第五章 定积分

第五章 定积分教学目的：1、 理解定积分的概念。

2、 掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

3、 理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。

4、 了解广义积分的概念并会计算广义积分。

教学重点：1、定积分的性质及定积分中值定理2、定积分的换元积分法与分部积分法。

3、牛顿—莱布尼茨公式。

教学难点： 1、 定积分的概念 2、 积分中值定理 3、 定积分的换元积分法分部积分法。

4、 变上限函数的导数。

§5. 1 定积分概念与性质 一、定积分问题举例1. 曲边梯形的面积曲边梯形: 设函数y =f (x )在区间[a , b ]上非负、连续. 由直线x =a 、x =b 、y =0及曲线y =f (x )所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边. 求曲边梯形的面积的近似值:将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形, 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替, 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积, 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值. 具体方法是: 在区间[a , b ]中任意插入若干个分点a =x 0< x 1< x 2< ⋅ ⋅ ⋅< x n -1< x n =b ,把[a , b ]分成n 个小区间[x 0, x 1], [x 1, x 2], [x 2, x 3], ⋅ ⋅ ⋅ , [x n -1, x n ],它们的长度依次为∆x 1= x 1-x 0 , ∆x 2= x 2-x 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , ∆x n = x n -x n -1 .经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形. 在每个小区间[x i -1, x i ]上任取一点ξ i , 以[x i -1, x i ]为底、f (ξ i )为高的窄矩形近似替代第i 个窄曲边梯形(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ) , 把这样得到的n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值, 即 A ≈f (ξ 1)∆x 1+ f (ξ 2)∆x 2+⋅ ⋅ ⋅+ f (ξ n )∆x n ∑=∆=ni ii x f 1)(ξ.求曲边梯形的面积的精确值:显然, 分点越多、每个小曲边梯形越窄, 所求得的曲边梯形面积A 的近似值就越接近曲边梯形面积A 的精确值, 因此, 要求曲边梯形面积A 的精确值, 只需无限地增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零. 记λ=max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 于是, 上述增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零, 相当于令λ→0. 所以曲边梯形的面积为∑=→∆=ni ii x f A 10)(lim ξλ.2. 变速直线运动的路程设物体作直线运动, 已知速度v =v (t )是时间间隔[T 1, T 2]上t 的连续函数, 且v (t )≥0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S . 求近似路程:我们把时间间隔[T 1, T 2]分成n 个小的时间间隔∆t i , 在每个小的时间间隔∆t i 内, 物体运动看成是均速的, 其速度近似为物体在时间间隔∆t i 内某点ξ i 的速度v (τ i ), 物体在时间间隔∆t i 内 运动的距离近似为∆S i = v (τ i ) ∆t i . 把物体在每一小的时间间隔∆t i 内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T 1 , T 2]内所经过的路程S 的近似值. 具体做法是: 在时间间隔[T 1 , T 2]内任意插入若干个分点T 1=t 0< t 1< t 2<⋅ ⋅ ⋅< t n -1< t n =T 2,把[T 1 , T 2]分成n 个小段[t 0, t 1], [t 1, t 2], ⋅ ⋅ ⋅, [t n -1, t n ] ,各小段时间的长依次为∆t 1=t 1-t 0, ∆t 2=t 2-t 1,⋅ ⋅ ⋅, ∆t n =t n -t n -1.相应地, 在各段时间内物体经过的路程依次为∆S 1, ∆S 2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆S n .在时间间隔[t i -1, t i ]上任取一个时刻τ i (t i -1<τ i < t i ), 以τ i 时刻的速度v (τ i )来代替[t i -1, t i ]上各个时刻的速度, 得到部分路程∆S i 的近似值, 即∆S i = v (τ i ) ∆t i (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ).于是这n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值, 即∑=∆≈ni ii t v S 1)(τ;求精确值:记λ = max{∆t 1, ∆t 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆t n }, 当λ→0时, 取上述和式的极限, 即得变速直线运动的路程∑=→∆=ni ii t v S 10)(lim τλ.设函数y =f (x )在区间[a , b ]上非负、连续. 求直线x =a 、x =b 、y =0 及曲线y =f (x )所围成的曲边梯形的面积.(1)用分点a =x 0<x 1<x 2< ⋅ ⋅ ⋅<x n -1<x n =b 把区间[a , b ]分成n 个小区间: [x 0, x 1], [x 1, x 2], [x 2, x 3], ⋅ ⋅ ⋅ , [x n -1, x n ], 记∆x i =x i -x i -1 (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ). (2)任取ξ i ∈[x i -1, x i ], 以[x i -1, x i ]为底的小曲边梯形的面积可近似为i i x f ∆)(ξ(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ); 所求曲边梯形面积A 的近似值为∑=∆≈ni ii x f A 1)(ξ.(3)记λ=max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 所以曲边梯形面积的精确值为∑=→∆=ni ii x f A 10)(lim ξλ.设物体作直线运动, 已知速度v =v (t )是时间间隔[T 1, T 2]上t 的连续函数,且v (t )≥0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S .(1)用分点T 1=t 0<t 1<t 2<⋅ ⋅ ⋅<t n -1<t n =T 2把时间间隔[T 1 , T 2]分成n 个小时间 段: [t 0, t 1], [t 1, t 2], ⋅ ⋅ ⋅, [t n -1, t n ] , 记∆t i =t i -t i -1 (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ).(2)任取τi ∈[t i -1, t i ], 在时间段[t i -1, t i ]内物体所经过的路程可近似为v (τi )∆t i (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ); 所求路程S 的近似值为∑=∆≈ni ii t v S 1)(τ.(3)记λ=max{∆t 1, ∆t 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆t n }, 所求路程的精确值为∑=→∆=ni ii t v S 1)(lim τλ.二、定积分定义抛开上述问题的具体意义, 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括, 就抽象出下述定积分的定义.定义 设函数f (x )在[a , b ]上有界, 在[a , b ]中任意插入若干个分点a =x 0< x 1< x 2< ⋅ ⋅ ⋅< x n -1< x n =b ,把区间[a , b ]分成n 个小区间[x 0, x 1], [x 1, x 2], ⋅ ⋅ ⋅, [x n -1, x n ] ,各小段区间的长依次为∆x 1=x 1-x 0, ∆x 2=x 2-x 1,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n =x n -x n -1.在每个小区间[x i -1, x i ]上任取一个点ξ i (x i -1< ξ i < x i ), 作函数值f (ξ i )与小区间长度∆x i 的乘积 f (ξ i ) ∆x i (i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ) , 并作出和∑=∆=ni ii x f S 1)(ξ.记λ = max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 如果不论对[a , b ]怎样分法, 也不论在小区间[x i -1, x i ]上点ξ i 怎样取法, 只要当λ→0时, 和S 总趋于确定的极限I , 这时我们称这个极限I 为函数f (x )在区间[a , b ]上的定积分, 记作⎰ba dxx f )(,即 ∑⎰=→∆=ni i i ba x f dx x f 10)(lim )(ξλ.其中f (x )叫做被积函数, f (x )dx 叫做被积表达式, x 叫做积分变量, a 叫做积分下限, b 叫做积分上限, [a , b ]叫做积分区间.定义 设函数f (x )在[a , b ]上有界, 用分点a =x 0<x 1<x 2< ⋅ ⋅ ⋅<x n -1<x n =b 把[a , b ]分成n 个小区间: [x 0, x 1], [x 1, x 2], ⋅ ⋅ ⋅, [x n -1, x n ] , 记∆x i =x i -x i -1(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ). 任ξ i ∈[x i -1, x i ] (i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ), 作和∑=∆=ni ii x f S 1)(ξ.记λ=max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 如果当λ→0时, 上述和式的极限存在, 且极限值与区间[a ,b ]的分法和ξ i 的取法无关, 则称这个极限为函数f (x )在区间[a , b ]上的定积分, 记作⎰badxx f )(,即∑⎰=→∆=ni ii bax f dx x f 1)(lim )(ξλ.根据定积分的定义, 曲边梯形的面积为⎰=ba dxx f A )(.变速直线运动的路程为dtt v S TT )(21⎰=.说明:(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的记法无关, 即⎰⎰⎰==ba b a b a duu f dt t f dx x f )()()(.(2)和∑=∆ni ii x f 1)(ξ通常称为f (x )的积分和.(3)如果函数f (x )在[a , b ]上的定积分存在, 我们就说f (x )在区间[a , b ]上可积. 函数f (x )在[a , b ]上满足什么条件时, f (x )在[a , b ]上可积呢？ 定理1 设f (x )在区间[a , b ]上连续, 则f (x ) 在[a , b ]上可积.定理2 设f (x )在区间[a , b ]上有界, 且只有有限个间断点, 则f (x ) 在[a , b ]上可积. 定积分的几何意义:在区间[a , b ]上, 当f (x )≥0时, 积分⎰ba dxx f )(在几何上表示由曲线y =f (x )、两条直线x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形的面积; 当f (x )≤0时, 由曲线y =f (x )、两条直线x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方, 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值;∑∑⎰--=∆--=∆==→=→ba ni i i n i i i ba dx x f x f x f dx x f )]([)]([lim )(lim )(1010ξξλλ.当f (x )既取得正值又取得负值时, 函数f (x )的图形某些部分在x 轴的上方, 而其它部分在x 轴的下方. 如果我们对面积赋以正负号, 在x 轴上方的图形面积赋以正号, 在x 轴下方的图形面积赋以负号, 则在一般情形下, 定积分⎰ba dxx f )(的几何意义为: 它是介于x 轴、函数f (x )的图形及两条直线x =a 、x =b 之间的各部分面积的代数和.用定积分的定义计算定积分:例1. 利用定义计算定积分dx x 210⎰.解 把区间[0, 1]分成n 等份, 分点为和小区间长度为n ix i =(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n -1), n x i 1=∆(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ) . 取n ii =ξ(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ), 作积分和 ∑∑∑===⋅=∆=∆ni i n i i i ni i n ni x x f 121211)()(ξξ )12)(1(61113123++⋅==∑=n n n n i n n i )12)(11(61n n ++=. 因为n 1=λ, 当λ→0时, n →∞, 所以31)12)(11(61lim )(lim 10210=++=∆=∞→=→∑⎰n n x f dx x n n i i i ξλ.利定积分的几何意义求积分:例2. 用定积分的几何意义求⎰-10)1(dx x .解: 函数y =1-x 在区间[0, 1]上的定积分是以y =1-x 为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形的面积. 因为以y =1-x 为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形是一直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以211121)1(10=⨯⨯=-⎰dx x .三、定积分的性质 两点规定:(1)当a =b 时,0)(=⎰ba dx x f . (2)当a >b 时, ⎰⎰-=ab ba dxx f dx x f )()(.性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即⎰⎰⎰±=±ba ba ba dxx g dx x f dx x g x f )()()]()([.证明:⎰±ba dx x g x f )]()([∑=→∆±=ni ii ix g f 10)]()([lim ξξλ∑∑=→=→∆±∆=ni ii ni i i x g x f 1010)(lim )(lim ξξλλ⎰⎰±=ba ba dxx g dx x f )()(.性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即⎰⎰=ba b a dxx f k dx x kf )()(.这是因为∑⎰=→∆=ni i i ba x kf dx x kf 10)(lim )(ξλ⎰∑=∆==→ba ni i i dxx f k x f k )()(lim 10ξλ.性质3 如果将积分区间分成两部分 则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和 即⎰⎰⎰+=bcc a b a dxx f dx x f dx x f )()()(.这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性. 值得注意的是不论a ,b ,c 的相对位置如何总有等式⎰⎰⎰+=bcca ba dxx f dx x f dx x f )()()(成立. 例如, 当a <b <c 时, 由于⎰⎰⎰+=cb ba ca dxx f dx x f dx x f )()()(,于是有⎰⎰⎰-=cb ca ba dx x f dx x f dx x f )()()(⎰⎰+=bc c a dxx f dx x f )()(.性质4 如果在区间[a b ]上f (x )≡1 则ab dx dx ba b a -==⎰⎰1.性质5 如果在区间[a , b ]上 f (x )≥0, 则 ⎰≥ba dx x f 0)((a <b ).推论1 如果在区间[a , b ]上 f (x )≤ g (x ) 则⎰⎰≤b a ba dx x g dx x f )()((a <b ).这是因为g (x )-f (x )≥0, 从而⎰⎰⎰≥-=-ba ba ba dx x f x g dx x f dx x g 0)]()([)()(,所以⎰⎰≤ba ba dxx g dx x f )()(.推论2 ⎰⎰≤ba ba dxx f dx x f |)(||)(|(a <b ). 这是因为-|f (x )| ≤ f (x ) ≤ |f (x )|, 所以⎰⎰⎰≤≤-ba b a b a dx x f dx x f dx x f |)(|)(|)(|,即 ⎰⎰≤b a ba dxx f dx x f |)(||)(|| .性质6 设M 及m 分别是函数f (x )在区间[a , b ]上的最大值及最小值, 则 ⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()((a <b ). 证明 因为 m ≤ f (x )≤ M , 所以 ⎰⎰⎰≤≤ba ba ba M d xdx x f mdx )(, 从而⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()(.性质7 (定积分中值定理) 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 则在积分区间[a , b ]上至少存在一个点ξ , 使下式成立: ⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ. 这个公式叫做积分中值公式. 证明 由性质6⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()(,各项除以b -a 得⎰≤-≤ba Mdx x f a b m )(1,再由连续函数的介值定理, 在[a , b ]上至少存在一点ξ , 使⎰-=ba dxx f a b f )(1)(ξ,于是两端乘以b -a 得中值公式⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ. 积分中值公式的几何解释:应注意: 不论a <b 还是a >b , 积分中值公式都成立.§5. 2 微积分基本公式一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设物体从某定点开始作直线运动, 在t 时刻所经过的路程为S (t ), 速度为v =v (t )=S '(t )(v (t )≥0), 则在时间间隔[T 1, T 2]内物体所经过的路程S 可表示为)()(12T S T S -及dt t v T T )(21⎰,即 )()()(1221T S T S dt t v T T -=⎰.上式表明, 速度函数v (t )在区间[T 1, T 2]上的定积分等于v (t )的原函数S (t )在区间[T 1, T 2]上的增量.这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？ 二、积分上限函数及其导数设函数f (x )在区间[a , b ]上连续, 并且设x 为[a , b ]上的一点. 我们把函数f (x )在部分区间[a , x ]上的定积分dxx f xa )(⎰称为积分上限的函数. 它是区间[a , b ]上的函数, 记为Φ(x )dxx f x a )(⎰=, 或Φ(x )=dtt f xa )(⎰.定理1 如果函数f (x )在区间[a , b ]上连续, 则函数Φ(x )dxx f xa )(⎰=在[a , b ]上具有导数, 并且它的导数为Φ'(x ))()(x f dt t f dx d xa ==⎰(a ≤x <b ).简要证明 若x ∈(a , b ), 取∆x 使x +∆x ∈(a , b ). ∆Φ=Φ(x +∆x )-Φ(x )dtt f dt t f xa xx a)()(⎰⎰-=∆+dtt f dt t f dt t f xa xx xx a )()()(⎰⎰⎰-+=∆+xf dt t f xx x∆==⎰∆+)()(ξ,应用积分中值定理, 有∆Φ=f (ξ)∆x ,其中ξ在x 与x +∆x 之间, ∆x →0时, ξ→x . 于是Φ'(x ))()(lim )(lim lim 00x f f f x x x x ===∆∆Φ=→→∆→∆ξξξ.若x =a , 取∆x >0, 则同理可证Φ+'(x )= f (a ); 若x =b , 取∆x <0, 则同理可证Φ-'(x )= f (b ). 定理2 如果函数f (x )在区间[a , b ]上连续, 则函数Φ(x )dxx f xa )(⎰=就是f (x )在[a , b ]上的一个原函数.定理的重要意义: 一方面肯定了连续函数的原函数是存在的, 另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.三、牛顿--莱布尼茨公式定理3 如果函数F (x )是连续函数f (x )在区间[a , b ]上的一个原函数, 则 )()()(a F b F dx x f ba -=⎰.此公式称为牛顿--莱布尼茨公式, 也称为微积分基本公式.这是因为F (x )和Φ(x )=dtt f xa )(⎰都是f (x )的原函数,所以存在常数C , 使F (x )-Φ(x )=C (C 为某一常数).由F (a )-Φ(a )=C 及Φ(a )=0, 得C =F (a ), F (x )-Φ(x )=F (a ). 由F (b )-Φ(b )=F (a ), 得Φ(b )=F (b )-F (a ), 即)()()(a F b F dx x f ba -=⎰.证明: 已知函数F (x ) 是连续函数f (x ) 的一个原函数, 又根据定理2, 积分上限函数 Φ(x )=dtt f xa )(⎰也是f (x )的一个原函数. 于是有一常数C , 使 F (x )-Φ(x )=C (a ≤x ≤b ).当x =a 时, 有F (a )-Φ(a )=C , 而Φ(a )=0, 所以C =F (a ); 当x =b 时, F (b )-Φ(b )=F (a ), 所以Φ(b )=F (b )-F (a ), 即)()()(a F b F dx x f ba -=⎰.为了方便起见, 可把F (b )-F (a )记成ba x F )]([, 于是)()()]([)(a F b F x F dx x f ba ba -==⎰. 进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系. 例1. 计算⎰102dx x .解: 由于331x 是2x 的一个原函数, 所以31031131]31[33103102=⋅-⋅==⎰x dx x . 例2 计算2311x dx +⎰-.解 由于arctan x 是211x +的一个原函数, 所以31231][arctan 1--=+⎰x x dx )1arctan(3arctan --=πππ127)4 (3 =--=. 例3. 计算⎰--121dxx .解: 1212|]|[ln 1----=⎰x dx x =ln 1-ln 2=-ln 2.例4. 计算正弦曲线y =sin x 在[0, π]上与x 轴所围成的平面图形的面积. 解: 这图形是曲边梯形的一个特例. 它的面积ππ0]cos [sin x xdx A -==⎰=-(-1)-(-1)=2.例5. 汽车以每小时36km 速度行驶, 到某处需要减速停车.设汽车以等加速度a =-5m/s 2刹车. 问从开始刹车到停车, 汽车走了多少距离？ 解 从开始刹车到停车所需的时间:当t =0时, 汽车速度v 0=36km/h3600100036⨯=m/s =10m/s . 刹车后t 时刻汽车的速度为 v (t )=v 0+at =10-5t . 当汽车停止时, 速度v (t )=0, 从 v (t )=10-5t =0 得, t =2(s ).于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为dt t dt t v s )510()(2020-==⎰⎰10]21510[202=⋅-=t t (m ),即在刹车后, 汽车需走过10m 才能停住.例6. 设f (x )在[0, +∞)内连续且f (x )>0. 证明函数⎰⎰=xxdt t f dt t tf x F 00)()()( 在(0, +∞)内为单调增加函数.证明: )()( 0x xf dt t tf dx d x =⎰, )()(0x f dt t f dx d x =⎰. 故 2000))(()()()()()(⎰⎰⎰-='xx xdt t f dtt tf x f dt t f x xf x F 200))(()()()(⎰⎰-=xxdt t f dt t f t x x f .按假设, 当0<t <x 时f (t )>0, (x -t )f (t )> 0 , 所以)(0>⎰dt t f x, 0)()(0>-⎰dt t f t x x,从而F '(x )>0 (x >0), 这就证明了F (x ) 在(0, +∞)内为单调增加函数. 例7. 求21cos 02limx dte xt x ⎰-→.解: 这是一个零比零型未定式, 由罗必达法则,e xxe x dte x dte xx x t x x t x 212sin lim limlim222cos02cos 121cos 0==--→-→-→⎰⎰.提示: 设⎰-=Φxt dt e x 12)(, 则⎰-=Φx t dte x cos 12)(cos .x u x t e x x e dx du u du d x dx d dt e dx d 222cos cos 1sin )sin ()()(cos ---⋅-=-⋅=⋅Φ=Φ=⎰.§5. 3 定积分的换元法和分部积分法一、换元积分法定理 假设函数f (x )在区间[a , b ]上连续, 函数x =ϕ(t )满足条件: (1)ϕ(α )=a , ϕ(β)=b ;(2)ϕ(t )在[α, β](或[β, α])上具有连续导数, 且其值域不越出[a , b ], 则有dt t t f dx x f b a )()]([)(ϕϕβα'=⎰⎰.这个公式叫做定积分的换元公式.证明 由假设知, f (x )在区间[a , b ]上是连续, 因而是可积的; f [ϕ(t )]ϕ'(t )在区间[α, β](或[β, α])上也是连续的, 因而是可积的. 假设F (x )是f (x )的一个原函数, 则dx x f ba )(⎰=F (b )-F (a ).另一方面, 因为{F [ϕ(t )]}'=F '[ϕ(t )]ϕ'(t )= f [ϕ(t )]ϕ'(t ), 所以F [ϕ(t )]是f [ϕ(t )]ϕ'(t )的一个原函数, 从而dtt t f )()]([ϕϕβα'⎰=F [ϕ(β )]-F [ϕ(α )]=F (b )-F (a ).因此dtt t f dx x f ba )()]([)(ϕϕβα'=⎰⎰.例1 计算⎰-adxx a 022(a >0).解⎰⎰⋅-=0sin 022cos cosπtdta t a dx x a ta x a令⎰⎰+==2022022)2cos 1(2cos ππdtt a tdt a220241]2sin 21[2a t t a ππ=+=.提示:t a t a a x a cos sin 22222=-=-, dx =a cos t . 当x =0时t =0, 当x =a 时2π=t .例2 计算xdxx sin cos 50⎰π. 解 令t =cos x , 则xxd xdx x cos cos sin cos 520520⎰⎰-=ππ61]61[ 106105015cos ===-⎰⎰=t dt t dt t tx 令.提示: 当x =0时t =1, 当2π=x 时t =0. 或xxd xdx x cos cos sin cos 52052⎰⎰-=ππ610cos 612cos 61]cos 61[66206=+-=-=ππx .例3 计算⎰-π053sin sin dxx x . 解dxx x dx x x |cos |sin sin sin 23053⎰⎰=-ππ⎰⎰-=πππ2232023cos sin cos sin xdxx xdx x⎰⎰-=πππ2232023sin sin sin sin xxd x xd54)52(52]sin 52[]sin 52[2252025=--=-=πππx x . 提示:|cos |sin )sin1(sin sin sin 232353x x x x x x =-=-.在]2 ,0[π上|cos x |=cos x , 在] ,2[ππ上|cos x |=-cos x .例4 计算dxx x ⎰++4122.解⎰⎰⎰+=⋅+-++=+312312124)3(21221 122dtt tdt t t dx x x t x 令322)]331()9327[(21]331[21313=+-+=+=t t . 提示:212-=t x , dx =tdt ; 当x =0时t =1, 当x =4时t =3. 例5 证明: 若f (x )在[-a , a ]上连续且为偶函数, 则⎰⎰=-aaadxx f dx x f 0)(2)(.证明 因为dxx f dx x f dx x f aaaa)()()(00⎰⎰⎰+=--,而 ⎰⎰⎰⎰-=-=---=-aaa tx a dxx f dt t f dt t f dx x f 000)()()( )(令,所以⎰⎰⎰+-=-aaaadxx f dx x f dx x f 00)()()(⎰⎰⎰==+-=-aaa adxx f dx x f dx x f x f 00)(2)(2)]()([.讨论:若f (x )在[-a , a ]上连续且为奇函数, 问=⎰-aa dx x f )(？ 提示: 若f (x )为奇函数, 则f (-x )+f (x ) =0, 从而)]()([)(0=+-=⎰⎰-aaadx x f x f dx x f .例6 若f (x )在[0, 1]上连续, 证明 (1)⎰⎰=00)(cos )(sin ππdxx f dx x f ; (2)⎰⎰=πππ)(sin 2 )(sin dxx f dx x xf .证明 (1)令tx -=2π, 则dtt f dx x f )]2[sin()(sin 022--=⎰⎰πππ⎰⎰=-=2020)(cos )]2[sin(πππdx x f dt t f .(2)令x =π-t , 则⎰⎰---=00)][sin()()(sin ππππdt t f t dx x xf⎰⎰-=--=πππππ00)(sin )()][sin()(dt t f t dt t f t⎰⎰-=πππ00)(sin )(sin dtt tf dt t f ⎰⎰-=πππ00)(sin )(sin dxx xf dx x f ,所以⎰⎰=πππ0)(sin 2 )(sin dxx f dx x xf .例7 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-+≥=-01 cos 110)(2x x x xe x f x , 计算⎰-41)2(dx x f .解 设x -2=t , 则⎰⎰⎰⎰---++==-20121412cos 11)()2(dtte dt t dt t f dx x f t212121tan ]21[]2[tan 420012+-=-=---e e t t . 提示: 设x -2=t , 则dx =dt ; 当x =1时t =-1, 当x =4时t =2. 二、分部积分法设函数u (x )、v (x )在区间[a , b ]上具有连续导数u '(x )、v '(x ), 由 (uv )'=u 'v +u v '得u v '=u v -u 'v , 式两端在区间[a , b ]上积分得 vdx u uv dx v u ba b a ba '-='⎰⎰][, 或vdu uv udv ba b a ba ⎰⎰-=][.这就是定积分的分部积分公式. 分部积分过程:][][⋅⋅⋅='-=-=='⎰⎰⎰⎰vdx u uv vdu uv udv dx v u ba ba b a ba b a ba .例1 计算xdx arcsin 210⎰.解xdx arcsin 21⎰x xd x x arcsin arcsin [2110⎰-=dxx x 22101621--⋅=⎰π )1(1121122210x d x --+=⎰π 102]1[12x -+=π12312-+=π.例2 计算⎰1dxex.解 令t x =, 则 ⎰⎰=10102tdte dx et x⎰=102ttde⎰-=1010 2 ][2dte te t t2][2210 =-=t e e . 例3 设⎰=0sin πxdxI n n , 证明(1)当n 为正偶数时,22143231π⋅⋅⋅⋅⋅--⋅-=n n n n I n ; (2)当n 为大于1的正奇数时,3254231⋅⋅⋅⋅--⋅-=n n n n I n . 证明⎰=20sin πxdx I nn ⎰--=201cos sin πxxd n⎰--+-=2012 01sin cos ]sin[cos ππxxd x x n n⎰--=022sin cos )1(πxdx x n n ⎰--=-202)sin (sin )1(πdx x x n n n⎰⎰---=-20202sin )1(sin )1(ππxdxn xdx n n n=(n -1)I n - 2-(n -1)I n , 由此得21--=n n I n n I .2214342522232212I m m m m m m I m ⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=,112325432421222122I m m m m m m I m ⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+, 而2200ππ==⎰dx I , 1sin 201==⎰πxdx I ,因此22143425222322122π⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=m m m m m m I m ,32543242122212212⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+m m m m m m I m .例3 设⎰=20sin πxdxI n n (n 为正整数), 证明22143425222322122π⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=m m m m m m I m , 32543242122212212⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+m m m m m m I m . 证明⎰=0sin πxdx I n n ⎰--=201cos sin πxxd n⎰---+-=20222 01sin cos )1(]sin[cos ππxdxx n x x n n⎰--=-202)sin (sin )1(πdxx x n n n⎰⎰---=-20202sin )1(sin )1(ππxdxn xdx n n n=(n -1)I n - 2-(n -1)I n ,由此得 21--=n n I n n I .2214342522232212I m m m m m m I m ⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=,112325432421222122I m m m m m m I m ⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+. 特别地200ππ==⎰dx I , 1sin 201==⎰πxdx I .因此22143425222322122π⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=m m m m m m I m ,32543242122212212⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+m m m m m m I m .§5. 4 反常积分一、无穷限的反常积分定义1 设函数f (x )在区间[a , +∞)上连续, 取b >a . 如果极限dxx f bab )(lim⎰+∞→存在, 则称此极限为函数f (x )在无穷区间[a , +∞)上的反常积分, 记作dxx f a)(⎰+∞, 即dx x f dx x f bab a)(lim)(⎰⎰+∞→+∞=. 这时也称反常积分dxx f a)(⎰+∞收敛.如果上述极限不存在, 函数f (x )在无穷区间[a , +∞)上的反常积分dxx f a )(⎰+∞就没有意义,此时称反常积分dxx f a )(⎰+∞发散.类似地, 设函数f (x )在区间(-∞, b ]上连续, 如果极限dxx f baa )(lim⎰-∞→(a <b )存在, 则称此极限为函数f (x )在无穷区间(-∞, b ]上的反常积分, 记作dxx f b)(⎰∞-, 即dxx f dx x f baa b)(lim)(⎰⎰-∞→∞-=.这时也称反常积分dxx f b)(⎰∞-收敛. 如果上述极限不存在, 则称反常积分dxx f b)(⎰∞-发散.设函数f (x )在区间(-∞, +∞)上连续, 如果反常积分dxx f )(0⎰∞-和dx x f )(0⎰+∞都收敛, 则称上述两个反常积分的和为函数f (x )在无穷区间(-∞, +∞)上的反常积分, 记作dx x f )(⎰+∞∞-, 即dxx f dx x f dx x f )()()(00⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=dxx f dx x f bb a a )(lim)(lim⎰⎰+∞→-∞→+=.这时也称反常积分dxx f )(⎰+∞∞-收敛.如果上式右端有一个反常积分发散, 则称反常积分dxx f )(⎰+∞∞-发散.定义1' 连续函数f (x )在区间[a , +∞)上的反常积分定义为dxx f dx x f bab a)(lim)(⎰⎰+∞→+∞=.在反常积分的定义式中, 如果极限存在, 则称此反常积分收敛; 否则称此反常积分发散. 类似地, 连续函数f (x )在区间(-∞, b ]上和在区间(-∞, +∞)上的反常积分定义为dxx f dx x f baa b)(lim)(⎰⎰-∞→∞-=.dxx f dx x f dx x f bb a a )(lim)(lim)(0⎰⎰⎰+∞→-∞→+∞∞-+=.反常积分的计算: 如果F (x )是f (x )的原函数, 则b a b ba b ax F dx x f dx x f )]([lim )(lim)(+∞→+∞→+∞==⎰⎰)()(lim )()(lim a F x F a F b F x b -=-=+∞→+∞→.可采用如下简记形式:)()(lim )]([)(a F x F x F dx x f x a a-==+∞→∞++∞⎰.类似地 )(lim )()]([)(x F b F x F dx x f x bb-∞→∞-∞--==⎰,)(lim )(lim )]([)(x F x F x F dx x f x x -∞→+∞→∞+∞-+∞∞--==⎰.例1 计算反常积分dx x 211+⎰+∞∞-.解∞+∞-+∞∞-=+⎰][arctan 112x dx xxx x x arctan lim arctan lim -∞→+∞→-=πππ=--=)2 (2 .例2 计算反常积分⎰+∞-0dtte pt (p 是常数, 且p >0).解 ∞+-∞+-+∞-⎰⎰⎰-==000]1[][pt pt pt tde p dt te dt te ∞+--⎰+-=0]11[dt e p te p pt pt∞+----=02]11[pt pt e p te p22211]11[lim p p e p te ppt pt t =+--=--+∞→. 提示: 01lim lim lim ===+∞→+∞→-+∞→pt t pt t pt t pe e t te . 例3 讨论反常积分dxx p a1⎰+∞(a >0)的敛散性.解 当p =1时, dx x pa 1⎰+∞dx x a 1⎰+∞=+∞==∞+][ln a x . 当p <1时, dx x p a 1⎰+∞+∞=-=∞+- 1]11[a p x p .当p >1时,1]11[11 1-=-=-∞+-+∞⎰p a x p dx x pap pa. 因此, 当p >1时, 此反常积分收敛, 其值为11--p a p; 当p ≤1时, 此反常积分发散. 二、无界函数的反常积分定义2 设函数f (x )在区间(a , b ]上连续, 而在点a 的右邻域内无界. 取ε>0, 如果极限dx x f btat )(lim ⎰+→存在, 则称此极限为函数f (x )在(a , b ]上的反常积分, 仍然记作dxx f ba )(⎰, 即dxx f dx x f bta tb a )(lim )(⎰⎰+→=.这时也称反常积分dx x f ba )(⎰收敛.如果上述极限不存在, 就称反常积分dx x f ba )(⎰发散.类似地, 设函数f (x )在区间[a , b )上连续, 而在点b 的左邻域内无界. 取ε>0, 如果极限dx x f tabt )(lim ⎰-→存在, 则称此极限为函数f (x )在[a , b )上的反常积分, 仍然记作dxx f ba)(⎰, 即dxx f dx x f ta bt b a )(lim )(⎰⎰-→=.这时也称反常积分dxx f ba )(⎰收敛. 如果上述极限不存在, 就称反常积分dx x f ba )(⎰发散.设函数f (x )在区间[a , b ]上除点c (a <c <b )外连续, 而在点c 的邻域内无界. 如果两个反常积分dxx f ca )(⎰与dxx f bc)(⎰都收敛, 则定义dxx f dx x f dx x f bc ca ba )()()(⎰⎰⎰+=.否则, 就称反常积分dxx f ba )(⎰发散.瑕点: 如果函数f (x )在点a 的任一邻域内都无界, 那么点a 称为函数f (x )的瑕点, 也称为无界定义2' 设函数f (x )在区间(a , b ]上连续, 点a 为f (x )的瑕点. 函数f (x )在(a , b ]上的反常积分定义为dxx f dx x f bt at b a )(lim )(⎰⎰+→=.在反常积分的定义式中, 如果极限存在, 则称此反常积分收敛; 否则称此反常积分发散. 类似地,函数f (x )在[a , b )(b 为瑕点)上的反常积分定义为dxx f dx x f ta bt ba )(lim )(⎰⎰-→=.函数f (x )在[a , c )⋃(c , b ] (c 为瑕点)上的反常积分定义为dxx f dx x f dx x f btc t ta c tb a )(lim )(lim )(⎰⎰⎰+-→→+=.反常积分的计算:如果F (x )为f (x )的原函数, 则有bt at bt at ba x F dx x f dx x f )]([lim )(lim )(++→→==⎰⎰)(lim )()(lim )(x F b F t F b F a x a t ++→→-=-=.可采用如下简记形式:)(lim )()]([)(x F b F x F dx x f a x ba ba +→-==⎰.类似地, 有)()(lim )]([)(a F x F x F dx x f b x ba ba -==-→⎰,当a 为瑕点时,)(lim )()]([)(x F b F x F dx x f a x b a ba +→-==⎰;当b 为瑕点时,)()(lim )]([)(a F x F x F dx x f b x b a ba -==-→⎰.当c (a <c <b )为瑕点时,)](lim )([)]()(lim [)()()(x F b F a F x F dx x f dx x f dx x f cx cx bc c a b a +-→→-+-=+=⎰⎰⎰.例4 计算反常积分⎰-adxx a 0221.解 因为+∞=--→221lim x a a x , 所以点a 为被积函数的瑕点.aa a x dx x a 0022][arcsin 1=-⎰20arcsin lim π=-=-→a x a x .例5 讨论反常积分⎰-1121dxx 的收敛性.解 函数21x 在区间[-1, 1]上除x =0外连续, 且∞=→201lim x x . 由于+∞=--=-=-→--⎰1)1(lim ]1[100 1012x x dx x x ,即反常积分⎰-0121dx x 发散, 所以反常积分⎰-1121dxx 发散.例6 讨论反常积分⎰-ba qaxdx)(的敛散性.解当q=1时,+∞=-=-=-⎰⎰b ababa qaxaxdxaxdx)][ln()(.当q>1时,+∞=--=--⎰b a qba qaxqaxdx1])(11[)(.当q<1时,qbaqba qabqaxqaxdx----=--=-⎰11)(11])(11[)(.因此,当q<1时,此反常积分收敛,其值为qabq---1)(11;当q≥1时,此反常积分发散.。