2021-2022年高三数学12月学情调查试题理

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四川省绵阳市南山中学2021-2022学年高二上学期12月月考试题数学(理) Word版含答案

开始3,1,2S n T ===3S S =+2?T S >是否T 输出结束+1n n =+3T T n=2021年12月绵阳南山中学2021年秋季高2021届12月月考数学试题命题人：吴川满分：100分，考试时间：100分钟一、选择题：本题共12题，每小题4分，共48分，在每小题的四个选项中，只有一个正确答案，把正确答案填涂在机读卡上。

1．已知点A (0,4)，B (4,0)在直线l 上，则l 的方程为( ) A ．x ＋y －4＝0 B ．x －y －4＝0 C ．x ＋y ＋4＝0D ．x －y ＋4＝02. 质点在数轴上的区间[0,2]上运动，假定质点消灭在该区间各点处的概率相等，那么质点落在区间[0,1]上的概率为( )A.14B.13C.12 D ．以上都不对 3．已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =( ) A ．4- B ．6- C ．8- D ．10-4．如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估平均数与中位数分别是( ) A ．12.5、12.5 B ．12.5、13 C ．13、12.5 D ．13、135．一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6，将这个玩具向上抛掷1次，设大事A 表示“向上的一面消灭的点数不小于3”，大事B 表示“向上的一面消灭奇数点”，大事C 表示“向上的一面消灭的点数不超过2”，则( ) A ． A 与B 是互斥而非对立大事 B ． A 与B 是对立大事 C ． A 与C 是互斥而非对立大事 D ． A 与C 是对立大事6．已知圆C ：22()(2)4(0)x a y a -+-=>及直线03:=+-y x l ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a =( )A ．2B ．22-C ．12-D ．12+ 7. 假如方程11222=+++m ym x 表示双曲线，则实数m 的取值范围是( ) A. )1,2(-- B. ),1()2,(+∞---∞ C. )1,1(- D. )2,3(--8．某单位为了制定节能减排的目标，先调查了用电量y （单位：度）与气温x （单位：c ︒）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对比表：x (单位：c ︒)1714 10 1-y (单位：度)2434 3864由表中数据得线性回归方程：a x y +-=∧2.当气温为c ︒20时，猜测用电量约为( ) A. 5 B ．10 C. 16 D. 20 9. 执行如图所示的程序框图，输出的T =( ) A ．29 B ．44 C ．52 D ．62 10.已知抛物线22y px =(0)p >，过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于,A B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为( )A ．1x =B ．2x =C ．1x =-D ．2x =- 11.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若112(2)m m m a a a m +-⋅=≥，数列{}n a 的前n 项积为n T ，若21512m T -=，则m 的值为( ) A ．4B ．5C ．6D ．712.我们把由半椭圆)0(1)0(122222222<=+≥=+x cx b y x b y a x 与半椭圆合成的曲线称作“果圆”（其中0,222>>>+=c b a c b a ）。

2021-2022学年广东省东莞市七校高三(上)联考数学试卷(12月份)(学生版+解析版)

2021-2022学年广东省东莞市七校高三（上）联考数学试卷（12月份）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1．（5分）已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |0＜x ≤2}，则A ∩B ＝（） A ．{2，3}B ．{0，1，2，3}C ．{1，2}D ．{1，2，3}2．（5分）已知z ＝1﹣i ，则z(z +2i)=（） A ．2+iB ．2﹣iC ．﹣2iD ．2i3．（5分）二项式(2x −√x)5展开式中，x 3的系数等于（） A ．10B ．﹣10C ．80D ．﹣804．（5分）6个人排队，其中甲、乙、丙3人两两不相邻的排法有（） A ．30种B ．144种C ．5种D ．4种5．（5分）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为（） A ．5√5π6B ．8√2π3 C ．20√5π3D ．64√2π36．（5分）若tan α＝3，则1+cos2αsin2α=（）A ．−12B ．13C ．±13D ．27．（5分）已知双曲线C 的离心率为√3，F 1，F 2是C 的两个焦点，P 为C 上一点，|PF 1|＝3|PF 2|，若△PF 1F 2的面积为4√2，则双曲线C 的实轴长为（） A ．1B ．2C ．4D ．68．（5分）已知函数f （x ）={lnxx，x ＞01−x 2，x ≤0，若函数g （x ）＝f （x ）﹣k 有三个零点，则（）A ．1＜k ≤eB ．−1e＜k ＜0 C ．0＜k ＜1eD ．1e＜k ＜1二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9．（5分）如图所示，在5×5的方格中，点O ，A ，B ，C 均为小正方形的顶点，则下列结论正确的是（）A ．OB →=OA →+OC →B ．|OA →|=|OC →|=12|OB →| C ．AC →=OB →−2OC →D ．OA →⋅OB →=OC →⋅OB →10．（5分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．函数f （x ）的图象关于点(−π12，0)对称B ．函数f （x ）的图象关于x =π2直线对称 C ．函数f （x ）在区间[−π3，π6]上单调递增D ．y ＝1与图象y =f(x)(−π12≤x ≤23π12)的所有交点的横坐标之和为8π311．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 9＝S 17，则下列说法正确的是（） A ．a 8＝0B ．a 9＝0C ．a 1＝S 16D ．S 8＞S 1012．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段BC 1上的动点，下列说法正确的是（）A ．对任意点P ，DP ∥平面AB 1D 1B ．三棱锥P ﹣A 1DD 1的体积为16C ．线段DP 长度的最小值为√62D ．存在点P ，使得DP 与平面ADD 1A 1所成角的大小为π3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 13．（5分）若随机变量X ～B （n ，13），且E （X ）∈N *，写出一个符合条件的n ＝．14．（5分）已知函数g （x ）＝f （x ）+2，若f （x ）是奇函数，且g （1）＝3，则g （﹣1）＝．15．（5分）函数f(x)=1+12x +cosx 在(0，π2)上的单调递增区间是．16．（5分）取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下的两段；再将剩下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；……；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集．若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n 的最大值为．（参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771）四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．17．（10分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =n 2+3n ，n ∈N *．（1）求{a n }的通项公式；（2）求数列{1a 2n−1⋅a 2n+1}的前n 项和T n ．18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若asinBcosC +csinBcosA =12b ，且a ≥b ．（1）求角B 的值；（2）若A =π6，且△ABC 的面积为4√3，求BC 边上的中线AM 的长．19．（12分）某同学参加篮球投篮测试，罚球位上定位投中的概率为34，三步篮投中的概率为45，测试时罚球位上投篮投中得2分，三步篮投中得1分，不中得0分，每次投篮的结果相互独立，该同学罚球位上定位投篮1次，三步上篮2次．（Ⅰ）求“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”的概率；（Ⅱ）求该同学的总得分X 的分布列和数学期望．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，且AD ＝CD =√2，BC ＝2√2，P A ＝1．（1）求证：AB ⊥PC ；（2）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M ﹣AC ﹣D 的大小为45°，如果存在，求BM 与平面MAC 所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．21．（12分）设椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)，椭圆的右焦点恰好是直线x +y −√3=0与x 轴的交点，椭圆的离心率为√32．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设椭圆E 的左、右顶点分别为A ，B ，过定点N （﹣1，0）的直线与椭圆E 交于C ，D 两点（与点A ，B 不重合），证明：直线AC ，BD 的交点的横坐标为定值． 22．（12分）已知f （x ）＝lnx +ax （a ∈R ）．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）当a ＝1时，若f （x ）≤k （x +1）+b 在（0，+∞）上恒成立，证明：2k+b−2k−1的最小值为﹣e +1．2021-2022学年广东省东莞市七校高三（上）联考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1．（5分）已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |0＜x ≤2}，则A ∩B ＝（） A ．{2，3}B ．{0，1，2，3}C ．{1，2}D ．{1，2，3}【解答】解：∵集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |0＜x ≤2}， ∴A ∩B ＝{1，2}．故选：C ．2．（5分）已知z ＝1﹣i ，则z(z +2i)=（） A ．2+iB ．2﹣iC ．﹣2iD ．2i【解答】解：∵z ＝1﹣i ，∴z(z +2i)=（1+i ）（1﹣i +2i ）＝（1+i ）2＝2i ．故选：D ．3．（5分）二项式(2x −√x)5展开式中，x 3的系数等于（） A ．10B ．﹣10C ．80D ．﹣80【解答】解：由于二项式(2x −√x)5展开式的通项公式为T r +1＝C 5r •（2x ）5﹣r(−√x)r =（﹣1）r •25﹣r C 5r x 5−r2，令5−r2=3，解得r ＝4，∴展开式中x 3的系数是（﹣1）4•25﹣4C 54＝10．故选：A ．4．（5分）6个人排队，其中甲、乙、丙3人两两不相邻的排法有（） A ．30种B ．144种C ．5种D ．4种【解答】解：这是不相邻问题，采用插空法，先排其余的3名同学，有A 33种排法，出现4个空，将甲、乙、丙插空，所以共有A 33A 43＝144种排法，故选：B ．5．（5分）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为（） A ．5√5π6B ．8√2π3C ．20√5π3D ．64√2π3【解答】解：圆柱的轴截面是边长为2的正方形，其外接圆的半径为√2，则圆柱的外接球的半径为√2，可得该圆柱的外接球的体积为V =43π×(√2)3=8√2π3．故选：B ．6．（5分）若tan α＝3，则1+cos2αsin2α=（）A ．−12B ．13C ．±13D ．2【解答】解：∵tan α＝3，则1+cos2αsin2α=2cos 2α2sinαcosα=cosαsinα=1tanα=13，故选：B ．7．（5分）已知双曲线C 的离心率为√3，F 1，F 2是C 的两个焦点，P 为C 上一点，|PF 1|＝3|PF 2|，若△PF 1F 2的面积为4√2，则双曲线C 的实轴长为（） A ．1B ．2C ．4D ．6【解答】解：由题意知，点P 在右支上，则|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝3|PF 2|， ∴|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，又e =ca =√3，∴|F 1F 2|=2c =2√3a ，则在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2=9a 2+a 2−12a 22⋅3a⋅a =−13， ∴sin ∠F 1PF 2=2√23，故S △PF 1F 2=12⋅a ⋅3a ⋅2√23=4√2，解得a ＝2， ∴实轴长为2a ＝4，故选：C ．8．（5分）已知函数f （x ）={lnxx，x ＞01−x 2，x ≤0，若函数g （x ）＝f （x ）﹣k 有三个零点，则（）A ．1＜k ≤eB ．−1e＜k ＜0 C ．0＜k ＜1eD ．1e＜k ＜1【解答】解：当x ＞0时，f （x ）=lnx x ，∴f '（x ）=1−lnx x 2，令f '（x ）＝0，得x ＝e ，∴当x ∈（0，e ）时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增；当x ∈（e ，+∞）时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减，又f （e ）=lne e =1e ，当x ≤0时，f （x ）＝1﹣x 2单调递增，画出函数f （x ）的图像，如图所示，∵函数g （x ）＝f （x ）﹣k 有三个零点，即方程f （x ）﹣k ＝0有三个不等实根， ∴函数y ＝f （x ）与y ＝k 有三个交点，由图像可知，0＜k ＜1e，故选：C ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9．（5分）如图所示，在5×5的方格中，点O ，A ，B ，C 均为小正方形的顶点，则下列结论正确的是（）A ．OB →=OA →+OC →B ．|OA →|=|OC →|=12|OB →| C ．AC →=OB →−2OC →D ．OA →⋅OB →=OC →⋅OB →【解答】解：由图知，四边形OABC 为菱形，选项A ，由平行四边形加法法则知，OB →=OA →+OC →，即A 正确；选项B ，|OA →|＝|OC →|=√17，|OB →|=√34，所以不满足|OA →|＝|OC →|=12|OB →|，即B 错误；选项C ，AC →=OC →−OA →=OC →−（OB →+BA →）=OC →−（OB →−OC →）=−OB →+2OC →，即C 错误；选项D ，因为四边形OABC 为菱形，所以∠AOB ＝∠COB ，且|OA →|＝|OC →|，由平面向量数量积的运算法则知，OA →•OB →=OC →•OB →成立，即D 正确．故选：AD ．10．（5分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．函数f （x ）的图象关于点(−π12，0)对称B ．函数f （x ）的图象关于x =π2直线对称 C ．函数f （x ）在区间[−π3，π6]上单调递增D ．y ＝1与图象y =f(x)(−π12≤x ≤23π12)的所有交点的横坐标之和为8π3【解答】解：根据函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，可得A ＝2，14×2πω=2π3−5π12，∴ω＝2．结合五点法作图，可得2×5π12+φ＝π，∴φ=π6，故f （x ）＝2sin （2x +π6）．令x =−π12，求得f （x ）＝0，可得函数f （x ）的图象关于点(−π12，0)对称，故A 正确；令x =π2，求得f （x ）＝﹣1，不是最值，故函数f （x ）的图象关不于x =π2直线对称，故B 错误；在区间[−π3，π6]上，2x +π6∈[−π2，π2]，函数f （x ）单调递增，故C 正确；当x∈[−π12，23π12]，2x+π6∈[0，4π]，直线y＝1与图象y=f(x)(−π12≤x≤23π12)的4个交点关于直线2x+π6=3π2对称．设这4个交点的横坐标分别为a、b、c、d，a＜b＜c＜d，则（2a+π6）+（2d+π6）＝2×3π2，（2b+π6）+（2c+π6）＝2×3π2，故所有交点的横坐标之和为a+b+c+d=8π3，故D正确，故选：ACD．11．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a9＝S17，则下列说法正确的是（）A．a8＝0B．a9＝0C．a1＝S16D．S8＞S10【解答】解：由{a n}是等比数列，得S17=172（a1+a17）＝17a9，又a9＝S17，得a9＝17a9，解得a9＝0，所以选项B正确；由于a8＝a9﹣d，且d≠0，所以a8≠0，选项A错误；由a9＝a1+8d＝0，得a1＝﹣8d，则S16＝16a1+16×152d＝16×（﹣8d）+15×8d＝﹣8d＝a1，所以选项C正确；若该数列a1＜0，d＞0，则当n≤8时，a n＜0，当n＝9时，a n＝0，当n≥10时，a n＞0，此时S8＜S10＝S8+a9+a10，选项D错误；故选：BC．12．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段BC1上的动点，下列说法正确的是（）A．对任意点P，DP∥平面AB1D1B ．三棱锥P ﹣A 1DD 1的体积为16C ．线段DP 长度的最小值为√62D ．存在点P ，使得DP 与平面ADD 1A 1所成角的大小为π3【解答】解：连接DB ，由BB 1∥DD 1，且BB 1＝DD 1，得四边形DD 1B 1B 为平行四边形，∴DB ∥D 1B 1，由DB ⊄平面AB 1D 1，D 1B 1⊂平面AB 1D 1，得BD ∥平面AB 1D 1，同理DC 1∥平面AB 1D 1，又BD ∩DC 1＝D ，可得平面DBC 1∥平面AB 1D 1， ∴对任意点P ，DP ∥平面AB 1D 1，故A 正确； V P−A 1DD 1=V C 1−A 1DD 1=13×12×1×1×1=16，故B 正确；当P 为BC 1中点时，DP ⊥BC 1，此时线段DP 长度的最小值为12+(√22)2=√62，故C正确；当P 在线段BC 1上运动时，DP 长度的最小值为√62，最大值为√2，则PC 长度的范围为[√22，1]，而P 到平面ADD 1A 1的距离为定值1，则DP 与平面ADD 1A 1所成角的正切值∈[√22，1]．最大值小于√3，则不存在点P ，使得DP 与平面ADD 1A 1所成角的大小为π3，故D 错误．故选：ABC ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 13．（5分）若随机变量X ～B （n ，13），且E （X ）∈N *，写出一个符合条件的n ＝ 3 ．【解答】解：令n ＝3时，则随机变量X ～B （3，13），E （X ）=3×13=1∈N ∗，故n ＝3，符合题意．故答案为：3．14．（5分）已知函数g （x ）＝f （x ）+2，若f （x ）是奇函数，且g （1）＝3，则g （﹣1）＝ 1 ．【解答】解：函数g （x ）＝f （x ）+2，若f （x ）是奇函数，则g （﹣x ）+g （x ）＝f （﹣x ）+2+f （x ）+2＝[f （﹣x ）+f （x ）]+4＝0+4＝4，所以g （﹣1）＝4﹣g （1）＝4﹣3＝1．故答案为：1．15．（5分）函数f(x)=1+12x +cosx 在(0，π2)上的单调递增区间是 (0，π6) ．【解答】解：函数f(x)=1+12x +cosx ，可得f ′（x ）=12−sin x ，令12−sin x ＞0，因为x ∈(0，π2)，所以，解得x ∈(0，π6)，故答案为：(0，π6)．16．（5分）取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下的两段；再将剩下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；……；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集．若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n 的最大值为 8 ．（参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771）【解答】解：第一次操作去掉的线段长度为13，第二次操作去掉的线段长度之和为23•13，第三次操作去掉的线段长度之和为23•23•13，……第n 次操作去掉的线段长度之和为(23)n−1•13，由题意知，(23)n−1•13≥160，则(23)n ≥130，则nlg 23≥−lg 30＝﹣1﹣lg 3，所以n （lg 2﹣lg 3）≥﹣1﹣lg 3，即n ≤1+lg3lg3−lg2，又lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771，可得n ≤8，故n 的最大值为8．故答案为：8．四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．17．（10分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =n 2+3n ，n ∈N *．（1）求{a n }的通项公式；（2）求数列{1a2n−1⋅a 2n+1}的前n 项和T n ．【解答】解：（1）当n ＝1时，2S 1＝4，∴a 1＝2，当n ≥2时，2S n−1=(n −1)2+3(n −1)，又2S n =n 2+3n ，两式相减得2a n ＝2n +2，所以a n ＝n +1，故{a n }的通项公式为a n =n +1(n ∈N ∗)．（2）由（1）知1a 2n−1a 2n+1=12n(2n+2)=14×1n(n+1)=14(1n−1n+1)，∴T n =14[(11−12)+(12−13)+⋅⋅⋅+(1n−1n+1)]=14(1−1n+1)=n 4n+4． 18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若asinBcosC +csinBcosA =12b ，且a ≥b ．（1）求角B 的值；（2）若A =π6，且△ABC 的面积为4√3，求BC 边上的中线AM 的长．【解答】解：（1）因为a sin B cos C +c sin B cos A =12b ，由正弦定理得sin A sin B cos C +sin C sin B cos A =12sin B ，因为sin B ≠0，整理得sin A cos C +sin C cos A =12，即sin （A +C ）=12，得sin B =12，又a ≥b ，所以0＜B ＜π2，可得B =π6．（2）由（1）知B =π6，若A =π6，可得C =2π3，则S △ABC =12ab sin C =12a 2sin2π3=4√3，所以a ＝4，a ＝﹣4（舍），又在△AMC 中，AM 2＝AC 2+MC 2﹣2AC •MC cos 2π3，所以AM 2＝AC 2+（12AC ）2﹣2AC •12AC cos2π3=42+22﹣2×4×2×（−12）＝28，所以AM ＝2√7．19．（12分）某同学参加篮球投篮测试，罚球位上定位投中的概率为34，三步篮投中的概率为45，测试时罚球位上投篮投中得2分，三步篮投中得1分，不中得0分，每次投篮的结果相互独立，该同学罚球位上定位投篮1次，三步上篮2次．（Ⅰ）求“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”的概率；（Ⅱ）求该同学的总得分X 的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设该同学“罚球位上定位投中”为事件A ，“三步篮投中”为事件B ， “该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”为事件C ，则P （A ）=34P （B ）=45所以P （C ）=34⋅C 21⋅45⋅15=625；（Ⅱ）X 的可能取值为0，1，2，3，4，所以P（X＝0）=(1−34)⋅C20⋅(45)0⋅(15)2=1100，P（X＝1）=(1−34)⋅C21⋅45⋅15=8100，P（X＝2）=34⋅C20⋅(45)0⋅(15)2+14⋅C22⋅(45)2=19100，P（X＝3）=34⋅C21⋅45⋅15=24100，P（X＝4）=34⋅C22⋅(45)2=48100，所以X的分布列为：X01234P11008100191002410048100故E（X）＝0×1100+1×8100+2×19100+3×24100+4×48100=3.1，则该同学得分的数学期望是3.1分．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD ＝CD=√2，BC＝2√2，P A＝1．（1）求证：AB⊥PC；（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为45°，如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：由已知得四边形ABCD是直角梯形，由AD=CD=√2，BC=2√2，可得AB＝AC＝2，故△ABC是等腰直角三角形，即AB⊥AC，∵P A⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴P A⊥AB，又P A∩AC＝A，∴AB⊥平面P AC，又PC⊂平面P AC，∴AB⊥PC．（2）解：取BC的中点E，连接AE，则AE⊥BC，建立如图所示的空间直角坐标系，A （0，0，0），C(√2，√2，0)，D(0，√2，0)，P （0，0，1）， B(√2，−√2，0)，PD →=(0，√2，−1)，AC →=(√2，√2，0)，设PM →=tPD →(0≤t ≤1)，则点M 为(0，√2t ，1−t)，所以AM →=(0，√2t ，1−t)，设平面MAC 的法向量是n →=(x ，y ，z)， {AC →⋅n →=√2x +√2y =0AM →⋅n →=√2ty +(1−t)z =0，令x ＝1，n →=(1，−1，√2t1−t )，又m →=(0，0，1)是平面ACD 的一个法向量，∴|cos〈m →，n →〉|=|m →⋅n →||m →||n →|=|√2t 1−t |√2+(√2t 1−t)=cos45°=√22，解得t =12，即点M 是线段PD 的中点．此时平面MAC 的一个法向量可取n →=(1，−1，√2)，BM →=(−√2，2√2，12)，设BM 与平面MAC 所成的角为θ，则sinθ=|cos〈n →，BM →〉|=|n →⋅BM →||n →|⋅|BM →|=2√69， ∴BM 与平面MAC 所成角的正弦值为2√69．21．（12分）设椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，椭圆的右焦点恰好是直线x +y −√3=0与x 轴的交点，椭圆的离心率为√32．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设椭圆E 的左、右顶点分别为A ，B ，过定点N （﹣1，0）的直线与椭圆E 交于C ，D 两点（与点A ，B 不重合），证明：直线AC ，BD 的交点的横坐标为定值．【解答】解：（1）∵直线x +y −√3=0与x 轴的交点为(√3，0)，∴c =√3．又∵e =ca =√32，∴a ＝2， ∴b 2＝a 2﹣c 2＝1． ∴椭圆E 的标准方程为x 24+y 2=1．（2）证明：由（1）可得A （﹣2，0），B （2，0）．由题知过点N （﹣1，0）的斜率不为0，故设直线的方程为x ＝my ﹣1，设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）．联立{x =my −1x 24+y 2=1，整理，得（4+m 2）y 2﹣2my ﹣3＝0，Δ＝4m 2+12（4+m 2）＞0，∴y 1+y 2=2m 4+m 2，y 1y 2=−34+m 2．设直线AC 的方程为y =y 1x 1+2(x +2)，直线BD 的方程为y =y2x 2−2(x −2)，联立两条直线方程，解得x =2⋅y 1(x 2−2)+y 2(x 1+2)y 2(x 1+2)−y 1(x 2−2)①，将x 1＝my 1﹣1，x 2＝my 2﹣1代入①，得x =2⋅2my 1y 2+(y 1+y 2)−4y 1(y 1+y 2)+2y 1②，将y 1+y 2=m 4+m 2，y 1y 2=−34+m 2代入②，得x ＝2.−4(m4+m 2+y 1)2(m 4+m 2+y 1)=−4，∴直线AC ，BD 的交点的横坐标为定值﹣4． 22．（12分）已知f （x ）＝lnx +ax （a ∈R ）．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）当a ＝1时，若f （x ）≤k （x +1）+b 在（0，+∞）上恒成立，证明：2k+b−2k−1的最小值为﹣e +1．【解答】解：（1）因为f ′（x ）=1x +a （x ＞0），当a ≥0时，f ′（x ）＞0，所以f （x ）在（0，+∞）上单调递增，当a ＜0时，若x ∈（0，−1a）时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，若x ∈（−1a，+∞）时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，综上，当a ≥0时，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，当a ＜0时，f （x ）在（0，−1a ）上单调递增，f （x ）在（−1a ，+∞）上单调递减．（2）证明：因为lnx +x ≤k （x +1）+b 在（0，+∞）上恒成立，所以b ≥lnx +x ﹣k （x +1）在（0，+∞）上恒成立，设g （x ）＝lnx +x ﹣k （x +1），所以g ′（x ）=1x +1﹣k （x ＞0），当k ≤1时，g ′（x ）＞0，g （x ）在（0，+∞）上单调递增，此时b ≥g （x ）不恒成立，当k ＞1时，若x ∈（0，1k−1）时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，若x ∈（1k−1，+∞）时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减，所以g （x ）max ＝g （1k−1）＝ln1k−1+1k−1−k （1k−1+1）＝﹣ln （k ﹣1）﹣k ﹣1，所以b ≥﹣ln （k ﹣1）﹣k ﹣1，又因为2k+b−2k−1=2+bk−1≥2+−ln(k−1)−k−1k−1=1−ln(k−1)+2k−1，令t ＝k ﹣1＞0， h （t ）＝1−lnt+2t，所以h ′（t ）=lnt+1t 2，当t ∈（0，1e）时，h ′（t ）＜0，h （t ）单调递减，当t ∈（1e ，+∞）时，h ′（t ）＞0，h （t ）单调递增，所以h （t ）min ＝h （1e）＝﹣e +1，所以2k+b−2k−1的最小值为﹣e +1．。

2023-2024学年江西省赣州市高三上学期12月月份数学(理)试卷(含答案)

2023-2024学年江西省赣州市高三上学期12月月份数学（理）试卷A．270m 10．已知αA．116．已知函数()y f x =，其中数根，则实数k 的取值范围三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．为进一步奏响“绿水青山就是金山银山制作了旅游纪念章，并决定近期投放市场由图可得341295yx y-=⎧⎨-=⎩，则14146xy=⎧⎨=⎩.故选：D10．D【分析】根据题意令可求解,【详解】因为0,α⎛∈ ⎝所以【详解】0>，则()(2,ln ,(0)kx x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩有交点，故0k >时不符题意；如图，0k <，则()kx f x ⎧⎪=⎨⎪⎩不同交点时，必有2k -≥，解得而0k =时，明显不符题意；所以当0a ≤时，不等式显然成立．当0a >时，()e cos x h x x a =+-'，令()e cos x g x x =+，则()e sin x g x x '=-，当[0,)x ∈+∞时，e 1x ≥，sin [1,1]x ∈-，所以()e sin 0x g x x '=->，所以()g x 为增函数，()e cos (0)2x g x x g =+≥=．当02a <≤时，()0h x '≥，从而有()(0)0h x h ≥=，此时不等式恒成立．当2a >时，令()0h x '=，即e cos 0x x a +-=，由前面分析知，函数()e cos x h x x a '=+-在[0,)+∞上是增函数，且(0)20h a '=-<，1(1)e cos(1)(1)10a h a a a a a ++='++->+--=．故存在唯一的0(0,1)x a ∈+，使得()00h x '=．当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x 为减函数且(0)0h =．所以()0(0)0h x h <=与()0h x ≥恒成立矛盾．综上所述，a 的取值范围为(,2]-∞．。

2021-2022学年高三理科数学期末试题及答案

2021 — 2022学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|1}A x x =>，集合{2}B a =+，若A B =∅，则实数a 的取值范围是（）（A ）(,1]-∞- （B ）(,1]-∞（C ）[1,)-+∞（D ）[1,)+∞2. 下列函数中，值域为R 的偶函数是（）（A ）21y x =+ （B ）e e x x y -=- （C ）lg ||y x = （D）y =3. 设命题p ：“若1sin 2α=，则π6α=”，命题q ：“若a b >，则11a b<”，则（）（A ）“p q ∧”为真命题（B ）“p q ∨”为假命题（C ）“q ⌝”为假命题（D ）以上都不对4. 在数列{}n a 中，“对任意的*n ∈N ，212n n n a a a ++=”是“数列{}n a 为等比数列”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（）（A）16+ （B）16+ （C）20+ （D）20+侧(左)视图正(主)视图俯视图6. 设x ，y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =（）（A ）32 （B ）32- （C ）14（D ）14-7.某市乘坐出租车的收费办法如下：相应系统收费的程序框图如图所示，其中x （单位：千米）为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用[x ]表示不大于x 的最大整数，则图中○1 （A ）12[]42y x =-+（B ）12[]52y x =-+（C ）12[]42y x =++（D ）12[]52y x =++8. 如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =.如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立，那么λ的取值范围是（）（A ）(0,7) （B ）(4,7) （C ）(0,4) （D ）(5,16)-FD P C B第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知复数z 满足(1i)24i z +=-，那么z =____.10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若A B =，3a =，2c =，则cos C =____.11．双曲线C ：221164x y -=的渐近线方程为_____；设12,F F 为双曲线C 的左、右焦点，P 为C 上一点，且1||4PF =，则2||PF =____.12．在ABC ∆中，90ABC ∠=，3AB =，4BC =，点O 为BC 的中点，以BC 为直径的半圆与AC ，AO 分别相交于点M ，N ，则AN =____；AMMC= ____.13. 现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有____种.（用数字作答）14. 某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ）满足函数关系60,264, , 0.kx x t x +⎧=⎨>⎩≤ 且该食品在4C 的保鲜时间是16小时.已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示. 给出以下四个结论： ○1 该食品在6C 的保鲜时间是8小时；○2 当[6,6]x ∈-时，该食品的保鲜时间t 随着x 增大而逐渐减少；○3 到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ○4 到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间. 其中，所有正确结论的序号是____.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数()cos(sin)f x x x x=，x∈R.（Ⅰ）求()f x的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设0α>，若函数()()g x f xα=+为奇函数，求α的最小值.16．（本小题满分13分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下：（Ⅰ）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；（Ⅱ）如果7x y==，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x的所有可能取值.（结论不要求证明）17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是平行四边形，135BCD∠=，侧面PAB⊥底面ABCD，90BAP∠=,2AB AC PA===, ,E F分别为,BC AD的中点，点M在线段PD上.（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；（Ⅱ）若M为PD的中点，求证：//ME平面PAB；（Ⅲ）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求PMPD的值.18．（本小题满分13分）已知函数2()1f x x=-，函数()2lng x t x=，其中1t≤．FCA DPMB E（Ⅰ）如果函数()f x 与()g x 在1x =处的切线均为l ，求切线l 的方程及t 的值；（Ⅱ）如果曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点，求t 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，点A 在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交两点1P ，2P （两点均不在坐标轴上），且使得直线1OP ，2OP 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.20．（本小题满分13分）在数字21,2,,()n n ≥的任意一个排列A ：12,,,n a a a 中，如果对于,,i j i j *∈<N ，有i j a a >，那么就称(,)i j a a 为一个逆序对. 记排列A 中逆序对的个数为()S A .如=4n 时，在排列B ：3, 2, 4, 1中，逆序对有(3,2)，(3,1)，(2,1)，(4,1)，则()4S B =.（Ⅰ）设排列 C ： 3, 5, 6, 4, 1, 2，写出()S C 的值；（Ⅱ）对于数字1，2，，n 的一切排列A ，求所有()S A 的算术平均值；（Ⅲ）如果把排列A ：12,,,n a a a 中两个数字,()i j a a i j <交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列A '：12,,,n b b b ，求证：()()S A S A '+为奇数.参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．C 3．B 4．B 5．B 6．C 7．D 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．13i -- 10．7911．12y x =±12 12． 2 91613．54 14．○1 ○4 注：第11，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()cos (sin )f x x x x =+2sin cos 1)x x x =+-1sin 22x x=+ ………………4分πsin(2)3x =+，………………6分所以函数()f x 的最小正周期2π=π2T =. ………………7分由ππππ2π+23222x k k -+≤≤，k ∈Z ，得5ππππ+1212x k k -≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为5ππππ+]1212[k k -,，k ∈Z . ………………9分（注：或者写成单调递增区间为5ππππ+)1212(k k -,，k ∈Z . ）（Ⅱ）解：由题意，得π()()sin(22)3g x f x x αα=+=++，因为函数()g x 为奇函数，且x ∈R ，所以(0)0g =，即πsin(2)03α+=， ………………11分所以π2π3k α+=，k ∈Z ，解得ππ26k α=-，k ∈Z ，验证知其符合题意. 又因为0α>，所以α的最小值为π3. ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记 “从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局的得分恰好相等”为事件A ， ………………1分由题意，得2421()C 3P A ==，所以从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局得分恰好相等的概率为13. ……4分（Ⅱ）解：由题意，X 的所有可能取值为13，15，16，18， ………………5分且3(13)8P X ==，1(15)8P X ==，3(16)8P X ==，1(18)8P X ==，………………7分所以X 的分布列为：……………… 8分所以3131()13151618158888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………10分（Ⅲ）解：x 的可能取值为6，7，8. ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠=，所以AB AC ⊥.由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ，所以EF AC ⊥. ………………1分因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠=，所以PA ⊥底面ABCD . ………………2分又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥. ………………3分又因为PA AC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC . ………………4分（Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点，所以//MF PA ，又因为MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以//MF 平面PAB . ………………5分同理，得//EF 平面PAB . 又因为=MFEF F ，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面所以平面//MEF 平面PAB . ………………7分又因为ME ⊂平面MEF ，所以//ME 平面PAB . ………………9分（Ⅲ）解：因为PA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，所以,,AP AB AC 两两垂直，故以,,AB AC AP 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,0),(1,1,0)A B C P D E -，所以(2,0,2)PB =-，(2,2,2)PD =--，(2,2,0)BC =-， ………………10分设([0,1])PMPDλλ=∈，则(2,2,2)PM λλλ=--，所以(2,2,22)M λλλ--，(12,12,22)ME λλλ=+--，易得平面ABCD 的法向量(0,0,1)=m . ………………11分设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ，由0BC ⋅=n ，0PB ⋅=n ，得220,220,x y x z -+=⎧⎨-=⎩ 令1x =, 得(1,1,1)=n . ………………12分因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，所以|cos ,||cos ,|ME ME <>=<>m n ，即||||||||||||ME ME ME ME ⋅⋅=⋅⋅m n m n ， ………………13分所以 |22|λ-=，解得λ=λ=. ………………14分 D18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：求导，得()2f x x '=，2()tg x x'=，(0)x >． ………………2分由题意，得切线l 的斜率(1)(1)k f g ''==，即22k t ==，解得1t =． ……………3分又切点坐标为(1,0)，所以切线l 的方程为220x y --=． ………………4分（Ⅱ）解：设函数2()()()12ln h x f x g x x t x =-=--，(0,)x ∈+∞． ………………5分 “曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点”等价于“函数()y h x =有且仅有一个零点”．求导，得2222()2t x th x x x x-'=-=. ………………6分① 当0t ≤时，由(0,)x ∈+∞，得()0h x '>，所以()h x 在(0,)+∞单调递增．又因为(1)0h =，所以()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意． ………………8分② 当1t =时，当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，min()(1)0h x h ==，故()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意． ………………10分③ 当01t <<时，令()0h x '=，解得x =．当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x在上单调递减，在)+∞上单调递增，所以当x =时，min()h x h =． ………………11分因为(1)0h =1<，且()h x在)+∞上单调递增，所以(1)0h h <=.又因为存在12e (0,1)t -∈ ，111122()12ln 0t t t t h t ----=--=>e e e e ，所以存在0(0,1)x ∈使得0()0h x =，所以函数()y h x =存在两个零点0x ，1，与题意不符.综上，曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点时，t 的范围是0{|t t ≤，或1}t =.………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，得c a =，222a b c =+， ………………2分又因为点A 在椭圆C 上，所以221314ab+=， ………………3分解得2a =，1b =，c ，所以椭圆C 的方程为1422=+y x . ………………5分（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为225x y +=. ………………6分证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为222(0)x y r r +=>.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为m kx y +=. ………………7分由方程组22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得0448)14(222=-+++m kmx x k ， ………………8分因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，所以2221(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即2241m k =+. ………………9分由方程组222,,y kx m x y r =+⎧⎨+=⎩ 得2222(1)20k x kmx m r +++-=， ………………10分则22222(2)4(1)()0km k m r ∆=-+->.设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12221km x x k -+=+，221221m r x x k -⋅=+， ………………11分设直线1OP ，2OP的斜率分别为1k ，2k ，所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++=== 222222222222222111m r km k km m m r k k k m r m r k --⋅+⋅+-++==--+， ………………12分将2241m k =+代入上式，得221222(4)14(1)r k k k k r -+⋅=+-.要使得12k k 为定值，则224141r r-=-，即25r =，验证符合题意. 所以当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足12k k 为定值14-. ………………13分当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±，此时，圆225x y +=与l 的交点12,P P 也满足1214k k =-. 综上，当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足斜率之积12k k 为定值14-. ………………14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()10S C =； ………………2分（Ⅱ）解：考察排列D ：121,,,,n n d d d d -与排列1121,,,,n n D d d d d -：，因为数对(,)i j d d 与(,)j i d d 中必有一个为逆序对（其中1i j n <≤≤），且排列D 中数对(,)i j d d 共有2(1)C 2n n n -=个， ………………3分所以1(1)()()2n n S D S D -+=. ………………5分所以排列D 与1D 的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -. ………………6分而对于数字1，2，，n 的任意一个排列A ：12,,,n a a a ，都可以构造排列A 1：121,,,,n n a a a a -，且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -. 所以所有()S A 的算术平均值为(1)4n n -. ………………7分（Ⅲ）证明：○1当1j i =+，即,i j a a 相邻时，不妨设1i i a a +<，则排列A '为12112,,,,,,,,i i i i n a a a a a a a -++，此时排列A '与排列A ：12,,,n a a a 相比，仅多了一个逆序对1(,)i i a a +，所以()()1S A S A '=+，所以()()2()1S A S A S A '+=+为奇数. ………………10分 ○2当1j i ≠+，即,i j a a 不相邻时，假设,i j a a 之间有m 个数字，记排列A ：1212,,,,,,,,,,i m j n a a a k k k a a ，先将i a 向右移动一个位置，得到排列A 1：12112,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k a k k a a -，由○1，知1()S A 与()S A 的奇偶性不同，再将i a 向右移动一个位置，得到排列A 2：121123,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k k a k k a a -，由○1，知2()S A 与1()S A 的奇偶性不同，以此类推，i a 共向右移动m 次，得到排列A m ：1212,,,,,,,,,,m i j n a a k k k a a a ，再将j a 向左移动一个位置，得到排列A m +1：1211,,,,,,,,,,i m j i n a a a k k a a a -，以此类推，j a 共向左移动m +1次，得到排列A 2m +1：121,,,,,,,,,j m i n a a a k k a a ，即为排列A '，由○1，可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化，而排列A 经过21m +次的前后两数交换位置，可以得到排列A '，所以排列A 与排列A '的逆序数的奇偶性不同，所以()()S A S A '+为奇数.综上，得()()S A S A '+为奇数. ………………13分。

辽宁省葫芦岛市绥中县第一高级中学2021-2022学年高三数学理月考试卷含解析

辽宁省葫芦岛市绥中县第一高级中学2021-2022学年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （5分）（2011秋?乐陵市校级期末）已知a，b∈R+，A为a，b的等差中项，正数G为a，b的等比中项，则ab与AG的大小关系是（）C解答：解：依题意A=，G=，∴AG﹣ab=?﹣ab=（﹣）=?≥0，∴AG≥ab．故选C2. 已知，则函数有（）A．最小值6 B．最大值6 C．最小值 D．最大值参考答案：A 3. 设是定义在上的增函数，且对任意，都有恒成立，如果实数满足不等式，那么的取值范围是（9，49）（13，49）（9，25）（3，7）参考答案：4. 设P为等边所在平面内的一点，满足，若AB=1，则的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：B略5. ，复数= ( )A. B. C.D.参考答案：A因为，可知选A6. 椭圆=1的一个焦点为F1，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是（）A．± B．± C．± D．±参考答案：A略7. 设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在α、β内运动时，那么所有的动点C（）A．不共面B．当且仅当A，B在两条相交直线上移动时才共面C．当且仅当A，B在两条给定的平行直线上移动时才共面D．不论A，B如何移动都共面参考答案：D【考点】LJ：平面的基本性质及推论．【分析】本题考查空间想象力，因为平面α∥平面β，所以线段AB的中点到平面α和平面β的距离相等，从而动点C构成的图形是到平面α和平面β的距离相等的一个平面．【解答】解：根据平行平面的性质，不论A、B如何运动，动点C均在过C且与α，β都平行的平面上．故选：D8. 2016年鞍山地区空气质量的记录表明，一天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良的概率为0.6，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良的概率是（）A．0.48 B．0.6 C．0.75 D．0.8参考答案：C【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率是p，利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果．【解答】解：∵一天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良的概率为0.6，设随后一天空气质量为优良的概率为p，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良，则有0.8p=0.6，∴p===0.75，故选：C．9. 已知3sin2α=cosα，则sinα可以是（）A．﹣B．C．D．参考答案：B【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】根据二倍角公式化简3sin2α=cosα，消去cosα求出sinα的值．【解答】解：3sin2α=cosα，∴6sinαcosα=cosα，若cosα≠0，则6sinα=1，解得sinα=．故选：B．10. 对于一组数据（，2，3，，），如果将它们改变为（，2，，）其中，则下面结论正确的是（）Ａ．平均数与方差均不变Ｂ．平均数变了，而方差保持不变Ｃ．平均数不变，而方差变了Ｄ．平均数与方差均发生了变化参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 复数Z=i（1+i）在复平面内对应的点的坐标为．参考答案：（﹣1，1）【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：Z=i（1+i）=i﹣1在复平面内对应的点的坐标为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）12. 春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为p，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设X为其中成活的株数，若X的方差，，则p=________．参考答案：0.7【分析】由题意可知：，且，从而可得值．【详解】由题意可知：∴，即,∴故答案为：0.7【点睛】本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．13. 设f(x)=，则 ___.参考答案：14. 点G是△ABC 的重心，，（λ，μ∈R），若∠A=120°，，则最小值为．参考答案：【考点】向量的共线定理；两向量的和或差的模的最值；平面向量数量积的运算．【分析】欲求最小值，先求其平方的最小值，这里解决向量模的问题常用的方法．【解答】解：∵点G 是△ABC的重心，∴，∴=∵，∴AB×AC×COSA=﹣2，∴AB×AC=4．∴AG2≥故填．15. 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目.3个3个数，剩2个；5个5个数，剩3个；7个7个数，剩2个.问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有个．参考答案：2316. 设表示等差数列的前项和，且，，若，则=参考答案：15略17. 函数的零点个数为。

2021-2022年高三下学期第六次模拟考试数学(理)试题含答案

2021年高三下学期第六次模拟考试数学（理）试题含答案一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，） 1．集合，，则（）A 、B 、C 、D 、 2．若复数，其中是虚数单位，则复数的模为 A ． B ．C ．D ．23．某学生在一门功课的22次考试中，所得分数如下茎叶图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为A ．117B ．118C ．118．5D ．119．5 4．已知，函数在上单调递减.则的取值范围是（） A. B. C. D. 5．数列的前n 项和为，若，则( ) A. B. C.D.6．若程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 A ．B ．C ．D ．7．设函数()log (01)a f x x a =<<的定义域为,值域为,若的最小值为,则实数a 的值为 A ．B ．或C ．D ．或8．设x ∈R ，向量a ＝（2，x ），b ＝（3，－2），且a ⊥b ，则｜a －b ｜＝A ．5B ．C ．2D ．6 9．二项式展开式中的系数是( )A ．-14B ．14C ．-28D ．28 10．在△ABC 中，若,，则b=（） A ．3 B ．4 C.5 D .611．设函数11,(,2)()1(2),[2,)2x x f x f x x ⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则函数的零点的个数为开始否 n ＝3n +1n 为偶数k ＝k ＋1 结束n ＝5，k ＝0 是输出k n 否是A ．4B ．5C ．6D ．712．已知双曲线上一点，过双曲线中心的直线交双曲线于两点，记直线的斜率分别为，当最小时，双曲线离心率为( ) A ． B ． C D二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)． 13．—个几何体的三视图如图所示(单位:m )则该几何体的体积为___．14．若整数．．满足0700y x x y x -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则的最大值为． 15．向平面区域}10,20|),{(≤≤≤≤y x y x .内随机投入一点，则该点落在曲线⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=)21(2)10(23x x x x y 下方的概率等于_______．16．若一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥．已知一个正六棱锥的各个顶点都在半径为3的球面上，则该正六棱锥的体积的最大值为_____．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 17．（本小题满分12分）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图像上．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数18．（本小题满分12分） A 、B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2．根据市场分析，X 1和X 2的分布列分别为X 1 5％ 10％ P0.80.2X 2 2％ 8％ 12％ P0.20.50.3（Ⅰ）在两个项目上各投资100万元，Y 1和Y 2分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求方差DY 1，DY 2；（Ⅱ）将万元投资A 项目，万元投资B 项目，表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求的最小值，并指C 1B 1A 1出x 为何值时，取到最小值．（注：）19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，侧面底面，，，，为中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）在上是否存在一点，使得平面?若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由 20．（本小题满分12分）已知两定点，和定直线l ：，动点在直线上的射影为，且．（Ⅰ）求动点的轨迹的方程并画草图；（Ⅱ）是否存在过点的直线，使得直线与曲线相交于，两点，且△的面积等于？如果存在，请求出直线的方程；如果不存在，请说明理由 21．（本小题满分12分）已知函数，且.（Ⅰ）若曲线在点处的切线垂直于轴，求实数的值；（Ⅱ）当时，求函数的最小值；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若与的图像存在三个交点，求的取值范围请考生在第22、23、24题中任选一．．．题．作答，如果多做，按所做第1题计分。

福建省厦门第一中学2021—2022学年高三上学期12月考试数学试题+PDF版含答案

物体的温度从120 C 下降到 40℃，大约需要的时间为 ▲ ．（参考数据： ln 3 1.1） 15．某同学高考后参加国内 3 所名牌大学 A ， B ， C 的“强基计划“招生考试，已知该同学能通过
这 3 所大学 A ， B ， C 招生考试的概率分别为 x ， y ， 1 ，该同学能否通过这 3 所大学的招生考 2
A． 3 5
B． 4 3
C． 8 3
D．3
7．设 n 是偶数， n N ，i 为虚数单位， a,b 分别表示 ( x + )i 2n+1 的展开式中系数大于 0 与小于 0
的项的个数，那么
A． a = b
B． a = b +1
C． a = b −1
D． a = b + 2
8．函数
f
(x)
=
log2 x − 2x,
A． f (x) 的图像关于 y 轴对称
B． f (x) 的最小正周期为
C． f (x) 在区间 (0, ) 上单调递增 4
D． f (x) 的图像关于点 (3 ， 0) 对称 4
11．如图，正方形 ABCD 与正方形 DEFC 边长均为 1，平面 ABCD 与平面
DEFC 互相垂直， P 是 AE 上的一个动点，则
3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的．
1．设U = R ，已知两个非空集合 P ， Q 满足 (CU P) Q = R 则
A． P Q =
B． P Q
C． Q P
D． P Q = R
2．设复数 z 满足 (1 + i)z = 2i ，其中 i 为虚数单位，则 z 的共轭复数 z =

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2021-2022学年高三上学期第一次月考数学(理)试题

得，
当，；，；
所以在上单调递减，上单调递增，而要使有两个零点，要满足，
即；
因为，，令，由，
所以，即，因此，
而要证，
只需证，即证，即证，
由，只需证，
令，则，
令，则，
故在上递增，，
故在上递增，，
所以．
关键点点睛：（1）第（Ⅱ）问中隐零点的问题，解题关键在于的化简要用到，即；
由两边平方可求，再由平方关系求 .
由题得，，所以，
又，所以，
所以，
所以 .
故答案为： .
15.递增的等比数列的每一项都是正数，设其前项的和为，若则 _______.
364
由等比数列的性质将化为，再由可求出，然后列出关于的方程组，求出，进而可以求出结果
设等比数列的公比为，
A. B. C. D.
A
通过函数的奇偶性，，，可分别排除D，C，B，即得解
因为，所以是奇函数，排除D；
当时，，．
由，可排除C；，排除B故选：A
11.已知数列的前n项和，若，恒成立，则实数的最大值是（）
A.3B.4C.5D.6
C
先由求出，根据得到，求出的最小值，即可得出结果.
C. D.
C
根据等比数列与等差数列的求和公式，用分组求和的方法，即可求出结果.
因为，
所以数列的前n项和
.故选C
本题主要考查数列的求和，根据分组求和的方法，结合等差数列与等比数列的求和公式即可求解，属于常考题型.
6.已知菱形ABCD的边长为4，点M是线段CD的中点，，则 =（）

2021-2022年高三上学期12月月考数学试卷(文科)含解析

2021年高三上学期12月月考数学试卷（文科）含解析一、选择题（每小题5分，共计50分）1．设i是虚数单位，复数( )A．3﹣2i B．3+2i C．2﹣3i D．2+3i2．集合A={x|x2﹣a≥0}，B={x|x＜2}，若C R A⊆B，则实数a的取值范围是( ) A．（﹣∞，4] B．[0，4] C．（﹣∞，4）D．（0，4）3．已知a0=20.5，b=log32，c=log20.1，则( )A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a4．下列四个结论：①若x＞0，则x＞sinx恒成立；②命题“若x﹣sinx=0则x=0”的逆命题为“若x≠0则x﹣sinx≠0”；③“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的充分不必要条件；④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”．其中正确结论的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个5．直线x+my+1=0与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数m的取值范围是( )A．[，]B．[﹣，﹣]C．[，3] D．[﹣3，﹣]6．已知某几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A．12 B．24 C．36 D．487．设0＜a＜1，则函数y=的图象大致为( )A．B．C．D．8．已知向量=（0，sinx），=（1，2cosx），函数f（x）=•，g（x）=2+2﹣，则f（x）的图象可由g（x）的图象经过怎样的变换得到( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度9．已知函数f （x）=Asin（ωx+φ），（0＜φ＜π）的图象如图所示，若f （x0）=3，x0∈（，），则sinx0的值为( )A． B． C． D．10．设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，3]上有三个零点，则实数a的取值范围是( )A．（0，）B．（，e）C．（0，]D．[，）二、解答题（每小题5分共计25分）11．已知sinα﹣cosα=，α∈（0，π），tanα=__________．12．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且⊥，则2+3=__________．13．函数y=lg（1﹣）+的定义域是__________．14．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2，体积分别为υ1，υ2，若它们的侧面积相等，且的值为__________．15．给出下列四个命题：①命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是“∃x∈R，cosx≤0”；②a、b、c是空间中的三条直线，a∥b的充要条件是a⊥c且b⊥c；③命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为假命题；④对任意实数x，有f（﹣x）=f（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＜0．其中的真命题是__________．（写出所有真命题的编号）三、解答题：16．已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx﹣（ω＞0，x∈R）的图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=，f（C）=0，sinB=3sinA，求a，b的值．17．已知数列{a n}前n项和S n满足：2S n+a n=1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜．18．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值，并求出相应的x的值．19．如图正方形ABCD的边长为ABCD的边长为，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC 交于点G，O为GC的中点，平面ABCD．（I）求证：AE∥平面BCF；（Ⅱ）若，求证CF⊥平面AEF．20．（13分）已知函数f（x）=lnx﹣mx，m∈R（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤﹣2m+1在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．21．（14分）近日，国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场185种适销工业品和42种滞销产品的参考目录．为此，一公司举行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．xx山东省潍坊市寿光五中高三（上）12月月考数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共计50分）1．设i是虚数单位，复数( )A．3﹣2i B．3+2i C．2﹣3i D．2+3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：复数===3﹣2i，故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．集合A={x|x2﹣a≥0}，B={x|x＜2}，若C R A⊆B，则实数a的取值范围是( )A．（﹣∞，4]B．[0，4]C．（﹣∞，4）D．（0，4）【考点】补集及其运算；集合的包含关系判断及应用．【专题】集合．【分析】根据集合的补集关系进行求解即可．【解答】解：∵A={x|x2﹣a≥0}={x|x2≥a}，∴C R A={x|x2≤a}，若a＜0，则C R A=∅，满足C R A⊆B，若a≥0，则C R A={x|x2＜a}={x|﹣＜x＜}，若C R A⊆B，则≤2，解得0≤a≤4，综上a≤4，故选：A【点评】本题主要考查集合的基本运算和集合关系的应用，注意分类讨论．3．已知a0=20.5，b=log32，c=log20.1，则( )A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=20.5＞20=1，0＜b=log32＜log33=1，c=log20.1＜log21=0．∴c＜b＜a．故选：C．【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，属于基础题．4．下列四个结论：①若x＞0，则x＞sinx恒成立；②命题“若x﹣sinx=0则x=0”的逆命题为“若x≠0则x﹣sinx≠0”；③“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的充分不必要条件；④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”．其中正确结论的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题的真假判断与应用．【专题】规律型；探究型；构造法；导数的概念及应用；简易逻辑．【分析】令f（x）=x﹣sinx，利用导数分析其单调性，可判断①；写出原命题的逆命题，可判断②；根据充要条件的定义，可判断③；写出原命题的否定，可判断④．【解答】解：令f（x）=x﹣sinx，则f′（x）=1﹣cosx≥0恒成立，故f（x）=x﹣sinx在R上为增函数，故x＞0时，f（x）＞f（0）=0，即x＞sinx恒成立，故①正确；命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆命题为“若x=0，则x﹣sinx=0”，故②错误；“命题p或q为真”时，“命题p且q为真”不一定成立，“命题p且q为真”时，“命题p或q为真”成立，故“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的必要不充分条件，故③错误；④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”，故正确．其中正确结论的个数是2个，故选：B【点评】本题考查的知识点是全称命题的否定，四种命题，复合命题，函数的单调性，难度中档．5．直线x+my+1=0与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数m的取值范围是( )A．[，]B．[﹣，﹣]C．[，3] D．[﹣3，﹣]【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．【解答】解：即直线x+my+1=0过定点D（﹣1，0）作出不等式组对应的平面区域如图：当m=0时，直线为x=﹣1，此时直线和平面区域没有公共点，故m≠0，x+my+1=0的斜截式方程为y=x，斜率k=，要使直线和平面区域有公共点，则直线x+my+1=0的斜率k＞0，即k=＞0，即m＜0，满足k CD≤k＜k AB，此时AB的斜率k AB=2，由解得，即C（2，1），CD的斜率k CD==，由，解得，即A（2，4），AD的斜率k AD==，即≤k≤，则≤≤，解得﹣3≤m≤﹣，故选：D．【点评】本题主要考查线性规划以及斜率的应用，利用数形结合是解决本题的关键．6．已知某几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A．12 B．24 C．36 D．48【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】利用三视图判断几何体的形状，通过三视图是数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：三视图复原的几何体是底面为边长4、3的矩形，高为3的棱锥，高所在棱垂直底面矩形的一个得到，所以棱锥的体积为：=12．故选：A．【点评】本题主要考查关于“几何体的三视图”与“几何体的直观图”的相互转化的掌握情况，同时考查空间想象能力．7．设0＜a＜1，则函数y=的图象大致为( )A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用0＜a＜1，判断a x，x＞0时的范围，以及x＜0时的范围，然后求解a x﹣1的范围，倒数的范围，即可判断函数的图象．【解答】解：因为0＜a＜1，x＞0时，0＜a x＜1，﹣1＜a x﹣1＜0，＜﹣1，x＜0时，a x＞1，a x﹣1＞0，＞0，观察函数的图象可知：B满足题意．故选：B．【点评】本题考查指数函数的图象，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，注意函数的值域以及指数函数的性质．8．已知向量=（0，sinx），=（1，2cosx），函数f（x）=•，g（x）=2+2﹣，则f（x）的图象可由g（x）的图象经过怎样的变换得到( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意利用两个向量的数量积公式、诱导公式可得函数f（x）=sin2x，g（x）=sin2（x+），再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由题意可得函数f（x）=•=（2sinxcosx）=sin2x，g（x）=2+2﹣=sin2x+1+4cos2x﹣=3cos2x﹣=cos2x=sin（2x+）=sin2（x+），故把g（x）的图象向右平移个单位长度，可得f（x）的图象，故选：B．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．9．已知函数f （x）=Asin（ωx+φ），（0＜φ＜π）的图象如图所示，若f （x0）=3，x0∈（，），则sinx0的值为( )A． B． C． D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，求出函数的解析式．再由f （x0）=3求出sin（x0+ ）的值，可得cos（x0+ ）的值，再由两角差的正弦公式求得sinx0 =sin[（x0+ ）﹣]的值．【解答】解：由函数的图象可得A=5，且=，解得ω=1再由五点法作图可得1•+φ=，解得φ=．故函数的解析式为f（x）=5sin（x+ ）．再由f （x0）=3，x0∈（，），可得5sin（1•x0+ ）=3，解得sin（x0+ ）=，故有cos（x0+ ）=﹣，sinx0 =sin[（x0+ ）﹣]=sin（x0+ ）cos﹣cos（x0+ ）sin=﹣（﹣）=．故选A．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，两角差的正弦公式的应用，属于中档题．10．设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，3]上有三个零点，则实数a的取值范围是( )A．（0，）B．（，e）C．（0，]D．[，）【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】首先，画出函数f（x）=|lnx|的图象，然后，借助于图象，结合在区间（0，3]上有三个零点，进行判断．【解答】解：函数f（x）=|lnx|的图象如图示：当a≤0时，显然，不合乎题意，当a＞0时，如图示，当x∈（0，1]时，存在一个零点，当x＞1时，f（x）=lnx，可得g（x）=lnx﹣ax，（x∈（1，3]）g′（x）==，若g′（x）＜0，可得x＞，g（x）为减函数，若g′（x）＞0，可得x＜，g（x）为增函数，此时f（x）必须在[1，3]上有两个零点，∴解得，，在区间（0，3]上有三个零点时，，故选D．【点评】本题重点考查函数的零点，属于中档题，难度中等．二、解答题（每小题5分共计25分）11．已知sinα﹣cosα=，α∈（0，π），tanα=﹣1．【考点】同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】已知等式左边提取，利用两角和与差的正弦函数公式化简，求出sin（α﹣）的值为1，由α的范围，利用特殊角的三角函数值求出α的度数，即可求出tanα的值．【解答】解：∵sinα﹣cosα=sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=1，∵α∈（0，π），∴α﹣=，即α=，则tanα=﹣1．【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，特殊角的三角函数值，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．12．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且⊥，则2+3=（﹣4，7）．【考点】平面向量的坐标运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】由向量=（1，2），=（﹣2，m），且⊥，求出m的值，则2+3的答案可求．【解答】解：∵向量=（1，2），=（﹣2，m），且⊥，∴﹣2+2m=0，解得m=1，则2+3=2×（1，2）+3×（﹣2，1）=（﹣4，7）．故答案为：（﹣4，7）．【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，考查了平面向量的坐标运算，是基础题．13．函数y=lg（1﹣）+的定义域是[log23，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即，∴x≥log23，即函数的定义域为[log23，+∞），故答案为：[log23，+∞）【点评】本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．14．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2，体积分别为υ1，υ2，若它们的侧面积相等，且的值为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】设两个圆柱的底面半径分别为R，r，高分别为H，h，由=，得=，由它们的侧面积相等，得=，由此能求出．【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r，高分别为H，h，∵=，∴=，∵它们的侧面积相等，∴=1，∴=，∴==（）2×=．故答案为：．【点评】本题考查两个圆柱的体积的比值的求法，是中档题，解题时要注意圆柱的体积和侧面积计算公式的合理运用．15．给出下列四个命题：①命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是“∃x∈R，cosx≤0”；②a、b、c是空间中的三条直线，a∥b的充要条件是a⊥c且b⊥c；③命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为假命题；④对任意实数x，有f（﹣x）=f（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＜0．其中的真命题是①④．（写出所有真命题的编号）【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】①利用命题的否定即可判断出；②由a⊥c且b⊥c可得a∥b或相交或为异面直线，另一方面由a∥b，推不出a⊥c，b⊥c，即可判断出；③在△ABC中，A＞B⇔a＞b，由正弦定理可得：，可得sinA＞sinB．④利用偶函数的性质即可得出．【解答】解：①命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是“∃x∈R，cosx≤0”，正确；②a、b、c是空间中的三条直线，由a⊥c且b⊥c可得a∥b或相交或为异面直线，由a∥b，推不出a⊥c，b⊥c，因此“a⊥c且b⊥c”是a∥b的既不充分也不必要条件，因此②不正确；③在△ABC中，由A＞B⇔a＞b，由正弦定理可得：，因此sinA＞sinB．可知逆命题为真命题，因此不正确；④对任意实数x，有f（﹣x）=f（x），可知函数f（x）是偶函数．由当x＞0时，f′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＜0．正确．综上可知：只有①④正确．故答案为：①④．【点评】本题综合考查了空间中的线线位置关系、三角形的边角关系、函数的奇偶性单调性、简易逻辑等基础知识与基本技能方法，属于基础题．三、解答题：16．已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx﹣（ω＞0，x∈R）的图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=，f（C）=0，sinB=3sinA，求a，b的值．【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，根据题意确定出ω的值，确定出f（x）解析式，利用正弦函数的单调性求出函数f（x）的单调递增区间即可；（Ⅱ）由f（C）=0，求出C的度数，利用正弦定理化简sinB=3sinA，由余弦定理表示出cosC，把各自的值代入求出a与b的值即可．【解答】解：f（x）=sin2ωx﹣（1+cos2ωx）﹣=sin（2ωx﹣）﹣1，∵f （x ）图象上相邻两个最高点的距离为π，∴=π，即ω=1，则f （x ）=sin （2x ﹣）﹣1，（Ⅰ）令﹣+2k π≤2x ﹣≤+2k π，k ∈Z ，得到﹣+k π≤x ≤k π+，k ∈Z ，则函数f （x ）的单调递增区间为[﹣+k π，k π+]，k ∈Z ；（Ⅱ）由f （C ）=0，得到f （C ）=sin （2C ﹣）﹣1=0，即sin （2x ﹣）=1，∴2C ﹣=，即C=，由正弦定理=得：b=，把sinB=3sinA 代入得：b=3a ，由余弦定理及c=得：cosC===，整理得：10a 2﹣7=3a 2，解得：a=1，则b=3．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦、余弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．17．已知数列{a n }前n 项和S n 满足：2S n +a n =1（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n ＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I ）利用递推式可得：．再利用等比数列的通项公式即可得出；（II ）由（I ）可得b n ==，；利用“裂项求和”即可得出数列{b n }的前n 项和为T n ，进而得到证明．【解答】（I ）解：∵2S n +a n =1，∴当n ≥2时，2S n ﹣1+a n ﹣1=1，∴2a n +a n ﹣a n ﹣1=0，化为．当n=1时，2a 1+a 1=1，∴a 1=．∴数列{a n }是等比数列，首项与公比都为．∴．（II ）证明：b n = ===，∴数列{b n }的前n 项和为T n =++…+=．∴T n ＜．【点评】本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式、“裂项求和”、不等式的证明，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值，并求出相应的x的值．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用三角函数的倍角公式和诱导公式化简函数f（x），然后直接由周期公式求周期；（2）通过函数的图象的平移求解函数g（x）的解析式为g（x）=，由x的范围求出的范围，从而求得函数g（x）的最值，并得到相应的x的值．【解答】解：（1）由，得==．∴f（x）的最小正周期为π；（2）∵将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，∴=．∵x∈[0，）时，，∴当，即时，g（x）取得最大值2；当，即x=0时，g（x）取得最小值．【点评】本题考查了三角函数的倍角公式及诱导公式，考查了三角函数的图象平移，训练了三角函数的最值得求法，是中档题．19．如图正方形ABCD的边长为ABCD的边长为，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC 交于点G，O为GC的中点，平面ABCD．（I）求证：AE∥平面BCF；（Ⅱ）若，求证CF⊥平面AEF．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（I）利用正方形，平行四边形的性质可得AD∥BC，DE∥BF，可证平面ADE∥平面BCF，即可证明AE∥平面BCF…5分（Ⅱ）由已知可证AC2=AF2+CF2，由勾股定理可得CF⊥AF，又FO⊥平面ABCD，可得FO⊥BD，又AC⊥BD，即可证明BD⊥平面AFC，结合EF∥BD，即可证明EF⊥CF，从而可证CF⊥平面AEF．【解答】证明：（I）∵四边形ABCD为正方形，四边形BDEF是平行四边形，∴AD∥BC，DE∥BF，∵AD∩DE=D，BC∩BF=B，∴平面ADE∥平面BCF，又∵AE⊂平面ADE，∴AE∥平面BCF…5分（Ⅱ）∵正方形ABCD边长为2，∴对角线AC=4，又∵O为GC中点，∴AO=3，OC=1又∵FO⊥平面ABCD，且FO=，∴AF2=AO2+OF2=9+3=12，CF2=OC2+OF2=1+3=4，又AC2=16，∴AC2=AF2+CF2，∴CF⊥AF，又FO⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴FO⊥BD又∵AC⊥BD∴BD⊥平面AFC，又∵EF∥BD，∴EF⊥平面AFC∴EF⊥CF，又EF∩AF=F∴CF⊥平面AEF…12分【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．20．（13分）已知函数f（x）=lnx﹣mx，m∈R（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤﹣2m+1在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（1）先对原函数求导数，然后通过解导数大于零或小于零的不等式得到原函数的单调区间；（2）先将原不等式归零化简，然后通过求函数的最值解决问题，只需利用导数研究函数的单调性即可，注意分类讨论．【解答】解：由题意可得，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=．（1）当m≤0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，当m＞0时，令f′（x）＞0，解得，令f′（x）＜0，解得．所以当m≤0时，此时函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当m＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，），单调减区间为（）．（2）因为在[1，+∞）上恒成立．即在[1，+∞）上恒成立，令g（x）=，则，（1）当，即时，若，则g′（x）＜0，g（x）是减函数，所以g（x）＜g（1）=0，即g（x）≥0在[1，+∞）上不恒成立；（2）当，即时，若x＞1，则g′（x）＞0，g（x）是增函数，所以g（x）＞g（1）=0，即，故当x≥1时，f（x）恒成立．综上所述，所求的正实数m的取值范围是．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性的思路，以及不等式恒成立问题转化为函数的最值问题来解的基本思想．21．（14分）近日，国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场185种适销工业品和42种滞销产品的参考目录．为此，一公司举行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）根据产品的利润=销售额﹣产品的成本建立函数关系；（2）利用基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件．【解答】解：（1）由题意知，，将代入化简得：（0≤x≤a）．…（2），当且仅当，即x=1时，上式取等号．…当a≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当a＜1时，在[0，a]上单调递增，所以x=a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当a＜1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大．…【点评】本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．。

江苏省南京市2021-2022第一学期高三12月联考数学试卷

南京市2021—2022学年第一学期12月六校联合调研试题高三数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．1．若复数z 满足 z －·i ＝2+i,其中i 为虚数单位，则z =A ．1+2iB ．1－2iC ．－1+2iD ．－1－2i2．记A ＝{x |log 2(x －1)<2}，A ∩N ＝B ，则B 的元素个数为A ．2B ．3C ．4D ．53．已知cos θ＝13 ，则sin(2θ＋π2)＝A ．－79B ．79C ．23D ．－234．设a ，b 为非零向量，则“存在负数λ，使得a=λb ”是“a ·b <0”的 A ．充分必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分而不必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．将3名教师，3名学生分成3个小组，分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和1名学生组成，若教师A 与学生B 要安排在同一地点，则不同的安排方案共有A ．72种B ．36种C ．24种D ．12种6．国务院新闻办公室8月12日发表《全面建成小康社会：中国人权事业发展的光辉篇章》白皮书指出：2020年，全国万元国内生产总值二氧化碳排放较2005年下降48.4%，提前完成比2005年下降40%-45%的碳排放目标.某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过1%.已知过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：时）之间的函数关系为P =P 0·e －kt (k 为正常数，P 0为原污染物数量）.该工厂某次过滤废气时，若前3个小时废气中的污染物被过滤掉了90%，那么要按规定排放废气，至少还需要过滤 A ．6小时B ．3小时C ．1.5小时D ．59小时7．设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M 是椭圆E 准线上一点，∠F 1MF 2的最大值为60°，则椭圆E 的离心率为A ．2124B ． 32C ． 22D ．2848．已知a ＝sin 13，b ＝13，c ＝1π则A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．a ＜c ＜bD ．c ＜a ＜b二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题意．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7在这次射击中，下列说法正确的是 A ．甲成绩的极差比乙成绩的极差大B ．甲成绩的众数比乙成绩的众数大C ．甲的成绩没有乙的成绩稳定D ．甲成绩的中位数比乙成绩的中位数大10．已知函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，当x [1，＋∞)时，f (x )＝x 3，则 A ．f (0)＝0B ．对任意的正实数a ，都有f (a +4a )≥f (4)C ．f (1＋x )为偶函数D ．不等式f (x+1)<f (3)的解集为(-1,3)11．在平面直角坐标系中，三点A (－1，0)，B (1，0)，C (0，7)，动点P 满足P A=2PB ，则 A ．点P 的轨迹方程为(x －3)2+y 2=8 B ．△PAB 面积最大时P A=26 C ．∠P AB 最大时，P A=26 D ．P 到直线AC 距离最小值为42512．在底面棱长为2侧棱长为23的正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点E 为AC 1的中点，BD →=λBC →(0≤λ≤1),则以下结论正确的是A ．当λ=12时，A 1D →=12AB →+ 12AC →－AA 1→ B ．当λ=12时，AB 1//平面A 1C 1DC ．存在λ使得DE ⊥平面A 1B 1CD ．四面体E －ABC 外接球的半径为153三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．已知(x ＋ay )3的展开式中含x 2y 项的系数为6．则实数a 的值为 ▲ ．14．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别为正方形OABC 的边OA ,OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为4，则a = ▲ ．15．若一个等差数列{a n }满足：①每项均为正整数；②首项与公差的积大于该数列的第二项且小于第三项，写出一个满足条件的数列的通项公式a n ＝ ▲ ． 16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3(tanA+tanB)=tanA cosB +tanB cosA ，则a +bc= ▲ ；c =4，D 为AB 的中点且CD =33 ，则△ABC 的面积为 ▲ ．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本题满分10分）已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，x ∈R )的部分图象如图所示． (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的t (t ＞0)倍，得到y ＝g(x )的图象．若π4为函数y ＝g(x )的一个零点，求t 的最大值．Ox y 第17题2π3 5π618．（本题满分12分）我国脱贫攻坚战取得全面胜利，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹．某农户计划于2021年初开始种植新型农作物．根据前期各方面调查发现，该农作物的亩产量和市场价格均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如表：该农作物亩产量（kg）9001200概率0.50.5该农作物市场价格（元/kg）3040概率0.40.6（1）设2021年该农户种植该农作物一亩的收入为X元，求X的分布列；（2）若该农户从2021年开始，连续三年种植该农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中该农户种植该农作物一亩至少有两年的收入超过30000元的概率．19.（本题满分12分）在①6S n=a n2+3a n－4；①a n=2a n-1－3n+5;两个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.已知正项等差数列{a n}和等比数列{b n}，数列{a n}前n项和为S n，满足a2＝2b2－1．a3=b3＋2，_______.（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）数列{a n}和{b n}中的所有项分别构成集合A，B，将A①B的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{c n}，求数列{c n}的前70项和.20．（本题满分12分）如图，在四棱锥中P﹣ABCD，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝2，BC＝4，PA＝2．（1）求证：AB⊥PC；（2）点M在线段PD上，二面角M﹣AC﹣D的余弦值为33，求三棱锥M﹣ACB体积．21．(本小题满分12分)已知抛物线C：y2＝4x，点M(a，0) (a＞0)，直线l过点M且与抛物线C相交于A，B两点．（1）若a＝2，直线l的斜率为2，求AB的长；第20题（2）在x 轴上是否存在异于点M 的点N ，对任意的直线l ，都满足AN BN ＝AMBM ? 若存在，指出点N 的位置并证明，若不存在请说明理由．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x +a +b sin x －1的图象在原点处的切线方程为y =2x ． (1)求函数y ＝f (x )的解析式． (2)证明：f (x )≥2x ．。

2024届江苏省无锡市四校高三上学期12月调研数学试题及答案

2023-2024学年度12月学情调研试卷高三数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合{}24A x x =≤，{}2log B x y x ==，则A B = （）A []22-, B. []0,2 C. (]0,2 D. [)2,+∞2. 已知复数z 满足()1i 22i z +=-（i 是虚数单位），则z 的虚部为（）A 2B. 2i -C. 2-D. 2i3. 设平面向量a ，b 均为单位向量，则“2=2+a b a b - ”是“a b ⊥ ”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 北京时间2020年11月24日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射.嫦娥五号是我国探月工程“绕、落、回”三步走的收官之战，经历发射入轨、地月转移、近月制动等11个关键阶段.在经过交会对接与样品转移阶段后，若嫦娥五号返回器在近月点（离月面最近的点）约为200公里，远月点（离月面最远的点）约为8600公里，以月球中心为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作，月球半径约为1740公里，则此椭圆轨道的离心率约为（）A 0.48 B. 0.32 C. 0.82 D. 0.685. 两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为1:2，则它们的体积比是（）A.B. 1:C. 2D. 26. 等差数列{}n a各项均为正数，首项与公差相等，151k ==，则2023a 的值为（）A. 6069 B. 6079 C. 6089D. 6099...7.已知函数)()ln2f x x =+，正实数,a b 满足(2)(2)4f a f b +-=，则21a b +的最小值为（）A. 5 B. 92 C. 4D. 98. 已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数()()2e x f x f x =-，当0x <时，()()0f x f x '->，若()ln 22f a =，()e 1b f =-，15ln 5c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（）A. a c b >> B. c b a >> C. c a b >> D. a b c>>二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分．9. 若a b <且0ab ≠，则下列结论成立的是（）A. 11a b >B. 33a b <C. a a b b <D. 23a b<10. 函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则（）A. 2ω=B. 6πϕ=C. 对任意的x 都有()512f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭D. ()f x 在区间[],ππ-上的零点之和为3π11. 已知()11,A x y ，()22,B x y 是圆O ：221x y +=上两点，则下列结论正确的是（）A. 若点O 到直线AB 距离为12，则||AB =B. 若AOBπ3AOB ∠=C. 若121212x x y y +=，则点O 到直线AB的D. 111x y +-的最大值为11-12. 在正四棱锥P ABCD -中，AB =，PA =，点Q 满足PQ PA x AB y AD =++ ，其中[]0,1x ∈，[]0,1y ∈，则下列结论正确的有（）A. PQ的最小值是B. 当1x =时，三棱锥P ADQ -体积为定值C. 当x y =时，PB 与PQ 所成角可能为π6D. 当1x y +=时，AB 与平面PAQ三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若命题“[]21,3,10x x ax ∃∈++>”是假命题，则实数a 的最大值为______．14. 已知向量2a = ，b 在a 方向上的投影向量为3a - ，则a b ⋅= _______.15. 如图，“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形生成的.将等边三角形每条边三等分，以每条边三等分的中间部分为边向外作正三角形，再将每条边的中间部分去掉，这称为“一次分形”；再用同样的方法将所得图形中的每条线段重复上述操作，这称为“二次分形”；L .依次进行“n 次分形”（*N n ∈）.规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度.若将边长为1的正三角形“n 次分形”后所得分形图的长度不小于120，则n 的最小值是______.（参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈）16. 已知函数()32ln ,12,1x x f x x x x ≥⎧=⎨-+<⎩，令()()g x f x kx =-，当2e k =-时，有()00g x =，则0x =______；若函数()g x 恰好有4个零点，则实数k 的取值范围为_________.四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的的文字说明，证明过程或演算步骤．17. 在ABC 中，A ∠，B ∠，C ∠的对边别为a ，b ，c ，若cos sin 0a C C b c +--=.（1）求角A ；（2）若4b c +=，ABC S =△a .18. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n n n S a +=+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列()()1*132N n n n n a n +⎧⎫+-⋅∈⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，AB BC ⊥．点M 在棱PB 上，2PM MB =，点N 在棱PC 上，223PA AB AD BC ====．（1）若2CN NP =，Q 为PD 的中点，求证：//NQ 平面PAB ；（2）若直线PA 与平面AMN 所成角的正弦值为23，求PN PC 的值．20. 如图，半径为1的光滑圆形轨道圆1O 、圆2O 外切于点M ，点H 是直线12O O 与圆2O 的交点，在圆形轨道1O 、圆2O 上各有一个运动质点P ，Q 同时分别从点M 、H 开始逆时针绕轨道做匀速圆周运动，点P ，Q 运动的角速度之比为2：1，设点Q 转动的角度为θ，以1O 为原点，12O O 为x 轴建立平面直角坐标系．（1）若θ为锐角且πsin 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求P 、Q 的坐标；（2）求PQ 的最大值．21. 已知椭圆222:1(1)x C y a a+=>的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆22:6270M x y x y +--+=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）若不过点A 的动直线l 与椭圆相交于P ，Q 两点，若2AP AQ k k =+，求证：直线l 过定点，并求出该定点坐标.22. 已知函数()222ln f x ax x x =--.（1）若()f x 在定义域内单调，求实数a 的取值范围；（2）若52a ≤，m ，n 分别为()f x 的极大值和极小值，求m n -的取值范围.2023-2024学年度12月学情调研试卷高三数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合{}24A x x =≤，{}2log B x y x ==，则A B = （）A. []22-, B. []0,2 C. (]0,2 D. [)2,+∞【答案】C【解析】【分析】解二次不等式和对数函数的性质化简集合,A B ,再取交集即可得解.【详解】由24x ≤，可得22x -≤≤，所以{}[]242,2A x x =≤=-，由对数函数的性质得{}()2log 0,B x y x ∞===+，则(0,2]A B ⋂=.故选：C.2. 已知复数z 满足()1i 22i z +=-（i 是虚数单位），则z 的虚部为（）A. 2B. 2i -C. 2-D. 2i 【答案】A【解析】【分析】利用复数的四则运算求得z ，进而求得z ，由此得解.【详解】因为()1i 22i z +=-，所以()()()()21i 1i 22i 2i 1i 1i 1i z ---===-++-，则2i z =，所以z 的虚部为2.故选：A.3. 设平面向量a ，b 均为单位向量，则“2=2+a b a b - ”是“a b ⊥ ”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】将2=2+a b a b - 两边平方，化简后即可得a b ⊥ ，由此即可选出答案.【详解】因为2=2+a b a b -⇔ 22224+4=4+4+a a b b a a b b-⋅⋅ =0a b ⇔⋅ a b⇔⊥ ，所以“2=2+a b a b - ”是“a b ⊥ ”的充分必要条件，故选：C .4. 北京时间2020年11月24日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射.嫦娥五号是我国探月工程“绕、落、回”三步走的收官之战，经历发射入轨、地月转移、近月制动等11个关键阶段.在经过交会对接与样品转移阶段后，若嫦娥五号返回器在近月点（离月面最近的点）约为200公里，远月点（离月面最远的点）约为8600公里，以月球中心为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作，月球半径约为1740公里，则此椭圆轨道的离心率约为（）A. 0.48B. 0.32C. 0.82D. 0.68【答案】D【解析】【分析】根据题意直接求解出椭圆的实半轴长和半焦距，进而求解.【详解】由题意可知椭圆实轴长220086002174012280a =++⨯=，所以6140a =，焦距22(2001740)21228038808400c a =-+⨯=-=，所以4200c =，所以椭圆的离心率42000.686140c e a ==≈，故选：D.5. 两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为1:2，则它们的体积比是（）A. B. 1: C. 2 D. 2【答案】A【解析】【分析】设圆锥母线长为l ，小圆锥半径为r 、高为h ，大圆锥半径为R ，高为H ，根据侧面积之比可得2R r =，再由圆锥侧面展开扇形圆心角的公式得到3l r =，利用勾股定理得到,h H 关于r 的表达式，从而将两个圆锥的体积都表示成r 的表达式，求出它们的比值即可.【详解】设圆锥母线长为l ，侧面积较小的圆锥半径为r ，侧面积较大的圆锥半径为R ，它们的高分别为h 、H ，则π:(π)=1:2rl Rl ，得2R r =，因为两圆锥的侧面展开图恰好拼成一个圆，所以+2π=×2πr R l，得3l r =，再由勾股定理，得h ==，同理可得H ==，所以两个圆锥的体积之比为：2211π:π433r r r ⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.6. 等差数列{}n a各项均为正数，首项与公差相等，151k ==，则2023a 的值为（）A. 6069B. 6079C. 6089D. 6099【答案】A【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，结合等差数列的通项公式，利用裂项相消法化简方程求出d ，由此得解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为()0d d >，因为首项1a 与公差d 相等，所以()11n n d d a n a =+-=，1d ==，151k ==所以15111k d d ===-==，所以3d =，所以20232023202336069a d =⨯=⨯=，故选：A ．7. 已知函数)()ln2f x x =+，正实数,a b 满足(2)(2)4f a f b +-=，则21a b +的最小值为（）A. 5 B. 92 C. 4 D. 9【答案】B【解析】【分析】先判断函数的对称性与单调性，从而得到22a b +=，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【详解】因为)()ln 2f x x =+，所以()()))ln 2ln 24f x f x x x +-=++-+=，故函数()f x 关于()0,2对称；又()f x 的定义域为R ，())ln 2f x x =++，所以由复合函数的单调性可判断()f x 在R 上单调递增；又(2)(2)4f a f b +-=，所以220a b +-=，即22a b +=，又0,0a b >>，故()21122122252b a a b a b a a b =⎪⎛⎛⎫++++ ⎝⎝⎭=19522⎛≥+= ⎝，当且仅当22b a a b =，即23a b ==时，等号成立. 所以21a b +的最小值为92.故选：B.8. 已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数()()2e x f x f x =-，当0x <时，()()0f x f x '->，若()ln 22f a =，()e 1b f =-，15ln 5c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（）A. a c b>> B. c b a >> C. c a b >> D. a b c >>【答案】B【解析】【分析】构造函数()()e x f x g x =，研究()g x 的奇偶性、单调性，从而比较大小得解.【详解】令()()ex f x g x =，因为0x <时，()()0f x f x '->，所以当0x <时，()()()0e x f x f x g x '-'=<，则()g x 在(,0)-∞上单调递减，因为()()e x f x g x =的定义域为R ，又()()2e x f x f x =-，则()()e ex x f x f x --=，所以()()(()e)e x x g f x f x x g x ---===，所以()g x 为偶函数，故()g x 在(0,)+∞上单调递增，又()()ln 2ln 22f a g ==，()()()e 111b f g g =-=-=，()()115ln ln ln 5ln 555c f g g g ⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而ln 51ln 2>>，所以()()()ln 51ln 2g g g >>，即c b a >>.故选：B.【点睛】关键点睛：本题的解决关键是观察条件，构造出()()ex f x g x =，从而得解.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分．9. 若a b <且0ab ≠，则下列结论成立的是（）A. 11a b >B. 33a b <C. a a b b <D. 23a b<【答案】BC【解析】【分析】举例说明判断AD ；利用不等式性质推理判断BC.【详解】对于A ，取1,1a b =-=，满足a b <，此时1111a b=-<=，A 错误；对于B ，a b <，由不等式性质知，33a b <成立，B 正确；对于C ，当0a b <<时，0a a b b <<，当0a b <<，0||||a b <<，则a a b b <，当0a b <<时，0a b ->->，||||0a b >>，则||||0a a b b ->->，于是a a b b <，因此若a b <且0ab ≠，则a a b b <成立，C 正确；对于D ，取3,2a b =-=-，满足a b <，而112389a b =>=，D 错误故选：BC 10. 函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭图象如图所示，则（）A 2ω=B. 6πϕ=C. 对任意的x 都有()512f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭D. ()f x 在区间[],ππ-上的零点之和为3π【答案】AB【解析】【分析】利用图象求得函数()f x 的解析式，可判断AB 选项的正误；计算512f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值，可判断C 选项的正误；利用正弦型函数的对称性可判断D 选项的正误.【详解】由题图可知函数()f x 的最小正周期为4113126T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则22πωπ==，所以，()()sin 2f x x ϕ=+，把,16π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得1sin 3πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()232k k Z ππϕπ+=+∈，得()26k k Z πϕπ=+∈，2πϕ< ，6πϕ∴=，则AB 选项均正确；()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，当512x π=时，()0f x =，不满足对任意的x 都有()512f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，C 错误；[],x ππ∈- ，11132,666x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦，.的.则()f x 共有4个零点，不妨设为a 、b 、c 、d ，且a b c d <<<，则222662a b πππ⎛⎫+++=⨯- ⎪⎝⎭，3222662c d πππ+++=⨯，两式相加，整理得422223a b c d π+++=，故()f x 的所有零点之和为23a b c d π+++=，D 错误，故选：AB.11. 已知()11,A x y ，()22,B x y 是圆O ：221x y +=上两点，则下列结论正确的是（）A. 若点O 到直线AB 的距离为12，则||AB =B. 若AOB π3AOB ∠=C. 若121212x x y y +=，则点O 到直线ABD. 11x y +11-【答案】AC【解析】【分析】利用弦长公式判定选项A 正确；先利用三角形的面积公式求出sin AOB ∠=判定选项B 错误；利用数量积的计算公式求出1cos 2AOB ∠=，进而判定三角形的形状判定选项C 正确；设1cos x θ=，1sin y θ=，且02π≤≤θ，利用辅助角公式和三角函数的性质判定选项D 错误.【详解】对于A ：易知圆O ：221x y +=的半径1r =，因为点O 到直线AB 的距离12d =，所以||AB ===即选项A 正确；对于B ：因为AOB所以1||||sin 2OA OB AOB ∠=，即1sin 2AOB ∠=，解得sin AOB ∠=，因为0πAOB <∠<，所以π3AOB ∠=或2π3AOB ∠=，即选项B 错误；对于C ：因为121212x x y y +=，所以12OA OB ⋅= ，即1||||cos 2OA OB AOB ⋅∠= ，即1cos 2AOB ∠=，因0πAOB <∠<，所以π3AOB ∠=，即AOB 是边长为1的等边三角形，所以点O 到直线AB即选项C 正确；对于D ：由题意设1cos x θ=，1sin y θ=，且02π≤≤θ，则11π1cos sin 14x y θθθ⎛⎫+-=++- ⎪⎝⎭因为02π≤≤θ，所以ππ9π444θ≤+≤，则π1sin(14θ-≤+≤，π)4θ≤+≤π1114θ-≤+-≤-，所以π0|1|14θ≤+-≤+，即110|1|1x y ≤+-≤，即选项D 错误.故选：AC.12. 在正四棱锥P ABCD -中，AB =，PA =，点Q 满足PQ PA x AB y AD =++ ，其中[]0,1x ∈，[]0,1y ∈，则下列结论正确的有（）为A. PQ 的最小值是B. 当1x =时，三棱锥P ADQ -的体积为定值C. 当x y =时，PB 与PQ 所成角可能为π6D. 当1x y +=时，AB 与平面PAQ 【答案】ABD【解析】【分析】根据向量关系可得Q 为正方形ABCD 内的点(包括边界)，设AC BD O = ，根据正棱锥的性质结合条件可得PQ PO ≥ 判断A ，根据棱锥的体积公式结合条件可判断B ，根据线面角的求法结合条件可判断C ，利用坐标法表示出线面角，然后利用导数求最值可判断D.【详解】由PQ PA x AB y AD =++ ，可得PQ PA AQ x AB y AD -==+ ，其中[]0,1x ∈，[]0,1y ∈，所以Q 为正方形ABCD 内的点(包括边界)，在正四棱锥P ABCD -中，AB =，PA =，设AC BD O = ，连接PO ，则PO ⊥平面ABCD ，1,OA OB PO ===，对A ，由题可知PQ PO ≥= ，当,Q O 重合时取等号，故A 正确；对B ，当1x =时，AQ AB y AD =+ ，即BQ y AD = ，故Q 在线段BC 上，因为//AD BC ，所以三角形ADQ 的面积为定值，而三棱锥P ADQ -的高PO 为定值，故三棱锥P ADQ -的体积为定值，故B 正确；对C ，当x y =时，()AQ x AB AD xAC =+= ，故Q 在线段AC 上，由题可知,,,,PO OB OB OA PO OA O PO OA ⊥⊥⋂=⊂平面PAC ，故OB ⊥平面PAC ，所以PO 为PB 在平面PAC 内的射影，BPQ BPO ∠≥∠，而在Rt POB △中，tan BPO ∠==>，所以π6BPO ∠>，π6BPQ ∠>，故PB 与PQ 所成角不可能为π6，故C 错误；对D ，当1x y +=时，AQ x AB y AD =+ ，故Q 在线段BD 上，如图以O 为原点建立空间直角坐标系，设()()0,,011Q t t -≤≤，则()()(1,0,0,0,1,0,A B P ，所以()(()1,1,0,,1,,0AB AP AQ t =-=-=- ，设平面PAQ 的法向量为(),,m a b c =，则00m AP a m AQ a tb ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令b =，则)m t = ，设AB 与平面PAQ 所成角为α，所以sinα=，设()()22132t f t t -=+，[]1,1t ∈-，则()()()()()()()()2222222132611643232t t t t t t f t t t -+---+==++'，所以当21,3t ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭时，()()0,f t f t '>单调递增，当2,13t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()0,f t f t '<单调递减，所以()22max 21253362323f t f ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=-== ⎪⎝⎭⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，sin α≤=，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据向量关系结合条件得到点Q 的位置，然后结合条件利用立体几何知识解决即得.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若命题“[]21,3,10x x ax ∃∈++>”是假命题，则实数a 的最大值为______．【答案】103-【解析】【分析】由命题的否定转化为恒成立问题，利用二次函数的性质即可求解.【详解】由题知命题的否定“2[1,3],x x ∀∈+10ax +≤”是真命题．令2()1([1,f x x ax x =++∈3])，则()()120,33100,f a f a ⎧=+≤⎪⎨=+≤⎪⎩ 解得103a ≤-，故实数a 的最大值为10.3-故答案为：10.3-14. 已知向量2a = ，b 在a 方向上的投影向量为3a - ，则a b ⋅= _______.【答案】12-【解析】【分析】利用投影向量公式即可得解.【详解】因为b 在a 方向上的投影向量为3a - ，2a = ，所以3b a a a a a ⋅⋅=- ，即34b a a a ⋅⋅=- ，所以12a b ⋅=- .故答案为：12-.15. 如图，“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形生成的.将等边三角形每条边三等分，以每条边三等分的中间部分为边向外作正三角形，再将每条边的中间部分去掉，这称为“一次分形”；再用同样的方法将所得图形中的每条线段重复上述操作，这称为“二次分形”；L .依次进行“n 次分形”（*N n ∈）.规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度.若将边长为1的正三角形“n 次分形”后所得分形图的长度不小于120，则n 的最小值是______.（参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈）【答案】13【解析】【分析】依题意可得“每次分形”图的长度可看成是首项为4，公比为43的等比数列，从而可得到“n 次分形”图的长度为1443n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，列出不等式，结合*n ∈N ，即可求解．【详解】依题意可得“n 次分形”图的长度是“n 1-次分形”图的长度的43，由“一次分形”图的长度为14343⨯⨯=，所以“每次分形”图的长度可看成是首项为4，公比为43的等比数列，所以“n 次分形”图的长度为1443n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，故1441203n -⎛⎫⨯≥ ⎪⎝⎭，即14303n -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，两边取对数得()()12lg 2lg 31lg 3n --≥+，所以1lg 310.4771111.82lg 2lg 320.3010.4771n ++-≥≈≈-⨯-，则12.8n ≥，又*n ∈N ，故n 的最小整数值是13．故答案为：13．16. 已知函数()32ln ,12,1x x f x x x x ≥⎧=⎨-+<⎩，令()()g x f x kx =-，当2e k =-时，有()00g x =，则0x =______；若函数()g x 恰好有4个零点，则实数k 的取值范围为_________.【答案】①. 0或 ②. 20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】分1x ≥和1x <两种情况，结合导函数判断出函数单调性，求出零点；先得到0为()g x 的一个零点，再参变分离，构造()[)()()22ln ,1,2,,00,1x x t x x x x ∞∞⎧∈+⎪=⎨⎪-+∈-⋃⎩，只需()k t x =有3个零点，画出()t x 的图象，数形结合得到答案.【详解】当2e k =-时，()00g x =，即()200e 0f x x +=，当1x ≥时，2002ln e 0x x +=，令()22ln e h x x x =+，1x ≥，()22e 0h x x'=+>在[)1,+∞上恒成立，故()22ln e h x x x =+在[)1,+∞上单调递增，又()21e 0h =>，故()22ln e 0h x x x =+>在[)1,+∞恒成立，无解，当1x <时，320002e 0x x x -++=，即()22002e0x x -++=，故00x =或2202e 0x -++=，解得00x =或，1>舍去，其余两个满足要求，当0x =时，302000k -+⨯-⋅=，故0为()g x 的一个零点，当0x ≠时，令()0g x =，当1x ≥时，2ln x k x=，当()(),00,1x ∈-∞ 时，22x k -+=，令()[)()()21,2,,00,1x t x x x ∞∞∈+=⎪-+∈-⋃⎩，当1x ≥时，()222ln x t x x -'=，当e x >时，()0t x '<，()t x 单调递减，当1x e ≤<时，()0t x '>，()t x 单调递增，故()t x 在e x =时取得极大值，也是最大值，且()2e et =，且当1x >时，()0t x >恒成立，画出其图象如下，要想()k t x =有3个不同的零点，只需20ek <<；故答案为：0或；20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17. 在ABC 中，A ∠，B ∠，C ∠的对边别为a ，b ，c ，若cos sin 0a C C b c +--=.（1）求角A ；（2）若4b c +=，ABC S =△a .【答案】（1）π3A =（2）a =【解析】【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式、辅助角公式化简即可得解；（2）根据三角形的面积公式及余弦定理即可得解.【小问1详解】因为cos sin 0a C Cbc +--=由正弦定理得： sin cos sin sin sin A C A C B C +=+即()sin cos sin sin sin A C A C A C C =++，所以sin cos sin sin cos cos sin sin A C A C A C A C C+=++cos 1A A -=，故π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由A 为三角形内角可得ππ66A -= ，π3A ∴=.【小问2详解】1sin 2ABC S bc A === △，3bc ∴=，由余弦定理()22222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-，又4b c +=，代入得a =.18. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n n n S a +=+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列()()1*132N n n n n a n +⎧⎫+-⋅∈⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）12n n a n -=⋅（2）()231311444n n T n n ⎡⎤--⎣⎦=++【解析】【分析】（1）由,n n S a 关系消n S 得递推关系，再构造等差数列求通项；（2）由等差与等比数列特点分组求和.【小问1详解】由221n n n S a +=+①当1n =时，11221S a +=+，所以11a = 当2n ≥时，111221n n n S a ---+=+②①②式相减得11221n n n a a --+=+，即1122n n n a a ---= 两边同除以2n 得，111222n n n n a a ---=，又1122a =，所以数列2nn a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公差的等差数列，11(1)2222n n a n n ∴=+-=，则12n n a n -=⋅【小问2详解】22n n a n =，可知数列2n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公差的等差数列，可知数列(){}113n n +-⋅是以3为首项，3-为公比的等比数列，()()1131392713222n n n n T +⎛⎫⎡⎤=++++++-++-⋅ ⎪⎣⎦⎝⎭()13132221(3)n n n ⎛⎫+⎡⎤ ⎪--⎝⎭⎣⎦=+-- ()231311444n n n ⎡⎤--⎣⎦=++19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，AB BC ⊥．点M 在棱PB 上，2PM MB =，点N 在棱PC 上，223PA AB AD BC ====．（1）若2CN NP =，Q 为PD 的中点，求证：//NQ 平面PAB ；（2）若直线PA 与平面AMN 所成角的正弦值为23，求PN PC 的值．【答案】（1）证明见解析（2）13PN PC =【解析】【分析】（1）根据相似可得线线平行，即可由线面平行的判定求解，（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角，即可求解.【小问1详解】证明：过M 作BC 的平行线交PC 于H ，连接HD ，∴PM PH MH PB PC BC ==，又2PM MB = ，∴23PH PC =，13HC PC ∴=，又2CN NP =，NH PN HC ∴==，N ∴为PH 的中点，又Q 为PD 的中点，//NQ HD ∴，又223MH BC ==，又2AD =，//AD BC ， //AD MH ∴，且AD MH =，∴四边形MHDA 是平行四边形，//HD MA ∴，//NQ AM∴，NQ ∴⊄平面PAB ， AM ⊂平面PAB ，//NQ ∴平面PAB【小问2详解】以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0A ，0，0)，4(3M ，0，2)3，(0P ，0，2)．(2C ，3，0)，∴4(3AM = ，0，23，(0AP = ，0，2).(2PC = ，3，2)-，∴设(2PN PC λλ== ，3λ，)2)(01λλ-≤≤，∴(0AN AP PN =+= ，0，2)(2λ+，3λ，2)λ-，=(2,3λλ，22)λ-设平面AMN 的一个法向量为(n x = ，y ，)z ，则4203323(22)0n AM x z n AN x y z λλλ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=++-=⎩ ，令1x =，则2z =-，463y λλ-=，∴平面AMN 的一个法向量为(1n = ，463λλ-，2)-，设直线PA 与平面AMN 所成角为θ，sin |cos AP θ∴=<，2|||3||||AP n n AP n ⋅>===⋅ ，则13λ=13PN PC ∴=20. 如图，半径为1的光滑圆形轨道圆1O 、圆2O 外切于点M ，点H 是直线12O O 与圆2O 的交点，在圆形轨道1O 、圆2O 上各有一个运动质点P ，Q 同时分别从点M 、H 开始逆时针绕轨道做匀速圆周运动，点P ，Q 运动的角速度之比为2：1，设点Q 转动的角度为θ，以1O 为原点，12O O 为x 轴建立平面直角坐标系．（1）若θ为锐角且πsin 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求P 、Q 的坐标；（2）求PQ 的最大值．【答案】（1）724,2525P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；134,55Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2【解析】【分析】（1）由已知条件求出πcos 4θ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则利用正弦的两角和公式可求出ππsin sin 44θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，从而可得cos θ，sin 2,cos 2θθ的值，进而可求得P 、Q 的坐标；（2）根据题意得()cos 2,sin 2P θθ，()2cos ,sin Q θθ+，则()()222cos 2cos 2sin 2sin QP θθθθ=--+-，化简后利用二次函数的性质可求出其最大值.【小问1详解】因为θ为锐角，所以,444πππθ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭因为πsin 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以πcos 4θ⎛⎫-=== ⎪⎝⎭所以ππ4sin sin 445θθ⎡⎤⎛⎫=-+== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以3cos 5θ==，所以24sin 22sin cos 25θθθ==，27cos 22cos 125θθ=-=-，所以134,55Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，724,2525P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【小问2详解】因为点P ，Q 分别运动的角速度之比为2：1，所以当点Q 转动的角度为θ时，P 转动角度为2θ，因此()cos 2,sin 2P θθ，()2cos ,sin Q θθ+．()()222cos 2cos 2sin 2sin QP θθθθ=--+-2222cos 2cos 42cos 2cos 4cos 24cos sin 2sin 2sin 2sin θθθθθθθθθθ=++--+++-()62cos 2cos sin 2sin 4cos 24cos θθθθθθ=-+-+64cos 22cos θθ=-+28cos 2cos 10θθ=-++，所以当1cos 8θ=时，2PQ 取得最大值211818210888⎛⎫-⨯+⨯+= ⎪⎝⎭，所以PQ 的最大值为21. 已知椭圆222:1(1)x C y a a+=>的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆22:6270M x y x y +--+=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）若不过点A 的动直线l 与椭圆相交于P ，Q 两点，若2AP AQ k k =+，求证：直线l 过定点，并求出该定点坐标.【答案】（1）2213x y += （2）证明见解析，该定点坐标为()1,1--【解析】【分析】（1）根据直线与圆相切，由点到直线的距离公式即可求解，（2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，即可由斜率公式代入化简求解.【小问1详解】由题意()()0,1,,0A F c ，则直线AF 的方程为：0x cy c +-= 可知圆的标准方程为()()22313x y -+-=，，则22c =，又1b =，2223a b c ∴=+=，所以椭圆C 的方程为2213x y += 【小问2详解】设()()1122,,,P x y Q x y若直线PQ 斜率不存在，设x t =，则2213t y +=，120y y ∴+= 121211222AP AQ y y y y k k t t t t--+-+=+==-=，1t ∴=-直线PQ ：=1x -.若直线PQ 的斜率存在，设直线方程为()1y kx m m =+≠由2233x y y kx m⎧+=⎨=+⎩()222136330k x mkx m ⇒+++-= ()()222236413330m k k m ∆=-+-> 即22310k m +-> 由韦达定理12221226133313mk x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩ 1212112AP AQ y y k k x x --+=+=1212112kx m kx m x x +-+-+= ，即()()()12122210(1)k x x m x x m -+-+=≠ ()()()22233160k m m km ----⋅=，化简得1k m =+，的则直线PQ 方程为1y kx k =+-过定点()1,1--，综上，直线l 过定点()1,1--.22. 已知函数()222ln f x ax x x =--.（1）若()f x 在定义域内单调，求实数a 的取值范围；（2）若52a ≤，m ，n 分别为()f x 的极大值和极小值，求m n -的取值范围.【答案】（1）2a ≤（2）150,4ln 24⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）求出()()22220x ax f x x x-+-'=>，根据题意可知在()0,∞+上()0f x '≥恒成立或()0f x '≤恒成立，再根据二次函数2222y x ax =-+-开口向下，可得()0f x '≤恒成立，即22220x ax -+-≤恒成立，分离参数，从而可求得答案；（2）由（1）可得522a <≤，利用导数设()0f x '=的两根为12,x x ，不妨设1201x x <<<，利用韦达定理可求得1212,x x x x +，求得函数的极值，从而求得m n -关于12,x x 的表达式，令12x t x =，根据2122111722,4x x t a t x x ⎛⎫+=+=-∈ ⎪⎝⎭，求得t 的范围，再构造函数()12ln g t t t t =-+，利用导数求出函数()g t 的最值，即可得出答案.【小问1详解】解：()()22222220x ax f x a x x x x-+-'=--=>，因为()f x 在定义域内单调，所以在()0,∞+上()0f x '≥恒成立或()0f x '≤恒成立，即22220x ax -+-≥或22220x ax -+-≤恒成立，因为二次函数2222y x ax =-+-开口向下，故22220x ax -+-≥不可能恒成立，所以22220x ax -+-≤恒成立，即1a x x ≤+，因为12x x +≥，当且仅当1x x=，即1x =时，取等号，所以2a ≤；【小问2详解】解：由（1）可得，要使()f x 有极大值和极小值，则522a <≤，令()22220x ax f x x-+-'==，即210x ax -+=，设方程的两根为12,x x ，则有1212,1x x a x x +==，不妨设1201x x <<<，则当10x x <<和2x x >时，()0f x '<，当12x x x <<时，()0f x ¢>，所以函数()f x 在()10,x 和()2,x +∞上递减，在()12,x x 上递增，所以()()()()21,f x f x f x f x ==极大值极小值，即()2222211122ln 22ln m n ax x x ax x x -=-----()()()2221212122ln ln a x x x x x x =-----()22112ln x a x x x =--()()1212122lnx x x x x x =+-+222111222ln x x x x x x -=+2111222ln x x x x x x =-+，令()12,0,1x t t x =∈，因为()222121221212211212211722,4x x x x x x x x t a t x x x x x x +-+⎛⎫+=+===-∈ ⎪⎝⎭，则1174t t +≤，所以114t ≤<，令()112ln ,,14g t t t t t ⎡⎫=-+∈⎪⎢⎣⎭，则()222122110t t g t t t t-+-'=--+=<，所以函数()g t 在1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，所以()()114g g t g ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，即()1504ln 24g t <≤-，即150,4ln 24m n ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了导数的应用，函数的单调性及构造法的应用，函数最值的求法，考查了函数的极值问题，考查了学生的数据分析能力和逻辑推理能力，难度较大.。

贵州省毕节2022高三理科数学上学期12月联合考试试题pdf

考生注意：．贵州省毕节2022高三上学期联合考试数学（理科）1．本试卷分笫I卷（选择涎）和第11卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

么请将各题答案填写在答题卡上。

3．本试卷主要考试内容：高考全部内容。

第I卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中战氓尸项是符合题目要求的免费下载公众号《一个高中僧》2+i1．若复数z满足i z=－—，则z在复平面内对应的点位于l—!A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.已知集合A={yly=工2+—-—}，B=位|2x-1<7}，则AnB=工2+1A.[2,4)B.(2,4)C.[1.4)D.Cl,4)3．下图是2010年一2021年（记2010年为第1年）中国创新产业指数统计图，由图可知下列结论不正确的是中国创新产业指数统计图4-003503OO2502OO15010050I 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12A．从2010年到2021年，创新产业指数一直处于增长的趋势B.2021年的创新产业指数超过了2010年一3012年这3年的创新产业指数总和C. 2021年的创新产业指数比2010年的创新产业指数的两倍还要犬D.2010年到2014年的创新产业指数的增长速率比20口年到2021年的增长速率要慢4．在等比数列{a,，｝中，a1+a4=9,a1气＝72，则｛a n}的前5项和S尸A. 31B. 47C.63D.815．已知a>O，且a=f-=.l，函数f(x)＝｛工2-a x—6,x多2，是定义域内的增函数，则a的取值范围为矿－Sa，工＜2A.0,2)B.0,2]C.(2,3)D.[2,3) 6．已知l,m是两条不同的直线，a本是两个不同的平面，下列结论正确的是A．若i上m,m仁众，则l上a B．若llla,mCa，则L/lmC．若动依l亡心．mcp,，则吆m D．若L上a,m/压，则ll_mI高三数学第1页（共4页）理科】7.已知抛物线C:y z =—12x的焦点为F，抛物线C上有一动点P,Q(—4,2)，则IPFl+IPQI 的最小值为A.5B .6C.7D.8＆已知f釭一1)是定义域为R的奇函数，g(x)-:=i f(2x+3)是定义域为R的偶函数，则A. g(2)-:0B.g-{&)=-0C. /(3)=0D. /(5)=09．执行如图所示的程序框图，若输入的a,b,m分别为1,2,4，则输出的M =A.7B.16C.65D. 32110．在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图1，正三棱柱A B C-A1B心容器中注入了一定揽的水，若将侧面BCC1且固定在地面上，如图2所示，水面恰好为DEGF（水面与AB,A C,A1B 1,A心分别相交千D,E,F,G )，若将点A固定在地面上，如图3所示，当容器倾斜到某一位置时，水面恰好为A 1BC，则在图2中'ABB 图1图21 A .一范3B ．一3C 1B ,2一3c 瓦＿33D A 图11．已知e是自然对数的底数，a ＝（_!_计,b l ＝－,c =-ln ，则6 A.c<b<aB.a <b<cC.c<a<bD.h-za<c12.巳知双曲线C：今－斗＝l<a>O,b>O)的左、右焦点分别为F]（一r,0)，凡(c,O)士过点F 1的a b 直线l与双曲线C的左支交于点A ，与双曲线C的其中一条渐近线在第一象限交于点B，且IF1F2 I=2IOBI CO是坐标原点），现有下列四个结论:割BF]|＝✓矿－IBF卢＠若尥＝,-2 F,A ，则双曲线C的离心率为l ＋顶2;@IBF1 I-IB F 21>2a;@c-a<IAF1|＜必c-a.其中所有正确结论的序号为A . (D (Z) B.@@C .0@@第H 卷D .(D @@二、填空题、：本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置设息已知向延a =(2,－趴b =(4泣汃若1a+2bl = la-2bl，则m.=...巨茫了数学第2页（共4页）理科）14.已知少0，函数f(.r)＝范sin(2w:r＋奇）＋2cos2伍＋春）—l在(0，式上恰有3个零点，则Q的取值范围为�15．由6位专家组成的团队前往某地进行考察后站成一排拍照留念，已知专家甲和乙不相邻，则硕的站法有血种．16．正项等差数列{a n}的前n项和为S,/，若a i十吐＝32，则s9-a33的最大值为�三、解答题洪70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题书每个试题考生都必须作答．第22,23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17.(12分）2022年11月15日9时38分，长征四号丙运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞，随后将遥感三十四号03星送入预定轨道发射，大蛊观众通过某网络直播平台观看了发射全过程．为了解大家是否关注航空航天技术，该平台随机抽取了100名用户进行调查，相关数据如下表关注不关注男性用户35女性用户30合计n(ad-bc)2附：K2=(a+b)（c+d)位十c)(b+d),n=a+b+c+d.P(K梦减）如0_.10.2.906o.os3.'8410.0255.0240.0106.635合计501000.0057.879(t)补充表格数据并根据表中数据分别估计男、女性用户关注航空航天技术的概率；（纷能否有99.9％的把握认为是否关注航空航天技术与性别有关？18.(12分）丛ABC的内角A,B上所对的边分别为a,b,c，已知sin A=cos B.(1)若acos C=c，证明：2cos3A+cos2A=2cos A.(2)若cos B＝岛sin C,b=l，求6ABC的面积0.001 10.82819.(12分）如图，三棱柱ABC A1R1C1的底面ABC是正三角形，侧面ACC1儿是菱形，平面ACC1A1上平面ABC，比F分别是棱AtC1,BC的中点(1)证明上F//平面A历31儿．(2)若AC-=2,LACCr = 6Cf，它它＝2忒盓归肛戈B心与平面EFG 所成角的正弦值．20.(12分）A,/ c已知椭圆C：今＋斗x'-.. I y2 =l(a>b>O)与椭圆一十奇＝tz+fz = Ha>b>O).!jffii�f +f=1的离心率相同，点P（享，1）为椭圆C 上一点．(1)求椭圆C的方程(2)若过点Q (—,o)的直线l与椭圆C相交于A ,B两点，试问以AB为宜径的圆是否经过定3 点M?若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由21.(12分）已知函数f 釭）=.alh:r 十五-e z-(a>O).a(1)若＠＝1，证明：J（垃存在唯一的极值点．＠浩队迁丸0,1],f.(工.）<0，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生从第22,23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第......个题目计分22.［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C 1的方程为{::;:+t,(t为参数）．以坐标原点为极点，xm轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为p =2cos e.(1)求出C1的普通方程和G的直角坐标方程；(2)若G与G有公共点，求m的取值范围23.［选修4—5：不等式选讲］（10分）已知函数J(x)＝|缸-al+lx-3叫．(1)当a =l时，求不等式f （立¾4的解集；(2)若对任意艾eR,f位）＋1r-3a彦玉＋4恒成立，求a的取值范围．l.D 2.C数学参考答案（理科）2+ _ (2+i)(l i). 3 .v =-= <=-i(l-i) 2 2 12-i』『以口在复平面内对应的点位千第四象限因为r+－—-＝伲刊）十－——」亡＋1:r·十l］多2·1=1，当且仅当.1,、=0时，等号成立，所以A ={yly;?;:l}．又B＝国沪::::4;，所以A氓气1�4).3. B 由图可知，20-21年的创新产业指数低于2010年—2012年这3年的创新产业指数总和4.A 设{a ,,}的公比为q ，则a 4+a ?＝矿(a1+a 4)=9矿＝72，解得q=2.又a1+a4 =9a1 �9，所以a1=l,Ss =a1 (1-q 勺=31.1-q因为f(x )是定义域内的增函数，所以{a勹a 2-5a <—2a -2, 5. B解得1<卒之2.6.D若l..lm,m亡仪，则l与a的位置关系不确定，A不正确若l/／仪,mCa,则lllm或l与m异面，B 不正确若吵体lCa,mC/3，则lllm或l与m异面，C不正确若,m／压，则l_J_m,D正确7.C 记抛物线C的准线为l，作PT J_L于T（图略），当P,Q,T 三点共线时，IPFl +I PQI有最小俏，最小值为4+上=7.28. A 因为j位—l )是定义域为R的奇函数，所以f（-1)=0，则g(—2)=f(—l )=O.又g(x)是定义域为R 的偶函数，所以g(2)= g(-2J =O.9.C 当a r -l.,b -2,m=4,n =1时，1冬i.M-3,a. e:1趴妒3,n =2,2<4,M =7,a =3,b =7,n =3,3<4,M =16,a=7,{)=16.. n =4,4�4,M=6f ),a """ 16:,4b=65,n =5,5>4，程序结束，故输出的M=65.10. D l 2 如图趴记水的休积为V1，三棱柱的体积为V，则V1=1-V，所以在图2中，VADE -A廿C =—亿则$u1DE =33 伈～，则妞＝孕11.A 令函数f(x )=e 工—x -l，则f'(x )=e 工－1.当．-,,·E (0)，0)时J 1(x)<0,f位）单调递减，当x-E (O,4 +=）时，J'(x)>O, f (x）单调递增．故f(x )>J. �f(O )＝。

江苏省高邮市2025届高三数学上学期12月学情调研考试试题

2025届高三数学上学期12月学情调研考试试题测试时间: 120 分钟试卷满分: 150分一、选择题(本大题共8小题，每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. )1.已知集合A=,x∈R}，B= , 则A∩B= ( )A. [2,3]B. (2,3]C. {2,3}D.{3}2.“"m=-2”是“直线l1: mx+4y+4=0与直线l2: x+my+1=0平行”的 ( )A.允分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D，既不充分也不必要条件3.已知向量=(3,2),=(2m-1,3),若与其线，则实数m= ( )A.11/4B. 5C. 7/2D.14. (提示:邮中、一中做题①，其他学校做题②)①若椭圆号:+=1(a>b>0)的离心率为短轴长为6，则椭圆的焦距为( )A. 4B. 8C. 6D. 8②己知等比数列{a n,}满意a5-a1=8，a6-a4=24, 则a3= ( )A.3B. -3C. ID. -15.我们从商标中抽象出一个图象如图所示，其对应的函数解析式可能是f(x)= ( )A. B. C. D.6.半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为( )A.π:6B.π:2C.π:2D.5π:12.7.已知向量满意==1，=，=，若=λ(λ∈R)，则λ= ( )A.3B.-2C.3或-2D. -3或28.已知实数a,b,c∈(0,e)，且2a=a2，3b=b3, 5c=c5，则( )A. c<a<bB. a<c<bC. b<c< aD. b<a<c二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分.)9.已知i为虚数单位，复数Z满意Z(2+i)=i10，则下列说法正确的是( )A.复数的虚部为IB.复数Z的共轭复数为 -C.复数z的模为D.复数在复平面内对应的点在其次象限.10.已知正实数a,b满意a+b=2，则下列不等式恒成立的是( )A. ab≤lB.+≥3+2 c.+≥ D. lna.lnb≤011.已知互不相同的两条直线m，n和两个平面a,β，下列命题正确的是( )A.若m//a, a∩β=n, 则m//nB.若m⊥a,n⊥β,且m⊥n，则a⊥βC.若m⊥a,n//B, 且m⊥n，则a//βD.若m⊥a,n//β，且m//n，则a⊥β12.下列关于L型椭圆C:x2+=1的几何性质描述正确的是( )A.图形关于原点成中心对称B.-4≤y≤4C.其中一个顶点坐标是(0,-2)D.曲线上的点到原点的距离最大值为2三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. )13.已知圆C: x2+y2=4,直线l:y=kx-k+1,(k∈R),则直线I被圆C截得的最短弦长为______________14.已知cos()=,a∈(0, )，则sina =______________15.甲、乙两名运动员在羽毛球场进行羽毛球竞赛，已知每局竞赛甲胜的概率为P，乙胜的概率为1-p,且各局竞赛结果相互独立.当竞赛实行5局3胜制时，甲用4局赢得竞赛的概率为.现甲、乙进行7局竞赛,实行7局4胜制，则甲获胜时竞赛局数x的数学期望为_____________16.在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f(x)= lnx的图象上的动点，该图象在P处的切线l交x轴于点M，过点P作l的垂线交x轴于点N，设线段MN的中点的横坐标为t，则t的最大值是_____________四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )17. (本小题满分10分)已知函数f(x)= Asin(x+)(A>0，>0,| |<)的部分图象如图.(1) .求函数f(x)的解析式;(2).将函数f(x)的图象上全部点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数g(x)的图象，当πx∈[-,π]时，求g(x)值域.18. (本小题满分12分) (提示:邮中、一中做题①，其他学校做题②)①已知椭圆C:+=1(a>b>0)上的点到左、右焦点F1、F2的距离之和为4，且右顶点A到右焦点F2的距离为1.(1)求椭圆C的方程;(2)直线y= kx与椭圆C交于不同的两点M，N,记MNA的面积为S,当S=3时求k的值.②设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n满意4S n=(a n +1)2(1)证明数列{a n}为等差数列，并求其通项公式;(2)求数列{a n .3n}的前n项和T n19. (本小题满分12分)击鼓传花，也称传彩球，是中国民间嬉戏，数人或几十人围成圆圈坐下，其中一人拿花(或一小物件);另有一人背着大家或蒙眼击鼓(桌子、黑板或其他能发出声音的物体)，鼓响时众人起先传花(依次不定)，至鼓停止为止，此时花在谁手中(或其座位前)，谁就上台表演节目，某单位组织团建活动，9人一组，共9组，玩击鼓传花，(前五组)组号x与组内女性人数y统计结果如表: .x 1 2 3 4 5y 2 2 3 4 4(1)女性人数)与组号x (组号变量x依次为1, 2, 3, 4, 5, ... 具有线性相关关系，请预料从第几组起先女性人数不低于男性人数;（参考公式：）(2)在(1) 的前提下，从9组中随机抽取3组，若3组中女性人数不低于5人的有X组，求X的分布列与期望.20. (本小题满分12分)已知在平面四边形ABCD中，AB=1, BD=2, BC=，DB为∠ADC的角平分线(1)若cosA=，求BDC的面积;(2)若CD-AD=4，求CD长.21. (本小题满分12分)如图，在四棱台ABCD- A1B2C2D1中,底面为矩形，平面AA1D1D⊥平面C1CD,D，且CC1=CD= DD1.=2(1)证明: A1D1⊥平面CC1D.D1(2)若A1C与平面CC1D1D所成角为，求锐二面角C-AA1-D的余弦值.22. (本小题满分12分)己知函数f(x)= xe mx (其中e 为自然对数的底数)(1)探讨函数f(x)的单调性;(2)当m=1时，若f(x)≥lnx+ ax:+ 1恒成立，求实数a的取值范围.参考答案1. D2.A3.A4.C5.B6.C7.C8.A9.CD 10.ACD 11.BD 12.ACD13. 22 14.1010 15.9728/2187 16.)1(21e e + 17.解：（1）由图象可知， 2A =，. .........1分周期453123T πππ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，2||ππω∴=，0>ω，则2ω=， ..........3分从而()2sin(2)f x x ϕ=+，代入点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，得5sin 16⎛⎫+=⎪⎝⎭πϕ，则5262k ππϕπ+=+，k Z ∈，即23k πϕπ=-+，k Z ∈，又||2ϕπ<，则3πϕ=-，. .........5分()2sin 23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭， ..........6分（2）由题意可得)6sin(2)(π-=x x g ..........8分],6[ππ-∈x ]65,3[6πππ-∈-∴x]2,3[)(-∴的值域为x g ..........10分18.①（1）解：由题意42=a ，2=a ..........1分又右顶点A 到右焦点2F 的距离为1，即1=-c a ，所以1=c ..........2分则b ==..........3分所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=...........4分（2）解：设1122(,),(,)M x y N x y ，且2OA = 依据椭圆的对称性得122121111222AMNSOA y OA y OA y y y y =⋅+⋅=⋅-=-，..........7分联立方程组22143y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得223(4)12y k +=，解得y = ..........9分因为AMN 的面积为3，可得334122||2221=+=-k k y y ，解得23±=k ...........12分 18.②解：（1）()()()22-1-14=14=12n n n n S a S a n +∴+≥，()()22114411n n n n S S a a --∴-=+-+ 2211422n n n n n a a a a a --∴=-+- ()()1120n n n n a a a a --∴+--=()10,22n n n a a a n ->∴-=≥所以数列{}n a 为等差数列，11,1,21n n a a n ==∴=-.--------------------6分（2）()()()12211333213313233213nn n n n T n T n n +=⨯+⨯++-⋅=⨯++-⋅+-⋅()()2123233213n n n T n +∴-=+⨯++--⋅()()21131323221313n n n T n -+⨯-∴-=+⨯--⋅-()122236n n T n +∴-=-⋅-，()1133n n T n +∴=-⋅+-----------------------12分19.（Ⅰ）由题可得()11234535x =⨯++++=，∑=∧==++++=5151,3544322i i i y x y 522222211234555i i x ==++++=∑．则2.136.03,6.055512251=⨯-=-==--=∧∧==∧∑∑x b y a xxy x yx b i ii ii …………4分31952.16.0,2.16.0≥≥++=∴∧x x x y 时，当 ∴预料从第7组起先女性人数不低于男性人数．…………6分（Ⅱ）由题可知X 的全部可能取值为0，1，2，3，215)0(3936===C C X P 2815)1(391326===C C C X P 143)2(392316===C C C X P 841)3(3933===C C X P …………10分则X 的分布列为1)(=∴X E …………12分20. (1)在三角形ABD 中，由41cos =A 得415sinA = 由正弦定理可得ADB AB A BD ∠=sin sin ,即ADBA ∠=sin 1sin 2 所以815sin 21sin ==∠A ADB ...............2分因为DB 为ADC ∠的角平分线，所以815sin sin =∠=∠ADB CDB ，故87sin 1cos 2=∠-=∠CDB CDB在三角形BCD 中由余弦定理得CDB DB CD DB CD BC ∠⋅⋅-+=cos 2222所以030722=--CD CD ,解得舍）或(256-==CD CD . ..............5分所以41538152621sin 21=⨯⨯⨯=∠⋅⋅=∆CDB DB DC BDC S ...............6分 (2) 设4,-==x AD x CD 则在三角形ABD 中由余弦定理可得)4(414)42cos 2222--+-=⋅-+=∠x x DB DA AB DB DA ADB （在三角形CDB 中由余弦定理可得xx DB DC CB DB DC CDB 41942cos 2222-+=⋅-+=∠ ...............9分因为CDB ADB ∠=∠cos cos所以xx x x 4194)4(414)4(22-+=--+-，解得舍）或(256==x x综上所述CD 的长为6. ...............12分21.（1）如图，在梯形D D CC 11中，因为2211111====D C DD CD CC ，作11DH D C ⊥于H ，则11=H D ，所以11cos 2DD H ∠=，所以113DD C π∠=，连结1DC ，由余弦定理可求得321=DC ，因为2221111DC DD D C +=，所以11DC DD ⊥，因为平面11AA D D ⊥平面D D CC 11且交于1DD ，所以1DC ⊥平面11AA D D ，…………2分因为AD ⊂平面11AA D D ，所以1AD DC ⊥，因为AD DC ⊥，1DCDC D =，所以AD ⊥平面D D CC 11；…………4分（2）连结11AC ，由（1）可知，11A D ⊥平面D D CC 11，以1D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，因为11A D ⊥平面D D CC 11，所以1AC 在平面D D CC 11内的射影为1D C ，所以1AC 与平面D D CC 11所成的角为11ACD ∠，即113A CD π∠=，在11Rt ACD △中，因为321=C D ，所以611=D A ，…………6分则()10,0,0D ，)0,0,6(1A ，)3,1,0(D ，)3,3,0(C ，)0,4,0(1C ，所以)3,1,0(1=D D ,)0,0,6(11=A D ，)0,4,6(11-=C A ，)3,3,6(1-=C A 设平面11AA D D 的法向量为(),,m x y z =，则有11100m D D m D A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即，⎩⎨⎧==+0603x z y令3y =，则0x =，z =，故(0,3,m =，…………8分设平面11AAC C 的法向量为(),,n a b c =，则有11100n A C n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即⎩⎨⎧=++-=+-0336046c b a b a ,令2a =，则3b =，c =(2,3,3n =，…………10分所以6cos ,23m n m n m n⋅===，故锐二面角1C AA D --…………12分 22.解：（1）()()'1mxf x mx e =+①0m =，()f x 在R 上单调增；②0m >，令()'10f x x m ==-，，()()'1,,0,x f x f xm ⎛⎫∈-∞-< ⎪⎝⎭单调减 ()()'1+,0,x f x f x m ⎛⎫∈-∞> ⎪⎝⎭，单调增； ③0m <，()()'1,,0,x f x f x m ⎛⎫∈-∞-> ⎪⎝⎭单调增11 ()()'1+,0,x f x f x m ⎛⎫∈-∞< ⎪⎝⎭，单调减.------------- -------------3分（2）由题意知ln 1x x a e x +≤-在()0+∞，上恒成立()2'2ln 1ln (),x x x x e xg x e g x x x ++=-=，令()2ln xh x x e x =+()()'212x h x x x e x =++，()()()'0,,0,x h x h x ∈+∞>单调增()121110,10e h e h e e e ⎛⎫=⨯-<=> ⎪⎝⎭，()001,1,0x h x e ⎛⎫∃∈= ⎪⎝⎭使，即()'00g x = ()()()'00,,0,x x g x g x ∈<单调减；()()()'00,,0,x x g x g x ∈>单调增 ()()000min 0ln 1x x g x g x e x +∴==-，0020000011ln 0,ln x x x e x x e x x +=∴=令()111,ln ln x m x xe m x x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭则，()()0+m x ∞在，上单调增 000011ln ,x x e x x ∴=∴=，0000000ln 111()=1x x x g x e x x x +-+∴=--= 1a ∴≤--------------------------12分。

2021-2022年高三上学期第一次调研数学(理)

2021-2022年高三上学期第一次调研数学（理）本试卷共22小题，共150分，共4页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。

1. 已知集合{0,1,2},{|11,}M N x x x Z ==-≤≤∈，则 A. B.C.D.2. 函数()sin()(0)6f x x πωω=+>的最小正周期为，则的值是A. B. C. D. 3. 若函数同时满足下列两个条件，则称函数为“函数”：（1）定义域为的奇函数；（2）对，且，都有.有下列函数：①；②；③；④其中为“函数”的是A ．①B ．②C ．③D ．④4. 如果平面向量，那么下列结论中正确的是A. B. C. D. ∥5. 设是公差不为零的等差数列的前项和，且，若，则当最大时，A ．6B ．7C ．10D ．96. 已知是不共线的向量，,(,),AB a b AC a b R λμλμ=+=+∈若三点共线,则的关系一定成立的是 A ．B ．C ．D ．7. 已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是，则A.B.C.D. 或18.在中，已知32,4b c a A ===，则的面积是 A ． B ． C ．D ．9. 函数在区间上的图像大致是10. 边上有10个不同点, 记，则 A. B. C.11. 已知数列满足，若从中提取一个公比为的等比数列，其中且12,*n n k k k k N <<<∈，则公比的最小值为A. B. C.D.12. 在中，，其面积为，则的取值范围是 A. B. C.D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13. 设函数，则 .14. 向量(cos10,sin10),(cos70,sin70)a b =︒︒=︒︒，．15. 斐波那契数列，又称黄金分割数列, 因意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例而引入，1210故又称为“ 兔子数列”：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……，其递推公式为：(1)(2)1,()(1)(2)(2,*)F F F n F n F n n n N ===-+->∈，若此数列每项被4除后的余数构16. 已知函数的定义域为，若对于任意的，存在唯一的，使得成立，则称在上的算术平均数为，已知函数，则在区间上的算术平均数是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知是等比数列，满足，，数列是首项为，公差为的等差数列．（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和．18．（12分）海上某货轮在处看灯塔在货轮的北偏东，距离为海里；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为海里；货轮向正北由处行驶到处时看灯塔在货轮的北偏东. （1）画出示意图并求处与处之间的距离；（2）求灯塔与处之间的距离.19．（12分）已知，且51sin(),tan 1322ααβ+==．（1）求的值；（2）证明：．20．（12分）已知，数列满足111,()(*)n n a a f a n N +==∈ （1）求证：是等差数列；（2）设，求的前项和 21．（12分）已知函数（1）若函数在处的切线过点，求的值；（2）当时，若函数在上没有零点，求的取值范围.22．（12分）设函数()ln ,()(2)2()2f x x g x a x f x a ==--+- （1）当时，求函数的单调区间；（2）设()|()|(0)1bF x f x b x =+>+，对任意都有，求实数的取值范围.参考答案一、选择题：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CABCBDAABDCD二、填空题：13. -2; 14. ; 15. 1 ; 16. 2三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）解：（1）设等比数列的公比为．由题意，得，．所以．……………3分又数列是首项为，公差为的等差数列，所以．从而．……………5分（2）由（Ⅰ）知数列的前项和为．……………7分数列的前项和为．……………9分所以，数列的前项和为．………10分18．（12分）解：由题意画出示意图，如图所示.-----------------2分（1）中，由题意得，由正弦定理得(海里). -------7分（2）在中，由余弦定理，2222222cos302422483CD AD AC AD AC=+-⨯︒=+-⨯⨯=⨯故(海里).所以处与处之间的距离为24海里；灯塔与处之间的距离为海里. --12分19．（12分）解：（1）因为，所以22tan42tan31tan2ααα==-----------------------3分所以22sin4,(0,)cos32sin cos1απαααα⎧=⎪∈⎨⎪+=⎩，解得------------------------------------6分另解：22222222221cos sin1tan1()32222cos cos sin1225cos sin1tan1()2222ααααααααα---=-====+++（2）由已知得，又所以12cos()13αβ+==------------------------------------8分又------------------------9分sin sin[()]sin()cos cos()sinβαβααβααβα=+-=+-+531246312()1341556513=⨯--⨯=>-----------------------12分20．（12分）解：(1)由已知得1111111(),1,11nn nn n n n naa f aa a a a a+++==∴=+∴-=+---------------4分∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n是公差为1的等差数列．--------------------------------------------6分（2）因为，所以111(1)1,nnn n aa n=+-⨯=∴=--------------------------------8分231222322n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯ （1）234121222322n n S n +=⨯+⨯+⨯++⨯（2） ---------------------------------10分（2）-（1）：23122222n n n S n +=-----+⨯ -------------------------------------------11分1112222(2)2n n n n n +++=-+⨯=+-⨯即： ------------------------------------------------12分 21．（12分）解：（1）(),(0)1x f x e m k f m ''=-==- ------------------------------------------2分因为所以切点为 ------------------------------------------3分所以切线方程为， ------------------------------------------5分过点，所以 -------------------------------------------6分（2）当时，无零点, 方程无实根函数无公共点 ---------------------------8分如图,当两函数图象相切时,设切点为所以切线方程为, ------------------10分过点(0,0),此时,所以 --------------------------------------12分22．（12分）解：（1）当时，定义域为 -------------------------------------------------3分当时，单调递减当时，单调递增综上，的递减区间是，递增区间是 ---------------------------------5分（2）由已知1211221212()()()[()]10,0F x F x F x x F x x x x x x -+-++<<-- 设，则在上单调递减 --------------------------------7分①当时，，所以21()ln ,()101(1)b bG x x x G x x x x '=++=-+≤++整理：222(1)1(1)33x b x x x x x+≥++=+++设则在上恒成立，所以在上单调递增，所以最大值是， ---------------10分 ②当时，所以21()ln ,()101(1)b bG x x x G x x x x '=-++=--+≤++整理：222(1)1(1)1x b x x x x x+≥-++=+--设则在上恒成立，所以在上单调递增，所以最大值是综上，由①②得： --------------------12分w{29278 725E 牞s31957 7CD5 糕34552 86F8 蛸+23474 5BB2 宲36253 8D9D 趝39910 9BE6 鯦aK Dm。