【K12】高中数学第一章三角函数1.2.1.1三角函数的定义教案新人教A版必修4
高中数学新课标人教A版必修第一二册教学方案〖《三角函数的概念》参考教案〗
《三角函数的概念》教学设计一、讲什么1．教学内容（1）概念原理：任意角的三角函数的概念、对应法则、函数的定义域，值域、象限角的对应比值．（2）思想方法：数形结合，周期性的思想，类比、归纳．（3）能力素养：几何直观、数学抽象．2．内容解析：本课是《任意角的三角函数》这一章的概念课，具有核心地位、统领全局的作用．在此之前，学生已经学习了锐角三角函数，弧度制，对三角函数（正弦，余弦，正切）有一定的了解，了解了锐角三角函数在解三角形中的作用．为本节课的学习提供了知识准备．本节将学习任意角三角函数的概念、表示及关系．借用单位圆直观的表示三角函数的对应值．二、为何讲1．教学目标：（1）了解任意角三角函数概念的形成过程，培养学生抽象问题的能力；（2）掌握任意角三角函数的代数表示，理解任意角三角函数的正弦，余弦，正切概念，体会用单位圆进行数学研究的一般过程．2．目标解析：（1）使学生深刻体会从锐角的三角函数的定义演变到任意角的三角函数定义的过程及把握任意角的三角函数的对应法则内涵．（2）利用单位圆培养学生观察、分析能力，激发学生学习、探究数学知识的兴趣．（3）让学生理解到一堂概念课，更为重要的是培养学生类比化归，解决实际问题的能力，感悟到数学源于生活，数学就在身边．能让学生去体会认识和研究数学新对象的方法和基本思路，而且提高抽象问题的能力．教学重点：本节的重点是利用单位圆模型理解任意角三角函数概念的形成过程．三、怎样讲（一）教学准备1．教学问题：（1）学生在理解用终边上任意一点的坐标来表示锐角三角函数是可能会出现障碍，由于学生在此之前学习了直角三角形中的锐角三角函数，并习惯了直观地用有关边长的比来表示锐角三角函数，要克服这一点，关键是帮助学生建立终边上点的坐标的比值与直角三角形有关边长的比值的联系；（2）学生在理解将终边上任意一点去在终边与单位圆的交点这一特殊位置上时，又可能会形成障碍．（3）学生在将用单位圆定义锐角三角函数推广到定义任意角的三角函数时，可能会受初中锐角三角函数定义的影响，仍然局限在直角三角形中思考问题．2．教学支持条件：计算机，几何画板，问答系统．（二）教学过程设计∠是直角，【问题1】在初中，我们学过锐角三角函数，如图1，在直角三角形OMP中，M∠的正弦，余弦，正切分别是什么？那么根据锐角三角函数的定义，O【设计意图】帮助学生回顾初中学过的锐角三角函数的定义．【预设师生活动】教师提出问题，学生回答．【问题2】在上节课的学习中，我们已经将角的概念推广到了任意角，现在说说的角可以是任意大小的正角，负角和零角．那么任意角的三角函数又该怎么定义呢？【设计意图】引导学生将锐角三角函数推广到任意角三角函数．【预设师生活动】老师引导学生：（1）能不能继续在直角三角形中定义任意角的三角函数？（2）将锐角推广到任意角时，我们是把角放在哪里进行研究的？（3）如图2：在平面直角坐标系中如何定义任意角α的三角函数？（4）终边是OP的角一定是锐角吗？如果不是，能用直角三角形的边长来定义吗？当α的终边不在第一象限该怎么办？（5）我们知道，借助平面直角坐标系，就可以把几何问题代数化，大家能不能用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示定义式中的一条边长呢？（渗透数形结合的思想）（6）利用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来定义有什么好处？【问题3】大家有没有办法让所得到的定义式变得更简单一点？【设计意图】为引入单位圆做铺垫．【预设师生活动】教师提出问题后，课组织学生展开讨论，在学生不能回到正确时，可启发他们思考：（1）我们在定义1弧度的角时，利用了一个什么图形？所用的圆与半径大小有关吗？用半径多大的圆定义起来更简单易懂？（2）对于一个三角函数，比如sin=．它的函数值是由什么决定的？那么当一个角的终边yα位置确定后，能不能取终边任意一点来定义三角函数？取哪一点可以使得我们的定义式变得简单易懂些？怎样取？（加强与几何的联系））【问题4】大家现在能不能给出任意角三角函数的定义了？【设计意图】引导学生在用单位圆定义锐角三角函数的基础上，进一步给出任意角三角函数的定义．【预设师生活动】由学生给出任意角三角函数的定义，教师进行整理【问题5】根据任意三角函数的定义，要求角α的三个三角函数值其实就是求什么？ 【设计意图】让学生从中体会，用单位圆上点的坐标定义三角函数不仅简化了定义式，还更能突出三角函数概念的本质． 【预设师生活动】在学生回答问题的基础上，引导学生利用定义求三角函数值例1 已知角α的终边过点P （12，α的正弦、余弦和正切值． 【设计意图】从最简单的问题入手，然后通过变式，让学生学习如何利用定义求不同情况下函数值的问题，进而加深对定义的理解，加强定义应用中与几何的联系，体会数形结合的思想．【预设师生活动】在完成本题的基础上，可通过下列变式引导学生对三角函数的概念作进一步的认识． 变式1： 求35π的正弦、余弦和正切值． 变式2： 已知角α的终边过点P （－3，－4），求角α的正弦、余弦和正切值． 【问题6】你们能否给出正弦、余弦和正切函数在弧度制下的定义域？【设计意图】研究一个函数，就是要研究其三要素，而三要素中最本质的是对应法则和定义域，三角函数的对应法则已经有定义式给出，所以在给出定义之后就要研究其定义域，通过利用定义求定义域，即完善了三角函数概念的内涵，同时又可帮助学生进一步理解三角函数的概念．【预设师生活动】学生求出定义域，教师进行整理 【问题7】上述三种函数的值在各象限的符号会怎么样？【设计意图】通过定义的应用，让学生了解三种函数值在各象限的符号的变化规律，并从中进一步理解三角函数的概念，体会数形结合的思想． 【预设师生活动】学生回答，教师进行整理．例2. 求证：（1）当不等式组⎩⎨⎧><0tan 0sin θθ成立时，角θ为第三象限角；（2） 当角θ为第三象限角时，不等式组⎩⎨⎧><0tan 0sin θθ成立．【设计意图】通过问题的解决，熟悉和记忆函数值在各象限的符号的变化规律，并进一步理解三角函数的概念．【预设师生活动】在完成本题的基础上，可视情况改变题目的条件或结论，作变式训练； 【问题8】三角函数的函数值是由角的终边的位置决定的，那么角的终边每绕原点旋转一周，它的大小将会怎样变化？它所对应的三角函数值又将怎样变化？【设计意图】引出公式一，突出函数周期变化的特点，以及数形结合的思想． 【预设师生活动】在教师的引导下，由学生讨论完成．例3 先确定下列三角函数值的符号，然后再求出它们的值；)672cos()4();611tan()3(;3cos )2(;49sin)1(0--πππ． 【设计意图】将确定函数值的符号与求函数值这两个问题结合在一起，通过应用公式一解决问题，让学生熟悉和记忆公式一，并进一步理解三角函数的概念．【预设师生活动】先完成题（1），再通过改变函数名称和角，逐步完成其他各题． 练习 （1）填表．（2）设α是三角形的一个内角，在αsin ，αcos ，αtan ，2tan α中，有可能取负值的是 ．（3）选择“>”，“<”，“=”填空：;0_____)34sin(π-;0_____556tan 0 ;0_____)450cos(0-;0_____)817tan(π- （4）选择0tan )5(;0tan )4(;0cos )3(;0sin )2(;0sin )1(<>><>ααααα中适当的关系式的序号填空：（1）当角α为第一象限角时， ，反之也成立； （2）当角α为第二象限角时， ，反之也成立； （3）当角α为第三象限角时， ，反之也成立； （4）当角α为第四象限角时， ，反之也成立；（5）求67π的正弦，余弦和正切值．（6）已知角θ的终边经过点P （-12，5），求角θ的正弦，余弦和正切值．（7）求下列三角函数值：);431tan();1050sin(;319tan;1109cos 00ππ--图1例4（备选）如图1是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为h0，它的直径为2R，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置OA出发（如图1所示），过了30秒后，你离地面的高度为多少？过了t0 秒呢？【设计意图】通过应用三角函数定义，熟悉和记忆特殊角的三角函数值，三角函数值的符号，公式一，以及求三角函数值，加强对三角函数概念的理解．【预设师生活动】根据教学的实际情况，对练习题的数量和内容做具体调整．5.小结【问题9】从锐角三角函数的定义推广到任意角的三角函数的定义，你能回顾一下我们是如何借助单位圆给出任意角的三角函数的定义的吗？锐角三角函数与解直角三角形相关，在初中我们是利用直角三角形边的比值来表示锐角的三角函数．通过今天的学习，我们知道任意角的三角函数虽然是锐角三角函数的推广，但它与解三角形已经没有什么关系了，我们是利用单位圆来定义任意角的三角函数．借助平面直角坐标系中的单位圆，我们建立了角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系，进而利用单位圆点的坐标或坐标的比值来表示圆心角的三角函数．【设计意图】回顾和总结本节课的主要内容．【预设师生活动】在学生给出定义后，教师进一步强调用单位圆定义三角函数的优点．【问题10】今天我们不仅学习了任意角三角函数的定义，还接触了定义的一些应用，能不能归纳一下，今天我们利用定义解决了那些问题？【设计意图】回顾和总结三角函数在本节课中的应用．【预设师生活动】在学生回顾与总结的基础上，教师有意识地引导学生定义应用过程中所蕴含的数形结合的思想．。
高一数学人教A版必修四教案：第一章三角函数1-2任意角的三角函数
（1） (sin)2 (cos)2 1对任一个角 都成立；
sin tan 对任何一个不等于 k (k Z ) 的角 都成立．
cos
2
（2）说明方法 1：用三角函数的定义说明（利用定义）
说明方法 2：用三角函数线说明（数形结合）
（3）体会从特殊到一般的认知规律，了解同角三角函数关系的几何意义.
右
所以原等式成立.
证法 2、(1 sin x)(1 sin x) 1 sin2 x cos2 x cos x cos x
且1 sin x 0，cos x 0 cos x 1 sin x
（2）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所 在象限进行分类讨论．
五、评价设计
(1) 作业：习题 1.2A 组第 10,13 题. (2) 熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关 系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.
1.2.3 同角三角函数的基本关系
教学重点：正弦、余弦、正切线的概念。 教学难点：正弦、余弦、正切线的利用。 授课类型：新授课 教学模式：讲练结合 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．三角函数的定义及定义域、值域：
练习 1：已知角 的终边上一点 P( 3, m) ，且 sin 2m ，求 cos,sin 的值。
r
x
当 m 5 时， r 2 2, x 3 ，
cos x 6 , tan y 15 ；
r4
x3
当 m 5 时， r 2 2, x 3 ，
cos x 6 , tan y 15 ．
r4
x3
2．三角函数的符号：
配套K12高中数学第一章基本初等函数II1.2任意角的三角函数1.2.1三角函数的定义示范教案新人教
1.2.1 三角函数的定义示范教案整体设计教学分析学生已经学过锐角三角函数，它是用直角三角形边长的比来刻画的．锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系．任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，它与“解三角形”已经没有什么关系了．因此，与学习其他基本初等函数一样，学习任意角的三角函数，关键是要使学生理解三角函数的概念．教材中是分三步引入三角函数的定义的．首先以锐角三角函数为引子，即当象限角为锐角时，复习直角三角形中的边、角关系，锐角三角函数；接着推广锐角三角函数，即在象限角的终边上任取一点，启发学生研讨这一点的坐标与象限角大小的关系，进而证明三个比值x r ，yr，yx与点在终边上的位置无关；最后根据判断函数的标准(函数值是否唯一，是否给出定义域)，定义正弦、余弦和正切三个三角函数．本小节的第二个内容是判断三个三角函数在各象限的符号，为进一步研究三角函数作好准备．例题1、2的作用是学会由已知条件求三角函数值，掌握终边在坐标轴上的角的三角函数值．三维目标1．理解并掌握任意角的三角函数定义，理解三角函数是以实数为自变量的函数，并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域，理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号．2．通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同角的同一三角函数值相等．3．能根据三角函数的符号，确定角所在的象限．重点难点教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义，终边相同的角的同一三角函数值相等．教学难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数，三角函数符号．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.我们把角的范围推广了，锐角三角函数的定义还能适用吗？譬如三角形内角和为180°，那么sin200°的值还是三角形中200°的对边与斜边的比值吗？类比角的概念的推广，怎样修正三角函数定义？由此展开新课．另外用“单位圆定义法”单刀直入给出定义，然后再在适当时机联系锐角三角函数，这也是一种不错的选择．思路2.引导学生回忆锐角三角函数概念，体会引进象限角概念后，用角的终边上点的坐标比表示锐角三角函数的意义，从而为定义任意角的三角函数奠定基础．推进新课新知探究定义1提出问题我们曾学习了锐角三角函数，你能回忆一下锐角三角函数的定义吗？你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？活动：前面我们对角的概念已经进行了扩充，并且学习了弧度制，知道了角的集合与实数集是一一对应的，在此基础上，我们来研究任意角的三角函数．教师在直角三角形所在的平面上建立适当的坐标系，画出角α的终边；学生给出相应点的坐标，并用坐标表示锐角三角函数．如图1所示，以角α的顶点O 为坐标原点，以角α的始边的方向作为x 轴的正方向，建立直角坐标系xOy ，并且使∠xOy＝90°.图1如图1(1)，α为锐角，记∠MOP＝α，P(x ，y)是α终边上不同于坐标原点的任意一点，MP⊥Ox 于点M ，则OM ＝x ，MP ＝y ，r ＝OP ＝x 2＋y 2>0，根据锐角三角函数的定义知sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x ，cot α＝x y. 讨论结果：(1)锐角三角函数是以锐角为自变量，边的比值为函数值的三角函数．(2)略．定义2提出问题 如果改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？为什么？怎样根据锐角三角函数的定义来定义任意角的三角函数？活动：教师先让学生们相互讨论，并让他们动手画画图形，看看从图形中是否能找出某种关系来．然后提问学生，由学生回答教师的问题，教师再引导学生选几个点，计算一下对应的比值，获得具体认识，并由相似三角形的性质来证明．最后可以发现，由相似三角形的知识，对于确定的角α，这三个比值不会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变．在任意角α的终边上取点A(图1(2))，使OA ＝1，设点A 的坐标为(l ，m)，再任取一点P(x ，y)，设OP ＝r(r≠0)，由相似三角形对应边成比例，得|x|r ＝|l|，|y|r ＝|m|，|y||x|＝|m||l|. 因为A ，P 在同一象限内，所以它们的坐标符号相同．因此得x r ＝l ，y r ＝m ，y x ＝m l. 不论点P 在终边上的位置如何，它们都是定值，它们只依赖于α的大小，与点P 在α终边上的位置无关．即当点P 在α的终边上变化时，这三个比值始终等于定值．因此我们可定义x r 叫做角α的余弦，记作cos α，即cos α＝x r ；y r 叫做角α的正弦，记作sin α，即sin α＝y r； y x 叫做角α的正切，记作tan α，即tan α＝y x. 依照上述定义，对于每一个确定的角α，都分别有唯一确定的余弦值、正弦值与之对应；当α≠2k π±π2(k∈Z )时，它有唯一的正切值与之对应．因此这三个对应法则都是以α为自变量的函数，分别叫做角α的余弦函数、正弦函数和正切函数．由图1(1)可以看出，当α为锐角时，上述所定义的三角函数与在直角三角形中所定义的三角函数是一致的．有时我们还用到下面三个函数角α的正割：sec α＝1cos α＝r x； 角α的余割：csc α＝1sin α＝r y； 角α的余切：cot α＝1tan α＝x y. 这就是说，sec α，csc α，cot α分别是α的余弦、正弦和正切的倒数．教师出示定义后，可让学生解释一下定义中的对应关系．教师应指出任意角的正弦、余弦、正切的定义是本节教学的重点．教师在教学中可以在学生对锐角三角函数已有的几何直观认识的基础上，先建立直角三角形的锐角与第一象限角的联系，在直角坐标系中考查锐角三角函数，得出用角的终边上点的坐标(比值)表示锐角三角函数的结论．在此基础上，再定义任意角的三角函数．教师可以引导学生通过分析三角函数定义中的自变量是什么，对应关系有什么特点，函数值是什么．特别注意α既表示一个角，又是一个实数(弧度数)．从而可以把三角函数看成是自变量为实数的函数．值得注意的是：①正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．②sin α不是sin 与α的乘积，而是一个比值；三角函数的记号是一个整体，离开自变量的“sin”“tan”等是没有意义的．③当α的终边在y 轴上，即α＝2k π±π2(k∈Z )时，tan α，sec α没有意义；当α的终边在x 轴上，即α＝k π(k∈Z )时，cot α，csc α没有意义．讨论结果：(1)略．(2)略．三角函数在各象限的符号提出问题 学习了任意角，我们可以对哪些问题进行讨论？根据三角函数的定义，正弦、余弦、正切的定义域、值域是怎样的？怎样判断三角函数在各象限的符号？活动：请根据任意角的三角函数定义，先将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填入下表，再将这三种函数的值在各象限的符号填入图2中的括号内．图2教师要注意引导学生从定义出发，利用坐标平面内点的坐标的特征得定义域、函数值的符号等结论．对于正弦函数sin α＝y ，因为y 恒有意义，即α取任意实数，y 恒有意义，也就是说sin α恒有意义，所以正弦函数的定义域是R ；类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数tan α＝y x ，因为x ＝0时，y x无意义，即tan α无意义，又当且仅当角α的终边落在纵轴上时，才有x ＝0，所以当α的终边不在纵轴上时，y x恒有意义，即tan α恒有意义，所以正切函数的定义域是α≠π2＋k π(k∈Z )． (由学生填写下表)三角函数的定义告诉我们，各三角函数在各象限内的符号，取决于x ，y 的符号，当点P 在第一、二象限时，纵坐标y>0，点P 在第三、四象限时，纵坐标y<0，所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的，对于第三、四象限角是负的(可制作课件展示)；同样地，余弦函数在第一、四象限是正的，在第二、三象限是负的；正切函数在第一、三象限是正的，在第二、四象限是负的．从而完成上面探究问题．即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．讨论结果：(1)定义域、值域、单调性等．(2)y ＝sin α与y ＝cos α的定义域都是全体实数R ，值域都是[－1,1]．y ＝tan α的定义域是{α|α≠π2＋k π(k∈Z )}，值域是R . (3)由三角函数定义，以及各象限内点的坐标的符号，可以确定三角函数的符号． 应用示例思路1例 1已知角α的终边经过点P(2，－3)，求角α的六个三角函数值．活动：教师留给学生一定的时间，学生独立思考并回答．明确可以用角α终边上任意一点的坐标来定义任意角的三角函数．教师要点拨引导学生习惯画图，充分利用数形结合，但要提醒学生注意α角的任意性．解：如图3，因为x ＝2，y ＝－3，图3所以r ＝22＋－2＝13.于是sin α＝y r ＝－313＝－31313， cos α＝x r ＝213＝21313， tan α＝y x ＝－32，cot α＝－23， sec α＝r x ＝132，csc α＝r y ＝－133. 例 2求下列各角的六个三角函数值：(1)0；(2)π；(3)3π2. 活动：教师引导学生充分利用三角函数定义，必要时也可画出图形，通过本例进一步理解三角函数定义中比值与点P 的位置没有关系．解：(1)因为当α＝0时，x ＝r ，y ＝0，所以sin0＝0，cos0＝1，tan0＝0，csc0不存在，sec0＝1，cot0不存在；(2)因为当α＝π时，x ＝－r ，y ＝0，所以sin π＝0，cos π＝－1，tan π＝0，cot π不存在，sec π＝－1，csc π不存在；(3)因为当α＝3π2时，x ＝0，y ＝－r ， 所以sin 3π2＝－1，cos 3π2＝0，tan 3π2不存在， cot 3π2＝0，sec 3π2不存在，csc 3π2＝－1.图4P到原点的距离为r，作∠AOB＝例 3若sinα<0①，且tanα>0②，则α是( )A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角答案：C活动：教师引导学生讨论验证在不同的象限内各个三角函数值的符号有什么样的关系，提示学生从三角函数的定义出发来探究其内在的关系．可以知道：三角函数的定义告诉我们，各三角函数在各象限内的符号，取决于x，y的符号，当点P在第一、二象限时，纵坐标y>0，点P在第三、四象限时，纵坐标y<0，所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的，对于第三、四象限角是负的；同样地，余弦函数在第一、四象限是正的，在第二、三象限是负的；正切函数在第一、三象限是正的，在第二、四象限是负的．解析：我们证明如果①②式都成立，那么θ为第三象限角．因为①sinθ<0成立，所以θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可能位于y轴的非正半轴上；又因为②式tanθ>0成立，所以θ角的终边可能位于第一或第三象限．因为①②式都成立，所以θ角的终边只能位于第三象限．答案选C.反过来，请同学们自己证明．点评：本例的目的是认识不同位置的角对应的三角函数值的符号，其条件以一个不等式出现，在教学时要让学生把问题的条件、结论弄清楚，然后再给出证明．这一问题的解决可以训练学生的数学语言表达能力.例 4确定下列各三角函数值的符号： (1)cos260°；(2)sin(－π3)；(3)tan(－672°20′)；(4)tan 10π3. 活动：由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等．由此得到一组公式(公式一这也是我们下一步要归纳总结的)：α＋k·2π＝sin α， α＋k·2π＝cos α，α＋k·2π＝tan α，其中k∈Z . 解：(1)因为260°是第三象限的角，所以cos260°<0；(2)因为－π3是第四象限的角，所以sin(－π3)<0； (3)因为tan(－672°20′)＝tan(－2×360°＋47°40′)，而47°40′是第一象限的角，所以tan(－672°20′)>0；(4)因为tan 10π3＝tan(2π＋4π3)，而4π3是第三象限的角，所以tan 10π3>0.例 1已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，则10sin α＋3sec α＝__________. 解析：设角α终边上任一点为P(k ，－3k)(k≠0)，则 x ＝k ，y ＝－3k ，r ＝k 2＋－2＝10|k|.(1)当k>0时，r ＝10k ，α是第四象限角， sin α＝y r ＝－3k 10k＝－31010，sec α＝r x ＝10k k ＝10， ∴10sin α＋3sec α＝10×(－31010)＋310＝－310＋310＝0. (2)当k<0时，r ＝－10k ，α为第二象限角，sin α＝y r ＝－3k －10k ＝31010，sec α＝r x ＝－10k k ＝－10，∴10sin α＋3sec α＝10×31010＋3×(－10)＝310－310＝0. 综合以上两种情况均有10sin α＋3sec α＝0.答案：0点评：本题的解题关键是要清楚当k>0时，P(k ，－3k)是第四象限内的点，角α的终边在第四象限；当k<0时，P(k ，－3k)是第二象限内的点，角α的终边在第二象限内，这活动：让学生先回顾求函数的定义域需要注意哪些特点，对于三角函数这种特殊的函数在解三角不等式时要结合三角函数的定义进行．求含正切函数的组合型三角函数的定义域时，正切函数本身的定义域往往被忽略，教师提醒学生应引起注意这种情况．同时，函数的定义域是一个集合，所以结论要用集合形式表示．解：要使函数y ＝sin α＋tan α有意义，则sin α≥0且α≠k π＋π2(k∈Z )． 由正弦函数的定义知道，sin α≥0.∴角α的终边在第一、二象限或在x 轴上或在y 轴非负半轴上，即2k π≤α≤π＋2k π(k∈Z )．∴函数的定义域是{α|2k π≤α<π2＋2k π或π2＋2k π<α≤(2k＋1)π，k∈Z }.课堂小结本节课我们给出了任意角三角函数的定义，并且讨论了正弦、余弦、正切函数的定义域，任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展，是将锐角三角函数中边的比变为坐标与距离、坐标与坐标的比，记忆方法可用锐角三角函数类比记忆，至于三角函数的定义域可由三角函数的定义分析得到．本节课我们重点讨论了两个内容，一是三角函数在各象限内的符号，二是一组公式．两者的作用分别是：前者确定函数值的符号，后者将任意角的三角函数化为0°到360°角的三角函数，这两个内容是我们日后学习的基础，经常要用，请同学们熟记．作业课本本节练习A组4；练习B组4、5.设计感想关于三角函数定义法，总的说来有两种：“单位圆定义法”(以后讲到)与“终边定义法”．这两种方法本质上是一致的．正因为此，各种数学出版物中，两种定义方法都有采用．在学习本节的过程中可以与初中学习的三角函数定义进行类比、学习．理解任意角三角函数的定义不但是学好本节内容的关键，也是学好本章内容的关键．在教学中，教师应该充分调动学生独立思考和总结的能力，以巩固对知识的理解和掌握．教师在教学中，始终引导学生紧扣三角函数的定义，善于利用数形结合．在利用三角函数定义进行求值时，应特别强调要注意横向联系，即不仅仅能求出该值，还要善于观察该值与其他三角函数值之间的联系，找出规律来求解．。
高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数(3)教学教案新人教A版必修
§1.2.1任意角三角函数（一）
tan α=
)0(≠x x
y
师：正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。
问4：你能给出三角函数中自变量α的取值范围（即三角函数的定义域）吗？
问5：如何求角的三角函数值?
1、 画角：使角的始边在x 轴上，角的顶点在坐标原点
2、 求点：求角的终与单位圆的交点坐标P （x ,y ）
3、算值：由定义计算：
sin α=y cos α=x
tan α=
)0(≠x x
y
例3：已知角α的终边经过点)4,3(--︒p ，求角α的正弦、余弦、正切值。
探究3的应用，另一定义的引入。
课堂 小结
1、 本节课我们是如何研究任意角三角函数的？
直角三角形中锐角三角函数→直角坐标系中锐角三角函数→单位圆中任意角三角函数
2、 如何求角α的三角函数
单位圆中： 在非单位圆中：
sin α=y sin α=r x cos α=x cos α=r
y
tan α=)0(≠x x y tan α=x
y
课后作业
练习题：第15页第1、2题
习题1.2A 组 第1、2题.
板书 设计
教学反
思
三角函数是描述客观世界中周期变化规律的重要数学模型，本章
是建立在函数基础上探究角，本节课是学习完《任意角》、《弧度制》
后的第一节课。
在初中，学生就接触过锐角三角函数，为了刻画一些简单的周期运动，要将其推广给出定义，将使学生的思维陷入僵化，
x
y
o。
高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 三角函数的定义导学案新人教A版必修4
三角函数的定义（自学自测）【学习目标】:1 理解任意角三角函数的定义及定义域;2.会利用定义求三角函数值，掌握各种三角函数在各象限内的符号.【重、难点】：任意角三角函数的定义。
【自主学习】 自学课本第1417P P -,页.通过自学完成以下问题： 1设α是一个任意角,在α的终边上任取（异于原点的）一点(,)P x y ,若P 到原点的距离r , 则cos α= ; sin α= ; tan α= .另外,角α的正割: 角α的余割: 角α的余切: . 2 由上述三角函数定义,得出正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域列表:3 写出各个三角函数在各象限内的符号:sin α cos α tan α 【自我检测】 １.填表并记忆: 90︒2. 角α的终边经过点(2,3),P -则sin α=________,cos α=________,tan α=＿＿＿.课题：三角函数的定义（自学自测）例1 确定下列各个三角函数值的符号: （1）0cos 260；（2）sin()3π-；（3）0'tan(67220)-；（4）10tan3π.（2）设sin 0θ<且tan 0θ>,确定θ是第几象限的角例2 已知角α的终边在直线2y x =上, 求α的六个三角函数值.【收获总结】 知识总结： 方法总结：【自练自题】：1.确定下列各三角函数的符号:0(1)sin156 ______ 16(2)cos5π_______; 0(3)cos(80)-________; 17(4)tan()8π-______; 4(5)sin()3π-______; 0'(6)tan55612________2．如果α的终边过点0(2sin30,2cos30)P -,sin α= .3.α是第二象限角,(P x 为其终边上一点,且cos α=,则sin α= . 4．已知函数cos sin tan ()sin cos tan f ααααααα=++,则()f α的值域是 .(选做部分)5．若sin cos θθ<,且sin cos 0θθ⋅<,则θ在第 象限.6.已知1sin ,cos 22αα=-=-,求α的终边与以原点为圆心,以2为半径的圆的交点坐标.。
高中数学第一章三角函数1.2.1.1三角函数的定义教案新人教A版必修
1.2.1.1 三角函数的定义1.知识与技能(1)掌握任意角的三角函数的定义.(2)已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值.(3)记住三角函数的定义域、值域、诱导公式一.2.过程与方法(1)通过直角三角形中三角函数定义到单位圆中三角函数定义,最后到直角坐标系中一般化的三角函数定义,培养学生发现数学规律的思维方法和能力.(2)树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.(3)通过对定义域、三角函数值的符号、诱导公式一的推导,提高学生分析、探究、解决问题的能力.3.情感、态度与价值观(1)使学生认识到事物之间是有联系的,三角函数就是角度(自变量)与比值(函数值)的一种联系方式.(2)学习转化的思想,培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神.重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号),以及这三种函数的第一组诱导公式.公式一是本小节的另一个重点.难点:利用角的终边上点的坐标刻画三角函数,三角函数的符号.三角函数符号的由来sine(正弦)一词始于阿拉伯人雷基奥蒙坦,他是十五世纪西欧数学界的领导人物,他于1464年完成的著作《论各种三角形》,1533年开始发行,这是一本纯三角学的书,使三角学脱离天文学,独立成为一门数学分科.cosine(余弦)及cotangent(余切)为英国人根日尔首先使用,最早在1620年伦敦出版的他所著的《炮兵测量学》中出现.secant(正割)及tangent(正切)为丹麦数学家托马斯·芬克首创,最早见于他的《圆几何学》一书中.cosecant(余割)一词为锐梯卡斯所创,最早见于他1596年出版的《宫廷乐章》一书.1626年,阿贝尔特·格洛德最早推出简写的三角符号:“sin ”“tan ”“sec”.1675年,英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号:“cos ”“cot”“csc”.但直到1748年,经过数学家欧拉的引用后,才逐渐通用起来.1949年至今,我国数学书籍中“cot”改为“ctg”;“tan ”改为“tg”,其余四个符号均未变.这就是为什么我国市场上流行的进口函数计算器上有“tan ”而无“tg”按键的缘故.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
[k12精品]高中数学第一章三角函数1.2.1.2三角函数线教案新人教A版必修4
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1.2.1.2 三角函数线1.知识与技能(1)通过实例,了解有向线段的含义.(2)理解三角函数的几何意义——三角函数线.(3)掌握利用三角函数线解简单的三角不等式,比较三角函数值的大小.2.过程与方法(1)让学生经历从实例中理解三角函数的几何意义.(2)让学生体会数形结合思想的灵活运用.3.情感、态度与价值观通过学生亲自动手操作,逐步培养出从实际出发,通过尝试、观察、归纳、抽象和概括,达到感性向理性的升华.重点:三角函数的几何意义的理解.难点:三角函数的几何意义的应用.(1)重点的突破:在教学过程中,建议让学生明确以下三个方面:①三角函数线的数量.当三角函数线与坐标轴平行时,我们可根据三角函数线的方向与数轴的方向相同或相反,分别把它的长度加上正号或负号,这样所得的数,叫做三角函数线的数量.②正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的一种几何表示,它们都是与单位圆有关的平行于坐标轴(或与坐标轴重合)的有向线段.③在“数”的角度认识任意角的三角函数的基础上,还可以从图形角度考察任意角的三角函数,即用有向线段表示三角函数值,这是三角函数与其他基本初等函数不同的地方.(2)难点的解决:考虑到三角函数线的应用有一定的难度,教学时可结合一些具体的例子,通过问题的由浅入深的解决,让学生不断总结,教师再适时点拨,必要时辅助典例教学,这样学生既对三角函数线体会深刻,又对三角函数线的应用得以深化,突出重点的同时化解难点.三角函数线的应用利用单位圆中的三角函数线可以比较同名三角函数值的大小,解(证明)简单的三角不等式,研究三角函数值域或最值等问题,解决这类问题的关键是准确作出单位圆中的三角函数线.1.比较下列各组数的大小.(1)cos和cos;(2)sin和tan.解:(1)如图,在单位圆中作出的余弦线OM2和OM1.因为OM1<OM2,所以cos>cos.(2)如图,分别作出的正弦线和正切线,sin=MP,tan=AT,因为AT>MP,所以tan>sin.2.用三角函数线证明:|sin α|+|cos α|≥1.证明:当角α的终边在坐标轴上时,正弦线(余弦线)变成一个点,而余弦线(正弦线)的长等于r(r=1).所以|sin α|+|cos α|=1.当角α的终边落在四个象限时,如图,利用三角形两边之和大于第三边有|sin α|+|cosα|=|MP|+|OM|>1,综上有|sin α|+|cos α|≥1.。
高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 三角函数定义教案 新人教A版必修4(2021年整理)
1浙江省宁波市高中数学第一章三角函数1.2.1 三角函数定义教案新人教A版必修4234编辑整理：56789尊敬的读者朋友们：10这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（浙江省宁波市高中数学第一章三角函数1.2.1 三角函数定义教案新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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1212.2.1 任意角的三角函数一、关于教学内容的思考教学任务：帮助学生确立任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数的定义；能判断各象限角的正弦、余弦、正切函数的符号;讨论终边相同的角的同一三角函数值的关系。
教学目的:引导学生认识任意角的三角函数与初中所学三角函数的联系与区别。
教学意义：培养学生从特殊到一般情况的思考习惯.二、教学过程 １．引入：当角α是锐角时，在直角坐标系下，它是第一象限角，在它的终边上任取一点),(b a P ,它与原点的距离220r a b =+>，过点Ｐ作x 轴垂线,垂中为Ｍ,则线段ＯＭ的长度为a ，线段ＭＰ的长度为b ,因此有：r b OP MP ==αsin ,r a OP OM ==αcos ，ab =αtan 。
２．任意角的三角函数定义：一般地，设角α终边上任一点的坐标为),(y x ，它与原点的距离为r ，则sin y r α=，cos x r α=，tan (0)y x xα=≠。
３．单位圆定义：在直角坐标系中，称以原点Ｏ为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点),(y x P ,那么y 就叫做α的正弦；x 叫做α的余弦；xy 叫做α的正切. 注意：当α的终边在y 轴上时，αtan 无意义。
人教A版高中数学第一章 1.2.1三角函数的定义 教案
课题：§1.2.1三角函数的定义教学目标：1. 学生在研究摩天轮转动时座舱到地面的距离随角的变化规律的过程中，体会研究任意角三角函数 的必要性.2. 学生会利用三角函数的定义求角的三角函数值，能写出三角函数的定义域，会判断三角函数值的符号.3. 结合三角函数的定义，加深学生对函数概念的理解.教学重点：任意角三角函数定义的理解与运用.教学难点：任意角三角函数定义的必要性与合理性.教学过程设计：一．情景引入问题1如图是一个摩天轮的示意图，假设它的中心离地面的高度为50=o h m ，它的直径为802=r m ，逆时针方向匀速转动，假定你坐在座舱中，选取A 点作为初始位置（直线OA 为水平线），思考如下问题：（1）当你坐的座舱从A 点开始，绕着圆心O 转过了030角以后到达点P （如图所示），此时你离地面的 高度h 是多少？30sin 0r h h +=（因为OPMP = 30sin ，所以 30sin ⋅=OP MP ），计算得m h 702050=+= （2）当你坐的座舱从A 点开始，绕着圆心O 转过了070角，你离地面的高度h 是多少？转过了0225角 呢？m r h h 59.879397.0405070sin 0=⨯+≈+= ；m r h h 72.212205045sin 0≈-=-=（3）当你坐的座舱从A 点开始，绕着圆心O 转过了角α，你离地面的高度h 如何表示？我们可以借助锐角的三角函数来计算某个位置，你的座舱距离地面的高度，不方便的就是有时要用αsin ||00r h PM h h +=+=，有时要用αsin ||00r h PM h h -=-=.（其中角α为锐角）显然，座舱距离地面的高度h 随着旋转角α的确定而确定，能不能用一个统一的、简洁的形式，表示 h 与角α的关系呢？由于角的概念已经推广到了任意角，我们有必要来研究任意角三角函数定义的问题.二．锐角的三角函数为了研究任意角的三角函数，我们先复习一下锐角三角函数的定义.1．直角三角形为载体的锐角三角函数在直角三角形中，我们是怎样定义锐角POM ∠的三角函数POM ∠sin ，POM ∠cos 和POM ∠tan 的？在OMP Rt ∆中，锐角POM ∠的正弦、余弦和正切定义如下：OPMP POM POM =∠=∠斜边的对边sin ， ，斜边的邻边OP OM POM POM =∠=∠cos MP OM POM =∠∠=∠的邻边的对边POM POM tan . 问题 2 当锐角POM ∠的大小确定时，这三个比值与其所在的直角三角形的大小有没有关系？（几何画板演示）根据相似三角形的知识，当锐角POM ∠的大小确定时，三个比值都是唯一确定的，也就是说它们符合函数的定义，都是锐角POM ∠的函数.2. 直角坐标系中的锐角三角函数我们研究任意角是把角放在直角坐标系里，那么角是怎么放的呢？角α的顶点在原点，始边在Ox 轴的非负半轴.在直角坐标系中，点P 可以看成锐角POM ∠终边上的一个点，如图所示，设点),(P P y x P ，问题3 在直角坐标系中，你能用锐角的终边上的点的坐标来表示它的三角函数吗？r y P =αsin ，r x P =αcos ，PP x y =αtan 由问题2的分析可知， 当锐角α的大小确定时，这三个比值与点P 在终边上的位置无关.问题4 对于任意角α，如何定义它的三角函数呢？以正弦函数为例，能否也定义角α的正弦值为ry P =αsin （其中P y 为点P 的纵坐标）？ 问题是：1. 这样的定义方式合理吗？2. 可以用一个统一的、简洁的形式，表示h 与角α的关系吗？问题5 对于任意角α，取终边上一点),(P P y x P （异于原点），0||22>+==PP y x r OP ，比值r y P 是否都有唯一确定的值？（几何画板演示） 如果ry P =αsin （其中P y 为点P 的纵坐标），可得αsin r y P =，从而αsin 00r h y h h P +=+=. 这样，角α为任意角时，座舱距离地面的高度h 与旋转角α的关系式就非常简单.而对于锐角的情况，原来的定义仍然适用.类似地，我们可以用角的终边上任意一点（异于原点）的坐标定义任意角的余弦函数和正切函数.三．任意角的三角函数定义1. 三角函数的定义设角α终边经过一点),(y x P （异于原点），0||22>+==y x r OP ，那么（1）ry 叫做α的正弦，记作αsin ，即r y =αsin ； （2）rx 叫做α的余弦，记作αcos ，即r x =αcos ； （3）x y 叫做α的正切，记作αtan ，即)0(tan ≠=x xy α. 当α终边在y 轴上时，点P 的横坐标为0，xy α=tan 无意义.除此之外，对于确定的角α，上述三个比值都是唯一确定的，它们都是以角α为自变量的函数，我们将它们统称为角α的三角函数. 2. 三角函数的定义域根据三角函数的定义，将正弦、余弦、正切函数的定义域填入下表四．概念的巩固与运用例1 已知角α的终边经过点)4,3(--P ，求角α的正弦、余弦和正切值.例2 求下列各角的正弦、余弦和正切值.（1）0（2）︒120（3）π（4）2π- 例3 将三角函数的值在各象限内的符号填入下图中的括号内.例4 确定下列各三角函数值的符号.（1） 260cos ； （2）)3sin(π-； （3）)02672tan('- ； （4）310tan π问题6（视时间而定） 正弦、余弦和正切函数都是以比值形式定义的，用三个量0,,22>+=y x r y x ， 还可以构造什么样的比值形式？它们能构成函数吗？ 介绍：正割ααcos 1sec ==x r ，余割ααsin 1csc ==y r ，余切ααtan 1cot ==y x .课堂小结：1. 以前你知道锐角的三角函数，今天我们学习了任意角的三角函数，它们有什么区别和联系？2. 怎么用函数的概念理解三角函数的定义？自变量，函数值，对应关系如何？3. 借助坐标系，把几何的问题用坐标的形式代数化，这是一种很重要的数学思想方法--坐标法.4. 三角函数是刻画周期现象的重要模型.。
高中数学 第一章 三角函数 1.1.1 任意角教案 新人教A版必修4(2021年整理)
高中数学第一章三角函数1.1.1 任意角教案新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.1.1 任意角教案新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1。
1.1任意角一、教材分析“任意角的三角函数”是本章教学内容的基本概念，它又是学好本章教学内容的关键.它是学生在学习了锐角三角函数后，对三角函数有一定的了解的基础上，进行的推广。
它又是下面学习平面向量、解析几何等内容的必要准备。
并且，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念。
二、教学目标1.理解任意角的概念；2。
学会建立直角坐标系讨论任意角,判断象限角,掌握终边相同角的集合的书写。
三、教学重点难点1．判断已知角所在象限;2．终边相同的角的书写。
四、学情分析五、教学方法1.本节教学方法采用教师引导下的讨论法,通过多媒体课件在教师的带领下，学生发现就概念、就方法的不足之处，进而探索新的方法，形成新的概念,突出数形结合思想与方法在概念形成与形式化、数量化过程中的作用，是一节体现数学的逻辑性、思想性比较强的课.2．学案导学：见后面的学案。
3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备七、课时安排:1课时八、教学过程(一）复习引入:1．初中所学角的概念。
2．实际生活中出现一系列关于角的问题.(二）新课讲解：1．角的定义：一条射线绕着它的端点O ，从起始位置OA 旋转到终止位置OB ,形成一个角α,点O 是角的顶点，射线,OA OB 分别是角α的终边、始边。
高中数学第1章三角函数1.2.1任意角的三角函数第1课时任意角的三角函数的定义教案含解析新人教A版必修4
第1课时任意角的三角函数的定义1．任意角的三角函数的定义3.(1)图示：(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．4．诱导公式一思考：终边相同的角的同名三角函数值一定相等吗？提示：一定相等．1．若角α的终边经过点P (2，3)，则有( ) A ．sin α＝21313B ．cos α＝132C ．sin α＝31313D ．tan α＝23C [这里x ＝2，y ＝3，则r ＝22＋32＝13，∴sin α＝31313，cos α＝21313，tan α＝32，故选C.]2．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角B [由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限角．] 3．sin 253π＝ ．32 [sin 253π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＝sin π3＝32.] 4．角α终边与单位圆相交于点M ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，则cos α＋sin α的值为 ． 3＋12 [cos α＝x ＝32，sin α＝y ＝12， 故cos α＋sin α＝3＋12.][探究问题]1．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α，cos α，tan α为何值？提示：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x.2．sin α，cos α，tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？提示：sin α，cos α，tan α的值只与α的终边位置有关，不随P 点在终边上的位置的改变而改变．【例1】 (1)已知角θ的终边上有一点P (x ，3)(x ＞0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ的值为 ；(2)已知角α的终边落在直线3x ＋y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． 思路点拨：(1)依据余弦函数定义列方程求x →依据正弦、正切函数定义求sin θ和tan θ的值(2)判断角α的终边位置→分类讨论求sin α，cos α，tan α (1)31010，3 [由三角函数定义知，cos θ＝x r＝x x 2＋9＝1010x . ∵x ＞0，∴x ＝1，∴r ＝10. ∴sin θ＝31010，tan θ＝yx＝3.](2)[解] 直线3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，3)，则r ＝（－1）2＋（3）2＝2，所以sin α＝32，cos α＝－12，tan α＝－3； 在第四象限取直线上的点(1，－3)， 则r ＝12＋（－3）2＝2， 所以sin α＝－32，cos α＝12，tan α＝－ 3.1．将本例(1)中条件“x ＞0”改为“x ＜0”，结果如何？ [解] ∵x ＜0，由x x 2＋9＝1010x 得x ＝－1. ∴sin θ＝31010，tan θ＝－3.2．将本例(1)中条件“x ＞0”改为“x ≠0”，结果又怎样？ [解] 因为r ＝x 2＋9，cos θ＝xr， 所以1010x ＝xx 2＋9， 又x ≠0，所以x ＝±1，所以r ＝10.当x ＝1时，sin θ＝31010，tan θ＝3，当x ＝－1时，sin θ＝31010，tan θ＝－3.3．将本例(1)中“P (x ，3)”改为“P (x ，3x )”，且把“cos θ＝10x10”去掉，结果又怎样？[解] ∵x ≠0，∴r ＝x 2＋（3x ）2＝10|x |. 当x ＞0时，P 在第一象限，θ为第一象限角， 这时r ＝10x ，则sin θ＝31010，cos θ＝1010，tan θ＝3.当x ＜0时，P 在第三象限，θ为第三象限角，这时r ＝－10x . 则sin θ＝－31010，cos θ＝－1010，tan θ＝3.4．将本例(2)的条件“3x ＋y ＝0”改为“y ＝2x ”其他条件不变，结果又如何？ [解] 当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P (1，2)，由r ＝|OP |＝12＋22＝5，得sin α＝25＝255，cos α＝15＝55，tan α＝21＝2. 当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q (－1，－2)， 由r ＝|OQ |＝（－1）2＋（－2）2＝5， 得：sin α＝－25＝－255，cos α＝－15＝－55，tan α＝－2－1＝2.由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤： (1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．②在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r >0)．则sin α＝y r，cos α＝x r.已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)判断下列各式的符号：①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.思路点拨：(1)先判断tan α，cos α的符号，再判断角α终边在第几象限． (2)先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号，最后判断乘积的符号．(1)C [因为点P 在第四象限，所以有⎩⎪⎨⎪⎧tan α>0，cos α<0，由此可判断角α终边在第三象限．](2)[解] ①∵145°是第二象限角． ∴sin 145°＞0.∵－210°＝－360°＋150°， ∴－210°是第二象限角， ∴cos(－210°)＜0， ∴sin 145°cos(－210°)＜0.②∵π2＜3＜π，π＜4＜3π2，3π2＜5＜2π，∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0， ∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.判断三角函数值在各象限符号的攻略：(1)基础：准确确定三角函数值中各角所在象限； (2)关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；(3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误． 提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号．1．已知角α的终边过点(3a －9，a ＋2)且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是 ．[－2，3] [因为cos α≤0，sin α＞0，所以角α的终边在第二象限或y 轴非负半轴上，因为α终边过(3a －9，a ＋2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，所以－2＜a ≤3.]2．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第 象限角．四 [角α是第三象限角，则角α2是第二、四象限角，∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，∴角α2是第四象限角．](2)sin 7π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4cos 13π3.[解] (1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°) ＝tan 45°－sin 90°＋cos 30° ＝1－1＋32＝32. (2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π3＝sin π3cos π6＋tan π4cos π3＝32×32＋1×12＝54.利用诱导公式一进行化简求值的步骤(1)定形：将已知的任意角写成2k π＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k ∈Z . (2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值． (3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值．3．化简下列各式：(1)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－2ab cos(－1 080°)；(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 125π·tan 4π. [解] (1)原式＝a 2sin(－4×360°＋90°)＋b 2tan(360°＋45°)－2ab cos(－3×360°)＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－2ab cos 0° ＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2.(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π＋cos 125π·tan 4π ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos 125π·tan 0＝sin π6＋0＝12.1．通过三角函数的定义的学习，为以后学习一切三角函数知识打下了基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点在终边上的位置无关这一关键点．2．三角函数的定义域是学习三角函数图象与性质的基础，通过对角的集合与函数值之间的对应关系，加深对三角函数定义的理解．3．三角函数值在各象限的符号取决于终边所在的位置，具体说取决于x ，y 的符号，记忆时结合三角函数定义式，也可用口诀只记正的：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．1．有下列说法：①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②sin α是“sin”与“α”的乘积； ③若sin α＞0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－xx 2＋y 2.其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3B [①正确；②错误；sin α是整体；③错误，如sin π2＝1＞0；④错误，cos α＝xx 2＋y 2，故B 选项正确．]2．若sin θ·cos θ＞0，则θ在( ) A ．第一或第四象限 B ．第一或第三象限 C ．第一或第二象限D ．第二或第四象限B [因为sin θ·cos θ＞0，所以sin θ＜0，cos θ＜0或sin θ＞0，cos θ＞0，所以θ在第三象限或第一象限．]3．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称，若sin α＝15，则sin β＝ ．－15[设角α的终边与单位圆相交于点P (x ，y )，则角β的终边与单位圆相交于点Q (x ，－y )， 由题意知y ＝sin α＝15，所以sin β＝－y ＝－15.]4．求值：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°； (2)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4.[解] (1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0. (2)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.。
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小初高学习+试卷+教案+习题
小初高学习+试卷+教案+习题 1.2.1.1 三角函数的定义
1.知识与技能
(1)掌握任意角的三角函数的定义.
(2)已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值.
(3)记住三角函数的定义域、值域、诱导公式一.
2.过程与方法
(1)通过直角三角形中三角函数定义到单位圆中三角函数定义,最后到直角坐标系中一般化的三角函数定义,培养学生发现数学规律的思维方法和能力.
(2)树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.
(3)通过对定义域、三角函数值的符号、诱导公式一的推导,提高学生分析、探究、解决问题的能力.
3.情感、态度与价值观
(1)使学生认识到事物之间是有联系的,三角函数就是角度(自变量)与比值(函数值)的一种联系方式.
(2)学习转化的思想,培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神.
重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号),以及这三种函数的第一组诱导公式.公式一是本小节的另一个重点.
难点:利用角的终边上点的坐标刻画三角函数,三角函数的符号.
三角函数符号的由来
sine(正弦)一词始于阿拉伯人雷基奥蒙坦,他是十五世纪西欧数学界的领导人物,他于1464年完成的著作《论各种三角形》,1533年开始发行,这是一本纯三角学的书,使三角学脱离天文学,独立成为一门数学分科.
cosine(余弦)及cotangent(余切)为英国人根日尔首先使用,最早在1620年伦敦出版的他所著的《炮兵测量学》中出现.
secant(正割)及tangent(正切)为丹麦数学家托马斯·芬克首创,最早见于他的《圆几何学》一书中.cosecant(余割)一词为锐梯卡斯所创,最早见于他1596年出版的《宫廷乐章》一书.
1626年,阿贝尔特·格洛德最早推出简写的三角符号:“sin ”“tan ”“sec”.1675年,英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号:“cos ”“cot”“csc”.但直到1748年,经过数学家欧拉的引用后,才逐渐通用起来.
1949年至今,我国数学书籍中“cot”改为“ctg”;“tan ”改为“tg”,其余四个符号均未变.这就是为什么我国市场上流行的进口函数计算器上有“tan ”而无“tg”按键的缘故.。