DOC定积分在几何学上的应用
定积分在几何中的简单运用说课稿
《定积分在几何中的应用》说课稿
石嘴山市光明中学潘学功
说课的题目是《定积分在几何中的应用》，内容选自于新课程人教A版选修2－2第一章第7节。我将从教材分析，教法学法分析，教学过程分析这三大方面阐述我对这节课的分析和设计。
一、教材分析
1、教材的地位和作用
定积分的应用是在学生学习了定积分的概念，计算，几何意义之后，对定积分知识的总结和升华。通过学习定积分在几何中的简单应用，掌握用定积分手段解决实际问题的基本思想和方法，在学习过程中体会导数与积分的工具性作用，从而进一步认识到数学知识的实用价值。这部分内容也是学生在高等学校进一步学习高等数学的基础，是高中数学与高等数学的在教学内容上的衔接。
2、教学目标（以教材为背景，根据课标要求，设计了本节课的教学目标）
1、知识与技能目标：
通过对本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的思想和方法。
2、过程与方法目标：
通过体验解决问题的过程，体现定积分的使用价值，加强观察能力和归纳能力，强化数形结合和化归思想的思维意识，同时体会到数学研究的基本思路和方法。
3、情感态度与价值观目标：
通过教学过程中的观察、思考、总结，养成自主学习的良好学习习惯，培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养将数学知识运用于生活的意识。
3、教学重点与难点
1、重点：应用定积分解决平面图形的面积，在解决问题的过程中体验定积分的价值。
要把握这个重点，要真正掌握有一定的难度，因此，本节课的难点确定为
2、难点:如何把平面图形的面积问题化归为定积分问题,如何恰当选择积分变量和确定被积函数。
定积分的几何应用
Oa
bx
曲边梯形的面积 y＝g(x)
A ab[f (x)g(x)]dx
y a
O
曲边梯形的面积 A ab[f (x)g(x)]dx
b
x y＝f(x)
y＝g(x)
y
oa
ya O
y f (x) y y＝f(x)
y g(x)
bx
Oa
bx
b
y＝g(x)
x
y＝Fra Baidu bibliotek(x)
y＝g(x)
例1、求由曲线 y x3与直线 y x
所围成图形的面积。
解题步骤:1、作草图，求有关交点 2、选择积分上下限 3、用定积分表示所求图形的 面积
练习2： 曲线y2＝x与y＝x2所围成图形的
面积。
y y＝x2
1
O
(0,0)
y2＝x
(1,1)
1
x
探究：直线 yx3与曲线 y 2 4 x 及
x轴所围成图形的面积。
y
y x3
y2 4x
第七节 定积分在几何中 的应用举例
b
A a f ( x)dx
曲边梯形面积：连续曲线 y
y f (x)( f (x) 0) 、
y f (x)
x轴与两条直线 x a、 o a
bx
x b所围成。
定积分在几何,物理学中的简单应用
定积分在几何,物理学中的简单应用
定积分在几何,物理学中的简单应用
积分是数学中一个非常重要的概念。它在几何学和物理学中都有重要的应用。
首先，在几何学中，积分可以用来表示曲线下面积和表面积，通过计算曲线或曲面的积分，我们可以求出它们的面积。比如说，我们可以使用椭圆的一类函数积分来计算两条椭圆之间的Group重叠面积。
同样，在物理学中，积分也有很多用处。比如，有一些物理量，比如力，可以用积分的方法来计算它们在不同空间点所引起的效应。比如说，如果我们想要计算一个球在特定空间点上产生的力，我们可以通过对球的各个点的力进行积分来得到这个力的大小。
综上所述，积分在几何学和物理学中都有广泛的应用，它可以帮助我们计算出面积，也可以帮助我们计算力的大小，它是一个非常重要的概念。
定积分几何应用
面积 .
解: A 2 1a2(1cos)2d 02
a2 4cos4 d
0
2
令t 2
8a2 2cos4tdt 0
8a2
3
1
3a2
422 2
(利用对称性)
d
o
2a x
例7. 计算心形线 r a ( 1 c) o ( a s 0 )与圆 ra
并称此曲线弧为可求长的.
y M i1
A M0 o
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
(证明略)
Mi
B Mn x
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
y f(x )( a x b )
弧长元素(弧微分) :
ds(d x)2(d y)2
1y2dx (P96)
因此所求弧长
s b 1y2 dx a
r r ( )( )
令 x r () co ,y r s () si,则n 得
弧长元素(弧微分) :
ds [x()2 ][y()2 ]d
r2()r2()d (自己验证)
因此所求弧长
s
r2()r2()d
ds (rd)2dr2
1
3 30
1
3
y2 x (1,1) y x2
定积分在几何中的应用
78
2020年第 5 期中
定积分在几何中的应用
杨姜维
一、平面图形的面积（一）以为积分变量的情形1.在直角坐标中，设曲
线
（
）与直线
及
轴所围成的平面图形面积为，则面积元素
，面积。
例1：求曲线
与直线
及轴所围成的平面图形的面积。
解：如图1，面积元素，图形面积
=
2.设曲
线与直
线
及轴所围成的图形
面积为
，则面积元素
，面积
。
3.设
由
，所
围成的平面图形的面积：
函数由大减小（上减下），积分从左到右；那么，第一种情况里面的面积公
式
，也可以看作是，轴即直线
。
例2：求直线与抛物线
所围成的平面图形的面积。
解：由图2分析可知，交点
面积元素，图形面积
4.任意由
所围
成的平面图形（图3）的面积。
例3：求抛物
线，
与
轴及直线
在第一象限
所围成的平面图形的面积。
解：如图4，由
交点
面积
+
（二）以为积分变量的情形1.由曲
线、直
线
及轴围成的平面图
形面积：
。
2.由曲线
、直线及轴围成的平面图形面积：
。
3.由曲
线直
线
及
轴围成
的平面图形面积：
若
，
。可看作是函数
由大减小（右减左），积分从下到上。
例4：计算抛物
线
与直线
所围成的图形的面积。
定积分在几何中的应用，主要体现在求解平面图形的面积和旋转体的体积等，文中主要介绍了求解平面图形面积
的几种情形，即分别以
为积分变量来讨论；求旋转体体积的两种情况，即曲线分别围绕
轴和轴旋转一周所
得的立体体积。
JIAO HAI TAN HANG／
教海探航
解：如图5，
由交
点为方便计算，选取
为积分变量，则有
4.任意由曲线直
线
及轴围成的平面
图形面积：
。
二、旋转体的体积
一个平面图形围绕其所在平面上的一条
直线旋转一周而成的立体即为旋转体，常见
高中数学-定积分在几何中的应用-教材分析
教材分析
本节通过举例引导学生解决一些在几何中用初等方法难以解决的平面图形问题，在这部分中，应特别注意利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行适当的分割，从而把要求的图形面积的问题转化为求曲边梯形面积问题。它是在前面学生学习了定积分的含义、定积分的求解的基础上进一步探讨它的应用。
例题1是求由两条曲线围成的平面图形的面积。第一步，画图并确定图形范围，即借助几何直观，将所求图形的面积看成位于X轴上方的两个曲边梯形面积之差；第二步，确定积分上下限，即通过求解方程组求出交点的横坐标，进而确定函数和积分上下限；第三步，写出平面图形面积的积分表达式，运用微积分基本定理计算定积分，从而求出平面图形的面积。
求由两条曲线围成的图形的面积．解题的步骤如下：
第一步，画出图形；
第二步，确定图形范围，通过解方程组求出交点横坐标，定出积分上、下限；
第三步，确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置，事例中的一条曲线
x y= 2
经过变形得到
x
y±
=，由于所围图形在x轴上方，因此取x
y=；
第四步，写出平面图形面积的积分表达式；
第五步，运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积．
例2的解题步骤与例1相同，不同的是，本例中将所求平面图形的面积看成上方的两个部分的面积之和，本例也可适当的选择积分变量可以简化解题过程，教学中，可以引导学生得出不同的解法并进行比较。本例有多种解法，一是以“x”为积分变量；二是以“y”为积分变量．课本给出了以“y”为积分变量的解法．现我们给出以“x”为积分变量的解法：
在教学中，结合例题教学对解题步骤进行归纳总结，使学生明确利用定积分求平面图形面积的基本步骤：一般先画出它的草图，并根据图形的特点选择适当的积分变量，在借助图形直观确定出被积函数以及积分的上下限，最后利用微积分基本定理计算定积分，从而求出平面图形的面积。
4(8)定积分在几何学上的应用
与y=0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的
旋转体的体积.
y
解 绕 x轴旋转的旋转体体积
Vx 2a y2 ( x)dx 变量代换
O
2a x
2x0a a( t sin t )
0
2
0 a
2
(1
cos
t
)2
a(1
cos
t
)dt
a3 2 (1 3cos t 3cos 2 t cos 3 t)dt 0
第八节 定积分在几何上的应用
建立积分模型的微元法
求平面图形的面积 求空间立体的体 积 求平面曲线的弧长与曲率
旋转体的侧面积 小结 思考题 作业
第六章 定积分的应用
1
定积分的几何应用
一、建立积分模型的微元法
究竟哪些量可用定积分来计算呢. 首先讨论这个问题. 结合曲边梯形面积的计算 及定积分的定义
可知,用定积分计算的量应具有如下两个特点:
距离为R(R r).
y y R r2 x2
解 取坐标如图所示.圆的方程为
R•
x2 ( y R)2 r2
y R r2 x2
所求圆环体可看成是 上半圆下的
r o r x
曲边梯形 和下半圆下的曲边梯形
绕x轴旋转一周. 两个旋转体的体积之差.
定积分在几何学上应用
等于椭圆
x y
cos t 1
a
2
sin
t
(0 t 2) 的周长.
证 设正弦线的弧长等于s1
s1
2 0
1 y2dx
2 0
1 a2 cos2 xdx
2
1 a2 cos2 xdx,
0
设椭圆的周长为s2
高等数学六②
三、平面曲线的弧长
s2
2 0
x2 y2dt,
根据椭圆的对称性知
转体的体积.
解 绕x 轴旋转的旋转体体积
y( x)
Vx
2a y2 ( x)dx
0
a
2a
2 a2 (1 cos t)2 a(1 cos t)dt 0
a3
2
(1
3cos t
3 cos2
t
cos3
t )dt
52a3 .
0
高等数学六②
二、体积
17/34★
绕 y轴旋转的旋转体体积
y
2a C
心，并与底面交成角 ，计算这平面截圆柱体所
得立体的体积.
解 取坐标系如图
R
底圆方程为
x2 y2 R2
o
y
x
R
垂直于x 轴的截面为直角三角形
x
截面面积 A( x) 1 (R2 x2 )tan ,
定积分的意义及其在几何中的应用
定西师范高等专科学校本科毕业论文(设计)
题目：定积分的意义及其在几何中的应用
学院兰州大学数学与统计学院
专业数学应用
班级 09数学教育二班
学号 **********
姓名蔡兴盛
指导教师王宾国
兰州大学教务处制
二Ｏ一二年三月
定积分的意义及其在几何中应用
定积分在大学数学中起着非常重要的作用，是大学数学的基础，在我们
的生活中也起着很重要的作用！
内容摘要： 一直以来定积分问题就是大学数学学习的重点，也是本科及研究生入学考试重点考察的内容之一，所以本文对定积分的起源、发展以及它在数学、几何学的应用做了重点研究。幷利用一些例题对这些问题做除了详细解析。
关键词： 定积分 柯西 微分 方程 几何
一、定积分的概念 1.1定积分的定义
一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点
0121i i n a x x x x x x b -=<<<
<<<
<=
将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b a
x n
-∆=
），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,
,i i n ξ=，作和式：1
1
()()n n
n i i i i b a
S f x f n
ξξ==-=∆=∑∑
如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分．记为：()b
a
S f x dx =
⎰
其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限．
定积分在几何学上的应用
1
3
⎤12
x
y =2
y x =
x
y 22=4
−=x y .
18
β
θ=r
o
x
y =θ
ρ2cos 22a =1
A
θd
数学分析第五章 定积分§2 定积分在几何学上的应用二、特殊立体的体积1、旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．圆柱圆锥圆台
数学分析第五章 定积分§2 定积分在几何学上的应用一般地，如果旋转体是由连续曲线 y = f ( x ) 、 直线 x = a 、 x = b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？x ∈ [a , b ] 在[a , b]上任取小区 间[ x , x + dx ]，取积分变量为 x ，yy = f ( x)ox x + dxx取以dx 为底的窄边梯形绕 x 轴旋转而成的薄 片的体积为体积元素， dV = π[ f ( x )]2 dx旋转体的体积为 V = ∫ π[ f ( x )]2 dxab
数学分析第五章 定积分2 3 2 3 2 3§2 定积分在几何学上的应用例 1 求星形线 x + y = a ( a > 0) 绕 x 轴旋转 构成旋转体的体积.y解 ∵y =a −x ,2 32 32 3⎛ ∴y =⎜ ⎜a − x ⎝2 2 3a 2 32 3⎞ ⎟ ⎟ ⎠3x ∈ [− a , a ]3−aoa x旋转体的体积⎛ V = ∫ π⎜ a −x ⎜ −a ⎝2 3⎞ ⎟ dx = 32 πa 3 . ⎟ 105 ⎠
数学分析第五章 定积分§2 定积分在几何学上的应用类似地，如果旋转体是由连续曲线x = ϕ ( y ) 、直线 y = c 、 y = d 及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体， y 体积为dV = ∫ π [ϕ ( y )] dy2 cdx = ϕ ( y)co x
6.2定积分在几何学上的应用
2
3 2
a2
第六章 定积分的应用
8
例 计算心形线 a 1 cos a 0 与圆 a 所围成的图形的面积。
解：
利用对称性，有
A
1 2
a2
2
2
1 2
a2
1 cos
2 d
1 2
a2
a2
3
2
2
2 cos
1 2
cos
2
d
1 2
a2
a2
3 2
2 sin
1 4
sin
A
2
0
1 2
a
2
d
a 2 3 2
2
3
0
4 3
a
2
3
第六章 定积分的应用
7
例 5 计算心形线 a 1 cos a 0 所围成的图形的面积。
解：
利用对称性，有
A
2 0
1 2
a2
1
cos 2 d
a2
0
4 cos4
2
d
8a 2 2 cos4 tdt 0
8a 2
3 4
1 2
度趋向于一个确定的极限，则称此极限为曲线弧 AB 的弧长，即
n
s
lim
0
i 1
M i 1M i
，
定积分在几何物理中的应用 非常好
h b
求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤
定 积 分 的 简 单 应 用
证明：如图建立平面直角坐标系，可设抛物线方程为 y -ax2 (a 0) 代抛物线上一点入方程
4h 2 所以抛物线方程为 y - 2 x b
4h b 2 则有 - h -a( ) 得 a 2 b 2
y
0 x
hS b
b ( ,- h ) 2
于是，抛物线拱的面积为 2S
b b 4h 2 2 2s 2 h (- 2 x )dx 0 b 2 4h 3 b b 2 2 2 h (- 2 x ) 0 bh 3b 2 3
1.7.2 定积分在物理中的应用
教学目标: 会用定积分求变速直线运动的路程、 变力做功等问题。 教学重难点 ： 重点：用定积分求变速直线运动的路程、 变力做功等问题的步骤
难点：理解可用定积分求解的物理问题的 特点，确定积分的上下限。
设物体运动的速度 v=v(t) ≥0，则此物 体在时间区间[a, b]内运动的距离s为
Si v(ti ) t v(ti ) t
一、变速直线运动的路程
b
s v(t )dt
a
n n i 1 i 1
v
v v(t )
b
x
f
a f (x)dx a f (x)dx c
定积分在几何学上的应用(1)
dI (3) 以
为被积表达式在
a, b 上作定积分,
得:
b
b
I dI f (x)dx
a
a
4
定积分的几何应用
曲边梯形面积的积分式也可以用元素法 建立如下.
设曲边梯形由y f ( x)、直线x a、x b
与x轴围成. (1) 选x为积分变量,
xa,b 面
(2) 在[a,b]上任取一小区间[x, x dx],
r r( )
所围成的面积A.
面积元素
dA
1[r(
2
)]2 d
曲边扇形的面积
曲 边 扇 形
O
d
x
A 1[r( )]2d .
2
14
定积分的几何应用
例3 求心形线 所围成图形的面积.
r
a(1
cos
),
a
A
0
1[r(
2
)]2
d
y r a(1 cos )
解 利用对称性知
A 2
1 a2 2
圆柱
圆锥
圆台
18
定积分的几何应用
(1) 如果旋转体是由连续曲线 y f ( x), 直线 x a, x b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕
x 轴旋转一周而成的立体体积为多少?
采,用元素法
y
y f (x)
高中数学-定积分在几何中的应用
复习
我们知道定积分 b f ( x)dx 的几何意义： a
它是介于 x 轴、函数 f ( x) 的图象及两条直线 x a, x b之间的各部分面积的代数和.(在 x 轴
上方的面积取正号，在 x 轴下方的面积取负号)
思考:试用定积分表示下面各平面图形的面积值:
图1.曲边梯形
A2
y x3 6x
A
0 ( 2
x3
6x
x2
)dx
3(x2 0
x3
6 x )dx
253. 12
说明：注意各积分区间上被积函数的形式．
小结
求在直角坐标系下平面图形的面积步骤: 1. 作图象; 2. 求交点的横坐标,定出积分上、下限;
3. 确定被积函数，用定积分表示所求的面积， 特别注意分清被积函数的上、下位置; 4. 用牛顿－莱布尼茨公式求定积分.
x3 1 3 0
1. 3
例 2 计算由曲线 y 2x ，直线 y x 4以及 x 轴所
围成的图形的面积. 解: 两曲线的交点
y 2x
S2
y
2x
(0,0), (8, 4).
y x 4
S1 y x 4
直线与x轴交点为(4,0)
4
8
8
S S1 S2 0
2xdx [ 4
例题
例 1 计算由两条抛物线 y2 x和 y x2所围成的
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第五章第五节定积分在几何学上的应用
教学目的：掌握用元素法计算平面图形的面积、计算体积、计算平面曲线的弧长、计算平面曲线的弧长。
教学重点：直角坐标系下平面图形的面积计算，体积的计算，平面曲线弧长的计算、平面曲线弧长的计算。
教学难点：面积元素的选取、体积元素的选取、弧长元素的选取
教学内容：
一、定积分的元素法
1
(1)
(2)
(3)
2、写出计算U的定积分表达式步骤(1)
(2)
)
元素
(3)
这个方法叫做元素法
dU f x dx a x b
=≤≤
()(
)
因此，也称此法为微元法。
二、平面图形面积的计算
1．直角坐标的情形
由曲线y f x f x
=≥
()(())
0及直线x a
=与x b
= ( a b
< ) 与x轴所围成的曲边梯形面积A。
A f x dx
a
b
=⎰()其中：f x dx
()为面积元素。
由曲线y f x
=()与y g x
=()及直线x a
=，x b
=( a b
< )且f x g x
()()
≥所围成的图形面积A。
⎰
⎰
⎰-
=
-
=
b
a
b
a
b
a
dx
x
g
x
f
dx
x
g
dx
x
f
A])
(
)
(
[
)
(
)
(
其中：[()()]
f x
g x dx
-为面积元素。
例1 计算抛物线y x
22
=与直线y x
=-4所围成的图形面积。
解：1、先画所围的图形简图
解方程 y
x y x 224
==-⎧⎨⎩, 得交点：(,)22- 和 (,)84。
2、选择积分变量并定区间 选取x 为积分变量，则08≤≤x
3、给出面积元素 在02≤≤x 上，dA x x dx xdx
=--=[()]2222
在28≤≤x 上，
dA x x dx x x dx
=--=+-[()]()2442
4、列定积分表达式
2
8
2
2
8
3322
2
2
2
2[42]42
22143
3218
A xdx x x dx
x
x x
x =++
-⎡⎤
=
++-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰
另解：若选取
y 为积分变量，则 -≤≤24y
dA y y dy =+-[()]412
2
A y y dy
y y y
=+-⎰=+-
=--()41224618
24
2
2
32
4
显然，解法二较简洁，这表明积分变量的选取有个合理性的问题。
例2 求椭圆
x a
y b
22
22
1+
=所围成的面积 (,)a b >>00。
4倍。
取x 为积分变量，则 0≤≤x a ， y b x a
=-
122
dA ydx b x a
dx ==-12
2
故
A ydx b x a dx a a
=⎰=-⎰44102
20
( * )
作变量替换 x a t =cos ()02
≤≤
t π
则
y b x a
b t =-=12
2sin ， dx a tdt =-sin
A b t a t dt =
-⎰42
(sin )(sin )π
( * * )
ab ab dt t ab ππ
π
=⋅-⋅
==⎰2
!!2!)!12(4sin 42
2 2极坐标情形 设平面图形是由曲线 r
=ϕθ()及射线θα=，θβ=所围成的曲边扇形。
取极角θ为积分变量，则 α
θβ≤≤,在平面图形中任意截取一典型的面积元
素∆A ，它是极角变化区间为[,]θθ
θ+d 的窄曲边扇形。
∆A 的面积可近似地用半径为r =ϕθ()， 中心角为d θ的窄圆边扇形的面积来
代替，即
∆A d ≈1
2
2[()]ϕθθ
从而得到了曲边梯形的面积元素 dA d =12
2
[()]ϕθθ
从而
A d =⎰1
2
2ϕθθαβ()
例3 计算心脏线r
a a =+>(cos )()10θ所围成的图形面积。
解： 由于心脏线关于极轴对称，