6第六章 系统的频域分析及其应用
第六章信号与系统的时域和频域特性
x(t)e j0t X ( j( 0 )) ——移频特性
7. Parseval 定理:
若 x(t) X ( j) 则
x(t) 2 dt 1 X ( j) 2d
2
这表明:信号的能量既可以在时域求得,也可以
在频域求得。由于 X ( j) 2表示了信号能量在频域的 分布,因而称其为“能量谱密度”函数。
yt由于的傅氏变换就是频率为的复指数信号通过由于的傅氏变换就是频率为的复指数信号通过lti系统时系统对输入信号在幅度上产生的影响所以称其为系统的系统时系统对输入信号在幅度上产生的影响所以称其为系统的频率响应
4.5 周期信号的傅里叶变换:
( The Fourier Transform for periodic signals ) 至此,周期信号用傅里叶级数、非周期信号用傅里
若 x(t) X ( j) 则
dx(t) jX ( j) (可将微分运算转变为代数运算) dt
t (将 x(t) 1 X ( j)e jtd 两边对 微分即可证明)
2
t x( )d 1 X ( j) X (0) ()
j
——时域积分特性
cos 0t
1 [e j0t 2
e
j0t
]
X ( j) [ ( 0 ) ( 0 )]
X ( j)
0 0 0
例3: x(t) (t nT ) n
x(t)
X ( j)
(1)
t
2T T 0 T 2T
( 2 ) T
根据卷积特性,在频域有: Y ( j) X ( j)H ( j) • 频域分析的步骤:
控制工程基础课件第六章 频率特性分析
G
j
arctan
1
n 2
n2
当=0时,G j 1,G j 0;
当=n时,G j 2,G j 90; 当=时,G j ,G j 180。
二阶微分环节的极坐标图也于阻尼比有关,对应不同的 ξ值,形成一簇坐标曲线,不论ξ值如何,当ω=0时,极 坐标曲线从(1,0)点开始,在ω=∞时指向无穷远处。
第6章 频率特性分析
本章介绍线性系统的频域分析方法。该方法是通 过控制系统对正弦函数的稳态响应来分析系统性能的。
频率特性不仅能反映系统的稳态性能,也可用来 研究系统的稳定性和动态性能。
6.2 频率响应与频率特性
一、频率特性的概念
1、频率响应:是系统对正弦输入的稳态响应。
2、频率特性:给线性系统输入某一频率的正弦波,
1 1 jT
G j 1 U jV
1 jT
1
1 T 22
j T 1 T 22
A e j
实频特性为U 虚频特性为V
1; 1+T 2 2
T。 1+T 2 2
幅频特性为A 1 ;
1 T 22
相频特性为 G j arctanT
特殊点:
当=0时,G j 1,G j 0; 当=1/T时,G j 1 ,G j 45;
取拉氏变换为: Xi s
A
s2
2
电路的输出为: X0 s G s Xi s 上式取拉氏反变换并整理得
1A Ts 1 s2 2
x0 t
AT 1 T2
e t/T
2
A sin t arctan T
1 T2 2
x0 t
AT 1 T2
e t/T
2
A sin t arctan T
系统的频域分析
第六章系统的频域分析1、内容提要在连续时间系统频域分析中,首先介绍了连续系统的频率响应的概念,系统零状态响应的频域求解方法。
然后介绍了两类典型系统——无失真传输系统和理想滤波器。
2、学习目标通过本章的学习,应达到以下要求:(1)掌握连续系统特性的频域表示。
(2)掌握连续系统响应的频域分析,重点掌握正弦稳态响应的特点。
(3)掌握无失真系统与理想低通滤波器的特性。
(4)熟练掌握和灵活应用抽样定理。
(5)能够利用MATLAB进行连续系统的频域分析。
3、重点难点1、无失真传输系统的概念,求解无失真传输系统的频域响应。
2、理想滤波器以及低通、高通、带通和带阻滤波器的概念,冲激信号和阶跃信号通过理想滤波器的频域响应。
3、抽样定理及其应用。
4、应用非周期信号频域分析的MATLAB实现5、教案内容1. 连续时间系统的频响特性从上面的分析可见,虚指数信号()jwt e t -∞<<∞作用与LTI 系统时,系统的零状态响应仍为同频率的虚指数信号,虚指数信号幅度和相位由系统的频率响应()()()()j H j H j e h t ϕωωω=()H j ω确定,所以()H j ω反映了连续LTI 系统对不同频率信号的响应特性。
在一般情况下,系统的频率响应()H j ω是复值函数,可用幅度和相位表示为()H j ω称为系统的幅度响应,()ϕω称为系统的相位响应,当()h t 是实函数时,()H j ω是ω的偶函数,()ϕω是ω的奇函数。
2. 连续时间系统响应的频域分析由虚指数信号()jwt e t -∞<<∞作用于LTI 系统响应的特点,可以推出正弦信号作用在系统的稳态响应和任意信号作用在系统上的响应。
正弦信号作用在系统上的稳态响应为任意信号()f t作用在系统上的零状态响应()f t ()y t 为显然,系统响应()y t 的频域表示式为即信号()f t 作用于系统的零状态响应的频谱等于激励信号的频谱乘以系统的频率响应,上式也可以利用Fourier 变换的时域卷积定理直接得出。
6第六章 系统的频域分析及其应用
y f (t ) = e
jω t
h (t ) =
∫
∞ ∞
e
j ω ( t τ )
h (τ ) d τ= e
jω t
∫
e jωτ h (τ ) d τ
= e jω t H ( j ω )
其中
H ( jω ) =
∫
∞ ∞
e jωτ h (τ ) d τ
H ( j ω ) 称为系统的频率响应
e jω t 作用于LTI系统时,系 上式说明 说明, 作用于LTI系统时, LTI系统时 上式说明,虚指数信号
第六章 系统的频域分析及其应用 ——傅里叶分析
连续时间系统的频率响应 连续信号通过系统响应的频域分析 无失真系统与理想低通滤波器 抽样与抽样定理 调制与解调 离散时间系统的频域分析
回忆是美好的:
时域分析的要点是,以冲激函数为基本信 号,任意输入信号可分解为一系列冲激函数; 而系统零状态响应 f(t) = x(t)*h(t)。 零状态响应y 零状态响应 由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为 单位冲激响应,简称冲激响应,记为h(t)。
零输入响应:没有外加激励作用,只有起始状态 零输入响应:没有外加激励作用, 起始时刻系统储能)所产生的响应作用。 (起始时刻系统储能)所产生的响应作用。 零状态响应:不考虑起始时刻系统的储能作用 零状态响应: 起始状态等于零), ),由系统的外加激励信号所 (起始状态等于零),由系统的外加激励信号所 产生的响应。 产生的响应。
连续LTI系统
T {e jωt } = H ( jω )e jωt
y f (t )
由LTI均匀性,即等式两边同乘一个常数,等式仍然成立
1 1 j ωt T { F ( jω )e } = F ( jω ) H ( jω )e jωt 2π 2π
第六章 系统的频域分析及其应用 6-2
2) 系统的相位响应()在整个频率范围内应与成正比。
一、无失真传输系统
3 失真原因
1)幅度失真:系统对信号中各频率分量产生的衰 减程度不同,使得频率分量的幅度产生相对变化, 从而产生失真。 2)相位失真:系统对信号中各频率分量产生的相 移与频率不成比例,使各频率分量在时间轴上的 相对位置发生变化,从而引起信号相位失真。
例1 已知一LTI系统的频率响应为 H ( j) 1 j
1 j
(1) 求系统的幅度响应|H(j)|和相位响应(),
并判断系统是否为无失真传输系统。
(2) 当输入为f(t)=sint+sin3t (<t<) 时,求系统的稳态响应。
解:
2
f (t) 1
输入和输出
0
信号的波形
-1 y (t)
-2
0
1. 理想低通滤波器的冲激响应
h(t)
1 2π
H ( j)e
jωt dt
1 2π
c
c
e jωtd e jωtdt
h(t)
wc
h(t)
c
π
Sa[c
(t
td
)]
t
td
td
π c
π td c
三、理想低通滤波器
1. 理想低通滤波器的冲激响应
分析: 1) h(t)的波形是一个取样函数,不同于输入信
号d(t)的波形,有失真。
刻t = 0延迟了一段时间td 。td是理想低通滤波 器相位特性的斜率。
3) h(t)在 t<0 的区间也存在输出,可见理想低通滤 波器是一个非因果系统,因而它是一个物理不 可实现的系统。
三、理想低通滤波器
信号与系统第6章系统的频域分析(6学时)详解
6.1 连续非周期信号通过系统响应的频域分析 6.2 连续周期信号通过系统响应的频域分析 6.3 无失真传输系统与理想滤波器 6.4 时域抽样与抽样定理
6.1 连续非周期信号通过系统响应的频域分析
连续系统的频率响应 微分方程描述的LTI系统响应 电路系统的响应
一、连续系统的频率响应
Y (j ) F(j)
2j 3 =2- 1 j 2 j 2
h(t) 2(t) e2t u(t)
二、微分方程描述的LTI系统响应
n阶连续LTI系统的数学模型用微分方程描述如下:
any(n)(t)
an
y(n
1
1)(t)
a0y(t)
bmx(m)(t)
bm
x(m
1
1)(t
)
利用时域微分特性可得
结论: (1)正、余弦信号作用于LTI系统时,其输出的零 状态响应y(t)仍为同频率的正、余弦信号。
(2)输出信号的幅度y(t)由系统的幅度响应|H(j0)|
确定
(3)输出信号的相位相对于输入信号偏移了(
例1 已知一连续时间系统的频率响应如图所示,
输入信号时,x(t) 5 3cos2t cos4t t
H ( j) 1 j 1 j
(1) 求系统的幅度响应|H(j)|和相位响应(),
并判断系统是否为无失真传输系统。
解:(1) 因为
H (j )
1 1
j j
= (1 j)2
= 1-2
(1 j)(1 j) 1+2
-j
2 1+ 2
所以系统的幅度响应和相位响应分别为
H ( j) 1 () 2 arctan()
h(t) 1 e(1/ RC)t u(t) RC
离散时间信号和系统的频域分析
离散时间信号和系统的频域分析离散时间信号与系统是研究数字信号与系统的频域分析,其中离散时间信号是对连续时间信号进行采样得到的,而离散时间系统是对连续时间系统进行离散化得到的。
频域分析是对信号与系统在频率域上的特性进行研究和分析。
对于离散时间信号,其离散化的过程是将连续时间信号在时间轴上进行均匀采样,得到指定的采样间隔,得到离散时间序列。
在频域上,其频谱是周期性的,并且频谱是以单位圆为单位周期的。
频域分析的目的是研究离散时间信号在频率域上的特性,包括频谱范围、频率分辨率、功率谱密度等。
离散时间信号的频域分析可以通过离散时间傅里叶变换(DTFT)来实现。
DTFT是信号在频域上的完全变换,将一个离散时间信号映射到一个连续的频率域函数。
DTFT是一个复数函数,表示信号在不同频率上的振幅和相位。
频谱的振幅可以表示信号在该频率上的能量大小,相位可以表示信号在该频率上的相对位置。
除了DTFT之外,还可以使用离散傅里叶变换(DFT)进行频域分析。
DFT是DTFT的一种计算方法,可以将离散时间信号转换为有限的频域信号。
DFT的计算是通过对离散时间信号进行有限长的时间窗口进行采样,并进行频域变换得到的。
DFT的结果是一个离散的频域信号,也称为频谱。
DFT通常使用快速傅里叶变换(FFT)算法来快速计算。
离散时间系统的频域分析主要是通过系统的频率响应函数来实现。
频率响应函数是系统在不同频率上对信号的响应情况的描述。
对于线性时不变系统,其频率响应函数是系统的传递函数的傅里叶变换。
频率响应函数拥有类似信号的频谱特性,可以描述系统对不同频率的信号的增益和相位。
频域分析在离散时间信号与系统中有着广泛的应用。
首先,频域分析可以帮助我们理解信号的频率构成和能量分布情况,有助于对信号进行合理的处理和分析。
其次,频域分析可以快速计算离散时间系统的响应,能够有效地评估系统的性能和稳定性。
此外,频域分析还可以进行滤波器设计、信号压缩、信号重构等应用。
陈后金《信号与系统》(第2版)名校考研真题(系统的频域分析)
第6章系统的频域分析一、选择题1.选择题已知信号f(t)的最高频率,则对信号取样时,其频谱不混叠的最大取样间隔等于()。
[北京交通大学研]A.B.C.D.【答案】A【解析】信号f(t)的最高频率为,根据Fourier变换的展缩特性可得信号的最高频率为(Hz),再根据时域抽样定理,可得对信号取样时,其频谱不混叠的最大取样间隔2.下列说法中正确的是()。
[东南大学研]A.罗斯—霍维茨准则也能判断离散系统的稳定性B.信号经调制后带宽一定增加C.抽样频率必须是信号最高频率的2倍以上才不产生混叠D.积分器是线性运算,不改变信号的带宽【答案】AD【解析】本题考查信号与系统的综合应用。
罗斯霍维茨准则是稳定性判定准则,信号经调制后带宽不一定增加,有时只是频谱的搬移,积分运算是累加运算,也即线性运算,抽样频率必须是信号最高频率的2倍或者2倍以上才不产生混叠。
因此选择AD。
3.系统的幅频特性和相频特性如图6-1(a)、(b)所示,则下列信号通过该系统时,不产生失真的是()。
[西安电子科技大学研]A.B.C.D.【答案】B【解析】由系统的幅频特性和相频特性可知:若输入信号的频率均处于之间,既不产生幅度失真又不产生相位失真。
只有(B)满足这一条件。
图6-1二、填空题1.已知一连续时间LTI系统的频响特性该系统的幅频特性相频特性是否是无失真传输系统______。
[北京交通大学研] 【答案】否【解析】由于的分子分母互为共轭,故有所以系统的幅度响应和相位响应分别为由于系统的相位响应不是的线性函数,所以系统不是无失真传输系统。
三、解答题1.某因果数字滤波器的零、极点如图6-2所示,并已知其H(π)=-1试求:图6-2(1)它的系统函数H(z)及其收敛域,且回答它是IIR、还是FIR的什么类型(低通、高通、带通、带阻或全通)滤波器;(2)写出图6-2(b)所示周期信号x[n研]的表达式,并求其离散傅里叶级数的系数;(3)该滤波器对周期输入x[n研]的响应y[n研]。
系统的频域分析方法
0
C C
式中:C 为通带截止频率, t0 相位斜率(或群时延)。
这样的理想低通滤波器对激励信号低于 C 的频率分量
可以无失真传输(幅度均匀放大,时延),而高于 C
的频率分量则被全部抑制。
34
理想低通的单位冲激响应为
h t 1 C e jt0 e jtd
2 C
1
2
1
e jtt0
f t
1
f t 无失真传 yt
y t
输系统
k
0
t
0
t
t0
图2-30
21
设激励信号为 f t ,响应为 yt ,则系统无失真时, 输出信号应为
yt kf t t0
其中k 是系统的增益,t0 是延迟时间,k 与 t0 均为常数。 由上式得到理想传输系统的时域不失真条件
(1) 幅度乘以 k 倍; (2) 波形滞后 t0 。
(2) y1t、y2 t 有无失真?若有指出为何种失真。
25
H
2 1
4030
30
0
/2
26
解:由图2-31可知该系统的振幅、相位函数为
2
H
1
0
20 20 40
其它
/ 2 30
/ 60 30
/ 2 30
由振幅、相位函数可知只有输入信号在 0 20 或
求系统的频响函数。
解
H
j
5
1 j
1 j
e
j
2
5 1 e j2 j
例2-14 求图2-26零阶保持电路的频响函数。
f t
x t
1 t x d
T
y t
延时T
第6章信号与系统控制的频域分析法
▪ 系统的频域分析法则以虚指数信号 e j t 作为基本信号,对 LTI系统进行分析。
▪ 系统的频域分析法如图6.2-35所示。
f (t)
LTI 系统
yf (t)
-1
F ( j)
GH ( j)
Y f ( j)
图6.2-35 系统的频域分析法
▪ 利用时域分析中,LTI系统的零状态响应 Yf (t)可通过外作
6.1.2 频域分析法的特点
1)明确的物理意义——信号的频谱分析,揭示了信号的基本组成 和能量的主要分布;系统控制的频域分析,则明确了系统的基 本滤波性能。
2)图解与渐近逼近——信号的“离散”或“连续”频谱,非常直 观、明析;系统控制的 Bode图则可以快速、渐近画出,且容易 修正、逼近,因而具有简单、形象、基本准确的特点。
“信号的频域(频谱)分析”利用信号的频率特性,将 周期信号分解为一系列不同频率的正弦信号(序列)或虚指 数信号(序列)的叠加;将非周期信号分解为相应信号(序 列)的频谱函数的积分。这种分解具有明显的物理意义,在 通信、控制等工程实际中得到了广泛应用。
“系统控制的频域分析”是一种图解法,可以渐近画出 系统的频率特性曲线,具有简单、形象、快速的特点;不仅 可以利用系统的开环频率特性(Bode图)去判断系统的闭环 性能,而且能够方便地分析系统参量对系统暂态响应的影响, 确定改善系统性能的方法与途径。系统的频域特性具有明确 的物理意义,可以用实验方法测定;可以通过实验帮助解决 数学建模问题。
6.1 频域分析法及其特点
▪ 6.1.1 什么是频域分析法 ▪ 6.1.2 频域分析法的特点
6.1.1 什么是频域分析法
频域分析法( 傅立叶 —— J.Fourier, 1768~1830 )是 一种变换域分析方法,是三大工程分析方法中最重要、最常 用的方法。所谓频域分析,即在频率域(简称频域)内分析、 研究信号与系统控制的问题,包括“信号的频域(频谱)分 析”和“系统控制的频域分析”两方面。
第6章离散信号与系统的频域分析
1 N
N1
e
j
2 kn N
N
k
e
2 ) n N1 1 ( ) N
1 e
j
2 n N
2 1 sin[ ( N1 )n] 1 N 2 n 0, N , 2 N , N sin( )n N 2 N1 1 n 0 , N , 2 N , N 7
1 2
n
( 2 n)
(k ) 1
j sin Sgn( k ) 1 cos
1 ( k ) [1 sgn(k ) (k )] 2
1 F [ ( k )] ( 2 n) j 1 e n
o (a) 2 ( - ) 2
k
- 2
o (b)
2
21
2013年8月13日8时9分
6.2 非周期信号的离散时间傅里叶变换 6.2.2 常用信号的离散时间傅里叶变换
6. 正负号函数Sgn(k)
Sgn ( k ) 1
1 k 0 Sgn( k ) 0 k 0 1 k 0
2013年8月13日8时9分
第6章 离散信号与系统的频域分析 学习目标:
学习本章,要求掌握离散信号的傅立叶级数和傅立叶变 换。了解离散系统的频域分析方法。
学习重点:
离散信号的傅立叶级数(DFS); 离散信号的傅立叶变换(DTFT); 离散傅里叶变换(DFT) 快速傅立叶变换(FFT); 离散系统的频域分析方法。
Fe
n
j
2 kn N
5
2013年8月13日8时9分
6.1 周期信号的离散时间傅里叶级数 6.1.1 离散时间傅里叶级数(DFS) 2 2 j kn j kn 1 N 1 Fn f (k )e N f (k ) Fn e N N k 0 n
信号与系统的频域分析
三、Fourier级数系数的对称性质:
• 1、偶函数:f(t) =f(-t)
4 a n f t cos(n1 t )dt T bn 0 an 2 Fn f t cos(n1 t )dt 2 T
T 2 0
T 2 0
2、奇函数:f(t) =-f(-t)
an 0 4 b n f t sin(n1 t )dt T T jb n 2 2 Fn j f t sin(n1 t )dt 2 T 0
xt g t dt 0
i
• (i为任意正整数),则此函数集称为完备正 交函数集。
四、信号的分解
Y
• A=c1x+c2y+c3z • X,y,z,为单位向量 若{ ri(t) }为n维正 交函数集
y x
z Z
A
X
.f(t)=c1.r1(t)+ c2.r2(t)+ c3.r3(t)+…..+ cn.rn(t)
§3-1
信号的正交分解
f1 t cf 2 t
• 一、正交函数:
若
t1 , t 2
•确定使方均误差最小的系数C:
2 t2 1 2 t t1 f1 t cf 2 t dt t 2 t1 2 t2 d2 d 1 t1 f1 t cf 2 t dt dc dc t 2 t 1
二、奇异信号:
1. t 1
重要推论:
•
2、常数1
e
j xy
dy 2 x
1 2
3、符号函数:(sign function)
1 t 0 sgnt 1 t 0 2 j F 0 0 0
信号与系统课件--第6章 离散信号与系统的频域分析
fN(k)2 1nN F(ej n0)ej0n
k 0
09.01.2021
f(k)21 2F(ej)ejkd
信号与系统
第6章 离散信号与系统的频域分析
f (k) 1 F(ej)ejkd
2 2
F(ej)
f (k)e jk
k
f (k)
k
09.01.2021
F(ej)F(ej)ej()
信号与系统
1
F (ej)
1-a
F (ej) 1 1+a
1 1+a
1 1-a
- 2
-
o
- 2
-
o
arctan
a 1-a 2
arctan
a
1-a 2
- 2
-
o
- arctan
a
1-a 2
09.01.2021
(a )
- 2
-
o
图 6.2-2 akε(k)及其频谱
- arctan
a
1-a 2
信号与系统
(b )
(6.1-11)
n=0, ±N, ±2N, …
第6章 离散信号与系统的频域分析
据式(6.1 - 11)就可画出f(k)的频谱图,但此频谱图的绘制比较
困难。为了更方便地绘制f(k)的频谱图,我们采用与连续时间
矩形脉冲信号频谱绘制相似的方法, 先分析Fn的包络。 为
此,将(6.1 - 11)式中的 2 n 用连续变量ω来代换, 即有 N
2
第6章 离散信号与系统的频域分析 5. f(k)=1
2 12 n ( 2 n) e j k d 2 1 () e j k d 2 1
由此可见, 1
对应的离散时间傅里叶变换为 (2n) ,因
信号与系统--系统的频域分析及其应用
Ionic conductances
synapses (es)
+
Chemical synapses (cs)
Gion1 Gion2
Gionm
Ges1 Ges2
Gesn
Gcs1, 1 Gcs1, 2
Gcs1, p
Gcsn, 1 Gcsn, 2
Gcsn, p
CM
++
+
++
+
++
+
++
+
Iex
Eion1 Eion2
例1 已知实信号f(t)的最高频率为fm (Hz), 试计算对各信号f(2t), f(t)*f(2t), f(t)f(2t)抽样不混叠的最小抽样频率。
解: 根据信号时域与频域的对应关系及抽样定理得: 对信号f(2t)抽样时,最小抽样频率为 4fm(Hz);
对f(t)*f(2t)抽样时,最小抽样频率为 2fm(Hz);
信号与系统
Signals and Systems
国家精品课程主教材、北京市精品教材 《信号与系统》(第2版)
陈后金,胡健,薛健 清华大学出版社,北京交通大学出版社,2005年
系统的频域分析及其应用
连续时间系统的频率响应 连续信号通过系统响应的频域分析 无失真系统与理想低通 抽样与抽样定理 调制与解调 离散时间系统的频域分析
F( jw)
1
Fs( jw)1 T
n
F[ j(w
nws
)]
w
wm 0 wm
ws 2.5wm Fs ( jw)
F[j(wws)]
1
T F(jw)
信号与系统频域分析的简单应用
《信号与系统》读书报告(2014 / 2015 学年第一学期)题目:频域分析在信号中的应用专业学生姓名班级学号频域分析在信号中的应用任意信号可以表示成一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和,连续信号与系统的频域分析就是将时间变量变换为频率分量的分析方法,这种方法以傅立叶变换理论为工具,将时间域映射到频率域,揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与频率特性之间的关系,从而得到信号和系统的频谱、宽带以及无失真传输等重要概念。
下面就简要分析一下频域分析给我们带来的好处及其应用。
一. 关于计算一般情况下,系统的频域分析相比于时域分析更加简单方便,例1.若系统的微分方程为)(')(6)('5)("t x t y t y t y =++,已知,)()(t e t x t ε-=试求系统的零状态响应。
解:(1)利用频域分析法求解零状态响应)(t y zs65)()(2++=ωωωωj j j H )3)(2(11)()()(++⋅+==ωωωωωωωj j j j H X Y32322121+-++++-=ωωωj j j )(]23221[)(32t e e e t y t t t zs ε----+-=∴在本题求解零状态响应的过程中可以明显体现出频域分析法的的优势,无需求解微分方程,只需对信号进行两次简单的时域到频域的变换。
如果使用时域分析法则需要先求解冲激响应,再求解卷积积分,相当的麻烦。
二.频域分析而且在物理上更为直观,即通过频域分析,我们很容易发现系统对信号做了什么样的手脚(具体来说,就是,系统对信号各个频率分量做了怎样的处理)。
比如在信号的无失真传输以及滤波方面。
1.无失真传输从时域来看,无失真传输的条件是指响应与激励相比只有幅度大小和出现时间先后的不同,而波形没有变化)()(d t t Kx t y -=。
从频域来看d t je KX Y ωωω-=)()(系统函数d tj j Ke X Y e H H ωωθωωωω-===)()()()()( dt j K H ωωθω-==)(相位频谱)(幅度频谱无失真传输系统应满足的两个条件:通频带为无穷大)1( 成正比相频特性与)2(ω2.关于理想滤波器理想滤波器能在某一频带内无畸变地传输信号并阻止其它的频谱分量通过。
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解此代数方程即可求得零状态响应的频谱Yf (jω)。
bm ( jω ) m + bm 1 ( jω ) m 1 + + b1 ( jω ) + b0 Y f ( jω ) = F ( jω ) n n 1 an ( jω ) + an 1 ( jω ) + + a1 ( jω ) + a0
一、连续非周期信号通过系统响应的频域分析
在研究LTI系统时,复指数信号的重要性 系统时, 在研究 系统时 在于这样一个事实, 一个LTI系统对复 在于这样一个事实,即:一个 系统对复 指数信号的响应也是同样一个复指数信号, 指数信号的响应也是同样一个复指数信号, 不同的只是在幅度上的变化 也就是说: 只是在幅度上的变化。 不同的只是在幅度上的变化。也就是说:
1
二、周期信号通过系统响应的频域分析
1. 正弦信号通过系统的响应
f (t ) = sin (ω0t + θ ), ∞ < t < ∞
由Euler公式可得
f (t ) = 1 j (ω0t +θ ) j (ω0t +θ ) (e e ) 2j
由虚指数信号ejωt作用在系统上响应的特点及系统的 线性特性,可得零状态响应y(t)为
Yf (jω)= H(jω) F(jω) H(jω)称为系统的频率响应 系统的频率响应,定义为 系统的频率响应
H ( jω ) = ∫
∞
∞
e
jωτ
h(τ )dτ
或
H ( jω ) =
Y f ( jω ) F ( jω )
H ( jω ) =| H ( jω ) | e jθ (ω )
系统的幅频特性 H(jω)的物理意义: 系统的相频特性
H(jω)反映了系统对输入信号不同频率分量的传输特性。 反映了系统对输入信号不同频率分量的传输特性。 反映了系统对输入信号不同频率分量的传输特性
4.H(jω)与h(t)的关系 与 的关系
由H(jω)的定义,显然有
H ( jω ) = F [h(t )]
即H(jω)等于系统单位冲激响应h(t)的Fourier变换
故系统的零状态响应yf (t)的频谱函数Yf (jω)为
3( jω ) + 4 Y f ( j ω ) = F ( jω ) H ( jω ) = ( jω + 1)( jω + 2)( jω + 3)
1 t 5 3t 2t y f (t ) = F [Y f ( jω )] = [ e + 2e e ]u (t ) 2 2
傅里叶分析是以正弦信号和虚指数信号 为基本信号, 任意” 为基本信号,“任意”输入 信号可分解为一系列不同频率的正弦信号 或虚指数信号之和。 或虚指数信号之和。
1 f (t ) = 2π
e
jω t
∫
∞
∞
F ( jω ) e
jω t
dω
这里用于系统分析的独立变量是频率 频率, 这里用于系统分析的独立变量是频率, 故称为频域分析 频域分析。 故称为频域分析。
∞ ∞
y f (t ) = e
jω t
h (t ) =
∫
∞ ∞
e
j ω ( t τ )
h (τ ) d τ= e
jω t
∫
e jωτ h (τ ) d τ
= e jω t H ( j ω )
其中
H ( jω ) =
∫
∞ ∞
e jωτ h (τ ) d τ
H ( j ω ) 称为系统的频率响应
e jω t 作用于LTI系统时,系 上式说明 说明, 作用于LTI系统时, LTI系统时 上式说明,虚指数信号
y f (t ) = e
jω t
h (t )
f (t ) = e
jω t
Yf (jω)= H(jω) F(jω) 请同学们思考:上面的结论我们可以通过以前的知识得出吗? 请同学们思考:上面的结论我们可以通过以前的知识得出吗?
3.连续系统的频率响应H(jω)的定义与物理意义 连续系统的频率响应 的定义与物理意义
统的零状态响应仍为同频率的虚指数信号, 统的零状态响应仍为同频率的虚指数信号,虚指数信 号幅度和相位由系统的频率响应H(jw)确定。所以H(jw) 号幅度和相位由系统的频率响应H(jw)确定。所以H(jw) H(jw)确定 反映了连续LTI系统对不同频率信号的响应特性。 LTI系统对不同频率信号的响应特性 反映了连续LTI系统对不同频率信号的响应特性。
连续系统的频率响应
虚指数信号ejωt(-∞<t<∞)通过系统的 虚指数信号e 响应 任意非周期信号通过系统的响应 系统频响 jω)的定义与物理意义 系统频响H(j 的定义与物理意义 H(jω)与h(t)的关系 与 的关系 计算 jω) 的方法 计算H(j
LTI系统对复指数信号的响应 LTI
方程两边进行Fourier变换,并利用时域微分特性,有
[an ( jω ) n + an 1 ( jω ) n 1 + + a1 ( jω ) + a0 ] Y f ( jω ) = [bm ( jω ) m + bm 1 ( jω ) m 1 + + b1 ( jω ) + b0 ] F ( jω )
∫
∞
∞
1 F ( j ω ) e dω } = 2π
jω t
∫
∞
∞
F ( j ω ) H ( j ω ) e j ωt d ω
即
1 y f (t ) = T { f (t )} = 2π
∫∞
∞
F ( j ω ) H ( jω ) e j ω t d ω
Yf (jω)
Yf (jω)= H(jω) F(jω) 上式的物理意义: 作用于系统的零状态响应的频谱等 上式的物理意义: f(t)作用于系统的零状态响应的频谱等 于激励信号的频谱乘以系统的频率响应。 于激励信号的频谱乘以系统的频率响应。 系统把频谱为F(j 的输入改变成频谱为H(j 系统把频谱为 ω) 的输入改变成频谱为 ω) F(jω) 的 响应,改变的规律完全由H(j 决定。 响应,改变的规律完全由 ω) 决定。
பைடு நூலகம்
连续非周期信号通过系统响应的频域分析 连续周期信号通过系统响应的频域分析 正弦信号通过系统的响应 任意周期信号通过系统的响应
一、连续非周期信号通过系统响应的频域分析
1.已知描述系统的微分方程
an y ( n ) (t ) + an 1 y ( n 1) (t ) + + a1 y (t ) + a0 y (t ) = bm f ( m ) (t ) + bm 1 f ( m 1) (t ) + + b1 f (t ) + b0 f (t )
( jω ) 2 Y f ( jω ) + 3 jωY f ( jω ) + 2Y f ( jω ) = F ( jω )
由定义可求得
H ( jω ) = Y f ( jω ) F ( jω )
1 = ( jω ) 2 + 3( jω ) + 2
[例2]已知某LTI系统的冲激响应为h(t)=(e-t-e-2t)u(t),求系 统的频率响应H(jω)。
连续时间LTI系统: e 系统: 连续时间 系统 对于傅里叶分析:
y f (t ) = e jωt h(t )
st
s= jω
= e jωt H ( jω )
→ H (s )e
st
下面,我们从卷积积分和卷积和推到一下上述结论:
1.虚指数信号ejωt(∞<t<∞)通过连续系统的零状态响应 虚指数信号 ∞ 通过连续系统的零状态响应
第六章 系统的频域分析及其应用 ——傅里叶分析
连续时间系统的频率响应 连续信号通过系统响应的频域分析 无失真系统与理想低通滤波器 抽样与抽样定理 调制与解调 离散时间系统的频域分析
回忆是美好的:
时域分析的要点是,以冲激函数为基本信 号,任意输入信号可分解为一系列冲激函数; 而系统零状态响应 f(t) = x(t)*h(t)。 零状态响应y 零状态响应 由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为 单位冲激响应,简称冲激响应,记为h(t)。
[例1]已知某LTI系统的动态方程为y"(t)+3y'(t)+2y(t)=3f '(t)+4f(t), 系统的输入激励f(t)=e3tu(t),求系统的零状态响应yf (t)。 [解] 由于输入激励f(t)的频谱函数为
1 F ( jω ) = jω + 3
系统的频率响应由微分方程可得
3( jω ) + 4 3( jω ) + 4 H ( jω ) = = 2 ( jω ) + 3( jω ) + 2 ( jω + 1)( jω + 2)
y (t ) = 1 H ( jω0 )e ( jω0t +θ ) H ( jω0 )e ( jω0t +θ ) 2j
5.计算H(jω) 的方法 计算
由系统的动态方程式直接计算; 由系统的冲激响应的傅立叶变换计算; 由电路的零状态频域电路模型计算。
[例1]已知某LTI系统的动态方程为y"(t)+3y'(t)+2y(t)=f(t), 求系统的频率响应H(jω)。 解:利用Fourier变换的微分特性,微分方程的频域 表示式为
零输入响应:没有外加激励作用,只有起始状态 零输入响应:没有外加激励作用, 起始时刻系统储能)所产生的响应作用。 (起始时刻系统储能)所产生的响应作用。 零状态响应:不考虑起始时刻系统的储能作用 零状态响应: 起始状态等于零), ),由系统的外加激励信号所 (起始状态等于零),由系统的外加激励信号所 产生的响应。 产生的响应。