23)A -，，(7B --，， ∴289149721m n m n +=⎧⎨+=⎩，，解得112575m n ==-，．故所求双曲线方程为2212575x y -=． 2．与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>共焦点的双曲线系22221x y a b λλ+=--22()b a λ<< 例2 求与椭圆2214x y +=有相同焦点，且经过点(21)P ，的双曲线方程．解：设所求双曲线为221(14)41x y λλλ+=<<--，将点(21)P ，代入解得2λ=．故所求双曲线方程为2212x y -=． 3．与双曲线22221x y a b -=共渐近线的双曲线系2222(0)x y a bλλ-=≠例3 求与双曲线22154x y -=有共同的渐近线，且焦距为12的双曲线方程．解：设所求双曲线为22(0)54x y λλ-=≠．当0λ>时，25a λ=，24b λ=，29c λ=，则12=，解得4λ=．此时所求双曲线方程为2212016x y -=；当0λ<时，24a λ=-，25b λ=-，29c λ=-，则12=，解得4λ=-．此时所求双曲线方程为2211620y x -=．双曲线07高考第1题.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为．答案：3第2题.(2007某某、某某文)已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为．答案：3第3题.(2007某某理)已知双曲线222x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点．（I ）若动点M 满足1111FM F A F B FO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程；（II ）在x 轴上是否存在定点C ，使CA ·CB 为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．答案：解：由条件知1(20)F -，，2(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，．解法一：（I ）设()M x y ，，则则1(2)F M x y =+，，111(2)F A x y =+，， 1221(2)(20)F B x y FO =+=，，，，由1111FM F A F B FO =++得121226x x x y y y +=++⎧⎨=+⎩，即12124x x x y y y +=-⎧⎨+=⎩，于是AB 的中点坐标为422x y -⎛⎫⎪⎝⎭，．当AB 不与x 轴垂直时，121224822yy y y x x x x -==----，即1212()8y y y x x x -=--．因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(4)()x x x y y y --=-．将1212()8yy y x x x -=--代入上式，化简得22(6)4x y --=．当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程．所以点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=．（II ）假设在x 轴上存在定点(0)C m ，，使CA CB 为常数．当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421k x x k +=-，于是21212()()(2)(2)CA CB x m x m k x x =--+--22221212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+-++++22222222(1)(42)4(2)411k k k k m k m k k +++=-++-- 222222(12)2442(12)11m k m m m m k k -+-=+=-++--．因为CA CB 是与k 无关的常数，所以440m -=，即1m =．此时CA CB =1-．当AB 与x 轴垂直时，点A B ，的坐标可分别设为(2，(2-，，此时(12)(12)1CA CB =-=-，，．故在x 轴上存在定点(10)C ，，使CA CB 为常数．解法二：（I ）同解法一的（I ）有12124x x x y y y+=-⎧⎨+=⎩，……………………………………①当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-．…………………………②212122244(4)411k ky y k x x k k k ⎛⎫+=+-=-= ⎪--⎝⎭．………………………………③由①②③得22441k x k -=-．……………………………………………………………④241ky k =-．……………………………………………………………………………⑤ 当0k ≠时，0y ≠，由④⑤得，4x k y-=，将其代入⑤有 2222444(4)(4)(4)1x y x y y x x yy -⨯-==----．整理得22(6)4x y --=．当0k =时，点M 的坐标为(40)，，满足上述方程．当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程．故点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=．（II ）假设在x 轴上存在定点点(0)C m ，，使CA CB 为常数，当AB 不与x 轴垂直时，由（I ）有212241k x x k +=-，2122421k x x k +=-．以上同解法一的（II ）．第4题.(2007某某文)已知双曲线222x y -=的右焦点为F ，过点F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点，点C 的坐标是(10)，．（I ）证明CA CB 为常数；（II ）若动点M 满足CM CA CB CO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程．答案：解：由条件知(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，．（I ）当AB 与x 轴垂直时，可设点A B ，的坐标分别为(2，(2，，此时(12)(12)1CA CB =-=-，，．当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入222x y -=，有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421k x x k +=-，于是212121212(1)(1)(1)(1)(2)(2)CA CB x x y y x x k x x =--+=--+--2221212(1)(21)()41k x x k x x k =+-++++2222222(1)(42)4(21)4111k k k k k k k +++=-++--22(42)411k k =--++=-．综上所述，CA CB 为常数1-．（II ）解法一：设()M x y ，，则(1)CM x y =-，，11(1)CA x y =-，，22(1)CB x y =-，，(10)CO =-，．由CM CA CB CO =++得： 121213x x x y y y -=+-⎧⎨=+⎩，即12122x x x y y y+=+⎧⎨+=⎩，于是AB 的中点坐标为222x y +⎛⎫⎪⎝⎭，．当AB 不与x 轴垂直时，121222222yy y y x x x x -==+---，即1212()2y y y x x x -=--．又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(2)()x x x y y y -+=-．将1212()2yy y x x x -=--代入上式，化简得224x y -=．当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程．所以点M 的轨迹方程是224x y -=．解法二：同解法一得12122x x x y y y +=+⎧⎨+=⎩，……………………………………①当AB 不与x 轴垂直时，由（I ）有212241k x x k +=-．…………………②21212244(4)411k ky y k x x k k k ⎛⎫+=+-=-= ⎪--⎝⎭．………………………③ 由①②③得22421k x k +=-．…………………………………………………④241ky k =-．……………………………………………………………………⑤ 当0k ≠时，0y ≠，由④⑤得，2x k y+=，将其代入⑤有 2222244(2)(2)(2)1x y x y y x x yy +⨯+==++--．整理得224x y -=．当0k =时，点M 的坐标为(20)-，，满足上述方程．当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程．故点M 的轨迹方程是224x y -=．第5题.(2007某某)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y 轴上，一条渐近线的方程为20x y -=，则它的离心率为（）2答案：Ａ第6题.(2007某某理)设动点P到点(10)A-，和(10)B，的距离分别为1d和2d，2APBθ∠=，且存在常数(01)λλ<<，使得212sind dθλ=．（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；（2）过点B作直线交双曲线C的右支于M N，两点，试确定λ的X围，使0OM ON =，其中点O为坐标原点．答案：解法一：（1）在PAB△中，2AB=，即222121222cos2d d d dθ=+-，2212124()4sind d d dθ=-+，即122d d-==（常数），点P的轨迹C是以A B，为焦点，实轴长2a=方程为：2211x yλλ-=-．（2）设11()M x y，，22()N x y，①当MN垂直于x轴时，MN的方程为1x=，(11)M，，(11)N-，在双曲线上．即211111012λλλλλ-±-=⇒+-=⇒=-，因为01λ<<，所以12λ=．②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为(1)y k x=-．由2211(1)x yy k xλλ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩得：2222(1)2(1)(1)()0k x k x kλλλλλ⎡⎤--+---+=⎣⎦，由题意知：2(1)0kλλ⎡⎤--≠⎣⎦，所以21222(1)(1)kx xkλλλ--+=--，2122(1)()(1)kx xkλλλλ--+=--．于是：22212122(1)(1)(1)ky y k x xkλλλ=--=--．x因为0OM ON =，且M N ，在双曲线右支上，所以2121222122212(1)0(1)2101131001x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-⎧+=⎧-⎧=⎪>⎪⎪⎪+-+>⇒⇒⇒<<+--⎨⎨⎨⎪⎪⎪>+->>⎩⎩⎪-⎩．23λ<．解法二：（1）同解法一（2）设11()M x y ，，22()N x y ，，MN 的中点为00()E x y ，． ①当121x x ==时，221101MB λλλλλ=-=⇒+-=-，因为01λ<<，所以12λ=； ②当12x x ≠时，221102202211111MN x y x k y x y λλλλλλ⎧-=⎪⎪-⇒=⎨-⎪-=⎪-⎩．又001MN BE y k k x ==-．所以22000(1)y x x λλλ-=-；由2MON π=∠得222002MN x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由第二定义得2212()222MN e x x a ⎛⎫+-⎡⎤= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 220001(1)21x x x λλ==+---．所以222000(1)2(1)(1)y x x λλλλ-=--+-．于是由22000222000(1)(1)2(1)(1)y x x y x x λλλλλλλ⎧-=-⎪⎨-=--+-⎪⎩得20(1)23x λλ-=- 因为01x >，所以2(1)123λλ->-，又01λ<<，解得：1223λ<<．由①②知1223λ<≤．第7题.(2007某某文)设动点P 到两定点1(10)F -，和2(10)F ，的距离分别为1d 和2d ，122F PF θ=∠，且存在常数(01)λλ<<，使得212sin d d θλ=．（1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；（2）如图，过点2F 的直线与双曲线C 的右支交于A B ，两点．问：是否存在λ，使1F AB △是以点B 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．答案：解：（1）在12PF F △中，122F F =22221212121242cos 2()4sin d d d d d d d d θθ=+-=-+212()44d d λ-=-12d d -=2的常数）故动点P 的轨迹C 是以1F ，2F为焦点，实轴长2a =的双曲线．方程为2211x y λλ-=-．（2）方法一：在1AF B △中，设11AF d =，22AF d =，13BF d =，24BF d =．假设1AF B △为等腰直角三角形，则12343421323422πsin 4d d a d d a d d d d d d λ⎧⎪-=⎪-=⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩①②③④⑤ 由②与③得22d a =，则1343421)d a d d d a a=⎧⎪=⎨⎪=-=⎩ 由⑤得342d d λ=，21)2a λ=(8)2λλ--=，12(01)17λ-=∈，故存在1217λ-=方法二：（1）设1AF B △为等腰直角三角形，依题设可得21212212122πsin π81cos 4πsin 24AF AF AF AF BF BF BF BF λλλλ⎧⎧===⎪⎪⎪⎪-⇒⎨⎨⎪⎪=⎪=⎪⎩⎩所以12121πsin 1)24AFF S AF AF λ==△，121212BF F S BF BF λ==△．则1(2AF B S λ=△．①由1212221AF F BF F S AF S BF ==△△，可设2BF d =，则21)AF d =，1(2BF AB d ==．则122211(222AF B S AB d ==△．②由①②得2(22d λ+=．③根据双曲线定义122BF BF a -==可得，1)d +=平方得：221)4(1)d λ=-．④由③④消去d 可解得，12(01)17λ-=，故存在1217λ-=第8题.（全国卷I 理）已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)-，，(40)，，则双曲线方程为（）A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．221106x y -= D ．221610x y -= 答案：A第9题.(2007全国I 文)已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)-，，(40)，，则双曲线方程为（）Ａ．221412x y -=Ｂ．221124x y -=Ｃ．221106x y -=Ｄ．221610x y -= 答案：A第10题.(2007全国II 理)设12F F ，分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点．若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠=且123AF AF =，则双曲线的离心率为（）A B CD 答案：B第11题.(2007全国II 文)设12F F ，分别是双曲线2219y x -=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF =，则12PF PF +=（）AB ．CD ．答案：B第12题.(2007某某理)已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >），以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的圆的半径是（） ABC ．aD ．b答案：D第13题.(2007某某理)已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是准线上一点，且12PF PF ⊥，124PF PF ab =，则双曲线的离心率是（）2Ｄ．3 答案：B第14题.(2007某某文)已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是准线上一点，且12PF PF ⊥，124PF PF ab =，则双曲线的离心率是（）2Ｄ．3 答案：B第15题.(2007某某理)双曲线22122:1(00)x y C a b a b-=>>，的左准线为l ，左焦点和右焦点分别为1F 和2F ；抛物线2C 的准线为l ，焦点为21F C ；与2C 的一个交点为M ，则12112F F MF MF MF -等于（）A ．1-B ．1C ．12-D ．12答案：A第16题.(2007某某理)如图，1F 和2F 分别是双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且2F AB △是等边三角形，则双曲线的离心率为（）ABC ．2D ．1答案：D第17题.(2007某某理)设双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，线与抛物线24y x =的准线重合，则此双曲线的方程为（）Ａ．2211224x y -=Ｂ．2214896x y -= Ｃ．222133x y -=Ｄ．22136x y -= 答案：D第18题.(2007某某理)以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（）A ．221090x y x +-+= B ．2210160x y x +-+= C ．2210160x y x +++=D ．221090x y x +++=答案：A第19题.(2007某某文)以双曲线222x y -=的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是（）Ａ．22430x y x +--=Ｂ．22430x y x +-+= Ｃ．22450x y x ++-=Ｄ．22450x y x +++=答案：B第20题.(2007某某文)．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点(24)P ，，则该抛物线的方程是．答案：28y x =第21题.(2007某某文)双曲线221169x y -=的焦点坐标为（）A ．(，B ．(0-，，(0 C ．(50)-，，(50)，D ．(05)-，，(05)，答案：C第22题.(2007某某理)设O 是坐标原点，F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60，则OA 为．答案：2p第23题.(2007某某文)以双曲线15422=-y x 的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是．答案：x y 122=第24题.(2007某某理)如果双曲线22142x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 轴的距离是（）A BC ．D ．答案：A第25题.(2007某某文)如果双曲线22142x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 轴的距离是（）（A ）3 （B ）3（C ）（D ）答案：A第26题.(2007某某文)设双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，线与抛物线24y x =的准线重合，则此双曲线的方程为（）Ａ．2211224x y -=Ｂ．2214896x y -= Ｃ．222133x y -=Ｄ．22136x y -= 答案：D。

苏教版高中数学(选修1-1)2.3《双曲线》(双曲线的几何性质)word教案

盐城市时杨中学课题：双曲线的几何性质（2）一、三维目标：1、知识与技能：使学生掌握双曲线的如下性质：对称性、截距、顶点、轴、中心、离心率和准线。

使学生能够根据双曲线的渐近线、确定双曲线的范围与走向，并能据此画双曲线的草图。

2、过程与方法：在教学中培养学生的逻辑推理能力，逐步提高学生运用数学知识分析问题和解决问题的能力。

3、情感态度与价值观：培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的，变化的观点分析理解事物。

二、教学重点与难点：双曲线的几何性质及初步运用；双曲线的渐近线。

三、教学方法设计：采用类比、启发、引导、探索式相结合的教学方法四、教学媒体：利用多媒体辅助教学，增强动感与直观性，提高教学效果和教学质量。

五、教学过程：1、新课导入：复习双曲线的几何性质，通过练习进一步巩固求几何性质的相关问题。

2、例题讲解:例1 、已知双曲线的焦点在y 轴上，焦距为16，离心率是4/3，求双曲线的标准方程例2．已知双曲线的渐近线是02=±y x ，并且双曲线过点)3,4(M 求双曲线的标准方程例3、设F1和F2为双曲线)0,0( 1>>=-b a by a x 2222的两个焦点，若F1，F2，P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为 _________.例4、已知双曲线方程为1422=-x y ，求点Q （0,5）到该双曲线上的点的最近距离 3、课堂练习：1、若双曲线的渐近线方程为 x y 34±= 则双曲线的离心率为。

2、若双曲线的离心率为2，则两条渐近线的交角为。

3、已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为2，求这个双曲线的虚轴长为4、求下列双曲线的标准方程: （1）焦点在y 轴上，一条渐近线为x y 34=，实轴长为12；（2）渐近线方程为x y 34±=，焦点坐标为)0,26(-和)0,26(5、求与1422=-y x 有相同渐近线，且过点)3,4(M 的双曲线标准方程。

苏教版选修2《双曲线的几何性质》教案及教学反思2024

苏教版选修2《双曲线的几何性质》教案及教学反思教案简介本教案主要针对高中数学选修2的“双曲线的几何性质”主题进行设计，旨在通过对双曲线的定义、性质和相关定理的学习，培养学生的数学思维和解决问题的能力。

教学时长：2课时教学目标1.学习双曲线的定义并理解其基本性质；2.掌握双曲线的基本方程及其相关变形；3.理解双曲线的渐近线及其性质；4.学习双曲线的焦点、准线、离心率等相关概念及其相关定理；5.能够应用所学知识解决相关问题。

教学重点与难点教学重点1.双曲线的定义及基本性质；2.双曲线的基本方程及其相关变形；3.双曲线的焦点、准线、离心率等相关概念及其相关定理。

教学难点1.双曲线的定义及其与其他曲线的区别；2.双曲线的渐近线及其性质；3.焦点、准线、离心率等概念的应用。

教学内容与方法教学内容第一节双曲线的定义与基本性质1.双曲线定义；2.双曲线的基本性质。

第二节双曲线的基本方程与相关变形1.双曲线的标准方程；2.双曲线的一般方程；3.双曲线的其他相关变形。

第三节双曲线的渐近线与性质1.双曲线渐近线的定义；2.双曲线渐近线的方程；3.双曲线渐近线的性质。

第四节双曲线的焦点、准线、离心率等相关概念及其相关定理1.双曲线的焦点；2.双曲线的准线；3.双曲线的离心率；4.相关定理。

教学方法1.板书示范法；2.讲解演示法；3.课堂练习与讨论。

教学反思本节课是高中选修2数学课程中讲解双曲线的性质和相关定理，旨在提高学生的证明能力和解决实际问题的能力。

整节课程涵盖了双曲线的定义、性质、基本方程及其变形、渐近线、焦点、准线、离心率等知识点，并通过讲解和课堂练习，引导学生逐步掌握这些概念和定理。

本节课重点在于帮助学生理解双曲线的性质与定义。

因此，我在课前准备了充分的教学材料，包括简明明了的课堂笔记和一些示例问题。

由于双曲线这个概念对学生来说可能比较抽象，因此我通过板书、图解、例题等多种方式演示双曲线的性质和特点，帮助学生理解双曲线的概念，并通过多次示范及讨论进行自主思考和总结。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-1 2.3.1 双曲线的标准方程》6

《双曲线的标准方程》教学设计所在单位: 江苏省沭阳高级中学作者姓名：朱红梅通讯地址：江苏省沭阳高级中学高二数学组邮编：223600：《双曲线的标准方程》教学设计一、教材分析：本节内容选自苏教版选修2-1第二章第三节，是继学生学习了圆、椭圆以后运用坐标法研究几何问题的又一次实际演练，也是进一步研究双曲线几何性质的基础，为进一步研究抛物线提供了基本模式和理论基础。

双曲线的定义与椭圆的定义很相似，但不容易掌握，学习时要注意和椭圆义联系与区别，有利于对学生进行运动、变化、联系、对立、统一的辩证唯物主义思想教育。

二、教学目标：（一）知识技能目标1、理解双曲线的定义2、能根据已知条件求双曲线的标准方程（二）过程性目标1、提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。

2、培养学生利用数形结合这一思想方法研究问题。

3、培养学生的类比推理能力、观察能力、归纳能力、探索发现能力。

（三）情感、价值观目标1、亲身经历双曲线及其标准方程的获得过程，感受数学美的熏陶。

2、通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨。

3、养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。

三、重难点分析：重点：感受建立曲线方程的基本过程，掌握双曲线的标准方程及其推导方法。

难点：双曲线的标准方程的推导。

四、学情分析：（一）、有利因素:学生先前已经学习了椭圆，基本掌握了椭圆的有关问题及研究方法，而双曲线问题与椭圆问题有类似性，知识的正迁移作用可在本节课中充分显示。

（二）、不利因素。

在学习过程，较椭圆而言，从直观图形轨迹到抽象概念的形成，中间一些细节问题的处理要求学生有更细致入微的分析和更强的领悟性，因此学生概括起来有更高的难度．特别是对于为什么需要加绝对值，c与a有怎样的大小关系等等．另外，与椭圆除了本身内容的区别之外，初中所学的“反比例函数图象”在学生的头脑里有一个原有认知，而这个认知对于现在的学习会产生一定帮助的同时，其方程形式的不同也会带来一定的认知冲突。