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函数与导数二模练习题

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模块二 函数与导数(测试)(解析版)-2024年高考数学二轮复习讲练测(新教材新高考)

模块二 函数与导数(测试)(解析版)-2024年高考数学二轮复习讲练测(新教材新高考)

模块二函数与导数（测试）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．曲线2e x y x x =+-在1x =处的切线方程为（）A ．e 0x y -=B ．e 2e 0x y +-=C ．()e 110x y --+=D ．()e 110x y +--=【答案】D【解析】由2e x y x x =+-，得e 21x y x =+-'.当1x =时，e,e 1y y '==+，故该曲线在1x =处的切线方程为()e 110x y +--=.故选：D2．由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自主、自力更生的策略，在一些领域取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司2020年全年投入芯片制造方面的研发资金为120亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元的年份是（）参考数据：lg1.090.0374≈，lg20.3010≈，lg30.4771≈.A ．2023年B ．2024年C ．2025年D ．2026年【答案】D【解析】设2020年后第n 年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元，由120(19%)200n ⨯+>得5(1.09)3n>，两边同取常用对数，得lg5lg31lg2lg35.93lg1.09lg1.09n --->=≈，所以6n ≥，所以从2026年开始，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元.故选：D ．3．已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（）A ．()23sin 44x xx x xf x -+=+B ．()23cos 2x x x f x x +=+C ．()3cos 44x xx x xf x -+=+D ．()223sin 2x x xf x x +=+【答案】B【解析】从图象可知函数()f x 的图象关于原点对称，所以函数()f x 是奇函数．因为23sin y x x x =+，244,2x x y y x -=+=+是偶函数，3cos y x x x =+是奇函数，所以()()2223sin 3sin ,442x x x x x x x xf x f x x -++==++都是偶函数，可排除A ，D ．对于()23cos13cos1B,11123f ++==>+，对于C ，()113cos11144f -+=<+，结合题图可知选B ．故选：B4．已知函数()2e xf x ax =-，若对任意12121,,2,2x x x x ⎛⎫∈≠ ⎪⎝⎭，不等式()()121212f x f x x x x x -<+-恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．e ,12⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．2e ,14⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．e 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．2e 1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】设12x x >，1212121212()()1,(,2),,2f x f x x x x x x x x x -∀∈≠<+-，等价于221212()()f x f x x x -<-，即221122()()f x x f x x -<-，令222()()e x g x f x x ax x =-=--，则12()()<g x g x ，所以函数()g x 在1(,2)2上单调递减，则不等式()e 2(1)0x g x a x '=-+≤在1(,2)2上恒成立，即不等式2(1)e x a x≤+在1(,2)2上恒成立，令e 1(),(,2)2x h x x x =∈，则2(1)()x e x h x x '-=，令1()012h x x '<⇒<<，令()012h x x '>⇒<<，所以函数()h x 在1(,1)2上单调递减，在(1,2)上单调递增，又21e ()(2)22h h ==，且2e 2<，所以22(12e )a ≤+，解得214e a ≥-，即实数a 的取值范围为2e [1,)4-+∞.故选：D.5．已知20991ln ,,e 89a b c -===，则（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】A【解析】设函数()()211ln 1,x f x x f x x x-=+-='，因为()0,1x ∈上()0f x '<，()1,x ∈+∞上()0f x ¢>，所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，则()()10f x f ≥=，所以1ln 1x x≥-，当且仅当1x =时，等号成立．令98x =，则91ln 89>．设函数()()e ln ,e e x x g x x g x x-=='-，因为()0,e x ∈上()0g x '>，()e,x ∈+∞上()0g x '<，所以()g x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，则()()e 0g x g ≤=，所以()33ln30e g =-<，即310ln3e 9<<，所以10209913e ,e 9-<>．综上可得：a b c >>．故选：A.6．定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，且()20f -=，则不等式()20xf x +≥的解集是（）A ．[)4,-+∞B ．()(),40,-∞-+∞C ．()2,-+∞D ．(](],42,0∞--⋃-【答案】A【解析】∵定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，且()20f -=，∴()f x 在(,0)-∞上单调递减，且()20f =，∴当<2x -或2x >时，()0f x >；当22x -<<时，()0f x <，∵()20xf x +≥，∴0(2)0x f x ≥⎧⎨+≥⎩或0(2)0x f x ≤⎧⎨+≤⎩，∴02222x x x ≥⎧⎨+≤-+≥⎩或或0222x x ≤⎧⎨-≤+≤⎩，∴0x ≥或40x -≤≤，即4x ≥-，则不等式()20xf x +≥的解集是[)4,-+∞.故选：A.7．设定义在R 上的函数()f x 满足()()23e -'+=xf x f x x ，且()00f =，则下列结论正确的是（）A ．()f x 在R 上单调递减B ．()f x 在R 上单调递增C ．()f x 在R 上有最大值D ．()f x 在R 上有最小值【答案】C【解析】因为()()23e -'+=x f x f x x ，所以()()2e e 3x xf x f x x +='，可得()()()2e e e 3''⎡⎤=+=⎣⎦x x x f x f x f x x ，可得()3e =+xf x x c （c 为常数），因为()00f =，所以()00e 00=+=f c ，解得0c =，所以()3e x x f x =，()()2233e e e e3e --⨯'==x x x x x x x x x f x ，当3x >时，()0,()'<f x f x 单调递减，当03x <<时，()0,()'>f x f x 单调递增，当0x <时，()0,()'>f x f x 单调递增，当x →+∞时，()0f x →且()0f x >，当x →-∞时，()f x ∞→-，所以()f x 在3x =时有极大值即最大值()33333e e27==f ，无最小值.故选：C.8．已知正数,a b 满足2e 12ln 182a b a b +≤++，则e a b +=（）A ．94B ．32C ．1D ．34【答案】A【解析】由22e 12ln 1e 84ln 16882a ab a b a b b +≤++⇔-≤-+，设()e 4x f x x =-，则()e 4x f x '=-，当ln 4x >时，()0f x '>，当ln 4x <时，()0f x '<，所以()f x 在(0,ln 4)上单调递减，在(ln 4,)+∞上单调递增，则min ()(ln 4)48ln 2f x f ==-，故2(2)e 848ln 2a f a a =-≥-，当且仅当2ln 4a =，即ln 2a =时取等号；设()4ln 168g x x x =-+，则4(14)()x g x x-'=，当104x <<时()0g x '>，当14x <时()0g x '<，所以()g x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以max 1()48ln 24g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故()4ln 16848ln 2g b b b =-+≤-，当且仅当14b =时取等号，又(2)()f a g b ≤，则(2)()48ln 2f a g b ==-，此时1ln 2,4a b ==，则19e 244ab +=+=.故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023年上海市杨浦区高考数学二模试卷+答案解析(附后)

2023年上海市杨浦区高考数学二模试卷+答案解析(附后)

2023年上海市杨浦区高考数学二模试卷1. 集合，，则______ .2. 复数的虚部是______ .3. 若在等差数列中，，，则通项公式______.4. 设，则______ .5. 函数的导数是______ .6. 若圆锥的侧面积为，高为4，则圆锥的体积为______ .7. 由函数的观点，不等式的解集是______ .8. 某中学举办思维竞赛，现随机抽取50名参赛学生的成绩制作成频率分布直方图如图估计：学生的平均成绩为______ 分.9.内角A、B、C的对边是a、b、c，若，，，则______ .10. 、分别是双曲线的左右焦点，过的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为______ .11. 若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为______ .12. 已知非零平面向量、、满足，，且，则的最小值是______ .13. 已知a、，则“”是“”的条件.( )A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要14. 对成对数据、、…、用最小二乘法求回归方程是为了使( )A. B.C. 最小D. 最小15. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上严格递减的是( )A. B. C. D.16. 如图，一个由四根细铁杆PA、PB、PC、PD组成的支架、PB、PC、PD按照逆时针排布，若，一个半径为1的球恰好放在支架上与四根细铁杆均有接触，则球心O到点P的距离是( )A. B. C. 2 D.17. 已知一个随机变量X的分布为：已知，求a、b的值；记事件A：X为偶数；事件B：已知，求，，并判断A、B是否相互独立？18. 四边形ABCD是边长为1的正方形，AC与BD交于O点，平面ABCD，且二面角的大小为求点A到平面PBD的距离；求直线AC与平面PCD所成的角.19. 如图，某国家森林公园的一区域OAB为人工湖，其中射线OA、OB为公园边界.已知，以点O为坐标原点，以OB为x轴正方向，建立平面直角坐标系单位：千米曲线AB的轨迹方程为：计划修一条与湖边AB相切于点P的直路宽度不计，直路l与公园边界交于点C、D两点，把人工湖围成一片景区若P点坐标为，计算直路CD的长度；精确到千米若P为曲线不含端点上的任意一点，求景区面积的最小值精确到平方千米20. 已知椭圆C：的右焦点为F，直线l：若F到直线l的距离为，求a；若直线l与椭圆C交于A、B两点，且的面积为，求a；若椭圆C上存在点P，过P作直线l的垂线，垂足为H，满足直线和直线FH的夹角为，求a的取值范围.21.已知数列是由正实数组成的无穷数列，满足，，，写出数列前4项的所有可能取法；判断：是否存在正整数k，满足，并说明理由；为数列的前n项中不同取值的个数，求的最小值.答案和解析1.【答案】【解析】解：，，则故答案为：根据已知条件，结合交集的运算，即可求解．本题主要考查交集的运算，属于基础题．2.【答案】【解析】解：，其虚部为故答案为：根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．本题主要考查合复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．3.【答案】【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，属于基础题.根据所给的，，设出未知数，列出方程，解得首项和公差，写出要求的通项公式．【解答】解：设等差数列的公差为d，，，，，，，故答案为4.【答案】80【解析】解：，则故答案为：利用二项式定理求解第三项的系数．本题考查二项式定理的应用，是基础题．5.【答案】【解析】解：，则故答案为：根据导数的公式即可得到结论．本题主要考查导数的基本运算，比较基础．6.【答案】【解析】解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，则，解得，圆锥的体积为故答案为：设圆锥的底面半径为r，母线为l，根据圆锥侧面积公式以及，列方程组求解r值，再由圆锥体积公式得答案．本题考查圆锥的表面积与体积公式，是基础题．7.【答案】【解析】解：不等式可化为，在同一坐标系内画出和的图象，如图所示：由，得，所以由函数的观点知，不等式的解集是故答案为：不等式化为，在同一坐标系内画出和的图象，利用函数的图象求出不等式的解集．本题考查了函数的图象与性质应用问题，也考查了不等式解法与应用问题，是基础题．8.【答案】107【解析】解：由题意，平均成绩为：分．故答案为：由频率分布直方图，结合平均数的计算公式求解．本题考查频率分布直方图，考查学生计算能力，属于基础题．9.【答案】【解析】解：若，，，则，又，可得，则舍故答案为：由三角形的正弦定理和三角形的边角关系，可得所求角．本题考查三角形的正弦定理，考查转化思想和运算能力，属于基础题．10.【答案】【解析】解：由题意可得，由双曲线的定义可得，又，即，在中由余弦定理可得：，即，即，即故答案为：由双曲线的性质，结合双曲线的定义及双曲线离心率的求法求解即可．本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线的定义及双曲线离心率的求法，属基础题．11.【答案】【解析】解：因为，由，得到，所以或，所以，又因为存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，所以，即且，解得故答案为：利用的图像与性质，直接求出函数的零点，再利用题设条件建立不等关系且，从而求出结果．本题考查了余弦函数的图象和性质，属于中档题．12.【答案】【解析】解：如图，则，已知，即，所以，取BD的中点O，则有，而，根据三角形的三边关系可知，则，所以，当A，O，C三点共线时取等号，记向量的夹角为，则，同理，由，可得，则，当，即时取等号，所以，即的最小值是，故答案为：由向量的运算，数量积与模长的关系，利用三角函数的性质求最值即可．本题考查平面向量的综合运用，关键点在于利用三角形的三边关系得到不等式，进而利用数量积求模长．13.【答案】C【解析】解：，，则是的充要条件．故选：利用立方差公式，再结合充要条件的定义判定即可．本题考查了立方差公式的运用、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.【答案】D【解析】解：最小二乘法又称最小平方法是一种数学优化技术．它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配．利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小．故选：利用最小二乘法求回归方程的定义，判断选项的正误即可．本题考查线性回归直线方程的性质，最小二乘法的定义的应用，是基础题．15.【答案】A【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，，既是偶函数，又在区间上严格递减，符合题意；对于B，，其定义域为，既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意；对于C，，是偶函数，但在区间上严格递增，不符合题意；对于D，，是偶函数，但在区间上严格递增，不符合题意；故选：根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意常见函数的奇偶性和单调性，属于基础题．16.【答案】B【解析】解：由题意，取，由题意得四棱锥是正四棱锥，球的球心O在四棱锥的高PN上；过正四棱锥的棱PA与PC作正四棱锥的轴截面如图所示：由题意可得ABCD是正方形，且，，，，，，，∽，∽，，解得，故选：取，由题意得四棱锥是正四棱锥，球的球心O在四棱锥的高PN上，过正四棱锥的棱PA与PC作正四棱锥的轴截面如图所示，利用平面几何知识即可求解．本题主要考查空间几何体的性质，考查与棱相切的球体，把空间问题平面化，是解题的关键．属中档题．17.【答案】解：由随机变量的分布的性质有，得，又，解得，所以，即，；由题意，，又事件A：X为偶数，所以，所以，由随机变量的分布的性质有，得，又事件B为，所以，所以，因为，所以A与B不相互独立．【解析】根据分布的性质及数学期望列方程直接求解即可；由及分布列的性质求出a、b，进一步求出，，利用两个事件相互独立的定义判断即可．本题考查随机变量分布列的应用，独立事件的判断，属于基础题．18.【答案】解：作于E，平面ABCD，平面ABCD，，，，平面APC，平面ACP，，，，平面BPD，为A到平面PBD的距离，根据二面角的定义知，则，，，解得，点A到平面PBD的距离为；作于F，连接CF，，，，，，平面PAD，平面PAD，，，，平面PCD，为AC与平面PCD所成的角，中，，，得，直线AC与平面PCD所成的角为【解析】作于E，可证平面BPD，求得AE的长即可求得点A到平面PBD的距离；作于F，连接CF，可证为AC与平面PCD所成的角，求解即可．本题考查点到面的距离的求法，考查线面角的求法，属中档题．19.【答案】解：因为，所以，所以，所以由点斜式可得，即，令，解得，令，解得，所以，所以；设，，则由可知，所以CD的直线方程为，整理得，令，解得，令，解得，所以，设，，令，即，解得，令，即，解得，所以函数在单调递减，单调递增，所以，所以景区面积的最小值为【解析】根据导数与切线的关系求解即可；利用切线方程与导数的关系求出点P处的切线方程，从而表示出的面积，再利用导数与单调性和最值的关系即可求解．本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．20.【答案】解：椭圆C：的右焦点为，又F到直线l的距离为，，解得舍去或；设直线l与x轴交于点，与椭圆交于，，，得，由，得，，解得，经检验判别式大于0成立，；若，直线l经过F，此时直线和直线FH的夹角为，不符合题意，若，直线和直线FH的夹角为且，的斜率为0或不存在，又点H在直线上，故或，直线的方程为或，代入椭圆方程可得：或，由或，解得或，综上所述：a的取值范围为【解析】求得右焦点为，利用已知可求a；设直线l与x轴交于点，与椭圆交于，，联立方程组可得，求解即可；若，直线l经过F，此时直线和直线FH的夹角为，不符合题意，若，直线和直线FH的夹角为且，可得直线直线的方程为或，与椭圆联立方程组可求a的取值范围．本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，属中档题．21.【答案】解：，，或，则，或，，，，或，①当时，，或，②当时，，或，数列是由正实数组成的无穷数列，不符合题意，故舍去，数列前4项的所有可能取法有：，，，或，，，或，，，；不存在，理由如下：，或，当时，数列是由正实数组成的无穷数列，，即，或，，当时，数列是由正实数组成的无穷数列，，即，，或不合题意，舍去，综上所述，，，，，不存在正整数k，满足；，，对于任意的，，均可以使用①递推，只有满足时，才可以使用②递推；若，显然有，下一次只能用①递推，即，即②不能连续使用，记且，，若，则；若，则，则，且，，，…，中至少有，，，，…，共51项，即，则举例如下：，数列中3，7，10，3，13，10，23，13，36，23，…，此时，的最小值为【解析】由题意得，或，分类讨论即可得出答案；由题意得，或，结合数列是由正实数组成的无穷数列，可得，即可得出答案；由题意得，对于任意的，，均可以使用①递推，只有满足时，才可以使用②递推，分类讨论即可得出答案．本题考查数列的递推式，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．。

广东省2023年高考数学模拟(二模)试题按题型难易度分层分类汇编(12套)-03解答题(较难题)

广东省2023年高考数学模拟(二模)试题按题型难易度分层分类汇编(12套)-03解答题(较难题)

广东省2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（12套）-03解答题（较难题）一．数列的求和（共1小题）1．（2023•汕头二模）已知各项均为正数的数列{a n}满足：a1＝3，且a n a n+12﹣2（a n2﹣1）a n+1﹣a n＝0，n∈N*．（1）设b n＝a n﹣，求数列{b n}的通项公式；（2）设S n＝a12+a22+…+a n2，T n＝++…+，求S n+T n，并确定最小正整数n，使S n+T n为整数．二．利用导数研究函数的单调性（共1小题）2．（2023•梅州二模）已知函数f（x）＝e x﹣1﹣alnx，其中a∈R．（1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x∈[0，π]时，2f（x+1）﹣cos x≥1恒成立，求实数a的取值范围．三．利用导数研究函数的最值（共6小题）3．（2023•高州市二模）设定义在R上的函数f（x）＝e x﹣ax（a∈R）．（1）若存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜e﹣a成立，求实数a的取值范围；（2）定义：如果实数s，t，r满足|s﹣r|≤|t﹣r|，那么称s比t更接近r．对于（1）中的a 及x≥1，问：和e x﹣1+a哪个更接近lnx？并说明理由．4．（2023•汕头二模）已知函数f（x）＝﹣lnx，，a∈R．（1）若函数g（x）存在极值点x0，且g（x1）＝g（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0＝0；（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，记函数h（x）＝min{f（x），g（x）}（x＞0），若函数h（x）有且仅有三个不同的零点，求实数a的取值范围．5．（2023•潮州二模）已知函数（e是自然对数的底数）有两个零点．（1）求实数a的取值范围；（2）若f（x）的两个零点分别为x1，x2，证明：．6．（2023•广东二模）已知f（x）＝x2﹣ae x，存在x1＜x2＜x3，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝0．（1）求实数a的取值范围；（2）试探究x1+x2+x3与3的大小关系，并证明你的结论．7．（2023•湛江二模）已知函数．（1）求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程．（2）若存在x1≠x2使得f（x1）＝f（x2），证明：（i）m＞0；（ii）2m＞e（lnx1+lnx2）．8．（2023•佛山二模）已知函数，其中a≠0．（1）若f（x）有两个零点，求a的取值范围；（2）若f（x）≥a（1﹣2sin x），求a的取值范围．四．直线与椭圆的综合（共1小题）9．（2023•潮州二模）已知椭圆过点和点A（x0，y0）（x0y0≠0），T的上顶点到直线的距离为2，如图过点A的直线l与x，y轴的交点分别为M，N，且，点A，C关于原点对称，点B，D关于原点对称，且．（1）求|MN|的长度；（2）求四边形ABCD面积的最大值．五．直线与抛物线的综合（共1小题）10．（2023•广东二模）已知A，B是抛物线E：y＝x2上不同的两点，点P在x轴下方，PA 与抛物线E交于点C，PB与抛物线E交于点D，且满足，其中λ是常数，且λ≠1．（1）设AB，CD的中点分别为点M，N，证明：MN垂直于x轴；（2）若点P为半圆x2+y2＝1（y＜0）上的动点，且λ＝2，求四边形ABDC面积的最大值．六．直线与双曲线的综合（共1小题）11．（2023•茂名二模）已知F1，F2分别为双曲线E：＝1（{a＞0，b＞0}）的左、右焦点，P为渐近线上一点，且|PF1|＝|PF2|，cos∠F1PF2＝．（1）求双曲线的离心率；（2）若双曲线E实轴长为2，过点F2且斜率为k的直线l交双曲线C的右支不同的A，B两点，Q为x轴上一点且满足|QA|＝|QB|，试探究是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．七．直线与圆锥曲线的综合（共3小题）12．（2023•高州市二模）在一张纸上有一个圆C：＝4，定点，折叠纸片使圆C上某一点S1好与点S重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ，设折痕PQ与直线S1C的交点为T．（1）求证：||TC|﹣|TS||为定值，并求出点T的轨迹C′方程；（2）设A（﹣1，0），M为曲线C′上一点，N为圆x2+y2＝1上一点（M，N均不在x轴上）．直线AM，AN的斜率分别记为k1，k2，且k2＝﹣，求证：直线MN过定点，并求出此定点的坐标．13．（2023•汕头二模）如图，F1（﹣c，0）、F2（c，0）为双曲线的左、右焦点，抛物线C2的顶点为坐标原点，焦点为F2，设C1与C2在第一象限的交点为P（m，n），且|PF1|＝7，|PF2|＝5，∠PF2F1为钝角．（1）求双曲线C1与抛物线C2的方程；（2）过F2作不垂直于x轴的直线l，依次交C1的右支、C2于A、B、C、D四点，设M 为AD中点，N为BC中点，试探究是否为定值．若是，求此定值；若不是，请说明理由．14．（2023•广州二模）已知点F（1，0），P为平面内一动点，以PF为直径的圆与y轴相切，点P的轨迹记为C．（1）求C的方程；（2）过点F的直线l与C交于A，B两点，过点A且垂直于l的直线交x轴于点M，过点B且垂直于的直线交x轴于点N．当四边形MANB的面积最小时，求l的方程．八．离散型随机变量的期望与方差（共2小题）15．（2023•高州市二模）春节过后，文化和旅游业逐渐复苏，有意跨省游、出境游的旅客逐渐增多．某旅游景区为吸引更多游客，计划在社交媒体平台和短视频平台同时投放宣传广告并进行线上售票，通过近些年的广告数据分析知，一轮广告后，在短视频平台宣传推广后，目标用户购买门票的概率为，在社交媒体平台宣传推广后，目标用户购买门票的概率为q；二轮广告精准投放后，目标用户在短视频平台进行复购的概率为p，在社交媒体平台复购的概率为．（1）记在短视频平台购票的4人中，复购的人数为X，若，试求X的分布列和期望；（2）记在社交媒体平台的3名目标用户中，恰有1名用户购票并复购的概率为P，当P 取得最大值时，q为何值？（3）为优化成本，该景区决定综合渠道投放效果的优劣，进行广告投放战略的调整．已知景区门票100元/人，在短视频平台和社交媒体平台的目标用户分别在90万人和17万人左右，短视频平台和社交媒体平台上的广告投放费用分别为4元/100人和5元/100人，不计宣传成本的景区门票利润率分别是2%和5%，在第（2）问所得q值的基础上，试分析第一次广告投放后，景区在两个平台上的目标用户身上可获得的净利润总额．16．（2023•茂名二模）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈•马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n+1次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第n﹣1，n﹣2，n﹣3，…次状态是“没有任何关系的”．现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球．从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行n（n∈N*）次操作后，记甲盒子中黑球个数为X n，甲盒中恰有1个黑球的概率为a n，恰有2个黑球的概率为b n．（1）求X1的分布列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）求X n的期望．广东省2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（12套）-03解答题（较难题）参考答案与试题解析一．数列的求和（共1小题）1．（2023•汕头二模）已知各项均为正数的数列{a n}满足：a1＝3，且a n a n+12﹣2（a n2﹣1）a n+1﹣a n＝0，n∈N*．（1）设b n＝a n﹣，求数列{b n}的通项公式；（2）设S n＝a12+a22+…+a n2，T n＝++…+，求S n+T n，并确定最小正整数n，使S n+T n为整数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意知，b n+1＝a n+1﹣＝＝＝＝2b n，，∴数列{b n}是公比为2，首项为的等比数列，其通项公式为．（2）由（1）有+…++2n＝（）2+（）2+…（）2+2n＝，n∈N*，为使S n+T n＝，n∈N*，当且仅当为整数．当n＝1，2时，S n+T n不为整数，当n≥3时，4n﹣1＝（1+3）n﹣1＝，∴只需为整数，∵3n﹣1与3互质，∴为9的整数倍，当n＝9时，为整数，故n的最小值为9．二．利用导数研究函数的单调性（共1小题）2．（2023•梅州二模）已知函数f（x）＝e x﹣1﹣alnx，其中a∈R．（1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x∈[0，π]时，2f（x+1）﹣cos x≥1恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）递增区间为（1，+∞），递减区间为（0，1）；（2）（﹣∞，1]．【解答】解：（1）a＝1，f（x）＝e x﹣1﹣lnx，x＞0，则在（0，+∞）上单调递增且f′（1）＝0，所以当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；（2）令g（x）＝2f（x+1）﹣cos x＝2e x﹣2aln（x+1）﹣cos x，x∈[0，π]，所以g′（x）＝+sin x，当a≤0时，g′（x）＞0，则g（x）在[0，π]上单调递增，g（x）≥g（0）＝1，符合题意；当a＞0时，令h（x）＝g′（x），则h′（x）＝＞0，故h（x）即g′（x）在[0，π]上单调递增，又g′（0）＝2﹣2a，（i）当0＜a≤1时，g′（x）≥g′（0）＝2﹣2a≥0，g（x）在[0，π]上单调递增，g （x）≥g（0）＝1，符合题意；（ii）当g'（π）＝2eπ﹣+sinπ≤0，即a≥（π+1）eπ时，对任意的x∈[0，π]，g′（x）≤0，所以g（x）在（0，π）上单调递减，此时g（x）＜g（0）＝2e0﹣2aln1﹣cos0＝1，不合题意．（iii）当1＜a＜（π+1）eπ时，因为g′（x）在[0，π]上单调递增，且g′（0）g′（π）＝（2﹣2a）（2eπ﹣）＜0，所以∃x0∈[0，π]，使g'（x0）＝0，且当x∈（0，x'）时，g'（x）单调递减．此时g（x）＜g（0）＝2e0﹣2aln1﹣cos0＝1，不合题意．综上，实数a的取值范围为（﹣∞，1]．三．利用导数研究函数的最值（共6小题）3．（2023•高州市二模）设定义在R上的函数f（x）＝e x﹣ax（a∈R）．（1）若存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜e﹣a成立，求实数a的取值范围；（2）定义：如果实数s，t，r满足|s﹣r|≤|t﹣r|，那么称s比t更接近r．对于（1）中的a 及x≥1，问：和e x﹣1+a哪个更接近lnx？并说明理由．【答案】（1）（e，+∞）．（2）比e x﹣1+a更接近lnx，理由见解析．【解答】解：（1）因为存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜e﹣a成立，即f（x）min＜e﹣a，由题设知，f'（x）＝e x﹣a，①当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，f（x）在R上单调递增；即f（x）在[1，+∞）单调递增，f（x）min＝f（1）＝e﹣a，不满足f（x）min＜e﹣a，所以a≤0舍去．②当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝lna，当x∈（﹣∞，lna）时f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（lna，+∞）时f'（x）＞0，f （x）单调递增；当a≤e时，f（x）在[1，+∞）单调递增，f（x）min＝f（1）＝e﹣a，不满足f（x）min＜e﹣a，所以a≤e，舍去．当a＞e时，lna＞1，f（x）在（1，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增，所以f （x）min＝f（lna）＜f（1）＝e﹣a成立，故当a＞e时成立．综上：a＞e，即实数a的取值范围是（e，+∞）．（2）令，x≥1，p（x）在[1，+∞）单调递减．因为p（e）＝0，故当1≤x≤e时，p（x）≥p（e）＝0；当x＞e时，p（x）＜0；令q（x）＝e x﹣1+a﹣lnx，x≥1，令，，h（x）在[1，+∞）单调递增，故h（x）≥h（1）＝0，所以q'（x）＝h（x）＞0，则q（x）在[1，+∞）单调递增，所以q（x）≥q（1）＝a+1，由（1）知a＞e，q（x）≥q（1）＝a+1＞0；①当1≤x≤e时，p（x）≥0，q（x）＞0，令，所以，故m（x）在[1，e]单调递减，所以m（x）≤m（1）＝e﹣1﹣a，由（1）知a＞e，所以m（x）≤m（1）＝e﹣1﹣a＜0，即m（x）＝|p（x）|﹣|q（x）|＜0，故|p（x）|＜|q（x）|，所以比e x﹣1+a更接近lnx；②当x＞e时，p（x）＜0，q（x）＞0，令＝，，令，，p（x）在（e，+∞）上单调递减，所以，n'（x）＝p（x）＜0，n（x）在（e，+∞）单调递减，所以n（x）≤n（e）＝1﹣e e﹣1﹣a，由（1）知a＞e，所以n（x）＜n（e）＝1﹣e e﹣1﹣a＜0，即n（x）＝|p（x）|﹣|q（x）|＜0，故|p（x）|＜|q（x）|，所以比e x﹣1+a更接近lnx；综上：当a＞e及x≥1，比e x﹣1+a更接近lnx．4．（2023•汕头二模）已知函数f（x）＝﹣lnx，，a∈R．（1）若函数g（x）存在极值点x0，且g（x1）＝g（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0＝0；（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，记函数h（x）＝min{f（x），g（x）}（x＞0），若函数h（x）有且仅有三个不同的零点，求实数a的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）（）．【解答】（1）证明：由题意，，g'（x）＝3x2﹣a，当a≤0时，g'（x）≥0恒成立，没有极值．当a＞0时，令g'（x）＝0，即3x2﹣a＝0，解之得，，当x∈（﹣∞，x1′）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（x1′，x2′）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（x2′，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增．∴g（x）的极大值为，极小值为，当时，要证x1+2x0＝0，即证，代入计算有，，，则有g（x0）＝g（x1）符合题意，即x1+2x0＝0得证；当时，要证x1+2x0＝0，即证，代入计算有，，，则有g（x0）＝g（x1）符合题意，即x1+2x0＝0得证．综上，当x0为极大值点和极小值点时，x1+2x0＝0均成立．（2）解：①当x∈（1，+∞）时，f（x）＝﹣lnx＜0，∴h（x）＝min{f（x），g（x）}≤f （x）＜0，故函数h（x）在x∈（1，+∞）时无零点；②当x＝1时，f（1）＝0，，若，则g（1）≥0，h（x）＝f（1）＝0，故x＝1是函数h（x）的一个零点；若，则g（1）＜0，∴h（x）＝g（x）＜0，故x＝1时函数h（x）无零点．③当x∈（0，1）时，f（x）＝﹣lnx＞0，因此只需要考虑g（x），由题意，，g'（x）＝3x2﹣a，（一）当a≤0时，g'（x）≥0恒成立，∴g（x）在（0，1）上单调递增，，∴g（x）＞0在x∈（0，1）恒成立，即g（x）在（0，1）内无零点，也即h（x）在（0，1）内无零点；（二）当a≥3时，x∈（0，1），g'（x）＜0恒成立，∴g（x）在（0，1）上单调递减，即g（x）在（0，1）内有1个零点，也即h（x）在（0，1）内有1个零点；（三）a∈（0，3）时，函数g（x）在上单调递减，∴，若，即时，g（x）在（0，1）内无零点，也即h（x）在（0，1）内无零点；若，即时，g（x）在（0，1）内有唯一的一个零点，也即h（x）在（0，1）内有唯一的零点；若，即时，由，，∴时，g（x）在（0，1）内有两个零点．综上所述，当a∈（）时，函数有3个零点．5．（2023•潮州二模）已知函数（e是自然对数的底数）有两个零点．（1）求实数a的取值范围；（2）若f（x）的两个零点分别为x1，x2，证明：．【答案】（1）（e，+∞）；（2）证明见解析．【解答】解：（1）有两个零点，等价于h（x）＝xe x﹣a（lnx+x）＝xe x﹣aln（xe x）（x＞0）有两个零点，令t＝xe x，则t′＝（x+1）e x＞0，在x＞0时恒成立，所以t＝xe x在x＞0时单调递增，所以h（x）＝xe x﹣aln（xe x）有两个零点，等价于g（t）＝t﹣alnt有两个零点，，①当a≤0时，g′（t）＞0，g（t）单调递增，不可能有两个零点；②当a＞0时，令g′（t）＞0，得t＞a，g（t）单调递增，令g′（t）＜0，得0＜t＜a，g（t）单调递减，所以g（t）min＝g（a）＝a﹣alna，若g（a）＞0，得0＜a＜e，此时g（t）＞0恒成立，没有零点；若g（a）＝0，得a＝e，此时g（t）有一个零点；若g（a）＜0，得a＞e，因为g（1）＝1＞0，g（e）＝e﹣a＜0，g（e a）＝e a﹣a2＞0，所以g（t）在（1，e），（e，e a）上各存在一个零点，符合题意，综上，a的取值范围为（e，+∞）．（2）证明：要证只需证，即证，由（1）知，，所以只需证lnt1+lnt2＞2，因为alnt1＝t1，alnt2＝t2，所以a（lnt2﹣lnt1）＝t2﹣t1，a（lnt2+lnt1）＝t2+t1，所以，只需证，设0＜t1＜t2，令，则t＞1，所以只需证即证，令，t＞1，则，h（t）＞h（1）＝0，即当t＞1时，成立，所以lnt1+lnt2＞2，即，即．6．（2023•广东二模）已知f（x）＝x2﹣ae x，存在x1＜x2＜x3，使得f（x1）＝f（x2）＝f （x3）＝0．（1）求实数a的取值范围；（2）试探究x1+x2+x3与3的大小关系，并证明你的结论．【答案】（1）（0，）；（2）x1+x2+x3＞3，证明见解析．【解答】解：（1）由题意得f（x）＝x2﹣ae x有三个零点，所以方程x2﹣ae x＝0有三个根，即方程有三个根，所以函数y＝a与函数的图象有三个公共点，设，则，令g′（x）＞0，解得0＜x＜2；令g′（x）＜0，解得x＜0或x＞2，所以g（x）在（0，2）上单调递增，在（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递减，因为当x→﹣∞时，g（x）→+∞，当x→+∞时，g（x）→0，且g（0）＝0，，所以g（0）＜a＜g（2），所以，即实数a的取值范围为（0，）．（2）x1+x2+x3＞3，证明如下：因为x1＜x2＜x3，由（1）得x1＜0＜x2＜2＜x3，由，得2lnx2﹣x2＝2lnx3﹣x3，设h（x）＝2lnx﹣x，则h（x2）＝h（x3），求导得，令h′（x）＞0，解得0＜x＜2，令h'（x）＜0，解得x＞2，所以h（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，设m（x）＝h（4﹣x）﹣h（x），0＜x＜2，则m（x）＝2ln（4﹣x）﹣4+x﹣2lnx+x＝2ln（4﹣x）﹣2lnx+2x﹣4，0＜x＜2，求导得恒成立，所以m（x）在（0，2）上单调递减，所以m（x）＞m（2）＝0，即h（4﹣x）＞h（x），因为0＜x2＜2，所以h（4﹣x2）＞h（x2）＝h（x3），又因为x3＞2，4﹣x2＞2，h（x）在（2，+∞）上单调递减，所以4﹣x2＜x3，即x2+x3＞4，设且x0＜0，则，因为g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，所以x1＞x0，因为e3＞4，所以，所以，因为g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，所以x0＞﹣1，所以x1＞x0＞﹣1，所以x1+x2+x3＞4﹣1＝3．7．（2023•湛江二模）已知函数．（1）求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程．（2）若存在x1≠x2使得f（x1）＝f（x2），证明：（i）m＞0；（ii）2m＞e（lnx1+lnx2）．【答案】（1）y＝（1﹣m）x+m+；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析．【解答】（1）解：因为f'（x）＝e x﹣1﹣x+1﹣，所以f'（1）＝1﹣m，又f（1）＝，所以曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为y﹣＝（1﹣m）（x﹣1），即y＝（1﹣m）x+m+；（2）证明：（i）依题意可知f'（x）有零点，即m＝x（e x﹣1﹣x+1）有正数解，令φ（x）＝e x﹣1﹣x+1，则φ'（x）＝e x﹣1﹣1．当x∈（0，1）时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增，所以φ（x）≥φ（1）＝1＞0，所以m＞0．（ii）不妨设x1＞x2＞0．由f（x1）＝f（x2）可得m＝，因为x1＞x2，所以lnx1＞lnx2，要证2m＞e（lnx1+lnx2），只要证﹣+x1﹣（lnx1）2＞﹣+x2﹣（lnx2）2，令g（x）＝e x﹣1﹣x2+x﹣（lnx）2，即只要证g（x1）＞g（x2），即只要证y＝g（x）在（0，+∞）上单调递增，即只要证g'（x）＝e x﹣1﹣x+1﹣e•≥0在（0，+∞）上恒成立，即只要证e x﹣1﹣x+1≥e•在（0，+∞）上恒成立．令h（x）＝，则h'（x）＝，当x∈（0，e）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增：当x∈（e，+∞）时，h'（x）＜0，h （x）单调递减，所以h（x）≤h（e）＝l．由（i）知，φ（x）＝e x﹣1﹣x+1≥1在（0，+∞）上恒成立，所以e x﹣1﹣x+1≥1≥在（0，+∞）上恒成立，故2m＞e（lnx1+lnx2）．8．（2023•佛山二模）已知函数，其中a≠0．（1）若f（x）有两个零点，求a的取值范围；（2）若f（x）≥a（1﹣2sin x），求a的取值范围．【答案】（1）（，+∞）；（2）（0，1]．【解答】解：（1）∵有两个零点，∴＝有两个根，设g（x）＝，则g′（x）＝＝，当x＜1时，则g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x＞1时，则g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴当x＝1时，g（x）max＝，当x→+∞时，g（x）→0，当x→﹣∞时，g（x）→﹣∞，∴0＜＜，∴a＞，∴a的取值范围为（，+∞）；（2）设h（x）＝e x﹣3x﹣a（1﹣2sin x），由h（0）≥0，h（）≥0，则0＜a≤1，下面证明：当0＜a≤1时，e x﹣3x﹣a（1﹣2sin x）≥0，即证e x﹣x+2sin x﹣1≥0，设＝b（b≥1），即证b2e x﹣3bx+2sin x﹣1≥0，令t（b）＝b2e x﹣3bx+2sin x﹣1（b≥1），则二次函数的开口向上，对称轴为b＝，由①得，≤＜1，∴t（b）在[1，+∞）单调递增，∴t（b）≥t（1）＝e x﹣3x+2sin x﹣1，下面再证明：e x﹣3x+2sin x﹣1≥0，即证：﹣1≤0，设F（X）＝﹣1，则F′（X）＝，设m（x）＝2﹣3x+2sin x﹣2cos x，则m′（x）＝﹣3+2sin x﹣2cos x＝2sin（x﹣）﹣3＜0，∴m（x）单调递减，且m（0）＝0，则当x＞0时，F′（X）＜0，F（X）单调递减，当x＜0时，F′（X）＞0，F（X）单调递增，∴F（X）≤F（0）＝1﹣1＝0，即﹣1≤0，则e x﹣3x﹣a（1﹣2sin x）≥0，综上，a的取值范围为（0，1]．四．直线与椭圆的综合（共1小题）9．（2023•潮州二模）已知椭圆过点和点A（x0，y0）（x0y0≠0），T的上顶点到直线的距离为2，如图过点A的直线l与x，y轴的交点分别为M，N，且，点A，C关于原点对称，点B，D关于原点对称，且．（1）求|MN|的长度；（2）求四边形ABCD面积的最大值．【答案】（1）3；（2）4．【解答】解：（1）T的上顶点（0，b）到直线的距离，解得b＝1，又椭圆过点，则，解得a2＝4，所以椭圆方程为，因为点A（x0，y0）（x0y0≠0）在椭圆上，所以，由题意直线l的斜率存在，设过点A的直线l方程为y﹣y0＝k（x﹣x0），令x＝0，则y＝y0﹣kx0，令y＝0，则，即，由，得，所以，所以，所以＝；（2）由（1）得直线MN的斜率，因为，所以，所以直线BD的方程为，即2y0x+yx0＝0，联立，解得，所以|x|＝，所以，点A到直线BD的距离，又因，所以，由椭圆的对称性可得四边形S△ABD＝S△CBD，所以四边形ABCD面积，，当且仅当，即时取等号，则，，所以，即四边形ABCD面积的最大值为4．五．直线与抛物线的综合（共1小题）10．（2023•广东二模）已知A，B是抛物线E：y＝x2上不同的两点，点P在x轴下方，PA 与抛物线E交于点C，PB与抛物线E交于点D，且满足，其中λ是常数，且λ≠1．（1）设AB，CD的中点分别为点M，N，证明：MN垂直于x轴；（2）若点P为半圆x2+y2＝1（y＜0）上的动点，且λ＝2，求四边形ABDC面积的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解答】（1）证明：因为，且P，A，C共线，P，B，D共线，所以AB ∥CD，所以直线AB和直线CD的斜率相等，即k AB＝k CD，设，，，，则点M的横坐标，点N的横坐标，由k AB＝k CD，得，因式分解得，约分得x2+x1＝x4+x3，所以，即x M＝x N，所以MN垂直于x轴．（2）解：设P（x0，y0），则，且﹣1≤y0＜0，当λ＝2时，C为PA中点，则，，因为C在抛物线上，所以，整理得，当λ＝2时，D为PB中点，同理得，所以x1，x2是方程的两个根，因为，由韦达定理得x1+x2＝2x0，，所以，所以PM也垂直于x轴，所以，因为，所以＝＝＝，﹣1≤y0＜0，当时，取得最大值，所以，所以四边形ABDC面积的最大值为．六．直线与双曲线的综合（共1小题）11．（2023•茂名二模）已知F1，F2分别为双曲线E：＝1（{a＞0，b＞0}）的左、右焦点，P为渐近线上一点，且|PF1|＝|PF2|，cos∠F1PF2＝．（1）求双曲线的离心率；（2）若双曲线E实轴长为2，过点F2且斜率为k的直线l交双曲线C的右支不同的A，B两点，Q为x轴上一点且满足|QA|＝|QB|，试探究是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）e＝2．（2）证明见解析．【解答】解：（1）由|PF1|＝|PF2|，可设|PF1|＝x，|PF2|＝x，在△PF1F2中cos∠F1PF2＝，∴|F1F2|2＝7x2+3x2﹣2x•x＝4x2，即|F1F2|＝2x，∴|PF1|2＝|PF2|2+|F1F2|2，∴△PF1F2为直角三角形，∴在△OPR2中，PF2⊥OF2，|PF2|＝x，|OF2|＝x，＝，则双曲线的离心率为e＝＝＝＝2．（2）在双曲线中＝，且实轴长为2，所以a＝1，b＝，所以双曲线E方程为．由F2（2，0），故设斜率为k的直线l为y＝k（x﹣2），y＝k（x﹣2）代入．可得（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3＝0，∵直线l与双曲线右支交于不同两点，∴，解得k2≥3，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝，则＝，＝k（﹣2）＝，即A，B的中点坐标为（，），因为Q为x轴上一点，满足|QA|＝|QB|，故Q为AB的垂直平分线与x轴的交点，AB的垂直平分线的方程为：y﹣＝﹣（x﹣﹣），令y＝0，则得x＝，即Q（，0），∴|QF2|＝|﹣﹣2|＝，又|AB|＝＝•＝，又因为A，B在双曲线的右支上，故|AF1|﹣|AF2|＝2a＝2，|BF1|﹣|BF2|＝2，故|AF1|+|BF1|﹣|AF2|﹣|BF2|＝4，即|AF1|+|BF1|﹣4＝|AB|，故＝＝＝2，即为定值．七．直线与圆锥曲线的综合（共3小题）12．（2023•高州市二模）在一张纸上有一个圆C：＝4，定点，折叠纸片使圆C上某一点S1好与点S重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ，设折痕PQ与直线S1C的交点为T．（1）求证：||TC|﹣|TS||为定值，并求出点T的轨迹C′方程；（2）设A（﹣1，0），M为曲线C′上一点，N为圆x2+y2＝1上一点（M，N均不在x轴上）．直线AM，AN的斜率分别记为k1，k2，且k2＝﹣，求证：直线MN过定点，并求出此定点的坐标．【答案】（1）||TC|﹣|TS||＝2，点T的轨迹C′的方程：；（2）直线MN过定点T（1，0），证明见解析．【解答】解：（1）证明：由题意得|TS|＝|TS1|，所以，即T的轨迹是以C，S为焦点，实轴长为2的双曲线，即点T的轨迹C′的方程：；（2）证明：由已知得直线AM的方程：y＝k1（x+1），直线AN的方程：y＝k2（x+1），联立直线方程与双曲线方程，消去y，整理可得，由韦达定理得，所以，即，所以，联立直线方程与圆方程，消去y，整理得，由韦达定理得，所以，即，因为，即，所以，若直线MN所过定点，则由对称性得定点在x轴上，设定点T（t，0），由三点共线得k MT＝k NT，即，，解得t＝1，所以直线MN过定点T（1，0）．13．（2023•汕头二模）如图，F1（﹣c，0）、F2（c，0）为双曲线的左、右焦点，抛物线C2的顶点为坐标原点，焦点为F2，设C1与C2在第一象限的交点为P（m，n），且|PF1|＝7，|PF2|＝5，∠PF2F1为钝角．（1）求双曲线C1与抛物线C2的方程；（2）过F2作不垂直于x轴的直线l，依次交C1的右支、C2于A、B、C、D四点，设M 为AD中点，N为BC中点，试探究是否为定值．若是，求此定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）是定值．【解答】解：（1）由双曲线的定义可知：|PF1|﹣|PF2|＝7﹣5＝2a⇒a＝1，设抛物线方程为：y2＝2px，则由题意可得，即y2＝4cx；由抛物线定义可得：，代入抛物线方程得：，代入双曲线方程得：，故双曲线方程为：；抛物线方程为：y2＝8x；（2）由题意可设l：x＝ky+2，点A、B、C、D的纵坐标依次为y1、y2、y3、y4，分别联立直线l与双曲线、抛物线方程可得：，化简整理可得，（3k2﹣1）y2+12ky+9＝0、y2﹣8ky﹣16＝0，由双曲线性质可得：，故有，因为M、N分别为AD、BC的中点，故其纵坐标依次为：，所以＝是定值．14．（2023•广州二模）已知点F（1，0），P为平面内一动点，以PF为直径的圆与y轴相切，点P的轨迹记为C．（1）求C的方程；（2）过点F的直线l与C交于A，B两点，过点A且垂直于l的直线交x轴于点M，过点B且垂直于的直线交x轴于点N．当四边形MANB的面积最小时，求l的方程．【答案】（1）y2＝4x．（2）x±y﹣＝0．【解答】解：（1）设点P（x，y），以PF为直径的圆的圆心为M，⊙M的半径为r，设⊙M与y轴相切于点N，过点P作PQ⊥y轴，垂足为Q，则r＝|MN|＝＝，|PF|＝2r＝x+1，∴点P到点F的距离等于点P到直线x＝﹣1的距离，∴点P的轨迹为以点F为焦点，直线x＝﹣1为准线的抛物线，∴C的方程为y2＝4x．（2）由题意直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化为k2x2﹣2（k2+2）x+k2＝0，则x1+x2＝，x1x2＝1，设直线l的倾斜角为θ，则|AM|＝|AF||tanθ|，|BN|＝|BF||tanθ|，∴|AM|+|BN|＝|AF||tanθ|+|BF||tanθ|＝|AB||tanθ|＝k|AB|，又|AB|＝|AF|+|BF|＝x1+1+x2+1＝．∴梯形MANB的面积S＝＝＝＝，令t＝|k|∈（0，+∞），则S（t）＝8（t++），S′（t）＝8（1﹣﹣）＝，∴t∈（0，）时，S′（t）＜0，此时函数S（t）单调递减；t∈（，+∞）时，S′（t）＞0，此时函数S（t）单调递增．∴t＝|k|＝时，即k＝±时，四边形MANB的面积S取得极小值即最小值，此时直线l的方程为：y＝±（x﹣1），即x±y﹣＝0．八．离散型随机变量的期望与方差（共2小题）15．（2023•高州市二模）春节过后，文化和旅游业逐渐复苏，有意跨省游、出境游的旅客逐渐增多．某旅游景区为吸引更多游客，计划在社交媒体平台和短视频平台同时投放宣传广告并进行线上售票，通过近些年的广告数据分析知，一轮广告后，在短视频平台宣传推广后，目标用户购买门票的概率为，在社交媒体平台宣传推广后，目标用户购买门票的概率为q；二轮广告精准投放后，目标用户在短视频平台进行复购的概率为p，在社交媒体平台复购的概率为．（1）记在短视频平台购票的4人中，复购的人数为X，若，试求X的分布列和期望；（2）记在社交媒体平台的3名目标用户中，恰有1名用户购票并复购的概率为P，当P 取得最大值时，q为何值？（3）为优化成本，该景区决定综合渠道投放效果的优劣，进行广告投放战略的调整．已知景区门票100元/人，在短视频平台和社交媒体平台的目标用户分别在90万人和17万人左右，短视频平台和社交媒体平台上的广告投放费用分别为4元/100人和5元/100人，不计宣传成本的景区门票利润率分别是2%和5%，在第（2）问所得q值的基础上，试分析第一次广告投放后，景区在两个平台上的目标用户身上可获得的净利润总额．【答案】（1）分布列见解析；当时，期望为1；当时，期望为3；（2）；（3）805500元．【解答】解：（1）由题意得，在短视频平台购票的人中，复购概率为p，复购的人数X 满足二项分布，即X～B（4，p），故，故或．又知X的所有可能取值为0，1，2，3，4，①当时，，，P（X＝2）＝，，P（X＝4）＝＝，所以X得分布列为：X01234P此时数学期望E（X）＝＝1．②p＝时，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2}＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，所以X得分布列为：X01234P此时数学期望E（X）＝4×＝3．（2）设在社交媒体平台的目标用户购票并复购的概率为q1，由题得，．，，令P′＝0，得或1，所以时，P′＞0，函数P单调递增，当时，P′＜0，函数P单调递减．故当取得最大值．由可得，．（3）短视频平台：（元），社交媒体平台：（元），净利润总额：364000+441500＝805500（元）．故景区在两个平台上的目标用户身上可获得的净利润总额为805500元．16．（2023•茂名二模）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈•马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n+1次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第n﹣1，n﹣2，n﹣3，…次状态是“没有任何关系的”．现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球．从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行n（n∈N*）次操作后，记甲盒子中黑球个数为X n，甲盒中恰有1个黑球的概率为a n，恰有2个黑球的概率为b n．（1）求X1的分布列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）求X n的期望．【答案】（1）X1的分布列如下表：X1012P（2）a n＝+；（3）1．【解答】解：（1）由题可知，X1的可能取值为0，1，2，由相互独立事件概率乘法公式可知：P（X1＝0）＝，P（X1＝1）＝，P（X1＝2）＝＝，故X1的分布列如下表：X1012P（2）由全概率公式可知：P（X n+1＝1）＝P（X n＝1）P（X n+1＝1|X n＝1）+P（X n＝2）P（X n+1＝1|X n＝2）+P（X n＝0）P（X n+1＝1|X n＝0）＝（）P（X n＝1）+（）P（X n＝2）+（1×）P（X n＝0）＝P（X n＝1）+P（X n＝2）+P（X n＝0），即：a n+1＝，所以a n+1＝，所以a n+1﹣＝（），又a1＝P（X1＝1）＝，所以，数列{}是以为首项，以为公比的等比数列，所以＝，即：a n＝+．（3）由全概率公式可得：P（X n+1＝2）＝P（X n＝1）P（X n+1＝2|X n＝1）+P（X n＝2）P （X n+1＝2|X n＝2）+P（X n＝0）P（X n+1＝2|X n＝0）＝（）P（X n＝1）+（）P（X n＝2）+0×P（X n＝0），即：b n+1＝+，又a n＝+，所以b n+1＝+，所以b n+1﹣+＝，又b1＝P（X1＝2）＝，所以＝＝0，所以b n﹣+＝0，所以，所以E（X n）＝a n+2b n+0×（1﹣a n﹣b n）＝a n+2b n＝1．。

2020北京各区高三一模二模数学分类汇编—导数

2020北京各区高三一模二模数学分类汇编—导数

2020北京各区高三一模二模数学分类汇编—导数一、解答题（共33小题）1．（2020•朝阳区二模）已知函数f（x）＝2sin x﹣x cos x﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为1．（i）求a的值；（ii）证明：函数f（x）在区间（0，π）内有唯一极值点；（Ⅱ）当a≤1时，证明：对任意x∈（0，π），f（x）＞0．2．（2020•西城区二模）设函数f（x）＝axlnx，其中a∈R，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点（3，2）．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）证明：f（x）＞﹣．3．（2020•房山区二模）已知函数f（x）＝．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅲ）求证：当x∈（﹣，）时，f（x）≥2．4．（2020•东城区二模）已知f（x）＝e x+sin x+ax（a∈R）．（Ⅰ）当a＝﹣2时，求证：f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；（Ⅱ）若对任意x≥0，f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若f（x）有最小值，请直接给出实数a的取值范围．5．（2020•丰台区二模）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）求证：当x∈（0，+∞）时，；（Ⅲ）当x＞0时，若曲线y＝f（x）在曲线y＝ax2+1的上方，求实数a的取值范围．6．（2020•昌平区二模）已知函数f（x）＝﹣ax+a，a∈R．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程；（Ⅱ）求函数y＝f（x）的单调区间；（Ⅲ）当x∈（0，2）时，比较f（x）与﹣|1﹣a|的大小．7．（2020•海淀区二模）已知函数f（x）＝e x（sin x+cos x）．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求证：曲线y＝f（x）在区间（0，）上有且只有一条斜率为2的切线．8．（2020•密云区二模）已知函数f（x）＝x﹣alnx，a∈R．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线f（x）在x＝1处的切线方程；（Ⅱ）设函数h（x）＝f（x）+，试判断函数h（x）是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．（Ⅲ）当x＞0时，写出xlnx与x2﹣x的大小关系．9．（2020•大兴区一模）已知函数．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：函数f（x）有且只有一个零点．10．（2020•东城区一模）已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）（a∈R）．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a＞1，求f（x）在区间（0，2a]上的最小值．11．（2020•海淀区一模）已知函数f（x）＝e x+ax．（Ⅰ）当a＝﹣1时，①求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；②求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）求证：当a∈（﹣2，0）时，曲线y＝f（x）与y＝1﹣lnx有且只有一个交点．12．（2020•通州区一模）已知函数f（x）＝（x﹣a）e x+x+a，设g（x）＝f'（x）．（Ⅰ）求g（x）的极小值；（Ⅱ）若f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．13．（2020•怀柔区一模）已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝e x．（Ⅰ）求y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当x＞0时，证明：f（x）＜x＜g（x）；（Ⅲ）判断曲线f（x）与g（x）是否存在公切线，若存在，说明有几条，若不存在，说明理由．14．（2020•丰台区一模）已知函数f（x）＝（x+a）lnx﹣x+1．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率为1，求实数a的值；（Ⅱ）当a＝0时，求证：f（x）≥0；（Ⅲ）若函数f（x）在区间（1，+∞）上存在极值点，求实数a的取值范围．15．（2020•朝阳区一模）已知函数．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）判断函数f（x）的零点的个数，并说明理由；（Ⅲ）设x0是f（x）的一个零点，证明曲线y＝e x在点处的切线也是曲线y＝lnx的切线．16．（2020•房山区一模）已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+2．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若a＞0，设函数g（x）＝|f（x）|，g（x）在[﹣1，1]上的最大值不小于3，求a的取值范围．17．（2020•顺义区二模）已知函数f（x）＝e x﹣ax2，a∈R．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点A（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当a＝﹣1时，试写出方程f（x）＝1根的个数．（只需写出结论）18．（2020•石景山区一模）已知函数，f（x）＝x2（x＞0），g（x）＝alnx（a＞0）．（Ⅰ）若f（x）＞g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＝1时，过f（x）上一点（1，1）作g（x）的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由．19．（2020•密云区一模）已知函数f（x）＝e x（ax+1），a∈R．（I）求曲线y＝f（x）在点M（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）判断函数f（x）的零点个数．20．（2020•朝阳区模拟）已知函数f（x）＝e x﹣ax2（a∈R）．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a；（Ⅱ）已知f（x）在[0，1]上的最大值不小于2，求a的取值范围；（Ⅲ）写出f（x）所有可能的零点个数及相应的a的取值范围．（请直接写出结论）21．（2020•东城区校级模拟）设函数f（x）＝me x﹣x2+3，其中m∈R．（Ⅰ）如果f（x）同时满足下面三个条件中的两个：①f（x）是偶函数；②m＝1；③f（x）在（0，1）单调递减．指出这两个条件，并求函数h（x）＝xf（x）的极值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[﹣2，4]上有三个零点，求m的取值范围．22．（2020•西城区一模）设函数f（x）＝alnx+x2﹣（a+2）x，其中a∈R．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处切线的倾斜角为，求a的值；（Ⅱ）已知导函数f'（x）在区间（1，e）上存在零点，证明：当x∈（1，e）时，f（x）＞﹣e2．23．（2020•延庆区一模）已知函数f（x）＝，其中a≠0．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在原点处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，求a的取值范围．24．（2020•门头沟区一模）已知函数f（x）＝sin x+lnx﹣1．（Ⅰ）求f（x）在点（，f（））处的切线方程；（Ⅱ）求证：f（x）在（0，π）上存在唯一的极大值；（Ⅲ）直接写出函数f（x）在（0，2π）上的零点个数．25．（2020•平谷区一模）已知函数，其中a∈R．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在（1，f（1））的切线方程；（Ⅱ）求证：f（x）的极大值恒大于0．26．（2020•顺义区一模）已知函数f（x）＝x2﹣2alnx，其中a∈R．（Ⅰ）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）存在最小值Q，求证：Q≤1．27．（2020•西城区模拟）设函数f（x）＝ae x+cos x，其中a∈R．（Ⅰ）已知函数f（x）为偶函数，求a的值；（Ⅱ）若a＝1，证明：当x＞0时，f（x）＞2；（Ⅲ）若f（x）在区间[0，π]内有两个不同的零点，求a的取值范围．28．（2020•北京模拟）已知函数f（x）＝+a2x+alnx，实数a＞0．（1）讨论函数f（x）在区间（0，10）上的单调性；（2）若存在x∈（0，+∞），使得关于x的不等式f（x）＜2+a2x成立，求实数a的取值范围．29．（2020•海淀区校级模拟）已知函数f（x）＝x+alnx．（Ⅰ）求f（x）在（1，f（1））处的切线方程（用含a的式子表示）（Ⅱ）讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：．30．（2020•北京模拟）已知函数f（x）＝e x（x﹣1）﹣e a x2，a＜0．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的极小值；（Ⅲ）求函数f（x）的零点个数．31．（2020•北京模拟）已知函数，其中a＞﹣1（1）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；）若对于）＝+≤，求实数）＝﹣）≤解集为空集．。

高三理科数学二轮复习专题能力提升训练：函数、导数、不等式的综合问题(含答案解析).pdf

高三理科数学二轮复习专题能力提升训练：函数、导数、不等式的综合问题(含答案解析).pdf

训练　函数、导数、不等式的综合问题 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(aR)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)等于( )． A. B．－ C. D．－或 2．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为( )． A．1 B. C. D. 3．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，xR，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是( )． A. B. C. D. 4．已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x2－aln x在(1,2)上为增函数，则a的值等于( )． A．1 B．2 C．0 D. 5．设aR，若函数y＝eax＋3x，xR有大于零的极值点，则( )． A．a＞－3 B． a＜－3 C．a＞－ D．a＜－ 二、填空题(每小题5分，共15分) 6．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于________． 7．函数f(x)＝x3－x2＋ax－5在区间[－1,2]上不单调，则实数a的范围是________． 8．关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________． 三、解答题(本题共3小题，共35分) 9．(11分)已知函数f(x)＝x3－x2＋bx＋a.(a，bR)的导函数f′(x)的图象过原点． (1)当a＝1时，求函数f(x)的图象在x＝3处的切线方程； (2)若存在x＜0，使得f′(x)＝－9，求a的最大值． 10．(12分)已知a，b为常数，且a≠0，函数f(x)＝－ax＋b＋axln x，f(e)＝2(e＝2.718 28…是自然对数的底数)． (1)求实数b的值； (2)求函数f(x)的单调区间； (3)当a＝1时，是否同时存在实数m和M(m＜M)，使得对每一个t[m， M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由． 11．(12分)已知f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3. (1)求函数f(x)在[t，t＋2](t＞0)上的最小值； (2)对一切的x(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围； (3)证明：对一切x(0，＋∞)，都有ln x＞－.参考答案 1．D　[f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，f′(x)的图象开口向上，若图象不过原点，则a＝0时，f(－1)＝，若图象过原点，则a2－1＝0，又对称轴x＝－a＞0，a＝－1，f(－1)＝－.] 2．D　[|MN|的最小值，即函数h(x)＝x2－ln x的最小值，h′(x)＝2x－＝，显然x＝是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t＝.] 3．A　[因为函数f(x)＝x4－2x3＋3m，所以f′(x)＝2x3－6x2，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)＝3m－，不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，所以3m－≥－9，解得m≥.] 4．B　[函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，≥1，得a≥2.又g′(x)＝2x－，依题意g′(x)≥0在x(1,2)上恒成立，得2x2≥a在x(1, 2)上恒成立，有a≤2，a＝2.] 5．B　[令f(x)＝eax＋3x，可求得f′(x)＝3＋aeax，若函数在xR上有大于零的极值点，即f′(x)＝3＋aeax＝0有正根．当f′(x)＝3＋aeax＝0成立时，显然有a＜0，此时x＝ln.由x＞0，解得a＜－3，a的取值范围为(－∞，－3)．] 6．解析　由题得f′ (x)＝12x2－2ax－2b＝0，f′(1)＝12－2a－2b＝0，a＋b＝6.a＋b≥2，6≥2，ab≤9，当且仅当a＝b＝3时取到最大值． 答案　9 7．解析　f(x)＝x3－x2＋ax－5，f′(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1，如果函数f(x)＝x3－x2＋ax－5在区间[－1,2]上单调，那么a－1≥0或f′(－1)＝3＋a≤0且f′(2)＝a≤0，a≥1或a≤－3.于是满足条件的a(－3,1)． 答案　(－3,1) 8．解析　由题意知使函数f(x)＝x3－3x2－a的极大值大于0且极小值小于0即可，又f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0得，x1＝0，x2＝2，当x＜0时，f′(x)＞0；当0＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0，所以当x＝0时，f(x)取得极大值，即f(x)极大值＝f(0)＝－a；当x＝2时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值＝f(2)＝－4－a，所以，解得－4＜a＜0. 答案　(－4,0) 9．解　由已知，得f′(x)＝x2－(a＋1)x＋b. 由f′(0)＝0，得b＝0，f′(x)＝x(x－a－1)． (1)当a＝1时，f(x)＝x3－x2＋1，f′(x)＝x(x－2)，f(3)＝1， f′(3)＝3. 所以函数f(x)的图象在x＝3处的切线方程为y－1＝3(x－3)， 即3x－y－8＝0. (2)存在x＜0，使得f′(x)＝x(x－a－1)＝－9，－a－1＝－x－＝(－x)＋≥2＝6，a≤－7，当且仅当x＝－3时，a＝－7. 所以a的最大值为－7. 10．解　(1)由f(e)＝2，得b＝2. (2)由 (1)可得f(x)＝－ax＋2＋axln x. 从而f′(x)＝aln x. 因为a≠0，故 当a＞0时，由f′(x)＞0，得x＞1，由f′(x)＜0得， 0＜x＜1； 当a＜0时，由f′(x)＞0，得0＜x＜1，由f′(x)＜0得，x＞1. 综上，当a＞0时，函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)；当a＜0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (3)当a＝1时，f(x)＝－x＋2＋xln x，f′(x)＝ln x. 由(2)可得，当x在区间内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x1(1，e)ef′(x) －0 ＋f(x)2－单调递减极小值1单调递增2又2－＜2， 所以函数f(x)的值域为[1,2]． 据此可得，若则对每一个t[m，M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)都有公共点； 并且对每一个t(－∞，m)(M，＋∞)，直线y＝t与曲线y＝f(x)都没有公共点． 综上，当a＝1时，存在最小的实数m＝1，最大的实数M＝2，使得对每一个t[m，M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)都有公共点． 11．(1)解　f′(x)＝ln x＋1. 当x时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当x时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． 则当0＜t＜t＋2＜时，t无解； 当0＜t＜＜t＋2，即0＜t＜时， [f(x)]min＝f＝－； 当≤t＜t＋2，即t≥时， f(x)在[t，t＋2]上单调递增． 所以[f(x)]min＝f(t)＝tln t.所以[f(x)]min＝ (2)解　2f(x)≥g(x)，即2xln x≥－x2＋ax－3， 则a≤2ln x＋x＋.设h(x)＝2ln x＋x＋(x＞0)， h′(x)＝. 当x(0,1)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减； 当x(1，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增． 所以[h(x)]min＝h(1)＝4.因为对一切x(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立， 所以a≤[h(x)] min＝4.故实数a的取值范围是(－∞，4]． (3)证明　问题等价于证明xln x＞－，x(0，＋∞)． 由(1)可知f(x)＝xln x，x(0，＋∞)的最小值为－， 当且仅当x＝时取得．设m(x)＝－，x(0，＋∞)，则m′(x)＝，易得[m(x)]max＝m(1)＝－. 从而对一切x(0，＋∞)，都有ln x＞－成立．。

广东省2023年高考数学模拟(二模)试题按题型难易度分层分类汇编(12套)-01选择题(提升题)

广东省2023年高考数学模拟(二模)试题按题型难易度分层分类汇编(12套)-01选择题(提升题)

广东省2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（12套）-01选择题（提升题）一．命题的真假判断与应用（共1小题）（多选）1．（2023•茂名二模）如图所示，有一个棱长为4的正四面体P﹣ABC容器，D是PB的中点，E是CD上的动点，则下列说法正确的是（ ）A．若E是CD的中点，则直线AE与PB所成角为B．△ABE的周长最小值为C．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为D．如果在这个容器中放入10个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为二．函数的最值及其几何意义（共1小题）2．（2023•茂名二模）黎曼函数R（x）是由德国数学家黎曼发现并提出的，它是一个无法用图象表示的特殊函数，此函数在高等数学中有着广泛的应用，R（x）在[0，1]上的定义为：当（p＞q，且p，q为互质的正整数）时，；当x＝0或x＝1或x为（0，1）内的无理数时，R（x）＝0，则下列说法错误的是（ ）A．R（x）在[0，1]上的最大值为B．若a，b∈[0，1]，则R（a•b）≥R（a）•R（b）C．存在大于1的实数m，使方程有实数根D．∀x∈[0，1]，R（1﹣x）＝R（x）三．抽象函数及其应用（共1小题）（多选）3．（2023•高州市二模）已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣1﹣x）＝f（7+x），函数f（x+2）﹣1为奇函数，且对∀a，b∈[2，3]，当a≠b时，都有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a）．函数与函数f（x）的图象交于点（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），给出以下结论，其中正确的是（ ）A．f（2022）＝2022B．函数f（x+1）为偶函数C．函数f（x）在区间[4，5]上单调递减D．四．对数值大小的比较（共1小题）4．（2023•广东二模）已知，，，则（参考数据：ln2≈0.7）（ ）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞a＞b五．三角函数的周期性（共1小题）（多选）5．（2023•广东二模）已知f（x）＝cos x+tan x，则下列说法正确的是（ ）A．f（x）是周期函数B．f（x）有对称轴C．f（x）有对称中心D．f（x）在上单调递增六．正弦函数的图象（共1小题）6．（2023•佛山二模）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（|φ|＜），若存在x1，x2，x3∈（0，），且x3﹣x2＝2（x2﹣x1）＝4x1，使f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＞0，则φ的值为（ ）A．B．C．D．七．函数的零点与方程根的关系（共1小题）（多选）7．（2023•茂名二模）已知f（x）＝，若关于x的方程4ef2（x）﹣af（x）+＝0恰好有6个不同的实数解，则a的取值可以是（ ）A．B．C．D．八．函数与方程的综合运用（共2小题）8．（2023•韶关二模）定义||x ||（x ∈R ）为与x 距离最近的整数（当x 为两相邻整数算术平均数时，||x ||取较大整数），令函数f （x ）＝||x ||，如：，，，，则＝（ ）A ．17B ．C ．19D ．9．（2023•潮州二模）已知函数f （x ）＝|sin x |，g （x ）＝kx （k ＞0），若f （x ）与g （x ）图像的公共点个数为n ，且这些公共点的横坐标从小到大依次为x 1，x 2，…，x n ，则下列说法正确的是（ ）A ．若n ＝1，则k ＞1B ．若n ＝3，则C ．若n ＝4，则x 1+x 4＞x 2+x 3D ．若，则n ＝2023九．数列递推式（共1小题）（多选）10．（2023•高州市二模）已知数列{p n }和{q n }满足：p 1＝1，q 1＝2，p n +1＝p n +3q n ，q n +1＝2p n +q n ，n ∈N *，则下列结论错误的是（ ）A ．数列是公比为的等比数列B ．仅有有限项使得C ．数列是递增数列D ．数列是递减数列一十．利用导数研究函数的单调性（共3小题）11．（2023•广州二模）已知偶函数f （x ）与其导函数f '（x ）的定义域均为R ，且f '（x ）+e ﹣x +x也是偶函数，若f （2a ﹣1）＜f （a +1），则实数a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，2）B ．（0，2）C ．（2，+∞）D ．（﹣∞，0）∪（2，+∞）12．（2023•深圳二模）已知ε＞0，，且e x +εsin y ＝e y sin x ，则下列关系式恒成立的为（ ）A ．cos x ≤cos yB ．cos x ≥cos yC ．sin x ≤sin yD ．sin x ≥sin y（多选）13．（2023•佛山二模）已知函数f（x）＝e x﹣﹣1，对于任意的实数a，b，下列结论一定成立的有（ ）A．若a+b＞0，则f（a）+f（b）＞0B．若a+b＞0，则f（a）﹣f（﹣b）＞0C．若f（a）+f（b）＞0，则a+b＞0D．若f（a）+f（b）＜0，则a+b＜0一十一．利用导数研究函数的最值（共1小题）14．（2023•湛江二模）对于两个函数与，若这两个函数值相等时对应的自变量分别为t1，t2，则t2﹣t1的最小值为（ ）A．﹣1B．﹣ln2C．1﹣ln3D．1﹣2ln2一十二．平面向量数量积的性质及其运算（共1小题）（多选）15．（2023•潮州二模）设向量，则（ ）A．B．C．D．在上的投影向量为（1，0）一十三．三角形中的几何计算（共1小题）（多选）16．（2023•汕头二模）在△ABC中，已知AB＝2，AC＝5，∠BAC＝60°，BC，AC 边上的两条中线AM，BN相交于点P，下列结论正确的是（ ）A．B．C．∠MPN的余弦值为D．一十四．棱柱、棱锥、棱台的体积（共1小题）（多选）17．（2023•汕头二模）已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为r（0＜r＜2），设圆台的体积为V，则下列选项中说法正确的是（ ）A．当r＝1时，B．V存在最大值C．当r在区间（0，2）内变化时，V逐渐减小D．当r在区间（0，2）内变化时，V先增大后减小一十五．空间中直线与平面之间的位置关系（共1小题）（多选）18．（2023•广东二模）已知直线m与平面α有公共点，则下列结论一定正确的是（ ）A．平面α内存在直线l与直线m平行B．平面α内存在直线l与直线m垂直C．存在平面γ与直线m和平面α都平行D．存在过直线m的平面β与平面α垂直一十六．直线与平面所成的角（共1小题）（多选）19．（2023•潮州二模）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，点P满足，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则下列结论正确的是（ ）A．当B1P∥平面A1BD时，B1P与CD1可能为B．当λ＝μ时，的最小值为C．若B1P与平面CC1D1D所成角为，则点P的轨迹长度为D．当λ＝1时，正方体经过点A1、P、C的截面面积的取值范围为一十七．二面角的平面角及求法（共1小题）（多选）20．（2023•佛山二模）四面体ABCD中，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝3，BD＝2，CD ＝4，平面ABD与平面BCD的夹角为，则AC的值可能为（ ）A．B．C．D．一十八．点、线、面间的距离计算（共2小题）（多选）21．（2023•梅州二模）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为边AD 的中点，点P为线段D1B上的动点，设D1P＝λD1B，则（ ）A．当时，EP∥平面AB1CB．当时，|PE|取得最小值，其值为C．|PA|+|PC|的最小值为D．当C1∈平面CEP时，（多选）22．（2023•广州二模）已知正四面体A﹣BCD的长为2，点M，N分别为△ABC和△ABD的重心，P为线段CN上一点，则下列结论正确的是（ ）A．若AP+BP取得最小值，则CP＝PNB．若CP＝3PN，则DP⊥平面ABCC．若DP⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为D．直线MN到平面ACD的距离为一十九．直线与圆的位置关系（共1小题）23．（2023•潮州二模）已知圆M：x2+y2﹣4x+3＝0，则下列说法正确的是（ ）A．点（4，0）在圆M内B．若圆M与圆x2+y2﹣4x﹣6y+a＝0恰有三条公切线，则a＝9C．直线与圆M相离D．圆M关于4x+3y﹣2＝0对称二十．椭圆的性质（共3小题）24．（2023•高州市二模）若椭圆的离心率为，两个焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0），M为椭圆C上异于顶点的任意一点，点P是△MF1F2的内心，连接MP并延长交F1F2于点Q，则＝（ ）A．2B．C．4D．25．（2023•韶关二模）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段AB，且AB过椭圆的下焦点，AB＝44米，桥塔最高点P距桥面110米，则此椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D．26．（2023•深圳二模）设椭圆C：）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F1.若点F2关于l的对称点P恰好在椭圆C上，且，则C 的离心率为（ ）A．B．C．D．二十一．抛物线的性质（共1小题）（多选）27．（2023•深圳二模）设抛物线C：y＝x2的焦点为F，过抛物线C上不同的两点A，B分别作C的切线，两条切线的交点为P，AB的中点为Q，则（ ）A．PQ⊥x轴B．PF⊥AB C．∠PFA＝∠PFB D．|AF|+|BF|＝2|PF|二十二．直线与抛物线的综合（共1小题）（多选）28．（2023•高州市二模）阿波罗尼奥斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．其中给出了抛物线一条经典的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．此性质可以解决线段和的最值问题，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），M是抛物线C上的动点，焦点，N（4，2），下列说法正确的是（ ）A．C的方程为y2＝x B．C的方程为y2＝2xC．|MF|+|MN|的最小值为D．|MF|+|MN|的最小值为二十三．直线与双曲线的综合（共1小题）（多选）29．（2023•广州二模）已知双曲线Γ：x2﹣y2＝a2（a＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与双曲线Γ的右支交于点B，C，与双曲线Γ的渐近线交于点A，D（A，B在第一象限，C，D在第四象限），O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）A．若BC⊥x轴，则△BCF1的周长为6aB．若直线OB交双曲线Γ的左支于点E，则BC∥EF1C．△AOD面积的最小值为4a2D．|AB|+|BF1|的取值范围为（3a，+∞）二十四．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义（共1小题）（多选）30．（2023•湛江二模）廉江红橙是广东省廉江市特产、中国国家地理标志产品．设廉江地区某种植园成熟的红橙单果质量M（单位：g）服从正态分布N（165，σ2），且P （M＜162）＝0.15，P（165＜M＜167）＝0.3．下列说法正确的是（ ）A．若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量小于167g的概率为0.7 B．若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量在167g～168g的概率为0.05C．若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量大于163g的个数的数学期望为480D．若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量在163g～168g的个数的方差为136.5广东省2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（12套）-01选择题（提升题）参考答案与试题解析一．命题的真假判断与应用（共1小题）（多选）1．（2023•茂名二模）如图所示，有一个棱长为4的正四面体P﹣ABC容器，D是PB的中点，E是CD上的动点，则下列说法正确的是（ ）A．若E是CD的中点，则直线AE与PB所成角为B．△ABE的周长最小值为C．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为D．如果在这个容器中放入10个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为【答案】ACD【解答】A选项，连接AD，如图所示：在正四面体P﹣ABC中，D是PD的中点，所以PB⊥AD，PB⊥CD，因为AD⊂平面ACD，CD⊂平面ACD，AD∩CD＝D，所以直线PB⊥平面ACD，因为AE⊆平面ACD，所以PB⊥AE，所以直线AE与PB所成角为；故A选项正确；B选项，把△ACD沿着CD展开与面BCD同一平面内，由AD＝CD＝，AC＝4，，所以cos∠ADB＝cos（）＝﹣sin∠ADC＝﹣，所以×，所以△ABC的周长最小值为不正确，故B选项错误；C选项，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球，设半径为r，由等体积法可知，，所以半径r＝，故C选项正确；D选项，10个小球分三层，（1个，3个，6个）放进去，要使小球半径最大，则外层小球与四个面相切，设小球半径为r，四个角小球球心连线M﹣NGF是棱长为4r的正四面体，其高为，由正四面体内切球的半径为高的得，如图正四面体P﹣HIJ，则MP＝3r，正四面体P﹣ABC的高为3r+r+r＝，得r＝，故D选项正确．故选：ACD．二．函数的最值及其几何意义（共1小题）2．（2023•茂名二模）黎曼函数R（x）是由德国数学家黎曼发现并提出的，它是一个无法用图象表示的特殊函数，此函数在高等数学中有着广泛的应用，R（x）在[0，1]上的定义为：当（p＞q，且p，q为互质的正整数）时，；当x＝0或x＝1或x为（0，1）内的无理数时，R（x）＝0，则下列说法错误的是（ ）A．R（x）在[0，1]上的最大值为B．若a，b∈[0，1]，则R（a•b）≥R（a）•R（b）C．存在大于1的实数m，使方程有实数根D．∀x∈[0，1]，R（1﹣x）＝R（x）【答案】C【解答】解：对于A，由题意，R（x）的值域为，其中p是大于等于2的正整数，选项A正确；对于B，①若a，b∈（0，1]，设（p，q互质，m，n互质），，则R（a•b）≥R（a）•R（b），②若a，b有一个为0，则R（a•b）≥R（a）•R（b）＝0，选项B正确；对于C，若n为大于1的正数，则，而R（x）的最大值为，所以该方程不可能有实根，选项C错误；对于D，x＝0，1或（0，1）内的无理数，则R（x）＝0，R（1﹣x）＝0，R（x）＝R（1﹣x），若x为（0，1）内的有理数，设（p，q为正整数，为最简真分数），则，选项D正确．故选：C．三．抽象函数及其应用（共1小题）（多选）3．（2023•高州市二模）已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣1﹣x）＝f（7+x），函数f（x+2）﹣1为奇函数，且对∀a，b∈[2，3]，当a≠b时，都有af（a）+bf（b）＞af （b）+bf（a）．函数与函数f（x）的图象交于点（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），给出以下结论，其中正确的是（ ）A．f（2022）＝2022B．函数f（x+1）为偶函数C．函数f（x）在区间[4，5]上单调递减D．【答案】BCD【解答】解：因为f（﹣1﹣x）＝f（7+x），所以f（x）＝f（6﹣x），f（x）的图象关于x＝3对称，因为函数f（x+2）﹣1为奇函数，所以f（x）的图象关于点（2，1）对称，且f（0+2）﹣1＝0⇒f（2）＝1，又f（﹣x+2）﹣1＝1﹣f（x+2）⇒f（x+2）＝2﹣f（2﹣x），所以f（x）＝2﹣f（4﹣x）＝2﹣f[6﹣（2+x）]＝2﹣f（2+x）＝2﹣[2﹣f（2﹣x）]＝f（2﹣x）＝f[6﹣（2﹣x）]＝f（x+4），即f（x）＝f（x+4），所以f（x）的周期为4，所以f（2022）＝f（2）＝1，故A错误；由上可知，f（x）＝f（2﹣x），f（x+1）＝f[2﹣（x+1）]＝f（1﹣x），故B正确；因为∀a，b∈[2，3]，当a≠b时，都有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a），即（a﹣b）[f（a）﹣f（b）]＞0，所以f（x）在区间[2，3]单调递增，因为f（x）的图象关于点（2，1）对称，所以f（x）在区间[1，2]单调递增，又f（x）的图象关于x＝3对称，所以f（x）在区间[4，5]单调递减，C正确；因为，所以g（x）的图象关于点（2，1）对称，所以f（x）与g（x）的交点关于点（2，1）对称，不妨设x1＜x2＜x3＜•＜x m，则x1+x m＝x2+x m﹣1＝x3+x m﹣2＝⋅⋅⋅＝4，y1+y m＝y2+y m﹣1＝y3+y m﹣2＝⋅⋅⋅＝2，所以x1+x2+⋯+x m＝2m，y1+y2+⋯+y m＝m，所以，D正确．故选：BCD．四．对数值大小的比较（共1小题）4．（2023•广东二模）已知，，，则（参考数据：ln2≈0.7）（ ）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞a＞b【答案】B【解答】解：因为，，考虑构造函数，则，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，e）上单调递增，当x＞e时，f′（x）＜0，函数f（x）在（e，+∞）上单调递减，因为ln2≈0.7，所以e0.7≈2，即，所以，所以，即，又，所以，故b＞a＞c．故选：B．五．三角函数的周期性（共1小题）（多选）5．（2023•广东二模）已知f（x）＝cos x+tan x，则下列说法正确的是（ ）A．f（x）是周期函数B．f（x）有对称轴C．f（x）有对称中心D．f（x）在上单调递增【答案】ACD【解答】解：因为f（x）＝cos x+tan x，所以f（x+2π）＝cos（x+2π）+tan（x+2π）＝cos x+tan x＝f（x），所以函数f（x）为周期函数，A正确；因为，，所以，所以函数为奇函数，故函数的图象关于原点对称，所以为函数f（x）的中心对称，C正确；当时，，因为0＜cos x＜1，0＜sin x＜1，所以f′（x）＞0，所以函数f（x）在上单调递增，D正确；由可得，当时，由0＜cos x≤1，﹣1＜sin x＜1，可得f′（x）＞0，函数f（x）在上单调递增，当，由﹣1≤cos x＜0，﹣1＜sin x＜1，可得f′（x）＞0，函数f（x）在上单调递增，又f（0）＝1，f（π）＝﹣1，作出函数f（x）在的大致图象可得：结合函数f（x）是一个周期为2π的函数可得函数f（x）没有对称轴，B错误．故选：ACD．六．正弦函数的图象（共1小题）6．（2023•佛山二模）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（|φ|＜），若存在x1，x2，x3∈（0，），且x3﹣x2＝2（x2﹣x1）＝4x1，使f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＞0，则φ的值为（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵x3﹣x2＝2（x2﹣x1）＝4x1，∴x2＝3x1，x3＝7x1，又f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＞0，且x1，x2，x3∈（0，），∴x3﹣x1＝6x1＝π，，，∴π﹣2x1﹣φ＝2x2+φ，即，∴．故选：A．七．函数的零点与方程根的关系（共1小题）（多选）7．（2023•茂名二模）已知f（x）＝，若关于x的方程4ef2（x）﹣af（x）+＝0恰好有6个不同的实数解，则a的取值可以是（ ）A．B．C．D．【答案】AB【解答】解：令g（x）＝，则g'（x）＝，所以g（x）在[0，1）上单调增，在（1，+∞）上单调减，所以f（x）的大致图像如下所示：令t＝f（x），所以关于x的方程4ef2（x）﹣af（x）+＝0有6个不同实根等价于关于t方程4et2﹣at+＝0在t∈（0，）内有2个不等实根，即h（t）＝4et+与y＝a在t∈（0，）内有2个不同交点，又因为h′（t）＝4e﹣＝，令h′（t）＝0，则t＝±，所以当t∈（0，）时，h′（t）＜0，h（t）单调递减；当t∈（，+∞）时，h′（t）＞0，h（t）单调递增；所以h（t）＝4et+的大致图像如下所示：又h（）＝4，h（）＝5，所以a∈（4，5）．对照四个选项，AB符合题意．故选：AB．八．函数与方程的综合运用（共2小题）8．（2023•韶关二模）定义||x||（x∈R）为与x距离最近的整数（当x为两相邻整数算术平均数时，||x||取较大整数），令函数f（x）＝||x||，如：，，，，则＝（ ）A．17B．C．19D．【答案】C【解答】解：根据题意，函数f（x）＝||x||，当1≤n≤2时，有0.5＜＜1.5，则f（）＝1，则有＝1，当3≤n≤6，有1.5＜＜2.5，则f（）＝2，则有＝，当7≤n≤12，有2.5＜＜3.5，则f（）＝3，则有＝，……，由此可以将重新分组，各组依次为（1，1）、（、、、）、（、、、、、）、……，第n组为2n个，则每组中各个数之和为2n×＝1，前9组共有＝90个数，则是第10组的第10个数，则＝2×9+10×＝19．故选：C．9．（2023•潮州二模）已知函数f（x）＝|sin x|，g（x）＝kx（k＞0），若f（x）与g（x）图像的公共点个数为n，且这些公共点的横坐标从小到大依次为x1，x2，…，x n，则下列说法正确的是（ ）A．若n＝1，则k＞1B．若n＝3，则C．若n＝4，则x1+x4＞x2+x3D．若，则n＝2023【答案】B【解答】解：对于A：当k＝1时，令y＝sin x﹣x，则y′＝cos x﹣1＜0，即函数y＝sin x﹣x在定义域上单调递减，又当x＝0时，y＝0，所以函数y＝sin x﹣x有且仅有一个零点为0，同理易知函数y＝﹣sin x﹣x有且仅有一个零点为0，即f（x）与g（x）也恰有一个公共点，故A错误；对于B：当n＝3时，如下图：2易知在x＝x3，且x3∈（π，2π），f（x）与g（x）图象相切，由当x∈（π，2π）时，f（x）＝﹣sin x，则f′（x）＝﹣cos x，g′（x）＝k，故，从而x3＝tan x3，所以+x3＝tan x3+＝＝＝，故B 正确；对于C：当n＝4时，如下图：则x1＝0，π＜x4＜2π，所以x1+x4＜2π，又f（x）图象关于x＝π对称，结合图象有x3﹣π＞π﹣x2，即有x2+x3＞2π＞x1+x4，故C错误；对于D：当时，由f（）＝g（）＝1可得，f（x）与g（x）的图象在y轴右侧的前1012个周期中，每个周期均有2个公共点，共有2024个公共点，故D错误．故选：B．九．数列递推式（共1小题）（多选）10．（2023•高州市二模）已知数列{p n}和{q n}满足：p1＝1，q1＝2，p n+1＝p n+3q n，q n+1＝2p n+q n，n∈N*，则下列结论错误的是（ ）A．数列是公比为的等比数列B．仅有有限项使得C．数列是递增数列D．数列是递减数列【答案】ABD【解答】解：由题意可知，第二个式子乘以λ后与第一和式子相加可得，令，解得，取可得，因为p1＝1，q1＝2，所以，所以，所以数列是公比为的等比数列，选项A说法错误；因为p1＝1，q1＝2，所以，所以当n为正奇数时，，即，当n为正偶数时，，即，选项B说法错误；由p1＝1，q1＝2，p n+1＝p n+3q n，q n+1＝2p n+q n，可知p n＞0，q n＞0，且数列{p n}和{q n}均为递增数列，而，所以数列是递增数列，选项C说法正确；因为，所以数列是递增数列，选项D说法错误．故选：ABD．一十．利用导数研究函数的单调性（共3小题）11．（2023•广州二模）已知偶函数f（x）与其导函数f'（x）的定义域均为R，且f'（x）+e﹣x+x也是偶函数，若f（2a﹣1）＜f（a+1），则实数a的取值范围是（ ）A．（﹣∞，2）B．（0，2）C．（2，+∞）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）【答案】B【解答】解：因为f（x）为偶函数，则f（x）＝f（﹣x），等式两边求导可得f′（x）＝﹣f′（﹣x），①因为函数f'（x）+e﹣x+x为偶函数，则f′（x）+e﹣x+x＝f′（﹣x）+e x﹣x，②联立①②可得f′（x）＝﹣x，令g（x）＝f′（x），则g′（x）＝﹣1≥﹣1＝0，且g′（x）不恒为零，所以函数g（x）在R上为增函数，即函数f′（x）在R上为增函数，故当x＞0时，f′（x）＞f′（0）＝0，所以函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，由f（2a﹣1）＜f（a+1），可得f（|2a﹣1|）＜f（|a+1|），所以|2a﹣l|＜|a+1|，整理可得a2﹣2a＜0，解得0＜a＜2．故选：B．12．（2023•深圳二模）已知ε＞0，，且e x+εsin y＝e y sin x，则下列关系式恒成立的为（ ）A．cos x≤cos y B．cos x≥cos y C．sin x≤sin y D．sin x≥sin y【答案】A【解答】解：构造函数f（x）＝，x∈，则f′（x）＝，当x∈时，cos x＞sin x，f′（x）＝＞0，因为0＜e x，0＜e y，当＝，eɛ＞1，0＜sin x＜sin y时，则＞＞0，所以＞x＞y＞0，y＝cos x，x∈（0，）单调递增，所以cos x＜cos y，当＝＜0，eɛ＞1，sin x＜sin y＜0时，则＜＜0，所以﹣＜x＜y＜0，y＝cos x，x∈（﹣，0）单调递减，所以cos x＜cos y．当＝，eɛ＞1，sin x＝sin y＝0时，则x＝y＝0，此时cos x＝cos y，综上，cos x≤cos y．故选：A．（多选）13．（2023•佛山二模）已知函数f（x）＝e x﹣﹣1，对于任意的实数a，b，下列结论一定成立的有（ ）A．若a+b＞0，则f（a）+f（b）＞0B．若a+b＞0，则f（a）﹣f（﹣b）＞0C．若f（a）+f（b）＞0，则a+b＞0D．若f（a）+f（b）＜0，则a+b＜0【答案】ABD【解答】解：f（x）＝e x﹣﹣1，则f′（x）＝e x﹣x，f″（x）＝e x﹣1，当x∈（0，+∞）时，f″（x）＞0，f′（x）单调递增，当x∈（﹣∞，0）时，f″（x）＜0，f′（x）单调递减，所以f′（x）≥f′（0）＝1，所以f（x）在R上单调递增，且f（0）＝0，若a+b＞0，则a＞﹣b，所以f（a）＞f（﹣b），则f（a）﹣f（﹣b）＞0，故B正确；f（b）+f（﹣b）＝e b﹣b2﹣1+（e﹣b﹣b2﹣1）＝e b+e﹣b﹣b2﹣2，令h（b）＝e b+e﹣b﹣b2﹣2，h′（b）＝e b﹣e﹣b﹣2b，令h′（b）＝u（b），u′（b）＝e b+e﹣b﹣2≥0，u（b）在R上单调递增，而h′（0）＝u（0）＝0，故h（b）在（0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减，故h（b）≥h（0）＝0，所以f（b）+f（﹣b）≥0⇒f（a）+f（b）≥f（a）﹣f（﹣b）＞0，故A正确；对于D，若f（a）+f（b）＜0⇒f（a）＜﹣f（b）≤f（﹣b）⇒a＜﹣b，即a+b＜0，故D 正确；设f（c）＝﹣f（b），若c＜a＜﹣b，则f（c）＝﹣f（b）＜f（a），满足f（a）+f（b）＞0，但a+b＜0，故C错误．故选：ABD．一十一．利用导数研究函数的最值（共1小题）14．（2023•湛江二模）对于两个函数与，若这两个函数值相等时对应的自变量分别为t1，t2，则t2﹣t1的最小值为（ ）A．﹣1B．﹣ln2C．1﹣ln3D．1﹣2ln2【答案】B【解答】解：由题意可得＝ln（2t2﹣1）+2，∴t1＝1+ln（ln（2t2﹣1）+2），t1，t2＞，∴t2﹣t1＝t2﹣1﹣ln（ln（2t2﹣1）+2）＝ln（），令h（x）＝，x∈（，+∞），h′（x）＝，令u（x）＝ln（2x﹣1）+2﹣在x∈（，+∞）上单调递增，且u（1）＝0，∴x∈（，1）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．∴x＝1时，函数h（x）取得极小值即最小值，h（1）＝，∴函数y＝ln（）取得最小值ln，即﹣ln2．即t2﹣t1的最小值为﹣ln2，故选：B．一十二．平面向量数量积的性质及其运算（共1小题）（多选）15．（2023•潮州二模）设向量，则（ ）A．B．C．D．在上的投影向量为（1，0）【答案】ACD【解答】解：因为，所以＝（﹣1，﹣1），对A：||＝，||＝，所以||＝||，故A正确；对B：因为1×（﹣1）﹣（﹣1）×（﹣1）＝﹣2≠0，所以与不平行，故B错误；对C：（）•＝﹣1+1＝0，所以（）⊥，故C正确；对D：在上的投影为＝＝1，则在上的投影向量为（1，0），故D正确；故选：ACD．一十三．三角形中的几何计算（共1小题）（多选）16．（2023•汕头二模）在△ABC中，已知AB＝2，AC＝5，∠BAC＝60°，BC，AC 边上的两条中线AM，BN相交于点P，下列结论正确的是（ ）A．B．C．∠MPN的余弦值为D．【答案】ABD【解答】解：连接PC，并延长交AB于Q，△ABC中，AB＝2，AC＝5，∠BAC＝60°，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则，，，，，，，＝＝＝＝，故A正确；＝＝＝，故B正确；＝＝＝．故C错误；，故D正确．故选：ABD．一十四．棱柱、棱锥、棱台的体积（共1小题）（多选）17．（2023•汕头二模）已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为r（0＜r＜2），设圆台的体积为V，则下列选项中说法正确的是（ ）A．当r＝1时，B．V存在最大值C．当r在区间（0，2）内变化时，V逐渐减小D．当r在区间（0，2）内变化时，V先增大后减小【答案】BD【解答】解：设圆台的上底面的圆心为O1，下底面的圆心为O，点A为上底面圆周上任意一点，圆台的高为h，球的半径为R，如图所示，则＝，对选项不正确；，设f（r）＝﹣3r3﹣4r2+4r+8，则f'（r）＝﹣9r2﹣8r+4，令f'（r）＝0可得9r2+8r﹣4＝0，解得，，易知r2∈（0，2），且当r∈（0，r2），f'（r）＞0；r∈（r2，2），f'（r）＜0，f（r）在（0，r2）单调递增，在（r2，2）单调递减，由f（0）＝8，f（1）＝5，f（2）＝﹣24，∃r0∈（1，2），使得f（r0）＝0，当r∈（0，r0），f（r）＞0，即V'＞0；当r∈（r0，2），f（r）＜0，即V'＜0，所以V在（0，r0）单调递增，在（r0，2）单调递减，则B，D正确，C错误．故选：BD．一十五．空间中直线与平面之间的位置关系（共1小题）（多选）18．（2023•广东二模）已知直线m与平面α有公共点，则下列结论一定正确的是（ ）A．平面α内存在直线l与直线m平行B．平面α内存在直线l与直线m垂直C．存在平面γ与直线m和平面α都平行D．存在过直线m的平面β与平面α垂直【答案】BD【解答】解：对于A选项，若直线m与α相交，且平面α内存在直线l与直线m平行，由于m⊄α，则m∥α，这与直线m与α相交矛盾，假设不成立，A错；对于B选项，若m⊂α，则在平面α内必存在l与直线m垂直，若直线m与α相交，设m⋂α＝A，如下图所示：若m⊥α，且l⊂α，则m⊥l，若m与α斜交，过直线m上一点P（异于点A）作PB⊥α，垂足点为B，过点A作直线l，使得l⊥AB，因为PB⊥α，l⊂α，则l⊥PB，又因为l⊥AB，PB∩AB＝B，PB、AB⊂平面PAB，所以l⊥平面PAB，因为m⊂平面PAB，所以l⊥m，综上所述，平面α内存在直线l与直线m垂直，B正确；对于C选项，设直线l与平面α的一个公共点为点A，假设存在平面γ，使得α∥β且m∥β，过直线m作平面γ，使得γ⋂β＝l，因为m∥γ，m⊂β，γ⋂β＝l，则l∥m，因为γ∥α，记β⋂α＝n，又因为γ⋂β＝l，则n∥l，因为在平面β内有且只有一条直线与直线l平行，且A∈n，故m、n重合，所以，m⊂α，但m不一定在平面α内，当m与α相交时，则m与γ也相交，C错误；对于D选项，若m⊥α，则过直线m的任意一个平面都与平面α垂直，若m与α不垂直，设直线m与平面的一个公共点为点A，则过点A有且只有一条直线l与平面α垂直，记直线l、m所确定的平面为γ，则α⊥β，D正确．故选：BD．一十六．直线与平面所成的角（共1小题）（多选）19．（2023•潮州二模）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，点P满足，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则下列结论正确的是（ ）A．当B1P∥平面A1BD时，B1P与CD1可能为B．当λ＝μ时，的最小值为C．若B1P与平面CC1D1D所成角为，则点P的轨迹长度为D．当λ＝1时，正方体经过点A1、P、C的截面面积的取值范围为【答案】AC【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，则根据题意可得：A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），C（1，1，0），A1（0，0，1），C1（1，1，1），D1（0，1，1），B1（1，0，1），∴，，设平面A1BD的一个法向量为，则，取，若B1P∥平面A1BD，则，∴（﹣λ，1，μ﹣1）⋅（1，1，1）＝﹣λ+1+μ﹣1＝0，∴λ＝μ，故，其中，令，解得λ＝0或1，∴B1P与CD1可能是，∴A正确；对B选项，∵λ＝μ，∴P点在棱CD1上，将平面CDD1与平面A1BCD1沿着CD1展成平面图形，如图所示，线段A1D＝≥A1D，由余弦定理可得：，∴，∴B错误；对C选项，∵B1C1⊥平面CC1D1D，连接C1P，则∠B1PC1即为B1P与平面CC1D1D所成角，若B1P与平面CC1D1D所成角为，则，所以C1P＝B1C1＝1，即点P的轨迹是以C1为圆心，以1为半径的个圆，于是点P的轨迹长度为，C正确；D选项，当λ＝1时，P点在DD1上，过点A1作A1H∥CP交BB1于点H，连接CH，则CH∥A1P，所以平行四边形CHA1P即为正方体过点A1、P、C的截面，设P（0，1，t），∴，∴，，∴点P到直线A1C的距离为，∴当时，，△PA1C的面积取得最小值，此时截面面积最小为，当t＝0或1时，，△PA1C的面积取得最大值，此时截面面积最大为，故截面面积的取值范围为，D错误．故选：AC．一十七．二面角的平面角及求法（共1小题）（多选）20．（2023•佛山二模）四面体ABCD中，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝3，BD＝2，CD ＝4，平面ABD与平面BCD的夹角为，则AC的值可能为（ ）A．B．C．D．【答案】AD【解答】解：由AB⊥BD，CD⊥BD，平面ABD与平面BCD的夹角为，∴与所成角为或，＝++，∴2＝2+2+2+2•+2•+2•，当与所成角为，∴2＝2+2+2+2•+2•+2•＝9+4+16﹣2×3×4×cos＝17，∴AC＝，当与所成角为，∴2＝2+2+2+2•+2•+2•＝9+4+16﹣2×3×4×cos＝41，∴AC＝，综上所述：AC＝或．故选：AD．一十八．点、线、面间的距离计算（共2小题）（多选）21．（2023•梅州二模）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为边AD 的中点，点P为线段D1B上的动点，设D1P＝λD1B，则（ ）A．当时，EP∥平面AB1CB．当时，|PE|取得最小值，其值为C．|PA|+|PC|的最小值为D．当C1∈平面CEP时，【答案】BC【解答】解：在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，2），B1（2，2，2），E（1，0，0），所以，则点P（2λ，2λ，2﹣2λ），对于A，，，，而，显然，即是平面AB1C 的一个法向量，而，因此不平行于平面AB1C，即直线EP 与平面AB1C不平行，A错误；对于B，，则，因此当时，|PE|取得最小值，B正确；对于C，，于是，当且仅当时取等号，C正确；对于D，取A1D1的中点F，连接EF，C1F，CE，如图，因为E为边AD的中点，则EF∥DD1∥CC1，当C1∈平面CEP时，P∈平面CEFC1，连接B1D1∩C1F＝Q，连接BD∩CE＝M，连接MQ，显然平面CEFC1∩平面BDD1B1＝MQ，因此MQ∩D1B＝P，BB1∥CC1，CC1⊂平面CEFC1，BB1⊄平面CEFC1，则BB1∥平面CEFC1，即有MQ∥BB1，而，所以，D错误．故选：BC．（多选）22．（2023•广州二模）已知正四面体A﹣BCD的长为2，点M，N分别为△ABC和△ABD的重心，P为线段CN上一点，则下列结论正确的是（ ）A．若AP+BP取得最小值，则CP＝PNB．若CP＝3PN，则DP⊥平面ABCC．若DP⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为D．直线MN到平面ACD的距离为【答案】BCD【解答】解：易得DE⊥AB，CE⊥AB，又DE∩CE＝E，则AB⊥面CDE，又CN⊂面CDE，则AB⊥CN，同理可得CN⊥BD，AB∩BD＝B，则CN⊥平面ABD，又AN，BN⊂平面ABD，所以CN⊥BN，CN⊥AN，则当点P与点N重合时，AP+BP取得最小值，又AN＝BN＝DN＝DE＝×＝，则最小值为AN+BN＝，故A错误；在正四面体ABCD中，因为DP⊥平面ABC，易得P在DM上，所以DM∩CN＝P，又点M，N也是△ABC和△ABD的内心，则点P为正四面体ABCD内切球的球心，CM＝CE＝，DM＝＝，设正四面体ABCD内切球的半径为r，因为V D﹣ABC＝V P﹣ABC+V P﹣ABD+V P﹣BCD+V P﹣ACD，所以S△ABC•DM＝S△ABC•r+S△ABD•r+S△BCD•r+S△ACD•r，解得r＝MP＝DM＝，即DP＝DM，故CP＝3PN，故B正确；设三棱锥P﹣ABC外接球的球心为O，半径为R，易得球心O在直线DN上，且ON⊥NC，则R2＝OC2＝CN2+（OP﹣NP）2，解得R＝，故三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为4πR2＝，故C正确；∵DM＝＝，即D到平面ABC的距离为，则B到平面ACD的距离为，∵E是AB的中点，∴E到平面ACD的距离为×，∵CM＝CE，∴M到平面ACD的距离为××＝，∴直线MN到平面ACD的距离为，故D正确．故选：BCD．一十九．直线与圆的位置关系（共1小题）23．（2023•潮州二模）已知圆M：x2+y2﹣4x+3＝0，则下列说法正确的是（ ）A．点（4，0）在圆M内B．若圆M与圆x2+y2﹣4x﹣6y+a＝0恰有三条公切线，则a＝9C．直线与圆M相离D．圆M关于4x+3y﹣2＝0对称【答案】B【解答】解：∵圆M：x2+y2﹣4x+3＝0可化为：（x﹣2）2+y2＝1，∴圆心为O1（2，0），半径为r1＝1，对于A：因为（4﹣2）2+02＞1，所以点（4，0）在圆M外，故A错误；对于B：若圆M与圆x2+y2﹣4x﹣6y+a＝0恰有三条公切线，则两圆外切，圆x2+y2﹣4x﹣6y+a＝0可化为（x﹣2）2+（y﹣3）2＝13﹣a，圆心为O2（2，3），半径为，因为|O1O2|＝r1+r2，所以，解得a＝9，故B正确；对于C：∵O1（2，0）到直线的距离为，∴直线与圆M相切，故C错误；对于D：显然圆心O1（2，0）不在直线4x+3y﹣2＝0上，则圆M不关于4x+3y﹣2＝0对称，故D错误；故选：B．二十．椭圆的性质（共3小题）24．（2023•高州市二模）若椭圆的离心率为，两个焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0），M为椭圆C上异于顶点的任意一点，点P是△MF1F2的内心，连接MP并延长交F1F2于点Q，则＝（ ）A．2B．C．4D．【答案】A【解答】解：如图，连接PF1，PF2，设P到x轴距离为d P，M到x轴距离为d M，则设△PF1F2内切圆的半径为r，则，＝＝＝（c+a）r∴不妨设|PQ|＝cm，则|MQ|＝（c+a）m（m＞0），∴|PM|＝|MQ|﹣|PQ|＝am（m＞0），因为椭圆的离心率为，∴，故选：A．25．（2023•韶关二模）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段AB，且AB过椭圆的下焦点，AB＝44米，桥塔最高点P距桥面110米，则此椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系，则椭圆方程为，令y＝﹣c，有一个，所以有，所以，所以＝，所以e＝＝．故选：D．。

广东省2023年高考数学模拟(二模)试题按题型难易度分层分类汇编(12套)-03解答题(提升题)2

广东省2023年高考数学模拟(二模)试题按题型难易度分层分类汇编(12套)-03解答题(提升题)2

广东省2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（12套）-03解答题（提升题）2目录一．数列的求和（共1小题） (1)二．利用导数研究函数的最值（共1小题） (1)三．解三角形（共4小题） (1)四．直线与平面所成的角（共2小题） (2)五．二面角的平面角及求法（共1小题） (3)六．点、线、面间的距离计算（共1小题） (3)七．直线与抛物线的综合（共1小题） (4)八．直线与双曲线的综合（共2小题） (4)九．离散型随机变量的期望与方差（共2小题） (4)一．数列的求和（共1小题）1．（2023•佛山二模）已知各项均为正数的等比数列{a n}，其前n项和为S n，满足2S n＝a n+2﹣6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b m为数列{S n}在区间（a m，a m+2）中最大的项，求数列{b n}的前n项和T n．二．利用导数研究函数的最值（共1小题）2．（2023•广州二模）已知定义在（0，+∞）上的函数．（1）若a∈R，讨论f（x）的单调性；（2）若a＞0，且当x∈（0，+∞）时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．三．解三角形（共4小题）3．（2023•广州二模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b cos A﹣a cos B ＝b﹣c．（1）求A；（2）若点D在BC边上，且CD＝2BD，cos B＝，求tan∠BAD．4．（2023•梅州二模）如图，在平面四边形ABCD中，∠BAC＝∠ADC＝90°，，AC ＝2，设∠CAD＝θ．（1）当θ＝45°时，求BD的长；（2）求BD的最大值．5．（2023•佛山二模）已知△ABC为锐角三角形，且cos A+sin B＝（sin A+cos B）．（1）若C＝，求A；（2）已知点D在边AC上，且AD＝BD＝2，求CD的取值范围．6．（2023•广州二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若角A的平分线交BC于D且AD＝2，求a的最小值．四．直线与平面所成的角（共2小题）7．（2023•广州二模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，点D是BC 的中点，点E在AA1上，AD∥平面BC1E．（1）求证：平面BC1E⊥平面BB1C1C；（2）当三棱锥B1﹣BC1E的体积最大时，求直线AC与平面BC1E所成角的正弦值．8．（2023•广州二模）在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，E是PD的中点，PA＝PD，AB＝2，∠ABC＝60°．（1）证明：PB∥平面EAC．（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为，求直线EC与平面PAB所成角的正弦值．五．二面角的平面角及求法（共1小题）9．（2023•深圳二模）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝2，∠ABC＝，A1C1⊥A1B．（1）证明：A1A＝A1C；（2）若A1A＝2，BC1＝，求平面A1CB1与平面BCC1B1夹角的余弦值．六．点、线、面间的距离计算（共1小题）10．（2023•梅州二模）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝＝2，点M为A1B1的中点．（1）在棱BB1上是否存在点Q，使得AQ⊥平面BC1M？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（2）求点C到平面BC1M的距离．七．直线与抛物线的综合（共1小题）11．（2023•广州二模）已知直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，且与x轴交于点M （a，0）（a＞0），过点A，B分别作直线l1：x＝﹣a的垂线，垂足依次为A1，B1，动点N 在l1上．（1）当a＝1，且N为线段A1B1的中点时，证明：AN⊥BN；（2）记直线NA，NB，NM的斜率分别为k1，k2，k3，是否存在实数λ，使得k1+k2＝λk3若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．八．直线与双曲线的综合（共2小题）12．（2023•梅州二模）已知双曲线E：的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2且双曲线E经过点．（1）求双曲线E的方程；（2）过点P（2，1）作动直线l，与双曲线的左、右支分别交于点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足，求证：点H恒在一条定直线上．13．（2023•佛山二模）双曲线C：的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B、D两点，且△ABD是直角三角形．（1）求双曲线C的方程；（2）M、N是C右支上的两动点，设直线AM、AN的斜率分别为k1、k2，若k1k2＝﹣2，求点A到直线MN的距离d的取值范围．九．离散型随机变量的期望与方差（共2小题）14．（2023•梅州二模）元宵佳节，是民间最重要的民俗节日之一，我们梅州多地都会举行各种各样的民俗活动，如五华县河东镇的“迎灯”、丰顺县埔寨镇的“火龙”、大埔县百侯镇的“迎龙珠灯”等系列活动．在某庆祝活动现场，为了解观众对该活动的观感情况（“一般”或“激动”），现从该活动现场的观众中随机抽取200名，得到下表：一般激动总计男性90120女性25总计200（1）填补上面的2×2列联表，并依据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为性别与对该活动的观感程度有关？（2）该活动现场还举行了有奖促销活动，凡当天消费每满300元，可抽奖一次．抽奖方案是：从装有3个红球和3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则可获得100元现金的返现；若摸出1个红球，则可获得50元现金的返现；若没摸出红球，则不能获得任何现金返现．若某观众当天消费600元，记该观众参加抽奖获得的返现金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望．附：，其中n＝a+b+c+d．α0.1000.0500.0100.001xα 2.706 3.841 6.63510.828 15．（2023•广州二模）某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100天，这五家“农家乐的收费标准互不相同得到的统计数据如表，x为收费标准（单位：元/日），t 为入住天数（单位：天），以频率作为各自的“入住率”，收费标准x与“入住率”y的散点图如图x100150200300450t9065453020（1）若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记ξ为“住率超过0.6的农家乐的个数，求ξ的概率分布列（2）z＝lnx，由散点图判断＝x+a与＝z+哪个更合适于此模型（给出判断即可不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程（，的结果精确到0.1）（3）根据第（2）问所求的回归方程，试估计收费标准为多少时，100天销售额L最大？（100天销售额L＝100×入住率收费标准x）＝，＝x，＝240，＝365000，x i y i＝457，≈5.35，2≈28.57，≈144.24，zi y i≈12.72，e5≈150，e5.4≈220．广东省2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（12套）-03解答题（提升题）2参考答案与试题解析一．数列的求和（共1小题）1．（2023•佛山二模）已知各项均为正数的等比数列{a n}，其前n项和为S n，满足2S n＝a n+2﹣6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b m为数列{S n}在区间（a m，a m+2）中最大的项，求数列{b n}的前n项和T n．【答案】（1）a n＝3•2n﹣1；（2）T n＝3•2n+2﹣12﹣3n．【解答】解：（1）设数列{a n}的公比为q，则q＞0，当n＝1时，有2S1＝a3﹣6，当n＝2时，有2S2＝a4﹣6，两式相减得，2a2＝a4﹣a3，即2＝q2﹣q，解得q＝2或﹣1（舍负），又2S1＝a3﹣6，所以2a1＝4a1﹣6，即a1＝3，所以a n＝3•2n﹣1．（2）由（1）知，S n＝＝3•（2n﹣1），所以S n﹣a n＝3•（2n﹣1）﹣3•2n﹣1＝3•（2n﹣1﹣1）≥0，即S n≥a n，当且仅当n＝1时，等号成立，S n﹣a n+1＝3•（2n﹣1）﹣3•2n＝﹣3＜0，即S n＜a n+1，所以a n≤S n＜S n+1＜a n+2＜S n+2，即a m≤S m＜S m+1＜a m+2＜S m+2，记b m为数列{S n}在区间（a m，a m+2）中最大的项，则b m＝S m+1＝3•（2m+1﹣1），所以b n＝3•（2n+1﹣1）＝3•2n+1﹣3，所以T n＝3•（22+23+…+2n+1）﹣3n＝3•﹣3n＝3•2n+2﹣12﹣3n．二．利用导数研究函数的最值（共1小题）2．（2023•广州二模）已知定义在（0，+∞）上的函数．（1）若a∈R，讨论f（x）的单调性；（2）若a＞0，且当x∈（0，+∞）时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）．【解答】解：（1）函数，x＞0，求导得：，当a≥0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＜0时，由f'（x）＞0得，由f'（x）＜0得，则f（x）在上递增，在上递减，所以当a≥0时，函数f（x）的递增区间是（0，+∞）；当a＜0时，函数f（x）的递增区间是，递减区间是．（2）因为a＞0，且当x∈（0，+∞）时，不等式恒成立，当0＜x≤1时，∀a＞0，恒成立，因此a＞0，当x＞1时，⇔2alne ax+ln （lne ax）≥2alnx+ln（lnx），令g（x）＝2ax+lnx，原不等式等价于g（lne ax）≥g（lnx）恒成立，而，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，因此∀x＞1，lne ax≥lnx，即，令，，当1＜x＜e时，h'（x）＞0，当x＞e时，h'（x）＜0，函数h（x）在（1，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，，因此，综上得，所以实数a的取值范围是．三．解三角形（共4小题）3．（2023•广州二模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b cos A﹣a cos B ＝b﹣c．（1）求A；（2）若点D在BC边上，且CD＝2BD，cos B＝，求tan∠BAD．【答案】（1）A＝；（2）．【解答】解：（1）∵b cos A﹣a cos B＝b﹣c，∴根据正弦定理可得sin B cos A﹣sin A cos B＝sin B﹣sin C，∴sin B（cos A﹣1）＝sin A cos B﹣sin（A+B），∴sin B（cos A﹣1）＝﹣cos A sin B，又sin B＞0，∴cos A﹣1＝﹣cos A，∴2cos A＝1，又A∈（0，π），∴A＝；（2）设∠BAD＝θ，又A＝，则∠CAD＝﹣θ，∵D在BC边上，且CD＝2BD，∴S△ACD＝2S△ABD，设|AD|＝t，则，∴＝＝，又A＝，cos B＝，∴sin B＝，∴＝＝＝，∴＝，∴＝，即tan∠BAD＝．4．（2023•梅州二模）如图，在平面四边形ABCD中，∠BAC＝∠ADC＝90°，，AC ＝2，设∠CAD＝θ．（1）当θ＝45°时，求BD的长；（2）求BD的最大值．【答案】（1）；（2）3．【解答】解：（1）在Rt△ACD中，．在△ABD中，因为，由余弦定理得，因此；（2）在Rt△ACD中，AD＝AC cosθ＝2cosθ，在△ABD中，因为，由余弦定理得：＝＝，所以，所以当，即θ＝时，BD最长，BD的最大值为．5．（2023•佛山二模）已知△ABC为锐角三角形，且cos A+sin B＝（sin A+cos B）．（1）若C＝，求A；（2）已知点D在边AC上，且AD＝BD＝2，求CD的取值范围．【答案】（1）A＝；（2）（1，2）．【解答】解：（1）∵C＝，又cos A+sin B＝（sin A+cos B），∴cos A+sin（﹣A）＝sin A+cos（﹣A），∴cos A+cos A+sin A＝sin A+（cos A+sin A），∴，∴tan A＝1，又A∈（0，π），∴A＝；（2）∵cos A+sin B＝（sin A+cos B），∴sin A﹣cos A＝sin B﹣cos B，∴2sin（A﹣）＝2sin（B﹣），∴A﹣＝B﹣或A﹣+B﹣＝π，∴A＝B﹣或A+B＝（舍），又AD＝BD＝2，∴∠A＝∠ABD，∴∠CBD＝，在△BCD中，由正弦定理可得，∴，∴|CD|＝，又sin C＝sin（﹣2B），又△ABC为锐角三角形，'∴，∴B∈（，），∴∈（，），∴sin C＝sin（﹣2B）∈（，1），∴|CD|＝∈（1，2）．6．（2023•广州二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若角A的平分线交BC于D且AD＝2，求a的最小值．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1），即，即，由正弦定理得，B∈（0，π），sin B≠0，故，，，故，又，故，故；（2），设，，根据向量的平行四边形法则：，即，，又a2＝b2+c2﹣bc＝b2（1﹣x+x2），故，当且仅当x＝1时等号成立，故a的最小值为．四．直线与平面所成的角（共2小题）7．（2023•广州二模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，点D是BC 的中点，点E在AA1上，AD∥平面BC1E．（1）求证：平面BC1E⊥平面BB1C1C；（2）当三棱锥B1﹣BC1E的体积最大时，求直线AC与平面BC1E所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解答；（2）．【解答】解：（1）证明：可取CC1的中点M，连接DM，AM，又D为BC的中点，可得DM∥BC1，DM⊄平面BC1E，可得DM∥平面BC1E，又AD∥平面BC1E，AD∩DM＝D，可得平面ADM∥平面BC1E，所以AM∥平面BC1E，又平面BC1E∩平面A1ACC1＝C1E，可得AM∥C1E，即有E为AA1的中点，因为AB＝AC，D为BC的中点，可得AD⊥BC，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1B⊥底面ABC，可得B1B⊥AD，由BC∩B1B＝B，可得AD⊥平面BB1C1C，取BC1的中点H，连接EH，可得EH∥AD，即有EH⊥平面BB1C1C，而EH⊂平面BC1E，可得平面BC1E⊥平面BB1C1C；（2）设BC＝2a，可得AD＝，三棱锥B1﹣BC1E的体积V＝EH•＝•×3×2a＝a≤（a2+9﹣a2）＝（当且仅当a＝取得等号），可得当AB⊥AC时，三棱锥B1﹣BC1E的体积取得最大值．由于A1C1∥AC，可得直线AC与平面BC1E所成角即为直线A1C1与平面BC1E所成角．设A1到平面BC1E的距离为h，由BE＝C1E＝＝，BC1＝＝3，可得＝×3×＝，所以＝h•＝h，又＝×3××3×＝，又＝，解得h＝，又A1C1＝3，可得直线A1C1与平面BC1E所成角的正弦值为＝，即有直线AC与平面BC1E所成角的正弦值为．8．（2023•广州二模）在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，E是PD的中点，PA＝PD，AB＝2，∠ABC＝60°．（1）证明：PB∥平面EAC．（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为，求直线EC与平面PAB所成角的正弦值．【答案】（1）证明详见解析，（2）．【解答】解：（1）连接BD交AC于F，连接EF，因为四边形ABCD是菱形，所以F是BD的中点，又E是PD的中点，所以EF∥PB，因为EF⊂平面EAC，PB⊄平面EAC，所以PB∥平面EAC．（2）取AD的中点O，连接PO，则PO⊥AD，因为平面PAD⊥平面ABCD且交线为AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD．设PD＝a，则，解得a＝3．因为底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，所以OC⊥AD，且．以O为坐标原点，以OC，OD，OP所在直线分别为x轴，轴，z轴建立空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量为，则，故可设，则，所以直线EC与平面PAB所成角的正弦值为．五．二面角的平面角及求法（共1小题）9．（2023•深圳二模）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝2，∠ABC＝，A1C1⊥A1B．（1）证明：A1A＝A1C；（2）若A1A＝2，BC1＝，求平面A1CB1与平面BCC1B1夹角的余弦值．【答案】（1）证明过程请看解答；（2）．【解答】（1）证明：取AC的中点O，连接OA1，OB，因为AB＝BC，所以OB⊥AC，因为A1C1⊥A1B，A1C1∥AC，所以AC⊥A1B，又OB∩A1B＝B，OB、A1B⊂平面A1BO，所以AC⊥平面A1BO，因为A1O⊂平面A1BO，所以AC⊥A1O，因为O为AC的中点，所以A1A＝A1C．（2）解：因为AB＝BC＝2，∠ABC＝，所以AC＝A1C1＝2，又A1C1⊥A1B，BC1＝，所以A1B＝＝，而OA1＝OB＝1，所以，即OA1⊥OB，所以OA1，OB，OC两两垂直，故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，1），B1（1，，1），C（0，，0），B（1，0，0），所以＝（1，，0），＝（1，0，1），＝（0，，1），设平面A 1CB 1的法向量为＝（x ，y ，z ），则，即，令y ＝1，则x ＝﹣，z ＝，所以＝（﹣，1，），同理可得，平面BCC 1B 1的法向量＝（，1，﹣），设平面A 1CB 1与平面BCC 1B 1夹角为θ，则cos θ＝|cos ＜，＞|＝＝＝，故平面A 1CB 1与平面BCC 1B 1夹角的余弦值为．六．点、线、面间的距离计算（共1小题）10．（2023•梅州二模）如图，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝＝2，点M 为A 1B 1的中点．（1）在棱BB 1上是否存在点Q ，使得AQ ⊥平面BC 1M ？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（2）求点C 到平面BC 1M 的距离．【答案】（1）＝7；（2）．【解答】解：（1）在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∵点M 为A 1B 1的中点．∴C1M⊥A1B1，又∵A1A⊥平面A1B1C1，∴A1A⊥C1M，面A1A∩A1B1＝A1，∴C1M⊥平面AA1B1B，过点A作AQ⊥BM，AQ⊥C1M，且BM∩C1M＝M，∴AQ⊥平面BC1M，即点Q为所要找的点，易得：△ABQ∽△BB1M，∴＝，即有＝，于是BQ＝，∴B1Q＝B1B﹣BQ＝4﹣＝，∴＝7；（2）连接C与AB的中点N，易知CN∥平面BC1M，点C到平面BC1M的距离h C等于点N到平面BC1M的距离h N，又N为AB的中点，点N到平面BC1M的距离h N等于点A到平面BC1M的距离h A的一半，而由（1）知，当BQ＝时，AQ⊥平面BC1M，设AQ∩BM＝H，则h A＝AH＝AB cos∠BAQ＝2×＝，∴h C＝h N＝h A＝．七．直线与抛物线的综合（共1小题）11．（2023•广州二模）已知直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，且与x轴交于点M （a，0）（a＞0），过点A，B分别作直线l1：x＝﹣a的垂线，垂足依次为A1，B1，动点N 在l1上．（1）当a＝1，且N为线段A1B1的中点时，证明：AN⊥BN；（2）记直线NA，NB，NM的斜率分别为k1，k2，k3，是否存在实数λ，使得k1+k2＝λk3若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）λ＝2．【解答】（1）证明：如图所示：当a＝1时，M（1，0）恰为抛物线C：y2＝4x的焦点．由抛物线的定义可得：|AM|＝|AA1|，|BM|＝|BB1|．取AB的中点D，连接DN，则DN为梯形ABB1A1的中位线，所以．因为D为AB的中点，所以，所以|DA|＝|DN|．在△ADN中，由|DA|＝|DN|可得：∠AND＝∠NAD．因为DN为梯形ABB1A1的中位线，所以DN∥AA1，所以∠AND＝∠A1AN，所以∠NAD＝∠A1AN，同理可证：∠NBD＝∠B1BN．在梯形ABB1A1中，∠A1AB+∠B1BA＝180°，所以∠A1AN+∠NAD+∠DBN+∠NBB1＝180°，所以，所以∠ANB＝90°，即AN⊥BN．（2）解：假设存在实数λ，使得k1+k2＝λk3．由直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，可设l：x＝my+a．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，消去x可得：y2﹣4my﹣4a＝0，所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4a．则＝．而，所以，解得：λ＝2．八．直线与双曲线的综合（共2小题）12．（2023•梅州二模）已知双曲线E：的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2且双曲线E经过点．（1）求双曲线E的方程；（2）过点P（2，1）作动直线l，与双曲线的左、右支分别交于点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足，求证：点H恒在一条定直线上．【答案】（1）；（2）证明详见解析．【解答】解：（1）|F1F2|＝2，则c＝，，2a＝|AF1|﹣|AF2|＝，解得a ＝1，b2＝c2﹣a2＝2，故双曲线E的方程为；（2）证明：设H（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），则，，即①，，设＝λ，则（λ≠1），即，故，④，将①②代入④，则⑤，将③代入⑤，则2[（1﹣λ2）2x﹣（1﹣λ2）]＝（1﹣λ2）y，即4x﹣2＝y，故点H恒在定直线4x﹣y﹣2＝0．13．（2023•佛山二模）双曲线C：的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B、D两点，且△ABD是直角三角形．（1）求双曲线C的方程；（2）M、N是C右支上的两动点，设直线AM、AN的斜率分别为k1、k2，若k1k2＝﹣2，求点A到直线MN的距离d的取值范围．【答案】（1）；（2）（，6]．【解答】解：（1）根据题意可得∠BAD＝90°，半焦距c＝2，由AF＝BF，可得a+c＝，∴a2+2a＝22﹣a2，解得a＝1，∴b2＝c2﹣a2＝4﹣1＝3，∴双曲线C的方程的方程为；（2）显然直线MN不可能与坐标轴平行，∴设直线MN的方程为x＝my+n，联立，可得（3m2﹣1）y2+6mny+3（n2﹣1）＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则根据题意可得：，且，①，由k1k2＝﹣2，可得y1y2+2（x1+1）（x2+1）＝0，即y1y2+2（my1+n+1）（my2+n+1）＝0，整理得②，将①代入②中可得3（n2﹣1）（2m2+1）﹣12m2n（n+1）+2（n+1）2（3m2﹣1）＝0，化简可消去所有的含m的项，从而解得n＝5或n＝﹣1（舍去），∴直线MN的方程为x﹣my﹣5＝0，∴d＝，又MN都在双曲线的右支上，∴3m2﹣1＜0，∴，∴，∴d＝∈（，6]，∴点A到直线MN的距离d的取值范围为（，6]．九．离散型随机变量的期望与方差（共2小题）14．（2023•梅州二模）元宵佳节，是民间最重要的民俗节日之一，我们梅州多地都会举行各种各样的民俗活动，如五华县河东镇的“迎灯”、丰顺县埔寨镇的“火龙”、大埔县百侯镇的“迎龙珠灯”等系列活动．在某庆祝活动现场，为了解观众对该活动的观感情况（“一般”或“激动”），现从该活动现场的观众中随机抽取200名，得到下表：一般激动总计男性90120女性25总计200（1）填补上面的2×2列联表，并依据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为性别与对该活动的观感程度有关？（2）该活动现场还举行了有奖促销活动，凡当天消费每满300元，可抽奖一次．抽奖方案是：从装有3个红球和3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则可获得100元现金的返现；若摸出1个红球，则可获得50元现金的返现；若没摸出红球，则不能获得任何现金返现．若某观众当天消费600元，记该观众参加抽奖获得的返现金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望．附：，其中n＝a+b+c+d．α0.1000.0500.0100.001xα 2.706 3.841 6.63510.828【答案】（1）2×2列联表见解析，该场活动活动的观感程度与性别无关；（2）分布列见解析，E（X）＝100．【解答】解：（1）补全的2×2列联表如下：一般激动总计男性3090120女性255580总计55145200零假设为H0：性别与对活动的观感程度相互独立．根据表中数据，计算得到χ2＝＝＜1＜2.706，根据小概率值α＝0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此我们可以认为H0成立，即认为对该场活动活动的观感程度与性别无关．（2）设一次摸球摸出2个红球的事件为A，摸出1个红球的事件为B，没摸出红球的事件为C，则P（A）＝＝，P（B）＝＝，P（C）＝＝，由题意，X可取200，150，100，50，0，P（X＝200）＝×＝，P（X＝150）＝2××＝，P（X＝100）＝×+2××＝，P（X＝50）＝2××＝，P（X＝0）＝×＝，所以X的分布列为：X200150100500P所以E（X）＝200×+150×+100×+50×+0×＝100．15．（2023•广州二模）某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100天，这五家“农家乐的收费标准互不相同得到的统计数据如表，x为收费标准（单位：元/日），t 为入住天数（单位：天），以频率作为各自的“入住率”，收费标准x与“入住率”y的散点图如图x100150200300450t9065453020（1）若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记ξ为“住率超过0.6的农家乐的个数，求ξ的概率分布列（2）z＝lnx，由散点图判断＝x+a与＝z+哪个更合适于此模型（给出判断即可不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程（，的结果精确到0.1）（3）根据第（2）问所求的回归方程，试估计收费标准为多少时，100天销售额L最大？（100天销售额L＝100×入住率收费标准x）＝，＝x，＝240，＝365000，x i y i＝457，≈5.35，2≈28.57，≈144.24，zi y i≈12.72，e5≈150，e5.4≈220．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2则P（ξ＝0）＝∴ξ的分布列是ξ012P（2）由散点图可知＝z+a更适合于此模型依题意，则＝＝≈﹣0.47≈﹣0.5，＝＝0.5+0.47×5.35≈3.0，∴所求的回归方程为＝＝﹣0.5lnx+3.0．（3）依题意，L（x）＝100（﹣0.5lnx+3.0）x＝﹣50xlnx+300x，则L′（x）＝﹣50lnx+250由L′（x）＞0．得lnx＜5，x＜e5，由L′（x）＜0，得lnx＞5，x＞e5∴L（x）在（0，e5）上递增：在（e5，+∞）上递减当x＝e5≈150时，L（x）取到最大值∴当收费标准约为150（元/日）时，100天销售额L最大．。

2021版《3年高考2年模拟》高考数学(浙江版理)检测：9.1 导数的概念及运算 Word版含答案

2021版《3年高考2年模拟》高考数学(浙江版理)检测：9.1 导数的概念及运算 Word版含答案

第九章导数及其应用§9.1导数的概念及运算Ａ组基础题组1.(2021江西重点中学盟校一联)函数f(x)=x3的图象在原点处的切线方程为( )A.y=xB.x=0C.y=0D.不存在2.(2022湖北荆门调考,3,5分)函数f(x)=xe x在点A(0,f(0))处的切线斜率为( )A.0B.-1C.1D.e3.(2021浙江重点中学协作体摸底)已知点P在曲线f(x)=x4-x上,曲线在点P处的切线平行于直线3x-y=0,则点P的坐标为( )A.(0,0)B.(1,1)C.(0,1)D.(1,0)4.(2021吉林二调)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c图象上点A(2,1)处的切线方程为2x-y+a=0,则a+b+c=( )A.-B.-C.0D.5.(2021广东惠州第三次调研)给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f'(x)存在,且导函数f'(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f″(x)=(f'(x))',若f″(x)<0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在上不是凸函数的是( )A.f(x)=sinx+cosxB.f(x)=lnx-2xC.f(x)=-x3+2x-1D.f(x)=-xe-x6.(2022山东曲阜期中,8,5分)设函数h(x),g(x)在[a,b]上可导,且h'(x)<g'(x),则当a<x<b时,有( )A.h(x)<g(x)B.h(x)>g(x)C.h(x)+g(a)>g(x)+h(a)D.h(x)+g(b)>g(x)+h(b)7.(2022陕西,10,5分)如图,修建一条大路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为( )A.y=x3-x2-xB.y=x3+x2-3xC.y=x3-xD.y=x3+x2-2x8.(2021天津,11,5分)已知函数f(x)=axlnx,x∈(0,+∞),其中a为实数,f'(x)为f(x)的导函数.若f'(1)=3,则a的值为.9.(2022广东,10,5分)曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为.10.(2021课标Ⅰ,14,5分)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a= .11.(2021河北石家庄一模,14)已知点P为曲线C:f(x)=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为,则点P横坐标的取值范围为.12.(2021课标Ⅱ,16,5分)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a= .13.(2021浙江温州十校联考,03(2))已知函数f(x)=(x2+ax+2)e x(a∈R).(1)当a=0时,求函数f(x)的图象在点A(1,f(1))处的切线方程;(2)若函数f(x)为单调函数,求实数a的取值范围.14.(2021浙江冲刺卷五,03(2))已知函数f(x)=x3-12x+2,其图象过原点的切线与函数g(x)=m-lnx的图象有两个交点,试求m的取值范围.B组提升题组1.(2022课标Ⅱ,8,5分)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=( )A.0B.1C.2D.32.(2021浙江丽水二模,6)设曲线y=x2+alnx(a>0)上任意一点处的切线斜率为k,若k的最小值为4,则此时该切点的坐标为( )A.(1,1)B.(2,3)C.(3,1)D.(1,4)3.(2021江西九校联考)等比数列{a n}中,a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8),则f'(0)=( )A.26B.29C.212D.2154.(2021河南新乡质检,12)过点A(2,-1)作曲线f(x)=x3-3x的切线最多有( )A.3条B.2条C.1条D.0条5.(2022山东淄博摸底,10,5分)已知y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x>0时不等式f(x)+xf'(x)<0成立,若a=30.3·f(30.3),b=logπ3·f(logπ3),c=log3·f,则a,b,c的大小关系是( )A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.c>b>a6.(2022江西,13,5分)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是.7.(2021浙江温州十校联合体联考)与直线2x-6y+1=0垂直,且与曲线f(x)=x3+3x2-1相切的直线方程是.8.(2021浙江台州椒江一中段考)设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为.9.(2021陕西,15,5分)函数y=xe x在其极值点处的切线方程为.10.(2022江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是.11.(2022安徽,15,5分)若直线l与曲线C满足下列两个条件:(i)直线l在点P(x0,y0)处与曲线C相切;(ii)曲线C在点P四周位于直线l的两侧,则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是(写出全部正确命题的编号).①直线l:y=0在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=x3②直线l:x=-1在点P(-1,0)处“切过”曲线C:y=(x+1)2③直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=sinx④直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=tanx⑤直线l:y=x-1在点P(1,0)处“切过”曲线C:y=lnx12.(2021河北唐山二模,20,12分)已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12和直线m:y=kx+9,且f'(-1)=0.(1)求a的值;(2)是否存在k的值,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是y=g(x)的切线?假如存在,求出k的值;假如不存在,说明理由.13.(2022北京,20,13分)已知函数f(x)=2x3-3x.(1)求f(x)在区间[-2,1]上的最大值;(2)若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,求t的取值范围;(3)问过点A(-1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线y=f(x)相切?(只需写出结论) Ａ组基础题组1.C 由f'(x)=3x2得f'(0)=0,所以f(x)的图象在原点处的切线方程为y=0,故选C.2.C ∵f'(x)=(x+1)e x,∴f'(0)=1,即所求切线的斜率为1.3.D 设P(x0,y0),由题意知,函数f(x)=x4-x在点P处的切线的斜率等于3,即f'(x0)=4-1=3,∴x0=1,将其代入f(x)中可得P(1,0).故选D.4.C 由于A(2,1)在直线2x-y+a=0上,所以4-1+a=0,a=-3,又由于f'(x)=3x2+2ax+b,f'(2)=2,所以12+4a+b=2,得b=2.将A(2,1)代入f(x)=x3-3x2+2x+c中,得8-12+4+c=1,得c=1,所以a+b+c=0,故选C.5.D 若f(x)=sinx+cosx,则f″(x)=-sinx-cosx,在x∈上,恒有f″(x)<0;若f(x)=lnx-2x,则f″(x)=-,在x ∈上,恒有f″(x)<0;若f(x)=-x3+2x-1,则f″(x)=-6x,在x∈上,恒有f″(x)<0;若f(x)=-xe-x,则f″(x)=2e-x-xe-x=(2-x)e-x,在x∈上,恒有f″(x)>0,故选D.6.D 令f(x)=g(x)-h(x),x∈[a,b],则f'(x)=g'(x)-h'(x)>0,所以f(x)为增函数,所以f(b)>f(x)>f(a),即g(b)-h(b)>g(x)-h(x)>g(a)-h(a),故选D.7.A 设三次函数的解析式为y=ax3+bx2+cx+d(a≠0),则y'=3ax2+2bx+c.由已知得y=-x是曲线y=ax3+bx2+cx+d 在点(0,0)处的切线,则y'|x=0=-1⇒c=-1,排解选项B、D.又y=3x-6是该曲线在点(2,0)处的切线,则y'|x=2=3⇒12a+4b+c=3⇒12a+4b-1=3⇒3a+b=1.只有A选项中的函数符合,故选A.8.答案 3解析∵f'(x)=alnx+a,∴f'(1)=aln1+a=3,解得a=3.9.答案5x+y-3=0解析y'=-5e-5x,曲线在点(0,3)处的切线斜率k=y'|x=0=-5,故切线方程为y-3=-5(x-0),即5x+y-3=0.10.答案 1解析由题意可得f'(x)=3ax2+1,∴f'(1)=3a+1,又f(1)=a+2,∴f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1),又此切线过点(2,7),∴7-(a+2)=(3a+1)(2-1),解得a=1.11.答案解析设P(x0,y0),P点处切线倾斜角为α,则0≤tanα≤1,由f(x)=x2+2x+3,得f'(x)=2x+2,令0≤2x0+2≤1,得-1≤x0≤-.12.答案8解析令f(x)=y=x+lnx,求导得f'(x)=1+,f'(1)=2,又f(1)=1,所以曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.设直线y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1的切点为P(x0,y0),则y'=2ax0+a+2=2,得a(2x0+1)=0,∴a=0或x0=-,又a+(a+2)x0+1=2x0-1,即a+ax0+2=0,当a=0时,明显不满足此方程,∴x0=-,此时a=8.13.解析(1)f'(x)=e x[x2+(a+2)x+a+2].当a=0时,f'(x)=e x(x2+2x+2).f(1)=3e,f'(1)=5e,∴切线方程为y-3e=5e(x-1),即5ex-y-2e=0.(2)f'(x)=e x[x2+(a+2)x+a+2],∵e x>0恒成立,且x2的系数为正,∴f(x)在R上单调等价于x2+(a+2)x+a+2≥0恒成立,∴(a+2)2-4(a+2)≤0,解得-2≤a≤2.∴a∈[-2,2].14.解析设切点为(x0,-12x0+2),则切线斜率为f'(x0)=3-12,所以切线方程为y-+12x0-2=(3-12)(x-x0),将原点坐标代入上式得x0=1,所以切线方程为y=-9x.由得lnx-9x-m=0,设h(x)=lnx-9x-m,则h'(x)=,令h'(x)=>0,得0<x<,所以h(x)在上单调递增,在上单调递减,所以h(x)最大值=h=-ln9-1-m. 若lnx-9x-m=0有两个解,则h(x)最大值>0.∴m<-ln9-1.B组提升题组1.D y'=a-,x=0时,y'=a-1=2,∴a=3,故选D.2.A y=x2+alnx的定义域为(0,+∞),y'=2x+≥2=4,即a=2,当且仅当x=1时等号成立,此时y=1,故所求的切点坐标是(1,1).3.C 函数f(x)的开放式含x项的系数为a1·a2·…·a8=(a1·a8)4=84=212,而f'(0)=a1·a2·…·a8=212,故选C.4.A 由题意得,f'(x)=3x2-3,设切点为(x0,-3x0),那么切线的斜率为k=3-3,利用点斜式方程可知切线方程为y-(-3x0)=(3-3)(x-x0),将点A(2,-1)代入可得关于x0的一元三次方程2-6+5=0.令y=2-6+5,则y'=6-12x0.由y'=0得x0=0或x0=2.当x0=0时,y=5>0;x0=2时,y=-3<0.所以方程2-6+5=0有3个解.故过点A(2,-1)作曲线f(x)=x3-3x的切线最多有3条,故选A.5.D 令g(x)=xf(x),则g'(x)=f(x)+xf'(x),由题意知g(x)在(0,+∞)内递减,由于f(x)为偶函数,所以g(x)为奇函数,故g(x)在R上为减函数,又log3<logπ3<30.3,所以c>b>a.故选D.6.答案(-ln2,2)解析令f(x)=y=e-x,则f'(x)=-e-x.令P(x0,y0),则f'(x0)=-=-2,解得x0=-ln2,所以y0==e ln2=2,所以点P的坐标为(-ln2,2).7.答案3x+y+2=0解析设切点的坐标为(x0,+3-1),由切线与直线2x-6y+1=0垂直,可得切线的斜率为-3,又f'(x)=3x2+6x,故3+6x0=-3,解得x0=-1,于是切点坐标为(-1,1),从而得切线的方程为3x+y+2=0.8.答案 4解析∵g(x)=f(x)-x2,∴g'(x)=f'(x)-2x,由题意知g'(1)=2,∴g'(1)=f'(1)-2=2,∴f'(1)=4.9.答案y=-解析由y=xe x可得y'=e x+xe x=e x(x+1),从而可得y=xe x在(-∞,-1)上递减,在(-1,+∞)上递增,所以当x=-1时,y=xe x取得微小值-e-1,由于y'|x=-1=0,故切线方程为y=-e-1,即y=-.10.答案-3解析∵y=ax2+,∴y'=2ax-,由题意可得解得∴a+b=-3.11.答案①③④解析①直线l:y=0在P(0,0)处与曲线C:y=x3相切,且曲线C在点P(0,0)四周位于直线l的两侧,①对;②直线l:x=-1不是曲线C:y=(x+1)2在P(-1,0)处的切线,②错;③中y'=cosx,cos0=1,因此曲线C:y=sinx在P(0,0)处的切线为l:y=x,设f(x)=x-sinx,则f'(x)=1-cosx≥0,即f(x)是增函数,又f(0)=0,从而当x<0时,f(x)<0⇒x<sinx,当x>0时,f(x)>0⇒x>sinx,即曲线C:y=sinx在P(0,0)四周位于直线l的两侧,③正确;④中y'='=,=1,因此曲线C:y=tanx在P(0,0)处的切线为l:y=x,设g(x)=x-tanx,则g'(x)=1-≤0,即g(x)在上是减函数,且g(0)=0,同③得④正确;⑤中y'=,=1,因此曲线C:y=lnx在P(1,0)处的切线为l:y=x-1,设h(x)=x-1-lnx(x>0),则h'(x)=1-=,当0<x<1时,h'(x)<0,当x>1时,h'(x)>0,因此当x=1时,h(x)min=h(1)=0,因此曲线C在P(1,0)四周位于直线l的一侧,故⑤错误.因此答案为①③④.12.解析(1)f'(x)=3ax2+6x-6a,由于f'(-1)=0,所以a=-2.(2)存在.由题意得直线m恒过点(0,9).先求直线m是曲线y=g(x)的切线.设切点为(x0,3+6x0+12),∵g'(x0)=6x0+6.∴切线方程为y-(3+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0),将点(0,9)代入得x0=±1.当x0=-1时,切线方程为y=9,当x0=1时,切线方程为y=12x+9.由f'(x)=0得-6x2+6x+12=0,即有x=-1或x=2,当x=-1时,y=f(x)的切线方程为y=-18,当x=2时,y=f(x)的切线方程为y=9,∴y=9是公切线.又由f'(x)=12得-6x2+6x+12=12,∴x=0或x=1.当x=0时,y=f(x)的切线方程为y=12x-11,当x=1时,y=f(x)的切线方程为y=12x-10,∴y=12x+9不是公切线.综上所述,k=0时,y=9是两曲线的公切线.13.解析(1)由f(x)=2x3-3x得f'(x)=6x2-3.令f'(x)=0,得x=-或x=.由于f(-2)=-10,f=,f=-,f(1)=-1,所以f(x)在区间[-2,1]上的最大值为f=.(2)设过点P(1,t)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x0,y0),则y0=2-3x0,且切线斜率为k=6-3,所以切线方程为y-y0=(6-3)(x-x0),因此t-y0=(6-3)(1-x0).整理得4-6+t+3=0.设g(x)=4x3-6x2+t+3,则“过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”.g'(x)=12x2-12x=12x(x-1).g(x)与g'(x)的变化状况如下表:x (-∞,0)0 (0,1) 1 (1,+∞)g'(x) + 0 - 0 +g(x) ↗t+3 ↘t+1 ↗所以,g(0)=t+3是g(x)的极大值,g(1)=t+1是g(x)的微小值.当g(0)=t+3≤0,即t≤-3时,此时g(x)在区间(-∞,1]和(1,+∞)上分别至多有1个零点,所以g(x)至多有2个零点.当g(1)=t+1≥0,即t≥-1时,此时g(x)在区间(-∞,0)和[0,+∞)上分别至多有1个零点,所以g(x)至多有2个零点. 当g(0)>0且g(1)<0,即-3<t<-1时,由于g(-1)=t-7<0,g(2)=t+11>0,所以g(x)分别在区间[-1,0),[0,1)和[1,2)上恰有1个零点.由于g(x)在区间(-∞,0)和(1,+∞)上单调,所以g(x)分别在区间(-∞,0)和[1,+∞)上恰有1个零点.综上可知,当过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切时,t的取值范围是(-3,-1).(3)过点A(-1,2)存在3条直线与曲线y=f(x)相切;过点B(2,10)存在2条直线与曲线y=f(x)相切;过点C(0,2)存在1条直线与曲线y=f(x)相切.。

广东省2023年高考数学模拟(二模)试题按题型难易度分层分类汇编(12套)-02填空题(提升题)

广东省2023年高考数学模拟(二模)试题按题型难易度分层分类汇编(12套)-02填空题(提升题)

广东省2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（12套）-02填空题（提升题）一．抽象函数及其应用（共1小题）1．（2023•深圳二模）已知函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）﹣2为奇函数，且f（1﹣x）＝f（3+x），则f（2023）＝ ．二．正弦函数的单调性（共1小题）2．（2023•湛江二模）若函数在上具有单调性，且为f（x）的一个零点，则f（x）在上单调递 （填增或减），函数y＝f（x）﹣lgx的零点个数为 ．三．函数的零点与方程根的关系（共1小题）3．（2023•高州市二模）已知函数，若存在实数k，使得方程f（x）＝k有6个不同实根x1，x2，x3，x4，x5，x6，且x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6，则a的取值范围是 ；的值为 ．四．根据实际问题选择函数类型（共1小题）4．（2023•茂名二模）修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段．如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C且直径MN平行坝面．坝面上点A满足AC⊥MN，且AC长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点A到小岛建三段栈道AB、BD与BE，水面上的点B在线段AC上，且BD、BE均与圆C相切，切点分别为D、E，其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上．此外在半圆小岛上再修建栈道、以及MN，则需要修建的栈道总长度的最小值为 百米．五．利用导数研究曲线上某点切线方程（共2小题）5．（2023•梅州二模）已知函数f（x）＝x2+alnx的图象在x＝1处的切线在y轴上的截距为2，则实数a＝ ．6．（2023•广东二模）已知f（x）＝x3﹣x，若过点P（m，n）恰能作两条直线与曲线y＝f （x）相切，且这两条切线关于直线x＝m对称，则m的一个可能值为 ．六．平面向量的基本定理（共1小题）7．（2023•广州二模）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，当λ＝　时，则有最小值为 ．七．解三角形（共1小题）8．（2023•深圳二模）足球是一项很受欢迎的体育运动．如图，某标准足球场的B底线宽AB ＝72码，球门宽EF＝8码，球门位于底线的正中位置．在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P，使得∠EPF最大，这时候点P就是最佳射门位置．当攻方球员甲位于边线上的点O处（OA＝AB，OA⊥AB）时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择．若选择线路，则甲带球 码时，APO到达最佳射门位置；若选择线路，则甲带球 码时，到达最佳射门位置．八．棱柱、棱锥、棱台的体积（共1小题）9．（2023•广东二模）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°，除面ABCD外，该四棱柱其余各个面的中心分别为点E，F，G，H，Ⅰ，则由点E，F，G，H，Ⅰ构成的四棱锥的体积为 ．九．球的体积和表面积（共1小题）10．（2023•韶关二模）将一个圆心角为、面积为2π的扇形卷成一个圆锥，则此圆锥内半径最大的球的表面积为 ．一十．点、线、面间的距离计算（共1小题）11．（2023•高州市二模）已知球O与正四面体A﹣BCD各棱相切，且与平面α相切，若AB ＝1，则正四面体A﹣BCD表面上的点到平面α距离的最大值为 ．一十一．轨迹方程（共1小题）12．（2023•广州二模）在平面直角坐标系xOy中，定义d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为A （x1，y1），B（x2，y2）两点之间的“折线距离”．已知点Q（1，0），动点P满足d（Q，P）＝，点M是曲线y＝上任意一点，则点P的轨迹所围成图形的面积为 ，d（P，M）的最小值为 ．一十二．椭圆的性质（共3小题）13．（2023•梅州二模）如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为 ．14．（2023•汕头二模）阿波罗尼奥斯在其著作《圆锥曲线论》中提出：过椭圆上任意一点P（x0，y0）的切线方程为．若已知△ABC内接于椭圆E：，且坐标原点O为△ABC的重心，过A，B，C分别作椭圆E的切线，切线分别相交于点D，E，F，则＝ ．15．（2023•佛山二模）已知F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，P是过椭圆右顶点且与长轴垂直的直线上的动点，则sin∠F1PF2的最大值为 ．一十三．抛物线的性质（共1小题）16．（2023•韶关二模）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为﹣1的直线l交抛物线C于A，B两点，则以线段AB为直径的圆D的方程为 ；若圆D上存在两点P，Q，在圆T：（x+2）2+（y+7）2＝a2（a＞0）上存在一点M，使得∠PMQ ＝90°，则实数a的取值范围为 ．一十四．古典概型及其概率计算公式（共1小题）17．（2023•佛山二模）有n个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是 ，从第n个盒子中取到白球的概率是 ．一十五．离散型随机变量的期望与方差（共1小题）18．（2023•汕头二模）某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占5%，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次．按照这种化验方法，平均每个人需要化验 次．（结果保留四位有效数字）（0.955≈0.7738，0.956≈0.735，0.957≈0.6983）．一十六．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义（共1小题）19．（2023•佛山二模）佛山被誉为“南国陶都”，拥有上千年的制陶史，佛山瓷砖享誉海内外．某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标X～N（800，σ2），且P（X＜801）＝0.6，现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记Y表示800≤X＜801的瓷砖片数，则E（Y）＝ ．一十七．归纳推理（共1小题）20．（2023•广州二模）如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法为：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，将图①，图②，图③，图④中的图形周长依次记为C1，C2，C3，C4，则＝ ．广东省2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（12套）-02填空题（提升题）参考答案与试题解析一．抽象函数及其应用（共1小题）1．（2023•深圳二模）已知函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）﹣2为奇函数，且f（1﹣x）＝f（3+x），则f（2023）＝　2　．【答案】2．【解答】解：由于f（x+1）﹣2为奇函数，则f（x+1）﹣2＝﹣[f（﹣x+1）﹣2]，即f（x+1）+f（1﹣x）＝4，所以函数f（x）关于点（1，2）对称，则f（1）＝2，又f（1﹣x）＝f（3+x），则f（x+1）+f（x+3）＝4，则f（x）+f（x+2）＝4，则f（x+2）+f（x+4）＝4，所以f（x）＝f（x+4），则函数f（x）的周期为4，所以f（2023）＝f（505×4+3）＝f（3）＝f（1）＝2．故答案为：2．二．正弦函数的单调性（共1小题）2．（2023•湛江二模）若函数在上具有单调性，且为f（x）的一个零点，则f（x）在上单调递　增　（填增或减），函数y＝f（x）﹣lgx的零点个数为　9个　．【答案】增；9个．【解答】解：∵函数在上具有单调性，∴﹣（﹣）≤T，即≤，∴0＜ω≤，又∵f（）＝sin（ω+）＝0，∴ω+＝kπ（k∈Z），即ω＝﹣，k∈Z，只有k＝1时，ω＝3符合要求，此时f（x）＝sin（3x+），当x∈时，3x+∈（﹣，），∴f（x）在上单调递增，作出函数y＝f（x）与y＝lgx的图象，由图可知，这两个函数的图象共有9个交点，∴函数y＝f（x）﹣lgx的零点个数为9个．故答案为：增；9个．三．函数的零点与方程根的关系（共1小题）3．（2023•高州市二模）已知函数，若存在实数k，使得方程f（x）＝k有6个不同实根x1，x2，x3，x4，x5，x6，且x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6，则a的取值范围是　（2，+∞）　；的值为　2　．【答案】（2，+∞）；2．【解答】解：当x∈（﹣∞，0）时，，当且仅当即x＝﹣1时取等号，且根据对勾函数可得f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增，当x∈（0，e﹣a]时，lnx∈（﹣∞，﹣a]，|lnx|＝﹣lnx∈[a，+∞），则|lnx|﹣a＝﹣lnx﹣a∈[0，+∞），所以f（x）＝﹣lnx﹣a∈[0，+∞）；当x∈（e﹣a，1]时，lnx∈（﹣a，0]，|lnx|＝﹣lnx∈[0，a），则|lnx|﹣a＝﹣lnx﹣a∈[﹣a，0），所以f（x）＝lnx+a∈（0，a]；当x∈（1，e a]时，lnx∈（0，a]，|lnx|＝lnx∈（0，a]，则|lnx|﹣a＝lnx﹣a∈（﹣a，0]，所以f（x）＝a﹣lnx∈[0，a）；当x∈（e a，+∞）时，lnx∈（a，+∞），|lnx|＝lnx∈（a，+∞），则|lnx|﹣a＝lnx﹣a∈（0，+∞），所以f（x）＝lnx﹣a∈（0，+∞），所以f（x）的大致图象如图所示，当a＞2时，存在实数k，使得方程f（x）＝k有6个不同实根，故a的取值范围是（2，+∞），由题意得x1，x2是方程的两个根，即方程x2+kx+1＝0的两个根，所以x1x2＝1，x1x2＝1，﹣lnx3﹣a＝lnx6﹣a＝k，所以lnx3+lnx6＝ln（x3x6）＝0，解得x3x6＝1，lnx4+a＝a﹣lnx5＝k，lnx4+lnx5＝ln（x4x5）＝0，解得x4x5＝1所以，故答案为：（2，+∞）；2．四．根据实际问题选择函数类型（共1小题）4．（2023•茂名二模）修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段．如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C且直径MN平行坝面．坝面上点A满足AC⊥MN，且AC长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点A到小岛建三段栈道AB、BD与BE，水面上的点B在线段AC上，且BD、BE均与圆C相切，切点分别为D、E，其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上．此外在半圆小岛上再修建栈道、以及MN，则需要修建的栈道总长度的最小值为　+5　百米．【答案】+5．【解答】解：连接CD，CE，由半圆半径为1得：CD＝CE＝1，由对称性，设∠CBE＝∠CBD＝θ，又CD⊥BD，CE⊥BE，所以BE＝BD＝＝，BC＝＝，易知∠MCE＝∠NCD＝θ，所以，的长为θ，又AC＝3，故AB＝AC﹣BC＝3﹣∈（0，2），故sinθ∈（，1），令sinθ0＝，且θ0∈（0，），则f（θ）＝5﹣++2θ，θ∈（θ0，），所以f′（θ）＝，θ（θ0，）（，）f′（θ）﹣0+f（θ）单调递减极小值单调递增所以栈道总长度最小值f（θ）min＝f（）＝+5．故答案为：+5．五．利用导数研究曲线上某点切线方程（共2小题）5．（2023•梅州二模）已知函数f（x）＝x2+alnx的图象在x＝1处的切线在y轴上的截距为2，则实数a＝　﹣3　．【答案】﹣3．【解答】解：由f（x）＝x2+alnx，得f′（x）＝2x+，则f′（1）＝2+a，又f（1）＝1，∴函数f（x）＝x2+alnx的图象在x＝1处的切线方程为y﹣1＝（2+a）（x﹣1），取x＝0，可得y＝﹣2﹣a+1＝﹣a﹣1＝2，可得a＝﹣3．故答案为：﹣3．6．（2023•广东二模）已知f（x）＝x3﹣x，若过点P（m，n）恰能作两条直线与曲线y＝f （x）相切，且这两条切线关于直线x＝m对称，则m的一个可能值为　（或或或）　．【答案】（或或或）．【解答】解：设切点坐标为（t，t3﹣t），因为f（x）＝x3﹣x，则f'（x）＝3x2﹣1，切线斜率为f'（t）＝3t2﹣1，所以，曲线y＝f（x）在x＝t处的切线方程为y﹣（t3﹣t）＝（3t2﹣1）（x﹣t），将点P的坐标代入切线方程可得2t3﹣3mt2+m+n＝0，设过点P且与曲线y＝f（x）相切的切线的切点的横坐标分别为x1、x2，且x1≠x2，因为这两条切线关于直线x＝m对称，则，所以，易知x1、x2关于t的方程2t3﹣3mt2+m+n＝0的两个根，设该方程的第三个根为x3，则2t3﹣3mt2+m+n＝2（t﹣x1）（t﹣x2）（t﹣x3），则，所以，因为过点P（m，n）恰能作两条直线与曲线y＝f（x）相切，则关于t的方程2t3﹣3mt2+m+n＝0只有两个不等的实根，不妨设x3＝x1，则，若x1＝0，则，可得，解得；若2x2+x1＝0，则x1＝﹣2x2，所以，，可得，x1＝m，所以，解得．综上所述，或．故答案为：（或或或）．六．平面向量的基本定理（共1小题）7．（2023•广州二模）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，当λ＝ 时，则有最小值为 ．【答案】；．【解答】解：在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝60°，则，又，则＝＝＝（1﹣），，则＝+4λ+4（）＝，又＝，当且仅当，即时取等号，即当λ＝时，则有最小值为，故答案为：；．七．解三角形（共1小题）8．（2023•深圳二模）足球是一项很受欢迎的体育运动．如图，某标准足球场的B底线宽AB ＝72码，球门宽EF＝8码，球门位于底线的正中位置．在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P，使得∠EPF最大，这时候点P就是最佳射门位置．当攻方球员甲位于边线上的点O处（OA＝AB，OA⊥AB）时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择．若选择线路，则甲带球　72﹣16　码时，APO到达最佳射门位置；若选择线路，则甲带球　72﹣16　码时，到达最佳射门位置．【答案】72﹣16；72﹣16．【解答】解：若选择线路，设AP＝t，其中0＜t≤72，AE＝32，AF＝32+8＝40，则tan∠APE＝＝，tan∠APF＝＝，所以，tan∠EPF＝tan（∠APF﹣∠APE）＝＝＝＝≤＝，当且仅当t＝时，即当t＝16时，等号成立，此时OP＝OA﹣AP＝72﹣16，所以，若选择线路，则甲带球72﹣16码时，APO到达最佳射门位置；若选择线路，以线段EF的中点N为坐标原点，、的方向分别为x、y轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则B（﹣36，0）、O（36，72）、F（﹣4，0）、E（4，0），k OB＝＝1，直线OB的方程为y＝x+36，设点P（x，x+36），其中﹣36＜x≤36，tan∠AFP＝k PF＝，tan∠AEP＝k PE＝，所以，tan∠EPF＝tan（∠AEP﹣∠AFP）＝＝＝＝，令m＝x+36∈（0，72]，则x＝m﹣36，所以x+36+＝m+＝2m+﹣72≥2﹣72＝32﹣72，当且仅当2m＝时，即当m＝8，即当x＝8﹣36时，等号成立，所以，tan∠EPF＝≤＝，当且仅当x＝8﹣36时，等号成立，此时，|OP|＝|36﹣（8﹣36）|＝72﹣16，所以，若选择线路，则甲带球72﹣16码时，到达最佳射门位置，故答案为：72﹣16；72﹣16．八．棱柱、棱锥、棱台的体积（共1小题）9．（2023•广东二模）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°，除面ABCD外，该四棱柱其余各个面的中心分别为点E，F，G，H，Ⅰ，则由点E，F，G，H，Ⅰ构成的四棱锥的体积为 ．【答案】．【解答】解：连接AC，BD，由题意可得，分别过E，F，G，H作底面ABCD的垂线，垂足分别为E1，F1，G1，H1，可得E1，F1，G1，H1分别为AB，BC，CD，AD的中点，连接E1F1，F1G1，G1H1，H1E1，可得，由题意可得：EFGH﹣E1F1G1H1为四棱柱，则，四棱锥的高为直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高的一半，即为1，所以四棱锥的体积．故答案为：．九．球的体积和表面积（共1小题）10．（2023•韶关二模）将一个圆心角为、面积为2π的扇形卷成一个圆锥，则此圆锥内半径最大的球的表面积为　π　．【答案】π．【解答】解：设圆锥底面半径为R，母线长为L，则，解得R＝，L＝，易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中，，且点M为BC边上的中点，设内切圆的圆心为O，由于，故S△ABC＝××＝，设内切圆半径为r，则：S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC＝AB•r×2+BC•r，解得：，其表面积：．故答案为：π．一十．点、线、面间的距离计算（共1小题）11．（2023•高州市二模）已知球O与正四面体A﹣BCD各棱相切，且与平面α相切，若AB ＝1，则正四面体A﹣BCD表面上的点到平面α距离的最大值为 ．【答案】．【解答】解：将正四面体A﹣BCD补形成正方体，因为球O与正四面体A﹣BCD各棱相切，所以球O即为正方体的内切球，易知，球心O为正方体体对角线的中点，记正四面体A﹣BCD表面上的点到球心O的距离为d，球的半径为r，则正四面体A﹣BCD表面上的点到平面α距离的最大值即为d+r的最大值，设正方体棱长为a，则a2+a2＝1，解得，所以，易知，，所以正四面体A﹣BCD表面上的点到平面α距离的最大值为．故答案为：．一十一．轨迹方程（共1小题）12．（2023•广州二模）在平面直角坐标系xOy中，定义d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为A （x1，y1），B（x2，y2）两点之间的“折线距离”．已知点Q（1，0），动点P满足d（Q，P）＝，点M是曲线y＝上任意一点，则点P的轨迹所围成图形的面积为 ，d（P，M）的最小值为　（﹣1）　．【答案】；（﹣1）．【解答】解：设P（x，y），d（Q，P）＝|x﹣1|+|y|＝，当x≥1，y≥0时，则x﹣1+y＝，即x+y﹣＝0，当x≥1，y＜0时，则x﹣1﹣y＝，即x﹣y﹣＝0，当x＜1，y＜0时，则1﹣x﹣y＝，即x+y﹣＝0，当x＜1，y≥0时，则1﹣x+y＝，即x﹣y﹣＝0，故点P的轨迹所围成图形如下图阴影部分四边形ABCD的面积：则S＝×××4＝，如下图，设P（x0，y0），M（x1，y1），又求d（P，M）的最小值，显然x1＞x0，y1＞y0，d（P，M）＝|x1﹣x0|+|y1﹣y0|＝x1﹣x0+y1﹣y0＝x1+y1﹣（x0+y0），求d（P，M）的最小值，即x1+y1的最小值，x0+y0的最大值，又（x0+y0）＝，下面求x1+y1的最小值，令y＝x1+y1＝x1+，y'＝1﹣＝0，即x1＝，令y'＞0，解得：x1＞，令y'＜0，解得：x1＜，所以y在（﹣∞，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，所以x1＝时，y有最小值，且y min＝，所以d（P，M）min＝﹣＝（﹣1）．故答案为：；（﹣1）．一十二．椭圆的性质（共3小题）13．（2023•梅州二模）如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为 ．【答案】．【解答】解：设圆柱的底面半径为r，因为一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形状，则2b＝2r，，即，因此该椭圆的离心率为．故答案为：．14．（2023•汕头二模）阿波罗尼奥斯在其著作《圆锥曲线论》中提出：过椭圆上任意一点P（x0，y0）的切线方程为．若已知△ABC内接于椭圆E：，且坐标原点O为△ABC的重心，过A，B，C分别作椭圆E的切线，切线分别相交于点D，E，F，则＝　4　．【答案】4．【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），由中点坐标公式可得、、，∵O为△ABC的重心，∴，，，∴x1y3﹣x3y1＝x3y2﹣x2y3＝x2y1﹣x1y2，由题意可知，过A，B，C切线分别为，，，∴，，，∴，同理，即O也是△DEF的重心，又∵，，，∴，，，∴，同理可得k OE＝k OB，k OF＝k OA，∴D，O，C、E，O，B、F，O，A共线，综上，C，B，A分别是EF，DF，DE的中点，则．故答案为：4．15．（2023•佛山二模）已知F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，P是过椭圆右顶点且与长轴垂直的直线上的动点，则sin∠F1PF2的最大值为 ．【答案】．【解答】解：由椭圆的方程可知右顶点为M（2，0），左右焦点F1、F2的坐标为（﹣1，0），（1，0），设P（2，t）为过椭圆右顶点且与长轴垂直的直线上的动点，（不妨设t＞0），tan∠F1PF2＝tan（∠F1PM﹣∠F2PM）＝＝＝＝≤＝，当且仅当t＝，即t＝时取等号，∵0≤∠F1PF2＜，∴0≤∠F1PF2≤，∴sin∠F1PF2的最大值为．故答案为：．一十三．抛物线的性质（共1小题）16．（2023•韶关二模）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为﹣1的直线l交抛物线C于A，B两点，则以线段AB为直径的圆D的方程为　（x﹣3）2+（y+2）2＝16　；若圆D上存在两点P，Q，在圆T：（x+2）2+（y+7）2＝a2（a＞0）上存在一点M，使得∠PMQ＝90°，则实数a的取值范围为　[，9]　．【答案】（x﹣3）²+（y+2）²＝16，[，9]．【解答】解：过抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0）且斜率为﹣1的直线l为y＝﹣x+1，由消去x，得x2﹣6x+1＝0，所以AB的中点为D（3，﹣2），|AB|＝x1+x2+p，所以以线段AB为直径的圆D的半径r＝4，方程为（x﹣3）²+（y+2）²＝16，对圆D内任意一点M，必可作相互垂直的两直线相交，故存在圆D上两点P，Q，使∠PMQ＝90°；对圆D外任意一点M，P，Q是圆D上两点．当MP，MQ与圆D相切时，∠PMQ最大，此时DPMQ为柜形，T：（x﹣a）2+y2＝1上存在一点M，使得∠PMQ＝90°，等价于以D为因心以为半径的圆与圆T：（x+2）2+（y+7）2＝a2（a＞0）在公共点，所以，解得，所以实数a的取值范围为[，9]．故答案为：（x﹣3）²+（y+2）²＝16，[，9]．一十四．古典概型及其概率计算公式（共1小题）17．（2023•佛山二模）有n个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是 ，从第n个盒子中取到白球的概率是 ．【答案】；．【解答】解：记事件A i表示从第i（i＝1，2，•，n）个盒子里取出白球，则P（A1）＝，P（）＝，P（A2）＝P（A1A2）+P（）＝P（A1）P（A2|A1）+P（）P（A2|）＝＝，P（A 3）＝P（A2）P（A3|A2）+P（）P（A3|）＝＝，P（A 4）＝P（A3）P（A4|A3）+P（）P（A4|）＝，进而得P（A n）＝，P（A n）﹣＝[P（A n﹣1）﹣]，又P（A1）﹣＝，P（A2）﹣＝，P（A2）﹣＝[P（A1）﹣]，∴{P（A n）﹣}是首项为，公比为的等比数列，∴P（A n）﹣＝＝，∴P（A n）＝．故答案为：；．一十五．离散型随机变量的期望与方差（共1小题）18．（2023•汕头二模）某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占5%，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次．按照这种化验方法，平均每个人需要化验　0.4262　次．（结果保留四位有效数字）（0.955≈0.7738，0.956≈0.735，0.957≈0.6983）．【答案】0.4262．【解答】解：设每个人需要的化验次数为X，若混合血样呈阴性，则X＝；若混合血样呈阳性，则X＝；因此，X的分布列为P（X＝）＝0.955，P（X＝）＝1﹣0.955，所以E（X）＝≈0.4262，说明每5个人一组，平均每个人需要化验0.4262次．故答案为：0.4262．一十六．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义（共1小题）19．（2023•佛山二模）佛山被誉为“南国陶都”，拥有上千年的制陶史，佛山瓷砖享誉海内外．某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标X～N（800，σ2），且P（X＜801）＝0.6，现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记Y表示800≤X＜801的瓷砖片数，则E（Y）＝　1　．【答案】1．【解答】解：由题意，X～N（800，σ2），所以正态曲线关于直线X＝800对称，所以P（X＜800）＝0.5，因为P（X＜801）＝P（X＜800）+P（800≤X＜801）＝0.6，所以P（800≤X＜801）＝0.6﹣0.5＝0.1，由题意，Y～B（10，0.1），所以E（Y）＝10×0.1＝1．故答案为：1．一十七．归纳推理（共1小题）20．（2023•广州二模）如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法为：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，将图①，图②，图③，图④中的图形周长依次记为C1，C2，C3，C4，则＝ ．【答案】．【解答】解：观察图形知，各个图形的周长依次排成一列构成数列{∁n}，从第二个图形开始，每一个图形的边数是相邻前一个图形的4倍，边长是相邻前一个图形的，因此从第二个图形开始，每一个图形的周长是相邻前一个图形周长的，即有，因此数列{∁n}是首项C1＝3，公比为的等比数列，所以，，故答案为：．。

2023年上海市虹口区高考数学二模试卷+答案解析(附后)

2023年上海市虹口区高考数学二模试卷+答案解析(附后)

2023年上海市虹口区高考数学二模试卷1. 已知集合，，则______ .2. 函数的定义域为______ .3. 复数，在复平面上对应的点分别为，，则______ .4. 抛物线上的点到其焦点的距离为______ .5. 已知x是第二象限的角，且，则______ .6. 某小组成员的年龄分布茎叶图如图所示，则该小组成员年龄的第25百分位数是______ .7. 在中，已知，，，则______ .8. 对于定义在R上的奇函数，当时，，则该函数的值域为______ .9. 端午节吃粽子是我国的传统习俗.一盘中放有10个外观完全相同的粽子，其中豆沙粽3个，肉粽3个，白米粽4个，现从盘子任意取出3个，则取到白米粽的个数的数学期望为______ .10. 已知A，B是球O的球面上两点，，P为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为6，则球O的表面积为______ .11. 过原点的直线l与双曲线C：的左、右两支分别交于M，N两点，为C的右焦点，若，且，则双曲线C的方程为______ .12. 已知平面向量，，，满足，，，，且对任意的实数t，均有，则的最小值为______ .13. 已知复数为虚数单位，则( )A. B. C. D. 214. 某同学上学路上有4个红绿灯的路口，假设他走到每个路口遇到绿灯的概率为，且在各个路口遇到红灯或绿灯互不影响，则该同学上学路上至少遇到2次绿灯的概率为( )A. B. C. D.15. 对于函数，给出下列结论：函数的图像关于点对称；函数在区间上的值域为；将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像；曲线在处的切线的斜率为则所有正确的结论是( )A. B. C. D.16. 在数列中，若有均为正整数，且，就有，则称数列为“递等数列”.已知数列满足，且，将“递等数列”前n项和记为，若，，，则( )A. 4720B. 4719C. 4718D. 471617. 记为数列的前n项和，已知，为正整数求数列的通项公式；设，若…，求正整数m的值.18. 如图，在圆锥PO中，AB是底面的直径，C是底面圆周上的一点，且，，，M是BC的中点.求证：平面平面POM；求二面角的余弦值.19. 电解电容是常见的电子元件之一.检测组在的温度条件下对电解电容进行质量检测，按检测结果将其分为次品、正品，其中正品分合格品、优等品两类铝䇚是组成电解电容必不可少的材料.现检测组在的温度条件下，对铝箵质量与电解电容质量进行测试，得到如下列联表，那么他们是否有的把握认为电解电容质量与铝䇚质量有关？请说明理由；电解电容为次品电解电容为正品铝箔为次品17476铝箔为正品108142电解电容经检验为正品后才能装箱，已知两箱电解电容每箱50个，第一箱和第二箱中分别有优等品8件与9件.现用户从两箱中随机挑选出一箱，并从该箱中先后随机抽取两个元件，求在第一次取出的是优等品的情况下，第二次取出的是合格品的概率.附录：，其中k20. 已知动点到点的距离和它到直线的距离之比等于，动点M的轨迹记为曲线C，过点F的直线l与曲线C相交于P，Q两点.求曲线C的方程；若，求直线l的方程；已知，直线AP，AQ分别与直线相交于M，N两点，求证：以MN为直径的圆经过点21. 设，，求函数，的单调区间和极值；若关于x不等式在区间上恒成立，求实数a的值；若存在直线，其与曲线和共有3个不同交点，，，求证：，，成等比数列.答案和解析1.【答案】【解析】解：，，故答案为：由已知直接利用交集运算的定义得答案．本题考查交集及其运算，是基础题．2.【答案】【解析】解：要使原函数有意义，则，解得函数的定义域为故答案为：由对数式的真数大于0，分母中根式内部的代数式大于0，联立不等式组求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．3.【答案】【解析】解：复数，在复平面上对应的点分别为，，则，，故故答案为：根据已知条件，结合复数的几何意义，以及四则运算，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．4.【答案】5【解析】解：抛物线的准线为，则，故，到焦点的距离等于到准线的距离，为故答案为：确定抛物线的准线为，，再计算距离即可．本题考查了抛物线的性质，属于基础题．5.【答案】【解析】解：由，知，因为x是第二象限的角，所以，所以，所以故答案为：结合诱导公式，同角三角函数的关系式，求得，再利用两角和的正切公式，即可得解．本题考查三角函数的求值，熟练掌握诱导公式，同角三角函数的关系式，两角和的正切公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．6.【答案】【解析】解：因为，所以该小组成员年龄的第25百分位数是故答案为：根据茎叶图中数据，利用百分位数的定义计算即可．本题考查了茎叶图与百分位数的应用问题，是基础题．7.【答案】4【解析】解：在中，已知，，，利用余弦定理：，整理得，即，解得：或故故答案为：直接利用余弦定理求出BC的长．本题考查的知识要点：余弦定理，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．8.【答案】【解析】解：因为为R上的奇函数所以，所以，又当时，，所以，当且仅当时等号成立，即当时，，因为为R上的奇函数，所以函数的图象关于原点对称，所以时，，所以函数的值域为故答案为：根据奇函数的性质求得，再结合基本不等式求时的取值范围，再结合奇函数的性质求时函数值的范围，由此可得函数值域．本题考查函数的值域和奇偶性，属于基础题．9.【答案】【解析】解：设取到白米粽的个数为随机变量X，则，1，2，3，所以，，所以故答案为：设取到白米粽的个数为随机变量X，求出对应的概率，利用期望公式求解．本题考查了离散型随机变量的期望计算，属于中档题．10.【答案】【解析】解：设球的半径为R，当面AOB时，三棱锥体积的最大，因为，所以为等边三角形，可得，所以，可得，所以球的表面积，故答案为：设球的半径R，由题意当面AOB时，三棱锥体积的最大，由，可得为等边三角形，进而求出它的面积，代入三棱锥的体积公式，可得R的值，进而求出球的表面积．本题考查三棱锥的体积的求法及球的表面积的求法，属于基础题．11.【答案】【解析】解：如图，，，设双曲线的左焦点为，连接，，由对称性可得，四边形为矩形，则，又，，又，，解得，，即双曲线C的方程为故答案为：由题意画出图形，设双曲线的左焦点为，连接，，由对称性可得，四边形为矩形，则，结合已知求得，，由双曲线的定义可得a，再由隐含条件求解b，则双曲线方程可求．本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线方程的求法，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】【解析】【分析】作，，以为x轴建立平面直角坐标系，由题意写出点A、点E的坐标，设点，，可得出点B在以A为圆心，以1为半径的圆上，由得出恒成立，作，设点，得出点C在直线上；由此求出的最小值．本题考查了直线与圆的方程应用问题，也考查了平面向量的数量积运算问题，是难题．【解答】解：作，，以为x轴建立平面直角坐标系，如图所示；因为，，，所以点A的坐标为，点E的坐标为，作，设点，因为，所以，所以，所以点B在以为圆心，以1为半径的圆上；因为对任意的实数t，均有，所以，又，所以恒成立，所以，所以，即，作，设点，则，即，所以点C在直线上；因为，且点B在圆上，点C在直线上，所以点B到点C的最小距离是圆心A到最新的距离减去圆的半径，即，当且仅当点B为线段AC与圆的交点时“=”成立；因为点到直线的距离为，所以点A到点C的距离大于或等于，即，所以，当且仅当AC垂直于直线，且点B为线段AC与圆的交点时“=”成立；所以的最小值为故答案为：13.【答案】A【解析】解：，则故选：根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．14.【答案】D【解析】解：某同学上学的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为，则该同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率为：故选：由n次独立事件中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出该同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率．本题考查概率的求法，考查n次独立事件中事件A恰好发生k次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．15.【答案】C【解析】解：因为，因为，所以函数的图像不关于点对称，故错误；当时，，所以，故正确；将函数的图像向左平移个单位长度得，故错误；因为，所以，所以，即曲线在处的切线的斜率为1，故正确．故说法正确的有、故选：由三角恒等变化得，对于，验证是否成立即可；对于，由三角函数的性质，求出函数的值域即可；对于，由函数的平移及诱导公式即可判断；对于，验证即可．本题考查了三角恒等变化、三角函数的性质及导数的几何意义，属于中档题．16.【答案】B【解析】解：已知数列满足，且，则，则，则，即，又，，则，，又若有均为正整数，且，就有，即，又，即，则，，，依次类推可得数列是周期为3的周期数列，则故选：由题意可得，然后结合题意可得数列是周期为3的周期数列，然后求解即可．本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式，重点考查了阅读理解能力，属中档题．17.【答案】解：已知，为正整数，则，，两式相减可得，即，，又，则；因为，所以，又…，当时，…，即不满足题意，即，则…，即，即正整数m的值【解析】由已知可得，，又，则，得解；由可得，然后讨论当时和时两种情况，结合等差数列的通项公式求解即可．本题考查了利用数列的递推式求数列的通项公式，重点考查了等差数列的求和公式，属基础题．18.【答案】证明：如图，由题意，，为AB的中点，M为BC的中点，，则，而平面ABC，平面ABC，则，又，平面POM，又平面PBC，平面平面POM；解：平面ABC，平面PAB，则平面平面ABC，在平面ABC中，过M作，垂足为E，在平面PAB中，过E作，垂足为F，连接MF，则平面EFM，得，可得为二面角的平面角．由已知可得，，，则，，，，，，又，，得在中，，，得即二面角的余弦值为【解析】由已知证明，，可得平面POM，即可得到平面平面POM；证明平面平面ABC，在平面ABC中，过M作，垂足为E，在平面PAB中，过E作，垂足为F，连接MF，可得为二面角的平面角，再由已知求解三角形得答案．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了二面角的求法，是中档题．19.【答案】解：列联表如下：电解电容为次品电解电容为正品合计铝箔为次品17476250铝箔为正品108142250合计282218500，有的把握认为电解电容质量与铝䇚质量有关；设第一次取出的是优等品为事件A，第二次取出的是合格品为事件B，，，【解析】先填写联列表，再求出，即可判断．利用条件概率公式，求解即可．本题考查独立检验的应用，条件概率公式的运用，属于中档题．20.【答案】解：动点到点的距离和它到直线的距离之比等于，，，曲线C的方程为；当过点F的直线l的斜率为0时，直线l的方程为，直线l与椭圆的交点为，，，，，，，，与矛盾，当过点F的直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，联立得，即，设，，则①，②，，，③，由①②③得，，直线l的方程为或；证明：，，，直线AP的方程为，直线AQ的方程为，联立得，解得，同理得，，，，，以MN 为直径的圆经过点【解析】根据距离公式代入化简；设出直线的方程，联立方程组，再利用向量的相等，即可求解；先求出，，再证明即可．本题考查求曲线的轨迹方程，直线与椭圆位置关系的应用，综合性强，运算大，属于难题．21.【答案】解：由题意可得，，所以当时，，当时，，令，所以函数在上，单调递增，在上，单调递减，在上，单调递增，在上，单调递减，所以函数在上的单调递增区间为与，递减区间为与，所以，，关于x 的不等式，即在区间恒成立，令，则，且，，由知，在上的极大值为，所以在上的最大值为1，即在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上严格单调递增，所以，若，即，则在上严格递增，所以在上恒成立，若，即，则由，，由零点的存在定理可得，存在，使得，所以在上，单调递减，所以，所以在上，不符合在上恒成立的条件，所以当且仅当时，在上恒成立，综上所述，实数a的取值范围为证明：函数，令，则，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，对于函数，令，则，所以在上，，在上单调递增，在上，，在上单调递减，所以，所以函数与有相同的最大值，其图象如下：下面先证明：曲线与有唯一交点，由，即，即方程有唯一实数根，令，，则，所以在上恒为负数，所以曲线与在区间上没有交点，在区间上，函数单调递减，函数单调递增，所以在上单调递减，所以函数在上单调递减，由，及零点的存在定理可得：函数在上存在唯一零点，所以方程在上有唯一实数根，且，下面证明：直线与曲线，共有3个不同交点，所以直线必经过点，且，，，由，得，即，函数在上单调递增，，，所以，由，得，即，函数在上单调递增，，，所以，所以，由，得，所以，所以，所以，，成等比数列．【解析】由题意可得，令，求导分析单调性，极值，即可得出答案．关于x的不等式，即在区间恒成立，令，只需，即可得出答案．函数，令，求导分析单调性，进而可得，对于函数，令，求导分析单调性可得，函数与有相同的最大值，证明曲线与有唯一交点，再证明：直线与曲线，共有3个不同交点，可得，，进而可得答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．。

2020年北京各区二模数学分类汇编----函数与导数

2020年北京各区二模数学分类汇编----函数与导数

2020年北京各区二模数学分类汇编------函数与导数一、选填题部分1.（2020海淀二模）下列函数中，值域为[0,)+∞且为偶函数的是（A ）2y x = （B ）|1|y x =- （C ）cos y x =（D ）ln y x =答案 A.2.（2020密云二模）在下列函数中，定义域为实数集的偶函数为A.sin y x =B.cos y x =C.||y x x =D.ln ||y x = 答案B3.（2020密云二模）已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ． 2答案B4.（2020昌平二模）设0.30.512,(),ln 22a b c -===，则（A ）c b a << （B ）c a b << （C ）a b c << （D ）b a c << 答案B5. （2020昌平二模）点P 在函数e x y =的图象上.若满足到直线y x a =+的点P 有且仅有3个，则实数a 的值为（A ） （B ） （C ）3 （D ）4 答案C6.（2020东城二模）已知三个函数33,3,log xy x y y x ===，则(A)定义域都为R (B)值域都为 R (C)在其定义域上都是增函数 (D)都是奇函数 答案C7.（2020东城二模）已知函数()log af x x b=+的图象如图所示，那么函数()xg x a b=+的图象可能为(A)（B）（C）（D）答案B8.（2020西城二模）.函数1()f x xx=-是( A)奇函数,且值域为0+∞（，）( B)奇函数,且值域为R( C)偶函数,且值域为0+∞（，）( D)偶函数,且值域为R答案B9.（2020丰台二模）函数()f x=的定义域为（A）(02),（B）[02],（C）(0)(2)-∞+∞U,,（D）(0][2)-∞+∞U,,答案C10.（2020丰台二模）已知函数()ln(1)ln(1)f x x x=--+，则()f x（A）是奇函数，且在定义域上是增函数（B）是奇函数，且在定义域上是减函数（C ）是偶函数，且在区间(01)，上是增函数 （D ）是偶函数，且在区间(01)，上是减函数 答案 B11.（2020房山二模）函数2()e xf x x =-的零点个数为 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3答案B12.（2020房山二模）已知函数()lg |1|lg |1|f x x x =++-，则()f x（A ）是奇函数，且在(1,)+∞上是增函数 （B ）是奇函数，且在(1,)+∞上是减函数 （C ）是偶函数，且在(1,)+∞上是增函数 （D ）是偶函数，且在(1,)+∞上是减函数 答案 C13. （2020朝阳二模）函数()ln 1=-f x xx 的定义域为 (A )(0,)+∞ (B )(0,1)(1,)+∞U (C )[0,)+∞ (D )[0,1)(1,)+∞U 答案B14.（2020顺义二模）下列函数中，既是偶函数，又在()0,+∞上单调递减的是 （A ）2y x =-（B ）2y x =-（C ）cos y x =（D ）12xy =（）答案A15. （2020顺义二模）已知()f x ＝21|1|,02,0x x x x x -+<⎧⎨-≥⎩，若实数[]2,0m ∈-，则()(1)f x f --在区间[],2m m +上的最大值的取值范围是 （A ）[]1,4 （B ）[]2,4（C ）[]1,3（D ）[]1,2答案D二、解答题部分：1.（2020丰台二模）已知函数1()exx f x +=.（Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）求证：当(0,)x ∈+∞时，21()12f x x >-+；（Ⅲ）当0x >时，若曲线()y f x =在曲线21y ax =+的上方，求实数a 的取值范围. 答案解：（Ⅰ）因为1()e x x f x +=，定义域R ，所以'()exxf x =-.令'()0f x =，解得0x =.随x 的变化，'()f x 和()f x 的情况如下：由表可知函数()f x 在0x =时取得极大值(0)1f =，无极小值. ………5分 （Ⅱ）令22111()()11(0)2e 2x x g x f x x x x +=+-=+->， 1e 1'()=(1)()eeex xxxx g x x x x --+=-=.由0x >得e 10x->，于是'()0g x >，故函数()g x 是[0)∞,+上的增函数. 所以当(0)x ∈∞,+时，()(0)0g x g >=，即21()12f x x >-+. ………9分（Ⅲ）当12a ≤-时，由（Ⅱ）知221()121f x x ax >-+≥+，满足题意.令221()()11e xx h x f x ax ax +=--=--，1'()2(2)e e xxx x ax x a h =--=-+.当102a -<<时，若1(0ln())2x a∈-，，'()0h x <，则()h x 在1[0ln()]2a -，上是减函数.所以1(0ln())2x a∈-，时，()(0)0h x h <=，不合题意. 当0a ≥时'()0h x <，则()h x 在(0)∞,+上是减函数， 所以()(0)0h x h <=，不合题意. 综上所述，实数a 的取值范围1(]2-∞-,. ………15分2．（2020密云二模）已知函数()ln ,f x x a x a =-∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （Ⅱ）设函数1()()ah x f x x+=+，试判断函数()h x 是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．（Ⅲ）当0x >时，写出ln x x 与2x x -的大小关系．答案 解：（Ⅰ）解：当1a =时，()ln ,0f x x x x =->，所以1'()1,0f x x x=->，因此'(1)0k f ==． 又因为(1)1f =，所以切点为(1,1)．所以切线方程为1y =．（Ⅱ）解：1()ln 0ah x x a x x a x+=-+>∈R ，，． 所以221(1)(1)'()10a a x x a h x x x x x ++--=-->=，． 因为0x >，所以10x +>．（1）当10a +≤，即a ≤-1时因为0x >，所以(1)0x a -+>，故'()0h x >． 此时函数()h x 在(0,)+∞上单调递增．所以函数()h x 不存在最小值． （2）当10a +>，即a >-1时令'()0h x =，因为0x >，所以1x a =+．()h x 与'()h x 在(0,)+∞上的变化情况如下：所以当1x a =+时，()h x 有极小值，也是最小值，并且min ()(1)2ln(1)h x h a a a a =+=+-+． 综上所述，当a ≤-1时，函数()h x 不存在最小值；当1a >-时，函数()h x 有最小值2ln(1)a a a +-+．（Ⅲ）解：当0x >时，2ln x x x x -≤．3.（2020昌平二模）已知函数31(),.3f x x ax a a =-+∈R （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(01)，处的切线方程； （II ）求函数()y f x =的单调区间；（III ）当(0,2)x ∈时，比较()f x 与|1|a --的大小. 答案解：（Ⅰ）当1a =时，31() 1.3f x x x =-+ 因为2'()1f x x =-， …………….1分所以'(0)1f =-. …………….2分 所以曲线()y f x =在点(01)，处的切线方程为10x y +-=. …………….4分 （II ）定义域为R .因为2'(),.f x x a a =-∈R ①当0a =时，'()0f x ≥恒成立.所以函数()y f x =在∞∞(-,+)上单调递增. …………….5分 ②当0a <时，'()0f x >恒成立.所以函数()y f x =在∞∞(-,+)上单调递增. …………….6分③当0a >时，令'()0f x =，则x =x = …………….7分所以当'()0f x >时，x <x >当'()0f x <时，x <<…………….8分所以函数()y f x =在(,-∞和)+∞上单调递增，在(上单调递减. …………….9分 综上可知，当0a ≤时，函数()y f x =在∞∞(-,+)上单调递增；当0a >时，函数()y f x =在(,-∞和)+∞上单调递增，在(上单调递减.（III ）法一：由（Ⅱ）可知，（1）当0a ≤时，函数()y f x =在∞∞(-,+)上单调递增； 所以当(0,2)x ∈时，min ()(0).f x f a >= 因为|1|=(1)1a a a ----=-，所以()|1|f x a >--. …………….10分（2）当0a >时，函数()y f x =在(,-∞和)+∞上单调递增，在(上单调递减.①当01<≤，即01a <≤时，|1|0a --≤.所以当(0,2)x ∈时，函数()y f x =在上单调递减，上单调递增，min ()f x f =313a =-(0a =>所以()|1|f x a >--. …………….11分②当12<<，即14a <<时，|1|=10a a ---<.由上可知min ()f x f =(1)a =，因为2(1)(1)213a a a --=--，设2()21,(14)3g x x x =--<<.因为'()20g x =>，所以()g x 在(1,4)上单调递增. 所以1()(1)03g x g >=>.所以(1)(1)210a a a --=--> 所以()|1|f x a >--. …………….13分2≥，即4a ≥时，|1|=10a a ---<.因为函数()y f x =在上单调递减， 所以当(0,2)x ∈时，min 8()(2)13f x f a a ==->-. 所以()|1|f x a >--.综上可知，当(0,2)x ∈时，()|1|f x a >--. …………….14分（III ）法二：因为()(|1|)()|1|f x a f x a ---=+-，①当1a ≤时，因为(0,2)x ∈， 所以ax x -≥-.所以3311()|1|=()11133f x a f x a x ax x x +-+-=-+>-+. ……………10分 ②当1a >时，()|1|=()1f x a f x a +-+-331121(2)133x ax a x a x =-+-=+--因为(0,2)x ∈， 所以(2)(2)a x x -≥-. 所以333111()|1|(2)1(2)11333f x a x a x x x x x +-=+-->+--=-+.. 11分 设31()13g x x x =-+. 因为2'()1(1)(1)g x x x x =-=+-， 所以当'()0g x >时，1x <-或1x >，当'()0g x <时，11x -<<. …………….12分 所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增. ……………13分 所以min 1()(1)03g x g ==>. 所以当(0,2)x ∈时，()|1|f x a >--. …………….14分4.（2020东城二模）已知()sin ()xf x e x ax a =++∈R .（Ⅰ）当2a =-时，求证：()f x 在(0)-∞，上单调递减； （Ⅱ）若对任意0x ≥，()1f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若()f x 有最小值，请直接给出实数a 的取值范围. 答案（Ⅰ）解：'()cos xf x e x a =++,对于2a =-，当0x <时，1,cos 1xe x <≤， 所以'()cos 20xf x e x =+-<. 所以()f x 在(),0-∞上单调递减. ………………………………4分 （Ⅱ）解：当0x =时，()11f x =≥，对于R ∈a ，命题成立，当0x >时，设()cos =++xg x e x a ， 则'()sin xg x e x =-. 因为1,sin 1>≤xe x ，所以'()sin 11=0xg x e x =->-，()g x 在()0,+∞上单调递增. 又(0)2=+g a ， 所以()2>+g x a .所以'()f x 在()0,+∞上单调递增，且'()2>+f x a . ① 当2a ≥-时，'()0>f x ， 所以()f x 在()0,+∞上单调递增. 因为(0)1f =， 所以()1>f x 恒成立.② 当2a <-时，'(0)20f a =+<， 因为'()f x 在[0,)+∞上单调递增，又当ln(2)=-x a 时，'()2cos 2cos 0=-+++=+>f x a x a x ， 所以存在0(0,)x ∈+∞，对于0(0,)∈x x ，'()0f x <恒成立. 所以()f x 在()00,x 上单调递减，所以当0(0,)∈x x 时，()(0)1<=f x f ，不合题意.综上，当2a ≥-时，对于0x ≥，()1f x ≥恒成立. ………………………………13分（Ⅲ）解：0a <.………………………………15分5.（2020海淀二模）已知函数()e (sin cos )x f x x x =+.（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）求证：曲线()y f x =在区间(0,)2π上有且只有一条斜率为2的切线.答案解：（Ⅰ）()e (sin cos )+e (cos sin )x xf x x x x x '=+-2e cos x x =.令()0,f x '>得22()22k x k k πππ-<<π+∈Z . 所以()f x 的单调递增区间为(2,2)22k k πππ-π+()k ∈Z .（Ⅱ）证明：要证曲线()y f x =在区间(0,)2π上有且只有一条斜率为2的切线，即证方程'()2f x =在区间(0,)2π上有且只有一个解.令()f x '2e cos 2x x ==，得e cos 1x x =.设c (1)e os xg x x =-，则()e cos e sin sin()4x x xg x x x x π'=-=-.当(0,)2x π∈时，令()0g x '=，得4x π=.当x 变化时，'(),()g x g x 的变化情况如下表：所以()g x 在(0,)4π上单调增，在(,)42ππ上单调减.因为0(0)g =,所以当(0,]4x π∈时，()0g x >；又1(0)2g π=-<，所以当(,)42x ππ∈时，()g x 有且只有一个零点.所以当(0,)2x π∈时，c (1)e os xg x x =-有且只有一个零点.即方程2()f x '=，(0,)2x π∈有且只有一个解.所以曲线()y f x =在区间(0,)2π上有且只有一条斜率为2的切线.6.（2020西城二模）设函数 ()ln f x ax x = ,其中a R ∈. 曲线()y f x =在点( 1, f ( 1) )处的切线经过点( 3, 2) . (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求函数 ()f x 的极值; (Ⅲ)证明: 2()xx f x e e>- 答案解：（Ⅰ）由()ln f x ax x =，得()ln f x a x a '=+， ……………… 2分 则(1)0f =，(1)f a '=.所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为(1)y a x =-. ……………… 4分 将点(3,2)代入切线方程，得1a =. ……………… 5分 （Ⅱ）由题意，得()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+. 令()0f x '=，得1ex =. ……………… 7分 随着x 变化，()f x '与()f x 的变化情况如下表所示：所以函数()f x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,+)e ∞上单调递增. ……………… 9分所以函数()f x 存在极小值，且极小值为11()e ef =-；函数()f x 不存在极大值.……………… 10分（Ⅲ）“2()e ex x f x >-”等价于“2ln 0e e x x x x -+>”. ……………… 11分 由（Ⅱ），得1()ln e f x x x =≥-（当且仅当1ex =时等号成立）. ①所以21ln e e e ex x x xx x -+-≥.故只要证明10ee xx-≥即可（需验证等号不同时成立）. ……………… 12分 设1()e e x x g x =-，(0,+)x ∈∞，则1()ex x g x -'=. ……………… 13分因为当(0,1)x ∈时，1()0e x x g x -'=<；当(1,)x ∈+∞时，1()0ex x g x -'=>，所以函数()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,+)∞上单调递增. 所以()(1)0g x g =≥（当且仅当1x =时等号成立）. ② 因为①②两个不等式中的等号不同时成立， 所以当(0,)x ∈+∞时，2()e ex x f x >-. ……………… 15分7.（2020房山二模）已知函数cos ()e 1sin x xf x x=++．（Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）求曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程； （Ⅲ）求证：当ππ(,)22x ∈-时，()2f x ≥． 答案（Ⅰ）由sin 1x ≠-，得π2π()2x k k ≠-+∈Z 所以()f x 的定义域为π{|2π()}2x x k k ≠-+∈Z（Ⅱ）0cos0(0)e 21sin 0f =+=+22sin (1sin )cos 1()e e (1sin )1sin x xx x x f x x x -+-'=+=-+++ （π2π()2x k k ≠-+∈Z ）(0)0f '=所以，曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程为2y = （Ⅲ）法一：由1()e 1sin x f x x'=-++，令1()e 1sin x g x x=-++，则2cos ()e (1sin )xx g x x '=++ 当ππ(,)22x ∈-时，()0g x '>，则()g x 在ππ(,)22-上单调递增，且(0)0g =所以当π(,0)2x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当π(0,)2x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，()f x 的极小值为(0)2f =所以，当ππ(,)22x ∈-时，()2f x ≥ 法二：1()e 1sin x f x x'=-++当0x =时，01(0)e 01sin 0f '=-+=+；当(,0)2x π∈-时，sin (1,0),x ∈-1sin (0,1),x +∈11(1,),(,1),1sin 1sin x x-∈+∞∈-∞-++2e (e ,1)xπ-∈，所以当(,0)2x π∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减，当(0,)2x π∈时，sin (0,1),x ∈11111sin (1,2),(,1),(1,),1sin 21sin 2x x x -+∈∈∈--++2e (1,e )xπ∈，所以当(0,)2x π∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，()f x 的极小值为(0)2f =所以，当ππ(,)22x ∈-时，()2f x ≥ 8. （2020朝阳二模）已知函数()2sin cos =--f x x x x ax ()∈a R ． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的斜率为1．（ⅰ）求a 的值；（ⅱ）证明：函数()f x 在区间(0,π)内有唯一极值点； （Ⅱ）当1≤a 时，证明：对任意(0,π)∈x ，()0>f x ． 答案 解：（Ⅰ）（ⅰ）因为()2sin cos =--f x x x x ax，所以()2cos (cos sin )cos sin '=---=+-f x x x x x a x x x a ．因为曲线()=y f x 在点(0,(0))f 处的切线的斜率为1，所以(0)1'=f ，即11-=a ，故0=a ． 经检验，符合题意．……………4分（ⅱ)由（ⅰ）可知()2sin cos =-f x x x x ，()cos sin '=+f x x x x ．设()()'=g x f x ，则()cos '=g x x x ．令()0'=g x ，又)π(0,∈x ，得2π=x ． 当(0,)2π∈x 时，()0'>g x ；当π(,π)2∈x 时，()0'<g x ，所以()g x 在π(0,)2内单调递增，在π(,π)2内单调递减．又(0)1=g ，ππ()22=g ，(π)1=-g ，因此，当π(0,]2∈x 时，()(0)0>>g x g ，即()0'>f x ，此时()f x 在区间π(0,]2上无极值点；当π(,π)2∈x 时，()0=g x 有唯一解0x ，即()0'=f x 有唯一解0x ，且易知当0π(,)2∈x x 时，()0'>f x ，当0(,π)∈x x 时，()0'<f x ，故此时()f x 在区间π(,π)2内有唯一极大值点0x ．综上可知，函数()f x 在区间(0,π)内有唯一极值点．……………10分（Ⅱ）因为()cos sin '=+-f x x x x a ，设()()'=h x f x ，则()cos '=h x x x ．令()0'=h x ，又(0,π)∈x ，得π2=x ．且当π(0,)2∈x 时，()0'>h x ；当π(,π)2∈x 时，()0'<h x ，所以()'f x 在π(0,)2内单调递增，在π(,π)2内单调递减．当1≤a 时，(0)10'=-≥f a ，()022ππ'=->f a ，()1'π=--f a ．（1）当()10'π=--≥f a ，即1≤-a 时，()0'≥f x ．此时函数()f x 在(0,π)内单调递增，()(0)0>=f x f ；（2）当()10'π=--<f a ，即11-<≤a 时，因为(0)10'=-≥f a ，()022ππ'=->f a ， 所以，在π(0,)2内()0'≥f x 恒成立，而在区间π(,π)2内()'f x 有且只有一个零点，记为1x ，则函数()f x 在1(0,)x 内单调递增，在1(,π)x 内单调递减． 又因为(0)0=f ，()(1)0π=-π≥f a ，所以此时()0>f x ．由（1）（2）可知，当1≤a 时，对任意(0,π)∈x ，总有()0>f x ．……………15分9.（2020顺义二模）（本小题14分）已知函数2()e x f x ax =-,a ∈R .（I ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))A f 处的切线方程； （II ）若()f x 在(0,)+∞内单调递增，求实数a 的取值范围；（III ）当1a =-时，试写出方程()1f x =根的个数.（只需写出结论）解：（I ）1a =时，2()x f x e x =-．()2x f x e x '=-（或在这里求的()2x f x e ax '=-也可以）． -------------2分 ∴ 0(0)01f e =-=，0(0)01k f e '==-=． -------------4分 所求切线方程为1y x =+ ---------------5分 （II ）方法一：()2x f x e ax '=-.若2()x f x e x =-在(0,)+∞上单调递增，则对任意(0,)x ∈+∞，都有()0f x '≥-------6分 即2x e a x ≤恒成立，等价于min ()2x e a x ≤． ----------------7分设()2x e g x x =，则2(1)()2x e x g x x -'=， ---------------8分令()0g x '=得1x =当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 在(0,1)上单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在(1,)+∞上单调递增，所以函数()g x 的最小值为e(1)2g =． ------------------11分 所以,2e a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦． ------------------12分方法二：()2x f x e ax '=-．若2()x f x e x =-在(0,)+∞上单调递增，则对任意(0,)x ∈+∞，都有()0f x '≥--------6分 等价于min (())0f x '≥．设()2x h x e ax =-，()2x h x e a '=-．当(0,)x ∈+∞时，1x e > ----------------7分 分类讨论：①当21a ≤，即12a ≤时，()0h x '≥恒成立， 所以()2x h x e ax =-在(0,)x ∈+∞上单调递增， 那么()(0)1h x h ≥=，所以12a ≤时，满足()0f x '≥． -------------------8分 ②当21a >，即12a >时，令()20x h x e a '=-=，得ln2x a =．当(0,ln 2)x a ∈时，()0h x '<，()h x 在(0,ln 2)x a ∈上单调递减； 当(ln 2,)x a ∈+∞时，()0h x '>，()h x 在(ln 2,)x a ∈+∞上单调递增；所以函数()h x 的最小值为(ln 2)2(1ln 2)h a a a =- ----------------10分由2(1ln 2)0a a -≥解得2e a ≤，所以122ea <≤ ． -------------------11分综上：,2e a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦． --------------------12分（III ） 2个 -------------------14分。

山东省东营市河口区一中2025届高考数学二模试卷含解析

山东省东营市河口区一中2025届高考数学二模试卷含解析

山东省东营市河口区一中2025届高考数学二模试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ＝{x ∈N |x 2＜8x }，B ＝{2，3，6}，C ＝{2，3，7}，则()AB C ⋃＝（ ）A ．{2，3，4，5}B ．{2，3，4，5，6}C ．{1，2，3，4，5，6}D ．{1，3，4，5，6，7}2．已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值为（ ） A ．–10B ．14-C ．–18D ．–203．已知定义在[)1,+∞上的函数()f x 满足()()33f x f x =，且当13x ≤≤时，()12f x x =--，则方程()()2019f x f =的最小实根的值为（ ）A ．168B ．249C ．411D ．5614．若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题：在边长为4的正方形内任取一点，则的概率为，则下列命题是真命题的是（ ）A ．B ．C ．D ．552，SA 是一条母线，P 点是底面圆周上一点，则P 点到SA 所在直线的距离的最大值是（ ） A 25B 45C ．3D ．46．已知函数()ln af x x a x =-+在[]1,e x ∈上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．e ,11e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦B ．e ,11e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭C ．e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭D ．[)1,e - 7．若i 为虚数单位，则复数112iz i+=+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．已知实数,x y 满足约束条件30202x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则3z x y =+的最小值为（ ）A ．-5B ．2C ．7D ．119．若31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（ ） A ．85B ．84C ．57D ．5610．如图所示程序框图，若判断框内为“4i <”，则输出S =（ ）A ．2B ．10C ．34D ．9811．已知函数()2x f x x x ln a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，关于x 的方程f （x ）＝a 存在四个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，1）∪（1，e ）B ．10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．（0，1）12．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且21()()(1)2x f x g x x ++=+-，则(1)(1)f g -=（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024届新高考数学大题精选30题--导数(解析版)

2024届新高考数学大题精选30题--导数(解析版)

2024届新高考数学导数大题精选30题1(2024·安徽·二模)已知函数f (x )=x 2-10x +3f (1)ln x .(1)求函数f (x )在点(1,f (1))处的切线方程；(2)求f (x )的单调区间和极值.【答案】(1)y =4x -13；(2)递增区间为(0,2),(3,+∞)，递减区间为2,3 ，极大值-16+12ln2，极小值-21+12ln3.【分析】(1)求出函数f (x )的导数，赋值求得f (1)，再利用导数的几何意义求出切线方程.(2)由(1)的信息，求出函数f (x )的导数，利用导数求出单调区间及极值.【详解】(1)函数f (x )=x 2-10x +3f (1)ln x ，求导得f(x )=2x -10+3f (1)x，则f (1)=-8+3f (1)，解得f (1)=4，于是f (x )=x 2-10x +12ln x ，f (1)=-9，所以所求切线方程为：y +9=4(x -1)，即y =4x -13.(2)由(1)知，函数f (x )=x 2-10x +12ln x ，定义域为(0,+∞)，求导得f (x )=2x -10+12x =2(x -2)(x -3)x，当0<x <2或x >3时，f (x )>0，当2<x <3时，f (x )<0，因此函数f (x )在(0,2),(3,+∞)上单调递增，在(2,3)上单调递减，当x =2时，f (x )取得极大值f (2)=-16+12ln2，当x =3时，f (x )取得极小值f (3)=-21+12ln3，所以函数f (x )的递增区间为(0,2),(3,+∞)，递减区间为(2,3)，极大值-16+12ln2，极小值-21+12ln3.2(2024·江苏南京·二模)已知函数f (x )=x 2-ax +ae x，其中a ∈R ．(1)当a =0时，求曲线y =f (x )在(1,f (1))处的切线方程；(2)当a >0时，若f (x )在区间[0,a ]上的最小值为1e，求a 的值．【答案】(1)x -ey =0(2)a =1【分析】(1)由a =0，分别求出f (1)及f (1)，即可写出切线方程；(2)计算出f (x )，令f (x )=0，解得x =2或x =a ，分类讨论a 的范围，得出f (x )的单调性，由f (x )在区间[0,a ]上的最小值为1e，列出方程求解即可．【详解】(1)当a =0时，f (x )=x 2e x ，则f (1)=1e ，f (x )=2x -x 2ex，所以f (1)=1e ，所以曲线y =f (x )在(1,f (1))处的切线方程为：y -1e =1e(x -1)，即x -ey =0．(2)f(x )=-x 2+(a +2)x -2a e x =-(x -2)(x -a )ex，令f (x )=0，解得x =2或x =a ，当0<a <2时，x ∈[0,a ]时，f (x )≤0，则f (x )在[0,a ]上单调递减，所以f (x )min =f (a )=a ea =1e ，则a =1，符合题意；当a >2时，x ∈[0,2]时，f (x )≤0，则f (x )在[0,2]上单调递减，x ∈(2,a ]时，f (x )>0，则f (x )在(2,a ]上单调递增，所以f (x )min =f (2)=4-a e2=1e ，则a =4-e <2，不合题意；当a =2时，x ∈[0,2]时，f (x )≤0，则f (x )在[0,2]上单调递减，所以f (x )min =f (2)==2e 2≠1e ，不合题意；综上，a =1．3(2024·浙江绍兴·模拟预测)已知f x =ae x -x ，g x =cos x . (1)讨论f x 的单调性.(2)若∃x 0使得f x 0 =g x 0 ，求参数a 的取值范围.【答案】(1)当a ≤0时，f x 在-∞,+∞ 上单调递减；当a >0时，f x 在-∞,-ln a 上单调递减，在-ln a ,+∞ 上单调递增.(2)-∞,1【分析】(1)对f x =ae x -x 求导数，然后分类讨论即可；(2)直接对a >1和a ≤1分类讨论，即可得到结果.【详解】(1)由f x =ae x -x ，知f x =ae x -1.当a ≤0时，有f x =ae x -1≤0-1=-1<0，所以f x 在-∞,+∞ 上单调递减；当a >0时，对x <-ln a 有f x =ae x -1<ae -ln a -1=1-1=0，对x >-ln a 有f x =ae x -1>ae -ln a -1=1-1=0，所以f x 在-∞,-ln a 上单调递减，在-ln a ,+∞ 上单调递增.综上，当a ≤0时，f x 在-∞,+∞ 上单调递减；当a >0时，f x 在-∞,-ln a 上单调递减，在-ln a ,+∞ 上单调递增.(2)当a >1时，由(1)的结论，知f x 在-∞,-ln a 上单调递减，在-ln a ,+∞ 上单调递增，所以对任意的x 都有f x ≥f -ln a =ae -ln a +ln a =1+ln a >1+ln1=1≥cos x =g x ，故f x >g x 恒成立，这表明此时条件不满足；当a ≤1时，设h x =ae x -x -cos x ，由于h -a -1 =ae -a -1+a +1-cos -a -1 ≥ae-a -1+a ≥-a e-a -1+a =a 1-e-a -1≥a 1-e 0=0，h 0 =ae 0-0-cos0=a -1≤0，故由零点存在定理，知一定存在x 0∈-a -1,0 ，使得h x 0 =0，故f x 0 -g x 0 =ae x 0-x 0-cos x 0=h x 0 =0，从而f x 0 =g x 0 ，这表明此时条件满足.综上，a 的取值范围是-∞,1 .4(2024·福建漳州·一模)已知函数f x =a ln x -x +a ，a ∈R 且a ≠0．(1)证明：曲线y =f x 在点1,f 1 处的切线方程过坐标原点．(2)讨论函数f x 的单调性．【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【分析】(1)先利用导数的几何意义求得f x 在1,f 1 处的切线方程，从而得证；(2)分类讨论a <0与a >0，利用导数与函数的单调性即可得解.【详解】(1)因为f x =a ln x -x +a x >0 ，所以f (x )=a x -1=a -xx，则f (1)=a ln1-1+a =a -1，f (1)=a -1，所以f x 在1,f 1 处的切线方程为:y -(a -1)=(a -1)(x -1)，当x =0时，y -(a -1)=(a -1)(0-1)=-(a -1)，故y =0，所以曲线y =f (x )在点1,f 1 处切线的方程过坐标原点.(2)由(1)得f (x )=ax -1=a -xx，当a<0时，a-x<0，则f x <0，故f(x)单调递减；当a>0时，令f (x)=0则x=a，当0<x<a时，f (x)>0，f(x)单调递增；当x>a时，f (x)<0，f(x)单调递减；综上：当a<0时，f(x)在(0,+∞)上单调递减；当a>0时，f(x)在(0,a)上单调递增，在(a,+∞)上单调递减.5(2024·山东·二模)已知函数f x =a2xe x-x-ln x．(1)当a=1e时，求f x 的单调区间；(2)当a>0时，f x ≥2-a，求a的取值范围．【答案】(1)f x 的减区间为0,1，增区间为1,+∞(2)a≥1【分析】(1)当a=1e时，f x =xe x-1-x-ln x,x>0，求导得f x =x+1xxe x-1-1，令g x =xe x-1-1，求g x 确定g x 的单调性与取值，从而确定f x 的零点，得函数的单调区间；(2)求f x ，确定函数的单调性，从而确定函数f x 的最值，即可得a的取值范围．【详解】(1)当a=1e时，f x =xe x-1-x-ln x,x>0，则f x =x+1e x-1-1-1x=x+1xxe x-1-1，设g x =xe x-1-1，则g x =x+1e x-1>0恒成立，又g1 =e0-1=0，所以当x∈0,1时，f x <0，f x 单调递减，当x∈1,+∞时，f x >0，f x 单调递增，所以f x 的减区间为0,1，增区间为1,+∞；(2)f x =a2x+1e x-1-1x=x+1xa2xe x-1，设h x =a2xe x-1，则h x =a2x+1e x>0，所以h x 在0,+∞上单调递增，又h0 =-1<0，h1a2=e1a2-1>0，所以存在x0∈0,1 a2，使得h x0 =0，即a2x0e x0-1=0，当x∈0,x0时，f x <0，f x 单调递减，当x∈x0,+∞时，f x >0，f x 单调递增，当x=x0时，f x 取得极小值，也是最小值，所以f x ≥f x0=a2x0e x0-x0-ln x0=1-ln x0e x0=1+2ln a，所以1+2ln a≥2-a，即a+2ln a-1≥0，设F a =a+2ln a-1，易知F a 单调递增，且F1 =0，所以F a ≥F1 ，解得a≥1，综上，a≥1.6(2024·山东·一模)已知函数f(x)=ln x+12a(x-1)2．(1)当a=-12时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数g(x)=f(x)-2x+1有两个极值点x1,x2，且g(x1)+g(x2)≥-1-32a，求a的取值范围．【答案】(1)增区间(0,2)，减区间(2,+∞)(2)[1,+∞)【分析】(1)将a=-12代入求导，然后确定单调性即可；(2)求导，根据导函数有两个根写出韦达定理，代入g(x1)+g(x2)≥-1-32a，构造函数，求导，研究函数性质进而求出a的取值范围．【详解】(1)当a=-12时，f(x)=ln x-14(x-1)2，x>0，则f (x)=1x-12(x-1)=-(x-2)(x+1)2x，当x∈(0,2)，f (x)>0，f(x)单调递增，当x∈(2,+∞)，f (x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,+∞)；(2)g(x)=f(x)-2x+1=ln x+12a(x-1)2-2x+1，所以g (x)=1x+a(x-1)-2=ax2-(a+2)x+1x，设φ(x)=ax2-(a+2)x+1，令φ(x)=0，由于g(x)有两个极值点x1,x2，所以Δ=(a+2)2-4a=a2+4>0x1+x2=a+2a>0x1x2=1a>0，解得a>0．由x1+x2=a+2a，x1x2=1a，得g x1+g x2=ln x1+12a x1-12-2x1+1+ln x2+12a x2-12-2x2+1=ln x1x2+12a x1+x22-2x1x2-2x1+x2+2-2x1+x2+2=ln1a +12a a+2a2-2a-2⋅a+2a+2-2⋅a+2a+2=ln1a +a2-2a-1≥-1-32a，即ln a-12a-1a≤0，令m(a)=ln a-12a-1a，则m (a)=1a-12-12a2=-(a-1)22a2≤0，所以m(a)在(0,+∞)上单调递减，且m(1)=0，所以a≥1，故a的取值范围是[1,+∞)．7(2024·湖北·二模)求解下列问题，(1)若kx-1≥ln x恒成立，求实数k的最小值；(2)已知a，b为正实数，x∈0,1，求函数g x =ax+1-xb-a x⋅b1-x的极值．【答案】(1)1(2)答案见解析【分析】(1)求导，然后分k≤0和k>0讨论，确定单调性，进而得最值；(2)先发现g0 =g1 =0，当a=b时，g x =0，当0<x<1，a≠b时，取ab=t，L x =tx+1-x-t x，求导，研究单调性，进而求出最值得答案.【详解】(1)记f x =kx-1-ln x x>0，则需使f x ≥0恒成立，∴f x =k-1xx>0，当k≤0时，f x <0恒成立，则f x 在(0,+∞)上单调递减，且在x>1时，f x <0，不符合题意，舍去；当k >0时．令f x =0，解得x =1k，则f x 在0,1k 上单调递减，在1k ,+∞ 上单调递增，所以f x min =f 1k =-ln 1k=ln k ，要使kx -1≥ln x 恒成立，只要ln k ≥0即可，解得k ≥1，所以k 的最小值为1；(2)g (x )=ax +(1-x )b -a x ⋅b 1-x ，x ∈[0,1]，a >0，b >0，易知g 0 =g 1 =0，当a =b 时，g x =ax +a -ax -a =0，此时函数无极值；当0<x <1，a ≠b 时，g (x )=ax +(1-x )b -b ⋅a b x =b a b x +1-x -a b x，取ab=t ，t >0，t ≠1，L x =tx +1-x -t x ，t >0，t ≠1，x ∈0,1 ，则L x =t -1-t x ln t ，当t >1时，由L x ≥0得x ≤ln t -1ln tln t，由(1)知t -1≥ln t ，当t >1时，t -1ln t>1，因为x -1≥ln x ，所以1x -1≥ln 1x ，所以ln x ≥1-1x ，即x >0，当t >1时，ln t >1-1t，所以t >t -1ln t ，则ln t >ln t -1ln t >0，所以ln t -1ln tln t<1，即L x 在0,ln t -1ln t ln t 上单调递增，在ln t -1ln tln t,1单调递减．所以函数g x 极大=gln t -1lntln t，t =ab，a ≠b ，当0<t <1时，同理有ln t -1lntln t∈0,1 ，由Lx ≥0得x ≤ln t -1lntln t，即(x )在0,ln t -1lntln t上单调递增，在ln t -1lntln t,1上单调递减．所以函数g x 极大=gln t -1lntln t，t =a b，a ≠b ，综上可知，当a =b 时，函数g x 没有极值；当a ≠b 时，函数g x 有唯一的极大值g ln t -1lntln t，其中t =ab，没有极小值．【点睛】关键点点睛：取ab=t ，将两个参数的问题转化为一个参数的问题，进而求导解答问题.8(2024·湖北武汉·模拟预测)函数f (x )=tan x +sin x -92x ，-π2<x <π2,g (x )=sin n x -x n cos x ,x ∈0,π2,n ∈N +．(1)求函数f (x )的极值；(2)若g (x )>0恒成立，求n 的最大值．【答案】(1)极小值为f π3 =3(3-π)2，极大值为f -π3 =3(π-3)2；(2)3.【分析】(1)判断函数f (x )为奇函数，利用导数求出f (x )在区间0,π2上的极值，利用奇偶性即可求得定义域上的极值.(2)利用导数证明当n =1时，g (x )>0恒成立，当n >1时，等价变形不等式并构造函数F (x )=x -sin x cos 1nx,0<x <π2，利用导数并按导数为负为正确定n 的取值范围，进而确定不等式恒成立与否得解.【详解】(1)函数f (x )=tan x +sin x -92x ，-π2<x <π2，f (-x )=tan (-x )+sin (-x )-92(-x )=-f (x )，即函数f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，当0<x <π2时，f (x )=sin x cos x +sin x -92x ，求导得：f(x )=1cos 2x +cos x -92=2cos 3x -9cos 2x +22cos 2x =(2cos x -1)(cos x -2-6)(cos x -2+6)2cos 2x，由于cos x ∈(0,1)，由f (x )>0，得0<cos x <12，解得π3<x <π2，由f (x )<0，得12<cos x <1，解得0<x <π3，即f (x )在0,π3 上单调递减，在π3,π2上单调递增，因此函数f (x )在0,π2 上有极小值f π3 =3(3-π)2，从而f (x )在-π2,π2 上的极小值为f π3 =3(3-π)2，极大值为f -π3 =3(π-3)2.(2)当n =1时，g (x )>0恒成立，即sin x -x cos x >0恒成立，亦即tan x >x 恒成立，令h (x )=tan x -x ,x ∈0,π2 ，求导得h (x )=1cos 2x -1=1-cos 2x cos 2x=tan 2x >0，则函数h (x )在0,π2上为增函数，有h (x )>h (0)=0，因此tan x -x >0恒成立；当n >1时，g (x )>0恒成立，即不等式sin xn cos x>x 恒成立，令F (x )=x -sin x cos 1n x ,0<x <π2，求导得：F (x )=1-cos x ⋅cos 1nx -1n⋅cos1n-1x ⋅(-sin x )⋅sin xcos 2nx=1-cos1+n nx +1n⋅sin 2x ⋅cos1-n nxcos 2nx=1-cos 2x +1n ⋅sin 2xcos n +1nx =cosn +1nx -cos 2x -1n (1-cos 2x )cos n +1nx =cosn +1nx -1n -n -1ncos 2x cosn +1nx令G (x )=cos n +1nx -1n -n -1n cos 2x ，求导得则G (x )=n +1n cos 1nx ⋅(-sin x )-n -1n⋅2cos x ⋅(-sin x )=sin x n (2n -2)cos x -(n +1)cos 1n x =2n -2n ⋅sin x cos x -n +12n -2cos 1n x=2n -2n ⋅sin x ⋅cos 1n x cos n -1n x -n +12n -2，由n >1,x ∈0,π2 ，得2n -2n⋅sin x ⋅cos 1nx >0，当n +12n -2≥1时，即n ≤3时，G (x )<0，则函数G (x )在0,π2上单调递减，则有G (x )<G (0)=0，即F (x )<0，因此函数F (x )在0,π2 上单调递减，有F (x )<F (0)=0，即g (x )>0，当n +12n -2<1时，即n >3时，存在一个x 0∈0,π2 ，使得cos n -1n x 0=n +12n -2，且当x ∈(0,x 0)时，G (x )>0，即G (x )在(0,x 0)上单调递增，且G (x )>G (0)=0，则F (x )>0，于是F (x )在(0,x 0)上单调递增，因此F (x )>F (0)=0，即sin xn cos x<x ，与g (x )>0矛盾，所以n 的最大值为3.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．9(2024·湖北·模拟预测)已知函数f x =ax 2-x +ln x +1 ，a ∈R ，(1)若对定义域内任意非零实数x 1，x 2，均有f x 1 f x 2x 1x 2>0，求a ；(2)记t n =1+12+⋅⋅⋅+1n ，证明：t n -56<ln n +1 <t n ．【答案】(1)a =12(2)证明见解析【分析】(1)求导可得f 0 =0，再分a ≤0与a >0两种情况分析原函数的单调性，当a >0时分析极值点的正负与原函数的正负区间，从而确定a 的值；(2)由(1)问的结论可知，1n -12n2<ln 1n +1 <1n ，再累加结合放缩方法证明即可.【详解】(1)f x 的定义域为-1,+∞ ，且f 0 =0；f x =2ax -1+1x +1=2ax -x x +1=x 2a -1x +1，因此f 0 =0；i.a ≤0时，2a -1x +1<0，则此时令f x >0有x ∈-1,0 ，令f x <0有x ∈0,+∞ ，则f x 在-1,0 上单调递增，0,+∞ 上单调递减，又f 0 =0，于是f x ≤0，此时令x 1x 2<0，有f x 1 f x 2x 1x 2<0，不符合题意；ii .a >0时，f x 有零点0和x 0=12a-1，若x 0<0，即a >12，此时令f x <0有x ∈x 0,0 ，f x 在x 0,0 上单调递减，又f 0 =0，则f x 0 >0，令x 1>0，x 2=x 0，有f x 1 f x 2x 1x 2<0，不符合题意；若x 0>0，即0<a <12，此时令f x <0有x ∈0,x 0 ，f x 在0,x 0 上单调递减，又f 0 =0，则f x 0 <0，令-1<x 1<0,x 2=x 0，有f x 1 f x 2x 1x 2<0，不符合题意；若x 0=0，即a =12，此时fx =x 2x +1>0，f x 在-1,+∞ 上单调递增，又f 0 =0，则x >0时f x >0，x <0时f x <0；则x ≠0时f x x >0，也即对x 1x 2≠0，f x 1 f x 2x 1x 2>0，综上，a =12(2)证：由(1)问的结论可知，a =0时，f x =-x +ln x +1 ≤0；且a =12时x >0，f x =12x 2-x +ln x +1 >0；则x>0时，x-12x2<ln x+1<x，令x=1n，有1n-12n2<ln1n+1<1n，即1n-12n2<ln n+1-ln n<1n，于是1n-1-12n-12<ln n-ln n-1<1n-11-12<ln2<1将上述n个式子相加，t n-121+122+⋅⋅⋅+1n2<ln n+1<t n；欲证t n-56<ln n+1<t n，只需证t n-56<t n-121+122+⋅⋅⋅+1n2，只需证1+122+⋅⋅⋅+1n2<53；因为1n2=44n2<44n2-1=212n-1-12n+1，所以1+122+⋅⋅⋅+1n2<1+213-15+15-17+⋅⋅⋅+12n-1-12n+1=53-22n+1<53，得证：于是得证t n-56<ln n+1<t n.【点睛】方法点睛：(1)此题考导数与函数的综合应用，找到合适的分类标准，设极值点，并确定函数正负区间是解此题的关键；(2)对累加结构的不等式证明，一般需要应用前问的结论，取特定参数值，得出不等式累加证明，遇到不能累加的数列结构，需要进行放缩证明.10(2024·湖南·一模)已知函数f x =sin x-ax⋅cos x,a∈R．(1)当a=1时，求函数f x 在x=π2处的切线方程；(2)x∈0,π2时；(ⅰ)若f x +sin2x>0，求a的取值范围；(ⅱ)证明：sin2x⋅tan x>x3．【答案】(1)πx-2y+2-π22=0.(2)(ⅰ)a≤3(ⅱ)证明见解析【分析】(1)令a=1时，利用导数的几何意义求出斜率，进行计算求出切线方程即可.(2)(ⅰ)设g(x)=2sin x+tan x-ax,x∈0,π2,由g x >0得a≤3，再证明此时满足g x >0.(ⅱ)根据(ⅰ)结论判断出F x =sin2x⋅tan x-x3在0,π2上单调递增，∴F(x)>F(0)=0,即sin2x tan x >x3.【详解】(1)当a=1时，f(x)=sin x-x⋅cos x,f (x)=cos x-(cos x-x⋅sin x)=x⋅sin x,fπ2=π2,fπ2=1.所以切线方程为：y-1=π2x-π2,即πx-2y+2-π22=0.(2)(ⅰ)f(x)+sin2x=sin x-ax⋅cos x+sin2x>0,即tan x-ax+2sin x>0,x∈0,π2，设g(x)=2sin x+tan x-ax,x∈0,π2,g (x )=2cos x +1cos 2x -a =1cos 2x(2cos 3x -a cos 2x +1).又∵g (0)=0,g (0)=3-a ,∴g (0)=3-a ≥0是g (x )>0的一个必要条件，即a ≤3.下证a ≤3时，满足g (x )=2sin x +tan x -ax >0,x ∈0,π2,又g (x )≥1cos 2x(2cos 3x -3cos 2x +1)，设(t )=2t 3-3t 2+1,t ∈(0,1),h (t )=6t 2-6t =6t (t -1)<0,h (t )在(0,1)上单调递减，所以h (t )>h (1)=0，又x ∈0,π2 ,cos x ∈(0,1),∴g (x )>0,即g (x )在0,π2 单调递增.∴x ∈0,π2时，g (x )>g (0)=0；下面证明a >3时不满足g (x )=2sin x +tan x -ax >0,x ∈0,π2,，g (x )=2cos x +1cos 2x-a ，令h (x )=g (x )=2cos x +1cos 2x -a ，则h (x )=-2sin x +2sin x cos 3x =2sin x 1cos 3x-1，∵x ∈0,π2 ,∴sin x >0,1cos 3x-1>0，∴h (x )>0,∴h (x )=g (x )在0,π2为增函数，令x 0满足x 0∈0,π2,cos x 0=1a ，则g x 0 =2cos x 0+1cos 2x 0-a =2cos x 0+a -a >0，又g (0)=3-a <0,∴∃x 1∈0,x 0 ,使得g x 1 =0，当x ∈0,x 1 时，g (x )<g x 1 =0，∴此时g (x )在0,x 1 为减函数，∴当x ∈0,x 1 时，g (x )<g (0)=0，∴a >3时，不满足g (x )≥0恒成立.综上a ≤3.(ⅱ)设F (x )=sin 2x ⋅tan x -x 3,x ∈0,π2 ,F (x )=2sin x ⋅cos x ⋅tan x +sin 2x ⋅1cos 2x-3x 2=2sin 2x +tan 2x -3x 2=2(sin x -x )2+(tan x -x )2+2(2sin x +tan x )x -2x 2-x 2-3x 2.由(ⅰ)知2sin x +tan x >3x ,∴F (x )>0+0+2x ⋅3x -6x 2=0,，F x 在0,π2上单调递增，∴F (x )>F (0)=0,即sin 2x tan x >x 3.【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是进行必要性探路，然后证明充分性，得到所要求的参数范围即可．11(2024·全国·模拟预测)已知函数f (x )=ln (1+x )-11+x．(1)求曲线y =f (x )在(0,f (0))处的切线方程；(2)若x ∈(-1,π)，讨论曲线y =f (x )与曲线y =-2cos x 的交点个数．【答案】(1)y =32x -1；(2)2．【分析】(1)求导，即可根据点斜式求解方程，(2)求导，分类讨论求解函数的单调性，结合零点存在性定理，即可根据函数的单调性，结合最值求解.【详解】(1)依题意，f x =11+x +121+x 32，故f 0 =32，而f 0 =-1，故所求切线方程为y +1=32x ，即y =32x -1．(2)令ln 1+x -11+x =-2cos x ，故ln 1+x +2cos x -11+x=0，令g x =ln 1+x +2cos x -11+x ，g x =11+x -2sin x +121+x -32，令h x =g x =11+x -2sin x +121+x -32，hx =-11+x2-2cos x -341+x -52．①当x ∈-1,π2时，cos x ≥0,1+x 2>0,1+x-52>0，∴h x <0,∴h x 在-1,π2上为减函数，即gx 在-1,π2 上为减函数，又g 0 =1+12>0,g1 =12-2sin1+12⋅2-32<12-2⋅sin1+12<1-2×12=0，∴g x 在0,1 上有唯一的零点，设为x 0，即g x 0 =00<x 0<1 ．∴g x 在-1,x 0 上为增函数，在x 0,π2上为减函数．又g 0 =2-1>0,g -π4 =ln 1-π4 +2cos -π4 -11-π4=ln 1-π4+2-11-π4<0,g π2=ln 1+π2 -11+π2>0，∴g x 在-1,x 0 上有且只有一个零点，在x 0,π2上无零点；②当x ∈π2,5π6 时，g x <11+x -1+121+x-32<0,g x 单调递减，又g π2 >0,g 5π6 =ln 1+5π6 -3-1+5π6-12<ln4-3<0，∴g x 在π2,5π6内恰有一零点；③当x ∈5π6,π 时，hx =-11+x2-2cos x -341+x -52为增函数，∴hx =h 5π6 =-11+5π62+1-34⋅1+5π6-52>0，∴g x 单调递增，又g π >0,g 5π6 <0，所以存在唯一x 0∈5π6,π ,g x 0 =0，当x ∈5π6,x 0 时，g x <0,g x 递减；当x ∈x 0,π 时，g x >0,g x 递增，g x ≤max g 5π6 ,g π <0，∴g x 在5π6,π内无零点．综上所述，曲线y =f x 与曲线y =-2cos x 的交点个数为2．【点睛】方法点睛：本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.12(2024·广东佛山·二模)已知f x =-12e 2x +4e x -ax -5.(1)当a =3时，求f x 的单调区间；(2)若f x 有两个极值点x 1，x 2，证明：f x 1 +f x 2 +x 1+x 2<0.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】(1)求导后，借助导数的正负即可得原函数的单调性；(2)借助换元法，令t =e x ，t 1=e x 1，t 2=e x 2，可得t 1、t 2是方程t 2-4t +a =0的两个正根，借助韦达定理可得t 1+t 2=4，t 1t 2=a ，即可用t 1、t 2表示f x 1 +f x 2 +x 1+x 2，进而用a 表示f x 1 +f x 2 +x 1+x 2，构造相关函数后借助导数研究其最大值即可得.【详解】(1)当a =3时，f x =-12e 2x +4e x -3x -5，f x =-e 2x +4e x -3=-e x -1 e x -3 ，则当e x ∈0,1 ∪3,+∞ ，即x ∈-∞,0 ∪ln3,+∞ 时，f x <0，当e x ∈1,3 ，即x ∈0,ln3 时，f x >0，故f x 的单调递减区间为-∞,0 、ln3,+∞ ，单调递增区间为0,ln3 ；(2)f x =-e 2x +4e x -a ，令t =e x ，即f x =-t 2+4t -a ，令t 1=e x 1，t 2=e x 2，则t 1、t 2是方程t 2-4t +a =0的两个正根，则Δ=-4 2-4a =16-4a >0，即a <4，有t 1+t 2=4，t 1t 2=a >0，即0<a <4，则f x 1 +f x 2 +x 1+x 2=-12e 2x 1+4e x 1-ax 1-5-12e 2x2+4e x 2-ax 2-5+x 1+x 2=-12t 21+t 22 +4t 1+t 2 -a -1 ln t 1+ln t 2 -10=-12t 1+t 2 2-2t 1t 2 +4t 1+t 2 -a -1 ln t 1t 2-10=-1216-2a +16-a -1 ln a -10=a -a -1 ln a -2，要证f x 1 +f x 2 +x 1+x 2<0，即证a -a -1 ln a -2<00<a <4 ，令g x =x -x -1 ln x -20<x <4 ，则g x =1-ln x +x -1x =1x-ln x ，令h x =1x -ln x 0<x <4 ，则h x =-1x 2-1x <0，则g x 在0,4 上单调递减，又g 1 =11-ln1=1，g 2 =12-ln2<0，故存在x 0∈1,2 ，使g x 0 =1x 0-ln x 0=0，即1x 0=ln x 0，则当x ∈0,x 0 时，g x >0，当x ∈x 0,4 时，g x <0，故g x 在0,x 0 上单调递增，g x 在x 0,4 上单调递减，则g x ≤g x 0 =x 0-x 0-1 ln x 0-2=x 0-x 0-1 ×1x 0-2=x 0+1x 0-3，又x 0∈1,2 ，则x 0+1x 0∈2,52 ，故g x 0 =x 0+1x 0-3<0，即g x <0，即f x 1 +f x 2 +x 1+x 2<0.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助换元法，令t =e x ，t 1=e x 1，t 2=e x 2，从而可结合韦达定理得t 1、t 2的关系，即可用a 表示f x 1 +f x 2 +x 1+x 2，构造相关函数后借助导数研究其最大值即可得.13(2024·广东广州·模拟预测)已知函数f x =x e x -kx ,k ∈R .(1)当k =0时，求函数f x 的极值；(2)若函数f x 在0,+∞ 上仅有两个零点，求实数k 的取值范围.【答案】(1)极小值为-1e，无极大值(2)e ,+∞【分析】(1)求出导函数，然后列表求出函数的单调区间，根据极值定义即可求解；(2)把原函数有两个零点转化为g x =e x -kx 在0,+∞ 上仅有两个零点，分类讨论，利用导数研究函数的单调性，列不等式求解即可.【详解】(1)当k =0时，f x =xe x (x ∈R )，所以f x =1+x e x ，令f x =0，则x =-1，x -∞,-1-1-1,+∞f x -0+f x单调递减极小值单调递增所以f (x )min =f -1 =-e -1=-1e，所以f x 的极小值为-1e，无极大值.(2)函数f x =x e x -kx 在0,+∞ 上仅有两个零点，令g x =e x -kx ，则问题等价于g x 在0,+∞ 上仅有两个零点，易知g x =e x -k ，因为x ∈0,+∞ ，所以e x >1.①当k ∈-∞,1 时，g x >0在0,+∞ 上恒成立，所以g x 在0,+∞ 上单调递增，所以g x >g 0 =1，所以g x 在0,+∞ 上没有零点，不符合题意；②当k ∈1,+∞ 时，令g x =0，得x =ln k ，所以在0,ln k 上，g x <0，在ln k ,+∞ 上，g x >0，所以g x 在0,ln k 上单调递减，在(ln k ,+∞)上单调递增，所以g x 的最小值为g ln k =k -k ⋅ln k .因为g x 在0,+∞ 上有两个零点，所以g ln k =k -k ⋅ln k <0，所以k >e.因为g 0 =1>0,g ln k 2 =k 2-k ⋅ln k 2=k k -2ln k ，令h x =x -2ln x ，则h x =1-2x =x -2x，所以在0,2 上，h x <0，在2,+∞ 上，h x >0，所以h x 在0,2 上单调递减，在2,+∞ 上单调递增，所以h x ≥2-2ln2=ln e 2-ln4>0，所以g ln k 2 =k k -2ln k >0，所以当k >e 时，g x 在0,ln k 和(ln k ,+∞)内各有一个零点，即当k >e 时，g x 在0,+∞ 上仅有两个零点.综上，实数k 的取值范围是e ,+∞ .【点睛】方法点睛：求解函数单调区间的步骤：(1)确定f x 的定义域.(2)计算导数f x .(3)求出f x =0的根.(4)用f x =0的根将f x 的定义域分成若干个区间，判断这若干个区间内f x 的符号，进而确定f x 的单调区间.f x >0，则f x 在对应区间上单调递增，对应区间为增区间；f x <0，则f x 在对应区间上单调递减，对应区间为减区间.如果导函数含有参数，那么需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.14(2024·江苏南通·二模)已知函数f x =ln x -ax ，g x =2ax，a ≠0.(1)求函数f x 的单调区间；(2)若a >0且f x ≤g x 恒成立，求a 的最小值.【答案】(1)答案见解析(2)2e 3.【分析】(1)求导后，利用导数与函数单调性的关系，对a >0与a <0分类讨论即可得；(2)结合函数的单调性求出函数的最值，即可得解.【详解】(1)f x =1x -a =1-axx(a ≠0)，当a <0时，由于x >0，所以f x >0恒成立，从而f x 在0,+∞ 上递增；当a >0时，0<x <1a ，f x >0；x >1a ，fx <0，从而f x 在0,1a 上递增，在1a,+∞ 递减；综上，当a <0时，f x 的单调递增区间为0,+∞ ，没有单调递减区间；当a >0时，f x 的单调递增区间为0,1a ，单调递减区间为1a ,+∞ .(2)令h x =f x -g x =ln x -ax -2ax，要使f x ≤g x 恒成立，只要使h x ≤0恒成立，也只要使h x max ≤0.h x =1x -a +2ax 2=-ax +1 ax -2 ax 2，由于a >0，x >0，所以ax +1>0恒成立，当0<x <2a 时，h x >0，当2a<x <+∞时，h x <0，所以h x max =h 2a =ln 2a -3≤0，解得：a ≥2e 3，所以a 的最小值为2e3.15(2024·山东济南·二模)已知函数f x =ax 2-ln x -1,g x =xe x -ax 2a ∈R .(1)讨论f x 的单调性；(2)证明：f x +g x ≥x .【答案】(1)答案见详解(2)证明见详解【分析】(1)求导可得fx =2ax 2-1x，分a ≤0和a >0两种情况，结合导函数的符号判断原函数单调性；(2)构建F x =f x +g x -x ,x >0，h x =e x -1x,x >0，根据单调性以及零点存在性定理分析h x 的零点和符号，进而可得F x 的单调性和最值，结合零点代换分析证明.【详解】(1)由题意可得：f x 的定义域为0,+∞ ，fx =2ax -1x =2ax 2-1x，当a ≤0时，则2ax 2-1<0在0,+∞ 上恒成立，可知f x 在0,+∞ 上单调递减；当a >0时，令f x >0，解得x >12a；令f x <0，解得0<x <12a；可知f x 在0,12a 上单调递减，在12a,+∞ 上单调递增；综上所述：当a ≤0时，f x 在0,+∞ 上单调递减；当a >0时，f x 在0,12a 上单调递减，在12a,+∞ 上单调递增.(2)构建F x =f x +g x -x =xe x -ln x -x -1,x >0，则F x =x +1 e x -1x -1=x +1 e x -1x，由x >0可知x +1>0，构建h x =e x -1x ,x >0，因为y =e x ,y =-1x在0,+∞ 上单调递增，则h x 在0,+∞ 上单调递增，且h 12=e -20,h 1 =e -1 0，可知h x 在0,+∞ 上存在唯一零点x 0∈12,1 ，当0<x <x 0，则h x <0，即Fx <0；当x >x 0，则h x >0，即F x >0；可知F x 在0,x 0 上单调递减，在x 0,+∞ 上单调递增，则F x ≥F x 0 =x 0e x 0-ln x 0-x 0-1，又因为e x 0-1x 0=0，则e x 0=1x 0,x 0=e -x 0，x 0∈12,1 ，可得F x 0 =x 0×1x 0-ln e -x-x 0-1=0，即F x ≥0，所以f x +g x ≥x .16(2024·福建·模拟预测)已知函数f (x )=a ln x -bx 在1,f 1 处的切线在y 轴上的截距为-2．(1)求a 的值；(2)若f x 有且仅有两个零点，求b 的取值范围．【答案】(1)2(2)b ∈0,2e 【分析】(1)借助导数的几何意义计算即可得；(2)借助函数与方程的关系，可将f x 有且仅有两个零点转化为方程b =2ln xx有两个根，构造对应函数并借助导数研究单调性及值域即可得.【详解】(1)f (x )=ax-b ，f 1 =a -b ，f (1)=a ×0-b =-b ，则函数f (x )=a ln x -bx 在1,f 1 处的切线为：y +b =a -b x -1 ，即y =a -b x -a ，令x =0，则有y =-a =-2，即a =2；(2)由a =2，即f (x )=2ln x -bx ，若f x 有且仅有两个零点，则方程2ln x-bx=0有两个根，即方程b=2ln xx有两个根，令g x =2ln xx，则gx =21-ln xx2，则当x∈0,e时，g x >0，则当x∈e,+∞时，g x <0，故g x 在0,e上单调递增，在e,+∞上单调递减，故g x ≤g e =2ln ee=2e，又x→0时，g x →-∞，x→+∞时，g x →0，故当b∈0,2 e时，方程b=2ln x x有两个根，即f x 有且仅有两个零点.17(2024·浙江杭州·二模)已知函数f x =a ln x+2-12x2a∈R．(1)讨论函数f x 的单调性；(2)若函数f x 有两个极值点，(ⅰ)求实数a的取值范围；(ⅱ)证明：函数f x 有且只有一个零点．【答案】(1)答案见解析；(2)(ⅰ)-1<a<0；(ⅱ)证明见解析【分析】(1)求出函数的导函数，再分a≤-1、-1<a<0、a≥0三种情况，分别求出函数的单调区间；(2)(ⅰ)由(1)直接解得；(ⅱ)结合函数的最值与零点存在性定理证明即可.【详解】(1)函数f x =a ln x+2-12x2a∈R的定义域为-2,+∞，且f x =ax+2-x=-x+12+a+1x+2，当a≤-1时，f x ≤0恒成立，所以f x 在-2,+∞单调递减；当-1<a<0时，令f x =0，即-x+12+a+1=0，解得x1=-a+1-1，x2=a+1-1，因为-1<a<0，所以0<a+1<1，则-2<-a+1-1<-1，所以当x∈-2,-a+1-1时f x <0，当x∈-a+1-1,a+1-1时f x >0，当x∈a+1-1,+∞时f x <0，所以f x 在-2,-a+1-1上单调递减，在-a+1-1,a+1-1上单调递增，在a+1-1,+∞上单调递减；当a≥0时，此时-a+1-1≤-2，所以x∈-2,a+1-1时f x >0，当x∈a+1-1,+∞时f x <0，所以f x 在-2,a+1-1上单调递增，在a+1-1,+∞上单调递减．综上可得：当a≤-1时f x 在-2,+∞单调递减；当-1<a<0时f x 在-2,-a+1-1上单调递减，在-a+1-1,a+1-1上单调递增，在a+1-1,+∞上单调递减；当a≥0时f x 在-2,a+1-1上单调递增，在a+1-1,+∞上单调递减．(2)(ⅰ)由(1)可知-1<a<0．(ⅱ)由(1)f x 在-2,-a+1-1上单调递减，在-a+1-1,a+1-1上单调递增，在a+1-1,+∞上单调递减，所以f x 在x=a+1-1处取得极大值，在x=-a+1-1处取得极小值，又-1<a<0，所以0<a+1<1，则1<a+1+1<2，又f x极大值=f a+1-1=a ln a+1+1-12a+1-12<0，又f-a+1-1<f a+1-1<0，所以f x 在-a+1-1,+∞上没有零点，又-1<a<0，则4a<-4，则0<e4a<e-4，-2<e4a-2<e-4-2，则0<e 4a-22<4，所以f e 4a-2=4-12e4a-22>0，所以f x 在-2,-a+1-1上存在一个零点，综上可得函数f x 有且只有一个零点．18(2024·河北沧州·模拟预测)已知函数f(x)=ln x-ax+1，a∈R．(1)讨论f x 的单调性；(2)若∀x>0，f x ≤xe2x-2ax恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)-∞,2．【分析】(1)利用导数分类讨论判断函数f x 的单调性，即可求解；(2)先利用导数证明不等式e x≥x+1，分离变量可得a≤e2x-ln x+1x恒成立，进而e 2x-ln x+1x≥2x+ln x+1-(ln x+1)x=2，即可求解.【详解】(1)函数f x =ln x-ax+1，a∈R的定义域为0,+∞，且f (x)=1x-a．当a≤0时，∀x∈0,+∞，f (x)=1x-a≥0恒成立，此时f x 在区间0,+∞上单调递增；当a>0时，令f (x)=1x-a=1-axx=0，解得x=1a，当x∈0,1 a时，f x >0，f x 在区间0,1a上单调递增，当x∈1a,+∞时，f x <0，f x 在区间1a,+∞上单调递减．综上所述，当a≤0时，f x 在区间0,+∞上单调递增；当a>0时，f x 在区间0,1 a上单调递增，在区间1a,+∞上单调递减．(2)设g x =e x-x-1，则g x =e x-1，在区间(-∞,0)上，g x <0，g x 单调递减，在区间0,+∞上，g x >0，g x 单调递增，所以g x ≥g0 =e0-0-1=0，所以e x≥x+1(当且仅当x=0时等号成立)．依题意，∀x>0，f x ≤xe2x-2ax恒成立，即a≤e2x-ln x+1x恒成立，而e2x-ln x+1x=xe2x-(ln x+1)x=e2x+ln x-(ln x+1)x≥2x+ln x+1-(ln x+1)x=2，当且仅当2x+ln x=0时等号成立．因为函数h x =2x+ln x在0,+∞上单调递增，h1e=2e-1<0，h(1)=2>0，所以存在x0∈1e,1，使得2x0+ln x0=0成立．所以a ≤e 2x -ln x +1xmin =2，即a 的取值范围是-∞,2 ．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略：形如f x ≥g x 的恒成立的求解策略：1、构造函数法：令F x =f x -g x ，利用导数求得函数F x 的单调性与最小值，只需F x min ≥0恒成立即可；2、参数分离法：转化为a ≥φx 或a ≤φx 恒成立，即a ≥φx max 或a ≤φx min 恒成立，只需利用导数求得函数φx 的单调性与最值即可；3，数形结合法：结合函数y =f x 的图象在y =g x 的图象的上方(或下方)，进而得到不等式恒成立.19(2024·广东·二模)已知f x =12ax 2+1-2a x -2ln x ,a >0.(1)求f x 的单调区间；(2)函数f x 的图象上是否存在两点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 (其中x 1≠x 2)，使得直线AB 与函数f x 的图象在x 0=x 1+x22处的切线平行？若存在，请求出直线AB ；若不存在，请说明理由.【答案】(1)f (x )在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增.(2)不存在，理由见解析【分析】(1)求出导函数，根据导函数的正负来确定函数的单调区间；(2)求出直线AB 的斜率，再求出f (x 0)，从而得到x 1,x 2的等式，再进行换元和求导，即可解出答案.【详解】(1)由题可得f(x )=ax +1-2a -2x =ax 2+(1-2a )x -2x =(ax +1)(x -2)x(x >0)因为a >0，所以ax +1>0，所以当x ∈(0,2)时，f (x )<0，f (x )在(0,2)上单调递减，当x ∈(2,+∞)时，f (x )>0，f (x )在(2,+∞)上单调递增.综上，f (x )在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增.(2)由题意得，斜率k =y 2-y 1x 2-x 1=12ax 22+(1-2a )x 2-2ln x 2 -12ax 21+(1-2a )x 1-2ln x 1 x 2-x 1=12a (x 22-x 21)+(1-2a )(x 2-x 1)-2ln x 2x 1x 2-x 1=a 2(x 1+x 2)+1-2a -2ln x2x 1x 2-x 1，f x 1+x 22 =a (x 1+x 2)2+1-2a -4x 1+x 2,由k =f x 1+x22 得，ln x2x 1x 2-x 1=2x 1+x 2，即ln x 2x 1=2(x 2-x 1)x 1+x 2，即ln x 2x 1-2x2x 1-1 x 2x1+1=0令t =x 2x 1，不妨设x 2>x 1，则t >1，记g (t )=ln t -2(t -1)t +1=ln t +4t +1-2(t >1)所以g(t )=1t -4t +1 2=t -1 2t t +1 2>0，所以g (t )在(1,+∞)上是增函数，所以g (t )>g (1)=0，所以方程g (t )=0无解，则满足条件的两点A ,B 不存在.20(2024·广东深圳·二模)已知函数f x =ax +1 e x ，f x 是f x 的导函数，且f x -f x =2e x ．(1)若曲线y =f x 在x =0处的切线为y =kx +b ，求k ，b 的值；(2)在(1)的条件下，证明：f x ≥kx +b ．【答案】(1)k =3，b =1；(2)证明见解析.【分析】(1)根据题意，求导可得a 的值，再由导数意义可求切线，得到答案；(2)设函数g x =2x +1 e x -3x -1，利用导数研究函数g (x )的单调性从而求出最小值大于0，可得证.【详解】(1)因为f x =ax +1 e x ，所以f x =ax +a +1 e x ，因为f x -f x =2e x ，所以a =2．则曲线y =f (x )在点x =0处的切线斜率为f 0 =3．又因为f 0 =1，所以曲线y =f (x )在点x =0处的切线方程为y =3x +1，即得k =3，b =1．(2)设函数g x =2x +1 e x -3x -1，x ∈R ，则g x =2x +3 e x -3，设h x =g x ，则h x =e x 2x +5 ，所以，当x >-52时，h x >0，g x 单调递增．又因为g0 =0，所以，x >0时，g x >0，g x 单调递增；-52<x <0时，g x <0，g x 单调递减．又当x ≤-52时，g x =2x +3 e x -3<0，综上g x 在-∞,0 上单调递减，在0,+∞ 上单调递增，所以当x =0时，g x 取得最小值g 0 =0，即2x +1 e x -3x -1≥0，所以，当x ∈R 时，f x ≥3x +1．21(2024·辽宁·二模)已知函数f x =ax 2-ax -ln x .(1)若曲线y =f x 在x =1处的切线方程为y =mx +2，求实数a ,m 的值；(2)若对于任意x ≥1，f x +ax ≥a 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)a =-1，m =-2(2)12,+∞ 【分析】(1)根据导数几何意义和切线方程，可直接构造方程组求得结果；(2)构造函数g x =ax 2-ln x -a x ≥1 ，将问题转化为g x ≥0恒成立；求导后，分别在a ≤0、a ≥12和0<a <12的情况下，结合单调性和最值求得符合题意的范围.【详解】(1)∵f x =2ax -a -1x，∴f 1 =2a -a -1=a -1，∵y =f x 在x =1处的切线为y =mx +2，∴f 1 =a -1=mf 1 =0=m +2 ，解得：a =-1，m =-2.(2)由f x +ax ≥a 得：ax 2-ln x -a ≥0，令g x =ax 2-ln x -a x ≥1 ，则当x ≥1时，g x ≥0恒成立；。

2020届北京各区高三二模数学分类汇编—函数与导数(含答案)

2020届北京各区高三二模数学分类汇编—函数与导数(含答案)

2020北京各区高三二模数学分类汇编—函数与导数1.（2020▪海淀二模）下列函数中，值域为[0,)+∞且为偶函数的是（A ）2y x = （B ）|1|y x =- （C ）cos y x =（D ）ln y x =2．（2020▪西城高三二模）下列函数中，值域为R 且区间(0,)+∞上单调递增的是（A ）3y x =- （B ）y x x = （C ）1y x -=（D）y =3．（2020▪西城高三二模）设0.23a =，3log 2b =，0.2log 3c =，则（A ）a c b >>（B ）a b c >>（C ）b c a >>（D ）b a c >>4．（2020▪西城高三二模）设函数()(1)e x f x x =-．若关于x 的不等式()1f x ax <-有且仅有一个整数解，则正数a的取值范围是（A ）(0,e]（B ）2(0,e ]（C ）2e 1,2⎛⎤ ⎥⎝⎦（D ）2e 11,2⎛⎤+ ⎥⎝⎦5.（2020▪东城高三二模）已知三个函数33,3,log xy x y y x ===，则(A)定义域都为R (B)值域都为R (C)在其定义域上都是增函数 (D)都是奇函数 6. （2020▪东城高三二模）已知函数()log a f x x b =+的 图象如图所示，那么函数()xg x a b =+的图象可能为(A) （B ） （C ） （D ）7．（2020▪密云高三二模）在下列函数中，定义域为实数集的偶函数为A. B. C. D.8. （2020▪密云高三二模）已知，则下列各不等式中一定成立的是A ．B ．C ．D ．9.（2020▪密云高三二模）已知函数满足，且，则A ．16B ．8C ．4D ． 210.（2020▪朝阳高三二模）函数ln ()1xf x x =-的定义域为 （A ）∞（0，+） （B ）⋃∞（0，1）（1，+） （C ）∞[0，+）（D ）⋃∞[0，1）（1，+）11.（2020▪朝阳高三二模）若,,a b c R ∈且a b c >>，则下列不等式一定成立的是(A)22ac bc > (B)222a b c >> (C)2a c b +>(D)a c b c ->-12.（2020▪朝阳高三二模）设函数()f x 的定义域为D ，如果对任意1∈x D ，都存在唯一的2∈x D ，使得12()()+=f x f x m （m 为常数）成立，那么称函数()f x 在D 上具有性质ψm ．现有函数：①()3;f x x =②()3xf x =③3()log f x x =④()tan f x x =其中，在其定义域上具有性质m ψ的函数的序号是 （A ）①③（B ）①④（C ）②③（D ）②④13. （2020▪西城高三（下）6月模拟）函数()1f x x x=-是 (A)奇函数,且值域为()0,+∞(B)奇函数,且值域为R (C)偶函数,且值域为()0,+∞(D)偶函数,且值域为R14. （2020▪西城高三（下）6月模拟）设,,a b c 为非零实数,且a b c >>,则(A)a b b c ->-(B)111a b c<<(C)2a b c +>(D)以上三个选项都不对15.（2020▪昌平高三二模）设，则（A ）（B ）（C ）（D ）16.（2020▪昌平高三二模）点在函数的图象上.若满足到直线的距离为的点有且仅有3个，则实数的值为（A ） （B ） （C ） （D ）17.（2020▪丰台高三二模）函数()f x =的定义域为（A ）(02), （B ）[02],（C ）(0)(2)-∞+∞,, （D ）(0][2)-∞+∞,,18．（2020▪丰台高三二模）已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =--+，则()f x（A ）是奇函数，且在定义域上是增函数 （B ）是奇函数，且在定义域上是减函数 （C ）是偶函数，且在区间(01)，上是增函数 （D ）是偶函数，且在区间(01)，上是减函数19.（2020▪房山高三二模）函数2()e x f x x =-的零点个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2（D ）320.（2020▪房山高三二模）已知函数()lg |1|lg |1|f x x x =++-，则()f x（A ）是奇函数，且在(1,)+∞上是增函数 （B ）是奇函数，且在(1,)+∞上是减函数 （C ）是偶函数，且在(1,)+∞上是增函数（D ）是偶函数，且在(1,)+∞上是减函数 21. （2020▪密云高三二模）已知函数的定义域为，且满足下列三个条件：①对任意的 ，且 ，都有 ；② ； ③ 是偶函数；若 ，，，则 ，， 的大小关系正确的是A ．B ．C ．D ．22.（2020▪东城高三二模） 函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且它的最小正周期是T ，已知,[0,],4()=,(,],242⎧∈⎪⎪⎨⎪-∈⎪⎩T x x f x T T T x x ()()()g x f x a a R =+∈. 给出下列四个判断： ①对于给定的正整数n ，存在∈a R ，使得1()()0ni i T i Tg f n n=⋅⋅=∑成立; ②当=4Ta 时，对于给定的正整数n ，存在(1)∈≠k k R ，使得1()()0ni i T i T g k f n n =⋅⋅=∑成立; ③当=4Ta k(∈k Z )时，函数()()g x f x +既有对称轴又有对称中心; ④当=4T a k(∈k Z )时，()()g x f x +的值只有0或4T . 其中正确判断的有(A)1个(B)2个(C) 3个(D)4个23.（2020▪房山高三二模）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ，空气的温度是0C θ，经过t分钟后物体的温度C θ可由公式010()e ktθθθθ-=+-求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数．现有80C 的物体，放在20C 的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是40C ，则k 约等于（参考数据：ln3 1.099≈）（A ）0.6 （B ）0.5 （C ）0.4 （D ）0.324.（2020▪海淀二模）已知函数1,0,()|ln |,0.ax x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩给出下列三个结论：① 当2a =-时，函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞； ② 若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,)+∞；③ 若1a <且0a ≠，则b ∃∈R ，使得函数()y f x b =-恰有3个零点1x ,2x ,3x ，且1231x x x =-.其中，所有正确结论的序号是_______.25.（2020▪东城高三二模） 配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是200件.由于生产这种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费5000元的准备费，所以需要周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满足从这天起连续n 天的需求，称n 为生产周期(假设这种配件每天产能可以足够大).配件的存储费为每件每天2元（当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费）.在长期的生产活动中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期n 为_______.26.（2020▪朝阳高三二模）颗粒物过滤效率η是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为100%out inoutC C C η-=⨯其中out C 表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：./),ind L in C 表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：./),ind L 某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4次测试，测试结果如图所示，图中点ij A 的横坐标表示第i 种口罩第j 次测试时out C 的值，纵坐标表示第i 种口罩第j 次测试时in C 的值（i=1,2,j=1,2,3,4）该研究小组得到以下结论:①在第1种口罩的4次测试中，第4次测试时的颗粒物过滤效率最高; ②在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高;③在每次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高;④在第3次和第4次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低. 其中，所有正确结论的序号是.注:本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.27.（2020▪西城高三（下）6月模拟）已知函数()f x 的定义域为R ,满足()()22f x f x +=,且当(]0,2x ∈时,()23x f x =-.有以下三个结论: ①()112f -=-②当1142a ⎥∈⎛⎤ ⎝⎦，时,方程()f x a =在区间[]4,4-上有三个不同的实根;③函数()f x 有无穷多个零点,且存在一个零点b Z ∈. 其中,所有正确结论的序号是.28.（2020▪房山高三二模）对任意两实数a ，b ，定义运算“*”：22,,22,.a b a b a b b a a b -⎧*=⎨-<⎩≥给出下列三个结论：①存在实数a ，b ，c 使得a b b c c a *+**≥成立； ②函数()sin cos f x x x =*的值域为[0,2]； ③不等式2(1)1x x *-*≤的解集是[1,)+∞． 其中正确结论的序号是________．29.（2020▪昌平高三二模） 已知，则的最小值为_________ .30.（2020▪海淀二模）（本小题共14分）已知函数()e (sin cos )x f x x x =+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）求证：曲线()y f x =在区间(0,)2π上有且只有一条斜率为2的切线.31．（2020▪西城高三二模）（本小题满分15分）设函数()e cos x f x a x =+，其中a ∈R ． （Ⅰ）已知函数()f x 为偶函数，求a 的值； （Ⅱ）若1a =，证明：当0x >时，()2f x >；（Ⅲ）若()f x 在区间[0,π]内有两个不同的零点，求a 的取值范围．32.（2020▪东城高三二模）（本小题15分）已知()sin ()xf x e x ax a =++∈R .（Ⅰ）当2a =-时，求证：()f x 在(0)-∞，上单调递减； （Ⅱ）若对任意0x ≥，()1f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若()f x 有最小值，请直接给出实数a 的取值范围.33.（2020▪朝阳高三二模）(本小题15分)已知函数()()2f x sinx xcosx ax a R =--∈.(I)若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线的斜率为1. (i)求a 的值;(ii)证明:函数()f x 在区间(0)π，内有唯一极值点; (II)当1a ≤时，证明对任意()0()0x f x π∈>，，.34. （2020▪西城高三（下）6月模拟）(本小题满分15分)设函数()f x axlnx =,其中a R ∈.曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线经过点()3,2. (Ⅰ)求a 的值;(Ⅱ)求函数()f x 的极值;(Ⅲ)证明:()2xxf x ee>-35.（2020▪昌平高三二模）（本小题14分）已知函数 （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（II ）求函数的单调区间； （III ）当时，比较与的大小.36.（2020▪丰台高三二模）（本小题共15分）已知函数1()e xx f x +=.（Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）求证：当(0,)x ∈+∞时，21()12f x x >-+；（Ⅲ）当0x >时，若曲线()y f x =在曲线21y ax =+的上方，求实数a 的取值范围.37.（2020▪房山高三二模）（本小题15分）已知函数cos ()e1sin xx f x x=++． （Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）求曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程； （Ⅲ）求证：当ππ(,)22x ∈-时，()2f x ≥．38.（2020▪密云高三二模）（本小题满分14分）已知函数． （Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）设函数 ，试判断函数是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由． （Ⅲ）当时，写出与的大小关系．2020北京各区高三二模数学分类汇编—函数与导数参考答案1.A2.B3.B4.D5.C6.B7.B8.D9.B 10.B 11.D 12.A 13.B 14.C 15.B 16.C 17.C 18.B 19.B 20.C 21.D 22.C 23.D 24. ②③ 25.5 26. ②④ 27. ① ② 28. ①③ 29.5 30.（本小题共14分）解：（Ⅰ）()e (sin cos )+e (cos sin )x xf x x x x x '=+-2e cos x x =.令()0,f x '>得22()22k x k k πππ-<<π+∈Z . 所以()f x 的单调递增区间为(2,2)22k k πππ-π+()k ∈Z .（Ⅱ）证明：要证曲线()y f x =在区间(0,)2π上有且只有一条斜率为2的切线，即证方程'()2f x =在区间(0,)2π上有且只有一个解.令()f x '2e cos 2x x ==，得e cos 1x x =.设c (1)e os xg x x =-，则()e cos e sin sin()4x x x g x x x x π'=-=-.当(0,)2x π∈时，令()0g x '=，得4x π=.当x 变化时，'(),()g x g x 的变化情况如下表：所以()g x 在(0,)4上单调增，在(,)42上单调减. 因为0(0)g =,所以当(0,]4x π∈时，()0g x >； 又1(0)2g π=-<，所以当(,)42x ππ∈时，()g x 有且只有一个零点. 所以当(0,)2x π∈时，c (1)e os x g x x =-有且只有一个零点. 即方程2()f x '=，(0,)2x π∈有且只有一个解. 所以曲线()y f x =在区间(0,)2π上有且只有一条斜率为2的切线. 31．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）函数()f x 为偶函数，所以(π)(π)f f -=，即ππe 1e 1a a --=-，………………2分解得0a =.验证知0a =符合题意.………………4分（Ⅱ）()e sin x f x x '=-.………………6分由0x >，得e 1x >，sin [1,1]x ∈-，………………7分则()e sin 0x f x x '=->，即()f x 在(0,)+∞上为增函数. 故()(0)2f x f >=，即()2f x >.………………9分（Ⅲ）由()e cos 0x f x a x =+=，得cos e xx a =-. 设函数cos ()e xx h x =-，[0,π]x ∈，………………10分 则sin cos ()e xx x h x +'=.………………11分令()0h x '=，得3π4x =. 随着x 变化，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(0,)4上单调递增，在(,π)4上单调递减.………………13分又因为(0)1h =-，π(π)e h -=，3π43π()4h -=， 所以当3ππ4[e ,)2a --∈时，方程cos e x x a =-在区间[0,π]内有两个不同解，且在区间3π[0,)4与3π(,π]4上各有一个解.即所求实数a 的取值范围为3ππ4[e ,)2--.………………15分 32.（本小题15分）（Ⅰ）解：'()cos xf x e x a =++,对于2a =-，当0x <时，1,cos 1x e x <≤，所以'()cos 20x f x e x =+-<.所以()f x 在(),0-∞上单调递减.………………………………4分（Ⅱ）解：当0x =时，()11f x =≥，对于R ∈a ，命题成立，当0x >时，设()cos =++x g x e x a ，则'()sin x g x e x =-.因为1,sin 1>≤x e x ，所以'()sin 11=0x g x e x =->-，()g x 在()0,+∞上单调递增.又(0)2=+g a ，所以()2>+g x a .所以'()f x 在()0,+∞上单调递增，且'()2>+f x a .① 当2a ≥-时，'()0>f x ，所以()f x 在()0,+∞上单调递增.因为(0)1f =，所以()1>f x 恒成立.② 当2a <-时，'(0)20f a =+<，因为'()f x 在[0,)+∞上单调递增，又当ln(2)=-x a 时，'()2cos 2cos 0=-+++=+>f x a x a x ，所以存在0(0,)x ∈+∞，对于0(0,)∈x x ，'()0f x <恒成立.所以()f x 在()00,x 上单调递减，所以当0(0,)∈x x 时，()(0)1<=f x f ，不合题意.综上，当2a ≥-时，对于0x ≥，()1f x ≥恒成立.………………………………13分（Ⅲ）解：0a <.………………………………15分33.（本小题15分）解：（Ⅰ）（ⅰ）因为()2sin cos =--f x x x x ax ，所以()2cos (cos sin )cos sin '=---=+-f x x x x x a x x x a ．因为曲线()=y f x 在点(0,(0))f 处的切线的斜率为1，所以(0)1'=f ，即11-=a ，故0=a ．经检验，符合题意．……………4分（ⅱ)由（ⅰ）可知()2sin cos =-f x x x x ，()cos sin '=+f x x x x ．设()()'=g x f x ，则()cos '=g x x x ．令()0'=g x ，又)π(0,∈x ，得2π=x ． 当(0,)2π∈x 时，()0'>g x ；当π(,π)2∈x 时，()0'<g x ， 所以()g x 在π(0,)2内单调递增，在π(,π)2内单调递减． 又(0)1=g ，ππ()22=g ，(π)1=-g ， 因此，当π(0,]2∈x 时，()(0)0>>g x g ，即()0'>f x ，此时()f x 在区间π(0,]2上无极值点； 当π(,π)2∈x 时，()0=g x 有唯一解0x ，即()0'=f x 有唯一解0x ， 且易知当0π(,)2∈x x 时，()0'>f x ，当0(,π)∈x x 时，()0'<f x ， 故此时()f x 在区间π(,π)2内有唯一极大值点0x ． 综上可知，函数()f x 在区间(0,π)内有唯一极值点．……………10分（Ⅱ）因为()cos sin '=+-f x x x x a ，设()()'=h x f x ，则()cos '=h x x x ．令()0'=h x ，又(0,π)∈x ，得π2=x ．且当π(0,)2∈x 时，()0'>h x ；当π(,π)2∈x 时，()0'<h x ， 所以()'f x 在π(0,)2内单调递增，在π(,π)2内单调递减． 当1≤a 时，(0)10'=-≥f a ，()022ππ'=->f a ，()1'π=--f a ． （1）当()10'π=--≥f a ，即1≤-a 时，()0'≥f x ．此时函数()f x 在(0,π)内单调递增，()(0)0>=f x f ；（2）当()10'π=--<f a ，即11-<≤a 时，因为(0)10'=-≥f a ，()022ππ'=->f a ，所以，在π(0,)2内()0'≥f x 恒成立，而在区间π(,π)2内()'f x 有且只有一个零点，记为1x ， 则函数()f x 在1(0,)x 内单调递增，在1(,π)x 内单调递减．又因为(0)0=f ，()(1)0π=-π≥f a ，所以此时()0>f x ．由（1）（2）可知，当1≤a 时，对任意(0,π)∈x ，总有()0>f x ．……………15分34．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）由，得，………………2分 则，. 所以曲线在点处的切线为.………………4分 将点代入切线方程，得.………………5分 （Ⅱ）由题意，得，. 令，得.………………7分随着变化，与的变化情况如下表所示： 0 ↘ ↗所以函数在上单调递减，在上单调递增.………………9分 所以函数存在极小值，且极小值为；函数不存在极大值. ………………10分（Ⅲ）“”等价于“”.………………11分 由（Ⅱ），得（当且仅当时等号成立）.①所以.故只要证明即可（需验证等号不同时成立）.………………12分设，，则.………………13分因为当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增.所以（当且仅当时等号成立）.②因为①②两个不等式中的等号不同时成立，所以当时，.………………15分35.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当时，因为，…………….1分所以.…………….2分所以曲线在点处的切线方程为.…………….4分（II）定义域为.因为①当时，恒成立.所以函数在上单调递增.…………….5分②当时，恒成立.所以函数在上单调递增.…………….6分③当时，令，则或.…………….7分所以当时，或；当时，.…………….8分所以函数在和上单调递增，在上单调递减.…………….9分综上可知，当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.（III）法一：由（Ⅱ）可知，（1）当时，函数在上单调递增；所以当时，因为，所以.…………….10分（2）当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.①当，即时，.所以当时，函数在上单调递减，上单调递增，所以.…………….11分②当，即时，.由上可知，因为，设.因为，所以在上单调递增.所以.所以所以.…………….13分③当，即时，.因为函数在上单调递减，所以当时，.所以.综上可知，当时，.…………….14分（III）法二：因为，①当时，因为，所以.所以.……………10分②当时，因为，所以.所以..11分设.因为，所以当时，或，当时，.…………….12分所以在上单调递减，在上单调递增.……………13分所以.所以当时，.…………….14分36.（本小题共15分）解：（Ⅰ）因为1()e xxf x+=，定义域R，所以'()e x xf x =-.令'()0f x =，解得0x =.随x 的变化，'()f x 和()f x 的情况如下：由表可知函数()f x 在0x =时取得极大值(0)1f =，无极小值.………5分 （Ⅱ）令22111()()11(0)2e 2x x g xf x x x x +=+-=+->， 1e 1'()=(1)()e e e x x x x xg x x x x --+=-=.由0x >得，于是，故函数是上的增函数. 所以当时，，即.………9分 （Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知，满足题意.令， . 当时，若，，则在上是减函数.所以时，，不合题意.e 10x->'()0g x >()g x [0)∞,+(0)x ∈∞,+()(0)0g x g >=21()12f x x >-+12a ≤-221()121f x x ax >-+≥+221()()11ex x h x f x ax ax +=--=--1'()2(2)e e x x x x ax x a h =--=-+102a -<<1(0ln())2x a ∈-，'()0h x <()h x 1[0ln()]2a -，1(0ln())2x a ∈-，()(0)0h x h <=当时，则在上是减函数，所以，不合题意.综上所述，实数的取值范围.………15分 37.（本小题15分）解：（Ⅰ）由sin 1x ≠-，得π2π()2x k k ≠-+∈Z 所以()f x 的定义域为π{|2π()}2x x k k ≠-+∈Z （Ⅱ）0cos 0(0)e 21sin 0f =+=+ 22sin (1sin )cos 1()e e (1sin )1sin x x x x x f x x x-+-'=+=-+++（π2π()2x k k ≠-+∈Z ） (0)0f '=所以，曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程为2y = （Ⅲ）法一：由1()e 1sin x f x x'=-++， 令1()e 1sin x g x x =-++，则2cos ()e (1sin )x x g x x '=++ 当ππ(,)22x ∈-时，()0g x '>，则()g x 在ππ(,)22-上单调递增，且(0)0g = 所以当π(,0)2x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当π(0,)2x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增， ()f x 的极小值为(0)2f = 所以，当ππ(,)22x ∈-时，()2f x ≥ 0a ≥'()0h x <()h x (0)∞,+()(0)0h x h <=a 1(]2-∞-,法二：1()e 1sin x f x x'=-++ 当0x =时，01(0)e 01sin 0f '=-+=+； 当(,0)2x π∈-时，sin (1,0),x ∈-1sin (0,1),x +∈11(1,),(,1),1sin 1sin x x -∈+∞∈-∞-++ 2e (e ,1)x π-∈，所以当(,0)2x π∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当(0,)2x π∈时，sin (0,1),x ∈11111sin (1,2),(,1),(1,),1sin 21sin 2x x x -+∈∈∈--++ 2e (1,e )x π∈，所以当(0,)2x π∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，()f x 的极小值为(0)2f = 所以，当ππ(,)22x ∈-时，()2f x ≥ 38.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：当时，，所以，因此．又因为，所以切点为． 所以切线方程为． （Ⅱ）解：．所以．因为，所以． （1）当，即时 因为，所以，故．此时函数在上单调递增．所以函数不存在最小值．（2）当，即时令，因为，所以．与在上的变化情况如下：−0 +所以当时，有极小值，也是最小值，并且．综上所述，当时，函数不存在最小值；当时，函数有最小值．（Ⅲ）解：当时，．。

2022年北京部分区高三二模数学汇编：函数与导数

2022年北京部分区高三二模数学汇编：函数与导数

2022北京高三二模数学汇编函数与导数一、单选题1．（2022·北京海淀·二模）设函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2022·北京海淀·二模）若(),01,0x a x f x bx x +<⎧=⎨->⎩是奇函数，则（ ）A ．1,1a b ==-B ．1,1a b =-=C ．1,1a b ==D ．1,1a b =-=-3．（2022·北京海淀·二模）已知,x y ∈R ，且0x y +>，则（ ）A ．110x y+>B ．330x y +>C ．lg()0x y +>D ．sin()0x y +>4．（2022·北京房山·二模）已知函数2()log x f x =，则不等式()2f x 的解集为( ) A ．(4,0)(0,4)-⋃ B ．(0,4) C ．1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭5．（2022·北京房山·二模）已知0.2421,log 0.2,log 33a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ）A ．c a b >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b c a >>6．（2022·北京昌平·二模）已知函数2()42(0)f x ax ax a =-+<，则关于x 的不等式2()log f x x >的解集是（ ） A ．(,4)-∞B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞7．（2022·北京西城·二模）若函数()()223,02,0xx f x x x a⎧+≤⎪=⎨-<≤⎪⎩的定义域和值域的交集为空集，则正数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,1 B ．()0,1 C ．()1,4D ．()2,48．（2022·北京西城·二模）已知()lg f x x a =-，记关于x 的方程()1f x =的所有实数根的乘积为()g a ，则()g a （ ）A ．有最大值，无最小值B ．有最小值，无最大值C ．既有最大值，也有最小值D ．既无最大值，也无最小值9．（2022·北京西城·二模）下列函数中，与函数3y x =的奇偶性相同，且在()0,+∞上有相同单调性的是（ ）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．ln y x =C ．sin y x =D ．y x x =10．（2022·北京东城·二模）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则线段1AD 上的动点P 到直线11A C 的距离的最小值为（ ）A ．1BCD11．（2022·北京东城·二模）已知12log 3a =，ln b π=，12e c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>12．（2022·北京丰台·二模）已知偶函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递减．若()()lg 1f x f >，则x 的取值范围是（ ）A ．1,110⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()10,1,10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭ C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()10,10,10∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭13．（2022·北京丰台·二模）已知0.53a =，3log 2b =，2tan 3c π=，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >>D ．a c b >>二、双空题14．（2022·北京东城·二模）已知奇函数()f x 的定义域为R ，且()201f x x '>-，则()f x 的单调递减区间为__________；满足以上条件的一个函数是__________．三、填空题15．（2022·北京海淀·二模）不等式112x⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集为_________．16．（2022·北京房山·二模）已知函数()3,,.x x a f x x x a ≤⎧=⎨>⎩，若函数()f x 在R 上不是增函数，则a 的一个取值为___________.17．（2022·北京房山·二模）声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数sin y A t ϖ=.我们听到的声音是由纯音合成的，称为复合音.已知一个复合音的数学模型是函数1()sin sin 22f x x x =+.给出下列四个结论：①()f x 的最小正周期是π； ②()f x 在[0,2]π上有3个零点；③()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数；④()f x 其中所有正确结论的序号是___________.18．（2022·北京昌平·二模）若函数2,0,()0x b x f x x ⎧-<⎪=≥有且仅有两个零点，则实数b 的一个取值为______.19．（2022·北京东城·二模）某公司通过统计分析发现，工人工作效率E 与工作年限()0r r >，劳累程度(01)T T <<，劳动动机(15)b b <<相关，并建立了数学模型0.14 1010r E T b -=-⋅．已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论：①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高； @甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高； ③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强： ④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱． 其中所有正确结论的序号是__________．20．（2022·北京丰台·二模）如图，某荷塘里浮萍的面积y （单位：2m ）与时间t （单位：月）满足关系式：ln t y a a =（a 为常数），记()y f t =（0t ≥）．给出下列四个结论：①设()()*N n a f n n =∈，则数列{}n a 是等比数列；②存在唯一的实数()01,2t ∈，使得()()()021f f f t '-=成立，其中()f t '是()f t 的导函数； ③常数()1,2a ∈；④记浮萍蔓延到22m ，23m ，26m 所经过的时间分别为1t ，2t ，3t ，则123t t t ．其中所有正确结论的序号是______．四、解答题21．（2022·北京房山·二模）已知函数21()(1)e ()2xf x x ax a =--∈R .(1)当0a =时，求曲线()y f x =在0x =处的切线方程； (2)求函数()f x 在[1,2]上的最小值.22．（2022·北京昌平·二模）已知函数()ln f x a x bx b =-+，e ()(0)xg x a x x=->.(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求实数,a b 的值； (2)若函数()g x 无零点，求实数a 的取值范围；(3)当a b =时，函数()()()F x f x g x =+在1x =处取得极小值，求实数a 的取值范围. 23．（2022·北京西城·二模）已知函数ln ()1x af x x +=+. (1)若()114f '=，求a 的值；(2)当2a >时，①求证：()f x 有唯一的极值点1x ； ②记()f x 的零点为0x ，是否存在a 使得21x x ≤e ？说明理由. 24．（2022·北京东城·二模）已知函数22()ln ()a f x x a x a x=++∈R ． (1)当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)当[e,)x ∈+∞时，曲线()y f x =在x 轴的上方，求实数a 的取值范围． 25．（2022·北京丰台·二模）已知函数()1xax f x e +=． (1)当1a =时，求()f x 的单调区间和极值； (2)当1a ≥时，求证：()()11f x a x ≤-+；(3)直接写出a 的一个取值范围，使得()211f x ax a x ≥+-+（）恒成立．26．（2022·北京海淀·二模）已知函数1()ln2x af x x-=+． (1)当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程；(2)当12a =-时，求函数()f x 的单调区间；(3)当0x <时，()12f x ≥恒成立，求a 的取值范围.2022北京高三二模数学汇编 三角函数与解三角形参考答案1．A 【解析】 【分析】由()f x 是R 上的增函数得()()f x a f x +>，即()()0y f x a f x =+>-无零点，满足充分性；反之若对任意0a >，()()f x a f x +<，满足()()y f x a f x =+-无零点，但不满足()f x 是R 上的增函数，不满足必要性，即可判断. 【详解】若()f x 是R 上的增函数，则对任意0a >，显然x a x +>，故()()f x a f x +>，即()()0y f x a f x =+>-无零点，满足充分性；反之，若对任意0a >，()()f x a f x +<，即()()0f x a f x +<-，满足()()y f x a f x =+-无零点，但()f x 是R 上的减函数，不满足必要性，故“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的充分而不必要条件. 故选：A. 2．C 【解析】 【分析】由()f x 为奇函数可得(1)(1)(2)(2)f f f f -=-⎧⎨-=-⎩，代入相应解析式解方程即可.【详解】易知定义域为{}0x x ≠，由()f x 为奇函数可得(1)(1)(2)(2)f f f f -=-⎧⎨-=-⎩，即()()11221a b a b ⎧-+=--⎪⎨-+=--⎪⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩. 故选：C. 3．B【解析】 【分析】取特殊值即可判断A 、C 、D 选项，因式分解即可判断B 选项. 【详解】对于A ，令11,2x y ==-，显然01112yx +=-<，错误；对于B ，()()()23322213024x y x y x xy y x y x y y ⎡⎤⎛⎫+=+-+=+-+≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又1,02x y y ==不能同时成立，故()2213024x y x y y ⎡⎤⎛⎫+-+>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，正确；对于C ，取1,0x y ==，则lg()0x y +=，错误； 对于D ，取1,3x y ==，则sin()sin 40x y +=<，错误. 故选：B. 4．C 【解析】 【分析】根据绝对值的定义和对数函数的单调性即可求解． 【详解】2222()log 22l 222og f x x x x x -<⇒<<⇒∈=<⇒-<1,44⎛⎫⎪⎝⎭．故选：C ﹒ 5．A 【解析】 【分析】,,a b c 分别和特殊值0，1比较大小，即可判断.【详解】()0.210,13a ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，4log 0.20b =<，22log 3log 21c =>=， 所以c a b >>. 故选：A 6．C 【解析】 【分析】由二次函数的性质判断()f x 区间单调性，根据解析式知()f x 恒过(4,2)且(0)2f =，进而确定区间值域，再由对数函数性质求2log y x =的对应区间值域，即可得不等式解集. 【详解】由题设，()f x 对称轴为2x =且图象开口向下，则()f x 在(0,2)上递增，(2,)+∞上递减， 由2()42(4)2f x ax ax ax x =-+=-+，即()f x 恒过(4,2)且(0)2f =， 所以(0,4)上()2f x >，(4,)+∞上()2f x ，而2log y x =在(0,)+∞上递增，且(0,4)上2y <，(4,)+∞上2y >， 所以2()log f x x >的解集为(0,4). 故选：C 7．B 【解析】 【分析】首先得到函数的定义域，再分析当0x ≤时()f x 的取值，即可得到3a ≤，再对0x a <≤时分2a ≥和02a <<两种情况讨论，求出此时()f x 的取值，即可得到()f x 的值域，从而得到不等式，解得即可； 【详解】解：因为()()223,02,0xx f x x x a ⎧+≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，所以()f x 的定义域为(],a -∞，0a >， 当0x ≤时()23xf x =+，则()f x 在(],0-∞上单调递增，所以()(]3,4f x ∈；要使定义域和值域的交集为空集，显然03a <≤， 当0x a <≤时()()22f x x =-，若2a ≥则()20f =，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集，若02a <<时()f x 在(]0,a 上单调递减，此时()())22,4f x a ⎡∈-⎣， 则()())(]22,43,4f x a ⎡∈-⎣，所以()2202a a a ⎧<-⎪⎨<<⎪⎩，解得01a <<，即()0,1a ∈故选：B 8．D 【解析】 【分析】求出方程()1f x =的实数根，从而可得()g a ，再根据指数函数的性质即可得解. 【详解】 解：由()1f x =，得lg 1x a -=，所以110a x +=或110a -， 故()210ag a =，所以函数()g a 既无最大值，也无最小值. 故选：D. 9．D 【解析】 【分析】根据指对函数的性质判断A 、B ，由正弦函数性质判断C ，对于D 有22,0(),0x x y f x x x ⎧-≤⎪==⎨>⎪⎩，即可判断奇偶性和()0,+∞单调性.【详解】由3y x =为奇函数且在()0,+∞上递增，A 、B ：12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭、ln y x =非奇非偶函数，排除； C ：sin y x =为奇函数，但在()0,+∞上不单调，排除；D ：22,0(),0x x y f x x x ⎧-≤⎪==⎨>⎪⎩，显然()()f x f x -=-且定义域关于原点对称，在()0,+∞上递增，满足. 故选：D10．D【解析】【分析】利用坐标法，设(),0,1,01P x x x -≤≤，可得动点P 到直线11A C 的距离为d =性质即得.【详解】如图建立空间直角坐标系，则()()111,0,1,0,1,1A C ，设(),0,1,01P x x x -≤≤，则()()1111,0,,1,1,0A P x x AC =--=-， ∴动点P 到直线11A C 的距离为(22111111A P AC d A P AC ⋅=-=212x x -+，当13x =时取等号， 即线段1AD 上的动点P 到直线11A C 故选：D.11．A【解析】【分析】 根据对数函数的单调性及指数函数的单调性可得结论．【详解】1122log 3log 10a =<=，ln lne 1b π=>=，1020e e 1c -<=<=， 所以a c b <<．故选：A ．12．C【解析】【分析】 根据偶函数的对称性得到()f x 在区间(],0-∞上单调递增，再根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；【详解】解：偶函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递减，所以()f x 在区间(],0-∞上单调递增；则()()lg 1f x f >等价于lg 1x <，即1lg 1x -<<，即1lglg lg1010x <<，解得11010x <<，即原不等式的解集为1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭；故选：C13．A【解析】【分析】根据指数、对数函数的单调性，将a ，b ，c 与0或1比较，分析即可得答案.【详解】由题意得0.50331a =>=，3330log 1log 2log 31=<<=，所以01b <<，又2tan 3c π== 所以a b c >>.故选：A14． (1,1)- 31()3f x x x =-（答案不唯一） 【解析】【分析】由()201f x x '>-可得2()(1)0f x x '->，从而可得2()010f x x '>⎧⎨->⎩或2()010f x x '<⎧⎨-<⎩，进而可求出()f x 的单调递减区间，由导函数的单调区间可求得满足条件的一个函数【详解】由()201f x x '>-可得2()(1)0f x x '->， 所以2()010f x x '>⎧⎨->⎩或2()010f x x '<⎧⎨-<⎩， 所以当1x <-或1x >时，()0f x '>，当11x -<<时，()0f x '<，所以()f x 的单调递减区间为(1,1)-， 所以满足条件的一个函数可以为31()3f x x x =-（答案不唯一）故答案为：(1,1)-，31()3f x x x =-（答案不唯一） 15．(),0∞-【解析】【分析】直接由指数函数的单调性解不等式即可.【详解】 由011122x ⎛⎫⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得0x <，故解集为(),0∞-. 故答案为：(),0∞-.16．-2(答案不唯一，满足1a <-或01a <<即可)【解析】【分析】作出y =x 和y =3x 的图象，数形结合即可得a 的范围，从而得到a 的可能取值．【详解】y =x 和y =3x 的图象如图所示：∴当1a <-或01a <<时，y =3x 有部分函数值比y =x 的函数值小，故当1a <-或01a <<时，函数()f x 在R 上不是增函数．故答案为：-2．17．②④【解析】【分析】对①，分别计算sin y x =和1sin 22y x =的最小正周期，再由其最小公倍数即可得到()1sin sin 22f x x x =+的最小正周期；对②，直接求零点即可；对③④，对()f x 求导，利用导数研究函数的单调性、极值和最值，即可判断【详解】对①，因为：()1sin sin 22f x x x =+， sin y x =的最小正周期是2π，1sin 22y x =的最小正周期是22ππ=， 所以()1sin sin 22f x x x =+的最小正周期是2π，故①不正确； 对②，()0f x =即sin sin cos 0x x x +=，即()sin 1cos 0x x +=，故sin 0x =或cos 1x =-，又[]0,2x π∈，故0x =，x π=或2x π=，即()f x 在[0,2]π上有3个零点，故②正确； 对③由题1()sin sin 22f x x x =+，[]0,2x π∈，由()2cos cos22cos cos 1(2cos 1)(cos 1)f x x x x x x x '=+=+-=-+， 令()0f x '=得，3x π=，5π3x x π==，， 当0,3x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，()0f x '>，()f x 为增函数， 当5,33x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，()0f x '≤，()f x 为减函数， 当5,23x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦，()0f x '>，()f x 为增函数， 所以()f x 在0,3π⎡⎫⎪⎢⎣⎭，5,23ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在5(,)33ππ上为单调递减，故③不正确；由于()3f π=，(2)0f π=，所以()f x 综上，②④正确故答案为：②④18．12（答案不唯一）【解析】【分析】由零点的概念求解【详解】令()0f x =，当0x ≥0=得0x =，即0x =为函数()f x 的一个零点，故当0x <时，20x b -=有一解，得(0,1)b ∈ 故答案为：12（答案不唯一）19．①②④【解析】【分析】利用指数函数的性质，幂函数的性质逐项分析即得.【详解】设甲与乙的工人工作效率12,E E ，工作年限12,r r ，劳累程度12,T T ，劳动动机12,b b ，对于①，12b b =，12r r >，12T T <，15b <<，0.14210b -<< ∴210.140.1421r r b b -->，210T T >>，则()()12210.14012.140.140.1411222211 =10101010100r r r r T b T b T b T b E E -----⋅-⋅⋅--⋅-=>，∴12E E >，即甲比乙工作效率高，故①正确；对于②，12T T =，12r r >，12b b >，∴0.140.142101b b -->>>，2210.140.140.14211r r r b b b --->>，则()()12210.140.140.140.14112211122 10=101010100r r r r T b T b T E b b E --------=⋅⋅>-，∴12E E >，即甲比乙工作效率高，故②正确；对于③，12r r =，12E E >，12<b b ，1201b b <<， ∴()210.140.142212111 0=0r r T E b E b T --⋅-⋅->，210.140.142211r r T b T b --⋅>⋅， 1120.140.142110.141221r r r T b b T b b ---⎛⎫>= ⎪⎝>⎭，所以1T T >2，即甲比乙劳累程度弱，故③错误；对于④，12b b =，12E E >，12r r <，∴()210.140.142212111 0=0r r T E b E b T --⋅-⋅->，210.140.142211r r T b T b --⋅>⋅， ∴()()11220.140.142110.14121r r r r T b b T b ---->>=， 所以1T T >2，即甲比乙劳累程度弱，故④正确.故答案为：①②④.20．①②④【解析】【分析】根据()01f <、()36f =求出a 的取值范围，即可判断③，再根据等比数列的定义判断①，构造函数利用导数说明函数的单调性，再结合零点存在性定理判断②，根据指数对数的关系及对数函数的性质判断④；【详解】解：依题意()ln t f t a a =，因为()00ln 1f a a =<，所以0e a <<且1a ≠，又()33ln 6f a a ==，所以ln 0a >，所以1e a <<，即()1,e a ∈，令()3ln h a a a =，()1,e a ∈，则()223ln 0h a a a a '=+>，则()3ln h a a a =在()1,e a ∈上单调递增，又()322ln 26h =<，所以()2,e a ∈，故③错误；由已知可得()ln n n a f n a a ==，则()111ln n n a f n a a ++=+=，()11ln a f a a ==， 所以11ln ln n n n n a a a a a a a++==，所以{}n a 是以ln a a 为首项，a 为公比的等比数列，故①正确； 令()ln t f t a a =，则()()2ln t f t a a '=，()22ln f a a =，()1ln f a a =， 令()()0220ln ln ln t g t a a a a a a =-+，则()()030ln t g t a a '=，()01,2t ∈， 因为()2,e a ∈，所以()()030ln 0t g t a a '=>，即()()0220ln ln ln t g t a a a a a a =-+，在()01,2t ∈上单调递增， 因为()2,e a ∈，所以ln 0a a -<，ln 10a -<，ln 0a a >，令()ln 1a a a ϕ=-+，()2,e a ∈，则()1110a a a aϕ-'=-=<，所以()ln 1a a a ϕ=-+，在()2,e a ∈上单调递减， 且()2ln 221ln 210ϕ=-+=-<，即()ln 10a a a ϕ=-+<，令()ln 1H a a a a =-+，()2,e a ∈，则()ln 0H a a '=>，所以()ln 1H a a a a =-+在()2,e a ∈上单调递增， 又()22ln 2212ln 210H =-+=->，所以()ln 10H a a a a =-+>，所以()()()()221ln ln ln ln ln ln ln ln 10g a a a a a a a a a a a a a a a a =-+=-+=-+<，()()()()22222ln ln ln ln ln 1ln ln ln 10g a a a a a a a a a a a a a a a a =-+=-+=-+>， 故存在()01,2t ∈上，()00g t =，故②正确；依题意12ln t a a =、23ln t a a =、36ln t a a =，所以()1212223ln ln ln t t t t a a a a a a +⨯=⨯=，所以()122ln 6t t a a +=，则()1232ln 1ln t t t a a a a +=，即123ln 1t t t a a +-=， 所以1231ln ln ln a t t t a⎛⎫ ⎪⎝⎭+-=， 因为()2,e a ∈，所以ln 2ln 1a <<，所以1112ln ln 2a a <<<<，所以1ln ln 01ln a a⎛⎫ ⎪⎝⎭<<， 所以1230t t t +->，即123t t t ，故④正确；故答案为：①②④21．(1)1y =-(2)答案见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义，求切线方程；（2）首先求函数的导数，化简为()()e x f x x a =-'，再讨论0a ≤和0a >两种情况讨论函数的单调性，再求函数的最值.(1)当0a =时，()(1)e ,()e x x f x x f x x =='-所以(0)0,(0)1f f '==-.所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为：1y =-.(2)()()e e x x f x x ax x a =-=-'.①当0a ≤时，e 0x a ->.所以[1,2]x ∈时，()0f x '>.所以()f x 在[1,2]上是增函数.所以min 1()(1)2f x f a ==-. ②当0a >时，令()0f x '=，解得12ln ,0x a x ==（舍）1°当ln 1a ≤，即0e a <≤时，[1,2]x ∈时，()0f x '>.所以()f x 在[1,2]上是增函数.所以min 1()(1)2f x f a ==-. 2°当1ln 2a <<，即2e e a <<时，所以2min 1()(ln )ln (ln 1)2f x f a a a a a ==-+-. 3°当ln 2a ≥，即2e a ≥时，[1,2]x ∈时，()0f x '<.所以()f x 在[1,2]上是减函数.所以2min ()(2)e 2f x f a ==-.综上，当e a ≤时，min 1()2f x a =-；当2e e a <<时，2min 1()ln (ln 1)2f x a a a a =-+-. 当2e a ≥时，2min ()e 2f x a =-. 22．(1)e,e a b ==(2)(,e)-∞(3)(,e]-∞【解析】【分析】（1）求出两个函数的导数，由题可知(1)(1),(1)(1)f g f g '=='，求出即可； （2）设()e (0)x h x ax x =->，求出导数，讨论a 的范围根据单调性可得出； （3）求出()F x 的导数，讨论a 的范围，根据单调性即可得出.(1)因为函数()ln f x a x bx b =-+，e ()(0)xg x a x x=->， 所以()a f x b x'=-，2e (1)()-'=x x g x x . 因为曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线， 所以(1)(1),(1)(1)f g f g '=='.则0,e 0a b a -=-=，解得e,e a b ==.(2) 由题意，e e ()x x ax g x a x x-=-=， 设()e (0),()e x x h x ax x h x a =-='>-.①当0a ≤时，()0h x '>，()h x 在(0,)+∞上单调递增，且()(0)1h x h >=，所以()0>g x ，所以()g x 在(0,)+∞上无零点.②当0a >时，令()e 0x h x a =-='，得ln x a =．当01a <≤，即ln 0≤a 时，()0h x '>，()h x 在(0,)+∞上单调递增，且()(0)1h x h >=，所以()0>g x ，所以()g x 在(0,)+∞上无零点.当1a >时，ln 0a >，(),()h x h x '符号变化如下，所以min ()(ln )(1ln )h x h a a a ==-.当1ln 0a ->，即1e a <<时，()0h x >，所以()0>g x ，所以()g x 在(0,)+∞上无零点.当1ln 0a -≤，即e a ≥时，由(0)10h =>，(ln )0h a ≤，所以()h x 至少存在一个零点]0(0,ln x a ∈，所以()g x 至少存在一个零点.综上，若()g x 无零点，实数a 的取值范围为(,e)-∞.(3)当a b =时，e ()()()ln xF x f x g x a x ax x=+=-+，定义域为(0,)+∞． 则()22(1)e e (1)()x x x ax a x F x a x x x '---=-+=． 由（2）可知，当1a ≤时，()e 1x h x ax =->，当1e a <≤时， min ()(1ln )0h x a a =-≥，所以当e a ≤时，()e 0x h x ax =-≥在(0,)+∞上恒成立.此时，当01x <<时，()0F x '<，()F x 单调递减；当1x >时，()0F x '>，()F x 单调递增.所以()F x 在1x =处取得极小值．当e a >时，ln 1a >，当1ln x a <<时，10x ->，()(1)e 0h x h a <=-<，所以()0F x '<，()F x 单调递减.此时1x =不是极小值点．即e a >时，不合题意．综上，满足条件的a 的取值范围为(,e]-∞．23．(1) 1.a =(2)①证明见解析，②不存在，详细见解析.【解析】【分析】（1）求得导函数，由()114f '=，代入计算即可. (2) ①求得211ln (),(1)x a x f x x +--'=+设1()1ln g x x a x =+--, 由函数性质可知()g x 在(0,)+∞上单调递减.进而由(e )1e 0,(1)20a a g g a -=+>=-<，可得()0f x '=有(0,)+∞有唯一解，进而利用导数可判断()f x 有唯一的极值点1x .②由题意，可得0e ,a x -=假设存在a ，使210x x ≤e ，进而可知21e e ,a a x --<≤由()g x 在(0,)+∞单调递减，(e )0a g ->，则2(e )0a g -≤，求得2a ≤，与已知矛盾，则假设错误.(1) 因为ln (),01x a f x x x +=>+，所以211ln (),(1)x a x f x x +--'=+ 因为21(1)44a f -'==，所以 1.a = (2) ①()f x 的定义域是(0,)+∞，211ln (),(1)x a x f x x +--'=+令()0,f x '=，则11ln 0x a x+--=. 设1()1ln g x x a x =+--,因为1,ln y y x x==-在(0,)+∞上单调递减， 所以()g x 在(0,)+∞上单调递减.因为(e )1e 0,(1)20a a g g a -=+>=-<，所以()g x 在(0,)+∞上有唯一的零点，|所以()0f x '=有(0,)+∞有唯一解，不妨设为11,(e ,1)a x x -∈.()'f x 与()f x 的情况如下,所以()f x 有唯一的极值点1x .②由题意，0ln x a =-，则0e ,a x -=若存在a ，使210x x ≤e ，则21e 1a x -≤<，所以21e e ,a a x --<≤ 因为()g x 在(0,)+∞单调递减，(e )1e 0a a g -=+>，则需22(e )e 10a a g --=-≤，即2a ≤，与已知矛盾.所以，不存在2a >,使得210x x ≤e . 24．(1)3y = ； (2)3e ,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义即得；（2）由题可知min ()0f x >，当0a ≥时适合题意，当0a <时，分类讨论，利用导数求函数的最值即得.(1)当1a =时，2()ln ,0f x x x x x=++>， ∴221()1f x x x'=-+， ∴(1)3,(1)0f f '==，∴曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为3y = ；(2) ∵函数22()ln ()a f x x a x a x=++∈R ， 当0a ≥时，由[e,)x ∈+∞有()0f x >，故曲线()y f x =在x 轴的上方，当0a <时，()()22222()1x a x a a a f x x x x -+'=-+=， 由()0f x '=可得2x a =-或x a =（舍去），∴当(0,2)x a ∈-时，()0,()f x f x '<单调递减，当(2,)x a ∈-+∞时，()0,()f x f x '>单调递增，当2e a -≤即e 02a -<≤时，所以()f x 在[e,)+∞上单调递增， 则2222e ()(e)e e 70e 48e af x f a a ⎛⎫≥+=++=+> ⎪⎝⎭，即曲线()y f x =在x 轴的上方， 当2e a ->即e 2a <-时，()f x 在[e,2)a -上单调递减，在(2,)a -+∞上单调递增， 则()()(2)3ln 2f x f a a a a ≥-=-+-，由[e,)x ∈+∞时，曲线()y f x =在x 轴的上方，∴()3ln 20a a a -+->，解得3e 2a >-， 所以3e e 22a -<<-； 综上，实数a 的取值范围为3e ,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 25．(1)()f x 的单调递增区间为(),0∞-，单调递减区间为()0,∞+，在0x =处取得极大值，且极大值为1；(2)证明见解析；(3)答案不唯一，见解析.【解析】【分析】（1）求导判断函数的单调性，进而可求出极值；（2）构造函数()()1g 11xax x a x e +=---，求出函数的最大值即可得出结论； （3）将()211f x ax a x ≥+-+（）变形为()11x x x x ax xe e xe e +-≤-+，分别证得()1x x x xe e +-与1x x xe e -+恒非负，即可得出结论.(1)当1a =时，()1x x f x e +=，则()()()21x x x x e x e x f x e e -+-'==， 令()0f x '=，即0x =，所以当0x <时，()0f x '>，()f x 单调递增；当0x >时，()0f x '<，()f x 单调递减；因此()f x 在0x =处取得极大值，()00101f e+==， 所以()f x 的单调递增区间为(),0∞-，单调递减区间为()0,∞+，在0x =处取得极大值，且极大值为1；(2)要证()()11f x a x ≤-+，即证()1110xax a x e +---≤， 因此设()()1g 11x ax x a x e +=---，则()()()1111x x x a ax a e a ax g x a e e------'=--=， 令()()11x m x a ax a e =----，则()()1x m x a a e '=---，因为1a ≥，所以()()10x m x a a e '=---≤，因此()m x 单调递减，且()()00110m a a e =---=，所以(),0x ∈-∞时，()0m x >；当 ()0,x ∈+∞时，()0m x <；即(),0x ∈-∞时，()0g x '>；当 ()0,x ∈+∞时，()0g x '<；所以()g x 在(),0x ∈-∞上单调递增，在()0,x ∈+∞上单调递减，所以()g x 在0x =处取得极大值也是最大值，且()01g 010e =-=，故()1110xax a x e +---≤. (3)要证()211f x ax a x ≥+-+（），即证()2111xax x ax e a ≥+-++， 也即是()211x x x ax e ax a e e x ≥+-++，即证()11x x x x ax xe e xe e +-≤-+，令()1x x G x xe e =-+，则()x G x xe '=，当0x >时，()0G x '>，即()G x 单调递增；当0x <时，()0G x '<，即()G x 单调递减；所以()()min 00G x G ==，故10x x xe e -+≥，令()()21x x x x H x x xe e x e xe x =+-=+-，则()()2311x H x x x e '=++-令()()2311x M x x x e =++-，则()()254x M x x x e '=++，()0M x '=，则124,1x x =-=-所以4x <-和1x >-时，()0M x '>，则()M x 单调递增，41x -<<-时，()0M x '<，则()M x 单调递减，且()44510M e --=-<，()1110M e --=--<，()0010M e =-=，因此0x <时，()0M x <，即()()23110x H x x x e '=++-<，所以()H x 单调递减，0x >时，()0M x >，即()()23110x H x x x e '=++->，所以()H x 单调递增，所以()()min 00H x H ==，即()10x x x xe e +-≥因此当0a ≤时，()211f x ax a x ≥+-+（）恒成立. 【点睛】恒成立问题解题思路：（1）参变量分离：（2）构造函数：①构造函数，研究函数的单调性，求出函数的最值，解不等式即可；②构造函数后，研究函数单调性，利用单调性解不等式，转化之后参数分离即可解决问题.26．(1)1122y x =--；(2)()f x 的单增区间为()11,0,0,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，单减区间为()1,1,,12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭； (3)12a ≤-【解析】【分析】（1）直接计算(1)f -，求导计算(1)f ，写出切线方程即可；（2）直接求导确定导数的正负，写出单调区间即可；（3）先根据必要性得到1(1)2f a -=-≥，再证明当12a ≤-时，11()ln ln 2212x a x f x x x --=+≥-，结合（2）中单调性证得1()2f x ≥，即满足充分性，即可求解. (1)22211()121a a f x x x x x ⎛⎫'=⋅--=- ⎪--⎝⎭，当0a =时，1()1f x x '=-，1(1)2f '-=-，1()ln 2x f x -=，(1)0f -=，故曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程为1(1)2y x =-+，即1122y x =--； (2)易得定义域为()(),00,1-∞⋃，当12a =-时，()()()2221111()1221x x f x x x x x --+'=+=--，令()0f x '=，12x =或1-， 当1x <-或112x <<时，()0,()f x f x '<单调递减；当10x -<<或102x <<时，()0,()f x f x '>单调递增； 故()f x 的单增区间为()11,0,0,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，单减区间为()1,1,,12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭； (3) “1(1)2f a -=-≥，即12a ≤-”是“当0x <时，()12f x ≥恒成立”的必要条件. 当12a ≤-，0x <时，11()ln ln 2212x a x f x x x--=+≥-，令1()l 1n 22x g x x -=-， 由（2）知，()g x 在(),1-∞-单调递减，在()1,0-单调递增，故()()112g x g ≥-=， 即()()21f x g x ≥≥，所以a 的取值范围是12a ≤-.。

2019北京二模分类汇编理科二模导数教师

2019北京二模分类汇编理科二模导数教师

2019高三二模导数汇编1、（海淀理）(19)（本小题满分14分） 已知函数22()(),ax a f x e x a+=-，其中0a ≠． (Ⅰ)求曲线()y f x =在点 (1,(1))f 处切线的倾斜角； (Ⅱ)若函数()f x 的极小值小于0，求实数a 的取值范围．解：（Ⅰ）因为22()e ()a x a f x x a+=-，所以2'()e (2(2))a x f x ax x a =+-+ 所以'(1)0f = 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的倾斜角为0（Ⅱ）方法1：因为2'()e (2(2))e ((2))(1)a x a x f x ax x a ax a x =+-+=++- 令()0f x '=，得到122,1a x x a+=-= 当0a >时，x ，'()f x ，()f x 的变化情况如下表:而222(1)e (1)e (11)e ()0a a a a f a a a+=-=--=-<，符合题意 当1a =-时，1221a x x a+=-==， 2'()e (1)0a x f x x =-+≤,()f x 没有极值，不符合题意当10a -<<时，x >11，'()f x ，()f x 的变化情况如下表而2(1)e ()0a f a=->，不符合题意当1a <-时，x <11，'()f x ，()f x 的变化情况如下表:所以2()2122()e[()()]0a a aa a f x a a+-++=--<， 解得2a <- 综上，a 的取值范围是(,2)(0,)-∞-+∞方法2：因为函数()f x 的极小值小于0， 所以()0f x <有解，即220a x a+-<有解 所以20a a+>，所以有0a >或2a <- 因为2'()e (2(2))e ((2))(1)a x a x f x ax x a ax a x =+-+=++- 令()0f x '=，得到122,1a x x a+=-= 当0a >时， x ，'()f x ，()f x 的变化情况如下表:而222(1)e (1)e (11)e ()0a a a a f a a a+=-=--=-<，符合题意 当2a <-时，x <11，'()f x ，()f x 的变化情况如下表:而22()()212222(2)()e[()()]e 0a a a a aa a a a f x a a a++--+++=--=<，符合题意 综上，a 的取值范围是(,2)(0,)-∞-+∞2、（东城理）（19）（本小题14分）已知函数()sin f x x x =+．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(,())22f ππ处的切线方程；（Ⅱ）若不等式()cos f x ax x ≥在区间π[0,]2上恒成立，求实数a 的取值范围．解： （Ⅰ）因为()sin f x x x =+，所以()1cos f x x '=+，()12f π'=，()122f ππ=+， 所以曲线()y f x =在点(,())22f ππ处的切线方程为 1.y x =+ ............................5分（Ⅱ）因为[0,]2x π∈，所以sin 0x ≥，cos 0x ≥，当0a ≤时，()sin 0f x x x =+≥恒成立，cos 0ax x ≤恒成立，所以不等式()cos f x ax x ≥在区间[0,]2π上恒成立.当0a >时，设()()cos sin cos g x f x ax x x x ax x =-=+-， ()1cos cos sin 1(1)cos sin g x x a x ax x a x ax x '=+-+=+-+，若01a <≤，(1)cos 0a x -≥，sin 0ax x ≥，所以()0g x '>在区间[0,]2π上恒成立；若12a <≤，110a -≤-<，1(1)cos 0a x +-≥，sin 0ax x ≥，所以()0g x '>在区间[0,]2π上恒成立；所以()g x 在区间[0,]2π上单调递增，min ()(0)0,g x g ==所以当2a ≤时，不等式()cos f x ax x ≥在区间[0,]2π上恒成立；当2a >时，令()()1(1)cos sin h x g x a x ax x '==+-+，()(21)sin cos h x a x ax x '=-+，()0h x '>在区间[0,]2π上恒成立，所以()g x '在区间[0,]2π上单调递增，min ()(0)20g x g a ''==-<，max ()()1022a g x g ππ''==+>，所以存在0[0,]2x π∈，使得0()0g x '=.当00x x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当02x x π<<时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当0x x =时，()0g x '=，()g x 取得极小值；而(0)0g =，所以0()0g x <，所以不等式()0g x ≥在区间[0,]2π上不能恒成立，所以不等式()cos f x ax x ≥在区间[0,]2π上恒成立时实数a 的取值范围是(,2].-∞ (14)3、（西城理）(18)（本小题满分13分）已知函数()(ln 1)f x x x =+，其中0a ≠．(Ⅰ)若曲线()y f x =在点 00(,())x f x 处的切线的斜率小于1，求0x 的取值范围；(Ⅱ)设整数k 使得1()()2f x k x ≥-对(0,)x ∈+∞恒成立，求整数k 的最大值.4、（朝阳理）18. （本小题满分13分）已知函数22()(24)ln 4f x ax x x ax x =+--(a ∈R ,且0a ≠). （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; （Ⅱ）若函数()f x 的极小值为1a，试求a 的值. 解：由题意可知()4(1)ln f x ax x '=+，(0,)x ∈+∞. （Ⅰ）(1)0f '=，(1)4f a =--，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为4y a =--. ………….3分（Ⅱ）①当1a <-时，x 变化时(),()f x f x '变化情况如下表：此时132()ln()f a a a a a -=+-=,解得1ea =->-，故不成立.②当1a =-时，()0f x '≤在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 在(0,)+∞单调递减. 此时()f x 无极小值，故不成立.③当10a -<<时，x 变化时(),()f x f x '变化情况如下表：此时极小值(1)4f a =--，由题意可得14a a--=，解得2a =-+2a =--.因为10a -<<，所以2a =-.④当0a>时，x 变化时(),()f x f x '变化情况如下表：此时极小值(1)4f a =--，由题意可得4a a--=，解得2a =-+2a =--.综上所述2a =-+. ………….13分5、（丰台理）18．（本小题13分）已知函数2()ln (21)1()f x x ax a x a =+-++≥0． （Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 在区间[1,)+∞上的最大值；（Ⅱ）函数()f x 在区间(1,)+∞上存在最小值，记为()g a ，求证：1()14g a a<-． 解：（Ⅰ）当0a =时，()ln 1f x x x =-+，则1()1f x x'=-， ………………2分 因为[1,)x ∈+∞，所以()0f x '≤. ………………3分 所以()f x 在区间[1,)+∞上单调递减， ………………4分 所以()f x 区间[1,)+∞上最大值为(1)0f =. ………………5分（Ⅱ）由题可知1()2(21)f x ax a x'=+-+22(21)1ax a x x-++=(21)(1)ax x x--=． ………………6分①当0a =时，由（Ⅰ）知，函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递减，所以函数()f x 无最小值，此时不符合题意； ………………7分②当12a ≥时，因为(1,)x ∈+∞，所以210ax ->．此时函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递增， 所以函数()f x 无最小值，此时亦不符合题意； ………………8分③当102a <<时，此时112a <．函数()f x 在区间1(1,)2a上单调递减，在区间1(,)2a +∞上单调递增，所以min 111()()ln 224f x f a a a ==-， ………………9分 即11()ln 24g a a a=-. 要证1()14g a a<-，只需证当102a <<时，1()104g a a -+<成立. 即证111ln 10(0)222a a a -+<<<， ………………10分设12t a=，()ln 1(1)h t t t t =-+> ………………11分由（Ⅰ）知()(1)0h t h <= ………………12分即1()104g a a -+<成立.所以1()14g a a<-. ………………13分6、（房山理）(19)（本小题14分）已知函数21()2sin +1,()cos 2f x x xg x x m x =-=+. （Ⅰ）求曲线()y f x =在0x =处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在(0,)π上的单调区间；（Ⅲ）当1m >时，证明：()g x 在(0,)π上存在最小值.（Ⅰ）因为()2sin 1f x x x =-+，所以'()12cos f x x =-则(0)1f =，'(0)1f =-，所以切线方程为1y x =-+ ……………………4分（Ⅱ）令'()0f x =，即1cos 2x =，()0,x ∈π，得3x π=当x 变化时，'(),()f x f x 变化如下：所以函数()f x 的单调递减区间为(0,)3,单调递增区间为(,)3π…………………8分（Ⅲ）因为21()cos 2g x x m x =+，所以'()sin g x x m x =-令'()()sin h x g x x m x ==-，则'()1cos h x m x =-……………9分因为1m >， 所以1(0,1)m∈所以'()1cos 0,h x m x =-=即1cos x m =在()0,π内有唯一解0x当()00,x x ∈时，'()0h x <，当()0,x x π∈时，'()0h x >，所以()hx 在()00,x 上单调递减,在()0,πx 上单调递增. ……………11分所以0()(0)0h x h <=，又因为()0h ππ=>所以()sin h x x m x =-在0(,)(0,)x ππ⊆内有唯一零点1x ……………12分当()10,x x ∈时，()0h x < 即'()0g x <，当()1,x x π∈时，()0h x > 即'()0g x >， ……………13分 所以()g x 在()10,x 上单调递减,在()1,πx 上单调递增. 所以函数()g x 在1x x =处取得最小值即1m >时，函数()g x 在()0,π上存在最小值……………………………………14分7、昌平（18）（本小题13分） 已知()()211e 2x f x x ax =--． (I)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，求a 的值； (II)若()f x 在0x =处取得极大值，求a 的取值范围.解：(I)因为()()211e 2xf x x ax =--,()f x 的定义域为(,)-∞+∞， 所以()'e xf x x ax =-.()'1e .f a =-由题设知()'0f x =，即e 0,a -=解得e a =． 此时e(1)02f =-≠． 所以a 的值为e ． ….5分（II ）由(I)得()'e (e )x xf x x ax x a =-=-.① 若1a >，则当(,0)x ∈-∞时，0,e 1,e 0,x x x a <<-<所以'()0f x >；当(0,ln )x a ∈时，ln 0,e e 0,x a x a a >-<-=所以'()0f x <．所以()f x 在0x =处取得极大值.② 若1a ≤，则当(0,1)x ∈时，0x >，e e 10x x a -≥->，所以'()0f x >．所以0不是f (x )的极大值点．综上可知，a 的取值范围是（1，+∞）． ….13分8、顺义18.设函数.（I ）若点在曲线上，求在该点处曲线的切线方程；（II ）若有极小值2，求.18. 解：（I ）因为点()1,1在曲线()y f x =上，所以1a =，()ln f x x=------------------------------------------1分又()1f x x '=-=， ------------------------------------------3分 所以()112f '=-------------------------------------------4分在该点处曲线的切线方程为()1112y x -=--即230x y +-=------------------------------------------5分（II ）定义域为()0,+∞，()1f x x '==--------------------------------------6分 讨论：（1）当0a ≤时，()0f x '<此时()f x 在()0,+∞上单调递减，所以不存在极小值------------------------------8分 （2）当0a >时，令()=0f x '可得24=x a------------------------------------------9分所以()f x 在240,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在24,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增 ----------------------11分 所以()24=f x f a ⎛⎫⎪⎝⎭极小值=242ln a -，所以242ln a -=2解得()2a =舍负------------------------------------------13分9、通州19．（本小题13分）已知函数()()2R kxe f x k x=∈．（Ⅰ）当0k =时，求曲线()y f x =在点()()11f --，处的切线方程； （Ⅱ）当0k ≠时，（ⅰ）求()f x 的单调区间；（ⅱ）若()f x 在区间()01，内单调递减，求k 的取值范围．19．解: （Ⅰ）当0k=时，()221f x x x -==，()3322f x x x-'=-=-. ..........1分 所以()12f '-=， ()11f -=. .........2分所以曲线()y f x =在点()()11f --，处的切线方程为()()()()111y f f x ⎡⎤'--=---⎣⎦， .....................................3分即230x y -+=； .....................................4分（Ⅱ）0k ≠时，（ⅰ）()f x =2x e kx，定义域为{}0|≠x x ， ..........................5分所以()f x '=422x x e x ke kx kx ⋅-⋅=42)2x x kx e kx -⋅（． .......... ........ ..............7分 令()0f x '=，得2x k=． .......... ........ ..........8分①当0k >时，在()0-∞，和),2(+∞k ，()0f x '>；在)2,0(k，()0f x '<． 所以()f x 的单调递增区间为()0-∞，和),2(+∞k ，单调递减区间为)2,0(k；.........9分 ②当0k <时，在）（0,2k ，()0f x '>；在），（k2-∞和），（∞+0，()0f x '<． 所以()f x 的单调递增区间为）（0,2k ，单调递减区间为2k ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，和()0+∞，；....10分 （ⅱ）由()f x 在区间()01，内单调递减，①当0k>时，()01，⊆)2,0(k ，有12≥k，所以20≤<k ； ..........11分 ②当0k <时, ()f x 在），（∞+0递减，符合题意． ..........12分 综上k 的取值范围是()(]002,,-∞． ..........13分。

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（1）求实数 的值；
（2）对任意 ，不等式 ＜ 恒成立，求实数 的取值范围。
9某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式 ，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
（1）求a的值；
（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
10已知函数 ，函数 的图像在点 的切线方程是 ．
（1）求函数 的解析式：
（2）若函数 在区间 上是单调函数，求实数 的取值范围．
11已知函数 (x>0)在x= 1处取得极值 ，其中a,b,c为常数。
（1）试确定a,b的值；
（2）求函数f(x)的单调增区间；
（3）若对任意x>0，不等式f(x)≥－(c－1)4+(c－1)2－c+9恒成立，求c的取值范围.
(A)[0, ) (B) （C） (D)
4设a>0，b>0 ()
A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a>bB．若2a＋2a＝2b＋3b，则a<b
C．若2a－2a＝2b－3b，则a>bD．若2a－2a＝2b－3b，则a<b
5已知x0是函数f(x)=2x+ 的一个零点.若 ∈（1， ），
∈（ ，+ ），则（）
（A）f( )＜0，f( )＜0（B）f( )＜0，f( )＞0
（C）f( )＞0，f( )＜0（D）f( )＞0，f( )＞0
6抛物线 上两点 处的切线交于 点，则 的面积为
7已知函数f(x)=|lgx|.若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是
8已知函数 ，若函数 的图象与函数 的图象的一个公共点P的横坐标为1，且两曲线在点P处的切线互相垂直。
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
10解（1）、 ， ①，
②，由①②得，a=-8,b=8，
（2）、 得
所以
11解：（1）由题意知 ，因此 ，从而 ．
又对 求导得 ．
由题意 ，因此 ，解得 ．
（2）由（1）知 （ ），令 ，解得 ．
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)23<x<6.
从而f′(x)＝10＝30(x－4)(x－6)．
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
单调递增
极大值42
单调递减
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．
函数与导数练习题参考答案
1．B2。A3．D4．A5．B6。 7.
8解：（1）
又 ，
两双曲线在点P处的切线互相垂直， 。
（2）
对任意的 ＜ 恒成立
＜
，则 ＞0得 ＜ ＜
函数 在 上递减，在 上递增
而
而
当 时，
故 ＜ ＜
实数 的取值范围是
9(1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量：y＝＋10(x－6)2.
因此 的单调递增区间为 ．
（3）由（2）知， 在 处取得极小值 ，此极小值也是最小值，
要使f(x)≥－(c－1)4+(c－1)2－c+9（ ）恒成立，
即－3－c（≥－(c－1)4+(c－1)2－c+9（ ）恒成立，
解得c∈(－∞，－1]∪[3，＋∞).
函数与导数练习题
1函数 是函数 的导函数，且函数 在点 处的切线为 ，如果函数 在区间 上的图象如图所示，且 ，那么（）
A． 是 的极大值点
B． = 是 的极小值点
C． 不是 极值点
D． 是 极值点
2已知函数f(x)= +1，则 的值为( )
A． B． C． D．0
3已知点 在曲线 上， 为曲线在点 处的切线的倾斜角，则 的取值范围是
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