竞赛均值不等式专题讲解
竞赛均值不等式专题讲解
均值不等式专题讲解一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
. 二、用均值不等式求最值利用均值不等式求最值的记忆口诀为：“一正二定三相等”，三者缺一不可： 一 正：利用均值不等式解题要先保证各式都是正数； 二 定：求和的 积要固定，求积的 和要固定； 三相等：只有在各式都相等的前提下，和与积才能取到最值。
例1：下列命题中正确的是【 】A 、x x 1+的最小值为2； B 、xx -+22的最小值为2； C 、baa b +的最小值为2；D 、θθcot tan +的最小值为2。
点评：各式都是正数是利用均值不等式解题的前提，缺少这个条件足以致命。
例2：你能指出下列推导过程错在哪里吗？⑴若0>x ，则221213xx x x x ++=+≥33223123⋅=⋅⋅⋅x x x ；⑵若⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx ，则x x x x sin 2sin sin 2sin 2+=+≥22sin 2sin 2=⋅x x ； ⑶若R x ∈，则()41441441)4(45222222222+++=+++=+++=++x x x x x x x x ≥2。
均值不等式专题附带解析
12．已知正实数x，y满足 ，则 的最小值为______．
13．若 ， ， ，则 的最小值为______．
14．若 ，则 的最小值为________.
15．已知a，b都是正数，满足 ，则 的最小值为______．
16．已知 ， 且 ，则 的最小值为______．
17．已知点 在圆 上运动，则 的最小值为___________．
18．若函数 的单调递增区间为 ，则 的最小值为____．
19．已知正实数 ， 满足 ，则 的最大值为______.
20．已知 ， ，则 的最小值为____．
参考答案
1．
【解析】
【分析】
根据对数相等得到 ，利用基本不等式求解 的最小值得到所求结果.
【详解】
则 ，即
由题意知 ，则 ，
则
当且仅当 ，即 时取等号
【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.
3．4.
【解析】
【分析】
直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果．
【详解】
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当且仅当 ， 时取等号，
故答案为：4.
【点睛】
本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
均值不等式专题
一、填空题
1．若 则 的最小值是__________．
2．若 ,且 则 的最大值为______________.
3．已知 ，且 ，则 的最小值为______．
4．已知正数 满足 ，则 的最小值是_______.
初中数学竞赛专题1-均值不等式的应用
初中数学竞赛专题1均值不等式的应用基础概念1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 例题解析【例1】求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x）≤－2x ·1x =－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）【例2】求函数2y =的值域。
(2)t t =≥，则2y =1(2)t t t ==+≥ 因10,1t t t >⋅=，但1t t=解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。
因为1y t t=+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故52y ≥。
三元齐次不等式问题的数学竞赛讲义——均值不等式与柯西不等式应用拓广 学生版
三元齐次不等式问题的解答讲义-均值不等式与柯西不等式应用拓广众所周知，三元齐次不等式是一类基本型不等式问题，证明所需技巧性简单，本文通过几个例题梳理证明的一般步骤：通常只要展开分析，考察展开式，能否首先使用均值不等式，均值不等式的元可以任意，其次考虑应用柯西不等式，能否配方，能否使用同一类型的3-u -v 法证明。
一、基本三元齐次不等式问题1原始问题：已知a ，b ，c >0，求证：a 2b 2+b 2c 2+c 2a2≥a b +b c +c a .2问题的加强1：已知a ，b ，c >0，求证：a 2b 2+b 2c 2+c 2a2≥a b +b c +c a +3a -b 2+b -c 2+c -a 2ab +bc +ca .3问题的加强2：已知a ，b ，c >0，求证：a 2b +b 2c +c 2a ≥a +b +c +2a -b 2+b -c 2+c -a 2a +b +c.根据上述两个题，增加字母次数，变形改编一题，1加强变形题1：已知a，b，c>0，求证：a(a2−b2)b +b(b2−c2)c+c(c2−a2)a≥3(a−b)4+(b−c)4+c−a4a2+b2+c2.舍掉一部分元素，使得题目条件难度加大，改编题目，2加强变形题2：问题[2023-06-2500:00]：已知a，b，c>0，，求证：a(a2−b2)b +b(b2−c2)c+c(c2−a2)a≥4c−a4a2+b2+c2.二、复杂一点的三元齐次不等式问题：这类问题看能否使用均值不等式，凑一组不等式问题，使用均值不等式，若使用过程出现困难，则展开证明.1问题1：已知a，b，c>0，求证：b+c4a+b+c+c+a4b+c+a+a+b4c+a+b≥3.2问题2：已知a，b，c>0，求证：a2(b+c)4a+b+c +b2(c+a)4b+c+a+c2(a+b)4c+a+b≥29bc+ca+ab.3问题3：已知a，b，c>0，求证：b(b+c)c(4a+b+c)+c(c+a)a(4b+c+a)+a(a+b)b(4c+a+b)≥13.4问题4：已知a，b，c>0，求证：a(b+c)b(4a+b+c)+b(c+a)c(4b+c+a)+c(a+b)a(4c+a+b)≥13.5问题5是多元均值不等式的应用问题.再看一个题8次不等式的展开证明：已知a，b，c≥0，β∈0，31，求证：cyc [(b4+c4)(3b+c)(b+3c)(b2+c2-2a2)]≥42cyc a2⋅cyca2-c2+βcycc-a 2⋅cycc-a 2.三、思考问题：6①已知a ，b ，c >0，求证：2cyc a 4 cyc a 3(a +b ) 5a −c (4a +3b −7c )−20cyc a 2b 3(a −c )≥cyc bc (a −b )8 +cyc (c −a )2⋅ cyc(b −c )2(c −a )2 .7②已知a ，b ，c >0，求证：a 2+b 2+c 2≥a b 2−bc +c 2+b c 2−ca +a 2+c a 2−ab +b 2≥ab +bc +ca .。
均值不等式知识点
均值不等式知识点均值不等式是数学中的一种基本不等式，它可以用来描述一组数的平均值与它们的不等关系。
通过均值不等式，我们可以得到很多有用的结论和推论，应用于不同的数学问题中。
让我们来看一个简单的例子。
假设有两个正数a和b，我们可以用算术平均值和几何平均值来表示它们，即(a+b)/2和√(ab)。
根据均值不等式的原理，我们知道算术平均值大于等于几何平均值，即(a+b)/2 ≥ √(ab)。
这可以用来证明许多不等式，比如当a和b为正数时，有a+b ≥ 2√(ab)。
除了上述的算术平均值和几何平均值之外，还有其他形式的均值不等式。
例如，对于一组正数x1，x2，...，xn，我们可以定义它们的调和平均值为n/(1/x1+1/x2+...+1/xn)。
根据均值不等式，我们知道调和平均值小于等于几何平均值，即n/(1/x1+1/x2+...+1/xn) ≤ √(x1x2...xn)。
这个不等式在概率论和统计学中有重要的应用。
除了正数之外，均值不等式也适用于其他类型的数，比如实数和复数。
对于实数，均值不等式可以用来证明很多有趣的结果，比如当a和b为实数时，有|a+b| ≤ |a|+|b|。
对于复数，均值不等式可以用来证明柯西不等式，它是线性代数中的一个重要结果。
除了上述的应用，均值不等式还可以用来证明其他数学问题的解，比如最优化问题和不等式证明。
在最优化问题中，我们可以通过均值不等式来找到一个函数的最大值或最小值。
在不等式证明中，我们可以通过均值不等式来证明两个数的大小关系或不等式的成立。
均值不等式是数学中的一个重要概念，它有着广泛的应用和重要的理论意义。
通过均值不等式，我们可以得到很多有用的结果和推论，帮助我们解决各种数学问题。
在实际应用中，我们可以利用均值不等式来优化函数的性质，证明不等式的成立，以及推导其他数学公式和结论。
通过深入学习和理解均值不等式的原理和应用，我们可以提高数学问题的解决能力，并在数学领域取得更好的成绩。
高中数学竞赛讲义(九)不等式
高中数学竞赛讲义（九）──不等式一、基础知识不等式的基本性质：（1）a>b a-b>0；（2）a>b, b>c a>c；（3）a>b a+c>b+c；（4）a>b, c>0ac>bc；（5）a>b, c<0ac<bc; （6）a>b>0, c>d>0ac>bd;（7）a>b>0, n∈N+a n>b n; （8）a>b>0, n∈N+;（9）a>0, |x|<a-a<x<a, |x|>a x>a或x<-a;（10）a, b∈R，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|;（11）a, b∈R，则(a-b)2≥0a2+b2≥2ab;（12）x, y, z∈R+，则x+y≥2, x+y+z前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。
（6）因为a>b>0, c>d>0，所以ac>bc, bc>bd，所以ac>bd；重复利用性质（6），可得性质（7）；再证性质（8），用反证法，若，由性质（7）得，即a≤b，与a>b矛盾，所以假设不成立，所以；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|，所以|a+b|≤|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|，所以|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因为x+y-2≥0，所以x+y≥，当且仅当x=y时，等号成立，再证另一不等式，令，因为x3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0，所以a3+b3+c3≥3abc，即x+y+z≥，等号当且仅当x=y=z 时成立。
含参数均值不等式在数学竞赛中的应用
解： 引进正的待定常数 Ａ， Ｂ得 ： ｄ － ２ ｘ ｙ＋
ｙ ： Ａ ． １
１
ｙ ・ ≤
或 Ａ ：一３一￣ ／ 厂 两（ 舍去） 即 ＋Ｙ ＋２ ≥
（一 ３ ＋ ｅ ｑ ３） （ ３ ￣ ｙ ＋ ｙ ｚ ＋ ｚ ） ，
●
－
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＿ －＿ — —— — —— — ＿—
Ｓ１ ｎ ａ ＣＯＳ
＋ － ｌ ， 设 去 测２ “１ ５ ｔ ３ — Ｂｚ ｅ ￣ ｓ ２ ａ ＋Ａ ｃ ｏ ｓ ２ ａ＋ Ｂ ｓ ｉ ｎ ２ ａ＋—
２ ：０ ， 而２ ｔ ＋ １ ５ ｔ 一２＝ ２ ｔ 一 ｔ ＋ １ ６ ｔ 一
一
２： ｔ （ ２ ｔ 一１ ） ＋２ （ ２ ｔ 一１ ） （ ４ ｔ ＋２ ｔ ＋１ ）：
评注： 此 法是 通 过 引入 待 定 的正 常 数 运 用含参 的均 值不 等式 ， 求得 函数 的最 小值 ． 虽 然解 法繁 琐 ， 技巧性强 ， 方 法 较难 想 到 ． 但 此 法 是解决 这类 问题 的通 法 ． 所谓 此题 的简解 ， 实际上 是 这 个 问题 解 后 反思 的结 果 ， 是 已经 知道 问题 最 小 值 为 ６ ８ ， 且 ｓ ｉ ｎ ａ＝ ， ｃ 。 ｓ ａ
√ 警， Ａ 。 ｓ ： Ｂ ｓ ｉ ｎ 同 时 成 立 ， 消 去 ４ ，
可 得ｔ ｎ ： ， ： 詈 ， 此 时Ａ＝ ４ ， Ｂ ＝
４ ， 从而可 得 ｙ ＝８ ． 评注 ： 例 ２的方 法具 有一 般性 ， 对求 三角
２ ， ， ｚ＋２ ｚ ＝３ （ ＋ｙ ） ＋２ （ ＋ｙ ） ｚ＋６ ｚ
『 ＿ 斗 ２ ４ ２ ￣ ＝ ｓ ｉ ｎ ２
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均值不等式知识点讲解及模拟题
第三节：基本不等式1、 基本不等式：（1）如果a 、b 是正数，那么（当且仅当a=b 时取“=”）（2）对基本不等式的理解：a ＞0，b ＞0，a,b 的算术平均数是a+b/2，几何平均数是_________.叙述为：两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数 2、 基本不等式的推广：注意：用基本不等式求最值的要点是：一正 、二定 、三相等 三个正数的均值不等式： n 个正数的均值不等式： 3、四种均值的关系两个正数a 、b 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是： 4. 最值定理 设x ＞0,y ＞0,由x+y ≥ （1）若积xy=P(定值），则和x+y 有最小值 ；（2）若和x+y=S(定值），则积xy 有最大值 即:积定和最小，和定积最大. （不等式的证明）例1、证明基本不等式（跟踪训练） 2a b+≥ab).(22,R ,)4().(2,R ,)3().(2R,,)2()"",00(,0R,)1(222222等号时取当且仅当则若时取等号当且仅当则若时取等号当且仅当则若取时当且仅当则若b a b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a b a a a a a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+∈=≥+∈=≥+∈==≥≥∈++.2211222b a b a ab ba +≤+≤≤+xy2P 222⎪⎭⎫ ⎝⎛S .33abc c b a ≥++.....n....2121n n n a a a a a a ≥+++2a b +≥,,: 2.ba ab ab+≥已知都是正数求证例2、（跟踪训练）例3、若x ＞0,y ＞0,x+y=1. 求证:（跟踪训练）若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证： （利用基本不等式求最值） 例3、（跟踪训练1）（跟踪训练2）若x 、y ∈,则x+4y=1,求x .y 的最大值 例4、若正数a,b 满足求a+b 的最小值（跟踪训练1）若正实数x,y 满足xy=2x+y+6,求xy 的最小值。
数学竞赛中的不等式知识点总结
数学竞赛中的不等式知识点总结数学竞赛在学生的学习中扮演着很重要的角色，不仅能够提高学生的数学素养，还能够培养学生的逻辑思维能力和解题能力。
在数学竞赛中，不等式是一个非常重要的知识点，很多的数学竞赛都会考察不等式相关的题目，因此在备战数学竞赛的过程中，掌握好不等式知识点是非常必要的。
1.基本不等式基本不等式是指在所有正整数中，算术平均数大于等于几何平均数。
即对于任意正整数$a_1,a_2,\cdots,a_n$，都有：$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$基本不等式是不等式中最基础的知识点，但是在数学竞赛中应用的非常广泛，尤其是在证明其他不等式定理时，基本不等式起到了非常重要的作用。
2.均值不等式均值不等式是指在所有实数中，算术平均数大于等于几何平均数。
均值不等式分为两种情况，一种是两个数的情况，另一种是多个数的情况。
两个实数$a$和$b$的均值不等式如下：$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$多个实数$a_1,a_2,\cdots,a_n$的均值不等式如下：$\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$均值不等式是在基本不等式的基础上发展起来的，应用范围比基本不等式更广泛，也更加灵活。
3.柯西不等式柯西不等式是指两个向量的点积不大于这两个向量的模的乘积。
柯西不等式可用于证明其他不等式，也可作为求极值的工具在数学竞赛中得到广泛应用。
柯西不等式如下：$(x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n)^2 \leq(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)(y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2)$其中$x_1,x_2,\cdots,x_n$和$y_1,y_2,\cdots,y_n$是任意实数。
均值不等式课件
03
解答1
解答2
解答3
首先，我们将原不等式$frac{a+b}{2} geq sqrt{ab}$进行平方，得到 $(a+b)^2 geq 4ab$。然后，我们展 开并整理得到$(a-b)^2 geq 0$，由 于平方数总是非负的，所以原不等式 成立。
首先，我们将原不等式$frac{a+b}{2} geq frac{sqrt{a^2+b^2}}{2}$进行 平方，得到$(a+b)^2 geq a^2+b^2$。然后，我们整理得到 $ab geq 0$，由于$a > 0$且$b > 0$，所以$ab geq 0$成立，原不等 式也成立。
CHAPTER
03
均值不等式的证明方法
代数证明方法
代数证明方法是通过代数运算来 证明均值不等式的一种方法。
常用的代数证明方法包括比较法 、反证法、归纳法等。
这些方法通常需要使用基本的代 数公式和不等式性质，通过一系 列的推导和变换来证明均值不等
式。
几何证明方法
几何证明方法是利用几何图形和 面积来证明均值不等式的一种方
均值不等式ppt课件
CONTENTS
目录
• 均值不等式的定义 • 均值不等式的性质 • 均值不等式的证明方法 • 均值不等式的应用 • 均值不等式的变体 • 习题与解答
CHAPTER
01
均值不等式的定义
均值不等式的文字描述
• 均值不等式的文字描述为：“对于任意正数$a_1, a_2, ..., a_n$ ，有$\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}$，当且仅当$a_1 = a_2 = ... = a_n$ 时取等号。”
高中数学竞赛均值不等式讲义
⾼中数学竞赛均值不等式讲义均值不等式1.均值不等式知识点1: ⼆元均值不等式可以推⼴到n 元，即：设,,,123a a a a n 为n 个⾮负实数，则12na a a n+++≥123a a a a n ====）.如何证明?知识点2: 设,,,123a a a a n 为n 个⾮负实数,n Q, 12nn a a a A n+++=,n G =, 12111n nnH a a a =++,则n n n n Q A G H ≥≥≥(等号成⽴当且仅当123a a a a n ====) 更⼀般的平均值的定义: 设正数(1,2,3...)i a i n =,则α的幂平均值=11()ni i a nαα=∑,特别的,我们有:lim ()n f G αα→=，11()()ni i a f nααα==∑为关于α的增函数.知识点3:重要结论 (1)222,,,.a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++(2) ()2,,,3().a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (3) 2222,,,3()().a b c R a b c a b c ∈++≥++ (4) 2,,,()3().a b c R ab bc ca abc a b c ∈++≥++ (5),,,()()()()().a b c R a b b c a c abc a b c ab cb ac ∈++++=++++(6) 222;2a a a b b a b b-≥-+≥(a,b,c>0)(7) 2222221()()3a b b c c a a b c a b c ++≤++++(a,b,c>0)(8)正实数(1,2,3...)i a i n =,则2111n ni i i ia n a ==?≥∑∑(当且仅当12...n a a a ===); (9) 222222222222()()()()()a b b c c a ab bc ca a b c a bc b ca c ab ++++=++++知识点4:加权平均值不等式已知12+...1(0,1,2.,,,)n i w w w w i n +=>=，则对任意正实数12112212........n w w w n n n w a w a w a a a a +++≥.均值不等式的使⽤前要注意两个⽅⾯,⼀个是观察题⽬中不等式证明⽅向,另外⼀个是取等条件，根据这些信息,相应去选择均值不等式的技巧、模型，不断尝试，最终解决问题。
第11讲 均值不等式-拔高难度-讲义
均值不等式引入1、利用作差法证明：22,,2.a R b R a b ab ∈∈+≥ 证明：∵a2＋b2－2ab ＝(a －b)2≥0∵a2＋b2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，取“＝”．2、当a>0，b>0时，a ＝(a)2，b ＝(b)2.据此证明：a>0，b>0时，a ＋b≥2ab. 证明：∵a ＋b －2ab ＝(a)2＋(b)2－2a·b ＝(a －b)2≥0.∵a ＋b≥2ab.解读1、等号成立条件对于任意实数a b ，，222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立．证明：2222()a b ab a b +-=-，当a b ≠时，2()0a b ->；当a b =时，2()=0a b -．222a b ab ∴+≥，当且仅当a b =时，等号成立．2、基本不等式如果a b ，，是正数，那么2a b+a b =时，有等号成立．此结论又称均值不等式或基本不等式．证明：2220a b +-+=≥，即a b +≥所以2a b+3、均值不等式的理解（1）对于任意两个实数a b ，，2a b+叫做a b ，a b ，的几何平均值．此定理可以叙述为：两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数． （2）对于=“”的理解应为a b =是2a b+a b ≠，则2a b+> （3）注意222a b ab +≥和2a b+成立的条件不同．前者是a b R ∈，，后者是+a b R ∈，4、极值定理（1）若x y s +=（和为定值），则当x y =时，xy 取得最大值是24s ；证明：x y ，都是正数，2x y+≥有x y s +=，22()24x y s xy +≤=，当且仅当x y =时，xy 取得最大值是24s ；（2）若=xy p （积为定值），则当x y =时，x y +取得最小值是；证明：x y ，都是正数，2x y+≥当且仅当x y =时，等号成立．又=xy p ，x y +≥【注意】利用极值定理求最大值或最小值是应注意：①注意均值不等式的前提条件：函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可以先进行转化，再运用均值不等式；②求积xy 最大值时，应看和x y +是否是定值；求和x y +最小值时，看xy 是否为定值．③通过加减的方法配凑成使用算术平均数与几何平均数定理的形式； ④注意“1”的代换；⑤等号是否成立: 只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值．否则不能由均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值．5、运用均值不等式的前提有口诀：一正二定三相等．探究下面是基本不等式2a bab +的一种几何解释，请你补充完整． 如图所示，AB 为⊙O 的直径，AC ＝a ，CB ＝b ，过点C 作CD ⊥AB 交⊙O 上半圆于点D ，连接AD ，BD .由射影定理可知，CD ＝ ，而OD ＝ ， 因为OD CD ，所以2a bab + 当且仅当C 与O ，即 时,等号成立． 答案：=CD ab OD ＝2a b +，OD CD ≥，2a bab +，当且仅当点C 与圆心O 重合，即a b =时，等号成立．典例精讲一．选择题（共15小题）1．（2017秋•周口期末）已知x ＞0，y ＞0，且x 2+3xy ﹣2=0，则2x +y 的最小值是（ ） A ．2√23B ．√23C ．2√103D ．√103【分析】由x 2+3xy ﹣2=0得y =23x −x3代入2x +y 化简之后利用基本不等式可求出2x +y 的最小值．【解答】解：由x 2+3xy ﹣2=0，得3xy=2﹣x 2，所以，y =2−x 23x =23x −x 3，由基本不等式可得2x +y =2x +23x −x 3=5x 3+23x ≥2√5x 3⋅23x =2√103， 当且仅当5x 3=23x(x ＞0)，即当x =√105时，等号成立，因此，2x +y 的最小值为2√103，故选：C ．2．（2018春•齐齐哈尔期末）若等边△ABC 的边长为3，N 为AB 的中点，且AB 上一点M 满足：CM →=xCA →+yCB →(x ＞0，y ＞0)，则当9x +1y 取得最小值时，CM →⋅CN =→（ ） A ．214B ．6C ．274D ．152【分析】根据N 为AB 的中点，且AB 上一点M 满足M ，A ，B 三点共线：CM →=xCA →+yCB →(x ＞0，y ＞0)，可知x +y=1，利用“乘1法”与基本不等式的性质求解x ，y 的值，即可求CM →⋅CN →．【解答】解：由题意：N 为AB 的中点，且AB 上一点M 满足：CM →=xCA →+yCB →(x ＞0，y ＞0)，可知x +y=1，则（9x +1y ）（x +y ）=10+9yx +xy ≥2√9yx +xy +10=16，当且仅当x=34，y=，14时取等号．由CM →=xCA →+yCB →(x ＞0，y ＞0)，则AM=3，MB=1，N 为AB 的中点，正△ABC 的边长为3，那么CN=3√32，CM=1，则CM=√312．cos ∠NCM=3√32√312=√3√31．则CM →⋅CN →=|CN |×|CM |•cos ∠NCM=274．故选：C ．3．（2018春•重庆期末）已知正数x ，y 满足x +y=1，则1x +11+4y的最小值为（ ）A ．73B ．2C ．95D ．43【分析】由x +y=1得4x +（4y +1）=5，然后利用基本不等式计算5(1x +11+4y )=[4x +(1+4y)](1x +11+4y )的最小值，即可得到1x +11+4y 的最小值．【解答】解：∵x +y=1，∴4x +4y +1=5，所以，5(1x +11+4y )=[4x +(1+4y)](1x +11+4y )=4x 1+4y +1+4y x+5≥2√4x 1+4y ⋅1+4yx +5=9，所以，1x +11+4y ≥95，当且仅当{4x 1+4y =1+4y x x +y =1，即当{x =56y =16时，等号成立， 因此，1x +11+4y 的最小值为95，故选：C ．4．（2018春•柯桥区期末）已知正实数x ，y 满足x +y +3=xy ，若对任意满足条件的正实数x ，y 都有不等式（x +y ）2﹣a （x +y ）+1≥0恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，−52]B ．（﹣∞，376] C ．[376，+∞） D ．（﹣∞，﹣52]∪[376，+∞）【分析】运用xy ≤(x+y)24，由二次不等式的解法可得x +y ≥6，由题意可得a ≤（x +y ）+1x+y的最小值，运用对勾函数的单调性，可得最小值，进而得到所求范围．【解答】解：x +y +3=xy ≤(x+y)24，可得（x +y ）2﹣4（x +y ）﹣12≥0， 由x ＞0，y ＞0，解得x +y ≥6， 对任意满足条件的正实数x ，y 都有 不等式（x +y ）2﹣a （x +y ）+1≥0恒成立， 可得a ≤（x +y ）+1x+y 的最小值， 可令t=x +y ，则t +1t 在t ≥6递增，可得t +1t 的最小值为376，则a ≤376，故选：B ．5．（2018春•张家界期末）下列函数中，最小值为2的是（ ） A ．y=lgx +1lgxB ．y=2x+12xC ．y=2√2D ．y=sinx +1sinx（0＜x ＜π2）【分析】A项中lgx不能保证＞0；B项运用基本不等式可得答案；C项中y=2√x+4=√x2+4+√x+4≥2√x2+4×√x+4等号不成立；D项中sinx=1sinx无解．【解答】解：A中lgx∈R，不满足正数条件；B选项中2x＞0运用基本不等式可知成立；C中√x2+4=√2无解不满足三能等条件，不对；D中sinx=1sinx无解．故选：B．6．（2018春•石家庄期末）设a，b，c∈（0，1），则a+1b，b+1c，c+1a（）A．都不大于2B．都不小于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个大于2【分析】先利用基本不等式判断（a+1b）+（b+1c）+（c+1a）＞6，再用反证法证明a+1b，b+1c，c+1a中至少有一个大于2．【解答】解：a，b，c∈（0，1），则（a+1b）+（b+1c）+（c+1a）=（a+1a ）+（b+1b）+（c+1c）≥2√a⋅1a+2√b⋅1b+2√c⋅1c=6，当且仅当a=b=c=1时取“=”；∴（a+1b）+（b+1c）+（c+1a）＞6，假设a+1b，b+1c，c+1a都不大于2，则（a+1b）+（b+1c）+（c+1a）≤6，这与（a+1b）+（b+1c）+（c+1a）＞6矛盾，∴假设不成立，即a+1b，b+1c，c+1a中至少有一个大于2．故选：D．7．（2018春•沙坪坝区校级期末）若正数a ，b 满足：lga +lgb=lg （a +b ），则1a−1+4b−1的最小值为（ ） A ．16B ．9C ．4D ．1【分析】由对数运算得到ab=a +b ，通过因式分解得到（a ﹣1）（b ﹣1）=1，再利用基本不等式即可求出1a−1+4b−1的最小值．【解答】解：由lga +lgb=lg （a +b ），可得lg （ab ）=lg （a +b ）， 所以，ab=a +b ，则ab ﹣a ﹣b +1=1，即a （b ﹣1）﹣（b ﹣1）=1，所以，（a ﹣1）（b ﹣1）=1， 由基本不等式可得1a−1+4b−1≥2√4(a−1)(b−1)=41=4，当且仅当{1a−1=4b−1(a −1)(b −1)=1，即当{a =32b =3时，等号成立，因此，1a−1+4b−1的最小值为4，故选：C ．8．（2018秋•越城区校级月考）已知实数a ，b ，c ，d 满足a +b=1，c +d=1，则1abc+1d的最小值是（ ） A ．10B ．9C ．4√2D ．3√3【分析】利用基本不等式求得1ab≥4，再利用基本不等式求得1abc+1d的最小值．【解答】解：∵a +b=1，c +d=1，∴ab ≤(a+b 2)2=14，∴1ab ≥4，当且仅当a=b=12时，取等号．则1abc +1d ≥4⋅1c +1d =（c +d ）•（4c +1d ）=5+4d c +c d≥5+2√4d c ⋅cd =9， 当且仅当a=b=12时，且c=23，d=13时，1abc +1d的最小值为9，故选：B ．9．（2018春•城关区校级期末）设x＞0，y＞0且x+y=1，函数y=4x+1y的最小值为（）A．10B．9C．8D．27 2【分析】将代数式x+y与代数式4x +1y相乘，展开，然后利用基本不等式可求出答案．【解答】解：∵x＞0，y＞0且x+y=1，所以，4x +1y=(x+y)(4x+1y)=4yx+xy+5≥2√4y x⋅x y+5=9，当且仅当{4yx=xyx+y=1，即当{x=23y=13时，等号成立，因此，函数y=4x+1y的最小值为9，故选：B．10．（2018春•金安区校级期末）下列说法正确的是（）A．x+1x的最小值为2B．sinx+4sinx的最小值为4，x∈（0，π）C．x2+1的最小值为2xD．4x（1﹣x）的最大值为1【分析】利用基本不等式或函数的基本性质来得出各代数式的最值，利用基本不等式时需注意“一正、二定、三相等”这三个条件要满足．【解答】解：对于A选项，当x＜0时，x+1x＜0，A选项不符合题意！对于B选项，当x∈（0，π）时，0＜sinx≤1，由基本不等式可得sinx+4sinx≥2√sinx⋅4sinx=4，当且仅当sinx=4sinx，即当sinx=2时，等号成立，这与0＜sinx≤1矛盾！对于C 选项，∵x 2≥0，x 2+1≥1，所以，x 2+1的最小值为1，C 选项不合乎题意！ 对于D 选项，由基本不等式可得4x(1−x)≤4⋅(x+1−x 2)2=1，当且仅当x=1﹣x 时，即当x=12时，等号成立，D 选项正确！故选：D ．11．（2018春•平罗县校级期末）若a ＞1，b ＞1则a +b ，2ab ，2√ab ，a 2+b 2中最大的一个是（ ） A ．a +bB ．2abC ．2√abD ．a 2+b 2【分析】利用基本不等式与重要不等式的性质、作差法即可得出． 【解答】解：∵a ＞1，b ＞1， ∴a +b ≥2√ab ，a 2+b 2≥2ab ，又（a 2+b 2）﹣（a +b ）=(a −12)2+(b −12)2﹣12＞(1−12)2+(1−12)2﹣12=0，∴a 2+b 2＞a +b ，因此：a +b ，2ab ，2√ab ，a 2+b 2中最大的一个是：a 2+b 2， 故选：D ．12．（2018春•萍乡期末）不等式1−x x≥0的解集为（ ）A ．[0，1]B ．（0，1]C ．（﹣∞，0]∪[1，+∞）D ．（﹣∞，0）∪[1，+∞）【分析】根据题意，原不等式可以转化为（1﹣x ）x ≥0且x ≠0，解可得x 的取值范围，即可得答案． 【解答】解：根据题意，1−x x≥0⇒（1﹣x ）x ≥0且x ≠0，解可得：0＜x ≤1， 即不等式的解集为（0，1]，故选：B．13．（2017秋•怀化期末）若不等式(12)x2−2ax＜23x+a2恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．(34，+∞)C．(0，34)D．(−∞，34)【分析】不等式恒成立化为x2﹣2ax＞﹣（3x+a2）恒成立，即△＜0，从而求出a 的取值范围．【解答】解：不等式(12)x2−2ax＜23x+a2恒成立，即(12)x2−2ax＜(12)−(3x+a2)恒成立，即x2﹣2ax＞﹣（3x+a2）恒成立，即x2﹣（2a﹣3）x+a2＞0恒成立，∴△=（2a﹣3）2﹣4a2＜0，即（2a﹣3+2a）（2a﹣3﹣2a）＜0，解得a＞34；∴实数a的取值范围是（34，+∞）．故选：B．14．（2018春•道里区校级期末）若a＞0，b＞0，ab=a+b+1，则a+2b的最小值为（）A．3√2+3B．3√2﹣3C．3+√13D．7【分析】由ab=a+b+1得a=b+1b−1，代入a+2b得a+2b=2b−1+2(b−1)+3，然后利用基本不等式可求出该代数式的最小值．【解答】解：由ab=a+b+1，可得a（b﹣1）=b+1，得a=b+1b−1，由于a＞0，b＞0，则b＞1，所以，a +2b =b+1b−1+2b =(b−1)+2b−1+2b =2b−1+2b +1=2b−1+2(b −1)+3≥2√2b−1⋅2(b −1)+3=7，当且仅当{2(b −1)=2b−1b ＞1时，即当b=2时，等号成立，因此，a +2b 的最小值为7，故选：D ．15．（2018春•台州期末）已知a ，b ∈R ，a +b=2．则1a +1+1b +1的最大值为（ ） A ．1 B ．65 C ．√2+12 D ．2 【分析】化简配方可得1a 2+1+1b 2+1=4−2(ab−1)(ab−1)2+4，令t=ab ﹣1=a （2﹣a ）﹣1=﹣（a ﹣1）2≤0，则4−2(ab−1)(ab−1)2+4=4−2t t 2+4，令4﹣2t=s （s ≥4），即t=4−s 2，再由基本不等式计算可得最大值．【解答】解：a ，b ∈R ，a +b=2．则1a 2+1+1b 2+1=a 2+b 2+21+a 2+b 2+(ab)2=(a+b)2−2ab+21+(a+b)−2ab+(ab)=6−2ab 5−2ab+(ab)=4−2(ab−1)(ab−1)+4， 令t=ab ﹣1=a （2﹣a ）﹣1=﹣（a ﹣1）2≤0，则4−2(ab−1)(ab−1)+4=4−2t t +4， 令4﹣2t=s （s ≥4），即t=4−s 2， 可得4−2t t +4=s 4+(4−s)24=4s+32s −8， 由s +32s≥2√s ⋅32s =8√2， 当且仅当s=4√2，t=2﹣2√2时上式取得等号，可得4s+32s −8≤8√2−8=√2+12， 则1a 2+1+1b 2+1的最大值为√2+12， 故选：C ．二．填空题（共5小题）16．（2018春•定州市校级期末）已知实数x ，y 满足3x ﹣y ≤ln （x +2y ﹣3）+ln（2x ﹣3y +5），则x +y= 167． 【分析】构造函数f （t ）=lnt ﹣t +1，求得导数和单调性，可得最值，再由条件可得等号成立的条件，解方程可得x ，y ，进而得到所求和．【解答】解：由f （t ）=lnt ﹣t +1的导数为：f′（t ）=1t ﹣1=1−t t， 当t ＞1时，f′（t ）＜0，f （t ）递减，当0＜t ＜1时，f′（t ）＞0，f （t ）递增，可得f （t ）的最大值为f （1）=0，即有lnt ≤t ﹣1，则ln （x +2y ﹣3）+ln （2x ﹣3y +5）≤x +2y ﹣3﹣1+2x ﹣3y +5﹣1=3x ﹣y ，当且仅当x +2y ﹣3=2x ﹣3y +5=1时，取得等号，则x=47，y=127， 可得x +y=167， 故答案为：167．17．（2018春•南京期中）若x ，y ∈（0，+∞），x +12y +xy=4，则xy+1x 2y 2+2xy+17的取值范围是 （117，325] ． 【分析】由基本不等式可得x +12y +xy ≥2√12xy +xy ，可得（√xy ）2+√2√xy ﹣4≤0，可得0＜xy ≤2，即有1＜xy +1≤3，化简所求式子，运用对勾函数的单调性，可得所求范围．【解答】解：x ，y ∈（0，+∞），x +12y +xy=4， 可得x +12y +xy ≥2√12xy +xy ， 可得（√xy ）2+√2√xy ﹣4≤0，﹣2√2≤√xy ≤√2，可得0＜xy ≤2，即有1＜xy +1≤3，则xy+1x 2y 2+2xy+17=xy+1(xy+1)2+16=1(xy+1)+16xy+1， 可令t=xy +1，由（xy +1）+16xy+1=t +16t在（1，3]递减，可得 （xy +1）+16xy+1∈[253，17）， 则xy+1x 2y 2+2xy+17的取值范围是（117，325]， 故答案为：（117，325]． 18．（2016秋•东湖区校级期末）已知实数x ，y 满足x 2+y 2=2x ，则x 2y 2的取值范围是 [0，2716] ．【分析】由x 2+y 2=2x ，得y 2=2x ﹣x 2≥0⇒0≤x ≤2，x 2y 2=2x 3﹣x 4，构造函数f （x ）=2x 3﹣x 4（0≤x ≤2），利用导数法可求得函数的单调区间与极值，从而可求其值域．【解答】解：由x 2+y 2=2x ，得y 2=2x ﹣x 2≥0，∴0≤x ≤2，x 2y 2=x 2（2x ﹣x 2）=2x 3﹣x 4．设f （x ）=2x 3﹣x 4（0≤x ≤2），则f′（x ）=6x 2﹣4x 3=2x 2（3﹣2x ），当0＜x ＜32时，f′（x ）＞0，函数f （x ）在（0，32）上单调递增； 当32＜x ＜2时，f′（x ）＜0，函数f （x ）在（32，2）上单调递减， ∴当x=32时，函数取得极大值，也是最大值，f （32）=2716， 当x=0、x=2时，f （x ）=0，∴函数f （x ）的值域为[0，2716]， 即0≤x 2y 2≤2716． 故答案为：[0，2716]． 19．（2014•监利县校级模拟）若实数a ，b ，c ，d 满足ab=2，c +2d=0，则（a ﹣c ）2+（b ﹣d ）2的最小值为 165． 【分析】分别画出函数y=2x ，y=﹣2x 的图象，设直线y=﹣2x +t 与曲线y =2x 相切于第一象限内的点P （m ，n ），则点P 到直线y=﹣2x 的距离即为所求．【解答】解：分别画出函数y=2x，y=﹣2x 的图象， 设直线y=﹣2x +t 与曲线y =2x 相切于第一象限内的点P （m ，n ），∵y ′=−2x 2，∴−2m 2=−2，解得m=1，∴n=21=2． ∴切点为（1，2）．由点到直线的距离公式可得d=√22=4√55．∴（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为(4√55)2，化为16 5．故答案为：165．20．已知函数f（x）是定义在[﹣6，6]上的偶函数，f（x）的部分图象如图所示，则不等式xf（x）＞0的解集为{x|﹣6＜x＜﹣3或0＜x＜3}．【分析】结合函数的性质，函数的图象，对x＞0和x＜0，分别求出不等式的解．【解答】解：当x＞0时，不等式xf（x）＞0，可得0＜x＜3，因为函数f（x）是定义在[﹣6，6]上的偶函数，所以x＜0时，不等式xf（x）＞0，解得﹣6＜x＜﹣3不等式xf（x）＞0的解集为{x|﹣6＜x＜﹣3或0＜x＜3}故答案为：{x|﹣6＜x＜﹣3或0＜x＜3}三．解答题（共3小题）21．（2018•南通一模）已知a＞1，b＞1，求b2a−1+a2b−1的最小值．【分析】根据a＞1，b＞1即可得出b 2a−1+4(a−1)≥4b，a2b−1+4(b−1)≥4a，两式相加便可求出b2a−1+a2b−1的最小值．【解答】解：∵a＞1，b＞1；∴a﹣1＞0，b﹣1＞0；∴b2a−1+4(a−1)≥4b，a2b−1+4(b−1)≥4a；两式相加：b 2a−1+4(a−1)+a2b−1+4(b−1)≥4b+4a；∴b2a−1+a2b−1≥8；当且仅当b 2a−1=4(a−1)，且a2b−1=4(b−1)时“=”成立；即a=b=2时，b 2a−1+a2b−1取得最小值8．22．（2018•德阳模拟）已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]．（1）求m的值；（2）若a，b，c∈（0，+∞），且1a +12b+13c=m，证明：a+2b+3c≥9．【分析】（1）运用绝对值的解法，即可得到所求值；（2）运用乘1法和基本不等式，即可得到证明．【解答】解：（1）函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]，可得m﹣|x|≥0的解集为[﹣1，1]，即有[﹣m，m}={﹣1，1]，可得m=1；（2）证明：a，b，c∈（0，+∞），且1a +12b+13c=1，则a+2b+3c=（a+2b+3c）（1a +12b+13c）=3+（2b a +a 2b ）+（a 3c +3c a ）+（2b 3c +3c 2b） ≥3+2√2b a ⋅a 2b +2√a 3c ⋅3c a +2√2b 3c ⋅3c 2b =3+2+2+2=9，当且仅当a=2b=3c=3，取得等号．23．（2018•杨浦区一模）如图所示，用总长为定值l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开．（1）设场地面积为y ，垂直于墙的边长为x ，试用解析式将y 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？【分析】（1）由题意设长方形场地的宽为x ，则长为L ﹣3x ，表示出面积y ；由x ＞0，且l ﹣3x ＞0，可得函数的定义域；（2）对其运用基本不等式求出函数的最值即场地的面积最大值，从而求解．【解答】解：（1）设场地面积为y ，垂直于墙的边长为x ，它的面积y=x （l ﹣3x ）；由x ＞0，且l ﹣3x ＞0，可得函数的定义域为（0，13l ）； （2）y=x （l ﹣3x ）=13×3x （1﹣3x ）≤13×（3x+l−3x 2）2=l 212， 当x=l 6时，这块长方形场地的面积最大， 这时的长为l ﹣3x=12l ，最大面积为l 212．归纳总结1、（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2、（1）若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2（2）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”）（3）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3、若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）4.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注意：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用。
竞赛专题第二讲 均值柯西排序不等式
第二讲 均值、柯西、排序不等式一、知识精讲1.两个重要的不等式（二元均值不等式）：①),(222R b a ab b a ∈≥+，当且仅当b a =时等号成立。
②),(2*R b a ab ba ∈≥+，当且仅当b a =时等号成立。
2.最值定理：若P xy S y x R y x ==+∈+,,,，则：①如果P 是定值, 那么当y x =时，S 的值最小； ②如果S 是定值, 那么当y x =时，P 的值最大。
注意： ①前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式；②“和定 积最大，积定 和最小”，可用来求最值； ③均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。
1.均值不等式：设123,,,n a a a a 是n 个正实数，记n Q =，12nn a a a A n+++=，n G =12111n nn H a a a =+++，则n n n n Q A G H ≥≥≥，其中等号成立的条件是12n a a a ===。
,,,n n n n Q A G H 分别称为平方平均、算术平均、几何平均、调和平均。
2.柯西不等式：柯西不等式的二维形式：若d c b a ,,,都是实数，则2222()()()a b c d ac bd ++≥+，当且仅当bc ad =时，等号成立。
柯西不等式的一般形式：设n a a a a ,...,,,321，n b b b b ,...,,,321是实数，则222112222122221)...()...).(...(n n n n b a b a b a b b b a a a +++≥++++++，当且仅当0=i b),...,2,1(n i =或存在一个数k ，使得i i kb a =),...,2,1(n i =时，等号成立。
3.柯西不等式的几个推论： （1）当121n b b b ===时，柯西不等式即为2221212()()n n n a a a a a a ++≥++，若i a R +∈（1,2,i n =），则12na a a n+++，此即上面提到的平方平均≥算术平均。
均值不等式常见题型及解析
均值不等式常见题型及解析一、直接应用均值不等式均值不等式的基本形式是对于正实数a、b，有\(\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}\)，当且仅当a = b时等号成立。
比如说，已知\(a>0\)，\(b>0\)，\(a + b = 1\)，求\(ab\)的最大值。
这时候就可以直接用均值不等式啦。
由\(\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}\)，把\(a + b = 1\)代入，得到\(\frac{1}{2}\geq\sqrt{ab}\)，那么\(ab\leq\frac{1}{4}\)，当且仅当\(a=b=\frac{1}{2}\)的时候取到最大值。
这种直接应用的题型呢，关键就是要识别出是两个正实数的和与积的关系，然后套公式就好啦。
就像看到一道题，告诉你两个正数的和是定值，那你就赶紧想均值不等式求积的最值；要是告诉你积是定值，就想求它们和的最值。
这就像一个小窍门，一看到这种形式，心里就“叮”一下，知道该怎么做啦。
二、凑项应用均值不等式有些题呢，不会直接给你能用均值不等式的形式，需要咱们自己去凑项。
比如说，求\(y = x+\frac{1}{x - 1}(x>1)\)的最小值。
这时候直接用均值不等式可不行，因为\(x\)和\(\frac{1}{x - 1}\)的和不是直接能用均值不等式的形式。
那我们就凑项呀，把式子变成\(y=(x - 1)+\frac{1}{x - 1}+1\)。
因为\(x>1\)，所以\(x - 1>0\)，\(\frac{1}{x - 1}>0\)。
根据均值不等式\(\frac{(x - 1)+\frac{1}{x - 1}}{2}\geq\sqrt{(x - 1)\times\frac{1}{x - 1}}\)，也就是\((x - 1)+\frac{1}{x - 1}\geq2\)，那么\(y=(x - 1)+\frac{1}{x - 1}+1\geq2 + 1=3\)，当且仅当\(x - 1=\frac{1}{x - 1}\)，也就是\(x = 2\)的时候取到最小值。
【全国百强校】四川省成都市第七中学高一年级竞赛数学不等式专题讲义：2.平均值不等式
成都七中高一竞赛数学不等式专题讲义A2平均值不等式一、基础知识平均值不等式:设12,,,n a a a 为n 个正数,12na a a n+++≤,当且仅当12n a a a ===时取等.二、典型例题与基本方法1.设,,0,a b c >求证：2.c a b a b c c++≥+2.设0,a b >>323ab b+-的最小值.3.设,,x y z 是正数,且1,x y z ++=3.24.设,,0a b c >且3,a b c ++=.ab bc ca ++5.设,,0,x y z >且 1.xyz =证明：3333.(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y z y z z x x y ++≥++++++6.设,,0,x y z >证明：(1)(1)(1)2x y z y z x +++≥+7.设12,,,n a a a 为n 个正数,证明：111nii ni ian na ==≤≤≤∑∑当且仅当12n a a a ===时取等.8.已知正实数,,a b c 满足3,ab bc ca abc ++≤3≤9.已知正实数,,a b c 满足3,ab bc ca ++=证明：2221113.1()1()1()12a b c b c a c a b abc ++≤+++++++B2练习 姓名：1.设,,0,a b c >证明：111()()()8.a b c b c a+++≥2.设正实数,,x y z 满足1,xyz =证明：2222222221.(1)1(1)1(1)1x y y z z x ++≤+++++++++3.设,,0,x y z >且1,x y z ++=证明：4442221.(1)(1)(1)8x y z y y z z x x ++≥---A2平均值不等式参考解答一、基础知识平均值不等式:设12,,,n a a a 为n 个正数,12na a a n+++≤,当且仅当12n a a a ===时取等.证明：我们首先证明2(mn m =为正整数)时,平均值不等式成立.为此对m 用数学归纳法.当1m =时,12.2a a+≤假设当m k =时命题成立,则当1m k =+时,1222122212kkkk k a a a a a ++=11122212222212222kk k k k k k kka a a a a a a a +++++++++++≤≤11222121.2k k k k a a a a a +++++++++=所以当1m k =+时结论成立.所以对于2mn =形式的正整数n ,平均值不等式成立.现假设1n k =+时,平均值不等式成立,当n k =时,12,kk a a a A k+++=则由假设得12.11k k k kk a a a A kA A A k k +++++≤==++于是112,k k k k a a a A A +≤12.kk a a a A k+++≤=所以当n k =时命题也成立.综上可知对一切正整数n 平均值不等式成立.不难看出,当且仅当所有的i a 相等时等号成立. 二、典型例题与基本方法1.设,,0,a b c >求证：2.c a b a b c c++≥+证明：1131 2.c a b c a b c a b c c a b c c +++=++-≥=-=++ 2.设0,a b >>323ab b+-的最小值. 证明：因为222()().24b a b a ab b b a b +--=-≤=33333222222331244410.224a a ab b a a a a +≥+=+=++++≥=-当且仅当a =.323ab b +-的最小值为10.3.设,,x y z 是正数,且1,x y z ++=3.21(),2x yz x z y ==+++11(().22y z z xx y x z y z y x≤+≤+++++1113()()().2222x y y z z x z x z y x y x z y z y x ≤+++++=++++++ 4.设,,0a b c >且3,a b c ++=.ab bc ca ++证明：注意到恒等式22222()()().ab bc ca a b c a b c ++=++-++于是原不等式等价于2222()().a b c a b c +++≥++因为223.a a a +=≥=于是2222()3()().a b c a b c a b c +++≥++=++.ab bc ca ≥++5.设,,0,x y z >且 1.xyz =证明：3333.(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y z y z z x x y ++≥++++++ 证明：3113.(1)(1)884x y z x y z ++++≥++ 同理3113.(1)(1)884y z x y z x ++++≥++ 3113.(1)(1)884z x y z x y ++++≥++所以33313(111)().(1)(1)(1)(1)(1)(1)44x y z x y z x y z y z z x x y ++++++++≥++++++++故333133333().(1)(1)(1)(1)(1)(1)244244x y z x y z y z z x x y ++≥++-≥=-=++++++ 6.设,,0,x y z >证明：(1)(1)(1)2x y z y z x +++≥+ 证明：因为(1)(1)(1)2.x y z x z y x y zy z x z y x y z x+++-=+++++ 所以原不等式等价于()()xz y x y z z y x y z x +++++≥ 由对称性只须证明x y z y z x ++≥= 令,,,x y za b c y z x===则,,0,a b c >且 1.abc =于是x y z y z x ++≥a b c ++≥=.333a ab b bc c c aa b c ++++++≤++=++ 所以原不等式得证.7.设12,,,n a a a 为n 个正数,证明：111nii ni ian na ==≤≤≤∑∑当且仅当12n a a a ===时取等.12,nx x x n+++≤令1,i ix a =12111.na a a n +++≤即11ni in a =≤∑1nii an=≤∑就是平均值不等式.由恒等式222111()()n n i j ii i j ni i a a n a a ≤<≤==-=-∑∑∑知道2211()0.nnii i i n a a ==-≥∑∑于是2211().nniii i aann ==≥∑∑也就是1nii an=≤∑8.已知正实数,,a b c 满足3,ab bc ca abc++≤3≤证明：因为222().2x y x y ++≥≥==≥==-≥3.+≥3111=≤+===1.=≤=3.+≥所以原不等式得证.9.已知正实数,,a b c满足3,ab bc ca++=证明：2221113.1()1()1()12a b c b c a c a b abc++≤+++++++证明：由平均值不等式知道3ab bc ca =++≥于是 1.abc ≤2222111121()2(1)121()121()121()abc a b c abcabc a b c abc a b c abc a b c ++--=-=⋅+++++++++21()().121()ab a c ac a b abc a b c -+-=⋅+++同理22111()().121()121()bc b a ba b c abc b c a abc b c a -+--=⋅++++++ 22111()().121()121()ca c b cb c a abc c a b abc c a b -+--=⋅++++++于是2223111()121()1()1()abc a b c b c a c a b -+++++++++2221()()()()()()()121()1()1()ab a c ac a b bc b a ba b c ca c b cb c a abc a b c b c a c a b -+--+--+-=+++++++++ 2222221()()()()()()[()()()]121()1()1()1()1()1()ab a c cb c a ac a b bc b a ba b c ca c b abc a b c c a b a b c b c a b c a c a b ------=++++++++++++++++++ 22221[()()()()121()1()1()1()a cb ab ac c b a abc a b c c a b b c a a b c =--+--+++++++++22()()]1()1()b c a b c b c a c a b +--++++ 2222222221()(1)()(1)()(1)()0.12(1())(1())(1())(1())(1())(1())b ac abc c b a abc a b c abc abc a b c c a b b c a a b c b c a c a b ------=++≥+++++++++++++ 所以原来不等式得证.B2.练习 姓名：1.设,,0,a b c >证明：111()()()8.a b c b c a+++≥证明：111()()()8.a b c b c a +++≥= 2.设正实数,,x y z 满足1,xyz =证明：222222222 1.(1)1(1)1(1)1x y y z z x ++≤+++++++++ 证明：2222(1)1222222(1).x y x y x xy x xy x +++=+++≥++=++ 于是222222222111(1)1(1)1(1)1111x y y z z x xy x yz y zx z ++≤+++++++++++++++++ 211 1.1111x xy x xy xy x xyz xy x zx y xyz xy xy x xy x x xy=++=++=++++++++++++ 3.设,,0,x y z >且1,x y z ++=证明：4442221.(1)(1)(1)8x y z y y z z x x ++≥---证明：4211.(1)816322x y y y x y y -++++≥=- 于是444222111111.(1)(1)(1)816322x y z x y z x y z x y z x y z y y z z x x ++-+-+-++++++++++++≥--- 即44422231.(1)(1)(1)82x y z y y z z x x +++≥---于是4442221.(1)(1)(1)8x y z y y z z x x ++≥---。
(2021年整理)均值不等式知识点讲解及习题
均值不等式知识点讲解及习题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（均值不等式知识点讲解及习题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为均值不等式知识点讲解及习题的全部内容。
第三节：基本不等式1、 基本不等式：（1）如果a 、b 是正数，那么 （当且仅当a=b 时取“=”） （2）对基本不等式的理解：a ＞0,b ＞0，a ，b 的算术平均数是a+b/2，几何平均数是_________.叙述为:两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数2、 基本不等式的推广：注意:用基本不等式求最值的要点是：一正 、二定 、三相等三个正数的均值不等式： n 个正数的均值不等式: 3、四种均值的关系两个正数a 、b 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是：4。
最值定理设x ＞0，y ＞0，由x+y≥ (1）若积xy=P(定值），则和x+y 有最小值 ；（2）若和x+y=S （定值)，则积xy有最大值 即：积定和最小，和定积最大。
2a b +≥ab ab ).(22,R ,)4().(2,R ,)3().(2R,,)2()"",00(,0R,)1(222222等号时取当且仅当则若时取等号当且仅当则若时取等号当且仅当则若取时当且仅当则若b a b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a b a a a a a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+∈=≥+∈=≥+∈==≥≥∈++.2211222b a b a ab b a +≤+≤≤+xy 2P 222⎪⎭⎫ ⎝⎛S .33abc c b a ≥++.....n ....2121n n n a a a a a a ≥+++例1、证明基本不等式（跟踪训练）例2、（跟踪训练）例3、若x ＞0，y ＞0,x+y=1。
均值不等式知识点
均值不等式知识点均值不等式是高等数学中的一种重要的数学不等式，其在解决各类数学问题中起到了重要的作用。
本文将通过逐步思考的方式，详细介绍均值不等式的相关知识点。
1.均值不等式的基本概念均值不等式是指对于一组实数，其算术平均数大于等于几何平均数，即若有n个正实数x1、x2、……、xn，则它们的算术平均数A≥它们的几何平均数G。
这一不等式可表示为：（x1 + x2 + …… + xn）/ n ≥ (x1 * x2 * …… * xn) ^ (1/n)2.均值不等式的证明为了证明均值不等式，可以使用数学归纳法或其他数学方法。
下面以数学归纳法为例，来证明均值不等式。
首先，当n=2时，我们有：（x1 + x2）/ 2 ≥ √(x1 * x2) 化简可得：x1 + x2 ≥2√(x1 * x2) 这是一种常见的数学不等式，称为算术平均数和几何平均数之间的不等式。
接下来，假设当n=k时，均值不等式成立。
即对于任意的k个正实数x1、x2、……、xk，有：（x1 + x2 + …… + xk）/ k ≥ (x1 * x2 * …… * xk) ^ (1/k)然后，我们来证明当n=k+1时，均值不等式也成立。
即对于任意的k+1个正实数x1、x2、……、xk+1，有：（x1 + x2 + …… + xk + xk+1）/ (k+1) ≥ (x1 * x2* …… * xk * xk+1) ^ (1/(k+1))我们可以将左边的式子进行拆分，得到：[(x1 + x2 + …… + xk) + xk+1] / (k+1)≥ [(x1 * x2 * …… * xk) * xk+1] ^ (1/(k+1))根据不等式的性质，我们有：(x1 + x2 + …… + xk) / k ≥ (x1 * x2 * …… * xk) ^(1/k) 即：[(x1 + x2 + …… + xk) / k] * k ≥ [(x1 * x2 * …… * xk) ^ (1/k)] * k将上式代入前面的不等式，得到：[(x1 + x2 + …… + xk) + xk+1] / (k+1) ≥ [(x1 *x2 * …… * xk) * xk+1] ^ (1/(k+1))这样，我们证明了当n=k+1时，均值不等式也成立。
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均值不等式专题讲解
一、几个重要的均值不等式
①，、)(2
22
22
2
R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，
、)(222
+
∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(3
33
333
3
3
+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；
④)(333
3+
∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.
注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；
② 熟悉一个重要的不等式链：b
a 112
+2a b
+≤≤≤
2
2
2b a +。
. 二、用均值不等式求最值
利用均值不等式求最值的记忆口诀为：“一正二定三相等”，三者缺一不可： 一 正：利用均值不等式解题要先保证各式都是正数； 二 定：求和的 积要固定，求积的 和要固定； 三相等：只有在各式都相等的前提下，和与积才能取到最值。
例1：下列命题中正确的是【 】
A 、x x 1
+
的最小值为2； B 、x
x -+22的最小值为2； C 、b
a
a b +的最小值为2；
D 、θθcot tan +的最小值为2。
点评：各式都是正数是利用均值不等式解题的前提，缺少这个条件足以致命。
例2：你能指出下列推导过程错在哪里吗？
⑴若0>x ，则221213x
x x x x ++=+≥33223123⋅=⋅⋅⋅x x x ；
⑵若⎪⎭
⎫
⎝⎛∈2,0πx ，则x x x x sin 2sin sin 2sin 2+=+≥22sin 2sin 2=⋅x x ； ⑶若R x ∈，则
(
)
4
144
144
1)4(4
52
22
2
2
2
2
2
2
++
+=
+++=
+++=
++x x x x x x x x ≥2。
点评：只有在各式都相等的前提下，均值不等式才有可能取等号，实践中要注意验证。
例3：⑴已知1>a ，则1
1
1-++a a 的最小值是 。
⑵函数)38()(x x x f -=)30(<<x 的最大值是 。
⑶函数x x y cos sin 2
⋅=(2
0π<
<x )的值域是 。
⑷若a 、b 为正数，且12
2
2
=+b a ，则21b a +的最大值 。
点评：本例应采用拼凑的思想解答，主要包括：先加再减、先乘再除、先平方再开方。
例4：⑴若R m ∈，则1
22
2++m m 的最小值是 。
⑵函数3
22
)(--=
x x x f )2(>x 的最小值是 。
⑶函数1
10
92)(2+++=x x x x f )1(->x 的最小值是 。
⑷设a 、b 均为正常数，函数x
b x a x x f )
)(()(++=)0(>x 的最小值是 。
点评：本例应采用拆分的思想解答，把函数式拆成两项或两项以上，问题就会明朗起来。
例5：⑴已知0>x ，0>y ，且
19
1=+y
x ，则y x +的最小值为 。
⑵若+
∈R b a ,且3=+b a 1b +的最大值为 。
⑶已知0>a ，0>b ，1=+b a ，则⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫
⎝⎛-111122b a 的最小值为 。
点评：把已知条件和所求式子结合在一起，先进行彻底地变形，方能用上均值不等式。
例6：⑴已知45<
x ，则函数5
41
24)(-+-=x x x f 的最大值为 。
⑵函数)
1(22
22-+-=x x x y )11(<≤-x 的最大值为 。
⑶若1>a ，10<<b ，则a b b a log log +的取值范围是 。
⑷函数x
x x f 4
)(+
=的最大值为 。
点评：如果各式都是负数，必须先全部转化成正数，然后再把负号处理掉。
例7：⑴已知0>x ，则函数2
1
3x x y +
=的最小值 。
⑵若0>x ，则x x 122
+的最小值为 ，2
21x x +的最小值为 。
⑶若10<<x ，则)1(2
x x -的最大值为 ，)1(2
x x -的最大值为 。
点评：新教材只保留两个正数的均值不等式，但有一些题目两个正数的均值不等式是解决不了的，这时我们可以将两个正数拆成三个正数，切记：往往遵循对半拆的原则。
例8：⑴函数4
5)(2
2++=
x x x f )(R x ∈的最小值为 。
⑵已知32
2
=+y x ，12
2=+n m ，则ny mx +的最大值为 。
点评：均值不等式并不是万能的上帝，其实求最值的办法还有很多，你知道多少呢？
例9：已知正数x 、y 满足12=+y x ，求
y
x 1
1+的最小值。
错解：∵0>x ，0>y ， ∴y x 2+≥xy y x ⋅=⋅2222，∵12=+y x ， ∴1≥xy ⋅22xy 1⇒≥22，∴y x 11+≥xy
xy 1
212⋅=≥24，∴y x 11+的最小值
为24。
点评：因为均值不等式要求比较苛刻，所以多次使用均值不等式常常会引起错误。
巩固练习：
1、已知：b n m a y x =+=+2
2
2
2
,且b a ≠，则ny mx +的最大值为【 】
(A)ab (B)2b a + (C)2
2
2b a + (D)222b a +
2、若+
∈R y x a ,,，且y x a y x +≤+恒成立，则a 的最小值是【 】
(A)22 (B)2 (C)2 (D)1 3、已知下列不等式：
①)(233
+
∈>+R x x x ；②),(3
2
2
3
5
5
+
∈+≥+R b a b a b a b a ；③)1(22
2
--≥+b a b a . 其中正确的个数是【 】
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 4、设+
∈R b a ,，则下列不等式中不成立的是【 】
(A)4)1
1)((≥++b a b a (B)
ab ab b a 222≥+ (C)21≥+ab
ab (D)ab b a ab ≤+2
5、设+
∈R b a ,且2242,12b a ab S b a --==+的最大值是【 】
(A)12- (B)
212- (C)12+ (D)2
1
2+ 6、若实数b a ,满足2=+b a ，则b
a 33+的最小值是【 】
(A)18 (B)6 (C)32 (D)432 7.若0>a ，0>b ，1=+b a ，则下列不等式恒成立的是【 】
A 、ab b a ++≥45
B 、2
2b a +≤21 C 、 b a 11+≥4 D 、ab
⎪⎭
⎫ ⎝⎛811≤31
8.已知21-+
=a a m )2(>a ，2
221-⎪⎭
⎫ ⎝⎛=x n )0(<x ，则m 、n 的大小关系是【 】 A 、n m > B 、n m < C 、m ≥n D 、m ≤n
9.已知x
x f ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=21)(，a 、+
∈R b ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2b a f A ，()
ab f G =，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b a ab f H 2，
则A 、G 、H 的大小关系是【 】
A 、A ≤G ≤H
B 、A ≤H ≤G
C 、G ≤H ≤A
D 、H ≤G ≤A
10.若2lg lg =+y x ，则y
x 1
1+的最小值为
11.函数1
1612+++
=x x x x y )1(>x 的最小值是 12、若b a b a ≠<<<<且,10,10，则ab b a ab b a 2,,2,2
2++中最大的是 .。