江苏省普通高等学校2017年高三招生考试20套模拟测试附加题数学试题(一) Word版含解析

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江苏省普通高等学校2017年高三招生考试20套模拟测试数学试题二含解析精品

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二)数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：1. 样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n ∑i ＝1n (x i －x －)2，其中x －＝1n ∑i ＝1nx i ；2. 锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 是锥体的底面面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 已知集合A ＝{x|－1≤x ≤1}，则A ∩Z ＝______________．2. 若复数z ＝(1－i)(m ＋2i)(i 为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为____________．3. 数据10，6，8，5，6的方差s 2＝____________．4. 抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，记落在桌面的底面上的数字分别为x ，y ，则xy为整数的概率是________．(第6题)5. 已知双曲线x 2－y 2m2＝1(m ＞0)的一条渐近线方程为x ＋3y ＝0，则m ＝______________．6. 执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是__________．7. 底面边长为2，侧棱长为3的正四棱锥的体积为____________．8. 在等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 7＝__________．9. 已知|a|＝1，|b|＝2，a ＋b ＝(1，2)，则向量a ，b 的夹角为____________． 10. 直线ax ＋y ＋1＝0被圆x 2＋y 2－2ax ＋a ＝0截得的弦长为2，则实数a 的值是____________．11. 已知函数f(x)＝－x 2＋2x ，则不等式f(log 2x)＜f(2)的解集为__________．12. 将函数y ＝sin2x 的图象向左平移φ(φ＞0)个单位，若所得的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，则φ的最小值为____________．13. 在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ，若AO →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的值为____________．14. 已知函数f(x)＝e x －1＋x －2(e 为自然对数的底数)，g(x)＝x 2－ax －a ＋3，若存在实数x 1，x 2，使得f(x 1)＝g(x 2)＝0，且|x 1－x 2|≤1，则实数a 的取值范围是____________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b ＝4，c ＝6，且asinB ＝2 3. (1) 求角A 的大小；(2) 若D 为BC 的中点，求线段AD 的长．16.(本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，AC 与BD 交于点O ，且平面PAC ⊥底面ABCD ，E 为棱PA 上一点．(1) 求证：BD ⊥OE ；(2) 若AB ＝2CD ，AE ＝2EP ，求证：EO ∥平面PBC.已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2＋k(n ∈N *，k ∈R )，且a 1＝2，a 3＋a 5＝－4. (1) 若k ＝0，求数列{a n }的前n 项和S n ； (2) 若a 4＝－1，求数列{a n }的通项公式a n .18. (本小题满分16分)如图，墙上有一壁画，最高点A 离地面4 m ，最低点B 离地面2 m ，观察者从距离墙x m(x ＞1)，离地面高a m(1≤a ≤2)的C 处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB ＝θ.(1) 若a ＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？ (2) 若tan θ＝12，当a 变化时，求x 的取值范围．如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上、下顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，且OP ⊥AF.(1) 若点P 坐标为(3，1)，求椭圆C 的方程；(2) 延长AF 交椭圆C 于点Q ，若直线OP 的斜率是直线BQ 的斜率的2倍，求椭圆C 的离心率；(3) 求证：存在椭圆C ，使直线AF 平分线段OP.20. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝cosx ＋ax 2－1，a ∈R . (1) 求证：函数f(x)是偶函数；(2) 当a ＝1时，求函数f(x)在[－π，π]上的最值； (3) 若对于任意的实数x 恒有f(x)≥0，求实数a 的取值范围.(二)1. {－1，0，1} 解析：本题主要考查集合的运算．本题属于容易题．2. －2 解析：z ＝(1－i)(m ＋2i)＝ m ＋2＋(2－m)i 是纯虚数，则m ＝－2.本题主要考查纯虚数的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．3. 165 解析：平均数为7，由方差公式得方差s 2＝165.本题考查了平均数及方差的概念及计算公式．本题属于容易题．4. 12 解析：本题的基本事件数为16，x y 为整数的的基本事件数为8，则所求的概率是12.本题考查古典概型，属于容易题．5. 33 解析：双曲线x 2－y 2m 2＝1(m ＞0)的一条渐近线方程为x ＋y m＝0，与x ＋3y ＝0是同一条直线，则m ＝33.本题考查了双曲线方程与其渐近线的方程之间的关系．本题属于容易题．6. －1 解析：由流程图知循环体执行8次，第1次循环S ＝12，n ＝2；第2次循环S＝－1，n ＝3；第3次循环S ＝2，n ＝4，…，第8次循环S ＝－1，n ＝9.本题考查了算法及流程图的基本内容．本题属于容易题．7. 43 解析：底面边长为2，侧棱长为3的正四棱锥的高为1，底面积为4，则体积为43.本题考查了正四棱锥的体积公式．本题属于容易题．8. 4 解析：由a 1＝1，a 3a 5＝4(a 4－1)，得q 3＝2，则a 7 ＝a 1(q 3)2＝4.本题考查了等比数列通项公式，以及项与项之间的关系．本题属于容易题．9. 23π 解析：由a ＋b ＝(1，2)，得(a ＋b )2＝3，则1＋4＋2a·b ＝3，a ·b ＝－1＝|a||b|cos θ，cos θ＝－12，则θ＝23π.本题考查了向量数量积的定义，模与坐标之间的关系．本题属于容易题．10. －2 解析：由圆x 2＋y 2－2ax ＋a ＝0的圆心(a ，0)，半径的平方为a 2－a ，圆心到直线ax ＋y ＋1＝0的距离的平方为a 2＋1，由勾股定理得a ＝－2.本题考查了点到直线的距离公式，以及利用垂径定理、勾股定理处理弦长问题．本题属于容易题．11. (0，1)∪(4，＋∞) 解析：∵ 二次函数f(x)＝－x 2＋2x 的对称轴为x ＝1，∴ f(0)＝f(2)，结合二次函数的图象可得log 2x<0或log 2x>2，解得0<x<1或x>4，∴ 解集为(0，1)∪(4，＋∞)．本题考查了二次函数的图象与性质，以及基本的对数不等式的解法．本题属于中等题．12. π6 解析：易知y ＝sin2(x ＋φ)，即y ＝sin(2x ＋2φ)，∵ 图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，∴sin ⎝⎛⎭⎫π3＋2φ＝32，∴ π3＋2φ＝π3＋2k π或π3＋2φ＝2π3＋2k π，k ∈Z ，即φ＝k π或φ＝π6＋k π，k ∈Z .∵ φ>0，∴ φ的最小值为π6.本题考查了三角函数的图象变换与性质．本题属于中等题．13. 58 解析：∵ AO 为△ABC 的角平分线，∴ 存在实数λ(λ≠0)使AO →＝λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB →||AB→＋AC →||AC →，即AO →＝12λAB →＋13λAC →，∴ ⎩⎨⎧12λ＝x ，13λ＝y ①.若AB 边上的中线与AB 交于点D ，则AO →＝2xAD→＋yAC →.∵ C 、O 、D 三点共线，∴ 2x ＋y ＝1 ②，由①②得x ＝38，y ＝14，∴ x ＋y ＝58.本题考查了平面向量的线性表示以及向量的共线定理．本题属于难题．14. [2，3] 解析：易知函数f(x)＝e x －1＋x －2在R 上为单调增函数且f(1)＝0，∴ x 1＝1，则|1－x 2|≤1解得0≤x ≤2，∴ x 2－ax －a ＋3＝0在x ∈[0，2]上有解，∴ a ＝x 2＋3x ＋1在x ∈[0，2]上有解．令t ＝x ＋1∈[1，3]，则x ＝t －1，a ＝（t －1）2＋3t ，即a ＝t ＋4t－2 在[1，2]上递减，在[2，3]上递增，则当t ＝2时a 的最小值为2，当t ＝1时a 的最大值为3，∴ a 的取值范围为[2，3]．本题考查了函数的单调性，分离参数构造新函数，对数函数的性质以及换元的应用．本题属于难题．15. 解：(1) 由正弦定理，得asinB ＝bsinA ，(2分)因为b ＝4，asinB ＝23，所以sinA ＝32.(4分)又0＜A ＜π2，所以A ＝π3.(6分)(2) 若b ＝4，c ＝6，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝16＋36－2×24×12＝28，所以a ＝27.(8分)因为asinB ＝23，所以sinB ＝217，从而cosB ＝277.(10分)因为D 为BC 的中点，所以BD ＝DC ＝7.在△ABD 中，由余弦定理得AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB·BD ·cosB ，即AD 2＝36＋7－2×6×7×277＝19，所以AD ＝19.(14分)16. 证明：(1) 因为平面PAC ⊥底面ABCD ，平面PAC ∩底面ABCD ＝AC ，BD ⊥AC ，BD 平面ABCD ，所以BD ⊥平面PAC.因为OE ⊂ 平面PAC ，所以BD ⊥OE.(6分)(2) 因为AB ∥CD ，AB ＝2CD ，AC 与BD 交于O ，所以CO ∶OA ＝CD ∶AB ＝1∶2.因为AE ＝2EP ，所以CO ∶OA ＝PE ∶EA ，所以EO ∥PC. 因为PC ⊂平面PBC ，EO ⊄ 平面PBC ，所以EO ∥平面PBC.(14分)17. 解：(1) 当k ＝0时，2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，所以数列{a n }是等差数列．(2分)设数列{a n }公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，2a 1＋6d ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－43.(4分)所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝2n ＋n （n －1）2×⎝⎛⎭⎫－43＝－23n 2＋83n.(6分)(2) 由题意，2a 4＝a 3＋a 5＋k ，即－2＝－4＋k ，所以k ＝2.(8分) 又a 4＝2a 3－a 2－2＝3a 2－2a 1－6，所以a 2＝3.由2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2＋2，得(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝－2，所以，数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝1为首项，－2为公差的等差数列．所以a n ＋1－a n ＝－2n ＋3.(10分)当n ≥2时，有a n －a n －1＝－2(n －1)＋3，于是a n －1－a n －2＝－2(n －2)＋3，a n －2－a n －3＝－2(n －3)＋3，…，a 3－a 2＝－2×2＋3，a 2－a 1＝－2×1＋3，叠加，得a n －a 1＝－2[1＋2＋…＋(n －1)]＋3(n －1)(n ≥2)，所以a n ＝－2×n （n －1）2＋3(n －1)＋2＝－n 2＋4n －1(n ≥2)．(13分)又当n ＝1时，a 1＝2也适合．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋4n －1，n ∈N *.(14分)18. 解：(1) 当a ＝1.5时，过C 作AB 的垂线，垂足为D ，则BD ＝0.5 m ，且θ＝∠ACD－∠BCD ，由已知观察者离墙x m ，且x ＞1，则tan ∠BCD ＝0.5x ，tan ∠ACD ＝2.5x，(2分)所以tan θ＝tan(∠ACD －∠BCD)＝ 2.5x －0.5x 1＋2.5×0.5x 2＝2x1＋1.25x 2＝2x ＋1.25x ≤2254＝255，当且仅当x ＝52＞1时，取“＝”．(6分) 又tan θ在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调增，所以，当观察者离墙52m 时，视角θ最大．(8分)(2) 由题意，得tan ∠BCD ＝2－a x ，tan ∠ACD ＝4－a x ，又tan θ＝12，所以tan θ＝tan(∠ACD－∠BCD)＝2x x 2＋（a －2）·（a －4）＝12，(10分)所以a 2－6a ＋8＝－x 2＋4x ，当1≤a ≤2时，0≤a 2－6a ＋8≤3，所以0≤－x 2＋4x ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ≤0x 2－4x ＋3≥0，解得0≤x ≤1或3≤x ≤4.(14分) 因为x ＞1，所以3≤x ≤4，所以x 的取值范围为[3，4]．(16分)19. (1) 解：因为点P(3，1)，所以k OP ＝13.因为AF ⊥OP ，－b c ×13＝－1，所以3c ＝b ，所以3a 2＝4b 2.(2分) 又点P(3，1)在椭圆上，所以3a 2＋1b 2＝1，解之得a 2＝133，b 2＝134.故椭圆C 的方程为x 2133＋y2134＝1.(4分)(2) 解：由题意，直线AF 的方程为x c ＋y b ＝1，与椭圆C 的方程x 2a 2＋y 2b2＝1联立消去y ，得a 2＋c 2a 2c 2x 2－2x c ＝0，解得x ＝0或x ＝2a 2c a 2＋c 2，所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b （c 2－a 2）a 2＋c 2，(7分)所以直线BQ 的斜率为k BQ ＝b （c 2－a 2）a 2＋c 2＋b2a 2c a 2＋c2＝bca 2. 由题意得cb ＝2bca2，所以a 2＝2b 2，(9分)所以椭圆的离心率e ＝c a ＝1－b 2a 2＝22.(10分)(3) 证明：因为线段OP 垂直AF ，则直线OP 的方程为y ＝cx b ，与直线AF 的方程x c ＋yb＝1联立，解得两直线交点的坐标⎝⎛⎭⎫b 2c a 2，bc 2a 2.因为线段OP 被直线AF 平分，所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫2b 2c a 2，2bc 2a 2.(12分)由点P 在椭圆上，得4b 4c 2a 6＋4b 2c 4a 4b 2＝1，又b 2＝a 2－c 2，设c2a 2＝t ，得4[(1－t)2·t ＋t 2]＝1. (*)(14分)令f(t)＝4[(1－t)2·t ＋t 2]－1＝4(t 3－t 2＋t)－1，因为f′(t)＝4(3t 2－2t ＋1)＞0，所以函数f(t)单调增．又f(0)＝－1＜0，f(1)＝3＞0，所以f(t)＝0在区间(0，1)上有解，即(*)式方程有解，故存在椭圆C ，使线段OP 被直线AF 垂直平分．(16分) 20. (1) 证明：函数f(x)的定义域为R ，因为f(－x)＝cos(－x)＋a(－x)2－1＝cosx ＋ax 2－1＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．(3分)(2) 解：当a ＝1时，f(x)＝cosx ＋x 2－1，则f′(x)＝－sinx ＋2x ，令g(x)＝f′(x)＝－sinx ＋2x ，则g′(x)＝－cosx ＋2＞0，所以f′(x)是增函数．又f′(0)＝0，所以f′(x)≥0，所以f(x)在[0，π]上是增函数．又函数f(x)是偶函数，故函数f(x)在[－π，π]上的最大值是π2－2，最小值为0.(8分) (3) 解：f′(x)＝－sinx ＋2ax ，令g(x)＝f′(x)＝－sinx ＋2ax ，则g′(x)＝－cosx ＋2a ，① 当a ≥12时，g ′(x)＝－cosx ＋2a ≥0，所以f′(x)是增函数．又f′(0)＝0，所以f′(x)≥0，所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数．而f(0)＝0，f(x)是偶函数，故f(x)≥0恒成立．(12分)② 当a ≤－12时，g ′(x)＝－cosx ＋2a ≤0，所以f′(x)是减函数．又f′(0)＝0，所以f′(x)≤0，所以f(x)在(0，＋∞)上是减函数．而f(0)＝0，f(x)是偶函数，所以f(x)＜0，与f(x)≥0矛盾，故舍去．(14分)③ 当－12＜a ＜12时，必存在唯一x 0∈(0，π)，使得g′(x 0)＝0，因为g′(x)＝－cosx ＋2a在[0，π]上是增函数，所以当x ∈(0，x 0)时，g ′(x)＜0，即f′(x)在(0，x 0)上是减函数．又f ′(0)＝0，所以当x ∈(0，x 0)时，f ′(x)＜0，即f(x)在(0，x 0)上是减函数．而f(0)＝0，所以当x ∈(0，x 0)时，f(x)＜0，与f(x)≥0矛盾，故舍去．综上，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞.(16分)。

江苏省普通高等学校2017年高三招生考试20套模拟测试数

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二十)数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：1. 锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面积，h 为高．2. 样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n ∑i ＝1n (x i －x －)2，标准差为s 2，其中x －＝1n i ＝1n x i .一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{1，3，5，7，9}，C ＝A ∩B ，则集合C 的子集的个数为________．2. 若复数z 满足(2－i)z ＝4＋3i(i 为虚数单位)，则|z|＝__________．3. 甲、乙两盒中各有除颜色外完全相同的2个红球和1个白球，现从两盒中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为__________．4. 已知一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的方差是2，则数据2x 1，2x 2，2x 3，2x 4，2x 5的标准差为__________．5. 如图所示，该伪代码运行的结果为__________． S ←0 i ←1 While S ≤20 S ←S ＋i i ←i ＋2 End While Print i (第5题)6. 以双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为__________．7. 设M ，N 分别为三棱锥PABC 的棱AB ，PC 的中点，三棱锥PABC 的体积记为V 1，三棱锥PAMN 的体积记为V 2，则V 2V 1＝__________．8. 已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤5，x －y ≤－2，则2y －12x ＋3的最大值为__________．9. 若f(x)＝3sin(x ＋θ)－cos(x ＋θ)⎝⎛⎭⎫－π2≤θ≤π2是定义在R 上的偶函数，则θ＝__________．10. 已知向量a ，b 满足a ＝(4，－3)，|b|＝1，|a －b|＝21，则向量a ，b 的夹角为__________．11. 已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA →²CB →＝λ(λ为常数)，且点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则实数λ的最大值是__________．12. 若函数f(x)＝e x ＋x 3－12x －1的图象上有且只有两点P 1，P 2，使得函数g(x)＝x 3＋mx 的图象上存在两点Q 1，Q 2，且P 1与Q 1、P 2与Q 2分别关于坐标原点对称，则实数m 的取值集合是__________．13. 若数列{a n }满足：对任意的n ∈N *，只有有限个正整数m 使得a m ＜n 成立，记这样的m 的个数为b n ，则得到一个新数列{b n }．例如，若数列{a n }是1，2，3，…，n ，…，则数列{b n }是0，1，2，…，n －1，….现已知数列{a n }是等比数列，且a 2＝2，a 5＝16，则数列{b n }中满足b i ＝2 016的正整数i 的个数为__________．14. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 为锐角三角形，且满足b 2－a 2＝ac ，则1tanA －1tanB的取值范围是__________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，a ＋c ＝4. (1) 当a ，b ，c 成等差数列时，求△ABC 的面积； (2) 设D 为AC 边的中点，求线段BD 长的最小值．16. (本小题满分14分)如图，四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是矩形，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为棱AB ，PC 的中点．求证：(1) EF ∥平面PAD ；(2) 平面PDE⊥平面PEC.一位创业青年租用了一块边长为1百米的正方形田地ABCD 来养蜂、产蜜与售蜜，他在正方形的边BC ，CD 上分别取点E ，F(不与正方形的顶点重合)，连结AE ，EF ，FA ，使得∠EAF ＝45°.现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区，△AEF 部分规划为蜂巢区，△CEF 部分规划为蜂蜜交易区．若蜂源植物生长区的投入约为2³105元/百米2，蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为105元/百米2，则这三个区域的总投入最少需要多少元？18. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左顶点为A ，右焦点为F ，P ，Q为椭圆C 上两点，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)．(1) 若PF ⊥x 轴，且满足直线AP 与圆O 相切，求圆O 的方程；(2) 若圆O 的半径为3，点P ，Q 满足k OP ²k OQ ＝－34，求直线PQ 被圆O 截得弦长的最大值．已知函数f(x)＝mlnx(m ∈R )．(1) 若函数y ＝f(x)＋x 的最小值为0，求m 的值；(2) 设函数g(x)＝f(x)＋mx 2＋(m 2＋2)x ，试求g(x)的单调区间；(3) 试给出一个实数m 的值，使得函数y ＝f(x)与h(x)＝x －12x (x ＞0)的图象有且只有一条公切线，并说明此时两函数图象有且只有一条公切线的理由．20. (本小题满分16分)已知数列{a n }满足a 1＝m ，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，n ＝2k －1，a n ＋r ，n ＝2k(k ∈N *，r ∈R )，其前n 项和为S n .(1) 当m 与r 满足什么关系时，对任意的n ∈N *，数列{a n }都满足a n ＋2＝a n?(2) 对任意实数m ，r ，是否存在实数p 与q ，使得{a 2n ＋1＋p}与{a 2n ＋q}是同一个等比数列？若存在，请求出p ，q 满足的条件；若不存在，请说明理由；(3) 当m ＝r ＝1时，若对任意的n ∈N *，都有S n ≥λa n ，求实数λ的最大值.(二十)1. 8 解析：C ＝{1，3，5}，则集合C 的子集的个数为8. 本题主要考查集合的概念与运算等基础知识．本题属于容易题．2. 5 解析：z ＝4＋3i 2－i ＝（4＋3i ）（2＋i ）（2＋i ）（2－i ）＝1＋2i ，则|z|＝ 5.本题主要考查复数的模的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．3. 89解析：从两盒中各取一个球的基本事件数为9，没有红球的基本事件数为1，则至少有一个红球的概率＝1－没有红球的概率＝1－19＝89.本题主要考查对立事件概率的求法．本题属于容易题．4. 22 解析：由s 2＝1n ∑i ＝1n (x i －x －)2＝2，则数据2x 1，2x 2，2x 3，2x 4，2x 5的方差是8，标准差为2 2.本题主要考查方差、标准差公式．本题属于容易题．5. 11 解析：满足循环S 与i ：S ＝1，i ＝3；S ＝4，i ＝5；S ＝9，i ＝7；S ＝16，i ＝9；S ＝25，i ＝11.本题关键把握每一次循环体执行情况．本题属于容易题．6. 2 解析：设F(c ，0)到双曲线的渐近线bx －ay ＝0的距离为b ，则a ＝b ，c ＝2a ，则该双曲线的离心率为 2.本题主要考查双曲线的渐近线方程，焦点坐标，直线与圆相切条件．本题属于容易题．7. 14 解析：设△AMN 面积为S ，点P 到平面AMN 的距离为h ，则V 2＝13Sh ，而V 1＝2³13³2S ³h ，则V 2V 1＝14.本题主要考查等高锥体体积的求法．本题属于容易题．8. 75 解析：2y －12x ＋3＝y －12x －－32，它表示可行域内的点与⎝⎛⎭⎫－32，12连线的斜率，作出可行域，发现可行域内的点(1，4)为最优解，代入可得2y －12x ＋3＝75.本题主要考查线性规划的运用，目标函数为斜率模型．本题属于容易题．9. －π3 解析：f(x)＝3sin(x ＋θ)－cos(x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎫x ＋θ－π6，由已知条件⎝⎛⎭⎫－π2≤θ≤π2知θ－π6＝±π2，则θ＝－π3.本题主要考查函数的奇偶性，三角函数的和差角公式．本题属于容易题．10. π3解析：|b|＝1，|a|＝5，对|a －b|＝21两边平方，得2a ²b ＝5，2|a||b|cos θ＝5，cos θ＝12，则向量a ，b 的夹角为π3.本题主要考查平方法求向量的模问题，以及数量积定义的运用．本题属于容易题．11. －34 解析：建立平面直角坐标系，B(0，0)，A(2，0)，设C(x ，y)，则CA →²CB →＝x(x －2)＋y 2＝λ，则(x －1)2＋y 2＝λ＋1，得（x －1）2＋y 2＝λ＋1，点C 的轨迹是以(1，0)为圆心λ＋1为半径的圆且与x 2＋y 2＝14外离或相切．所以λ＋1≤12，λ的最大值为－34.本题主要考查圆与圆的位置关系，以及解析法的运用．本题属于中等题．12. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫e －12e 解析：设 P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则Q 1(－x 1，－y 1) ，Q 2(－x 2，－y 2), 有y 1＝ex 1＋x 31－12x 1－1，y 2＝ex 2＋x 32－12x 2－1，y 1＝x 31＋m x 1 ，y 2＝x 32＋m x 2，∴ f(x)＝g(x)有且仅有两个根，即m ＝xe x －12x 2－x 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有且仅有两个根．令h(x)＝xe x －12x 2－x, h ′(x)＝(x ＋1)(e x－1)，∴ h(x)在(－∞，－1)和(0，＋∞)上单调递增，在 (－1，0)上单调递减，当 x →－∞时，h(x)→－∞；当 x →＋∞时，h(x)→＋∞，∴ m ＝h(－1)＝e －12e，∴ m ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫e －12e .本题主要考查方程的思想，函数的思想，以及导数的运用. 本题属于难题． 13. 22 015解析：因为{a n }是等比数列，且a 2＝2，a 5＝16，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝2，a 1q 4＝16 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，∴ a n ＝2n －1，要使b i ＝2 016，所以必须有满足a m ＜n 的m 有2 016个，即a 1，a 2，a 3，…，a 2 016，所以22 015＜n ≤22 016(当22 016<n 时，b i >2 016)，所以n 可以取22 015＋1，22 015＋2，…，22 016，共22 016－22 015＝22 015个，正整数i 的个数即为n 的个数．本题主要考查等比数列通项公式，以及新定义的运用. 本题属于难题．14. ⎝⎛⎭⎫1，233 解析：由b 2＝a 2＋ac ＝a 2＋c 2－2accosB ，得c 2＝ac(1＋2cosB)，所以cosB＝sinB tanA －1＝12⎝⎛⎭⎫c a －1，所以1tanA －1tanB ＝1tanA －sinBtanA －1sinB ＝1sinB.因为△ABC 为锐角三角形，所以a 2＋b 2>c 2，则2a 2＋ac>c 2，所以2＋c a >⎝⎛⎭⎫c a 2，则－1<c a <2.因为c a >0，所以0<c a<2，而cosB＝12⎝⎛⎭⎫c a －1∈⎝⎛⎭⎫0，12，所以1sinB ∈⎝⎛⎭⎫1，233，所以1tanA －1tanB ∈⎝⎛⎭⎫1，233.本题主要考查解三角形的运用，以及一元二次不等式解法，同角三角函数关系的运用．本题属于难题．15. 解：(1) 因为a ，b ，c 成等差数列，所以b ＝a ＋c2＝2.(2分)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2accosB ＝(a ＋c)2－3ac ＝16－3ac ＝4，解得ac ＝4，(6分)从而S △ABC ＝12acsinB ＝2³32＝ 3.(8分)(2) (解法1)因为D 为AC 边的中点，所以BD →＝12(BA →＋BC →)，(10分)则BD → 2＝14(BA →＋BC →)2＝14(BA → 2＋2BA →²BC →＋BC →2)＝14(c 2＋2accosB ＋a 2)＝14[(a ＋c)2－ac]＝4－14ac(12分) ≥4－14⎝⎛⎭⎫a ＋c 22＝3，当且仅当a ＝c 时取等号，所以线段BD 长的最小值为 3.(14分)(解法2)因为D 为AC 边的中点，所以可设AD ＝CD ＝d. 由cos ∠ADB ＋cos ∠CDB ＝0，得 BD 2＋d 2－c 22d ²BD ＋BD 2＋d 2－a 22d ²BD＝0，即BD 2＝a 2＋c 22－d 2＝8－ac －d 2.(10分)因为b 2＝a 2＋c 2－2accosB ＝(a ＋c)2－3ac ＝16－3ac ，即4d 2＝16－3ac ，所以d 2＝4－34ac ，(12分)故BD 2＝4－14ac ≥4－14⎝⎛⎭⎫a ＋c 22＝3，当且仅当a ＝c 时取等号，所以线段BD 长的最小值为 3.(14分)16. 证明：(1) 取PD 的中点G ，连结AG ，FG .(2分)因为F ，G 分别是PC ，PD 的中点，所以GF ∥DC ，且GF ＝12DC.又E 是AB 的中点，所以AE ∥DC ，且AE ＝12DC ，所以GF ∥AE ，且GF ＝AE ，所以AEFG 是平行四边形，故EF ∥AG .(4分) 又AG ⊂ 平面PAD ，EF ⊄ 平面PAD ，所以EF ∥平面PAD.(6分)(说明：也可以取DC 中点，用面面平行来证线面平行) (2) 因为PD ⊥底面ABCD ，EC ⊂ 底面ABCD ，所以CE ⊥PD.(8分)取DC 中点H ，连结EH.因为ABCD 是矩形，且AB ＝2AD ，所以ADHE ，BCHE 都是正方形，所以∠DEH ＝∠CEH ＝45°，即CE ⊥DE.(10分) 又PD ，DE 是平面PDE 内的两条相交直线，所以CE ⊥平面PDE.(12分)而CE ⊂平面PEC ，所以平面PDE ⊥平面PEC.(14分)17. 解：(解法1)设阴影部分面积为S ，三个区域的总投入为T.则T ＝2³105²S ＋105²(1－S)＝105²(S ＋1)，从而只要求S 的最小值．(2分)设∠EAB ＝α(0°＜α＜45°)，在△ABE 中，因为AB ＝1，∠B ＝90°，所以BE ＝tan α，则S △ABE ＝12AB ²BE ＝12tan α；(4分)又∠DAF ＝45°－α，所以S △ADF ＝12tan(45°－α)，(6分)所以S ＝12[tan α＋tan(45°－α)]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α＋1－tan α1＋tan α.(8分)令x ＝tan α∈(0，1)，则S ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 1＋x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x －1x ＋1＝12⎝⎛⎭⎫x ＋2x ＋1－1(10分) ＝12⎣⎡⎦⎤（x ＋1）＋2x ＋1－2≥12(22－2)＝2－1，当且仅当x ＋1＝2x ＋1，即x ＝2－1时取等号．(12分)从而三个区域的总投入T 的最小值约为(2－1)³105元．(14分) (说明：这里S 的最小值也可以用导数来求解：因为S′＝[x ＋（2＋1）][x －（2－1）]2（1＋x ）2，则由S′＝0，得x ＝2－1.当x ∈(0，2－1)时，S ′＜0，S 递减；当x ∈(2－1，1)时，S ′＞0，S 递增．所以当x ＝2－1时，S 取得最小值为2－1)(解法2)设阴影部分面积为S ，三个区域的总投入为T.则T ＝2³105²S ＋105²(1－S)＝105²(S ＋1)，从而只要求S 的最小值．(2分) 如图，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设直线AE 的方程为y ＝kx(0＜k ＜1)，即k ＝tan ∠EAB ，因为∠EAF ＝45°，所以直线AF 的斜率为tan(∠EAB ＋45°)＝1＋k1－k，从而直线AF 的方程为y ＝1＋k1－kx.(6分)在方程y ＝kx 中，令x ＝1，得E(1，k)，所以S △EAB ＝12AB ²BE ＝12k ；在方程y ＝1＋k 1－k x 中，令y ＝1，得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 1＋k ，1，所以S△ADF ＝12AD ²DF ＝12²1－k 1＋k ；从而S ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1－k 1＋k ，k ∈(0，1)．(10分)以下同解法1.(14分)(解法3)设阴影部分面积为S ，三个区域的总投入为T.则T ＝2³105²S ＋105²(1－S)＝105²(S ＋1)，从而只要求S 的最小值．(2分)设∠DAF ＝α，∠BAE ＝β(0°＜α，β＜45°)，则S ＝12(tan α＋tan β)，(4分)因为α＋β＝90°－∠EAF ＝45°，所以tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，(8分)所以tan α＋tan β＝1－tan αtan β≥1－⎝⎛⎭⎫tan α＋tan β22，(10分)即2S ≥1－S 2，解得S ≥2－1，即S 取得最小值为2－1，从而三个区域的总投入T 的最小值为(2－1)³105元．(14分)18. 解：(1) 因为椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，所以A(－2，0)，F(1，0)．(2分)因为PF ⊥x 轴，所以P ⎝⎛⎭⎫1，±32. 而直线AP 与圆O 相切，根据对称性，可取P ⎝⎛⎭⎫1，32，(4分)则直线AP 的方程为y ＝12(x ＋2)，即x －2y ＋2＝0.(6分)由圆O 与直线AP 相切，得r ＝25，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝45.(8分)(2) 易知，圆O 的方程为x 2＋y 2＝3.① 当PQ ⊥x 轴时，k OP ²k OQ ＝－k 2OP ＝－34，所以k OP ＝±32，此时得直线PQ 被圆O 截得的弦长为677.(10分)② 当PQ 与x 轴不垂直时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)(x 1x 2≠0)，首先由k OP ²k OQ ＝－34，得3x 1x 2＋4y 1y 2＝0，即3x 1x 2＋4(kx 1＋b)(kx 2＋b)＝0，所以(3＋4k 2)x 1x 2＋4kb(x 1＋x 2)＋4b 2＝0 (*)．(12分)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 24＋y 23＝1，消去x ，得(3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0，将x 1＋x 2＝－8kb 3＋4k 2，x 1x 2＝4b 2－123＋4k2代入(*)式，得2b 2＝4k 2＋3.(14分) 由于圆心O 到直线PQ 的距离为d ＝|b|k 2＋1，所以直线PQ 被圆O 截得的弦长为l ＝23－d 2＝4＋2k 2＋1，故当k ＝0时，l 有最大值为 6.综上，因为6＞677，所以直线PQ 被圆O 截得的弦长的最大值为 6.(16分)19. 解：(1) 由题意，得函数y ＝mlnx ＋x ，所以y′＝mx ＋1＝x ＋m x.① 当m ≥0时，函数y 在(0，＋∞)上单调递增，此时无最小值，舍去；(2分) ② 当m ＜0时，由y′＝0，得x ＝－m.当x ∈(0，－m)，y ′＜0，原函数单调递减；x ∈(－m ，＋∞)，y ′＞0，原函数单调递增．所以x ＝－m 时，函数y 取最小值，即mln(－m)－m ＝0，解得m ＝－e.(4分) (2) 由题意，得g(x)＝mlnx ＋mx 2＋(m 2＋2)x ，则g′(x)＝2mx 2＋（m 2＋2）x ＋m x ＝（2x ＋m ）（mx ＋1）x，(6分)① 当m ≥0时，g ′(x)≥0，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增；② 当m ＜0时，由g′(x)＝0，得x ＝－m 2或x ＝－1m.若m ＝－2，则－m 2＝－1m，此时g′(x)≤0，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减；若－2＜m ＜0，则－m 2＜－1m，由g′(x)＞0，解得x ∈⎝⎛⎭⎫－m 2，－1m ，由g′(x)＜0，解得x ∈⎝⎛⎭⎫0，－m 2∪⎝⎛⎭⎫－1m ，＋∞，所以函数g(x)在⎝⎛⎭⎫－m 2，－1m 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，－m 2与⎝⎛⎭⎫－1m ，＋∞上单调递减；若m ＜－2，则－m 2＞－1m，同理可得，函数g(x)在⎝⎛⎭⎫－1m ，－m 2上单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，－1m 与⎝⎛⎭⎫－m 2，＋∞上单调递减．综上所述，g(x)的单调区间如下：当m ≥0时，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增；当m ＝－2时，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－2＜m ＜0时，函数g(x)的增区间为⎝⎛⎭⎫－m 2，－1m ，减区间为(0，－m 2)与⎝⎛⎭⎫－1m ，＋∞；当m ＜－2时，函数g(x)的增区间为⎝⎛⎭⎫－1m ，－m 2，减区间为⎝⎛⎭⎫0，－1m 与(－m 2，＋∞)．(10分)(3) m ＝12符合题意．理由如下：(12分) 此时f(x)＝12lnx. 设函数f(x)与h(x)上各有一点A ⎝⎛⎭⎫x 1，12lnx 1，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 2－12x 2，则f(x)以点A 为切点的切线方程为y ＝12x 1x ＋12lnx 1－12， h(x)以点B 为切点的切线方程为y ＝12x 22x ＋x 2－22x 2，由两条切线重合，得⎩⎨⎧12x 1＝12x 22，12lnx 1－12＝x 2－22x 2， (*)(14分) 消去x 1，整理得lnx 2＝1－1x 2，即lnx 2－1＋1x 2＝0. 令φ(x)＝lnx －1＋1x ，得φ′(x)＝1x －1x 2＝x －1x 2，所以函数φ(x)在(0，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增．又φ(1)＝0，所以函数φ(x)有唯一零点x ＝1，从而方程组(*)有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝1，即此时函数f(x)与h(x)的图象有且只有一条公切线．故m ＝12符合题意．(16分) 20. 解：(1) 由题意，得a 1＝m ，a 2＝2a 1＝2m ，a 3＝a 2＋r ＝2m ＋r ，首先由a 3＝a 1，得m ＋r ＝0.(2分)当m ＋r ＝0时，因为a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，n ＝2k －1，a n －m ，n ＝2k(k ∈N *)，所以a 1＝a 3＝…＝m ，a 2＝a 4＝…＝2m ，故对任意的n ∈N *，数列{a n }都满足a n ＋2＝a n . 即当实数m ，r 满足m ＋r ＝0时，题意成立．(4分)(2) 依题意，a 2n ＋1＝a 2n ＋r ＝2a 2n －1＋r ，则a 2n ＋1＋r ＝2(a 2n －1＋r)，因为a 1＋r ＝m ＋r ，所以当m ＋r ≠0时，{a 2n ＋1＋r}是等比数列，且a 2n ＋1＋r ＝(a 1＋r)2n ＝(m ＋r)2n . 为使{a 2n ＋1＋p}是等比数列，则p ＝r.同理，当m ＋r ≠0时，a 2n ＋2r ＝(m ＋r)2n ，则欲使{a 2n ＋q}是等比数列，则q ＝2r.(8分) 综上所述：① 若m ＋r ＝0，则不存在实数p ，q ，使得{a 2n ＋1＋p}与{a 2n ＋q}是等比数列； ② 若m ＋r ≠0，则当p ，q 满足q ＝2p ＝2r 时，{a 2n ＋1＋p}与{a 2n ＋q}是同一个等比数列．(10分)(3) 当m ＝r ＝1时，由(2)可得a 2n －1＝2n －1，a 2n ＝2n ＋1－2，当n ＝2k 时，a n ＝a 2k ＝2k ＋1－2，S n ＝S 2k ＝(21＋22＋…＋2k )＋(22＋23＋…＋2k ＋1)－3k＝3(2k ＋1－k －2)，所以S n a n ＝3⎝⎛⎭⎫1－k 2k ＋1－2. 令c k ＝k 2k ＋1－2，则c k ＋1－c k ＝k ＋12k ＋2－2－k 2k ＋1－2＝（1－k ）2k ＋1－2（2k ＋2－2）（2k ＋1－2）＜0，所以S n a n ≥32，λ≤32.(13分) 当n ＝2k －1时，a n ＝a 2k －1＝2k －1，S n ＝S 2k －a 2k ＝3(2k ＋1－k －2)－(2k ＋1－2)＝2k ＋2－3k －4，所以S n a n ＝4－3k 2k －1，同理可得S n a n ≥1，λ≤1. 综上所述，实数λ的最大值为1.(16分)。

江苏省普通高等学校2017年高三招生考试20套模拟测试数学试题一含解析精品

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(一)数学(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 设集合A ＝{x|－1≤x ≤2}，B ＝{x|0≤x ≤4}，则A ∩B ＝____________．2. 函数y ＝ln(x 2－x －2)的定义域是____________．3. 已知sin α＝14，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan α＝____________．4. 定义在R 上的奇函数f(x)，当x ＞0时，f(x)＝2x －x 2，则f(－1)＋f(0)＋f(3)＝____________．5. 函数y ＝3sinx －cosx －2(x ＞0)的值域是____________．6. 等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S 4＝8a 1，a 4＝4＋a 2，则S 10＝__________．7. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ＞0，－x －3，x ＜0，若f(a)＞f(1)，则实数a 的取值范围是______________．8. 等比数列{a n }的公比大于1，a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，则a 3＝____________． 9. 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位后，得到函数f(x)的图象，若函数f(x)是偶函数，则φ的值等于________．10. 已知函数f(x)＝ax ＋bx (a ，b ∈R ，b ＞0)的图象在点P(1，f(1))处的切线与直线x ＋2y－1＝0垂直，且函数f(x)在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增，则b 的最大值等于__________．11. 已知f(m)＝(3m －1)a ＋b －2m ，当m ∈[0，1]时，f(m)≤1恒成立，则a ＋b 的最大值是__________．12. △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若tanA ＝2tanB ，a 2－b 2＝13c ，则c ＝____________．13. 已知x ＋y ＝1，y ＞0，x ＞0，则12x ＋xy ＋1的最小值为____________．14. 设f′(x)和g′(x)分别是函数f(x)和g(x)的导函数，若f′(x)·g′(x)≤0在区间I 上恒成立，则称函数f(x)和g(x)在区间I 上单调性相反．若函数f(x)＝13x 3－2ax 与函数g(x)＝x 2＋2bx 在开区间(a ，b)(a ＞0)上单调性相反，则b －a 的最大值等于____________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知函数f(x)＝2cos ωx2⎝⎛⎭⎫3cos ωx 2－sin ωx 2(ω＞0)的最小正周期为2π.(1) 求函数f(x)的表达式；(2) 设θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且f(θ)＝3＋65，求cos θ的值．16.(本小题满分14分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，且a 1，a 2＋5，a 3成等差数列．(1) 求a 1，a 2的值；(2) 求证：数列{a n ＋2n }是等比数列，并求数列{a n }的通项公式．17. (本小题满分14分) 已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋1.(1) 若函数g(x)＝log a [f(x)＋a](a ＞0，a ≠1)的定义域是R ，求实数a 的取值范围； (2) 当x ＞0时，恒有不等式f （x ）x＞lnx 成立，求实数a 的取值范围．18. (本小题满分16分)如图，在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在l上设立了A，B两个报名点，满足A，B，C中任意两点间的距离为10 km.公司拟按以下思路运作：先将A，B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处(点D异于A，B两点)，然后乘同一艘游轮前往C岛．据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费2a元，游轮每千米耗费12a元．(其中a是正常数)设∠CDA＝α，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本为S元．(1) 写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；(2) 问：中转点D距离A处多远时，S最小？19. (本小题满分16分)设函数f(x)＝x|x－1|＋m，g(x)＝lnx.(1) 当m＞1时，求函数y＝f(x)在[0，m]上的最大值；(2) 记函数p(x)＝f(x)－g(x)，若函数p(x)有零点，求实数m的取值范围．20. (本小题满分16分)已知数列{a n}的奇数项是公差为d1的等差数列，偶数项是公差为d2的等差数列，S n是数列{a n}的前n项和，a1＝1，a2＝2.(1) 若S5＝16，a4＝a5，求a10；(2) 已知S15＝15a8，且对任意n∈N*，有a n＜a n＋1恒成立，求证：数列{a n}是等差数列；(3) 若d1＝3d2(d1≠0)，且存在正整数m，n(m≠n)，使得a m＝a n.求当d1最大时，数列{a n}的通项公式．(一)1. {x|0≤x ≤2} 解析：本题主要考查集合的概念与运算等基础知识．本题属于容易题．2. (－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析：由x 2－x －2＞0，则x ＞2或x<1.本题主要考查对数式中真数大于0，以及一元二次不等式的解法．本题属于容易题．3. －1515 解析：由sin α＝14，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，得cos α＝－154，则tan α＝sin αcos α＝－1515.本题主要考查同角三角函数关系．本题属于容易题． 4. －2 解析：由函数f(x)在R 上是奇函数，则f(0) ＝0，又x ＞0时，f(x)＝2x －x 2，则f(3)＝－1，f(－1)＝－f(1)＝－1，则f(－1)＋f(0)＋f(3)＝－2.本题主要考查奇函数的性质．本题属于容易题．5. [－4，0] 解析：由y ＝3sinx －cosx －2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6－2，则－4≤y ≤0.本题主要考查三角函数的值域，以及和差角公式的逆用．本题属于容易题．6. 120 解析：由S 4＝8a 1，a 4＝4＋a 2得d ＝2，a 1＝3，则S 10＝10a 1＋45d ＝120.本题主要考查等差数列通项公式以及求和公式．本题属于容易题．7. a ＜－1或a ＞1 解析：由f(1)＝－2，则f(a)＞－2.当a>0时，有2a －4>－2，则a>1；当a ＜0时，－x －3＞－2，则a ＜－1.所以实数a 的取值范围是a ＜－1或a ＞1. 本题主要考查分段函数，以及简单不等式的解法．本题属于容易题．8. 4 解析：由a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6(q>1)，得q ＝2，a 1＝1，则a 3＝4. 本题主要考查等比数列通项公式．本题属于容易题．9. π3 解析：由函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位后，得到函数f(x)＝sin(2x ＋π6－2φ)的图象，函数f(x)是偶函数，π6－2φ＝π2＋k π，而φ为锐角，则k ＝－1时φ＝π3.本题主要考查三角函数的图象变换，以及三角函数的奇偶性．本题属于容易题．10. 23 解析：函数f(x)＝ax ＋bx(a ，b ∈R ，b ＞0)的图象在点P(1，f(1))处的切线斜率为2, f ′(1)＝2，得a －b ＝2，由函数f(x)在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增，f ′(x)≥0在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上恒成立，得a 4≥b ，又a ＝2＋b ，则b ≤23.本题主要考查导数的几何意义，导数在单调性中的运用以及恒成立问题．本题属于中等题．11. 73 解析：将已知条件变形f(m)＝m(3a －2)＋b －a ，当3a －2＝0时，即a ＝23，则有b －a ≤1，即b ≤a ＋1，所以a ＋b ≤2a ＋1＝2×23＋1＝73；当3a －2＞0，即a ＞23时，函数f(m)在[0，1]上单调递增，f(m)max ＝f(1)＝3a －2＋b －a ＝2a ＋b －2≤1，则b ≤3－2a ，所以a ＋b ≤a＋3－2a ＝3－a ＜73；当3a －2＜0，即a ＜23时，函数f(m)在[0，1]上单调递减，f(m)max ＝f(0)＝b －a ≤1，则b ≤a ＋1，所以a ＋b ≤2a ＋1＜73.综上所述，a ＋b 的最大值为73.本题主要考查在多元变量中如何变换主元以及借助单调性求最值来解决不等式的恒成立问题．本题属于中等题．12. 1 解析：由tanA ＝2tanB sinA cosA ＝2sinBcosB，结合正、余弦定理转化为边的关系，有2abc b 2＋c 2－a 2＝2×2abc a 2＋c 2－b2，化简有a 2－b 2＝13c 2，结合已知条件有c ＝1.本题主要考查利用正、余弦定理解三角形以及三角函数中遇切化弦．本题属于中等题．13. 54 解析：将x ＋y ＝1代入12x ＋x y ＋1中，得x ＋y 2x ＋x x ＋2y ＝12＋y 2x ＋11＋2y x，设yx＝t ＞0，则原式＝1＋t 2＋11＋2t ＝2t 2＋3t ＋32（1＋2t ）＝14·（1＋2t ）2＋2t ＋1＋41＋2t ＝14[(1＋2t)＋41＋2t＋1]≥14×2（1＋2t ）·41＋2t ＋14＝54，当且仅当t ＝12时，即x ＝23，y ＝13时，取“＝”．本题主要考查利用代数式变形，以及利用基本不等式求最值．本题属于难题．14. 12 解析：因为g(x)＝x 2＋2bx 在区间(a ，b)上为单调增函数，所以f(x)＝13x 3－2ax在区间(a ，b)上单调减，故x ∈(a ，b)，f ′(x)＝x 2－2a ≤0，即a ≥b22，而b ＞a ，所以b ∈(0，2)，b －a ≤b －b 22＝－12(b －1)2＋12，当b ＝1时，b －a 的最大值为12.本题主要考查二次函数的单调性、最值问题和导数在单调性中的运用以及恒成立问题．本题属于难题.15. 解：(1) f(x)＝2cos ωx 2⎝⎛⎭⎫3cos ωx 2－sin ωx 2＝23cos 2ωx 2－2cos ωx 2sin ωx2＝3(1＋cos ωx)－sin ωx(2分)＝3－2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3.(4分)∵ 函数f(x)的最小正周期为2π，∴ 2πω＝2π，ω＝1.(6分)∴ f(x)＝3－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3.(7分)(2) 由f(θ)＝3＋65，得sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－35.∵ θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴ θ－π3∈⎝⎛⎭⎫－π3，π6，∴ cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝45.(9分)∴ cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3cos π3－sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3sin π3(12分)＝45×12－⎝⎛⎭⎫－35×32＝4＋3310.(14分)16. (1) 解：由已知，得2a 1＝a 2－3 ①， 2(a 1＋a 2)＝a 3－7 ②.(2分) 又a 1，a 2＋5，a 3成等差数列，所以a 1＋a 3＝2a 2＋10 ③.(3分) 解①②③，得a 1＝1，a 2＝5.(5分)(2) 证明：由已知，n ∈N *时，2(S n ＋1－S n )＝a n ＋2－a n ＋1－2n ＋2＋2n ＋1，即a n ＋2＝3a n ＋1＋2n＋1，即a n ＋1＝3a n ＋2n (n ≥2)，(7分)由(1)得，a 2＝3a 1＋2，∴ a n ＋1＝3a n ＋2n (n ∈N *)，(9分)从而有a n ＋1＋2n ＋1＝3a n ＋2n ＋2n ＋1＝3a n ＋3×2n ＝3(a n ＋2n )．(11分)又a 1＋2＞0，∴ a n ＋2n＞0，∴ a n ＋1＋2n ＋1a n ＋2n＝3，∴ 数列{a n ＋2n }是等比数列，且公比为3.(12分)∴ a n ＋2n ＝(a 1＋2)×3n －1＝3n ，即a n ＝3n －2n .(14分)[注：① 不说明a 2＝3a 1＋2，就得a n ＋1＝3a n ＋2n (n ∈N *)，扣1分；② 仅由a n ＋1＋2n ＋1＝3(a n ＋2n )，就得到数列{a n ＋2n }是等比数列，扣1分．]17. 解：(1) 由题意得，对任意x ∈R ，恒有f(x)＋a ＞0，即恒有x 2－2ax ＋1＋a ＞0，(2分)于是Δ＝4a 2－4(1＋a)＜0，(3分)即a 2－a －1＜0，解得1－52＜a ＜1＋52.(3分)因为a ＞0，a ≠1，所以实数a 的取值范围是(0，1)∪⎝⎛⎭⎪⎫1，1＋52.(5分)(2) 当x ＞0时，不等式f （x ）x ＞lnx 等价于x －2a ＋1x ＞lnx ，即2a ＜x ＋1x－lnx ，(7分)设g(x)＝x ＋1x －lnx ，则g′(x)＝1－1x 2－1x ＝x 2－x －1x 2.(9分)令g′(x)＝0，得x ＝1＋52，当0＜x ＜1＋52时，g ′(x)＜0，g(x)单调减，当x ＞1＋52时，g ′(x)＞0，g(x)单调增，(11分)故当x ＝1＋52时，g(x)min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52＝5－ln 1＋52，(13分)所以2a ＜5－ln 1＋52，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，52－12ln 1＋52.(14分) 18. 解：(1) 由题知在△ACD 中，∠CAD ＝π3，∠CDA ＝α，AC ＝10，∠ACD ＝2π3－α.由正弦定理知CD sin π3＝AD sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝10sin α，(2分)即CD ＝53sin α，AD ＝10sin ⎝⎛⎭⎫2π3－αsin α，(3分)所以S ＝4aAD ＋8aBD ＋12aCD ＝(12CD －4AD ＋80)a ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤603－40sin ⎝⎛⎭⎫2π3－αsin αa ＋80a(5分) ＝203（3－cos α）·a sin α＋60a ⎝⎛⎭⎫π3＜α＜2π3.(6分)(2) S′＝203·1－3cos αsin 2α·a ，(8分)令S′＝0得cos α＝13，(10分)当cos α＞13时，S ′＜0；当cos α＜13时，S ′＞0，(12分)所以当cos α＝13时，S 取得最小值，(13分)此时sin α＝223，AD ＝53cos α＋5sin αsin α＝5＋564，(15分)所以中转点D 距A 处20＋564km 时，运输成本S 最小．(16分)19. 解：(1) 当x ∈[0，1]时，f(x)＝x(1－x)＋m ＝－x 2＋x ＋m ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋m ＋14，当x ＝12时，f(x)max ＝m ＋14.(2分)当x ∈(1，m]时，f(x)＝x(x －1)＋m ＝x 2－x ＋m ＝⎝⎛⎭⎫x －122＋m －14，因为函数y ＝f(x)在(1，m]上单调递增，所以f(x)max ＝f(m)＝m 2.(4分) 由m 2≥m ＋14得m 2－m －14≥0，又m ＞1，所以m ≥1＋22.(6分)所以当m ≥1＋22时，f(x)max ＝m 2；当1＜m ＜1＋22时，f(x)max ＝m ＋14.(8分)(2) 函数p(x)有零点，即方程f(x)－g(x)＝x|x －1|－lnx ＋m ＝0有解，即m ＝lnx －x|x －1|有解．令h(x)＝lnx －x|x －1|，当x ∈(0，1]时，h(x)＝x 2－x ＋lnx.因为h′(x)＝2x ＋1x－1≥22－1＞0，(10分)所以函数h(x)在(0，1]上是增函数，所以h(x)≤h(1)＝0.(11分) 当x ∈(1，＋∞)时，h(x)＝－x 2＋x ＋lnx.因为h′(x)＝－2x ＋1x ＋1＝－2x 2＋x ＋1x＝－（x －1）（2x ＋1）x＜0，(12分)所以函数h(x)在(1，＋∞)上是减函数，所以h(x)＜h(1)＝0.(14分)所以方程m ＝lnx －x|x －1|有解时m ≤0.即函数p(x)有零点时实数m 的取值范围是(－∞，0]．(16分)20. (1) 解：由题意，得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝a 1＋d 1＝1＋d 1，a 4＝a 2＋d 2＝2＋d 2，a 5＝a 3＋d 1＝1＋2d 1.(2分)因为S 5＝16，a 4＝a 5，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝7＋3d 1＋d 2＝16，2＋d 2＝1＋2d 1.所以d 1＝2，d 2＝3，(4分)所以a 10＝2＋4d 2＝14.(5分)(2) 证明：当n 为偶数时，因为a n ＜a n ＋1恒成立，即2＋⎝⎛⎭⎫n 2－1d 2＜1＋n 2d 1，n2(d 2－d 1)＋1－d 2＜0恒成立，所以d 2－d 1≤0且d 2＞1.(7分) 当n 为奇数时，因为a n ＜a n ＋1恒成立，即1＋n －12d 1＜2＋⎝⎛⎭⎫n ＋12－1d 2，(1－n)(d 1－d 2)＋2＞0恒成立，所以d 1－d 2≤0，于是有d 1＝d 2.(9分)因为S 15＝15a 8，所以8＋8×72d 1＋14＋7×62d 2＝30＋45d 2，所以d 1＝d 2＝2，a n ＝n ，所以数列{a n }是等差数列．(11分)(3) 解：若d 1＝3d 2(d 1≠0)，且存在正整数m ，n(m ≠n)，使得a m ＝a n ，由题意得，在m ，n 中必然一个是奇数，一个是偶数，不妨设m 为奇数，n 为偶数．因为a m ＝a n ，所以1＋m －12d 1＝2＋⎝⎛⎭⎫n 2－1d 2.(13分) 因为d 1＝3d 2，所以d 1＝63m －n －1.因为m 为奇数，n 为偶数，所以3m －n －1的最小正值为2，此时d 1＝3，d 2＝1.(15分)所以数列{a n}的通项公式为a n＝⎩⎨⎧32n －12，n 为奇数，12n ＋1，n 为偶数.(16分)。

2017江苏省高考重点中学模拟密卷一

（第5题）2017年高考模拟试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合{}|22A x x =-<<，集合B 为自然数集，则AB = ▲ ．2．已知()()()211z a a i a =-+-∈R ，若z 为纯虚数，则a = ▲ ．3．在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为4．从2个红球，2个黄球，1不同的概率是 ▲ ．5．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ．6．在三棱锥S －ABC 中，面SAB ，SBC ，SAC 都是以S 为直角顶点的等腰直角三角形，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则三棱锥S －ABC 的表面积是___▲_____．7．已知F 为双曲线C ：2224(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 ▲ ．8. 如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，点D 在OA 的延长线上，且2OD =，点P 为BCD ∆（含边界）的动点，设(),,OP OC OD R αβαβ=+∈则αβ+的最大值等于▲ ．9. 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线B 1D 与平面A 1BC 1交于E 点．记四棱锥E －A 1B 1C 1D 1的体积为V 1，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为V 2的值是 ▲ ．10．若曲线()101x y a a a =+>≠且在点()0,2处的切线与直线210x y ++=垂直，则a =__▲___．11. 实数,x y 满足224545x xy y -+=，设22S x y =+，则A 112. 设函数⎩⎨⎧≥<-=1,21,13)(2x x x x x f ，则满足2))((2))((a f a f f =的a 的取值范围为 ▲ ．13. 已知圆22:1O x y +=，点C 为直线:220l x y +-=上一点，若圆O 存在一条弦AB 垂直平分线段OC ，则点C 的横坐标的取值范围是 ▲ ．14. 各项均为正偶数的数列1a ，2a ，3a ，4a 中，前三项依次成为公差为)0(>d d 的等差数列，后三项依次成为公比为q 的等比数列，若-4a 881=a ，则q 的所有可能的值构成的集合为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a 、b 、c ，已知5sin 13B =，且12BA BC ⋅=．（1）求ABC ∆的面积；（2）若a ，b ，c 成等差数列，求b 的值．16．（本小题满分14分）如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧面DCC 1D 1是菱形，且平面DCC 1D 1⊥平面ABCD , ∠D 1DC=3π， E 是A 1D 的中点，F 是BD 1的中点. （1）求证：EF ∥平面ABCD ；（2）若M 是CD 的中点，求证：平面D 1AM ⊥平面ABCD ．17．（本小题满分14分）现有一个以OA 、OB 为半径的扇形池塘，在OA 、OB 上分别取点C 、D ，作DE ∥OA 、CF ∥OB 交弧AB 于点E 、F ，且BD = AC ，现用渔网沿着DE 、EO 、OF 、FC 将池塘分成如图所示的三种的养殖区域．若OA =1km ，π2AOB ∠=，π(0)2EOF θθ∠=<<．（1）求区域Ⅱ的总面积；（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是15万元、20万元、10万元，记年总D 1C 1B 1 A 1D CBA M FE （第16题）收入为y 万元．试问当θ为多少时，年总收入最大？18.（本小题满分15分）已知椭圆的长轴长为6，离心率为13，2F 为椭圆的右焦点．（I ）求椭圆的标准方程；（II ）点M 在圆228x y +=上，且M 在第一象限，过M 作圆228x y +=的切线交椭圆于P ,Q 两点，判断△2PF Q 的周长是否为定值并说明理由．19．（本小题满分16分）已知函数()321132f x x x kx=++,R k ∈,函数)(x f '为)(x f 的导函数.（1）数列{}n a 满足k n f a n -'=)(1,求54321a a a a a ++++；（2）数列{}n b 满足)(1n n b f b '=+,① 当41-=k 且11>b 时,证明：数列()1lg 2n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列； ② 当0=k ,>=b b 10时,证明：bbb ni i i111<∑=+.20．（本小题满分16分）已知函数()212f x x =，()ln g x a x=．（1）若曲线()()y f x g x =-在1x =处的切线的方程为6250x y --=，求实数a 的值；（2）设()()()h x f x g x =+，若对任意两个不等的正数12x x ，，都有()()12122h x h x x x ->-恒成立，求实数a 的取值范围；（第17题）Ⅲ ⅡⅠⅡⅢ CAFE（3）若在[]1,e上存在一点0x，使得()()()()0001f xg x g xf x''+<-'成立，求实数a的取值范围．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A、B、C、D共4小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．（选修４－１：几何证明选讲）如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A 作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（1）求证：AD∥EC；（2）若AD是⊙O2的切线，且CA＝8，PC＝2，BD＝9，求AD的长．B．（选修４－２：矩阵与变换）已知线性变换1T是按逆时针方向旋转90︒的旋转变换，其对应的矩阵为M，线性变换2T：'2'3x xy y=⎧⎨=⎩对应的矩阵为N．（1）写出矩阵M、N；（2）若直线l在矩阵NM对应的变换作用下得到方程为y x=的直线，求直线l的方程．C．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是222422x ty t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程2cos()4πρθ=+．（第22题）（1）判断直线l 与曲线C 的位置关系；（2）设M 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围．D ．（1）求不等式()2>x f 的解集；（2恒成立，求实数t 的取值范围．22．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y px =（0p >）的准线l 与x 轴交于点M ，过点M 的直线与抛物线交于A B ，两点．设11A x y （，）到准线l 的距离d p λ=（0λ>）．（1）若11y d ==，求抛物线的标准方程；（2）若AM AB λ+=0，求证：直线AB 的斜率为定值．23．（本小题满分10分）在自然数列123n ，，，，中，任取k 个元素位置保持不动，将其余n k-个元素变动位置，得到不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为()n P k ．（1）求()31P ；（2）求()440k P k =∑；（3）证明()()11nn nn k k kP k n P k --===∑∑，并求出()nnk kP k =∑的值．1．{}0,1. 21-． 3.32．4．45.【解析】概率241105P=-=．5．205.【解析】21013205S=⨯+=．6.3＋ 3.【解析】设侧棱长为a，则2a＝2，a＝2，侧面积为3×12×a2＝3，底面积为34×22＝3，表面积为3＋ 3. 7．2 .8.32.【解析】分别以边OA OC，所在直线为x y，轴建立如图所示平面直角坐标系,()0)2(10OC OD==，，，，设()()P x y OP x y=，，，.∴()()()()01202x yαββα=+=，，，，,∴2xyβα==⎧⎨⎩.∴12x yαβ+=+,设12z x y=+，则12y x z=-+.所以z是直线12y x z=-+在y轴上的截距.由图形可以看出，当该直线经过()11B，点时，它在y轴的截距z最大，最大为32,∴αβ+的最大值是32．9．91.【解析】连接FCADB=1111,平面11BCA平面11BBDD BF=,因为∈E平面11BCA，∈E 平面11BBDD，所以BFE∈,连接BD, 因为F是11CA的中点，所以BF是中线，又根据BDFB21//1,所以21=EBFE,所以E是11BC A ∆的重心，那么点E 到平面1111D C B A 的距离是1BB 的而121111BB S V D C B A ⨯=,10．2e .【解析】1x y a =+的导数为'ln x y a a =，即又曲线在点()0,2处的切线斜率为ln k a =，由于切线与直线210x y ++=垂直，则11解析】由224545x xy y -+=得()22455x y xy +=+，又()22222x yxy xy-+≤≤+，所以12.【解析】设()t f a =，所以2))((2))((a f a f f =化为()22f t t =由函数式得()23121t t t -=<或()22221t t t =≥，所以或1t ≥，即，因此a 的取值范围为C 为圆心，1为半径的圆与已知圆O 相交，设直线l 上任意一点)22,(00x x C -，则，整理得085020<-x x ，所以58{}37，.【解析】设四个数依次为1111,,2,88a a d a d a +++其中1,a d为偶数，因为后三项依次成为公比为q的等比数列，所以d 可能的值为：24,26,28，当24d =时，当26d=时，（舍去）当24d =时，所以q 的所有可能的值构成的集合二、解答题15．（1）由12BA BC ⋅=，则cos 12ac B =．…………………………………………… 2分故cos B >0．又5sin 13B =，所以cos B 1213=．……………………………… 4分故13ac =．所以ABC ∆的面积S 12=ac sin B 155132132=⨯⨯=．……………………………………… 7分（2）因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b =a +c ．在ABC ∆中，2222cos b a c ac B =+-，即()2222cos b a c ac ac B=+--．………… 10分所以()22222cos b b ac ac B=--．（*）由（1）得，13ac =，cos B 1213=，代入（*）得()2212221321313b b =-⨯-⨯⨯，… 12分故b2503=，b．……………………………………………………………………14分 16．（1）连接AD 1，因为在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，四边形ADD 1A 1是平行四边形，又因为E 是A 1D 的中点，所以E 是AD 1的中点，…………………2分因为F 是BD 1的中点，所以EF ∥AB , …………………………4分又因为AB ⊂平面ABCD ,EF ⊄平面ABCD ，所以EF ∥平面ABCD . …………………………7分（2）连接D 1C ,在菱形DCC 1D 1中，因为∠D 1DC=60°，所以△D 1DC 是等边三角形，因为M 是DC 的中点，所以D 1M ⊥DC ， …………………………9分又因为平面DCC 1D 1⊥平面ABCD , D 1M ⊂平面DCC 1D 1, 平面DCC 1D 1⋂平面ABCD =DC ，所以D 1M ⊥平面ABCD , …………………………12分又因为D 1M ⊂平面D 1AM ，所以平面D 1AM ⊥平面ABCD. …………………………14分17．连接BP , 过P 作1PP BC ⊥垂足为1P , 过Q 作1QQ BC ⊥垂足为1Q设1PBP θ∠=()2π03θ<<， 2π3MP θ=- …………………………2分若20πθ<<，在1Rt PBP ∆中，11sin cos PP BP θθ==，若,2πθ=则11sin cos PP BP θθ==，若，322πθπ<<则,cos )cos(,sin 11θθπθ-=-==BP PP2cos PQ θθ∴=- …………………………4分在1Rt QBQ ∆中，111sin CQ QQ PP CQ θθθ===，，2DQ θ= …………………………6分所以总路径长，)320(sin 3cos 432)(πθθθθπθ<<--+-=f …………………………8分 1)3sin(21cos 3sin )('--=--=πθθθθf …………………………10分令()'0f θ=，π2θ=当π02θ<< 时，()'0f θ< 当π2π23θ<< 时，()'0f θ> …………………………12分所以当π2θ=时，总路径最短. 答：当BP BC ⊥时，总路径最短. …………………………14分19． (1) 因为 2()f x x x k '=++，所以2()f n n n k '=++. ………………2分故21111(1)1n a n n n n n n ===-+++， ………………4分因此12515166a a a +++=-=. ………………6分(2) ① 因为 11,41>-=b k ,()221111422n n b b b b n n +=+-=+-,所以()211122n b b n ++=+. ………………8分又因为112b +>，所以()()()21111lg lg 2lg 222n n nb b b ++=+=+.因为11lg 221lg 2n n b b +⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭且()11lg 02b +≠，所以数列()1lg 2n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列. ………………10分② 因为10b b =>，1()n n b f b +=，所以21()n n n n b f b b b +'==+；可得21n n n b b b +=-； ………………12分故211111111n n n n n n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b b b b b b ++++++⋅-====-⋅⋅⋅．所以11111nii i n b bb b =++=-∑ ………………14分因为210n n n b b b +=->，所以1110n n n b b b b b +->>>>=>．所以bb b ni i i 111<∑=+ ………………16分20．（1）由()()21ln 2y f x g x x a x=-=-，得a y x x '=-，由题意，13a -=，所以2a =-． ………………………………3分（2）()()()21ln 2h x f x g x x a x=+=+，因为对任意两个不等的正数12x x ，，都有()()12122h x h x x x ->-，设12x x >，则()()()12122h x h x x x ->-，即()()112222h x x h x x ->-恒成立，问题等价于函数()()2F x h x x=-，即()21ln 22F x x a x x =+-在()0,+∞为增函数．…6分所以()20a F x x x '=+-≥在()0,+∞上恒成立，即22a x x -≥在()0,+∞上恒成立，所以()2max21a x x -=≥，即实数a 的取值范围是[)1,+∞．……………………………8分（3）不等式()()()()00001f x g x g xf x ''+<-'等价于00001ln ax a x x x +<-，整理得0001ln 0a x a x x +-+<．设()1ln am x x a x x +=-+，由题意知，在[]1,e 上存在一点0x ，使得()00m x <．………10分由()2222(1)(1)(1)11x ax a x a x a a m x x x x x --+--++'=--==．因为0x >，所以10x +>，即令()0m x '=，得1x a =+．① 当11a +≤，即0a ≤时，()m x 在[]1,e 上单调递增，只需()120m a =+<，解得2a <-． ………………………………………………12分② 当11e a <+≤，即0e 1a <-≤时，()m x 在1x a =+处取最小值．令()11ln(1)10m a a a a +=+-++<，即11ln(1)a a a ++<+，可得11ln(1)a a a ++<+．考查式子1ln 1t tt +<-，因为1e t <≤，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立．……………14分 ③ 当1e a +>，即e 1a >-时，()m x 在[]1,e 上单调递减，只需()1e e 0e a m a +=-+<，解得2e 1e 1a +>-．综上所述，实数a 的取值范围是()()2,2e 1,e 1-∞-++∞-． …………………………16分第Ⅱ卷（附加题，共40分）21A ．（1）连接AB ，∵AC 是⊙O 1的切线，∴∠BAC ＝∠D ．………………… 2分又∵∠BAC ＝∠E ，∴∠D ＝∠E ． ∴AD ∥EC ．………………… 4分（2）如图，∵PA 是⊙O 1的切线，PD 是⊙O 1的割线，∴PA 2＝PB ·PD ， PA ＝AC －PC ＝6，即62＝PB ·（PB ＋9），∴PB ＝3． ………………… 6分在⊙O 2中，PA ·PC ＝BP ·PE ．∴PE ＝4．………………… 8分∵AD 是⊙O 2的切线，DE 是⊙O 2的割线，且DE ＝DB ＋BP ＋PE ＝9＋3＋4＝16，∴AD 2＝DB ·DE ＝9×16，∴AD ＝12．………………… 10分B ．（1）（Ⅰ）0110M -⎛⎫= ⎪⎝⎭， ………………… 2分 2003N ⎛⎫= ⎪⎝⎭． ………………… 4分（Ⅱ）0230NM -⎛⎫= ⎪⎝⎭, ………………… 6分由02'30'x x y y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得2'3'y x x y -=⎧⎨=⎩, ………………… 8分由题意得''y x =得32x y =-，所以直线l 的方程为320x y +=． ………………… 10分C ．（1）直线l 的普通方程为 2分曲线C4分所以直线l 与曲线C 的位置关系为相离． ………………… 6分（28分10分D ．（1122x x -,12x-时，不等式化为-x-3>2，解得x<-5，∴x<-5，………………… 2分2x 时，不等式化为3x-1>2，解得x>1，∴1<x<2，………………… 4分当x ≥2时，不等式化为x+3>2，解得x>-1，∴x ≥2，}15x x-或．…………………6分（2）由（1，若∀x∈R恒成立，，…………………8分，综上，t…………………10分22．（1）由条件知，(11)2pA-，，代入抛物线方程得1p=．所以抛物线的方程为22y x=．………………………4分（2）设22B x y（，），直线AB的方程为()2py k x=+．将直线AB的方程代入22y px=，消y得22222(2)04k pk x p k x+-+=，所以1x=，2x．……………6分因为d pλ=，所以12px pλ+=，又AM ABλ+=0，所以121()2px x xλ+=-，所以21p x x=-=， (8)分所以22k=，所以直线AB的斜率为定值．…………………………………………………10分解：（I）根据已知，设椭圆的标准方程为22221(0)x ya ba b+=>>，∴26a=，3a=，13cea==，1c=；2228b a c=-=，22198x y+=（4分）（II ）△2PF Q的周长是定值方法1：设()1122,,(,)P x y Q x y ，则2211198x y +=，2PF ===∵103x <<，∴1233x PF =-，（7分）在圆中，M 是切点，∴113PM x ====，（11分）∴211113333PF PM x x +=-+=，同理23QF QM +=，（13分）∴22336F P F Q PQ ++=+=，因此△2PF Q的周长是定值6．…………（15分）方法2：设PQ 的方程为(0,0)y kx m k m =+<>，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=18922x x mkx y ，得072918)98(222=-+++m kmx x k （5分）设),(),,(2211y x Q y x P ，则2219818k kmx x +-=+，222198729k m x x +-=，∴||1||212x x k PQ -+=2122124)(1x x x x k --+===（8分）∵PQ 与圆822=+yx=，即2122k m +=，∴26||89km PQ k =-+，（9分）∵2PF ===∵103x <<，∴1233x PF =-，（12分）同理2221(9)333x QF x =-=-，（13分）∴12222226666663898989x x km km kmF P F Q PQ k k k +++=--=+-=+++，因此△2PF Q的周长是定值6．…………（14分）23．（1）因为数列1,2,3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1,3,23,2,12,1,3或或，所以()313P =； …………………………………………………………………2分（2）()()()()()()444444401234k P k P P P P P ==++++∑011112433424=C C C +C C +C +0+1=9+8+6+0+1=24； ………………………………4分（3）把数列1,2,,n ⋅⋅⋅中任取其中k 个元素位置不动，则有knC 种；其余n k -个元素重新排列，并且使其余n k -个元素都要改变位置，则有()()0kn n n k P k C P -=，………6分故()()0n nknnn k k k kP k kCP -===∑∑，又因为11k k n n kC nC --=，所以()()()()11111000.nnn n kknnn k n n k n k k k k kP k kCP n C Pn P k -------=======∑∑∑∑， …………8分令()0,nn n k a kP k ==∑则1,n n a na -=且1 1.a =于是23411231234n n n a a a a a a a a na --⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯，左右同除以2341n a a a a -⋅⋅⋅，得234!n a n n =⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯=所以()0!nnk kP k n ==∑ ……………………………………………………………10分。

2017年江苏高考数学(带附加题)

求证：（1）∠PAC=∠CAB; （2）AC2 =AP·AB。
B.[选修 4-2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分）已知矩阵 A= (1) 求 AB; 若曲线 C1; ，B= .
x 2 y2 =1 在矩阵 AB 对应的变换作用下得到另一曲线 C2 ，求 C2 的方程. 8 2
6
高中学习交流群：9854211
23. （本小题满分 10）已知一个口袋有 m 个白球，n 个黑球（m,n N
2
,n 2）,这些球除颜色外全部相同。现将口袋中的球随
机的逐个取出，并放入如图所示的编号为 1,2,3，……，m+n 的抽屉内，其中第 k 次取球放入编号为 k 的抽屉（k=1,2,3，……，m+n）.
（1）试求编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率 p; （ 2 ）随机变量 x 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数， E(x) 是 x 的数学期望，证明
19.（本小题满分 16 分）对于给定的正整数 k,若数列 lanl 满足 an k an k 1 ... an 1 an 1 ... an k 1 an k 2k an =2kan 对任意正整数 n(n> k) 总成立，则称数列 lanl 是“P(k)数列”. (1)证明：等差数列 lanl 是“P(3)数列”；
注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷共 2 页，均为非选择题（第 21 题 ~ 第 23 题）。本卷满分为 40 分，考试时间为 30 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 4.作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 5.如需改动，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗

江苏高三数学20套数学附加题

实战演练·高三数学附加分20套江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(一)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，AB 、CD 是半径为1的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，若PC ＝98，OP ＝12，求PD 的长．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知曲线C ：xy ＝1，若矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－222222对应的变换将曲线C 变为曲线C′，求曲线C′的方程．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，圆C 的方程为 ρ＝2acos θ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋2，y ＝4t ＋2(t 为参数)．若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x 1、x 2、x 3为正实数，若x 1＋x 2＋x 3＝1，求证：x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知点A(1，2)在抛物线Γ：y 2＝2px 上．(1) 若△ABC 的三个顶点都在抛物线Γ上，记三边AB 、BC 、CA 所在直线的斜率分别为k 1、k 2、k 3，求1k 1－1k 2＋1k 3的值； (2) 若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线Γ上，记四边AB 、BC 、CD 、DA 所在直线的斜率分别为k 1、k 2、k 3、k 4，求1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4的值．23. 设m 是给定的正整数，有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )中a i ＝2或－2(1≤i ≤2m)．(1) 求满足“对任意的k(k ∈N *，1≤k ≤m)，都有a 2k －1a 2k＝－1”的有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )的个数A ；(2) 若对任意的k 、l(k 、l ∈N *，1≤k ≤l ≤m)，都有| i ＝2k －12la i |≤4成立，求满足“存在k(k ∈N *，1≤k ≤m)，使得a 2k －1a 2k≠－1”的有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )的个数B.江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)在△ABC 中，已知CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆交BC 于点N ，且BN ＝2AM.求证：AB ＝2AC.B. (选修4-2：矩阵与变换)设二阶矩阵A 、B 满足A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，(BA )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，求B －1.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知曲线C ：ρ＝2sin θ，过极点O 的直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且AB ＝3，求直线l 的方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x、y、z均为正数，求证：xyz＋yzx＋zxy≥1x＋1y＋1z.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，设P1，P2，…，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S.(1) 求S＝32的概率；(2) 求S的分布列及数学期望E(S)．23.记1，2，…，n满足下列性质T的排列a1，a2，…，a n的个数为f(n)(n≥2，n∈N*)．性质T：排列a1，a2，…，a n中有且只有一个a i>a i＋1(i∈{1，2，…，n－1})．(1) 求f(3)；(2) 求f(n)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(三)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，MN 为两圆的公共弦，一条直线与两圆及公共弦依次交于A 、B 、C 、D 、E ，求证：AB·CD ＝BC·DE.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知a 、b ∈R ，若M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a b 3所对应的变换T M 把直线2x －y ＝3变换成自身，试求实数a 、b.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，求点M ⎝⎛⎭⎫2，π6关于直线θ＝π4的对称点N 的极坐标，并求MN 的长．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x 、y 、z 均为正数．求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在空间直角坐标系Oxyz 中，正四棱锥PABCD 的侧棱长与底边长都为32，点M 、N 分别在PA 、BD 上，且PM PA ＝BN BD ＝13. (1) 求证：MN ⊥AD ；(2) 求MN 与平面PAD 所成角的正弦值．23.设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的八个顶点中任取四个点，当四点共面时，ξ＝0，当四点不共面时，ξ的值为四点组成的四面体的体积．(1) 求概率P(ξ＝0)；(2) 求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(四)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A、B、C、D四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，锐角三角形ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E，若△ABC面积S＝34AD·AE，求∠BAC的大小．B. (选修4-2：矩阵与变换)求使等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002M⎣⎢⎡⎦⎥⎤100－1成立的矩阵M.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，如图，曲线C与x轴交于O、B两点，P是曲线C在x轴上方图象上任意一点，连结OP并延长至M，使PM＝PB，当P变化时，求动点M轨迹的长度．D. (选修4-5：不等式选讲)已知a、b、c均为正数，且a＋2b＋4c＝3.求1a＋1＋1b＋1＋1c＋1的最小值，并指出取得最小值时a、b、c的值．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知过一个凸多边形的不相邻的两个端点的连线段称为该凸多边形的对角线．(1) 分别求出凸四边形、凸五边形、凸六边形的对角线的条数；(2) 猜想凸n边形的对角线条数f(n)，并用数学归纳法证明．23.从集合M＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取三个元素构成子集{a，b，c}．(1) 求a、b、c中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率；(2) 记a、b、c三个数中相邻自然数的组数为ξ(如集合{3，4，5}中3和4相邻，4和5相邻，ξ＝2)，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E(ξ)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(五)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，等腰梯形ABCD 内接于圆O ，AB ∥CD.过点A 作圆O 的切线交CD 的延长线于点E.求证：∠DAE ＝∠BAC.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知直线l ：ax －y ＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 112对应的变换作用下得到直线l′，若直线l′过点(1，1)，求实数a 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知点P ⎝⎛⎭⎫23，π6，直线l ：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，求点P 到直线l 的距离．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x≥1，y≥1，求证：x2y＋xy2＋1≤x2y2＋x＋y.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在三棱锥PABC中，已知平面PAB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2a，点O、D分别是AB、PB的中点，PO⊥AB，连结CD.(1) 若PA＝2a，求异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小；(2) 若二面角APBC的余弦值的大小为55，求PA.23. 设集合A、B是非空集合M的两个不同子集，满足：A不是B的子集，且B也不是A的子集．(1) 若M＝{a1，a2，a3，a4}，直接写出所有不同的有序集合对(A，B)的个数；(2) 若M＝{a1，a2，a3，…，a n}，求所有不同的有序集合对(A，B)的个数．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(六)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，已知AB 是圆O 的直径，圆O 交BC 于点D ，过点D 作圆O 的切线DE 交AC 于点E ，且DE ⊥AC.求证：AC ＝2OD.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 32 1的一个特征值为4，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)求经过极坐标为O(0，0)、A ⎝⎛⎭⎫6，π2、B ⎝⎛⎭⎫62，π4三点的圆的直角坐标方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知正数a 、b 、c 满足abc ＝1，求(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)的最小值．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知曲线C ：y 2＝2x －4.(1) 求曲线C 在点A(3，2)处的切线方程； (2) 过原点O 作直线l 与曲线C 交于A 、B 两不同点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．23已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1·(1＋a n )＝1.(1) 试计算a 2，a 3，a 4，a 5的值；(2) 猜想|a n ＋1－a n |与115⎝⎛⎭⎫25n －1(其中n ∈N *)的大小关系，并证明你的猜想．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(七)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，AB 是圆O 的一条直径，C 、D 是圆O 上不同于A 、B 的两点，过B 作圆O 的切线与AD 的延长线相交于点M ，AD 与BC 相交于N 点，BN ＝BM.求证：(1) ∠NBD ＝∠DBM ；(2) AM 是∠BAC 的角平分线．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n m 1的一个特征根为λ＝2，它对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.(1) 求m 与n 的值；(2) 求A －1.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)已知在平面直角坐标系xOy 中，圆M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝532＋2cos θ，y ＝72＋2sin θ(θ为参数)，以Ox 轴为极轴，O 为极点建立极坐标系，在该极坐标系下，圆N 是以点⎝⎛⎭⎫3，π3为圆心，且过点⎝⎛⎭⎫2，π2的圆．(1) 求圆M 及圆N 在平面直角坐标系xOy 下的直角坐标方程； (2) 求圆M 上任一点P 与圆N 上任一点Q 之间距离的最小值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知：a ＋b ＋c ＝1，a 、b 、c>0.求证： (1) abc ≤127；(2) a 2＋b 2＋c 2≥3abc.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知直线l ：y ＝2x －4与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A 、B 两点，T(t ，0)(t>0且t ≠2)为x 轴上任意一点，连结AT 、BT 并延长与抛物线C 分别相交于A 1、B 1.(1) 设A 1B 1斜率为k ，求证：k·t 为定值；(2) 设直线AB 、A 1B 1与x 轴分别交于M 、N ，令S △ATM ＝S 1，S △BTM ＝S 2，S △B 1TN ＝S 3，S △A 1TN ＝S 4，若S 1、S 2、S 3、S 4构成等比数列，求t 的值．23如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，底面△ABC 为直角三角形，∠ACB ＝π2，顶点C 1在底面△ABC 内的射影是点B ，且AC ＝BC ＝BC 1＝3，点T 是平面ABC 1内一点．(1) 若T 是△ABC 1的重心，求直线A 1T 与平面ABC 1所成的角；(2) 是否存在点T ，使TB 1＝TC 且平面TA 1C 1⊥平面ACC 1A 1？若存在，求出线段TC 的长度；若不存在，说明理由．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(八)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. (本小题满分10分)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝5，属于特征值λ＝5的一个特征向量是e ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1，2)变换为(－2，4)，求矩阵M .22. (本小题满分10分)已知直线l 的极坐标方程是ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝42，圆M 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ是参数)．(1) 将直线的极坐标方程化为普通方程； (2) 求圆上的点到直线l 上点距离的最小值．23. (本小题满分10分)如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上的一点，CP ＝m.(1) 若m ＝1，求异面直线AP 与BD 1所成角的余弦；(2) 是否存在实数m ，使直线AP 与平面AB 1D 1所成角的正弦值是13若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．24. (本小题满分10分)在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次．在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投三次．某同学在A 处的命中率为p ，在B 处的命中率为q.该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用X 表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为X 0 2 3 4 5 Pp 1p 2p 3p 4p 5(1) 若p ＝0.25，p 1＝0.03，求该同学用上述方式投篮得分是5分的概率；(2) 若该同学在B 处连续投篮3次，投中一次得2分，用Y 表示该同学投篮结束后所得的总分．若p<23q ，试比较E(X)与E(Y)的大小．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(九)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，锐角△ABC 的内心为D ，过点A 作直线BD 的垂线，垂足为F ，点E 为内切圆D 与边AC 的切点．若∠C ＝50°，求∠DEF 的度数．B. (选修4-2：矩阵与变换)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b (其中a ＞0，b ＞0)，若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线C′：x 24＋y 2＝1，求a ＋b 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42(t 为参数)，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知a 、b 、c 均为正数，求证：a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥6 3.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某品牌汽车4S 店经销A 、B 、C 三种排量的汽车，其中A 、B 、C 三种排量的汽车依次有5、4、3款不同车型．某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能．(1) 求该单位购买的3辆汽车均为B 种排量汽车的概率；(2) 记该单位购买的3辆汽车的排量种数为X ，求X 的分布列及数学期望．23. 已知点A(－1，0)，F(1，0)，动点P 满足AP →·AF →＝2|FP →|.(1) 求动点P 的轨迹C 的方程；(2) 在直线l ：y ＝2x ＋2上取一点Q ，过点Q 作轨迹C 的两条切线，切点分别为M 、N ，问：是否存在点Q ，使得直线MN ∥l ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. (本小题满分10分)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1，求矩阵M 的特征值，并任选择一个特征值，求其对应的特征向量．22.(本小题满分10分)在极坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为C ⎝⎛⎭⎫2，π3，半径R ＝2，试判断圆C 是否通过极点，并求圆C 的极坐标方程．23. (本小题满分10分)如图，已知四棱锥SABCD的底面是边长为4的正方形，顶点S在底面上的射影O落在正方形ABCD内，且O到AB、AD的距离分别是2、1.又P是SC的中点，E是BC上一点，CE＝1，SO＝3，过O在底面内分别作AB、BC垂线Ox、Oy，分别以Ox、Oy、OS为x、y、z轴建立空间直角坐标系．(1) 求平面PDE的一个法向量；(2) 问在棱SA上是否存在一点Q，使直线BQ∥平面PDE？若存在，请给出点Q在棱SA上的位置；若不存在，请说明理由．24.(本小题满分10分)已知抛物线C：x2＝4y，在直线y＝－1上任取一点M，过M作抛物线C的两条切线MA、MB.(1) 求证：直线AB过一个定点，并求出这个定点；(2) 当弦AB中点的纵坐标为2时，求△ABM的外接圆的方程．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十一)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，△ABC 为圆的内接三角形，AB ＝AC ，BD 为圆的弦，且BD ∥AC.过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F.(1) 求证：四边形ACBE 为平行四边形； (2) 若AE ＝6，BD ＝5，求线段CF 的长．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 a －1 b 的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.(1) 求矩阵A ；(2) 若A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，求x 、y 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4(ρ∈R )对称的曲线的极坐标方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x、y∈R，且|x＋y|≤16，|x－y|≤14，求证：|x＋5y|≤1.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某中学有4位学生申请A、B、C三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．(1) 求恰有2人申请A大学的概率；(2) 求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E(X)．23.设f(n)是定义在N*上的增函数，f(4)＝5，且满足：①任意n∈N*，有f(n)∈Z；②任意m、n∈N*，有f(m)f(n)＝f(mn)＋f(m＋n－1)．(1) 求f(1)，f(2)，f(3)的值；(2) 求f(n)的表达式．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十二)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，圆O 为四边形ABCD 的外接圆，且AB ＝AD ，E 是CB 延长线上一点，直线EA 与圆O 相切．求证：CD AB ＝ABBE.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 1，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，计算M 6β.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求：(1) 圆的普通方程； (2) 圆的极坐标方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －2|－|a 2－2a|.若函数f(x)的图象恒在x 轴上方，求实数a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 甲、乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为23，且各次投篮的结果互不影响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次．(1) 求甲同学至少有4次投中的概率；(2) 求乙同学投篮次数ξ的分布列和数学期望．23.设S n ＝C 0n －C 1n －1＋C 2n －2－…＋(－1)m C m n －m ，m 、n ∈N *且m ＜n ，其中当n 为偶数时，m ＝n2；当n 为奇数时，m ＝n －12. (1) 证明：当n ∈N *，n ≥2时，S n ＋1＝S n －S n －1；(2) 记S ＝12 014C 02 014－12 013C 12 013＋12 012C 22 012－12 011C 32 011＋…－11 007C 1 0071 007，求S 的值．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十三)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上的一点，过D 作直线DP ∥CA ，交AB 于点E ，交圆O 在A 点处的切线于点P.求证：△PAE ∽△BDE.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝1及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1且M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，求矩阵M .C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，设动点P 、Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)上，且这两点对应的参数分别为θ＝α与θ＝2α(0＜α＜2π)，设PQ 的中点M 与定点A(1，0)间的距离为d ，求d 的取值范围．D. (选修4-5：不等式选讲)已知：a ≥2，x ∈R .求证：|x －1＋a|＋|x －a|≥3.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝12AB ，点E 是棱AB 上一点且AEEB ＝λ.(1) 证明：D 1E ⊥A 1D ；(2) 若二面角D 1ECD 的大小为π4，求λ的值．23. 设数列{a n }共有n(n ≥3，n ∈N )项，且a 1＝a n ＝1，对每个i(1≤i ≤n －1，i ∈N )，均有a i ＋1a i ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，2. (1) 当n ＝3时，写出满足条件的所有数列{a n }(不必写出过程)；(2) 当n ＝8时，求满足条件的数列{a n }的个数．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十四)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)已知圆O 的内接△ABC 中，D 为BC 上一点，且△ADC 为正三角形，点E 为BC 的延长线上一点，AE 为圆O 的切线，求证：CD 2＝BD ·EC.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a k 0 1(k ≠0)的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ k －1，A 的逆矩阵A －1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a 、k 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知M 是椭圆x 24＋y 212＝1上在第一象限的点，A(2，0)、B(0，23)是椭圆两个顶点，求四边形OAMB 面积的最大值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知a 、b 、c ∈R ，a 2＋2b 2＋3c 2＝6，求a ＋b ＋c 的最大值．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在正四棱锥PABCD 中，PA ＝AB ＝2，点M 、N 分别在线段PA 和BD 上，BN ＝13BD.(1) 若PM ＝13PA ，求证：MN ⊥AD ；(2) 若二面角MBDA 的大小为π4，求线段MN 的长度．23. 已知非空有限实数集S 的所有非空子集依次记为S 1，S 2，S 3，…，集合S k 中所有元素的平均值记为b k .将所有b k 组成数组T ：b 1，b 2，b 3，…，数组T 中所有数的平均值记为m(T)．(1) 若S ＝{1，2}，求m(T)；(2) 若S ＝{a 1，a 2，…，a n }(n ∈N *，n ≥2)，求m(T)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十五)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，以边AC 上的点O 为圆心，OA 为半径作圆，与边AB 、AC 分别交于点E 、F ，EC 与圆O 交于点D ，连结AD 并延长交BC 于P ，已知AE ＝EB ＝4，AD ＝5，求AP 的长．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知点M(3，－1)绕原点逆时针旋转90°后，且在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 02b 对应的变换作用下，得到点N(3，5)，求a 、b 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)如图，在极坐标系中，设极径为ρ(ρ＞0)，极角为θ(0≤θ＜2π)．圆A 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，点C 在极轴的上方，∠AOC ＝π6.△OPQ 是以OQ 为斜边的等腰直角三角形，若C为OP 的中点，求点Q 的极坐标．D. (选修4-5：不等式选讲)已知不等式|a－2|≤x2＋2y2＋3z2对满足x＋y＋z＝1的一切实数x、y、z都成立，求实数a的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在空间直角坐标系Axyz中，已知斜四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是边长为3的正方形，点B、D、B1分别在x、y、z轴上，B1A＝3，P是侧棱B1B上的一点，BP＝2PB1.(1) 写出点C1、P、D1的坐标；(2) 设直线C1E⊥平面D1PC，E在平面ABCD内，求点E的坐标．23.如图，圆周上有n个固定点，分别为A1，A2，…，A n(n∈N*，n≥2)，在每一个点上分别标上1，2，3中的某一个数字，但相邻的两个数字不相同，记所有的标法总数为a n.(1) 写出a2，a3，a4的值；(2) 写出a n的表达式，并用数学归纳法证明．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十六)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，圆O 的两弦AB 和CD 交于点E ，EF ∥CB ，EF 交AD 的延长线于点F.求证：△DEF ∽△EAF.B. (选修4-2：矩阵与变换)若矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a 0－1 2把直线l ：x ＋y －2＝0变换为另一条直线l′：x ＋y －4＝0，试求实数a 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点P(0，1)，曲线C 的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求PA·PB 的值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x ＞0，y ＞0，a ∈R ，b ∈R .求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋by x ＋y 2≤a 2x ＋b 2y x ＋y .【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知定点F(1，0)，点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，点N 为平面内的动点，且满足PM →·PF →＝0，PM →＋PN →＝0.(1) 求动点N 的轨迹C 的方程；(2) 设点Q 是直线l ：x ＝－1上任意一点，过点Q 作轨迹C 的两条切线QS 、QT ，切点分别为S 、T ，设切线QS 、QT 的斜率分别为k 1、k 2，直线QF 的斜率为k 0，求证：k 1＋k 2＝2k 0.23.各项均为正数的数列{x n }对一切n ∈N *均满足x n ＋1x n ＋1＜2.证明：(1) x n ＜x n ＋1；(2) 1－1n ＜x n ＜1.江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十七)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E.若AB ＝10，ED ＝3，求BC 的长．B. (选修42：矩阵与变换)已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 1对应的变换作用下变为直线l′：x ＋by ＝1.(1) 求实数a 、b 的值；(2) 若点P(x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，求点P 的坐标．C. (选修44：坐标系与参数方程)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cost ，y ＝2sint (t 为参数)，曲线C 在点(1，3)处的切线为l.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．D. (选修45：不等式选讲)设x 、y 、z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，求证：x ＋y ＋z ＝3147.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 一批产品需要进行质量检验，质检部门规定的检验方案是：先从这批产品中任取3件作检验，若3件产品都是合格品，则通过检验；若有2件产品是合格品，则再从这批产品中任取1件作检验，这1件产品是合格品才能通过检验，否则不能通过检验，也不再抽检；若少于2件是合格品，则不能通过检验，也不再抽检．假设这批产品的合格率为80%，且各件产品是否为合格品相互独立．(1) 求这批产品通过检验的概率；(2) 已知每件产品检验费为125元，并且所抽取的产品都要检验，记这批产品的检验费为ξ元，求ξ的概率分布及数学期望．23.已知数列{a n }和{b n }的通项公式分别为a n ＝3n －19，b n ＝2n .将{a n }与{b n }中的公共项按照从小到大的顺序排列构成一个新数列记为{c n }．(1) 试写出c 1，c 2，c 3，c 4的值，并由此归纳数列{c n }的通项公式；(2) 证明你在(1)所猜想的结论．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十八)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，圆O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为圆O 上一点，AE ＝AC ，DE 交AB 于点F.求证：△PDF ∽△POC.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2c d (c 、d 为实数)．若矩阵A 属于特征值2，3的一个特征向量分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵A 的逆矩阵A －1.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知圆A 的圆心为(4，0)，半径为4，点M 为圆A 上异于极点O 的动点，求弦OM 中点的轨迹的极坐标方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x、y、z∈R，且x＋2y＋3z＋8＝0.求证：(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2≥14.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知CA＝CB＝1，AA1＝2，∠BCA＝90°.(1) 求异面直线BA1与CB1夹角的余弦值；(2) 求二面角BAB1C平面角的余弦值．23.在数列{a n}中，已知a1＝20，a2＝30，a n＋1＝3a n－a n－1(n∈N*，n≥2)．(1) 当n＝2，3时，分别求a2n－a n－1a n＋1的值，并判断a2n－a n－1a n＋1(n≥2)是否为定值，然后给出证明；(2) 求出所有的正整数n，使得5a n＋1a n＋1为完全平方数．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十九)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲) 如图，设AB 、CD 是圆O 的两条弦，直线AB 是线段CD 的垂直平分线．已知AB ＝6，CD ＝25，求线段AC 的长度．B. (选修4-2：矩阵与变换)设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，求ad －bc 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设点A 、B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，求线段AB 的最小值．。

江苏省普通高等学校17年高三数学招生考试模拟测试附加题(二十)

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二十)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，AB 是圆O 的直径，弦CA ，BD 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ，连结FD.求证：∠DEA＝∠DFA.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 m n 1的两个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，若β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，求M 2β.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t 2，y ＝t ，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，试判断直线l 与曲线C 的位置关系．D. (选修4-5：不等式选讲)已知正数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝1，求1x ＋2y ＋3z的最小值．【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，假设每局比赛中，甲胜乙的概率为12，甲胜丙、乙胜丙的概率都为23，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判． (1) 求第3局甲当裁判的概率；(2) 记前4局中乙当裁判的次数为X ，求X 的概率分布与数学期望．23. 记f(n)＝(3n ＋2)(C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 2n )(n≥2，n ∈N *)．(1) 求f(2)，f(3)，f(4)的值；(2) 当n≥2，n ∈N *时，试猜想所有f(n)的最大公约数，并证明．(二十)21. A. 证明：连结AD ，∵ AB 是圆O 的直径，∴ ∠ADB ＝90°，∴ ∠ADE ＝90°.(4分)∵ EF ⊥FB ，∴ ∠AFE ＝90°，∴ A ，F ，E ，D 四点共圆，∴ ∠DEA ＝∠DFA.(10分)B. 解：设矩阵M 的特征向量α1对应的特征值为λ1，特征向量α2对应的特征值为λ2，则由⎩⎪⎨⎪⎧M α1＝λ1α1，M α2＝λ2α2，可解得m ＝n ＝0，λ1＝2，λ2＝1.(4分) 又β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝α1＋2α2，(6分) 所以M 2β＝M 2(α1＋2α2)＝λ21α1＋2λ22α2＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤42.(10分) C. 解：直线l 的普通方程为2x －y －2＝0；曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，它表示圆．(4分)由圆心到直线l 的距离d ＝45＝455＜2，得直线l 与曲线C 相交．(10分) D. 解：1x ＋2y ＋3z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋42y ＋93z (x ＋2y ＋3z) ＝1＋4＋9＋2y x ＋3z x ＋4x 2y ＋12z 2y ＋9x 3z ＋18y 3z(4分) ≥14＋22y x ·4x 2y ＋23z x ·9x 3z ＋212z 2y ·18y 3z＝36， ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝y ＝z ＝16时等号成立所以1x ＋2y ＋3z的最小值为36.(10分) 22. 解：(1) 第2局中可能是乙当裁判，其概率为13，也可能是丙当裁判，其概率为23，所以第3局甲当裁判的概率为13×13＋23×12＝49.(4分) (2) X 可能的取值为0，1，2.(5分)P(X ＝0)＝23×12×23＝29；(6分) P(X ＝1)＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13×23＋23×12＋23×12＋23×12×13＝1727；(7分) P(X ＝2)＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫23×12＋13×13＝427.(8分) 所以X 的数学期望E(X)＝0×29＋1×1727＋2×427＝2527.(10分) 23. 解：(1) 因为f(n)＝(3n ＋2)(C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 2n )＝(3n ＋2)C 3n ＋1，所以f(2)＝8，f(3)＝44，f(4)＝140.(3分)(2) 由(1)中结论可猜想所有f(n)的最大公约数为4.(4分)下面用数学归纳法证明所有的f(n)都能被4整除即可．①当n＝2时，f(2)＝8能被4整除，结论成立；(5分)②假设n＝k时，结论成立，即f(k)＝(3k＋2)C3k＋1能被4整除，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝(3k＋5)C3k＋2＝(3k＋2)C3k＋2＋3C3k＋2＝(3k＋2)(C3k＋1＋C2k＋1)＋(k＋2)C2k＋1(7分)＝(3k＋2)C3k＋1＋(3k＋2)C2k＋1＋(k＋2)C2k＋1＝(3k＋2)C3k＋1＋4(k＋1)C2k＋1，此式也能被4整除，即n＝k＋1时结论也成立．综上所述，所有f(n)的最大公约数为4.(10分)。

江苏省普通高等学校2017年高三招生考试20套模拟测试附加题数学试题(十二)

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十二)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交BA 的延长线于点C.若DB ＝DC ，求证：CA ＝AO.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 02，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 206，求矩阵A －1B .C. (选修4-4：坐标系与参数方程)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0.求圆心的极坐标．D. (选修4-5：不等式选讲)已知a ，b 为非负实数，求证：a 3＋b 3≥ab(a 2＋b 2)．【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 一批产品共10件，其中3件是不合格品．用下列两种不同方式从中随机抽取2件产品检验：方式一：一次性随机抽取2件；方式二：先随机抽取1件，放回后再随机抽取1件．记抽取的不合格产品数为ξ.(1) 分别求两种抽取方式下ξ的概率分布；(2) 比较两种抽取方式抽到的不合格品平均数的大小？并说明理由．23.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝4x ，设点A(－t ，0)，B(t ，0)(t ＞0)，过点B 的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点(P 在Q 上方)．(1) 若t ＝1，直线PQ 的倾斜角为π4，求直线PA 的斜率；(2) 求证：∠PAO＝∠QAO.(十二)21. A. 证明：连结OD ，AD.因为AB 是圆O 的直径，所以∠ADB＝90°， AB ＝2AO.(3分) 因为DC 是圆O 的切线，所以∠CDO＝90°.(6分) 因为DB ＝DC ，所以∠B ＝∠C，于是△ADB≌△ODC，从而AB ＝CO ，即2OA ＝OA ＋CA ，得CA ＝AO.(10分)B. 解：设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，于是a ＝－1，b ＝c ＝0，d ＝12，从而矩阵A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12，(7分)所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －2 0 3.(10分)C. 解：以极坐标系的极点为直角坐标系的原点O ，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系xOy.圆C 的极坐标方程为ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.(3分)则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6.(6分)于是圆心的直角坐标为(1，－1)，则其极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，7π4.(10分) D. 证明：由a ，b 为非负实数，作差得 a 3＋b 3－ab(a 2＋b 2)＝a 2a(a －b)＋b 2b(b －a)＝(a －b)[(a)5－(b)5]．(4分)当a≥b 时，a ≥b ，从而(a)5≥(b)5，得(a －b)[(a)5－(b)5]≥0；当a ＜b 时，a ＜b ，从而(a)5＜(b)5，得(a －b)[(a)5－(b)5]＞0.所以a 3＋b 3≥ab(a 2＋b 2)．(10分) 22. 解：(1) 方式一中随机变量ξ可取的值为0，1，2，且ξ服从超几何分布，ξ～H(2，3，10)．于是P(ξ＝0)＝C 03C 27C 210＝7×6210×92＝715；P (ξ＝1)＝C 13C 17C 210＝3×710×92＝715；P (ξ＝2)＝C 23C 07C 210＝310×92＝115.因此ξ的概率分布可表示为下表：(3分)方式二中随机变量ξ可取的值为0，1，2，且ξ服从二项分布，ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，310. 于是P(ξ＝0)＝C 02⎝ ⎛⎭⎪⎫3100⎝ ⎛⎭⎪⎫7102＝49100；P (ξ＝1)＝C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫3101⎝ ⎛⎭⎪⎫7101＝2150；P (ξ＝2)＝C 22⎝ ⎛⎭⎪⎫3102⎝ ⎛⎭⎪⎫7100＝9100.因此ξ的概率分布可表示为下表：(6分)(2) 由(1)知，方式一中ξ的数学期望(平均数)为E(ξ)＝2×310＝35(个)；方式二中ξ的数学期望(平均数)为E(ξ)＝2×310＝35(个)．两种抽取方式抽到的不合格品的平均数相等，均为35个．(10分)23. (1) 解：若t ＝1，直线PQ 的倾斜角为π4，则直线PQ 的方程为y ＝x －1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x ，得P(3＋22，2＋22)．因为A(－1，0)，所以直线PA 的斜率k PA ＝2＋223＋22－（－1）＝22.(3分)(2) 证明：因为直线PQ 经过点B(t ，0)，且与抛物线相交于P ，Q 两点，所以可设直线PQ 的方程为x ＝my ＋t.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋t ，消去x 得y 2－4my －4t ＝0，解得y ＝2m±2m 2＋t ，于是P(2m 2＋2m m 2＋t ＋t ，2m ＋2m 2＋t)，Q(2m 2－2m m 2＋t ＋t ，2m －2m 2＋t)．(7分)所以直线PA 的斜率k PA ＝2m ＋2m 2＋t2m 2＋2m m 2＋t ＋t －（－t ）＝m ＋m 2＋tm 2＋m m 2＋t ＋t ＝1m 2＋t . 同理，直线QA 的斜率k QA ＝2m －2m 2＋t2m 2－2m m 2＋t ＋t －（－t ）＝－1m 2＋t. 可见k PA ＝－k QA ，结合图形，得∠PAO＝∠QAO.(10分)。

江苏省普通高等学校2017年高三招生考试20套模拟测试附加题数学试题(十六)

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十六)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，已知半圆O 的半径为2，P 是直径BC 延长线上的一点，PA 与半圆相切于点A ，H 是OC 的中点，AH ⊥BC.(1) 求证：AC 是∠PAH 的平分线； (2) 求PC 的长．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知曲线C ：x 2＋2xy ＋2y 2＝1，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1210所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1，求曲线C 1的方程．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．已知椭圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2.若P 是椭圆C 上任意一点，试求PM 的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．D. (选修4-5：不等式选讲)求函数f(x)＝5x＋8－2x的最大值．【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X为所组成的三位数各位数字之和．(1) 求X是奇数的概率；(2) 求X的概率分布列及数学期望．23.在平面直角坐标系xOy中，点P(x0，y0)在曲线y＝x2(x＞0)上．已知A(0，－1)，P n(x n0，y n0)，n∈N*.记直线AP n的斜率为k n.(1) 若k1＝2，求P1的坐标；(2) 若k1为偶数，求证：k n为偶数．(十六)21. A. (1) 证明：连结AB.因为PA 是半圆O 的切线，所以∠PAC ＝∠ABC. 因为BC 是圆O 的直径，所以AB⊥AC. 因为AH⊥BC，所以∠CA H ＝∠ABC，所以∠PAC＝∠CAH，所以AC 是∠PAH 的平分线．(5分)(2) 解：因为H 是OC 中点，半圆O 的半径为2，所以BH ＝3，CH ＝1.因为AH⊥BC，所以AH 2＝BH²HC＝3，所以AH ＝ 3. 在Rt △AHC 中，AH ＝3，CH ＝1，所以∠CAH＝30°. 由(1)可得∠PAH＝2∠CAH＝60°，所以PA ＝2 3.由PA 是半圆O 的切线，所以PA 2＝PC²PB，所以PC²(PC＋BC)＝(23)2＝12，所以PC ＝2.(10分) B. 解：设曲线C 上的任意一点P(x ，y)，P 在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 210对应的变换下得到点Q(x′，y ′)．则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，即x ＋2y ＝x′，x ＝y′，所以x ＝y′，y ＝x′－y′2.(5分)代入x 2＋2xy ＋2y 2＝1，得y′2＋2y′²x′－y′2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x′－y′22＝1，即x′2＋y′2＝2，所以曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝2.(10分)C. 解：M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，故直角坐标为M(0，1)，且P(2cos θ， sin θ)，所以PM ＝（2cos θ）2＋（sin θ－1）2＝－3sin 2θ－2sin θ＋5，sin θ∈[－1，1]．(5分)当sin θ＝－13时，PM max ＝433，此时cos θ＝±223.所以PM 的最大值是433，此时点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫±423，－13.(10分)D. 解：函数定义域为[0，4]，且f(x)≥0.由柯西不等式得[52＋(2)2][(x)2＋(4－x)2]≥(5²x ＋2²4－x)2，(5分)即27³4≥(5²x ＋2²4－x)2，所以5x ＋8－2x ≤6 3.当且仅当2x ＝54－x ，即x ＝10027时，取等号．所以，函数f(x)＝5x ＋8－2x 的最大值为6 3.(10分)22. 解：(1) 记“X 是奇数”为事件A ，能组成的三位数的个数是48.(2分)X 是奇数的个数有28，所以P(A)＝2848＝712.答：X 是奇数的概率为712.(4分)(2) X 的可能取值为3，4，5，6，7，8，9.当X ＝3时，组成的三位数只能是由0，1，2三个数字组成，所以P(X ＝3)＝448＝112；当X ＝4时，组成的三位数只能是由0，1，3三个数字组成，所以P(X ＝4)＝448＝112；当X ＝5时，组成的三位数只能是由0，1，4或0，2，3三个数字组成，所以P(X ＝5)＝848＝16；当X ＝6时，组成的三位数只能是由0，2，4或1，2，3三个数字组成，所以P(X ＝6)＝1048＝524；当X ＝7时，组成的三位数只能是由0，3，4或1，2，4三个数字组成，所以P(X ＝7)＝1048＝524；当X ＝8时，组成的三位数只能是由1，3，4三个数字组成，所以P(X ＝8)＝648＝18；当X ＝9时，组成的三位数只能是由2，3，4三个数字组成，所以P(X ＝9)＝648＝18.(8分)E(X)＝3³12＋4³12＋5³6＋6³24＋7³24＋8³8＋9³8＝4.(10分)23. (1) 解：因为k 1＝2，所以y 0＋1x 0＝x 20＋1x 0＝2，解得x 0＝1，y 0＝1，所以P 1的坐标为(1，1)．(2分)(2) 证明：设k 1＝2p(p∈N *)，即y 0＋1x 0＝x 20＋1x 0＝2p ，所以x 20－2px 0＋1＝0，所以x 0＝p±p 2－1.(4分)因为y 0＝x 20，所以k n ＝y n 0＋1x n 0＝x 2n0＋1x n 0＝x n 0＋1x n 0，所以当x 0＝p ＋p 2－1时， k n ＝(p ＋p 2－1)n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1p ＋p 2－1n ＝(p ＋p 2－1)n ＋(p －p 2－1)n.(6分) 同理，当 x 0＝p －p 2－1时，k n ＝(p ＋p 2－1)n＋(p －p 2－1)n.①当n ＝2m (m ∈N *)时， k n ＝2k =0∑mC 2k n pn －2k(p 2－1)k，所以 k n 为偶数． ②当n ＝2m ＋1(m ∈N )时，k n ＝2k =0∑mC 2k n pn －2k (p 2－1)k，所以 k n 为偶数．综上，k n 为偶数．(10分)。

江苏省普通高等学校2017年高三招生考试20套模拟测试附加题数学试题(二十)含解析

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二十)
数学附加分(满分40分，考试时间30分钟）21。

【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A。

（选修4—1：几何证明选讲)
如图,AB是圆O的直径，弦CA,BD的延长线相交于点E，EF 垂直BA的延长线于点F,连结FD.求证：∠DEA＝∠DFA。

B. (选修4-2：矩阵与变换)
已知矩阵M＝错误!的两个特征向量α1＝错误!,α2＝错误!，若β＝错误!,求M2β。

C. (选修4-4:坐标系与参数方程）
已知直线l的参数方程为错误!曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ，试判断直线l与曲线C的位置关系．
D. (选修4-5:不等式选讲)
已知正数x，y，z满足x＋2y＋3z＝1，求错误!＋错误!＋错误!的最小值．
【必做题】第22、23题,每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判,每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，假设每局比赛中，甲胜乙的概率为错误!，甲胜丙、乙胜丙的概率都为错误!，各局比赛的结果都相互独立,第1局甲当裁判．
（1）求第3局甲当裁判的概率；
（2) 记前4局中乙当裁判的次数为X，求X的概率分布与数学期望．。

江苏省普通高等学校2017年高三招生考试20套模拟测试附加题数学试题(十八)

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十八)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)在△ABC 中，∠A ＝2∠B，∠C 的平分线交AB 于点D ，∠A 的平分线交CD 于点E.求证：AD·BC＝BD·AC.B. (选修4-2：矩阵与变换)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋y －2＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a 12对应的变换作用下得到直线x ＋y －b ＝0(a ，b ∈R )，求a ＋b 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α＋3，y ＝2sin α(α为参数)．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ＝π6.若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x ＞0，y ＞0，z ＞0，且xyz ＝1，求证：x 3＋y 3＋z 3≥xy ＋yz ＋zx.【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px(p ＞0)上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，m 到准线的距离与到原点O 的距离相等，抛物线的焦点为F.(1) 求抛物线的方程；(2) 若A 为抛物线上一点(异于原点O)，点A 处的切线交x 轴于点B ，过A 作准线的垂线，垂足为点E.试判断四边形AEBF 的形状，并证明你的结论．23. 甲、乙两人进行围棋比赛，共比赛2n(n∈N *)局．根据以往比赛胜负的情况知道，每局甲胜的概率和乙胜的概率均为12.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛．记甲赢得比赛的概率为P(n)．(1) 求P(2)与P(3)的值；(2) 试比较P(n)与P(n ＋1)的大小，并证明你的结论．(十八)21. A. 证明：因为∠CAB＝2∠B，AE 为∠CAB 的平分线，所以∠CAE＝∠B.因为CD 是∠C 的平分线，所以∠ECA＝∠DCB，所以△ACE∽△BCD，所以AE BD ＝ACBC，即AE·BC＝BD·AC.(5分)因为∠AED ＝∠CAE＋∠ECA，∠ADE ＝∠B＋∠DCB，所以∠AED＝∠ADE，所以AD ＝AE ，所以AD·BC＝BD·AC.(10分)B. 解：设P(x ，y)是直线x ＋y －2＝0上任意一点，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a 1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋ay x ＋2y ，得(x ＋ay)＋(x ＋2y)－b ＝0，即x ＋a ＋22y －b 2＝0.(5分) 由条件得a ＋22＝1，－b2＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝4，所以a ＋b ＝4.(10分)C. 解：曲线C 的普通方程为(x －3)2＋y 2＝4，表示以(3，0)为圆心，2为半径的圆．(3分)直线l 的直角坐标方程为y ＝33x.(6分)所以圆心到直线的距离为32，所以线段AB 的长为24－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝13.(10分) D. 证明：因为x ＞0，y ＞0，z ＞0，所以x 3＋y 3＋z 3≥3xyz ， x 3＋y 3＋1≥3xy， y 3＋z 3＋1≥3yz， x 3＋z 3＋1≥3xz，将以上各式相加，得 3x 3＋3y 3＋3z 3＋3≥3xyz＋3xy ＋3yz ＋3zx.因为xyz ＝1，从而x 3＋y 3＋z 3≥xy ＋yz ＋zx.(10分)22. 解：(1) 由题意点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，m 到准线的距离为PO ，由抛物线的定义，点P 到准线的距离为PF ，所以PO ＝PF ，即点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，m 在线段OF 的中垂线上，(2分) 所以p 4＝34，p ＝3，所以抛物线的方程为y 2＝6x.(4分)(2) 由抛物线的对称性，设点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫16y 20，y 0在x 轴的上方，所以点A 处切线的斜率为3y 0，所以点A 处切线的方程为y －y 0＝3y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x －16y 20.令上式中y ＝0，得x ＝－16y 20，所以B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－16y 20，0.(6分) 又E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，y 0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以FA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16y 20－32，y 0，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16y 20－32，y 0，所以FA →＝BE →，所以FA ∥BE.又AE∥FB，故四边形AEBF 为平行四边形．(8分)再由抛物线的定义，得AF ＝AE ，所以四边形AEBF 为菱形．(10分)23. 解：(1) 若甲、乙比赛4局甲获胜，则甲在4局比赛中至少胜3局，所以P(2)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝516，同理P(3)＝C 46⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋C 56⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋C 66⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝1132.(4分)(2) 在2n 局比赛中甲获胜，则甲胜的局数至少为n ＋1局，故P(n)＝C n ＋12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫122n ＋C n ＋22n ⎝ ⎛⎭⎪⎫122n ＋…＋C 2n 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫122n＝(C n ＋12n ＋C n ＋22n ＋…＋C 2n2n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫122n＝12(C 02n ＋C 12n ＋…＋C 2n 2n －C n2n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫122n ＝12(22n －C n 2n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫122n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－C n2n 22n ，(7分) 所以P(n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－C n ＋12n ＋222n ＋2.因为C n 2n 22n C n ＋12n ＋222n ＋2＝4C n 2n C n ＋12n ＋2＝4（2n ）！n ！n ！（2n ＋2）！（n ＋1）！（n ＋1）！＝4（n ＋1）2（2n ＋2）（2n ＋1）＝2（n ＋1）2n ＋1＞1，所以C n 2n 22n ＞C n ＋12n ＋222n ＋2，所以P(n)＜P(n ＋1)．(10分)。

江苏省普通高等学校2017年高三招生考试20套模拟测试附加题数学试题(一) Word版含解析

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(一)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，已知AB 为圆O 的直径，BC 切圆O 于点B ，AC 交圆O 于点P ，E 为线段BC 的中点．求证：OP ⊥PE.B. (选修4-2：矩阵与变换)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 1(a ＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1.求实数a ，b 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝asin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a＞0)有一个公共点在x轴上，P(m，n)为曲线C2上任一点，求m＋n的取值范围．D. (选修4-5：不等式选讲)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：1a ＋1b ＋1c≥9.【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．(1) 求二面角ADFB 的大小；(2) 试在线段AC 上确定一点P ，使PF 与BC 所成的角是60°.23.设f(x ，n)＝(1＋x)n ，n ∈N *.(1) 求f(x ，6)的展开式中系数最大的项；(2) n ∈N *时，化简C 0n 4n －1＋C 1n 4n －2＋C 2n 4n －3＋…＋C n －1n 40＋C n n 4－1； (3) 求证：C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋nC n n ＝n ×2n －1.(一)21. A. 证明：连结BP ，因为AB 是圆O 的直径，所以∠APB ＝90°，从而∠BPC ＝90°.(2分)在△BPC 中，因为E 是边BC 的中点，所以BE ＝EC ，从而BE ＝EP ，因此∠1＝∠3.(4分)因为B 、P 为圆O 上的点，所以OB ＝OP ，从而∠2＝∠4.(6分)因为BC 切圆O 于点B ，所以∠ABC ＝90°，即∠1＋∠2＝90°，(8分)从而∠3＋∠4＝90°，于是∠OPE ＝90°.所以OP ⊥PE.(10分)B. 解：设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任一点P(x ，y)在矩阵A 对应变换下的像是P′(x′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax bx ＋y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，(2分) 所以⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x′，bx ＋y ＝y′.(5分) 因为x′2＋y′2＝1，所以(ax)2＋(bx ＋y)2＝1，即(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1，(7分)所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝2，2b ＝2，由于a ＞0，得a ＝b ＝1.(10分) C. 解：曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t的直角坐标方程为y ＝3－2x ，与x 轴交点为⎝⎛⎭⎫32，0.(2分) 曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝asin θ，y ＝3cos θ的直角坐标方程为x 2a 2＋y 29＝1，与x 轴交点为(－a ，0)，(a ，0)，(4分)由a ＞0，曲线C 1与曲线C 2有一个公共点在x 轴上，所以a ＝32.(6分) 所以2m ＋n ＝3sin θ＋3cos θ＝32sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，(8分) 所以2m ＋n 的取值范围为[－32，32]．(10分)[试题更正：题目中“求m ＋n 的取值范围”改为“求2m ＋n 的取值范围”]D. 证明：1a ＋1b ＋1c ＝1＋b ＋c a ＋1＋a ＋c b ＋1＋a ＋b c(4分) ＝3＋b a ＋a b ＋c a ＋a c ＋c b ＋b c(8分) ≥3＋2＋2＋2＝9.(10分)22. 解：(1) 以CD →，CB →，CE →为正交基底，建立空间直角坐标系，则E(0，0，1)，D(2，0，0)，F(2，2，1)，B(0，2，0)，A(2，2，0)，BD →＝(2，－2，0)，BF →＝(2，0，1)．平面ADF 的法向量t ＝(1，0，0)，(2分)设平面DFB 法向量n ＝(a ，b ，c)，则n ·BD →＝0，n ·BF →＝0，所以⎩⎨⎧2a －2b ＝0，2a ＋c ＝0.令a ＝1，得b ＝1，c ＝－2，所以n ＝(1，1，－2)．(4分) 设二面角ADFB 的大小为θ⎝⎛⎭⎫0＜θ＜π2，从而cos θ＝|cos 〈n ，t 〉|＝12，∴ θ＝60°，故二面角ADFB 的大小为60°.(6分)(2) 依题意，设P(a ，a ，0)(0≤a ≤2)，则PF →＝(2－a ，2－a ，1)，CB →＝(0，2，0)．因为〈PF →，CB →〉＝60°，所以cos60°＝2（2－a ）2×2（2－a ）2＋1＝12，解得a ＝22，(9分) 所以点P 应在线段AC 的中点处．(10分)23. (1) 解：展开式中系数最大的项是第四项为C 3n x 3＝20x 3.(3分)(2) 解：C 0n 4n －1＋C 1n 4n －2＋C 2n 4n －3＋…＋C n －1n 40＋C n n 4－1＝14[C 0n 4n ＋C 1n 4n －1＋C 2n 4n －2＋…＋C n －1n 4＋C n n ] ＝14(4＋1)n ＝5n 4.(7分) (3) 证明：因为kC k n ＝nC k －1n －1，所以C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋nC n n ＝n(C 0n －1＋C 1n －1＋C 2n －1＋…＋C n －1n －1)＝n ×2n －1.(10分)。

江苏省普通高等学校2017年高三招生考试20套模拟测试附加题数学试题(十七) Word版含解析

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十七)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)已知△ABC 内接于圆O ，BE 是圆O 的直径，AD 是BC 边上的高．求证：BA·AC ＝BE·AD.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知变换T 把平面上的点(3，－4)，(5，0)分别变换成(2，－1)，(－1，2)，试求变换T 对应的矩阵M .C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点M(1，2)，倾斜角为π3.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C ：ρ＝6cos θ.若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求MA·MB的值．D. (选修4-5：不等式选讲)设x为实数，求证：(x2＋x＋1)2≤3(x4＋x2＋1)．【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．(1) 求恰好摸4次停止的概率；(2) 记4次之内(含4次)摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列．23. 设实数a1，a2，…，a n满足a1＋a2＋…＋a n＝0，且|a1|＋|a2|＋…＋|a n|≤1(n∈N*且n≥2)，令b n＝a nn(n∈N*)．求证：|b1＋b2＋…＋b n|≤12－12n(n∈N*)．(十七)21. A. 证明：连结AE.∵ BE 是圆O 的直径，∴ ∠BAE ＝90°.(2分) ∴ ∠BAE ＝∠ADC.(4分)∵ ∠BEA ＝∠ACD ，∴ Rt △BEA ∽Rt △ACD.(7分) ∴ BE BA ＝AC AD，∴ BA ·AC ＝BE·AD.(10分) B. 解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，由题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 5－4 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 2，(3分) ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧3a －4b ＝2，5a ＝－1，3c －4d ＝－1，5c ＝2.(5分) 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝－1320，c ＝25，d ＝1120.(9分) 即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15 －1320 25 1120.(10分) C. 解：直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)，(2分) 圆C 的普通方程为(x －3)2＋y 2＝9.(4分)直线l 的参数方程代入圆C 的普通方程，得t 2＋2(3－1)t －1＝0，(6分)设该方程两根为t 1，t 2，则t 1·t 2＝－1.(8分)∴ MA ·MB ＝|t 1·t 2|＝1.(10分)D. 证明：因为右－左＝2x 4－2x 3－2x ＋2(2分) ＝2(x －1)(x 3－1)＝2(x －1)2(x 2＋x ＋1)(4分)＝2(x －1)2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥0，(8分) 所以，原不等式成立．(10分)22. 解：(1) 设事件“恰好摸4次停止”的概率为P ，则P ＝C 23×⎝⎛⎭⎫142×34×14＝9256.(4分) (2) 由题意，得X ＝0，1，2，3， P(X ＝0)＝C 04×⎝⎛⎭⎫344＝81256， P(X ＝1)＝C 14×14×⎝⎛⎭⎫343＝2764， P(X ＝2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫142×⎝⎛⎭⎫342＝27128， P(X ＝3)＝1－81256－2764－27128＝13256，(8分) ∴ X 的分布列为(10分)23. 证明：① 当n ＝2时，a 1＝－a 2，∴ 2|a 1|＝|a 1|＋|a 2|≤1，即|a 1|≤12， ∴ |b 1＋b 2|＝|a 1＋a 22|＝|a 1|2≤14＝12－12×2，即当n ＝2时，结论成立．(2分) ② 假设当n ＝k(k ∈N *且k ≥2)时，结论成立，即当a 1＋a 2＋…＋a k ＝0，且|a 1|＋|a 2|＋…＋|a k |≤1时，有|b 1＋b 2＋…＋b k |≤12－12k.(3分) 则当n ＝k ＋1时，由a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1＝0，且|a 1|＋|a 2|＋…＋|a k ＋1|≤1， ∵ 2|a k ＋1|＝|a 1＋a 2＋…＋a k |＋|a k ＋1|≤|a 1|＋|a 2|＋…＋|a k ＋1|≤1，∴ |a k ＋1|≤12.(5分) ∵ a 1＋a 2＋…＋a k －1＋(a k ＋a k ＋1)＝0，且 |a 1|＋|a 2|＋…＋|a k －1|＋|a k ＋a k ＋1|≤|a 1|＋|a 2|＋…＋|a k ＋1|≤1，由假设可得|b 1＋b 2＋…＋b k －1＋a k ＋a k ＋1k |≤12－12k，(7分) ∴ |b 1＋b 2＋…＋b k ＋b k ＋1|＝|b 1＋b 2＋…＋b k －1＋a k k ＋a k ＋1k ＋1| ＝|(b 1＋b 2＋…＋b k －1＋a k ＋a k ＋1k )＋(a k ＋1k ＋1－a k ＋1k )| ≤12－12k ＋|a k ＋1k ＋1－a k ＋1k| ＝12－12k ＋⎝⎛⎭⎫1k －1k ＋1|a k ＋1| ≤12－12k ＋(1k －1k ＋1)×12＝12－12（k＋1），即当n＝k＋1时，结论成立．综上，由①和②可知，结论成立．(10分)。

普通高等学校2017年高三招生考试20套模拟测试附加题数学试题(十)含解析

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，AB 为圆O 的直径，直线CD 与圆O 相切于点D ，AC ⊥CD ，DE ⊥AB ，C 、E 为垂足，连结AD 、BD.若AC ＝4，DE ＝3，求BD 的长．B. (选修4-2：矩阵与变换)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 02 1(a ∈R )的一个特征值为2.在平面直角坐标系xOy 中，若曲线C 在矩阵M 变换下得到的曲线的方程为x 2＋y 2＝1，求曲线C 的方程．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，－π4，圆E 的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋4sin θ，试判断点A 和圆E 的位置关系．D. (选修4-5：不等式选讲)已知正实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝1.求证：1＋2a ＋1＋2b ＋1＋2c ＋1＋2d ≤2 6.【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝2，AC ＝4，AA 1＝2，设BD →＝λDC →(λ∈R )．(1) 若λ＝1，求直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值；(2) 若二面角B 1A 1C 1D 的大小为60°，求实数λ的值．23.设集合M ＝{1，2，3，…，n}(n ∈N ，n ≥3)，记M 的含有三个元素的子集个数为S n ，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为T n .(1) 分别求T 3S 3，T 4S 4，T 5S 5，T 6S 6的值； (2) 猜想T n S n关于n 的表达式，并证明之．(十)21. A. 解：因为CD 与圆O 相切于D ，所以∠CDA ＝∠DBA.(2分)因为AB 为圆O 的直径，所以∠ADB ＝90°.又DE ⊥AB ，所以△EDA ∽△DBA ，所以∠EDA ＝∠DBA ，所以∠EDA ＝∠CDA.(4分) 又∠ACD ＝∠AED ＝90°，AD ＝AD ，所以△ACD ≌△AED.所以AE ＝AC ＝4，所以AD ＝AE 2＋DE 2＝5.(6分)又DE BD ＝AE AD ，所以BD ＝DE AE ·AD ＝154.(10分) B. 解：由题意，矩阵M 的特征多项式f(λ)＝(λ－a)(λ－1)，因矩阵M 有一个特征值为2，f(2)＝0，所以a ＝2.(4分)所以M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2021⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，即⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ，y ′＝2x ＋y ，代入方程x 2＋y 2＝1，得(2x)2＋(2x ＋y)2＝1，即曲线C 的方程为8x 2＋4xy ＋y 2＝1.(10分)C. 解：点A 的直角坐标为(2，－2)，(2分)圆E 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8，(6分)则点A 到圆心E 的距离d ＝（2－2）2＋（－2－2）2＝4>r ＝22，所以点A 在圆E 外．(10分)D. 证明：因为(1＋2a ＋1＋2b ＋1＋2c ＋1＋2d)2≤4(1＋2a ＋1＋2b ＋1＋2c ＋1＋2d)，(6分)又a ＋b ＋c ＋d ＝1，所以(1＋2a ＋1＋2b ＋1＋2c ＋1＋2d)2≤24，即1＋2a ＋1＋2b ＋1＋2c ＋1＋2d ≤2 6.(10分)22. 解：分别以AB ，AC ，AA 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，A 1(0，0，2)，B 1(2，0，2)，C 1(0，4，2)．(2分)(1) 当λ＝1时，D 为BC 的中点，所以D(1，2，0)，DB 1→＝(1，－2，2)，A 1C 1→＝(0，4，0)，A 1D →＝(1，2，－2)．设平面A 1C 1D 的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧4y ＝0，x －2z ＝0，所以取n 1＝ (2，0，1)．又cos 〈DB 1→，n 1〉＝DB 1→·n 1|DB 1→||n 1|＝435＝4155，所以直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值为4155.(6分) (2) 因为BD →＝λDC →，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2λ＋1，4λλ＋1，0，所以A 1C 1→＝(0，4，0)，A 1D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2λ＋1，4λλ＋1，－2.设平面A 1C 1D 的法向量n 1＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧4y ＝0，2λ＋1x －2z ＝0，所以取n 1＝(λ＋1，0，1)．又平面A 1B 1C 1的一个法向量为n 2＝(0，0，1)，由题意得|cos 〈n 1，n 2〉|＝12，所以1（λ＋1）2＋1＝12，解得λ＝3－1或λ＝－3－1(不合题意，舍去)，所以实数λ的值为3－1.(10分) 23. 解：(1) T 3S 3＝2，T 4S 4＝52，T 5S 5＝3，T 6S 6＝72.(4分) (2) 猜想T n S n ＝n ＋12.(5分) 下用数学归纳法证明之．证明：① 当n ＝3时，由(1)知猜想成立；② 假设当n ＝k(k ≥3)时，猜想成立，即T k S k ＝k ＋12，而S k ＝C 3k ，所以得T k ＝k ＋12C 3k.(6分)则当n ＝k ＋1时，易知S k ＋1＝C 3k ＋1，而当集合M 从{1，2，3，…，k}变为{1，2，3，…，k ，k ＋1}时，T k ＋1在T k 的基础上增加了1个2，2个3，3个4，…，和(k －1)个k ，所以T k ＋1＝T k ＋2×1＋3×2＋4×3＋…＋k(k －1)＝k ＋12C 3k ＋2(C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 2k ) ＝k ＋12C 3k ＋2(C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 2k ) ＝k －22C 3k ＋1＋2C 3k ＋1＝k ＋22C 3k ＋1＝（k ＋1）＋12S k ＋1，即T k ＋1S k ＋1＝（k ＋1）＋12. 所以当n ＝k ＋1时，猜想也成立．综上所述，猜想成立．(10分)(说明：未用数学归纳法证明，直接求出T n 来证明的，同样给分．)。

江苏省普通高等学校2017年高三招生考试20套模拟测试附加题数学试题(十七) Word版含解析

江苏省普通高等学校2017年高三数学20套随堂小测试试题

随堂小测评(一)1. 已知全集U ＝{1，2，3，4}，集合A ＝{1，2}，B ＝{2，3}，则∁U (A∪B)＝____________．2. 函数f(x)＝x －2＋1x －3的定义域是__________．3. 已知正三角形ABC 的边长为23，圆O 是该三角形的内切圆，P 是圆O 上的任意一点，则PA →·PB →的最大值为____________．4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________．S←1I←1 While I<8 S←S＋2 I←I＋3 End While Print S5. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B＝________．6. 若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则lna 1＋lna 2＋…＋lna 20＝____________．7. 已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0≤φ＜2π)的部分图象如图所示，则f(π)＝__________．1. 设集合M ＝{x|x 2＋2x ＝0，x ∈R }，N ＝{x|x 2－2x ＝0，x ∈R }，则M ∪N ＝__________． 2. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只颜色不同的概率为________．3. 已知角φ的终边经过点P(1，－2)，若函数f(x)＝sin(3x ＋φ)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝__________．4. 对于直线m ，n 和平面α，β，γ，有如下四个命题： ① 若m∥α，m ⊥n ，则n⊥α； ② 若m⊥α，m ⊥n ，则n∥α； ③ 若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ； ④ 若m⊥α，m ∥n ，nβ，则α⊥β.其中正确的命题是__________．(填序号)5. 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为__________．6. 设x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为__________．7. 将函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象向右平移π3个单位长度，得到y ＝g(x)的图象，则函数y ＝g(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3上的最小值为________．1. 已知集合M ＝{x|x ＝a 2－3a ＋2，a ∈R }，N ＝{x|y ＝log 2(x 2＋2x －3)}，则M∩N＝__________．2. 设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C 上一点，若PF 1＋PF 2＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则双曲线的离心率为__________．3. 在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点，若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝__________．4. 已知i 是虚数单位，则1－i（1＋i ）2的实部为__________．5. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋m ，0≤x ≤1，mx ＋5，x ＞1.若函数f(x)的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m 的取值范围为____________．6. 已知常数t 是负实数，则函数f(x)＝12t 2－tx －x 2的定义域是____________． 7. 在体积为V 的三棱锥SABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥SAPC 的体积大于V3的概率是____________．1. 设集合M ＝{2，0，x}，集合N ＝{0，1}，若NM ，则实数x 的值为__________．2. 若复数z 满足z －－2＝i(1＋i)(i 为虚数单位)，则z ＝____________．3. 已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为____________．4. 若一组样本数据8，x ，10，11，9的平均数为10，则该组样本数据的方差为____________．5. 若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y≤2，x －y≥－1，x ＋y≥1，则目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为__________．6. 若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9＞0，a 7＋a 10＜0，则当n ＝________时{a n }的前n 项和最大．7. 动直线y ＝k(x －2)与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取得最大值时，k 的值为____________．1. 函数y＝x－1的定义域为A，函数y＝lg(2－x)的定义域为B，则A∩B＝__________．2. 已知复数z＝2i1－i－1，其中i为虚数单位，则z的模为__________．3. 已知向量a＝(1，2)，b＝(0，－1)，c＝(k，－2)，若(a－2b)⊥c，则实数k＝____________．4. 在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则cosC＝________．5. 下图是一个算法的流程图，则输出的n＝__________．6. 在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝lnx在x＝e(e为自然对数的底数)处的切线与直线ax－y＋3＝0垂直，则实数a的值为________．7. 设数列{a n}为等差数列，数列{b n}为等比数列．若a1＜a2，b1＜b2，且b i＝a2i(i＝1，2，3)，则数列{b n}的公比为__________．1. 已知集合A ＝{－1，1，3}，B ＝{2，2a－1}，A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为__________． 2. 已知复数z ＝(1＋i)(1－2i)(i 为虚数单位)，则z 的实部为________．3. 现有在外观上没有区别的5件产品，其中3件合格，2件不合格，从中任意抽检2件，则一件合格，另一件不合格的概率为__________．4. 已知一个空间几何体的所有棱长均为1 cm ，其表面展开图如图所示，则该空间几何体的体积V ＝________ cm 3.5. 已知双曲线x 24－y 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±22x ，则m ＝_______．6. 在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成的角为α、β，则有cos 2α＋cos 2β＝1.类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，对角线AC 1与相邻三个面所成的角为α、β、γ，则有____________．7. 已知圆C ：(x －a)2＋(y －a)2＝1(a ＞0)与直线y ＝3x 相交于P 、Q 两点，若∠PCQ＝90°，则实数a ＝________．1. 已知集合A ＝{x|x ＝2k －1，k ∈Z }，B ＝{x|－1≤x≤3}，则A∩B＝__________．2. 设复数z ＝a ＋i1－i (i 是虚数单位，a ∈R )．若复数z 的虚部为3，则a ＝__________．3. 下图是一个算法的伪代码，输出结果是__________．S←0a←1For I From 1 To 3 Step 1 a←2×a S←S＋a End For Print S4. 在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲、乙两人各抽取一张(不放回)，两人都中奖的概率为__________．5. 已知ω＞0，函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是__________．6. 设函数f(x)＝x 2＋c ，g(x)＝ae x的图象的一个公共点为P(2，t)，且曲线y ＝f(x)，y ＝g(x)在点P 处有相同的切线，函数y ＝f(x)－g(x)的负零点在区间(k ，k ＋1)(k∈Z )内，则k ＝__________．7. 设数列{a n }满足a 1＝3，当a n ≠0时，a n ＋1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ；当a n ＝0时，a n ＋1＝0.则a 2 016＝____________．(注：[x]为不超过实数x 的最大整数，记{x}＝x －[x]．)1. 已知复数z 满足(1－i)z ＝1＋i ，则z 的模为____________．2. 已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{x －y|x∈A，y ∈A}中元素的个数是__________．3. 实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x ≥1，y ≥1，则z ＝x －2y 的最小值为__________．4. 在区间[－1，1]上随机地取一个实数x ，则使得cos πx 2的值介于0到12的概率为__________．5. 已知等差数列{a n }，a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝__________．6. 如图，圆O 的内接△ABC 中，M 是BC 的中点，AC ＝3.若AO →·AM →＝4，则AB ＝__________．7. 设f(x)＝4x 3＋mx 2＋(m －3)x ＋n(m 、n∈R )是R 上的单调增函数，则m ＝____________．1. 已知集合A ＝{x|y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x|x 2－cx ＜0，c ＞0}．若A B ，则实数c 的取值范围是____________．2. 已知复数z 满足(3＋4i)z ＝1(i 为虚数单位)，则z 的模为________．3. 在锐角△ABC 中，角A 、B 所对的边长分别为a 、b ，若2asinB ＝3b ，则角A 等于____________．4. 设向量a ，b 满足|a ＋b|＝10，|a －b|＝6，则a·b ＝__________．5. 若实数x ，y 满足x ＋y －4≥0，则z ＝x 2＋y 2＋6x －2y ＋10的最小值为____________．6. 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 7＝7，S 15＝75，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前20项和为__________．7. 在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面AB 1C 1，AA 1＝1，底面△ABC 是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为____________．1. 设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，3，B ＝{x|x 2≥1}，则A∩B＝__________．2. 已知z ＝(a －i)(1＋i )(a∈R ，i 为虚数单位)，若复数z 在复平面内对应的点在实轴上，则a ＝____________．3. 已知双曲线C 的离心率为2，它的一个焦点是抛物线x 2＝8y 的焦点，则双曲线C 的标准方程为____________．4. 下图是一个算法流程图，则输出k 的值是____________．5. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知b －c ＝14a ，2sinB ＝3sinC ，则cosA ＝____________．6. 若实数x ，y 满足x ＞y ＞0，且log 2x ＋log 2y ＝1，则x 2＋y2x －y的最小值为____________．7. 在等比数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n .若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12也是等比数列，则S n ＝____________．1. 设全集U ＝{x∈N |x≥2}，集合A ＝{x∈N |x 2≥5}，则∁U A ＝__________． 2. 已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，前三项之和S 3＝9，则a n ＝________.3. 在平面向量a 、b 中，若a ＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b ＝5，则向量b ＝____________．4. 为了解某学校1 500名高中男生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况．根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图，据此估计该校高中男生体重在70～78 kg 的人数为__________．5. 过圆x 2＋(y －2)2＝4外一点A(2，－2)，引圆的两条切线，切点为T 1、T 2，则直线T 1T 2的方程为____________．6. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝________．7. 已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≤1，x ＋y ＋2≥0，kx －y≥0表示的平面区域为Ω，其中k≥0，则当Ω的面积最小时k 为__________．1. 设集合M ＝{x|x 2－3x －4<0}，N ＝{x|0≤x≤5}，则M∩N＝____________． 2. 函数f(x)＝1（log 2x ）2－1的定义域为____________．3. 向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋b 与a －2b 平行，则m ＝____________．4. 若不等式x 2－2x ＋3≤a 2－2a －1在R 上的解集是则实数a 的取值范围是____________．5. 已知抛物线y 2＝4px(p ＞0)与双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF⊥x 轴，则双曲线的离心率为____________．6. 已知f(x)＝11＋x，各项均为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2＝f(a n )，若a 2 014＝a 2 016，则a 20＋a 11＝____________．7. 如图，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则三棱锥AB 1D 1D 的体积为________ cm 3.1. 已知tan α＝2，则sin （π＋α）＋cos （π－α）sin （－α）＋cos （－α）＝____________．2. 已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是____________．3. 设函数f(x)＝2x ＋lnx ，则f(x)的极________值点为x ＝________．4. 下面的程序运行后输出的结果为________．x←5y←－20 If x<0 Then x←y－3 Else y←y＋3 End IfPrint x －y ；y －x5. 已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y ＞m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是____________．6. 已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝____________．7. 若数列{a n }中，a 1＝12，且对任意的正整数p 、q ，都有a p ＋q ＝a p ·a q ，则a n ＝____________．1. 设全集为R ，集合A ＝{x|x 2－9<0}，B ＝{x|－1<x≤5}，则A∩(∁R B)＝____________． 2. 已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a ＝____________．3. 设函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x∈R ，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f(x)的表达式为____________．4. “sin α＝cos α”是“cos2α＝0”的______________(填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分也不必要”)条件．5. 在平面直角坐标系中，O 为原点，A(－1，0)，B(0，3)，C(3，0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是____________．6. 已知数列{a n }满足a 1＝254，a n ＋1－a n ＝2n ，则当n ＝____________时，a nn 取得最小值．7. 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB|＝____________．1. 已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，则A∪B中元素的个数为____________．2. 设复数z满足z2＝3＋4i(i为虚数单位)，则z的模为________．3. 袋中装有大小相同且质地一样的四个球，四个球上分别标有“2”“3”“4”“6”这四个数．现从中随机选取三个球，则所选的三球上的数恰好能构成等差数列的概率是__________．4. 为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50，75)中的频数为100，则n＝________．5. 已知四边形ABCD为梯形，AB∥CD，l为空间一直线，则“l垂直于两腰AD、BC”是“l垂直于两底AB、DC”的______________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．6. 已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是____________．7. 在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为____________．1. 集合A ＝{0，2}，B ＝{1，a 2}，若A∪B＝{0，1，2，4}，则实数a ＝____________． 2. 在等差数列{a n }中，若a n ＋a n ＋2＝4n ＋6(n∈N *)，则该数列的通项公式a n ＝____________．3. 已知a ，b ，c 是单位向量，a ⊥b ，则(a ＋b ＋2c )·c 的最大值是________．4. 已知正六棱锥PABCDEF 的底面边长为2，侧棱长为4，则此六棱锥的体积为____________．5. 已知函数y ＝cosx 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ＜π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是____________．6. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x (a ，b 为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是____________．7. 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≤0，2x －y ＋1≥0，x ＋4y －4≥0，则z ＝|x|＋|y －3|的取值范围是____________．1. 设复数z＝1＋i，若1，1z对应的向量分别为OA→和OB→，则|AB→|＝__________．2. 已知集合A＝{x|x2－1＝0}，集合B＝[0，2]，则A∩B＝__________．3. 不等式2x2－x<4的解集为____________．4. 已知函数y＝log2(ax－1)在(1，2)上单调递增，则a的取值范围为______________．5. 已知等差数列{a n}的首项为4，公差为2，前n项和为S n.若S k－a k＋5＝44(k∈N*)，则k＝__________．6. 下列四个命题：①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；③如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行；④如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．其中所有真命题是__________．(填序号)7. 设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交曲线C于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为____________．1. 函数f(x)＝lnx ＋1－x 的定义域为____________．2. 下图是某个容量为100的样本的频率分布直方图，则在区间[4，5)上的数据的频数为____________．3. 已知抛物线y 2＝2px 过点M(2，2)，则点M 到抛物线焦点的距离为____________． 4. 如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD＝30°，∠BDC ＝120°，CD ＝10 m ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝________ m.5. 已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)．若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n ＝____________．6. 已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β＝__________．7. 设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为____________．1. 若复数z 1＝a －i ，z 2＝1＋i(i 为虚数单位)，且z 1·z 2为纯虚数，则实数a ＝____________．2. 已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin αsin β，则tan α的最大值是________．3. 以抛物线y 2＝4x 的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线的标准方程为____________．4. 已知等差数列{a n }中，a 4＋a 6＝10，前5项和S 5＝5，则其公差为____________．5. 已知直线l 1：x －2y －1＝0和直线l 2：ax －by ＋1＝0，a 、b∈{1，2，3，4}，则直线l 1与直线l 2没有公共点的概率为____________．6. 若不等式x 2＋2＋|x 3－2x|≥ax 对x∈(0，4)恒成立，则实数a 的取值范围是____________．7. 设函数f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3和g(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－πx 的图象在y 轴左、右两侧靠近y 轴的交点分别为M 、N ，已知O 为原点，则OM →·ON →＝__________．1. 已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k 为____________．2. 如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为__________．3. 设等差数列{a n }的前n n 576＋a 8＝－2，则当S n 取得最大值时n 的值是__________．4. 如图，在平面四边形ABCD 中，若AC ＝3，BD ＝2，则(AB →＋DC →)·(AC →＋BD →)＝__________．5. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≥0，x 2＋2x ，x<0，则不等式f(f(x))≤3的解集为__________．6. 若△ABC 的内角满足sinA ＋2sinB ＝2sinC ，则cosC 的最小值是__________．7. 已知A 为椭圆x 29＋y 25＝1上的动点，MN 为圆(x －1)2＋y 2＝1的一条直径，则AM →·AN →的最大值为__________．1. 若复数(a －2)＋i(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a ＝__________．2. 已知sin α＝13，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan α＝____________． 3. 为了了解某校男生体重情况，将样本数据整理后，画出其频率分布直方图(如图)．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第3小组的频数为12，则样本容量是____________．4. 在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为__________．5. 已知等差数列{a n }满足：a 1＝－8，a 2＝－6.若将a 1，a 4，a 5都加上同一个数m ，所得的三个数依次成等比数列，则m 的值为____________．6. 若抛物线y 2＝8x 的焦点F 与双曲线x 23－y 2n ＝1的一个焦点重合，则n 的值为____________．7. 在△ABC 中，BC ＝2，A ＝2π3，则AB →·AC →的最小值为____________．1. 在复平面内，复数z 1的对应点是Z 1(1，1)，z 2的对应点是Z 2(1，－1)，则z 1·z 2＝__________．2. 函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2内的一条对称轴是____________． 3. 已知|a|＝3，|b|＝4，(a ＋b )·(a ＋3b )＝33，则a 与b 的夹角为__________．4. 运行如图所示的流程图，如果输入a ＝1，b ＝2，则输出的a 的值为__________．5. 已知数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1·a n ＝a n ＋1－a n ，则数列通项a n ＝__________．6. 已知△ABC 的面积为12，且sinA ＝14，则1b ＋2c的最小值为__________． 7. 已知圆x 2＋y 2＝1与x 轴的两个交点为A 、B ，若圆内的动点P 使得PA 、PO 、PB 成等比数列，则PA →·PB →的取值范围为____________．1. 已知p ：x 2－2x －3＜0，q ：1x －2＜0，若p 且q 为真，则x 的取值范围是____________． 2. 复数(3＋i)m －(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是____________．3. 如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为____________．4. 某用人单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，若每名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙2人中至少有1人被录用的概率为________．5. 已知{a n }是递增数列，且对任意的n∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是____________．6. 如图，在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝6，∠BAC ＝60°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AB →＝2AD →，AC →＝3AE →，点F 为DE 的中点，则BF →·DE →的值为__________．7. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9，直线l ：y ＝kx ＋3与圆C 相交于A 、B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围为__________．1. 已知集合M ＝{3，2a }，N ＝{a ，b}，若M∩N＝{4}，则M∪N＝________．2. 已知复数z ＝3－2i i(i 是虚数单位)，则复数z 所对应的点位于复平面的第________象限．3. 根据如图所示的伪代码，输出的S 的值为________．S←0I←0While I ≤4I←I＋1S←S＋IEnd WhilePrint S4. 设l 、m 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，下列命题中正确的是________．(填序号)① 若l⊥α，m ∥β，α⊥β，则l⊥m；② 若l∥m，m ⊥α，l ⊥β，则α∥β；③ 若l∥α，m ∥β，且α∥β，则l∥m；④ 若α⊥β，α∩β＝m ，lβ，l ⊥m ，则l⊥α. 5. 存在实数x ，使得x 2－4bx ＋3b ＜0成立，则b 的取值范围是____________．6. 已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为____________．7. 在Rt △ABC 中，CA ＝CB ＝2，M 、N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围为____________．1. 已知z·(1＋i)＝2＋i ，则复数z ＝__________．2. 在等比数列{a n }中，已知a 3＝4，a 7－2a 5－32＝0，则a 7＝__________．3. 设向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，则“a∥b”是“tan θ＝12”成立的______________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．4. 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为__________．5. 一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了10 000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图所示)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，再从这10 000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2 500，3 500)(元/月)收入段应抽出________人．6. 若斜率互为相反数且相交于点P(1，1)的两条直线被圆O ：x 2＋y 2＝4所截得的弦长之比为62，则这两条直线的斜率之积为__________． 7. 若二次函数f(x)＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a c 2＋4＋c a 2＋4的最小值为__________．1. 已知全集U ＝{－2，－1，0，1，2}，集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{－2，－1，0}，则A∩∁U B ＝__________．2. 函数f(x)＝xn 2－3n(n∈Z )是偶函数，且y ＝f(x)在(0，＋∞)上是减函数，则n ＝________．3. 已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧|x|≤1，|y|≤1，则z ＝2x ＋y 的最小值是________．4. 若实数m ，n ∈{－1，1，2，3}，且m≠n，则方程x 2m ＋y 2n＝1表示的曲线是焦点在x 轴上的双曲线的概率为________．5. 设S n 是公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝20，且a 3，a 7，a 9成等比数列，则S 10＝__________．6. 函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向左平移φ⎝⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位后，所得函数图象关于原点中心对称，则φ＝____________．7. 已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点．若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC＝60°，则点A 横坐标的取值范围是__________．1. 若集合U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{2，3}，B ＝{3，4}，则∁U (A∪B)＝__________．2. 若函数f(x)＝2x －(k 2－3)·2－x，则k ＝2是函数f(x)为奇函数的____________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．3. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b)2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积为__________．4. 已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝____________．5. 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ，若∠PF 1F 2＝30°，则该双曲线的离心率为__________．6. 已知函数f(x)＝x(|x|＋4)，且f(a 2)＋f(a)＜0，则a 的取值范围是__________．7. 记等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝2，且数列{S n }也为等差数列，则a 13的值为____________．1. 若复数z ＝(x ＋i)(1＋i)是纯虚数，其中x 为实数，i 为虚数单位，则z 的共轭复数z －＝__________．2. 已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为__________．3. 已知A 、B 均为集合U ＝{2，4，6，8，10}的子集，且A∩B＝{4}，(∁U B )∩A＝{10}，则A ＝__________．4. 函数y ＝1x＋2lnx 的单调递减区间为__________． 5. 直线ax ＋2y ＋6＝0与直线x ＋(a －1)y ＋(a 2－1)＝0平行，则a ＝__________．6. 已知圆锥的底面半径和高相等，侧面积为42π，过圆锥的两条母线作截面，截面为等边三角形，则圆锥底面中心到截面的距离为________．7. 在△ABC 中，点D 在边BC 上，且DC ＝2BD ，AB ∶AD ∶AC ＝3∶k∶1，则实数k 的取值范围为__________．随堂小测评(一)1. {4} 解析：A∪B＝{1，2，3}，所以∁U (A∪B)＝{4}．2. [2，3)∪(3，＋∞) 解析：要使函数有意义，x 须满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x －3≠0，解得x≥2且x≠3. 3. 1 解析：在正三角形ABC 中，内切圆半径r ＝13·32·23＝1，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°，∠POD ＝θ(θ∈[0，π])．PA →·PB →＝(PO →＋OA →)·(PO →＋OB →)＝PO → 2＋(OA →＋OB →)·PO →＋OA →·OB →＝OP → 2＋2OD →·PO →＋OA →·OB →＝OP → 2－2OD →·OP →＋OA →·OB →＝1＋2cos θ＋4cos120°＝2cos θ－1.∴ (PA →·PB →)max ＝1.4. 7 解析：由题设流程图的循环体执行如下：第1次循环S ＝3，I ＝4；第2次循环S ＝5，I ＝7；第3次循环S ＝7，I ＝10.本题考查流程图基础知识，关键把握每一次循环体执行情况．本题属于容易题．5. π3或2π3 解析：由正弦定理得a sinA ＝b sinB ，即1sin π6＝3sinB ，解得sinB ＝32.因为b>a ，所以B ＝π3或2π3. 6. 50 解析：由等比数列性质得a 10a 11＝a 9a 12，则a 10a 11＝e 5，∴ lna 1＋lna 2＋…＋lna 20＝ln(a 1·a 2·…·a 20)＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝50. 7. 2 解析：由图象知最小正周期T ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π3＝2πω，故ω＝3.又x ＝π4时，3·π4＋φ＝2k π(k∈Z )，可得φ＝5π4，所以f(π)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π＋5π4＝ 2.本题考查ω与周期的关系，以及利用五点作图法逆求φ的值．本题属于中等难度题．随堂小测评(二)1. {－2，0，2} 解析：∵ M＝{－2，0}，N ＝{0，2}，∴ M ∪N ＝{－2，0，2}．2. 56解析：基本事件有6种：(白，红)，(白，黄1)，(白，黄2)，(红，黄1)，(红，黄2)，(黄1，黄2)，其中颜色不同的事件有5种，则这2只球颜色不同的概率为56.本题考查了古典概型求法，主要是用列举法列出基本事件总数．本题属于容易题．3. －1010 解析：因为角φ的终边经过点P(1，－2)，所以sin φ＝－25，cos φ＝15，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝22(15－25)＝－1010. 4. ④ 解析：①②n 与α可能平行、垂直或在平面α内；③α与γ可能平行、垂直或相交．5. 2x －4y ＋3＝0 解析：当直线l 与直线CP 垂直时，∠ACB 最小．∴ k PC ＝1－012－1＝－2.∴ k l ＝12.∴ l 的方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －12，即2x －4y ＋3＝0. 6. 8 解析：画出可行域，可知该区域为三角形，经比较斜率，可知目标函数z ＝2x －y 在两条直线x －3y ＋1＝0与x ＋y －7＝0的交点(5，2)处时，取得最大值z ＝8.7. －22 解析：由题意g(x)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3π4，又x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，则3x －3π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，sin(3x －3π4)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1.故y ＝g(x)的最小值为－22. 随堂小测评(三)1. (1，＋∞) 解析：M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －322－14，a ∈R ＝[－14，＋∞)，N ＝(－∞，－3)∪(1，＋∞)，M ∩N ＝(1，＋∞)．2. 3 解析：不妨设P 点在右支上，PF 1－PF 2＝2a ，又PF 1＋PF 2＝6a ，则PF 1＝4a ，PF 2＝2a ，则∠PF 1F 2为△PF 1F 2的最小内角，∠PF 1F 2＝30°.cos ∠PF 1F 2＝（4a ）2＋（2c ）2－（2a ）22·4a ·2c ＝3a 2＋c 24ac ＝32.化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－23·c a ＋3＝0，e ＝ 3. 3. 63 解析：设BC ＝a ，AC ＝b ，作CD 垂直AB ，ME 垂直AB ，CM ＝BM ＝a 2，AM ＝b 2＋a 24，CD ＝2ME ，sin ∠BAM ＝ME AM ＝13，ME ＝13AM ，CD ＝ab a 2＋b 2，则12ab ·1a 2＋b 2＝13b 2＋a 24，化简得2b 2＝a 2，所以sin ∠BAC ＝CD AC ＝63. 4. －12 解析：1－i （1＋i ）2＝1－i 2i ＝（1－i ）（－i ）2i （－i ）＝－1－i 2，实部为－12.本题主要考查复数的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题． 5. (－5，0) 解析：当m ＝0时，函数f(x)的图象与x 轴有且只有1个交点；当m>0时，函数f(x)的图象与x 轴没有交点；当m<0时，函数f(x)的图象要与x 轴有且只有两个不同的交点，则f(0)<0，且f(1)>0，得实数m 的取值范围为(－5，0)．本题综合考查了函数思想和数形结合思想的运用．本题属于中等题．6. [3t ，－4t] 解析：12t 2－tx －x 2≥0(x ＋4t)(x －3t)≤0，∵ t<0，∴ x ∈[3t ，－4t]．7. 23 解析：由题意可知V SAPC V SABC ＞13.如图所示，三棱锥SABC 与三棱锥SAPC 的高相同，因此V SAPC V SABC ＝S △APC S △ABC ＝PM BN ＝AP AB ＞13(PM ，BN 为其高线)，故所求概率为23. 随堂小测评(四)1. 1 解析：由N M 知1∈M，则x ＝1.本题考查了集合的子集的概念．本题属于容易题．2. 1－i 解析：设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R )，则x －yi －2＝i －1.∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－1，－y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，∴ z ＝1－i. 3. x 29－y 227＝1 解析：由渐近线方程y ＝3x ，得b a ＝ 3.抛物线y 2＝24x 的准线方程为x ＝－6，故双曲线的一个焦点为(－6，0)，即c ＝6.由⎩⎨⎧a 2＋b 2＝36，b ＝3a ，得a 2＝9，b 2＝27. 4. 2 解析：8，x ，10，11，9的平均数为10，则x ＝12. 该组样本数据的方差s 2＝(4＋4＋1＋1)÷5＝2.本题考查了平均数和方差公式．本题属于容易题．5. 1 解析：本题画出可行域发现z ＝2x ＋y 过点(0，1)时，z ＝2x ＋y 的最小值为1.本题主要考查简单的线性规划问题．本题属于容易题．6. 8 解析：由a 7＋a 8＋a 9＞0得3a 8＞0，a 8＞0，a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，则a 9＜0，故当n ＝8时，S n 最大．7. －33解析：△AOB 的面积取得最大值，则∠AOB＝90°，则半圆的圆心到直线的距离为12，利用点到直线的距离公式可得k 2＝13，由图形知k ＜0，则k 的值为－33.本题考查三角形面积公式，点到直线的距离公式．本题属于中等题．随堂小测评(五)1. [1，2) 解析：A ＝[1，＋∞)，B ＝(－∞，2)，则A∩B＝[1，2)．2. 5 解析：z ＝－2＋i ，z 的模为 5.本题主要考查复数的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．3. 8 解析：a －2b ＝(1，4)，(a －2b )·c ＝k －8＝0，则k ＝8.本题考查了向量的坐标运算，属于容易题．4. －14 解析：由正弦定理a∶b∶c＝2∶3∶4，因此cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋9－162×2×3＝－14. 5. 9 解析：由流程图的循环体执行如下：第1次循环S ＝2，n ＝3；第2次循环S ＝10，n ＝5；第3次循环S ＝42，n ＝7；第4次循环S ＝170，n ＝9.本题考查流程图基础知识，关键把握每一次循环体执行情况．本题属于容易题．6. －e 解析：k 1＝e －1，k 2＝a ，两直线垂直，则e －1 a ＝－1，a ＝－e.本题考查了导数的几何意义及两条直线垂直，属于容易题． 7. 3＋2 2 解析：设a 1，a 2，a 3分别为a －d ，a ，a ＋d.因为a 1＜a 2，所以d ＞0.又b 22＝b 1b 3，所以a 4＝(a －d)2(a ＋d)2＝(a 2－d 2)2，则a 2＝d 2－a 2或a 2＝a 2－d 2(舍去)，则d ＝±2a.若d ＝－2a ，则q ＝b 2b 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 12＝(1－2)2＝3－22＜1，舍去；若d ＝2a ，则q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 12＝3＋2 2.随堂小测评(六)1. 1 解析：2a －1＝1，a ＝1.本题主要考查集合的概念与运算等基础知识．本题属于容易题．2. 3 解析：复数z ＝(1＋i)(1－2i)＝3－i ，z 的实部为3.本题考查复数的基本运算和复数实部的概念．本题属于容易题．3. 35解析：从5件产品中任意抽取2件有10种不同的方法，其中抽得一件合格、另一件不合格的方法种数为6种，所以所求的概率为P ＝610＝35.本题主要考查概率知识．本题属于容易题．4. 1＋26 解析：几何体是由一个棱长为1的正方体和一个正四棱锥组成，正方体的体积为1，正四棱锥的高为22，底面积为1，体积为26，则该空间几何体体积V ＝1＋26.本题考查了正方体和正四棱锥的体积．本题属于容易题．5. 2 解析：双曲线x 24－y 2m ＝1(m>0)的渐近线方程为x 24－y 2m ＝0，即y ＝±m 2x ，又双曲线x 24－y 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±22x ，所以m ＝2. 本题主要考查了双曲线的渐近线方程，属于容易题．6. cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2 解析：设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则cos2α＝a 2＋b 2a 2＋b 2＋c 2，cos 2β＝b 2＋c 2a 2＋b 2＋c 2，cos 2γ＝c 2＋a 2a 2＋b 2＋c2，故cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2（c 2＋a 2＋b 2）a 2＋b 2＋c2＝2.本题考查类比问题，考查线面角的概念及简单计算．属于中等题． 7. 52 解析：圆的半径为1，∠PCQ ＝90°，故圆心到直线的距离为22.由点到直线距离公式得|3a －a|9＋1＝22，又a>0，故a ＝52.本题考查直线与圆的位置关系及点到直线距离公式，属于中等题．随堂小测评(七)1. {－1，1，3} 解析：B 中的奇数有－1，1，3, A ∩B ＝{－1，1，3}．本题主要考查集合的概念与运算等基础知识．本题属于容易题．2. 5 解析：∵ z＝a ＋i 1－i ＝（a ＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝a －12＋a ＋12i ，且z 的虚部为3，∴ a ＋12＝3，解得a ＝5.本题主要考查复数的基本概念、基本运算等基础知识，属于容易题．3. 14 解析：图中伪代码表示的算法是S ＝2＋4＋8＝14，所以输出S ＝14.本题主要考查算法流程图的基础知识，属于容易题．4. 13解析：用列举法列出基本事件总数：(一、二)，(一、无)，(二、一)，(二、无)，(无、二)，(无、一)，两人都中奖的基本事件数为2，两人都中奖的概率为13.本题主要考查古典概型的求法．本题属于容易题．5. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 解析：由π2＜x ＜π得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎪⎫π2ω＋π4，πω＋π4⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2，所以⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54. 6. －1 解析：由题意，因为函数f(x)＝x 2＋c 与g(x)＝ae x 的图象的一个公共点为P(2，t)，所以c ＋4＝ae 2＝t ，f ′(x)＝2x ，g ′(x)＝ae x .因为曲线y ＝f(x)，y ＝g(x)在点P 处有相同的切线，所以f′(2)＝g′(2)，即4＝ae 2，所以a ＝4e 2，c ＝0，f(x)＝x 2，g(x)＝4e2e x .记F(x)＝f(x)－g(x)，因为F(－1)＝f(－1)－g(－1)＝1－4e 3>0，F(0)＝f(0)－g(0)＝0－4e2＜0，所以F(－1)F(0)＜0，所以函数F(x)＝f(x)－g(x)的负零点在区间(－1，0)内，故k ＝－1.本题主要考查导数的几何意义、导数的求法，函数零点存在性定理及其应用等基础知识，考查等价转化与数形结合思想，属于中等题．7. 3－12 解析：由已知条件给出的数列递推关系可得a 2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫13＝13－0＝33，a 3＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2＝{3}＝3－1，a 4＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 3＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫13－1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫3＋12＝3＋12－1＝3－12，a 5＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 4＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫23－1＝{3＋1}＝3＋1－2＝3－1，由此计算过程可发现，当n 为大于2的奇数时，a n ＝3－1，当n 为大于2的偶数时，a n ＝3－12，故a 2 016＝3－12.本题用新定义创新考查了递推数列，考查了阅读理解与归纳推理能力，属于中等题．随堂小测评(八)1. 1 解析：z ＝1＋i 1－i ＝2i 2＝i ，z 的模为1.本题主要考查复数模的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题． 2. 5 解析：B ＝{0，－1，－2，1，2}．3. －2 解析：画出可行域，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.由图可知，z min ＝－2.本题考查线性规划基础知识．本题属于容易题．4. 13解析：这是一个几何概型，其概率的值就是对应区间长度的比值．因为－1≤x≤1时－π2≤πx 2≤π2，又当－π2≤πx 2≤－π3或π3≤πx 2≤π2时，0≤cos πx 2≤12，此时－1≤x≤－23或23≤x ≤1，故所求概率P ＝13＋132＝13. 5. 20 解析：3a 5＋a 7＝2a 5＋(a 7＋a 5)＝2a 5＋2a 6＝2(a 5＋a 6)＝2(a 3＋a 8)＝20.6. 7 解析：取AC 的中点N ，则AO →＝AN →＋NO →，ON ⊥AC ，则AO →·AC →＝(AN →＋NO →)·AC →＝12|AC →|2.同理AO →·AB →＝12|AB →|2.又AO →·AM →＝4，则AO →·AM →＝12AO →·(AB →＋AC →)＝14|AB →|2＋14|AC →|2＝4，得AB ＝7.本题考查了向量的分解、垂径定理、数量积等内容．本题属于中等题． 7. 6 解析：f′(x)＝12x 2＋2mx ＋m －3≥0恒成立，则Δ＝4m 2－48(m －3)≤0，即m2－12m ＋36＝(m －6)2≤0，即m ＝6.本题考查函数单调性与导数、一元二次不等式恒成立的条件，本题属于中等题．随堂小测评(九)1. [1，＋∞) 解析：A ＝(0，1)，B ＝(0，c)．若A B ，则c≥1.2. 15 解析：z ＝13＋4i ＝3－4i （3＋4i ）（3－4i ）＝3－4i 25，z 的模为15.本题主要考查复数的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．3. π3解析：由正弦定理得2sinAsinB ＝3sinB.∵ sinB ≠0， ∴ sinA ＝32.又△ABC 为锐角三角形，∴ A ＝π3. 4. 1 解析：(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝10，(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝6，两式相减得4a·b ＝4，故a·b ＝1.5. 18 解析：z ＝x 2＋y 2＋6x －2y ＋10＝(x ＋3)2＋(y －1)2的最小值即点(－3，1)到直线x ＋y －4＝0的距离的平方，即32的平方，答案为18.本题考查了线性规划的知识和点到直线的距离公式．本题属于中等题．6. 55 解析：设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋7×62d ＝7，15a 1＋15×142d ＝75⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝1，故S n ＝－2n ＋n （n －1）2×1＝n 22－5n 2，S n n ＝n 2－52，这是等差数列，首项为－2，公差为12，故前20项和为－2×20＋20×192×12＝55.本题考查等差数列的通项及前n 项和公式，对基本量的计算要准确．属于中等题．7. 2 解析：△A 1B 1C 1边长为2，高为3，AA 1＝1，△AB 1C 1的高为2，则△AB 1C 1的面积为2，三棱锥A 1AB 1C 1体积为23，三棱柱的体积为三棱锥A 1AB 1C 1体积的3倍，即 2.本题主要考查同底的柱体体积与锥体体积的关系以及线面垂直的性质运用．本题属于中等题．随堂小测评(十)1. {－1，3} 解析：(－1)2≥1，32≥1，则A∩B＝{－1，3}．本题主要考查集合的交集运算，属于容易题．2. 1 解析：z ＝(a －i)(1＋i)＝a ＋1＋(a －1)i ，∵ z 在复平面内对应的点在实轴上，∴ a －1＝0，从而a ＝1.3. y 2－x 23＝1 解析：c ＝2，a ＝1，则b 2＝3，双曲线的焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程为y 2－x 23＝1.本题考查抛物线的焦点、双曲线的离心率等概念．本题属于容易题． 4. 6 解析：由题设流程图的循环体执行如下：第1次循环后S ＝38，k ＝2；第2次循环后S ＝34，k ＝3；第3次循环后S ＝26，k ＝4；第4次循环后S ＝10，k ＝5；第5次循环后S ＝－22，k ＝6.本题考查流程图基础知识，关键把握每一次循环体执行情况．本题属于容易题．5. －14 解析：由正弦定理得2b ＝3c ，又b －c ＝14a ，则b ＝32c ，a ＝2c ，cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22·32c ·c ＝－14.6. 4 解析：由log 2x ＋log 2y ＝1，得xy ＝2，x 2＋y 2x －y ＝x 2－2xy ＋y 2＋2xy x －y ＝（x －y ）2＋4x －y＝x －y ＋4x －y ≥4，则x 2＋y 2x －y的最小值为4.本题考查对数的运算以及基本不等式的运用．本题属于中等题．7. 3n －12 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，当q ＝1时，S n ＝n ，S n ＋12＝n ＋12，此时⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12不是等比数列；当q≠1时，S n ＝1－q n 1－q ，∴ S n ＋12＝1－q n 1－q ＋12＝1－q n ＋12－12q 1－q ＝12（3－q ）－q n 1－q.∵ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是等比数列，∴ q ＝3，从而S n ＝3n －12. 随堂小测评(十一)1. {2} 解析：∁U A ＝{x∈N |2≤x<5}＝{2}．2. 2n －1 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 3＝a 1＋(a 1＋d)＋(a 1＋2d)＝9，即3a 1＋3d ＝9，所以a 1＋d ＝3.因为a 1＝1，所以d ＝2，故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋2(n －1)＝2n －1.3. ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35 解析：|a|＝5，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝1，a 、b 方向相同，则b ＝15a ＝⎝⎛⎭⎪⎫45，－35. 4. 180 解析：由频率分布直方图得到体重在70～78 kg 的男生的频率为(0.02＋0.01)×4＝0.12，所以该校1 500名高中男生中体重在70～78 kg 的人数大约为0.12×1 500＝180.5. x －2y ＋2＝0 解析：设切点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则AT 1的方程为x 1x ＋(y 1－2)(y －2)＝4，AT 2的方程为x 2x ＋(y 2－2)(y －2)＝4，则2x 1－4(y 1－2)＝4，2x 2－4(y 2－2)＝4，所以2x －4(y －2)＝4，即x －2y ＋2＝0.6. ⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1 解析：因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ，所以由S n ＝2a n ＋1，得S n ＝2(S n ＋1－S n )，整理得3S n ＝2S n ＋1，所以S n ＋1S n ＝32，所以数列{S n }是以S 1＝a 1＝1为首项，公比q ＝32的等比数列，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1. 7. 1 解析：平面区域为三条直线围成的△ABC，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＋2＝0，得A(1，－3)；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，kx －y ＝0，得B(1，k)；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，kx －y ＝0，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ＋1，－2k k ＋1；S ＝12|AB|(1－x C )＝12(k ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1＋4k ＋1＋4.∵ k ≥0，∴ k ＋1>0，∴ S ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（k ＋1）·4k ＋1＋4＝4，当且仅当k ＋1＝4k ＋1，即k ＝1时，等号成立．随堂小测评(十二)1. [0，4) 解析：因为M ＝{x|x 2－3x －4<0}＝{x|－1<x<4}，N ＝{x|0≤x≤5}，所以M∩N＝{x|0≤x<4}．2. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) 解析：根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x>0，（log 2x ）2－1>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＞2或x ＜12. 3. －12解析：m a ＋b ＝(2m ，3m)＋(－1，2)＝(2m －1，3m ＋2)，a －2b ＝(2，3)－(－2，4)＝(4，－1)，则－2m ＋1＝12m ＋8，解得m ＝－12. 4. {a|－1＜a ＜3} 解析：由题意得a 2－2a －1＜x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2恒成立，所以a 2－2a －3＜0，解得－1＜a ＜3.5. 2＋1 解析：设双曲线的左焦点为F′，连结AF′.∵ F 是抛物线y 2＝4px 的焦点，且AF⊥x 轴，∴ 设A(p ，y 0)，得y 20＝4p×p，得y 0＝2p ，A(p ，2p)，∴ 在Rt △AFF ′中，|AF|＝|FF′|＝2p ，得|AF′|＝22p ，∴ 双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的焦距2c ＝|FF′|＝2p ，实轴2a ＝|AF′|－|AF|＝2p(2－1)，由此可得离心率为e ＝c a ＝2c 2a ＝2p 2p （2－1）＝2＋1. 6. 3＋13526 解析：由题意得a 3＝12，a 5＝23，…，a 11＝813.。

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