【成才之路】2015版高中数学(人教版必修5)配套练习：1.2 应用举例第1课时

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【成才之路】2014-2015学年高中数学 1.2 第1课时充分条件与必要条件课件新人教A版选修1-1

成才之路 · 数学
人教A版 · 选修1-1 1-2
路漫漫其修远兮吾将上下而求索
第一章
常用逻辑用语
第一章
1.2 充分条件与必要条件
第1课时充分条件与必要条件
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
巩固提高学案
自主预习学案
1.理解充分条件、必要条件的概念．
2．会具体判断所给条件是哪一种条件.
重点：充分条件、必要条件的判定．难点：充分性与必要性的区分.
C．②④ D．①④ [分析] 根据必要条件的定义进行判断．
[解析] x>4⇒x>3，故①是真命题；x＝1⇒x2＝1，x2＝1⇒ / x＝1，故②是假命题；a＝0⇒ab＝0，ab＝0⇒ / a＝0，故③是假命题；函数 f(x)的定义域关于坐标原点对称⇒ / 函数 f(x)为奇函数，函数 f(x)为奇函数⇒函数 f(x)的定义域关于坐标原点对称，故④是真命题，∴选 D.
系：
条件 p 与结论 q 关系 p⇒q，但 q⇒ / p q⇒p，但 p⇒ / q p⇒q，q⇒p，即 p⇔q p⇒ / q，q⇒ / p 结论 p 是 q 成立的充分不必要条件 p 是 q 成立的必要不充分条件 p 是 q 成立的充要条件 p 是 q 成立的既不充分也不必要条件
在平面直角坐标系 xOy中，直线 x ＋(m＋1)y ＝2 －m与直线 mx＋2y＝－8互相垂直的充要条件是m＝________.
充分条件、必要条件新知导学 p⇒q 1．如果命题“若p，则q”为真，则记为_________ ，“若 p⇒ / q p则q”为假，记为__________. 充分条件， q 是 p 的 2 ．如果已知 p⇒q ，则称 p 是 q 的 __________ 必要条件． __________

《成才之路》2015版高中数学(人教版B版·必修5)配套课件1.2应用举例第1课时

• A．α，a，b • C．a，b，γ • [答案] C
B．α，β，a D．α，β，b
• [解析] 根据实际情况，α、β都是不易测量的数据，而a、b可以测得，角γ也可以测得，根据余弦定理AB2＝a2＋b2－2abcosγ能直接求出AB的长，故选C．
• 3.如图所示，客轮以速率2v由A至B再到C匀速航行，货轮从AC的中点D出发，以速率v沿直线匀速航行，将货物送达客轮，已知AB⊥BC，且AB＝BC＝50n mile，若两船同时出发，则两船相遇之处M距C点________n mile.
• 如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝ 45°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，求河的宽度．
• [解析] 如图，
在△ABC中，∵∠CAB＝45°，∠CBA＝75°， ∴∠ACB＝60°. 由正弦定理，得AC＝ABsi·nsi∠n∠ACCBBA＝12s0insi6n07°5° ＝20(3 2＋ 6)．设C到AB的距离为CD，则CD＝ACsin∠CAB＝ 22AC＝20(3＋ 3)．答：河的宽度为20( 3＋3)m.
∴(vt)2＝(25 2)2＋x2－2×25 2×x×cos45°，即34x2＝1250，∴3x2＝4×1250，
∴x＝503
6 n
mile.
• 4．在相距2km的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之[答间案的] 距6离为________km.
• [解析] 如图所示，由题意知∠C＝45°，
• (2)如图，作PD⊥a，垂足为D．在Rt△PDA
中，
PD＝PAcos∠APD＝PAcos∠PAB ＝x·3x＋5x32＝3×13752＋32≈17.71(km)．答：静止目标P到海防警戒线a的距离约为17.71 km.

《成才之路》2015版高中数学(人教版必修5)配套课件2.2等差数列第1课时

等差数列的证明已知1a，1b，1c成等差数列，求证：b＋a c，c＋b a，a＋c b 也成等差数列．
[分析] 由于所求证的是三个数成等差数列，所以可用等差中项来证明．
[证明] ∵1a，1b，1c成等差数列，∴2b＝1a＋1c，则 b(a＋c)＝2ac，
∴b＋a c＋a＋c b＝b＋cc＋aca＋ba＝ba＋ca＋c a2＋c2 ＝2a12cb＋aa＋2＋cc2＝2ab＋c，即b＋a c，c＋b a，a＋c b也成等差数列． [方法总结] 证明一个数列是等差数列常用的方法有①利用定义法，即证 an＋1－an＝常数；②利用等差中项的概念来进行判定，即证 2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．
注意：对于等差数列定义的理解要注意： (1)“从第 2 项起”也就是说等差数列中至少含有三项． (2)“每一项与它的前一项的差”不可理解为“每相邻两项的差”． (3)“同一个常数 d”，d 是等差数列的公差，即 d＝an－an －1，d 可以为零，当 d＝0 时，等差数列为常数列，也就是说，常数列是特殊的等差数列． (4)等差数列的定义是判断、证明一个数列为等差数列的重要依据，即 an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列．
已知数列 {an} 中， a1 ＝ 1 ， a2 ＝ 2,2an ＋ 1 ＝ 2an ＋ 3(n≥2，n∈N*)，判断{an}是否是等差数列．
[错解] ∵2an＋1＝2an＋3，∴an＋1－an＝32，故数列{an}是等差数列．
[辨析] 审题错误，没有注意条件 n≥2.当 n≥2 时，an＋1 －an＝32，这说明这个数列从第二项起，后一项与前一项的差为
若b＋1 c，a＋1 c，a＋1 b成等差数列，求证：a2，b2，c2 成等差数列．

【成才之路】2015版高中数学(人教版必修5)配套课件2.1数列的概念与简单表示法

1.两个非空数集 A，B，对于集合 A 中的每一个数，通过 ________，在集合 B 中都有________一个数与其对应．这时就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的函数． 2．对于一次函数 y＝x＋1，当 x＝－2，－1,0,1,2，…时， y＝________.体现了有规律的一列数与另一列数的________．
2．数列的通项公式如果数列{an}的第 n 项 an 与项数 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做数列的通项公式．注意： (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集 N*或它的有限子集为定义域的函数表达式，即 an＝f(n)． (2)已知数列的通项公式，依次用 1,2,3，…去替代公式中的 n，就可以求出这个数列的各项；同时利用通项公式也可以判断某数是不是某数列中的项，是第几项．
课堂典例探究
数列的概念及分类
下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( ) 1 1 1 A．1，，，，… 2 3 4 π 2π 3π B．sin ，sin ，sin ，… 7 7 7 1 1 1 C．－1，－，－，－，… 2 4 8 D．1， 2， 3，…， 21
• [答案] C • [解析] D是有穷数列，A是递减数列，B是摆动数列，故选C.
• ④数列的简记符号{an}，不可能理解为集合 {an}，数列的概念与集合概念的区别如下表：
数列集合示例如数列1,3,4与1,4,3 数列中的项是有序的，两组相同的数集合中的元素是不同的数列，而集合{1,3,4}与字，按照不同的顺序是无序的 {1,4,3}是相等集合区排列得到不同的数列别集合中的元素如数列1,1,1，…每数列中的项可以重复满足互异性，项都是1，而集合出现集合中的元素则不可以不能重复出现

【成才之路】2015版高中数学(人教版·必修5)综合检测第一章解三角形

第一章综合检测一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的．)1．在△ABC 中，a ＝80，b ＝100，A ＝45°，则此三角形解的情况是( ) A ．一解 B ．两解 C ．一解或两解 D ．无解[答案] B[解析] ∵b sin A ＝100×22＝502<80， ∴b sin A <a <b ， ∴此三角形有两解．2．在△ABC 中，A ＝45°，AC ＝4，AB ＝2，那么cos B ＝( ) A ．31010B ．－31010C ．55D ．－55[答案] D[解析] BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ＝16＋2－82cos45°＝10，∴BC ＝10， cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝－55.3．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 的值为( ) A ． 3 B ．2 3 C ．3或2 3 D ．2[答案] C[解析] ∵sin C ＝sin B b ·c ＝32，∴C ＝60°或C ＝120°， ∴A ＝30°或A ＝90°，当A ＝30°时，a ＝b ＝3；当A ＝90°时，a ＝b 2＋c 2＝2 3.故选C ．4．已知关于x 的方程x 2－x cos A ·cos B ＋2sin 2C2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形[答案] C[解析] 由题意知：cos A ·cos B ＝sin 2C2，∴cos A ·cos B ＝1－cos C 2＝12－12cos [180°－(A ＋B )]＝12＋12cos(A ＋B )，∴12(cos A ·cos B ＋sin A ·sin B )＝12，∴cos(A －B )＝1， ∴A －B ＝0，∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形，故选C ．5．△ABC 中，已知下列条件：①b ＝3，c ＝4，B ＝30°；②a ＝5，b ＝8，A ＝30°；③c ＝6，b ＝33，B ＝60°；④c ＝9，b ＝12，C ＝60°.其中满足上述条件的三角形有两解的是( )A ．①②B ．①④C ．①②③D ．③④[答案] A[解析] ①c sin B <b <c ，故有两解； ②b sin A <a <b ，故有两解； ③b ＝c sin B ，有一解； ④c <b sin C ，无解．所以有两解的有①②，故选A ．6．等腰△ABC 底角B 的正弦与余弦的和为62，则它的顶角是( ) A ．30°或150° B ．15°或75° C ．30° D ．15°[答案] A[解析] 由题意：sin B ＋cos B ＝62.两边平方得sin2B ＝12，设顶角为A ，则A ＝180°－2B . ∴sin A ＝sin(180°－2B )＝sin2B ＝12，∴A ＝30°或150°.7．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A ．725B ．－725C ．±725D ．2425[答案] A[解析] 由b sin B ＝c sin C 及8b ＝5c ，C ＝2B 得，5sin2B ＝8sin B ，∴cos B ＝45，∴cos C ＝cos2B＝2cos 2B －1＝725.8．△ABC 中，|AB →|＝5，|AC →|＝8，AB →·AC →＝20，则|BC →|为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9[答案] B[解析] ∵AB →·AC →＝20，∴|AB →||AC →|cos A ＝20，∴cos A ＝12，由余弦定理，得|BC →|2＝|AB →|2＋|AC →|2－2|AB →||AC →|cos A ＝49， ∴|BC →|＝7.9．已知钝角三角形的三边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是( ) A ．1<x <5 B.5<x <13C ．1<x <5或13<x <5D ．1<x < 5 [答案] C[解析] 当x 为最大边时⎩⎪⎨⎪⎧3<x <5x 2>32＋22，∴13<x <5；当3为最大边时⎩⎪⎨⎪⎧1<x <332>x 2＋22，∴1<x < 5.∴x 的取值范围是：1<x <5或13<x <5.10．在△ABC 中，三边长分别为a －2，a ，a ＋2，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为( )A ．154B ．1534C ．2134D ．3534[答案] B[解析] ∵三边不等，∴最大角大于60°，设最大角为α，故α对的边长为a ＋2. ∵sin α＝32，∴α＝120°，由余弦定理，得(a ＋2)2＝(a －2)2＋a 2＋a (a －2)，即a 2＝5a ，解得a ＝5，∴三边长为3,5,7， S △ABC ＝12×3×5×sin120°＝1534.11．在△ABC 中，B ＝60°，C ＝45°，BC ＝8，D 为BC 上一点，且BD →＝3－12BC →，则AD的长为( )A ．4(3－1)B ．4(3＋1)C ．4(3－3)D ．4(3＋3)[答案] C[解析] 由题意知∠BAC ＝75°，根据正弦定理，得AB ＝BC sin45°sin75°＝8(3－1)，因为BD →＝3－12BC →，所以BD ＝3－12BC ．又BC ＝8，所以BD ＝4(3－1)．在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos60° ＝4(3－3)．12．如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20n mile ，随后货轮按北偏西30°的方向航行30min 后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A ．20(2＋6)n mile/hB ．20(6－2)n mile/hC ．20(3＋6)n mile/hD ．20(6－3)n mile/h [答案] B[解析] 由题意可知∠SMN ＝15°＋30°＝45°，MS ＝20，∠MNS ＝45°＋(90°－30°)＝105°，设货轮每小时航行x n mile ，则MN ＝12x ，∴∠MSN ＝180°－105°－45°＝30°，由正弦定理，得12x sin30°＝20sin105°，∵sin105°＝sin(60°＋45°) ＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝6＋24， ∴x ＝20(6－2)，故选B.二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．在△ABC 中，已知b ＝1，sin C ＝35，b cos C ＋c cos B ＝2，则AC →·BC →＝________.[答案] 85或－85[解析] 由余弦定理的推论，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac .∵b cos C ＋c cos B ＝2， ∴a 2＋b 2－c 22a ＋a 2＋c 2－b 22a ＝2，∴a ＝2，即|BC →|＝2. ∵sin C ＝35，0°<C <180°，∴cos C ＝45，或cos C ＝－45.又∵b ＝1，即|AC →|＝1， ∴AC →·BC →＝85，或AC →·BC →＝－85.14．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C ．若△ABC 的面积为16sin C ，则C＝________.[答案] 60°[解析] ∵sin A ＋sin B ＝2sin C ． ∴a ＋b ＝2C ．又∵a ＋b ＋c ＝2＋1，∴c ＝1，a ＋b ＝ 2. 又S △ABC ＝12ab sin C ＝16sin C ．∴ab ＝13，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(a ＋b )2－2ab －c 22ab ＝12，∴C ＝60°.15．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.[答案]102[解析] ∵tan A ＝13，∴sin A ＝1010，由正弦定理，得AB ＝BC ·sin C sin A ＝102.16．在△ABC 中，cos 2A 2＝b ＋c2c ，则△ABC 的形状为________．[答案] 直角三角形[解析] ∵cos 2A 2＝1＋cos A 2＝b ＋c 2c ＝12＋b2c ，∴cos A ＝bc.由余弦定理的推论，得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝b c ，∴a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为直角三角形．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)(2014·新课标Ⅱ文，17)四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3, CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积． [解析] (1)由题设及余弦定理得 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝12－12cos C ． ①BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ． ②由①，②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7.(2)四边形ABCD 的面积 S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C＝(12×1×2＋12×3×2)sin60° ＝2 3.18．(本题满分12分)在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2c sin A ．(1)确定角C 的大小；(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．[解析] (1)由3a ＝2c sin A 及正弦定理得，3sin A ＝2sin C sin A ． ∵sin A ≠0，∴sin C ＝32. ∵△ABC 是锐角三角形，∴C ＝π3.(2)∵C ＝π3，△ABC 面积为332，∴12ab sin π3＝332，即ab ＝6.① ∵c ＝7，∴由余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos π3＝7，即a 2＋b 2－ab ＝7.②由②变形得(a ＋b )2＝3ab ＋7.③ 将①代入③得(a ＋b )2＝25，故a ＋b ＝5.19．(本题满分12分)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1km 内不能收到手机信号．检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约3km 有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以12km/h 的速度沿公路行驶，最长需要多少时间，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？[解析] 如图所示，考点为A ，检查开始处为B ，设公路上C ，D 两点到考点的距离为1km. 在△ABC 中，AB ＝3≈1.732，AC ＝1，∠ABC ＝30°，由正弦定理，得sin ∠ACB ＝AB sin30°AC ＝32， ∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)， ∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝AC ＝1. 在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°， ∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1. ∵BC12×60＝5，∴在BC 上需要5min ，CD 上需要5min.∴最长需要5min 检查员开始收不到信号，并至少持续5min 该考点才算合格．20．(本题满分12分)(2014·辽宁理，17)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c ，已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3，求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．[解析] (1)由BA →·BC →＝2得c ·a cos B ＝2. 又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B . 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×6×13＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2. 因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2. (2)在△ABC 中， sin B ＝1－cos 2B ＝1－(13)2＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b >c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－(429)2＝79.于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13·79＋223·429＝2327.21．(本题满分12分)如图，已知半圆O 的半径为1，点C 在直径AB 的延长线上，BC ＝1，点P 是半圆O 上的一个动点，以PC 为边作正三角形PCD ，且点D 与圆心分别在PC 两侧．(1)若∠POB ＝θ，试将四边形OPDC 的面积y 表示成θ的函数； (2)求四边形OPDC 面积的最大值．[解析] (1)设∠POB ＝θ，且0°≤θ≤180°.在△OPC 中，OP ＝1，OC ＝2，由余弦定理，得PC 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC ·cos θ＝5－4cos θ，∴S OPDC ＝S △OPC ＋S △PDC ＝12OP ·OC ·sin θ＋34PC 2＝sin θ＋34(5－4cos θ)＝sin θ－3cos θ＋534，即y ＝sin θ－3cos θ＋543.(2)由(1)得y ＝sin θ－3cos θ＋543＝2sin(θ－60°)＋534.∵0°≤θ≤180°，－60°≤θ－60°≤120°，∴当sin(θ－60°)＝1，即θ－60°＝90°，也即θ＝150°时，S OPDC 有最大值，且为2＋534，故当∠POC ＝150°时，四边形OPDC 的面积最大，最大值为2＋534.22．(本题满分14分)如图所示，A 、B 两个小岛相距21n mile ，B 岛在A 岛的正南方，现在甲船从A 岛出发，以9n mile /h 的速度向B 岛行驶，而乙船同时以6n mile/h 的速度离开B 岛向南偏东60°方向行驶，问行驶多少时间后，两船相距最近，并求出两船的最近距离．[解析] 设行驶t 小时后，甲船行驶了9t n mile 到达C 处，乙船行驶了6t n mile 到达D 处．当9t <21，即t <73时，C 在线段AB 上，此时BC ＝21－9t ，在△BCD 中，BC ＝21－9t ，BD ＝6t ，∠CBD ＝180°－60°＝120°，由余弦定理，得CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos120° ＝(21－9t )2＋(6t )2－2×(21－9t )·6t ·(－12)＝63t 2－252t ＋441＝63(t －2)2＋189. ∴当t ＝2时，CD 取得最小值189＝321.当t ＝73时，C 与B 重合，此时CD ＝6×73＝14>321.当t >73时，BC ＝9t －21，则CD 2＝(9t －21)2＋(6t )2－2×(9t －21)×6t ×cos60°＝63t 2－252t＋441＝63(t －2)2＋189>189.综上可知，t ＝2时，CD 取最小值321n mile ，故行驶2h 后，甲、乙两船相距最近为321n mile.。

【成才之路】2015版高中数学(人教版必修5)配套课件：3.2 一元二次不等式及其解法第1课时

2
第三章
3.2
第1课时
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1 解法二：∵原不等式的解集为{x|－3≤x≤2}． 1 ∴－3，2 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根，且 a<0. b 1 －3＋2＝－a 由根与系数的关系得－1×2＝c a 3 5 b a＝－3 即 c＝－2 3 a
函数y＝x2－2x－3的图象如图所示．
第三章
3.2
第1课时
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由图象可知，当 x∈{ － 1,3} 时， y ＝ 0 ，方程 x2 － 2x － 3 ＝ 0 的根为x1＝－1，x2＝3. 当x∈{x|x<－1或x>3}时，y>0， ∴不等式x2－2x－3>0的解集为{x|x<－1或x>3}．
第1课时
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解下列不等式． (1)－2x2＋x＋1<0； (2)－x2＋2x－3>0.
[ 解析]
(1)原不等式可化为 2x2－x－1>0，
∵Δ＝9>0，方程 2x2－x－1＝0 的两根分别为 1 x1＝－2，x2＝1， 1 ∴原不等式的解集为{x|x<－2或 x>1}． (2)∵Δ＝－8<0，∴方程 x2－2x＋3＝0 无实数根， ∴原不等式的解集为∅.
x1 ＝x2 b ＝－2a {x|x≠ b －2a} ∅
没有实数根
R ∅
第三章 3.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
画出函数 y＝x2－2x－3 的图象，观察图象．回答问题： (1)x ∈ ________ 时， y ＝ 0 ，方程 x2 － 2x － 3 ＝ 0 的根为 ________． (2)x∈________时，y>0，∴不等式 x2－2x－3>0 的解集为 ________； (3)x∈________时，y<0，∴不等式 x2－2x－3<0 的解集为 ________．

《成才之路》2015版高中数学(人教版B版·必修5)配套课件1.1正弦定理和余弦定理第2课时

• b2＝________________；
• c2＝__________________.
• (3)公式变形
b2＋c2－a2
• cosA＝_______2b_c__________；
a2＋c2－b2 2ac
• cosB＝____a_2＋__b_2－__c2________；
2ab
• cosC＝__________________.
• 2．余弦定理夹及角其变形的应用
三边
• 应用余弦定理及其变形可解决两类解三角形的问题，一类是已知两边及其________解三
• 1.在△ABC中，若a<b<c，且c2<a2＋b2，则 △ABC为( )
• A．直角三角形
B．锐角三角形
• C．钝角三角形
D．不存在
• [答案] B
• [解析] ∵c2<a2＋b2，∴∠C为锐角．
号目标飞行器对接，这标志着中国成为世界
上第三个完整掌握空间交会对接技术的国家．这一操作是由在地面进行了1 500多次模拟训练的43岁航天员刘旺实施的．在距地球 343km处实施这个类似“倒车入库”的动作，相当于“太空穿针”，要求航天员具备极好
的眼手协调性、操作精细性和心理稳定
性．这一操作的成功，离不开地面的完美测控．这个测控的过程应用什么测量的定理？
[点评] (1)求sinC也可用下面方法求解： cosC＝a2＋2ba2b－c2＝722＋×372×－352＝1114， ∴C为锐角．
sinC＝ 1－cos2C＝ 1－11142＝5143. (2)在解三角形时，有时既可用余弦定理，也可用正弦定理．
已知△ABC中，a b c＝2 6 ( 3 ＋1)，求△ABC的

《成才之路》2015版高中数学(人教版B版·必修5)配套练习3.5二元一次不等式组与简单的线性规划问题第3课时

第三章 3.5 第3课时一、选择题1．已知O 为坐标原点，点M (3,1)，若N (x ，y )满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1y ≥0x ＋y ≤4，则OM →·ON →的最大值为( )A ．6B ．8C ．10D ．12[答案] D[解析] 目标函数为z ＝OM →·ON →＝3x ＋y ，作出不等式组⎩⎨⎧x ≥1y ≥0x ＋y ≤4表示的可行域，如图所示．作出直线l 0：3x ＋y ＝0，再将直线l 0平移，当l 0的平行线l 1经过点A (4,0)时，z 取得最大值12，即OM →·ON →的最大值为12.2．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3x －y ≥－1y ≥1，则目标函数z ＝4x ＋2y 的最大值为( )A ．12B ．10C ．8D ．2[答案] B[解析] 画出可域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝4x ＋2y 可转化为y ＝－2x ＋z2，作出直线y ＝－2x 并平移，显然当其过点A 时纵截距z2最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3y ＝1得A (2,1)，∴z max ＝10.3．变量x 、y 满足下列条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥122x ＋9y ≥362x ＋3y ＝24x ≥0，y ≥0，则使z ＝3x ＋2y 最小的(x ，y )是( )A ．(4,5)B ．(3,6)C ．(9,2)D ．(6,4)[答案] B[解析] 检验法：将A 、B 、C 、D 四选项中x ，y 代入z ＝3x ＋2y 按从小到大依次为A 、B 、D 、C ．然后按A →B →D →C 次序代入约束条件中，A 不满足2x ＋3y ＝24，B 、C 、D 全部满足，经检验，只有(3,6)使z ＝3x ＋2y 最小，故选B ．4．已知x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤4x ＋2y ≤4x ≥0，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值是( )A ．43B ．83C ．2D ．4[答案] B[解析] 画出可行域为如图阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝42x ＋y ＝4，解得A (43，43)，∴当直线z ＝x ＋y 经过可行域内点A 时，z 最大，且z max ＝83.5．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3t 、B 原料2t ；生产每吨乙产品要用A 原料1t 、B 原料3t.销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13t ，B 原料不超过18t ，那么该企业可获得最大利润是( )A ．12万元B ．20万元C ．25万元D ．27万元[答案] D[解析] 设生产甲产品x t ，乙产品y t ，则获得的利润为z ＝5x ＋3y .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥03x ＋y ≤132x ＋3y ≤18，可行域如图阴影所示．由图可知当x 、y 在A 点取值时， z 取得最大值，此时x ＝3，y ＝4， z ＝5×3＋3×4＝27(万元)．6．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋y |≤1|x －y |≤1表示的平面区域内整点的个数是( )A ．0B ．2C ．4D ．5[答案] D[解析] 不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧ |x ＋y |≤1|x －y |≤1变形为⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤1－1≤x －y ≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1x ＋y ≥－1x －y ≤1x －y ≥－1作出其平面区域如图．可见其整点有：(－1,0)、(0,1)、(0 ,0)、(0，－1)和(1,0)共五个．二、填空题7．设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1y ≤xy ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值是________．[答案] 2[解析] 可行域如图，当直线z ＝2x ＋y 即y ＝－2x ＋z 经过点A (1,0)时，z max ＝2.8．若实数x 、y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥22x －y ≤4x －y ≥0，则2x ＋3y 的最小值是________．[答案] 4[解析] 画出可行域如图所示(图中阴影部分)：当直线l 0平移到过A (2,0)点时，2x ＋3y 取最小值． (2x ＋3y )min ＝2×2＋0＝4. 三、解答题9．某工厂家具车间造A 、B 型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张A 、B 型桌子分别需要1h 和2h ，漆工油漆一张A 、B 型桌子分别需要3h 和1h ；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8h 和9h ，而工厂造一张A 、B 型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A 、B 型桌子各多少张，才能获得利润最大？[解析] 设每天生产A 型桌子x 张，B 型桌子y 张，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤83x ＋y ≤9x ≥0，y ≥0(x ∈N ，y ∈N )，目标函数z ＝2x ＋3y .作出可行域如图所示．作直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移直线l 0，当l 0经过可行域内的点M 时，目标函数z ＝2x ＋3y 取最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝83x ＋y ＝9，得M (2,3)．答：每天应生产A 型桌子2张，B 型桌子3张才能获得最大利润.一、选择题1．若变量x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤40x ＋2y ≤50x ≥0y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值是( )A ．90B ．80C ．70D ．40[答案] C[解析] 由⎩⎨⎧2x ＋y ≤40x ＋2y ≤50x ≥0y ≥0得可行域如图所示．将l 0：3x ＋2y ＝0在可行域内平行移动，移动到经过B 点时，z ＝3x ＋2y 取最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝502x ＋y ＝40，得B 点坐标为(10,20)， ∴z max ＝3×10＋2×20＝70，故选C ．2．已知x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0x ≥1y ≥0x ＋2y －3≥0，则yx的最值是( )A ．最大值是2，最小值是1B ．最大值是1，最小值是0C ．最大值是2，最小值是0D ．有最大值无最小值[答案] C[解析] 作出不等式组⎩⎨⎧x ＋2y －5≤0x ≥1y ≥0x ＋2y －3≥0表示的平面区域如图．yx表示可行域内点与原点连线的斜率．显然在A (1,2)处取得最大值2.在x 轴上的线段BC 上时取得最小值0，∴选C ．二、填空题3．若x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0x －y ＋3≥00≤x ≤3，则z ＝2x －y 的最大值为________．[答案] 9[解析] 约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥0x －y ＋3≥00≤x ≤3的可行域为如图所示．作l 0：y ＝2x 在平面域内平移到A (3，－3)处时，z 取最大值9. 4．已知点P (x ，y )的坐标，满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4y ≥xx ≥1，点O 为坐标原点，那么|PO |的最小值等于__________，最大值等于__________．[答案]210[解析] 点P (x ，y )满足的可行域为△ABC 区域．A (1,1)，C (1,3)．由图可得，|PO |min ＝|AO |＝2；|PO |max ＝|CO |＝10.三、解答题5．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－222x ＋3y ≥92x ≤11，求目标函数z ＝10x ＋10y 的最大值．[解析] 画出不等式组⎩⎨⎧5x －11y ≥－222x ＋3y ≥92x ≤11表示的平面区域如图．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1125x －11y ＝－22，解得A (112，92)．而由题意知x 和y 必须是正整数．直线y ＝－x ＋z10由经过A 点向下平移经过的第一个整点为(5,4)．∴z ＝10x ＋10y 的最大值为90.6．关于x 的方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根分别在区间(0,1)与(1,2)内，求b －2a －1的取值范围．[解析] b －2a －1可以转化为点(a ，b )与M (1,2)连线的斜率．由题知x 2＋ax ＋2b ＝0两根在(0,1)与(1,2)内，可令f (x )＝x 2＋ax ＋2B ．必满足f (0)>0、f (1)<0，f (2)>0，即⎩⎨⎧b >01＋a ＋2b <02＋a ＋b >0，由线性规划可知：点M (1,2)与阴影部分连线的斜率k 的取值范围为k AM <k <k BM ， ∵A (－3,1)、B (－1,0)， ∴14<b －2a －1<1.。

【成才之路】2015版高中数学(人教版·必修5)章末归纳总结第一章解三角形

章末归纳总结一、选择题1．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形[答案] D[解析] 由正弦定理，得a b ＝sin Asin B.又a cos A ＝b cos B ，即a b ＝cos B cos A ，∴sin A sin B ＝cos Bcos A ，即sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B . ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B .∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形，故选D ．2．在△ABC 中，边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，b ＝3，c ＝5，A ＝120°，则a ＝( ) A ．7 B ．19 C ．49 D ．19 [答案] A[解析] a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝9＋25－2×3×5cos120°＝49，∴a ＝7.3．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° [答案] A[解析] 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，由题知b 2－a 2＝－3bc ，c 2＝23bc ，则cos A＝32，又A ∈(0°，180°)，∴A ＝30°，故选A ．4．三角形两边之差为2，夹角的余弦值为35，面积为14，那么这个三角形的此两边长分别是( )A ．3和5B ．4和6C ．6和8D ．5和7 [答案] D[解析] 设夹角为A ，∵cos A ＝35，∴sin A ＝45，S ＝12bc sin A ＝14，∴bc ＝35，又b －c ＝2，∴b ＝7，a ＝5.5．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定[答案] B[解析] 本题考查正弦定理．由正弦定理，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，所以sin(B ＋C )＝sin 2A ，∴sin A ＝sin 2A ，而sin A >0，∴sin A ＝1，A ＝π2，所以△ABC 是直角三角形．6．如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算A 、B 两点的距离为( ) A ．502m B ．503m C ．252m D ．2522m[答案] A[解析] 由题意知∠ABC ＝30°，由正弦定理得，AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠ACB ，∴AB ＝AC ·sin ∠ACBsin ∠ABC＝50×2212＝502(m)．二、填空题7．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝__________.[答案] 2 3[解析] 在△ABC 中，∵sin C ＝1－cos 2C ＝223，a ＝32，S △ABC ＝12ab sin C ＝43，∴b ＝2 3.8．已知平面内四点O 、A 、B 、C 满足OA →＋OB →＋OC →＝0，OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →＝－1，则△ABC 的面积为________．[答案]332[解析] 由OA →＋OB →＋OC →＝0知O 为△ABC 的重心，又由OA →·OB →＝OB →·OC →得 OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →＝0，所以OB →⊥CA →，同理OA →⊥BC →，OC →⊥AB →，所以O 为△ABC 的垂心．故△ABC 为正三角形．即OC →·OA →＝|OC →|·|OA →|·cos120°＝－1， ∴|OC →|·|OA →|＝2.∴S △AOC ＝12|OC →|·|OA →|sin120°＝32，∴S △ABC ＝332.三、解答题9．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，且有2sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C ．(1)求角A 的大小；(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长． [解析] (1)由题设知，2sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ， ∵sin B ≠0，∴cos A ＝12.由于0<A <π，故A ＝π3.(2)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋1－2×2×1×12＝3，∴a 2＋c 2＝b 2，B ＝π2.∵BD ＝32，AB ＝1，∴AD ＝1＋34＝72. 10．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bC ． (1)求A ；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值，并指出此时B 的值． [解析] (1)由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32.又∵0<A <π，∴A ＝5π6.(2)由(1)得sin A ＝12，又由正弦定理及a ＝3，得S ＝12bc sin A ＝12·a sin B sin A·a sin C ＝3sin B sin C ， ∴S ＋3cos B cos C ＝3(sin B sin C ＋cos B cos C )＝3cos(B －C )．当B ＝C ，即B ＝π－A 2＝π12时，S ＋3cos B cos C 取最大值3.11．如下图所示，甲船以每小时302n mile 的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20n mile.当甲船航行20min 到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102n mile ，问乙船每小时航行多少n mile?[解析] 解法一：如图，连结A 1B 2，由题意知A 2B 2＝102n mile ，A 1A 2＝302×2060＝102n mile.所以A 1A 2＝A 2B 2.又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°，所以△A 1A 2B 2是等边三角形．所以A 1B 2＝A 1A 2＝102n mile.由题意知，A 1B 1＝20n mile ，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理，得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200. 所以B 1B 2＝102n mile.因此，乙船速度的大小为10220×60＝302(n mile/h)．答：乙船每小时航行302n mile. 解法二：如下图所示，连结A 2B 1，由题意知A 1B 1＝20n mile ，A 1A 2＝302×2060＝102n mile ，∠B 1A 1A 2＝105°，又cos105°＝cos(45°＋60°) ＝cos45°cos60°－sin45°sin60° ＝2(1－3)4， sin105°＝sin(45°＋60°) ＝sin45°cos60°＋cos45°sin60° ＝2(1＋3)4，在△A 2A 1B 1中，由余弦定理，得A 2B 21＝A 1B 21＋A 1A 22－2A 1B 1·A 1A 2·cos105°＝202＋(102)2－2×20×102×2(1－3)4＝100(4＋23)，所以A 2B 1＝10(1＋3)n mile由正弦定理，得sin ∠A 1A 2B 1＝A 1B 1A 2B 1·sin ∠B 1A 1A 2＝2010(1＋3)×2(1＋3)4＝22，所以∠A 1A 2B 1＝45°，即∠B 1A 2B 2＝60°－45°＝15°，cos15°＝sin105°＝2(1＋3)4. 在△B 1A 2B 2中，由题知A 2B 2＝102n mile ，由余弦定理，得B 1B 22＝A 2B 21＋A 2B 22－2A 2B 1·A 2B 2·cos15°＝102(1＋3)2＋(102)2－2×10(1＋3)×102×2(1＋3)4＝200，所以B 1B 2＝102n mile ，故乙船速度的大小为10220×60＝302(n mile/h)．答：乙船每小时航行302n mile.。

【成才之路】2015版高中数学(人教版·必修5)章末归纳整合第二章数列

章末归纳整合一、选择题1．已知数列{a n }的首项a 1＝2，且a n ＝4a n －1＋1(n ≥2)，则a 4为( )A ．148B ．149C ．150D ．151[答案] B[解析] ∵a 1＝2，a n ＝4a n －1＋1(n ≥2)，∴a 2＝4a 1＋1＝4×2＋1＝9，a 3＝4a 2＋1＝4×9＋1＝37，a 4＝4a 3＋1＝4×37＋1＝149.2．(2013河南禹州高二期中测试)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，那么它的通项公式a n ( )A ．nB ．2nC ．2n ＋1D ．n ＋1 [答案] B[解析] 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，排除A ，C ；当n ＝2时，a 2＝S 2－S 1＝6－2＝4，排除D ，故选B ．3．已知数列{a n }的通项公式a n ＝3n －50，则前n 项和S n 的最小值为( )A ．－784B ．－392C ．－389D ．－368 [答案] B[解析] 由3n －50≥0及n ∈N *知n ≥17，∴n ≤16时，a n <0，a 17>0，∴S 16最小，S 16＝16a 1＋16×152d ＝16×(－47)＋120×3＝－392. 4．等比数列{a n }的首项a 1＝1，公比q ≠1，如果a 1，a 2，a 3依次是等差数列的第1、2、5项，则q 为( )A ．2B ．3C ．－3D ．3或－3 [答案] B[解析] 设等差数列为{b n }，则b 1＝a 1＝1，b 2＝1＋d ，b 5＝1＋4d ，由题设(1＋d )2＝1×(1＋4d )，∴d ＝2或d ＝0(与q ≠1矛盾舍去)，∴b 2＝3，公比q ＝a 2a 1＝b 2b 1＝3. 5．等比数列{a n }共有2n ＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则a n ＋1等于( ) A ．65B ．56C ．20D ．110[答案] B[解析] 由题意知：S 奇＝a 1·a 3·…·a 2n ＋1＝100，S 偶＝a 2·a 4·…·a 2n ＝120，∴S 奇S 偶＝a 3·a 5·…·a 2n ＋1a 2·a 4·…·a 2n·a 1＝a 1·q n ＝a n ＋1， ∴a n ＋1＝100120＝56. 6．等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是( )A ．24B ．48C ．60D ．84[答案] C[解析] 由a 1>0，a 10·a 11<0知d <0，且a 10>0，a 11<0，∴T 18＝a 1＋a 2＋…＋a 10－a 11－a 12－…－a 18＝2S 10－S 18＝60.二、填空题7．等差数列{a n }前n 项和S n ，若S 10＝S 20，则S 30＝__________.[答案] 0[解析] ∵S 10＝S 20，∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，∴2a 1＝－29D ． ∴S 30＝30a 1＋10×292d ＝15×(－29d )＋15×29d ＝0. 8．(2014·江苏，7)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．[答案] 4[解析] 本题考查等比数列的通项及性质．设公比为q ，因为a 2＝1，则由a 8＝a 6＋2a 4得q 6＝q 4＋2q 2，所以q 4－q 2－2＝0，解得q 2＝2，所以a 6＝a 2q 4＝4.三、解答题9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝10n －n 2(n ∈N *)，又b n ＝|a n |(n ∈N *)，求{b n }的前n 项和T n .[解析] 由S n ＝10n －n 2可得，a n ＝11－2n ，故b n ＝|11－2n |.显然n ≤5时，b n ＝a n ＝11－2n ，T n ＝10n －n 2.n ≥6时，b n ＝－a n ＝2n －11，T n ＝(a 1＋a 2＋…＋a 5)－(a 6＋a 7＋…＋a n )＝2S 5－S n ＝50－10n ＋n 2故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －n 2 (n ≤5)，50－10n ＋n 2 (n ≥6). 10．已知数列{b n }前n 项和为S n ，且b 1＝1，b n ＋1＝13S n . (1)求b 2，b 3，b 4的值；(2)求{b n }的通项公式；(3)求b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n 的值．[解析] (1)b 2＝13S 1＝13b 1＝13，b 3＝13S 2＝13(b 1＋b 2)＝49，b 4＝13S 3＝13(b 1＋b 2＋b 3)＝1627. (2)⎩⎨⎧ b n ＋1＝13S n ①b n ＝13S n －1 ②①－②解b n ＋1－b n ＝13b n ，∴b n ＋1＝43b n ， ∵b 2＝13，∴b n ＝13·⎝⎛⎭⎫43n －2 (n ≥2) ∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (n ＝1)13·⎝⎛⎭⎫43n －2(n ≥2). (3)b 2，b 4，b 6，…，b 2n 是首项为13，公比⎝⎛⎭⎫432的等比数列， ∴b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n ＝13[1－(43)2n ]1－⎝⎛⎭⎫432 ＝37[(43)2n －1]．。

【成才之路】2015版高中数学(人教版·必修5)综合检测第二章数列

第二章综合检测一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的．)1．{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝( ) A ．－2 B ．－12C ．12D ．2[答案] B[解析] ∵a 7＝a 3＋4d ，a 4＝a 3＋d ，∴a 7－2a 4＝a 3＋4d －2(a 3＋d )＝－a 3＋2d ＝2d ， ∴2d ＝－1，∴d ＝－12.2．等比数列{a n }中，a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20a 10＝( )A ．23或32B ．23C ．32D ．13或－12[答案] A[解析] 在等比数列{a n }中，a 7·a 11＝a 4·a 14＝6，又a 4＋a 14＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝2a 14＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝3a 14＝2，又a 14＝a 4·q 10，∴q 10＝23或32，∴a 20a 10＝q 10＝23或32.3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2，则a 2等于( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．－2[答案] A[解析] S 1＝2a 1－2＝a 1，∴a 1＝2，S 2＝2a 2－2＝a 1＋a 2，∴a 2＝4. 4．设a n ＝－n 2＋9n ＋10，则数列{a n }前n 项和最大时n 的值为( ) A ．9 B ．10 C ．9或10 D ．12 [答案] C[解析] 令a n ≥0，得n 2－9n －10≤0， ∴1≤n ≤10.令a n ＋1≤0，即n 2－7n －18≥0，∴n ≥9. ∴9≤n ≤10.∴前9项和等于前10项和，它们都最大．5．在数列{a n }中，a 1＝1,2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( ) A ．49 B ．50 C ．51 D ．52[答案] C[解析] 依题意，得a n ＋1－a n ＝12.∵a 1＝1，∴a n ＝1＋12(n －1)．∴a 101＝1＋12×(101－1)＝51.6．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＝32，a 11＋a 12＋a 13＝118，则a 4＋a 10＝( ) A ．45 B ．50 C ．75 D ．60 [答案] B[解析] ∵a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝32，a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝118， ∴3(a 2＋a 12)＝150，即a 2＋a 12＝50， ∴a 4＋a 10＝a 2＋a 12＝50.7．设等差数列{a n }的公差d 不为0，a 1＝9d .若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则k 等于( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 [答案] B[解析] ∵a 2k ＝a 1a 2k ，∴(8＋k )2d 2＝9d (8＋2k )d ，∴k ＝4.8．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且满足S n ，S n ＋2，S n ＋1成等差数列，则a 3等于( )A ．12B ．－12C ．14D ．－14[答案] C[解析] ∵S n 、S n ＋2、S n ＋1成等差数列，∴S n ＋2－S n ＝S n ＋1－S n ＋2.∴a n ＋2＋a n ＋1＝－a n ＋2，∴a n ＋2a n ＋1＝－12.又a 1＝1，∴a 3＝14.9．某工厂去年产值为a ，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为( )A ．1.14aB ．1.15aC ．11×(1.15－1)aD ．10(1.16－1)a[答案] C[解析] 设从去年开始，每年产值构成数列为{a n }，则a 1＝a ，a n ＝a (1＋10%)n －1(1≤n ≤6)，从今年起到第5年是求该数列a 2到a 6的和，应为S 6－a 1＝a (1.16－1)1.1－1－a ＝11×(1.15－1)a .10．(2014·新课标Ⅱ文，5)等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (n ＋1)B ．n (n －1)C ．n (n ＋1)2D ．n (n －1)2[答案] A[解析] 本题考查了等差数列、等比数列，及前n 项和等知识点． ∵a 2，a 4，a 8成等比数列，{a n }的公差为2, (a 1＋6)2＝(a 1＋2)(a 1＋14)， ∴a 1＝2，∴S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝2n ＋n (n －1)2×2＝n (n ＋1)．11．若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 1 007＋a 1 008>0，a 1 007·a 1 008<0，则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( )A ．2 012B ．2 013C ．2 014D ．2 015 [答案] C[解析] ∵a 1 007＋a 1 008>0， ∴a 1＋a 2 014>0，∴S 2 014＝2 014(a 1＋a 2 014)2>0，∵a 1 007·a 1 008<0，a 1>0，∴a 1 007>0，a 1 008<0， ∴2a 1 008＝a 1＋a 2 015<0， ∴S 2 015＝2 015(a 1＋a 2 015)2<0，故选C ．12．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 2009＝( ) A ．6 B ．－6 C ．3 D ．－3[答案] B[解析] 由条件a n ＋2＝a n ＋1－a n 可得：a n ＋6＝a n ＋5－a n ＋4＝(a n ＋4－a n ＋3)－a n ＋4＝－a n ＋3＝－(a n＋2－a n ＋1)＝－[(a n ＋1－a n )－a n ＋1]＝a n ，于是可知数列{a n }的周期为6，∴a 2009＝a 5，又a 1＝3，a 2＝6，∴a 3＝a 2－a 1＝3，a 4＝a 3－a 2＝－3，a 5＝a 4－a 3＝－6.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．已知等比数列{a n }为递增数列，若a 1>0，且2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的公比q ＝________.[答案] 2[解析] 本题考查了等比数列的通项公式． ∵{a n }是递增的等比数列，且a 1>0， ∴q >1，又∵2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1， ∴2a n ＋2a n q 2＝5a n q ， ∵a n ≠0， ∴2q 2－5q ＋2＝0， ∴q ＝2或q ＝12(舍去)，∴公比q 为2.14．(2013·辽宁鞍山市第一中学高二期中测试)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝3n 2＋2n －1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧4 (n ＝1)6n －1(n ＝2)[解析] 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2＋2n －1－3(n －1)2－2(n －1)＋1＝6n －1，a 1＝4不满足上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4(n ＝1)6n －1(n ≥2).15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 5＝5a 3，则S 9S 5＝________.[答案] 9[解析] 解法一：设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 5＝5a 3，∴a 1＋4d ＝5(a 1＋2d )，∴a 1＝－32d ，∴S 9S 5＝9a 1＋12×9×8×d 5a 1＋12×5×4×d ＝－272d ＋36d －152d ＋10d ＝452d52d＝9. 解法二：S 9S 5＝9(a 1＋a 9)25(a 1＋a 5)2＝9×2a 525×2a 32＝9a 55a 3，∵a 5＝5a 3，∴S 9S 5＝9a 55a 3＝9.16．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第n 行第n ＋1列的数是________.[[解析] 由题中数表，知第n 行中的项分别为n,2n,3n ，…，组成一等差数列，设为{a n }，则a 1＝n ，d ＝2n －n ＝n ，所以a n ＋1＝n ＋n ·n ＝n 2＋n ，即第n 行第n ＋1列的数是n 2＋n .三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公比是正数的等比数列{b n }的前n 项和为T n ，已知a 1＝1，b 1＝3，a 3＋b 3＝17，T 3－S 3＝12，求{a n }、{b n }的通项公式．[解析] 设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q . 由a 3＋b 3＝17得1＋2d ＋3q 2＝17，① 由T 3－S 3＝12得q 2＋q －d ＝4.② 由①、②及q >0解得q ＝2，d ＝2.故所求的通项公式为a n ＝2n －1，b n ＝3×2n －1.18．(本题满分12分)设数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，n ∈N ＋. (1)求{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)已知{b n }是等差数列，T n 为前n 项和，且b 1＝a 2，b 3＝a 1＋a 2＋a 3，求T 20.[解析] (1)由题意可得数列{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，故可得a n ＝1×3n －1＝3n －1，由求和公式可得S n ＝1×(1－3n )1－3＝12(3n－1)．(2)由题意可知b 1＝a 2＝3，b 3＝a 1＋a 2＋a 3＝1＋3＋9＝13.设数列{b n }的公差为d ，可得b 3－b 1＝10＝2d ，解得d ＝5，故T 20＝20×3＋20×192×5＝1010.19．(本题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．[解析] (1)当n ＝1时，T 1＝2S 1－1， ∵T 1＝S 1＝a 1，所以a 1＝2a 1－1，求得a 1＝1.(2)当n ≥2时，S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2]＝2S n －2S n －1－2n ＋1， ∴S n ＝2S n －1＋2n －1 ① ∴S n ＋1＝2S n ＋2n ＋1 ② ②－①得a n ＋1＝2a n ＋2，∴a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，即a n ＋1＋2a n ＋2＝2(n ≥2)．求得a 1＋2＝3，a 2＋2＝6，则a 2＋2a 1＋2＝2，∴{a n ＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列． ∴a n ＋2＝3·2n －1，∴a n ＝3·2n －1－2，n ∈N *.20．(本题满分12分)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{b n }中的b 3，b 4，b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)若数列{b n }的前n 项和为S n ；求证：数列{S n ＋54}是等比数列．[解析] (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d ，依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5.所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d .依题意，有(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)．故{b n }的第3项为5，公比为2. 由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54.故{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.(2)证明：因为数列{b n }的前n 项和S n ＝54(1－2n )1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2，所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2.因此{S n ＋54}是以52为首项，2为公比的等比数列．21．(本题满分12分)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a n ＋1＝2S n ＋2(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)在a n 与a n ＋1之间插入n 个数，使这n ＋2个数组成公差为d n 的等差数列，设数列{1d n}的前n 项和为T n ，证明：T n <1516. [解析] (1)由a n ＋1＝2S n ＋2(n ∈N *)得a n ＝2S n ＋1＋2(n ∈N *，n ≥2)，两式相减得a n ＋1－a n ＝2a n ，即a n ＋1＝3a n (n ∈N *，n ≥2)，∵{a n }是等比数列，所以a 2＝3a 1，又a 2＝2a 1＋2，则2a 1＋2＝3a 1，∴a 1＝2，∴a n ＝2×3n －1.(2)证明：由(1)知a n ＋1＝2×3n ，a n ＝2×3n －1，∵a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)d n ，∴d n ＝4×3n －1n ＋1，令T n ＝1d 1＋1d 2＋1d 3＋…＋1d n，则T n ＝24×30＋34×31＋44×32＋…＋n ＋14×3n －1①， 13T n ＝24·31＋34·32＋…＋n 4×3n －1＋n ＋14×3n②， ①－②得23T n ＝24×30＋14×31＋14×32＋…＋14×3n －1－n ＋14×3n ＝12＋14×13(1－13n －1)1－13－n ＋14×3n ＝58－2n ＋58×3n， ∴T n ＝1516－2n ＋516×3n －1<1516.22．(本题满分14分)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n 和S n 满足：4S n ＝(a n ＋1)2(n ＝1,2,3……)，(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n ·a n ＋1，求{b n }的前n 项和T n ；(3)在(2)的条件下，对任意n ∈N *，T n >m23都成立，求整数m 的最大值．[解析] (1)∵4S n ＝(a n ＋1)2，① ∴4S n －1＝(a n －1＋1)2(n ≥2)，② ①－②得4(S n －S n －1)＝(a n ＋1)2－(a n －1＋1)2. ∴4a n ＝(a n ＋1)2－(a n －1＋1)2. 化简得(a n ＋a n －1)·(a n －a n －1－2)＝0. ∵a n >0，∴a n －a n －1＝2(n ≥2)．∴{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列． ∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.(2)b n ＝1a n ·a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)．∴T n ＝12〔〕(1－13)＋(13－14)＋…＋(12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＝n2n ＋1. (3)由(2)知T n ＝12(1－12n ＋1)，T n ＋1－T n ＝12(1－12n ＋3)－12(1－12n ＋1)＝12(12n ＋1－12n ＋3)>0. ∴数列{T n }是递增数列． ∴[T n ]min ＝T 1＝13.∴m 23<13，∴m <233. ∴整数m 的最大值是7.。

【成才之路】高中数学(人教版B版_必修5)配套练习：第1章基本知能检测

C． tanA>tanB
D ． sinA<sin B
[答案 ] B
[解析 ] ∵ A>B，∴ a>b，由正弦定理，得 sinA>sinB，故选 B ．
2
b
3．△ ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，asinAsinB＋ bcos A＝ 2a，则 a
＝( )
A．2 3
B．2 2
α＋
B
＝
52，求
tan α的值．
[解析 ] (1) 因为 a2＋ b2＋ 2ab＝ c2，
由余弦定理有
cosC
＝
a2＋
b2－
c2 ＝
－
2ab ＝－
2，
2ab
2ab
2
故
C
＝
3π 4.
(2)由题意得
sinαsinA－ cosαcosA sinαsinB－cosαcosB cos2α
＝
52，
因此 (tanαsinA－ cosA)(tanαsinB－ cosB)＝ 52，
A．2 6
B．3 6
C． 2 2
D．3 2
[答案 ] C
[解析 ] 设所求边长为 x，由正弦定理得，
x sin30
＝°sin445
，°∴ x＝ 2
2，故选
C．
2．在△ ABC 中，角 A、 B、C 所对的边分别为 a、 b、c，且 A>B，则一定有 ( )
A ． cosA>cosB
B ． sinA>sinB
A ．无解
B ．有一解
C．有两解
D ．不能确定
[答案 ] A
[解析 ] 4× sin60 ＝°2 3＝ 12，

【成才之路】高中数学(人教版B版_必修5)配套练习：第1章综合素质检测

D．△ A1B1C1 是锐角三角形，△ A2B2C2 是钝角三角形
[答案 ] D
[解析 ] 由条件知，△ A1B1C1 的三个内角的余弦值均大于假设△ A2B2C2 是锐角三角形，由
0，则△ A1B1C1 是锐角三角形，
π sin A2＝ cosA1＝ sin 2－A1
π
sin B2 ＝cosB1＝ sin
A ．一定是锐角三角形
B．一定是钝角三角形
)在△ ABC 中， a、 b、 c 分别为角 A、 B、
C．一定是斜三角形 D ．一定是直角三角形
[答案 ] D
[解析 ] 解法一：∵ ccosA＝ b， ∴sin CcosA＝ sinB＝ sin(A＋C)
＝sin AcosC＋ cosAsinC，
∴sin AcosC＝ 0，
A．2 3
B．2 2
C． 3
D． 2
[答案 ] D [解析 ] ∵ asinAsinB＋ bcos2A＝ 2a， ∴由正弦定理，得 sin2AsinB＋ sinBcos2A＝ 2sinA， ∴sin B(sin2A＋ cos2A)＝ 2sinA， ∴sin B＝ 2sinA，
∴sin B＝ 2. sinA
∵sin A≠0，∴ cosC＝ 0，又 0<c<π，
∴C＝ π，故选 D． 2
解法二：由余弦定理，得
b2＋ c2－ c· 2bc
a
2
＝
b
，
∴ b 2＋ c2－ a 2＝ 2 b 2，
即 a2＋ b2＝ c2，故△ ABC 是直角三角形．
5．从 A 处望 B 处的仰角为 α，从 B 处望 A 处的俯角为 β，则 α、 β的关系为 ( )
第一章综合素质检测

《成才之路》2015版高中数学(人教版B版·必修5)配套课件3.1不等关系与不等式第1课时

[正解] ∵1＋1 x－(1－x)＝1＋x2 x，x2≥0. ①当 x＝0 时，1＋x2 x＝0，∴1＋1 x＝1－x. ②当 1＋x<0，即 x<－1 时，1＋x2 x<0，∴1＋1 x<1－x. ③当 1＋x>0 且 x≠0，即－1<x<0 或 x>0 时，1＋x2 x>0，∴1＋1 x >1－x.
• 你对不等式感兴趣吗？那么就让我们一起来研究不等式的初步问题吧！
第三章 3.1 不等关系与不等式
第1课时不等关系与不等式
1 课前自主预习 2 课堂典例讲练
3 易错疑难辨析 4 课时作业
课前自主预习
• 乘坐公交车时常有如下规定：儿童身高不超过1.1m免票，老人超过70岁凭证免票，这里
的“不超过”、“超过”该如何理解？从数学的角度，该如何表示上述条件？
[解析] 提价后杂志的定价为 x 元，则销售的总收入为(8 －x－0.21.5×0.2)x 万元，那么不等关系“销售的收入不低于 20 万元”用不等式可以表示为：(8－x－0.21.5×0.2)x≥20.
易错疑难辨析
[错解]
设 x∈R 且 x≠－1，比较1＋1 x与 1－x 的大小． ∵1＋1 x－(1－x)＝1－1＋1－x x2＝1＋x2 x，而 x2≥0.
• [答案] ≤ • [解析] f(x)－g(x)＝3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－
3x2)＋(x－1) • ＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)， • ∵x≤1得x－1≤0，而3x2＋1>0， • ∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1. • ∴f(x)≤g(x)．
若 x>y>0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．