§4.6 系统函数(网络函数)H(S)
系统函数(网络函数)H(s)解读
§4.6 系统函数(网络函数)H (s )•系统函数； LTI 互联网络的系统函数；并联；级联； 反馈连接一．系统函数 1.定义响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比2.H (s )的几种情况策动点函数：激励与响应在同一端口时策动点导纳 策动点阻抗转移函数：激励和响应不在同一端口转移导纳 转移阻抗电压比 电流比()()()s H s E s R ⋅=↔)()()(s E s R s H =∴()()()t h t e t r *=)]([)()],([)( t e L s E t r L s R ==其中系统的零状态响应时当 ,)()(t t e δ=)()(s H s R =)()(t h t r =)()]([s H t h L =则单端口网络()s I 1+-()s V 111')()()(11s V s I s H =)()()(11s I s V s H =+-()s V 2)()()(12s V s I s H =)()()(12s I s V s H =)()()(12s V s V s H =)()()(12s I s I s H =3．求H (s )的方法微分方程两端取拉氏变换→利用网络的s 域元件模型图，列s 域方程→4.应用：求系统的响应二．LTIS 互联的系统函数 1．LTI 系统的并联2．LTI 系统的级联3．LTI 系统的反馈连接()()s H t h →()()()s E s R s H =()()()s E s R s H =)()()()()(t h t e t r t h s H *=→→方法一：)()()()(t r s E s H s R →=方法二：()()()t h t h t h 21+=)()()(21s H s H s H +=)()()( :21t h t h t h *=时域)()()( :21s H s H s H ⋅=频域()s H 1()s H 2()s E ()s R ()s H 1()s H 2()s E ()s R ()s E 1()s E 2-+)()()(21s E s E s E -=)()()(22s H s R s E ⋅=[])()()()(21s E s E s H s R -⋅=4．结论在s 域可进行代数运算：比较H (s )和H (p )例4-6-1(1)在零起始状态下，对原方程两端取拉氏变换(2))()()()(211s E s H s E s H -=)()()()()(211s R s H s H s E s H ⋅-=)()(1)()()()(211s H s H s H s E s R s H +==∴()。
4.6 系统函数
4.6 系统函数H (s )4.6.1 系统函数设线性时不变系统的冲激响应为)(t h ，系统在激励信号)(t e 的作用下产生的零状态响应为)(t r ，则)()()(t h t e t r *= （4-6-1）对上式取拉氏变换氏变换，并借助卷积定理，可得)()()(s H s E s R ⋅= （4-6-2）所以)()()(s E s R s H =（4-6-3） 这就是拉氏变换形式的系统函数，它定义为：系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比。
在式(4-6-2)中，)(s H 是)(t h 的拉氏变换，即)]([)(t h s H L =也就是说，系统冲激响应)(t h 和系统函数)(s H 构成一拉氏变换对，它们分别从时域和S 域表征同一系统的特性。
如何求系统函数呢？这里有如下三种情况。
(1) 若已知系统的冲激响应)(t h ，则对其取拉氏变换，就立即获得系统函数)(s H ，这是最简单的的情况。
(2) 若已知描述系统的微分方程，则可对微分方程两端取拉氏变换，写出系统零状态响应拉氏变换)(s R 与激励的拉氏变换)(s E 之比，从而求得系统函数。
例4-6-1 已知描述系统的微分方程为试求系统函数)(s H 和冲激响应)(t h解：在零起始状态条件下，对微分方程两端取拉氏变换，得td te d t r t d t r d )(2)(3)(=+)(2)(3)(s sE s R s sR =+所以系统函数为32)()()(+==s ss E s R s H 利用除法将上式改写成36232)(+-=+=s s s s H 对)(s H 取拉氏逆变换，求得冲激响应为例4-6-2 已知描述系统的微分方程为)(6)(2)(6)(5)(2222t e dtd te dt d t r t r dt d t r dt d +=++ 若激励为)()1()(t u e t e t -+=，试求：(1)系统函数)(s H 和冲激响应)(t h ；(2)零状态响应)(t r zs 。
系统函数(网络函数)H(S)
二．H(s)零、极点与h(t)波形特征的对应
11
页
1．系统函数的零、极点
H (s) A(s) K (s z1 )(s z2 ) (s z j ) (s zm ) B(s) (s p1 )(s p2 ) (s pk ) (s pn )
z1 , z2 zn 系统函数的零点
在s域分析中，借助系统函数在s平面零点与极点 分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多 规律。系统的时域、频域特性集中地以其系统函数的 零、极点分布表现出来。
主要优点：
1．可以预言系统的时域特性； 2．便于划分系统的各个分量
（自由／强迫，瞬态／稳态）； 3．可以用来说明系统的正弦稳态特性。
第
et[cos(3t) sin(3t)]u(t) et 2 sin(3t 45o )u(t)
两系统函数仅是零点不同，它们对应的冲激响应仅是响应幅 度和相位不同，响应波形的模式均为衰减振荡模式
三．H(s) 、E(s)的极点分布与自由响应、强
第
迫响应特性的对应
17 页
激励： e(t) E(s) u
第
二阶极点
15
页
H(s) 1 , 极点在原点, h(t) tu(t), t , h(t) s2
H(s) 1 ,极点在实轴上， (s a)2
h(t) t et u(t),α 0, t , h(t) 0
H
(s)
(s2
2s ω2
)2
,
在虚轴上，
h(t) t sintu(t), t , h(t) 增幅振荡
系统函数：h(t) H(s) m
(s zl )
(s zj )
E(s)
l 1 v
H(s)
j 1 n
信号系统函数的定义(DOC)
§6-1 引 言一、 系统函数的定义系统函数H(s)定义为系统的零状态响应R(s)与激励E(s)之间的比值：)()()(s E s R s H =二、三、 )(s H 、)(p H 、)(ωj H 、)(t h 之间关系 1、)(p H 与)(s H 形式相同，含义不同；2、)(s H 中当ωj s =时，就得到了系统特性在频域中的表达形式)(ωj H ；3、H(s)是)(t h 的像函数，)(t h 是H(s)的原函数。
所以，得到了H(s)以后，就可以得到)(p H 、)(ωj H 和)(t h 。
通过H(s) 可以对系统进行综合和分析。
§6-2 系统函数的表示法系统函数可以用数学表达式表达，也可以用图示的方法表达。
前者比较简单，但是无法直接看出系统的特性。
后者可以直接表示出系统的特性，便于对系统的性能进行深入研究。
常用的图示法有三种：频率特性，复轨迹，极零图。
一、频率特性● 正如第四章中所见，系统特性可以用反映幅度特性随频率变化规律的幅频特性曲线和反映相位特性随频率变化规律的相频特性曲线描述。
● 频率特性主要用于研究系统的频率特性分析。
● 对于)(s H ，没有必要研究其随任意复频率变化的规律，只需要令ωj s =，得到)(ωj H ，研究沿s 平面虚轴变化的规律。
● 对于一般的（电）系统，)(s H 为s 的有理函数，其幅频特性为ω的偶函数，相频特性为ω的奇函数。
所以，只要画出0≥ω部分即可。
● 频率特性曲线有时也在对数尺度的坐标系中作出，称为波特图。
见§6-4。
● 对于因果系统而言，)(ωj H 的实部和虚部相互联系，知道其中一个，就可以推导出另一个。
证明：对于因果系统，有： )()()(t t h t h ε⋅=ωωπωωωπωπδωπωωπδωπω1*)(21)(211*)(21)(*)(211)(*)(21)(j H j j H j j H j H j j H j H +=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∴ ωωπω1*)(21)(21j H j j H =∴[]ωωπωωπωωωπωω1*)(11*)(11*)()(1)()(j R j j X j jX j R j j jX j R -=+=+∴⎰⎰∞+∞-+∞∞---=-=-==∴λλωλπωωπωλλωλπωωπωd j R j R j X d j X j X j R )(11*)(1)()(11*)(1)(根据上面两个的公式，可以从)(ωj R 计算出)(ωj X 或反之。
信号与系统4.6
s+ 3 N(s) H ( s) = 2 = s + 3s + 2 D(s)
D(p) 0的根是系统全部自然频率； ì ï ï í D(s) 0的根是系统自然频率，但不一定是全部。 ï ï î
2
思考：已知微分方程如何求冲激响应？
例2： （书P.207 例4-18）
已知电路中电容均为 1F，电阻均为 1Ω， I 2 (s) 试求电路的转移导纳函 数Y21 (s) V1 (s)
I 3 (s)
V1(s)
+
-
I1 ( s )
I 2 (s)
解：列写电路的零状态s域模型 (如图)
1
由电路写出三个回路方程 :
初始状态r(k) (0- ) = 0
习题2-6（1）
e(t ) u(t ), r (0 ) 1, r '(0 ) 2, 求H (s)
(s + 3s + 2)Rzs (s) = (s + 3) E(s)
\ Rzs ( s) s+ 3 H ( s) = = 2 E ( s) ( s + 3s + 2)
ì 1 1 ï ï ( + 1)I1 (s) + I 2 (s) - I3 (s) = V1 (s) ï ï s s ï ï ï 1 1 ï í I1 (s) + ( + 2)I 2 (s) + I3 (s) = 0 ï s s ï ï ï 1 1 2 ï - I1 (s) + I 2 (s) + ( + 1)I3 (s) = 0 ï ï s s ï î s
H ( s ) = H (p) p= s ì ï ï í 但H (p) = H ( s) 不一定成立 ï s= p ï î
系统函数H(s)
v2 ( 0 ) R2 E 1 1 v2 ( s ) ( ) R1 R2 R1 R2 s R1 R2 s s R1R2c R1R2c
R2 ( E1 E2 ) v2 (t ) e R1 R2
R1 R2 t R1R2 c
R2 E2 R1 R2
例6.讨论下图能否利用双边 拉氏变换求解 若将电源 2该为e u (t ),能否用双边拉 E
L
1 r (t )
二.系统的转移函数
R( j ) outputvector . H ( j ) E ( j ) input.vector
if .L[e(t )] E ( s), L[r (t )] R( s) L[ z.s.r ] R( s ) H ( s) , H ( s) L[input] E ( s)
e(t )
LT
E (s )
H (s )
LT
LT
R(s)
r (t )
h(t )
R( s ) H ( s) E ( s)
例 :已 知 某 因 果 系 统 的 对 下 输 入 信 号 1 如 f (t )的 输 出 为 (t ),求h(t ) ? y
f (t )
1 0
0t 2 t 0,t 2
s 0
1 1 2 lim [ s ] ( s 3) s (1 1 e s ) 3 s 0 2
例8.某系统如图所示:
1. H ( j ),并画出幅频 相频特性曲线 求 , . 2. 当输入信号为 (t )为宽度等于T的矩 f 形脉冲时,求响应y (t ). 3. 当输入为T的周期信号时求y (t ). ,
(1 e s ) Y ( s) 2 s 2
拉普拉斯变换公式总结材料..
拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析基本要求通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、 收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。
能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。
能根据系统函数的零、极点分 布情况分析、判断系统的时域与频域特性。
理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉 斯变换与傅里叶变换的关系。
会判定系统的稳定性。
知识要点1. 拉普拉斯变换的定义及定义域(1) 定义 单边拉普拉斯变换：st正变换 [f(t)] F(s) 0 f(t)e dt双边拉普拉斯变换:的收敛域。
0与函数f(t)的性质有关。
2. 拉普拉斯变换的性质逆变换[F(s)] f(t)stF(s)e正变换F B(S )f(t)edt1 jst逆变换 f(t)2 jjF B(s)eds(2)定义域若0 时，lim f (t)et0则St 「 ” ”t ”f(t)e 在0的全部范围内收敛，积分0就是f(t)的单边拉普拉斯变换st[f2(t)] F2(S) , 1 , 2 为常数(2 ) 原函数微分若[f (t)] F(s)则[響]sF(s) f(0 ) dt[d df>] s n F(s) n1s nr1f(r)(0 ) dt r 0r式中f⑴(0 )是r阶导数在0时刻的取值。
dt r(3)原函数积分(4)延时性F (s)，则[f(t t°)u(t t。
)] e st0F(s)(5)s域平移at若[f (t)] F (s)，则[f(t)e ] F(s a)(6)尺度变换1 s若[f (t)] F (s)，则[f (at)] F( )( a 0)a a(7)初值定理lim f (t) f(0 ) limsF(s)to s(8)终值定理lim f (t) lim sF(s)t s(9)卷积定理若[f1(t)] F1(s)，[f2(t)] F2(S)，则有[f1(t) f2(t)] F1(S)F2(S) (1) 线性性［仏“⑴］1 1肓[h(s) F2(s)] = ^-j.h(p)F2(s p)dpj[i f l(t) 2f2(t)] 1F1(S) 2F2(S)t若[f (t)] F (s)，则[f(t)dt] F(s)s3 式中f(D(0)s f(t)dt若[f (t)]3.拉普拉斯逆变换(1 ) 部分分式展开法首先应用海维赛展开定理将F (s)展开成部分分式，然后将各部分分式逐项进行逆变换，最后叠加起来即得到原函数 f (t)。
《信号与系统》本科专业教学大纲
《信号与系统》课程教学大纲课程编号：（可暂缺）课程名称：《信号与系统》英文名称：signal and system课程类型: 专业选修课必修总学时：48 学分：2.5 理论课学时：28 实验学时：20适用对象:生物医学工程专业、医学影像技术专业本科学生一、课程性质和地位信号与系统是研究与系统理论得基本概念和基本分析方法。
初步认识如何建立信号与系统得数学模型，从时间域到变换域，从连续到离散，从输入输出到状态空间描述，以通信和控制工程作为主要应用背景，注重实例分析，经适当的数学分析求解，对所得结果给以物理解释，赋予物理意义。
信号与系统与其他工程类学科有着密切的联系，本课程的先修课为医用高等数学、电路分析基础，它必须在具备高等数学知识的基础上，才能学好信号与系统课程。
它是专业选修课中的必修课，为学生学习后续课程及从事临床或研究工作奠定了基础。
因此，信号与系统是生物医学工程专业、医学影像技术专业课各学科的奠基石。
生物医学工程专业、医学影像技术专业学生对本门课程的掌握程度直接影响到后续课程基础知识的学习及影像实践和医学研究。
二、教学环节及教学方法和手段信号与系统的教学环节包括课堂讲授、实验、考试等方式。
其中课堂讲授是通过教师对指定教材部分章节的讲解，结合多媒体课件对板书和仪器结构给予图示以及启发式、案例式、双语式等教学方法的应用，加强对学生抽象与逻辑思维能力的培养，强调理论与实践相结合的讲授，从而提高学生分析问题、解决问题的能力，达到学生能掌握基本知识和基础理论的目的。
实验是教师在实验室里指导学生通过观察、对物理量的测量和对实验结果的分析，培养学生的动手能力，使学生加深对基本理论和定律的理解与掌握，逐步提高观察、分析实验现象和总结实验规律的能力。
考试是检验教学效果的有效手段，分理论考试和实验考试两种。
理论考试是指学期末本学科的结业考试，是对医学生学完医学物理学的总体测试。
三、教学内容及要求第一章绪论第一节信号与系统第二节信号的描述、分类和典型示例第三节信号的运算第四节阶跃信号与冲激信号第五节信号的分解第六节系统模型及其分类第七节线性时不变系统第八节系统分析方法【掌握】信号与系统的数学模型，能正确区分信号与系统的类型；画出给定信号的波形；掌握信号的运算：包括信号相加、信号的微积分、波形变换、信号的分解；熟悉线性时不变、因果系统的判断。
信号与系统§4.06-系统函数(网络函数)H(S)
R(s) H(s) r(t) h(t) 则L[h(t)] H(s)
2.H(s)的几种情况
策动点函数：激励与响应在同一端口时
1 I1s V1 s
1
单端口 网络
策动点导纳
转移函数：激励和响应不在同一端口
1 I1s
2 I2s
V1 s
双端口 网络
1
H(s) I2(s) V1 (s)
转移导纳
2
H(s) V2 (s) I1(s)
转移阻抗Biblioteka V2 s H (s) V2(s) V1 ( s )
电压比
H(s) V1 (s) I1(s)
策动点阻抗
H(s) I2(s) I1(s)
电流比
3．求H(s)的方法
ht Hs
微分方程两端取拉氏变换→
H s
H1(s)E(s) H1(s)E2(s)
所以
H1(s)E(s) H1(s)H2 (s) R(s)
H (s) R(s)
H1(s)
E(s) 1 H1(s)H2(s)
4．结论
在s域可进行代数运算：
已知子系统的hi (t)或Hi (s)，可以求出整个系统的Hs。
已知总的H(s)及部分系统的H i (s)，也可以求出另一个 子系统的H j (s)。
Es
H1s
H 2 s
Rs
时域 : h(t) h1(t) h2(t) 频域: H(s) H1(s) H2(s)
3．LTI系统的反馈连接
Es E1s H1s
Rs
E2s
H 2 s
E1(s) E(s) E2 (s)
E2 (s) R(s) H2 (s)
系统函数H(s)解读
转移导纳： 转移阻抗：
电压比： 电流比：
3.应用
1）利用拉氏变换求系统的响应
2）由H(s)求h(t),或求系统的零状态响应
【例4-6-1】已知系统 ，激励为 ，求系统的冲激响应 和零状态响应
解：
(1)在零起始状态下，对原方程两端取拉氏变换
则
（2） 或
§4.6.1系统函数H(s)
1.定义
在连续时间系统的傅里叶分析中，已经引入了系统函数的概念
同样，在s域中，单输入单输出情况下，系统的零状态响应
即系统函数就是零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比。
当 时，系统的零状态响应
， ，则
2.H(s)的几种情况
策动点函阻抗：
4.6 系统函数
4.6系统函数H (s )4.6.1系统函数设线性时不变系统的冲激响应为)(t h ，系统在激励信号)(t e 的作用下产生的零状态响应为)(t r ，则)()()(t h t e t r *=（4-6-1）对上式取拉氏变换氏变换，并借助卷积定理，可得)()()(s H s E s R ⋅=（4-6-2）所以)()()(s E s R s H =（4-6-3）这就是拉氏变换形式的系统函数，它定义为：系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比。
在式(4-6-2)中，)(s H 是)(t h 的拉氏变换，即)]([)(t h s H L =也就是说，系统冲激响应)(t h 和系统函数)(s H 构成一拉氏变换对，它们分别从时域和S 域表征同一系统的特性。
如何求系统函数呢？这里有如下三种情况。
(1)若已知系统的冲激响应)(t h ，则对其取拉氏变换，就立即获得系统函数)(s H ，这是最简单的的情况。
(2)若已知描述系统的微分方程，则可对微分方程两端取拉氏变换，写出系统零状态响应拉氏变换)(s R 与激励的拉氏变换)(s E 之比，从而求得系统函数。
例4-6-1已知描述系统的微分方程为试求系统函数)(s H 和冲激响应)(t h 解：在零起始状态条件下，对微分方程两端取拉氏变换，得td te d t r t d t r d )(2)(3)(=+)(2)(3)(s sE s R s sR =+所以系统函数为32)()()(+==s ss E s R s H 利用除法将上式改写成36232)(+-=+=s s s s H 对)(s H 取拉氏逆变换，求得冲激响应为例4-6-2已知描述系统的微分方程为)(6)(2)(6)(5)(2222t e dtd te dt d t r t r dt d t r dt d +=++若激励为)()1()(t u e t e t-+=，试求：(1)系统函数)(s H 和冲激响应)(t h ；(2)零状态响应)(t r zs 。
信号与系统课件第七章-系统函数
bmsmn
当 s 时 ，函数将要出现零点或极点，而 点s 可以认为
是在虚轴上，由前一个性质知，在虚轴上的零、极点必须是单
阶的，因此上式中应有
，即m 函n数1中分子、分母的最高幂
次相差不能大于 1（同样也可证最低幂次相差也不能大于 1，
这里略）。
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2022/1/13
信号与线性系统分析——系统函数
As s n s1 s2 sn s n1 s1s2 s1s3 s1s n s 2s3 s n1s n s n2
s1s 2s 3 s1s 2s 4 s n3 1 n s1s 2 s n
将上面两式比较，可得如下重要结论：
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信号与线性系统分析——系统函数
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信号与线性系统分析——系统函数
23
霍尔维茨多项式
⑵ Hurwith多项式的判别方法——必要条件 设 As s n a n1s n1 a n2s n2 a1s a0 s s1 s s 2 s s n
其中 sj 是使上式为零的根，为找出 sj 与 ai 的关系，可以 将上式展开，即：
中必含有一项 ，es且1t
es1t，当et网e j络t 无源时，必有 ；
⑷0 虚轴上的零、极点必须是单阶的，否则不稳定；
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信号与线性系统分析——系统函数
21
网络函数
⑸ 分子、分母多项式的最高幂次或最低幂次相差不能大
于1。
因为
s
当很大时，前式可简化为：Hs
bm s m sn
e t sit
1 lim
t siesit
0
，仍是衰减的。
信号与系统教学进程计划表-陈金华
教学进程计划表
课程名称：信号与系统
上课周数及学时数：12周48学时
学院：理学院年级：09专业：光信息科学与电子信息科学技术2010—2011学年度第一学期
周次
授课(实验)章节和内容
摘要
计划学时数
教学方式及学时分配
执行Hale Waihona Puke 况课堂实验现场
其他
(一)
其他
(二)
其他
(三)
第一周
第一章：绪论§1-11.1信号与系统§1.2信号的描述逻辑运算§1.3信号的运算§1.4阶越信号与冲激信号§1.5信号的分解§1.6系统模型及其分类1.7线性时不变系统1.8系统分析方法
4
4
第六周
§3.4傅里叶变换§3.5典型非周期信号的频谱§3.6冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换
4
4
第七周
§3.7傅里叶变换的性质§3.8卷积特性（卷积定理）
4
4
第八周
§3.9周期信号的傅里叶变换的性质§3.10抽样信号的傅里叶变换§3.11抽样定理
4
4
第九周
第四章拉普拉斯变换§4.1引言§4.2拉普拉斯变换的定义、收敛域§4.3拉普拉斯变换的基本性质
4
4
第十二周
第五章滤波、调制与抽样§5.3无失真传输§5.4理想低通滤波器§5.9从抽样信号恢复连续时间信号§5.10脉冲编码调制(PCM)5.11频分复用与时分复用
4
4
第十三周
复习
第十四周
复习
第十五周
考试
任课教师签名：教研室主任签名：学院主管领导签名：
4
4
第十周
§4.4拉普拉斯逆变换§4.5用拉普拉斯变换法分析电路、S域元件模型§4.6系统函数(网络函数)H(S)§4.7系统函数零、极点分布决定时域特性
系统函数
那么系统函数的零点和极点对于jω轴是镜像对称的。
其系统函数可写为：
H(s)
(s (s
s1 )(s s1 )(s
s2 ) s2 )
(s (s
s1 s1
)(s )(s
s1* ) s1* )
其频率特性为： H ( j ) ( j s1 )( j s2 ) B1B2 e j( 2 12 ) ( j s1 )( j s2 ) A1 A2
j
（2）
j
-2 -1 本题：由H(s)得到零极点图
-j
• 例2、已知H(s)的零、极点分布图如下图 所示，并且h(0+)=2,求H(s)的表达式。
解：极点p1＝-1＋j2;p2=-1-j2
零点＝0
所以
ks
ks
-1
H (s) (s 1 j2)(s 1 j2) s2 2s 5
逆也成立。
若存在虚轴上的一阶极点，按上面的定义是不稳定的， 但有时也称为边界稳定系统。
离散系统是稳定系统的充分和必要条件：
h(k ) M
k
h(k ) M
k 0
离散因果 系统
若H(z)的收敛域包括单位圆，则系统是稳定的；
对于既是稳定的又是因果的离散系统，其系统函
数 H(z)的极点都在z平面的单位圆内；其逆也成立。
A1
jω
-×s1 θ1
o A2
-s2× θ2
B1
s2 φ1
B2
φ2
s1
Φ(ω) H| jω | 2π
网络函数的定义
h(t )
1
[ H ( s)] 2 k i e i t cos( i t i )
i 1
n
显然极点位置不同，响应性质也不同。极点可
以反映出网络响应中自由分量的变化规律。
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j
h(t ) e at sin(t )
H i ( s)
h( t ) e at sin(t )
k ( s 1) H ( s) s( s 1)
h( t )
t
1
[ H ( s )]
1
k ( s 1) k 2ke t s( s 1)
lim h( t ) 10
k =－10
10( s 1) 10 20 H ( s) s s1 s( s 1)
I2(s)
U2(s)
若激励是电压源
若激励是电流源
I2 ( s) H ( s) 转移导纳 U1 ( s )
U 2 ( s) 转移电压比 H ( s) U1 ( s )
U 2 ( s) H ( s) I1 ( s )
转移阻抗
I2 ( s) 转移电流比 H ( s) I1 ( s )
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3. 网络函数的应用
（1）由网络函数求取任意激励的零状态响应
R( s ) H ( s) E ( s)
R( s ) H ( s ) E ( s )
例 图示电路，i S ( t ) ( t )，响应为u1和u2，求阶跃响应。
iS (t) 1
+ u1 1/4F －
2 2H
+ u2 －
3)当R 0时， 0，有 p1, 2 j 1 j 0 LC
传递函数h(s)
传递函数h(s)传递函数h(s)是控制工程中的一个重要概念，它能够描述一个系统的输入、输出之间的关系，被广泛地用于系统建模和控制器设计中。
本文将从以下几个方面介绍传递函数h(s)的相关内容。
1. 什么是传递函数h(s)传递函数h(s)被定义为系统输出与输入之间的比值，其中s表示Laplace变换的复频域变量。
传递函数h(s)通常表示成以下形式：h(s)=Y(s)/X(s)其中Y(s)为系统输出的Laplace变换，X(s)为系统输入的Laplace变换。
2. 传递函数h(s)的意义传递函数h(s)描述了输入信号在系统内传输和处理的方式，可以揭示系统的动态特性和频率响应特性。
其中，系统的动态特性包括零极点分布、系统阶数等内容；频率响应特性包括截止频率、幅频特性、相频特性等内容。
3. 传递函数h(s)的性质传递函数h(s)具有多种性质，下面介绍其中几个重要性质。
（1）时域特性：传递函数h(s)的逆Laplace变换可以得到系统的时间响应，这个响应包括系统的稳态响应和暂态响应。
（2）稳定性：当传递函数h(s)的所有极点均位于s平面的左半面时，系统是稳定的，否则系统是不稳定的。
（3）因果性：当传递函数h(s)是因果传递函数时，系统是因果的，否则系统是非因果的。
4. 传递函数h(s)的应用传递函数h(s)广泛应用于系统建模和控制器设计中。
在系统建模中，传递函数h(s)可以用来描述电路、机械系统、化学反应等各种物理系统；在控制器设计中，传递函数h(s)可以用来设计比例-积分-微分（PID）控制器、模型预测控制器、自适应控制器等各种控制器。
总之，传递函数h(s)是控制工程中不可或缺的重要概念，理解和掌握传递函数h(s)的相关内容，对于系统建模和控制器设计具有重大的意义。
两个系统级联系统函数
我们有两个系统，每个系统都有一个系统函数。
系统函数是描述系统输入和输出之间关系的函数。
现在，我们要找出这两个系统级联后的系统函数。
假设第一个系统的系统函数为 H1(s)，第二个系统的系统函数为H2(s)。
当两个系统级联时，它们的输出是第一个系统的输出作为第二个系统的输入。
因此，级联后的系统函数 H(s) 是 H1(s) 和 H2(s) 的乘积。
数学上，这可以表示为：
H(s) = H1(s) × H2(s)
现在，我们可以使用这个模型来计算级联后的系统函数。
计算结果为：级联后的系统函数 H(s) = H1的s函数× H2的s函数。
第六章 复频域系统函数
H ( s)
U ( s) s 2 I ( s) s 4s 3
I1 ( s )
I 2 ( s)
2）求单位冲激响应 h(t)
3 1 h(t ) ( e 3t e t )U (t ) 2 2
1 3) 求全响应： I ( s ) s
零状态分量
1
9
u f (t ) L {H s
H ( s ) H1 ( s ) H 2 ( s )
H ( s ) H1 ( s ) H 2 ( s )
9）系统零极点分析
例2： 线性时不变电路的模型如下，且已知激励i(t)=U(t)，响应为u(t)，且
iL(o-)=1A，uc(o-)=1V。求: 1) H(s)；
2) h(t)；
U 1 s
1 sC R
U 2 s
H ( )
2
( )
某系统的系统函数为 例4：
4s H s 2 s 2s 2
求频率特性和激励f(t)=100cos(2t+45°)时系统的正 弦稳态响应y(t)。
解：1） H(s)收敛域含j 轴，有
H jω 4ω 4 ω4
X(2)
K i e i t cos( i t i ) K i 1te i t cos( i t i 1 )
2、H(s)极点在s右半平面 单实极点： 共轭极点：
pi i K e i
it
X(2)
pi,i1 i ji
it
K i e cos( i t i )
第六章 复频域系统函数
6-1 复频域系统函数定义与意义
一、定义： 系统函数：
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I2 (s)
策动点阻抗
转移函数：激励和响应不在同一端口 转移函数：激励和响应不
+ V1(s)
1′
1 I1(s) 2
双端口 网络
2′
+ V2 (s)
I2 (s) H(s) = V1 (s)
转移导纳
V2 (s) V2 (s) H(s) = H(s) = V1(s) I1 (s)
转移阻抗 电压比
I2 (s) H(s) = I1(s)
电流比
R(s) 利用网络的s域元件模型图 域元件模型图， 域方程 利用网络的 域元件模型图，列s域方程→ H拉氏变换→ H(s) = E(s)
h(t ) → H(s)
3．求H(s)的方法 ．求H
e , 当 (t ) = δ (t )时 系统的零状态响应
R(s) = H(s)
r(t ) = h(t )
L 则 [h(t )] = H(s)
2.H(s)的几种情况 2.H
策动点函数：激励与响应在同一端口时 策动点函数：
+ V1(s)
1′ 1 I1(s)
单端口 网络
V1 (s) H(s) = I1 (s)
§4.6 系统函数(网络函 系统函数( 系统函数 系统函数 数)H(s)
LTI互联网络的系统函数 互联网络的系统函数 并联 级联 反馈连接
1.定义
一．系统函数
e(t ) E(s)
h(t )
H(s)
r(t ) R(s)
r(t ) = e(t ) h(t ) R(s) = E(s) H(s) R(s) H(s) = 所以 E(s) 响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比 [ [ 其中 R(s) = L r(t )], E(s) = L e(t )]
所以 R(s) H1(s) H(s) = = E(s) 1+ H1(s)H2 (s)
4．结论
域可进行代数运算： 在s 域可进行代数运算：
已知子系统的 i (t )或Hi (s)，可以求出整个系统的 (s)。 h H
H H 已知总的 (s)及部分系统的 i (s)，也可以求出另一个 H 子系统的 j (s)。
H1 (s)
R(s)
H2 (s)
E1 (s) = E(s) E2 (s)
R(s) = H1(s)E1(s) = H1(s) [ E(s) E2 (s)]
= H1 (s)E(s) H1 (s)E2 (s)
E2 (s) = R(s) H2 (s)
= H1 (s)E(s) H1 (s)H2 (s) R(s)
4.应用：求系统的响应
方法一： H 方法一： (s) → h(t ) → r(t ) = e(t ) h(t )
方法二： R 方法二： (s) = H(s)E(s) → r(t )
1．LTI系统的并联
E(s)
二．LTIS互联的系统函数 二．LTIS互联的系统函数
H1(s)
R(s)
H2 (s)
h(t ) = h1 (t ) + h2 (t )
H(s) = H1 (s) + H2 (s)
H2 (s) R(s)
2．LTI系统的级联
E(s) H1 (s)
时域: h(t ) = h1(t ) h2(t )
H 复频域： 复频域： (s) = H1(s) H2 (s)
E(s) +
3．LTI系统的反馈连接 LTI系统的反馈连接
E1 (s) E2 (s)