8-6 磁场对载流导线的作用 modified

dF Idl B dF 0,
11/26
安培力的应用
安培力 应用 —— 磁悬浮列车
12/28
磁场对载流线圈的作用
2、磁场对载流线圈的作用
载流线圈的空间取向用电流右 ˆ 手螺旋的法向单位矢量 n 描述。 设任意形状的平面载流线圈 的面积为S，电流强度为I，
ˆ n Pm

根据安培定律，载流导线 AB 在磁场中所受安培力： 大小： F BIl . 方向：指向右。
在安培力作用下，导线从 AB 移到A’B’，磁力作功：
A F AA BIl AA.
导线在始末位置，穿过回路的磁通量改变量为：
1 0 B l DA B l DA Bl AA.
dF I dl B
dFy
解：在导线上取电流元，
ˆ dF dFx i dFy ˆ , j
由电流分布的对 称性，分析导线受 力的对称性。
dFy y dF dFx Idl
Idl
dF dFx
x
7/26

F合 dFy .
由安培定律， d F I d l B dF Idl B sin 90 BIdl ,
D(C )
ˆ 2 n
讨论：
M Pm B.
F2'
D(C )
① =/2，线圈平面与磁场方 向相互平行，力矩M最大。力 矩有使 减小的趋势。
② =0，线圈平面与磁场方 向垂直，力矩M为零，线圈处 于平衡状态。 F2'
D(C )
ˆ n
B
0
A( B )
C
B
B
∴可求得 磁力所作的功为：
I
I
D
F
A
l
A
B
A I .

载流导线在磁场中运动时，若I 保持不变， 磁力作功A 等于 电流 I 乘以穿过回路所围面积的 磁通量的增量。
载流线圈在磁场中转动时磁力所作的功
4.2 载流线圈在磁场内转动时磁力作的功
F1'
A
F2
D F2'
定义线圈的磁矩：
ˆ Pm ISn
若线圈有N匝：
ˆ Pm NISn
15/26
由于是矩形线圈，对边受力大小应相等，方向相反。 AD与BC边受力大小为： F1 F1 ' BIl1 sin ,
（大小相等，方向相反，同一作用线）
பைடு நூலகம்
AB与CD边受力大小为： F2 F2 ' BIl2 .
I I
C
B
l2
B
l1
F1
可证明：任一闭合电流回路，在磁场中改变位置 （或形状）时，如果保持回路中电流不变，则磁力 做功： A＝ I *。
31
例题 8－7
例题8-7 长方形线圈OPQR 可绕y轴转动，l1=6cm, l2=8cm。线圈中电流为10A，方向沿OPQRO。均匀 磁场 B = 0.02T，方向平行于Ox。
ˆ ˆ ˆ PQ边： FPQ 10 0.06(cos 30 i sin 30 k) 0.02 i
y
讨论大小和方向。
P
l2
0.006 ˆ . j
Q
ˆ en
讨论大小和方向。
B
30
l1
O
z
x
ˆ QR边： QR 10 0.08 ˆ 0.02i F j ˆ 0.016k . RO边： FRO 0.006 ˆ. j
F合 y
F 2BIR.
∴ 半圆形载流导线上所受的 磁力，与两个端点相连的直导 线所受到的磁力相等。 推广：任意弯曲的载流导线， 在均匀磁场中受到的安培力， 等效于两个端点相连的直导线 受到的安培力。
F
2R，I
x
B
I Idl
o
I
P
思考题3
Eg3. 在均匀磁场中放置半径为R的半圆形导线，电流 强度为I，导线两端连线与磁感强度方向夹角=30°。 求：此段圆弧电流受的磁力。
电流单位“安培”的定义
3、电流单位“安培”的定义
3.1 平行载流导线间的相互作用力
B
d
D
A
I1
I2 C
步骤： 1，利用毕--萨定律，计算某 根导线在空间中激发的磁场； 2，利用安培定律，计算另 一载流导线在磁场中受到的 安培力。
23/6
1)，计算载流导线AB在空间 中激发的磁场，
d
B D
对 于 离导 线距离 较近的场点，导线 可视为无限长。 利用安培环路定理，
D(C )
B
ˆ n
讨论：
M Pm B.
A( B )
① =/2，线圈平面与磁场方 向相互平行，力矩M最大。力 矩有使 减小的趋势。
ˆ n
F2
F2'
( )
B
② =0，线圈平面与磁场方 向垂直，力矩为零，线圈处于 D(C ) 平衡状态。 ③ =，线圈平面与磁场方向相互垂直，力矩 为零，但为不稳定平衡， 与 Pm反向，微小扰动， B 磁场的力矩使线圈转向 =0的稳定平衡状态。 总结：任意形状的平面载流线圈作为整体在均 匀外磁场中，受到的合力为零。合力矩 M Pm B 使线圈的磁矩 Pm 转到磁感应强度 B 的方向。
dFy dF sin BIdl sin
由几何关系， dl
Rd ,
y dFy
Idl d
F合 dFy
BIR sin d
0

dF dFx
x
2BIR.
安培力F的方向：y轴正方向。

F合 2BIR.
考虑从右端指向左端的长 度为2R的电流 I，
（1）若线圈平面和磁场成 =30°，求此时线圈每 边所受的安培力，及线圈所受的磁力矩；
y
P
Q
l2
ˆ en
B
30
l1
O
z
x
R
32
F dF I dl B ˆ ˆ OP所受磁场力： FOP 10 0.08 ˆ 0.02i 0.016k . j
F2

A( B )

B
F2
ˆ n
讨论：
M Pm B.
A( B )
① =/2，线圈平面与磁场方 向相互平行，力矩M最大。力 矩有使 减小的趋势。
ˆ n
F2
F2'
( )
B
② =0，线圈平面与磁场方 向垂直，力矩为零，线圈处于 D(C ) 平衡状态。 ③ =， 线圈平面与磁场方向相互垂直，力矩 为零，但为不稳定平衡， 与 Pm反向，微小扰动， B A( B ) 磁场的力矩使线圈转向 =0的稳定平衡状态。 F2 F2'
A
B21
I1
C

L
B dl 0 I
B21 2 d 0 I1
0 I 1 B21 . 2 d
2)，计算导线CD受到的力，
在CD上任取一电流元 I 2 d l2 ， d F21 B21 I 2 d l2 sin ,
I1 I 2 d l2 1 d A I1 I 2 d l2 I1 d d F21 0 I1 I 2 . d l2 2 d
解：磁场均匀，磁力等效于与两个端点相连的直 导线所受到的磁力。 dF I dl B
dF Idl B sin 30, 方向向里
I
F BIdl sin 30
a
b
BI sin 30 dl
a
b
Idl
30°
b B
a
方向：向里
10/26
BI sin 30 ab BIR.
A( B )


B
仍然成立。 F
ˆ n
2
可以证明，上式不仅对矩形线圈成立， 对于均匀磁场中的任意形状的平面线圈也成 立。
讨论：
M Pm B.
① = /2，线圈平面与磁场 A( B) 方向相互平行， 力矩 M 最大。 力矩有使 减小的趋势。 F
2
F2'
B
思考题4
Eg4. 如图，长直导线过圆电流的中心，且垂直圆电 流平面，电流强度均为I。 I 求：相互作用力。 I dl 解：先求圆电流所激发的磁场， 在中心轴线（长直导线）处，
B
B
0 IR 2
2( R 2 x 2 ) 2
3
I
, 方向沿着轴线；
在长直导线上任取电流元 Idl ，
相互作用力 F合 0.
ˆ (线圈磁矩： Pm ISn)
∴ 磁场对线圈的力矩的 矢量式：
A( B )
M B Pm sin .
F2 '
D(C )
M Pm B.


B
F2
ˆ n
若线圈有N匝，则力偶矩M：
F2'
D(C )
M Pm B
M N BIS sin . ˆ ( Pm NISn)
dF I dl B
B
d F21
d
D
I 2 d l2 B21
0 2 0 2
I2 C
即：载流导线 CD， 单位长度上所受的力的大小
为 0 I1 I 2 ，方向指向导线AB。
2 d
3)，同理可证，载流导线AB，单位长度所受的 II 力的大小也为 0 1 2 ，方向指向导线CD。