第四章 第6课时 角
高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第6讲 正弦定理和余弦定理 第2课时 正、余弦定理的综
第2课时 正、余弦定理的综合问题与三角形面积有关的问题(多维探究) 角度一 计算三角形的面积(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为．(2)(2020·某某五校第二次联考)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a 2＋b 2－c 2＝3ab ，且ac sin B ＝23sin C ，则△ABC 的面积为．【解析】 (1)法一：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以△ABC 的面积S ＝12ac sinB ＝12×43×23×sin π3＝6 3.法二：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以a 2＝b 2＋c 2，所以A ＝π2，所以△ABC的面积S ＝12×23×6＝6 3.(2)因为a 2＋b 2－c 2＝3ab ，所以由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝3ab 2ab ＝32，又0＜C ＜π，所以C ＝π6.因为ac sin B ＝23sin C ，所以结合正弦定理可得abc ＝23c ，所以ab ＝2 3.故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×23sin π6＝32. 【答案】 (1)6 3 (2)32求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．角度二 已知三角形的面积解三角形(2020·某某五市十校共同体联考改编)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，(3b －a )cos C ＝c cos A ，c 是a ，b 的等比中项，且△ABC 的面积为32，则ab＝，a ＋b ＝．【解析】 因为(3b －a )cos C ＝c cos A ，所以利用正弦定理可得3sin B cos C ＝sin A cosC ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sinB ．又因为sin B ≠0，所以cosC ＝13，则C为锐角，所以sin C ＝223.由△ABC 的面积为32，可得12ab sin C ＝32，所以abc 是a ，b的等比中项可得c 2＝ab ，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以(a ＋b )2＝113ab ＝33，所以a ＋b ＝33.【答案】 933已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． [注意] 正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．1．(2020·某某市模拟考试)在△ABC 中，AC ＝5，BC ＝10，cos A ＝255，则△ABC的面积为( )A.52 B ．5C ．10D ．102解析：选A.由AC ＝5，BC ＝10，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AC ·AB cos A ，得AB 2－4AB －5＝0，解得AB ＝5，而sin A ＝1－cos 2A ＝55，故S △ABC ＝12×5×5×55＝52.选A. 2．(2020·某某市统一模拟考试)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin(A ＋B )＝c sin B ＋C2.(1)求A ；(2)若△ABC 的面积为3，周长为8，求a . 解：(1)由题设得a sin C ＝c cos A2，由正弦定理得sin A sin C ＝sin C cos A2，所以sin A ＝cos A2，所以2sin A 2cos A 2＝cos A 2，所以sin A 2＝12，所以A ＝60°.(2)由题设得12bc sin A ＝3，从而bc ＝4.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝(b ＋c )2－12. 又a ＋b ＋c ＝8，所以a 2＝(8－a )2－12，解得a ＝134.三角形面积或周长的最值(X 围)问题(师生共研)(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sinA ＋C2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值X 围． 【解】 (1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C2＝sin B sin A .因为sin A ≠0，所以sinA ＋C2＝sin B .由A ＋B ＋C ＝180°，可得sinA ＋C2＝cos B 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2.因为cos B 2≠0，故sin B 2＝12，因此B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a .由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin （120°－C ）sin C ＝32tan C ＋12. 由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°. 由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°<C <90°，故12<a <2，从而38<S △ABC <32.因此，△ABC 面积的取值X 围是⎝⎛⎭⎪⎫38，32.求有关三角形面积或周长的最值(X 围)问题在解决求有关三角形面积或周长的最值(X 围)问题时，一般将其转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．(一题多解)(2020·某某市质量检测)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若角A ，B ，C 成等差数列，且b ＝32. (1)求△ABC 外接圆的直径； (2)求a ＋c 的取值X 围．解：(1)因为角A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C ， 又因为A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3.根据正弦定理得，△ABC 的外接圆直径2R ＝bsin B ＝32sinπ3＝1.(2)法一：由B ＝π3，知A ＋C ＝2π3，可得0＜A ＜2π3.由(1)知△ABC 的外接圆直径为1，根据正弦定理得， asin A ＝bsin B ＝csin C ＝1，所以a ＋c ＝sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A＝3⎝⎛⎭⎪⎫32sin A ＋12cos A＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6. 因为0＜A ＜2π3，所以π6＜A ＋π6＜5π6.所以12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤1， 从而32＜3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤3，所以a ＋c 的取值X 围是⎝⎛⎦⎥⎤32，3. 法二：由(1)知，B ＝π3，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－3ac≥(a ＋c )2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝14(a ＋c )2(当且仅当a ＝c 时，取等号)，因为b ＝32，所以(a ＋c )2≤3，即a ＋c ≤3，又三角形两边之和大于第三边，所以32＜a ＋c ≤3， 所以a ＋c 的取值X 围是⎝⎛⎦⎥⎤32，3.解三角形与三角函数的综合应用(师生共研)(2020·某某省五市十校联考)已知向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(cos x ，3cos x )，x ∈R ，设函数f (x )＝m ·n ＋12.(1)求函数f (x )的解析式及单调递增区间；(2)设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若f (A )＝2，b ＋c ＝22，△ABC 的面积为12，求a 的值．【解】 (1)由题意知，f (x )＝cos 2x ＋3sin x cos x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1.令2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z . (2)因为f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋1＝2，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝1.因为0＜A ＜π，所以π6＜2A ＋π6＜13π6，所以2A ＋π6＝π2，即A ＝π6.由△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12，得bc ＝2，又b ＋c ＝22，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )， 解得a ＝3－1.标注条件，合理建模解决三角函数的应用问题，无论是实际应用问题还是三角函数与解三角形相结合的问题，关键是准确找出题中的条件并在三角形中进行准确标注，然后根据条件和所求建立相应的数学模型，转化为可利用正弦定理或余弦定理解决的问题．△ABC 中的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2a －2c cos B .(1)求角C 的大小；(2)求3cos A ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3的最大值，并求出取得最大值时角A ，B 的值．解：(1)法一：在△ABC 中，由正弦定理可知sin B ＝2sin A －2sin C cos B ， 又A ＋B ＋C ＝π，则sin A ＝sin (π－(B ＋C ))＝sin(B ＋C )，于是有sin B ＝2sin(B ＋C )－2sin C cos B ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C －2sin C cos B ，整理得sin B ＝2sin B cos C ，又sin B ≠0， 则cos C ＝12，因为0<C <π，则C ＝π3.法二：由题可得b ＝2a －2c ·a 2＋c 2－b 22ac，整理得a 2＋b 2－c 2＝ab ，即cos C ＝12，因为0<C <π，则C ＝π3.(2)由(1)知C ＝π3，则B ＋π3＝π－A ，于是3cos A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝3cos A ＋sin (π－A )＝3cos A ＋sin A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3，因为A ＝2π3－B ，所以0<A <2π3，所以π3<A ＋π3<π，故当A ＝π6时，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3的最大值为2，此时B ＝π2.[基础题组练]1．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝7，c ＝4，cos A ＝74，则△ABC 的面积等于( )A ．37B.372C ．9D ．92解析：选B.因为cos A ＝74，则sin A ＝34，所以S △ABC ＝12×bc sin A ＝372，故选B. 2．在△ABC 中，已知C ＝π3，b ＝4，△ABC 的面积为23，则c ＝( )A ．27 B.7 C ．2 2D ．2 3解析：选D.由S ＝12ab sin C ＝2a ×32＝23，解得a ＝2，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝12，故c ＝2 3.3．(2020·某某三市联考)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，sin A ∶sin B ＝1∶3，c ＝2cos C ＝3，则△ABC 的周长为( )A ．3＋3 3B ．2 3C ．3＋2 3D ．3＋ 3解析：选C.因为sin A ∶sin B ＝1∶3，所以b ＝3a ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋（3a ）2－c 22a ×3a＝32，又c ＝3，所以a ＝3，b ＝3，所以△ABC 的周长为3＋23，故选C.4．(2020·某某师大附中4月模拟)若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝2，c ＝5，△ABC 的面积S ＝52cos A ，则a ＝( ) A ．1 B. 5 C.13D ．17解析：选A.因为b ＝2，c ＝5，S ＝52cos A ＝12bc sin A ＝5sin A ，所以sin A ＝12cos A .所以sin 2A ＋cos 2A ＝14cos 2A ＋cos 2A ＝54cos 2A cos A ＝255.所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋5－2×2×5×255＝9－8＝1，所以a A.5．(2020·某某市定位考试)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为43，且2b cos A ＋a ＝2c ，a ＋c ＝8，则其周长为( )A ．10B ．12C ．8＋ 3D ．8＋2 3解析：选B.因为△ABC 的面积为43，所以12ac sin B ＝4 3.因为2b cos A ＋a ＝2c ，所以由正弦定理得2sin B cos A ＋sin A ＝2sin C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以2sin B cos A ＋sin A ＝2sin A cos B ＋2cos A sin B ，所以sin A ＝2cos B ·sin A ，因为sin A ≠0，所以cos B ＝12，因为0＜B ＜π，所以B ＝π3，所以ac ＝16，又a ＋c ＝8，所以a ＝c ＝4，所以△ABC 为正三角形，所以△ABC B.6．在△ABC 中，A ＝π4，b 2sin C ＝42sin B ，则△ABC 的面积为．解析：因为b 2sin C ＝42sin B ，所以b 2c ＝42b ，所以bc ＝42，S △ABC ＝12bc sin A ＝12×42×22＝2. 答案：27．(2020·某某某某五校协作体期中改编)在△ABC 中，A ＝π3，b ＝4，a ＝23，则B ＝，△ABC 的面积等于．解析：△ABC 中，由正弦定理得sin B ＝b sin Aa ＝4×sinπ323B 为三角形的内角，所以B＝π2，所以c ＝b 2－a 2＝42－（23）2＝2， 所以S △ABC ＝12×2×23＝2 3.答案：π22 38．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且B 为锐角，若sin A sin B ＝5c2b，sinB ＝74，S △ABC ＝574，则b 的值为． 解析：由sin A sin B ＝5c 2b ⇒a b ＝5c 2b ⇒a ＝52c ，①由S △ABC ＝12ac sin B ＝574且sin B ＝74得12ac ＝5，②联立①，②得a ＝5，且c ＝2. 由sin B ＝74且B 为锐角知cos B ＝34， 由余弦定理知b 2＝25＋4－2×5×2×34＝14，b ＝14.答案：149．在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a .(1)求sin C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．解：(1)在△ABC 中，因为∠A ＝60°，c ＝37a ，所以由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝37×32＝3314. (2)因为a ＝7，所以c ＝37×7＝3.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得72＝b 2＋32－2b ×3×12，解得b ＝8或b ＝－5(舍)．所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×8×3×32＝6 3.10．(2020·某某五校第二次联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3a cos C ＝(2b －3c )cos A .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由正弦定理可得，3sin A cos C ＝2sin B cos A －3sin C cos A ， 从而3sin(A ＋C )＝2sin B cos A ， 即3sin B ＝2sin B cos A .又B 为三角形的内角，所以sin B ≠0，于是cos A ＝32， 又A 为三角形的内角，所以A ＝π6.(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋c 2－2bc ×32≥2bc －3bc ， 所以bc ≤4(2＋3)，所以S △ABC ＝12bc sin A ≤2＋3，故△ABC 面积的最大值为2＋ 3.[综合题组练]1．(2020·某某市诊断测试)在平面四边形ABCD 中，∠D ＝90°，∠BAD ＝120°，AD ＝1，AC ＝2，AB ＝3，则BC ＝( )A. 5B. 6C.7D ．2 2解析：选C.如图，在△ACD 中，∠D ＝90°，AD ＝1，AC ＝2，所以∠CAD ＝60°.又∠BAD ＝120°，所以∠BAC ＝∠BAD －∠CAD ＝60°.在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝7，所以BC ＝7.故选C.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，a sin A ＋b sin B －c sin C sin B sin C ＝233a ，a ＝2 3.若b ∈[1，3]，则c 的最小值为．解析：由a sin A ＋b sin B －c sin C sin B sin C ＝233a ，得a 2＋b 2－c 22ab ＝33sin C ．由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，即3cos C ＝3sin C ，所以tan C ＝3，故cos C ＝12，所以c 2＝b 2－23b ＋12＝(b －3)2＋9，因为b ∈[1，3]，所以当b ＝3时，c 取最小值3.答案：33．(2020·某某市学业质量调研)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为32ac cos B ，且sin A ＝3sin C . (1)求角B 的大小；(2)若c ＝2，AC 的中点为D ，求BD 的长． 解：(1)因为S △ABC ＝12ac sin B ＝32ac cos B ， 所以tan B ＝ 3.又0＜B ＜π，所以B ＝π3. (2)sin A ＝3sin C ，由正弦定理得，a ＝3c ，所以a ＝6. 由余弦定理得，b 2＝62＋22－2×2×6×cos 60°＝28，所以b ＝27. 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（27）2＋22－622×2×27＝－714. 因为D 是AC 的中点，所以AD ＝7. 所以BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝22＋(7)2－2×2×7×⎝ ⎛⎭⎪⎫－714＝13. 所以BD ＝13.4．(2020·原创题)在△ABC 中，sin A ∶cos B ∶tan A ＝12∶16∶15.(1)求sin C ；(2)若AB ＝8，点D 为△ABC 外接圆上的动点，求DA →·DC →的最大值．解：(1)由sin A ∶tan A ＝12∶15，得cos A ＝45，故sin A ＝35，所以由sin A ∶cos B ＝12∶16，得cos B ＝45，故sin B ＝35，于是sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝2425. (2)在△ABC 中，由AC sin B ＝ABsin C，解得AC ＝5，由A ，B ，C ，D 四点共圆及题干条件，可知∠ADC ＝∠ABC 时DA →·DC →取得最大值， 设DA ＝m ，DC ＝n ，在△DAC 中，由余弦定理的推论得cos ∠ADC ＝m 2＋n 2－522mn ＝45， 故85mn ＝m 2＋n 2－25≥2mn －25， 解得mn ≤1252， 故DA →·DC →＝45mn ≤45×1252＝50， 当且仅当m ＝n ＝5102时，等号成立， 故DA →·DC →的最大值为50.。
北师大数学四年级上册第6课时 角的度量(二)教案与反思
第6课时角的度量(二)第7课时知人者智，自知者明。
《老子》第8课时原创不容易，【关注】，不迷路！第9课时【教学目标】1.使学生会用量角器按指定度画角。
2.使学生学会用三角尺画一些特殊度数的角,经历画角和练习的全过程,进一步巩固角的有关知识。
3.培养学生的动手实践能力和探索精神。
4.使学生得到美的教育,体验到数学美。
【教学重难点】1.指导学生掌握用量角器画角的方法。
2.准确画出指定度数的角。
【教学方法】讲授法,练习法。
【教学准备】三角板,量角器等。
一、导入新课1.说出下面的角各是哪一种角。
出示角的图(图略)。
2.我们已经认识角,会用量角器量角,会进行角的分类,怎样画角呢?今天我们来学习画角。
板书课题:角的度量(二)二、新课学习(一)明确画角的工具。
师:画线段用什么工具?画一个指定的角(如60°的角)用什么工具呢?(二)估一估,并量出下面两个角(角略)的度数,说说你是怎么量的。
先让每个学生估一估两个角的度数并交流估计的方法。
学生可能要与量角器上的某部分进行比较,也可能用上一节课体会到的45°,90°角为标准进行估计,也可能根据锐角和钝角的特性进行估计,这些方法都可以。
目的是发展估计意识和多样化策略,培养学生对角大小的直觉。
接着提出进一步独立探索的任务:用量角器画出这两个角,你觉得哪一步很关键,要提醒同伴注意什么?注意给学生充分的自主探索的时间,教师对有困难的学生给予个别指导。
最后以小组为单位,先梳理量角的方法,再全班交流,归纳概括方法,并追问这个角究竟是70°还是110°,明晰把角的一条边与哪个方向的零刻度线重合,就沿着这个方向从0开始找到另一条边所指的刻度。
这个地方学生往往出错,建议教师制作课件演示,让问题的解决过程更鲜明。
还要注意帮助学生提升,如量角的过程实质上就是使要测量的角与量角器的某个角重合的过程。
(三)(1)让优秀学生到黑板来画角,并一边画一边讲解。
八年级(上)第四章 数量、位置的变化 第6课时 平面直角坐标系(3)
第6课时平面直角坐标系(3)（附答案）【基础巩固】1．平行于x轴的直线上的任意两点的坐标之间的关系是 ( )A．横坐标相等 B．纵坐标相等C．横坐标和纵坐标都相等D．以上都不对2．矩形ABCD中，三点的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(5，3)，则第四点的坐标是 ( ) A．(0，3) B．(3，0) C．(0，5) D．(5，0)3．在平面直角坐标系中，顺次连接(2，3)， (－2，3)，(－4，－2)，（4，－2）所成的四边形是 ( )A．平行四边形 B．矩形 C．菱形D．等腰梯形4．已知等边三角形ABC的两个顶点坐标为A(－4，0)、B(2，0)，则点C的坐标为_______，△ABC的面积为_______．5．平行四边形ABCD，AD＝6，AB＝8，点A的坐标为（－3，0），求B、C、D各点的坐标．6．已知有一个内角为60°的菱形的边长为5，取两条对角线所在的直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，试求四个顶点的坐标．（注：分两种情形建立平面直角坐标系）7．已知A、B、C、D、E五个点的位置如图所示，试建立适当的直角坐标系，并写出点A、B、C、D、E各点的坐标．8．如图是某商场的各个柜台分布平面示意图，请建立合适的直角坐标系，标出各个柜台的坐标．【拓展提优】9．已知点P的坐标为(m，n)，O为坐标原点，连接OP，将线段OP绕O点顺时针旋转90°得OP'，则点P'的坐标为_______．10．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，A(10，0)，C(0，3)，点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标可以是 _______．11．如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2012次，依次得到点P1，P2，P3，…，P2012，则点P2012的坐标是_______．12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A (0，1)，B(－1，1)，C( －1，3)．(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；(2)画出△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；(3)将△A 2B 2C 2平移得到△A 3B 3C 3，使点A 2的对应点是A 3，点B 2的对应点是B 3，点C 2的对应点是C 3(4，－1)，在坐标系中画出△A 3B 3C 3，并写出点A 3、B 3的坐标．13．如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，每个小方格的边长为1个单位长度，在第一象限内有横、纵坐标均为整数的A 、B 两点，且OA ＝OB (1)写出A 、B 两点的坐标；(2)画出线段AB 绕点O 旋转一周所形成的图形，并求其面积（结果保留π）．14．如图，在直角坐标系中，已知点M 0的坐标为(1，00)，将线段OM 0绕原点O 沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M 1，使得M 1M 0⊥OM 0，得到线段OM 1；又将线段OM 1绕原点O 沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M 2，使得M 2M 1⊥OM 1，得到线段OM 2，如此下去，得到线段OM 3，OM 4，…，OM n ．(1)写出点M 5的坐标； (2)求△M 5OM 6的周长；(3)我们规定：把点M n (x n ，y n )(n ＝0，1，2，3，…)的横坐标x n ，纵坐标yn 都取绝对值后得到的新坐标(n x ，n y ）称之为点M n 的“绝对坐标”．根据图中点M n 的分布规律，请你猜想点M n的“绝对坐标”，并写出来．15．在平面直角坐标系中有点A(－2，2)，B(3，2)，C是坐标轴上的一点，已知△ABC是直角三角形，求C点坐标．参考答案【基础巩固】1．B 2．A 3．D 4．(－1，或（－1，－，5．B(5，0)C(8，，D（0，6～8．略【拓展提优】9(n，－m) 10．(4，3)，(1，3)，(9，3) 11．(402312．(1)C1（－1，－3）图略(2)C2(3，1) 图略 (3)A3(2，－2)， B3(2，－1) 图略13．(1)A、B两点的坐标分别为A(3，1)、B(1，3)或A(1，3)、B(3，1) （2)画图（如图）．2π14．(1)(－4，－4) (2)8＋(3)略15．满足条件的点C共有6个．∵A，B的纵坐标相等，∴AB∥x轴，AB=3-（-2）=5．∵C是坐标轴上的一点，过点A向x轴引垂线，可得一点，过点B向x轴引垂线，可得一点，以AB为直径作圆可与坐标轴交于4点．∴根据直径所对的圆周角是90°，满足条件的点共有4个，为C，D，E，H．加上A、B共6个．。
北师大版小学数学四年级上册第二单元《第6课时：角的度量(二)》教学课件PPT
• 三级
– 四级 » 五级
略。
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•2.单用击量角此器处量编一辑量母三版角文尺上本每样个式角各是多少度。
– 二级
• 三级 3–0°四级
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45°
90° 60°
45°
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•3.单用击先估此一处估编下辑图母中版各文角的本度样数式，然后量一量，
» 五级
2 课时流程
探索 新知
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课堂 小结
当堂 检测
课后 作业
2
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同学们，夏天你们经常会用折扇扇风吧？那么怎
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样可以测量折扇的开合角度呢？
– 二级
• 三级
– 四级 » 五级
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3
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探究点1 认识量角器
( 中心点 )重合，再把( 零刻度线 )与角的一条边
重合，然后再看角的另一条边对准哪个度数。
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• 单2．击填此写下处面编量辑角母器上版对文应本角的样度式数。
– 二级
• 三级
– 四级 » 五级
( 140°)
பைடு நூலகம்
( 20°)
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你– 的二方级法。
• 三级
– 四级 » 五级
60°
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小试牛刀
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教科版高中物理必修第一册精品课件 第4章 牛顿运动定律 第6节 牛顿运动定律的应用
a= 7s =0.13 m/s2。
根据牛顿第二定律 F=ma=(m1+m2)a 得
m2=-m1=3 500 kg
3.(从受力确定运动情况)如图所示,哈利法塔是目前世界最高的建筑。游
客乘坐世界最快观光电梯,从地面开始经历加速、匀速、减速的过程恰好
到达观景台只需45 s,运行的最大速度为18 m/s。观景台上可以鸟瞰整个迪
答案:(1)22 kg
(2)1 s
解析:(1)对木箱受力分析,由平衡条件得
Fsin37°+N=mg
Fcos37°=f
f=μN
解得m=22 kg
(2)木箱匀减速运动过程由牛顿第二定律和运动学公式得
μmg=ma
0=v-at
解得t=1 s
根据受力求加速度的常用方法有合成法和正交分解法。
【变式训练1】 滑冰车是儿童喜欢的冰上娱乐项目之一。如图所示,小
2.通过处理生产生活中的相关问题,培养科学态度及责任。
自主预习·新知导
学
牛顿运动定律的应用
1.动力学方法测质量:根据物体的受力情况和运动情况求出加速度,利用
牛顿第二定律求出质量。
2.从受力确定运动情况:根据物体受力情况,由牛顿第二定律求出加速度,
通过运动学规律可确定物体的运动情况。
3.从运动情况确定受力:由运动情况,根据运动学公式求出物体的加速度,
拜全景,可将棕榈岛、帆船酒店等尽收眼底,颇为壮观。一位游客用便携式
拉力传感器测得:在加速阶段质量为0.5 kg的物体受到的竖直向上的拉力
为5.45 N。电梯加速、减速过程视为匀变速直线运动(g取10 m/s2)。
(1)求电梯加速阶段的加速度大小及加速运动的时间;
北师大版数学四年级上册第6课时 角的度量(二)
第6课时角的度量（二）
物以类聚，人以群分。
《易经》
如海学校陈泽学
一、填一填。
1.测量角的工具是（）。
2.用量角器量角时，要先把量角器的中心与角的（）重合，把量角器的（）与角的一条边重合。
二、辨一辨。
1.量角的度数时，只要让量角器的0刻度线和角的一条边重合就可以了。
（）
2.读角的时候，对照量角器内圈的刻度读数就是角的度数。
（）
三、用量角器画出下面各角。
75° 165° 30° 105°
参考答案：
一、1.量角器 2.顶点 0刻度线
二、1.× 2.×
三、略
【素材积累】
辛弃疾忧国忧民辛弃疾曾写《美芹十论》献给宋孝宗。
论文前三篇详细分析了北方人民对女真统治者的怨恨，以及女真统治集团内部的尖锐矛盾。
后七篇就南宋方面应如何充实国力，积极准备，及时完成统一中国的事业等问题，提出了一些具体的规划。
但是当时宋金议和刚确定，朝廷没有采纳他的建议。
高三一轮总复习高效讲义第4章第6节正弦定理、余弦定理及应用举例课件
[对点练]
1．在△ ABC中，c－2ca
＝sin
2B 2
(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则
△ ABC的形状为( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：由cos
B＝1－2sin
2B 2
得sin
2B 2
＝1－co2s
B ，所以c－2ca ＝1－co2s
AE sin sin
45° 30°
＝
2AB cos 15°
，因此CD＝AD
sin
60°＝ cos
2×10 （45°－30°）
×sin 60°＝10(3－ 3 )．
答案：10(3－ 3 )
备考第 2 步——突破核心考点，提升关键能力
考点1 利用正弦定理、余弦定理解三角形[自主演练]
1．△ ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin
答案：BC
4．在△ ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝5，b>c， △ ABC的面积为5 3 ，则c＝________．
解析：由三角形面积公式，得12 ×4×5sin C＝5 3 ，
即sin
C＝
3 2
．又b>a，b>c，所以C为锐角，于是C＝60°．
由余弦定理，得c2＝42＋52－2×4×5cos 60°，解得c＝ 21 ．
3．(多选)在△ ABC中，角A，B，C所对的各边分别为a，b，c，若a＝1，b＝ 2 ，
A＝30°，则B等于( )
A．30°
B．45°
C．135°
D．150°
解析：根据正弦定理sina A ＝sinb B 得，
第四章 第6课时 实验六：探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系-2025物理大一轮复习讲义人教版
第6课时实验六：探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系目标要求 1.会用控制变量法探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系。
2.会用图像法处理数据。
考点一实验技能储备1．实验思路本实验需要探究向心力与多个物理量之间的关系，因而实验采用控制变量法，如图所示，匀速转动手柄，可以使塔轮、长槽和短槽匀速转动，槽内的小球也就随之做匀速圆周运动，此时小球向外挤压挡板，挡板对小球有一个向内的(指向圆周运动圆心)的弹力作为小球做匀速圆周运动的向心力，可以通过标尺上露出的红白相间等分标记，粗略计算出两球所需向心力的比值。
在实验过程中可以通过两个小球同时做圆周运动对照，分别分析下列情形：(1)在质量、半径一定的情况下，探究向心力大小与角速度的关系。
(2)在质量、角速度一定的情况下，探究向心力大小与半径的关系。
(3)在半径、角速度一定的情况下，探究向心力大小与质量的关系。
2．实验器材向心力演示器、小球。
3．实验过程(1)分别将两个质量相等的小球放在实验仪器的两个小槽中，且小球到转轴(即圆心)距离相同即圆周运动半径相同。
将皮带放置在适当位置使两转盘转动，记录不同角速度下的向心力大小(格数)。
(2)分别将两个质量相等的小球放在实验仪器的长槽和短槽两个小槽中，将皮带放置在适当位置使两转盘转动角速度相等、小球到转轴(即圆心)距离不同即圆周运动半径不等，记录不同半径下的向心力大小(格数)。
(3)分别将两个质量不相等的小球放在实验仪器的两个小槽中，且小球到转轴(即圆心)距离相同即圆周运动半径相等，将皮带放置在适当位置使两转盘转动角速度相等，记录不同质量下的向心力大小(格数)。
4．数据处理分别作出F n－ω2、F n－r、F n－m的图像，分析向心力大小与角速度、半径、质量之间的关系，并得出结论。
5．注意事项摇动手柄时应力求缓慢加速，注意观察其中一个标尺的格数。
达到预定格数时，即保持转速恒定，观察并记录其余读数。
例1(2023·浙江1月选考·16Ⅰ(2))“探究向心力大小的表达式”实验装置如图所示。
超实用高考数学专题复习：第四章三角函数解三角形 第6节第一课时正弦定理和余弦定理
A.直角三角形
B.等腰非等边三角形
C.等边三角形
D.钝角三角形
解析
(1)由cb<cos
A，得ssiinn
C B<cos
答案
(1)B
12 (2) 5
考点二 判断三角形的形状
【例2】 (1)(一题多解)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcos
C，则此三角形一定是( ) A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰三角形或直角三角形
(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，
【训练 2】 (1)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若cb<cos A，则△ABC
为( )
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.等边三角形
(2)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若ssiinn BA＝ac，(b＋c＋a)(b＋c
－a)＝3bc，则△ABC 的形状为( )
a＝bsin A __一__解___
bsin A<a<b __两__解___
a≥b __一__解___
a>b __一__解___
a≤b __无__解___
3.三角形常用面积公式 (1)S＝12a·ha(ha 表示 a 边上的高). (2)S＝12absin C＝12acsin B＝12bcsin A＝a4bRc. (3)S＝12r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径).
)
A. 13
B. 7
C. 37
D.6
(2)(2020·衡水模拟)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且有 a＝1，
中考数学复习第一部分考点梳理第四章三角形第6节解直角三角形及其应用 第2课时方向角与实物型问题
能力提升
-3-
第2课时 方向角与实物型问题
3.将一根橡皮筋两端固定在点A,B处,拉展成线段AB,拉动橡
皮筋上的一点P,直到△APB是顶角为120°的等腰三角形.若
AB＝6 cm,则橡皮筋被拉长了( C )
A.2 cm
B.4 cm
C.(4 －6)cm
D.(4－2 )cm
第3题图
基础过关
基础过关
能力提升
刻运动员头部G到斜坡AB的高度h.(结果精确到0.1 m,参考数
据:sin 62°≈0.88,
cos 62°≈0.47,
tan 62°≈1.88)
图1
图2
基础过关
能力提升
能力提升
-12-
第2课时 方向角与实物型问题
解:连接GE.
∵ED⊥AB,EF∥AB,
∴∠GEF＝∠EDM＝90°.
在Rt△GEF中,∠GFE＝62°,EF＝0.4 m,
∴GE＝EF·tan 62°≈0.4×1.88＝0.752(m).
在Rt△DEM中,∠EMD＝30°,EM＝1 m,
∴ED＝ EM＝0.5
m,
∴h＝GE+ED＝0.752+0.5≈1.3(m).
答:此刻运动员头部G到斜坡AB的高度h约为1.3 m.
基础过关
能力提升
能力提升
-13-
D.
米
°
基础过关
基础过关
能力提升
-2-
第2课时 方向角与实物型问题
2.(2021·浙江金华)如图是一架人字梯,已知AB＝AC＝2米,AC
与地面BC的夹角为α,则两梯脚之间的距离BC为( A )
A.4cos α米
2023年北师大版七年级下册数学第四章三角形第6课时探索三角形全等的条件(1)
·数学
知识点二：三角形全等的条件(SSS)的应用 如图，AB＝CD，BD＝AC，用三角形全等的条件“SSS”可 说明 △ABC ≌ △DCB 或 △ABD ≌ △DCA .
方法指引：若已知两边对应相等， 则找它们的第三边.
·数学 2.(人教8上P44)如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，试 说明：△ABD≌△ACD.
·数学
★12.如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，B，D，E三点 共线，试说明：∠3＝∠1＋∠2.
解：在△ABD和△ACE中， AB＝AC
ቐAD＝AE， BD＝CE
所以△ABD≌△ACE(SSS). 所以∠BAD＝∠1，∠ABD＝∠2. 因为∠3＝180°－∠BDA＝180°－(180°－∠BAD－∠ABD) ＝∠BAD＋∠ABD，所以∠3＝∠1＋∠2.
解：在△ABD和△ACD中，
AB＝AC ቐBD＝CD，
AD＝AD 所以△ABD≌△ACD(SP6)如图，三角形具有 四边形具有 不稳定性 .
·数学 稳定性 ，
(2)三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架 桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往 通过连接辅助线转化为三角形而获得.
解：因为BE＝CF，所以BC＝EF， 在△ABC和△DEF中，
AB＝DE ቐAC＝DF，
BC＝EF 所以△ABC≌△DEF(SSS).
·数学
8.【例4】(北师7下P111改编、人教8上P44改编)如图，点A， D，C，F在同一直线上，AB＝EF，AD＝CF，BC＝ED.试 说明：AB∥EF. 解：因为AD＝CF， 所以AD＋DC＝CF＋DC，即AC＝FD， 在△ABC和△FED中， AB＝FE，AC＝FD，BC＝ED， 所以△ABC≌△FED(SSS). 所以∠A＝∠F，所以AB∥EF.
《角》评课稿
《角》评课稿发表时间：2019-12-27T09:14:00.820Z 来源：《教育学文摘》2019年15期作者：杨粒萍[导读] 下面我将本节课教研组团队凝练的教育理念、教学模式、教学特色以及上课教师的展示过程与效果作简单的说明各位评委、老师：上午好！我评课的内容是《角》，这是华东师大版七年级上册第四章第六节的内容，是在学生原有角的静态概念基础上，通过丰富的实例，进一步认识与角有关的各种基本概念与关系。
下面我将本节课教研组团队凝练的教育理念、教学模式、教学特色以及上课教师的展示过程与效果作简单的说明。
一、团队磨课与研修方面：角与实际生活联系紧密，本节课的学习可以激发学生数学学习的兴趣，同时培养几何直观能力和数学运算能力。
考虑到借班上课，本节内容独立，不受前面“点、线”内容的影响，因此教研组与杨老师确定本次课题为《角》。
教研组对本次比赛积极准备，共进行了三次集体磨课。
第一次磨课：因本节课涉及概念较多，杨老师没有完成教学任务。
组内认真研究教材，应侧重学生学到什么而不是学到多少，于是决定把这节课分为2个课时，方位角留到第2课时。
本节课的重点是角的定义、表示方法和单位换算。
其次，每张PPT内容较多，应体现数学上的简洁美，并建议把模板改为学校的PPT模板，体现校园文化。
第二次磨课：杨老师设计了用量角器画角的教学活动，用时6分钟。
《教学大纲》明确指出：学生会用量角器画角。
教材也有要求“让学生说明如何用量角器测量角的大小”，所以这个环节我们认为不能删去，但本节课概念、知识点较多，为保证教学目标顺利完成并达到预期效果，我们决定“用量角器量角”这一内容放在第2课时。
为了使课堂更高效，组内建议杨老师充分利用信息技术，把几何画板运用起来。
第三次磨课：杨老师某些细节需要改进，如在讲授角的分类时语言不够严谨，讲授角的表示方法时语言不够简炼，学生回答问题出现的错误没有及时发现并纠正等。
二、教学过程方面：《课程标准》指出：学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。
2019秋人教版七年级数学上册教案：第四章6课题：角
1.教学重点
-角的定义与表示方法：理解角的产生及其表示方式，如顶点表示、两条边表示等；
-角的分类：掌握锐角、直角、钝角、周角的概念，并能够准确区分；
-角的度量：学会度、分、秒的换算关系，能够进行角的度量；
-角的加法与减法：理解并掌握角的加减运算规则，能够解决实际问题。
举例：
-通过直观图形，强调顶点与两条边构成角的关系；
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解角的基本概念。角是由两条射线的公共端点（顶点）和非公共部分组成的图形。它是平面几何的基本元素，广泛应用于生活中的各种场景。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过观察钟表，我们可以发现钟表的时针和分针形成不同类型的角，如锐角、直角、钝角等。
2019秋人教版七年级数学上册教案：第四章6课题：角
一、教学内容
2019秋人教版七年级数学上册教案：第四章6课题：角
本节课我们将学习以下内容：
1.角的定义与表示方法；
2.角的分类：锐角、直角、钝角、周角；
3.倍角与分数角的概念；
4.角的度量：度、分、秒；
5.角的加法与减法；
6.举例说明角在生活中的应用。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“角在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调角的分类和度量这两个重点。对于难点部分，如倍角与分数角的概念，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
北师版数学四年级上册第6课时 角的度量(二)
第5课时 角的度量（二）
说一说你知道的角的种类，它们分别有什么特点?
角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角； 特点：锐角大于0°小于90°，直角等于90°，钝角大于 90°小于180°，平角等于180°，周角等于360°。
度量角的大小通常用量角器。
量角器是把半圆 平均分成180份。
作业：P27第5、6题
是70°还是110°呢？
1
∠1＝ 70°
2
∠2＝ 110 °
怎么画一个60°的角呢？想一想，画一画，和同伴交流 你的方法。
我用量角器可以画 出任意度数的角。
60°
1.在量角器上找出70°，130°的角，分别在图上画出来。
130° 70°
2.用量角器量一量三角尺上每个角各是多少度。
30° 45°
90° 60°
45° 90°
3.先估一估下图中各角的度数，然后量一量，你估得准吗？
90°
150°Βιβλιοθήκη 45°首先确定角的顶点,通过顶点画 一条射线,作为角的起始边,然后使量 角器的中心点与射线的端点重合,使 射线与量角器的0刻度线对齐,找出 60度的刻度,画点,连接顶点与60度的 点画出角。
(1)首先,将角的顶点和量角器的中心点重 合,再把零刻度线与角的一边重合。(2)然 后沿着这个方向从0开始找到另一边所 指 的刻度。(3)读出这个刻度。
仔细观察，量 角器上有什么？
外圈刻度
刻度线 内圈刻度
外圈0刻度线 中心点 0刻度线
内圈0刻度线
认识了量角器，那你们能在量角器上找出50°和140°的角 吗？分别在图上画出来，并与同伴交流。
估一估，并量出下面两个角的度数，说说你是怎么量的。
二年级数学下册第6课时 角的初步认识及数据的收集与整理课件
例 下面是二（1）班部分学生的年龄统计情况。（单位 :岁）
画“正”字记录各年龄学生的人数，然后再填表。
8
5
2
融汇考点：会按一定的标准分类，会整理和表示数据。
在记录较多数据时，一般用画“正”字方法表 示数据比较方便。
九 期末复习
第6课时 角的初步认识及数据的收集与整理
苏教版 二年级下册
知识回顾
下图中各有几个角？
图（1）中直角有（ 2 ）个，锐角有（ 5 ）个，钝 角有（ 1 ）个。
（1）
（2）
分析与解答：首∠8；锐角比直角小，
有5个，分别是∠2、∠4、∠5、∠6、∠7；钝角有1
随堂演练
锐角
钝角
直角 直角
课堂小结
通过这节课的学习活动，你 有什么收获？
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
个，是∠3，如图（2）。
方法技巧：分类标 准不同，得到的结 果也不相同。
方法技巧：记录数据 有多种方法，一般用 画“正”字来记录数 据比较方便。一个 “正”字表示5个数据， 一笔才代表1个数据。
按不同的标准分一分，并把分类的 结果用自己喜欢的方法表示出来。
可以按颜色和形 状分类。
下面是王亮记录的同学们喜欢看的 课外书的情况：