北京某小学坑班真题第三讲基本概念(数论)
人大附分班考试班 第三讲 数论 学生版
生活就像海洋，只有意志坚强的人，才能到达彼岸。
——马克思小学阶段的数论知识包括数的整除、奇偶性、质数合数、约数倍数、同余问题、完全平方数等，这些知识也是初中数论的重点，分班考试的命题则在于考查这些知识的基本性质及其应用。
1.两个整数相加时，和是一个两位数，且两个数字相同；相乘时，积是一个三位数，且三个数字相同。
请写出所有满足上述条件的两个整数。
2. 一个五位数是54的倍数，并且它的各位数字都不为0。
删去它的一位数字后所得的四位数仍是54的倍数.再删去该四位数的一位数字后所得的三位数还是54的倍数，再删去该三位数的一位数字后所得的两位数还是54的倍数，试求原五位数。
3.已知2006120062111222N =⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 个个，试将N 表示为4个大于1的自然数之积。
4.一队少年儿童不超过50人，围成一圈作游戏．每个儿童的左右相邻都恰是一个男孩子和一个女孩子。
问：这队少年儿童最多有多少人?为什么?真题模考第三讲数论生活就像海洋，只有意志坚强的人，才能到达彼岸。
——马克思5.将12345678910111213…依次写到第1997个数字，组成一个1997位数，此数除以9的余数是几？6. 求同时满足下列三个条件的自然数a 、b ：①a b >；②169ab a b=+；③a b +是平方数。
7. 在11张卡片上各写有一个不超过5的数字，将这些卡片排成一行，得到一个11位数；再将它们按另一种顺序排成一行，又得到一个11位数.请证明这两个11位数的和的十进制表达式中至少有一位数字是偶数。
【例1】 已知p 、q 均为质数，且满足25359p p +=，则以3p +，1p q -+，24p q +-为边长的三角形是（ ）。
A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 等腰三角形考点拓展生活就像海洋，只有意志坚强的人，才能到达彼岸。
——马克思【例2】 π的前24位数值为3.14159265358979323846264 在这24个数字中，任意逐个抽取1个数字，并依次记作1a ，2a ，3a ，…24a ，则12342324()()()a a a a a a --- 为（ ）。
08年 六年级 101分班考试班 第三讲 数论 教师版
第三讲数 论1.(2003年一零一培训学校期末考试题(2003年12月)第7题)一个整数m (m ≠1)，除219，270，338得到的余数相同，则这个整数m ＝__________。
【分析】 219，270，338除以m 得到的余数相同，那么他们两两的差就能被m 整除。
270-219=51，33827068-=，338219119-=，m =[51，68，119]=17。
2. 如果2n －1能被31整除，那么自然数n 应满足什么条件？【分析】 31=11111(2)2200000000n = （n 个0）(2)212000000001n -=- =100000000(2)（n 个0）2n －1能被31整除，那么n 是5的倍数即可。
3. 在算式□□□□□□1=-的每个括号内各填入一个数字(所填数字均选自1，2，3，……9)，要求所填的数字都是质数，并使得算式成立。
【分析】 在1，2，3，……，9中只有2，3，5，7为质数，根据分母的特性，可知结果的分母为两分数的最小公倍数，那么只能为5，7。
可得到：3217535-=。
4.5位数291x y 是某个自然数的平方，则47x y += .真题模考【分析】 291x y 是一个自然数的平方，那么这个自然数的末位只能为1或9。
1402<291x y <1802 得1612=25921 x =5，y =2，那么4x +7y =34 5.从1，3，5，7，…。
97，99，101中最多可以选出n 个数，使得选出的这n 个数中，每个都不是另一个数的倍数，那么n =_______【分析】 1，3，5，……，101这些数中，35…101这34个数中，每个数都不是另一个数的倍数。
因为1，3，5，……，101都可以写成3a t ∙的形式（其中a 是0或自然数，t 是不能被3整除的自然数）由于1，3，5，……，101有17个不能被3整除的数，剩下51-17=34个数不是3的倍数。
第三讲 数论专题 - 学生版
第三讲数论专题重点知识点：一、整除性质①如果自然数a为M的倍数，则ka为M的倍数。
(k为正整数)②如果自然数a、b均为M的倍数，则a＋b，a－b均为M的倍数。
③如果a为M的倍数，p为M的约数，则a为p的倍数。
④如果a为M的倍数，且a为N的倍数，则a为[M，N]的倍数。
二、整除特征1．末位系列(2，5)末位(4，25)末两位(8，125)末三位2．数段和系列3、9 各位数字之和——任意分段原则(无敌乱切法)33，99 两位截断法——偶数位任意分段原则3．数段差系列11整除判断：奇和与偶和之差余数判断：奇和－偶和(不够减补十一，直到够减为止)7、11、13—三位截断法：从右往左，三位一隔：整除判断：奇段和与偶段和之差余数判断：奇段和－偶段和(不够减则补，直到够减)三、整除技巧：1．除数分拆：(互质分拆，要有特征)2．除数合并：(结合试除，或有特征)3．试除技巧：(末尾未知，除数较大)4．同余划删：(从前往后，剩的纯粹)5．断位技巧：(两不得罪，最小公倍)四、约数三定律约数个数定律：(指数＋1)再连乘约数和定律：(每个质因子不同次幂相加)再连乘约数积定律：自身n(n＝约数个数÷2)例题：【例1】2025的百位数字为0，去掉0后是225，225×9＝2025。
这样的四位数称为“零巧数”，那么所有的零巧数是_____。
【巩固】某校人数是一个三位数，平均每个班级36人，若将全校人数的百位数与十位数对调，则全校人数比实际少180人，那么该校人数最多可以达到____人。
【例2】若两个自然数的平方和是637，最大公约数与最小公倍数的和为49，则这两个数是多少？【巩固】两个两位数，它们的最大公约数是9，最小公倍数是360，这两个两位数分别是_______。
【例3】一个两位数，数字和是质数。
而且，这个两位数分别乘以3，5，7之后，得到的数的数字和都仍为质数。
满足条件的两位数为_____。
【例4】对四位数 a b c d，若存在质数p和正整数k，使a×b×c×d＝p k，且a＋b＋c＋d＝p p－5，求这样的四位数的最小值，并说明理由。
北师大版小学六年级数学下册全册奥数知识点讲解试题附答案(全套共14套)
小学六年级下册数学奥数知识点讲解第1课《列方程解应用题》试题附答案
小学六年级下册数学奥数知识点讲解第2课《关于取整计算》试题附答案
答案
六年级奥数下册：第二讲关于取整计算习题解答
小学六年级下册数学奥数知识点讲解第3课《最短路线问题》试题附答案
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六年级奥数下册：第三讲最短路线问题习题解答
小学六年级下册数学奥数知识点讲解第4课《奇妙的方格表》试题附答案
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小学六年级下册数学奥数知识点讲解第5课《巧求面积》试题附答案
六年级奥数下册：第五讲巧求面积习题解答
小学六年级下册数学奥数知识点讲解第6课《最大与最小问题》试题附答案
答案。
海淀综合分班考试班_第三讲_数论_学生版(20210206204937)
学前班有几十位小朋友，老师买来均分给每位小朋友.余下的苹果、 I 真题模考I 饼干、糖的数量之比是1：2 : 3,问学前班有多少位小朋友？ 2.某商店把一些旧存小刀作为处理品降价出售， 小刀每把原价0.30元，降价后存货全部卖出， 共 卖得6.29元・小刀每把降为多少元？ 的棵数一样多'那么这个班共有学生 ___________ 人。
4.求下式约简后的分母: 3.李老师带领一班学生去种树，学生恰好被平分成 4个小组，总共种树748棵，如果师生每人种 12 3 4 5 6 90 100 LL 262626 26 5.各位数字和等于50且能被4整除的6位数共有多少个？ 6.已知三个素数的积为它们的和的 5倍，则它们分别是 _______ 176个苹果，216块饼干，324粒糖，并将它们尽可能地平 1.8. 10个盒子共装有1000个弹子，问怎样装法能使顾客在购买1至1000之间的任何数目的弹子时,不用打开盒子，便可拿到所购数目的弹子？9. 所有3的方幕以及互不相等的3的方幕的和排成一个递增的数列:1,3,4,9,10,12,13,...^这列数的第100 项。
10. 任意一个自然数①当n为奇数时，加上121 ;当n为偶数的时候，除以2。
算一次操作。
现在对于572连续进行这种操作，在操作过程中是否能岀现100 ?为什么？【例2】红、黄、白、蓝卡片各一张，每张上写有一个数字。
小明将这4张卡片如下图放置，使它们组 成一个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的 10倍的差。
小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是5544 o 那么红、黄、蓝三张卡上的数字分另！I 是 _ 、 ______ 、 _____ 。
【例3】8是4的倍数，9是3的倍数，8与9是相邻的自然数；15是3的倍数，16是4的倍数，15与16是相邻的自然数。
如果将8, 9或15, 16看作一组，那么在1〜100中共有 _______________ 组相邻的 自然数，一个是3的倍数，另一个是4的倍数。
小升初第三讲——专题训练之数论问题
小升初专项训练---数论戳妙教学且标)数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”。
翻开任何一本数学辅导书，数论的容都占据了不少的版面。
在小升初择校考试及小学各类数学竞赛中，直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整试卷总分的12%左右，小学阶段的数论知识点主要有：1、质数与合数、因数与倍数、分解质因数2、数的整除特征及整除性质3、余数的性质、同余问题4、位值原理5、最值问题乂吴知识梳理)知识点一：质数与合数、因数与倍数、分解质因数1. 质数与合数突破要点一一质数合数分清楚，2是唯一偶质数(1) 质数：一个数除了1和它本身以外，没有其他的因数，这样的数统称质数。
(2) 合数：一个数除了1和它本身以外，还有其他的因数，这样的数统称合数。
例如：4、6、8、10、12、14，…都是合数。
在100 以有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 共25 个质数2约数与倍数公因数短除法到一个不能除为止，公倍数除到海枯石烂为止，因数有限个，倍数无穷多。
如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。
如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。
在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。
自然数al，a2，…，an的最大公约数通常用符号(al，a2，…，an)表示，例如，(6，9，15) =3 o3 •质因数与分解质因数(1 )如果一个质数是某个数的约数，那么就是说这个质数是这个数的质因数。
(2) 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例如，把42分解质因数，即是42=2 X3 X7。
其中2、3、7叫做42的质因数。
又如，50=2 X5 X5，2、5都叫做50的质因数。
4、要注意以下几条：(1) 1既不是质数，也不是合数。
08年 六年级 清华北大十一分班考试班 第三讲 数论 教师版
第三讲数 论1. 从123456789101112…9899100中任意划去100个数字．其他数字顺序不变．剩下的数字组成的数，最大的是多少?最小的是多少?【分析】 为了保证剩下的数最大，最高位数字要尽可能地大，先从12345678910中划去10个数字剩下9；再从1112134950 中划去76个教字剩下4个9；再从515260 中划去14个数字剩下尽可能大的数785960，所以最大的数是99999785960616299100 ．为了保证剩下的数最小，最高位数字要尽可能地小．从12345678910中划去9个数字剩下10：再从1112134950 中划去76个数字，剩下4个0，最后从51525960 中划去15个数字，剩下尽可能小的数12340，所以最小的数是10000012340616299100 ． 解答：最大的是99999785960616299100 ．最小的是10000012340616299100 ． 2.有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数．【分析】 平方数的末尾只能是014569、、、、、，因为111444555666999、、、、都不是完全平方数，所以所求的数最小是4位数．考察11111444 、可以知道14443838=⨯，所以满足条件的最小正整数是1444．解答：满足条件的最小正整教是1444．3.一次数学考试满分是100分，6位同学在这次考试中的平均分是91分，这6位同学的得分各不相同，其中有一位同学仅得了65分，那么得分排在第三名的同学至少得多少分?【分析】 6(10091)54⨯-= 916526-=542628-= 第一100 第二99 28127-= 271314=+ 所以1001387-= 第三至少得874. 有四个不同的自然数，它们的和是1111，则它们的最大公约数最大是（ ）．【分析】 111111101=⨯， 111235=+++ ∴四个数分别1011101,⨯= 1012202,⨯=1013303,⨯= 1015505⨯= 最大公约数为101． 5.有一种商品，买2个要1角钱，买5个要2角钱，买11个要4角钱，小明和小红都有整数角钱，小明的钱最多能买这种商品51个，要是他们的钱合在一起，则最多能买115个这种商品，那么小红的钱最多能买这种商品（ ）个．【分析】511147÷= 7512÷= 221÷= 小明的钱数：44211119⨯+⨯+⨯= （角） 11511105÷= 551÷=两人一共有钱：4102142⨯+⨯= （角）小红有钱： 421923-=（角）23453÷= 3211÷= 小红最多能买：5115262⨯++= 6. 有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数（个位数和十位数）相同，那么这两个两位数是（ ）（请写出所有可能的答案）．【分析】 个位 只能 3和7 或 8和4 (13,27)(23,37)(33,47)(43,57)(53,67)(63,77)(73,87)(83,97)、、、、、、、中 只有(43,57)符合 (18,32)(28,42)(38,52)(48,62)(58,72)(68,82)(78,92)、、、、、、中 只有 (18,32)和(68,82)符合 所以一共有(43,57)(18,32)(68,82)、、三组答案． 7. 令0.1234567891011998999a = ，其中的数字是由依次写下正整数1至999得到的，则小数点右边第2008位数字是（ ）【分析】9902189+⨯= 20081891819==181936081÷=第608个三位数是707707708 即707的下一位是78. 连续7个偶数的和是196．这7个数中最大的一个偶数是多少?【分析】 2468101242+++++= (19642)722-÷=这七个数分别是22,24,26,28,30,32,34 最大是34 9. 一个三位数除以43，商是a ，余数是b （a 、b 都是正数)．求a +b 的最大值．【分析】 999432310÷= 那么一个三位数÷43=2242 为余数最大． 这个数432242988=⨯+= 最大值224264=+=． 10.（1）把17分成两个自然数的和，使它们的乘积最大，应该怎样分？ （2）把17分成若干个自然数的和，要是这几个数的乘积最大，应该怎样分？【分析】 (1)8和9 (2)3,3,3,3,3,2【例1】 如果一个正整数的十进制表示中，任何两个相邻数字的奇偶性不同，则称这个正整数为“交替数”，若正整数n 至少有一个倍数为“交替数”，则把n 称为“好数”．(1)80是“好数”吗？说明理由． (2)证明：2008是“好数”．(3)证明：所有与10互质的正整数都是“好数”．【分析】 （1）80的任何倍数的十位和个位都是偶数．（2）200824016⨯=，前两位都是偶数，用251000“改造”千位，4016251000255016+=．万位和千位都是奇数，“改造”十万位和万位，25100002550162765016+=，满足条件．（3）首先证明任意一个与10互质的数都有倍数可以写成“99…99”的形式，证：设这个与“10”互质的数是A ,取A 个不同的自然数n ，求10n 被A 除所得的余数，根据抽屉原理，必有两个余数相等，将余数相等的两个被除数相减，则可得到“999000 ”，这个数能被A 整除，由于A 与10互质，所以去掉末尾的0后，剩下的999 仍是A 的倍数，设这个数由m 个9构成，即写成9999m，将这个数重复写两遍得到2999999m，它也是A 的倍数，将它除以11，再乘以210210210210210101000100010001000100010001m m m m m -----（能被11整除），得到22-19090909090909m ，这个数仍然是A 的倍数，并且是“交替数”，所以A 是“好数”．【例2】 n 为4位整数，且组成它的各位数码是从左到右呈降序排列连续数字．则n 除以37的所有可能的余数之和为 ．【分析】 n 可能为9876;8765;7654;6543;5432;4321;3210它们的余数分别是34;33;32;31;30;29;28余数之和=342872172+⨯=【例3】 在一次马拉松长跑比赛中，有100位选手参加．大会准备了100块标有整数1到100的号码布，分发给每位选手．选手们被要求在比赛结束时，将自己号码布上的数字与到达终点时的名次数相加，并将这个和数交上去．问这交上来的100个数字的末2位数字是否可能都不相同?请回答可能或不可能，并清楚地说明理由．注：没有同时到达终点的选手．【分析】 (解一)不可能，因为从1100 选出1个加上从1100 选出1个，结果可能是2200 ，共有199种情况，一旦确定一个数，如11+，那么2和102就不能再出现，即确定一个数就减少两种情况，那么确定100个数就需要200种情况，本题只有199种情况，所以不可能．（解二）不可能，末2位数字都不相同说明0099 各有一个．而000102994950++++= ，末2位数字为50．所有选手身上和号码布上的号码总和应该为：(12100)210100+++⨯= ，末2位数字为00．【例4】 已知n 是正整数，规定!12n n =⨯⨯⨯ ，令1!12!23!32007!2007m =⨯+⨯+⨯++⨯ ，则整数m 除以2008的余数为（ ）【分析】 （解一）(1!12!2)3⨯+⨯÷ 余数是2 (1!12!23!3)4⨯+⨯+⨯÷ 余数是3 (1!12!23!34!4)5⨯+⨯+⨯+⨯÷ 余数是4 (1!12!23!34!45!5)6⨯+⨯+⨯+⨯+⨯÷ 余数是5(1!12!23!34!45!52007!2007)2008⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯÷ 余数是2007（解二）1!12!23!32007!20071!(21)2!(31)3!(41)2007!(20081)2!1!3!2!4!3!2008!2007!2008!1⨯+⨯+⨯++⨯=⨯-+⨯-+⨯-++⨯-=-+-+-++-=-2008能够整除2008!，所以2008!1-的余数是2007【例5】 一个分子是1的分数，化成小数后是一个混循环小数，且循环节为两位，不循环也有两位，那么这种分数共有多少个？【分析】 假设该混循环小数是990.99009900abcd ab ab cd abcd-+==，那么其中cd ≠0,11,22,33，44,55,66,77,88,99，且b ≠d ，所以99ab cd +不是11和10的倍数.令ab x =，cd y =，则1990.99009900abcd ab x yabcd n -+===，那么()999900x y n +=，而所以()99x y +是9900的约数，且不是11和10的倍数. 9900的约数中11的倍数有222990023511=⨯⨯⨯，9900的约数中11的倍数有33327⨯⨯=个，10的倍数有232224⨯⨯⨯=个，即是11也是10的倍数有12个，显然对任意值，x 和y 都有99以内的符合条件自然数解，所以符合条件的解有3332(272412)15⨯⨯⨯-+-=个，对应的n 也有15个，即这样的分数有15个，【例6】 有一个四位整数．在它的某位数字前面加上一个小数点，再和这个四位数相加，所得结果是2000.81．这个四位数是（ ）．【分析】 结果的小数点后有两位，说明这个小数要么是.,0x ynm m =，要么是.xy nm 1,9x y ∴== 190 1.92000.81n n +≠ 所以只能是 1919.2000.81nm nm += 8,1n m == 1981xynm =1.一个两位数被它的各个数字之和去除，余数最大是（ ）【分析】 数字和18，991859÷=数字和17，9817513÷=；891754÷=数字和16，971661÷=； 881658÷= ；7916415÷= 所以余数最大是152. 设x 与y 分别表示两个两位整数，并且满足方程1002x y xy +=，则y =（ ）【分析】 方程两边除以x ，得1002y yx+=，即2100y y x=-，y 为偶数，2y ∴被4整除，又 两位数除以两位数只能在19 之间， 4y x ∴=或8y x= 经验证8y x=不符合题意，舍去，所以4,13,52y x y x===3.实验小学的礼堂一共有座位24排．每排有座位30个，全校有650个学生在礼堂开会，那么至少育多少排座位上坐的学生人数同样多?【分析】 假设24排座位上坐的人数都不一样多，那么最多只能坐307242444+⨯÷=（）人；假设有两排坐的人数同样多，最多可以坐30191222588+⨯÷⨯=（）人：假设由3排坐的人数同样多．最多可以坐3023823636+⨯÷⨯=（）.假设相同人数的座位有4排．最多能坐3025624660+⨯÷⨯=（）人，超过650人的总人数．所以至少有4排座位上的人数相等． 解答：至少有4排座位上的人数相等．4.两个整数的最小公倍数是1925，这两个整数分别除以它们的最大公约数，得到两个商的和是16，请写出这两个整数.【分析】 1925=5×5×7×11两个商都是1925的约数，互质，而且和为16，所以这两个商分别1为5、11. 1925÷5=385， 1925÷11=175这两个整数是385与175.。
数论综合(三)
余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛、小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲知识对于同学们来说非常重要。
余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理、乘法余数定理、同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b＝q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b，我们就称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商（1）当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商（2）当0二、同余的概念和性质同余定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b（mod m）。
（*）上式可读作：a同余于b，模m。
同余式（*）意味着（我们假设a≥b）：a－b＝mk，k 是整数，即m｜（a－b）例如：①15≡365（mod 7），因为365－15＝350＝7×50。
②56≡20（mod 9），因为56－20＝36＝9×4。
③90≡0（mod 10），因为90－0＝90＝10×9。
由例③我们得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为：a≡0（mod m）。
例如，表示a是一个偶数，可以写a≡0（mod 2）；表示b是一个奇数，可以写b≡1（mod 2）。
同余的性质：性质1：a≡a（mod m）（反身性），这个性质很显然，因为a－a＝0＝m·0。
性质2：若a≡b（mod m），那么b≡a（mod m）（对称性）。
性质3：若a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a≡c（mod m）（传递性）。
性质4：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡b±d（mod m）（可加减性）。
性质5：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡bd（mod m）（可乘性）。
小学六年级奥数基础知识_——数论一[1]
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小学六年级奥数基础知识——数论一一质数和合数（1）一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。
一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
（2）自然数除0和1外，按约数的个数分为质数和合数两类。
任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。
要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。
（3）最小的质数是2 ，2是唯一的偶质数，其他质数都为奇数；最小的合数是4。
（4）质数是一个数，是含有两个约数的自然数。
互质数是指两个数，是公约数只有一的两个数，组成互质数的两个数可能是两个质数（３和５），可能是一个质数和一个合数（３和４），可能是两个合数（４和９）或1与另一个自然数。
（５）如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
（６）１００以内的质数有２５个：２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、２９、３１、３７、４１、４３、４７、５３、５９、６１、６７、７１、７３、７９、８３、８９、９７．注意：两个质数中差为1的只有3-2 ；除2外，任何两个质数的差都是偶数。
二整除性（１）概念一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a 能被b整除（或者说b能整除a）。
记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a）。
如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
（２）性质性质1：（整除的加减性）如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c 整除。
即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。
例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。
也就是说，被除数加上或减去一些除数的倍数不影响除数对它的整除性。
性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。
北师大版小升初数学专项训练+典型例题分析-数论篇.doc
名校真题 测试卷 数论篇一时间：15分钟 满分5分 姓名_________ 测试成绩_________1 （13年人大附中考题）有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。
2 （13年101中学考题）如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是＿＿。
3 （13年首师附中考题）211+2121202+2121212113131313212121505=＿＿。
4 （04年人大附中考题）甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。
5 (02年人大附中考题)下列数不是八进制数的是( )A 、125B 、126C 、127D 、128【附答案】1 【解】：62 【解】：设原来数为ab ，这样后来的数为a0b,把数字展开我们可得：100a+b=9×(10a+b),所以我们可以知道5a=4b,所以a=4,b=5,所以原来的两位数为45。
3 【解】：周期性数字，每个数约分后为211+212+215+2113=14 【解】：题中要求丙与135的乘积为甲的平方数，而且是个偶数（乙+乙），这样我们分解135=5×3×3×3，所以丙最小应该是2×2×5×3，所以甲最小是：2×3×3×5=90。
5 【解】：八进制数是由除以8的余数得来的，不可能出现8，所以答案是D 。
小升初专项训练数论篇（一）希望考入重点中学？奥数网是我们成就梦想的地方！一、小升初考试热点及命题方向数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理。
由于行程题的类型较多，题型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼。
数论内容包括：整数的整除性，同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。
小升初数学-数论-基-小数专题解析 必考知识点总结
千里之行，始于足下。
小升初数学-数论-基-小数专题解析必考学问点总结小升初数学中，数论是一个重要的考点。
而基-小数专题是数论中的一个重要分支，包括基本概念、性质、运算规章等内容。
下面是关于基-小数专题的必考学问点总结。
一、基本概念1. 整数：正整数、负整数、零。
2. 有理数：整数、分数。
3. 小数：有限小数、无限循环小数、无限不循环小数。
二、进制与位权1. 进制：二进制、八进制、十进制、十六进制等。
2. 位权：十进制中，各位上数字的位权依次是个位、十位、百位等。
其他进制下也有类似概念。
三、位权运算1. 加法：同进制下的数相加，按位相加，留意进位。
2. 减法：同进制下的数相减，按位相减，留意借位。
3. 乘法：同进制下的数相乘，按位相乘，留意进位。
4. 除法：同进制下的数相除，按位相除，留意进位和余数的计算。
四、小数的运算1. 加法：小数的十进制数相加，按位相加，留意进位。
2. 减法：小数的十进制数相减，按位相减，留意借位。
3. 乘法：小数的十进制数相乘，按位相乘，留意进位。
4. 除法：小数的十进制数相除，按位相除，留意进位和余数的计算。
第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
五、小数与分数的关系1. 有限小数可以表示为有限小数,例如 0.75=3/4。
2. 无限循环小数可以表示为无限不循环小数,例如0.999 (1)3. 无限不循环小数可以近似表示为分数,例如π≈22/7。
六、题型与解法1. 进制转换题：例如二进制转换为十进制。
2. 位权运算题：例如十进制数相加、相乘等。
3. 小数与分数的相互转换题：例如小数化分数、分数化小数。
4. 小数的四则运算题：例如小数的加减乘除。
5. 近似表示题：例如求一个无限不循环小数的近似分数。
以上是小升初数学数论基-小数专题的必考学问点总结。
这些学问点在小升初数学考试中经常消灭，把握好这些学问点，可以挂念我们在考试中取得好成果，同时也对我们今后的学习有很大的挂念。
所以，我们要认真学习并把握这些学问点，做好相应的习题，加深理解，提高解题力量。
小学奥数数论问题分类总结汇总版(题型全,知识点详细)
六年级春季第三讲知识概述
学而思六年级春季第三讲知识概述数论模块之因倍质合一、概念1、因数倍数：如果a ÷b 没有余数，则称a 是b 的倍数，b 是a 的因数2、质数合数：如果一个数的因数只有1和它本身，那么这个数是质数；如果一个数的因数除了1和它本身以外还有其他的数，那么这个数是合数注：①0和1既不是质数也不是合数②最小的质数为2，最小的合数为4③偶数中唯一的质数是2，其余都是合数④熟记100以内的质数，共25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97⑤几个常见数：三位最小质数101，三位最大质数997，四位最小质数1009对应题目：例1、例1练一练，例3、例3练一练二、质数合数判断方法：用该数除以从小到大的质数，如果除以某一个质数除得尽，那么这个数是合数；如果一直除不尽，那么这个数是质数。
（不断作除法直到商小于除数为止） 分解质因数，将一个数写成若干个质数的乘积的形式对应题目：例4、例5、例5练一练、B1、B2、B3、B5、B6、B7、B10三、因数倍数1、因数个数与因数之和 如果一个数分解质因数形式为a b c kM A B C K =⨯⨯⨯⨯那么它的因数个数为(1)(1)(1)a b k +⨯+⨯⨯+（次方数加1相乘） 因数之和为 222(1)(1)(1)a b k A A A B B B K K K ++++⨯++++⨯⨯++++2、最大公因数与最小公倍数几个数公共的因数称为公因数，其中最大的那个叫做最大公因数，用式子（a ，b ）表示，它是所有公因数的倍数。
（最小公因数一定是1，不研究）几个数公共的倍数称为公倍数，其中最小的那个叫做最小公倍数，用式子 [a ，b] 表示，它是所有公倍数的因数。
（最大公倍数不存在，不研究）求法：枚举法、短除法、分解质因数法注：1. 如果两个数互质，那么最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积2. 如果两个数有倍数关系，那么最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数3. 求两个较大数的最大公因数，用辗转相除法4. 求三个数或以上的最小公倍数，只能用分解质因数法。
小学奥数数论问题50道详解(一)
小学奥数数论问题50道详解(一)
1. 问题描述
这是一份详细解答小学奥数数论问题的文档，包含了50道数论问题的解答方法和策略。
2. 解答内容
以下是其中的一些问题的解答概要：
1. 问题1：某数的末两位数是7，这个数能否被3整除？
解答：对于一个数能否被3整除，可以通过判断其所有位上数字之和是否能被3整除。
这里，末两位为7，所以无法确定这个数能否被3整除。
2. 问题2：某数的末两位数是12，这个数能否被4整除？
解答：对于一个数能否被4整除，可以通过判断它的末两位是否能被4整除。
这里，末两位数为12，12不能被4整除，所以该数也不能被4整除。
3. 问题3：某数的个位是7，十位是4，这个数能否被9整除？
解答：对于一个数能否被9整除，可以通过判断其所有位上数
字之和是否能被9整除。
这里，个位为7，十位为4，所以7+4=11，11不能被9整除，所以该数也不能被9整除。
4. 问题4：某数的末两位数字是0，这个数能否被5整除？
解答：对于一个数能否被5整除，可以直接判断其末位是否是
0或者5。
这里，末两位数字是0，所以这个数可以被5整除。
3. 结论
这份文档提供了小学奥数数论问题的详细解答，其中包含了50道问题的解答概要。
通过阅读这份文档，学生可以深入了解解决数
论问题的方法和策略，提高他们的数论问题解决能力。
北京101中学坑班 几何知识串讲+答案详解
北京101坑班几何专题
（有答案详解）
一、填空题
1、算出圆内正方形的面积为.
解：由图示可知,正方形两条对角线的长都是6厘米,
正方形由两个面积相等的三角形构成.三角形底为6厘米,
三角形ABC的面积为628+28=656(平方厘米).
BC的长为656×2÷40＝32.8(厘米).
6、如右图,阴影部分的面积为2平方厘米,等腰直角三角形的面积为.
12、如图,半圆S1的面积是14.13平方厘米,圆S2的面积是19.625平方厘米.那么长方形(阴影
14、右图中4个圆的圆心是正方形的4个顶点,它们的公共点是该正方形的中心.如果每个圆的半径都是1厘米,那么阴影部分的总面积是多少平方厘米?
而①、②、③、④四部分的面积和为②、③部分的面积和的2倍，即为9.12×2=18.24(平方厘米)．
所以，原题中阴影部分的面积共有18.24平方厘米．
2、已知右图中大正方形边长是6厘米,中间小正方形边长是4厘米.求阴影部分的面积.。
【优质文档】北京人大附中小升初分班考数学数论综合问题答案分析
共 12 题，120 分数论综合问题答案解析标注【拓展思维】数论模块 > 整除 > 整除特征 > 整除特征综合（10分）小红为班里买了个笔记本．班长发现购物单上没有表明单价，总金额的字迹模糊，只看到元，班长问小红用了多少钱，小红只记得不超过元，她实际用了元．1元是个本的总金额，那一定是的倍数．因为，所以一定是和的倍数，即的倍数，也就是的倍数；同时，也就是；总上可知，所以她实际用了元．．．（），答案解析标注【拓展思维】数论模块 > 整除 > 整除特征 > 差系整除特征（10分）多位数能被整除，满足条件的最小是多少？2根据差系的整除特征，必须是的倍数，最小是．（10分）在六位数中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被和整除．方框中的两位数是多少？3答案解析标注【拓展思维】数论模块 > 整除 > 整除特征 > 整除特征综合方法一：要使这个数能被和整除，只需它能被整除．因此需要找到一个数，使得它乘后得到的六位数末两位为，前两位也为，显然这是一个三位数．可以列出如下的竖式：这是典型的数字谜问题，其中省略号表示不确定的地方．由末位分析可知乘数个位为，利用大小估计容易算出乘数百位为，代入算式后可得再看十位，可知乘数十位为，于是算得原六位数为，即方框中的两位数为．方法二：采用试除法．设六位数为，如果一个数能同时被和整除，那么一定能被整除．，余也可以看成不足．所以当时，即是的倍数时，六位数才是的倍数．所以有的末位只能是，所以只能是，，，验证有时，，所以原题的方框中填入，得到的满足题意．答案解析标注【拓展思维】几何模块 > 立体图形 > 长方体与正方体 > 长方体与正方体基本概念运用 > 长方体的表面积与体积综合（10分）长方体的左面和上面的面积之和是平方厘米．它的长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是立方厘米．4，不能分解成两个质数得和,体积为：答案解析标注【拓展思维】数论模块 > 因数与倍数 > 公因数与公倍数 > 公因数与最大公因数 > 多数的最大公因数（10分）有甲、乙、丙三种溶液，分别重、和，现要将它们分别装入小瓶中，使每个小瓶液体重量相同，则至少装几瓶？每瓶最多装几千克？5瓶，千克要使每个小瓶装入液体的重量相同，并且无剩余，那么每个小瓶的容量必须是，，的最大公因数．求最大公因数：，即每瓶最多装千克．（瓶），至少装瓶．答案解析（10分）一个大于的数，除以余，除以余，除以余，问满足条件的最小自然数是多少？6方法一：仔细分析可以发现，所以这个数可以看成被、、除余，标注【拓展思维】数论模块 > 余数问题 > 中国剩余定理 > 同余类韩信点兵由于、、最小公倍数是，所以这个数最小是．方法二：事实上，如果没有“大于”这个条件，即可符合条件，所以只需要在的基础上加上、、的最小公倍数，得到即为所求的数．答案解析标注【拓展思维】数论模块 > 因数与倍数 > 公因数与公倍数 > 公因数与最大公因数 > 两数的最大公因数（10分），（是自然数且），如果和的最大公因数是，则是，，最小公倍数是．71．2．，，均有，但无，所以；最小公倍数：．答案解析标注【拓展思维】数论模块 > 分解质因数 > 分解质因数的应用 > 已知乘积求因数（10分）已知个人都属牛，它们年龄的乘积是，那么他们年龄的和为．8，，因为个人都属牛，年龄相差为的倍数，故可知他们的年龄为，，，，，年龄和为．（10分）数的约数有个，这些约数的和是．9答案解析标注【拓展思维】数论模块 > 因数与倍数 > 因数个数定理 > 因数个数定理正应用 > 总个数1．2．32；3600答案解析标注【拓展思维】数论模块 > 位值原理与进制 > 位值原理运用 > 位值原理的综合应用（10分）已知是一个三位数（是三个不同的数字），且由三个不同数字组成的另外五个三位数之和为，那么这六个三位数中最大与最小的差为．10、、、、由b 三个数字组成的六个三位数之和，而由b 三个数字组成的另外五个三位数之和为，余，再加，就是的倍数（此时的就是 ) ，这三位数组成的数是197719791917971那么要求的差是．、、（、、、、、、、答案解析（10分）如图，冥王星有三颗卫星，卫星绕冥王星一周需要天，卫星需要天，卫星需要天，从图中所示位置开始，至少需要天才能恢复到原来位置．11若都恢复到原位置，经过的天数应为的公倍数，最少为天．、、标注【拓展思维】数论模块 > 因数与倍数 > 公因数与公倍数 > 公倍数与最小公倍数 > 多数的最小公倍数答案解析标注【拓展思维】数论模块 > 因数与倍数 > 公因数与公倍数 > 公倍数与最小公倍数 > 两数的最小公倍数【拓展思维】应用题模块 > 周期问题 > 时间中的周期问题 > 日期中的周期（10分）小明从某一天起每天进行登山、游泳、长跑三项活动．登山连续三天后休息两天．游泳连续四天后休息一天，长跑连续五天后休息一天．那么从开始之日起的一百天中．小明连续三天每天至少有一项休息会出现几次？12登山三天休息两天，可以以天为一周期分析；游泳四天休息一天，可以以天为一周期分析；长跑五天休息一天，可以以天为一周分析，综上可知：可以以（天）为一周期来计算．天中：代表进行，代表休息，登山：游泳：长跑：可知：每天中有次符合题意的休息，列式：（组）（天），共计：（次）．。
北京小升初重点中学真题之数论篇
北京小升初重点中学真题之数论篇数论篇一1 （人大附中考题）有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。
2 （101中学考题）如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是＿＿。
3（人大附中考题）甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。
4 (人大附中考题)下列数不是八进制数的是( )A、125B、126C、127D、128预测1．在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？预测2．有甲、乙、丙三个网站，甲网站每3天更新一次，乙网站每五5天更新一次，丙网站每7天更新一次。
2004年元旦三个网站同时更新，下一次同时更新是在____月____日？预测3、从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是______．数论篇二1 （清华附中考题）有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.2 （三帆中学考题）140，225，293被某大于1的自然数除,所得余数都相同。
2002除以这个自然数的余数是 .3 （人大附中考题）某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______.4 （101中学考题）一个八位数，它被3除余1，被4除余2，被11恰好整除，已知这个八位数的前6位是257633，那么它的后两位数字是__________。