正余弦矩阵函数的精细积分算法

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Newmark-精细积分方法的选择及稳定性

2
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因此 ,基于平均常加速度的基本假定 ,即 :
x¨i+1 + x¨i = xi+1 - xi
(2)
2
dt
xi +1
= xi
+ d txi
+
1 4
d t2
( x¨i+1
+ x¨i)
(3)
其中 : x¨i , xi , xi 分别为 ti 时刻的加速度值、速度值和位移值 ; x¨i + 1 , xi + 1 , xi + 1分别为 ti + 1时刻的各项值 ; ti + 1 = ti + d t, d t为时间步长 , i = 0, 1, 2, …。
引言
结构动力响应的求解方法一般有直接积分方法和振型叠加方法。直接积分方法包括传统的中心差分方法、W ilson法、Newmark法等 [1 ] 。文献 [ 2～4 ]提出了结构动力方程求解的精细时程积分法 ,结合指数矩阵的精细算法能够获得高度精确的结果。然而 ,精细时程法在将二阶微分方程降为一阶的同时 ,系统的自由度数翻倍 ,矩阵的阶数和方程的个数将增加一倍。如果将精细积分法直接应用于自由度数目较多的工程结构中 ,则存在矩阵尺度太大的困难。文献 [ 5 ]将 Newmark - β法中平均常加速度法的基本假定引入结构动力微分方程 ,在实现方程降阶时 ,方程的个数保持不变。然后运用精细指数运算和柯特斯积分 ,提出了 Newmark2 精细直接积分法。
T0
= Dτ + (Dτ) 2 2!
+ … + (Dτ) l
l!
(8)
其中 l表示保留项数。然后通过以下方式得到 :

【国家自然科学基金】_精细积分方法_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140802

2008年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
指教矩阵导数指教矩阵悬架系统微分流形微分方程形态学弹性波差分格式对偶棱边元实验研究大鼠多体动力学地震反应图像融合四面体网格周期系数可变形物体变分双重准则半解析辛分析动力方程加权平方分数阶导数几何积分共轭辛正交光谱体数据三维有限线积分变换一阶常微分方程组一维固结方程 verlet积分 taylor级数 padé级数逼近 lyapunov方程 lie群 hamilton原理 hamiiton 奇异矩阵 fourier级数 cs
科研热词推荐指数精细积分法 8 精细积分 5 非线性 2 非平稳 2 递推方法 2 虚拟激励法 2 两点边值问题 2 一阶常微分方程组 2 龙格库塔法 1 高斯积分 1 高压输电塔-线体系 1 频散关系 1 非齐次方程 1 非结构动网格 1 非平稳随机振动 1 随机激励 1 随机地震响应 1 降维精细积分法 1 铑 1 金 1 递推算法 1 边值问题 1 辛算法 1 轨道激励 1 车桥系统 1 超声速流场 1 识别 1 被动约束层阻尼(pcld) 1 行波效应 1 膜扩散还原 1 约束层阻尼 1 精细积分方法 1 精细积分技术 1 稳定性 1 矩阵指数 1 矩形薄板 1 瞬态热传导方程 1 瞬变电磁场 1 相位调制fabry-perot干涉术 1 病态方程 1 电缆地层测试 1 激波 1 渗透率刻度 1 浸渍法 1 流固耦合 1 波场变换 1 氧化铝 1 气动光学 1 桥墩 1 曲面延拓 1 时滞 1 数值积分 1

三角函数的积分

12-1三角函數之積分當結合一些有用的三角恒等式及代換法時，可以求出更多含有三角函數型式的積分，以下是幾種常見的類型：型1. 及∫xdx n sin ∫xdx n cos （1）n 為正奇數：可利用變數變換，提出或x sin x cos 後，再利用恒等式或。

x x 22cos 1sin −=x x 22sin 1cos −=（為正整數） ∫∫∫==+xdx x xdx xdx k k n sin sin sin sin 212k 化簡得 ()()∫∫−−=x d x xdx kn cos cos 1sin 2令x u cos =，得 ()∫∫−−=du u xdx kn 21sin再利用羃函數之積分公式即可。

1. 求。

∫xdx 5sin 解答：∫xdx 5sin 提出x sin ∫=xdx x sin sin 4 用對作轉換x x 22cos 1sin −=x 2sin ()∫−=xdx x sin cos 122 將()22cos 1x −展開提出負號，將改寫成 (∫+−=xdx x x sin cos cos 2142))xdx sin xdx sin −()(∫−+−−=xdx x x sin cos cos 2142利用變數變換xdx du x u sin cos −=⇒= (∫+−−=du u u 4221) 將不定積分求出c u u u +−+−=535132 將x u cos =代回式子c x x x +−+−=53cos 51cos 32cos（2）n 為正偶數：利用三角函數半角公式22cos 1sin 2x x −=；22cos 1cos 2xx += 已知 ()∫∫∫==dx x xdx xdx kkn22sin sinsin代入22cos 1sin 2xx −=得 ∫∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=dx x xdx kn22cos 1sin2. 求 xdx ∫4sin 解答：解：∫xdx 4sin ()∫=dx x 22sin 利用半角公式22cos 1sin 2xx −=∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=dx x 222cos 1 將222cos 1⎟⎠⎞⎜⎝⎛−x 展開(∫+−=dx x x 2cos 2cos 21412)再用一次半角公式24cos 12cos 2x x +=∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−=dx x x 24cos 12cos 2141 將被積分式化簡 ∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=dx x x 24cos 2cos 22341 將被積分式提出21 (∫+−=dx x x 4cos 2cos 4381) 計算不定積分 c x x x +⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=44sin 2sin 2381型2.∫xdx x n m cos sin （1）若或為奇數：可利用變數變換，將奇次方提出或m n x sin x cos 後，再利用恒等式或。

三角函数积分常用公式

三角函数的积分常用公式如下：
1.正弦函数的积分：
∫sin(x) dx = -cos(x) + C
2.余弦函数的积分：
∫cos(x) dx = sin(x) + C
3.正切函数的积分：
∫tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C
4.余切函数的积分：
∫cot(x) dx = ln|sin(x)| + C
5.正割函数的积分：
∫sec(x) dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C
6.余割函数的积分：
∫csc(x) dx = ln|csc(x) - cot(x)| + C
7.正弦的幂函数积分：
∫sin^n(x) dx = -1/n * sin^(n-1)(x) * cos(x) + (n-1)/n * ∫sin^(n-2)(x) dx，其中n ≠1
8.余弦的幂函数积分：
∫cos^n(x) dx = 1/n * cos^(n-1)(x) * sin(x) + (n-1)/n * ∫cos^(n-2)(x) dx，其中n ≠1
9.正切的幂函数积分：
∫tan^n(x) dx = 1/(n-1) * tan^(n-1)(x) + ∫tan^(n-2)(x) dx，其中n ≠1
10.反正切函数的积分：
∫arctan(x) dx = x * arctan(x) - 1/2 * ln(1+x^2) + C
这些是一些常见的三角函数积分公式。

需要注意的是，在使用这些公式时，可能需要考虑定义域、常数项、积分限等因素，以确保正确计算积分。

同时，积分中的常数C 表示积分常数。

fpga 正余弦计算

fpga 正余弦计算FPGA正余弦计算FPGA（Field Programmable Gate Array）是一种可编程逻辑器件，具有高度灵活性和可重新配置性，广泛应用于数字电路设计和信号处理领域。

其中一个常见的应用是用FPGA实现正弦和余弦函数的计算。

在很多工程和科学应用中，正弦和余弦函数是非常重要的数学工具。

然而，传统的CPU芯片并不擅长处理这些函数的计算，因为它们需要大量的计算资源和时间。

相比之下，FPGA可以通过并行计算的方式高效地计算正弦和余弦函数。

FPGA正余弦计算的基本原理是利用泰勒级数展开。

泰勒级数是一种将函数表示为无穷级数的方法，通过将函数表示为一系列无穷多项的和，可以近似地计算函数的值。

对于正弦和余弦函数，它们的泰勒级数展开式分别为：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...通过截取泰勒级数展开式的前几项，可以得到正弦和余弦函数的近似值。

在FPGA中，可以使用加法器、乘法器和除法器等基本逻辑单元来实现这些计算。

为了提高计算的精度和速度，可以使用更高阶的泰勒级数展开，但同时也会增加计算的复杂度。

因此，在实际应用中需要权衡精度和性能之间的关系，选择适当的级数展开阶数。

在FPGA中实现正弦和余弦函数的计算，首先需要将输入角度转换为弧度表示，然后按照泰勒级数展开式进行计算，最后将结果转换回角度表示。

转换角度表示可以使用查表法，将角度值映射为对应的弧度值。

这样可以减少计算量和延迟。

在FPGA中，可以将正弦和余弦函数的计算封装为一个IP核（Intellectual Property Core），供其他设计使用。

这样可以提高设计的复用性和可维护性。

除了正弦和余弦函数的计算，FPGA还可以实现其他数学函数的计算，如指数函数、对数函数和平方根函数等。

这些函数的计算原理类似，都是通过泰勒级数展开来近似计算。

三角函数的积分如何计算三角函数的积分及应用

三角函数的积分如何计算三角函数的积分及应用三角函数在数学中起到了重要的作用，而计算三角函数的积分是数学中的一个基本问题。

本文将介绍如何计算三角函数的积分以及其在实际应用中的意义。

一、三角函数的积分计算方法1.1 正弦函数的积分首先考虑正弦函数的积分，即∫sin(x)dx。

根据积分的定义，可以使用换元法进行求解。

令u = cos(x)，则du = -sin(x)dx。

将u代入积分式中，得到∫sin(x)dx = -∫du = -u + C，其中C为常数。

1.2 余弦函数的积分接下来考虑余弦函数的积分，即∫cos(x)dx。

同样使用换元法，令u = sin(x)，则du = cos(x)dx。

将u代入积分式中，得到∫cos(x)dx = ∫du = u + C，其中C为常数。

1.3 正切函数的积分正切函数的积分即∫tan(x)dx。

可以使用换元法或者部分分式分解来求解。

如果使用换元法，可以令u = tan(x)，则du = sec^2(x)dx。

将u代入积分式中，得到∫tan(x)dx = ∫du/u = ln|u| + C。

而如果使用部分分式分解，可以将tan(x)表示为sin(x)/cos(x)，然后将分母cos(x)进行因式分解。

1.4 余切函数的积分余切函数的积分即∫cot(x)dx。

可以使用换元法或者部分分式分解来求解。

如果使用换元法，可以令u = cot(x)，则du = -csc^2(x)dx。

将u 代入积分式中，得到∫cot(x)dx = ∫-du/u = -ln|u| + C。

而如果使用部分分式分解，可以将cot(x)表示为cos(x)/sin(x)，然后将分母sin(x)进行因式分解。

二、三角函数积分的应用三角函数积分在数学中有广泛的应用，下面将介绍一些常见的应用场景。

2.1 物理学中的应用三角函数积分在物理学中经常用于描述运动的规律。

例如，在简谐振动中，运动物体的位置可以用正弦函数或余弦函数表示。

结构动力方程的2种精细时程积分

结构动力方程的2种精细时程积分范宣华;陈璞;慕文品【摘要】Similarities and differences in solving dynamic equations between precise time-integration method with augmented matrix (PTI-AM) and extended precise time-integration method (EPTI) were analyzed. The explicit, discrete and recursive expressions for both methods were deduced, respectively, with the evolutionary random excitations in a general combined form of polynomial, exponential, and sinusoid/cosine functions. Both recursive expressions can be transformed into polynomial functions corresponding to the integral steps. With the same number of terms in the Taylor series, the recursive expression for EPTI contains additional high-order terms besides all the terms in PTI-AM. Therefore, EPTI has higher precision than PTI-AM does. If those additional high-order terms are neglected, the two methods have an identical discrete and recursive expression. In this respect, the two methods are essentially the same despite of different programming realization. An engineering example was presented, showing that the computing precision of both methods was as high as 10-significant-figures, and the computing time of EPTI was over 1 order of magnitude less than that of PTI-AM.%分析了增维精细时程积分和扩展精细时程积分2种方法在求解结构动力方程中的异同.在演变随机激励为多项式、指数函数以及正弦/余弦(虚指数)函数组合的一般形式下,分别推导出了2种方法所对应的显式离散递推表达式.结果表明:2种积分方法所对应的显式递推格式最终都转化为积分步长的多项式函数,并且在相同泰勒级数展开项的条件下,扩展精细积分除包含增维精细积分的所有递推项外,还包含一些高阶小项,理论上具有更高的精度；忽略高阶小项,2种方法尽管算法实现不同,离散递推格式完全一致；工程实例计算表明,二者计算精度都可以达到10位以上有效数字,扩展精细积分计算时间较增维精细积分少一个数量级.【期刊名称】《西南交通大学学报》【年(卷),期】2012(047)001【总页数】6页(P109-114)【关键词】细时程积分;演变随机激励;动力学方程;计算精度【作者】范宣华;陈璞;慕文品【作者单位】北京大学力学与空天技术系,北京100871;中国工程物理研究院总体工程研究所,四川绵阳621900;北京大学力学与空天技术系,北京100871;北京大学力学与空天技术系,北京100871【正文语种】中文【中图分类】O324;O241.4工程结构受到的外载作用大多是非平稳随机过程［1］.在进行结构非平稳随机激励响应分析中，通常采用均匀调制演变随机激励进行简化［2］.在实际应用中，简化后的模型因计算量庞大，其应用仍受到限制.文献［3-4］中提出的虚拟激励法将非平稳随机振动分析转化为确定性时间历程分析，在求得虚拟时程响应后，再转换成求解随机激励响应的功率谱，在保证求解精度的前提下大大降低了计算量.对于均匀调制演变随机激励f(t)可表示为式中:g(t)为慢变均匀调制函数;x(t)为平稳随机过程;t为时间.在采用虚拟激励法后，相应的虚拟激励(t)变为式中:Sxx(ω)为自功率谱密度;ω为圆频率.结构运动方程变为式中:y(t)为虚拟激励下的响应;M和K分别为结构质量、阻尼和刚度矩阵;E为虚拟激励沿各自由度方向分布的非时变向量.求解式(3)的方法有:中心差分法、Newmark法、Wilson-θ法等［5］，这些方法存在对积分步长敏感、精度不高等缺点.近年发展起来的精细时程积分法［6-15］，通过利用指数加法定理求解指数矩阵，使得计算精度得到提高.文献［10］中引入混合精细积分法(HPD-M)，对式(3)进行降阶求解，并对Duhamel积分解析求解，取得了很好的效果.但解析解中包含矩阵求逆，导致计算量增大，并且数值稳定性难以保证.基于混合精细积分发展起来的增维精细积分［8-9，15］和扩展精细积分［11-12］不但成功地避开了矩阵求逆带来的不稳定问题，还进一步提高了数值求解精度.本文对以上2种高精度数值积分方法进行了比较，针对演变随机激励的一般形式，推导出2种方法所对应的离散递推表达式.1 混合精细积分借助y(t)的一阶导数，式(3)可变为一阶非齐次微分方程式中:v0为v(t)在时刻t=0的初始向量;A、r、v(t)分别为利用Duhamel积分，式(4)的通解可表示为式中:τ为积分变量.对式(5)进行离散变换，得到v(t)第k步到第k+1步的离散递推关系式中:η为积分步长.利用指数函数的加法定理［10］，将积分步长内细分为2M份，在精细区段进行泰勒展开，然后利用增量存储得到exp(Aη)的精细解.增量存储指泰勒对指数函数精细区段展开后，对展开项采用M次平方运算，在每次运算时，将泰勒展开的第一项(单位阵)与后面几项小量分别存储，从而保持计算精度.对于式(6)中的Duhamel积分项，当虚拟激励为多项式、指数函数、正余弦函数或其组合形式时，可解析求出.由于解析解包含矩阵求逆运算，使数值求解变得不稳定.2 增维精细积分和扩展精细积分增维精细时程积分［8-9］又称为齐次扩容方法，通过增加矩阵维数把包含时间的外部激励纳入了精细积分的细化过程，使得运动方程变为一阶齐次方程，避免了矩阵求逆.该方法利用了常用的均匀调制函数的封闭性，即当均匀调制函数为多项式和指数函数(正余弦函数可以表示成复指数形式)乘积时，经过对时间有限次求导后的高阶导数，可表示成原函数及其低阶导数的实线性函数(一般而言，可以证明当多项式最高次数为k时，经过2(k+1)次求导后，乘积函数变成封闭).由此可以利用均匀调制函数及时间导数构造向量Γ(t)，使之满足式中:C0为行向量;D为状态矩阵;˙Γ(t)为状态向量Γ(t)对时间的一阶导数;Γ0为Γ(t)在时刻t=0的初始值.将式(4)和(7)合并，便可得到一阶齐次方程为其中，对于给定的精细区段积分步长η，可得到u(t)第k步到第k+1步的离散递推关系为式(9)可以采用指数函数加法定理直接求解，不用进行矩阵求逆.该法求解的关键在于确定状态向量Γ(t)、行向量C0和矩阵D.文献［8］给出常见调制函数g(t)对应以上向量和矩阵的表达式.扩展精细时程积分［11-12］仍然基于混合精细积分方法，不同的是扩展精细积分方法对式(5)中Duhamel积分项进行处理时，不是采用解析求解方法，而是直接采用精细积分方法处理，避免了解析解带来的矩阵求逆问题，保证了数值求解精度. 虚拟激励的一般形式为式中:n为多项式的次数;cn为相应多项式的系数;ρ为指数系数.将式(10)代入式(6)，利用多项式展开(t－τ)n，同时将指数矩阵进行泰勒展开成多项式并对多项式进行积分，最终可以得到精细区段离散递推关系式为式中:β= －ρ－iω;tk+1为k+1步对应的时刻t;I为单位矩阵.对于精细区段，泰勒展开4～5项就足够了.有了精细区段的离散递推关系，再利用加法定理和增量存储方法［11-12］，可求得给定时间步长内的递推关系.可以看出，以上2种积分方法均以混合精细积分方法为基础及避开矩阵求逆为目的，在求解过程中均用矩阵指数的加法定理和矩阵指数的泰勒级数展开定理.文献［6-11］中表明数值求解过程是稳定的，求得结果精度高.2种算法的思路和编程实现又完全不同.增维精细积分是以增大矩阵维数为代价来避开矩阵求逆，通过引入新的状态向量将激励纳入矩阵运算，从而去掉了动力方程的非齐次项，该方法需先根据激励形式推导状态矩阵和向量，并且方程维数有所扩大，加上每个区段都要进行一次矩阵指数的精细计算，显著增加了计算量.扩展精细积分方法同样避开Duamel积分的解析解，在精细区段，一般虚拟激励形式下，利用泰勒展开将Duhamel积分项内的指数矩阵变成多项式形式进行求解.由于多项式展开都是在精细区段进行，多项式展开的精度已经超过了计算机浮点运算精度，故多项式展开引入的误差不会对数值解产生影响，该方法同样成功地避免了矩阵求逆，在不扩大矩阵维数的同时又保证了求解的精度，与增维精细积分相比具有明显优势.3 2种积分的显式递推关系一般虚拟激励形式如式(10)所示，该表达式包括多项式、指数函数、正余弦函数及其组合的各种情形.为推导方便，本文中多项式只取两项，对于多项式包含更高此项的情形，推导过程完全一样.取虚拟激励方程为其中:c0和c1为多项式系数.在精细区段η∈(tk，tk+1)中，2种方法有如下递推关系.利用增维精细积分方法，确定Γ(t)、C0和矩阵 D.取Γ(t)第1项后面几项Γ2、Γ3等依次取前一项对时间的导数.取4项后的状态方程满足式(7)，各向量和矩阵表达式为将式(12)代入式(9)中，考虑到精细区段，可以对指数矩阵H进行泰勒展开，取前5项，有增维精细积分编程求解时，依次计算式(13)右侧的各矩阵，再根据加法定理得到所求区段响应值.本文为了与扩展精细积分进行比较，将H及其高次项按照式(8)中H的分块方式展开，并只取u(t)中的v(t)部分响应(Γ(t)部分自然满足)，得到的v(t)离散递推关系为式(14)已经对增维精细积分方法利用矩阵分块进行了降维处理，可以避免矩阵维数增大带来的数值求解时间过长问题，进而提高计算效率.这种分块降维方法在文献［15］中也有所体现.对于扩展精细积分，直接将虚拟激励代入到式(11)，经过化简最终可得式(15)中同样考虑精细区段η∈(tk，tk+1)，并利用了关系式tk+1=tk+η，对出现的指数矩阵采用泰勒展开，在泰勒级数展开全取5项的条件下，式(15)中的高阶小项最高次数达到η［11］.从式(14)和式(15)对应的2种方法显式离散递推表达式可以看出，扩展精细积分递推关系仅比增维精细积分递推关系多出了一个高阶小项，因此扩展精细积分理论上具有更高的数值求解精度.在忽略高阶小项的情况下，2种积分方法所对应的离散递推表达式是完全一致的.需要说明，以上离散递推关系仅仅考虑了精细区段，对于给定的积分步长，2种方法均是利用加法定理进行增量存储得到积分步长内的递推关系，因而在采用相同精细份数的情况下，积分步长内的递推关系也必然是相同的.4 算例分析以一幢70层高楼建筑在地面水平激励(如地震)作用下的顶层结构响应为例进行说明.初始设计时，为获取整体结构大致动力学特性，将高楼建筑各层等效成一个质量单元m，将楼层间的弯曲特性用一个弹簧-阻尼系统(k和 c)描述［16］.经过简化处理得到图1所示的70个自由度体系［12］，地面水平激励采用演变随机加速度激励¨xg(t)进行描述.图1 70个自由度体系Fig.1 A 70-freedom degree system取¨xg(t)=g(t)x(t)，其中，调制函数g(t)取为式中:S0、ωg、ζg分别为结构谱常量、固有频率和固有阻尼比，计算时分别取为:以上参数均采用量纲为1的形式.采用增维精细时程积分法(PTI-AM)和扩展精细时程积分法(EPTI)计算t∈［0，40］区间的顶层位移时变方差，取ω∈［0，200］，Δω =0.5，Δt=0.5.2种方法各个时刻的计算结果和CPU计算时间见表1.从表1可以看出，2种方法得到的计算结果完全相同(二者结果具有10位以上相同有效数字，限于长度在此只列出5位)，充分说明了二者具有很高的数值计算精度.另一方面，既然二者离散递推表达式在决定数值精度的低阶部分完全一致，其数值计算结果也必然相同.EPTI的计算时间比PTI-AM少一个数量级以上，具有更高的效率，这主要是因为PTI-AM在每个频点上都需计算1次增维的矩阵指数.表1 顶层位移时变方差结果和计算时间Tab.1 Results of time-varying variance on top-layer displacement and computing time算法 t/s 8.0 16.0 32.040.0CPU/s PTI-AM 1504.59631.07924.16801.9 700.2 EPTI1504.59631.07924.16801.9 13.05 结束语本文通过理论推导和数值算例，比较验证了增维精细积分、扩展精细积分在数值实现和计算效率方面的差异.结果表明，2种积分方法尽管在算法实现上不同，但在相同泰勒展开项的前提下，二者的离散解析表达式在略去高阶小项的情况下却是完全一致的，数值算例也表明二者的求解结果在10位有效数字内完全相同，扩展精细积分求解效率明显高于増维精细积分方法.参考文献:【相关文献】［1］李斌，刘学毅.客运专线铁道车辆随机振动特性［J］.西南交通大学学报，2010，45(2):191-196.LI Bin，LIU Xueyi.Random vibration property of highspeed railway vehicle in passeenger dedicated line［J］.Journal of Southwest Jiaotong University，2010，45(2):191-196.［2］TOC W 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Progressoftime integration methods in structural dynamics analysis［J］.Mechanics and Engineering，2001，23(2):10-15.［6］钟万勰.结构动力方程的精细时程积分法［J］.大连理工大学学报，1994，34(2):131-136.ZHONG Wanxie.On precise time-integration method for structural dynamics［J］.Journal of Dalian University of Technology，1994，34(2):131-136.［7］ZHONG Wanxie.Review of a high-efficiency algorithm series for structural responses ［J］.Progress in Natural Science，1996，6(3):257-268.［8］张文首，林家浩，刘婷婷，等.结构非平稳随机响应的增维精细时程积分［J］.振动与冲击，2006，25(5):18-20.ZHANG Wenshou，LIN Jiahao，LIU Tingting，et al.Precise time-integration method with augmented matrix for analysis of non-stationary random responses［J］.Journal of Vibration and Shock，2006，25(5):18-20.［9］张文首，林家浩，于骁.受演变随机激励结构响应的增维精细时程积分法［J］.大连理工大学学报，2007，47(2):160-164.ZHANG Wenshou，LIN Jiahao，YU Xiao.Precise timeintegration method with augmented matrix for structural responses to evolutionary random excitations［J］.Journal of Dalian University of Technology，2007，47(2):160-164. ［10］LIN Jiahao， SHEN Weiping， WILLIAMSFW.Accurate high speed coinputation of nonstationary random seismic response［J］.Engineering Structures，1997，19(7):586-593.［11］谭述君，钟万勰.非齐次动力方程Duhamel项的精细积分［J］.力学学报，2007，39(3):374-381.TAN Shujun，ZHONG Wanxie.Precise integration method for duhamelterms arising from non-homogenous dynamic systems［J］.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2007，39(3):374-381.［12］幕文品.受演变随机激励结构响应的扩展精细积分方法［D］.北京:北京大学，2009:39-42. ［13］富明慧，刘祚秋，林敬华.一种广义精细积分法［J］.力学学报，2007，39(5):672-677.FU Minghui，LIU Zuoqiu，LIN Jinghua.A generalized precise time step integration method ［J］. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2007，39(5):672-677. ［14］富明慧，林敬华.精细积分法在非线性动力学问题中的应用［J］.中山大学学报，2008，47(3):1-5.FU Minghui， LIN Jinghua. Precise time step integration method in nonlinear dynamics［J］. Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Sunyatseni，2008，47(3):1-5. ［15］张继峰，邓子辰.结构动力方程的增维分块精细积分法［J］.振动与冲击，2008，27(12):88-90.ZHANG Jifeng，DENG Zichen.Dimensional increment and partitioning precise integration method for structural dynamic equation［J］.Journal of Vibration and Shock，2008，27(12):88-90.［16］高淑英，沈火明.线性振动教程［M］.北京:中国铁道出版社，2003:1-5.。

正余弦积分公式

正余弦积分公式正余弦积分公式正余弦积分公式是数学分析中的重要工具，由正弦积分和余弦积分组成。

正余弦积分在科学工程上的应用极其广泛，涉及到信号处理、量子力学、电动力学等方面。

本文将介绍正余弦积分公式的定义、性质、运用及其证明。

一、定义正余弦积分是指下面这两个定义：正弦积分：$$Si(x)=\int_0^x\frac{\sin t}{t}\,dt$$余弦积分：$$Ci(x)=-\int_x^\infty\frac{\cos t}{t}\,dt$$其中，$x$为实数。

二、性质正余弦积分有许多性质，下面列举了其中几个：1. 正弦积分的导数是$\frac{\sin x}{x}$，余弦积分的导数是$-\frac{\cos x}{x}$。

2. 当$x\to 0$时，正弦积分有限且为零，余弦积分趋于$-\infty$。

3. 正弦积分在$x\to\infty$时趋于$\frac{\pi}{2}$，余弦积分在$x\to 0$时趋于欧拉常数$0.5772$。

三、运用正余弦积分在科学工程上的应用非常广泛，主要体现在以下几个方面：1. 信号处理：正余弦积分可用于图像增强、噪声滤波等领域。

2. 量子力学：正余弦积分可用于粒子的衍射、散射等物理现象的分析。

3. 电动力学：正余弦积分可用于电场、磁场、波导等领域的计算。

四、证明1. 证明正弦积分的导数是$\frac{\sin x}{x}$：\begin{aligned}\frac{d}{dx}Si(x)&=\frac{d}{dx}\int_0^x\frac{\sin t}{t}\,dt\\&=\frac{\sin x}{x}+\int_0^x\cos t\,dt\\&=\frac{\sin x}{x}+\sin x-\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}\\&=\frac{\sin x}{x}\end{aligned}$$2. 证明余弦积分的导数是$-\frac{\cos x}{x}$：$$\begin{aligned} \frac{d}{dx}Ci(x)&=-\frac{d}{dx}\int_x^\infty\frac{\cos t}{t}\,dt\\ &=\frac{\cos x}{x}-\int_x^\infty\frac{\sin t}{t^2}\,dt\\&=\frac{\cos x}{x}-\frac{\sin x}{x}-\int_x^\infty\frac{\cos t}{t}\cdotd\left(\frac{1}{t}\right)\\ &=\frac{\cos x}{x}-\frac{\sinx}{x}+\int_x^\infty\frac{\sin t}{t^2}\,dt\\ &=\frac{\cos x}{x}-\frac{\sin x}{x}\\ &=-\frac{\cos x}{x} \end{aligned}$$综上所述，正余弦积分公式是数学中的重要工具，具有广泛的应用。

正弦余弦算法

正弦余弦算法正弦余弦算法（Sine-CosineAlgorithm，SCA）是求解多元函数极值问题的一种有效迭代算法。

它是一种改进的平方梯度法，是牛顿法的一种改进的替代，在选择梯度向量时使用正弦余弦方程，从而节省了大量计算量，高效的求解多元函数极值问题。

正弦余弦算法的概念来源于牛顿法的迭代公式，将牛顿法中的梯度向量替换成正弦余弦方程，其迭代过程可以表示为：X(n+1)=X(n)+(f(x(n))/f(x(n)))*sin(φ(n))其中，X(n+1)表示迭代后的点，f(x(n))表示函数在点X(n)处的函数值，f(x(n))表示函数在点X(n)处的导数值，φ(n)表示每次迭代时正弦余弦函数所给定的角度。

正弦余弦算法的优越性体现在：首先，该算法在每次迭代时考虑的是接近最小值的偏导量，这样比牛顿法更加精确，可以更快地接近最小值；其次，此算法使用正弦余弦方程来计算梯度，与牛顿法不同的是，它将梯度乘以一个调整因子，从而节省了大量的计算量；最后，该算法比牛顿法更加稳定，不易受初始点的影响。

由于正弦余弦算法具有计算量较少、准确性较高、稳定性较好等优点，因此它已经在多元函数极值问题求解中得到了广泛的应用。

它不仅可以用于单维度的函数极值的求解，还可以用在多维度的函数极值求解，比如多元函数极值问题和非线性规划问题。

在实际应用中，正弦余弦算法可以用来解决多元函数极值问题，可以加快求解速度，降低误差，有助于提高系统的性能。

比如可以用于控制系统自动调节、优化选择等。

正弦余弦算法也可用于几何学中的运动规划问题，这时可以看成求解多元函数极值问题的一个特例，可以有效地优化极值问题，并能更快的达到优化的目标，具有很大的应用价值。

正弦余弦算法的主要缺点是，它只对函数形式限定，只能用于求解多元函数极值问题，不能求解非线性的极值问题，也不能处理没有函数表达式的问题，所以在实际应用中，还需要结合其它算法，才能处理更加复杂的问题。

综上所述，正弦余弦算法有计算量少、准确性高、稳定性好等优点，可以有效地求解多元函数极值问题，极大地提高了求解速度和准确性，用于控制系统自动调节和几何学中的运动规划问题具有重要的应用价值。

正余弦算法

正余弦算法
正弦余弦算法（Sine cosine algorithm，简称SCA）是2016 年由澳大利亚学者Seyedali Mirjalili 提出的一种新型仿自然优化算法[1]。

该算法通过创建多个随机候选解，利用正余弦数学模型来求解优化问题，具有结构简单、参数少、易于实现的特点，但也存在优化精度低、容易陷入局部极值、收敛速度慢等问题。

一般而言，基于总体的优化技术以一组随机解开始优化过程。

该随机集通过目标函数反复评估，并通过作为优化技术核心的一组规则进行改进。

由于基于总体的优化技术是随机寻找优化问题的最佳方法，因此无法保证一次运行即可找到解决方案。

但是，有了足够多的随机解和优化步骤（迭代），找到全局最优解的可能性就会增加。

不管基于随机种群的优化领域中算法之间的差异如何，常见的是将优化过程分为两个阶段：探索与开发。

在前一阶段，优化算法将解集中的随机解与高随机率的随机解相结合，寻找搜索空间中有希望的区域。

但是在开发阶段，随机解是逐渐变化的，随机变化远小于探索阶段的变化。

含正余弦函数幂次的积分指导原则1

將函數轉換成餘弦函數的奇次式，然後照指導原則 2 進行。
p.282
例 1 正弦函數的冪次是正的奇數
求 ∫sin3 x cos4 x dx 。解我們想以 u = cos x 來使用指數規則，所以只留下一個 sin x 作為 du 之用，而將其餘轉換成餘弦函數。
p.282
Байду номын сангаас.282
例 2 餘弦函數的冪次是正的偶數
上述的指導原則建議選擇第一個寫法，因為 u = x 的導函數比
x 簡單，而且 dv = ex dx 是被積分函數中最複雜的部分，並且
可以適用一個積分規則，亦即
p.276
現在，進行分部積分會得到下式請將 xex – ex + C 微分，以驗證答案的正確性。
p.276
例 2 分部積分法
求 ∫x2 ln x dx。解此題 x2 比 ln x 容易積分，而同時，ln x 的導函數比 ln
求 ∫cos4 x dx。解先將 cos4 x 代以 [(1 + cos 2x) / 2]2，進行如下：
p.282
p.278
上式確較原積分簡單，但是尚未完成，需要再作一次分部積分，令 u = 2x。
分部積分得出
合併兩次的結果，得到下式
p.278
例 5 分部積分法
求 ∫sec3 x dx。解被積分函數是 sec x 的三次方，其中能夠利用積分規則直接積出的是 sec x 的平方，因此，應該令 dv = sec2 x dx， u = sec x。
p.277
圖 6.1 區域面積的近似值是 0.571。
p.277
例 4 重複進行分部積分
求 ∫x2 sin x dx。解 x2 和 sin x 都不難求積分，但是 x2 的導函數比 x2 簡單，而 sin x 的導函數是 cos x 和 sin x 難度相當，所以令 u = x2。

三角函数的积分与曲线曲面旋转体积计算

三角函数的积分与曲线曲面旋转体积计算三角函数是数学中的重要概念之一，它在数学和物理等学科中具有广泛的应用。

本文将探讨三角函数的积分以及如何利用积分来计算曲线曲面的旋转体积。

一、三角函数的积分三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。

这些函数在数学中具有重要的性质，通过对其进行积分，我们可以求得一些与三角函数相关的量。

1. 正弦函数的积分正弦函数的积分可以表示为∫sin(x)dx，其中dx表示微元的位移。

我们知道正弦函数的图像是一个周期性的波形，其积分结果可以表示为-cos(x)+C，其中C是常数。

这个结果告诉我们，正弦函数的积分是它的负余弦函数。

2. 余弦函数的积分余弦函数的积分可以表示为∫cos(x)dx。

与正弦函数类似，余弦函数的图像也是一个周期性的波形，其积分结果可以表示为sin(x)+C。

这个结果告诉我们，余弦函数的积分是它的正弦函数。

3. 正切函数的积分正切函数的积分可以表示为∫tan(x)dx。

由于正切函数在一些点上是无穷大或者无穷小，它的积分结果不能用简单的公式表示。

但我们可以通过其他方法，比如换元法或者分部积分法来求解。

二、曲线曲面的旋转体积计算在几何学中，我们经常遇到需要计算旋转体积的问题。

当一个曲线或者曲面绕某一轴旋转时，我们可以通过积分来求得旋转体的体积。

1. 曲线绕x轴旋转假设我们有一个曲线y=f(x)，要求其绕x轴旋转所形成的旋转体积。

我们可以将旋转体积划分为无数个薄片，每个薄片的厚度为dx。

每个薄片的体积可以表示为πy^2dx。

因此，整个旋转体的体积可以表示为∫πf(x)^2dx。

2. 曲线绕y轴旋转类似地，如果我们有一个曲线x=g(y)，要求其绕y轴旋转所形成的旋转体积。

同样地，我们可以将旋转体积划分为无数个薄片，每个薄片的厚度为dy。

每个薄片的体积可以表示为πx^2dy。

因此，整个旋转体的体积可以表示为∫πg(y)^2dy。

3. 曲面绕轴旋转除了曲线以外，我们还可以计算曲面绕轴旋转所形成的旋转体积。

三角函数的积分与变换解析几何的积分计算

三角函数的积分与变换解析几何的积分计算在数学中，三角函数和变换解析几何是两个重要的主题。

三角函数涉及到三角比例和角度的关系，而变换解析几何涉及到平面坐标系中的图形变换和积分计算。

本文将探讨三角函数的积分和变换解析几何的积分计算，并分析它们之间的联系与应用。

一、三角函数的积分1. 正弦函数的积分正弦函数在数学中是一种十分常见的三角函数，它的积分具有一定的规律性。

当我们要计算正弦函数的积分时，可以通过积分表或利用换元法进行计算。

具体而言，可以利用如下公式进行计算：∫sin(x) dx = -cos(x) + C其中C为常数。

这个公式可以帮助我们在计算正弦函数的积分时快速得到结果。

2. 余弦函数的积分余弦函数是另一种常见的三角函数，它的积分计算也有一定的规律性。

利用积分表或者换元法，我们可以得到余弦函数的积分公式：∫cos(x) dx = sin(x) + C同样，C为常数。

这个公式可以帮助我们在计算余弦函数的积分时得到准确的结果。

3. 三角函数的其他积分除了正弦函数和余弦函数外，其他的三角函数如正切函数、余切函数等也都具有相应的积分形式。

在实际应用中，我们可以通过查阅积分表或者利用换元法来计算这些三角函数的积分。

二、变换解析几何的积分计算变换解析几何是解析几何的一个分支，它研究的是平面或者空间中的图形的变换与性质。

在变换解析几何中，积分计算起到了很重要的作用。

1. 坐标变换与积分计算在变换解析几何中，我们常常需要进行坐标变换来求解图形的面积、体积等问题。

通过对坐标的适当变换，我们可以将原有的积分方程转化为更简单的形式，从而更方便地进行计算。

例如，在平面坐标系中，我们要计算一个图形的面积，可通过积分的方式进行求解。

通过选取合适的坐标系和变换，我们可以将原来的面积积分化简成更容易计算的形式，如直角坐标系下的双重积分。

2. 参数方程与积分计算在变换解析几何中，图形的参数方程也经常用于积分计算。

通过将图形的参数方程代入积分式中，并进行相应的变换，我们可以得到图形的面积、弧长等性质。

sinacosa的积分

sinacosa的积分【原创版】目录1.引言：介绍 sinacosa 函数及其积分2.sinacosa 函数的性质：描述 sinacosa 函数的特点和图像3.sinacosa 的积分：推导 sinacosa 的积分公式4.积分公式的应用：介绍如何使用 sinacosa 的积分公式进行计算5.结论：总结 sinacosa 的积分的重要性和应用场景正文sinacosa 函数是一种常见的三角函数，其图像呈现出一种周期性的变化。

在数学领域，研究 sinacosa 的积分有着重要的意义。

本文将从sinacosa 函数的性质入手，介绍 sinacosa 的积分，并探讨积分公式的应用。

首先，让我们来了解一下 sinacosa 函数的性质。

sinacosa 函数，又称为正弦余弦函数，是三角函数的一种。

它的图像呈现出一种周期性变化，周期为 2π。

在 0 到 2π的区间内，sinacosa 函数的值从 0 增加到 1，然后减少到 -1，最后回到 0。

这种周期性变化使得 sinacosa 函数在数学中有着广泛的应用。

接下来，我们来推导一下 sinacosa 的积分公式。

根据积分的定义，sinacosa 的积分可以表示为：∫sinacosa(x)dx。

通过反换元法，我们可以将这个积分转化为：∫(1/2)sin(2x)dx。

再次运用积分的基本公式，我们可以得到：(1/2)∫sin(2x)dx = (1/2)(-cos(2x)) + C，其中 C 为积分常数。

因此，sinacosa 的积分公式为：∫sinacosa(x)dx = -cos(2x) + C。

现在，我们来看一下 sinacosa 的积分公式在实际计算中的应用。

假设我们要计算∫sinacosa(x)dx 在区间 [0, π] 上的值，根据积分公式，我们可以得到：∫sinacosa(x)dx = -cos(2x) |^π = -cos(2π) + cos(0) = 2。

第七讲矩阵的微分与积分

解
1 A 1 4
0 2 0
1 ， 0 3
上讲已求得 …….
2、最小二乘问题最小二乘问题：设 A Cm n, b , 当线性方程组 Ax b 无解时，对任意 x C n 都在 Ax b 0 . Cm
2 此时希望找出向量 x0 C n ，使得 || Ax b ||2 达最小，即求 x0 arg min || Ax b ||2 的问题，称 x0 为矛 n xC
第七讲矩阵微分与积分
一、函数矩阵的微分和积分 1. 函数矩阵导数定义：若函数矩阵 A(t ) (aij (t ))mn 的每一个元素 aij ( t ) 是变量 t 的可微函数，则称 A(t)可微，其导数定义为 dA(t ) A(t ) ( daij (t ) ) . mn dt dt 注：类似可以定义高阶导数，又可以定义偏导数。例 1 求函数矩阵
, xn ]T 且 f ( x) xT Ax ,求 df .（P77）
dx
例3
已知矩阵变量 X ( xij )mn ，且 det X 0 ,证明 d det X (det X )( X 1 )T .(P77)
dX
三、矩阵分析应用 1、（1）一阶线性齐次常系数常微分方程组
1 设有一阶线性齐次常系数常微分方程组 dt a11x1 (t ) a12 x2 (t ) a1n xn (t ) dx (t ) dx (t ) 2 a21 x1 (t ) a22 x2 (t ) dt dxn (t ) a x (t ) a x (t ) n1 1 n2 2 dt a2 n xn (t )
盾方程组的最小二乘解。为应用，考虑实矩阵与实向量的情形。定理 1 设 A Rmn , b Rm , 若 x0 R n 是线性方程组 Ax b 的最小二乘解则

arcsinxarccosx的积分

arcsinxarccosx的积分我们需要明确一下arcsinx和arccosx的含义。

arcsinx表示求解sinx=y时的x值，而arccosx表示求解cosx=y时的x值。

因此，我们需要求解的是arcsinxarccosx这个复合函数的积分。

为了求解这个积分，我们可以利用部分积分法。

根据部分积分法，积分的结果可以表示为一个函数和它的导数的乘积减去积分的结果。

我们可以尝试将arcsinxarccosx拆分为两个函数的乘积，然后再进行积分。

让我们先考虑arcsinx这个函数。

根据反正弦函数的定义，我们知道sin(arcsinx)等于x。

因此，我们可以将arcsinxarccosx拆分为x乘以arccosx。

然后，我们可以对这个函数进行积分。

接下来，我们需要计算x乘以arccosx的积分。

为了求解这个积分，我们可以再次利用部分积分法。

假设u=x，dv=arccosxdx，那么我们可以得到du=dx，v=xarccosx-arcsinx。

根据部分积分公式，我们有∫(xarccosxdx) = xarccosx-arcsinx-∫(x(-sinx)dx)对于∫(x(-sinx)dx)这个积分，我们可以再次利用部分积分法来求解。

假设u=x，dv=(-sinx)dx，那么我们可以得到du=dx，v=cosx。

根据部分积分公式，我们有∫(x(-sinx)dx) = -xcosx-∫(-cosxdx)对于∫(-cosxdx)这个积分，由于cosx的积分是sinx，我们可以得到∫(-cosxdx) = -sinx将上述结果代入∫(x(-sinx)dx)的表达式中，我们有∫(x(-sinx)dx) = -xcosx-(-sinx) = -xcosx+sinx将上述结果代入∫(xarccosxdx)的表达式中，我们有∫(xarccosxdx) = xarccosx-arcsinx-(-xcosx+sinx) = x(arccosx+sinx)-arcsinx+xcosxarcsinxarccosx的积分结果为x(arccosx+sinx)-arcsinx+xcosx。

精细积分方法的发展与扩展应用

精细积分方法的发展与扩展应用
姚伟岸;高强;谭述君;吴锋
【期刊名称】《计算力学学报》
【年(卷),期】2024(41)1
【摘要】钟万勰院士于1991年首先提出计算矩阵指数的精细积分方法,其要点是2N类算法和增量存储。

精细积分方法可给出矩阵指数在计算机意义上的精确解,为常微分方程的数值计算提供了高精度、高稳定性的算法,现已成功应用于结构动力响应、随机振动、热传导以及最优控制等众多领域。

本文首先介绍矩阵指数精细积分方法的提出、基本思想和发展;然后依次介绍在时不变/时变线性微分方程、非线性微分方程以及大规模问题求解中发展起来的各种精细积分方法,分析了其优缺点和适用范围;最后介绍了精细积分方法的基本思想在两点边值问题、椭圆函数和病态代数方程等问题的扩展应用,进一步展示了该思想的特色。

【总页数】24页(P2-25)
【作者】姚伟岸;高强;谭述君;吴锋
【作者单位】大连理工大学力学与航空航天学院
【正文语种】中文
【中图分类】O241;O302
【相关文献】
1.受演变随机激励结构响应的扩展精细积分方法
2.油藏模拟局域精细网格方法的扩展应用
3.线性定常系统非齐次两点边值问题的扩展精细积分方法
4.应用精细积分的船舶壳体结构塑性损伤计算方法
5.应用精细积分的船舶碰撞载荷数值计算方法
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和差化积、积化和差、万能公式

正、余弦战好化积公式之阳早格格创做指下中数教三角函数部分的一组恒等式sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意左式前的背号】以上四组公式不妨由积化战好公式推导得到道明历程sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的道明历程果为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，将以上二式的安排二边分别相加，得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，设α+β=θ，α-β=φ那么α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2把α，β的值代进，即得sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]编写本段正切的战好化积tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附道明）cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)道明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=左边∴等式创制编写本段注意事项正在应用战好化积时，必须是一次共名三角函数圆可真止.假如同名，必须用诱导公式化为共名；假如下次函数，必须用落幂公式落为一次心诀正加正，正正在前，余加余，余并肩正减正，余正在前，余减余，背正弦反之亦然死动的心诀：（战好化积）帅+帅=帅哥帅-帅=哥帅咕+咕=咕咕哥-哥=背嫂嫂反之亦然编写本段影象要领战好化积公式的形式比较搀纯，影象中以下几个圆里是易面，底下指出了各自的简朴影象要领.截止乘以2那一面最简朴的影象要领是通过三角函数的值域推断.sin战cos的值域皆是[-1,1]，其积的值域也该当是[-1,1]，而战好的值域却是[-2,2]，果此乘以2是必须的.也不妨通过其道明去影象，果为展启二角战好公式后，已对消的二项相共而制成有系数2，如：cos(α-β)-cos(α+β)=[(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)]=2sinαsinβ故末尾需要乘以2.惟有共名三角函数能战好化积无论是正弦函数仍旧余弦函数，皆惟有共名三角函数的战好不妨化为乘积.那一面主假如根据道明影象，果为如果不是共名三角函数，二角战好公式展启后乘积项的形式皆分歧，便不会出现相对消战相共的项，也便无法化简下去了.乘积项中的角要除以2正在战好化积公式的道明中，必须先把α战β表示成二角战好的形式，才搞够展启.死知要使二个角的战、好分别等于α战β，那二个角该当是(α+β)/2战(α-β)/2，也便是乘积项中角的形式.注意战好化积战积化战好的公式中皆有一个“除以2”，然而位子分歧；而惟有战好化积公式中有“乘以2”. 使用哪二种三角函数的积那一面较佳的影象要领是拆分成二面，一是是可共名乘积，二是“半好角”(α-β)/2的三角函数名.是可共名乘积，仍旧要根据道明影象.注意二角战好公式中，余弦的展启中含有二对于共名三角函数的乘积，正弦的展启则是二对于同名三角函数的乘积.所以，余弦的战好化做共名三角函数的乘积；正弦的战好化做同名三角函数的乘积.(α-β)/2的三角函数名程序为：战化为积时，以cos(α-β)/2的形式出现；反之，以sin(α-β)/2的形式出现.由函数的奇奇性影象那一面是最便利的.如果要使战化为积，那么α战β变更位子对于截止不效率，也便是若把(α-β)/2替换为(β-α)/2，截止应当是一般的，进而(α-β)/2的形式是cos(α-β)/2；另一种情况不妨类似道明.余弦-余弦好公式中的程序好同/背号那是一个特殊情况，真足不妨死记下去.天然，也有其余要领不妨助闲那种情况的判决，如(0,π]内余弦函数的单调性.果为那个区间内余弦函数是单调减的，所以当α大于β时，cosα小于cosβ.然而是那时对于应的(α+β)/2战(α-β)/2正在(0,π)的范畴内，其正弦的乘积应大于0，所以要么反过去把cosβ搁到cosα前里，要么便正在式子的最前里加上背号.积化战好公式sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2（注意：此时好的余弦正在战的余弦前里）或者写做：sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2（注意：此时公式前有背号）cosαcosβ=[cos(α-β)+cos(α+β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2编写本段道明积化战好恒等式不妨通过展启角的战好恒等式的左脚端去道明.即只需要把等式左边用二角战好公式拆启便能道明：sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]其余的3个式子也是相共的道明要领.（拜睹战好化积）编写本段效率积化战好公式不妨将二个三角函数值的积化为另二个三角函数值的战乘以常数的形式，所以使用积化战好公式不妨达到落次的效验.正在履历上，对于数出现之前，积化战好公式被用去将乘除运算化为加减运算，运算需要利用三角函数表.运算历程：将二个数通过乘、除10的圆幂化为0到1之间的数，通过查表供出对于应的反三角函数值，将要本式化为10^k*sinαsinβ的形式，套用积化战好后再次查表供三角函数的值，并末尾利用加减算出截止.对于数出现后，积化战好公式的那个效率由越发便利的对于数与代.编写本段影象要领积化战好公式的形式比较搀纯，影象中以下几个圆里是易面，底下指出了各自的简朴影象要领.截止除以2那一面最简朴的影象要领是通过三角函数的值域推断.sin战cos的值域皆是[-1,1]，其战好的值域该当是[-2,2]，而积的值域确是[-1,1]，果此除以2是必须的.也不妨通过其道明去影象，果为展启二角战好公式后，已对消的二项相共而制成有系数2，如：cos(α-β)-cos(α+β)=(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)=2sinαsinβ故末尾需要除以2.使用共名三角函数的战好无论乘积项中的三角函数是可共名，化为战好形式时，皆应是共名三角函数的战好.那一面主假如根据道明影象，果为如果不是共名三角函数，二角战好公式展启后乘积项的形式皆分歧，便不会出现相对消战相共的项，也便无法化简下去了.使用哪种三角函数的战好仍旧要根据道明影象.注意二角战好公式中，余弦的展启中含有二对于共名三角函数的乘积，正弦的展启则是二对于同名三角函数的乘积.所以反过去，共名三角函数的乘积，化做余弦的战好；同名三角函数的乘积，化做正弦的战好.是战仍旧好？那是积化战好公式的使用中最简单堕落的一项.程序为：“小角”β以cosβ的形式出现时，乘积化为战；反之，则乘积化为好.由函数的奇奇性影象那一面是最便利的.如果β的形式是cosβ，那么若把β替换为-β，截止应当是一般的，也便是含α+β战α-β的二项变更位子对于截止不效率，进而截止的形式应当是战；另一种情况不妨类似道明.正弦-正弦积公式中的程序好同/背号那是一个特殊情况，真足不妨死记下去.天然，也有其余要领不妨助闲那种情况的判决，如[0,π]内余弦函数的单调性.果为那个区间内余弦函数是单调减的，所以cos(α+β)不大于cos(α-β).然而是那时对于应的α战β正在[0,π]的范畴内，其正弦的乘积应大于等于0，所以要么反过去把cos(α-β)搁到cos(α+β)前里，要么便正在式子的最前里加上背号.万能公式【词汇语】：万能公式【释义】：应用公式sinα=[2tan(α/2)]/{1+[tan(α/2)]^2} cosα=[1-tan(α/2)^2]/{1+[tan(α/2)]^2}tanα=[2tan(α/2)]/{1-[tan(α/2)]^2}将sinα、cosα、tanα代换成tan（α/2）的式子，那种代换称为万能置换.【推导】：（字符版）sinα=2sin(α/2)cos(α/2)=[2sin(α/2)cos(α/2)]/[sin(α/2)^2+cos(α/2)^2]=[2tan(α/2)]/[1+(tanα/2)^2]cosα=[cos(α/2)^2-sin(α/2)^2]=[cos(α/2)^2-sin(α/2)^2]/[sin(a/2)^2+cos(a/2)^2]=[1-tan(α/2)^2]/[1+(tanα/2)^2]tanα=tan[2*(α/2)]=2tan(α/2)/[1-tan(α/2)^2]=[2tan(α/2)]/[1-(tanα/2)^2]。