2019届高考数学一轮复习(北师大版理科)：课时分层训练49 两条直线的位置关系

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高考数学总复习课时作业49两直线的位置关系理北师大版

A 级1．(2012 ·海口模拟 ) 直线l1的斜率为 2，l1∥l2，直线l 2过点(－1,1)且与 y 轴交于点P，则 P 点坐标为()A． (3,0)B． ( －3,0)C． (0 ，－ 3)D． ( 0,3)2．已知两条直线l1： ax＋ by＋c＝0，直线 l ： mx＋ ny＋ p＝0，则“ an＝ bm”是“直线2l ∥ l ”的()12A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件3．已知两点A(3,2)和 B(－1,4)到直线 mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为() 11A．0 或－2 B. 2或－ 6111C．－2或2D．0或24．若直线l1：y＝k( x－ 4) 与直线l2对于点 (2,1)对称，则直线l 2恒过定点()A． (0,4)B． (0,2)C． ( －2,4)D． (4 ，－ 2)5．平面直角坐标系中直线y＝ 2x＋1 对于点 (1,1) 对称的直线方程是 ()A．y＝2x－ 1B．y＝－ 2x＋ 1C．y＝－ 2x＋ 3D．y＝2x－ 36． (20 12·大连模拟 ) 已知两直线l ： mx＋8y＋ n＝0和 l ：2x＋ my－1＝0，当 l1与 l212订交于点 (，－ 1)时，、的值分别为 ________、 ________.P m m n7．(2012 ·青岛模拟 ) 已知两直线l 1： x＋ y sinθ－1＝0和l2：2x sinθ＋y＋1＝0，当 l 1⊥ l 2时，θ＝________.8．点P 为x轴上一点，P点到直线 3 －4y＋ 6＝0 的距离为 6，则P点坐标为 ________．x9．设直线l经过点 A(－1,1)，则当点 B(2，－1)与直线 l 的距离最远时，直线l 的方程为 ________．10．已知直线l 的方程为3x＋ 4 －12＝ 0，求知足以下条件的直线l′的方程．y(1)l ′与 l 平行且过点(－1,3)；(2) l′与l垂直且l′与两坐标轴围成的三角形面积为 4.11．已知直线l 1：x＋ a2y＋1＝0和直线 l 2：( a2＋1) x－ by＋3＝0( a， b∈R)．(1) 若l1∥l2，求b的取值范围；(2) 若l1⊥l2，求 | ab| 的最小值．B级1．若动点A，B分别在直线l 1： x＋ y－7＝0和 l 2：x＋ y－5＝0上挪动，则 AB的中点 MA ． 3 2B ． 2 2C ． 3 3D ． 4 22．(2012 ·衡水模拟 ) 平面上三条直线 x － 2y ＋1＝ 0，x － 1＝ 0，x ＋ ky ＝0，假如这三条直线将平面区分为六部分，则实数k 的取值会合为 ________．3． A ，B 两个厂距一条河分别为400 m 和 100 m ， A ， B 两厂之间距离 500 m ，把小河看作一条直线，今在小河畔上建一座提水站，供 A ，B 两厂用水，要使提水站到A ，B 两厂铺设的水管长度之和最短，问提水站应建在什么地方？详解答案课时作业 ( 四十九 )A 级1． D ∵点P 在 y 轴上，∴设(0 ， y ) ，P又∵ kl 1＝ 2， l 1∥ l 2，∴ kl 2＝ y － 1＝ y － 1＝2，0－－1∴ y ＝3，∴ P (0,3) ．2． B ∵ 1∥ 2? －＝0，且－＝0? /l1∥ 2，应选 B.llan bm an bm l3． B |3 m ＋ 2＋3|| －m ＋ 4＋ 3|依题意得2＝2，m ＋ 1 m ＋ 1∴ |3 m ＋ 5| ＝ | m － 7| ，∴ 3m ＋ 5＝ m － 7 或 3m ＋ 5＝ 7－m .1∴ m ＝－ 6 或 m ＝ 2. 故应选 B.4． B 因为直线 l ： y ＝ k ( x － 4) 恒过定点 (4,0) ，其对于点 (2,1) 对称的点为 (0,2) ，又1因为直线 l ： y ＝ k ( x － 4) 与直线 l 2对于点 (2,1) 对称，1∴直线 l 2 恒过定点 (0,2) ．5． D 在直线y ＝ 2 ＋ 1 上任取两个点 (0,1) ， (1,3) ，则点 A 对于点 (1,1) 对称的点xAB为(2,1) ， B 对于点 (1,1) 对称的点为 (1 ，－ 1) ．由两点式求出对称直线的方程 y ＋ 1＝MNMN1＋ 1x － 12－ 1，即 y ＝ 2x － 3，应选 D.6．分析：2∵m － 8＋ n ＝0,2 m － m － 1＝ 0，∴ m ＝ 1，n ＝ 7. 答案： 1 77．分析：l 1⊥ l 2 的充要条件是2sin θ＋ sin θ＝ 0，即 sinθ＝ 0，∴ θ＝k π(k ∈Z) ．∴当 θ＝ k π(k ∈ Z) 时， l 1⊥ l 2.答案： k π(k ∈ Z)8．分析：设 P ( a, 0) ，则有|3 a －4×0＋ 6|3 2－ 42 ＝ 6，解得 a ＝－ 12 或 a ＝ 8.＋ ∴ P 点坐标为 ( － 12,0) 或(8,0) ．答案： ( － 12,0) 或 (8,0)9．分析：设 B (2 ，－ 1) 到直线 l 的距离为 d ，当 d ＝| AB | 时获得最大值，此时直线 l 垂直于直线 AB ， k l ＝－ 13＝，k AB 23∴直线 l 的方程为 y － 1＝ 2( x ＋ 1) ，即 3x － 2y ＋ 5＝0.答案：3x － 2y ＋ 5＝ 03 10．分析：(1) 直线 l ： 3x ＋ 4y － 12＝ 0， k l ＝－，43又∵ l ′∥ l ，∴ k l ′＝k l ＝－ 43∴直线 l ′： y ＝－ 4( x ＋1) ＋ 3，即 3x ＋ 4y － 9＝ 0.4(2) ∵l ′⊥ l ， ∴ k l ′ ＝ 3.4设 l ′在 x 轴上的截距为b ，则 l ′在 y 轴上的截距为－3b ，1 4由题意可知， S ＝ 2 | b | ·－，∴ b ＝± 6.3b ＝4 44∴ 直线 l ′： y ＝ 3x ＋ 6或 y ＝ 3x － 6. 11．分析：(1) 因为 l 1∥ l 2，所以－ b － ( a 2＋ 1) a 2＝ 0，即 b ＝－ a 2( a 2＋ 1) ＝－ a 4－ a 2＝－ a 2＋ 1 2＋1，2 4因为 a 2≥0，所以 b ≤0.又因为 a 2＋1≠3，所以 b ≠－ 6.故 b 的取值范围是 ( －∞，－ 6) ∪( － 6,0] ．(2) 因为 l 1⊥ l 2，所以 ( a 2＋ 1) － a 2b ＝ 0，11明显 a ≠0，所以 ab ＝ a ＋a ， | ab | ＝ a ＋ a ≥2，当且仅当 a ＝±1时，等号成立，所以| ab | 的最小值为 2.B级1．A 依题意知 AB 的中点 M 的会合为与直线 l 1：x ＋ y －7＝ 0 和 l 2：x ＋ y － 5＝ 0 距离都相等的直线，则 M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点 M 所在直线的方程为l ：＋＋＝ 0，依据平行线间的距离公式得| m ＋ 7| ＝ | m ＋ 5| ＋＝＋＝－，m2 2 ? | m 7| | m 5| ? m6即 l ：x ＋ y － 6＝ 0，依据点到直线的距离公式，得 M到原点的距离的最小值为| －6|＝3 2.22．分析：因为直线 x－2y＋1＝0与 x－1＝0订交于点(1,1)，所以要使这三条直线将平面区分为六部分．有以下三种状况：(1) 这三条直线交于一点(1,1)，此时1＋k＝0，k＝－1.(2)x＋ky＝0与 x－2y＋1＝0平行，此时 k＝－2.(3)x＋ky＝0与 x－1＝0平行，此时 k＝0.综上知， k＝0或－1或－2，实数 k 的取值会合为{0，－1，－2}．答案：{0 ，－ 1，－ 2}3．分析：如图，以小河所在直线为x 轴，过点 A的垂线为 y 轴，成立直角坐标系，则点 A(0,400)，点 B( a, 100)．过点B 作⊥于点 .BCAOC在△ ABC中， AB＝500， AC＝400－100＝300，由勾股定理得BC＝400，∴ B(400,100)．点 A(0,400)对于 x 轴的对称点A′(0，－400)，5由两点式得直线A′ B 的方程为 y＝4x－400.令 y＝0，得 x＝320，即点 P(320,0)．故提水站 ( 点P) 在距O点 320 m 处时，到A， B 两厂铺设的水管长度之和最短．。

高考数学一轮复习课后限时集训49直线的倾斜角与斜率、直线的方程理北师大版

课后限时集训 49直线的倾斜角与斜率、直线的方程建议用时： 45 分钟一、选择题1．(2019 ·合肥模拟 ) 直线 l ： x sin 30 °＋ y cos 150 °＋ 1＝ 0 的斜率是 ( )A ．3B ． 333C ．－ 3D ．－ 3sin 30 °3A [ 设直线 l 的斜率为 k ，则 k ＝－ cos 150 ° ＝ 3 .]2. 如图中的直线 l 1， l 2， l 3 的斜率分别为 k 1， k 2， k 3，则()A ． k 1<k 2<k 3B ． k 3<k 1<k 2C ． k 3<k 2<k 1D ． k 1<k 3<k 2D [ 直线 l 1 的倾斜角 α1 是钝角，故 k 1<0，直线 l 2与 l 3 的倾斜角 α 2 与 α 3 均为锐角且α2 >α3，所以 0<k 3<k 2，所以 k 1<k 3<k 2.]3. 若 ( －2,3) ， (3，－2) ，1的值为C ， m 三点在同一条直线上，则 AB 2m()A ．－ 2B ． 211 C ．－ 2D ． 2－2－ 3＝ 1m －3D [ 由于 A ，B ，C 三点在同一条直线上，所以k AB ＝k AC ，所以 3－－ 2 ，2－－ 21解得 m ＝ 2. 应选 D.]4．直线 l 沿 x 轴负方向平移 3 个单位，再沿 y 轴正方向平移 1 个单位后，又回到本来地点，那么 l 的斜率为 ()1 B ．－ 3A ．－31C ． 3D ． 3[答案] A5．过点 A (4,1) 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是()A ． x ＋y ＝ 5B ． x －y ＝ 5C ． x ＋y ＝ 5 或 x － 4y ＝ 0D ． x －y ＝ 5 或 x ＋ 4y ＝ 0C [ 若直线在两坐标轴上的截距相等且为0，即直线过原点，则直线方程为 x － 4y ＝0；x y若直线在两坐标轴上的截距不为0 ，设为 a ( a ≠0) ，则直线的方程为 a ＋ a ＝ 1.又直线过点(4,1) ，则 a ＝ 5，故直线的方程为x ＋＝ 5. 综上所述，应选 C.]Ay二、填空题6．直线 kx ＋ y ＋ 2＝－ k ，当 k 变化时，全部的直线都过定点 ________．( －1，－ 2) [ kx ＋y ＋ 2＝－ k 可化为 y ＋ 2＝－ k ( x ＋ 1) ，依据直线方程的点斜式可知，此类直线恒过定点 (－1，－ 2) ．]7．已知 A (3,4) ， B ( － 1,0) ，则过 AB 的中点且倾斜角为 120°的直线方程是 ________． 3 x ＋ y － 2－ 3＝ 0 [ 设 AB 的中点为 M ，则 M (1,2) ，又斜率 k ＝－ 3，直线的方程为y － 2＝－ 3( x － 1) ．即 3x ＋ y － 2－ 3＝ 0.]8．若直线l 过点 ( －3,2) ，且与以 ( － 2，－ 3) ， (3,0) 为端点的线段订交，则直线PA Bl 的斜率的取值范围是 ________．－ 5，－ 1[ 由于 P ( － 3,2) ， A ( －2，－ 3) ， B (3,0) ，3－ 3－ 2则 k PA ＝－ 2－－3 ＝－ 5，0－21k PB ＝ 3－－ 3 ＝－ 3.如下图，当直线l 与线段 AB 订交时，直线 l 的斜率的取值范围为1－ 5，－ 3 .]三、解答题9．已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求知足以下条件的直线 l 的方程：(1) 过定点 A ( －3,4) ；1(2) 斜率为 6.[ 解 ] (1) 由题意知，直线 l 存在斜率．设直线 l 的方程为 y ＝ k ( x ＋ 3) ＋ 4，它在 x 轴， y4k ＋ 4，轴上的截距分别是－－ 3,3k4由已知，得 (3 k ＋ 4) k ＋ 3 ＝± 6，2 8解得 k 1＝－或 k 2＝－ .3 3故直线 l 的方程为 2x ＋ 3y － 6＝ 0 或 8x ＋ 3y ＋ 12＝ 0.(2) 设直线 l 在 y 轴上的截距为 b ，1则直线 l 的方程为 y ＝ 6x ＋ b ，它在 x 轴上的截距是－ 6b ，由已知，得 | － 6b | ·|b | ＝ 6，∴ b ＝± 1.∴直线 l 的方程为 x － 6y ＋ 6＝ 0 或 x － 6y － 6＝ 0.10．过点 P (3,0) 作一条直线，使它夹在两直线l 1： 2x － y － 2＝0 与 l 2：x ＋ y ＋3＝ 0 之间的线段 AB 恰巧被点 P 均分，求此直线的方程．[ 解 ] 设点 A ( x ， y ) 在 l 1上，点 B ( x ，y ) 在 l 2上．BBx ＋ x B＝ 3由题意知2则点 B (6 － x ，－ y ) ，y ＋ y B＝ 022x －y － 2＝ 0，x ＝11，解方程组得3166－ x ＋－ y ＋ 3＝ 0，y ＝ 3 ，163 － 0则所求直线的斜率k ＝ 11＝ 8，3 － 3故所求的直线方程为y ＝8( x － 3) ，即 8x －y － 24＝ 0.1．在等腰三角形 AOB 中， AO ＝ AB ，点 O (0,0) ，A (1,3) ，点 B 在 x 轴的正半轴上，则直线 AB 的方程为 ()A ． y －1＝ 3( x －3)C ． y －3＝ 3( x －1)B ． y －1＝－ 3( x － 3)D ． y －3＝－ 3( x － 1)D [ 由于 AO ＝ AB ，所以直线 AB 的斜率与直线 AO 的斜率互为相反数，所以 k AB ＝－ k OA ＝－3，所以直线 AB 的点斜式方程为y － 3＝－ 3( x －1). ]2．若直线x－ 2 ＋＝ 0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于 1，那么b 的取值范y b围是 ()A ． [ －2,2]B ． ( －∞，－ 2] ∪ [2 ，＋∞)C ． [ －2,0) ∪ (0,2]D ． ( －∞，＋∞)b1 b1 2C [ 令 x ＝ 0，得 y ＝ 2，令 y ＝ 0，得 x ＝－ b ，所以所求三角形面积为2 2 | －b | ＝ 4b ，1 且 b ≠0，由于 4b 2≤1，所以 b 2≤4，所以 b 的取值范围是 [ － 2,0) ∪ (0,2] ． ]3．已知直线 l 过点 (1,0) ，且倾斜角为直线l 0： x －2y － 2＝0 的倾斜角的 2 倍，则直线l 的方程为 ________．4x － 3y － 4＝ 0 [ 由题意可设直线 l 0， l 的倾斜角分别为 α， 2α，1 1由于直线 l： x － 2y － 2＝ 0 的斜率为 2，则 tan α＝ 2，12tan α2×4所以直线 l 的斜率 k ＝ tan 2 α 2＝2＝1 ＝，1－ tan α2 31－ 24所以由点斜式可得直线 l 的方程为 y － 0＝ 3( x － 1) ，即 4x － 3y － 4＝0.]4．已知直线 l ： kx － y ＋1＋ 2k ＝ 0( k ∈ R) ．(1) 证明：直线 l 过定点；(2) 若直线 l 不经过第四象限，求k 的取值范围．[ 解 ] (1) 证明：直线 l 的方程可化为 y ＝ k ( x ＋ 2) ＋1，故不论 k 取何值，直线 l 总过定点 ( － 2,1) ．(2) 直线 l 的方程可化为 y ＝ kx ＋ 2k ＋ 1，则直线 l 在 y 轴上的截距为 2k ＋ 1，k ≥0，要使直线 l 不经过第四象限，则解得 k ≥0，1＋ 2k ≥0，故 k 的取值范围是 [0 ，＋∞ ) ．ππ1．已知函数 f ( x ) ＝ a sin x －b cos x ( a ≠0， b ≠0) ，若 f 3－x ＝ f 3 ＋ x ，则直线 ax－by ＋ c ＝0 的倾斜角为 ()ππ A. 4 B. 32π3π C. 3D. 4π－x ＝ f π＋x 知函数 f ( x ) 的图像对于π2π C [ 由 f33 x ＝ 3 对称，所以 f (0) ＝ f 3 ，a2π 所以 a ＝－ 3b ，由直线 ax － by ＋ c ＝ 0 知其斜率 k ＝ b ＝－ 3，所以直线的倾斜角为 3 ，应选 C.]2．设P 为曲线：＝ x 2＋ 2 x ＋ 3 上的点，且曲线C 在点 P 处的切线倾斜角的范围为C yπ，则点 P 的横坐标的取值范围为0，()41B.[ － 1,0]A. － 1，－21C ． [0,1]D. 2， 1A [ 由题意知 y ′＝ 2x ＋ 2，设 P ( x 0， y 0) ，则 k ＝ 2x 0＋ 2.由于曲线 C 在点 P 处的切线倾斜角的取值范围为0，π ，所以 0≤ k ≤1，4即 0≤2x ＋2≤1.1≤－ 2. 应选 A.]所以－ 1≤ x。

【配套K12】2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)：课时分层训练48 直线的

课时分层训练(四十八) 直线的倾斜角与斜率、直线的方程A 组基础达标一、选择题1．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( )A ．x －y ＋1＝0B ．x －y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝0D [直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0.] 2．设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足( )A ．a ＋b ＝1B ．a －b ＝1C ．a ＋b ＝0D ．a －b ＝0D [由sin α＋cos α＝0，得sin αcos α＝－1，即tan α＝－1.又因为tan α＝－a b ，所以－a b＝－1，则a ＝b .]3．直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么l 的斜率为( ) A ．－13B ．－3 C.13D ．3A [结合图形(图略)可知选A.]4．(2017·豫南九校联考)若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝55，则l 的斜率为( )【导学号：79140264】A ．－12B ．－12或－2C.12或2 D ．－2D [∵sin θ＋cos θ＝55① ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝15，∴2sin θcos θ＝－45，∴(sin θ－cos θ)2＝95，易知sin θ＞0，cos θ＜0，∴sin θ－cos θ＝355，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝255，cos θ＝－55，∴tan θ＝－2，即l 的斜率为－2，故选D.]5．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)C [令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所围三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，所以14b 2≤1，所以b 2≤4，又由题意知b ≠0，所以b ∈[－2,0)∪(0,2]．]二、填空题6．直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P ，Q 两点，线段PQ 中点是(1，－1)，则l 的斜率是________．－23 [设P (m,1)，则Q (2－m ，－3)， ∴(2－m )＋3－7＝0，∴m ＝－2， ∴P (－2,1)， ∴k ＝1＋1－2－1＝－23.]7．已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是________．x －y ＋3＝0 [圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.] 8．若直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________.【导学号：79140265】(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ [设直线l 的斜率为k ，则k ≠0，直线方程为y －2＝k (x －1)，在x 轴上的截距为1－2k .令－3＜1－2k ＜3，解得k ＜－1或k ＞12.]三、解答题9．已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．[解] (1)直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得直线BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0. (2)设BC 边的中点D 的坐标为(m ，n )，则m ＝2－22＝0，n ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 所在直线过A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线的方程为x－3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则BC 边的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2. 由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0) 即2x －y ＋2＝0.10．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．(1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围.【导学号：79140266】[解] (1)当直线过原点时，在x 轴和y 轴上的截距为零， ∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不过原点时，截距存在且均不为0， ∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.因此直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0，∴a ≤－1.综上可知，a 的取值范围是a ≤－1.B 组能力提升11．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y＋1＝0，则直线PB 的方程为( ) A ．2x ＋y －7＝0 B ．x ＋y －5＝0 C ．2y －x －4＝0D ．2x －y －1＝0B [由条件得点A 的坐标为(－1,0)，点P 的坐标为(2,3)，因为|PA |＝|PB |，根据对称性可知，点B 的坐标为(5,0)，从而直线PB 的方程为y －3－3＝x －25－2，整理得x ＋y －5＝0.] 12．已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________.【导学号：79140267】3 [直线AB 的方程为x 3＋y4＝1.∵动点P (x ，y )在直线AB 上，则x ＝3－34y ，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[]－(y －2)2＋4≤3，即当P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2时，xy 取最大值3.] 13．(2017·四川德阳中学期中)已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值，并求此时直线l 的方程．[解] (1)证明：直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，∴无论k 取何值，直线l 必经过定点(－2,1)． (2)直线方程可化为y ＝kx ＋1＋2k ，当k ≠0时，要使直线不经过第四象限，则必有⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，1＋2k ≥0，解得k ＞0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意．综上，k 的取值范围是k ≥0.(3)依题意得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0,1＋2k )，且⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，解得k ＞0.∴S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋2k k ·|1＋2k |＝12·(1＋2k )2k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是4k ＝1k ，此时k ＝12，∴S min ＝4，此时l 的方程为x －2y ＋4＝0.。

高考数学一轮复习课后限时集训49直线与圆锥曲线文(含解析)北师大版

高考数学一轮复习课后限时集训49直线与圆锥曲线文（含解析）北师大版课后限时集训(四十九)(建议用时：60分钟) A 组基础达标一、选择题1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．0A [因为直线y ＝ba x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b ax 平行，所以它与双曲线只有1个交点．]2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是( )A ．12B ．22 C ．32D ．55C [设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知y M ＝－b 2a 2k x M ，代入k ＝1，M (－4,1)，解得b 2a 2＝14，e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝32，故选C ．]3．抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A ，B 两点．若P (1,1)为线段AB 的中点，则抛物线C 的方程为( )A ．y ＝2x 2B ．y 2＝2x C ．x 2＝2yD ．y 2＝－2xB [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程为y 2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减可得2p＝y 1－y 2x 1－x 2·(y 1＋y 2)＝k AB ·2＝2，即可得p ＝1，∴抛物线C 的方程为y 2＝2x .] 4．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点，设O为坐标原点，则OA →·OB →等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13B [依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，∴OA →·OB →＝－13，同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →＝－13.]5．(2018·太原一模)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为6，则|AB |＝( )A ．6B ．8C ．12D ．16A [由题意知抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)，易知当直线AB 垂直于x 轴时，△AOB 的面积为2，不满足题意，所以可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，与y 2＝4x 联立，消去x 得ky 2－4y －4k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4，所以|y 1－y 2|＝16k 2＋16，所以△AOB 的面积为12×1×16k2＋16＝6，解得k ＝±2，所以|AB |＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝6，故选A ．]二、填空题6．已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________．553[由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1,0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 25＋y24＝1，消去y ，整理得3x 2－5x ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0.则|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝1＋22×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553.] 7．(2019·沧州百校联盟)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．22 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b2＝1①， x 22a 2＋y 22b2＝1②， ①②两式相减并整理得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.把已知条件代入上式得，－12＝－b 2a 2×22，∴b 2a 2＝12，故椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝22.] 8．P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，AB 为圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的任一条直径，则PA →·PB→的取值范围是________．[3,15] [圆心C (1,0)为椭圆的右焦点，PA →·PB →＝(PC →＋CA →)·(PC →＋CB →)＝(PC →＋CA →)·(PC →－CA →)＝PC →2－CA →2＝|PC →|2－1，显然|PC →|∈[a －c ，a ＋c ]＝[2,4]，所以PA →·PB →＝|PC →|2－1∈[3,15]．]三、解答题9. 如图，已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点，设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．[解] 设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x＋2k 2－2＝0.因为直线AB 过椭圆的左焦点F ，所以方程有两个不等实根，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1，所以AB 的垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－1k(x －x 0)．令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2.因为k ≠0，所以－12<x G <0，所以点G 横坐标的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其中左焦点为F (－2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．[解] (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝22，b ＝2.∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m ，消去y 得，3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0，Δ＝96－8m 2>0，∴－23<m <23，∵x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，∴y 0＝x 0＋m ＝m3，∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 32＝1，∴m ＝±355.B 组能力提升1．(2019·黑龙江松原模拟)已知P 是圆C ：x 2＋y 2＝4上的动点，P 在x 轴上的射影为P ′，点M 满足PM →＝MP ′→，当点P 在圆C 上运动时，点M 形成的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点A (0,2)的直线l 与曲线E 相交于点C ，D ，并且AC →＝35AD →，求直线l 的方程．图①[解] (1)如图①，设M (x ，y )，则P (x,2y )在圆C ：x 2＋y 2＝4上．所以x 2＋4y 2＝4，即曲线E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)经检验，当直线l ⊥x 轴时，题目条件不成立，所以直线l 的斜率存在(如图②)．设直线l ：y ＝kx ＋2，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋2，得(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0.Δ＝(16k )2－4(1＋4k 2)·12＞0，得k 2＞34.图②x 1＋x 2＝－16k1＋4k2，① x 1x 2＝121＋4k2.② 又由AC →＝35AD →，得x 1＝35x 2，将它代入①②得k 2＝1，k ＝±1⎝ ⎛⎭⎪⎫满足k 2＞34，所以直线l 的斜率为k ＝±1，所以直线l的方程为y ＝±x ＋2.2．(2019·河南濮阳期末)设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点．设过定点M (0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围．[解] 显然直线x ＝0不满足题设条件，可设直线l ：y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 24＋y 2＝1消去y ，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋14x 2＋4kx ＋3＝0，∴x 1＋x 2＝－4k k 2＋14，x 1·x 2＝3k 2＋14，由Δ＝(4k )2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋14×3＝4k 2－3＞0得，k ＞32或k ＜－32.①又∠AOB 为锐角，∴cos∠AOB ＞0， ∴OA →·OB →＞0，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y1y 2＞0.又y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝3k2k 2＋14＋－8k 2k 2＋14＋4＝－k 2＋1k 2＋14，∴3k 2＋14＋－k 2＋1k 2＋14＞0，即k 2＜4，∴－2＜k ＜2.② 由①②得，－2＜k ＜－32或32＜k ＜2. 故k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－2，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2.。

高考数学一轮复习课时训练两条直线的位置关系北师大版

A 级基础达标演练 (时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2012·茂名模拟)直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( )．A ．3x ＋2y －1＝0B ．2x －3y ＋5＝0C ．3x ＋2y ＋7＝0D ．2x －3y ＋8＝0解析由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，可知直线l 的斜率是－32，由点斜式可得直线l的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.答案 A2．(2011·湖州模拟)“m ＝2”是“直线2x ＋my ＝0与直线x ＋y ＝1平行”的( )．A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析 m ＝2时，直线2x ＋my ＝0与直线x ＋y ＝1平行，故充分性成立；反之，直线2x ＋my ＝0与直线x ＋y ＝1平行时，m ＝2，故必要性成立．所以“m ＝2”是“直线2x ＋my ＝0与直线x ＋y ＝1平行”的充要条件．答案 A3．(2011·南京调研)与直线3x －4y ＋5＝0，关于x 轴对称的直线方程为( )． A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程是3x －4(－y )＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0. 答案 A4．过点A (1,2)且与原点距离最大的直线方程为( )． A ．x ＋2y －5＝0 B ．2x ＋y －4＝0 C ．x ＋3y －7＝0D ．3x ＋y －5＝0解析所求直线过点A 且与OA 垂直时满足条件，此时k OA ＝2，故求直线的斜率为－12，所以直线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.答案 A5．(2012·西安调研)已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y－2＝0，则实数m 的值是( )． A ．－2 B ．－7 C ．3 D ．1 解析由已知条件可知线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，把中点坐标代入直线方程，解得m ＝3. 答案 C二、填空题(每小题4分，共12分)6．(★)(2011·江苏南通、扬州、泰州二模)若直线ax －2y ＋2＝0与直线x ＋(a －3)y ＋1＝0平行，则实数a 的值为________．解析 (回顾检验法)由两直线平行的条件得a (a －3)＝－2，解得a ＝1或2，经检验，a ＝2时两直线重合，所以两直线平行时，实数a 的值为1. 答案 1【点评】本题一定要回顾检验.因为本题用了平行条件A 1B 2－A 2B 1＝0来求a 值，而平行条件中未除掉重合的情况，因此把所求a 值再代入原直线方程检验.)7．(2011·东北三校二模)已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________.解析由两直线垂直的条件得2a ＋3(a －1)＝0，解得a ＝35.答案 358．(2012·舟山模拟)已知1a ＋1b＝1(a ＞0，b ＞0)，点(0，b )到直线x －2y －a ＝0的距离的最小值为________．解析点(0，b )到直线x －2y －a ＝0的距离为d ＝a ＋2b5＝15(a ＋2b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋2b a ＋a b ≥15(3＋22)＝35＋2105，当a 2＝2b 2且a ＋b ＝ab ，即a ＝1＋2，b ＝2＋22时取等号．答案35＋2105三、解答题(共23分)9．(11分)求过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)距离为2的直线方程．解由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴l 1与l 2交点为(1,2)，设所求直线y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，∵P (0,4)到直线距离为2，∴2＝|－2－k |1＋k 2，∴k ＝0或k ＝43. ∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.10．(12分)(2012·合肥月考)已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解 (1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)－b ＝0.又∵直线l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0. 故a ＝2，b ＝2.(2)∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在． ∴k 1＝k 2，即a b＝1－a .又∵坐标原点到这两条直线的距离相等， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b .故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.B 级综合创新备选 (时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．若三条直线l 1：4x ＋y ＝4，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x －3my ＝4不能围成三角形，则实数m 的取值最多有( )．A ．2个B ．3个C ．4个D ．6个解析三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．若l 1∥l 2，则m ＝4；若l 1∥l 3，则m ＝－16；若l 2∥l 3，则m 的值不存在；若三条直线相交于同一点，则m ＝－1或23，故实数m 的取值最多有4个．答案 C2．(2012·沧州模拟)若曲线y ＝2x －x 3在横坐标为－1的点处的切线为l ，则点P (3,2)到直线l 的距离为( )．A.722B.922C.1122D.91010解析由题意得切点坐标为(－1，－1)．切线斜率为k ＝y ′|x ＝－1＝2－3×(－1)2＝－1，故切线l 的方程为y －(－1)＝－1[x －(－1)]，整理得x ＋y ＋2＝0，由点到直线的距离公式得：点P (3,2)到直线l 的距离为|3＋2＋2|12＋12＝722. 答案 A二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2012·厦门模拟)若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是 ①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°其中正确答案的序号是________(写出所有正确答案的序号)．解析记直线m 的倾斜角是θ.由题意知直线l 1、l 2间的距离等于22＝ 2.又直线m 被直线l 1、l 2所截得的线段的长是22，因此直线m 与直线l 1的夹角的正弦值等于222＝12，直线m 与直线l 1的夹角是30°，又直线l 1的倾斜角是45°，因此θ＝15°或θ＝75°，故正确答案的序号是①⑤. 答案 ①⑤4．(2012·绍兴模拟)已知0＜k ＜4，直线l 1：kx －2y －2k ＋8＝0和直线l 2：2x ＋k 2y －4k 2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k 值为________．解析由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,4)，直线l 1的纵截距为4－k ，直线l 2的横截距为2k 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(4－k )＋12×4×(2k 2＋2)＝4k 2－k ＋8，故面积最小时，k ＝18.答案 18三、解答题(共22分)5．(10分)(2012·荆州二检)过点P (1,2)的直线l 被两平行线l 1：4x ＋3y ＋1＝0与l 2：4x ＋3y ＋6＝0截得的线段长|AB |＝2，求直线l 的方程. 解设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋1＝0，解得A ⎝⎛⎭⎪⎫3k －73k ＋4，－5k ＋83k ＋4；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋6＝0，解得B ⎝⎛⎭⎪⎫3k －123k ＋4，8－10k 3k ＋4.∵|AB |＝2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫53k ＋42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5k 3k ＋42＝2，整理，得7k 2－48k －7＝0，解得k 1＝7或k 2＝－17.因此，所求直线l 的方程为x ＋7y －15＝0，或7x －y －5＝0.6．(12分)过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．解设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0， ∴a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.。

2019届高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.2两条直线的位置关系课件理北师大版

3.两直线垂直的充要条件直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是 A1A2＋B1B2＝0 . 4.过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2. 5.点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式. (2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等.
第九章平面解析几何
§9.2 两条直线的位置关系
内容索引
基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业
基础知识自主学习
1.两条直线的位置关系
知识梳理
(1)两条直线平行与垂直
①两条直线平行：
(ⅰ)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔ k1＝k2 .
(ⅱ)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. ②两条直线垂直：
(ⅰ)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.
(2)两条直线的交点直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就
A1x＋B1y＋C1＝0，是方程组 A2x＋B2y＋C2＝0 的解.
题组二教材改编 2.已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于
A. 2
B.2－ 2
√C. 2－1
D. 2＋1
|a－2＋3| 解析由题意得 1＋1 ＝1.
解得 a＝－1＋ 2或 a＝－1－ 2.∵a>0，∴a＝－1＋ 2.

高考理科数学(北师大版)一轮复习课件92点与直线两条直线的位置关系

(1)垂直:Bx-Ay+m=0;
(2)平行:Ax+By+n=0.
2.与对称问题相关的两个结论:
(1)过定点P(x0,y0)的直线系方程:A(x-x0)+B(y-y0)=0(A2+B2≠0),还可
以表示为y-y0=k(x-x0)和x=x0.
(2)平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程:Ax+By+λ=0(λ≠C).
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)(2019安徽江南十校二联,5)已知直线l1:mx-3y+6=0,l2:4x3my+12=0,若l1∥l2,则l1,l2之间的距离为 ( A)
12√13
A. 13
8√13
B. 13
9√13
C. 13
D.√13
-15-
考点1
解题心得1.求两条直线的交点坐标,一般思路就是解由这两条直
线方程组成的方程组,以方程组的解为坐标的点即为交点.
2.求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,
再结合其他条件写出直线方程.也可借助直线系方程,利用待定系
数法求出直线方程,这样能简化解题过程.
-19-
故当 a=-1 时,l1∥l2.
(2)方法一当 a=1 时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,
l1 与 l2 不垂直,故 a=1 不成立;
当 a=0 时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1 不垂直于 l2,故 a=0 不成立;

1
当 a≠1 且 a≠0 时,l1:y=-2 x-3,l2:y=1- x-(a+1),

2019高三数学(北师大版理科)一轮训练题课时规范练45 两条直线的位置关系 Word版含解析

课时规范练两条直线的位置关系
基础巩固组
.过点()且与直线平行的直线方程是()
.“”是“直线和直线互相垂直”的()
.充分不必要条件
.必要不充分条件
.充要条件
.既不充分也不必要条件
.(广东揭阳一模)若直线与直线()平行,则的值为()
或
.(浙江温州模拟)直线()和:()()互相垂直,则()
或或
或或
.已知平行四边形的一条对角线固定在()()两点,点在直线上移动,则点的轨迹方程为()
.(广西南宁模拟)直线关于直线对称的直线方程是()
.若动点分别在直线和上移动,则的中点到原点的距离的最小值为()
.如图所示,已知两点()(),从点()射出的光线经直线反射后再射到直线上,最后经直线反射后又回到点,则光线所经过的路程是()
〚导学号〛
.经过两条直线的交点,且与直线平行的直线的一般式方程为.
.(宁夏银川模拟)点()到直线(∈)的最大距离是.
.已知点()关于直线对称的点是(),则直线在轴上的截距是.
.(江西八校联考)已知点()到()和()的距离相等,则的最小值为.
综合提升组
.若向量()与向量()共线,则直线必经过定点()。

2019届高考一轮复习北师大版理9.2两直线的位置关系学案

第2讲两直线的位置关系1．两直线的平行、垂直与其斜率的关系条件两直线位置关系斜率的关系两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2平行k1＝k2k1与k2都不存在垂直k1k2＝－1k1与k2一个为零、另一个不存在2. 两条直线的交点3．三种距离点点距点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2点线距点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2线线距两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2(1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．(2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0.(3)过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( )(4)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( )(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√(教材习题改编)直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0解析：选A.由题意知，直线l 的斜率是－32，因此直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x＋2y －1＝0.已知点(a ，2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A. 2 B ．2－ 2 C.2－1D.2＋1解析：选C.由题意知|a －2＋3|2＝1，所以|a ＋1|＝2，又a ＞0，所以a ＝2－1.(教材习题改编)已知直线l 1：ax ＋3y ＋1＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0互相平行，则实数a 的值是________．解析：由直线l 1与l 2平行，可得⎩⎪⎨⎪⎧a （a ＋1）＝2×3，a ×1≠2，解得a ＝－3.答案：－3若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋by ＝0相交于一点，则b ＝________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.将其代入x ＋by ＝0，得b ＝－12.答案：－12两条直线平行与垂直(高频考点)两条直线的平行与垂直是高考的热点，高考多出现在选择题、填空题或解答题中的一小问，一般难度较小．高考对两条直线的平行与垂直的考查主要有以下两个命题角度：(1)两条直线位置关系的判断； (2)由两条直线位置关系求直线方程．[典例引领]角度一两条直线位置关系的判断设不同直线l 1：2x －my －1＝0，l 2：(m －1)x －y ＋1＝0，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】当m ＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立．当l 1∥l 2时，显然m ≠0，从而有2m ＝m －1，解得m ＝2或m ＝－1，但当m ＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立．【答案】 C角度二由两条直线位置关系求直线方程(2018·湖南东部十校联考)经过两条直线2x ＋3y ＋1＝0和x －3y ＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x ＋4y －7＝0的直线方程为________．【解析】法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0解得⎩⎨⎧x ＝－53，y ＝79，即交点为⎝⎛⎭⎫－53，79，因为所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直，所以所求直线的斜率为k ＝43.由点斜式得所求直线方程为y －79＝43⎝⎛⎭⎫x ＋53，即4x －3y ＋9＝0.法二：由垂直关系可设所求直线方程为4x －3y ＋m ＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0可解得交点为⎝⎛⎭⎫－53，79，代入4x －3y ＋m ＝0得m ＝9，故所求直线方程为4x －3y ＋9＝0.法三：由题意可设所求直线的方程为(2x ＋3y ＋1)＋λ(x －3y ＋4)＝0，即(2＋λ)x ＋(3－3λ)y ＋1＋4λ＝0，① 又因为所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直，所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，所以λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x －3y ＋9＝0. 【答案】 4x －3y ＋9＝0两直线平行、垂直的判断方法若已知两直线的斜率存在．(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等； (2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1. [提醒] 判断两条直线位置关系应注意： (1)注意斜率不存在的特殊情况；(2)注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．[通关练习]1．已知直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0，l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝( ) A ．2或12B. 13或－1 C. 13D ．－1解析：选B.因为直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0，l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，l 1⊥l 2，所以2a (a ＋1)＋(a ＋1)(a －1)＝0，解得a ＝13或a ＝－1.故选B.2．求满足下列条件的直线方程．(1)过点P (－1，3)且平行于直线x －2y ＋3＝0； (2)已知A (1，2)，B (3，1)，线段AB 的垂直平分线．解：(1)设直线方程为x －2y ＋c ＝0，把P (－1，3)代入直线方程得c ＝7，所以直线方程为x －2y ＋7＝0.(2)AB 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，2＋12，即⎝⎛⎭⎫2，32，直线AB 斜率k AB ＝2－11－3＝－12，故线段AB 垂直平分线斜率k ＝2，所以其方程为y －32＝2(x －2)，即4x －2y －5＝0.距离公式[典例引领](1)已知A (2，0)，B (0，2)，若点C 在函数y ＝x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1(2)若两平行直线3x －2y －1＝0，6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是________．【解析】 (1)设点C (t ，t 2)，直线AB 的方程是x ＋y －2＝0， |AB |＝2 2.由于△ABC 的面积为2，则这个三角形中AB 边上的高h 满足方程12×22h ＝2，即h ＝ 2.由点到直线的距离公式得2＝|t ＋t 2－2|2，即|t ＋t 2－2|＝2，即t 2＋t －2＝2或者t 2＋t －2＝－2.因为这两个方程各有两个不相等的实数根，故这样的点C 有4个． (2)依题意知，63＝a －2≠c－1，解得a ＝－4，c ≠－2，即直线6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0，又两平行线之间的距离为21313，所以⎪⎪⎪⎪c 2＋132＋（－2）2＝21313，因此c ＝2或－6. 【答案】 (1)A (2)2或－6距离的求法(1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式． (2)两平行直线间的距离①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离； ②利用两平行线间的距离公式．[通关练习]1．已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是( ) A ．[－10，10] B ．[－10，5] C ．[－5，5]D ．[0，10]解析：选D.由题意得，点P 到直线的距离为 |4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0，10]．2．与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是________．解析：l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －32＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线l的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则：|c ＋6|＝|c ＋32|，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x ＋8y －15＝0.答案：12x ＋8y －15＝03．l 1，l 2是分别经过A (1，1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________．解析：当两条平行直线与A ，B 两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．又k AB ＝－1－10－1＝2，所以两条平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y－3＝0.答案：x ＋2y －3＝0对称问题[典例引领]已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程．【解】 (1)设A ′(x ，y )，由已知⎩⎨⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413.所以A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2，0)，则M (2，0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设M ′(a ，b )，则⎩⎨⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0.得N (4，3)．又因为m ′经过点N (4，3)，所以由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. (3)设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，因为P ′在直线l 上，所以2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0.[通关练习]1．(2018·河北五校联考)直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M ，则直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为( ) A ．2x ＋3y －12＝0 B ．2x －3y －12＝0 C ．2x －3y ＋12＝0D ．2x ＋3y ＋12＝0解析：选D.由ax ＋y ＋3a －1＝0，可得a (x ＋3)＋(y －1)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝0，y －1＝0，可得x ＝－3，y＝1，所以M (－3，1)，M 不在直线2x ＋3y －6＝0上，设直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)，则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去)，所以所求方程为2x ＋3y ＋12＝0，故选D.2．如图，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是________．解析：直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2，0)关于直线AB的对称点为D(4，2)，关于y轴的对称点为C(－2，0)，则光线经过的路程为|CD|＝62＋22＝210.答案：210由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0 (A21＋B21≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝0 (A22＋B22≠0)l1与l2垂直的充要条件A1A2＋B1B2＝0l1与l2平行的充分条件A1A2＝B1B2≠C1C2(A2B2C2≠0)l1与l2相交的充分条件A1A2≠B1B2(A2B2≠0)l1与l2重合的充分条件A1A2＝B1B2＝C1C2(A2B2C2≠0)(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可根据相应公式或性质判断，若直线无斜率，要单独考虑．(2)求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式．(3)在运用两平行直线间的距离公式d＝|C1－C2|A2＋B2时，一定要注意将两方程中x，y的系数化为相同的形式．1．(2018·石家庄模拟)已知点P (3，2)与点Q (1，4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y ＝0 C ．x ＋y ＋1＝0D ．x ＋y ＝0解析：选A.由题意知直线l 与直线PQ 垂直，直线PQ 的斜率k PQ ＝－1，所以直线l 的斜率k ＝－1k PQ ＝1.又直线l 经过PQ 的中点(2，3)，所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.2．已知过点A (－2，m )和点B (m ，4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( ) A ．－10 B ．－2 C ．0D ．8解析：选A.因为l 1∥l 2，所以k AB ＝4－mm ＋2＝－2.解得m ＝－8.又因为l 2⊥l 3，所以－1n ×(－2)＝－1，解得n ＝－2，所以m ＋n ＝－10.3．已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为( ) A.12 B ．－12C ．2D ．－2 解析：选A.直线y ＝2x ＋3与y ＝－x 的交点为A (－1，1)，而直线y ＝2x ＋3上的点(0，3)关于y ＝－x 的对称点为B (－3，0)，而A ，B 两点都在l 2上，所以kl 2＝1－0－1－（－3）＝12.4．已知点A (－1，2)，B (3，4)．P 是x 轴上一点，且|P A |＝|PB |，则△P AB 的面积为( ) A ．15 B.552C ．6 5D.152解析：选D.设AB 的中点坐标为M (1，3)，k AB ＝4－23－（－1）＝12，所以AB 的中垂线方程为y －3＝－2(x －1)．即2x ＋y －5＝0.令y ＝0，则x ＝52，即P 点的坐标为(52，0)，|AB |＝（－1－3）2＋（2－4）2＝2 5.P 到AB 的距离为|PM |＝（1－52）2＋32＝352.所以S △P AB ＝12|AB |·|PM |＝12×25×352＝152.5．(2018·河南安阳模拟)两条平行线l 1，l 2分别过点P (－1，2)，Q (2，－3)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间距离的取值范围是( ) A ．(5，＋∞) B ．(0，5] C ．(34，＋∞)D ．(0，34 ]解析：选 D.当PQ 与平行线l 1，l 2垂直时，|PQ |为平行线l 1，l 2间的距离的最大值，为（－1－2）2＋[2－（－3）]2＝34，所以l 1，l 2之间距离的取值范围是(0，34 ]．故选D.6．设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析：设点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 0，1x 0，x 0＞0，曲线y ＝1x 在点P 处的切线斜率k 2＝－1x 20(x 0＞0)．又因为曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线斜率k 1＝e x |x ＝0＝1，k 1k 2＝－1，所以x 20＝1，所以x 0＝1，所以点P 的坐标为(1，1)．答案：(1，1)7．已知一直线经过点(1，2)，并且与点(2，3)和(0，－5)的距离相等，则此直线的方程为________．解析：若所求直线的斜率存在，则可设其方程为： y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0，由题设有|2k －3－k ＋2|1＋k 2＝|0＋5－k ＋2|1＋k 2，即|k －1|＝|k －7|，解得k ＝4. 此时直线方程为4x －y －2＝0.又若所求直线的斜率不存在，方程为x ＝1，满足题设条件．故所求直线的方程为4x －y －2＝0或x ＝1. 答案：4x －y －2＝0或x ＝18．(2018·山西四校联考)若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________．解析：由题可知纸的折痕垂直平分点(0，2)与点(4，0)的连线，可得折痕所在直线为y ＝2x－3，又折痕也垂直平分点(7，3)与点(m ，n )的连线，于是⎩⎨⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝315，所以m ＋n ＝345.答案：3459．已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R )． (1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围； (2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．解：(1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0，即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－⎝⎛⎭⎫a 2＋122＋14，因为a 2≥0，所以b ≤0. 又因为a 2＋1≠3，所以b ≠－6.故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6，0]． (2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0，显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a ，|ab |＝⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝±1时等号成立，因此|ab |的最小值为2.10．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P . (1)点A (5，0)到直线l 的距离为3，求直线l 的方程； (2)求点A (5，0)到直线l 的距离的最大值．解：(1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，所以|10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2＝3，解得λ＝12或λ＝2.所以直线l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2，1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到直线l 的距离，则d ≤|P A |(当l ⊥P A 时等号成立)．所以d max ＝|P A |＝10.1．(2018·洛阳统考)已知点P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( ) A ．过点P 且与l 垂直的直线 B ．过点P 且与l 平行的直线 C ．不过点P 且与l 垂直的直线 D ．不过点P 且与l 平行的直线解析：选D.因为点P (x 0，y 0)不在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，所以Ax 0＋By 0＋C ≠0，所以直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0不经过点P ，排除A 、B ；又直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0平行，排除C ，故选D.2．(2018·湖北孝感五校联考)已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C 的坐标为( ) A ．(－2，4)B ．(－2，－4)C ．(2，4)D ．(2，－4)解析：选C.设A (－4，2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎨⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，所以BC 所在直线方程为y －1＝－2－14－3(x －3)，即3x ＋y －10＝0.同理可得点B (3，1)关于直线y ＝2x 的对称点为(－1，3)，所以AC 所在直线方程为y －2＝3－2－1－（－4）·(x ＋4)，即x －3y ＋10＝0.联立得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －10＝0，x －3y ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，则C (2，4)．故选C.3．已知△ABC 的顶点A (5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解：依题意知，k AC ＝－2，A (5，1)，所以l AC 为2x ＋y －11＝0，联立l AC ，l CM 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，所以C (4，3)．设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，所以B (－1，－3)，所以k BC ＝65，所以直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.4．在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得： (1)P 到A (4，1)和B (0，4)的距离之差最大； (2)P 到A (4，1)和C (3，4)的距离之和最小．解：(1)如图，设B 关于l 的对称点为B ′，AB ′的延长线交l 于P 0，在l 上另任取一点P ，则|P A |－|PB |＝|P A |－|PB ′|<|AB ′|＝|P 0A |－|P 0B ′|＝|P 0A |－|P 0B |，则P 0即为所求．易求得直线BB ′的方程为x ＋3y －12＝0，设B ′(a ，b )，则a ＋3b －12＝0，①又线段BB ′的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b ＋42在l 上，故3a －b －6＝0.②由①②解得a ＝3，b ＝3，所以B ′(3，3)．所以AB ′所在直线的方程为2x ＋y －9＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －9＝0，3x －y －1＝0可得P 0(2，5)． (2)设C 关于l 的对称点为C ′，与(1)同理可得C ′⎝⎛⎭⎫35，245.连接AC ′交l 于P 1，在l 上另任取一点P ，有|P A |＋|PC |＝|P A |＋|PC ′|>|AC ′|＝|P 1C ′|＋|P 1A |＝|P 1C |＋|P 1A |，故P 1即为所求．又AC ′所在直线的方程为19x ＋17y －93＝0，故由⎩⎪⎨⎪⎧19x ＋17y －93＝0，3x －y －1＝0可得P 1⎝⎛⎭⎫117，267.。

【创新设计】高考数学一轮复习课时作业9.2 两条直线的位置关系理北师大版

第2讲两条直线的位置关系基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是 ( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0解析由题意知，直线l 的斜率是－32，因此直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x＋2y －1＝0. 答案 A2．(2014·济南模拟)已知两条直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a ＝( )A ．－1B ．2C ．0或－2D ．－1或2解析若a ＝0，两直线方程分别为－x ＋2y ＋1＝0和x ＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a ≠0；当a ≠0时，两直线若平行，则有a －11＝2a ≠13，解得a ＝－1或2. 答案 D3．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为( )A ．4 B.21313 C.52613D.72010 解析把3x ＋y －3＝0化为6x ＋2y －6＝0，则两平行线间的距离d ＝|1－－62＋22＝72010. 答案 D4．(2015·南昌调研)当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得两直线的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1，因为0<k <12，所以kk －1<0，2k －1k －1>0，故交点在第二象限．答案 B5．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2经过定点( )A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(－2,4)D ．(4，－2)解析直线l 1：y ＝k (x －4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2经过定点(0,2)．答案 B 二、填空题6．已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________.解析由两直线垂直的条件得2a ＋3(a －1)＝0，解得a ＝35.答案 357．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________．解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0，即m ×1＋2×2＋5＝0，∴m ＝－9. 答案－98．(2015·秦皇岛检测)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2，2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________．解析显然直线l 斜率不存在时，不满足题意；设所求直线方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2， ∴k ＝2或k ＝－23.∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0. 答案 2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0 三、解答题9．已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，求m 的值，使得：(1)l 1与l 2相交；(2)l 1⊥l 2；(3)l 1∥l 2；(4)l 1，l 2重合．解 (1)由已知1×3≠m (m －2)，即m 2－2m －3≠0，解得m ≠－1且m ≠3. 故当m ≠－1且m ≠3时，l 1与l 2相交． (2)当1·(m －2)＋m ·3＝0，即m ＝12时，l 1⊥l 2.(3)当1×3＝m (m －2)且1×2m ≠6×(m －2)或m ×2m ≠3×6，即m ＝－1时，l 1∥l 2. (4)当1×3＝m (m －2)且1×2m ＝6×(m －2)，即m ＝3时，l 1与l 2重合．10．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解依题意知：k AC ＝－2，A (5,1)， ∴l AC 为2x ＋y －11＝0，联立l AC ，l CM 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，∴C (4,3)．设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，∴B (－1，－3)，∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11．(2014·西安一模)若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3解析因为点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，所以4m ＋3n －10＝0.欲求m 2＋n 2的最小值可先求m －2＋n －2的最小值，而m －2＋n －2表示4m ＋3n －10＝0上的点(m ，n )到原点的距离，如图．当过原点的直线与直线4m ＋3n －10＝0垂直时，原点到点(m ，n )的距离最小为2. 所以m 2＋n 2的最小值为4. 答案 C12.如图所示，已知两点A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．210B ．6C ．3 3D ．2 5解析易得AB 所在的直线方程为x ＋y ＝4，由于点P 关于直线AB 对称的点为A 1(4,2)，点P 关于y 轴对称的点为A 2(－2,0)，则光线所经过的路程即A 1(4,2)与A 2(－2,0)两点间的距离．于是|A 1A 2|＝＋2＋－2＝210.答案 A13．(2014·四川卷)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．解析易知A (0,0)，B (1,3)且两直线互相垂直，即△APB 为直角三角形，∴|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝|AB |22＝102＝5.答案 514．已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510.(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5.若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．解 (1)直线l 2：2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1222＋－2＝7510，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋125＝7510，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72，又a ＞0，解得a ＝3.(2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0)．若P 点满足条件②，则P 点在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋125，即c ＝132或116，所以2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0；若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式，有|2x 0－y 0＋3|5＝25|x 0＋y 0－1|2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|，所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；由于点P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能．联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12；(舍去)联立方程2x 0－y 0＋116＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝19，y 0＝3718.所以存在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718同时满足三个条件．。

2019年高考数学一轮复习学案北师大版理科课时分层训练49两条直线的位置关系理

课时分层训练(四十九) 两条直线的位置关系A 组基础达标一、选择题1．已知点A (1，－2)，B (m,2)且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1 C [因为线段AB 的中点⎝⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，代入解得m ＝3.]2．(2016·北京高考)圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( )A ．1B ．2 C. 2 D ．22C [圆心坐标为(－1,0)，所以圆心到直线y ＝x ＋3即x －y ＋3＝0的距离为|－1－0＋3|12＋(－1)2＝22＝ 2.]3．已知直线l 1：mx ＋y －1＝0与直线l 2：(m －2)x ＋my －1＝0，则“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的( )【导学号：79140270】A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件A [由l 1⊥l 2，得m (m －2)＋m ＝0，解得m ＝0或m ＝1，所以“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件，故选A.]4．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2经过定点( )A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(－2,4)D ．(4，－2)B [直线l 1：y ＝k (x －4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2经过定点(0,2)．]5．(2017·河南安阳一模)两条平行线l 1、l 2分别过点P (－1,2)，Q (2，－3)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1、l 2之间距离的取值范围是( )A ．(5，＋∞)B ．(0,5]C ．(34，＋∞)D ．(0，34]D [当PQ 与平行线l 1，l 2垂直时，|PQ |为平行线，l 1，l 2间的距离的最大值，为(－1－2)2＋[2－(－3)]2＝34，所以l 1，l 2之间距离的取值范围是(0，34]．故选D.] 二、填空题6．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．2 [由题意知63＝m 4≠14－3，∴m ＝8，∴直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，∴两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2.] 7．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为________.【导学号：79140271】⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413 [设A ′(x ，y )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝⎛⎭⎪⎫－3313，413.] 8．l 1，l 2是分别经过点A (1,1)，B (0，－1)的两条平行直线，当l 1与l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________．x ＋2y －3＝0 [当AB ⊥l 1时，两直线l 1与l 2间的距离最大，由k AB ＝－1－10－1＝2，知l 1的斜率k ＝－12，∴直线l 1的方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.] 三、解答题9．已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)当l 1∥l 2时，求a 的值； (2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．[解] (1)法一：当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线方程可化为l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，由l 1∥l 2可得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a，－3≠－(a ＋1)，解得a ＝－1. 综上可知，a ＝－1. 法二：由l 1∥l 2知⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，A 1C 2－A 2C 1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a (a －1)－1×2＝0，a (a 2－1)－1×6≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a (a 2－1)≠6⇒a ＝－1.(2)法一：当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不符合；当a ≠1时，l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，由l 1⊥l 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2·11－a＝－1⇒a ＝23.法二：∵l 1⊥l 2，∴A 1A 2＋B 1B 2＝0，即a ＋2(a －1)＝0，得a ＝23.]10．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)．(1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标； (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程.【导学号：79140272】[解] (1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，∴直线l 恒过定点(－2,3)．(2)设直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大．又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15，∴直线l 的斜率k l ＝－5.故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0.B 组能力提升11．(2018·广州综合测试(二))已知三条直线2x －3y ＋1＝0,4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23 D [设l 1：2x －3y ＋1＝0，l 2：4x ＋3y ＋5＝0，l 3：mx －y －1＝0，易知l 1与l 2交于点A ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13，l 3过定点B (0，－1)．因为l 1，l 2，l 3不能构成三角形，所以l 1∥l 3或l 2∥l 3或l 3过点A .当l 1∥l 3时，m ＝23；当l 2∥l 3时，m ＝－43；当l 3过点A 时，m ＝－23，所以实数m 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23，故选D.]12．过点A (4,1)，B (1,5)，C (－3,2)，D (0，－2)为顶点的四边形ABCD 的面积为________.【导学号：79140273】25 [因为k AB ＝5－11－4＝－43，k DC ＝2－(－2)－3－0＝－43.k AD ＝－2－10－4＝34，k BC ＝2－5－3－1＝34. 则k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，所以四边形ABCD 为平行四边形．又k AD ·k AB ＝－1，即AD ⊥AB ，故四边形ABCD 为矩形．故S ＝|AB |·|AD |＝(1－4)2＋(5－1)2×(0－4)2＋(－2－1)2＝25.] 13．已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点．(1)若点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．[解] (1)易知l 不可能为l 2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0. ∵点A (5,0)到l 的距离为3， ∴|10＋5λ－5|(2＋λ)2＋(1－2λ)2＝3，则2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或λ＝12，∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤PA (当l ⊥PA 时等号成立)，∴d max ＝PA ＝(5－2)2＋(0－1)2＝10.。

高考数学一轮复习课后限时集训48两条直线的位置关系文北师大版

课后限时集训 48两条直线的地点关系建议用时： 45 分钟一、选择题1．直线 2x ＋ y ＋m ＝ 0 和 x ＋ 2y ＋ n ＝0 的地点关系是 ()A ．平行B ．垂直C ．订交但不垂直D ．不可以确立2 1C [ ∵ 1≠ 2，∴两条直线订交，又 2×1＋1×2≠0，故两条直线不垂直． ]2．过点 (2,1) 且与直线 3x － 2y ＝ 0 垂直的直线方程为 ( )A ． 2x －3y － 1＝0B ． 2x ＋3y － 7＝ 0C ． 3x －2y － 4＝0D ． 3x ＋2y － 8＝ 0B [ 设要求的直线方程为 2x ＋ 3y ＋ m ＝ 0，把点 (2,1) 代入可得 4＋ 3＋ m ＝0，解得 m ＝－7. 所以所求的直线方程为 2x ＋ 3y －7＝ 0. 应选 B.]3．已知直线l 1：＋＋7＝ 0 和 l 2：( － 2) x ＋ 3 y ＋2 ＝ 0 相互平行，则实数等于 ()x mymmmA ．－1或 3B ．－ 1C ．－ 3D ．1 或－ 3A [ 由题意知1m7＝ ≠，解得 m ＝ 3 或 m ＝－ 1. 应选 A.]m － 2 3 2m4．若点 P 在直线 3 x ＋ y － 5＝ 0 上，且 P 到直线 x － y － 1＝ 0 的距离为 2，则点 P 的坐标为 ()A ． (1,2)B ． (2,1)C ． (1,2) 或 (2 ，－ 1)D ． (2,1) 或 ( － 1,2)| x － 5＋ 3 x － 1|C [ 设 P ( x, 5－ 3x ) ，则 d ＝ 12＋－ 1 2 ＝2，化简得 |4 x － 6| ＝ 2，即 4x －6＝± 2，解得 x ＝1 或 x ＝2，故 P (1,2)或(2，－1)．]5．若直线l 1： x － 3 ＋2＝0 与直线l 2：－＋＝ 0 对于 x 轴对称，则＋＝ ( )y mx y bm b1A. 3B ．－ 11C ．－ 3D ． 1B [ 直线 l 1：－ 3 y ＋2＝ 0 对于x 轴对称的直线方程为x ＋ 3 ＋ 2＝ 0. 由题意知 ≠0.xymy b 1与 l 2 对于 x 轴对称，由于 mx － y ＋ b ＝0，即 x －＋＝ 0，且直线 lm m11 －＝3，m ＝－，m3 所以有解得b2 ＝ 2， b ＝－，m312则 m ＋ b ＝－ 3＋－3 ＝－ 1.]二、填空题6．两平行直线 2x ＋ y ＝ 0 与 4x ＋ 2y － 1＝ 0 之间的距离为 ________．5| － 1－0| 510[ 由 2x ＋ y ＝ 0 得 4x ＋2y ＝ 0，则两平行直线之间的距离为d ＝ 42＋ 22 ＝10.]7．平面直角坐标系中直线 y ＝ 2x ＋1 对于点 (1,1) 对称的直线方程是 ________．y ＝ 2x －3 [ 在直线 y ＝ 2x ＋ 1 上任取两个点 A (0,1) ， B (1,3) ，则点 A 对于点 (1,1)对称的点为 (2,1) ，点B 对于点 (1,1) 对称的点为(1 ，－ 1) ．由两点式求出对称直线的方程MNMNy ＋ 1 x － 1为＝，即 y ＝ 2x －3.]1＋ 1 2－ 18．直线 x － 2 y ＋2＝ 0 对于直线 x ＝1 对称的直线方程是 ________．x ＋ 2y －4＝ 0 [ 法一：设 P ( x ，y ) 为所求直线上的点，该点对于直线x ＝ 1 的对称点为 (2－ x ， y ) ，且该对称点在直线 x － 2y ＋ 2＝ 0 上，代入可得 x ＋ 2y －4＝ 0.法二：直线x － 2 y＋2＝ 0 与直线x ＝ 1 的交点为 P 1， 3，则所求直线过点 . 由于直线x2P－ 2 ＋2＝ 0 的斜率为 11y3 1 －1)，，所以所求直线的斜率为－，故所求直线的方程为－＝－(y 2222x即 x ＋ 2y － 4＝ 0.]三、解答题9．在△ ABC 中， BC 边上的高所在直线的方程为x － 2y ＋ 1＝0，∠ A 的均分线所在直线的方程为 y ＝ 0. 若点 B 的坐标为 (1,2) ，求：(1) 点 A 和点 C 的坐标；(2) △ ABC 的面积．x － 2y ＋ 1＝ 0， [ 解 ] (1) 由方程组解得点 A ( －1,0) ．y ＝ 0，又直线 AB 的斜率为 k AB ＝ 1，且 x 轴是∠ A 的均分线，故直线 AC 的斜率为－ 1，所以 AC 所在的直线方程为 y ＝－ ( x ＋ 1) ．已知边上的高所在的直线方程为 x － 2 y ＋1＝ 0，BC故直线 BC 的斜率为－ 2，故 BC 所在的直线方程为 y － 2＝－ 2( x －1) ．y ＝－ x ＋ 1，得点 C 的坐标为 (5 ，－ 6) ．解方程组y － 2＝－ 2 x －1 ，(2) 由于 B (1,2) ， C (5 ，－ 6) ，所以 | BC | ＝ 1－ 5 2＋ 2＋ 6 2＝ 4 5，点 A ( － 1,0)到直线 BC ：y － 2＝－ 2( x － 1) 的距离为 d ＝ |2 ×－ 1 －4|＝ 6 ，所以△ ABC 的面积为1×4 5 5 52 6× ＝12.510． l 1， l 2 是分别经过 A (1,1) ，B (0 ，－ 1) 两点的两条平行直线， (1) 当 l 1， l 2 间的距离最大时，求直线l 1 的方程；(2) 当 l 1， l 2 间的距离为 1 时，求 l 2 的方程．[ 解] (1) 当两条平行直线与 A ， B 两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．又k ＝AB－1－ 1110－ 1 ＝ 2，所以两条平行直线的斜率为－2，所以直线 l 1 的方程是 y － 1＝－ 2( x －1) ，即 x ＋2y － 3＝0.(2) 当 l 1⊥ x 轴时， l 1 方程为 x ＝1， l 2 方程为 x ＝ 0，l 1 与 l 2 间距离为 1，知足题意．当 l 1不垂直于 x 轴时，设 l1斜率为 k ，则 l ， l 2 方程分别为 y －1＝ k ( x －1) ， y ＋1＝ kx ，1所以 l与 l间距离为 d ＝|2 － k |3方程为 y ＝ 3方程1 2 1＋k 2＝1，解得k ＝4.所以 l 24x － 1，综上所述， l 2为 x ＝ 0 或 3x － 4y － 4＝ 0.1．(2019 ·保定模拟 ) 设点 P 为直线 l ：x ＋ y － 4＝0 上的动点，点 A ( － 2,0) ，B (2,0) ，则 | PA | ＋ | PB | 的最小值为 ()A ．2 10B. 26 C ．2 5D. 10A [ 如下图，设点 C ( x ， y ) 为点B 对于直线 x ＋y － 4＝0 的对称点，则有2＋ x 0＋y2 ＋ 2 －4＝0，y － 0x － 2×－1＝－ 1，x ＝ 4，解得即 C (4,2) ．y ＝ 2，∴|PA|＋| PB|≥|AC|＝4＋ 2 2＋2－ 0 2＝ 2 10，应选 A.]2．已知入射光芒在直线l ： 2 －＝3 上，经过x 轴反射到直线l 上，再经过y 轴反射1 2到直线 l 3上．若点 P 是直线 l 1上某一点，则点 P 到直线 l 3的距离为( ) A． 6 B． 36 5 9 5C. 5D. 10C [ 联合图形可知，直线l 1∥l 3，则直线l 1上一点P到直线l 3 的距离即为 l 1与 l 3之间的距离，由题意知，l 1与 l 2对于 x 轴对称，故 l 2的方程为 y＝－2x＋3，l 2与 l 3 对于y轴对称，故l 3的方程为 y＝2x＋3，即2x－y ＋ 3＝ 0，又直线l1的方程为：2x－y－3＝ 0，由两平行线间的距离公式得l 1与 l 3 间的距离| －3－ 3|＝6 6 5 ，即点 P到直线 l 3的距离为6 5d＝＝5 ，应选 C.]22＋12 5 53．已知三角形的一个极点A(4，－1)，它的两条角均分线所在直线的方程分别为l 1：x － y－1＝0和 l 2： x－1＝0，则 BC边所在直线的方程为________．2x－y＋3＝ 0 [ 点A不在这两条角均分线上，所以l 1， l 2是另两个角的角均分线所在直线．点 A 对于直线l 1的对称点 A1，点 A对于直线 l 2的对称点 A2均在边 BC所在直线 l 上．设 A1( x1， y1)，则有y1＋1x1－4×1＝－ 1，x1＋4y1－12－2－1＝0，x ＝ 0，1所以1(0,3)解得．y 1 ＝3，A同理设2( 2， 2) ，易求得 2(－2，－1) ．A x yA所以 BC 边所在直线方程为 2x － y ＋3＝ 0.]4．已知点 A (4 ，－ 3) ，B (2 ，－ 1) 和直线 l ： 4x ＋ 3y － 2＝ 0，在座标平面内求一点 P ，使 | |＝|| ，且点 P 到直线l 的距离为 2.PAPB[ 解 ] 设点 P 的坐标为 ( a ，b ) ．∵ A (4 ，－ 3) ， B (2 ，－ 1) ，∴线段 AB 的中点坐标为 (3 ，－ 2) ．－ 3＋ 1又 k AB ＝ 4－ 2 ＝－ 1，∴线段 AB 的垂直均分线的斜率为1，∴线段 AB 的垂直均分线方程为y ＋2＝ x － 3，即 x － y － 5＝ 0.∵点 P ( a ， b ) 在直线 x － y －5＝ 0 上，∴ a － b － 5＝ 0.又点 P ( a ， b ) 到直线 l ： 4x ＋ 3y － 2＝0 的距离为 2，∴|4 a ＋ 3b － 2|＝2，即 4 a ＋ 3b － 2＝± 10， 527a ＝ 1，a ＝，7联立①②求得＝－ 4或8bb ＝－7.278∴点 P 的坐标为 (1，－4)或 7，－7 .①②1．如图，已知A (4,0) ，B (0,4) ，从点 P (2,0) 射出的光芒经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线 OB 反射后又回到 P 点，则光芒所经过的行程是()A ．3 3B ．6C ．2 10D ．2 5C [ 直线 AB 的方程为 x ＋ y ＝4，点 P (2,0) 对于直线 AB 的对称点为D (4,2) ，对于 y 轴的对称点为 C ( － 2,0) ，则光芒经过的行程为 | CD |＝ 62＋ 22＝ 2 10.]2．在平面直角坐标系 xOy 中，将直线 l 沿 x 轴正方向平移 3 个单位长度，沿 y 轴正方向平移 5 个单位长度，获得直线l 1. 再将直线 l 1 沿 x 轴正方向平移 1 个单位长度，沿 y 轴负方向平移 2 个单位长度，又与直线 l 重合．若直线 l 与直线 l 1 对于点 (2,4)对称，求直线 l 的方程．[ 解 ]由题意知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y ＝ kx ＋ b ，将直线 l 沿 x 轴正方向平移 3 个单位长度，沿 y 轴正方向平移 5 个单位长度，获得直线 l 1：y ＝ k ( x － 3) ＋ 5＋ b ，将直线 l 1 沿 x 轴正方向平移 1 个单位长度，沿 y 轴负方向平移 2 个单位长度，则平移后的直线方程为 y ＝( －3－1) ＋＋ 5－ 2，即 y ＝ kx ＋3－4 ＋，∴ ＝3－ 4 k ＋，解得＝ 3 ，∴直k xbk bbbk 433113m线 l 的方程为 y ＝ 4x ＋ b ，直线 l 1 的方程为 y ＝ 4x ＋ 4 ＋ b ，取直线 l上的一点 P m ，b ＋ 4 ，则点 P 对于点 (2,4) 的对称点为 4－，8－－3m3m 311mb4 ，∴ 8－ b － 4 ＝ 4(4 － m ) ＋ b ＋ 4 ，解得 b ＝93 98. ∴直线 l 的方程是 y ＝ 4x ＋ 8，即 6x － 8y ＋ 9＝0.。

2019版数学一轮高中全程复习方略课时作业49两条直线的位置关系与距离公式+Word版含解析.docx

课时作业49两条直线的位置关系与距离公式［授课提示：对应学生用书第250页］一、选择题1 •直线/过点（2,2）,且点（5,1）到直线/的距离为価,则直线I 的方程是（）A. 3x+y+4 = 0B. 3x —y+4 = 0C ・ 3兀—y —4 = 0D ・兀―3y —4 = 0解析：由已知，设直线/的方程为y —2=力（兀一2）,即kx —y+2 — 2k=0,所答案:C2. （2018-广东揭阳一模）若直线mx+2y+m = 0与直线3处+伽一1）尹+7 = 0平行，则加的值为（）A. 7B. 0或7C. 0D. 4解析：T 直线 mx-\-2y-\-m = 0 与直线— l ）y+7 = 0 平行，加一1）=3加X2,・••加=0 或 7, 经检验，都符合题意.故选B. 答案：B3・（2018-沈阳一模）已知倾斜角为a 的直线I 与直线x+2尹一3 = 0垂直，则 cos 「丿的值为（）A 4厂 4 A 亏B ・-5C ・ 1 D. —22015 宀、-2~~71 ~2al= — sin2a =答案：B4. （2018-江西南昌模拟，4）直线（2加+1）兀+（加+1妙一7加一4 = 0过定点（）A. （1, -3）B. （4,3） C ・（3,1） D. （2,3）解析：2inx +x+my-\-y —Im —4 = 0,即（2兀+尹一7）加+（x+y —4） = 0, ［2x+y=7, fx=3,\5k — 1 +2 — 2k\y/k 2+(—l)2=Vio ,解得k=3,所以直线/的方程为3x->—4 = 0. —2tanc ( 4 tan 2«+l _ 5' 故选B. —2sinacosasin%+cos%解析：由已知得tana = 2,则cos由［x+y=4解得［=1 则直线过定点（3,1），故选C.答案：C5.己知点P（T,1）与点0（3,5）关于直线/对称，则直线/的方程为（）A・x—尹+1=0 B.兀―p=0C・ x+y—4 = 0 D. x+p=0解析：线段P0的中点坐标为(1,3),直线P0的斜率你°=1,・・・直线/的斜率Q= —1,・••直线/的方程为x+y —4 = 0.答案：C6. (2018-厦门一模)“c=5”是“点(2,1)到直线3x+4y+c=0的距离为3” 的() A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件解析：由点(2,1)到直线3x+4y+c=0的距离rf=^^=^=3,解得c=5或 c=—25,故“c=5”是“点(2,1)到直线3x+4y+c=0的距离为3”的充分不必要条件，选B.答案：B7・已知P ：直线厶：x~y — 1 =0与直线％： x-\-ay —2=0平行，Q ： a — — 1, 则尸是0的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件解析：由于直线厶：x~y —1=0与直线？2： x-\ray —2 = 0平行的充要条件是 lXf/-(-l)Xl=0,即a=-l.所以P 是0的充要条件.答案:A8. (2018-宁夏银川二模，3)若直线厶：x+ay+6=0 与伍：(a~2)x+3y+2a =0平行，则厶与/2间的距离为()A.迈B 呼C.V3 D 罟解析：由 1}//12 得(Q —2)G =1X3,且 Q X2Q H3X6,解得 a=~\, . 2・\ 1\: X —尹+6 = 0, I2： X —尹+亍=0,1\ 与 11 间的距离〃=寸]? +(_])2— 3 故选B. 答案:B9. (2018 ±海一模)坐标原点(0,0)关于直线x-2y+2 = 0对称的点的坐标是(4 8) B •匕，—P (4 8) 5j解析：直线x —2y+2 = 0的斜率k=*,设坐标原点(0,0)关于直线x~2y+22 | 2 0=0对称的点的坐标是（xo,为），依题意可得『2-》o=—2xo8A /2解得r 4Xo= —58P=5/ 4 8、即所求点的坐标是（一勺•选A.答案：A10.（2018-河南安阳一模）两条平行线/], <2分别过点卩（一1,2）, 2（2, -3）, 它们分别绕P, Q旋转,但始终保持平行，则厶，间距离的取值范围是（）A. （5, +®）B・（0,5]C・（回,+8）D・（0,回]解析：当卩0与平行线/i, “垂直时，尸01为平行线厶，％间的距离的最大值, 为寸（一]_2）2 + [2_（_3）尸=羽^,/./i,仏之间距离的取值范围是（0, ^34].故选D.答案：D二、填空题11. __ 直线Ax+3y+C= 0与直线2x-3y+4=0的交点在尹轴上，则C的值为・解析：因为两直线的交点在y轴上，所以点（0,守在第一条直线上，所以C =一4.答案：-412.已知直线厶的方程为3x+4y—7 = 0,直线<2的方程为6x+8p+l=0,则直线厶与/2的距离为________ •解析：°••直线人的方程为3兀+4尹一7 = 0,直线仏的方程为6x+8^+1 =0,即3x+4尹+*=0,2+7 3•:直线1\与直线的距离为3答案：|13.（2018-安徽池州月考）已知b>0,直线（b2+\）x+ay+2=0与直线x~b2y-1 =0互相垂直，则ab的最小值等于___________ ・解析:由题意知Q HO.T直线（/?2+ l）x+ay+2 = 0与直线x—h2y— 1 =0互相垂直，h2+l 1・•・_=•产T，ab」J（d>0）, 当且仅当b=l时取等号，:.ah的最小值等于2.答案：214.________________ 直线I过点P(—1,2)且到点2(2,3)和点8(—4,5)的距离相等,则直线I 的方程为__ .解析：法一：当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y-2=k(x+l),即kx—尹+k+2 = 0.L 听吉土3+'+2| |—4k—5+£+2|由题意知一即|3«—1| = |—3k—3|, :.k=—・：直线/的方程为y—2 = —*x+l),即x+3p—5 = 0.当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x= —1,也符合题意.法二：当AB//1时，有k=k A B= ~y直线/的方程为y—2=—*x+l),即x+3尹一5 = 0.当liiAB中点时，力3的中点为(-1,4)・・・・尸(一1,2),・・・斜率不存在.即直线/方程为x=-l.答案：x=— 1 或x~\~3y—5 = 0[能力挑战]15.(2018-江西南昌一模)已知力(1,2), 5(2,11),若直线y=(加一另r+1(加H0) 与线段相交，则实数加的取值范围是()A.[一2,0)U[3, +8)B.( — I -l]U(0,6]C.[-2, -1]U[3,6]D.[-2,0) U (0,6]解析：由题意得，两点力(1,2), B(2,ll)分布在直线y=(加一汀+1(加工0)的两侧(或其中一点在直线上)，2+ 1[2卜-£-11 + 卡0,解得一—1 或3W/W6,故选C.答案：C16. (201&广东广州一模)已知动肓线b ax+by+c~2=0(a>Q,少0)恒过点1 ?P(l, m), J4 0(4,0)到动肓线/o的最大距离为3,则石+：的最小值为( )A 9 ,9A-2 B4C. 1 D・ 9解析：动直线？o：ax+by+c—2 = 0(a>0, c>0)恒过点P(l，加)，a+bm + c _2 = 0.又0(4,0)到动直线/o的最大距离为3,AV(4-l)2 + (0-m)2 = 3,解得加=0. .•・a+c=2.又G>0, c>0,诘+!=*+)仕+|)詁3+2珞?）今4当且仅当c=2a=^时取等号.故选B.答案：B17. （2018-衡阳一模）已知点卩在直线x+3y-2 = 0±,点0在直线兀+3尹+ 6 = 0上，线段PQ的屮点为M（xo，yo），且刃）5）+2,贝呼的取值范围是________ •解析：依题意可得网端—刀=醃濡+®,化简得xo+3yo+2=O,又旳~0 +2,尤皿=学，在坐标轴上作出两直线，如图，当点M位于线段（不包括端点）上时，dw>0,当点M位于射线BN上除E点外时，kof—g.所以严的取值范围J x（）答案：—T U(0, +°°2\2 la c。

2019版高中全程练习方略课时提能演练：两条直线的位置关系(北师大版·数学理)

2019版高中全程练习方略课时提能演练：两条直线的位置关系（北师大版·数学理）此套题为Word 版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。

课时提能演练(五十二)(45分钟 100分)【一】选择题(每题6分，共36分)1.以下说法正确的选项是( )(A)假设直线l1与l2的斜率相等，那么l1∥l2(B)假设直线l1∥l2，那么l1与l2的斜率相等(C)假设一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，那么它们一定相交[来源:Z,xx,](D)假设直线l1与l2的斜率都不存在，那么l1∥l22.(2019·石家庄模拟)直线l1：ax ＋2y ＋1＝0与直线l2：(3－a)x －y ＋a ＝0，假设l1⊥l2，那么实数a 的值为( )(A)1 (B)2 (C)6 (D)1或2 3.(2019·合肥模拟)平面直角坐标系中直线y ＝2x ＋1关于点(1,1)对称的直线方程是( )(A)y ＝2x －1(B)y ＝－2x ＋1 (C)y ＝－2x ＋3 (D)y ＝2x －34.设两直线l1：x ＋y 1－cos θ＋b ＝0，l2：xsin θ＋y 1＋cos θ－a ＝0，θ∈(π，32π)，那么直线l1和l2的位置关系是( )(A)平行 (B)平行或重合(C)垂直 (D)相交但不一定垂直5.设△ABC 的一个顶点是A(3，－1)，∠B ，∠C 的平分线方程分别为x ＝0，y ＝x ，那么直线BC 的方程为( )(A)y ＝2x ＋5(B)y ＝2x ＋3 (C)y ＝3x ＋5 (D)y ＝－12x ＋526. (易错题)设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，a 、b 是关于x 的方程x2+x+c=0的两个实数根，且0≤c ≤18，那么这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为( ) (A)1224， (B)22,2 (C)12,2(D)21,22【二】填空题(每题6分，共18分) 7.经过点(－2,3)，且与直线2x ＋y －5＝0平行的直线方程为 .8.(2019·皖南八校联考)平面上三条直线x ＋2y －1＝0，x ＋1＝0，x ＋k y ＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，那么实数k 的所有取值为 .(将你认为所有正确的序号都填上)①0 ②12 ③1 ④2 ⑤39.1a ＋1b ＝1(a ＞0，b ＞0)，那么点(0，b)到直线3x －4y －a ＝0的距离的最小值是 .【三】解答题(每题15分，共30分)10.(2019·安徽高考)设直线l1：y ＝k1x ＋1，l2：y ＝k2x －1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.(1)证明l1与l2相交；(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上.11.两互相平行的直线分别过A(6,2)，B(－3，－1)，并且各自绕着A ，B 旋转，如果两条平行线间的距离为d.(1)求d 的变化范围；(2)求当d 取得最大值时的两条直线方程.【探究创新】(16分)在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，设函数f(x)＝k(x －2)＋3的图像为直线l ，且l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，探究正实数m 取何值时，使△AOB 的面积为m 的直线l 仅有一条；仅有两条；仅有三条；仅有四条.[来源:1ZXXK]答案解析1.【解析】选C.对于A ，D ，直线l1与l2还可能重合.∴A ，D 不正确；对于B ，l1与l2的斜率还可能都不存在，∴B 不正确，C 正确. 2.【解析】选D.∵1k l ＝－a 2，2k l ＝3－a ，∴－a 2(3－a)＝－1，解得a ＝1或2. 3.【解析】选D.在直线y ＝2x ＋1上任取两个点A(0,1)，B(1,3)，那么点A 关于点(1,1)对称的点M(2,1)，B 关于点(1,1)对称的点N(1，－1).由两点式求出对称直线MN 的方程y ＋11＋1＝x －12－1，即y ＝2x －3，应选D. 【方法技巧】对称问题的求解思路常见的各种对称问题，最终化归为点的对称问题.其中点关于直线的对称是最基本的对称，解决这类对称问题要抓住两条：一是点与对称点的连线与对称轴垂直；二是以点和对称点为端点的线段中点在对称轴上.4.【解析】选C.∵θ∈(π，32π)，∴sin θ＜0，又∵sin θ·1＋1－cos θ·1＋cos θ＝sin θ＋|sin θ|＝sin θ－sin θ＝0，故两直线垂直.5.【解析】选A.点A(3，－1)关于直线x ＝0，y ＝x 的对称点分别为A ′(－3，－1)，A ″(－1,3)，且都在直线BC 上，故得直线BC 的方程为：y ＝2x ＋5.6.【解析】选D.∵两条直线x+y+a=0和x+y+b=0间的距离b a d .2-=又∵a 、b 是关于x 的方程x2+x+c=0的两个实数根，∴a+b=-1，ab=c ，从而|b-a|=()2a b 4ab 14c.+-=-又∵0≤c ≤18，∴0≤4c ≤12，∴-12≤-4c ≤0， ∴12≤1-4c ≤1，∴dmax=22，dmin=12.[来源:1] 7.【解析】由题意得，直线的斜率为k ＝－2，∴所求直线方程为y －3＝－2(x ＋2)，即2x ＋y ＋1＝0.答案：2x ＋y ＋1＝0 【变式备选】〝a ＝2〞是〝直线ax ＋2y ＝0与直线x ＋y ＝1平行〞的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件【解析】选C.当a ＝2时，直线ax ＋2y ＝0即x ＋y ＝0与直线x ＋y ＝1平行；当直线ax ＋2y ＝0与直线x ＋y ＝1平行时，－a 2＝－1，a ＝2.综上所述，〝a ＝2〞是〝直线ax ＋2y ＝0与直线x ＋y ＝1平行〞的充要条件.8.【解题指南】根据三条直线将平面划分为六部分，弄清三直线的位置关系是解题的关键.【解析】∵三直线将平面划分为六部分，∴三直线交于一点或其中两条平行线和第三条相交，验证知k ＝0,1,2满足题意.故①③④正确.答案：①③④9.【解题指南】先利用点到直线的距离公式将距离表示为关于a ，b 的关系式，将条件代入，利用不等式求最值.【解析】点(0，b)到直线3x －4y －a ＝0的距离为 d ＝|3×0－4b －a|32＋(－4)2＝a ＋4b 5＝a ＋4b 5·(1a ＋1b ) ＝15(5＋4b a ＋a b )≥15×(5＋4)＝95. 当且仅当4b a ＝a b ，即a ＝3，b ＝32时取等号.答案：9510.【解题指南】(1)注意两直线相交的定义，可用反证法；先假设l1与l2不相交，之后推出矛盾.(2)可以求出交点，代入方程；也可消去参数k1、k2，得出椭圆方程.【证明】(1)(反证法)假设l1与l2不相交，那么l1与l2平行，有k1＝k 2，代入k1k2＋2＝0，得k12＋2＝0.[来源:学§科§网Z §X §X §K]此与k1为实数的事实相矛盾.从而k1≠k2，即l1与l2相交.(2)方法一：由方程组12y k x 1y k x 1=+⎧⎨=-⎩得2121212x k k k k y k k ⎧=⎪-⎪⎨+⎪=⎪-⎩ 得交点P 的坐标(x ，y)为(2k2－k1，k2＋k1k2－k1) 而2x2＋y2＝22212121k k 22()+()k k k k +-- 此即说明交点在椭圆2x2＋y2＝1上.方法二：交点P 的坐标(x ，y)满足12y k x 1y k x 1=+⎧⎨=-⎩，显然x ≠0，从而12y 1k x y 1k x -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，代入k1k2＋2＝0，得y －1x ·y ＋1x ＋2＝0，整理得：2x2＋y2＝1，所以交点P 在椭圆2x2＋y2＝1上.11.【解析】(1)当两直线的斜率都不存在时，两直线方程分别为x ＝6，x ＝－3，此时d ＝9；当两直线斜率存在时，设两条直线方程分别为y ＝kx ＋b1，和y ＝kx ＋b2，那么1226k b 13k b =+⎧⎨-=-+⎩即12b 26k b 3k 1=-⎧⎨=-⎩，而d ＝1222|b b ||9k 3|1k 1k --++= ∴d2＋d2k2＝81k2－54k ＋9，即(81－d2)k2－54k ＋9－d2＝0，由于k ∈R ，∴Δ＝542－4(81－d2)(9－d2)≥0，整理得4d2(90－d2)≥0，∴0＜d ≤310.综上0＜d ≤310.(2)因为d ＝310时，k ＝－3，故两直线的方程分别为3x ＋y －20＝0和3x ＋y ＋10＝0.【探究创新】【解析】显然直线f(x)＝k(x －2)＋3与x 轴、y 轴的交点坐标分别为A (2－3k ，0)，B(0,3－2k)；当k ＜0时，△AOB 的面积为12(2－3k )(3－2k)，依题意得，12(2－3k )(3－2k)＝m ，即4k2－(12－2m)k ＋9＝0.[来源:Z|xx|]又因为Δ＝[－(12－2m)]2－4×4×9，且m ＞0，所以，m ＝12时，k 值唯一，此时直线l 唯一；m ＞12时，k 值为两个负值，此时直线l 有两条；当k ＞0时，△AOB 的面积为－12(2－3k )(3－2k)，依题意得，－12(2－3k )(3－2k)＝m ，即4k2－(12＋2m)k ＋9＝0，又因为Δ＝[－(12＋2m)]2－4×4×9＝4m2＋48m ，且m ＞0，所以Δ＞0，对于任意的m ＞0，方程总有两个不同的解且都大于零，此时有两条直线；综上可知：不存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有一条；当0＜m＜12时，直线l有两条；当m＝12时，直线l有三条；当m＞12时，直线l有四条.。

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