2.10-2坐标变换法计算基本型曲线坐标案例(精)

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任务7-4：坐标变换法计算基本型曲线坐标(精)

2.缓和曲线性质
在此曲线上任一点P 的曲率半径 RP 与曲线的长度 l P 成
RP l P = C 反比, 以公式表示为：
式中: C为常数,称曲线半径变更率。在HY（YH）处，R P = R，
则
R p l0 C
符合这一前提条件的曲线称为缓和曲线，常用的有辐射螺旋线及三次抛物线，我国采用辐射螺旋线。
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（2）地面上：
如图： ①控制点坐标及高程 ②控制点的实际位置。
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2.两个坐标系坐标变换公式推证： x
（1）假定P点在
O x y 坐标系的坐
标为：（x
P
x′
；
yP′
, y P )
α
求P点在 O xy 坐标系下坐标
α y0 x0 y′ O
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《高速铁路施工测量》项目7 高速铁路线路中线测量任务7.4 坐标变换法计算基本型曲线逐桩坐标
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思
考
两个坐标系之间如何进行变换?
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一、缓和曲线
1.为什么要加入缓和曲线？
(1)在曲线上高速运行的列车会产生离心力,为克服离
心力的影响，铁路在曲线部分采用外轨超高的办法,即把
（x P , y P )
O如图：根据几何关系得P点在 O xy 坐标系下的坐标为：
x P xo x P cos y P sin P sin y P cos y P yo x
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（2）假定P点在
1 2 1 3 1 5 1 6 dy dl P lP l P dl P 3 3 2 Rl 0 3! 5! 48 R l 0

高考数学一轮总复习解析几何中的曲线方程与坐标变换方法

高考数学一轮总复习解析几何中的曲线方程与坐标变换方法在高中数学中，解析几何是一个重要的部分，其中曲线方程与坐标变换方法是解析几何中的两个重要概念。

本文将对高考数学一轮总复习中的曲线方程与坐标变换方法进行解析和讨论。

一、曲线方程1. 直线的方程直线是解析几何中最基本的曲线形式之一。

给定平面上的两个点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，直线AB的方程可表示为：y - y₁ = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) * (x - x₁)这是直线的点斜式方程。

我们也可以用一般式方程Ax + By + C = 0来表示直线，其中A、B、C是常数。

直线的斜率k等于(y₂-y₁)/(x₂-x₁)，而常数C等于-y₁(x₂-x₁) + y₂(x₁-x₂)。

2. 圆的方程圆是解析几何中另一个重要的曲线形式。

给定平面上的圆心C(h, k)和半径r，圆的方程可表示为：(x - h)² + (y - k)² = r²这是圆的标准方程。

我们可以根据圆心和半径的不同形式，将圆的方程改写为其他形式，如一般式方程、截距式方程等。

3. 抛物线的方程抛物线是一种特殊的曲线形式，其方程通常表示为：y = ax² + bx + c其中a、b、c是常数。

抛物线可根据a的正负和大小分为开口向上或向下的不同类型。

二、坐标变换方法1. 平移平移是一种常见的坐标变换方法，通过将平面内的点沿着x轴或y 轴方向移动一定的距离，来改变点的位置。

平移操作可以通过在坐标的x、y值中加上相应的常数实现。

2. 旋转旋转是另一种常见的坐标变换方法，通过围绕坐标原点或其他旋转中心，将平面内的点按照一定角度进行旋转，改变点的位置。

旋转操作可以通过一系列的线性变换和矩阵运算来实现。

3. 对称对称是一种对于坐标变换的常见操作，主要包括关于x轴、y轴、原点和直线的对称。

通过对点的坐标进行改变，可以实现关于特定轴或点的对称。

坐标系转换方法

坐标系转换方法
坐标系转换的方法有多种，以下是三种主要的方法：
1. 线性变换法：这种方法将原始坐标系中的点映射到新的坐标系中。

通过选择合适的矩阵，可以将坐标变换为新的形式。

线性变换法在处理平面坐标系时特别有效。

2. 多项式拟合法：这种方法利用多项式来拟合两个坐标系之间的关系。

通过找到一组对应点，并拟合出多项式方程，可以将一个坐标系中的点转换为另一个坐标系中的点。

这种方法适用于任何维度的坐标系转换。

3. 最小二乘法：这种方法利用最小二乘原理，通过优化误差平方和，找到最佳的坐标转换方法。

它可以用于各种类型的坐标系转换，包括线性变换、多项式拟合等。

最小二乘法对于处理具有大量数据点的复杂转换非常有效。

这些方法都有其适用范围和优缺点，在实际应用中需要根据具体情况选择最合适的方法。

坐标变换原理

坐标变换原理
坐标变换是一种数学操作，用来在不同的坐标系间进行转换。

它是将一个点或对象的位置从一个坐标系转换到另一个坐标系的方法。

在二维平面坐标系中，通常使用笛卡尔坐标系和极坐标系。

笛卡尔坐标系使用x和y轴来表示一个点的位置，而极坐标系使用半径和角度来表示。

坐标变换可以通过简单的公式来实现：
1. 笛卡尔坐标系转换为极坐标系：给定一个点的笛卡尔坐标(x, y)，可以通过以下公式计算其极坐标(r, θ)：
r = √(x² + y²)
θ = arctan(y/x)
2. 极坐标系转换为笛卡尔坐标系：给定一个点的极坐标(r, θ)，可以通过以下公式计算其笛卡尔坐标(x, y)：
x = r * cos(θ)
y = r * sin(θ)
这些公式将一个点在不同坐标系中的位置进行相互转换。

通过这些转换，可以在不同坐标系之间准确地描述和定位对象的位置。

除了坐标系之间的转换，还可以进行其他类型的坐标变换，如平移、缩放和旋转。

在平移中，点的位置通过添加一个固定的偏移量来改变。

在缩放中，点的位置通过乘以一个缩放因子来改变。

在旋转中，点的位置通过应用旋转矩阵来改变。

通过这些坐标变换，可以单独或组合地对对象进行不同类型的变换，使其在平面内按照所需的方式移动、缩放和旋转。

这在计算机图形学和计算机视觉中经常使用，用于实现图像转换、模型变换等应用。

坐标变换为我们提供了一种非常有用的工具，可以方便地在不同坐标系中进行准确的位置描述与处理。

坐标变换法计算基本型曲线坐标

第二部分
坐标变换法逐桩坐标计算步骤
坐标变换法逐桩坐标计算步骤
1、由转向角α
半径R
缓和曲线长l0
计算曲线要素：曲线长L 和切线长pT切
P
l02 24R
m
l0
2
l03 240R 2
T=m+(R+P）tan( 2)
L= R
180
+l0
坐标变换法逐桩坐标计算步骤
2、由交点里3
3、 ZH点和HZ点坐标计算
（1）ZH点坐标计算
①由JD1、JD2的坐标反算JD2→JD1的坐标方位角 JD2 JD1
②计算ZH点坐标
X ZH X JD2 T cos JD2 Y JD1 ZH YJD2 T sin JD2 JD1
坐标变换法逐桩坐标计算步骤
JD2
ZH
JD1
HZ
JD3
《道路线路施工测量》
坐标变换法计算基本型曲线逐桩坐标
思考
两个坐标系之间如何进行变换?
目录
一、已知条件二、坐标变换法逐桩坐标计算步骤
第一部分
已知条件
已知条件
1、设计文件上
交点坐标及里程曲线半径缓和曲线长转向角
ZH点切线方位角 ZH切
已知条件
2、地面上(如图）
控制点坐标及高程
控制点的实际位置
X
ZH P
ZH切
P
d
ZH
Y
k 1曲线右偏时 K 1曲线左偏时
360 ZH切
X
P
d
ZH ZH切 Y
坐标变换法逐桩坐标计算步骤
5、计算点P在HY—YH圆曲线上
O
ZH
y
m xP

曲线坐标计算公式带例题

圆曲线坐标计算公式β=180°/π×L/R （L= βπ R/180°）弧长公式β为圆心角△X=sinβ×R△Y=(1-cosβ)×RC= 2Rsin(（90度乘以L）除以（π乘以R）)X=X1+cos (α ±β/2)×CY=Y1+sin (α ±β/2)×Cβ代表偏角,（既弧上任一点所对的圆心角）。

β/2是所谓的偏角（弦长与切线的夹角）△X、△Y代表增量值。

X、Y代表准备求的坐标。

X1、Y1代表起算点坐标值。

α代表起算点的方位角。

R 代表曲线半径缓和曲线坐标计算公式β= L2/2RL S ×180°/πC= L - L5/90R2L S2X=X1+cos (α ±β/3)×CY=Y1+sin (α ±β/3)×CL代表起算点到准备算的距离。

LS代表缓和曲线总长。

X1、Y1代表起算点坐标值。

直线坐标计算公式X=X1+cosα×LY=Y1+sinα×LX1、Y1代表起算点坐标值α代表直线段方位角。

L代表起算点到准备算的距离。

左右边桩计算方法X边=X中+cos（α±90°)×LY边=Y中+sin（α±90°)×L在计算左右边桩时，先求出中桩坐标，在用此公式求左右边桩。

如果在线路方向左侧用中桩方位角减去90°，线路右侧加90°，乘以准备算的左右宽度。

例题:直线坐标计算方法α(方位角)=18°21′47″X1=84817.831 Y1=352.177 起始里程DK184+714.029求DK186+421.02里程坐标解:根据公式X=X1+cosα×LX=84817.831+COS18°21′47″×(86421.02—84714.029)=86437.901Y=Y1+sinα×LY=352.177+sin18°21′47″×(86421.02—84714.029)=889.943求DK186+421.02里程左右边桩,左侧3.75m,右侧7.05m.解:根据公式线路左侧计算:X边=X中+cos（α±90°)×LX边=86437.901+cos(18°21′47″- 90°)×3.75=86439.082Y边=Y中+sin（α±90°)×LY边=889.943+sin(18°21′47″- 90°)×3.75=886.384线路右侧计算:X边=X中+cos（α±90°)×LX边=86437.901+cos(18°21′47″+ 90°)×7.05=86435.680Y边=Y中+sin（α±90°)×LY边=889.943+sin(18°21′47″+90°)×7.05=896.634例题:缓和曲线坐标计算方法α(ZH点起始方位角)=18°21′47″X1=86437.901 Y1=889.941 起始里程DK186+421.02曲线半径2500 缓和曲线长120m求HY点坐标,也可以求ZH点到HY点任意坐标解:根据公式β=L2/2RLS×180°/πβ=｛1202/(2×2500×120)｝×(180°/π)= 1°22′30.36″C=L-L5/90R2LS2C=120-1205/(90×25002×1202)=119.997X=X1+cos(α±β/3)×CX=86437.901+cos(18°21′47″-1°22′30.36″/3)×119.997=86552.086Y=Y1+sin(α±β/3)×CY=889.941+sin(18°21′47″-1°22′30.36″/3)×119.997=926.832求DK186+541.02里程左右边桩,左侧3.75m,右侧7.05m.解:根据公式线路左侧计算:X边=X中+cos（α±90°)×LX边=86552.086+cos｛(18°21′47″-1°22′30.36″)- 90°｝×3.75=86553.182Y边=Y中+sin（α±90°)×LY边=926.832+sin｛(18°21′47″-1°22′30.36″)- 90°｝×3.75=923.246线路右侧计算:X边=X中+cos（α±90°)×LX边=86552.086+cos｛(18°21′47″-1°22′30.36″)+ 90°｝×7.05=86550.026Y边=Y中+sin（α±90°)×LY边=926.832+sin｛(18°21′47″-1°22′30.36″)+ 90°｝×7.05=933.574缓和曲线方位角计算方法α=(起始方位角±β偏角)= 18°21′47″-1°22′30.36″=16°59′16.64″注:缓和曲线在计算坐标时,此公式只能从两头往中间推,只能从ZH点往HY点推,HZ点往YH点推算,如果YH往HZ点推算坐标,公式里的β为β2/3.例题:圆曲线坐标计算方法α(HY点起始方位角)= 16°59′16.64″X1=86552.086 Y1=926.832曲线半径2500 曲线长748.75 起始里程DK186+541.02求YH点坐标,也可以求QZ点坐标或任意圆曲线一点坐标.解:根据公式β=180°/π×L/Rβ= 180°/π×748.75/2500=17°09′36.31″△X=sinβ×R△X=sin17°09′36.31″×2500=737.606△Y=(1-cosβ)×R△Y=(1-cos17°09′36.31″)×2500=111.290C= 弦长C=745.954X=X1+cos(α±β/2)×CX= 86552.086 +cos(16°59′16.64″+360°-17°09′36.31″/2) ×745.954=87290.023Y=Y1+sin(α±β/2)×CY=926.832+ sin(16°59′16.64″+360°-17°09′36.31″/2) ×745.954=1035.905圆曲线方位角计算方法α=(起始方位角±β偏角)= 16°59′16.64″+360°-17°09′36.31″=359°49′40.33″求DK187+289.77里程左右边桩,左侧3.75m,右侧7.05m.解:根据公式线路左侧计算:X边=X中+cos（α±90°)×LX边=87290.023+cos(359°49′40.33″-90°)×3.75=87290.012Y边=Y中+sin（α±90°)×LY边=1035.905+sin(359°49′40.33″-90°)×3.75=1032.155线路右侧计算:X边=X中+cos（α±90°)×LX边=87290.023+cos(359°49′40.33″+90°)×7.05=87290.044Y边=Y中+sin（α±90°)×LY边=1035.905+sin(359°49′40.33″+90°)×7.05=1042.955。

曲线坐标计算(

曲线坐标计算一、圆曲线圆曲线要素：α---------------曲线转向角R---------------曲线半径根据α及R可以求出以下要素：T----------------切线长L----------------曲线长E----------------外矢距q----------------切曲差（两切线长与曲线全长之差）各要素的计算公式为：2αtgR T ⋅=︒⋅=180παR L (弧长))12(sec -=αR E （sec α=cos α的倒数）圆曲线主点里程：ZY=JD －TQZ=ZY ＋L ／2 或 QZ=JD －q /2 YZ=QZ ＋L ／2 或 YZ=JD ＋T －q JD=QZ ＋q ／2（校核用）1、基本知识里程：由线路起点算起，沿线路中线到该中线桩的距离。

表示方法：DK26＋284.56。

“+”号前为公里数，即26km，“+”后为米数，即284.56m。

CK ——表示初测导线的里程。

DK ——表示定测中线的里程。

Ｋ——表示竣工后的连续里程。

铁路和公路计算方法略有不同。

2、曲线点坐标计算（偏角法或弦切角法）已知条件：起点、终点及各交点的坐标。

1）计算ZY 、YZ 点坐标通用公式：2）计算曲线点坐标 ① 计算坐标方位角 i 点为曲线上任意一点。

li 为 i 点与ZY点里程之差。

弧长所对的圆心角弦切角ii δαα±=--JD ZY ZY 弦的方位角当曲线左转时用“-”，右转时用“+”。

② 计算弦长δsin 2⨯⨯=R C③ 计算曲线点坐标此时的已知数据为： ZY （xZY ，yZY ）、ZY- i 、 C 。

根据坐标正算原理：iZY ZY i αC x x -⨯+=cos iZY ZY i αC y y -⨯+=sin切线支距法这种方法是以曲线起点ZY或终点YZ为坐标原点，以切线为X轴，以过原点的半径为Y轴，则圆曲线上任意一点的切线支距坐标可通过以下公式求得：πϕϕϕ︒⋅=-==180,)cos1(sinRlRyRx式中利用坐标平移和旋转，该点在大地平面直角坐标系中的坐标可由以下公式求得：式中：α为ZY(YZ)点沿线路前进方向的切线方位角。

坐标计算实例(缓和曲线)(1)

缓和曲线逐桩坐标计算（转载）摘要：利用一缓和曲线算例，通过数学分析，推导出缓和曲线逐桩坐标计算公式，此公式可作为道路测设中的范例来运用，有很强的指导意义。

关键词：缓和曲线、公式、逐桩坐标一、引言道路建设中，由于受地形或地质影响，经常需要改变线路方向，为满足行车要求，往往要用曲线把两条直线连接起来。

曲线的构成形式无外乎圆曲线和缓和曲线，本文以河北省沿海高速某曲线段为例推导出缓和曲线的逐桩坐标计算公式，以方便图纸的审核，满足施工放样的需求。

本公式具有良好的操作性，方便施工、提高精度，可作为道路测设中的范例运用。

二、公式推导1 、实例数据河北省沿海高速公路一缓和曲线（如图）：AB 段为缓和曲线段，A 为ZH 点，B 为HY 点，R B=800m ；A 点里程为NK0+080 ，切线方位角为θA=100 ° 00 ′ 24.1 ″，坐标为X A=4355189.493,Y A=476976.267 ；B 点里程为NK0+158.125 ，切线方位角为θB=102 ° 48 ′ 15.6 ″，坐标为X B=4355174.669 ，Y B=477052.964 ，推求此曲线段内任意点坐标。

2 、公式推导及实例计算方法一：弦线偏角法1 ）公式推导由坐标增量的计算方法我们不难理解，求一点坐标可以根据其所在直线的方位角以及直线上另一点的坐标和距待求点的距离。

所以我们可以利用ZH 点，只要知道待求点距ZH 点的距离（弦长S ）和此弦与ZH 点切线方位角的夹角（转角a ），即可求出该点坐标。

根据回旋线方程C=RL ，用B 点数据推导出回旋线参数：C=RL S=800*78.125=62500 （L S为B 点至ZH 点的距离）设待求点距ZH 点距离为L因回旋线上任意点的偏角β0=L2/2RL S, 且转角a=β0/3 ，可得该点转角a 。

（曲线左转时a 代负值）。

根据缓和曲线上的弧弦关系S=L-L5/90R2L S2，可以求出待求点至ZH 点的弦长。

坐标变换

坐标在解析几何中，把坐标系的变换（如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向）叫做坐标变换。

实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小，位置都不变，仅仅指改变点的坐标与曲线的方程坐标轴的平移坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴坐标轴的平移公式设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是（x y）在新坐标系x’O’y’中的坐标（x’y’）设新坐标的原点O’在原坐标系xoy中的坐标是（h k）则（1）x=x’+h y=y’+k或（2）x’=x-h y’=y-k公式（1）（2）叫平移或移轴公式[说明]坐标轴平移时，点的位置，曲线的形状，大小，有关线段的长度都不改变，因而，坐标轴平移前后，圆锥曲线的5个参数a b c p(焦准距), e的值都不改变不含xy项的二元二次方程的化简与讨论用配方法化简不含xy项的二元二次方程的步骤如下表方程Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0( A、C不同时为0)所表示的圆锥曲线如下当 AC>0 椭圆AC<0 双曲线AC=0 抛物线坐标轴的旋转坐标轴的原点和长度的单位不变，使坐标轴按同一方向绕原点旋转某一角度，这种坐标系的变换叫做坐标轴的旋转，简称轴转。

坐标轴的旋转公式设坐标轴的旋转角度θ，在平面内任取一点M，它在坐标系x0y和x’0’y’的坐标分别为(x y) (x’ y’)那么，M在两个不同的坐标系里的坐标关系是X=x’cosθ-y’sinθ①Y=x’sinθ+y’cosθ由此解出X’=xcosθ+ysinθ②Y’=-xsinθ+ycosθ公式1 是新坐标表示原坐标的旋转变换公式公式2是用原坐标表示新坐标的旋转变换公式统称为旋转转轴公式。

测量坐标转换公式推导过程

测量坐标转换公式推导过程一、二维坐标转换（平面坐标转换）（一）平移变换。

1. 原理。

- 设原坐标系O - XY中的一点P(x,y)，将坐标系O - XY平移到新坐标系O' - X'Y'，新坐标系原点O'在原坐标系中的坐标为(x_0,y_0)。

2. 公式推导。

- 对于点P在新坐标系中的坐标(x',y')，根据平移的几何关系，我们可以得到x = x'+x_0，y = y'+y_0，则x'=x - x_0，y'=y - y_0。

（二）旋转变换。

1. 原理。

- 设原坐标系O - XY绕原点O逆时针旋转θ角得到新坐标系O - X'Y'。

对于原坐标系中的点P(x,y)，我们要找到它在新坐标系中的坐标(x',y')。

- 根据三角函数的定义，设OP = r，α是OP与X轴正方向的夹角，则x = rcosα，y = rsinα。

- 在新坐标系中，x'=rcos(α-θ)，y'=rsin(α - θ)。

2. 公式推导。

- 根据两角差的三角函数公式cos(A - B)=cos Acos B+sin Asin B和sin(A -B)=sin Acos B-cos Asin B。

- 对于x'=rcos(α-θ)=r(cosαcosθ+sinαsinθ)，因为x = rcosα，y = rsinα，所以x'=xcosθ + ysinθ。

- 对于y'=rsin(α-θ)=r(sinαcosθ-cosαsinθ)，所以y'=-xsinθ + ycosθ。

（三）一般二维坐标转换（平移+旋转）1. 原理。

- 当既有平移又有旋转时，先进行旋转变换，再进行平移变换。

2. 公式推导。

- 设原坐标系O - XY中的点P(x,y)，先将坐标系绕原点O逆时针旋转θ角得到中间坐标系O - X_1Y_1，根据旋转变换公式，P在O - X_1Y_1中的坐标(x_1,y_1)为x_1=xcosθ + ysinθ，y_1=-xsinθ + ycosθ。

坐标变换公式的推导过程

坐标变换公式的推导过程好嘞，以下是为您生成的关于“坐标变换公式的推导过程”的文章：咱先来说说啥是坐标变换。

比如说，你在一个房间里，从一个角落看向另一个角落，你眼中看到的东西位置就变了，这其实就是一种简单的坐标变换。

在数学里，坐标变换那可是个重要的玩意儿。

咱们平常学的直角坐标系，就经常会碰到需要变换坐标的情况。

比如说，有两个直角坐标系 XOY 和 X'O'Y' ，它们的原点不重合，坐标轴的方向也可能不一样。

那怎么从一个坐标系的坐标推导出在另一个坐标系中的坐标呢？这就得靠咱们的坐标变换公式啦。

假设点 P 在 XOY 坐标系中的坐标是 (x, y) ，在 X'O'Y' 坐标系中的坐标是 (x', y') 。

咱们先来看 X 轴和 X' 轴的夹角θ 。

先从简单的情况入手哈。

假设 X' 轴是由 X 轴逆时针旋转θ 角度得到的。

那咱们来想想，点 P 在 X 轴上的投影长度是 x ，在 X' 轴上的投影长度是 x' 。

这时候，咱们可以利用三角函数的知识。

x' 就等于 x 乘以cosθ 加上y 乘以sinθ 。

这是为啥呢？咱举个例子啊，有一天我在黑板上画这两个坐标系，一边画一边琢磨，突然就明白了。

想象一下，x 就像是一段水平的线段，y 就像是一段垂直的线段。

当旋转坐标轴的时候，这两段线段在新轴上的投影就发生了变化。

x 乘以cosθ 就是它在新轴上水平方向的贡献，y 乘以sinθ 就是垂直方向的贡献，加起来就是新的坐标 x' 啦。

同样的道理，y' 就等于 -x 乘以sinθ 加上 y 乘以cosθ 。

再复杂点的情况，要是坐标轴的缩放比例不一样，那还得考虑缩放的因素。

不过原理还是一样的，都是通过三角函数来找到原来坐标和新坐标之间的关系。

我记得有一次给学生讲这个的时候，有个学生一脸懵，我就又重新画了好几遍图，一点点给他解释，最后他恍然大悟的那个表情，让我觉得特别有成就感。

初中数学坐标变换法教案

初中数学坐标变换法教案教学目标：1. 了解坐标变换的概念，理解坐标变换的实质。

2. 学会利用坐标变换法解决实际问题，提高学生的解决问题的能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力和创新意识。

教学内容：1. 坐标变换的定义和实质2. 坐标变换法在实际问题中的应用教学重点：1. 坐标变换的概念和实质2. 坐标变换法在实际问题中的应用教学难点：1. 坐标变换的实质的理解2. 坐标变换法在实际问题中的应用的掌握教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾平面直角坐标系的概念，复习点的坐标表示方法。

2. 提问：同学们，我们学过图形的平移、旋转等变换，那么这些变换在坐标系中是如何表现的昵？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解坐标变换的概念：在坐标系中，将所有的点按照某个特定的规则进行移动，这种移动就称为坐标变换。

2. 讲解坐标变换的实质：坐标变换实际上就是将坐标系进行平移、旋转等操作，从而使得原来在坐标系中的点在新的坐标系中的位置发生变化。

3. 讲解坐标变换法：坐标变换法就是利用坐标变换的实质，将实际问题转化为坐标系中的点的问题，通过解决坐标系中的点的问题，从而解决实际问题。

三、实例讲解（15分钟）1. 举例讲解坐标变换法在实际问题中的应用：例1：一个长方形ABCD，A（1，2），B（3，2），C（3，4），D（1，4），将该长方形沿x轴向下平移3个单位，求平移后长方形的顶点坐标。

解：首先，将长方形ABCD的每个顶点按照x轴向下平移3个单位的规则进行变换，得到新的顶点坐标：A（1，-1），B（3，-1），C（3，1），D（1，1）。

然后，根据新的顶点坐标，可以得到平移后长方形的新顶点坐标为（1，-1），（3，-1），（3，1），（1，1）。

例2：一个直角三角形，直角顶点A（2，3），直角边BC的端点B（1，2），C（4，2），将该直角三角形绕点A逆时针旋转90度，求旋转后直角三角形的顶点坐标。

解：首先，将直角边BC的端点B（1，2）和C（4，2）按照绕点A逆时针旋转90度的规则进行变换，得到新的顶点坐标：B（3，1）和C（1，3）。

初中数学教案解析几何中的坐标变换与曲线方程

初中数学教案解析几何中的坐标变换与曲线方程解析几何作为数学的重要分支，对于初中生而言是一门具有一定难度的学科。

在解析几何的学习中，坐标变换与曲线方程是学生们常常遇到的难点。

本文将针对初中数学教案，对坐标变换与曲线方程的相关内容进行解析和讲解。

一、坐标变换坐标变换是解析几何中的基础知识之一，它描述了图形在平面或空间中的位置关系的变化。

常见的坐标变换包括平移、旋转、反射和伸缩等。

这些变换可以通过坐标的变化来实现。

1. 平移变换平移变换是指将图形沿着某个方向进行移动，移动的距离和方向可以通过向量来表示。

在平面直角坐标系中，平移变换后的新坐标可以通过原坐标加上平移向量来得到。

2. 旋转变换旋转变换是指将图形绕着某个点或某条轴线进行旋转。

旋转变换可以通过旋转矩阵来描述，旋转后的新坐标可以通过原坐标乘以旋转矩阵来得到。

3. 反射变换反射变换是指将图形关于某条轴线进行对称，使得图形在轴线两侧位置对称。

根据反射变换的性质，反射后的新坐标可以通过原坐标乘以适当的反射矩阵来得到。

4. 伸缩变换伸缩变换是指将图形在某个方向上进行拉伸或压缩。

伸缩变换可以通过伸缩矩阵来描述，伸缩后的新坐标可以通过原坐标乘以伸缩矩阵来得到。

以上是常见的坐标变换方式，学生们在学习解析几何时需要熟练掌握这些变换的方法和性质，能够准确地应用于解决相关问题。

二、曲线方程曲线方程是解析几何中的重要概念，它描述了平面内曲线的几何性质和特征。

常见的曲线方程包括直线方程、圆的方程和抛物线的方程等。

1. 直线方程直线方程是描述直线的数学表达式，常见的直线方程有斜截式方程、截距式方程和一般式方程等。

学生们在学习直线方程时需要掌握直线的斜率和截距的概念，能够根据已知条件写出直线的方程。

2. 圆的方程圆的方程是描述圆的数学表达式，常见的圆方程有标准方程和一般方程等。

学生们在学习圆的方程时需要了解圆的性质，能够根据已知条件写出圆的方程。

3. 抛物线的方程抛物线的方程是描述抛物线的数学表达式，常见的抛物线方程有顶点式方程、焦点式方程和一般式方程等。

曲线坐标及其变换关系.ppt

z 平面

表示一圆周线，θ=const 代表一根径向线。
在 z-平面上，ρ=const 表示一曲线，θ=const 表示另一曲线。因此，ρ、θ可视为z-平面上一点 z 处的曲线坐标。
const

const
由于变换的保角性， z-平面上的曲线坐
标总是正交的。且坐标轴ρ、θ的相对方向总是与坐标轴 x、y 的相对方向相同。
其中，n 为正整数，R 为实数，ck 一般为复数，而以确保 n →∞ 时，级数收敛。
（5-24）
c
k 0
n
k
1
2、复位势函数 ( ), ( )
无限大多连体问题的 ( ), ( )
1 1 ( z ) ( X iY ) ln z Bz 10 ( z ) 8 （5-15） 3 0 1 ( z) ( X iY ) ln z ( B iC ) z 1 ( z ) 8 ln z 的讨论： R 2 3 n 1 1 c c c c z ( ) 0 1 2 n R 2 3 n 1 ln z ln 1 c0 c1 c2 cn
i A iA cos i sin A iA e
从而有
（ a）
A iA Ax iAy e-i
z 平面
（ a）

假想沿ρ方向给点 z 以位移 dz，因而对应点ζ得到位移 , 于是有 d
e i 的计算：
A
A
Ay

const
曲线坐标与直角坐标间的变换关系：设 z-平面上有一矢量A，其起点在点
z 平面
z ( )
( e )

2.8-2虚拟导线法计算基本型曲线坐标案例(精)

K HY K ZH lO K 2 756.252 K YH K ZH L l0 K 4 396.780
K HZ K ZH L K 4 946.780
3、计算ZH～HY上：k2+300点坐标（1）计算ZH点坐标
X ZH X JD3 T cos JD 3 JD2 82195.096 1390.256 cos( 710 26 35 180 ) 81752.651
三、计算步骤：
1.计算切线长T和曲线长L：
2 l0 P 2.626 24 R
l0 l03 m 274.970 2 2 240 R
T = m + (R + P） tan( 2) 1390.257
L = R

180
+ l0 2740.528
2.计算曲线主点里程
K ZH K JD T K 2 206.252
X P X ZH d cos ZH P 81929.007
d
YP YZH d sin ZH P 65013.001
ZH
Y
y
5、计算YH～HZ上： k4+900点坐标
（1）求HZ点坐标：
X HZ X JD2 Tcos HZ切 82011.493
YHZ YJD2 Tsin HZ切 67142.219
d
YP YZH d sin ZH P 64535.061
ZH
Y
y
4、计算HY～YH上： k2+800点坐标
（1）计算P点在ZH-xy坐标系下的坐标
l0 180 30 16 57.25 2R

2.9坐标变换公式推证(精)

360
已知：A、B、C在O-X’Y’坐标系下坐标分别为：
A(1000,1000),B(1098.429,1017.656),C(968.219,1177.172)
A、B在O-XY坐标系下坐标分别为： A(2000,2000);B(1949.693,2086.425)
求：c在O-XY坐标系下坐标
O′
x0 y′
xP
（x P , yP )
O
如图：
根据几何关系得P点在 O xy坐标系下的坐标为：
x P ( x p xo ) cos ( y p y0 ) sin y P ( x p xo ) sin ( y p y0 ) cos
坐标系为新坐标系xy坐标系为旧坐标系2找一个公共边该边在新旧坐标系下坐标方位角都已知坐标系轴符合该条件该轴在旧坐标系下的方位角为或360在新坐标系下方位角为则旧坐标系顺时针转360已知
子情境2：线路中线测量
2.9坐标变换公式推证
2.9 两个坐标系坐标变换公式推证：
2.5 缓和曲线概念
x
一、假定P点在 O xy
xP xo x P cos y P sin P sin y P cos yP yo x
x
二、假定P点在
O xy 坐标系的坐
x′
标为：（x P yP′ yP xP′
P
求P点在 O x y
坐标系下坐标
x 轴符合该条件，该轴在旧坐标系
，
下的方位角为 0 0 0（或 0 360），在新坐标系下方位角为则旧坐标系顺时针转 x
公共边在旧坐标下方位角- 公共边在新坐标系下方位角

曲线坐标计算公式

曲线段坐标计算公式缓和曲线段：1、曲线长＝里程桩号－起点桩号2、缓和曲线长＝已知3、方位角＝缓和段起始边为0曲线长L²4、转角＝6*R*缓曲长L。

5、转后方位角＝方位角＋转角曲线长L^56、 X=曲线长L－40R²*缓曲长L。

曲线长L³7、 Y= -6*R*缓曲长L。

8、L=SQRT(X²+Y²)9、计算点坐标：X=COS(转后方位角)*L＋起点坐标X Y=SIN(转后方位角)*L＋起点坐标Y曲线长L²10、切线角＝2*R*缓曲长L。

11、切线方位角＝方位角＋切线角圆曲线段：12、曲线长＝里程桩号－起点桩号13、方位角＝缓和曲线的切线方位角曲线长L 180°14、转角＝ (×可转换为“度”) 2*R π15、转后方位角＝方位角＋转角曲线长L^516、X=曲线长L－40R²*缓曲长L。

曲线长L³17、Y= -6*R*缓曲长L。

18、L=2*SIN（转后方位角）*R19、计算点坐标：X=COS(转后方位角)*L＋起点坐标XY=SIN(转后方位角)*L＋起点坐标Y曲线长L²20、切线角＝2*R*缓曲长L。

21、切线方位角＝方位角＋切线角边桩放样坐标计算公式：π左侧 X=D*COS (α - )+X2πY=D*COS (α - )+Y2π右侧 X=D*COS (α + )+X2πY=D*COS (α + )+Y2。

曲线坐标计算(

曲线坐标计算一、圆曲线圆曲线要素：α---------------曲线转向角R---------------曲线半径根据α及R可以求出以下要素：T----------------切线长L----------------曲线长E----------------外矢距q----------------切曲差（两切线长与曲线全长之差）各要素的计算公式为：2αtgR T ⋅=︒⋅=180παR L (弧长))12(sec -=αR E （sec α=cos α的倒数）圆曲线主点里程：ZY=JD －TQZ=ZY ＋L ／2 或 QZ=JD －q /2 YZ=QZ ＋L ／2 或 YZ=JD ＋T －qJD=QZ＋q／2（校核用）1、基本知识◆里程：由线路起点算起，沿线路中线到该中线桩的距离。

◆表示方法：DK26＋284.56。

“+”号前为公里数，即26km，“+”后为米数，即284.56m。

CK ——表示初测导线的里程。

DK ——表示定测中线的里程。

Ｋ——表示竣工后的连续里程。

铁路和公路计算方法略有不同。

2、曲线点坐标计算（偏角法或弦切角法）已知条件：起点、终点及各交点的坐标。

1）计算ZY、YZ点坐标通用公式：2）计算曲线点坐标①计算坐标方位角i 点为曲线上任意一点。

li 为i 点与ZY点里程之差。

弧长所对的圆心角弦切角弦的方位角当曲线左转时用“-”，右转时用“+”。

计算弦长②③计算曲线点坐标此时的已知数据为：ZY（x ZY，y ZY）、αZY- i、C。

根据坐标正算原理：切线支距法这种方法是以曲线起点ZY或终点YZ为坐标原点，以切线为X轴，以过原点的半径为Y轴，则圆曲线上任意一点的切线支距坐标可通过以下公式求得：πϕϕϕ︒⋅=-==180,)cos 1(sin R l R y R x 式中利用坐标平移和旋转，该点在大地平面直角坐标系中的坐标可由以下公式求得：式中：α为ZY(YZ)点沿线路前进方向的切线方位角。

基本坐标变换

基本坐标变换坐标变换是计算机图形处理中的重要概念，用于描述不同图形元素在不同坐标系中的位置关系和转换规则。

在计算机图形学中，常常需要对图像进行旋转、平移、缩放等操作，这些操作都离不开坐标变换。

本文将介绍基本的坐标变换方法和原理。

1. 坐标系介绍在计算机图形学中，常用的坐标系有笛卡尔坐标系、极坐标系和三维空间的直角坐标系等。

在笛卡尔坐标系中，一个二维点可以用两个坐标值表示，通常表示为(x, y)，其中x表示点在水平方向上的位置，y表示点在垂直方向上的位置。

2. 基本坐标变换操作2.1 平移平移是将图形沿着给定的方向按照给定的距离移动。

假设有一个点P(x, y)，要将该点沿着向量(vx, vy)平移，新的点P’(x’, y’)的坐标可以表示为：x′=x+vxy′=y+vy2.2 旋转旋转是将图形绕某一点或者某一向量旋转一定的角度。

给定一个点P(x, y)和绕原点逆时针旋转θ度后的点P’(x’, y’)，可以通过下面的公式得到新坐标：$$x' = x \\cdot \\cos(\\theta) - y \\cdot \\sin(\\theta)$$$$y' = x \\cdot \\sin(\\theta) + y \\cdot \\cos(\\theta)$$2.3 缩放缩放是根据给定的比例因子对图形进行尺寸调整。

假设有一个点P(x, y)，以原点为中心进行缩放，新的点P’(x’, y’)的坐标可以表示为：$$x' = s_x \\cdot x$$$$y' = s_y \\cdot y$$其中s x和s y分别是水平和垂直方向的缩放比例。

3. 坐标变换综合应用在实际的图形处理中，通常会将多个基本的坐标变换操作组合使用，以实现复杂的效果。

例如，可以先进行平移，然后再进行缩放，最后再进行旋转。

坐标变换可以应用于图像处理、游戏开发、动画制作等领域。

结论基本坐标变换是计算机图形处理中的重要概念，通过对平移、旋转、缩放等操作的理解和应用，可以实现各种图形的处理和变换。