分式函数
常见分式函数的研究
03 分式函数的运算与变换
分式函数的加减法
分式函数的加减法可以通过通分实现，将分母统一后再进行加减运算。 在进行分式函数的加减法时，需要注意分母不能为零的情况，避免出现无意义的情况。 对于分式函数的加减法，需要注意运算的顺序，先进行乘除运算再进行加减运算。 在进行分式函数的加减法时，可以利用等价无穷小替换简化计算过程。
分式函数的极限与连续性
分式函数的极限：研究分式函数在某点的极限值，以及极限的运算法则
分式函数的连续性：探讨分式函数在某点的连续性，以及连续性的性质和判定方法
分式函数极限与连续性的关系：分析极限与连续性之间的联系，以及在数学分析中的应 用
分式函数极限与连续性的应用：举例说明分式函数极限与连续性在解决实际问题中的应 用
分式函数极值的几 何意义
分式函数极值在实 际问题中的应用
分式函数的凹凸性及拐点问题
分式函数的凹凸性 定义
拐点及其判定条件
分式函数凹凸性的 判别方法
分式函数拐点的求 法
06 分式函数的综合题解析
分式函数的解析几何问题
涉及直线与圆的位 置关系
涉及点到直线的距 离公式
涉及直线的斜率公 式
涉及圆的半径和弦 长公式
分式函数的优化问题
分式函数的极值条件 分式函数的单调性分析 分式函数的凹凸性判断 分式函数的最值求解方法
分式函数的极值问题
分式函数的极值条件 分式函数的极值计算方法 分式函数的极值应用场景 分式函数的极值与连续性的关系
分式函数的最大值与最小值问题
分式函数的极值条 件
分式函数的最大值 与最小值的求解方 法
04 分式函数的应用
分式函数在物理中的应用
力学中速度与时间的关系
电学中电流与电压的关系
分式函数的知识点总结
分式函数的知识点总结1. 分式函数的定义分式函数是由一个多项式除以另一个多项式得到的函数。
一般形式为$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$。
分式函数的定义域为使得分母不等于0的所有实数。
2. 分式函数的图像特点分式函数的图像通常表现为一个有限个数的部分，因为当$x$趋向于正无穷或负无穷时，分式函数的值趋向于一个有限值。
分式函数的图像通常表现为一个曲线，具有上下两个分支。
图像的特点主要有：- 在分式函数的图像中，通常会出现垂直渐近线。
- 当$c$的绝对值大于$a$的绝对值时，图像会有水平渐近线。
3. 分式函数的性质分式函数具有一些特殊的性质，包括：- 单调性：当分式函数中的常数$a$和$c$同号时，函数是单调的；当$a$和$c$异号时，函数是非单调的。
- 零点：分式函数的零点为使得分子为0的$x$的值。
- 渐近线：分式函数的图像通常会有水平、垂直渐近线。
4. 分式函数的化简分式函数的化简是将分式函数写成最简形式的过程。
化简分式函数主要有以下几种方法：- 因式分解法：将分子和分母进行因式分解，然后约去相同的因式。
- 通分法：将分子分母通分，然后化简。
- 乘除法：将分子分母乘除以某个数进行化简。
- 合并同类项：将分子分母中的同类项相加或相减。
5. 分式函数的应用分式函数在数学中有着广泛的应用，主要包括以下几个方面：- 实际问题中的建模：分式函数可以用来描述一些实际问题中的关系，如人口增长模型、投资回报模型等。
- 函数的性质分析：分式函数可以用来分析函数的单调性、零点等性质。
- 数据的处理和分析：分式函数可以用来对数据进行处理和分析，如拟合曲线、数据的归一化等。
6. 分式函数的解法分式函数的解法主要包括以下几种方法：- 化简分式函数：将分式函数进行化简，使得求解更加方便。
- 求解零点：求解分式函数的零点，即使得分式函数的值为0的$x$的值。
- 利用性质求解：利用分式函数的性质，如单调性、渐近线等，对分式函数进行求解。
(完整版)分式函数的图像与性质
分式函数的图像与性质1、分式函数的概念形如22(,,,,,)axbx c y a b c d e fR dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。
如221x y x x +=+，212x y x +=-，413x y x +=+等。
2、分式复合函数形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。
如22112x xy +=-，sin 23sin 3x y x +=-，23y x =+等。
※ 学习探究 探究任务一：函数(0)by ax ab x=+≠的图像与性质 问题1：(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像是怎样的？ 例1、画出函数211x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。
【分析】212(1)112111x x y x x x --+===+---，即函数211x y x -=-的图像可以经由函数1y x =的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。
如下表所示：12111211y y y x x x =−−→=−−→=+--右上 由此可以画出函数211x y x -=-的图像，如下： 单调减区间：(,1),(1,)-∞+∞； 值域：(,2)(2,)-∞+∞U ； 对称中心：(1,2)。
【反思】(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？【小结】(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。
分式函数(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像与性质 （1）定义域：{|}dx x c ≠- ；（2）值域：{|}ay y c≠；（3）单调性：单调区间为(,),(,+)d dc c-∞--∞；（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线,d a x y c c=-=，对称中心为点(,)d ac c-；（5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数；（6）图象：如图所示问题2：(0)by ax ab x=+≠的图像是怎样的？ 例2、根据y x =与1y x =的函数图像，绘制函数1y x x=+的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。
函数详解之分式函数
函数详解之分式函数30.函数xa x x f -=2)(的定义域为(0，1]（a 为实数）．⑴当1-=a 时，求函数)(x f y =的值域；⑵若函数)(x f y =在定义域上是减函数，求a 的取值范围；⑶求函数)(x f y =在x ∈(0，1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x 的值．解：（1）显然函数)(x f y =的值域为),22[∞+；（2）若函数)(x f y =在定义域上是减函数，则任取∈21,x x ]1.0(且21x x <都有)()(21x f x f > 成立， 即0)2)((2121>+-xx ax x 只要212x x a -<即可，由∈21,x x ]1.0(，故)0,2(221-∈-x x ，所以2-≤a ， 故a 的取值范围是]2,(--∞； （3）当0≥a 时，函数)(x f y =在]1.0(上单调增，无最小值， 当1=x 时取得最大值a -2；由（2）得当2-≤a 时，函数)(x f y =在]1.0(上单调减，无最大值， 当x ＝1时取得最小值2－a ；当02<<-a 时，函数)(x f y =在].0(22a-上单调减，在]1,[22a -上单调增，无最大值，当22a x-=时取得最小值a22-．31.已知函数21()(0,0,)ax f x a b c R bx c+=>>∈+是奇函数，当0x >时，有()f x 最小值2，其中b N ∈，且5(1)2f =．(Ⅰ)试求函数()f x 的解析式；(Ⅱ)问函数()f x 的图像上是否存在关于点（1,0）对称的两点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 解 (Ⅰ)由2211()()ax ax f x f x bx cbx c++-=-⇒=--++，即bx c bx c -+=--，0c ∴= ……………………………………………2分0,0,0a b c >>= ，21()ax f x bx+∴=b a∴= ……………………4分又515(1)22a f b+<∴<，即221525202b b b b+<⇒-+<12()1,2b b N b⇒<<∈⇒=∴11abc=⎧⎪=⎨⎪=⎩……………………………6分(Ⅱ)设00(,)M x y关于点(1,0)的对称点为N，则00(2,)N x y--，………………8分00020000121122y xxx xy xx⎧=+⎪⎪∴⇒--⎨⎪-=-+⎪-⎩⇒01222xy⎧=+⎪⎨=⎪⎩或01222xy⎧=-⎪⎨=-⎪⎩…………11分∴存在两点(12,22)M+与(12,22)N--关于点(1,0)对称.………12分32.已知函数2211()af xa a x+=-，常数0>a．（1）设0m n⋅>，证明：函数()f x在[]m n，上单调递增；（2）设0m n<<且()f x的定义域和值域都是[]m n，，求常数a的取值范围．解:（1）任取1x，],[2nmx∈，且12x x<，12122121()()x xf x f xa x x--=⋅，因为12x x<，1x，],[2nmx∈，所以12x x>，即12()()f x f x<，故)(xf在],[nm上单调递增．或求导方法．（2）因为)(xf在],[nm上单调递增，)(xf的定义域、值域都是⇔],[nm(),()f m m f n n==，即nm,是方程2211aa a xx+=-的两个不等的正根1)2(222=++-⇔xaaxa有两个不等的正根．所以04)2(222>-+=∆aaa，222a aa+>⇒12a>33.已知定义域为R的函数abxfxx++-=+122)(是奇函数.（1）求a,b的值；（2）若对任意的Rt∈，不等式0)2()2(22<-+-ktfttf恒成立，求k的取值范围.解（1）因为)(xf是R上的奇函数，所以1,021,0)0(==++-=babf解得即从而有.212)(1axfxx++-=+又由aaff++--=++---=1121412)1()1(知，解得2=a（2）解法一：由（1）知,121212212)(1++-=++-=+xx xx f由上式易知)(x f 在R 上为减函数，又因)(x f 是奇函数，从而不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 等价于).2()2()2(222k t f k t f t t f +-=--<-因)(x f 是R 上的减函数，由上式推得.2222k t t t +->- 即对一切,0232>--∈k t t R t 有从而31,0124-<<+=∆k k 解得解法二：由（1）知,2212)(1++-=+x xx f又由题设条件得0221222121221222222<++-+++-+--+--k t kt t t tt即0)12)(22()12)(22(2222212212<+-+++-+-+--+-kt t t tt k t整理得12232>--kt t，因底数2>1，故0232>--k t t上式对一切R t ∈均成立，从而判别式.31,0124-<<+=∆k k 解得34.已知函数()a f x x x =-.(1)若13log [8()]y f x =-在[1,)+∞上是单调减函数,求实数a 的取值范围;(2)设1,a x y k =+=,若不等式22()()()2k f x f y k≥-对一切,(0,)x y k ∈恒成立,求实数k的取值范围.解: (1)令8a t x x=-+,则要使13log [8()]y f x =-在[1,)+∞上是单调减函数,则/21080a t xa t x x ⎧=-≥⎪⎪⎨⎪=-+>⎪⎩在[1,)+∞上恒成立,则21180a x a ⎧≥-≥-⎨-+>⎩所以, 19a -≤< (7)分 (2) 2222111()()()()()x y x yf x f y x y x y xy-++=--=222221212(0)4k xy x yk kxy xy xyxy-++-==++<≤. (10)分 令u xy=,则221()()2,(0,]4k kf x f y u u u-=++∈当2214kk -≥即0252k <≤-时,21()()2k f x f y u u -=++在2(0,]4ku ∈上为减函数,所以 2222min22142[()()]22()4424kk kk f x f y kkk-=++=+-=-即当0252k <≤-时,22()()()2k f x f y k≥-……………………………12分 当2214kk -<,222min 242[()()]2122()42kk f x f y k kk=-+<+-=-与题意不合.所以,所求的k 的取值范围为 : 0252k <≤-. ………………………14分35.（本小题满分14分）设关于x 的方程2x 2－ax －2=0的两根为α、β（α＜β），函数14)(2+-=x a x x f ．（Ⅰ）求f (α)·f (β)的值；（Ⅱ）证明f (x )是[α，β]上的增函数；（Ⅲ）当a 为何值时，f (x )在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小？ 解：（Ⅰ）由题意知α＋β＝2a ，α·β＝－1，∴α2＋β2＝242+a，∴f (α)·f (β)＝1)(41614142222222+++++-=+-⋅+-ββαβααβββααa aa a a41241216222－=++++--=aa a ．……………………………………………………… 4分（Ⅱ）证明：当α≤x ≤β时，22\22\\)1()1)(4()1()4()(++--+-=xx a x xa x x f222222)1()22(2)1(2)4()1(4+---=+⋅--+=x ax x x xa x x ………… 6分∵α、β是方程2x 2－ax －2=0的两根， ∴当α≤x ≤β时，恒有2x 2－ax －2≤0， ∴)(\x f ≥0，又)(x f 不是常函数，∴)(x f 是[α，β]上的增函数．……………………………………………… 9分 （Ⅲ）f (x )在区间[α，β]上的最大值f (β)＞0，最小值f (α)＜0，又∵| f (α)·f (β) |＝4， ……………………………………………………… 10分 ∴f (β)－f (α)＝| f (β)|＋| f (α)|≥4)()(2=⋅βαf f当且仅当| f (β)|＝| f (α)|＝2时取“＝”号，此时f (β)＝2，f (α)＝－2 …… 11分∴⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-)2(022)1(21422 ββββa a……………………………………… 13分由（1）、（2）得0)16(2=+a a ，∴a ＝0为所求．…………………………………………………… 14分 36.已知函数)0()(>+=t xt x x f 和点)0 , 1(P ，过点P 作曲线)(x f y =的两条切线PM 、PN ，切点分别为M 、N ．（Ⅰ）设)(t g MN =，试求函数)(t g 的表达式；（Ⅱ）是否存在t ，使得M 、N 与)1 , 0(A 三点共线．若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间]64 , 2[nn +内总存在1+m 个实数m a a a ,,,21 ，1+m a ，使得不等式)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g 成立，求m 的最大值．解：（Ⅰ）设M 、N 两点的横坐标分别为1x 、2x ，21)(xt x f -='， ∴切线PM 的方程为：))(1()(12111x x x t x t x y --=+-，又 切线PM 过点)0,1(P ， ∴有)1)(1()(012111x x t x t x --=+-，即02121=-+t tx x ， ………………………………………………（1） …… 2分同理，由切线PN 也过点)0,1(P ，得02222=-+t tx x ．…………（2） 由（1）、（2），可得21,x x 是方程022=-+t tx x 的两根，⎩⎨⎧-=⋅-=+∴. ,22121t x x t x x ………………（ * ） ……………………… 4分22211221)()(x t x x t x x x MN --++-=])1(1[)(221221x x t x x -+-=])1(1][4)[(22121221x x t x x x x -+-+=，把（ * ）式代入,得t t MN 20202+=,因此，函数)(t g 的表达式为)0( 2020)(2>+=t t t t g ． ……………………5分（Ⅱ）当点M 、N 与A 共线时，NA MA k k =，∴1111--+x x t x ＝1222--+x x t x ，即21121x x t x -+＝22222x x t x -+，化简，得0])()[(211212=-+-x x x x t x x ，21x x ≠ ，1212)(x x x x t =+∴． ………………（3） …………… 7分把（*）式代入（3），解得21=t ．∴存在t ，使得点M 、N 与A 三点共线，且 21=t ． ……………………9分（Ⅲ）解法1：易知)(t g 在区间]64,2[nn +上为增函数，∴)64()()2(nn g a g g i +≤≤)1,,2,1(+=m i ，则)64()()()()2(21n n g m a g a g a g g m m +⋅≤+++≤⋅ ．依题意，不等式)64()2(nn g g m +<⋅对一切的正整数n 恒成立， …………11分)64(20)n6420(n 22022022nn m +++<⋅+⋅，即)]64()n64[(n 612nn m +++<对一切的正整数n 恒成立，．1664≥+nn ， 3136]1616[61)]64()n64[(n 6122=+≥+++∴nn ，3136<∴m ．由于m 为正整数，6≤∴m ． ……………………………13分 又当6=m 时，存在221====m a a a ，161=+m a ，对所有的n 满足条件． 因此，m 的最大值为6． ……………………………14分 解法2：依题意，当区间]64,2[nn +的长度最小时，得到的m 最大值，即是所求值．1664≥+nn ，∴长度最小的区间为]16,2[， …………………11分当]16,2[∈i a )1,,2,1(+=m i 时，与解法1相同分析，得)16()2(g g m <⋅，解得3136<m ．37.已知函数xa x y +=有如下性质：如果常数a ＞0，那么该函数在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．（1）如果函数y ＝x ＋x b2（x ＞0）的值域为[6，＋∞)，求b 的值； （2）研究函数y ＝2x ＋2xc（常数c ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数y ＝x ＋xa 和y ＝2x ＋2xa （常数a ＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数)(x F ＝nx x )1(2+＋nx x)1(2+（n 是正整数）在区间[21，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．（理）解：（1）函数2(0)by x x x=+>的最小值是2b2，则226b=，∴2log 9b =（2）设120x x <<，222221212122222112()(1)c c c y y x x x x xxx x-=+--=--⋅.当412c x x <<时，21y y >，函数22c y x x=+在[4c ,+∞)上是增函数；当4120x x c <<<时，21y y <，函数22c y x x=+在(0,4c ]上是减函数.又22c y x x=+是偶函数，于是，该函数在(－∞,－4c ]上是减函数, 在[－4c ,0)上是增函数；（3）可以把函数推广为(0)n na y x a x=+>，其中n 是正整数.当n 是奇数时,函数n na y x x=+在(0,n a 2]上是减函数,在[n a 2,+∞) 上是增函数,在(－∞,－na 2]上是增函数, 在[－n a 2,0)上是减函数；当n 是偶数时,函数n na y x x=+在(0,n a 2]上是减函数,在[n a 2,+∞) 上是增函数, 在(－∞,－na 2]上是减函数, 在[－n a 2,0)上是增函数；21()()nF x x x=++nx x)1(2+=)1()1()1()1(323232321220nnn n rn rn r n n n n nnn xx C xx C xxC xxC ++++++++----因此()F x 在 [21,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数.所以，当12x =或2x =时，()F x 取得最大值9924nn⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当1x =时，()F x 取得最小值12n +.38已知函数()()2211xf x x R x x-=∈++.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值； （Ⅱ）若()2220t t t e x e x e +++-≥对满足1x ≤的任意实数x恒成立，求实数t 的取值范围（这里e 是自然对数的底数）；（Ⅲ）求证：对任意正数a 、b 、λ、μ，恒有2222a b a b a b f f λμλμλμλμλμλμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦≥22a b λμλμ+-+.【解】（Ⅰ）()()()()()()()()22222223232121111x x x x xx x f x x x x x ⎡⎤⎡⎤---+⋅----++-+-⎣⎦⎣⎦'==++++∴()f x 的增区间为()23,23---+，()f x 减区间为(),23-∞--和()23,-++∞.极大值为()23233f -+=，极小值为()23233f --=-.…………4′（Ⅱ）原不等式可化为()22211t x e x x-++≥由（Ⅰ）知，1x ≤时，)(x f 的最大值为332.∴()22211xx x-++的最大值为433，由恒成立的意义知道433t e ≥，从而433t ln≥…8′（Ⅲ）设()()()22101xg x f x x x x x x-=-=->++则()()()()()243222224124621111x x x x x x g x f x x x x x -++++++''=-=-=-++++.∴当0x >时，()0g x '<，故()g x 在()0,+∞上是减函数，又当a 、b 、λ、μ是正实数时，()()222220a b a b a bλμλμλμλμλμλμ-⎛⎫++-=- ⎪+++⎝⎭≤ ∴222a b a bλμλμλμλμ⎛⎫++ ⎪++⎝⎭≤. 由()g x 的单调性有：222222a b a b a b a b f f λμλμλμλμλμλμλμλμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++--⎢⎥⎪ ⎪ ⎪++++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦≥， 即222222a b a b a b a bf f λμλμλμλμλμλμλμλμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪++++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦≥.…………12′ 39.(本题12分) 已知函数()1bx c f x x +=+的图象过原点，且关于点（-1,1）成中心对称．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若数列{}n a (*)n N ∈满足：()2110,1,()n n n a a a f a +>==，求数列{}n a 的通项n a ； （Ⅲ）若数列{}n a 的前n 项和为n S ,判断n S 与2的大小关系，并证明你的结论． 解 (Ⅰ) 因为函数()1bx c f x x +=+ 的图象过原点，所以c =0，即()1bx f x x =+.又函数()11bx bf x b x x ==-++的图象关于点（-1，1）成中心对称，所以1,()1xb f x x ==+。
第1讲 分式函数
内部讲义分式函数分式函数【知识要点归纳】一、分式函数的定义二、反比例函数与对勾函数知识总结三、分式函数的类型及求解方法1．一次分式函数：2．二次分式函数（1）二次常数=)(x f（2）二次二次=)(x f（3）一次二次=)(x f（4）二次一次=)(x f【经典例题】例1：函数[]31,3,1(1335)(≠−∈−+=x x x x x f 的值域是例2：求函数232−+=x x y ，]8,3[∈x 的值域。
例3：函数x xee y ++=234的值域是_____________________。
例4：求函数]5,3[,321)(2−∈−−=x x x x f 的值域。
例5：求函数]0,1[,5444)(22−∈++++=x x x x x x f 的值域。
例6：求函数]2,0[,3454)(22∈++++=x x x x x x f 的值域。
例7：求下列函数的最大值:1542()454y x x x =−+<−例8：若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是 A ．1[,3]2B ．10[2,3C ．510[,]23D ．10[3,]3例9：求),1[,)1(613842+∞∈+++=x x x x y 的最小值？例10：求函数),1[,42)(2+∞∈++=x x x x x f 的值域．例11：求值域22(2)1x y x x x +=>−++【课堂练习】1．已知函数352)(−+=x x x f （1）指出)(x f 的定义域和值域（2）指出)(x f 的增减区间2．函数2211x y x +=−的值域是_______________.3．函数1122++−+=x x x x y 的值域是4．42()9,0,___________.5(]f x x x x =+∈函数的值域是5．设x >0, 若1a x x+> 恒成立, 则实数a 的取值范围是（ ） A. 1,4(−∞− B. 1,04()− C. 1,4()+∞ D.1,16()+∞ 6.（2010重庆文12）已知0t >，则函数241t t y t−+=的最小值为____________ 7．函数4522++=x x y 的最小值为8．函数1222+++=x x x y 的值域是【课堂练习】参考答案1、（1）2,3≠≠y x （2）无单调增，单调减区间为),3(),3,(+∞−∞2、)1,(),1[−−∞∪+∞ 解：.12111222−−−=−+=x x x y ，设0.,1212≥−−−==t t y x t 则，画出图像即得答案。
分式函数初步
分式函数初步分式函数是一个有理函数，指分子和分母都是多项式的函数。
在高中数学的学习中，分式函数是一个重要的内容，同时也是相对难度较大的一个知识点。
本文将介绍分式函数的基础知识和相关概念。
一、分式函数的定义分式函数是指具有形式为 $f(x) = \dfrac{a(x)}{b(x)}$ 的函数，其中 $a(x)$ 和 $b(x)$ 都是多项式函数，且 $b(x) \neq 0$。
分式函数的定义域是所有能够使得分母不为零的实数。
二、分式函数的性质1. 零点和极值分式函数的零点是指使分子等于零的 $x$ 值，也就是 $a(x) = 0$ 的解。
分式函数的极值是指存在的最大值或最小值，通常是$x$ 无限趋近于某个值时，函数趋近于的值。
2. 水平渐近线和垂直渐近线分式函数的水平渐近线可以通过分式函数的通分化得到，垂直渐近线是指分母为零的直线，即 $b(x) = 0$ 的解。
3. 奇偶性分式函数的奇偶性取决于分子的奇偶性。
如果分子是偶函数，那么分式函数就是偶函数；如果分子是奇函数，那么分式函数就是奇函数。
三、分式函数的简单操作1. 通分通分是将两个分式函数化成相同的分母，这样就可以进行加减运算。
例如，若要将 $\dfrac{1}{x+2}$ 和 $\dfrac{x-1}{x+2}$ 通分，可以将第一个分式函数乘以 $\dfrac{x-1}{x-1}$，从而得到$\dfrac{x-1}{(x+2)(x-1)}$，然后将第二个分式函数乘以$\dfrac{1}{1}$，从而得到 $\dfrac{x-1}{(x+2)(x-1)}$，最后将两个分式函数相加即可。
2. 分解因式分解因式就是将一个分式函数化为两个或多个分式函数之积的形式。
例如，要将 $\dfrac{x^2-1}{x+1}$ 分解因式，可以将分子分解为 $(x+1)(x-1)$，则 $\dfrac{x^2-1}{x+1} = \dfrac{(x+1)(x-1)}{x+1} = x-1$。
分式函数知识点总结
分式函数知识点总结分式函数的定义分式函数的一般形式如下所示：\[f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\]其中P(x)和Q(x)分别代表分子和分母的多项式函数。
值得注意的是，分母函数Q(x)不能为零，因为分式函数的定义域是所有使得分母不为零的x值的集合。
当Q(x)为零时，分式函数的值无意义。
分式函数的图像分式函数的图像通常表现为一条曲线，其性质和形态受到分子和分母的多项式函数的影响。
在进行分式函数图像的分析时，我们可以先考察分式函数的分母的零点和分子的零点，并利用它们来确定函数的极值点和渐近线。
当分母函数的零点不等于分子函数的零点时，分式函数的图像将展现出横轴方向的渐近线。
若分子函数次数小于分母函数次数，则图像会有一个水平渐近线；若分子函数次数等于分母函数次数减1，则图像会有一个斜率不为零的斜渐近线。
而当分子函数的次数大于等于分母函数的次数时，分式函数的图像将有一个斜率不为零的斜渐近线和一个水平渐近线。
根据这些渐近线，我们可以初步掌握分式函数的图像性质和形态。
另外，我们还可以通过一阶导数和二阶导数的求导分析来了解分式函数图像的凸凹性以及拐点的位置，进一步掌握其曲线的性状。
分式函数的性质分式函数有一系列独特的性质，主要体现在定义域、值域、零点及极限的方面。
1. 定义域作为一个分式函数，其定义域是所有使得分母函数值不为零的x值的集合。
当分母函数有n个零点时，分式函数的定义域将为实数集合减去这n个零点的集合，即:\[D = \{x|x∈R, Q(x) ≠ 0\}\]2. 值域分式函数的值域会受分子和分母函数的次数、系数等的影响。
通过对分式函数的分析，我们可以得到其值域所处的范围。
3. 零点分式函数的零点是指当f(x) = 0时，对应的x值。
通过求解分子函数和分母函数的交点，我们可以得到分式函数的零点的位置。
4. 极限当x趋向于某个值时，分式函数的值也可能会趋向于某个值或者无穷大。
利用极限的方法，我们可以研究分式函数在定义域内的行为，包括渐近线、极值点，以及曲线的凸凹性等特性。
常见分式函数的研究
复合分式函数
定义
形如f(x)=p(g(x))/q(h(x))的函数，其中g(x)和h(x)是一次 或多次多项式，p(u)和q(v)是多项式或分式函数。
01
性质
具有更复杂的性质和形态，可能存在多 个转折点、极值点等。
02
03
应用
在解决复杂数学问题、工程优化等领 域有应用，如电路分析、控制系统等。
03 分式函数的运算
分式函数在经济增长的研究中也有应用，例如GDP的增长率。通过将经
济增长表示为分式函数，可以方便地分析经济增长的规律和影响因素。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
角度计算
分式函数在几何学中还可以用于 计算角度，例如三角形的内角和、 两直线之间的夹角等。通过将角 度表示为分式函数，可以方便地 求解角度。
分式函数在物理学中的应用
速度与加速度
分式函数在物理学中常用于描述物体的速度和加速度，例如匀速运动和匀加速运动。通过将速度和加速度表示为分式 函数，可以方便地求解物体的运动轨迹和时间。
要点二
详细描述
代入法是求分式函数值的一种常用方法。首先，我们需要找 到分式函数的分子和分母，然后将自变量代入分子和分母中， 计算出函数值。例如，对于函数 f(x) = 2x^2 + 3x + 5，当 x = 2 时，我们代入 x 的值，得到 f(2) = 2*2^2 + 3*2 + 5 = 17。
消去法求值
常见分式函数的研究
目录
• 分式函数的基本概念 • 分式函数的分类 • 分式函数的运算 • 分式函数的求值 • 分式函数的应用
01 分式函数的基本概念
分式函数的定义
总结词
分式函数的性质与应用
分式函数的性质与应用分式函数，也称为有理函数，是由多项式函数的分子与分母组成的函数。
在数学中，分式函数具有许多独特的性质与应用。
本文将探讨分式函数的一些基本性质，并展示其在实际问题中的应用。
一、分式函数的基本性质1. 定义域和值域分式函数的定义域由分母不等于零的解构成。
对于一个简单的分式函数f(x) = 1/x，其定义域为R-{0}，即实数集去掉零。
而值域则由分式函数在定义域上的取值范围决定。
2. 垂直渐近线对于分式函数f(x) = p(x)/q(x)，当分母q(x)等于零时，f(x)的图像可能趋于无穷大或无穷小。
分子p(x)和分母q(x)的最高次幂项决定了垂直渐近线的位置。
例如，当分式函数f(x) = (x^2 + 1)/(x - 1)时，存在垂直渐近线x = 1。
3. 斜渐近线斜渐近线是指当x的取值趋于正无穷或负无穷时，分式函数趋于一个常数L。
斜渐近线可以找到通过计算分子和分母的次数来确定。
例如，当分式函数f(x) = (2x^2 + 3x + 1)/(x + 1)时，存在斜渐近线y = 2x + 1。
4. 零点分式函数的零点是使得分子等于零的x值。
这些值可以帮助我们确定函数的图像与方程的解。
例如，当分式函数f(x) = (x^2 - 4)/(x + 2)时，存在零点x = -2和x = 2。
5. 奇偶性根据分式函数的定义，当分子和分母具有相同的奇偶性时，函数是偶函数；当分子和分母具有相反的奇偶性时，函数是奇函数。
例如，当分式函数f(x) = (x^3 - x)/(x^2 + 1)时，是奇函数。
二、分式函数的应用1. 金融学中的应用分式函数可以用来解决金融学中的一些问题，例如利息的计算。
假设我们有一个年利率为r的银行账户，每年计算一次复利。
那么，该账户的本金与时间的关系可以用分式函数来表示，f(t) = P(1 + r)^t，其中P是初始本金，t是时间。
2. 物理学中的应用分式函数可以用来描述一些物理现象，如速度、加速度和阻力。
分式函数的像和性质
分式函数的像和性质分式函数是指形式为f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}的函数，其中P(x)和Q(x)都是多项式函数，且Q(x)≠0。
分式函数的像是指定义域中所有满足f(x)=y的x值构成的集合，即函数的所有可能的输出值。
分式函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性和图像。
1. 分式函数的定义域：分式函数的定义域由Q(x)≠0确定，因为分母不能为零。
可以通过求解Q(x)≠0的方程来确定定义域的范围。
2. 分式函数的值域：分式函数的值域包括所有满足f(x)=y的y值，其中x是定义域中的值。
对于一些特定的分式函数，可以通过变换或者观察分子、分母的特点来确定值域的范围。
3. 分式函数的奇偶性：对于分子和分母都是偶函数或者奇函数的分式函数，其奇偶性与分子和分母相同。
如果分子是奇函数而分母是偶函数，或者分母是奇函数而分子是偶函数，则分式函数是奇函数。
4. 分式函数的单调性：对于分式函数f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}，其单调性取决于P(x)和Q(x)的符号变化。
如果P(x)和Q(x)都大于零或者都小于零，那么分式函数是单调的。
如果P(x)比Q(x)先变号，那么分式函数在这个区间上是增函数；如果P(x)和Q(x)同时变号，那么分式函数在这个区间上是减函数。
5. 分式函数的图像：分式函数的图像可以通过绘制图像或者利用分子和分母的零点、极值点、拐点等特点来分析。
- 当分式函数的分子的次数小于分母的次数时，函数的图像在水平方向上趋近于零。
- 当分式函数的分子的次数等于分母的次数时，函数的图像在水平方向上存在水平渐近线。
- 当分式函数的分子的次数大于分母的次数时，函数的图像在水平方向上存在斜渐近线。
分式函数的像和性质对于理解和分析分式函数的性质和行为具有重要意义。
通过对分式函数的像和性质进行研究，可以更好地理解分式函数的定义和特点，并且能够应用于解决实际问题和数学推理中。
分式函数的图像与性质
ax + b 【反思】 y = ax + b(a ,b ,c ,d R )的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些 cx + d条件决定？ax + b 小结】 y = ax + b(a ,b ,c ,d R )的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到， cx +d分式函数的图像与性质学习过程 1、分式函数的概念 ax 2+bx +c 形如y =ax +bx +c (a ,b ,c ,d ,e , f R )的函数称为分式函数。
如y = 2x +1，y = x 2 +1 dx 2 +ex +f x 2 + x x -24x +1 y = 等。
x +3 2、分式复合函数形如y =a [f (x )] +bf (x )+c (a ,b ,c ,d ,e , f R )的函数称为分式复合函数。
如y = 2+1 d [f (x )]2 +ef (x )+f sin x + 2 x -1+2y = ， y = 等。
3sin x -3 x +3 1-2x ※ 学习探究 探究任务一：函数 y = ax + b (ab 0) 的图像与性质 xax + b 问题1： y = ax + b(a ,b ,c , d R )的图像是怎样的？ cx + d 2x -1例1、画出函数y = 2x -1的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。
x - 1【分析】y = 2x -1= 2(x -1)+1= 1 + 2，即函数y = 2x -1的图像可以经由函数y = 1 x -1 x -1 x -1 x - 1 x的图像向右平移 1 个单位，再向上平移 2个单位得到。
如下表所示： 1y = x x -1 x -1 值域：(-,2)U (2,+)； 对称中心：(1,2)。
需要借助“分离常数”的处理方法。
ax + b 分式函数y = ax + b（a,b,c, d R）的图像与性质cx + d（1）定义域：｛x| x- ｝；c（2）值域：｛y| y a｝；c（3）单调性：单调区间为（-,-d）,（-d,+）；ccda da（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线x= - , y= ，对称中心为点（- , ）；cc cc（5）奇偶性：当a = d = 0时为奇函数；（6）图象：如图所示问题 2：y = ax + b（ab0）的图像是怎样的？x例 2、根据y= x与y = 1的函数图像，绘制函数y=x+1的图像，并结合函数图像指出函xx数具有的性质。
分式函数的基本概念与性质
分式函数的基本概念与性质分式函数是指由两个多项式表达的函数，其中分母不为零。
分式函数既可以是有理函数的特例，也可以理解为多项式除法的推广形式。
在数学中，分式函数有其独特的基本概念和性质，本文将从多个角度来探讨这些内容。
一、基本概念1. 分式函数的定义：分式函数是指可以表达为两个多项式的比值形式，其中分母不为零的函数。
常见的分式函数形式包括有理分式函数和整式函数的除法。
2. 分式的形式：分式函数通常由分子和分母组成，分子和分母都是多项式。
分式函数的一般形式为f(x) = P(x) / Q(x)，其中P(x)和Q(x)分别代表分子和分母的多项式。
3. 定义域：由于分式函数中不能出现使分母为零的数值，因此定义域需要排除这些值。
定义域是函数的取值范围，一般使用不等式或条件表示。
二、性质探究1. 零点与奇点：分式函数的零点是指使分式函数取零值的自变量的值。
零点可以通过求解分子为零的方程得到。
分式函数的奇点是指使分母为零的自变量的值，奇点可能导致函数不存在或无穷大。
2. 函数的平移与伸缩：分式函数的平移和伸缩可以通过对分子和分母的多项式进行操作实现。
平移是指在自变量维度上对函数整体进行横向或纵向移动，伸缩是指通过改变分式函数的系数来改变函数的幅度。
3. 函数的性态分析：通过对分式函数的分子、分母进行求导，可以得到函数的导数表达式。
通过导数的符号变化和驻点的分析，可以判断分式函数的增减性、最值和拐点等重要性质。
4. 函数的图像特征：分式函数的图像通常会具有水平、垂直渐近线等特征。
水平渐近线是指当自变量趋近于无穷时，函数趋于某个常数值或无穷大；垂直渐近线是指当自变量趋近于某个特定值时，函数趋于无穷大或无穷小。
5. 函数的应用：分式函数在实际问题中具有广泛的应用。
比如在经济学中，利润函数、边际成本函数等都可以表达为分式函数的形式，通过对这些分式函数进行分析，可以帮助决策者在经济活动中进行决策。
综上所述，分式函数作为一个重要的数学概念，具有其独特的基本概念和性质。
(完整版)分式函数的图像与性质.docx
分式函数的图像与性质学习过程1、分式函数的概念ax 2 bx c 2x形如 yexf (a,b,c, d ,e, f R) 的函数称为分式函数。
如 ydx 2 x 2y4x 1等。
x 32、分式复合函数a[ f (x)]2bf (x) c (a, b, c, d, e, f R) 的函数称为分式复合函数。
如形如 yef ( x) fd[ f (x)]2ysin x 2， yx 1 2等。
3sin x3x 31，yx 2 1 ， xx 22 x y2x1，1 2※ 学习探究探究任务一 ：函数 yaxb(ab0) 的图像与性质x问题 1： yax b(a, b, c, d R) 的图像是怎样的？cx d例 1、画出函数 y2 x1的图像， 依据函数图像， 指出函数的单调区间、 值域、对称中心。
x1【分析】 y2x 1 2( x 1) 1 12 ，即函数 y2x 1的图像可以经由函数 y1x1 x 1x 1x1x的图像向右平移1 个单位，再向上平移2 个单位得到。
如下表所示：1右1 1 上 2y1yy12xx x1由此可以画出函数y2 x 1的图像，如下：x 1yyyOx O12xO1x单调减区间： ( ,1),(1,) ；值域： (,2) U (2,) ；对称中心： (1,2) 。
【反思】 yaxb(a,b, c, d R ) 的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些cx d条件决定？【小结】 yaxb(a,b, c, d R) 的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，cx d需要借助“分离常数”的处理方法。
分式函数 y axb(a,b,c,dR) 的图像与性质cx dd }（1）定义域： { x | x；c （2）值域： { y | ya} ；cd),(d, + ) ；（3）单调性： 单调区间为 (,cc d, ya，对称中心为点 (d , a) ；（ 4）渐近线及对称中心：渐近线为直线xccc c（ 5）奇偶性：当 a d 0 时为奇函数； （ 6）图象：如图所示yyO x O x问题 2： yaxb(ab 0) 的图像是怎样的？x例 2、根据 y1的函数图像， 绘制函数 y x1 x 与 y的图像， 并结合函数图像指出函xx数具有的性质。
初二数学分式函数知识点整理
初二数学分式函数知识点整理分式函数是初中数学中的一个重要内容，本文将对初二数学分式函数的知识点进行整理和总结。
一、分式的定义与性质分式是由分子和分母组成的表达式，其中，分子和分母都是代数式。
分式可以表示两个整式之间的除法关系。
分式的形式可以是普通分式、整式分式和带分数等形式。
分式的性质包括：分式的值与分式的定义有关、分式的定义域、分式的相等与简化、分式的约分与通分，以及分式的加减乘除等运算性质。
二、分式函数的定义与性质分式函数是指含有分式形式的函数。
具体来说，分式函数是由一个分子是整式，分母是整式的有理函数所定义的函数。
分式函数在数学中起到了连接有理函数和代数函数的桥梁作用。
分式函数的性质包括：定义域、值域、奇偶性、单调性以及图像的特点等。
三、分式函数图像的绘制方法1. 首先，确定分式函数的定义域，并排除分母为零的情况。
2. 然后，确定分式函数的值域，可以通过求函数的极值来确定函数的变化趋势。
3. 接下来，绘制分式函数的图像，可以通过绘制关键点、画出特殊点的渐近线、寻找函数的极值点等方法来帮助绘制图像。
需要注意的是，当分式函数有分母为一次因式的平方时，可能会出现拐点。
四、分式函数的应用分式函数在实际生活中有着广泛的应用，特别是在经济学、物理学等领域。
1. 经济学中可以通过分式函数描述成本、利润、价格等变化规律。
2. 物理学中可以通过分式函数描述物体运动的位移、速度、加速度等变化规律。
五、分式函数的解与方程解分式函数的关键是将其化为整式方程。
可以通过以下步骤解决分式函数的方程：1. 将分式函数化为整式方程。
2. 化简方程，使其成为一元高次或低次整式方程。
3. 求解整式方程，得出解的集合。
六、分式函数的综合运用分式函数的知识点在数学中具有重要的综合性，能够与其他知识点相互结合，解决复杂的问题。
例如，在几何学中，可以通过分式函数知识点来解决比例问题，在代数学中，可以通过分式函数知识点来解决方程与不等式等问题。
分式函数的图像与性质(又称作双钩函数、奈克函数、对号函数)
分式函数的图像与性质一、课前准备1、分式函数的概念形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。
如221x y x x+=+，212x y x +=-，413x y x +=+等。
2、分式复合函数形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。
如22112x xy +=-，sin 23sin 3x y x +=-，y =等。
二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：函数(0)by ax ab x=+≠的图像与性质 问题1：(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像是怎样的？ 例1、画出函数211x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。
【分析】212(1)112111x x y x x x --+===+---，即函数211x y x -=-的图像可以经由函数1y x=的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。
如下表所示：12111211y y y x x x =−−→=−−→=+--右上由此可以画出函数211x y x -=-的图像，如下：单调减区间：(,1),(1,)-∞+∞；值域：(,2)(2,)-∞+∞U ； 对称中心：(1,2)。
【反思】(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？ 【小结】(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。
分式函数(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像与性质 （1）定义域：{|}dx x c ≠- ；（2）值域：{|}ay y c≠；（3）单调性：单调区间为(,),(,+)d dc c-∞--∞；（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线,d a x y c c =-=，对称中心为点(,)d ac c-；（5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数；（6）图象：如图所示问题2：(0)by ax ab x=+≠的图像是怎样的？ 例2、根据y x =与1y x =的函数图像，绘制函数1y x x=+的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。
分式函数值域
分式函数值域
分式函数定义为由两个或多个分数组成的表达式。
其中一个分数叫称分子，另一个叫分母，将它们用符号“/”表示，就叫做分式函数。
分式函数的值域，是指分式函数定义的所有可能解的集合。
分式函数的值域要看其分母，当其分母不为零时，该函数为可除函数，函数的值域是实数集合。
而当其分母为零时，该函数不可除，函数的值域为空集合。
首先，要正确判断一个分式函数的分母是否为零，而不是仅仅把所有分数都另为0来判断。
正确判断方法是：先把分式函数化简，化简得到原分数之后，才能正确判断它的分母是否为零。
其次，若分式函数的分母不为零，则函数的值域就是实数集合。
但是，若分子存在负数的话，由定义可知，分式函数值域只包含正数、负数和零而不包括分子的值，所以由此可得分式函数的值域为：
$$
\lbrace x \mid x \in \mathbb{R}, x \geq 0 \lor x \leq 0\rbrace
$$
再次，在计算分式函数的值域的过程中，要注意函数的取值范围，以及x的可能取值范围。
有时，可能会有一定的条件限制x的取值范围，这样就要根据函数定义及其特性作出相应的修正来计算分式函数的值域。
常见分式函数的研究
常见分式函数的研究分式函数在高等数学中占有重要的地位，它是以分子式和分母式为基本构成要素的代数表达式。
分式函数可以看作是两个多项式之商，其中分母不为零。
常见的分式函数有有理函数、无理函数等。
接下来就对常见的分式函数进行研究。
有理函数是分式函数的一种特殊形式，它是分子为多项式、分母为多项式的函数。
有理函数的特点是在定义域内几乎处处有定义，并且有有限个或无穷多个极值点。
有理函数在实际生活中的应用非常广泛，比如说经济学中的供求关系、电路中的传输函数等等。
对于有理函数进行研究，我们主要关注其定义域、零点与极值点、拐点、渐近线等性质。
其中，定义域的确定往往需要考虑分母为零的情况；零点与极值点的求解可以利用导数的方法，即对有理函数进行求导；拐点的求解则需要考虑有理函数的导数的导数，即二阶导数；渐近线可以通过极限来确定。
无理函数也是分式函数的一种特殊形式，它是由无理数指数的幂函数与无理数根号的函数组成的。
无理函数的特点是在定义域内有限个点无定义，而且在无限接近这些点时，函数值无限增大或减小。
无理函数在物理学中的运动学和力学中有很多应用，比如自由落体运动、弹性力学等等。
对于无理函数的研究，需要考虑定义域的确定、零点的求解、函数值的增减情况等。
其中，定义域的确定往往需要考虑根号内的表达式不为负；零点的求解可以通过方程的化简来解得；增减情况可以通过导数来确定。
此外，还有其他一些特殊的分式函数需要进行研究。
比如，带绝对值的分式函数、带根号的分式函数等等。
这些特殊的分式函数在实际问题中也有一定的应用，比如带绝对值的分式函数在货币供求中的弹性需求、带根号的分式函数在物理学中的电流密度分布等等。
对于这些特殊的分式函数，我们需要分别研究其定义域、零点与极值点、拐点、渐近线等性质。
其中，带绝对值和带根号的分式函数的定义域的确定往往需要考虑绝对值和根号内的表达式不为负；零点与极值点的求解可以利用导数的方法，即对这些函数进行求导；拐点的求解则需要考虑函数的导数的导数，即二阶导数；渐近线可以通过极限来确定。
高中数学—分式函数—完整PPT
序号 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七
分式函数常见类型
基本形式
函数类型 反比例 耐克或双撇函数 耐克 二次函数 耐克函数倒数 二次函数 耐克函数倒数
解题策略 画像法或代数法
图像法 换元法、图像法 换元法、图像法 换元法、图像法 换元法、图像法 换元法、图像法
类型一、反比例函数
类型一、反比例函数
类型一、反比例函数
类型一、反比例函数
类型一、反比例函数
类型一、反比例函类型二
类型二
类型三
类型三
类型三
类型三
类型三
类型三
类型三
类型三
类型四
类型四
类型五
倒数的范围
类型五
类型六
类型六
类型七
类型七
类型七
其他类型
• 1、若在分式中出现根号，通常把整个根号进行换元； • 2、若函数为上述函数的复合函数，那么需要关注一下换元后的定义
域。
综合练习
综合练习
综合练习
综合练习
综合练习
综合练习
分式函数求值域
分式函数求值域分式函数是指函数的表达式为两个多项式的比值的形式。
求值域是指函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
本文将以分式函数求值域为主题，探讨分式函数求值域的相关概念、性质和计算方法。
一、分式函数求值域的概念分式函数的求值域是指函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
求值域可以是一个实数集、一个有限区间或无限区间。
求值域与定义域有密切的关系，定义域的不同可能导致求值域的变化。
1. 分式函数的求值域可能是一个实数集。
例如，对于函数f(x) = 1/x，当定义域为实数集R-{0}时，求值域也是实数集R-{0}。
2. 分式函数的求值域可能是一个有限区间。
例如，对于函数g(x) = (x-1)/(x+1)，当定义域为实数集R时，求值域是(-∞,1)∪(1,+∞)。
3. 分式函数的求值域可能是一个无限区间。
例如，对于函数h(x) = 1/x^2，当定义域为实数集R-{0}时，求值域是(0,+∞)。
三、分式函数求值域的计算方法1. 分式函数求值域的计算方法与一般函数的求值域计算方法相似。
首先确定函数的定义域，然后通过分析函数的特点和性质来确定求值域的范围。
2. 对于一般的分式函数，可以通过求导数、分析函数的极值点、奇偶性、增减性等方法来确定求值域的范围。
3. 对于一些特殊的分式函数，可以通过化简、变形、图像分析等方法来确定求值域的范围。
四、分式函数求值域的例题分析1. 求函数f(x) = (2x+1)/(x-3)的求值域。
首先确定定义域为R-{3}，然后通过分析函数的性质可知，当x趋近于正无穷时，函数的值趋近于正无穷；当x趋近于负无穷时，函数的值趋近于负无穷。
因此，求值域为R-{0}。
2. 求函数g(x) = (x^2+1)/(x^2-1)的求值域。
首先确定定义域为R-{1,-1}，然后通过分析函数的性质可知，当x趋近于正无穷时，函数的值趋近于1；当x趋近于负无穷时，函数的值趋近于1。
因此，求值域为(-∞,1)∪(1,+∞)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第 1 页 共 4 页
一次分式函数
班级__________姓名____________ ______年____月____日
1、 理解分式函数的概念
2、 掌握一次分式函数的图像画法及性质 【教学过程】 一、知识梳理：
1． 一次分函数的定义
我们把形如(0,)cx d
y a ad bc ax b +=≠≠+的函数称为一次分函数。
2． 一次分函数(0,)cx d
y a ad bc ax b
+=≠≠+的图象和性质
2.1 图象：其图象如图所示.
2.2定义域：
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x ；
2.3 值域：⎭
⎬⎫⎩⎨⎧≠
a c y y ； 2.4 对称中心：⎪⎭⎫
⎝
⎛-
a c a
b ,；
2.5 渐近线方程：b x a =-
和c y a
=； 2.6 单调性：当ad>bc 时，函数在区间(,)b
a
-∞-和(,)b
a
-+∞分别单调递减；当ad<bc 时，函数在区间(,)b a -∞-和(,)b
a
-+∞分别单调递增；
二、回归教材
1．函数11
1--
=x y 的图象是 ． 2．函数31
()1
x f x x -=+的定义域是 ．
3．()10x
y x x
-=≠的值域是 ．
4．函数21
()3x f x x +=+的单调增区间是 ．
5．函数21
()3
x f x x -=+的对称中心是 ．
6．函数()x
f x x
=
是 函数．（填“奇”“偶”“非奇非偶”） 三、典型题型： 【例1】填空题：
（1）函数21
()3x f x x -=+（()5,2-∈x ），则()x f 的值域是________． （2）函数21
()3
x f x x -=+（())5,2(4,5⋃--∈x ），则()x f 的值域是________．
（3）已知函数()a
x x x f -+=12，若*
∈∀N x ，()()5f x f ≥恒成立，则a 的取值范围
是 ． （4）若函数21
()x f x x a
+=+的图象关于直线y ＝x 对称，则实数a ＝ .
第 3 页 共 4 页
【例2】（2004年江苏）设函数)(1)(R x x
x
x f ∈+-
=，区间M=[a ，b](a<b)，集合N={M x x f y y ∈=),(}，则使M=N 成立的实数对(a ，b)有几个？
【例3】已知函数2()1
ax a
f x x +-=
+，其中a R ∈。
(1)当函数()f x 的图象关于点P(－1，3)成中心对称时，求a 的值及不等式
()1f x x >-的解集；
(2)若函数()f x 在(－1,+∞)上单调递减，求a 的取值范围.
四、课堂反馈：
1、函数1
1
x x e y e -=+的反函数的定义域是 ；
2、不等式21
13
x x -≥+的解集是 ； 3、 函数221
x x
y x x -=-+的值域是 ；
4、设函数()(0)x a
f x a b x b
+=
>>+，求()f x 的单调区间，并证明()f x 在其单调区间上的单调性．
五、课后作业： 学生姓名：___________
1、若1
a x
y x a -=
--的的图象关于点(4,1)-成中心对称，则实数a 的值为___________
2、函数()f x =的单调递减区间是_______；
3、已知函数x
a
x x x f ++=2)(2在]3,0(是减函数，在),3[+∞是增函数，则实数a 的值
为________________
4、函数)0(,)(>+
=a x
a
x x f 在区间[])0(,>m n m 上取得最大值6，最小值2，则此函数在区间[]m n --,上_____________(填单调性) 5、已知函数x
m
x x f +=)(在区间()+∞,1上为单调递增函数，则实数m 的取值范围为_______________ 6、设(),[0,+)1
a
f x x x x =+
∈∞+。
（1）当a ＝2时，求()f x 的最小值；（2）当0＜a ＜1时，判断()f x 的单调性，并写出()f x 的最小值。