考研高等数学部分综合竞赛试题参考答案及评分标准

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高等数学竞赛真题及答案解析

高等数学竞赛真题及答案解析高等数学竞赛是对学生在该学科中的深入理解和应用能力的考察，对于提升学生的数学素养和能力有着重要的意义。

本文将为大家介绍一些高等数学竞赛的真题，并提供相应的解析，帮助大家更好地理解和掌握数学知识。

一、题目1让我们先来看一个简单的问题：计算$\int \frac{1}{x} dx$。

解析：这是一个基本的积分题目，我们可以使用积分的基本公式来解答。

首先，我们要找到该函数的原函数，即使得它的导数等于$\frac{1}{x}$的函数。

显然，原函数是$ln|x|$。

所以，该积分的结果就是$ln|x|+C$，其中C为常数。

二、题目2接下来，我们来看一个稍微复杂一些的题目：设$f(x)$在[0,1]上连续，且$\int_0^1 f(x) dx = c$，求证：存在$\xi \in (0,1)$，使得$f(\xi) = c$。

解析：根据题目要求，我们需要找到一个$\xi$，使得$f(\xi) = c$。

根据平均值定理，即在[0,1]区间上存在一个点$\xi$，使得$f(\xi) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$，其中a和b为区间的两个端点。

由于$\int_0^1 f(x) dx = c$，所以存在$\xi \in (0,1)$，使得$f(\xi) = c$。

三、题目3现在我们来考虑一个涉及到函数极限的题目：设函数$f(x)$在0的某个去心邻域内有定义，且$\lim_{x \to 0} f(x) = A$，证明：$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = A$。

解析：根据题目给出的条件，我们知道当$x$趋近于0时，$f(x)$会趋近于A。

我们需要证明的是，当$x$趋近于0时，$\frac{f(x)}{x}$也会趋近于A。

我们可以通过将分子和分母都除以$x$来简化问题，得到$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\frac{f(x)}{x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = A$。

陕西省第十一次高等数学竞赛参考解答与评分标准

６２
高等数学研究
２０１８年８月
ｄ —ｄ（ｚ
Ｉｌ一２
解１旦４．由题设知厂（ｚ）一（），ｚ
ｃ蒯３＋—ｚ４一－『ｚ。（）Ｚ
＋一
）～３础
Ｊ
—ｚ。·ｎｚ一３［丢。·ｎｚ一丢』ｄｚ］
一一ｎｚ＋＋ｃ．
第２１卷增２０１８年８月
高等数学研究
ＳＴＵＤＩＥＳＩＮＣ０ＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ
Ｖｏ１．２１，Ｓｕｐ．Ａｕｇ．，２０１８
陕西省第十一次高等数学竞赛参考解答与评分标准
一、选择题（１—８题，每小题４分，共３２分）
解曲线Ｌ的切向量为＝｛３，２￡，１｝，平面二、填空题（９— １４题，每小题４分，共２４分）
Ⅱ 的法向量为＝｛１，一２，１｝．
（９）
由题意知这两个向量垂直，即有；· 一３ｄ一４￡＋
１—０，解得ｔ１— １，ｔ２一，所求切线只有二条．故选Ｂ
解２由题设知＿厂（ｚ）一（）一ｊ，
』ｚ。ｆ（ｘ）ｄ．ｚ—Ｊｚ（１—１ｎ）ｄｚ一一专ｚ２一－ｒｚ。－ｍｎｚ＋十ＩＪＪ．ｚｄｚ
一号２ …ｎ…ｚ＋。导４ｚ。＋’ｃ一．。ｃ３，篝（＋古＋吉）．
解积分域Ｑ关于，Ｙ，ｚ具有轮换对称性，故
有ｊＩ『ｄ一ｊ工『ｄ一ｊＩ『ｚｄ．
（ｃ）．成立．反证法：若∑ （１ａＩ＋１ｂ１）收敛，
（３）选Ａ．

高等数学(下册)试题(含详细解答与点评,2020考研数学参考)

1高等数学（下册）试题（含详细解答与点评）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．在空间直角坐标系下，方程2x 2+3y 2=6表示的图形为（） A ．椭圆 B ．柱面 C ．旋转抛物面 D ．球面【答案】B【解析】考查了常见二次曲面的方程。

方程(,)0f x y =在空间表示母线平行于z 轴的柱面。

不难得到答案为B 。

注：一般来讲，关于x 、y 、z 的方程中不含哪一个字母，方程就表示母线平行于哪个轴的柱面。

2．极限021lim →→y x arcsin(x +y 2)=（）A ．6πB ．3π C ．2π D ．π【答案】A【解析】考查了二元函数极限的计算。

由于函数2arcsin()x y +在定义区域内是连续的，从而在点1,02⎛⎫⎪⎝⎭处是连续的，所以 221201limarcsin()arcsin(0)26x y x y π→→+=+=。

3．设积分区域22:y x Ω+≤R 2，0≤z ≤1，则三重积分⎰⎰⎰=+Ωdxdydz y x f )(22（）A ．⎰⎰⎰π200102)(Rdz r f drd θ B ．⎰⎰⎰π20012)(Rdz r f rdrd θC ．⎰⎰⎰+π20122)(Rrdz y x f drd θD ．⎰⎰⎰π12)(Rdz r f rdrd θ2【答案】B【解析】本题考查了在柱面坐标下二重积分的计算。

积分区域可表示为 :01,(,)z x y D Ω≤≤∈，其中D 是上述区域在Oxy 平面上的投影，且 :0,02D r R θπ≤≤≤≤，所以2122220()()()R ΩΩf xy dxdydz f r rdrd dz d rdr f r dz πθθ+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰。

4．以y =sin 3x 为特解的微分方程为（） A ．0=+''y y B ．0=-''y y C ．09=+''y y D ．09=-''y y【答案】C【解析】考查了微分方程的解与特解的概念。

高等数学考研真题含答案

高等数学考研真题含答案高等数学对于很多考研的同学来说，那可真是一座难以翻越的大山呀！但别怕，咱们今天就一起来瞅瞅那些让人又爱又恨的高等数学考研真题，还有贴心的答案解析哦！记得我之前有个学生叫小李，他特别努力，每天都早早地来到图书馆，抱着那本厚厚的高等数学教材，一脸严肃地钻研。

有一天，我路过他身边，发现他正对着一道真题愁眉苦脸。

那道题是这样的：计算定积分∫（x^2 ＋ 2x ＋ 1)dx，积分区间是0, 2。

小李在草稿纸上写写画画，额头上都冒出了汗珠。

咱们先来说说这道题的答案吧。

首先对被积函数进行积分，得到(x^3/3 ＋ x^2 ＋ x)，然后把积分上限 2 和下限 0 代入，相减得到 14 ／3 。

再来看这一类的真题，比如求函数 f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ 2 的极值。

这就需要我们先求导，f'（x) ＝ 3x^2 6x，令导数等于 0 ，解出 x ＝ 0 和 x ＝ 2 。

然后再判断这两个点是极大值还是极小值。

通过二阶导数或者判断一阶导数在这两个点左右两侧的符号，就能得出 x ＝ 0 是极大值点，极大值为 2 ；x ＝ 2 是极小值点，极小值为－2 。

还有像这种证明题，比如证明方程 x^3 3x ＋ 1 ＝ 0 在区间(0, 1)内至少有一个实根。

这就得用到零点定理啦。

先设函数 f(x) ＝ x^3 3x ＋1 ，然后计算 f(0) 和 f(1) ，发现 f(0) ＝ 1 ，f(1) ＝－1 ，因为 f(0) 和f(1) 异号，所以根据零点定理，在区间(0, 1)内至少存在一个点使得 f(x) ＝ 0 ，也就是方程 x^3 3x ＋ 1 ＝ 0 在区间(0, 1)内至少有一个实根。

就像小李后来跟我说的，刚开始做这些真题的时候，感觉每个字都认识，放在一起就像天书。

但慢慢地，多做几道，多总结方法，好像也就没那么可怕了。

再比如说求曲线 y ＝ x^2 与直线 y ＝ x 所围成的图形的面积。

考研高数试题及答案

考研高数试题及答案考研高数对于许多考生来说都是非常具有挑战性的一门科目。

为了帮助考生更好地备考高数，本文将提供一些典型的高数试题及详细的解答。

接下来让我们一起来看看这些试题和答案吧！试题1：设函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5，求f(x)的驻点。

解答1：首先，我们要求出f(x)的一阶导数f'(x)和二阶导数f''(x)。

通过求导可得：f'(x) = 3x^2 - 6x - 9，f''(x) = 6x - 6。

驻点即为f'(x) = 0的解，因此我们解方程3x^2 - 6x - 9 = 0，得到x = -1和x = 3。

接下来我们需要判断这些解是否为极值点。

将x = -1代入f''(x) = 6x - 6，得到f''(-1) = -12。

由于f''(-1) < 0，所以x = -1为极大值点。

将x = 3代入f''(x) = 6x - 6，得到f''(3) = 12。

由于f''(3) > 0，所以x = 3为极小值点。

因此，f(x)的驻点为x = -1和x = 3，其中x = -1为极大值点，x = 3为极小值点。

试题2：已知函数g(x) = sin(x) + cos(x)，求g(x)的周期。

解答2：函数g(x)的周期等于最小正周期，即2π。

因此g(x)的周期为2π。

试题3：设A是n阶方阵，如果A^2 = A，则A的特征值可能是什么？解答3：根据矩阵的特征值的定义，设A的特征值为λ，则存在非零向量v 使得Av = λv。

将A^2 = A代入方程，得到A(Av) = Av。

由于Av ≠ 0（根据非零向量的定义），所以A^2 = A仅当λ=1时成立。

因此，A的特征值可能是1。

通过以上试题及答案的解析，我们可以看到高数考研试题通常涉及到函数的性质、导数、极值点、周期等内容，以及矩阵的特征值等概念。

考研高等数学真题及答案解析

考研高等数学真题及答案解析高等数学作为考研数学科目中的一部分，是一门相对较难的学科。

在考前复习过程中，做真题是非常重要的一步。

通过做真题，可以了解考点，熟悉考试形式，并锻炼解题能力。

本文将对考研高等数学真题及答案进行解析，帮助考生加深对高等数学知识的理解。

第一道题目是关于向量的问题。

题目如下：已知向量a = (1,2), b = (3,4)，求向量a + b的模长。

答案是√52。

解析：首先，根据向量的定义，向量a + b等于向量a的横纵坐标分别加上向量b的横纵坐标，即(1+3, 2+4)，得到向量c = (4, 6)。

接下来，根据向量的模长公式，向量c的模长等于√(4^2+6^2)，即√52。

这道题目主要考察了向量的加法和模长的相关知识。

通过计算过程可以看出，向量的加法就是将两个向量的对应分量相加得到新的向量。

而向量的模长就是向量各个分量的平方和的平方根。

掌握了这些基本知识，就可以解答这类题目。

第二道题目是极限问题。

题目如下：求lim(x→0) ((sinx)/x)的值。

答案是1。

解析：这道题目是一个常见的极限问题。

根据极限的定义，当x趋向于0时，((sinx)/x)的极限等于1。

这是因为当x趋向于0时，函数sinx也趋向于0，而分子分母同时趋向于0，所以极限等于1。

这道题目涉及到极限的概念和性质。

在解答这类题目时，可以先观察函数的特点，然后运用极限的定义和基本性质进行推导。

熟练掌握这些概念和方法，可以迅速解决类似的问题。

第三道题目是微分问题。

题目如下：设函数y = 2x^3 - 3x^2 + 2ax + b，如果它在点x = 1处的切线斜率为3，求常数a和b的值。

答案是a=4，b=-3。

解析：根据微分的定义，函数在某点的导数等于该点切线的斜率。

对函数y = 2x^3 - 3x^2 + 2ax + b求导，即求得一阶导数dy/dx = 6x^2 - 6x + 2a。

将x=1代入得到导数的值，即3 = 6 - 6 + 2a，解得a=4。

高中数学考研试题及答案

高中数学考研试题及答案1. 已知函数$ f(x) = \frac{1}{x} $，求$ f(2) $的值。

答案：将$ x = 2 $代入函数$ f(x) $中，得到$ f(2) =\frac{1}{2} $。

2. 计算下列极限：\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \]答案：根据洛必达法则，当$ x $趋近于0时，$ \frac{\sin x}{x} $的极限值为1。

3. 解方程$ 3x^2 - 5x + 2 = 0 $。

答案：首先计算判别式$ \Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \times 3 \times 2 = 13 $。

然后，使用求根公式$ x = \frac{-b \pm\sqrt{\Delta}}{2a} $，得到$ x = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{6} $。

4. 已知点A(1, 2)和点B(4, 6)，求直线AB的方程。

答案：首先计算斜率$ k = \frac{6 - 2}{4 - 1} = \frac{4}{3} $。

然后，使用点斜式方程$ y - y_1 = m(x - x_1) $，代入点A(1, 2)和斜率$ k $，得到直线AB的方程为$ y - 2 = \frac{4}{3}(x - 1) $，化简后得到$ 4x - 3y + 2 = 0 $。

5. 计算定积分$ \int_{0}^{1} x^2 dx $。

答案：使用定积分的计算公式，$ \int x^n dx =\frac{x^{n+1}}{n+1} + C $，其中$ n \neq -1 $。

代入上下限，得到$ \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{x^3}{3} \bigg|_{0}^{1} =\frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} $。

高等数学竞赛试题及参考答案

九江职业大学第一届“数学建模”选拔赛暨《高等数学》竞赛试题院系班级学号姓名一、单项选择题（每小题3分，共30分）1 设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥++<0x ,K x 2x 40x ,xx3sin 2在x=0处连续，则K=( )。

A. 3 B. 2 C. 1 D. 312 ⎰-=+116dx x sin 1xcos x （）A.2π B.π C.1D.03 设f （x ）=⎩⎨⎧<≥0x ,x sin 0x ,x ，则)0(f '=（）A.-1B.1C.0D.不存在 4 下列极限中不能应用洛必达法则的是( ) A.x xx ln lim +∞→B.xxx 2cos lim∞→C.xxx -→1ln lim1D.x e x x ln lim -+∞→5 设f (x)是连续函数，且⎰=x x x dt t f 0cos )(，则f (x)=( ) A.cos x-xsin xB.cos x+xsin xC.sin x-xcos xD.sin x+xcos x6 设函数f(x)满足)x (f 0'=0, )x (f 1'不存在, 则（） A.x=x 0及x=x 1都是极值点 B.只有x=x 0是极值点C.只有x=x 1是极值点D.x=x 0与x=x 1都有可能不是极值点7 设f(x)在[-a,a](a>0)上连续, 则⎰-=a adx )x (f （）A. 0B. 2⎰adx )x (fC.⎰-+a0dx )]x (f )x (f [D. ⎰--adx )]x (f )x (f [8 设函数y=f(x)在点x 0的邻域V(x 0)内可导，如果∀x ∈V(x 0)有f(x)≥f(x 0)，有（） A ．)(')('0x f x f ≥ B ．)()('0x f x f ≥ C ．0)('0=x fD ．0)('0>x f9 设f(x)=x 15+3x 3-x+1,则f (16)（1）=（） A ．16!B ．15!C ．14!D ．010=⎰])arctan ([673dx x x dx d （） A. 5 B. 3 C. 7 D. 0 二、填空题（每空4分，共32分）1 当x →0时，sin(2x 2)与ax 2是等价无究小，则a=___________ .2 设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+000)1ln(2x x xx ，则f '(0)=___________. 3 曲线y =x 3+3x 2-1的拐点为___________. 4 n31sin n 1lim22n ∞→= ___________.5 设1)1(f =' 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∞→)1(f )x11(f x lim x =___________.6 曲线x 2+y 5-2xy=0在点(1、1)处的切线方程为 .7 dx xx x ⎰++221)(arctan = .8 曲线y =1222-+-x x x 的垂直渐近线的方程是 .三、计算题（每题8分，共16分） 1. 计算⎰10dx ex2. 设f(x)的一个原函数为x e x 2，计算dx x x f)(/⎰四、解答题（第1题10分，第2题12分）1. 设曲线xy=1与直线y=2，x=3所围成的平面区域为D （如图所示）.求D 的面积.2. 计算定积分⎰-+12.)2()1ln(dx x x九江职业大学第一届“数学建模”选拔赛暨《高等数学》竞赛试题参考答案一、单项选择题（每小题3分，共30分）1 设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥++<0x ,K x 2x 40x ,xx3sin 2在x=0处连续，则K=( A )。

高数考研真题及答案

高数考研真题及答案高数考研真题及答案高等数学是考研数学的重要组成部分，也是许多考生最为头疼的一门科目。

为了提高自己的数学水平，很多考生会通过做真题来进行复习。

本文将介绍一些高数考研真题及其答案，希望对考生们有所帮助。

一、函数与极限1. 某函数f(x)在x=0处连续，且f(0)=1，求极限lim(x→0)⁡〖f(2x-1)〗。

解析：根据函数的连续性和极限的性质，可以得出lim(x→0)⁡〖f(2x-1)〗=f(0)=1。

2. 已知函数f(x)满足f(0)=1，且对任意x，有f'(x)=f(x)，求f(x)的表达式。

解析：根据题目中给出的条件，可以得出f(x)=e^x，其中e是自然对数的底数。

二、导数与微分1. 求函数y=ln(1+x^2)的导数。

解析：根据链式法则和对数函数的导数公式，可以得出y'=(2x)/(1+x^2)。

2. 某物体的运动方程为s(t)=t^3-2t^2+3t，求物体在t=2时的速度。

解析：速度的定义是位移对时间的导数，即v(t)=s'(t)=3t^2-4t+3。

代入t=2，可以得到v(2)=7。

三、定积分与不定积分1. 求∫(0 to π/2)⁡〖sin^2(x) dx〗。

解析：根据三角恒等式sin^2(x)=1/2-1/2cos(2x)，可以将原式转化为∫(0 toπ/2)⁡〖(1/2-1/2cos(2x)) dx〗。

根据不定积分的性质和基本积分公式，可以得到结果为π/4。

2. 求∫(0 to 1)⁡〖x^2e^x dx〗。

解析：根据不定积分的性质和积分公式，可以得到结果为2。

四、级数1. 求级数∑(n=1 to ∞)⁡〖(1/2)^n〗的和。

解析：根据级数的求和公式，可以得到结果为1。

2. 求级数∑(n=1 to ∞)⁡〖(n^2)/(2^n)〗的和。

解析：根据级数的求和公式和幂级数的性质，可以得到结果为6。

通过以上的高数考研真题及答案的介绍，我们可以看到，在高等数学考研中，函数与极限、导数与微分、定积分与不定积分、级数等内容都是考生们需要重点掌握的知识点。

高等数学竞赛试题(打印版)

１竞赛试题1 一、填空：1．若()⎪⎩⎪⎨⎧≤->-=,x ,a x ,x f x xx01e 0,arctan e 122sin 是()+∞∞-,上的连续函数，则a = 。

2．函数x x y 2sin +=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,2上的最大值为。

3．()=+⎰--22d ex x x x4．由曲线⎩⎨⎧==+0122322z y x 绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点()230,,处的指向外侧的单位法向量为5．设函数()x,y z z =由方程2e =+----x y z x x y z 所确定，则=z d 二、选择题：1．设函数f (x )可导，并且()50='x f ，则当0→∆x 时，该函数在点0x 处微分d y 是y ∆的（）（A ）等价无穷小；（B ）同阶但不等价的无穷小；（C ）高阶无穷小；（D ）低阶无穷小。

2．设函数f (x )在点x = a 处可导，则()x f 在点x = a 处不可导的充要条件是（）（A ）f (a ) = 0，且()0='a f ；（B ）f (a )≠0，但()0='a f ；（C ）f (a ) = 0，且()0≠'a f ；（D ）f (a )≠0，且()0≠'a f 。

3．曲线12+-+=x x x y （）（A ）没有渐近线；（B ）有一条水平渐近线和一条斜渐近线；（C ）有一条铅直渐近线；（D ）有两条水平渐近线。

4．设()()x,y x,y f ϕ与均为可微函数，且()0≠'x,y y ϕ。

已知()00,y x 是()x,y f 在约束条件()0=x,y ϕ下的一个极值点，下列选项中的正确者为（）（A ）若()000=',y x f x ，则()000=',y x f y ；（B ）若()000=',y x f x ，则()000≠',y x f y ；（C ）若()000≠',y x f x ，则()000=',y x f y ；（D ）若()000≠',y x f x ，则()000≠',y x f y 。

2024考研数学评分标准

2024考研数学评分标准
考研数学的评分标准主要依据填空题、选择题和解答题三种题型来划分。

1. 填空题和选择题：教育部制订的参考答案及评分参考对这两种题型仅给出答案，无具体推导计算过程。

答对每题得4分，答错得0分，不倒扣。

对于选择题，鼓励考生在不会作答时猜测选项。

2. 解答题：包括计算题、证明题以及其他解答题，评分参考一般提供一至两种参考解答和证明，有些试题有更多的解法。

以上信息仅供参考，建议咨询专业考研数学教师，了解2024年考研数学评分标准。

考研数学综合能力试题及答案

考研数学综合能力试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，满足R上单调递增的是（）A. y = x^2B. y = log(x)C. y = e^xD. y = sin(x)2. 设函数f(x)在点x=a处连续，且lim(x→a) [f(x) - f(a)]/(x-a) = 3，那么f'(a)的值为（）A. 0B. 3C. -3D. 不存在3. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，P(X=k)的值为（）A. λ^k / k!B. e^(-λ)λ^k / k!C. λ^k / (k+1)!D. e^(-λ)λ^(k+1) / (k+1)!4. 对于定积分∫(0,1) x^2 dx，其结果为（）A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 3/45. 设A、B为两个n阶方阵，若AB=BA，则称矩阵A和B可以交换。

若矩阵A可交换的矩阵B有无穷多个，则矩阵A必定是（）A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 可逆矩阵D. 零矩阵或单位矩阵6. 设函数f(x)在区间[a,b]上可积，且f(x)≥0，若∫(a,b) f(x) dx = 0，则f(x)在区间[a,b]上（）A. 恒等于0B. 恒小于0C. 恒等于1D. 非负但不一定恒为07. 设数列{an}满足an+1 = 2an + 1，且a1 = 1，则an的通项公式为（）A. an = 2^(n-1)B. an = 2^n - 1C. an = 2^nD. an = 2^(n+1) - 18. 若曲线y = x^2 - 4x + 3在点（2,1）处的切线与x轴平行，则该曲线在点（2,1）处的切线方程为（）A. y = 1B. y = 2C. y = -1D. y = 09. 设函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 9，f(x)的最大值为（）A. 1B. 3C. 9D. 2710. 已知函数f(x) = ∑(k=1, 2, 3, ..., n) x^k，若f(x) = 0，则x的值为（）A. 0B. 1C. -1D. 2二、填空题（每题4分，共20分）11. 设函数f(x) = ∫(0,x) e^t dt，则f(x)的导数f'(x) =_________。

考研数学大题评分标准

考研数学大题评分标准考研数学大题是考研数学考试中的重要部分，也是考生们备战考研数学的重点。

在考研数学大题中，评分标准是非常重要的，它直接影响着考生的得分情况。

因此，了解和掌握考研数学大题评分标准对于考生来说至关重要。

首先，考研数学大题评分标准主要包括以下几个方面：1. 解题思路和方法的正确性，在考研数学大题中，解题思路和方法的正确性是评分的首要标准。

考生需要清晰地表达解题思路，采用正确的方法进行推导和计算，避免出现错误的推理和计算过程。

2. 结果的准确性，在解题过程中，考生需要得到正确的结果。

这包括数值计算的准确性和结论的正确性。

在计算过程中，要注意精度和有效数字的处理，确保结果的准确性。

3. 证明的完整性和严谨性，对于需要证明的问题，考生需要给出完整严谨的证明过程。

证明过程要清晰、严密，逻辑严谨，确保每一步的推理都是正确的。

4. 表达的清晰性和规范性，在解题过程中，考生需要清晰地表达自己的思路和计算过程。

文字描述要准确明了，符号使用要规范，避免歧义和误解。

5. 解题的方法多样性和灵活性，在解题过程中，考生可以采用多种方法进行推导和计算，体现解题的多样性和灵活性。

这也是评分的一项重要标准。

综上所述，考研数学大题评分标准是非常严格的，考生在备战考研数学时需要充分了解和掌握评分标准，注重解题思路和方法的正确性，确保结果的准确性，严谨完整地进行证明，清晰规范地表达解题过程，同时注重解题方法的多样性和灵活性。

只有在这些方面都做到位，才能在考研数学大题中取得理想的成绩。

希望考生们能够认真对待考研数学大题，做好充分的准备，取得优异的成绩。

考研数学综合试题及答案

考研数学综合试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，满足条件f(x+2)=f(2-x)的是（）。

A. f(x) = x^2B. f(x) = sin(x)C. f(x) = |x|D. f(x) = cos(x)2. 设函数F(x)在区间[a,b]上连续，且∫[a,b] F(x)dx存在，那么（）。

A. F(x)在[a,b]上必有最大值和最小值B. F(x)在[a,b]上必有根C. F(x)在[a,b]上单调递增D. F(x)在[a,b]上是常数函数3. 对于任意的x∈R，若不等式|x+1|+|x-1|≥a恒成立，则实数a的取值范围是（）。

A. a≤-1B. a≤0C. a≤1D. a≤24. 设数列{an}满足an+1 = 1/2(an + 1/an)，若a1=2，则a5的值为（）。

A. 1B. 2C. 3D. 45. 设函数f(x)在点x=x0处取得极值，那么f'(x0)等于（）。

A. 0B. 1C. -1D. 不存在6. 若矩阵A可逆，则下列哪个选项是正确的？A. |A| = 0B. |A^T| = |A|C. A^2 = ID. det(A) = 17. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么P(X=k)等于（）。

A. λ^k * e^(-λ) / k!B. λ^k * e^(-λ)C. (λ^k / k!) * e^(-λ)D. (k * λ^k) / e^(λ)8. 对于二元函数z=f(x,y)，若偏导数f_x和f_y都存在，则f(x,y)在点(x0,y0)的全微分dz等于（）。

A. f_x(x0,y0) * dx + f_y(x0,y0) * dyB. f_x(x0,y0) * dy + f_y(x0,y0) * dxC. f_x(x0,y0) * dx - f_y(x0,y0) * dyD. f_x(x0,y0) * dy - f_y(x0,y0) * dx9. 设函数f(x)在区间[a,b]上二阶可导，且f''(x)≥0恒成立，则f(x)在[a,b]上是（）。

数学考研大题评分标准

数学考研大题评分标准
数学考研大题的评分标准主要依据步骤给分。

对于大题，一般会给出1\~2种解答过程，考生在答题时，写对了一到两个步骤，可以得1\~2分。

具体来说，每个正确答案得四分，错误答案得零分，不会扣分。

另外，按公式对错得分也是评分的依据之一。

在数列大题中，如果第二问求和比较麻烦，那么第一问一般5分，否则，一般6分。

立体几何大题中，第二问二面角步骤较多，分值较高，所以第一问一般4\~5分。

以上信息仅供参考，具体评分标准应以考研数学大纲和考试说明为准。

2023年考研数学试题答案及评分参考

2023年考研数学试题答案及评分参考一、选择题部分题目一答案：B解析：根据题干，我们可以使用解析几何的知识来求解。

首先，根据已知条件可以得到以下方程组：2x + y = 4 (1)x - y = 2 (2)然后，我们使用消元法解方程组。

将方程(2)乘以2，得到：2x - 2y = 4 (3)。

然后，我们将方程(1)减去方程(3)，可以得到以下方程：3y = 0。

解得y=0。

将y的解代入方程(2)，可以得到x=2。

因此，方程组的解为x=2，y=0。

选项B符合题意，所以答案选B。

题目二答案：C解析：题目给出一个函数f(x)的表达式：f(x) = x^2 - 4x + 3。

我们需要求函数f(x)在区间[0,4]上的最小值。

首先，我们计算函数f(x)的导数，然后令导数等于0，可以得到极值点。

对函数f(x)求导，得到f’(x) = 2x - 4。

令f’(x) = 0，解得x=2。

然后，我们求解函数f(x)在x=2处的取值。

将x=2代入函数f(x)，可以得到f(2) = 2^2 - 4*2 + 3 = -1。

由于题目要求的是在区间[0,4]上的最小值，那么我们需要比较区间的端点和极值点的取值。

将x=0代入函数f(x)，可以得到f(0) = 0^2 - 40 + 3 = 3。

将x=4代入函数f(x)，可以得到f(4) = 4^2 - 44 + 3 = 3。

综上所述，函数f(x)在区间[0,4]上的最小值为-1。

因此，答案选C。

二、计算题部分题目一解答：根据题目给出的条件，我们可以列出以下方程组：2x + y = 3 (1)3x - y = 5 (2)我们可以使用消元法解这个方程组。

我们将方程(1)乘以3，得到：6x + 3y = 9 (3)。

然后，我们将方程(2)乘以2，得到：6x - 2y = 10 (4)。

将方程(4)减去方程(3)，得到：5y = 1。

解得y = 1/5。

将y的解代入方程(1)，可以得到2x + 1/5 = 3。

考研数学竞赛试题及答案

考研数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数 $ f(x) = \sin x + \cos x $，则 $ f(\pi) $ 的值为：A. 0B. 1C. -1D. $ \sqrt{2} $答案：C2. 已知 $ a $ 和 $ b $ 是两个不相等的实数，且 $ a^2 - 3a + 2 = 0 $ 和 $ b^2 - 3b + 2 = 0 $，则 $ a + b $ 的值为：A. 3B. 2C. 1D. 0答案：A3. 计算定积分 $ \int_{0}^{1} x^2 dx $ 的值为：A. $ \frac{1}{3} $B. $ \frac{1}{2} $C. 1D. 2答案：A4. 已知 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $，则$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} $ 的值为：A. 2B. 1C. 0D. $ \frac{1}{2} $答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设 $ f(x) = x^3 - 3x $，则 $ f'(1) $ 的值为 _______。

答案：22. 已知 $ \int_{0}^{1} e^x dx = e - 1 $，则 $ \int_{0}^{1} e^{-x} dx $ 的值为 _______。

答案：1 - $ \frac{1}{e} $3. 设 $ a $ 和 $ b $ 是方程 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $ 的两个根，则 $ a^2 + b^2 $ 的值为 _______。

答案：134. 设 $ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} $，则 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $ 的值为 _______。

考研高等数学部分综合竞赛试题

考研高等数学部分综合竞赛试题时间：240分满分：250分一、选择题（每题2分，共32分）1、设()50sin xtx dt tα=⎰，()()1sin 01x t x t dt β=+⎰，则当0x →时，()x α是()x β的()A 高阶无穷小 ()B 低阶无穷小 ()C 同阶但不等价的无穷小 ()D 等价无穷小2、函数()()()()2sin 212x x f x x x x -=--在下列哪个区间内有界()A ()1,0- ()B ()0,1 ()C ()1,2 ()D ()2,33、曲线()()2121arctan 12x x x y e x x ++=-+的渐近线有()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 34、设函数()f x 区间[],a b 上连续，且()0f x >,则方程()()10xxabf t dt dt f t +=⎰⎰，在开区间(),a b 内的根有()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 35、设函数()f x 在区间(),δδ-内有定义，若当(),x δδ∈-时，恒有()2f x x ≤，则0x =必是()f x 的()A 间断点 ()B 连续而不可导的点 ()C 可导的点，且()'00f = ()D 可导的点，且()'00f ≠6、已知函数()y f x =对一切非零x 满足02()3[()]x x xf x x f x e e --''+=-00()0(0),f x x '==/则（）（A ）0()f x 是()f x 的极大值（B ）0()f x 是()f x 的极小值（C ）00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点（D ）0()f x 不是()f x 的极值，但00(,())x f x 也不是曲线()y f x =的拐点 7、设函数()f x 连续，则在下列变上限的定积分定义的函数中，必为偶函数的是()A ()20x f t dt ⎰ ()B ()20xf t dt ⎰()C ()()0xt f t f t dt --⎡⎤⎣⎦⎰ ()D ()()0xt f t f t dt +-⎡⎤⎣⎦⎰8、下列广义积分中发散的是()A111sin x -⎰ ()B1-⎰()C 2x edx +∞-⎰ ()D22ln dxx x+∞⎰9、设函数()()()(),x yx yu x y x y x y t dt ϕϕψ+-=++-+⎰，其中函数ϕ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有()A 2222u u x y ∂∂=-∂∂ ()B 2222u u x y ∂∂=∂∂ ()C 222u u x y y ∂∂=∂∂∂ ()D 222u u x y x ∂∂=∂∂∂10、设函数(),f x y 连续，则二次积分()1sin 2,xdx f x y ππ=⎰⎰()A ()10arcsin ,y dy f x y dx ππ+⎰⎰ ()B ()10arcsin ,y dy f x y dx ππ-⎰⎰ ()C ()1arcsin 02,ydy f x y dx ππ+⎰⎰ ()D()1arcsin 02,ydy f x y dx ππ-⎰⎰11、设函数()f u 连续，区域(){}22,2D x y xy y =+≤，则()Df xy dxdy =⎰⎰()A ()11dx f xy dy -⎰ ()B ()2002dy f xy dx ⎰()C()2sin 20sin cos d f r dr πθθθθ⎰⎰()D()2sin 20sin cos d f r rdr πθθθθ⎰⎰12、设区域(){}22,4,0,0D x y xy x y =+≤≥≥，()f x 为D 上的正值连续函数，,a b 为常数，则Dσ=()A ab π ()B 2abπ ()C ()a b π+ ()D()2a b π+ 13、设数列{}n a 单调递减，∑=∞→⋯===n k kn n n n a S a 1,2,1(,0lim ）无界，则幂级数∑=-nk nkx a 1)1(的收敛域为（）()A (]1,1- ()B [)1,1- ()C [)0,2 ()D (]0,214、已知()()()21cos 214,21n n xa x x n πππ∞=--=-≤≤-∑a 为常数，则a = （） ()A 2π-()B 2π()C π- ()D π 15、设有两个数列{}{},n n a b ，若lim 0n n a →∞=，则（）（A ）当1nn b∞=∑收敛时，1n nn a b∞=∑收敛. （B ）当1nn b∞=∑发散时，1n nn a b∞=∑发散.（C ）当1nn b∞=∑收敛时，221n nn a b∞=∑收敛. （D ）当1nn b∞=∑发散时，221n nn a b∞=∑发散.16、设随机变量X 与Y 相互独立，且X 是区间(0,1)是的均匀分布，Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====，记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()Z F z 的间断点个数为（）()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 3二、填空题（每空1分，共49分）17、设()tan 21,0arcsin 2,0xx e x x ae x f x ->≤⎧⎪=⎨⎪⎩在0x =处连续，则a = ；18、函数()()tan 41xx f x x π⎛⎫- ⎪⎝⎭=+在区间()0,2π内的间断点为；其各个间断点的类型为；19、设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+，则（1）()()lim ,y g x f x y →+∞== ；（2）()0lim x g x +→= ； 20、函数()()2ln 1f x x x =+在0x =处的n 阶导数()()0n f= ；21、已知()f x 是周期为5的连续函数，它在0x =的某个领域内满足关系式()()()1sin 31sin 8f x f x x x α+--=+，其中()x α是当0x →时比x 高阶的无穷小，且()f x 在1x =处可导，则曲线()y f x =在点()()6,6f 处的切线方程是； 22、设()1sin xy x =+，则x dyπ== ；23、设函数()y f x =由方程42ln xy x y +=所确定，则曲线()y f x =在点()1,1处的法线方程为； 24、曲线{sin 1cos x t t y t=-=-在2t π=处的曲率半径R =25、设函数()y x 由参数方程{sin 2cos t t x e t y e t==确定，则曲线()y y x =向上凸的x 的取值范围为；26、函数y =12⎡⎢⎣⎦上的平均值为； 27、2ln sin sin xdx x =⎰ ；28、设()()2232,10,2,01,1xx x x x xe x e f x +-≤<≤≤+⎧⎪=⎨⎪⎩则函数()()1x F x f t dt -=⎰的表达式是； 29、设直线y ax =与抛物线2y x =所围成图形的面积为1S ，它们与直线1x =所围成的图形的面积为2S ，并且1a <，（1）若要使12S S +达到最小，则a = ；其最小值为；（2）该最小值所对应的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为； 30、设函数()f x 连续，且()212arctan 2xtf x t dt x -=⎰，已知()11f =，则()21f x dx =⎰ ；31、（1）21arctan xdx x +∞=⎰；（2）312=⎰ ；32、设()f x 是区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调、可导函数，且满足()()10cos sin sin cos f x xt tft dt tdt t t--=+⎰⎰，其中1f -是f的反函数，则()f x = ；33、已知()22,arctan arctan y x f x y x y x y=-，则2f x y ∂=∂∂ ； 34、设(),,u f x y z =有连续一阶偏导数，又函数()y y x =及()z z x =分别由2xye xy -=和0sin x zxt e dt t -=⎰两式确定，则dudx= ； 35、已知v z u =，arctan y u v x==，则dz = ；36、设()22,xyz f x y e=-，其中f 具有连续二阶偏导数，则2zx y∂=∂∂ ； 37、设椭圆2244x y +=上存在一点，且该点到直线2360x y +-=的距离最短，则该点的坐标为；38、已知函数(),f x y 具有二阶连续偏导数，且()()1,0,,10f y f x ==，⎰⎰=Da dxdy y x f ),(，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D ，则二重积分''(,)xy DI xy f x y dxdy ==⎰⎰ 39、已知D 是由直线,1y x y ==-及1x =围成的平面区域，则二重积分()22121x y Dy xe dxdy +⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰40、设二元函数()2,1,2,,x x y x y f x y +≤<+≤⎧⎪=(){},2D x y x y =+≤，则二重积分(),Df x y d σ=⎰⎰41、已知(){}22,D x y xy π=+≤，则二重积分()()2222sin x y Dex y dxdy π-+-+=⎰⎰ 42、设(){}22,,1,x y z xy z Ω=+≤≤则Ω的形心坐标z = ；43、已知曲线(2:0L y xx =≤≤，则Lxds =⎰ ；44、已知,a b 为正常数，L 为从点()2,0A a沿曲线y =()0,0O 的弧，则()()sin cos xxLI ey b x y dx e y ax dy ⎡⎤=-++-=⎣⎦⎰ ；45、已知L 是以点()1,0为中心，R 为半径的圆周()1R >，取逆时针方向，则曲线积分224L xdy ydxI x y -==+⎰46、已知存在一常数λ，使在右半平面0x >上的向量()()()42242,2A x y xy x y i x x y j λλ=+-+为某二元函数(),u x y 的梯度，则λ= ；(),u x y = ；47、设L 是柱面方程为122=+y x 与平面z x y =+的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分⎰=++___________22dz y xdy xzdx ； 48、设S 为椭球面222122x y z ++=的上半部分，点(),,P x y z S ∈，π为S 在点P 处的切平面，(),,x y z ρ为点()0,0,0O 到平面π的距离，则(),,SzdS x y z ρ=⎰⎰ ； 49、设Ω是锥面z =与半球面z =围成的空间区域，∑是Ω的整个边界的外侧，则xdydz ydzdx zdxdy ∑++=⎰⎰ ；50、设∑是锥面)01z z =≤≤的下侧，则()231xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=⎰⎰ ；51、设对于半空间0x >内任意的光滑有向封闭曲面S ，都有()()20xSxf x dydz xyf x dzdx e zdxdy --=⎰⎰，其中函数()f x 在()0,+∞内具有连续的一阶导数，且()0lim 1x f x +→=，则()f x = ； 52、设r =，则()()1,2,2div gradr -= ； 53、幂级数()()211112nnn x x n∞=+-<∑的和函数()f x = ；且()f x 的极大值为54、从点()11,0P 作x 轴的垂线，交抛物线2y x =于点()11,1Q ；再从1Q 作这条抛物线的切线与x 轴交于2P ，然后又从2P 作x 轴的垂线，交抛物线于点2Q ，依次重复上述过程得到一系列的点1122,;,;;,;.n n P Q P Q P Q 则（1）n OP = ；（2）级数1122n n Q P Q P Q P ++++的和为；55、设4sin cos ,0,1,2,,nn I x xdx n π==⎰则0n n I ∞==∑ ；56、从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y （从海平面算起）与下沉速度v 之间的函数关系。

河南科技大学第五届高数竞赛试卷一参考答案及评分标准

河南科技大学第五届高数竞赛试题(一)参考答案填空题（每空5分，共计100分）具体解答过程见下页：1.设()()2tan,2f x x fg x x==-⎡⎤⎣⎦，且()4g xπ≤.则()g x的定义域为 .解：()2tan 2f g x x x ==-⎡⎤⎣⎦，()()2arctan 2g x x =- 因为()4g x π≤，所以2121x -≤-≤，11x x ≤≤-≤≤，或2．求()()22211131limarctan !22311n n n n nn →∞+⨯-++⨯-⨯-⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦= .解：()()22lim arctan !limarctan !002n n n n π→∞→∞⨯⎡⎤⎛⎡⎤=⨯=⨯=⎢⎥⎣⎦⎝⎣⎦（或者看成无穷小与有界量的乘积） ()221113122311lim 311111lim 112231n n n n nn n n →∞→∞+++⨯-⨯-⎛⎫ ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦13lim 13n n →∞⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 所以()()22211131limarctan !223113n n n n nn →∞+⨯-++⨯-⨯-⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3．设()3sin 2lim0x x xf x x→+=，则()22limx f x x→+= .解：（法一）用泰勒公式。

题设相当于()()3sin 2x xf x o x +=，将()334sin 223x x x o x=-+代入，得()()33423x xxfx o x -+=，从而()()22423fx x o x+=+ 于是()224lim3x f x x→+=（法二）由()3sin 2lim0x x xf x x→+=，根据极限与无穷小的关系知：()()()()3sin 2,lim 0x x xf x x x xαα→+==其中，故()()2sin 2x fx x x xα=-()()()2222sin 2sin 2222limlimlim limx x x x x x x x fx xx x xxxαα→→→→+--+==+3222sin 222cos 21cos 22sin 240limlim2lim2lim3363x x x x x xxxx xxxx→→→→---=+====注：解此题最容易犯的错误，是不考虑()f x 是否满足条件而使用洛比达法则，结果花费了不少时间还未必得到正确的结论；当然用下面方法解题也是错误的()()()322sin 2sin 220limlimlimx x x xfx x xfx fx xxxx→→→+++===，这里用2代替sin 2x x是错误的！4．求()()10102tan 2sin limsin x x x x→+--= .解：()()10102tan 2sin limsin x x x x →+--=()()1010101002tan 22sin 2lim sin x x x x→⎡⎤⎡⎤+----⎣⎦⎣⎦ ()()101010102tan 22sin 2limlimsin sin x x x x xx→→+---=+-()()()()101010101010222tan 22sin 2limlimtan sin x x x x x x xxxx==→→+---''=+=+-999102210102102102x x x x===+=⨯⨯=⨯5．曲线221xy x=+的拐点为 .解：()22222121,111xxy y xxx'==-=+++()()2232214211xy x x ⎡⎤⎢⎥''=-⎢⎥++⎣⎦，令0y ''=得拐点的横坐标x =±，故拐点为14⎛⎫± ⎪⎝⎭（严格来说，需要分别判断）6．函数()2cos f x x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为 .解：()12sin f x x '=-，令()0f x '=解得唯一驻点6x π=（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时），比较()02,6622f f f ππππ⎛⎫⎛⎫==+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的大小易知函数()2cos f x x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为6π+7．求()223x x dx +=⎰ . 解：()223xxdx +=⎰()46942692ln 4ln 6ln 9xxxxxxdx C +⨯+=+⨯++⎰8．求211ln11x dx xx+=--⎰.解：因为()()21112ln ln 1ln 11111x x x x x x x '+⎡⎤'=+--=+=⎡⎤⎣⎦⎢⎥-+--⎣⎦，所以 2221112111111ln ln ln ln ln 1121121141x x x x x dx dx d C x x x x x x x +++++⎛⎫⎛⎫===+ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰ 9．求()2211xxedx e+=+⎰ .解：()()222222112211121111xxxxxxxxx eeeedx dx dx dx d e eee e +⎛⎫++==+=+ ⎪++++⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ ()2arctan xx e C =++10．设()f x 连续，则()21d fx t dt dx+=⎰.解：令x t u +=，则,1,1;2,2dt du t u x t u x ===+==+()()()()221121xxd d fx t dtf u du f x f x dxdx+++==+-+⎰⎰11．求2π=⎰ .解：令,;0,;,0222x t dx dt x t x t πππ=-=-====则22220tan tan 1cot 2t dtx dxt ππππ====+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰所以22220000tan 11224x dx dx πππππ⎡⎤⎢=+==⎢⎣⎰⎰⎰⎰ 12．由曲线1,2y x x x=+=及2y =所围图形的面积S = .解：所围图形的面积为[]22121112ln 22ln 24ln 12ln 21222x A x dx x x x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤=+-=+-=+--+-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎰13．以向量2a m n =+ 和3b m n =-为边的三角形的面积为，其中5,3,,6m n m n π∧⎛⎫=== ⎪⎝⎭ .解：设三角形面积为A ，则12A a b =⨯，a b ⨯ =()()235m n m n n m +⨯-=⨯115755sin ,2224A a b n m n m m n ∧⎛⎫=⨯=⨯==⎪⎝⎭14．设()()1,,z fxy y x y f xϕϕ=++具有二阶连续导数，则2z x y∂=∂∂ .解：()()()21z y fxy f xy y x y xxxϕ∂''=-+++∂()()()()()2211z y f xy x f xy f xy x x y y x y x yxxxϕϕ∂'''''''=-++++++∂∂()()()yf xy x y y x y ϕϕ'''''=++++15．函数()(),,cos f x y z xyz =在点11,,33π⎛⎫⎪⎝⎭处函数值增加最快的方向为 .解：因为函数值增加最快的方向即为梯度的方向，()()()()()(),,sin ,,,sin ,,,sin x y z f x y z yz xyz f x y z xz xyz f x y z xy xyz '''=-=-=-因为()11111,,sin ,,,sin ,,,sin 3933393399x y z f x y z f f πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=-=-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以11,,33gradf π⎛⎫=⎪⎝⎭1sin ,,9339πππ⎛⎫⎧⎫---⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭答案应填为1sin ,,9339πππ⎛⎫⎧⎫---⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭或者()1,,,,0339k k k ππ⎧⎫---∈≠⎨⎬⎩⎭16．求2411limsin22n nn i j j i nnππ→∞===∑∑.解：（法一）由二重积分定义及函数2sin x y 在区域01,02x y π≤≤≤≤上连续性可知2224111101021limsinlimsin sin 2222n nnnn n i j i j x y j i j ix ydxdy nnn n n n πππππ→∞→∞====≤≤≤≤⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑⎰⎰12201sin 3x dx ydx π==⎰⎰（法二）由定积分定义及函数2x 和sin y 分别在区间01,x ≤≤和02y π≤≤上连续性可知212224111111limsin lim lim sin sin 22223nnnnn n n i j i j j i j i x dx ydx nn n n n n πππππ→∞→∞→∞====⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑⎰⎰17．求()5!lim2nnn n n →∞= .解：先考虑()15!2nnn n n ∞=∑的敛散性：应用正项级数的比值判别法有()()()()()()111151!2151!25515lim lim lim lim 115!5!21222212n nn n n n n n nn n n n nn n n n n n n n e n n n ++++→∞→∞→∞→∞+⎛⎫+⎡⎤ ⎪+⎛⎫⎣⎦====< ⎪⎪+⎝⎭+ ⎪+⎝⎭所以()15!2nnn n n ∞=∑收敛，于是的()5!lim02nnn n n →∞=18．1xd e dx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭幂级数表达式为 .解：因为11,!nxn xe x n ∞=-=-∞<<+∞∑，111!xn n e xxn -∞=-=∑，()()21121222111!!!!n x n n n n n n n n x n d e d x d xxdx x dx n dxn n n ---∞∞∞∞-====--⎛⎫⎛⎫-====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑注：在应用逐项求导时不会出现x 的负幂次方。