回归分析曲线拟合
回归分析(曲线拟合)算法探究
4.致 谢
本课题是在冉老师的细心指导下完成的，冉老师老 师严谨求实的治学态度，务实的科研作风，诲人不倦的 学者风范，丰富的专业知识使我受益终生。谨向冉老师 表示深深的敬意和由衷的感谢。
最后感谢分析教研室的各位老师，谢谢四年来的悉 心教导!
a bex 1 a bex y
Y a bx
y ab x
y a bx
这里我们介绍三次样条函数插值算法研究现有若干测 试点（X0，Y0）、（X1，Y1）、……（Xn，Yn）， 在区间[X0，Yn]内的每一段都是三次多项式，设其为 S（X）,此为样条函数。三次样条函数一般能保证所 绘曲线处处光滑。插值数据有时会使所绘制曲线发生 曲折或不连续，因此三次样条函数插值法在分析化学 的数据处理中被广泛应用。由于三次差值的方法算法 复杂，我们在这里不做介绍，只做最后的结果评定.
S型曲线 平方根曲线拟合
多项式拟合 根据因变量自变量取值
直线拟合 曲线拟合
退出
功能
给出自变量值 给出因变量值 给出X坐标名称 给出Y坐标名称 提供拟合类型 提供三次样条函数插值 提供最小二乘法 提供对数拟合 提供双曲线拟合 提供指数拟合 提供S型曲线 提供平方根曲线拟合 提供多项式拟合 绘制拟合曲线 做直线拟合 做曲线拟合
3.2 VisualBasic编程语言的程序设计 表二 主要控件的属性值表
对象 Text1. Text2 Text3 Text4 Frame1 Option1 Option2 Option3 Option4 Option5 Option6 Option7 Option8 Picture1 Command1 Command2 Command3
第十二章 回归分析要点
-131-
第十二章 回归分析
前面我们讲过曲线拟合问题。曲线拟合问题的特点是，根据得到的若干有关变量的一组数据，寻找因变量与（一个或几个）自变量之间的一个函数，使这个函数对那组数据拟合得最好。通常，函数的形式可以由经验、先验知识或对数据的直观观察决定，要作的工作是由数据用最小二乘法计算函数中的待定系数。从计算的角度看，问题似乎已经完全解决了，还有进一步研究的必要吗?
从数理统计的观点看，这里涉及的都是随机变量，我们根据一个样本计算出的那些系数，只是它们的一个（点）估计，应该对它们作区间估计或假设检验，如果置信区间太大，甚至包含了零点，那么系数的估计值是没有多大意义的。另外也可以用方差分析方法对模型的误差进行分析，对拟合的优劣给出评价。简单地说，回归分析就是对拟合问题作的统计分析。
具体地说，回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题：
（i ）建立因变量y 与自变量m x x x ,,,21 之间的回归模型（经验公式）； （ii ）对回归模型的可信度进行检验；
（iii ）判断每个自变量),,2,1(m i x i =对y 的影响是否显著；
（iv ）诊断回归模型是否适合这组数据；
（v ）利用回归模型对y 进行预报或控制。
§1 多元线性回归
回归分析中最简单的形式是x y 10ββ+=，y x ,均为标量，10,ββ为回归系数，称一元线性回归。它的一个自然推广是x 为多元变量，形如
m m x x y βββ+++= 110 (1)
2≥m ，或者更一般地
)()(110x f x f y m m βββ+++= （2）
生物统计学课件--17曲线拟合(回归)
n
2
必须用 SSe yi yˆi 来计算，
i1
不可以用 SSe SSy SSx2y / SSx 来计算。
可以对一组数据尝试进行多种拟合，找出SSe最小，其为最好的拟合曲线。
X` 0.8573 0.8976 1.0719 1.2279 1.0792 1.2718 1.2765 1.3054 1.3385 1.3560
序号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X 22.9 23.1 23.3 23.6 23.8 27.0 27.6 28.6 30.7 31.4 Y 44.6 36.6 35.1 44.4 44.1 43.9 48.3 48.5 46.3 50.4 X` 1.3598 1.3636 1.3674 1.3729 1.3765 1.4314 1.4409 1.4564 1.4871 1.4969
X 与 lgy 的分布近似于线性分布，做线性回归：
lg y lg a x lg b, y` a`b`x
解：x 192 , x 27.4286 , SSx 147 .7143 y` 10.981, y` 1.5687 , SSy` 2.0925 SSxy` x y`x y`/ n 17.4510 b` SSxy` 17.4510 0.1181 SSx 147.7143 a` y`b`x 1.5687 0.1181 27.4286 1.6706
回归拟合曲线
回归拟合曲线
回归拟合曲线是一种数据分析方法，用于确定数据之间的关系模式。它可以帮助我们预测未来的趋势和变化。本文将介绍回归拟合曲线的基本概念、常见的回归方法以及如何使用这些方法进行曲线拟合。
回归拟合曲线是通过找到最佳拟合线来描述两个或多个变量之间的关系。拟合曲线可以是线性的，也可以是非线性的。线性回归使用一条直线来拟合数据，而非线性回归使用其他类型的函数来拟合数据。回归分析通常用于预测一个变量的值，基于已知的自变量值。
在回归拟合曲线中，有两个主要的变量：自变量和因变量。自变量是我们用来预测因变量的变量，而因变量是我们想要预测的变量。我们假设自变量能够解释因变量的变化。回归分析的目标是找到自变量和因变量之间的关系，并使用这种关系来预测未来的因变量。
回归分析有很多不同的方法，包括线性回归、多项式回归、指数回归等。线性回归是最简单的回归方法之一，它使用一条直线来拟合数据。线性回归的基本原理是找到一条直线，使得这条直线与数据点的距离最小。这种方法被广泛应用于各种领域，例如经济学、统计学和工程学等。
多项式回归是一种非线性回归方法，它使用多项式函数来拟合数据。它可以适应各种曲线形态，并能更好地拟合非线性数据。多项式回归的原理是在数据中添加多项式项，使得拟合曲线能够更好地适应数据点。通过选择合适的多项式次数，我们可以调整曲线的形状和适应性。
指数回归是一种应用较广泛的非线性回归方法，它使用指数函数来拟合数据。指数回归在研究生长速度、衰变速度等方面非常有用。指数回归的原理是将因变量和自变量取对数，使拟合曲线变为线性形式。然后使用线性回归分析来获得最佳拟合直线。
第八章 曲线拟合、回归和相关分析
相关的概率解释
总体相关系数提供了给定的总体回归曲线是否较好 地拟合了总体数据地一种度量。前面关于样本间相 关的各种叙述均可以很好地用到总体上。
可解释的变差 E[(Yest Y ) ] ＝ 总变差 E[(Y Y ) 2 ]
2 2
回归的抽样理论
样本回归方程y=a+bx，而总体的回归方程 y=+x。下面是与正态分布有关的一些检验： 1 假设=c的检验 为了检验假设：回归系数等于某一特定值c，使 用统计量 b
2 s y. x n 1 [n( x0 x) 2 / s x ]
有n-2个自由度的t分布。由此能求得预报得总体值 得置信限
2 预报的平均值的假设检验 设y0是x=x0时y的预报值，它是从样本回归方程得到 的估计，即y0=a+bx0。设y p记对总体而言对应x=x0的y 的预报平均值，那么统计量
t
s y. x / s x
n2
它具有n-2自由度的t分布。此结论也可用于从样本 值求总体回归系数的置信区间
2 预报值的假设检验 设y0是x=x0时y的预报值，它是从样本回归方程得到 的估计，即y0=a+bx0。设yp记对总体而言对应x=x0的y的 预报值，那么统计量
t
( y0 y p ) n 2
1 假设＝0的检验 使用下列事实：统计量
t
r n2 1 r
第九2章曲线拟合
第九2章曲线拟合
曲线拟合Curve fitting
医学研究中X和Y的数量关系常常不是线性的，如毒物剂量与动物死亡率，人的生长曲线，药物动力学等，都不是线性的。如果用线性描述将丢失大量信息，甚至得出错误结论。
此时可以用曲线直线化估计（Curve estimation）或非线性回归(Nonlinear regression) 方法分析。
曲线直线化估计的步骤
绘制散点图，根据图形和专业知识选取曲线类型（可同时选取几类）
按曲线类型，作曲线直线化变换
建立直线化的直线回归方程；作假设检验，计算决定系数
将变量还原，写出用原变量表达的曲线方程比较决定系数选取“最佳”曲线方程
曲线形式
（根据生物学机制理论决定）
常见的曲线回归方程
②对数：
)ln(?X b a Y +=①幂函数：b a X e Y =?或)ln()?ln(X b a Y
+=③指数函数：bX a e Y +=?bX a Y
+=)?ln(④多项式：
n n X b X b X b a Y ++++= 221?)1/(1?bX a e Y --+=或⑤logistic ：bX a Y Y
+=-)]?1/(?ln[或
一、利用线性回归拟合曲线（例1）例某医科大学微生物学教研室以已知浓度X 的免疫球蛋白A(IgA, μg/ml)作火箭电泳, 测得火箭高度Y(mm)如下表所示。试拟合Y 关于X 的非线性回归方程。Y ?X Y X'＝lnX (lnX)2 Y 2 (lnX)Y
残差平方0.2 7.6 -1.6094 0.4 12.3 -0.9163 0.6 15.7 -0.5108 0.8
多元线性回归与曲线拟合
第十章：多元线性回归与曲线拟合――
Regression菜单详解〔上〕
回归分析是处理两个及两个以上变量间线性依存关系的统计方法。在医学领域中，此类问题很普遍，如人头发中某种金属元素的含量与血液中该元素的含量有关系，人的体外表积与身高、体重有关系；等等。回归分析就是用于说明这种依存变化的数学关系。
§10.1Linear过程
10.1.1 简单操作入门
调用此过程可完成二元或多元的线性回归分析。在多元线性回归分析中，用户还可根据需要，选用不同筛选自变量的方法〔如：逐步法、向前法、向后法，等〕。
例10.1：请分析在数据集Fat surfactant.sav中变量fat对变量spovl的大小有无影响？
显然，在这里spovl是连续性变量，而fat是分类变量，我们可用用单因素方差分析来解决这个问题。但此处我们要采用和方差分析等价的分析方法--回归分析来解决它。
回归分析和方差分析都可以被归入广义线性模型中，因此他们在模型的定义、计算方法等许多方面都非常近似，下面大家很快就会看到。
这里spovl是模型中的因变量，根据回归模型的要求，它必须是正态分布的变量才可以，我们可以用直方图来大致看一下，可以看到基本服从正态，因此不再检验其正态性，继续往下做。
10.1.1.1 界面详解
在菜单中选择Regression==>liner，系统弹出线性回归对话框如下：
除了大家熟悉的内容以外，里面还出现了一些特色菜，让我们来一一品尝。
【Dependent框】
用于选入回归分析的应变量。
【Block按钮组】
由Previous和Next两个按钮组成，用于将下面Independent框中选入的自变量分组。由于多元回归分析中自变量的选入方式有前进、后退、逐步等方法，如果对不同的自变量选入的方法不同，则用该按钮组将自变量分组选入即可。下面的例子会讲解其用法。
二元回归曲线拟合
二元回归曲线拟合
二元回归曲线拟合是一种常见的统计分析方法，用于研究两个变量之间的关系。它是回归分析的一种特殊形式，适用于当因变量和自变量都是二元变量时。
在进行二元回归曲线拟合时，首先需要确定一个适合的回归模型。常用的回归模型包括线性回归、多项式回归、指数回归等。选择适当的回归模型取决于变量之间的关系以及数据的分布特征。
一旦确定了回归模型，接下来就是利用已有数据对模型进行拟合。拟合的目标是使模型与观测数据之间的误差最小化，即找到最佳拟合曲线。常用的拟合方法包括最小二乘法、最大似然估计等。
进行二元回归曲线拟合后，可以通过模型来预测因变量的取值。这对于研究变量之间的相互作用、预测未来趋势等具有重要意义。此外，还可以利用拟合结果来评估模型的拟合优度，例如决定系数（R-squared）、残差分析等。
二元回归曲线拟合在实际应用中有着广泛的应用。例如，在金融领域，可以利用二元回归曲线拟合来研究股票市场和利率之间的关系。在医学领域，可以利用该方法来研究药物疗效和剂量之间的关系。在环境科学领域，可以利用二元回归曲线拟合来分析污染物的浓度和环境因素之间的关系。
总之，二元回归曲线拟合是一种有效的统计分析方法，用于研究两个二元变量之间的关系。通过选择适当的回归模型和进行拟合，我们可以得到准确的拟合曲线，并利用拟合结果进行预测和评估。这一方法在各个领域都有着广泛的应用，为我们提供了更深入的数据分析和决策支持。
wps计算回归函数和回归拟合曲线值
wps计算回归函数和回归拟合曲线
值
WPS是一款功能强大的办公软件，其中的计算模块和分析工具为用户提供了丰富的数据处理能力。特别是对于统计分析方面的需求，WPS提供了多种回归函数和回归拟合曲线值的计算方法。本文将介绍WPS中的回归分析功能，以及如何计算回归函数和拟合曲线值。
一、回归分析
回归分析是一种统计学的分析方法，主要用于预测模型的建立和数据分析。回归分析根据自变量和因变量之间的关系，来预测未来或者未观测到的因变量值。在WPS 中，我们可以使用回归分析功能，进行数据处理。
回归分析功能在WPS的数据分析功能中，可以通过点击“数据”菜单栏中的“数据分析”来打开。在数据分析对话框中，选择“回归”选项，即可打开回归分析窗口。
二、计算回归函数
在回归分析窗口中，“输入变量”一栏需要填写自变量所在的数据区域；“输出变量”一栏需要填写因变量所在的数据区域。WPS支持多元回归分析，即可以同时分析多个自变量和一个因变量的关系。此时，“输入变量”一栏可以填写多列数据区域，以逗号隔开即可。
在回归分析窗口中，我们可以选择不同的回归模型，如线性回归、多项式回归、指数回归、对数回归等。WPS中提供了多种求解器，可以选择最小二乘法、最大似然估计、非线性最小二乘法等方法，计算回归系数和截距。
回归分析结果的窗口中会显示出回归系数和截距，以及R方值、p值、标准误差等统计数据。回归系数表示自变量的变化在因变量中产生的影响程度，截距则表示当自变量为0时因变量的值。
根据回归系数和截距，我们可以计算出回归函数。例如，在线性回归中，回归函数为y = kx + b，其中k为回归系数，b为截距。在WPS中，我们可以使用函数公式编辑器，直接输入回归函数的表达式，并依据计算结果中的回归系数和截距值，对表达式做出填写。
s-n曲线拟合法
s-n曲线拟合法
前面的s-n曲线拟合法和p-o-
和t-d曲线拟合法虽然对实际计算有一定的指导意义，但在工程实际中，为了尽可能得到与实际更接近的仿真结果，需要通过对试验数据进行各种各样的数学分析，将实测数据转化成近似值或理论上允许的误差范围内。因此，很多学者提出了多种拟合方法，如：多元回归法、回归直线法、判别函数法等，这些方法的特点是适用于特定的研究问题，难以全面反映数据分布的情况。为了综合评价多种拟合方法的性能，提高解决实际问题的能力，本文提出了“ s-n曲线拟合法”和“ p-o-t曲线拟合法”这两种新的拟合方法，并用文献[1]的数据进行了实例仿真，结果表明：“ s-n曲线拟合法”具有较好的性能，而且精度也不错。
1.初始数据准备，根据公式计算已知参数，应该注意已知参数取值的局限性。
2.对参数的敏感性分析：由于样本数据的不同，对某些参数的影响程度不同，为了降低研究人员因分析数据带来的主观偏见，引入敏感系数，即定义敏感系数=1-b/a，如：对参数k，如果m=k(1-b/a)，则说明参数k对数据没有太大的影响，则在建立回归模型时可以忽略其影响;相反，如果m<k(1-b/a)，则说明参数k对数据有较大的影响，就必须加以修正。
3.估计参数：经过回归分析后，我们应该利用分析结果，估计或计算参数的值。
4.检验模型的合理性及检验系数是否合适。
5.对分析结果进行修改，删除无关的自变量，增加所需要的自变量，进行最终拟合，从而完成整个模型的建立。
6.分析拟合的参数与实际参数的差异。
7.进行简单的拟合调整。二、分析拟合法的优缺点，适用于哪些情况，有什么优点，有什么不足，如何使用。三、根据拟合法的研究目的、步骤和原理，举出你熟悉的应用案例，并对案例进行详细的描述。第一章介绍了本文提出的“ s-n 曲线拟合法”和“ p-o-t曲线拟合法”，并简要介绍了常用的回归方法的基本原理，包括一元线性回归分析、多元线性回归分析、多项式回归分析、非线性回归分析、曲线拟合法和多项式拟合法。第二章介绍了一个典型的试验数据，用s-n曲线拟合法建立了一个自变量为6个、因变量为4个的二元线性回归模型，并对拟合效果进行了检验。
spss曲线拟合与回归分析
曲线拟合与回归分析
1、有10个同类企业的生产性固定资产年平均价值和工业总产值资料如下：
企业编号生产性固定资产
价值(万元) 工业总产值（万元）
1 318 524
2 910 1019
3 200 638
4 409 815
5 415 913
6 502 928
7 314 605
8 1210 1516
9 1022 1219
10 1225 1624
合计6525 9801
（1）说明两变量之间的相关方向；
（2）建立直线回归方程；
（3）计算估计标准误差；
（4）估计生产性固定资产（自变量）为1100万元时的总资产（因变量）的可能值。
解：由表格易知：工业总产值是随着生产性固定资产价值的增长而增长的，而知之间存在正向相关性。
用spss回归有：
（2）、可知：若用y表示工业总产值（万元），用x表示生产性固定资产，二者可用如下的表达式近似表示：
567
.
395
896
.0+
=x
y
（3）、用spss回归知标准误差为80.216（万元）。
（4）、当固定资产为1100时，总产值可能是（0.896*1100+395.567-80.216~0.896*1100+395.567+80.216）即（1301.0~146.4）这个范围内的某个值。
另外，用MATLAP也可以得到相同的结果：
程序如下所示：
function [b,bint,r,rint,stats] = regression1
x = [318 910 200 409 415 502 314 1210 1022 1225];
y = [524 1019 638 815 913 928 605 1516 1219 1624];
matlab回归拟合
matlab回归拟合
在机器学习和统计学中，回归分析是一种建立输入变量（自变量）和输出变量（因变量）之间关系的方法。回归拟合是回归分析的一种技术，旨在找到最佳的函数曲线来描述数据的趋势和关系。而MATLAB是一种功能强大的数值计算和科学计算
软件，提供了许多用于回归拟合的函数和方法。
在MATLAB中，可以使用多种回归方法进行拟合。下面是一
些常用的回归拟合方法及其相应的MATLAB函数：
1. 线性回归拟合：线性回归是最简单和最常见的回归方法之一，试图通过直线来拟合数据。在MATLAB中，可以使用"polyfit"函数来进行线性回归拟合，该函数返回多项式系数。
2. 多项式回归拟合：多项式回归通过多项式函数来拟合数据。在MATLAB中，可以使用"polyfit"函数来进行多项式回归拟合，需要指定多项式的阶数。
3. 非线性回归拟合：非线性回归通过非线性函数来拟合数据，可以更好地适应复杂的数据模式。在MATLAB中，可以使用"lsqcurvefit"函数来进行非线性回归拟合，需要指定拟合函数
和初始参数。
4. 支持向量机回归拟合：支持向量机（SVM）是一种常用的
回归方法，通过寻找最佳超平面来拟合数据。在MATLAB中，可以使用"fitrsvm"函数来进行支持向量机回归拟合，需要指定
核函数和相关参数。
5. 决策树回归拟合：决策树是一种基于树结构的回归方法，通过一系列决策节点来拟合数据。在MATLAB中，可以使用"fitrtree"函数来进行决策树回归拟合，可以指定树的最大深度
和其他参数。
在进行回归拟合之前，需要将数据加载到MATLAB中，并进
回归分析曲线拟合
Statistics
模型拟合：复相关 系数、判定系数、
选项
调整R2、估计值的标 准误及方差分析
回归系数框 估计值：显示回 归系数的估计值 β、回归系数的 标准差、标准化 回归系数、回归 系数的β的t估 计值和双尾显著 性水平。 置信区间 协方差矩阵
R2改变量：增加或 删除一个自变量产 生的改变量 描述性统计量：变 量的均数、标准差、 相关系数矩阵、单 尾检验 部分及偏相关系数： 显示零阶相关、偏 相关、部分相关系 数 共线性诊断：显示
整理ppt
26
回归系数
下表给出了回归方程中的参数和常数项的估计 值。其中常数项系数为405.819，回归系数为 47.835，，线性回归参数的标准误差为11.874， 标准化回归系数为0.613，回归系数t检验的t统 计量观察值为4.029，t检验的p值为0.00，小于 0.05可以认为回归系数有显著意义
回归分析、线性回归和曲线估计
回归分析 线性回归 曲线估计
整理ppt
1
回归分析
什么是回归分析？
1、重点考察一个特定的变量(因变量)，而 把其他变量(自变量)看作是影响这一变 量的因素，并通过适当的数学模型将变 量间的关系表达出来
2、利用样本数据建立模型的估计方程
3、对模型进行显著性检验
4、进而通过一个或几个自变量的取值来估
3、因变量与自变量之间的关系用一个线性
数据拟合与回归分析
数据拟合与回归分析
数据拟合和回归分析是统计学和数据分析中常用的方法，用于建立变
量之间的关系并预测未知值。在本文中，我将介绍数据拟合和回归分析的
基本概念、方法和应用。
数据拟合是指找到一个函数或曲线，使其最好地描述已知数据的分布。这个函数或曲线被称为拟合函数。拟合函数的选择取决于数据类型和问题
的特点。例如，对于线性关系，可以使用线性拟合，即拟合函数是一个直线。对于非线性关系，可以使用多项式、指数、对数等函数形式。
回归分析是根据已知数据建立一个模型，用来描述变量之间的关系，
并预测未知值。回归分析的目标是找到一个最佳拟合模型，使其尽量准确
地预测未知值。回归分析通常包括以下步骤：收集数据、确定模型类型、
拟合模型、评估模型、预测未知值。
数据拟合和回归分析在许多领域中都有广泛的应用。例如，在经济学中，回归分析可以用来研究变量之间的关系，如收入和消费之间的关系。
在医学研究中，回归分析可以用来预测疾病的发展和治疗效果。在市场营
销中，回归分析可以用来预测产品销售量和推广效果。
在进行数据拟合和回归分析时，需要注意以下几点。首先，数据的质
量对于拟合和预测的准确性至关重要。因此，需要对数据进行筛选、清洗
和处理，以去除错误、异常值和缺失值。其次，选择适当的拟合函数和模
型类型对于获得准确的拟合和预测结果至关重要。这需要根据数据类型和
问题特点进行选择和调整。最后，对拟合和预测结果进行评估和解释是非
常重要的。评估方法可以包括残差分析、检验假设等。
总之，数据拟合和回归分析是统计学和数据分析中常用的方法，用于
建立变量之间的关系和预测未知值。它们在许多领域中有广泛应用，如经
回归分析和曲线拟合
N
^
^
_
( yi yi )
i=1 N
N
wenku.baidu.com
_
2
(y
i=1
i
y)2
_
1 b2
2 ( x x ) i
N
_
(y
i=1
i=1 N
i
y)2
_
(6 11)
17
令 r 2 b2
( xi x) (y
i=1 i=1 N _ i
* 2 i 1 i 1 N N
*
Q反映了全部观测值yi (i 1,2,..., N )对直线的偏离程度，显 然，离差平方和Q越小，愈能较好地表示x, y之间的关系。 用最小二乘法原理，通过选择合适的系数a，b，使Q最小
9
N Q 2 ( yi a bxi ) 0 a i 1 N Q 2 ( yi a bxi ) xi 0 b i 1 联合求解得： N 1 N ( xi x)( yi y ) xi yi xi yi N i 1 i 1 i 1 b= i 1 N N _ 1 N 2 2 2 ( x x ) x ( x ) i i i N i=1 i 1 i 1 _ _ N N
6
设y* a bx是平面上的一条任意直线，(xi , yi )(i 1,2, ..., N )是变量x，y的一组观测数据。 那么，对于每一个xi，在直线y* a bx上确可以确定一 个yi a bxi的值，yi 与xi处实际观测值yi的差： yi yi yi (a bx) 就刻画了yi与直线偏离度
excel平面拟合
excel平面拟合
Excel平面拟合是一种常用的数据分析方法，它可以通过一系列数据点来拟合出最佳的平面曲线，从而预测未知数据点的数值。本文将介绍Excel平面拟合的原理、步骤以及应用场景。
一、Excel平面拟合的原理
平面拟合是一种回归分析方法，它通过最小二乘法来找到最佳的拟合平面。最小二乘法的基本思想是使所有数据点到拟合平面的距离之和最小化，从而找到最佳的拟合曲线。
二、Excel平面拟合的步骤
1. 插入数据：首先，在Excel中插入待拟合的数据。确保数据点的横坐标和纵坐标已经正确输入。
2. 打开数据分析工具：在Excel中，点击“数据”选项卡，然后在“数据分析”中找到“回归”选项。点击“回归”选项后，会弹出回归分析对话框。
3. 选择数据：在回归分析对话框中，需要选择数据的输入范围。点击“输入范围”，然后选择待拟合的数据点。
4. 选择拟合类型：在回归分析对话框中，需要选择拟合类型。对于平面拟合，选择“线性”。
5. 输出结果：在回归分析对话框中，勾选“置信水平”和“拟合曲
线”，然后点击“确定”。Excel会自动计算出拟合平面的方程和置信区间。
6. 绘制拟合曲线：在Excel中，选中数据点和拟合曲线的范围，然后点击“插入”选项卡中的“散点图”按钮。选择“散点图”后，Excel会自动绘制出数据点和拟合曲线。
三、Excel平面拟合的应用场景
Excel平面拟合广泛应用于各个领域的数据分析和预测中。以下是几个常见的应用场景：
1. 经济学：可以利用平面拟合来分析经济数据的趋势和预测未来的发展方向。比如，可以通过拟合平面来预测某个国家的GDP增长率。
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Remove：剔除变量。不进入方程模型的被选变量剔除。 Backward：向后消去 Forward：向前引入
Rule选项
多元线性回归一般采用逐步回归方法-Stepwise。
(一) 一元线性回归模型
(linear regression model)
1、描述因变量 y 如何Baidu Nhomakorabea赖于自变量 x 和误差项 的方程称为回归模型
2、一元线性回归模型可表示为
y = b0 + b1 x +
注Y：是线x 性的部线分性反函映了数由于x的b变0 化和而b引1起称的为y的模变化；误差误项差项反映了是除随x和机y之
回归分析的过程
在回归过程中包括：
– Liner：线性回归 – Curve Estimation：曲线估计
Binary Logistic： 二分变量逻辑回归 Multinomial Logistic：多分变量逻辑回归； Ordinal 序回归；Probit：概率单位回归； Nonlinear：非线性回归； Weight Estimation：加权估计； 2-Stage Least squares：二段最小平方法； Optimal Scaling 最优编码回归 • 我们只讲前面2个简单的（一般教科书的讲法）
且期望值为0，即 ~N(0 , 2 ) 。对于一个给定的 x 值，y 的期望值为E(y)=b0+ b1x
方差齐性。对于所有的 x 值， 的方差一个特定
的值，的方差也都等于 2 都相同。同样，一个特定 的x 值， y 的方差也都等于2
独立性。独立性意味着对于一个特定的 x 值，
它所对应的ε与其他 x 值所对应的ε不相关；对于一 个特定的 x 值，它所对应的 y 值与其他 x 所对应的 y 值也不相关
SPSS过程
• 步骤一：录入数据，选择分析菜单中的Regression==>liner 打开线性
回归分析对话框； • 步骤二：选择被解释变量和解释变量。其中因变量列表框中为被解释变量
，自变量为回归分析解释变量。 • 注：要对不同的自变量采用不同引入方法时，选NEXT按钮把自变量归入不
同自变量块中。
估计的回归方程
(estimated regression equation)
1. 总体回归参数β0和β1是未知的，必须利用样本数 据去估计
2. 用样本统计量 bˆ0和 bˆ1代替回归方程中的未知参
数β0和β1 ，就得到了估计的回归方程
3. 一元线性回归中估计的回归方程为
yˆ = bˆ0 + bˆ1x
• 第三步：选择个案标签。在变量列表中选择变量至个案标签中，而被选择 的变量的标签用于在图形中标注点的值。
• 第四步：选择加权二乘法（WLS）。在变量列表框中选择变量至WLS中。 但是该选项仅在被选变量为权变量时选择。
• 第五步：如果点击OK，可以执行线性回归分析操作。
Method选项
Enter：强迫引入法，默认选项。全部被选变量一次性进 入回归模型。
线性回归
线性回归分为一元线性回归和多元线性回归。
一、一元线性回归：
1、涉及一个自变量的回归
2、因变量y与自变量x之间为线性关系
– 被预测或被解释的变量称为因变量(dependent variable)
，用y表示
– 用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为自变量
(independent variable)，用x表示
(部分间 系)所的加解线上释性误的关变差系异之项性外。的随型机的因素参对数y的影响，它是不能由x和y变之量间的线性关
一元线性回归模型（基本假定）
1、因变量x与自变量y之间具有线性 关系
2、在重复抽样中，自变量x的取值 是固定的，即假定x是非随机的
3 、误差项 满足条件
误差项 满足条件
正态性。 是一个服从正态分布的随机变量，
其中：bˆ0是估计的回归直线在 y 轴上的截距，bˆ1是直线的
斜率，它表示对于一个给定的 x 的值， yˆ 是 y 的估计值，
也表示 x 每变动一个单位时， y 的平均变动值
SPSS 线性回归分析
• 多元线性回归分析基本结构与一元线性回归相同。而 他们在SPSS下的功能菜单是集成在一起的。下面通过 SPSS操作步骤解释线性回归分析问题。
3、因变量与自变量之间的关系用一个线性 方程来表示
线性回归的过程
一元线性回归模型确定过程 一、做散点图(Graphs ->Scatter->Simple)
目的是为了以便进行简单地观测（如： Salary与Salbegin的关系)。 二、建立方程 若散点图的趋势大概呈线性关系，可以建立线性方 程，若不呈线性分布，可建立其它方程模型，并比较R2 (-->1)来确定一种最佳方程式（曲线估计）。
• 选择一个用于指定分析个案的选择规则的变量。 选择规则包括： 等于、不等于、大于、小于、大于或等于、小于或等于。 Value中输入相应变量的设定规则的临界值。
Statisti
模型拟合：复相关
cs
系数、判定系数、 调整R2、估计值的标
选项 回归系数框 估计值：显示回 归系数的估计值 β、回归系数的 标准差、标准化 回归系数、回归 系数的β的t估 计值和双尾显著 性水平。 置信区间 协方差矩阵
回归分析、线性回归和曲线估计
• 回归分析 • 线性回归 • 曲线估计
回归分析
什么是回归分析？
1、重点考察一个特定的变量(因变量)，而 把其他变量(自变量)看作是影响这一变 量的因素，并通过适当的数学模型将变 量间的关系表达出来
2、利用样本数据建立模型的估计方程 3、对模型进行显著性检验 4、进而通过一个或几个自变量的取值来估
计或预测因变量的取值
回归分析的模型
一、分类 按是否线性分：线性回归模型和非线性回归模型 按自变量个数分：简单的一元回归和多元回归
二、基本的步骤
利用SPSS得到模型关系式，是否是我们所要的？ 要看回归方程的显著性检验（F检验）
回归系数b的显著性检验(T检验)
拟合程度R2
(注：相关系数的平方，一元回归用R Square，多元回归 用Adjusted R Square)