一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—巩固练习(提高)

合集下载

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—巩固练习(基础)

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—稳固练习〔根底〕【稳固练习】一、选择题1.以下方程，有实数根的是( )A ．2x 2+x+1＝0B ．x 2+3x+21＝0C ．x 2-0.1x-1＝0D ．22230x x -+= 2．一元二次方程20(0)ax bc c a ++=≠有两个不相等的实数根，那么24b ac -满足的条件是〔〕 A ．240b ac -= B ．240b ac -> C ．240b ac -< D ．240b ac -≥3．关于x 的一元二次方程2620x x k -+=有两个不相等的实数根，那么实数k 的取值范围是〔〕A ．92k ≤B ．92k <C ．92k ≥D ．92k > 4．关于方程2230x x ++=的两根12,x x 的说法正确的选项是〔〕A.122x x +=B.123x x +=-C. 122x x +=-D.无实数根5．关于x 的一元二次方程x 2+4x+k=0有实数解，那么k 的取值范围是〔〕A.k≥4B.k≤4C .k ＞4 D.k=46．一元二次方程22630x x -+=的两根为α、β，那么2()αβ-的值为〔〕． A ．3 B ．6 C ．18 D ．24二、填空题7．关于x 的方程x 2-2x+k ＝0有实数根，那么k 的取值范围是________．8．3x 2-2x-1=0的二根为x 1，x 2，那么x 1+x 2=______，x 1x 2=______，1211x x +=••_______，• x 12+x 22=_______，x 1-x 2=________． 9．假设方程的两根是x 1、x 2，那么代数式的值是。

10．设一元二次方程2320x x --=的两根分别为1x 、2x ，以21x 、22x 为根的一元二次方程是________．11．一元二次方程x 2-6x+5-k=0•的根的判别式△=4，那么这个方程的根为_______．12．一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，那么这个两位数为___．三、解答题13．当k 为何值时，关于x 的方程x 2-(2k-1)x ＝-k 2+2k+3，(1)有两个不相等的实数根(2)有两个相等的实数根(3)没有实数根14.a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且方程(a 2+b 2)x 2-2cx+1＝0有两个相等的实数根．请你判断△ABC 的形状．15．： x 1、x 2是关于x 的方程x 2＋〔2a －1〕x ＋a 2＝0的两个实数根且〔x 1＋2〕〔x 2＋2〕＝11，求a 的值.【答案与解析】一、选择题1.【答案】C ；【解析】由根的判别式判定．2.【答案】B ；【解析】20ax bx c ++=(a ≠0)有两个不相等实数根240b ac ⇔->．3.【答案】B ；【解析】(-6)2-4×1×2k ＞0．解得92k <． 4.【答案】D ；【解析】求得Δ=b 2-4ac=-8＜0，此无实数根，应选D .5.【答案】B ；【解析】∵关于x 的一元二次方程x 2+4x+k=0有实数解，∴b 2﹣4ac=42﹣4×1×k≥0，解得：k≤4，应选B ．6.【答案】A ；【解析】由一元二次方程根与系数的关系得：3αβ+=，32αβ=，因此22()()4963αβαβαβ-=+-=-=．二、填空题7．【答案】k ≤1；【解析】由题意可知△＝2(2)41k --⨯≥0，-4k ≥-4，所以k ≤1． 8．【答案】； -； -2；； ±；【解析】x 1+x 2=，x 1x 2=-，+==-2， x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=+=，∵(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=+=，∴x 1-x 2=±.9．【答案】6；【解析】由一元二次方程根与系数的关系知：12122,3x x x x +=•=-，222121212121222()22()4646x x x x x x x x x x +--=+--+=+-=．10．【答案】21340y y -+=；【解析】由一元二次方程根与系数的关系知：123x x +=，122x x =-，从而2222121212()232(2)13x x x x x x +=+-=-⨯-=，22221212()(2)4x x x x ==-=，于是，所求方程为21340y y -+=．11．【答案】x 1=4，x 2=2.【解析】∵△=4，∴b 2-4ac=4，即x=，∴x 1=4，x 2=2．12．【答案】25或36；【解析】设十位数字为x,那么个位数字为〔x+3〕.依题意得〔x+3〕2=10x+(x+3),解得x 1=2，x 2=3．当x=2时，两位数是25；当x=3时，两位数是36.三、解答题13.【答案与解析】22(21)23x k x k k --=-++化为一般形式为：22(21)230x k x k k --+--=，∴1a =，(21)b k =--，223c k k =--．∴222224[(21)]41(23)4414812413b ac k k k k k k k k =-=---⨯⨯--=-+-++=+△． (1)假设方程有两个不相等的实数根，那么△＞0，即4130k +>．∴134k >-． (2)假设方程有两个相等的实数根，那么△＝0，即4130k +=，∴134k =-． (3)假设方程没有实数根，那么△＜0，即4130k +<，∴134k <-．答：当134k >-时，方程有两个不相等的实数根；当k ＝134-时，方程有两个相等的实数根；当134k <-，方程没有实数根． 14.【答案与解析】令22A a b =+，2B c =-，1C =，22244()c a b =-+△， ∵ 方程有两等根，∴△＝0，∴222c a b =+，∴△ABC 为直角三角形．15.【答案与解析】∵x 1、x 2是方程x 2＋〔2a －1〕x ＋a 2＝0的两个实数根，∴x 1＋x 2＝1－2a ，x 1﹒x 2＝a 2，∵〔x 1＋2〕〔x 2＋2〕＝11，∴x 1x 2＋2〔x 1＋x 2〕＋4＝11，∴a 2＋2〔1－2a 〕－7＝0，即a 2－4a －5＝0，解得a ＝－1，或a ＝5.又∵Δ＝〔2a －1〕2－4a 2＝1－4a ≥0， ∴a ≤14. ∴a ＝5不合题意，舍去，∴a ＝－1.。

根的判别式及根与系数的关系大题专练(重难点培优60题)-九年级数学上册尖子生培优必刷题【人教版】

【拔尖特训】2023-2024学年九年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题21.12根的判别式及根与系数的关系大题专练（重难点培优60题）一．解答题（共60小题）1．（2023春•鼓楼区校级期末）关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣k﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根大于0，求k的取值范围．2．（2023春•淮北期末）已知：关于x的方程x2+2kx+k2﹣1＝0．（1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程有一个根为3，试求2k2+12k+2023的值．3．（2023春•凤阳县期末）关于x的一元二次方程mx2+（2m+3）x+m+1＝0有两个不等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取最小整数时，求x的值．4．（2023•西宁二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2a﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求a的取值范围；（2）若a为正整数，求一元二次方程的解．5．（2023春•惠城区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+3＝0．（1）当m＝1时，判断方程根的情况；（2）当m＝2时，求方程的根．6．（2022秋•方城县期末）已知：关于x的方程x2+2mx+m2﹣1＝0．（1）请说明：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根为3，求m的值．7．（2023春•丰城市校级期末）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2k）+k（k﹣1）＝0．（1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的两个根x1，x2是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为5，试求k的值．8．（2023•门头沟区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果此方程的一个根为1，求k的值．9．（2023•梁山县二模）定义：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c．则称该方程为“和谐方程”．（1）下列属于和谐方程的是；①x2+2x+1＝0；②x2﹣2x+1＝0；③x2+x＝0．（2）求证：和谐方程总有实数根；（3）已知：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“和谐方程”，若该方程有两个相等的实数根，求a，c的数量关系．10．（2023春•海淀区校级期末）已知关于x的一元二次方程mx2+（2﹣3m）x+（2m﹣4）＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若m为整数，当此方程有两个互不相等的正整数根时，求m的值．11．（2023春•鼓楼区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一实数根大于3，求a的取值范围．12．（2023春•安庆期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求m的值．13．（2023•保康县模拟）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1•x2，求k的值．14．（2023春•延庆区期末）关于x的方程x2﹣4x+2（m+1）＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m为正整数时，求此时方程的根．15．（2023•北京二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，求此时方程的根．16．（2023春•瑶海区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若满足x12+x22=2，求m的值．17．（2023春•南岗区期末）已知：方程（m﹣2）x|m|﹣x+n＝0是关于x的一元二次方程．（1）求m的值；（2）若该方程无实数根，求n的取值范围．18．（2023•延庆区一模）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果方程有一个根为正数，求m的取值范围．19．（2023春•肇东市期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0，（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝﹣1，求m的值．20．（2023春•龙口市期中）已知关于x的一元二次方程mx2−(m+2)x+m4=0两个不相等的实数根x1，x2，若1x1+1x2=4m，求m的值．21．（2023•邗江区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m﹣2＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程两个实数根的差为3，求m的值．22．（2023春•如东县期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+2m＝0．（1）求证无论实数m取何值，此方程一定有两个实数根；（2）设此方程的两个实数根分别为x1x2，若x12+x22=13，求m的值．23．（2023春•环翠区期末）已知：关于x的方程x2+（8﹣4m）x+4m2＝0．（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出这时方程的根．（2）问：是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136？若存在，请求出满足条件的m值；若不存在，请说明理由．24．（2023春•霍邱县期末）已知关于x的一元二次方程2x2+4x+m＝0．（1）若x＝1是方程的一个根，求m的值和方程的另一根．（2）若x1x2是方程的两个实数根，且满足x12+x22+5x1x2−x12x22=0，求m的值．25．（2023春•莒县期末）（1）解方程：（2x+1）（x﹣4）＝5；（2）已知方程x2+（2k﹣1）x+k2+3＝0的两实数根的平方和比两根之积大15，求k的值．26．（2023春•青阳县期末）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．27．（2023春•广饶县期中）关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0．（1）若﹣2是该方程的一个根，求该方程的另一个根；（2）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．28．（2023春•贵池区期末）已知：关于x的方程x2+mx﹣8＝0有一个根是﹣4，求另一个根及m的值．29．（2023春•大观区校级期末）关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0．（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0的两个根，记S=x1x2+x2x1+x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．30．（2023•湟中区校级开学）关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1＝0的两个实数根分别为x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x1+x2﹣2x1x2＝0，求m的值．31．（2023•襄州区模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2﹣m2﹣m＝0．（1）求证：无论m为何实数，方程总有两个实数根；（2）若方程x2﹣3x+2﹣m2﹣m＝0，的两个实数根α、β满足α2+β2＝9，求m的值．32．（2023•惠州一模）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m﹣2＝0有两个实数根x1，x2．（1）试确定实数m的取值范围；（2）若（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，求m的值．33．（2023•鼓楼区校级模拟）已知关于m的方程x2﹣（2m+1）x+m2＝0（m≠0）有两实数根x1，x2，请用m表示x12+x22的值并求出m的取值范围．34．（2023春•宁波期末）阅读材料，根据上述材料解决以下问题：材料1：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1x2，则x1+x2=−bax1x2=c a材料2：已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则m，n是方程x2﹣x﹣1＝0 的两个不相等的实数根．（1）材料理解：一元二次方程3x2﹣6x+1＝0 两个根为x1x2，则x1+x2＝，x1x2＝．（2）应用探究：已知实数m，n满足9m2﹣9m﹣1＝09n2﹣9n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．（3）思维拓展：已知实数s、t分别满足9s2+9s+1＝0t2+9t+9＝0，其中st≠1且st≠0．求3st+9s+3t的值．35．（2023春•合肥期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）若x1，x2满足x12+x22−x1x2=18，求a的值．36．（2023春•长沙期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k+1＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）若x1x2﹣x1﹣x2＝3，求k的值．37．（2023春•莱芜区期末）已知：关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是√2，求另一个根及m的值．38．（2023春•长沙期末）方程x2+2x+m﹣1＝0是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x12+x22+3x1x2+10＝0，求m的值．39．（2023•广陵区校级一模）已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的三边a，b，c中a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值．40．（2023•沙市区模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+3m﹣1＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且（x1﹣1）（x2﹣1）＝6，求m的值．41．（2023•襄阳模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+m＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+2x1x2＝3，求m的值．42．（2023•蓬江区校级一模）关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k+1＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若x12+x22=3，求k的值．43．（2023春•淮北月考）关于x的一元二次方程mx2+（2m+1）x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若已知此方程的一个根为﹣2，求m的值以及方程的另一根．44．（2023春•岳麓区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣3＝0．（1）若此方程有两个不相等的实数根x1，x2，求m的取值范围；（2）若此方程的两根互为倒数，求x12+x22的值．45．（2023•襄阳模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根．（1）求m的取值范围；（2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）=−6m−7？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．46．（2023春•房山区期末）已知关于x的一元二次方程x2+nx﹣6＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是1，求方程的另一个根．47．（2023春•顺义区期末）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣3＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求b的值及方程的另一个根．48．（2023春•思明区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+5）x+5m＝0．（1）求证：此一元二次方程一定有两个实数根；（2）设该一元二次方程的两根为a，b，且6，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．49．（2023春•虹口区期末）设x1，x2为关于x的方程x2﹣2px﹣p＝0的两根，P为实数．（1）求证：2px1+x22+3p≥0．（2）当|x1﹣x2|≤|2p﹣3|时，求p的最大值．50．（2023春•蒙城县校级期中）关于x的一元二次方程为x2﹣2x﹣m（m+2）＝0．（1）求证：无论m为何实数，方程总有实数根；（2）若方程的两根之积等于0，求m的值．51．（2023春•蚌山区月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，若△ABC的两边AB，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5．（1）若k＝3时，请判断△ABC的形状并说明理由；（2）若△ABC是等腰三角形，求k的值．52．（2023•海淀区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0（m＜0）．（1）判断方程根的情况，并说明理由；（2）若方程的一个根为﹣1，求m的值和方程的另一个根．53．（2022秋•自贡期末）已知关于x的方程x2+nx+2m＝0．（1）求证：当n＝m+3时，方程总有两个不相等实数根；（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根．54．（2023春•建邺区校级期末）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（k +1）x +2k ﹣2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若△ABC 的两边AB 、AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值．55．（2023春•蓬莱区期中）已知关于x 的方程（a ﹣5）x 2﹣4x ﹣1＝0，（1）若方程有实数根，求a 的取值范围；（2）是否存在这样的实数a ，使方程的两根x 1，x 2满足x 1+x 2+x 1x 2＝3，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．56．（2023•海淀区校级三模）已知关于x 的方程mx 2﹣（m +3）x +3＝0（m ≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值．57．（2023•石景山区二模）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2mx +m 2﹣1＝0（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；（2）若m ＞1，且该方程的一个根是另一个根的2倍，求m 的值．58．（2023•郓城县一模）已知关于x 的一元二次方程12x 2+（m ﹣3）x ﹣m +2＝0．（1）求证：不论m 取何值，该方程都有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个根分别为x 1，x 2，且x 1＞x 2，若x 1﹣x 2＝2√10，求m 的值．59．（2023春•绍兴期中）已知有关于x 的一元二次方程（k +1）x 2﹣（3k +1）x +2k ＝0．（1）求k 的取值范围，并判断该一元二次方程根的情况；（2）若方程有一个根为﹣2，求k 的值及方程的另一个根；（3）若方程的一个根是另一个根3倍，求k 的值．60．（2023春•肇源县月考）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +2a +1＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数a 的取值范围；（2）若a 为符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2﹣3x +2a +1＝0的两个根为x 1，x 2，求x 12x 2+x 1x 22的值．。

《一元二次方程的根与系数的关系》解答题专题培优提升训练(附答案)

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《2.5一元二次方程的根与系数的关系》解答题专题培优提升训练（附答案）1．已知关于x的方程2mx2﹣（5m﹣1）x+3m﹣1＝0．（1）求证：无论m为任意实数，方程总有实数根．（2）如果这个方程的根的判别式的值等于1，求m的值．2．关于x的一元二次方程x2﹣2x+3m﹣2＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，求出此时方程的根．3．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个实数根，求m的取值范围．4．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣1＝0有实数根．（1）求a的取值范围；（2）当a为符合条件的最大整数时，求此时方程的解．5．已知y1＝x2﹣2x+3．y2＝x+m．（1）若m＝1，当x取何值时y1＝y2？（2）若y1＝2y2，当m为何范围时，存在两个不同的x值？6．已知关于x的一元二次方程|x2﹣1|＝（x﹣1）（kx﹣2）：（1）若k＝3，求方程的解；（2）若方程恰有两个不同解，求实数k的取值范围．7．已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣3＝0有实数根．（ⅰ）求实数k的取值范围；（ⅱ）当k＝2时，方程的根为x1，x2，求代数式（x12+2x1﹣1）（x22+4x2+3）的值．8．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．（3）若方程的两个实数根之差等于3，求k的值．9．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+4）x+m2+4m＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2；①求代数式﹣4x1x2的最大值；②若方程的一个根是6，x1和x2是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长．10．关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若方程的两根x1，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝6，求k的值．11．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）设两个实数根是x1和x2，且x1+x2﹣2x1x2＝2，则k的值为．12．关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）设出x1、x2是方程的两根，且x12+x22＝12，求m的值．13．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m＝0有两个实数根x1，x2．（1）求m的取值范围．（2）若|x1|＝|x2|，求m的值及方程的根．14．关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣3＝0的两个实数根是x1、x2．（1）已知k＝2，求x1+x2+x1x2．（2）若x1＝3x2，试求k值．15．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣k2＝0（k为常数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设x1，x2为方程的两个实数根，且x1+2x2＝14，试求出方程的两个实数根和k的值．16．已知m为实数，关于x的方程为mx2+（m﹣2）x﹣1＝0．（1）求证：不论m为何实数，方程总有实数根．（2）若方程有两实根x1，x2，当x1x2﹣2x1﹣2x2＝3时，求m的值．17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0（1）若该方程有两个实数根，求k的最大整数值．（2）若该方程的两个实数根为x1，x2，是否存在实数k，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．18．关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若x1、x2是方程的两根，且+＝1，求m的值．19．若x1，x2与是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，求x13﹣4x22+22的值．20．已知关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0．（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）若方程的两个根为x1，x2，且＝0，求k的值．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0．（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝3，求k的值．参考答案1．解：（1）①当m＝0时，该方程是关于x的一元一次方程，符合题意；②关于x的一元二次方程2mx2﹣（5m﹣1）x+3m﹣1＝0．∵△＝（5m﹣1）2﹣8m（3m﹣1）＝（m﹣1）2≥0，∴无论m为任何实数，方程总有实根．（2）由题意得，△＝（m﹣1）2＝1，解得m1＝0，m2＝2，而m≠0，∴m＝2．2．解：（1）∵方程有实数根，∴（﹣2）2﹣4×1×（3m﹣2）≥0，∴m≤1；（2）∵m为正整数，∴m＝1，∴方程为：x2﹣2x+1＝0，∴x1＝x2＝1．3．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0有两个实数根，∴△＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+5）＝8m﹣16≥0，∴m≥2．4．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣1＝0有实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4（a﹣1）＝﹣4a+13≥0，解得：a≤，即a的取值范围是a≤；（2）∵a的取值范围是a≤，∴整数a的最大值是3，把a＝3代入方程x2﹣3x+a﹣1＝0得：x2﹣3x+2＝0，解得：x1＝1，x2＝2．5．解：（1）当m＝1时，根据题意，得x2﹣2x+3＝x+1，整理，得（x﹣1）（x﹣2）＝0．所以x﹣1＝0或x﹣2＝0．解得x1＝1，x2＝2；（2）根据题意，得x2﹣2x+3＝2x+2m，整理，得x2﹣4x+3﹣2m＝0，所以△＝（﹣4）2﹣4×1×（3﹣2m）＞0．解得m＞﹣．所以当m＞﹣时，存在两个不同的x值．6．解：（1）把k＝3代入|x2﹣1|＝（x﹣1）（kx﹣2）中，得|x2﹣1|＝（x﹣1）（3x﹣2），当x2＞1，即x＞1或x＜﹣1时，原方程可化为：x2﹣1＝（x﹣1）（3x﹣2），解得，x＝1（舍），或x＝；当x2≤1，即﹣1≤x≤1时，原方程可化为：1﹣x2＝（x﹣1）（3x﹣2），解得，x＝1，或x＝；综上，方程的解为x1＝，x2＝1，x3＝；（2）∵x＝1恒为方程|x2﹣1|＝（x﹣1）（kx﹣2）的解，∴当x≠1时，方程两边都同时除以x﹣1得，，要使此方程只有一个解，只需函数y＝与函数y＝kx﹣2的图象只有一个交点．∵函数：，作出函数图象，由图象可知，当k＜0时，直线y＝kx﹣2与函数y＝图象只有一个交点；当k＝0时，直线y＝kx﹣2＝﹣2与函数y＝图象只有一个交点；当k＝1时，y＝kx﹣2＝x﹣2与y＝x+1平行，则与函数y＝图象只有一个交点；∵当直线y＝kx﹣2过（1，2）点时，2＝k﹣2，则k＝4，∴函数图象可知，当k≥4时，直线y＝kx﹣2与函数y＝图象也只有一个交点，∴要使函数图象与y＝kx﹣2图象有且只有一个交点，则实数k的取值范围是k≤0或k＝1或k≥4．综上，实数k的取值范围：k≤0或k＝1或k≥4．7．解：（i）∵方程有实数根，∴△＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣3）≥0，解得：k≤；（ii）当k＝2时，方程化为x2+3x+1＝0，∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，∵x1，x2是方程的解，∴x12+3x1+1＝0，x22+3x2+1＝0，∴x12+3x1＝﹣1，x22+3x2＝﹣1，∴原式＝（﹣1﹣x1﹣1）（﹣1+x2+3）＝﹣（x1+2）（x2+2）＝﹣[x1x2+2（x1+x2）+4]＝﹣（1﹣6+4）＝1．8．解：（1）△＝（2k+1）2﹣4×1×4（k﹣）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2，∵无论k取何值，（2k﹣3）2≥0，故这个方程总有两个实数根；（2）由求根公式得x＝，∴x1＝2k﹣1，x2＝2．∵另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，设b＝2k﹣1，c＝2，当a，b为腰时，则a＝b＝4，即2k﹣1＝4，计算得出k＝，此时三角形周长为4+4+2＝10；当b，c为腰时，b＝c＝2，此时b+c＝a，构不成三角形，故此种情况不存在．综上所述，△ABC周长为10．（3）∵方程的两个实数根之差等于3，∴，解得：k＝0或3．9．解：（1）△＝（2m+4）2﹣4（m2+4m）＝16，16＞0，∴此方程总有两个不相等的实数根．（2）①﹣4x1x2＝（x1+x2）2﹣6x1x2，∵x1+x2＝＝2m+4，x1x2＝m2+4m，∴（x1+x2）2﹣6x1x2＝（2m+4）2﹣6（m2+4m）＝﹣2m2﹣8m+16＝﹣2（m+2）2+24，∴当m＝﹣2时﹣4x1x2的最大值为24．②把x＝6代入原方程可得m2﹣8m+12＝0，解得m＝2或m＝6，当m＝2时，原方程化简为x2﹣8x+12＝0，解得x＝2或x＝6，三角形三边长为6，6，2时三角形周长为14，三角形边长为2，2，6时不存在．当m＝6时，原方程化简为x2﹣16x+60，解得x＝6或x＝10．三角形三边长为6，6，10时三角形周长为22，三角形三边长为10，10，6时，三角形周长为26．∴等腰三角形周长为14或22或26．10．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根，∴△＝[2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣1）＝﹣8k+8≥0，解得：k≤1．∴k的取值范围为：k≤1．（2）由根与系数关系得：x1+x2＝﹣2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1，所以（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝k2﹣1+2（k﹣1）+1＝6．解得k＝2（舍去）或k＝﹣4．故k的值是﹣4．11．解：（1）∵一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝22﹣4（k﹣1）＞0，解得k＜2，即k的取值范围是k＜2；（2）∵一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根是x1和x2，∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝k﹣1，∵x1+x2﹣2x1x2＝2，∴﹣2﹣2（k﹣1）＝2，∴k＝﹣1，故答案为：﹣1．12．解：（1）根据题意得：△＝（2m）2﹣4（m2+m）＞0，解得：m＜0．∴m的取值范围是m＜0．（2）根据题意得：x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，∵x12+x22＝12，∴﹣2x1x2＝12，∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，∴解得：m1＝﹣2，m2＝3（不合题意，舍去），∴m的值是﹣2．13．解：（1）由题意得：△≥0且m﹣2≠0，∴（2m+1）2﹣4m（m﹣2）≥0解得m≥﹣且m≠2（2）由题意得有两种情况：①当x1＝x2，则△＝0，所以m＝﹣，x1＝x2＝﹣×＝．②当x1＝﹣x2时，则x1+x2＝0．，所以m＝﹣，因为m≥﹣且m≠2，所以此时方程无解．综上所述，m＝﹣，x1＝x2＝．14．解：（1）∵方程x2﹣4x+k﹣3＝0的两个实数根是x1、x2，k＝2，∴x1+x2＝4，x1x2＝k﹣3＝﹣1，∴x1+x2+x1x2＝4﹣1＝3．（2）∵x1+x2＝4，x1＝3x2，∴x1＝3，x2＝1，∴k＝x1x2+3＝6．15．解：（1）证明：∵在方程x2﹣6x﹣k2＝0中，△＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣k2）＝36+4k2≥36，∴方程有两个不相等的实数根．（2）∵x1，x2为方程x2﹣6x﹣k2＝0的两个实数根，∴x1+x2＝6，∵x1+2x2＝14，∴x2＝8，x1＝﹣2．将x＝8代入x2﹣6x﹣k2＝0中，得：64﹣48﹣k2＝0，解得：k＝±4．答：方程的两个实数根为﹣2和8，k的值为±4．16．（1）证明：当m＝0时，已经方程为﹣2x﹣1＝0，有实数根；当m≠0时，已经方程是一元二次方程，△＝（m﹣2）2﹣4m×（﹣1）＝m2+4＞0，该方程有两个不等实根；综上，不论m为何实数，方程总有实数根；（2）由根与系数的关系可得，，，∵x1x2﹣2x1﹣2x2＝3，∴x1x2﹣2（x1+x2）＝3，∴，解得m＝﹣5，经检验，m＝﹣5是原分式方程的解，即m的值是﹣5．17．解：（1）由题意得：此方程的根的判别式△＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，整理得：﹣4k+1≥0，解得，则k的最大整数值是0；（2）存在，由根与系数的关系得：x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，∵＝，∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，整理得：k2﹣2k﹣15＝0，解得k＝﹣3或k＝5，由（1）可知，，则k＝﹣3．18．解：（1）根据题意，知（2m﹣3）2﹣4m2＞0，解得m＜；（2）由题意知x1+x2＝﹣（2m﹣3）＝3﹣2m，x1•x2＝m2，由+＝1，即＝1可得＝1，解得：m＝1（舍去）或m＝﹣3，所以m的值是﹣3．19．解：∵x1是方程x2+x﹣3＝0的实数根，∴x12+x1﹣3＝0，∴x12＝﹣x1+3，x1＝﹣x12+3，∴x13＝﹣x12+3x1，∴x13﹣4x22+22＝﹣x12+3x1﹣4x22+22＝﹣4x12+9﹣4x22+22＝﹣4（x1+x2）2+8x1•x2+31，∵x1、x2是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣1，x1•x2＝﹣3，∴原式＝﹣4×（﹣1）2+8×（﹣3）+31＝3．20．（1）证明：①当k＝1时，该方程有一个实数根，符合题意．②当k≠1时，∵△＝（2k）2﹣4（k﹣1）×2＝4（k﹣1）2+4＞0，∴当k≠1时，方程总有实数根．综上所述，无论k取任何值，方程总有实数根．（2）∵x1、x2是方程的两个根，∴x1+x2＝，x1•x2＝，∴＝+x1x2＝+＝0．解得k＝2或k＝﹣1．经检验，k＝2或k＝﹣1都符合题意．所以k＝2或k＝﹣1．21．解：（1）∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2﹣2）＝4k2+4k+1﹣2k2+8＝2k2+4k+9＝2（k+1）2+7＞0，∵无论k为何实数，2（k+1）2≥0，∴2（k+1）2+7＞0，∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）由根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2﹣2，∵x1﹣x2＝3，∴（x1﹣x2）2＝9，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，∴（2k+1）2﹣4×（k2﹣2）＝9，化简得k2+2k＝0，解得k＝0或k＝﹣2．。

一元二次方程全章复习与巩固—知识讲解

《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．要点二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程−−−→降次一元一次方程2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆.（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21.注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0. 要点诠释：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．已知（m－1）x|m|+1+3x－2＝0是关于x的一元二次方程，求m的值.【答案与解析】依题意得|m|+1＝2，即|m|＝1，解得m＝±1，又∵m－1≠0，∴m≠1，故m＝－1.【总结升华】依题意可知m－1≠0与|m|+1＝2必须同时成立，因此求出满足上述两个条件的m的值即可.特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意.举一反三：【变式】若方程2(2)310mm x mx---=是关于x的一元二次方程，求m的值．【答案】根据题意得22,20,mm⎧=⎪⎨-≠⎪⎩解得所以当方程2(2)310mm x mx--=是关于x的一元二次方程时，2m=-．类型二、一元二次方程的解法2．解下列一元二次方程．(1)224(3)25(2)0x x---=； (2)225(3)9x x-=-； (3)2(21)4(21)40x x++++=．【答案与解析】(1)原方程可化为：22[2(3)][5(2)]0x x---=，即(2x-6)2-(5x-10)2＝0，∴ (2x-6+5x-10)(2x-6-5x+10)＝0，即(7x-16)(-3x+4)＝0，∴ 7x-16＝0或-3x+4＝0，∴116 7x=，24 3x=． (2)25(3)(3)(3)x x x-=+-，25(3)(3)(3)0x x x--+-=，∴ (x-3)[5(x-3)-(x+3)]＝0，即(x-3)(4x-18)＝0，∴ x-3＝0或4x-18＝0，∴13x=，292x=．(3)2(21)4(21)40x x++++=，∴2(212)0x++=．即2(23)0x+=，∴1232x x==-．【总结升华】 (1)方程左边可变形为22[2(3)][5(2)]x x---，因此可用平方差公式分解因式；(2)中方程右边分解后为(x-3)(x+3)，与左边中的(x-3)2有公共的因式，可移项后提取公因式(x-3)后解题；(3)的左边具有完全平方公式的特点，可用公式变为(2x+1+2)2＝0再求解．举一反三：【变式】解方程： (1)3x+15＝-2x2-10x； (2)x2-3x＝(2-x)(x-3)．【答案】(1)移项，得3x+15+(2x2+10x)＝0，∴ 3(x+5)+2x(x+5)＝0，即(x+5)(3+2x)＝0，∴ x+5＝0或3+2x＝0，∴15x=-，232x=-．(2)原方程可化为x(x-3)＝(2-x)(x-3)，移项，x(x-3)-(2-x)(x-3)＝0，∴ (x-3)(2x-2)＝0，∴ x-3＝0或2x-2＝0，∴13x=，21x=．类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根．则a 满足（）A ．a ≥1B ．a ＞1且a ≠5C ．a ≥1且a ≠5D ．a ≠5【答案】A ；【解析】①当50a -=，即5a =时，有410x --=，14x =-，有实数根；②当50a -≠时，由△≥0得2(4)4(5)(1)0a --⨯-⨯-≥，解得1a ≥且5a ≠．综上所述，使关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根的a 的取值范围是1a ≥．答案：A【总结升华】注意“关于x 的方程”与“关于x 的一元二次方程”的区别，前者既可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程，所以必须分类讨论，而后者隐含着二次项系数不能为0．4． k 为何值时，关于x 的二次方程2690kx x -+=（1）k 满足时,方程有两个不等的实数根；（2）k 满足时,方程有两个相等的实数根；（3）k 满足时,方程无实数根. 【答案】（1）10k k ≠＜，且；（2）1k =；（3）1k ＞. 【解析】求判别式，注意二次项系数的取值范围. 【总结升华】根据判别式ac b 42-=∆及k ≠0求解.类型四、一元二次方程的根与系数的关系5．已知关于x 的方程222(2)0x m x m --+=，试探求：是否存在实数m 使方程的两个实数根的平方和等于56，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案与解析】存在．设方程两根为x 1、x 2，根据题意，得122(2)x x m +=-，212x x m =，221256x x +=，而222121212()2x x x x x x +=+-，于是有[]222(2)256m m --=，整理得28200m m --=，解这个方程得110m =， 22m =-，当10m =时，△＝ 2224[2(2)]41440b ac m m -=---=-<，当2m =-时，△＝2224[2(2)]4480b ac m m -=---=>，所以符合条件的m 的值为-2．【总结升华】由两个实数根的平方和等于56，列出关系式，再由根与系数关系求出m的值，通过判别式去验证m值是否符合题意，从而得出结论.举一反三：【变式】已知关于x的方程2(1)(23)10k x k x k-+-++=有两个不相等的实数根1x、2x．(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)根据题意，得△＝(2k-3)2-4(k-1)(k+1)＝224129412130k k k k-+-=-+>，所以1312k<．由k-1≠0，得k≠1.当1312k<且k≠1时，方程有两个不相等的实数根；(2) 不存在．如果方程的两个实数根互为相反数，则12231kx xk -+=-=-，解得32k=．当32k=时，判别式△＝-5＜0，方程没有实数根．所以不存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数．类型五、一元二次方程的应用6．甲、乙两人分别骑车从A、B两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进.乙在由C 地到达A地的途中因故停了20分钟，结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B 地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行驶4千米，求甲、乙两人骑车的速度.【答案与解析】设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为（x+4）千米/时.根据题意，得54(4)2040460x xx x++=-+解之,得x1=16，x2=－2.经检验：x1=16，x2=－2都是原方程的根，但x2=－2不合题意，舍去.∴当x=16时，x+4=20.答：甲每小时行驶16千米，乙每小时行驶20千米.【总结升华】注意解题的格式，解分式方程应用题要双检验，即验根、符合题意.举一反三：【变式】某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。

一元二次方程(根的判别式根与系数的关系)专项训练题

一元二次方程（根的判别式，根与系数的关系）专项训练题一.选择题1.关于x的一元二次方程的根的情况是A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定2.已知反比例函数,当x＞0时,y随x的增大而增大,则关于x的方程的根的情况是（）A.有两个正根B.有两个负根C.有一个正根一个负根D.没有实数根4．设、是关于x的一元二次方程的两个实数根，且＜0，－3＜0，则（）A． B． C． D．5.已知是关于的一元二次方程的两实数根，则式子的值是（）A．B．C．D．7. 已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程(a + b)x2 + 2cx + (a + b)＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．可能有且只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根8.如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（）A.＞B.＞且C.＜D.且9.关于方程式49x2－98x－1=0的解，下列叙述何者正确？( )(A) 无解 (B) 有两正根 (C)有两负根 (D) 有一正根及一负根13.若关于x的一元二次方程ax2+2x-5=0的两根中有且仅有一根在0和1之间（不含0和1），则a的取值范围是（）A、a＜3B、a＞3C、a＜-3D、a＞-3二、填空题3．）设一元二次方程的两个实数根分别为和，则，．4.已知关于的一元二次方程有两个不相同的实数根，则的取值范围是5．已知一元二次方程的一个根为，则．6．已知x1、x2是方程x2－3x－2＝0的两个实根，则(x1－2) (x2－2)= ．7．已知为方程的二实根，则．9.、关于X的方程两实根之和为m，且满足，关于y的不等于组有实数解，则k的取值范围是--------------10、若关于的方程的一个根是0，则另一个根是．11、等腰两边的长分别是一元二次方程的两个解，则这个等腰三角形的周长是．12、关于的一元二次方程的一个根为1，则方程的另一根为 .13、三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是．三、简答题1.当为何值时，关于的一元二次方程有两个相等的实数根？此时这两个实数根是多少？2．设是关于的一元二次方程的两实根，当为何值时，有最小值？最小值是多少？3．已知：关于的一元二次方程．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为，（其中）．若是关于的函数，且，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量的取值范围满足什么条件时，．5.已知是关于的一元二次方程的两个实数根，且——=115(1)求k的值；（2）求++8的值。

一元二次方程根的判别式、根与系数的关系习题课

一元二次方程根的判别式、根与系数的关系习题课南洋初级中学/吕湘霞教学目标：1、巩固一元二次方程根的判别式、根与系数的关系2、灵活运用一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行解题教学过程：一、一元二次方程根的判别式1、判别式的推导与识记题1：从一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的配方形式2224()24b b ac x a a -+=，说明当24b ac ∆=-<0时，方程为什么没有实数根？题2：填空一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），在∆ 时有实数根；在∆>0时，有实数根；在∆ 时有两个相等的实数根。

2、利用判别式，不解方程判断一元二次方程（包括含字母已知数的一元二次方程）的根的情况题3：不解方程判别下列方程有没有实数根或有几个怎样的实数根？（1）23470x x ++=（2）20.30.40.70x x +-=（3）8(3)9y y +=-题4：求证方程222(1)2(4)0k x kx k +--+=必有两个不相等的实数根3、根据一元二次方程的根的情况与判别式，确定含字母已知数的方程中字母的值或取值范围题5：k 是什么值时，方程2(1)230k x kx k -+++=（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？说明：在解本题（1）时，学生往往由∆>0解得23k <，就认为求出了k 的取值范围，容易忽视1k ≠即二次项系数10k -≠的条件，造成错误，通过此题要引起注意。

这里要讲清：题目问到“何时有两个不同的实数根”就已经明确讨论的是有两个根的方程，也就是给出了这方程是一元二次方程的条件。

题6：m 是什么值时，方程22312x mx x x m --=--有两个相等的实数根？求出这时方程的根。

4 综合题：讨论有没有实数根题7：k 是什么值时，方程2(1)230k x kx k -+++=有实数根？分析：本题没有指明所给的方程是二次方程，所以应提示学生二次项系数应分为10k -≠和k -1=0两种情况讨论。

一元二次方程判别式及根与系数关系专题训练(含答案)

一元二次方程判别式及根与系数关系专题训练10. 已知关于x 的一元二次方程220x x a --=．（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求a 的取值范围；（2）如果此方程的两个实数根为12x x ，，且满足121123x x +=-，求a 的值．11. 已知关于x 的一元二次方程x 2-m x -2=0． ……①(1) 若x =-1是方程①的一个根，求m 的值和方程①的另一根； (2) 对于任意实数m ，判断方程①的根的情况，并说明理由．12. 已知关于x 的方程2(2)210x m x m +++-=．（1）求证方程有两个不相等的实数根．（2）当m 为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．13. 当m 为何值时，关于x 的一元二次方程02142=-+-m x x 有两个相等的实数根？此时这两个实数根是多少？14. 已知关于 x的一元二次方程 2410x x m -+-= 有两个相等的实数根，求m 的值及方程的根．15. 若关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个实数根，求k 的取值范围及k 的非负整数值.16. 已知关于x 的一元二次方程x 2= 2（1－m ）x －m 2的两实数根为x 1，x 2．（1）求m 的取值范围；（2）设y = x 1 + x 2，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．17. 关于x 的一元二次方程230x x k --=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围．（2）请选择一个k 的负整数值，并求出方程的根．18.已知关于x 的一元二次方程2260x x k --=（k 为常数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（3分）（2）设1x ，2x 为方程的两个实数根，且12214x x +=，试求出方程的两个实数根和k 的值．（4分）19. 关于x 的一元二次方程22(23)0x k x k +-+=有两个不相等的实数根αβ、．（1）求k 的取值范围；（2）若6αβαβ++=，求2()35αβαβ-+-的值．20. 已知关于x 的一元二次方程x 2 + 2（k －1）x + k 2－1 = 0有两个不相等的实数根．（1）求实数k 的取值范围；（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．21.在等腰△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中5a =，若关于x 的方程()2260x b x b +++-=有两个相等的实数根，求△ABC 的周长．22. 设12x x 、是关于x 的方程2410x x k -++=的两个实数根．试问：是否存在实数k ，使得1212x x x x >+·成立，请说明理由．23. 已知关于x 的方程222(2)0x m x m --+=．问：是否存在实数m ，使方程的两个实数根的平方和等于56．若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．24. 关于x 的方程2(2)04k kx k x +++=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围．（2）是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．25. 关于x 的一元二次方程210x x p -+-=有两实数根12x x 、．（1）求p 的取值范围；（4分）（2）若1122[2(1)][2(1)]9x x x x +-+-=，求p 的值．（6分）一元二次方程判别式及根与系数关系专题训练答案第10题答案.解：（1）2(2)41()44a a ∆=--⨯⨯-=+．1分方程有两个不相等的实数根，0∴∆>． 2分即1a >-．3分（2）由题意得：122x x +=，12x x a =- ．4分121212112x x x x x x a++==-，121123x x +=-223a ∴=--． 6分3a ∴=．7分第11题答案.解：（1） x =-1是方程①的一个根，所以1+m -2=0，1分解得m =1．2分方程为x 2-x -2=0，解得， x 1=-1， x 2=2．所以方程的另一根为x =2．4分（2） ac b 42-=m 2+8，5分因为对于任意实数m ，m 2≥0，6分所以m 2+8>0，7分所以对于任意的实数m ，方程①有两个不相等的实数根． 8分第12题答案.（1）证明:因为△=)12(4)2(2--+m m 1分 =4)2(2+-m3分所以无论m 取何值时， △>0，所以方程有两个不相等的实数根．（2）解：因为方程的两根互为相反数，所以021=+x x ， 5分根据方程的根与系数的关系得02=+m ，解得2-=m ，7分所以原方程可化为052=-x ，解得51=x ，52-=x9分第13题答案.由题意，△=(-4)2-4(m -21)=0…………………………………………（2分）即16-4m+2=0，m=29.………………………………………………（4分）当m=29时，方程有两个相等的实数根x 1=x 2=2.……………………（6分）第14题答案.解：由题意可知 0= ．即 2(4)4(1)0m ---=．解得 5m =．3分当5m =时，原方程化为2440x x -+=．解得 122x x ==．所以原方程的根为 122x x ==．5分第15题答案.解：∵关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个实数根， ∴244121680k k ∆=-⨯⨯=-≥． ……3分解得2k ≤． ……2分 ∴k 的非负整数值为0，1，2． ……3分第16题答案.（1）将原方程整理为 x 2 + 2（m －1）x + m 2 = 0． ∵ 原方程有两个实数根，∴ △= [ 2（m －1）2－4m 2 =－8m + 4≥0，得 m ≤21．（2） ∵ x 1，x 2为x 2 + 2（m －1）x + m 2 = 0的两根， ∴ y = x 1 + x 2 =－2m + 2，且m ≤21．因而y 随m 的增大而减小，故当m =21时，取得极小值1．第17题答案.解：（1）方程有两个不相等的实数根，∴ 2(3)4()k ---＞0．即 49k >-，解得，94k >-． ……（4分）（2）若k 是负整数，k 只能为－1或－2． ……（5分）如果k ＝－1，原方程为 2310x x -+=．解得，12x =22x =（如果k ＝－2，原方程为2320x x -+=，解得，11x =，22x =．）第18题答案.解：（1）0436)(14)6(42222>+=-⨯⨯--=-k k ac b ，·················2分因此方程有两个不相等的实数根．·································3分（2）12661b x x a -+=-=-= ，·····································4分又12214x x += ，解方程组：12126,214,x x x x +=+=⎧⎨⎩ 解得：218.2,x x ==-⎧⎨⎩·····················5分方法一：将21-=x 代入原方程得：0)2(6)2(22=--⨯--k ，················6分解得：4±=k ．·················································7分方法二：将21x x 和代入12c x x a=，得：1822k -=⨯-，······················6分解得：4±=k ．·················································7分第19题答案.解：（1）方程22(23)0x k x k +-+=有两个不相等的实数根，0∴∆>，即22(23)410k k --⨯⨯>．解得34k <．（2）由根与系数的关系得：2(23)k k αβαβ+=--=，． 262360k k αβαβ++=∴-+-= ，．解得31k k ==-或．由（1）可知3k =不合题意，舍去． 151k αβαβ∴=-∴+==，，．故()2235()519αβαβαβαβ-+-=+--=．第20题答案.（1）△= [ 2（k —1）] 2－4（k 2－1）= 4k 2－8k + 4－4k 2 + 4 =－8k + 8．∵ 原方程有两个不相等的实数根，∴ －8k + 8＞0，解得 k ＜1，即实数k 的取值范围是 k ＜1．（2）假设0是方程的一个根，则代入得 02 + 2（k －1）· 0 + k 2－1 = 0，解得 k =－1 或 k = 1（舍去）．即当 k =－1时，0就为原方程的一个根．此时，原方程变为 x 2－4x = 0，解得 x 1 = 0，x 2 = 4，所以它的另一个根是4．第21题答案.解：根据题意得：△()()2246b b =+--28200b b =+-=解得：2b = 或10b =-（不合题意，舍去）∴2b =………………………………………………………………………………４分（1）当2c b ==时，45b c +=<，不合题意（2）当5c a ==时， 12a b c ++=…………………………………………６分第22题答案.解：∵方程有实数根，∴240b ac -≥，∴2(4)4(1)0k --+≥，即3k ≤．解法一：又∵22x ==±∴12(2(24x x +=++-=，12(2(21x x k =+-=+若1212x x x x >+ ，即14k +>，∴3k >．而这与3k ≤相矛盾，因此，不存在实数k ，使得1212x x x x >+ 成立．解法二：又∵12441b x x a -+=-=-=，12111c k x x k a +===+ ，（以下同解法一）第23题答案.解：设方程的两实根为12x x ，，则：122(2)x x m +=-，212x x m = ．1分令221256x x +=得：2221212()24(2)256x x x x m m +-=--=．3分即28200m m --=．10m ∴=或2m =-．5分当10m =时，222[2(102)]410164000∆=--⨯=-<，∴10m =不合题意，舍去．6分当2m =-时，222[2(22)]4(2)8160∆=---⨯-=->．故：存在实数m 使原方程的两实根的平方和等于56，m 的值是2-．7分第24题答案.（1）由2(2)404k k k ∆=+->·得：1k >-又0k ≠∴k 的取值范围是1k >-且0k ≠．（2）不存在符合条件的实数k ．理由：设方程2(2)04k kx k x +++=的两根分别为1x ，2x ，由根与系数的关系有：121212214110k x x kx x x x ⎧++=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩则20k k +-=，2k ∴=- 但由（1）知，2k =-时0∆<，原方程无解，故2k ≠-．因此不存在符合条件的实数k ．第25题答案.解：（1）由题意得：2(1)4(1)0p ∆=---≥．2分解得，54p ≤．4分（2）由1122[2(1)][2(1)]9x x x x +-+-=得，221122(2)(2)9x x x x +-+-=．6分12x x 、是方程210x x p -+-=的两实数根， 21110x x p ∴-+-=，22210x x p -+-=， 22112211x x p x x p ∴-=--=-，．(21)(21)9p p ∴+-+-=，即2(1)9p +=． 8分 2p ∴=，或4p =-． 9分 54p ≤，∴所求p 的值为4p =-．10分说明：1．可利用121x x +=，得121x x =-，211x x =-代入原求值式中求解； 2．把已知等式按多项式乘法展开后求解．。

一元二次方程(根与系数的关系)专项训练精选

九年级（上）数学第二章《一元二次方程》根系关系第1课时根的判别式与根系关系【知识要点】1. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式为△= .（1）b 2-4ac ＞0⇔一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有两个实数根，即x 1,2= .（2）b 2-4ac=0⇔一元二次方程有相等的实数根，即x 1=x 2= .（3）b 2-4ac ＜0⇔一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 实数根. 2．一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有两根分别为x 1，x 2那么x 1+x 2= ，x 1·x 2= . 3．易错知识辨析：（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件.（2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：① 根的判别式b 2-4ac ≥0；② 二次项系数a ≠0，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.【例题分析】例一.当k 为何值时，方程2610x x k -+-=，（1）两根相等；（2）有一根为0；（3）两根互为倒数.例二．若关于x 的一元二次方程x 2-2(2-k)x+k 2+12=0有实数根α、β． (1) 求实数k 的取值范围； (2)设t=kβα+，求t 的最小值．例三.关于x 的方程kx 2+(k+2)x+4k=0有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围。

(2)是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由【实践练习】1．已知α、β是关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足111αβ+=-，则m 的值是（）Ａ．3或1- Ｂ．3 Ｃ．1 Ｄ．3-或12．若关于x 的一元二次方程02.2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值范围是（） A ．m<l B ．m>－1 C ．m>l D ．m<－13.设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（）A ．2006B ．2007C ．2008D ．20094.设x 1、x 2是方程3x 2＋4x －5＝0的两根,则=+2111x x ，.x 12＋x 22＝，(x 1＋1)(x 2＋1)= ________，(x 1－x 2)2＝_______，221212x x x x += 。

专题21.10 一元二次方程的根与系数的关系(拓展提高)(解析版)

专题21.10 一元二次方程的根与系数的关系（拓展提高）一、单选题1．已知1x ，2x 是一元二次方程2430x x -+=两个根，则1212x x x x --的值为（）A ．1-B ．7-．C ．1D ．7 【答案】A 【分析】根据根与系数的关系12b x x a +=-，12c x x a =，在原方程中找到一元二次方程的系数 a 、b 、c 就可以求出1212x x x x --的值即可．【详解】解：∵1x ，2x 是一元二次方程2430x x -+=两个根，∴由根与系数的关系得，12441b x x a -+=-=-=，12331c a x x ===， ∴()12121212341x x x x x x x x --=-+=-=-，故选：A ．【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟悉相关性质是解题的关键．2．已知关于x 的方程x 2+kx +2＝0的两个根为x 1，x 2，且1212110x x x x ++=，则k 的值为（） A ．0B ．2C ．4D ．8【答案】C 【分析】根据根与系数关系列出方程求解即可．【详解】解：由题意知，x 1+x 2＝﹣k ，x 1•x 2＝2．则由1212110x x x x ++=得， 2112120x x x x x x ++=⋅，即202k -+=．解得k ＝4．故选：C ．【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．3．如果m 、n 是一元二次方程x 2+x ＝4的两个实数根，那么多项式2n 2﹣mn ﹣2m 的值是（） A ．16 B ．14 C ．10 D ．6【答案】B【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到24n n +=，即24n n =-，依此可得()()22224282n mn m n mn m m n mn --=---=-+-，然后根据根与系数的关系得到1m n +=-，4mn =-，再利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵n 是一元二次方程x 2+x ＝4的根，∴n 2+n ＝4，即n 2＝﹣n +4，∵m 、n 是一元二次方程x 2+x ＝4的两个实数根， ∴b m n a+=-，c mn a = ∴1m n +=-，4mn =-∴()()22224282n mn m n mn m m n mn --=---=-+-＝2+4+8＝14．故选B ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若1x ，2x 是一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的两根时，12b x x a +=-，12c x x a=，同时也考查了一元二次方程的解． 4．等腰三角形的一边长为4，另外两边的长是关于x 的方程2100x x k -+=的两个实数根，则该等腰三角形的周长是（）A ．14B ．14或15C ．4或6D ．24或25【答案】A【分析】分为腰长为4和底边长为4两种情况讨论，再根据韦达定理即可得解．【详解】解：设底边为a ，分为两种情况：①当腰长是4时，根据韦达定理：a +4＝10，解得：a ＝6，即此时底边为6，②底边为4，根据韦达定理：2a ＝10，解得a ＝5，所以该等腰三角形的周长是14．故选：A ．【点睛】本题考查了有关等腰三角形的分类讨论，韦达定理；能够正确的分类讨论是本题的关键. 5．关于x 的方程ax 2+（a +2）x +9a ＝0有两个不等的实数根x 1，x 2，且x 1＜1＜x 2，那么a 的取值范围是（）A ．﹣27＜a ＜25B ．a ＞25C ．a ＜﹣27D ．﹣211＜a ＜0 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a 的不等式，求出a 的取值范围．又存在x 1＜1＜x 2，即（x 1-1）（x 2-1）＜0，x 1x 2-（x 1+x 2）+1＜0，利用根与系数的关系，从而最后确定a 的取值范围．【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，则a≠0且△＞0，由（a+2）2-4a×9a=-35a 2+4a+4＞0，解得2275a -<<，又∵x 1＜1＜x 2，∴x 1-1＜0，x 2-1＞0，那么（x 1-1）（x 2-1）＜0，∴x 1x 2-（x 1+x 2）+1＜0，122a x x a ++=-，x 1x 2=9，即2910a a+++<，解得2011a -<<，综上所述，a 的取值范围为：2011a -<<. 故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系.掌握相关知识是关键：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．根与系数的关系为：1212,b c x x x x a a+=-=. 6．如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，其中正确的有（）个．①方程x 2+5x +6＝0是倍根方程：②若pq ＝2，则关于x 的方程px 2+4x +q ＝0是倍根方程；③若（x ﹣3）（mx +n ）＝0是倍根方程，则18m 2+15mn +2n 2＝0；④若方程ax 2+bx +c ＝0是倍根方程，且3a +b ＝0，则方程ax 2+bx +c ＝0的一个根为1A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】①解得方程后即可利用倍根方程的定义进行判断；②已知条件2pq =，然后解方程240px x q ++=即可得到正确的结论．③根据(3)()0x mx n -+=是倍根方程，且且13x =，2n x m =-，得到32n m =-，或6n m=-，从而得到320m n +=，60m n +=，进而得到2218152(32)(6)0m mn n m n m n ++=++=正确；④利用“倍根方程”的定义进行解答．【详解】解：①解方程2560x x ++=得：12x =-，23x =-，∴方程2560x x ++=不是倍根方程，故①错误；②2pq =，解方程240px x q ++=得：1x ，2x = 122x x ∴≠，故②错误；③(3)()0x mx n -+=是倍根方程，且13x =，2n x m=-， ∴32n m =-，或6n m=-， 320m n ∴+=，60m n +=，2218152(32)(6)0m mn n m n m n ∴++=++=，故③正确； ④方程20ax bx c ++=是倍根方程，∴设122x x =，∵3a+b=0，123x x ∴+=，2223x x ∴+=，21x ∴=，故④正确．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，反比例函数图形上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．二、填空题7．若关于x 的一元二次方程2(1)20x m x +++=的一个根是1-，则另一个根是_________．【答案】-2【分析】把-1代入方程求m ，再把m 代回方程，解方程即可；或用根与系数关系可求．【详解】解：方法一，把-1代入方程2(1)20x m x +++=，得，1(1)20m -++=，解得，m=2，代入原方程得，2320x x ++=，解得，121,2x x =-=-，故答案为：-2；方法二，设另一个根是a ，根据根与系数关系，a ×（-1）=2，a =-2，故答案为：-2【点睛】本题考查了一元二次方程的根和一元二次方程根与系数关系，选择不同方法解题，体现思维的灵活性，准确把握知识是解题关键．8．若实数a 、b 满足a 2﹣8a +5＝0，b 2﹣8b +5＝0，则a +b 的值_____．【答案】8或8±【分析】分类讨论：当a ＝b ，解方程易得原式＝8±；当a ≠b ，可把a 、b 可看作方程x 2﹣8x +5＝0的两根，然后根据根与系数的关系求解．【详解】解：当a ＝b 时，由a 2﹣8a +5＝0解得a ＝∴a +b ＝8±；a 、b 可看作方程x 2﹣8x +5＝0的两根，∴a +b ＝8．故答案为8或8±．【点睛】本题主要考查解一元二次方程以及根与系数的关系，能够对a 、b 进行分类讨论是解题关键． 9．若实数m 、n 满足21010m m -+=，21010n n -+=，则代数式33m n mn +的值为______．【答案】98【分析】由题意得：m 、n 是方程21010x x -=+的两个根，利用跟与系数的关系，得出10m n +=，1⋅=m n ，进而即可求解．【详解】解：∵实数m 、n 满足21010m m -+=，21010n n -+=，∴m 、n 是方程21010x x -=+的两个根，∴10m n +=，1⋅=m n ，∴33m n mn +=222()()2mn m n mn m n mn ⎡⎤+=+-⎣⎦=21102198⎡⎤⨯-⨯=⎣⎦，故答案是：98．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，把实数m 、n 看作是方程21010x x -=+的两个根，是解题的关键． 10．已知α、β是方程x 2－2x －1＝0的两个根，则α2＋2β＝_____．【答案】5【分析】先用一元二次方程跟与系数的关系，再利用方程变形即可【详解】解：由题意可得：+=2=-1αβαβ，∴2+24=αβ∴2=42αβ-∵α、β是方程x 2－2x －1＝0的两个根∴2210αα--=∴()24210αβ---=故答案是：5【点睛】本题考查一元二次方程跟与系数的关系，换元法是关键11．已知方程2410x x --=的两根为12,x x ，则()()1211x x --=________．【答案】4-【分析】根据根与系数关系，求出两根之和、两根之积，代入求值即可．【详解】解：方程2410x x --=的两根为12,x x ，所以，124x x +=，121x x ⋅=-，()()121212111()x x x x x x --+-+=，把124x x +=，121x x ⋅=-代入得，原式=1414--=-，故答案为：-4．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系，解题关键是明确一元二次方程根与系数关系，求出两根之和、两根之积，把所求式子变形，整体代入求值．12．若1x ，2x 是关于x 的方程()22230x k x k --+=的两个实数根，且12:1:4x x =，则k 的值是___________．【答案】23k =或6k =- 【分析】设方程的两根分别为x 1，x 2，根据根与系数的关系得到1223x x k +=-，212x x k =，根据题意有12:1:4x x =，可得2316120k k +-=，解得23k =或6k =-，而△≥0，即（2k ﹣3）2﹣4k 2≥0，解得34k ≤；最后得到满足条件的k 值；【详解】解：根据题意1223x x k +=-，212x x k =，∵12:1:4x x =，∴214x x =，∴12215234x k x k =-⎧⎨=⎩，∴222345-⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭k k ，整理得2316120k k +-=，解得23k =或6k =-． ∵方程有两个实数根∴△≥0，即（2k ﹣3）2﹣4k 2≥0，解得34k ≤， ∴23k =或6k =-．故答案为：23k =或6k =-．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）根与系数的关系：若方程的两根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2b a =-，x 1•x 2c a=． 13．已知一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）．下列说法：①若a +c ＝0，则方程一定有两个不相等的实数根；②若a +b +c ＝0，则1一定是这个方程的实数根；③若b 2﹣6ac ＞0，则方程一定有两个不相等的实数根；④若ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两个根为2和3，则1211,23x x ==是方cx 2+bx +a ＝0（a ≠0）的根，其中正确的是_____（填序号）．【答案】①②④【分析】根据一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、解的意义求解．【详解】解：①因为a +c ＝0，a ≠0，所以a 、c 异号，所以△＝b 2﹣4ac ＞0，所以方程有两个不等的实数根故①正确；②∵x=1时，ax 2+bx +c ＝a+b+c ，∴a +b +c ＝0时，一定有一个根是1，故②正确；③根据b 2﹣6ac ＞0，不能得到b 2﹣4ac ＞0，从而不能证得方程ax 2+bx +c ＝0一定有两个不相等的实数根，故③错误；④∵2和3是ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两个根， ∴235,236b c a a-=+==⨯=， ∴51,66b a c c -==，而115111,236236b a c c+==-⨯==， ∴121123x x ==，是方和cx 2+bx +a ＝0（a ≠0）的根，故④正确， ∴正确的结论是①②④，故答案为：①②④，【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程根判别式的计算与应用、根与系数的关系、解的意义是解题关键．14．已知对于两个不相等的实数a 、b，定义一种新的运算：@a b a b=+，如6@15615217===+，已知m ，n 是一元二次程22170x x -+=的两个不相等的实数根，则[()@m n mn +=_______．【答案】25【分析】首先根据韦达定理求解两根之和与两根之积，然后代入原式根据定义进行求解．【详解】由m ，n 是22170x x -+=的两个不相等的实数根可得：21m n +=，7mn =故[()@(21@m n mn +=217⎛= +⎝⎭28⎛= ⎝⎭28===2=25= 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系（也叫韦达定理），实数的定义新运算，此类题型一定要严格按照题目中的定义来求解，注意过程的正确性．三、解答题15．若关于x 的方程()21410k x x ---=有两个实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若方程的两根1x ，2x ，满足()()12114x x ++=，求k 的值．【答案】（1）k ≥-3且k ≠1；（2）74【分析】（1）根据方程有两个实数根，结合根的判别式，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出结论．（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x 1+x 2＝41k -，x 1x 2＝11k --，再将它们代入()()12114x x ++=，即可求出k 的值．【详解】（1）∵关于x 的一元二次方程()21410k x x ---=有两个实数根，∴△＝42+4（k ﹣1）＝4k +12≥0，且k -1≠0，解得：k ≥-3且k ≠1．∴k 的取值范围为：k ≥-3且k ≠1．（2）由根与系数关系得：x 1+x 2＝41k - ，x 1x 2＝11k --， ∴()()1211x x ++＝x 1x 2+（x 1+x 2）+1＝41k -+11k --＝4．解得k ＝74．经检验，k ＝74是分式方程的解．故k 的值是74．【点睛】本题主要考查了根的判别式及根与系数的关系，熟练运用根的判别式及根与系数的关系是解决问题的关键．16．已知关于x 的一元二次方程x 2+（m +3）x +m +1＝0．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若已知方程的一个根为﹣2，求方程的另一个根以及m 的值．【答案】（1）见解析；（2）方程的另一根为0，m 的值为1-【分析】（1）由△＝（m +3）2﹣4×1×（m +1）＝（m +1）2+4＞0可得答案；（2）设方程的另外一根为a ，根据一元二次方程根与系数的关系得出2321a m a m -=--⎧⎨-=+⎩，解之即可得出答案．【详解】（1）证明：∵△＝（m +3）2﹣4×1×（m +1）＝m 2+6m +9﹣4m ﹣4＝m 2+2m +1+4＝（m +1）2+4＞0，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的另外一根为a ，根据题意，得：2321a m a m -=--⎧⎨-=+⎩，解得：01a m =⎧⎨=-⎩，所以方程的另一根为0，m 的值为1-．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式与一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识解决一元二次方程根的问题是解题的关键．17．非零实数a ，b （a ≠b ）满足a 2﹣a ﹣2013＝0，b 2﹣b ﹣2013＝0，求11a b+的值．【答案】12013- 【分析】根据题意，可把a 和b 看作方程x x --=220130的两根，根据根与系数的关系得到a +b ＝1，ab =-2013，再变形11a b+得到a b ab +，然后利用整体代入的方法计算即可．【详解】解：∵非零实数a ，b （a ≠b ）满足220130a a --=，220130b b --=，∴实数a 、b 是方程x x --=220130的两根．由根与系数的关系可知a +b ＝1，ab =-2013． ∴111120132013a b a b ab ++===--．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值．若12x x ，是一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两个根，那么12b x x a +=-，12c x x a=． 18．已知m ，n 是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，是否存在实数a 使﹣（m +n ）（7m 2﹣14m +a ）（3n 2﹣6n ﹣7）的值等于8？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．【答案】存在，a ＝-6【分析】根据方程的解的定义得出m 2-2m =1，n 2-2n =1，m +n =2，再整体代入即可得出a 的值．【详解】解：存在，理由如下：∵m ，n 是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，∴m 2﹣2m ＝1，n 2﹣2n ＝1，m +n ＝2，∴﹣（m +n ）（7m 2﹣14m +a ）（3n 2﹣6n ﹣7）＝﹣（m +n ）[7（m 2﹣2m ）+a ][3（n 2﹣2n ）﹣7]＝﹣2×（7+a ）（3﹣7）＝8（7+a ），由8（7+a ）＝8得a ＝﹣6，∴存在实数a ＝﹣6，使﹣（m +n ）（7m 2﹣14m +a ）（3n 2﹣6n ﹣7）的值等于8．【点睛】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系，解题的关键是得出m 2-2m =1，n 2-2n =1，m +n =2，注意解题中的整体代入思想．19．已知关于x 的一元二次方程2(4)240x m x m -+++=．（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；（2）若12,x x 为方程的两个根，且22124n x x =+-，判断动点(,)P m n 所形成的数图象是否经过点(5,9)A -，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）经过，理由见解析【分析】（1）根据判别式公式得△=m 2≥0，即可得到答案；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得到x 1+x 2和x 1x 2关于m 的表达式，整理n =x 12+x 22-4，得n =（m +2）2，即可得到答案．【详解】解：（1）证明：∵△=[-（m +4）]2-4（2m +4）=m 2≥0，∴该一元二次方程总有两个实数根；（2）根据题意得：x 1+x 2=m +4，x 1x 2=2m +4，n =x 12+x 22-4=(x 1+x 2)2-2x 1x 2-4，=（m +4）2-2（2m +4）-4=m 2+4m +4=（m +2）2即n =（m +2）2，经过（-5，9）．【点睛】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，坐标与图形性质，解题的关键：（1）正确掌握根的判别式，（2）正确掌握一元二次方程根与系数的关系，坐标与图形性质．20．已知：α，β（α＞β）是一元二次方程210x x --=的两个实数根，设1s αβ=+，222s αβ=+， …，n n n s αβ=+．根据根的定义，有210αα--=，210ββ--=，将两式相加，得22()()20αβαβ+-+-=，于是，得2120s s --=．根据以上信息，解答下列问题： ①利用配方法求α，β的值，并利用一元二次方程根与系数的关系直接写出1s ，2s 的值．②猜想：当n ≥3时，n s ，1n s -，2n s -之间满足的数量关系，并证明你的猜想的正确性．(注：关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=若有两根12,x x ，则有1212;b c x x x x a a +=-=)【答案】①12α+=，12β=；11s =，23s =；②12n n n s s s --=+，证明见解析【分析】①按照配方法的步骤对原方程进行求解即可得出α，β的值，然后结合根与系数的关系求出1s ，2s 的值即可；②根据材料定义得120n n n ααα----=和120n n n βββ----=，然后联立求和即可推出结论．【详解】①移项，得21x x -=，配方，得22211121222x x ⎛⎫⎛⎫-⨯⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即21524x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，开平方，得122x -=±，即x =，∴α=，β=．于是，11s =，23s =．②猜想：12n n n s s s --=+．证明：根据根的定义，210αα--=，两边都乘以2n α-，得120n n n ααα----=，①同理，120n n n βββ----=，②①＋②，得1122()()()0n n n n n n αβαβαβ----+-+-+=，∵n n n s αβ=+，111n n n s αβ---=+，222n n n s αβ---=+，∴120n n n s s s ----=，即12n n n s s s --=+．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及新定义问题，理解材料给出的定义，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．。

考点04 一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系(解析版)

考点四一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系知识点整合一、一元二次方程根的判别式及根与系数关系1．根的判别式一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠是否有实数根，由24b ac -的符号来确定，我们把24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2．一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）当240b ac ->时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根；（2）当240b ac -=时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有1个（两个相等的）实数根；（3）当240b ac -<时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠没有实数根．3．根与系数关系对于一元二次方程20ax bx c ++=（其中,,a b c 为常数，0a ≠），设其两根分别为1x ，2x ，则12b x x a +=-，12c x x a=．典例引领1．已知关于x 的一元二次方程()()22110x m x m m -+++=．(1)求证：无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根：(2)若该方程的一个根为1，求m 的值及另一个根．【答案】(1)证明见解析(2)当0m =时，方程的另一个根为0x =；当1m =时，方程的另一个根为2x =【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键．（1）只需要证明()()221410m m m ∆=-+-+>⎡⎤⎣⎦恒成立即可；（2）把1x =代入原方程得到20m m -=，解方程求出m 的值，进而根据m 的值解方程求出方程的另一根即可．【详解】（1）证明：由题意得，()()22141m m m ∆=-+-+⎡⎤⎣⎦依题意有：215x -+=，21x k -⋅=，解得26x =，6k =-，故k 的值为6-，方程的另一个根为6x =．9．求证：对于任意实数m ，关于x 的方程22220x mx m -+-=总有两个不相等的实数根．【答案】见解析【分析】本题主要考查了一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根情况，判断其根的情况，完全取决于24b ac ∆=-的符号，当0> 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根．【详解】解：()24422m m =--△2488m m =-+()2414m =-+．()210m -≥，∴()241440m =-+≥>△．∴对于任意实数m ，关于x 的方程22220x mx m -+-=总有两个不相等的实数根．10．已知关于x 的一元二次方程()2320x m x m ++++=．(1)求证：不论实数m 取何值，方程总有实数根；(2)当m 取何值时，方程有两个相等的实数根？【答案】(1)见详解(2)1m =-【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记“24b ac ∆=-”是解题关键．（1）方程有实数根时240b ac ∆=-≥，由此即可求解．（2）方程有两个相等的实数根即240b ac ∆=-=，由此即可求解．【详解】（1）证明：()()2243412b ac m m ∆=-=+-⨯⨯+26948m m m =++--221m m =++()21m =+（2）由题意得，222229k k ⨯+-=，整理得，245k k -=，根据()223122023342023k k k k -+=-+，计算求解即可．【详解】（1）解：∵2229x kx k +-=，∴22290x kx k -+-=，∴()()222419360k k ∆=--⨯⨯-=>，∴此方程有两个不相等的实数根；（2）解：由题意得，222229k k ⨯+-=，整理得，245k k -=，∴()2231220233420231520232038k k k k -+=-+=+=，∴23122023k k -+的值为2038．13．已知关于x 的方程22220x mx m ++-=．(1)试说明：无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程有一个根为3，求22122043m m ++的值．【答案】(1)证明见解析(2)2029【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，代数式求值；（1）根据一元二次方程根的判别式，进行证明即可；（2）根据方程有一个根为3，得出267m m +=-，然后整体代入求值即可．解题的关键是熟练掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．【详解】（1）证明：∵()()2222241244880m m m m ∆=-⨯⨯-=-+=>，∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵方程有一个根为3，∴223620m m ++-=，整理，得：267m m +=-，∴22122043m m ++()2262043m m =++()272043=⨯-+142043=-+2029=．14．已知关于x 的一元二次方程210x mx m -+-=．(1)若该方程有一个根是2，求该方程的另一个根；(2)求证：该方程总有两个实数根．【答案】(1)1(2)见解析【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式，（1）直接把2x =代入到原方程中得到关于m 的方程，再解方程即可得到答案；（2）根据一元二次方程根的判别式进行证明．掌握对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=->，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=-=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=-，则方程没有实数根；理解一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，是解决问题的关键．【详解】（1）解：当2x =时，4210m m -+-=3m ∴=，则原方程为：2320x x -+=，即：()()210x x --=，11x ∴=，22x =，∴另一个根1，（2）证明：()()2Δ411m m =--⨯⨯-244m m =-+()220m =-≥，∴该方程总有两个实数根；15．已知关于x 的一元二次方程()()25230x m x m +---=(1)求证：该方程总有两个实数根(2)如果该方程的两个实数根的差为4，求m 的值(2)“凤凰”方程必定有一个根是______；(3)已知方程20x mx n ++=是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求mn 的值．【答案】(1)2230x x +-=(2)1(3)mn 2=-【分析】（1）本题主要考查一元二次方程根的情况，通过观察可以发现1x =是方程的根，直接写出一个根为1一元二次方程即可．（2）本题主要考查通过代数式观察，可以发现1x =是一元二次方程的一个根，直接求解即可．（3）本题主要考查由一元二次方程根的情况，推导出240b ac ∆=-=，可以得到一个方程，再由凤凰方程，又可以得到一个10m n ++=的方程，然后去求，m 和n 即可，最后求出mn 的值．【详解】（1）由题可知，要写出一个一元二次方程，并且满足一个根是1x =；即为：2230x x +-=．（2）关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，且满足0a b c ++=；∴1x =时，0a b c ++=；故凤凰”方程必定有一个根是1x =．（3）20x mx n ++= 是“凤凰”方程；10m n ∴++=，即1n m =--；方程20x mx n ++=有两个相等的实数根；240m n ∴∆=-=．将1n m =--代入，得()2410m m ---=；解得：2,1m n =-∴=；()212mn ∴=-⨯=-．19．已知关于x 的一元二次方程()23220x k x k ++++=．(1)求证：方程有两个实数根；(2)若方程的两个根分别为1x ，2x ，且1212217x x x x ++=，求k 的值．【答案】(1)见解析【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系，解一元二次方程；（1）求出0∆>即可证明；（2）根据根与系数的关系得出1221k x k x -=++，123x x +=，结合已知等式得出关于k 的一元二次方程，解方程可得答案．【详解】（1）证明：∵()()()2222234194444452140k k k k k k k ∆=---++=+--=-+=-+>，∴无论k 取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵方程22310x x k k ++--=有两个实数根1x ，2x ，∴1221k x k x -=++，123x x +=，又∵()()12113++=x x ，∴121213x x x x +++=，∴23131k k -+++=+，解得：12k =，21k =-．5．已知关于x 的一元二次方程220x x k ++=．(1)若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；(2)若m 是方程的根，且222m m +=，求k 的值．【答案】(1)1k <(2)2k =-【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与一元二次方程的解的含义，理解原理的应用是解本题的关键；（1）根据方程有两个不相等的实数根，可得240b ac ∆=->，求出k 的取值范围即可；（2）先由方程解的含义可得22m m k +=-，结合222m m +=即可求解．【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程220x x k ++=有两个不相等的实数根，∴24440b ac k ∆=-=->，解得：1k <；（2）∵m 是方程220x x k ++=的根，∴220m m k ++=即22m m k +=-，∵222m m +=，∴2k -=，解得：2k =-．6．已知关于x 的一元二次方程2210(0)nx x n -+=≠有实数根．(1)求n 的取值范围；(2)当n 取最大值时，求方程2210(0)nx x n -+=≠的根．【答案】(1)1n ≤且0n ≠(2)121x x ==【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式以及解一元二次方程．（1）根据题意，可得240b ac ∆=-≥，即440n -≥，解不等式，并根据一元二次方程的定义确定n 的取值范围即可；（2）结合n 的取值范围确定n 的最大值，然后利用配方法解该方程即可．【详解】（1）解：根据题意，一元二次方程2210(0)nx x n -+=≠有实数根，则224(2)41440b ac n n ∆=-=--⨯⨯=-≥，解得1n ≤，又∵0n ≠，∴n 的取值范围是1n ≤且0n ≠；（2）由1n ≤且0n ≠得，n 的最大值为1，把1n =代入原方程得2210x x -+=，∴2(1)0x -=，解得121x x ==．7．己知一元二次方程2410x x m -+-=．(1)若方程有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围；(2)若方程有两个相等的实数根，求实数m 以及此时方程的根．【答案】(1)5m <(2)5m =，122x x ==【分析】本题考查了根的判别式，牢记“①当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；③当Δ0<时，方程无实数根．”（1）由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出结论；（2）由方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）解：2(4)4(1)m ∆=---，方程有两个不相等的实数根，∴0∆>，解得5m <．（2）方程有两个相等的实数根，∴Δ0=，即164(1)0m --=解得5m =(1)若所捂的部分为【详解】（1）解：∵方程有实数解是1x 和2x ，∴()22410k ∆=--≥，解得2k ≤，故k 的取值范围是2k ≤；（2）∵一元二次方程2210x x k ++-=的实数解是1x 和2x ，∴122x x +=-，121x x k ⋅=-，则()121221x x x x k +-=---，∵12121x x x x +-<-∴()211k ---<-，解得0k >，又由（1）知2k ≤，∴02k <≤，∵k 为整数，∴k 的值为1或2．13．已知关于x 的一元二次方程250x ax a ++-=．(1)若该方程的一个根为3，求a 的值及该方程的另一个根；(2)求证：不论a 为何值，该方程总有两个不相等的实数根．【答案】(1)方程的另一根为2-；(2)见解析【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，（1）将方程的根代入可求得a 的值，再根据根与系数的关系可求得另一个根；（2）用a 表示出其判别式，利用配方可化为平方的形式，可判断判别式的符号，可得出结论；掌握一元二次方程根的判别式与根的个数的关系及根与系数的关系是解题的关键．【详解】（1）解：将3x =代入方程250x ax a ++-=可得：9350a a ++-=，解得1a =-；∴方程为260x x --=，设另一根为x ，则36x =-，。

一元二次方程根的判别式、根与系数的关系习题课

一元二次方程根的判别式、根与系数的关系习题课南洋初级中学/吕湘霞教学目标：1、巩固一元二次方程根的判别式、根与系数的关系2、灵活运用一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行解题教学重点与难点：韦达定理与根的判别式的综合应用教学过程：第一部分：一元二次方程根的判别式一、复习一元二次方程根的判别式（学生口述，老师板书）根的判别式：△=24b ac -（分三种情况）⎪⎩⎪⎨⎧⇔〈-=∆⇔=-=∆⇔〉-=∆方程没有实数根时根方程有两个相等的实数时数根方程有两个不相等的实时040404222ac b ac b ac b 二、一元二次方程根的判别式的应用（一）已知一个方程，判别方程根的情况题1：不解方程判别下列方程有没有实数根或有几个怎样的实数根？ 1、232(21)x x =- 2、271x +=3、2234x x +=小结：对于一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）当a 、c 异号时，△一定大于零（二）方程中含有字母系数，研究根的情况题2：求证：不论m 取何值时，关于x 的方程2(1)10x m x ---=一定有两个不相等的实数根。

小结：证明题的一般步骤：（1）计算24b ac -（2）对24b ac -进行适当的变形，常用的变形方式主要是配方法（3）说理，即说明△的符号（4）得出所要求证的结论变式：已知方程2(1)10mx m x ---=问题1：m 为何值时，方程有两个实数根？问题2：m 为何值时，方程有实数根？问题3：m 为何值时，该方程的两个实数根的平方和为3？小结：此类方程中，二次项的系数含有字母因而要注意在求解过程中需同时满足⎧⎨∆⎩二次项系数不等于零的取值范围三、小结第二部分：韦达定理（说明：由第一部分题2变式的问题3引出根与系数的关系，由于涉及到分式方程，因而只要求学生列出式子即可，不作具体的解答要求）一、复习根与系数的关系如果方程()002≠=++a c bx ax 的两个根是1x ，2x ，那么 a b x x -=+21 ac x x =⋅21 二、韦达定理的运用（一）已知一个方程，利用根与系数的关系解决相关问题题3：已知方程22450x x --=的两个根是1x 和2x ，求（1）2212x x + （2）2112x x x x + （3）3312x x + （4）12x x -（二）给出两根的相关条件，求作新方程题4：利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，使它的根分别是题3中方程的两个根的（1）2倍（2）平方三、小结第三部分：根的判别式与韦达定理的综合运用题5：已知关于x 的方程2(2)310k x x --+=问题1：k 为何值时，方程有两个实数根？问题2：k 为何值时，方程两根异号？问题3：k 为何值时，方程的两根同为正号？题6：已知2210x x m -+-=，当21225x x +=时，求m 的值题7：已知m 、n 是方程2199810x x ++=的两个根，求22(19961)(20001)m m n n ++++的值第四部分：课堂小结。

阶段滚动训练(三) 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系-中考数学一轮复习知识考点习题课件

解得k＝5或k＝－3.
由(1)可知k≤3，∴k＝－3.
上一页下一页
3.(202X·孝感)已知关于x的一元二次方程(2k 1)x 1 k 2 2 0. 2
(1)求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
证明：Δ＝
(2k
1)2
4
1
1 2
k
2
2
2(k
1)2
7.
∵无论k为何实数，2(k＋1)2≥0，
(2)是否存在实数k，使得等式 1 1 k 2 成立？如果存在，要求出k的值；
x1 x2
如果不存在，请说明理由.
解：存在．由根与系数的关系，得x1＋x2＝2，x1x2＝k＋2.
1 1 k 2, x1 x2 k 2,即 2 k 2，
x1 x2
x1x2
k2
解得 k1 6, k2 6，
(1)求k的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，且解：(1)由题意，得
3 x1
3 x2
x1x2
4, 求实数k的值.
Δ＝(－4)2－4(k＋1)＝12－4k≥0，解得k≤3.
(2)由根与系数的关系，得x1＋x2＝4，x1x2＝k＋1.
x 3 1 x 3 2 x 1 x 2 4 , 3 x x 1 1 x 2 x 2 x 1 x 2 4 , 即 3 k 4 1 k 1 4 ，
∴2(k＋1)2＋7＞0，
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根．
上一页下一页
(2)若方程的两个实数根x1，x2满足x1－x2＝3，求k的值.
解：由根与系数的关系，得x1＋x2＝2k＋1，x1x2
1 2
k2
2.
∵x1－x2＝3，∴(x1－x2)2＝9，

8一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解(提高)及其练习

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解（提高）【学习目标】1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.【要点梳理】要点一、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆ （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点诠释：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用在方程()002≠=++a c bx ax 中，（1）方程有两个不相等的实数根⇒ac b 42-﹥0；（2）方程有两个相等的实数根⇒ac b 42-=0；（3）方程没有实数根⇒ac b 42-﹤0.要点诠释：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；（2）若一元二次方程有两个实数根则 ac b 42-≥0. 要点二、一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2x x x x x x +=+-；②12121211x x x x x x ++=； ③2212121212()x x x x x x x x +=+；④2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22121212()()4x x x x x x -=+-；⑥12()()x k x k ++21212()x x k x x k =+++；⑦2212121212||()()4x x x x x x x x -=-=+-；⑧22212121222222121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==； ⑨2212121212()()4x x x x x x x x -=±-=±+-； ⑩22212121212||||(||||)+2||x x x x x x x x +=+=+2121212()22||x x x x x x =+-+．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则 ①当△≥0且120x x >时，两根同号．当△≥0且120x x>，120x x+>时，两根同为正数；当△≥0且120x x>，120x x+<时，两根同为负数．②当△＞0且120x x<时，两根异号．当△＞0且120x x<，120x x+>时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且120x x<，120x x+<时，两根异号且负根的绝对值较大．要点诠释：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根a b+，则必有一根a b-（a，b为有理数）．【典型例题】类型一、一元二次方程根的判别式的应用1（•梅州）已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．【思路点拨】（1已知方程有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．（2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．【答案与解析】解：（1）∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，解得：a＜3．∴a的取值范围是a＜3；（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：，解得：，则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．【总结升华】熟练掌握一元二次方程根的判别式与根之间的对应关系．举一反三：【变式】（•张家界）若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是（）A. 1 B. 0,1 C. 1,2 D. 1,2,3【答案】A.提示：根据题意得：△=16﹣12k ≥0，且k ≠0，解得：k ≤，且k ≠0. 则k 的非负整数值为1．2.已知关于x 的一元二次方程2(1)10m x x -++=有实数根，则m 的取值范围是________ 【答案】54m ≤且m ≠1 【解析】因为方程2(1)10m x x -++=有实数根，所以214(1)450m m =--=-+≥△，解得54m ≤，同时要特别注意一元二次方程的二次项系数不为0，即(1)0m -≠， ∴ m 的取值范围是54m ≤且m ≠1．【总结升华】注意一元二次方程的二次项系数不为0，即(1)0m -≠，m ≠1．举一反三：【变式】已知：关于x 的方程2(1)04kkxk x +++=有两个不相等的实数根,求k 的取值范围. 【答案】102k k ≠＞－且.类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用3. （•绥化）关于x 的一元二次方程x 2+2x +2m=0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若x 1，x 2是一元二次方程x 2+2x +2m=0的两个根，且x 12+x 22=8，求m 的值．【思路点拨】（1）根据方程根的个数结合根的判别式，可得出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）根据方程的解析式结合根与系数的关系找出x 1+x 2=﹣2，x 1•x 2=2m ，再结合完全平方公式可得出x 12+x 22=﹣2x 1•x 2，代入数据即可得出关于关于m 的一元一次方程，解方程即可求出m 的值，经验值m=﹣1符合题意，此题得解．【答案与解析】解：（1）∵一元二次方程x 2+2x +2m=0有两个不相等的实数根， ∴△=22﹣4×1×2m=4﹣8m ＞0，解得：m ＜．∴m 的取值范围为m ＜．（2）∵x 1，x 2是一元二次方程x 2+2x +2m=0的两个根，∴x 1+x 2=﹣2，x 1•x 2=2m ， ∴x 12+x 22=﹣2x 1•x 2=4﹣4m=8，解得：m=﹣1．当m=﹣1时，△=4﹣8m=12＞0．∴m 的值为﹣1．【总结升华】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、解一元一次不等式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）结合题意得出4﹣8m ＞0；（2）结合题意得出4﹣4m=8．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的个数结合根的判别式得出不等式是关键．举一反三：【变式】不解方程，求方程22310x x +-=的两个根的（1）平方和；（2）倒数和．【答案】（1）134；（2）3．4. 求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程25230x x +-=各根的负倒数．【答案与解析】设方程25230x x +-=的两根分别为x 1、x 2，由一元二次方程根与系数的关系，得1225x x +=-，1235x x =-．设所求方程为20y py q ++=，它的两根为y 1、y 2，由一元二次方程根与系数的关系得111y x =-，221y x =-，从而12121212122111125()335x x p y y x x x x x x -⎛⎫+=-+=---=+=== ⎪⎝⎭-，12121211153q y y x x x x ⎛⎫⎛⎫==--==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故所求作的方程为225033y y +-=，即23250y y +-=．【总结升华】所求作的方程中的未知数与已知方程中的未知数要用不同的字母加以区别．同时“以两个数为根的一元二次方程是.”可以用这种语言形式记忆“2x -和x +积＝0”，或“减和加积”，此处的一次项系数最容易出现符号上的错误．一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. 关于x 的方程2210mx x ++=无实数根，则m 的取值范围为( )． A ．m ≠0 B ．m ＞1 C ．m ＜1且m ≠0 D ．m ＞-12．（•烟台）等腰三角形边长分别为a ，b ，2，且a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+n ﹣1=0的两根，则n 的值为（）.A ．9B ．10C ．9或10D ．8或10 3．若1x 、2x 是一元二次方程2210x x +-=的两根，则1211x x +的值为（）． A ．-1 B ．0 C ． 1 D ．24．设a ，b 是方程220130x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（）． A ．2010 B ．2011 C ．2012 D ．20135．若ab ≠1，且有25201290a a ++=，及29201250b b ++=，则ab的值是（）． A ．95 B ．59 C ．20125- D ．20129- 6．超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x ，则由题意列方程应为( )A.200(1+x)2=1000 B.200+200×2x=1000C.200+200×3x=1000D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000二、填空题 7．已知关于x 的方程221(3)04x m x m --+=有两个不相等的实数根，那么m 的最大整数值是________． 8．关于x 的一元二次方程22(21)10x m x m -+++-=无实数根，则m 的取值范围是__ ___． 9．（•曲靖）一元二次方程x 2﹣5x+c=0有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c 是整数，则c= ．（只需填一个）． 10．在Rt △ABC 中，∠C=900，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程的两根，那么AB 边上的中线长是 . 11．（•南京）设x 1、x 2是方程x 2﹣4x +m=0的两个根，且x 1+x 2﹣x 1x 2=1，则x 1+x 2= ，m= ．12．已知：关于x 的方程①的两个实数根的倒数和等于3，关于x 的方程②有实数根且k 为正整数，则代数式的值为 .三、解答题13. 已知关于x 的方程22210x mx m --+=的两根的平方和等于294，求m 的值．14．（•南充）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +（2m +1）=0有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x 1，x 2，且2x 1x 2+x 1+x 2≥20，求m 的取值范围． 15．（•峨眉山市一模）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2kx+k 2+2=2（1﹣x ）有两个实数根x 1、x 2．（1）求实数k 的取值范围；（2）若方程的两实数根x 1、x 2满足|x 1+x 2|=x 1x 2﹣1，求k 的值．【答案与解析】一、选择题 1．【答案】B ；【解析】当m ＝0时，原方程的解是12x =-；当m ≠0时，由题意知△＝22-4·m ×1＜0，所以m ＞1． 2．【答案】B ；【解析】∵三角形是等腰直角三角形，∴①a=2，或b=2，②a=b 两种情况， ①当a=2，或b=2时，∵a，b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+n ﹣1=0的两根， ∴x=2，把x=2代入x 2﹣6x+n ﹣1=0得，22﹣6×2+n﹣1=0，解得：n=9，当n=9，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故n=9不合题意，②当a=b 时，方程x 2﹣6x+n ﹣1=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣6）2﹣4（n ﹣1）=0 解得：n=10，故选B ．3．【答案】C ；【解析】由一元二次方程根与系数的关系知：1212x x +=-，1212x x =-，从而121212111x x x x x x ++==．4.【答案】C ；【解析】依题意有22013a a +=，1a b +=-，∴222()()201312012a a b a a a b ++=+++=-=．5．【答案】A ；【解析】因为25201290a a ++=及29201250b b ++=，于是有25201290a a ++=及2115()201290bb+•+=，又因为1ab ≠，所以1a b ≠，故a 和1b 可看成方程25201290x x ++=的两根，再运用根与系数的关系得195a b •=，即95a b =．6．【答案】D ；【解析】一月份的营业额为200万元；二月份的营业额为200（1+x ）万元；三月份的营业额为200（1+x ）2万元；一季度的总营业额共1000万元，所以200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000，故选D.二、填空题 7．【答案】1；【解析】由题意知△＝221[(3)]404m m ---⨯⨯>，所以32m <，因此m 的最大整数值是1． 8．【答案】54m <-；【解析】因为关于x 的一元二次方程22(21)10x m x m -+++-=无实数根，所以22(21)4(1)(1)0m m +-⨯--<，解得54m <-． 9．【答案】4；【解析】∵一元二次方程x 2﹣5x+c=0有两个不相等的实数根，∴△=（﹣5）2﹣4c ＞0，解得c ＜，∵x 1+x 2=5，x 1x 2=c ＞0，c 是整数，∴c=4．故答案为：4．10．【答案】；【解析】因直角三角形两直角边a 、b 是方程的二根，∴有a+b=7①a·b=c+7②，由勾股定理知c 2=a 2+b 2③，联立①②③组成方程组求得c=5， ∴斜边上的中线为斜边的一半，故答案为.11【答案】4；3．【解析】∵x 1、x 2是方程x 2﹣4x +m=0的两个根，∴x 1+x 2=﹣=4，x 1x 2==m ．∵x 1+x 2﹣x 1x 2=4﹣m=1， ∴m=3．12.【答案】0.【解析】先根据根与系数的关系求得a 值，a=-1,再将a=-1代入到第二个方程.因第二个方程一定有实根，由△≥0得178k ≤，因为k 为正整数，=12k 或，当=2k 时，分母为0，故舍去，所以k=1, 当k=1时.0=k-1k-2.三、解答题13. 【答案与解析】解：设方程的两根为x 1、x 2，则由根与系数关系，得122m x x +=，12122m x x -=．由题意，得 2212294x x +=，即2121229()24x x x x +-=，∴ 212292224m m -⎛⎫-=⎪⎝⎭，整理，得28330m m +-=．解得13m =，211m =-．当m ＝3时，△＝28(21)490m m +-=>；当m ＝-11时，△＝28(21)630m m +-=-<，方程无实数根． ∴ m ＝-11不合题意，应舍去． ∴ m 的值为3．14. 【答案与解析】解：（1）根据题意得△=（﹣6）2﹣4（2m +1）≥0，解得m ≤4；（2）根据题意得x 1+x 2=6，x 1x 2=2m +1，而2x 1x 2+x 1+x 2≥20，所以2（2m +1）+6≥20，解得m ≥3，而m ≤4，所以m 的范围为3≤m ≤4．15. 【答案与解析】解：（1）方程整理为x 2﹣2（k ﹣1）x+k 2=0，根据题意得△=4（k ﹣1）2﹣4k 2≥0，解得k ≤；（2）根据题意得x 1+x 2=2（k ﹣1），x 1•x 2=k 2， ∵|x 1+x 2|=x 1x 2﹣1， ∴|2（k ﹣1）|=k 2﹣1， ∵k ≤，∴﹣2（k ﹣1）=k 2﹣1，整理得k 2+2k ﹣3=0，解得k 1=﹣3，k 2=1（舍去）， ∴k=﹣3．。

专题06 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系(强化-提高)解析版

专题06 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系（强化-提高)一、单选题(共40分)1．(本题4分)（2021·湖南湘西土家族苗族自治州·九年级期末）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（）A．2690-+=x xx x++=B．2230C．22x x-+=-=D．23420x x【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可．【详解】解：A.x2+6x+9=0，则△=62-4×9=36-36=0，即该方程有两个相等实数根，故本选项不合题意；B.2230x x-+=，则△=(-2)2-4×3=4-12=-8<0，即该方程无实数根，故本选项不合题意；C.22-=，则△=(-1)2-4×(-2)=1+8=9>0，即该方程有两个不相等实数根，故本选项合题x x意；D.2-+=，则△=(-４)2-4×3×2=16-24=-8<0，即该方程无实数根，故本选项不合题x x3420意．故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：△当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；△当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；△当△＜0时，方程无实数根．2．(本题4分)（2021·全国九年级专题练习）直线y x a =+不经过第二象限，则关于x 的方程2210ax x ++=实数解的个数是（）.A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个【答案】D【分析】根据直线y x a =+不经过第二象限，得到0a ≤，再分两种情况判断方程的解的情况.【详解】△直线y x a =+不经过第二象限，△0a ≤，△方程2210ax x ++=，当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解，当a<0时，方程为一元二次方程，△∆=2444b ac a -=-，△4-4a>0，△方程有两个不相等的实数根，故选：D.【点睛】此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易错点是a 的取值范围，再分类讨论.3．(本题4分)（2021·全国九年级专题练习）关于x 的一元二次方程2(3)10x k x k +-+-=根的情况，下列说法正确的是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定【答案】A【分析】先计算判别式，再进行配方得到△=（k -1）2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．【详解】△=(k -3)2-4(1-k)=k 2-6k+9-4+4k=k 2-2k+5=(k -1)2+4，△（k -1）2+4＞0，即△＞0，△方程总有两个不相等的实数根．故选：A ．【点睛】本题考查的是根的判别式，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：△当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；△当△=0时，方程有两个相等的实数根；△当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．4．(本题4分)（2021·江苏无锡市·九年级期末）下列方程中，有两个相等实数根的是（）A ．212x x +=B ．21=0x +C ．223x x -=D ．220x x -=【答案】A【分析】根据根的判别式逐一判断即可．【详解】 A.212x x +=变形为2210x x -+=，此时△=4-4=0，此方程有两个相等的实数根，故选项A 正确；B.21=0x +中△=0-4=-4＜0，此时方程无实数根，故选项B 错误；C.223x x -=整理为2230x x --=，此时△=4+12=16＞0，此方程有两个不相等的实数根，故此选项错误；D.220x x -=中，△=4＞0，此方程有两个不相等的实数根，故选项D 错误.故选：A.【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的情况与判别式间的关系是解题的关键． 5．(本题4分)（2021·福建福州市·九年级期末）若关于x 的方程2210mx x +-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（）A ．1m <-B ．1m >-且0m ≠C ．1m >-D ．1m ≥-且0m ≠【答案】B【分析】利用判别式大于零和二次项系数不为零求解即可．【详解】△方程2210mx x +-=有两个不相等的实数根，△m≠0，且△＞0，△m≠0，且224m +＞0，△1m >-且0m ≠，故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练运用判别式并保证二次项系数不能为零是解题的关键．6．(本题4分)（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·九年级期末）关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根，则a 满足（）A ．1a ≥B ．1a >且5a ≠C ．1a ≥且5a ≠D ．5a ≠ 【答案】A【分析】分类讨论：当a=5时，原方程变形一元一次方程，有一个实数解；当a≠5时，根据判别式的意义得到a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，然后综合两种情况即可得到满足条件的a 的范围．【详解】当a=5时，原方程变形为-4x -1=0，解得x=-14；当a≠5时，△=（-4）2-4（a -5）×（-1）≥0，解得a≥1，即a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，所以a的取值范围为a≥1．故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．7．(本题4分)（2021·广东江门市·九年级二模）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＞34B．m≥34C．m＞34且m≠2D．m≥34且m≠2【答案】C【解析】分析：本题是根的判别式的应用，因为关于x的一元二次方程（m-2）2x2+（2m+1）x+1=0有两个不相等的实数根，所以△=b2-4ac＞0，从而可以列出关于m的不等式，求解即可，还要考虑二次项的系数不能为0．详解：△关于x的一元二次方程（m-2）2x2+（2m+1）x+1=0有两个不相等的实数根，△△=b2-4ac＞0，即（2m+1）2-4×（m-2）2×1＞0，解这个不等式得，m＞34，又△二次项系数是（m-2）2，△m≠2，故M得取值范围是m＞34且m≠2．故选C．点睛：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0△方程有两个不相等的实数根；（2）△=0△方程有两个相等的实数根；（3）△＜0△方程没有实数根．2、二次项的系数不为0是学生常常忘记考虑的，是易错点．8．(本题4分)（2021·全国九年级专题练习）已知a ，b 是方程230x x +-=的两个实数根，则22019a b -+的值是( )A ．2023B ．2021C ．2020D ．2019 【答案】A【分析】根据题意可知b=3-b 2，a+b=-1，ab=-3，所求式子化为a 2-b+2019=a 2-3+b 2+2019=（a+b ）2-2ab+2016即可求解.【详解】a ，b 是方程230x x +-=的两个实数根，△23b b =-，1a b +=-，-3ab =，△222201932019a b a b -+=-++()2220161620162023a b ab =+-+=++=；故选A ．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入是解题的关键．9．(本题4分)（2021·全国九年级专题练习）关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k ---+=有两个实数根12,x x ，()1212122(2)2x x x x x x -+--+3=-，则k 的值（） A ．0或2B ．-2或2C ．-2D ．2【答案】D【分析】将()1212122(2)2=3x x x x x x -+--+-化简可得，()21212124423x x x x x x +-+=-－，利用韦达定理，()2142(2)3k k ----+=-，解得，k ＝±2，由题意可知△＞0，可得k ＝2符合题意.【详解】解：由韦达定理，得： 12x x +＝k －1，122x x k +＝－,由()1212122(2)23x x x x x x -+--+=-，得：()21212423x x x x --+=-，即()21212124423x x x x x x +-+=-－，所以，()2142(2)3k k ----+=-, 化简，得：24k =，解得：k ＝±2，因为关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k ---+=有两个实数根，所以，△＝()214(2)k k ---+＝227k k +-〉0，k ＝－2不符合，所以，k ＝2故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.10．(本题4分)（2021·全国九年级专题练习）若一元二次方程220x x --=的两根为1x ，2x ，则()()12111x x x ++-的值是（）A ．4B ．2C ．1D ．﹣2【答案】A【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解.【详解】根据题意得121x x =+，122x x =-，所以()()12111x x x ++-=12121x x x x ++-11(2)4=+--=．故选A ．【点睛】此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知根与系数的性质.二、填空题(共20分)11．(本题5分)（2021·广东九年级专题练习）若关于x 的一元二次方程2124102x mx m --+=有两个相等的实数根，则2(2)2(1)m m m ---的值为__．【答案】72【分析】根据根的判别式即可求出答案．【详解】由题意可知：△＝4m 2−2（1−4m ）＝4m 2＋8m−2＝0，△m 2＋2m ＝12， △（m−2）2−2m （m−1）＝−m 2−2m ＋4＝−12＋4=72，故答案为72. 【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解根的判别式的作用，本题属于基础题型． 12．(本题5分)（2021·上海九年级专题练习）已知关于x 的方程230x x m +-=有两个相等的实数根，那么m 的值为______. 【答案】94-【分析】根据方程有两个相等的实数根得出△=0，求出m 的值即可．【详解】解：△关于x 的方程x 2+3x -m=0有两个相等的实数根，△△=0，即9+4m=0，解得m=94-．4【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 的关系是解答此题的关键．13．(本题5分)（2021·江西景德镇市·九年级期末）若x 1，x 2是一元二次方程23+1=0x x -的两个根，则2212x x +=_______【答案】7【分析】由根与系数的关系可得12123,1x x x x +=⋅=，然后把2212x x +变形为()212122x x x x +-的形式，再整体代入计算即可．【详解】解：△x 1，x 2是一元二次方程23+1=0x x -的两个根，△12123,1x x x x +=⋅=，△()222212121223217x x x x x x +=+-=-⨯=．故答案为：7．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于常考题型，正确变形、熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．14．(本题5分)（2021·全国八年级）已知225225a a b b +=-+=-，，且a b ，则化简=_____．【分析】由2252,25a a b b +=-+=-，即22520,520a a b b ++=++=，且a b 可知,a b 可看做方程2520x x ++=的两不相等的实数根，继而知52a b ab +=-=，，且00a b ＜，＜，将其代入到原式()22a b ab ab⎤+-⎣⎦===-可得答案．【详解】解：225225a a b b +=-+=-，，即22520520a a b b ++=++=，，且a b ≠， a b ∴、可看做方程2520x x ++=的两不相等的实数根，则5,2,a b ab +=-=0,0a b ∴<<则原式==()22a b ab ab⎤+-⎣⎦=-()2542-=-=【点睛】主要考查方程的解、韦达定理、二次根式的化简求值等知识点，根据,a b 满足的等式判断出,a b 可看做方程2520x x ++=的两不相等的实数根且5,2,0,0a b ab a b +=-=＜＜是解题的关键．三、解答题(共90分)15．(本题8分)（2021·全国）已知关于x 的方程()222360x m x m +-+-=．（1）求证：无论m 取什么实数，方程总有实数根；（2）如果方程的两个实数根1x 、2x 满足123x x =，求实数m 的值．【答案】（1）见解析；（2）0或-4．【分析】（1）证明一元二次方程根的判别式恒大于0，即可解答；（2）根据一元二次方程根与系数的关系x 1+x 2=4x 2=-2（2-m ）=2m -4，以及x 1•x 2=3x 22=3-6m 即可求得m 的值．【详解】解：（1）证明：△关于x 的方程x 2+2（2-m ）x+3-6m=0中，△=4（2-m ）2-4（3-6m ）=4（m+1）2≥0，△无论m 取什么实数，方程总有实数根．（2）如果方程的两个实数根x 1，x 2满足x 1=3x 2，则x 1+x 2=4x 2=-2（2-m ）=2m -4△x 2=2m -1 △ △x 1•x 2=3x 22=3-6m ，△x 22=1-2m△，把△代入△得m （m+4）=0，即m=0，或m=-4．答：实数m的值是0或-4【点睛】解答此题的关键是熟知一元二次方程根的情况与判别式△的关系，及根与系数的关系：（1）△＞0△方程有两个不相等的实数根；（2）△=0△方程有两个相等的实数根；（3）△＜0△方程没有实数根．（4）若一元二次方程有实数根，则x1+x2=-ba，x1x2=ca．16．(本题8分)（2021·全国八年级）关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m+2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根x1，x2满足x12+2x2＝m2，求m的值．【答案】（1）m＞1；（2）m＝2．【分析】（1）若方程有两个不相等的实数根，则根的判别式∆=b2-4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围；（2）根据题意x12-2x1-m+2=0，即可得到x12=2x1+m-2，代入x12+2x2＝m2，可得2x1+2x2+m ﹣2＝m2，根据根与系数的关系得到x1+x2=2，代入2x1+2x2+m﹣2＝m2，得到关于m的方程，解方程即可．【详解】解：（1）△关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m+2＝0有两个不相等的实数根x1，x2，△∆＝(﹣2)2﹣4(﹣m+2)＝4m﹣4＞0，△m＞1；（2）△x1+x2＝2，x12﹣2x1﹣m+2＝0，x12＝2x1+m﹣2，△x12+2x2＝2x1+2x2+m﹣2＝m2，即2×2+m﹣2＝m2，解得：m＝﹣1或m=2，△m＞1，△m＝2．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．17．(本题8分)（2021·重庆九年级期末）关于x的一元二次方程2220x mx m m+++=有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）设出1x、2x是方程的两根，且221212x x+=，求m的值．【答案】（1）m＜0；（2）m的值是−2【分析】（1）由一元二次方程的根的情况与判别式的关系可得Δ＞0，由此可解得m的取值范围；（2）根与系数的关系及已知条件可得关于m的一元二次方程，解得m的值并根据（1）中的所得的m的取值范围作出取舍即可得出答案．【详解】解：（1）根据题意得：Δ＝（2m）2−4（m2＋m）＞0，解得：m＜0．△m 的取值范围是m ＜0．（2）根据题意得：x 1＋x 2＝−2m ，x 1x 2＝m 2＋m ，△x 12＋x 22＝12，△（x 1＋x 2）2−2x 1x 2＝12，△（−2m ）2−2（m 2＋m ）＝12，△解得：m 1＝−2，m 2＝3（不合题意，舍去），△m 的值是−2．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的情况与判别式的关系、根与系数的关系及解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键．18．(本题8分)（2021·全国九年级）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：（1）2211+x x （2）1211+x x 【答案】（1）11；（2）－3．【分析】由一元二次方程的根与系数的关系可得12123,1x x x x +=⋅=-；（1）将所求式子变形为(x 1＋x 2)2－2x 1x 2 ，然后整体代入上面两个式子计算即可；（2）将所求式子变形为1212x x x x +⋅，然后整体代入上面两个式子计算即可．【详解】解：△x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，△12123,1x x x x +=⋅=-，（1）2211+x x ＝ (x 1＋x 2)2－2x 1x 2 ＝32－2×(－1)＝11；（2）12121211331x x x x x x ++===-⋅-．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于基本题目，熟练掌握一元二次方程的两根之和与两根之积与系数的关系是解题关键．19．(本题10分)（2021·广西河池市·九年级期末）已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣2mx +（m ﹣1）＝0．（1）若方程的一个根是x ＝2，求m 的值及另一个根；（2）当m ＞1时方程有实数根吗？请说明理由．【答案】（1）m ＝1，另一个根为0；（2）有两个不相等的实数根，理由见解析【分析】（1）先把x ＝2代入方程mx 2﹣2mx +（m ﹣1）＝0得m ＝1，此时方程为x 2﹣2x ＝0，然后解方程得到方程的另一个根；（2）计算判别式得到△＝4m ，则利用m ＞1得到△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【详解】解：（1）把x ＝2代入方程mx 2﹣2mx +（m ﹣1）＝0得4m ﹣4m +m ﹣1＝0，解得m ＝1，此时方程为x 2﹣2x ＝0，解得x 1＝2，x 2＝0，即方程的另一个根为0；（2）方程有两个不相等的实数根，理由如下：△a ＝m ，b ＝﹣2m ，c ＝m ﹣1，△△＝4m 2﹣4m （m ﹣1）＝4m△m ＞1，△△＞0，△方程有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2＝﹣b a ，x 1x 2＝c a．也考查了根的判别式． 20．(本题10分)（2021·北京东城区·九年级期末）关于x 的一元二次方程20x mx n ++=．（1）若方程有两个相等的实数根用含m 的代数式表示n ；（2）若方程有两个不相等的实数根，且4m =-．①求n 的取值范围；①写出一个满足条件的n 的值，并求此时方程的根．【答案】（1）214n m =（2）△4n <；△ 13x =，21x =．【分析】（1）根据方程得出240m n ∆=-=，变形即可；（2）△根据方程得到2(4)40n ∆=-->，解得即可；△在n 的取值范围内取3n =，然后解方程即可．【详解】（1）△关于x 的一元二次方程20x mx n ++=有两个相等的实数根，△240m n ∆=-=， △214n m =．（2）△△方程有两个不相等的实数根，且4m =-，△2(4)40n ∆=-->，解得4n <；△△4n <，△n 可以是3此时方程为2430x x -+=，(3)(1)0x x --=，解得13x =，21x =．【点睛】此题主要考查了根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程无实数根．21．(本题12分)（2021·重庆九年级期末）已知，关于x 的方程22210x mx m -+-=．（1）不解方程，判断此方程根的情况；（2）若2x =是该方程的一个根，求代数式2283m m -+-的值．【答案】（1）有两个不相等的实数根；（2）3【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=4＞0，由此得出方程有两个不相等的实数根；（2）将x=2代入原方程可求出m 2-4m=-3，将其代入代数式-2m 2+8m -3中即可得出结论．【详解】解：()1在方程22210x mx m -+-=中，()22(2)41140m m =--⨯⨯-=>，∴方程22210x mx m -+-=有两个不相等的实数根． ()2将2x =代入原方程中，得：24410m m -+-=，即243m m -=-，()222832433m m m m ∴-+-=---=．【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，熟练掌握“当根的判别式0>时方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．22．(本题12分)（2021·全国八年级）已知关于x 的一元二次方程2(3)430a x x --+=有两个不等的实根．（1）求a 的取值范围；（2）当a 取最大整数值时，ABC ∆的三条边长均满足关于x 的一元二次方程2(3)430a x x --+=，求ABC ∆的周长．【答案】（1）133a <且3a ≠；（2）ABC ∆的周长为3或9或7．【分析】（1）根据关于x 的一元二次方程，可判断二次项系数不为0；根据方程有两个不相等的实数根，可判断判别式大于0，列出不等式组求解即可．（2）在此范围内找出最大的整数，解方程，然后分类讨论，求出三角形周长即可．【详解】解：（1）关于x 的一元二次方程2(3)430a x x --+=有两个不相等的实数根， ∴30164(3)30a a -≠⎧⎨--⨯>⎩，解得133a <且3a ≠．（2）由（1）得a 的最大整数值为4；2430x x ∴-+=解得：1213x x ==．ABC ∆的三条边长均满足关于x 的一元二次方程2(3)430a x x --+=，∴△三边都为1，则ABC ∆的周长为3；△三边都为3，则ABC ∆的周长为9；△三边为1，1，3，因为113+<，不符合题意，舍去；△三边为1，3，3，则ABC ∆的周长为7．△ABC ∆的周长为3或9或7．【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式b 2-4ac 的关系,也考查了构成三角形的条件．解题时注意二次项系数不为0这个隐含条件．23．(本题14分)（2021·全国九年级）已知关于x 的方程2(41)10kx k x k -++-=（k 为实数，且0k ≠）的两根为α，β．（1）若3k =，求αββα+的值（2）若α，β都是整数，求k 的值【答案】（1）1576（2）1或113 或1- 或111- 【分析】（1）将3k =代入，得231320x x -+=，先根据判别式判断实数根的个数，然后根据韦达定理写出133αβ+=，23αβ=，对原式进行变形即可求解；（2）根据韦达定理写出α，β与k 的关系，联立获得方程()()116αβ++=，根据α，β都是整数分情况讨论即可求解．【详解】（1）若3k =，则方程为231320x x -+=2134320=-⨯⨯>△ ∴由韦达定理可得133αβ+=，23αβ=()22221322215733263αβαβαβαββααβαβ⎛⎫-⨯ ⎪+-+⎝⎭∴+==== （2）设αβ≤ 由韦达定理可得4114k k kαβ++==+ △ 111k k kαβ-==- △ △+△得5αβαβ++=()()116αβ∴++= α，β都是整数1116αβ+=⎧∴⎨+=⎩或 1611αβ+=-⎧⎨+=-⎩ 或1213αβ+=⎧⎨+=⎩ 或1213αβ+=-⎧⎨+=-⎩代入△可得1k =或113 或1- 或111- 经检验，这些k 值均能使方程有实根k ∴的值为1或113 或1- 或111- 故答案为（1）1576（2）1或113 或1- 或111-．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，和韦达定理，即一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握本部分的公式是本题的关键．。