《一元二次方程的解法》公开课教案doc.doc
《一元二次方程的解法》教案
2课 题教 学目 标教 学设 想2.2 一元二次方程（1）1、掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤.2、会用因式分解法解一元二次方程.【教学重点】用因式分解法解一元二次方程.【教学难点】例 3 方程中含有无理系数，需将常数项 2 看成( 2 ) ，才能分解因式，是本节教学的难点.教 学 程 序 与 策 略一、复习引入1、将下列各式分解因式：(1)y 2 - 3 y (2)4 x 2 - 9(3)(3x - 4)2 - (4 x - 3)2 (4) x 2 - 2 2 x + 2教师指出：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解.2、你能利用因式分解解下列方程吗？（例 1）(1)x 2 - 3x = 0(2)25 x 2 = 16请中等学生上来板演，其余学生写在练习本上，教师巡视.之后教师指出：像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法.（板书课题）二、新课学习1、归纳因式分解法解一元二次方程的步骤：教师首先指出：当方程的一边为 0，另一边容易分解成两个一次因式的积时，用因式分解法求解方程比较方便.然后归纳步骤：（板书）① 若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；② 将方程的左边分解因式；③ 根据若 M·N=0，则 M=0 或 N=0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程.2、讲解例 2.（1）解下列一元二次方程：(1)(x - 5)(3x - 2) = 10(2) x - 2 = x ( x - 2) (3)(3x - 4)2 = (4 x - 3)2教师在讲解中不仅要突出整体的思想：把 x-2 及 3x-4 和 4x-3 看成整体，还要突出化归的思想：通过因式分解把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.并且教师要认真板演，示范表述格式，强调两个一元一次方程之间的连结词要1 2用“或”，而不能用“且.（2）想一想：将第（ ），（2），（3）题的解分别代人原方程的左、右两边，等式成立吗？教 学 程 序 与 策 略（3）归纳用因式分解法解的一元二次方程的基本类型：①先变形成\一般形式，再因式分解：②移项后直接因式分解.在选择方法时通常可先考虑移项后能否直接分解因式，然后再考虑化简后能否分解因式.讲解例 3. 解方程 x 2 = 2 2 x - 2在本例中出现无理系数，要注意引导学生将将常数项 2 看成 ( 2 )，另外对于方程中出现两个相等的根，教师要做好板书示范.3、补充例 4 若一个数的平方等于这个数本身，你能求出这个数吗？首先让学生设出未知数，列出方程（ x 2 = x ），再让学生求解.根据学生的求解情况强调：对于此类方程不能两边同时约去 x ，因为这里的 x 可以是 0.三、巩固练习课本第 31 页课内练习.四、体会和分享能说出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？先由学生自由发言，教师再投影演示：1、能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是 0，另一边可以分解成两个一次因式的积；2、用分解因式法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为零；（2）将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；（3）令每一个因式为零，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.3、用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为 0，那么这两个因式中至少有一个等于0.4、用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为零；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.5、数学思想：整体思想和化归思想.五、课后作业1、书本作业题2、作业本教后反思课题教学目标教学设想2.2一元二次方程的解法（2）(1)理解直接开平方法解一元二次方程的依据是平方根的意义。
一元二次方程的解法教案
教案设计一元二次方程的解法【课题】一元二次方程的解法——求根公式法【教材分析】根据九年级华东师大版义务教育课程标准实验教科书数学九年级上第二章第一节的内容，本章节是对一元一次方程知识的延续和深化，其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章节的重点内容“一元二次方程”是选自华东师大版义务教育，主要内容是介绍一元二次方程的概念和解法，它为进一步学习一元二次方程的应用起到了重要的铺垫作用。
【教学目标】●认知目标：1、掌握一元二次方程的定义2、学会用求根公式法解一元二次方程3、一元二次方程的求根公式(a acbbx24 2-±-=)的推导●行为目标：通过列方程解决实际问题，增强学生的数学应用意识和能力●情感目标：通过使用公式法解一元二次方程的练习，激发学生学数学的兴趣，体会做数学的快乐【目标设计依据】在学习本节之前，学生对一元一次方程及一元一次方程的解的有关知识有一定的了解，并且九年级的学生有一定的数学思维基础，分析和概括能力相对于八年级学生有很大的提高，容易开发学生的主观能动性，适合有特殊到一般的探究方式【重点难点】1、重点①掌握用求根公式法解一元二次方程，并灵活运用②学会用判别式定根的情况③掌握解题步骤及格式2、难点①理解一元二次方程有两个实数根，也可能无实数根，并理解无实根的解题过程②掌握一元二次方程的求根公式③用公式法解一元二次方程时的讨论【教学时间】教学课时：1课时【教学准备】黑板、粉笔、多媒体课件【教学过程】一、课题引入绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？（大约5分钟）分析：我们可以运用方程解决实际问题.设长方形绿地的宽为x 米，列出方程90)10(=+x x整理可得90)10(=+x x思考：方程0900102=-+x x 不是一元一次方程，那么它与一元一次方程有什么区别呢？又有什么共同点呢？（学生讨论、交流）共同点：（1）都是整式方程；（2）只含有一个未知数；区别：一元一次方程未知数的最高次数为1，一元二次方程未知数的最高次数为2.二、一元二次方程的定义（大约5分钟）上述方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次二次方程，通常可写成的一般形式：02=++c bx ax (a 、b 、c 是已知数，a ≠0)，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数，bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项.三、求根公式 （大约20分钟）求根公式法：将一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 进行配方，当042≥-ac b 时的根为a ac b b x 242-±-=时，该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法。
一元二次方程的解法教案
一元二次方程的解法教案教案标题：一元二次方程的解法教案目标：1. 学生能够理解一元二次方程的定义和基本性质。
2. 学生能够掌握一元二次方程的解法。
3. 学生能够应用一元二次方程解决实际问题。
教学重点：1. 一元二次方程的定义和基本性质。
2. 一元二次方程的解法。
3. 实际问题中一元二次方程的应用。
教学难点：1. 解一元二次方程时的步骤和技巧。
2. 实际问题中如何建立一元二次方程。
教学准备：1. 教师准备：白板、黑板笔、示例题目、实际问题案例。
2. 学生准备：课本、笔记本、写字工具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过提问引导学生回顾一元一次方程的解法，复习方程的基本概念和解题方法。
2. 教师提出问题：你们知道一元二次方程是什么吗？它有什么特点？二、讲解一元二次方程的定义和基本性质（10分钟）1. 教师用简明的语言解释一元二次方程的定义，并给出示例方程。
2. 教师讲解一元二次方程的基本性质，包括二次项系数、一次项系数和常数项的含义。
三、讲解一元二次方程的解法（15分钟）1. 教师详细讲解解一元二次方程的步骤和技巧，包括移项、配方、因式分解和求根公式等方法。
2. 教师通过示例方程的解题过程，引导学生理解和掌握解一元二次方程的方法。
四、练习解一元二次方程（15分钟）1. 教师布置一些练习题，要求学生独立解题，并在黑板上进行讲解。
2. 教师提供不同难度的题目，逐步提高学生的解题能力。
五、应用一元二次方程解决实际问题（15分钟）1. 教师给出一些实际问题案例，要求学生分析问题并建立相应的一元二次方程。
2. 学生独立解题，并与同学交流思路和解法。
六、总结与拓展（5分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结，并强调一元二次方程解法的重要性和应用价值。
2. 教师提供相关拓展资料，鼓励学生进一步学习和探究一元二次方程的相关知识。
教学反思：本节课通过讲解一元二次方程的定义、基本性质和解法，以及应用实际问题进行练习，能够帮助学生掌握一元二次方程的解题方法和应用能力。
湘教版数学九年级上册2.2《一元二次方程的解法》教学设计2
湘教版数学九年级上册2.2《一元二次方程的解法》教学设计2一. 教材分析《一元二次方程的解法》是湘教版数学九年级上册第二章第二节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了方程的解法的基础上，进一步学习一元二次方程的解法。
一元二次方程是初中数学中的重要内容，它在实际生活和工作中有着广泛的应用。
本节内容的学习，不仅能够巩固学生对一元二次方程的理解，还能够提高学生的解题能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对方程的概念和解法有一定的了解。
但是，对于一元二次方程的解法，部分学生可能还存在着理解上的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的困难进行有针对性的讲解和辅导。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握一元二次方程的解法，能够熟练运用解法解一元二次方程。
2.过程与方法目标：通过学生的自主学习、合作交流，培养学生的解决问题能力和团队合作精神。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和坚持不懈的精神。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的解法。
2.难点：理解一元二次方程的解法原理，能够灵活运用解法解题。
五. 教学方法1.讲授法：教师讲解一元二次方程的解法原理和步骤。
2.案例分析法：教师通过典型例题的分析，引导学生理解和解题方法。
3.小组讨论法：学生分组讨论，合作解决问题。
4.实践操作法：学生通过练习题目的解答，巩固所学知识。
六. 教学准备1.教材和教学参考书。
2.投影仪和电脑。
3.练习题目。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾方程的解法，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师展示一元二次方程的解法，引导学生理解解法原理。
3.操练（10分钟）教师给出典型例题，学生独立解答，教师进行讲解和指导。
4.巩固（10分钟）学生分组讨论，合作解决练习题目，教师进行巡回指导。
5.拓展（10分钟）教师给出一些实际问题，学生运用一元二次方程的解法进行解答。
八年级数学下册《一元二次方程的解法》教案、教学设计
八年级学生已经具备了一定的数学基础，对一元一次方程的解法有较为深入的理解。在此基础上，学习一元二次方程的解法，他们需要在原有的知识体系上进行拓展和深化。然而，学生在学习过程中可能会遇到以下困难：
1.对一元二次方程的一般形式及其解法理解不够透彻，容易混淆各种解法；
2.在运用配方法和因式分解法解题时，可能会出现操作不当、漏解等问题；
（五）总结归纳
1.对一元二次方程的解法进行系统总结，强调各种解法的适用条件和操作要点。
2.帮助学生建立知识框架，明确本节课的重点和难点。
3.鼓励学生课后进行自我反思，总结学习过程中的收获和不足，为下一节课的学习做好准备。
4.教师对本节课的教学效果进行评估，及时调整教学策略，以提高教学质量。
五、作业布置
3.对求根公式的理解和应用不够熟练，难以将其与实际问题相结合；
4.部分学生对数学学习存在恐惧心理，面对复杂题目时容易产生畏难情绪。
针对以上学情，教师应采取以下措施：
1.注重启发式教学，引导学生主动发现问题和解决问题；
2.通过典型例题和练习题，帮助学生巩固基础知识，提高解题能力；
3.加强对学生的心理辅导，鼓励他们面对困难时保持积极心态，勇于尝试；
4.创设生动有趣的教学情境，激发学生的学习兴趣，提高他们的学习积极性。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：一元二次方程的解法，包括直接开平方法、配方法、因式分解法和求根公式。
2.难点：
-理解并掌握配方法将一元二次方程转化为完全平方形式的过程；
-正确运用因式分解法，特别是对一些特殊类型的方程进行分解；
2.养成良好的学习习惯，严谨、细致、有耐心，面对困难时勇于挑战、积极寻求解决方法；
一元二次方程的解法(配方法)公开课教案.doc
积极探索，类比交流，在探索中寻求解决问题的方法与途径， 从而不断拓展数学思维。
教学重点 用配方法解一元二次方程。
教学难点 如何对一元二次方程进行配方。
教
学
教学内容
教
过 师活
程 动
学生活动
（一） 创设情境 导入新课
1 、 题组训练：
（1）9x2 4
（ 2） y2 144 0
（ 3 ） x 2 2 3 （ 4 ） x 4 2 25 0 巡视指导
为了转化，以便用直接开平方法求解。
讲评
在观察、思考、讨论的基
【 反思 】是不是所有的一元二次方程配
方后都能直接开平方？
解方程： x 2 2x 4 0
【 拓展 】请你判断二次三项式
x 2 2 x 3 的值能否为 0 ？
解：（法一）通过配方法解方程判断。
（法二）原式＝ x 2 2x 1 1 3
2
＝x 1 2
课时编号 033
备课 时间
2007.9.12
课题
一元二次方程的解法（第三课时）
上课 时间
2007.9.15
知识与技能
理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程。
教学目标
过程与方法
1 、 探究配方法，学会对一元二次方程进行变形。 2 、 通过对一元二次方程的配方，体会转化思想。
情感态度与价值观
∵x 1 2 0
∴ x 1 2 2≥2
即 x2 2x 3≥2
∴x 2 2x 3 的值不可能为 0 。
师生共同总结
础上寻求解题途径。 一生板演。
口答练习 1 ，四生板演练 习 2。
总结：只有方程右边的值 为非负数时才能配方后 直接开平方。
苏科版数学七年级上册4.2《一元二次方程的解法》(第2课时)教学设计
苏科版数学七年级上册4.2《一元二次方程的解法》（第2课时）教学设计一. 教材分析《一元二次方程的解法》是苏科版数学七年级上册4.2节的内容，本节课主要介绍了一元二次方程的解法–因式分解法和求根公式法。
通过本节课的学习，学生能够理解一元二次方程的解法，并能够运用因式分解法和求根公式法求解一元二次方程。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了一元一次方程的解法，对解方程有一定的了解。
但一元二次方程的解法与一元一次方程的解法有很大的不同，需要学生能够理解并掌握一元二次方程的解法。
同时，学生需要具备一定的逻辑思维能力和运算能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：理解一元二次方程的解法，能够运用因式分解法和求根公式法求解一元二次方程。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生的解决问题能力和团队合作能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，激发学生的学习积极性。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的解法。
2.难点：理解并掌握求根公式法，能够灵活运用求根公式法求解一元二次方程。
五. 教学方法采用问题驱动法、自主学习法、合作交流法、案例分析法等教学方法，引导学生主动探究，提高学生的学习兴趣和积极性。
六. 教学准备1.准备相关的一元二次方程的案例，用于讲解和练习。
2.准备课件，用于辅助讲解和展示。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入一元二次方程的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解一元二次方程的解法–因式分解法和求根公式法，并通过课件展示解题过程。
3.操练（10分钟）让学生独立完成一些一元二次方程的解题案例，巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）对学生的解题情况进行反馈，针对学生的错误进行讲解和指导。
5.拓展（10分钟）讲解一些一元二次方程的特殊情况，如无解和有多个解的情况，提高学生的解决问题的能力。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调一元二次方程的解法和注意事项。
华师大版一元二次方程的解法教案
一元二次方程的解法【学习目标】1．理解配方法的意义，会用直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程．2．理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的思想方法．3．会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义，检验所得的结果是否合理．【基础知识精讲】1．一元二次方程的解法(1)直接开平方法：根据平方根的意义，用此法可解出形如a x 2=(a ≥0)，b )a x (2=-(b ≥0)类的一元二次方程．a x 2=，则a x ±=；b )a x (2=-，b a x ±=-，b a x +=．对有些一元二次方程，本身不是上述两种形式，但可以化为a x 2=或b )a x (2=-的形式，也可以用此法解． (2)因式分解法：当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式的积时，就可用此法来解．要清楚使乘积ab ＝0的条件是a ＝0或b ＝0，使方程x(x －3)＝0的条件是x ＝0或x －3＝0．x 的两个值都可以使方程成立，所以方程x(x －3)＝0有两个根，而不是一个根．(3)配方法：任何一个形如bx x 2+的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来解的方程．如解07x 6x 2=++时，可把方程化为7x 6x 2-=+，22226726x 6x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++，即2)3x (2=+，从而得解． 注意：(1)“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是1．(2)解一元二次方程时，一般不用此法，掌握这种配方法是重点．(3)公式法：一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的根是由方程的系数a 、b 、c 确定的．在0ac 4b 2≥-的前提下，a 2ac 4b b x 2-±-=．用公式法解一元二次方程的一般步骤：①先把方程化为一般形式，即0c bx ax 2=++(a ≠0)的形式；②正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值(要注意它们的符号)；③计算0ac 4b 2<-时，方程没有实数根，就不必解了(因负数开平方无意义)；④将a 、b 、c 的值代入求根公式，求出方程的两个根．说明：象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程，而公式法则是最普遍，最适用的方法．解题时要根据方程的特征灵活选用方法．2．一元二次方程根的判别式一元二次方程的根有三种情况：①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数根．而根的情况，由ac 4b 2-的值来确定．因此ac4b 2-=∆叫做一元二次方程0c bx ax 2=++的根的判别式．△>0⇔方程有两个不相等的实数根．△＝0⇔方程有两个相等的实数根．△<0⇔方程没有实数根．判别式的应用(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参数系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．3．韦达定理及其应用定理：如果方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的两个根是21x x ，，那么a c x x a b x x 2121=⋅-=+，．当a ＝1时，c x x b x x 2121=⋅-=+，．应用：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程；(4)已知两数和与积求两数．4．一元二次方程的应用(1)面积问题；(2)数字问题；(3)平均增长率问题．步骤：①分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系(包括隐含的)；②设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；③找出相等关系，并用它列出方程；④解方程求出题中未知数的值；⑤检验所求的答数是否符合题意，并做答．这里关键性的步骤是②和③．注意：列一元二次方程应用题是一元一次方程解应用题的拓展，解题的方法是相同的，但因一元二次方程有两解，要检验方程的解是否符合题意及实际问题的意义．【经典例题精讲】例1 解方程025x 2=-．分析：解一元二次方程的方法有四种，而此题用直接开平方法较好．解：025x 2=-， 25x 2=，25x ±=，x ＝±5．∴5x 5x 21-==，．例2 解方程2)3x (2=+．分析：如果把x ＋3看作一个字母y ，就变成解方程2y 2=了．解：2)3x (2=+，23x ±=+，23x 23x -=+=+，或， ∴23x 23x 21--=+-=，．例3 解方程081)2x (42=--．分析：解此题虽然可用因式分解法、公式法来解，但还是用直接开平方法较好．解：081)2x (42=-- 整理，81)2x (42=-， 481)2x (2=-， 292x ±=-， ∴25x 213x 21-==，．注意：对可用直接开平方法来解的一元二次方程，一定注意方程有两个解；若a x 2=，则a x ±=；若b )a x (2=-，则a b x +±=．例4 解方程02x 3x 2=+-．分析：此题不能用直接开平方法来解，可用因式分解法或用公式法来解．解法一：02x 3x 2=+-，(x －2)(x －1)＝0，x －2＝0，x －1＝0，∴2x 1x 21==，．解法二：∵a ＝1，b ＝－3，c ＝2，∴01214)3(ac 4b 22>=⨯⨯--=-， ∴213x ±=．∴1x 2x 21==，．注意：用公式法解方程时，要正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值，先计算“△”的值，若△<0，则方程无解，就不必解了．例5 解关于x 的方程0n )n m 2x 3(m x 22=-+--． 分析：先将原方程加以整理，化成一元二次方程的一般形式，注意此方程为关于x 的方程，即x 为未知数，m ，n 为已知数．在确定0ac 4b 2≥-的情况下，利用公式法求解．解：把原方程左边展开，整理，得0)n mn m 2(mx 3x 222=--+-．∵a ＝1，b ＝－3m ，22n mn m 2c --=， ∴)n mn m 2(14)m 3(ac 4b 2222--⨯⨯--=-22n 4mn 4m ++=0)n 2m (2≥+=． ∴2)n 2m (m 3x 2++=2)n 2m (m 3+±=．∴n m x n m 2x 21-=+=，．注意：解字母系数的一元二次方程与解数字系数的一元二次方程一样，都要先把方程化为一般形式，确定a 、b 、c 和ac 4b 2-的值，然后求解．但解字母系数方程时要注意：(1)哪个字母代表未知数，也就是关于哪个未知数的方程；(2)不要把一元二次方程一般形式中的a 、b 、c 与方程中字母系数的a 、b 、c 相混淆；(3)在ac 4b 2-开平方时，可能会出现两种情况，但根号前有正负号，已包括了这两种可能，因此，)n 2m ()n 2m (2+±=+±．例6 用配方法解方程x 73x 22=+．分析：解一元二次方程虽然一般不采用配方法来解，但配方法的方法本身重要，要记住．解：x 73x 22=+，023x 27x 2=+-， 0234747x 27x 22=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2，162547x 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-， ∴4547x ±=-． ∴21x 3x 21==，． 注意：用配方法解一元二次方程，要把二次项系数化为1，方程左边只有二次项，一次项，右边为常数项，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边就配成了一个二项式的完全平方．例7 不解方程，判别下列方程的根的情况：(1)04x 3x 22=-+；(2)y 249y 162=+；(3)0x 7)1x (52=-+． 分析：要判定上述方程的根的情况，只要看根的判别式ac 4b 2-=∆的值的符号就可以了．解：(1)∵a ＝2，b ＝3，c ＝－4， ∴041)4(243ac 4b 22>=-⨯⨯-=-．∴方程有两个不相等的实数根．(2)∵a ＝16，b ＝－24，c ＝9，∴09164)24(ac 4b 22=⨯⨯--=-． ∴方程有两个相等的实数解．(3)将方程化为一般形式0x 75x 52=-+，05x 7x 52=+-．∵a ＝4，b ＝－7，c ＝5，∴554)7(ac 4b 22⨯⨯--=-＝49－100＝－51<0．∴方程无实数解．注意：对有些方程要先将其整理成一般形式，再正确确定a 、b 、c 的符号．例8 已知方程06kx x 52=-+的一个根是2，求另一根及k 的值．分析：根据韦达定理a c x x ab x x 2121=⋅-=+，易得另一根和k 的值．再是根据方程解的意义可知x ＝2时方程成立，即把x ＝2代入原方程，先求出k 值，再求出方程的另一根．但方法不如第一种．解：设另一根为2x ，则56x 25k x 222-=⋅-=+，， ∴53x 2-=，k ＝－7． 即方程的另一根为53-，k 的值为－7．注意：一元二次方程的两根之和为a b -，两根之积为a c ．例9 利用根与系数的关系，求一元二次方程01x 3x 22=-+两根的(1)平方和；(2)倒数和．分析：已知21x x 23x x 2121-=⋅-=+，．要求(1)2221x x +，(2)21x 1x 1+， 关键是把2221x x +、21x 1x 1+转化为含有2121x x x x ⋅+、的式子． 因为两数和的平方，等于两数的平方和加上这两数积的2倍，即ab 2b a )b a (222++=+，所以ab 2)b a (b a 222-+=+，由此可求出(1)．同样，可用两数和与积表示两数的倒数和．解：(1)∵21x x 23x x 2121-=⋅-=+，， ∴212212221x x 2)x x (x x -+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=212232149+=413=； (2)211221x x x x x 1x 1+=+2123--= ＝3．注意：利用两根的和与积可求两根的平方和、倒数和，其关键是把平方和、倒数和变成两根的和与积，其变形的方法主要运用乘法公式．例10 已知方程0m x 4x 22=++的两根平方和是34，求m 的值．分析：已知34x x 2m x x 2x x 22212121=+=⋅-=+，，，求m 就要在上面三个式子中设法用222121x x x x ++和来表示21x x ，m 便可求出． 解：设方程的两根为21x x 、，则2mx x 2x x 2121=⋅-=+，．∵212212221x x 2)x x (x x -+=+， ∴)x x ()x x (x x 2222122121+-+= 34)2(2--=＝－30． ∵2m x x 21=， ∴m ＝－30．注意：解此题的关键是把式子2221x x +变成含2121x x x x 、+的式子，从而求得m 的值．例11 求一个一元二次方程，使它的两个根是2、10．分析：因为任何一元二次方程都可化为(二次项系数为1)0q px x 2=++的形式．如设其根为21x x 、，根据根与系数的关系，得q x x p x x 2121=⋅-=+，．将p 、q 的值代入方程0q px x 2=++中，即得所求方程0x x x )x x (x 21212=⋅++-．解：设所求的方程为0q px x 2=++．∵2＋10＝－p ，2×10＝q ，∴p ＝－12，q ＝20．∴所求的方程为020x 12x 2=+-．注意：以21x x 、为根的一元二次方程不止一个，但一般只写出比较简单的一个．例12 已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数．分析：把这两个数看作某个二次项系数为1的一元二次方程的两个根，则这个方程的一次项系数就应该是－8，常数项应该是9，有了这个方程，再求出它的根，即是这两个数．解：设这两个数为21x x 、，以这两个数为根的一元二次方程为0q px x 2=++．∵q x x p 8x x 2121=⋅-==+，，∴方程为09x 8x 2=+-． 解这个方程得74x 74x 21-=+=，， ∴这两个数为7474-+和．例13 如图22-2-1，在长为32m ，宽为20m 的长方形地面上，修筑两条同样宽而且互相垂直的道路，余下的部分作为绿化用草地，要使草地的面积为2m 540，那么道路的宽度应是多少？分析：设道路的宽度为x m ，则两条道路的面积和为2x x 20x 32-+．题中的等量关系为：草地面积＋道路面积＝长方形面积．解：设道路的宽度为x m ，则2032x x 20x 325402⨯=-++．0100x 52x 2=+-， (x －2)(x －50)＝0，x －2＝0，x －50＝0，∴50x 2x 21==，．∵x ＝50不合题意，∴取x ＝2．答：道路的宽度为2m ．注意：两条道路重合了一部分，重合的面积为2x ．因此计算两条道路的面积和时应减去重合面积2x ．例14 某钢铁厂去年1月份钢的产量为5000吨，3月份上升到7200吨，求这两个月平均每月增长的百分率是多少？分析：设平均每月增长的百分率为x ，则增长一次后的产量为5000(1＋x)，增长两次后的产量是2)x 1(5000+，…．增长n 次后的产量b 是n )x 1(5000b +=．这就是重要的增长率公式．解：设平均每月增长的百分率为x ．则7200)x 1(50002=+，2536)x 1(2=+， 56x 1±=+，∴22x 20x 21.，.-==(不合题意，舍去)．答：平均每月增长的百分率是20%．注意：解方程时，由1＋x 的值求x ，并舍去负值．【中考考点】一元二次方程是初中代数的重要内容，因此，它是历年来各地中考的必考内容．可单独命题，也常与函数、四边形、圆等知识点综合在一起考查．例15 (2003·济南市)已知方程组⎩⎨⎧=+=++-②①01y -x 022a y x 的两个解为⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==2211y y x x y y x x 和，且21x x 、是两个不相等的实数，若11a 6a 8x x 3x x 2212221--=-+，(1)求a 的值；(2)不解方程组判断方程组的两个解能否都为正数，为什么？分析：21x x 、是方程组中x 的两个解，故应首先消去y ，得到关于x 的方程．再根据根的判别式及根与系数的关系可得解．解：(1)由②得y ＝x ＋1，代入①整理，得01a x x 2=++-．∵方程有两个不相等的实数根，∴0)1a (4)1(2>+--=∆， 43a -<．又∵1a x x 1x x 2121+=⋅=+，，代入11a 6a 8x x 3x x 2212221--=-+，得11a 6a 8x x 5)x x (221221--=-+．整理，得07a a 82=--． 解得87a 1a 21-==，． 而43a -<，∴87a -=．(2)∵0811a x x 01x x 2121>=+=⋅>=+，， ∴0x 0x 21>>，．且01x y 01x y 2211>+=>+=，，∴存在方程组的两个解都是正数．注意：数学的转化思想，本题就是将方程组的问题转化为一元二次方程的问题．例16 (2003·深圳)已知一元二次方程06x 3x 22=--有两个实数根21x x 、，直线l 经过点A(21x x +，0)，B(0，21x x )，则直线l 的解析式为( )A ．y ＝2x －3B ．y ＝2x ＋3C ．y ＝－2x ＋3D ．y ＝－2x －3分析：本题重点考查一元二次方程根与系数的关系以及用待定系数法求直线的解析式，先求21x x +与21x x ⋅的值，再求直线解析式．解：∵3x x 23x x 2121-=⋅=+，， ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛0 23A ，，B(0，－3)． 将A 、B 代入y ＝kx ＋b 中，得⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=b 03b k 230，∴⎩⎨⎧-==3b 2k ．∴直线l 的解析式为y ＝2x －3．故选A ．【常见错误分析】例17 已知关于x 的方程0m x )1m 2(mx 2=++-有两个实数根，则m 的取值范围是__________．错解：要使方程有两个实数根△≥0，∴0m m 4)]1m 2([2≥⋅-+-， 4m ＋1≥0，41m -≥．∴m 的取值范围是41m -≥．误区分析：要保证方程为一元二次方程，即要考虑二次项系数m ≠0，而上述解法只考虑△≥0，而忽视了m ≠0．正解：要使方程有两个实数根，需满足⎩⎨⎧≥∆≠00m ，∴0m m 4)]1m 2([2≥⋅-+-=∆，4m ＋1≥0， 41m -≥．∴m 的取值范围是41m -≥，且m ≠0．例18 如果方程0q px x 2=+-的两个根和2和－3，求p ，q ．错解：根据根与系数的关系2＋(－3)＝－p ，2×(－3)＝q ，故p ＝1，q ＝－6．误区分析：若方程0c bx x 2=++的两根为21x x ，，根据根与系数的关系b x x 21-=+，而题中2＋(－3)应为－(－p)，因题中的b 为－p ，－b 就为－(－p)．错解原因是将两根之和等于b 了．正解：根据根与系数的关系2＋(－3)＝－(－p)，2×(－3)＝q ，∴p ＝－1，q ＝－6．【学习方法指导】本节知识是初中数学的重要内容，也是以后进一步学习和研究函数及四边形、圆的基础，要熟练掌握好．要重视一元二次方程四种解法的探索过程．其中的配方法虽然在解方程中很少直接用，但配方、比较、转化等思想方法，及其所渗透的思维多向性都有助于我们思维能力的培养，不能因为解方程很少用而忽视它．【规律总结】1．一元二次方程的解法(1)直接开平方法：根据平方根的意义，用此法可解出形如a x 2=(a ≥0)，b )a x (2=-(b ≥0)类的一元二次方程．a x 2=，则a x ±=；b )a x (2=-，b a x ±=-，b a x +=．对有些一元二次方程，本身不是上述两种形式，但可以化为a x 2=或b )a x (2=-的形式，也可以用此法解．(2)因式分解法：当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式的积时，就可用此法来解．要清楚使乘积ab ＝0的条件是a ＝0或b ＝0，使方程x(x －3)＝0的条件是x ＝0或x －3＝0．x 的两个值都可以使方程成立，所以方程x(x －3)＝0有两个根，而不是一个根．(3)配方法：任何一个形如bx x 2+的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来解的方程．如解07x 6x 2=++时，可把方程化为7x 6x 2-=+，22226726x 6x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++，即2)3x (2=+，从而得解． 注意：(1)“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是1．(2)解一元二次方程时，一般不用此法，掌握这种配方法是重点．(3)公式法：一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的根是由方程的系数a 、b 、c 确定的．在0ac 4b 2≥-的前提下，a 2ac 4b b x 2-±-=．用公式法解一元二次方程的一般步骤：①先把方程化为一般形式，即0c bx ax 2=++(a ≠0)的形式；②正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值(要注意它们的符号)；③计算0ac 4b 2<-时，方程没有实数根，就不必解了(因负数开平方无意义)；④将a 、b 、c 的值代入求根公式，求出方程的两个根． 说明：象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程，而公式法则是最普遍，最适用的方法．解题时要根据方程的特征灵活选用方法．2．一元二次方程根的判别式一元二次方程的根有三种情况：①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数根．而根的情况，由ac 4b 2-的值来确定．因此ac4b 2-=∆叫做一元二次方程0c bx ax 2=++的根的判别式．△>0⇔方程有两个不相等的实数根．△＝0⇔方程有两个相等的实数根．△<0⇔方程没有实数根．判别式的应用(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参数系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．3．韦达定理及其应用定理：如果方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的两个根是21x x ，，那么a c x x a b x x 2121=⋅-=+，．当a ＝1时，c x x b x x 2121=⋅-=+，．应用：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程；(4)已知两数和与积求两数．4．一元二次方程的应用(1)面积问题；(2)数字问题；(3)平均增长率问题．步骤：①分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系(包括隐含的)；②设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；③找出相等关系，并用它列出方程；④解方程求出题中未知数的值；⑤检验所求的答数是否符合题意，并做答．这里关键性的步骤是②和③．注意：列一元二次方程应用题是一元一次方程解应用题的拓展，解题的方法是相同的，但因一元二次方程有两解，要检验方程的解是否符合题意及实际问题的意义．【同步达纲练习】一、填空题1．方程3)5x (2=+的解是_____________．2．已知方程02x 7ax 2=-+的一个根是－2，那么a 的值是_____________，方程的另一根是_____________．3．如果5x 2x 41x 222--+与互为相反数，则x 的值为_____________．4．已知5和2分别是方程0n mx x 2=++的两个根，则mn 的值是_____________．5．方程02x 3x 42=+-的根的判别式△＝_____________，它的根的情况是_____________．6．已知方程01mx x 22=++的判别式的值是16，则m ＝_____________． 7．方程01k x )6k (x 92=+++-有两个相等的实数根，则k ＝_____________．8．如果关于x 的方程0c x 5x 2=++没有实数根，则c 的取值范围是_____________．9．长方形的长比宽多2cm ，面积为2cm 48，则它的周长是_____________．10．某小商店今年一月营业额为5000元，三月份上升到7200元，平均每月增长的百分率为_____________．二、选择题11．方程0x x 2=+的解是( )A ．x ＝±1B ．x ＝0C ．1x 0x 21-==，D ．x ＝1 12．关于x 的一元二次方程01x 6kx 2=+-有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．k>9B ．k<9C ．k ≤9，且k ≠0D ．k<9，且k ≠013．把方程084x 8x 2=--化成n )m x (2=+的形式得( )A ．100)4x (2=-B ．100)16x (2=-C ．84)4x (2=-D ．84)16x (2=-14．用下列哪种方法解方程4x 2)2x (32-=-比较简便( )A ．直接开平方法B ．配方法C ．公式法D ．因式分解法15．已知方程(x ＋y)(1－x －y)＋6＝0，那么x ＋y 的值是( )A ．2B ．3C ．－2或3D ．－3或216．下列关于x 的方程中，没有实数根的是( )A ．02x 4x 32=-+B ．x 65x 22=+C ．02x 62x 32=+-D ．01mx x 22=-+17．已知方程0q px x 22=++的两根之和为4，两根之积为－3，则p 和q 的值为( )A ．p ＝8，q ＝－6B ．p ＝－4，q ＝－3C ．p ＝－3，q ＝4D ．p ＝－8，q ＝－618．若53+-是方程04kx x 2=++的一个根，则另一根和k 的值为( )A ．53x --=，k ＝－6B ．53x --=，k ＝6C ．53x +=，k ＝－6D ．53x -=，k ＝619．两根均为负数的一元二次方程是( )A ．05x 12x 72=+-B ．05x 13x 62=--C ．05x 21x 42=++D ．08x 15x 22=-+20．以3和－2为根的一元二次方程是( )A ．06x x 2=-+B ．06x x 2=++C ．06x x 2=--D ． 06x x 2=+-三、解答题21．用适当的方法解关于x 的方程(1)12)1x 2(4)1x 2(2=---；(2)6)1x ()3x 2(22=--+；(3)x 4)3x )(3x (=+-；(4)027)1x 4(2=--．22．已知7x y 3x 2x y 221+=--=，，当x 为何值时，0y y 221=+？23．已知方程0b ax x 2=++的一个解是2，余下的解是正数，而且也是方程52x 3)4x (2+=+的解，求a 和b 的值．24．试说明不论k 为任何实数，关于x 的方程3k )3x )(1x (2-=+-一定有两个不相等实数根．25．若方程01x )3m 2(x m 22=+--的两个实数根的倒数和是S ，求S 的取值范围．26．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，斜边长为5，两直角边的长分别是关于x 的方程0)1m (4x )1m 2(x 2=-+--的两个根，求m 的值．27．某商场今年一月份销售额100万元，二月份销售额下降10%，进入3月份该商场采取措施，改革营销策略，使日销售额大幅上升，四月份的销售额达到万元，求三、四月份平均每月销售额增长的百分率．28．若关于x 的方程0m 3x )5m (x 22=---的两个根21x x 、满足43x x 21=，求m 的值．参考答案【同步达纲练习】一、1．35x 35x 21--=+-=，2．4，413．1或32- 4．－705．－23，无实数根6．62m ±=7．0或248．425c >9．28cm10．20%二、11．C 12．D 13．A 14．D 15．C 16．B 17．D 18．B 19．C20．C三、21．(1)用因式分解法21x 27x 21-==，； (2)先整理后用公式法3437x 3437x 21--=+-=，；(3)先整理后用公式法72x 72x 21-=+=，；(4)用直接开平方法4133x 4133x 21+-=+=，．22．x ＝1或21．23．a ＝－6，b ＝8．24．解：3k )3x )(1x (2-=+-，整理得0k x 2x 22=-+． ∵0k 44k 42222>+=+=∆，∴不论k 为任何实数，方程一定有两个不相等实数根．25．23S -≤，且S ≠－3． 26．m ＝4．27．解：设增长的百分率为x ，则6129)x 1%)(101(1002.=+-⨯． 22x 20x 21.，.-==(不合题意舍去)．∴增长的百分率为20%．28．解：提示：解⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=⋅-=+43x x m3x x 5m x x 2122121，解得m ＝10，或310m =．。
一元二次方程的解法教学设计 人教版〔优秀篇〕
一元二次方程及其解法《一元二次方程的解法》教案清江中学钱旭东【教学目标】1.知识与技能：能用直接开平方等方法解简单的一元二次方程.2.过程与方法：经历一元二次方程解法的探究和发现过程，体会转化的思想方法.3.情感态度与价值观：通过对一元二次方程解法由易到难、由简单到复杂的探究，初步养成对知识的探索精神和严谨的治学态度.【重点难点】一元二次方程解法的理解和运用.【教学模式】结合本节课的教学内容和学生的认知情况，采用“问题解决”的教学模式.【辅助手段】教具准备：多媒体课件.【教学过程】一、提出问题有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框多3尺，竖着比门框多1尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿杆，这个醉汉一试，不多不少正好进去了。
你能知道竹竿有多长吗？（学生思考）师：数学来源于生活，生活中也处处有数学。
在上面的问题中，如果我们用数学的眼光来看，门可以看成我们熟悉的什么图形？生：矩形.师：那么，醉汉三次摆放的竹竿中存在什么图形？生：直角三角形.师：我们可以把生活问题数学化，将上述醉汉进门的问题转化为我们熟悉的数学问题.师：这是我们熟悉的问题，如果我们设竹竿长为x尺，你能得到相应的数量关系吗？请尝试一下.学生独立完成.师：我们请一位同学说一下他的成果.师：这个结果对不对，这是一元二次方程吗？生：对！是一元二次方程.师：能整理成一般形式吗？试一试.学生很快完成，得到结果x2-8x+10=0.设计说明：以一个古代笑话“醉汉进门”的问题作为本节课的问题情境，生活气息浓厚，趣味性强，学生容易产生兴趣，能够很快进入状态，为后面的学习做好心理上的准备.该情境问题，简单易懂，起点低，且和本课所学内容密切相关，不同学生都可以进行探索，有所收获.师生一起对问题进行探究，将生活问题数学化，进而列出方程，为后面的深入探究打下很好的基础.二、探究新知探索一：从简单开始师：要求出醉汉的竹竿长度，我们必须要求出x2-8x+10=0的解，这是解决前面问题时出现的新问题.师：如果解方程x2-8x+10=0感觉很难的话，我们可以退一步，先从最简单的情况入手.谁能写出一个最简单的一元二次方程？生2：x2=0.师：真是够简单的！大家会解这个方程吗？生：会! x=0.师：很好，我们就从这样的方程开始！请解决下面问题.探索一：A组解下列方程（1）x2=3（2） x2=16（3）2x2=22（4） 0.5x2=-1B组解下列方程（1）(x+1)2=2（2） (x-3)2=8（3）5(2x+3)2=10学生都能很快解决，信心十足.师：这是我们自己发现的解法，给它起个名字吧！生：直接开平方法！发现解法：直接开平方法设计说明：面对探究过程中的出现的新问题，教师可以引导学生退回到最简单的情形去解决，渗透了从简单到复杂，由易到难的解决问题的思想方法.学生在解决简单的一元二次方程前，就已经具备了平方根、开平方等知识，这些知识储备为学生发现直接开平方法提供了可能.教师在教学中要充分运用学生已有的知识经验，为课堂教学服务，从而提高课堂教学效果！探索二：向目标迈进师：我们已经解决了（x+h）2=k这类方程，但是它离我们所要解决的目标x2-8x+10=0还有很大的距离.前面解决的一元二次方程太特殊了，怎么办？生：再复杂一点.师：对，为了离目标近一些，我们把研究的方程再复杂点，从简单的角度看，我们先研究x2-8x=0（常数项为0）呢？还是先研究x2+10=0（一次项为0）呢？生：先研究x2+10=0.师：我们会解方程x2+10=0吗？学生思考，很快有人举手.生3：这个方程无解.师：很好！请看下面问题.探索二：A组解下列方程（1）x2-7=0（2）y2-25=0（3）3t2-45=0学生观察后都能发现，上面三个方程都可以使用直接开平方法解决.师：这类方程大家很快就解决了，它可以转化为我们前面已经解决的类型.现在我们继续探索方程x2-8x=0（常数项为0）的解法.学生思考，过了一会儿，有人发言.生4：方程x2-8x=0可以化为x（x-8）=0，所以解为x1=0，x2=8.师：精彩！类似的，请大家解决下面问题.B组解下列方程（1）x2-x=0（2） y2+5y=0（3）2x2-6x=0（4）x2=3x多数学生很快解决，信心更足.师：这是我们探索过程中发现的有一个解法，也给它起个名字吧！生：提公因式法！师：因为提公因式是因式分解的一种方法，所以我们也可以称这种方法为因式分解法.发现解法：因式分解法设计说明：从简单问题入手，但解决简单问题是为了解决后面的复杂问题，教师通过对一元二次方程的逐步复杂化，让学生的探索逐步深入.虽然方程越来越复杂，但师生一起解决问题的目标没有变，学生的兴趣和信心没有变。
一元二次方程解法教案
一元二次方程解法教案教案标题：一元二次方程解法教案教案目标：1. 学生能够理解一元二次方程的概念和特点。
2. 学生能够掌握一元二次方程的解法。
3. 学生能够应用一元二次方程解决实际问题。
教案步骤：引入（5分钟）：1. 引起学生对一元二次方程的兴趣，可以通过一个简单的问题或数学游戏开始，例如：小明的年龄是小红的2倍加上3，小红的年龄是x，那么如何用一个方程表示小明的年龄？2. 引导学生思考，提出一元二次方程的定义和特点，并与学生共同总结。
讲解（15分钟）：1. 介绍一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。
2. 解释一元二次方程的解法，包括因式分解法、配方法和求根公式法。
3. 逐一介绍每种解法的步骤和应用场景，并通过具体的例子进行讲解。
练习（20分钟）：1. 分发练习题，包括各种解法的练习题目，让学生独立完成。
2. 引导学生在解题过程中思考每种解法的适用条件和优缺点，以及如何选择最合适的解法。
3. 收集学生的解题思路和答案，进行讨论和解答疑惑。
拓展（10分钟）：1. 引导学生思考一元二次方程在实际问题中的应用，例如抛物线的建模、物体自由落体的运动等。
2. 提供一些实际问题，让学生尝试用一元二次方程解决，并进行讨论和分享解题思路。
总结（5分钟）：1. 总结一元二次方程的解法和应用。
2. 强调解题思路的重要性，培养学生的数学建模和问题解决能力。
3. 鼓励学生多做练习，加深对一元二次方程解法的理解和掌握。
教学资源：1. 小黑板/白板、粉笔/马克笔。
2. 练习题和答案。
3. 计算器（可选）。
评估方式：1. 教师观察学生在课堂上的参与和表现。
2. 练习题的完成情况和答案的正确性。
3. 学生对解题思路和应用的理解程度。
教案特色：1. 引入环节通过趣味性问题或数学游戏激发学生兴趣。
2. 采用多种解法，让学生全面了解一元二次方程的解法，并培养灵活运用的能力。
《一元二次方程的解法》word教案 (公开课获奖)苏教版 (0)
解一元二次方程-----配方法课堂小结(1).2x2-5x+2=0(2).-3x2+4x+1=012212=-+xx231322=++-yy432).5(2=-xx2.18.04.0).6(2=++-xx本节课主要学习了二次项系数不是1时的一元二次方程该怎么解。
作业布置课堂作业：P19习题1.2 3 课后作业：补充习题P4-5下节课预习内容：P14-16教学反思领导查阅意见9.1 单项式乘单项式力．教学重点：理解单项式相乘的法那么，会进行单项式的乘法运算．教学难点：能运用单项式乘以单项式的法那么解决实际问题．【情景创设】用6个边长为a 的小正方体拼成一个长方体，并用不同的方法表示你所拼出来的长方体的体积，从不同的表示方法中，你能发现些什么？〔1〕体积的表示方法；〔2〕面对你的侧面积的表示方法． 探索新知让学生在交流的根底上思考以下问题：〔1〕体积的表示方法：①3a ·2a ·a ＝________________＝6a 3，②3a ·2a ·b ＝________________＝6a 2b ．侧面积的表示方法：3a ·2a ＝________________＝6a 2．〔2〕从不同的表示中你发现了什么？〔3〕通过下面两个计算我们来进一步的探讨：〔2a 2b 〕〔3ab 2〕＝［2 ×3］•〔a 2•a 〕〔b •b 2〕＝6a 3b 3 系数相乘 相同字母 相同字母〔4ab 2〕〔5b 〕＝［4×5］•〔b 2• b 〕•a ＝20ab 3系数相乘 相同字母 只在一个单项式中出现的字母你能告诉大家你算出的结果吗？你是怎样来思考的呢？通过探索得到单项式乘单项式的计算法那么：〔1〕将它们的系数相乘；〔2〕相同字母的幂相乘；〔3〕只在一个单项式中出现的字母，那么连同它的指数一起作为积的一个因式．【展示交流】例 1 计算：① －13a 2·(－6ab )； ② 6x 2·(－2x 2y )． 注：教师强调格式标准，板书过程．〔通过计算引导学生发现单项式与单项式相乘时，一找系数，二找相同字母的幂，三找只在一个单项式里出现的字母．〕练习1：判断正误：〔1〕3x 3·(－2x 2)＝5x 3； 〔2〕3a 2·4a 2＝12a 2； 〔3〕3b 3·8b 3＝24b 9；〔4〕－3x ·2xy ＝6x 2y ； 〔5〕3ab ＋3ab ＝9a 2b 2．练习2：课本练一练 第1、2题．例 2 计算：〔1〕(2x )3·(－3xy 2)； 〔2〕(－2a 2b )·(－a 2)·14bc ． 注：遇到乘方形式先用积的乘方公式展开，然后转化为单项式乘以单项式的形式，再根据今天所学内容计算．练习3：计算：〔1〕(a 2)2·(－2ab ) ；〔2〕－8a 2b ·(－a 3b 2) ·14b 2 ； 〔3〕(－5a n ＋1b ) ·(－2a )2；〔4〕[－2(x －y )2]2·(y －x )3．【盘点收获】【课后作业】补充习题和同步练习。
一元二次方程教案(教案)一元二次方程的解法
一元二次方程教案(教案)一元二次方程的解法第1篇第2篇第3篇第4篇第5篇更多顶部第一篇：配方法解一元二次方程的教案第二篇：一元二次方程复习教案(正式)第三篇：4.2.3一元二次方程的解法(教案)第四篇：教案一元二次方程的应用第五篇：一元二次方程根的分布教案更多相关范文第一篇：配方法解一元二次方程的教案配方法解一元二次方程的教案教学内容：本节内容是：人教版义务教育课程标准实验教科书数学九年级上册第22章第2节第1课时。
一、教学目标（一）知识目标1、理解求解一元二次方程的实质。
2、掌握解一元二次方程的配方法。
（二）能力目标1、体会数学的转化思想。
2、能根据配方法解一元二次方程的一般步骤解一元二次方程。
（三）情感态度及价值观通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们学习数学的兴趣。
二、教学重点配方法解一元二次方程的一般步骤三、教学难点具体用配方法的一般步骤解一元二次方程。
四、知识考点运用配方法解一元二次方程。
五、教学过程（一）复习引入1、复习：解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。
2、引入：二次根式的意义：若x2=a(a为非负数），则x叫做a的平方根，即x=±√a。
实际上，x2 =a（a为非负数)就是关于x的一元二次方程，求x的平方根就是解一元二次方程。
（二）新课探究通过实际问题的解答，引出我们所要学习的知识点。
通过问题吸引学生的注意力，引发学生思考。
问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2李林用这桶油漆刚好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？问题1重在引出用直接开平方法解一元二次方程。
这一问题学生可通过“平方根的意义”的讲解过程具体的解答出来，具体解题步骤：2解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6xdm2列出方程：60x2=1500x2=25x=±5因为x为棱长不能为负值，所以x=5即：正方体的棱长为5dm。
一元二次方程的解法教学设计优秀2篇
一元二次方程的解法教学设计优秀2篇《一元二次方程》教案篇一教学目的1.了解整式方程和一元二次方程的概念；2.知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。
3.通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。
教学难点和难点：重点：1．一元二次方程的有关概念2．会把一元二次方程化成一般形式难点：一元二次方程的含义。
教学过程设计一、引入新课引例：剪一块面积是150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm、这块铁片应该怎样剪？分析：1.要解决这个问题，就要求出铁片的长和宽。
2.这个问题用什么数学方法解决？(间接计算即列方程解应用题。
3．让学生自己列出方程(x（x十5）＝150)深入引导：方程x(x十5)＝150有人会解吗？你能叫出这个方程的名字吗？二、新课1．从上面的引例我们有这样一个感觉：在解决日常生活的计算问题中确需列方程解应用题，但有些方程我们解不了，但必须想办法解出来。
事实上初中代数研究的主要对象是方程。
这部分内容从初一一直贯穿到初三。
到目前为止我们对方程研究的还很不够，从今天起我们就开始研究这样一类方程--------一元一二次方程(板书课题)2．什么是—元二次方程呢？现在我们来观察上面这个方程：它的左右两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程，就这一点来说它与一元一次方程没有什么区别、也就是说一元二次方程首先必须是一个整式方程，但是一个整式方程未必就是一个一元二次方程、这还取决于未知数的。
最高次数是几。
如果方程未知数的最高次数是2、这样的整式方程叫做一元二次方程．(板书一元二次方程的定义)3．强化一元二次方程的概念下列方程都是整式方程吗？其中哪些是一元一次方程？哪些是一元二次方程？(1)3x十2＝5x—3：(2)x2＝4(2)(x十3)(3x·4)＝(x十2)2；(4)(x—1)(x—2)＝x2十8从以上4例让学生明白判断一个方程是否是一元二次方程不能只看表面、而是能化简必须先化简、然后再查看这个方程未知数的最高次数是否是2.4.一元二次方程概念的延伸提问：一元二次方程很多吗？你有办法一下写出所有的一元二次方程吗？引导学生回顾一元二次方程的定义，分析一元二次方程项的情况，启发学生运用字母，找到一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)1）．提问a＝0时方程还是一无二次方程吗？为什么？(如果a＝0、b≠就成了一元一次方程了)。
一元二次方程的解法(公式法)教案
一元二次方程的解法（公式法）一、教学目标：1.理解一元二次方程求根公式的推导过程；2.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程；3.经历探索求根公式的过程，发展学生合情合理的推理能力；4.通过运用公式法解一元二次方程，提高学生的运算能力，并让学生在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的自信心。
二、教学重难点：1、重点：求根公式的推导和公式法的应用2、难点：一元二次方程求根公式的推导三、教学过程（一） 创设情境，导入新课：前面我们己学习了用配方法解一元二次方程，想不想再探索一种比配方法更简单，更直接的方法？ 大家一定想，那么这节课我们一同来研究。
下面我们先用配方法解下列一元二次方程1．01422=--x x 2.x x 35.12-=+完成后小组内进行交流，并进行反馈矫正。
引导学生总结用配方法解一元二次方程的步骤教师板书：（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为()n m x =+2的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．问题：通过以上四个方程的求解，你能试着猜想一下上述问题的求解的一般规律吗？学生独立思考（二）新知探索作进一步引导，如果每一个一元二次方程都通过配方法解，那么计算就较繁杂，针对于一般的一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ） 能否也用配方法导出一般求解模式呢？动手试一试。
学生动手亲自解方程02=++c bx ax （0≠a ） 找一名同学板演。
现在我们大家共同观察黑板上的探索过程02=++c bx ax （0≠a ）c bx ax -=+2移项ac x a b x -=+2 将二次项的系数化为1 22222⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++a b a c a b x a b x 即 222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 配方 a ac b a b x 2422-±=+ 开平方运算思考：有条件限制吗？当04422≥-aac b 时,才可以开平方 问题1：在什么2244b aca -才能大于或等于0？学生（思考、回答）因为0≠a 所以042>a ，如果使 04422≥-a ac b ，那么只有 042≥-ac b问题2:如果 042<-ac b 时，可以进行开平方运算吗？不可以，因为负数没有平方根那么我们来总结一下，在用配方法解02=++c bx ax （0≠a ）时，需注意什么？归纳总结：对于02=++c bx ax （0≠a ），当042≥-ac b 时，在这里我们把称 为一元二次方程的求根公式，用公式可以直接解一元二次方程。
一元二次方程的解法公式法教案
第五课：一元二次方程的解法（4）教学目的：1、把握一元二次方程求根公式的推导进程；2、熟练把握用公式法解一元二次方程；重点：一元二次方程求根公式解法；难点：用配方式推导求根公式。
教学进程：一、温习：用配方式解方程：1）0542=+-x x 2）05422=--x x二、新课：1、探讨：用配方式来解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0).解：因为a ≠0，方程两边都除以a ，得移项配方2、一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0的求根公式：)(042422≥--±-=ac b aac b b x 3、用公式法解一元二次方程的一样步骤是：（1） 一化：将方程化为一元二次方程的一样形式；（2） 二定：确信ac b c b a 42-的值及,,的值；（3） 三代：代入求根公式；（4） 四写：写出原方程的解。
4、例题：用公式法解以下方程:(1) x 2＋4x ＝2； (2) 2 x 2＋x －6＝0；解：移项，得：=a ，=b ，=c=-ac b 42 ∴=-±-=aac b b x 242 ∴原方程的解是=1x ，=2x(3)5x 2－4x －12＝0； (4)4x 2＋4x ＋10＝1－8x.5、巩固练习：应用求根公式解方程：(1) x 2－6x ＋1＝0； (2)2x 2－x ＝6；(3)4x 2－3x －1＝x －2； (4)3x (x －3) ＝2(x －1) (x ＋1).（5）0132=++x x （6）x x x 2222=+6、依照一元二次方程求根公式的推导进程，说明代数式ac b 42-与方程根的情形关系。
ac b 42-＞0，方程有 实数根；ac b 42-=0，方程有 实数根；ac b 42-＜0，方程 实数根；三、堂上练习：1、用公式法解以下方程：（1）0232=-+x x（2）0762=+-x x（3）08692=-+x x（4）y y 4010202...=-（5）121=+)(x x（6）22322x x x =-+)(（7）24422=-x x（8）是常数）、b a a b ax x (2222-=-2、不解方程，判别以下方程的根的情形；（1）04322=-+x x ； （2）y y 249162=+解：∵ac b 42-=∴（3）07152=-+x x )( （4）026232=+-t t3、链接中考；1、（99）以下方程中，无实数根的方程是（ ）A ）012=+xB ）02=+x xC ）012=-+x xD ）02=-x x2、（03）关于x 的一元二次方程012=-+-)(a a x x 有两个不相等的正根。
《一元二次方程的解法(配方法)》教学设计
《一元二次方程的解法（配方法）》教学设计一、素质教育目标（一）知识教学点：1．正确理解并会运用配方法将形如x2＋px＋q＝0方程变形为（x＋m）2＝n（n≥0）类型．2．会用配方法解形如ax2＋bx＋c=0（a≠0）中的数字系数的一元二次方程．3．了解新、旧知识的内在联系及彼此的作用．（二）能力训练点：培养学生准确、快速的计算能力，严谨的逻辑推理能力以及观察、比较、分析问题的能力．（三）德育渗透点：通过本节课，继续体会由未知向已知转化的思想方法，渗透配方法是解决某些代数问题的一个很重要的方法．二、教学重点、难点和疑点1．教学重点：用配方法解一元二次方程．2．教学难点：正确理解把x2＋ax型的代数式配成完全平方式——将代数式x2＋ax加上一次项系数一半的平方转化成完全平方式．3．教学疑点：配方法可以解决许多代数问题，例如：因式分解，将一个代数式配成完全平方式等等，本节课传授的是用配方法解一元二次方程．三、教学步骤（一）明确目标学习了直接开平方法解一元二次方程，对形如（ax＋b）2＝c（a，b，c为常数，a≠0，c≥0）的一元二次方程便会求解．如果给出一元二次方程x2＋2x＝3，那么怎样求解呢？这就是我们本节课所要研究的问题．将x2＋2x＝3转化为（ax ＋b）2＝c型是我们本节课一个重要的突破点，攻克此难关，方程的求解问题便迎刃而解了．（二）整体感知本节课在直接开平方法的基础上引进了配方法，实现由未知向已知的转化．直接开平方法在本节课中起到了一个承上启下的作用．它为配方法的引入做了很好的铺垫．如果说平方根的概念为一元二次方程解法的引进立下了汗马功劳，那么可以说直接开平方法为其他方法的引进作了坚实的铺垫．配方法是初中代数中解决某些代数问题的一个常用方法，方法的实质是将代数式x2＋ax配成一个完全平方式，它的理论依据是完全平方公式a2±2ab＋b2＝（a±b）2．（三）重点、难点的学习及目标完成过程1．复习提问（1）完全平方公式a2±2ab＋b2＝（a±b）2．（2）填空：1）x2-2x+（）＝[x＋（）]22）x2＋6x＋（）＝[x-（）]22．引例：将方程x2-2x-3=0化为（x-m）2=n的形式，指出m，n分别是多少？解：移项，得x2－2x＝3．配方，得x2-2x＋12＝3＋12．∴（x-1）2＝4．∴m＝-1，n＝4．对于x2+ax型的代数式，只需再加上一次项系数一半的平方即可完成上述转化工作．练习：把下列方程化为（x＋m）2＝n的形式上述练习，深化配方的过程，为配方法的引入作铺垫．3．例1解方程x2－4x－2＝0．解：移项，得x2－4x＝2……第一步配方，得x2－4x＋（-2）2＝2＋（-2）2……第二步∴（x－2）2＝6．教师引导、板演，学生回答．分析解方程的步骤，第一步是移项，将含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到方程的另一边．第二步是配方，方程的两边同时加上二次项系数一半的平方，进行这一步的理论依据是等式的基本性质和完全平方公式a2±2ab＋b2＝（a±b）2，第三步是用直接开平方法求解．此时，向学生点明：这种解一元二次方程的方法称为配方法．学生练习、板演、评价，深刻体会配方法的步骤，通过配方，方程进行了形式上的转化，并且体会为什么先学直接开平方法，它是配方法的基础，要注意体会推理的严谨性、步骤的完整性，刚开始配方的过程要细，不要跳步，避免出错．例2解方程：2x2＋3＝5x．解：移项，得：2x2-5x＋3＝0，例2中方程的特点和例1不同的是，例2的二次项系数不是1．因此要想配方，必须化二次项系数为1．对一元二次方程ax2＋bx＋c＝0用配方法求解的步骤是：第一步：化二次项系数为1；第二步：移项；第三步：配方；第四步：用直接开平方法求解．练习：1．P．12中2（3）（4）．2．解方程（1）6x－x2＝63（2）9x2－6x＋1＝0．学生练习板演，师生共同评价．对于练习2（2）解方程9x2＋6x＋1＝0．解法（二）原方程可整理为（3x－1）2＝0．∴3x－1＝0．比较上面两种方法，让学生体会方法（一）是通法，有时用起来麻烦．方法（二）是据方程的特点所采用的特殊的方法，较方法（一）简捷，明快．可告诫学生学习不要机械死板，在熟练掌握通法的基础上，据方程的结构特点灵活地选择简单的方法，培养学生灵活运用的能力．通过以上练习，让学生能悟出配方法可以解任意结构特点的一元二次方程，它是解一元二次方程的通法．（四）总结、扩展引导学生从所学知识、方法上进行小结．1．本节课学习用配方法解一元二次方程，其步骤如下：（1）化二次项系数为1．（2）移项，使方程左边为二次项，一次项，右边为常数项．（3）配方．依据等式的基本性质和完全平方公式，在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方．（4）用直接开平方法求解．配方法的关键步骤是配方．配方法是解一元二次方程的通法．2．配方法的理论依据是完全平方公式：a2±2ab＋b2＝（a±b）2，配方法以直接开平方法为基础．3．要学会通过观察、比较、分析去发现新旧知识的联系，以旧引新，学会化未知为已知的转化思想方法，增强学生的创新意识．四、布置作业教材P．17 A组中3、4．五、板书设计12．2一元二次方程的解法（二）1．配方法的理论依据例1解方程x2-4x-2＝0a2±2ab＋b2＝（a±b）2解：……2．配方法的步骤……（1）……例2解方程2x2-3＝5x （2）……解：……（3）…………（4）……练习1……练习2……六、作业参考答案教材P．17中3．（1）x1=-2，x2＝-4（2）x1＝-6，x2＝2（3）x1＝4，x2＝6（4）x1＝3，x2＝5（5）x1＝-11，x2＝9教材P．17中4．解：移项，得：x2+px=-q（1）当p2－4q≥0时（2）当p2－4q＜0时此方程无实数解．（负数无算术平方根）。
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《一元二次方程的解法》复习教案
教材分析：
一元二次方程的解法是九年级上册第21章的内容,本章的主要内容包括：一元二次方程及其有关概念,一元二次方程的解法（直接开方法、配方法、公式法、因式分解法）,运用一元二次方程分析和解决实际问题。
其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容。
是后续内容学习的基础和工具,本章是对一元一次方程知识的延续和深化,同时为二次函数的学习作好准备.学好这部分内容,对增强学生学习代数的信心具有十分重要的意义。
学情分析：学生已经学习了一元二次方程的概念、及直接开方法、配方法、求根公式法、因式分解法和一元二次方程的实际应用,需对这部分知识进行系统复习、综合练习、查缺补漏。
教学目标 :
知识技能目标：（1）掌握用直接开平方配方法一元二次方程的求根公式,能够运用求根公式解一元二次方程。
会用因式分解法解某些一元二次方程解法解一元二次方程,会用直接开平方法解方程。
能力目标：培养学生的观察猜想、归纳总结、分析问题、解决问题等能力。
情感态度：通过对一元二次方程解法的复习,使学生进一步理解“降次”的数学方法,进一步获得对事物可以转化的认识。
教学重点和难点
重点：一元二次方程的四种解法。
难点：选择恰当的方法解一元二次方程。
教法与学法
1．采用启发引导,讲练结合的授课方式,发挥教师主导作用,体现学生主体地位,学生获取知识必须通过学生自己一系列思维活动完成,启发诱导学生深入思考问题,有利于培养学生思维灵活、严谨、深刻等良好思维品质．
2. 注意培养应用意识,教学中应不失时机地使学生认识到数学源于实践并反作用于实践．
教具：ppt
教学过程
一、导入新课
问题（提问）：
1、你学过一元二次方程的哪些解法?
2、你能说出每一种解法的特点吗?
解一元二次方程的方法有：①因式分解法②直接开平方法③公式法④配方法。
其实,对于不同的题目,有不同的解决方法,通过本节课的复习,我们除了要会解方程,还要学会选择适合的方法来解题。
二、知识回顾
1、直接开方法：
形如x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p ≥0)
方程的左边是完全平方式,右边是非负数;即形如x2=a(a≥0)
2、配方法：
“配方法”解方程的基本步骤：
1.移项:把常数项移到方程的右边;
2.化1:把二次项系数化为1
3.配方:方程两边同加一次项系数一半的平方;
4.变形:化成(x+m)2=a
5.开平方,求解
★一移、二化、三配、四化、五解
3、公式法：
用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必须是一般形式的一元二次方程:
ax2+bx+c=0(a≠0).
2.b2-4ac≥0.
4、因式分解法：
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解,而右边等于零;
2.理论依据是:如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零。
3.因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
一移-----方程的右边等于0;
二分-----方程的左边因式分解
三化-----方程化为两个一元一次方程
四解-----写出方程两个解。
三、例题赏析
用最好的方法求解下列方程：
1)（3x-2）²-49=0
2)（3x-4）²=（4x-3）²
3) 4y=1－ y²
四、反馈练习
1、比一比
请用四种方法解下列方程:
(x＋1)2 = (2x－5)2
2、连一连解一解
公式法3（x-2)2=x(x-2）
直接开平方法 x２-４x=-10
配方法 2x2+5x-3=0
因式分解法（3x-2）²-49=0
3、议一议
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0
③ -3t2+t=0 ④ x2-4x=2
⑤ 2x2－x=0 ⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ x2+6x-1=0
⑨ (x-2)2=2(x-2)
适合运用直接开平方法；
适合运用因式分解法；
适合运用公式法；
适合运用配方法 . （学生活动：各组之间可以相互讨论。
学生不可能很圆满的把每个空填写完整,此时尽可能的让学生互相补充,相互修正,让学生自己来完成。
）
4、谈谈发现
①一般地,当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0）,应选用直接开平方法；若常数项为0（ ax2+bx=0）,应选用因式分解法；若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0）,先化为一般式,看一边的整式是否容易因式分解,若容易,宜选用因式分解法,不然选用公式法；不过当二次项系数是1,且一次项系数是偶数时,用配方法也较简单。
②公式法虽然是万能的,对任何一元二次方程都适用,但不一定是最简单的,因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法,若不行,再考虑公式法（适当也可考虑配方法）。
5、谁最快
选择适当的方法解下列方程:
五、课堂小结
通过学习,谈谈你本节课的收获。
六、作业布置
用适当的方法解下列方程：
1)4x2+12x+9=81；
2)2x2+3x=3；
3)1-8x+16 x2=2-8x；
4)x(2x-5) =4x-10.
七、板书设计：
教学反思
知识改变命运。