西华大学2015年专升本考试试题数学

西华大学2015年专升本考试试题
（高等数学）
一、判断题（把答案填在题中括号中，正确的打√，错误的打⨯，本大题共5个小题，每小题2分，总计10分）
1、若级数1
||n n a ∞
=∑收敛，则级数1
(1)n n n a ∞
=-∑也收敛. ( )
2、函数2x y x e =是微分方程20y y y '''-+=的解. ( )
3、无穷小量的倒数是无穷大量. ( )
4、方程2
2
19
z x +=在空间中所表示的图形是椭圆柱面. ( )
5、n 元非齐次线性方程组AX B =有唯一解的充要条件是().r A n = ( )
二、填空题（把答案填在括号中。

本大题共4个小题，每小题4分，总计16分）
1、已知()f x 是R 上的连续函数，且(3)2,f =则3223212lim 156x
x x x f x x x →∞
⎛⎫-+⎛⎫
-= ⎪ ⎪++⎝⎭
⎝⎭（ ）
2
、由方程xyz +所确定的函数(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz =（ ） 3、改变二次积分2
220
(,)y y I dy f x y dx =
⎰
⎰
的次序，
则I =（ ） 4、2
2
(sin )tan ,(01)f x x x '=<<，则()f x =（ ） 三、求解下列各题（本大题共10小题，每小题6分，总计60分）
1、求极限2
20
tan lim
.1cos x
x x tdt
x
→-⎰
2、设1sin ,0
(),0,0
x x f x x
x ⎧
≠⎪=⎨⎪=⎩求().f x ' 3
、求不定积分5
cos .⎰
4、求曲线sin ,2
x y x z ==上点(,0,)2π
π处的切线和法平面方程.
5、求微分方程2
dx xydy y dx ydy +=+的通解.
6、求由曲线2
,2y x x y =+=及x 轴所围成的区域绕x 轴旋转所成立体的体积.
7、当,a b 为何值时，线性方程组1234512345
234512345323022654332
x x x x x a x x x x x x x x x b x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩有解. 当其有解时，求出其
全部解.
8、计算二重积分22
ln(1),D
x y dxdy ++⎰⎰
其中222:(0),D x y R R +≤>0,0.x y ≥≥
9、计算曲线积分22
,L
I y xdy x ydx =-⎰Ñ其中L 是圆周222,x y a +=逆时针方向为正.
10、判别级数的敛散性.
(1)1!
n n n n
∞
=∑ (2) 1
1
cos
4
n
n n ππ
∞
=∑ 四、证明题（本大题共2小题，每题7分，总计14分）
1、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0,f a f b ==证明在(,)a b 内至少存在一点ξ，使()2015()0.f f ξξ'+=
2、证明：对0,2
x π
∀<<2tan cos x
x x x
<<
成立.
西华大学2014年专升本考试试题
（高等数学）
一、填空题（把答案填在括号中。

本大题共5个小题，每小题3分，总计15分）
1、设(0),f a '=则0
()(0)
lim
x f x f x
∆→-∆-=∆（ ）
2、设()f x 的一个原函数是sin x ，则()xf x dx '=⎰（ ）
3、微分方程2563x
y y y xe '''-+=的特解可设为（ ）
4、幂级数0
()!n
n x n ∞
=-∑的和函数为（ ）
5、设23,58A -⎡⎤
=⎢
⎥
-⎣⎦
则1A -=（ ） 二、判断题（把答案填在题中括号中，正确的打√，错误的打⨯，本大题共5个小题，每小题2分，总计10分）
1、点(0,0)是曲线sin y x =的拐点. ( )
2、直线
13215
x y z
+-==-与平面2580x y z -+-=相互垂直. ( ) 3、如果函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某一邻域内偏导数
,z z
x y
∂∂∂∂都存在，则函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微. ( ) 4、
1
n
n u
∞
=∑是常数项级数，若lim 0,n n u →∞
=则
1
n
n u
∞
=∑收敛. ( )
5、设,A B 是同型矩阵，则22()().A B A B A B +-=- ( )
三、求解下列各题（本大题共4小题，每小题6分，总计240分）
1、求极限sin 0
lim .x x x →
2、求不定积分sin cos .x x xdx ⎰
3
、求定积分
ln 0
.⎰
4、设22
(,),z xyf x y x y =+-其中f 是可微函数，求
,z z x y
∂∂∂∂.
四、解答题（本大题共6小题，每小题6分，总计36分）
1、设2
1sin ,0
(),,0
x x f x x
ax b x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩在0x =处可导，求,a b 的值. 2求微分方程20x
y y e
-'+-=的通解.
3、判断下列正项级数的敛散性.
(1)1
3(1)3n
n
n ∞=+-∑ (2) 1
1
ln(1)n n ∞
=+∑ 4、计算二重积分
22sin D
x y dxdy +⎰⎰，其中{2222
(,)|4}.D x y x y ππ=≤+≤ 5、求()()y y
L
I x e dx y xe dy =
+++⎰Ñ，其中L 是圆周222x y x +=从点(2,0)A 到原点(0,0)O 的一段弧.
6、当,a b 取何值时，方程组123231
23234,
22,,2236
ax x x x bx ax x x ++=⎧⎪
+=⎨⎪++=⎩有唯一解、无解、有无穷多解？
五、证明题（本大题共3小题，每题5分，总计15分）
1、设()f x 在[,]a b 上连续且()0,f x >又1
()()()
x x a
b
g x f t dt dt f t =+⎰
⎰
，证明：()0g x =在(,)a b 内有且仅有一个根.
2、求证：当0x >时，有不等式ln(1).1x
x x x
<+<+
3、已知{}n a 是等差数列，0n a >，证明级数11
n n
a ∞
=∑发散.。