竞赛均值不等式专题讲解

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高中数学竞赛与自主招生专题第二讲：均值、柯西、排序不等式(教师版)

高中数学竞赛与自主招生专题第二讲均值、柯西、排序不等式

开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.

所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。

在近三年自主招生试题中，不等式部分通常占10%-15%，其中绝大多数涉及到不等式的证明或涉及到一些考纲之外的特殊不等式。一、知识精讲

1.两个重要的不等式（二元均值不等式）：

①),(222R b a ab b a ∈≥+，当且仅当b a =时等号成立。 ②

),(2

*R b a ab b

a ∈≥+，当且仅当

b a =时等号成立。 2.最值定理：若P xy S y x R y x ==+∈+,,,，则：

①如果P 是定值, 那么当y x =时，S 的值最小； ②如果S 是定值, 那么当y x =时，P 的值最大。

注意： ①前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式；

②“和定积最大，积定和最小”，可用来求最值； ③均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。

1.均值不等式：设123,,,

n a a a a 是n 个正实数，

记n Q =

，

12n

n a a a A n

，

n G =12

111n n

n H a a a =+++，则n n n n Q A G H ≥≥≥，其中等号成立的

竞赛均值不等式专题讲解

均值不等式专题讲解

一、几个重要的均值不等式

①，、)(2

R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，

、)(222

∈⎪⎭

⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(3

333

+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；

④)(333

∈⎪⎭

⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.

注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；

② 熟悉一个重要的不等式链：b

a 112

+2a b

+≤≤≤

2b a +。. 二、用均值不等式求最值

利用均值不等式求最值的记忆口诀为：“一正二定三相等”，三者缺一不可：一正：利用均值不等式解题要先保证各式都是正数；二定：求和的积要固定，求积的和要固定；三相等：只有在各式都相等的前提下，和与积才能取到最值。例1：下列命题中正确的是【】

A 、x x 1

的最小值为2； B 、x

x -+22的最小值为2； C 、b

a b +的最小值为2；

D 、θθcot tan +的最小值为2。

点评：各式都是正数是利用均值不等式解题的前提，缺少这个条件足以致命。

例2：你能指出下列推导过程错在哪里吗？

⑴若0>x ，则221213x

x x x x ++=+≥33223123⋅=⋅⋅⋅x x x ；

均值不等式专题附带解析

16．15
【解析】
【分析】
对变形可得原式，由，利用，利用基本不等式求最值即可。
【详解】
解：，且，，
故．（当且仅当时取“=”）.
故答案为：15．
【点睛】
本题考查了求代数式的最值问题，利用基本不等式是解决本题的一个常见方法，考查了转化思想的应用，是一道中档题。
17．1
【解析】
【分析】
利用基本不等式求最值必须具备三个条件：
①各项都是正数；
②和（或积）为定值；
③等号取得的条件。
15．3
【解析】
【分析】
由已知可知，，整理结合基本不等式可求.
【详解】
解：，b都是正数，满足，
则，
当且仅当且，即时，取得最小值3，
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解答本题的关键是进行1的代换配凑基本不等式的应用条件，属于基础题.
9．
【解析】
【分析】
由函数的值域为，可得，化为，利用基本不等式可得结果.
【详解】
的值域为，
，
，
，
，
当，即是等号成立，
所以的最小值为，
故答案为 .
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，属于中档题.在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.

专题01不等式(3大重难点详细讲解)…难点及压轴题突破

第1讲——不等式（3大难点）

难点1：基本不等式（1）——配凑均值不等式

在高考数学中，我们经常会遇到求两个数的积的最大值，对于这类题我们需要构造不等式，利用基本不等式来求解，即

a b +≥

【例题】（多选）已知0a >，0b >，且21a b +=，则下列不等式一定成立的有 A.1

ab ≤

C.2214

a b +≥ B.1

a b +>

41313

a b +≥++ 【答案】ABD 【解析】由题意，对于选项A ，

我们发现要求的是从a 和b 的乘积的范围，而题目中所给的是2a 和b ，因此我们考虑配凑一个

2ab .

∵0a >，0b >，且21a b +=，

∴

a b

+≥ 化简得出ab 的不等式，而我们知道21a b +=，即可得出的范围.

∴2

121

228

a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当122a b ==时，等号成立， A 正确；对于选项B ，

我们知道21a b +=，而我们要求的是a 和b 的和的取值范围，我们发现条件是两个数字的和，让我们求的也是两个数字的和，不能使用均值不等式，那该怎么办呢？对于题目条件是两个数字和的形式，我们可以借助题目条件进行换元，我们把其中一个字母用另一个字母来表示，进而利用等式和0a >，0b >求出a 和b 的和的取值范围. ∵12(0,1)b a =-∈，

∴0,2a ∈ ⎪⎝⎭ ，

∴11,12a b a ⎛⎫

+=-∈ ⎪⎝⎭ ，

B 正确；对于选项

C ，

我们要求2a 和2b b 用含a 的式子表达，得出只含a 的表达式，即可求出2a 和2b 的和的取值范围.

数学竞赛中的不等式问题

不等式是数学知识体系的基础,是研究数学问题的重要工具,它渗透于高中数学的各个部分,是数学思想的重要载体之一.而数学思想应用的程度直接反映学生对所学知识的理解、掌握程度,直接反映学生的思维素质,这也正符合数学竞赛的重要功能——选拔人才的客观要求.因此,不等式问题在数学竞赛中屡屡出现,且所占的比重较大.本文总结了数学竞赛中出现的各种不等式问题,运用拆项、添项、并项、套用等方法,说明不等式的灵活应用.

1 数学竞赛中出现的不等式问题

1.1 蕴含函数、方程思想的不等式

函数、方程和不等式有着内在的联系,函数性质的研究依赖于不等式及方程的知识.同样在解不等式时,以函数为桥梁和纽带,往往使问题豁然开朗,起到事半功倍的效果.

例1（2005年全国数学联合竞赛题）已知f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,若f(2a2+a+1)03a2-4a+1>0a2+a+1>3a2-4a+1解得0logx2-1则x的取值范围为（）.

A:且x≠1C:x>1 D:00且x≠12x2+x-1>0

解得x>且x≠1

由logx(2x2+x-1)>logx2-1

可得logx(2x2+x-1)+1>logx2

即logx(2x3+x2+x)>logx2

所以就有12x3+x2-x>2

由2x3+x2-x-20

得x>1 所以1

即x的取值范围为x>且x≠1,即选项应为B.

在例2中,我们也看到了分类讨论情况,这也是不等式问题中经常遇到的.下面我们就此类问题进行讨论.

21-22版：微专题3　均值不等式的用法技巧（步步高）

反思感悟
换元主要是为了让计算更简洁、更有利于分析，本题也可直接采用例3的方法.
五、代换减元
例 5 若实数 x，y 满足 xy＋3x＝30<x<21，则3x＋y－1 3的最小值为_8_.
解析 ∵实数 x，y 满足 xy＋3x＝30<x<21， ∴x＝y＋3 3，∴0<y＋3 3<12，解得 y>3. 则3x＋y－1 3＝y＋3＋y－1 3＝y－3＋y－1 3＋6≥2 当且仅当 y＝4，x＝37时取等号.
反思感悟
本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(x＋ 1)的项，再将其分离.
四、换元
x2＋1 例 4 求函数 y＝ x2－1的最小值.
解令 x2－1＝t(t>0)，则 y＝ xx2＋2－11＝ x2－1＋ x22－1＝t＋2t ≥2 2. 当且仅当 t＝ 2，即 x＝± 3时等号成立，所以函数的最小值是 2 2.
第二章等式与不等式
源自文库
当两个正数的积为定值时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最大值，正所谓“积定和最小，和定积最大”.均值不等式在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.主要的方法有凑项、凑系数、分离、换元、代换减元.
一、凑项
∴(a＋b－4)(a＋b－1)≤0，即1≤a＋b≤4，当 a＝b＝12时，左边等号成立，当a＝b＝2时，右边等号成立，故选A.

高中数学竞赛教案讲义(9)不等式

第九章不等式

一、基础知识

不等式的基本性质：

（1）a>b ⇔a-b>0；（2）a>b, b>c ⇒a>c ；（3）a>b ⇒a+c>b+c ；（4）a>b, c>0⇒ac>bc ；

（5）a>b, c<0⇒acb>0, c>d>0⇒ac>bd; （7）a>b>0, n ∈N +⇒a n

>b n

; （8）a>b>0, n ∈N +⇒n n

b a >;

（9）a>0, |x|a ⇔x>a 或x<-a; （10）a, b ∈R ，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|; （11）a, b ∈R ，则(a-b)2≥0⇔a 2+b 2≥2ab;

（12）x, y, z ∈R +，则x+y ≥2xy , x+y+z .33xyz ≥ 前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。

（6）因为a>b>0, c>d>0，所以ac>bc, bc>bd ，所以ac>bd ；重复利用性质（6），可得性质（7）；再证性质（8），用反证法，若n n b a ≤，由性质（7）得n n n n b a )()(≤，即a ≤b ，与a>b 矛盾，所以假设不成立，所以n n b a >；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|≤a ≤|a|, -|b|≤b ≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b ≤|a|+|b|，所以

|a+b|≤|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|，所以|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因为x+y-22)(y x xy -

高中数学竞赛教案讲义(9)不等式

第九章不等式

一、基础知识

不等式的基本性质：

（1）a>b ⇔a-b>0；（2）a>b, b>c ⇒a>c ；（3）a>b ⇒a+c>b+c ；（4）a>b, c>0⇒ac>bc ；

（5）a>b, c<0⇒ac<bc; （6）a>b>0, c>d>0⇒ac>bd;

（7）a>b>0, n ∈N +⇒a n

>b n

; （8）a>b>0, n ∈N +⇒n

n b a >

;

（9）a>0, |x|<a ⇔-a<x<a, |x|>a ⇔x>a 或x<-a; （10）a, b ∈R ，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|;

（11）a, b ∈R ，则(a-b)2≥0⇔a 2+b 2

≥2ab;

（12）x, y, z ∈R +

，则x+y ≥2xy , x+y+z .33xyz ≥ 前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。

（6）因为a>b>0, c>d>0，所以ac>bc, bc>bd ，所以ac>bd ；重复利用性质（6），可得性质（7）；再证性质（8），用反证法，若n

n b a ≤，由性质（7）得n n n n b a )()(≤，即a ≤b ，

与a>b 矛盾，所以假设不成立，所以n n b a >

；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|≤a ≤|a|,

全国高中数学竞赛专题不等式

全国高中数学竞赛专题-不等式

证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等式的性质分类罗列如下：不等式的性质：.0,0<-⇔<>-⇔≥b a b a b a b a 这是不等式的定义，也是比较法的依据. 对一个不等式进行变形的性质：（1）a b b a <⇔>（对称性）

（2）c b c a b a +>+⇔>（加法保序性）

（3）.0,;0,bc ac c b a bc ac c b a <⇒<>>⇒>>

（4）*).(,0N n b a b a b a n

n n

n ∈>

>⇒>>

对两个以上不等式进行运算的性质.

（1）c a c b b a >⇒>>,（传递性）.这是放缩法的依据. （2）.,d b c a d c b a +>+⇒>> （3）.,d b c a d c b a ->-⇒<> （4）.,,0,0bc ad d

c a c

d b a >>⇒>>>> 含绝对值不等式的性质：

（1）.)0(||2

2a x a a x a a x ≤≤-⇔≤⇔>≤

（2）.)0(||2

2a x a x a x a a x -≤≥⇔≥⇔>≥或

（3）||||||||||||b a b a b a +≤±≤-（三角不等式）.

（4）.

||||||||2121n n a a a a a a +++≤+++

高中数学竞赛解题方法篇(不等式)

高中数学竞赛中不等式的解法

摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。

不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用.

1．排序不等式定理1

设1

212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有

1211...n n n a b a b a b -+++ (倒序积和)

1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和） 1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和）

其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时成立.

（说明：本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和

顺序积和.）

证明：考察右边不等式，并记1212...n r r n r S a b a b a b =+++。

不等式

1212...n

r r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当

121,2,...,n r r r n

===时，S 达到最大值

1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有

均值不等式专题

利用均值不等式求最值

均值不等式（定理）具有将“和式”与“积式”相互转化的功能，应用比较广泛，这里仅就其在求函数最值中的应用述其管见。

为了用好该不等式，首先要正确理解该不等式中的三个条件（三要素）：正（各项或各因式均为正值）、定（和或积为定值）、等（各项或各因式都能取得相等的值，即具备等号成立的条件），简称“一正、二定、三相等”，这三条缺一不可，当然还要牢记结论：积定→和最小，和定→积最大。但是在具体问题中，往往所给条件并非“标准”的正、定、等（或隐含于所给条件之中），所以还必须作适当地变形，通过凑、拆（拼）项、添项等技巧，对“原始”条件进行调整、转化，使其符合标准的正、定、等，以保证使用该不等式。

一、凑正值

例1．设x<－1，求函数51x 4)1x (y ++++=的最值。

分析：欲用均值不等式来解。因01x <+，则不满足“正”的条件，故需利用已知条件调整其符号。

解：因为1x -<，即01x <+，所以0)1x (>+-，则

1x 4)1x (+++ 4)1x (4)]1x ([2])

1x (4)1x ([-=+-⋅

+--≤+-++--=。当且仅当

)1x (4)1x (+-=

+-，即3x -=时，y 有最大值，且154y max =+-=，

y 无最小值。评注：（1）通过“凑”，利用条件1x -<将有关项化为正值，从而满足公式中正的条件。否则会出现

41x 4)1x (21x 4)1x (=+⋅+≥+++，则954y max =+=的错误。（2）对于分式函数，常常等价转化为=y )0x 0b 0a (bx x a >>>+，，的形式

均值不等式竞赛题

在数学竞赛中，均值不等式是一道常见的题目类型。均值不等式是指对于一组非负实数，它们的算术平均数大于等于它们的几何平均数。其数学形式可以表示为：

\[ \frac{{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n} \]

这个不等式在求证过程中常常需要运用到其他的数学知识，比如取对数、使用柯西-施瓦茨不等式等。下面我们来看一个例子。

假设有四个正实数 \(a, b, c, d\)，我们要证明以下不等式成立：

\[ \frac{{a+b+c+d}}{4} \geq \sqrt[4]{abcd} \]

首先，我们可以先对不等式两边同时取自然对数，得到：

\[ \ln \left( \frac{{a+b+c+d}}{4} \right) \geq \ln

\left( \sqrt[4]{abcd} \right) \]

然后，我们可以应用对数函数的性质，将指数化为乘法，得到：

\[ \ln \left( \frac{{a+b+c+d}}{4} \right) \geq \frac{1}{4} \ln(abcd) \]

接着，我们再次应用对数函数的性质，将除法化为减法，得到：

\[ \ln(a+b+c+d) - \ln(4) \geq \frac{1}{4} \ln(abcd) \]

继续化简，我们可以将减法化为加法，并且将对数函数转化为指数函数，得到：

\[ e^{\ln(a+b+c+d) - \ln(4)} \geq e^{\frac{1}{4} \ln(abcd)} \]

多元均值不等式竞赛

1．若123,,,,n a a a a 均为正数，则有

二元均值不等式：

12a a +≥12a a =时取等号；三元均值不等式：

123a a a ++≥123a a a ==时取等号；

四元均值不等式：

1234a a a a +++≥1234a a a a ===时取等号．

（Ⅰ）猜想n 元均值不等式

（Ⅰ）若,,x y z 均为正数，且6x y z ++=，则xyz 的最大值=

2．若直线l ： 2(0,0)x y

a b a b

+=>> 经过点(2,4)，则a b +的最小值是_______．

3．若x ＞0，则函数f(x)＝x ＋32

x 2的最小值是________.

4．若正实数x,y 满足y >2x ，则y 2−2xy+x 2xy−2x 2

的最小值是______．

5．设正实数x 、y 满足x 2+y 2+1

y =

274

，则P =

15x

−

34y

的最小值为______.

6．已知x ，y 都是正数，且xy =1，求证：(1+x +y 2)(1+y +x 2)≥9.

7．求函数y =x +12(x−1)2

(x >1)的最小值．

8．设a,b,c ∈R +, 且a +b +c =3，求证： Ⅰa 2+b 2+c 2≥3； Ⅰb 2a

c 2b

a 2c

≥3。

9．设a ，b ，c 都是正数，求证：a 2b+c

b 2c+a

c 2a+b

≥1

(a +b +c)

10．设,x y 均为正数，且x y >，求证： ()2

2112x y x xy y

--+≥-+.

11．已知x >0,y >0,z >0，且xyz =1，求证：x 3+y 3+z 3≥xy +yz +xz

高中数学竞赛均值不等式讲义

⾼中数学竞赛均值不等式讲义均值不等式

1.均值不等式

知识点1: ⼆元均值不等式可以推⼴到n 元，即：设,,,

123

a a a a n 为n 个⾮负实数，则

12n

a a a n

≥1

a a a a n ===

=）.

如何证明?

知识点2: 设,,,

123

a a a a n 为n 个⾮负实数

,n Q

, 12n

n a a a A n

n G =, 12

111n n

H a a a =

++,则n n n n Q A G H ≥≥≥(等号成⽴当且仅当

123a a a a n ====) 更⼀般的平均值的定义: 设正数(1,2,3...)i a i n =,则α的幂平均值=1

(

i i a n

=∑,特

别的,我们有:

lim ()n f G αα→=，1

()(

i i a f n

α==∑为关于α的增函数.

知识点3:重要结论 (1)2

22,,,.a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++

(2) ()2

,,,3().a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (3) 2222,,,3()().a b c R a b c a b c ∈++≥++ (4) 2,,,()3().a b c R ab bc ca abc a b c ∈++≥++ (5)

,,,()()()()().a b c R a b b c a c abc a b c ab cb ac ∈++++=++++

(6) 222;2a a a b b a b b

-≥-+≥(a,b,c>0)

数学奥赛专题不等式

高中数学竞赛专题三不等式（一）

● 高考风向标

不等式的概念和性质，2元均值不等式．不等式的证明（比较法、分析法、综合法）．不等式的解法（一元一次、一元二次、一元高次、分式、绝对值不等式）不等式的综合应用（求最值、求参数的取值范围、解答实际问题）． ● 典型题选讲

例１已知（0x ，0y ）是直线21x y k +=-与圆2

23x y k k +=+-的交点，则当00x y 取最小值时，则实数k 的值等于（

）

（A

）

+ （B

）

（C ）1

（D ）3-

讲解：由交点满足方程，便得 002

0021,

2 3.

x y k x y k k +=-⎧

⎨

+=+-⎩

对第１个等式两边平方后减去第２个等式，立即得出 220023643(1)1x y k k k =-+=-+．故当00x y 取最小值

时，实数k 对于的值等于１，应该选C ．点评: 此题是一道解析几何面孔呈现的代数最值问题，解答中建立函数00()x y f k =，而

()f k 是二次函数，其求最值的方法自然就想到了是配方法！

例２设不等式2x －1＞m(x 2－1)对满足|m|≤2的一切实数m 的取值都成立，求x 的取值范围．

讲解：令f(m)＝2x －1－m(x 2－1)＝(1－x 2)m ＋2x －1，可看成是一条直线（由|m|≤2知它实质是一条线段），且使|m|≤2的一切实数都有2x －1＞m(x 2－1)成立．

所以 (2)0,

f(2)0, f ⎧⎨

⎩＞－＞即 22

2x 2x 10,2x 2x 30,

⎧⎨⎩－－＞＋－＜

常见均值不等式

四个常用均值不等式

均值不等式公式如下：

不等式在初中、高中甚至竞赛中都是比较相对综合、有难度的一块内容，经常会与方程、函数等其它知识点一起考察，一般的题型有：解不等式、证明不等式、求最大最小值。

公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。

基本性质

①如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；（对称性）

②如果x>y，y>z；那么x>z；（传递性）

③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z；（加法原则，或叫同向不等式可加性）

④如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz<yz；（乘法原则）

⑤如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；(充分不必要条件)

竞赛均值不等式专题讲解

高中数学竞赛与自主招生专题第二讲：均值、柯西、排序不等式(教师版)

竞赛均值不等式专题讲解

均值不等式专题附带解析

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