数学建模 差分 方程模型
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数学建模中的差分方程模型
数学建模中的差分方程模型数学建模是一种将实际问题转化为数学模型并寻求与之相连的数学方法的学科，不仅仅在理论研究上有很大的应用，也在实际生活中有着广泛的应用。
在各种数学模型中，差分方程模型也是一种很重要的模型。
本文将结合实例，介绍差分方程模型的定义、建立、求解以及应用。
差分方程模型定义差分方程模型是一种通过离散化的方法，将连续时间问题转化为离散时间问题，来描述变量随时间的变化规律的数学模型。
这种数学模型以时间为自变量，以某个状态量为因变量，由一定的关系式组成。
例如：y(n+1)=ay(n)+b，式子中y(n)代表第n时刻系统状态，y(n+1)代表第n+1时刻系统状态，a和b为常数。
差分方程模型建立建立差分方程模型的关键是将实际问题中的连续变化离散化。
一般情况下，对于所建立的模型，首先要确定它的思路和范围，然后根据实际情况，确定差分方程的形式。
此外，还需要进行参数的估计和参数变化的分析，以及对模型精确性的验证。
以物理学中的简谐振动为例，建立一个差分方程模型描述其运动，即一个质点在回复力作用下以简谐运动形式振动。
设t为时间，y为质点的位移，v为质点的速度，a为质点的加速度，则有：$$y=n\Delta y \\v=\dfrac{y(n+1)-y(n-1)}{2\Delta t} \\a=\dfrac{y(n+1)-2y(n)+y(n-1)}{(\Delta t)^2}$$其中n为时间步长，$\Delta t$为时间间隔。
我们利用受力平衡的原理，即简谐振动中的$F=-ky$得到：$$\dfrac{y(n+1)-2y(n)+y(n-1)}{(\Delta t)^2} = -\dfrac{k}{m}y(n)$$将$\alpha=\dfrac{k}{m}$带入上式得到：$$y(n+1)-2(1+\alpha)y(n)+y(n-1) = 0$$此时，我们便成功地建立了描述简谐振动的差分方程模型。
差分方程模型求解对差分方程模型求解通常有两种方法：一种是使用递推公式进行求解，另一个方法是使用其它数学方法，如拉普拉斯变换或离散傅立叶变换等。
差分方程模型的基本概念
预测经济趋势
通过建立差分方程模型，可以对 未来的经济趋势进行预测，帮助 决策者制定相应的经济政策。
评估经济政策
差分方程模型可以用来评估不同 经济政策的实施效果，为政策制 定者提供参考依据。
在物理学中的应用
描述振动现象
差分方程模型可以用来描述物体的振动规律，如弹簧振荡、单摆 等。
预Байду номын сангаас波动传播
在声学和波动理论中，差分方程模型可以用来描述波动传播的规 律，如声波、电磁波等。
可以采用动态模型来反映数据的变化趋势，减少时间滞后的影 响。
可以利用大数据技术来处理大规模的数据集，提高模型的预测 精度和稳定性。
可以尝试优化参数估计方法，例如采用全局优化算法或贝叶斯 推断等方法，以提高参数估计的准确性和稳定性。
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确定差分关系
根据时间序列数据的特性，确定合适的差分关系，以描述数据的变化规律。差分关系通常表示为变量在不同时间 点的变化量或变化率。
建立差分方程模型
根据变量和参数建立模型
根据确定的变量和参数，建立差分方程模型，以描述变量的变化规律。
验证模型的适用性
建立差分方程模型后，需要验证模型的适用性，确保模型能够准确描述实际问题的变化规律。
Python
使用Python的数值计算库，如NumPy和 SciPy，求解差分方程。
Mathematica
使用Mathematica的符号计算和数值计算功 能求解差分方程。
04 差分方程模型的应用
在经济学中的应用
描述经济周期
差分方程模型可以用来描述经济 活动的周期性变化，如经济增长、 通货膨胀、就业率等的时间序列 数据。
数学建模案例分析第七章 差分方程模型
x k 1
x k 1 h ( y k )
y k y k 1 h 2
设供应函数为 x k 1 x 0 [( y k y k 1 ) / 2 y 0 ]
需求函数不变
y k y 0 ( x k x 0 )
2 x k 2 x k 1 x k 2 (1 ) x 0 , k 1, 2 ,
x 0 ( ) ( x 1 x 0 )
1 ( 1 / )
xk x0 xk
P0稳定 K P0不稳定 K
K
f
f
K
f
g
1 ( 1 / )
Kg
方程模型与蛛网模型的一致
1/ K g
结果解释 结果解释
考察 , 的含义
1 经济稳定
结果解释
经济不稳定时政府的干预办法
y y0 0 y g f g f x
1. 使 尽量小，如 =0 需求曲线变为水平
以行政手段控制价格不变
2. 使 尽量小，如 =0
供应曲线变为竖直
靠经济实力控制数量不变
0 x0 x
模型的推广 生产者管理水平提高
• 生产者根据当前时段和前一时 段的价格决定下一时段的产量。
75 0 . 975 ( 90 50 ) 50
n
n
lg( 25 / 40 ) lg 0 . 975
19
第二阶段19周, 每周吸收热量保持10000千卡, 体重按
w ( n ) 40 0 . 975
n
50 ( n 1, 2 , ,19 )
减少至75千克。
2）第二阶段增加运动的减肥计划 根据资料每小时每千克体重消耗的热量 (千卡): 跑步 7.0 基本 模型 跳舞 3.0 乒乓 4.4 自行车(中速) 游泳(50米/分) 2.5
x k 1 h ( y k )
y k y k 1 h 2
设供应函数为 x k 1 x 0 [( y k y k 1 ) / 2 y 0 ]
需求函数不变
y k y 0 ( x k x 0 )
2 x k 2 x k 1 x k 2 (1 ) x 0 , k 1, 2 ,
x 0 ( ) ( x 1 x 0 )
1 ( 1 / )
xk x0 xk
P0稳定 K P0不稳定 K
K
f
f
K
f
g
1 ( 1 / )
Kg
方程模型与蛛网模型的一致
1/ K g
结果解释 结果解释
考察 , 的含义
1 经济稳定
结果解释
经济不稳定时政府的干预办法
y y0 0 y g f g f x
1. 使 尽量小，如 =0 需求曲线变为水平
以行政手段控制价格不变
2. 使 尽量小，如 =0
供应曲线变为竖直
靠经济实力控制数量不变
0 x0 x
模型的推广 生产者管理水平提高
• 生产者根据当前时段和前一时 段的价格决定下一时段的产量。
75 0 . 975 ( 90 50 ) 50
n
n
lg( 25 / 40 ) lg 0 . 975
19
第二阶段19周, 每周吸收热量保持10000千卡, 体重按
w ( n ) 40 0 . 975
n
50 ( n 1, 2 , ,19 )
减少至75千克。
2）第二阶段增加运动的减肥计划 根据资料每小时每千克体重消耗的热量 (千卡): 跑步 7.0 基本 模型 跳舞 3.0 乒乓 4.4 自行车(中速) 游泳(50米/分) 2.5
(完整版)差分方程模型(讲义)
差分方程模型一. 引言数学模型按照离散的方法和连续的方法，可以分为离散模型和连续模型。
1. 确定性连续模型1) 微分法建模(静态优化模型)，如森林救火模型、血管分支模型、最优价格模型。
2) 微分方程建模(动态模型)，如传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模型。
3) 稳定性方法建模(平衡与稳定状态模型)，如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱肉强食模型。
4) 变分法建模（动态优化模型），如生产计划的制定模型、国民收入的增长模型、渔业资源的开发模型。
2. 确定性离散模型1) 逻辑方法建模，如效益的合理分配模型、价格的指数模型。
2) 层次分析法建模，如旅游景点的选择模型、科研成果的综合评价模型。
3）图的方法建模，如循环比赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品的存放模型。
4）差分方程建模，如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型、养老基金设置模型、人口的预测与控制模型、生物种群的数量模型。
随着科学技术的发展，人们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题，差分方程就是建立离散动态系统数学模型的有效方法。
在一般情况下，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相适应，当时间变量离散化以后，可以用差分方程建立动态离散模型。
有些实际问题既可以建立连续模型，又可建立离散模型，究竟采用那种模型应视建模的目的而定。
例如，人口模型既可建立连续模型(其中有马尔萨斯模型Malthus、洛杰斯蒂克Logistic模型)，又可建立人口差分方程模型。
这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学模型的的具体应用。
二. 差分方程简介在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。
有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等。
但是，往往都需要用计算机求数值解。
这就需要将连续变量在一定的条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型。
第4章差分模型(数学建模)
A n
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.1 0.15 0.175 0.1875 0.19375 0.196875 0.1984375 0.1992187 5 0.1996093 8 0.1998046 9 0.1999023 4
B
0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2
4.3 动力系统的解法
储蓄存单an=1.01an-1 ,n=1,2,3,…a0=10000 容易解得 an=10000（1.01）n 一般 an=ran-1 有 an=a0r n
例 4.5污水处理
一家污水处理厂通过去去掉污水中所有的污物来处理未经处理的 污水，以生产有用的肥料和清洁水。该处理过程每小时 每小时去掉处理 污水，以生产有用的肥料和清洁水。该处理过程每小时去掉处理 池中剩余的污物的12%。1天后处理池中将留下百分之几的污物？ 天后处理池中将留下百分之几的污物？ 池中剩余的污物的 。 天后处理池中将留下百分之几的污物 要多少时间才能把污物的量减少一半？ 要多少时间才能把污物的量减少一半？要把污物减少到原来的 10%，需要多少时间 ，需要多少时间？
你每个月买车最多能支付475美元，利用系统动力 美元， 你每个月买车最多能支付 美元 学模型来决定你应该买哪家公司的汽车？ 学模型来决定你应该买哪家公司的汽车？
4.2 用差分方程近似描述变化
例4.3.酵母培养物的增长 表中数据是从酵母培养物的增 长的实验中收集来的 从图中看到可令:△pn =kpn 从图中看到可令 △ K=0.5,则pn+1=1.5pn
以小时计 的时间n 的时间 0 1 2 3 4 5 6 7
300 250 200 150 系列1
观察到的酵母 生物量pn 生物量 9.6 18.3 29.0 47.2 71.1 119.1 174.6 257.3
数学模型(差分方程)
定义为
X ( z ) Z [ x(k )] x(k ) z k
k 0 k
其中z是复变量，因此级数 x(k ) z 的收敛域为某个圆的外部。
k 0
X ( z)
的Z反变换记作 x(k ) Z 1[ X ( z)]
(k )
1.几个常用离散函数的变换
一部分为当月新生的，而由题设知当月新生的兔子对数等于上上月
兔子对数，所以
h(n) h(n 1) h(n 2), n 3 h(1) h(2) 1
一、常系数线性齐次差分方程的求解方法-解析法 形如
h(n) a1h(n 1) a2h(n 2) ak h(n k ) 0 (n k , k 1,) (1)
h(n) h(n 1) 3h(n 2) 5h(n 3) 2h(n 4) 0 ( n 4,5, )
的特解 . 解：该差分方程对应的特征方程为
x 4 x3 3x 2 5 x 2 0
x 其根为：1 x2 x3 1, x4 2 ，所以
令l k N
特别地 Z[ x(k 1)] z[ X ( z) X (0)] 证 ： Z[ x(k N )] x(k N ) z
k 0 N
l l 0
k
x(l ) z
l N
l N
z
N
=z [ x(l ) z x(l ) z l ] z N [ X ( z ) x(k ) z k ]
差分方程的通解为：
t
mi
重根，则该
h(n) h1 (n) h2 (n) ht (n) hi (n)
数学建模中的差分法
用Euler法求出前三次逼近，初始条件为
t0 0, x0 1, y0 2, t 0.1
解
t1 t0 t 0.1
t2 t1 t 0.2 t3 0.3
( x0 , y0 ) (1,2)
第一组点： x1 x0 f (t0 , x0 , y0 )t x0 (3x0 x0 y0 )t 1 (3 2) 0.1 1.1
xk 1 axk b, k 0,1,2,, (1)
满足方程 x ax b 的解，称为上方程的平衡点。
b . 即平衡点为 x 1 a
当k 时，xk x , 则称 x 是稳定的， 否则是不稳定的。
西北大学数学系
xk 1 axk b,
k 0,1,2,,
例1 从 t 0 出发并取 t 0.1 ，求下列初值问题 的近似解。
1 x, x x(0) 1
解
t0 0, x0 1 t1 t0 t 0.1
t2 t1 t 0.2 t3 0.3
x1 x0 f (t0 , x0 )t x0. (1 x0 )t 1 (1 1) 0.1 1.2
西北大学数学系
二阶差分
(xt ) xt 1 xt xt 2 xt 1 xt 1 xt
2 xt xt 2 2xt 1 xt
同理，可定义三阶差分等。 二阶及二阶以上的差分称为高阶差分。 差分的性质：
(cxt ) cxt ( xt yt ) xt yt
(1)
b b xk 1 axk b , 1 a 1 a
b ab xk 1 axk , 1 a 1 a
数学建模之微分和差分方程建模
f (t, x(1) ) − f (t, x(2) ) ≤ L x(1) − x(2) ，
其 中 (t, x ),(t, x ) ∈R , 则 方 程 组 （ 2 ） 满 足 初 值 条 件
(1) (2)
x0 =φ(t0 ) 的解是唯一的。
dx = f (t , x ) dt x (t0 ) = x0
应用分离变量法求得通解： x(t ) = 1 − Ce 根据初始条件： t = 0 时 x = 100 ，求得
−0.01t
C = −99
−0.01t x ( t ) = 1 + 99 e （1）在时刻 t 溶液内的含盐量 x(t ) ：
（2）20 分钟后，溶液中的含盐量
x(20) = 1 + 99e −0.01×20 ≈ 82.05
在时间区间 [t , t + dt ] 内， 含盐量的增量可分解为注 解： 入的盐量和流出的盐量。
注入的盐量为：0.001× 10 × dt = 0.01dt
x ×10 × dt = 0.01xdt 流出 的盐量为： 1000
所以含盐量的增量为：
dx = 0.01dt − 0.01xdt = 0.01(1 − x)dt dx = 0.01(1 − x) dt
微分和差分 方程建模
西南交通大学数学建模
机理分析是根据对现实对象特性的认识, 分析其因果关系, 找出反映内部机理的规律.
机理分析方法立足于揭示事物内在规律
对的 现认 实识 对来 象源 *与问题相关的物理、化学、经济 等方面的知识. *通过对数据和现象的分析对事 物内在规律做出的猜想(模型假设).
模型特点：有明确的物理或现实意义
dx = − ay , (a > 0) dt dy = − bx , (b > 0) dt
数学建模差分方程模型
yk
x k 1 bk(1 x x k) (2 )
记br1 一阶(非线性)差分方程
(1)的平衡点y*=N
(2)的平衡点 x* r 11 r1 b
讨论 x* 的稳定性
补充知识
一阶非线性差分方程 xk1f(xk)(1)的平衡点及稳定性 (1)的平衡点 x*——代数方程 x=f(x)的根 (1)的近似线性方程 x k 1 f(x * ) f(x * )x k ( x * )( 2 ) 稳定性判断 x*也是(2)的平衡点
需求函数不变 y k y 0 (x k x 0 ) 2 x x x 2 ( 1 ) x , k 1 , 2 ,
k 2 k 1 k
0
二阶线性常系数差分方程
x0为平衡点 研究平衡点稳定，即k, xkx0的条件
模型的推广 2 x k 2 x k 1 x k 2 ( 1 ) x 0
• 运动(内容同前) C 80 0 0 .00 2 78 5 16(千 80 )
3 差分形式的阻滞增长模型
连续形式的阻滞增长模型 (Logistic模型)
x(t) ~某种群 t 时刻的数量(人口)
x (t)rx(1 x) N
t, xN, x=N是稳定平衡点(与r大小无关)
离散
yk ~某种群第k代的数量(人口)
y
g
需求曲线变为水平 y0 以行政手段控制价格不变
0
2. 使 尽量小，如 =0 y
供应曲线变为竖直
靠经济实力控制数量不变
0
f
x g
f
x0
x
模型的推广 生产者管理水平提高 xk1h(yk)
• 生产者根据当前时段和前一时 段的价格决定下一时段的产量。
xk1
h
数模(差分方程模型)
Fibonacci 数列
数学建模
问题
13世纪意大利著名数学家Fibonacci在他的著作《算盘书》 中记载着这样一个有趣的问题：
一对刚出生的幼兔经过一ຫໍສະໝຸດ 月可长成成兔，成兔再经过一个月后可以繁殖出一对幼兔. 若不计兔子的死亡数，问一年之 后共有多少对兔子？
月份 0 1 2 3 4 5 6 7 …
幼兔 1 0 1 1 2 3 5 8 … 成兔 0 1 1 2 3 5 8 13 … 总数 1 1 2 3 5 8 13 21 …
数学建模 将兔群总数记为 fn, n=0,1,2,…，经过观察可以发现，数列{fn} 满足下列递推关系：
f0 = f1 =1, fn+2 = fn+1 + fn , n=0,1,2,…
这个数列称为Fibonacci数列. Fibonacci数列是一个十分有趣 的数列，在自然科学和数学领域中都有着广泛的应用.
Fibonacci数列的一些实例. 1. 蜜蜂的家谱 2. 钢琴音阶的排列 3. 树的分枝 4. 杨辉三角形
数学建模
日常的经济问题中的差分方程模型
1. 银行存款与利率
假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利 率为7%. 用an表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列 就是你每年的存款额：
（7.1）
a0 xnt a1xnt1 ... an xt 0
（7.2）
容易证明，若序列
x (1) t
与
x(2) t
均为方程（7.2）的解，则
xt c1xt(1) c2 xt(2)
也是方程（7.2）的解，其 中c1、c2为任意常数，这说明， 齐次方程的解构成一个 线性空间（解空间）。
此规律对于（7.1）也成立。
数学建模中的差分法
西北大学数学系
三 常微分方程向差分方程转化（数值解）
1 Euler 方法 求初值问题的近似解。
先把自变量所在的区间 n 等分；
dx
dt
f (t, x)
x(t0 ) x0
t1 t0 t t2 t1 t x f (t, x)t
tn tn1 t
1 1, 2 1
时，方程（4）的平衡点是稳定的。
非齐次线性方程（5）的稳定性可转化为齐次方 程（4）来研究。
xk2 a1xk1 a2 xk b,
(5)
对于n阶线性方程平衡点稳定的条件是特征根
i 1,(i 1,2,n,)
西北大学数学系
3 一阶非线性差分方程
xk1 f (xk )
由于
xk 1
b 1 a
a( xk
b) 1 a
0,
(1) k 0,1,2,
方程（1）平衡点的稳定性问题可转化为下面 方程零点的稳定性。
xk1 axk 0, k 0,1,2, (2)
方程（2）的解可表示为
xk (a)k x0 , k 1,2,
可得到下面的稳定性结论。
(6)
平衡点 x 通过求解方程 x f (x)
而得到。
研究稳定性的方法之一是研究其对应的线性部 分的稳定性。
将方程（6）的右端在 x 点作泰勒展开只取 一次项， （6）近似为
xk1 f (x )( xk x ) f (x )
(7)
x 也是（7）平衡点。
西北大学数学系
xk1 axk b, k 0,1,2,,
(1)
满足方程 x ax b 的解，称为上方程的平衡点。
数学建模差分方程模型
-192-第十六章 差分方程模型离散状态转移模型涉及的范围很广，可以用到各种不同的数学工具。
下面我们对差分方程作一简单的介绍，下一章我们将介绍马氏链模型。
§1 差分方程1.1 差分方程简介规定t 只取非负整数。
记t y 为变量y 在t 点的取值，则称t t t y y y -=∆+1为t y 的一阶向前差分，简称差分，称t t t t t t t y y y y y y y +-=∆-∆=∆∆=∆+++12122)(为t y 的二阶差分。
类似地，可以定义t y 的n 阶差分t n y ∆。
由t y t 、及t y 的差分给出的方程称为t y 的差分方程，其中含t y 的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。
差分方程也可以写成不显含差分的形式。
例如，二阶差分方程02=+∆+∆t t t y y y 也可改写成012=+-++t t t y y y 。
满足一差分方程的序列t y 称为差分方程的解。
类似于微分方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。
若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。
称如下形式的差分方程)(110t b y a y a y a t n t n t n =+++-++ （1） 为n 阶常系数线性差分方程，其中n a a a ,,,10 是常数，00≠a 。
其对应的齐次方程为0110=+++-++t n t n t n y a y a y a （2）容易证明，若序列)1(t y 与)2(t y 均为（2）的解，则)2(2)1(1t t t y c y c y +=也是方程（2）的解，其中21,c c 为任意常数。
若)1(t y 是方程（2）的解，)2(t y 是方程（1）的解，则)2()1(t t t y y y +=也是方程（1）的解。
方程（1）可用如下的代数方法求其通解： （I ）先求解对应的特征方程00110=+++-a a a n n λλ （3） （II ）根据特征根的不同情况，求齐次方程（2）的通解。
最新数模(差分方程模型)1概要教学讲义PPT
设贷款额为a0，每月还贷额为x，月利率为r，第n个月后的欠 款额为an，则
a0=200000, a1=(1+r)a0-x, a2=(1+r)a1-x, ……
an=(1+r)an-1-x, n=1,2,3,…
重庆邮电大学市级精品课程------数学建模
一阶线性差分方程
在上述模型中，给出了an+1与an之间的递推公式. 将它们写成 统一的形式：
重庆邮电大学市级精品课程------数学建模
7.1 差分方程基本知识
• 1、差分方程： 差分方程反映的是关于离散变量的取值 与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满 足的平衡关系，从而建立差分方程。
• 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中 的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系， 建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分 方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程 解的 特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、 周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规 律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。
此规律对于（7.1）也成立。
重庆邮电大学市级精品课程------数学建模
的形式，其对应的齐次方程为
a 0 x n t a 1 x n t 1 . .a .n x t 0 （7.2）
容易证明，若序列
x
( t
1
)
与
x (2) t
均为方程（7.2）的解，则
xt c1xt(1)c2xt(2)
也是方程（7.2）的解，其 中c1、c2为任意常数，这说明， 齐次方程的解构成一个 线性空间（解空间）。
1. 银行存款与利率
假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利 率为7%. 用an表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列 就是你每年的存款额：
差分方程模型介绍
function x=zwfz(x0,n,b) c=10;a1=0.5;a2=0.25; p=a1*b1*c; q=a2*b*91-a1)*b*c; x(1)=x0; x(2)=p*x(1); for k=3:n x(k)=p*x(k-1)+q*x(k-2); end
结果分析：Xk= pXk-1 + qXk-2
∗ 以k=0时X0=M代入，递推n次可得n年后本息为
xn = (1 + r ) M
n
∗ 例2 污水处理厂每天可将处理池的污水浓度降低一个固 定比例q，问多长时间才能将污水浓度降低一半？ ∗ 记第k天的污水浓度为Ck,则第k+1天的污水浓度为 Ck+1=(1q)Ck, k=0,1,2,···· 从k=0开始递推n次得
模型及其求解
∗ 记一棵植物春季产种的平均数为C,种子能活过一个冬天的 (1岁种子)比例为b,活过一个冬天没有发芽又活过一个冬天 的（2岁种子）比例仍为b,1岁种子发芽率a1，2岁种子发芽 率a2。 ∗ 设C,a1,a2固定，b是变量，考察能一直繁殖的条件 ∗ 记第k年植物数量为Xk，显然Xk与Xk-1,Xk-2有关，由Xk-1决 定的部分是 a1bCXk-1,由Xk-2决定的部分是 a2b(1-a1)bCXk-2
• 用矩阵表示
x1 (k + 1) 0.6 0.2 0.1 x1 (k ) x2 (k + 1) = 0.3 0.7 0.3 x2 ( k ) x (k + 1) 0.1 0.1 0.6 x ( k ) 3 3
λ1,2 < 1, xk → 0(k → ∞)
λ 1, 2 > 1, x k → ∞ ( k → ∞ )
结果分析：Xk= pXk-1 + qXk-2
∗ 以k=0时X0=M代入，递推n次可得n年后本息为
xn = (1 + r ) M
n
∗ 例2 污水处理厂每天可将处理池的污水浓度降低一个固 定比例q，问多长时间才能将污水浓度降低一半？ ∗ 记第k天的污水浓度为Ck,则第k+1天的污水浓度为 Ck+1=(1q)Ck, k=0,1,2,···· 从k=0开始递推n次得
模型及其求解
∗ 记一棵植物春季产种的平均数为C,种子能活过一个冬天的 (1岁种子)比例为b,活过一个冬天没有发芽又活过一个冬天 的（2岁种子）比例仍为b,1岁种子发芽率a1，2岁种子发芽 率a2。 ∗ 设C,a1,a2固定，b是变量，考察能一直繁殖的条件 ∗ 记第k年植物数量为Xk，显然Xk与Xk-1,Xk-2有关，由Xk-1决 定的部分是 a1bCXk-1,由Xk-2决定的部分是 a2b(1-a1)bCXk-2
• 用矩阵表示
x1 (k + 1) 0.6 0.2 0.1 x1 (k ) x2 (k + 1) = 0.3 0.7 0.3 x2 ( k ) x (k + 1) 0.1 0.1 0.6 x ( k ) 3 3
λ1,2 < 1, xk → 0(k → ∞)
λ 1, 2 > 1, x k → ∞ ( k → ∞ )
第1讲：差分方程模型
• 预报对象特征的未来性态 预报对象特征的未来性态
特征
• 研究控制对象特征的手段 研究控制对象特征的手段
在研究实际问题时, 在研究实际问题时, 我们常常不能直接得出变量 之间的关系, 之间的关系,但却能容易得出包含变量导数在内的关系 这就是微分方程. 式,这就是微分方程. 在现实社会中,又有许多变量是离散变化的, 在现实社会中,又有许多变量是离散变化的,如人 口数、生产周期与商品价格等, 口数、生产周期与商品价格等, 而且离散的运算具有 可操作性, 差分正是联系连续与离散变量的一座桥梁. 可操作性, 差分正是联系连续与离散变量的一座桥梁. 不管是微分方程还是差分方程模型， 不管是微分方程还是差分方程模型，有时无法得 到其解析解(必要时,可以利用计算机求其数值解), ),既 到其解析解(必要时,可以利用计算机求其数值解),既 使得到其解析解,尚有未知参数需要估计( 使得到其解析解,尚有未知参数需要估计(这时可利用 参数估计方法). 参数估计方法). 而在实际问题中,讨论问题的解的变化趋势很重要， 而在实际问题中,讨论问题的解的变化趋势很重要， 因此，以下只对其平衡点的稳定性加以讨论. 因此，以下只对其平衡点的稳定性加以讨论.
若有常数a是差分方程 的解 若有常数 是差分方程(1)的解 即 是差分方程 的解, F (n; a, a, … , a ) = 0, 则称 a是差分方程 的平衡点. 是差分方程(1)的平衡点 是差分方程 又对差分方程(1)的任意由初始条件确定的解 又对差分方程 的任意由初始条件确定的解 xn= x(n)都有 都有 →∞), xn→a (n→∞ →∞ 则称这个平衡点a是稳定的 则称这个平衡点 是稳定的. 一阶常系数线性差分方程 xn+1 + axn= b, (其中 b为常数 且a ≠-1, 0)的通解为 其中a, 为常数, 其中 为常数 的通解为 xn=C(- a) n + b/(a + 1) 易知b/(a+1)是其平衡点 由上式知 当且仅当 是其平衡点, 易知 是其平衡点 由上式知, |a|＜1时, b/(a +1)是稳定的平衡点 是稳定的平衡点. ＜ 时 是稳定的平衡点
特征
• 研究控制对象特征的手段 研究控制对象特征的手段
在研究实际问题时, 在研究实际问题时, 我们常常不能直接得出变量 之间的关系, 之间的关系,但却能容易得出包含变量导数在内的关系 这就是微分方程. 式,这就是微分方程. 在现实社会中,又有许多变量是离散变化的, 在现实社会中,又有许多变量是离散变化的,如人 口数、生产周期与商品价格等, 口数、生产周期与商品价格等, 而且离散的运算具有 可操作性, 差分正是联系连续与离散变量的一座桥梁. 可操作性, 差分正是联系连续与离散变量的一座桥梁. 不管是微分方程还是差分方程模型， 不管是微分方程还是差分方程模型，有时无法得 到其解析解(必要时,可以利用计算机求其数值解), ),既 到其解析解(必要时,可以利用计算机求其数值解),既 使得到其解析解,尚有未知参数需要估计( 使得到其解析解,尚有未知参数需要估计(这时可利用 参数估计方法). 参数估计方法). 而在实际问题中,讨论问题的解的变化趋势很重要， 而在实际问题中,讨论问题的解的变化趋势很重要， 因此，以下只对其平衡点的稳定性加以讨论. 因此，以下只对其平衡点的稳定性加以讨论.
若有常数a是差分方程 的解 若有常数 是差分方程(1)的解 即 是差分方程 的解, F (n; a, a, … , a ) = 0, 则称 a是差分方程 的平衡点. 是差分方程(1)的平衡点 是差分方程 又对差分方程(1)的任意由初始条件确定的解 又对差分方程 的任意由初始条件确定的解 xn= x(n)都有 都有 →∞), xn→a (n→∞ →∞ 则称这个平衡点a是稳定的 则称这个平衡点 是稳定的. 一阶常系数线性差分方程 xn+1 + axn= b, (其中 b为常数 且a ≠-1, 0)的通解为 其中a, 为常数, 其中 为常数 的通解为 xn=C(- a) n + b/(a + 1) 易知b/(a+1)是其平衡点 由上式知 当且仅当 是其平衡点, 易知 是其平衡点 由上式知, |a|＜1时, b/(a +1)是稳定的平衡点 是稳定的平衡点. ＜ 时 是稳定的平衡点
《数学建模》课件：第7章 差分方程模型(投影版)
ai
i0
下面仅对 1阶情形给予证明，其余情形证明思想类似。
不妨设一阶线性常系数差分方程为： xk1 axk b
其对应的特征方程为 a 0， 故特征根为 = a. 那么由定理1得：
它的平衡点 x = b 稳定的充要条件是 a 1. 下面证明这个结论.
1 a
差分方程稳定性理论简介
数学建模
求得的方程的解
x=x =
b
n
称为该差分方程的平衡点（奇解）。
ai
i0
若记该差分方程的一般解（通解）为 xk，它若满足：lkim xk x，
则称 x 是稳定的， 否则，称 x 是不稳定的。
6. 特征方程
称代数方程： an n an1 n1 a1 a0 0
为差分方程 an xkn a1xk1 a0xk b 对应的特征方程。
x= b 1 a
稳定的充要条件是
a 1.
差分方程稳定性理论简介
数学建模
第七章 差分方程模型
三、一阶非线性差分方程的平衡点和稳定性
考虑方程 xk1 f (xk )
（II）
其平衡点 x 由代数方程 x f (x) 解出。为了分析 x 的稳定性，
将f ( x )在 x 点作Taylor展开，只取一次项，方程（II）近似为
差分方程稳定性理论简介
数学建模
第七章 差分方程模型
微分方程的差分方法
一、微分的差分方法
设 函数 f (x)在 a, b 一阶连续可微，任给一个分割：a=x0 x1 xn b
已知 f (x) 在节点 xk 的函数值 f (xk ) (k 0,1, , n)，试求函数 f (x) 在节点
xk 处的导数值 f '(xk ) 的近似值。
数学建模中的差分法
步数n可任意大，但n太大，会有误差积累。
优点：容易编程计算。
西北大学数学系
例2 从 t0 出发并取 t 1
的近似解。 dN rN , dt
，求下列初值问题 N (0) N0
解 t0 0, N (0) N0
t1 t0 t 1 t2 t1 t 2 t3 3
(t, x, t) (1 ) f (t, x) f (x t , y t f (t, x)) 2 2
西北大学数学系
(t, x, t) (1 ) f (t, x) f (x t , y t f (t, x)) 2 2
(t, x, t) f (t, x)
yn1
yn
g(tn ,
xn ,
yn )t
步数n可任意大，但n太大，会有误差积累。
西北大学数学系
对捕食模型
dx dt
3x
xy
dy
dt
xy
2
y
用Euler法求出前三次逼近，初始条件为
t0 0, x0 1, y0 2, t 0.1
解 t1 t0 t 0.1 t2 t1 t 0.2 t3 0.3
xk1 axk b, k 0,1,2,,
(1)
满足方程 x ax b 的解，称为上方程的平衡点。
即平衡点为 x b . 1 a
当k 时，xk x, 则称 x 是稳定的， 否则是不稳定的。
西北大学数学系
xk1 axk b, k 0,1,2,,
(4)
平衡点为 x 0. 为了得到（4）零点的稳定性
我们求解方程（4）。
数学建模方法之差分方程模型
数学建模方法之差分方程模型差分方程模型是数学建模中常用的一种方法，它基于差分方程来描述问题，并用差分方程来求解问题。
所谓差分方程，是指用差分代替微分的方程，它是一种离散的模型。
在实际问题中，很多情况下，并不能直接通过微分方程来描述问题，而差分方程模型则可以通过离散化的方法来近似地描述问题。
差分方程模型的优点之一是可以适用于离散化的数据，对于实际问题的离散化模型建立是非常有帮助的。
差分方程模型的另一个优点是可以通过数值方法来求解，不需要进行繁琐的解析推导，因此适用于复杂问题的求解。
差分方程模型的基本形式为：yn+1 = fn(yn, yn-1, ..., yn-k)其中，yn表示第n个时刻的解，fn是一个给定的函数，表示通过前k个时刻的解来计算第n+1个时刻的解。
这个方程是离散的，通过已知的初始条件来逐步递推获得结果。
差分方程模型的适用范围非常广泛，可以用于描述和预测各种动态过程。
例如，差分方程模型可以用来描述人口增长模型、生态系统模型、传染病模型等等。
在这些例子中，差分方程模型可以通过已知的数据和初始条件来预测未来的发展趋势。
差分方程模型的建立步骤主要包括以下几个方面：1.确定问题的描述和目标：明确问题的背景和目标，确定需要建立差分方程模型的原因和用途。
2.确定模型的变量和参数：根据实际问题，确定需要用到的变量和参数。
3.确定差分方程的形式和函数：根据问题的特点和要求，选择合适的差分方程形式和函数。
这部分需要结合实际问题和数学方法来确定。
4.确定初始条件和边界条件：确定差分方程模型的初始条件和边界条件。
这部分是求解差分方程的前提条件。
5.差分方程的求解和分析：通过数值方法求解差分方程，得到数值解，并对结果进行分析和解释。
数学建模-常微分方程模型及差分模型
di si
dt
s(t) i(t) 1
Anna
di
dt
i(1
i)
i(0)
i 0
16
模型2
di
dt
i(1
i)
Logistic 模型
i
i(0) i0
1
i(t)
1
1/2
1
1 i0
1et
i0
0
tm
t=tm, di/dt 最大
t
tm
1
ln
1 i0
1
tm~传染病高潮到来时刻 t i 1 ?
k
0
指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798)
基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数
x(t) ~时刻t的人口
dx dt rx, x(0) x0
x(t t) x(t) rt x(t)
x(t) x e rt 0
x(t) x0 (er )t x0 (1 r)t
随着时间增加，人口按指数规律无限增长
在D内作相轨线 i(s)
的图形，进行分析
2012-3-17
Anna
D 0
s
1
22
模型4 相轨线 i(s) 及其分析
SIR模型
di dt
si
i
ds dt
si
di
ds
1
s
1
i
1
i(s)
(s0
i0
)
s
1
ln
s s
i
s s0
i 0
D
0
i(0) i0 , s(0) s0
P4
s(t)单调减相轨线的方向
~ 日接触率 1/ ~平均感染期
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分 析
体重变化由体内能量守恒破坏引起 饮食（吸收热量）引起体重增加 饮食（吸收热量） 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少 代谢和运动（消耗热量）
模型假设
1）体重增加正比于吸收的热量— ）体重增加正比于吸收的热量 —每8000千卡增加体重 千克； 千卡增加体重1千克 每 千卡增加体重 千克； 2）代谢引起的体重减少正比于体重—— ）代谢引起的体重减少正比于体重 每周每公斤体重消耗200千卡 ~ 320千卡 因人而异 千卡(因人而异 每周每公斤体重消耗 千卡 千卡 因人而异), 相当于70千克的人每天消耗 千克的人每天消耗2000千卡 ~ 3200千卡； 千卡； 相当于 千克的人每天消耗 千卡 千卡 3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动 ）运动引起的体重减少正比于体重， 形式有关； 形式有关； 4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5 ）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过 千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。 千卡。 千克，每周吸收热量不要小于 千卡
αβ < 1 放宽了
7.2 减肥计划 减肥计划——节食与运动 节食与运动 背 景
体重指数 体重指数BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5<BMI<25 ~ 正常； 超重; 肥胖. 正常； BMI>25 ~ 超重 BMI>30 ~ 肥胖 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持 多数减肥食品达不到减肥目标， 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体 通过控制饮食和适当的运动， 的前提下， 的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标
w ( k + n ) = 0 .975 [ w ( k ) 50 ] + 50
n
第二阶段：每周c(k)保持 m, w(k)减至 千克 第二阶段：每周 保持C 减至75千克 保持 减至
w ( k + n ) = 0 . 975 n [ w ( k ) 50 ] + 50
已知 w(k ) = 90, 要求 w(k + n) = 75， n 求
β ~ 价格上涨 单位 (下时段 供应的增量 价格上涨1单位 下时段 单位, 下时段)供应的增量 α ~ 消费者对需求的敏感程度 β ~ 生产者对价格的敏感程度 α小, 有利于经济稳定 β 小, 有利于经济稳定
αβ < 1 经济稳定
结果解释
经济不稳定时政府的干预办法
y y0 0 y g f g f x
w(k ) w(k + 1) = 1
c ( k + 1) = 1
w(k +1) = w(k) +αc(k +1) βw(k)
w( k ) = w( 0) k
α = 1 8000 β = 0 . 025
α
[ β w ( k ) 1]
β 1 c ( k + 1) = w ( 0 ) (1 + β k ) α α
4.4
2.5
7.9 t~每周运动 每周运动 时间(小时 小时) 时间 小时
取 αγ t = 0 .003 , 即 γ t = 24
β (= 0.025) → β ′ = β + αγt(= 0.028)
αCm αCm ]+ β′ β′
w ( k + n ) = (1 β ′ ) n [ w ( k )
基本模型
w(k) ~ 第k周(末)体重 周 末 体重 c(k) ~第k周吸收热量 第 周吸收热量
w ( k + 1) = w ( k ) + α c ( k + 1) β w ( k )
代谢消耗系数(因人而异 因人而异) α = 1 8000 (千克 /千卡） β ~ 代谢消耗系数 因人而异 1）不运动情况的两阶段减肥计划 ） 确定某甲的代谢消耗系数 每周吸收20000千卡 w=100千克不变 千卡 每周吸收 千克不变
x k +1 = h ( y k )
yk + yk1 xk+1 = h 2
设供应函数为 x k +1 x0 = β [( y k + y k 1 ) / 2 y 0 ] 需求函数不变
y k y 0 = α ( x k x 0 )
2 x k + 2 + αβ x k +1 + αβ x k = 2 (1 + αβ ) x 0 , k = 1, 2, L
w( k + 1) = (1 β ) w( k ) + αC m
w(k + n) = (1 β ) w(k) +αCm[1+ (1 β ) +L+ (1 β ) ]
n n1
αCm αCm = (1 β ) [w(k ) ]+ β β
n
1 以 β = 0.025, α = , C m = 10000 代入得 8000
w = w + αc βw
20000 β= = = 0.025 w 8000 × 100
αc
即每周每千克体重消耗 20000/100=200千卡 千卡
1）不运动情况的两阶段减肥计划 ） 第一阶段 w(k)每周减 千克 c(k)减至下限 第一阶段: 每周减1千克 减至下限10000千卡 每周减 千克, 减至下限 千卡
2）第二阶段增加运动的减肥计划 ） 千卡): 根据资料每小时每千克体重消耗的热量 γ (千卡 千卡 自行车(中速 游泳(50米 分 中速) 跑步 跳舞 乒乓 自行车 中速 游泳 米/分) 7.0 基本 模型 3.0
w( k + 1) = w( k ) + αc ( k + 1) ( β + αγ t ) w( k )
二阶线性常系数差分方程 x0为平衡点 研究平衡点稳定， →∞, 研究平衡点稳定，即k→∞ xk→x0的条件 →∞
模型的推广 2 x k + 2 + αβ x k +1 + αβ x k = 2 (1 + αβ ) x 0
k k 方程通解 x k = c 1 λ 1 + c 2 λ 2
(c1, c2由初始条件确定) 由初始条件确定
P0是不稳定平衡点
P3 f P0 P1 x0 x g P4
曲线斜率
K f < Kg
Pห้องสมุดไป่ตู้ x1 x
y0 P2 0
K
f
> Kg
方程模型
yk = f (xk ) x k +1 = h ( y k )
在P0点附近用直线近似曲线
yk y0 = α ( xk x0 ) (α > 0) xk +1 x0 = β ( yk y0 ) ( β > 0)
x
y0 0
xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0
P1 → P2 → P3 → L → P0 P1 → P2 → P3 → L → P0 ×
P0是稳定平衡点
y y2 y0 y3 y1 0 f P3 P0 P2 x2 x0 x3 g P4 y
蛛 网 模 型 yk = f (xk ) xk +1 = h( yk ) yk = g( xk +1 ) x1 → y1 → x2 → y2 → x3 → L 偏离x 设x1偏离 0 xk → x0 , yk → y0 xk × x0 , yk → y0 → ×
结果解释 结果解释
考察α , β 的含义
xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格 时段商品数量； 第 时段商品价格 第 时段商品数量
y k y 0 = α ( xk x0 )
α ~ 商品数量减少 单位 价格上涨幅度 商品数量减少1单位 单位,
x k +1 x 0 = β ( y k y 0 )
= 12000 200 k ≥ C m = 10000
k ≤ 10
第一阶段10周 每周减1千克 千克， 周末体重90千克 第一阶段 周, 每周减 千克，第10周末体重 千克 周末体重 吸收热量为 c ( k + 1) = 12000 200 k , k = 0 ,1, L 9
1）不运动情况的两阶段减肥计划 ） 第二阶段：每周 第二阶段：每周c(k)保持 m, w(k)减至 千克 保持C 减至75千克 保持 减至 基本模型 w( k + 1) = w( k ) + αc ( k + 1) βw( k )
7.3 差分形式的阻滞增长模型
连续形式的阻滞增长模型 模型) 连续形式的阻滞增长模型 (Logistic模型 模型 x(t) ~某种群 t 时刻的数量 人口 人口) 某种群 时刻的数量(人口
减肥计划
某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量， 千克，目前每周吸收 千卡热量， 某甲体重 千克 千卡热量 体重维持不变。现欲减肥至75千克 千克。 体重维持不变。现欲减肥至 千克。 1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。 ）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。 第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减 千克， 第一阶段：每周减肥 千克 直至达到下限（ 千卡）； 少，直至达到下限（10000千卡）； 千卡 第二阶段：每周吸收热量保持下限， 第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标 2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。 ）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。 3）给出达到目标后维持体重的方案。 ）给出达到目标后维持体重的方案。
蛛网模型
xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格 时段商品数量； 第 时段商品价格 第 时段商品数量 消费者的需求关系 生产者的供应关系
y
需求函数
yk = f ( xk )
减函数
供应函数 x k +1 = h ( y k ) 增函数