2015年广州市高考模拟考试数学(理科)试题

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广东省2015届高考数学(模拟试题含答案-4.15

1．设全集{|33,},{1,2},{2,1,2}I x x x Z A B =-<<∈==--，则()I A C B =（）.A ．{1}B ．{l,2}C ．{0,1,2}D ．{一1,0,1,2}2．复数z 满足2)1()1(i z i +=+-,其中i 为虚数单位,则在复平面上复数z 对应的点位（）. A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限３.下列函数中，既是奇函数又是在定义域上是减函数的为（）.A ．1y x =+B ．1y x=C ．3y x =-D ．ln y x = ４.在ABC △中，若60,45,A B BC ︒︒∠=∠==AC =（）.A．B．CD5.如图右所示，该程序运行后输出的结果为 ( ).A ．14B ．16C ．18D ．64 6.设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）. A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ C ．若l α⊥，//l β，则//αβ D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥7.现有16张不同卡片，其中红色，黄色，蓝色，绿色卡片各４张，从中任取３张，要求这３张不能是同一颜色，且红色卡片至多１张，不同的取法为（） A ．232种 B ．252种 C ．472种 D ．484种 8.列命题中是假．命题．．的个数是（）. ①βαβαβαsin cos )cos(,,+=+∈∃使R ； ②有零点函数a x x x f a -+=>∀ln ln )(,02； ③),0(,)1()(,342+∞⋅-=∈∃+-且在是幂函数使m mx m x f m R 上递减；④若函数()21xf x =-，则[]12,0,1x x ∃∈且12x x <，使得 12()()f x f x >A ．0B ．1C ．2D ．39.函数2lg(23)y x x =--+的定义域是________(用区间表示)．10. 某工厂的某种型号的机器的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)有下表的统计资料如图：根据上表可得回归方程^^23.1a x y +=，则=^a _______________.11. 已知向量()3,2-=p ,()2,x q =,且q p ⊥的值为 .12．已知,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+2211y x y x y x ，则目标函数23 z x y =-的最大值为 .14. 已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，其公比1q ≠，若1166,a b a b ==，且{}n a 和{}n b 各项都是正数，则n a 与n b 的大小关系是______________________.（填 “>”或“=”或“<”）3.81４.已知抛物线:C 22y px =与双曲线2213x y -=的右焦点重合，则抛物线C 上的动点M 到直线1l ：4360x y -+=和 2:l 2x =-距离之和的最小值为________________.15．（本小题满分１２分）已知函数()()x x x x f sin cos sin 2+= (x ∈R ). （1）求⎪⎭⎫⎝⎛65πf 的值；（2）求()x f 在区间[]π,0上的最大值及相应的x 值.17. （本小题满分１4分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AD =1AA =1，2AB =，点E 是线段AB 中点.(1)求证：1D E CE ⊥;(2)求二面角1D EC D --的大小的余弦值；（3）求A 点到平面E CD 1的距离.18．（本小题满分14分）已知等差数列14521,,,0,1,}{a a a d a a n 且公差中>=分别是等比数列}{n b 的第二项、第三项、第四项. （1）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式；（2）设数列}{n c 满足对任意的*N n ∈均有n n n c b c b c b a +++=+ 22111成立，求证：421<+++n c c c .A BA 1CD B 1C 1D 1E19. （本小题满分14分）已知椭圆()2222:10+=>>x y C a b a b 的左、右焦点分别为12(1,0)(1,0)F F -、，且经过定点3(1,)2P ，00(,)M x y 为椭圆C 上的动点，以点M 为圆心，2MF 为半径作圆M .（1）求椭圆C 的方程；（2）若圆M 与y 轴有两个不同交点，求点M 横坐标0x 的取值范围；（3）是否存在定圆N ，使得圆N 与圆M 恒相切？若存在，求出定圆N 的方程；若不存在，请说明理由.20. （本小题满分14分）已知函数2()ln x f x a x x a =+-，1a >. (1)求证函数()f x 在(0，＋∞)上单调递增；(2)若函数1()3y f x b b=-+-有四个零点，求b 的取值范围； (3)若对于任意的x ∈时，都有()f x 21e ≤-恒成立，求a 的取值范围．yx-y=-O广东省龙川一中2015届高三模拟底考试数学（理科）试题参考解答和评分标准二、填空题： 9. 提示:2230x x --+>,31x -<<,所以定义域为(3,1)-．10. 提示：样本中心为)4.5,4(代入回归方程得48.0^=a 11. 提示：03p q p q x ⊥⇒⋅=⇒= ,(5,1)p q +=-,26p q +=12. 提示:如图作出可行域，可知，max (23)2x y -= 13. 提示:考查等差等比的基本性质及均值不等式. 1111116622a ab b a b ++==≥=，由于1q ≠，所以111b b ≠，所以66a b >.１4. 提示：抛物线:C 22y px =与双曲线2213x y -=所以，2p =，1x =-是抛物线准线，作1MA l ⊥ 2MB l ⊥，由抛物线定义MB MF =，当,,M A F 三点共线时，距离之和的最小，其值是F 到1l 距离，由点到直线距离可得，其距离为145.１５. 解：（1）()()x x x x f sin cos sin 2+= x x 2sin 2cos sin 2+= x x 2c o s 12s i n-+=1)42s i n (2+-=πx ……………………3分 14652sin 265+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛∴πππf 2134ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭…… 4分231-= …………………………7分（2）0x π≤≤ 72444x πππ-≤-≤ ……………………８分从而当 242ππ=-x 时，即83π=x 时，……………………………… 10分()12max +=x f …………… 1２分１６. 解：(1)∵小矩形的面积等于频率,∴除[)40,35外的频率和为0.70, ……2分06.0570.01=-=∴x 估计500名志愿者中,年龄在[)40,35岁的人数为150500506.0=⨯⨯(人).…4分(2)用分层抽样的方法,从中选取20名,则其中年龄“低于35岁”的人有12名,“年龄不低于35岁”的人有8名故X 的可能取值为0,1,2,3, ……………………………………………………6分()28514032038===C C X P ,()9528132028112===C C C X P ,()9544232018212===C C C X P ,()57113320312===C C X P ,……………………………………………………………………10分故X所以0123285959557955EX =⨯+⨯+⨯+⨯==. ………………………12分 17.解：(１) 证明：1DD ⊥面ABCD ，CE ⊂面ABCD所以，1DD ⊥CE ……………………１分Rt DAE ∆中，1AD =，1AE =DE =同理：CE =，又2CD =，222CD CE DE =+ DE ………………………………………………3分 DE CE E =所以，CE ⊥面1D DE …………………………………4分又1D E ⊂面1D EC所以，1D E CE ⊥……………………………………………………………5分(２)解法一由（１）证可知ED D 1∠是所求二面角1D EC D --的平面角…………６分在ED D RT 1∆中，11=DD ，2=DE ；故，2221tan 1==∠ED D ………8分即二面角1D EC D --解法二：利用向量法设平面E CD 1的法向量为)1,,(y x =，由(１)得)1,1,1(1-=D ，)0,1,1(-=011=-+=⋅y x D 且0=-=⋅y x解得：21==y x ,即)1,21,21(=；………7分又平面CDE 的法向量为)1,0,0(1=DD ，361141411||||11=⋅++=⋅=∴DD m 所以，二面角1D EC D --…………………………9分（３）)解法一：1B =C ，1A =E ，C E B A ⊥，211121A =⨯⨯=∴∆CE S ………………………………………10分又 31=E D ， 2C =E ，CE E D ⊥1，262321=⨯⨯=∴∆CDE S ……………………（11分）设A 点到平面E CD 1的距离为d ，则d V V E CD CE D ⨯⨯==⨯⨯=--26311213111A A ，解得66=d ，即A 点到平面E CD 1的距离为66. ……………（14分）解法二：利用向量法由(１) (２)知)0,1,0(A =，平面E CD 1的法向量为)1,21,21( = 故，A 点到平面E CD 1的距离为662621||===m d 18. 解:（1）}{,,1452n b a a a 分别是等比数列的第二项、第三项、第四项.)131)(1()41(2d d d ++=+∴…………..1分)0(2==∴d d 舍去…………..3分12-=∴n a n ……………………4分又9,35322====a b a b 3=∴q 公比，13-=∴n n b …………………………7分（2）证明：当n=1时，112c b a =431<=∴c …………………………8分当112211,2--+++=≥n n n c b c b c b a n 时n n n c b c b c b a +++=+ 22111，n n n n c b a a =-∴+1 1132-+=-=∴n n n n n b a a c …………………………11分4314311)311(3231121<-=--+=+++∴--n n n c c c ………………13分所以，对于任意的.4*,21<+++∈n c c c N n 均有………………14分19. （1）由椭圆定义得122+=PF PF a ，……………………………………… 1分即532422a ==+=， ……………………… 2分∴2a =，又1=c ， ∴2223b a c =-=.……………………………………… 3分故椭圆C 的方程为22143+=x y …………………………………………………4分（2）圆心00(,)M x y 到y 轴距离0=d x ，圆M 的半径=r 若圆M 与y 轴有两个不同交点，则有>r d0x ，化简得200210-+>y x .…………………… …………………………… 6分点M 在椭圆C 上，∴2200334y x =-，代入以上不等式得： 20038160+-<x x ，解得：0443-<<x . ……………………………………… 8分又022-≤≤x ，∴ 0423x -≤<，即点M 横坐标的取值范围是4[2,)3-. ……9分（3）存在定圆()22:116++=N x y 与圆M 恒相切，其中定圆N 的圆心为椭圆的左焦点1F ，半径为椭圆C 的长轴长4. ……………………12分 ∵由椭圆定义知，1224+==MF MF a ，即124MF MF =-，∴圆N 与圆M 恒内切. …………………………………………………………… 14分 20. 解：(1)证明∵f (x )＝a x ＋x 2－x ln a ， ∴f ′(x )＝a x ·ln a ＋2x －ln a ＝(a x －1)ln a ＋2x . …………………………………2分 ∵a >1，x >0，∴a x －1>0，ln a >0,2x >0，∴当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，即函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增…………………………………4分 (2)解：由(1)知当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0，∴f (x )在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． ∴f (x )取得最小值为f (0)＝1…………………………………5分由1()f x b b-+－3＝0，得f (x )＝b －1b ＋3或f (x )＝b －1b －3，∴要使函数y ＝1()f x b b -+－3有四个零点，只需131131b bb b⎧-+>⎪⎪⎨⎪-->⎪⎩………………7分即b －1b >4，即b 2－4b －1b>0，解得b >2＋5或2－5<b <0.故b 的取值范围是(2－5，0)∪(2＋5，＋∞) ………………………………8分 (3)解：由(1)知f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，f (－1)＝1a ＋1＋ln a ，f (1)＝a ＋1－ln a ，∴f (1)－f (－1)＝a －1a－2ln a令H (x )＝x －1x －2ln x (x >0)，则H ′(x )＝1＋1x 2－2x ＝x 2－2x ＋1x 2＝(x －1)2x 2>0，∴H (x )在(0，＋∞)上单调递增．∵a >1，∴H (a )>H (1)＝0. ∴f (1)>f (－1)∴|f (x )|的最大值为 f (1)＝a ＋1－ln a ，……………………………………12分 ∴要使()f x 22e ≤-恒成立，只需a ＋1－ln a ≤e 2－2即可令h (a )＝a －ln a (a >1)，h ′(a )＝1－1a>0，∴h (a )在(1，＋∞)上单调递增．∵h (e 2)＝e 2－1，∴只需h (a )≤h (e 2)，即1<a ≤e 2.故a 的取值范围是(1，e 2] …………………………………………………14分。

2015年广东高考理科数学试题及答案(完整版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、若集合()(){}410M x x x =++=，()(){}410N x x x =--=，则M N =（）A ．{}1,4B ．{}1,4--C ．{}0D ．∅2、若复数()32z i i =-（i 是虚数单位），则z =（）A ．23i -B ．23i +C ．32i +D ．32i -3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y = B ．1y x x =+ C ．122x x y =+ D ．x y x e =+ 4、袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A ．521B ．1021C ．1121D ．1 5、平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（）A ．250x y ++=或250x y +-= B．20x y ++=或20x y +=C ．250x y -+=或250x y --= D．20x y -+=或20x y -=6、若变量x ，y 满足约束条件4581302x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则32z x y =+的最小值为（）A ．4B ．235C ．6D ．3157、已知双曲线C:22221x y a b -=的离心率54e =，且其右焦点为()2F 5,0，则双曲线C 的方程为（） A ．22143x y -= B ．221916x y -= C ．221169x y -= D ．22134x y -= 8、若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（）A ．至多等于3B ．至多等于4C ．等于5D ．大于5二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11~13题）9、在)41的展开式中，x 的系数为． 10、在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += ．11、设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若3a =，1sin 2B =，C 6π=，则b = ．12、某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）13、已知随机变量X 服从二项分布(),n p B ，若()30E X =，()D 20X =，则p = ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14、（坐标系与参数方程选做题）已知直线l 的极坐标方程为2sin 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，点A 的极坐标为722,4π⎛⎫A ⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为． 15、（几何证明选讲选做题）如图1，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，C E 是圆O 的切线，切点为C ，C 1B =．过圆心O 作C B 的平行线，分别交C E 和C A 于点D 和点P ，则D O = ．三、解答题16.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量(1) 若m n ⊥，求tan x 的值；(2) 若m 与n 的夹角为3π，求x 的值. 17. （本小题满分12分）某工厂36名工人年龄数据如下表（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值x 和方差2s ；（3） 36名工人中年龄在x s -和x s +之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01％）？18.（本小题满分14分）如图2，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4,6,3PD PC AB BC ====，点E 是CD 的中点，点、F G 分别在线段、AB BC 上，且2,2AF FB CG GB ==.(1) 证明：PE FG ⊥； (2) 求二面角P AD C --的正切值；(3) 求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.19. （本小题满分14分）设1a >，函数2()(1)x f x x e a =+-(1) 求()f x 的单调区间； (2) 证明()f x 在(,)-∞+∞上仅有一个零点；(3) 若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M （m,n ）处的切线与直线OP 平行，（O 是坐标原点），证明：1m ≤-.20. （本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A 、B.(1) 求圆1C 的圆心坐标；(2) 求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3) 是否存在实数k,使得直线:(4)l y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.21. （本小题满分14分）数列{a }n 满足：*12122......3,2n n n a a na n N -+++=-∈. (1) 求3a 的值；(2) 求数列{a }n 的前 n 项和n T ；(3) 令111111,(1......)(2),23n n n T b a b a n n n-==+++++≥证明：数列{}n b 的前n 项和S n 满足22ln n S n <+2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案。

广东省广州市2015届高三下学期综合测试(二)数学(理)试题含解析

2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科)一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1。

命题“若2x =，则2320x x -+="的逆否命题是（ )A ．若2x ≠，则2320x x -+≠ B ．若2320x x -+=，则2x =C ．若2320xx -+≠,则2x ≠ D ．若2x ≠，则2320xx -+=【答案】C 【解析】试题分析:命题“若2x =,则2320x x -+=”的逆否命题是“若2320x x -+≠，则2x ≠"，故选C ．考点：逆否命题．2。

已知0a b >>，则下列不等关系式中正确的是（ ) A ．sin sin a b> B ．22log log a b< C ．1122a b<D ．1133ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】试题分析:因为0a b >>，所以sin a 与sin b 的大小关系是sin sin a b >或sin sin a b=或sin sin a b <，22log log a b >，1122a b >，1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选D ．考点：基本初等函数的单调性．3。

已知函数()40,1,0,x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩则()2f f =⎡⎤⎣⎦( ）A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】A 【解析】试题分析：因为()2f =()(44124f f f ⎛⎛====⎡⎤ ⎣⎦⎝⎝，故选A ．考点：1、分段函数；2、函数值．4.函数()sin y A x ωϕ=+()0,0,0A ωϕ>><<π的图象的一部分如图1所示，则此函数的解析式为（）A ．3sin y x ππ⎛⎫=+ ⎪44⎝⎭B ．3sin y x π3π⎛⎫=+ ⎪44⎝⎭C ．3sin y x ππ⎛⎫=+ ⎪24⎝⎭D ．3sin y x π3π⎛⎫=+ ⎪24⎝⎭【答案】A 【解析】试题分析：由图象知：3A =,5142T=-=，所以8T =，因为28πωT ==，所以4πω=，所以()3sin 4f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的图象过点()1,3,所以3sin 34πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，图1即sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0ϕπ<<,所以5444πππϕ<+<，所以42ππϕ+=，解得：4πϕ=，所以函数()f x 的解析式是()3sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选A ．考点：三角函数的图象． 5。

2015广东省高考理科数学试卷(高清word版)

绝密★启用前试卷类型：A2015年普通高等学校招生全国统一试题(广东卷)数学（理科）一、选择题：本大题功8小题，每小题5分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1. 若集合{}|(4)(1)0M x x x =++=，{}|(4)(1)0N x x x =--=，则M N =I （） A. {}1,4 B. {}1,4-- C. {}0 D. Φ2. 若复数i(32i)z =-（i 是虚数单位），则z = （）A. 23i -B. 23i +C. 32i +D. 32i -3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A. y =B. 1y x x =+C. 122x x y =+ D. x y x e =+ 4. 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。

从袋中任取两个球，所取的两个球中恰有1个白球，一个红球的概率为（）A. 521B. 1021C. 1121D. 15.平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线方程是（）A. 250x y ++= 或250x y +-=B. 20x y +=或20x y += C. 250x y -+= 或250x y --=D. 20x y -=或20x y -6. 若变量x ，y 满足约束条件4581302x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则32z x y =+的最小值为（）A. 4B.235C. 6D. 3157. 已知双曲线2222:1x y C a b-=的离心率54e =，且其右焦点为2(5,0)F ，则双曲线C 方程（）A.22143x y -= B. 221916x y -= C. 221169x y -= D. 22134x y -= 8. 若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（）A.至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于5二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

2015年高考理科数学广东卷

N = 3 -------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- --------准考证号⎩⎨1 =绝密★启用前在2015 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理科)此本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.卷2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的上答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4. 作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5. 考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 5. 平行于直线2x + y +1 = 0 且与圆 x 2 + y 2= 5 相切的直线的方程是( )A . 2x - y + 5 = 0 或2x - y - 5 = 0B . 2x + y + 5 = 0 或2x + y - 5 = 0C . 2x - y + 5 = 0 或2x - y - 5 = 0D . 2x + y + 5 = 0 或2x + y - 5 = 0⎧4x + 5 y ≥8,6. 若变量 x ， y 满足约束条件⎪≤x ≤3, 则 z = 3x + 2y 的最小值为 ( )⎪0≤y ≤2, x 2 y 2 5 7. 已知双曲线C ： - = 1的离心率e ，且其右焦点为 F (5,0) ，则双曲线C 的 a 2 b 2 4 2方程为( )x 2 y 2A . - = 14 3 x 2 y 2B . - = 1 16 9 x 2 y 2C . - = 19 16x 2 y 2D . - = 13 48.若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值 ()A .大于 5B .等于 5C .至多等于 4D .至多等于 3二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分. 答参考公式：样本数据 x ，x ，⋅⋅⋅ ，x 的方差 s 2= 1⎡(x- x )2+ (x - x )2+ ⋅⋅⋅ + (x - x )2⎤ ，1 2 n n ⎣ 12 n ⎦ （一）必做题（9～13 题）其中 x 表示样本均值.9. 在( -1)4的展开式中， x 的系数为.一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.10.在等差数列{a n } 中，若a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 = 25 ，则a 2 + a 8 =.11. 设△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a = ，sin B = 1 ，C = π，题1.若集合 M ={x | (x + 4)(x +1) = 0} ， N ={x | (x - 4)(x -1) = 0} ，则 M () 2 6A . ∅B .{-1, -4}C .{0}D .{1, 4}()则b = .12. 某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言（用数字作答）.13. 已知随机变量 X 服从二项分布 B (n , p ) .若 E ( X ) = 30 ，D (X ) = 20 ，则 p = .无3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 ( )A . y = x + e xB . y = x + 1 xC . y = 2x + 1 2xD . y = 1+ x 2 4.袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球.从袋中任取 2（二）选做题（14-15 题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程）π7π个球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为()效已知直线l 的极坐标方程为2ρ sin(θ - ) =4 A 到直线l 的距离为.2 ，点 A 的极坐标为 A (2 2, ) ，则点 4数学试卷第 1 页（共 4 页）数学试卷第 2 页（共 4 页）x 姓名2. 若复数 z = i(3 - A . 3 - 2i 2i) （ i 是虚数单位），则 B . 3 + 2i z =C . 2+3iD . 2 - 3iA .1B . 11 21C . 10 21D . 521A . 31 5B . 6C . 23 5D . 42 2 1 15.（几何证明选讲）如图，已知 AB 是圆O 的直径，AB = 4 ，EC 是圆O 的切线，切点为C ， BC =1.过圆心O 作 BC 的平行线，分别交 EC 和 AC 于点 D 和点 P ，则OD = .三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分 12 分）18.（本小题满分 14 分）如图，三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直，PD = PC = 4 ， AB = 6 ，BC = 3 . 点 E 是CD 边的中点，点 F ， G 分别在线段 AB ， BC 上，且 AF = 2FB ， CG = 2GB . （Ⅰ）证明： PE ⊥ FG ；（Ⅱ）求二面角 P - AD - C 的正切值；在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 m = ( , - 2 2 ) ，n = (sin x ,cos x ) ，x ∈π (0, ) . 2（Ⅲ）求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值.（Ⅰ）若 m ⊥ n ，求tan x 的值；（Ⅱ）若 m 与 n 的夹角为 π，求 x 的值.317.（本小题满分 12 分）19.（本小题满分 14 分）设a > 1，函数 f (x ) = (1 + x 2 )e x - a . （Ⅰ）求 f (x ) 的单调区间；（Ⅱ）证明： f (x ) 在(-∞, +∞) 上仅有一个零点；（Ⅲ）若曲线 y = f (x ) 在点 P 处的切线与 x 轴平行，且在点 M (m , n ) 处的切线与直线 OP 平行（ O 是坐标原点），证明： m ≤3 a - -1 .e20.（本小题满分 14 分）已知过原点的动直线l 与圆C ： x 2 + y 2 - 6x + 5 = 0 相交于不同的两点 A ， B . （Ⅰ）求圆C 1 的圆心坐标；（Ⅱ）求线段 AB 的中点 M 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）是否存在实数k ，使得直线 L ： y = k (x - 4) 与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.（Ⅰ）用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为 44，列出样本的年龄数据；（Ⅱ）计算（Ⅰ）中样本的均值 x 和方差 s 2 ；21.（本小题满分 14 分）数列{a n } 满足： a 1 + 2a 2 （Ⅰ）求a 3 的值；+ ⋅⋅⋅ + na = 4 - n + 2， n ∈ Ν* . n2n -1（Ⅲ）36 名工人中年龄在 x - s 与 x + s 之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到 0.01％）？（Ⅱ）求数列{a n } 的前n 项和T n ；（Ⅲ）令b = a ， b = T n -1 + (1+ 1 + 1 + ⋅⋅⋅ + 1)a (n ≥2) ，证明：数列{b } 的前n 项1 1 n n23 n n n和 S n 满足 S n < 2 + 2ln n .数学试卷第 3 页（共 4 页）数学试卷第 4 页（共 4 页）2 工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄 1 40 10 36 19 27 28 34 2 44 11 31 20 43 29 39 3 40 12 38 21 41 30 43 4 41 13 39 22 37 31 38 5 33 14 43 23 34 32 42 6 40 15 45 24 42 33 53 745 16 39 25 37 34 37 8 42 17 38 26 44 35 49 9 43183627423639。

2015年广东省高考数学试卷(理科)及答案

2015年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M ∩N=（）A．{1，4}B．{﹣1，﹣4}C．{0}D．∅2．（5分）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i3．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=B．y=x+C．y=2x+ D．y=x+e x4．（5分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．15．（5分）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=06．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A．4 B．C．6 D．7．（5分）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=18．（5分）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）9．（5分）在（﹣1）4的展开式中，x 的系数为．10．（5分）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=．11．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=．12．（5分）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）13．（5分）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=．14．（5分）已知直线l的极坐标方程为2ρsi n（θ﹣）=，点A的极坐标为A （2，），则点A到直线l的距离为．15．如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD=．三、解答题16．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．17．（12分）某工厂36名工人年龄数据如图：工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄1 2 3 4 5 6 7 8 9404440413340454243101112131415161718363138394345393836192021222324252627274341373442374442282930313233343536343943384253374939（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s 和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？18．（14分）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．19．（14分）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m ≤﹣1．20．（14分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．21．（14分）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n 项和S n满足S n＜2+2lnn．2015年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2015•广东）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=（）A．{1，4}B．{﹣1，﹣4}C．{0}D．∅【分析】求出两个集合，然后求解交集即可．【解答】解：集合M={x|（x+4）（x+1）=0}={﹣1，﹣4}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}={1，4}，则M∩N=∅．故选：D．2．（5分）（2015•广东）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i【分析】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可．【解答】解：复数z=i（3﹣2i）=2+3i，则=2﹣3i，故选：A．3．（5分）（2015•广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=B．y=x+C．y=2x+ D．y=x+e x【分析】直接利用函数的奇偶性判断选项即可．【解答】解：对于A，y=是偶函数，所以A不正确；对于B，y=x+函数是奇函数，所以B不正确；对于C，y=2x+是偶函数，所以C不正确；对于D，不满足f（﹣x）=f（x）也不满足f（﹣x）=﹣f（x），所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以D正确．故选：D．4．（5分）（2015•广东）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．1【分析】首先判断这是一个古典概型，从而求基本事件总数和“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件包含的基本事件个数，容易知道基本事件总数便是从15个球任取2球的取法，而在求“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件的基本事件个数时，可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．【解答】解：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有；∴基本事件总数为105；设“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”为事件A；则A包含的基本事件个数为=50；∴P（A）=．故选：B．5．（5分）（2015•广东）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0【分析】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程．【解答】解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则，所以=，所以b=±5，所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y﹣5=0故选：A．6．（5分）（2015•广东）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A．4 B．C．6 D．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最小值．【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，则由图象可知当直线y=﹣x+，经过点A时直线y=﹣x+的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（1，），此时z=3×1+2×=，故选：B．7．（5分）（2015•广东）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【分析】利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程．【解答】解：双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），可得：，c=5，∴a=4，b==3，所求双曲线方程为：﹣=1．故选：C．8．（5分）（2015•广东）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5【分析】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断．【解答】解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；n大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，且球的半径等于边长，即有球心与正四面体的底面的中心重合，故不成立；同理n＞5，不成立．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）9．（5分）（2015•广东）在（﹣1）4的展开式中，x的系数为6．【分析】根据题意二项式（﹣1）4的展开式的通项公式为T r=•（﹣1）+1r•，分析可得，r=2时，有x的项，将r=2代入可得答案．=•（﹣1）r•，【解答】解：二项式（﹣1）4的展开式的通项公式为T r+1令2﹣=1，求得r=2，∴二项式（﹣1）4的展开式中x的系数为=6，故答案为：6．10．（5分）（2015•广东）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=10．【分析】根据等差数列的性质，化简已知的等式即可求出a5的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将a5的值代入即可求出值．【解答】解：由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=25，得到a5=5，则a2+a8=2a5=10．故答案为：10．11．（5分）（2015•广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=1．【分析】由sinB=，可得B=或B=，结合a=，C=及正弦定理可求b 【解答】解：∵sinB=，∴B=或B=当B=时，a=，C=，A=，由正弦定理可得，则b=1当B=时，C=，与三角形的内角和为π矛盾故答案为：112．（5分）（2015•广东）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了1560条毕业留言．（用数字作答）【分析】通过题意，列出排列关系式，求解即可．【解答】解：某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了=40×39=1560条．故答案为：1560．13．（5分）（2015•广东）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=．【分析】直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．【解答】解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，npq=20，q=，则p=，故答案为：．14．（5分）（2015•广东）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A 的极坐标为A（2，），则点A到直线l的距离为．【分析】把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出极坐标表示的直角坐标，利用点到直线的距离求解即可．【解答】解：直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，对应的直角坐标方程为：y﹣x=1，点A的极坐标为A（2，），它的直角坐标为（2，﹣2）．点A到直线l的距离为：=．故答案为：．15．（2015•广东）如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD= 8．【分析】连接OC，确定OP⊥AC，OP=BC=，Rt△OCD中，由射影定理可得OC2=OP•OD，即可得出结论．【解答】解：连接OC，则OC⊥CD，∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，∵OP∥BC，∴OP⊥AC，OP=BC=，Rt△OCD中，由射影定理可得OC2=OP•OD，∴4=OD，∴OD=8．故答案为：8．三、解答题16．（12分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．【分析】（1）若⊥，则•=0，结合三角函数的关系式即可求tanx的值；（2）若与的夹角为，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x的值．【解答】解：（1）若⊥，则•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx ﹣cosx=0，即sinx=cosxsinx=cosx，即tanx=1；（2）∵||=，||==1，•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx ﹣cosx，∴若与的夹角为，则•=||•||cos =，即sinx ﹣cosx=，则sin（x ﹣）=，∵x∈（0，）．∴x ﹣∈（﹣，）．则x ﹣=即x=+=．17．（12分）（2015•广东）某工厂36名工人年龄数据如图：工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄1 2 3 4404440411011121336313839192021222743413728293031343943385 6 7 8 93340454243141516171843453938362324252627344237444232333435364253374939（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s 和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？【分析】（1）利用系统抽样的定义进行求解即可；（2）根据均值和方差公式即可计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）求出样本和方差即可得到结论．【解答】解：（1）由系统抽样知，36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以其编号为2，∴所有样本数据的编号为：4n﹣2，（n=1，2，…，9），其数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．（2）由平均值公式得=（44+40+36+43+36+37+44+43+37）=40．由方差公式得s2=[（44﹣40）2+（40﹣40）2+…+（37﹣40）2]=．（3）∵s2=．∴s=∈（3，4），∴36名工人中年龄在﹣s 和+s之间的人数等于区间[37，43]的人数，即40，40，41，…，39，共23人．∴36名工人中年龄在﹣s 和+s 之间所占百分比为≈63.89%．18．（14分）（2015•广东）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．【分析】（1）通过△PDC为等腰三角形可得PE⊥CD，利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论；（2）通过（1）及面面垂直定理可得PG⊥AD，则∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角，利用勾股定理即得结论；（3）连结AC，利用勾股定理及已知条件可得FG∥AC，在△PAC中，利用余弦定理即得直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角∠PAC的余弦值．【解答】（1）证明：在△PDC中PO=PC且E为CD中点，∴PE⊥CD，又∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE⊂平面PCD，∴PE⊥平面ABCD，又∵FG⊂平面ABCD，∴PE⊥FG；（2）解：由（1）知PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AD，又∵CD⊥AD且PE∩CD=E，∴AD⊥平面PDC，又∵PD⊂平面PDC，∴AD⊥PD，又∵AD⊥CD，∴∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角，在Rt△PDE中，由勾股定理可得：PE===，∴tan∠PDC==；（3）解：连结AC，则AC==3，在Rt△ADP中，AP===5，∵AF=2FB，CG=2GB，∴FG∥AC，∴直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角∠PAC，在△PAC中，由余弦定理得cos∠PAC===．19．（14分）（2015•广东）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1．【分析】（1）利用f′（x）＞0，求出函数单调增区间．（2）证明只有1个零点，需要说明两个方面：①函数单调；②函数有零点．（3）利用导数的最值求解方法证明，思路较为复杂．【解答】解：（1）f′（x）=e x（x2+2x+1）=e x（x+1）2，∴f′（x）＞0，∴f（x）=（1+x2）e x﹣a在（﹣∞，+∞）上为增函数．（2）证明：∵f（0）=1﹣a，a＞1，∴1﹣a＜0，即f（0）＜0，∵f（）=（1+a）﹣a=+a（﹣1），a＞1，∴＞1，﹣1＞0，即f（）＞0，且由（1）问知函数在（﹣∞，+∞）上为增函数，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点．（3）证明：f′（x）=e x（x+1）2，设点P（x0，y0）则）f'（x）=e x0（x0+1）2，∵y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，∴f′（x0）=0，即：e x0（x0+1）2=0，∴x0=﹣1，将x0=﹣1代入y=f（x）得y0=．∴，∴，要证m≤﹣1，即证（m+1）3≤a﹣，需要证（m+1）3≤e m（m+1）2，即证m+1≤e m，因此构造函数g（m）=e m﹣（m+1），则g′（m）=e m﹣1，由g′（m）=0得m=0．当m∈（0，+∞）时，g′（m）＞0，当m∈（﹣∞，0）时，g′（m）＜0，∴g（m）的最小值为g（0）=0，∴g（m）=e m﹣（m+1）≥0，∴e m≥m+1，∴e m（m+1）2≥（m+1）3，即：，∴m≤．20．（14分）（2015•广东）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（1）通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线L与圆C1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论．【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0，整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2=4，∴圆C1的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组，消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0，由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜由韦达定理，可得x1+x2=，∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中﹣＜k＜，∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣）2+y2=，其中＜x≤3；（3）结论：当k∈（﹣，）∪{﹣，}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点．理由如下：联立方程组，消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2=0，令△=（3+8k2）2﹣4（1+k2）•16k2=0，解得k=±，又∵轨迹C的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时，k的取值范围为（﹣，）∪{﹣，}．21．（14分）（2015•广东）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n 项和S n满足S n＜2+2lnn．【分析】（1）利用数列的递推关系即可求a3的值；（2）利用作差法求出数列{a n}的通项公式，利用等比数列的前n项和公式即可求数列{a n}的前n项和T n；（3）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式．【解答】解：（1）∵a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．∴a1=4﹣3=1，1+2a2=4﹣=2，解得a2=，∵a1+2a2+…+na n=4﹣，n∈N+．∴a1+2a2+…+（n﹣1）a n﹣1=4﹣，n∈N+．两式相减得na n=4﹣﹣（4﹣）=，n≥2，则a n=，n≥2，当n=1时，a1=1也满足，∴a n=，n≥1，则a3=；（2）∵a n=，n≥1，∴数列{a n}是公比q=，则数列{a n}的前n项和T n==2﹣21﹣n．（3）b n=+（1+++…+）a n，∴b1=a1，b2=+（1+）a2，b3=（1++）a3，∴b n=+（1+++…+）a n，∴S n=b1+b2+…+b n=（1+++…+）a1+（1+++…+）a2+…+（1+++…+）a n=（1+++…+）（a1+a2+…+a n）=（1+++…+）T n=（1+++…+）（2﹣21﹣n）＜2×（1+++…+），设f（x）=lnx+﹣1，x＞1，则f′（x）=﹣．即f（x）在（1，+∞）上为增函数，∵f（1）=0，即f（x）＞0，∵k≥2，且k∈N•时，，∴f（）=ln+﹣1＞0，即ln＞，∴ln，，…，即=lnn，∴2×（1+++…+）=2+2×（++…+）＜2+2lnn，即S n＜2（1+lnn）=2+2lnn．。

2015广东高考理科数学(word版,含答每道题解析答案)

绝密★启用前试卷类型：B2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求做大的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡得整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 表示样本均值.一、选择题（本大题共8小题，每题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若集合M={x|(x+4)(x+1)=0}，集合N= {x|(x-4)(x-1)=0}，则M∩N=A ．∅ B.{ -1 , -4 } C.{ 0 } D. { 1 ，4 } 2．若复数z=i ( 3 – 2 i ) ( i 是虚数单位 )，则z =A ．3-2i B.3+2i C.2+3i D. 2-3i 3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 A ．x e x y += B. x x y 1+= C. x xy 212+= D. 21x y += 4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。

2015广东省广州市高考数学二模试卷(理科)(含解析)

2015年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“若2x =，则2320x x +=-”的逆否命题是（）．A ．若2x ≠，则2320x x +≠-B ．若2320x x +=-，则2x =C ．若2320x x +≠-，则2x ≠D ．若2x ≠，则2320x x +=-【答案】C【解答】解：命题“若2x =，则2320x x +=-”的逆否命题是 “若2320x x +≠-，则2x ≠”．故选C ． 2．（5分）已知0a b >>，则下列不等关系式中正确的是（）．A ．sin sin a b >B ．22log log a b <C ．1122a b <D ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解答】解：选项A 错误，比如取πa =，π2b =，显然满足0a b >>，但不满足sin sin a b >；选项B 错误，由函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增可得22log log a b >；选项C错误，由函数12y x ==[0,)+∞上单调递增可得1122a b >；选项D 正确，由函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减可得1133ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故选D ．3．（5分）已知函数40()1,0x f x x x x ⎧⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩≥，则)[](2f f =（）． A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】A【解答】解：函数40()1,0x f x x x x ⎧⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩≥，则(2)f =441[(2)](4f f f ⎛⎛==== ⎝⎝．故选A ．4．（5分）函数sin()(0,0,0π)y A x A ωϕωϕ=+>><<的图象的一部分如图所示，则此函数的解析式为（）．A ．ππ3sin 44y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．π3π3sin 44y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．ππ3sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．π3π3sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】A【解答】解：根据函数的图象，得知：3A =， 2(51)8T =-=，所以：2ππ84ω==，当1x =时，(1)3f =，0πϕ<<，解得：π4ϕ=，所以函数的解析式：ππ()3sin 44f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故选A ．5．（5分）已知函数2()23f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使0)(0f x ≥成立的概率为（）．A ．425B ．12C ．23D ．1【答案】B【解答】解：已知区间[]4,4-长度为8，满足0)(0f x ≥，200()230f x x x =-++≥，解得013x -≤≤，对应区间长度为4，由几何概型公式可得，使0)(0f x ≥成立的概率是4182=．故选B ． 6．（5分）如图，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线长VB 上，且1VC =，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（）．VCBAABC D 【答案】B【解答】解：由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于2π，设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为α，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2π3α=，解得：2π3α=， ∴2π2AOA '∠=，则π13∠=，过C 作CF OA ⊥， ∵C 为OB 的三等分点，3BO =， ∴1OC =， ∵160∠=︒， ∴30OCF ∠=︒，∴12FO =，∴22234CF CO OF -==，∵3AO =，12FO =，∴52AF =，在Rt AFC △中，利用勾股定理得：2227AC AF FC =+=，则AC = 故选B ．1FCBAO A'7．（5分）已知两定点(1,0)A -，(1,0)B ，若直线l 上存在点M ，使得||||3MA MB +=，则称直线l 为“M 型直线”，给出下列直线：①2x =；②3y x =+；③21y x =--；④1y =；⑤23y x =+．其中是“M 型直线”的条数为（）．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解答】解：由题意可知，点M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，其方程是2219544x y +=，①把2x =代入2219544x y +=，无解，∴2x =不是“M 型直线”；②把3y x =+代入2219544x y +=，无解，∴3y x =+不是“M 型直线”；③把21y x =--代入22144x y +=，有解，∴21y x =--是“M 型直线”；④把1y =代入22144x y +=，有解，∴1y =是“M 型直线”； ⑤23y x =+代入2219544x y +=，有解，∴23y x =+是“M 型直线”．故选C ．8．（5分）设(,)P x y 是函数()y f x =的图象上一点，向量5(1,(2))a x =-r ，(1,2)b y x =-r，且满足a b r r ∥，数列{}n a 是公差不为0的等差数列，若129))(((6)3f a f a f a +++=L ，则129a a a +++=L （）．A ．0B ．9C ．18D ．36【答案】C【解答】解：∵向量5(1,(2))a x =-r ，(1,2)b y x =-r ，且a b r r ∥，∴52(2)0y x x ---=，即5(2)2y x x =-+， ∴5()(2)2f x x x =-+；令5()(2)42g x f x x x =+-=+，则函数()g x 为奇函数，且是定义域内的增函数，由129))(((6)3f a f a f a +++=L ，得129(2)(2)(2)0g a g a g a +++---=L ，又数列{}n a 是公差不为0的等差数列， ∴5(2)0g a -=，即520a -=，52a =， ∴129599218a a a a +++==⨯=L ．故选C ．二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（9～13题） 9．（5分）已知i 为虚数单位，复数1i1iz -=+，则||z =__________．【答案】1【解答】解：i 为虚数单位，复数1i1i z -=+，则1i |1i|||11i |1i |z --====++．故答案为：1． 10．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为__________．【答案】10【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出 22221234S -=-++的值∵2222123410S -=-++=．故答案为：10．11．（5分）已知π()sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若3πcos 052αα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，则π12f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．【解答】解：∵3cos 5α=，且π02α<<，∴4sin 5，又∵π()sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴πππsin 12126f αα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 4α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭cos )αα+=，． 12．（5分）5名志愿者中安排4人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排2人，则不同的安排方案共有__________种（用数字作答）．【答案】30【解答】解：先从5人中任取4人，共有45C 种不同的取法．再把4人分成两部分，每部分2人，共有224222C C A 种分法．最后排在周六和周日两天，有22A 种排法，∴2242425222C C C A 30A ⨯⨯=种．故答案为：30．13．（5分）在边长为1的正方形ABCD 中，以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a u u r ，2a u u r ，3a u u r；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c u r ，2c u u r ，3c u u r．若m 为()()i j s t a a c c +⋅+u u r u u r u u r u r 的最小值，其中{}{},1,2,3i j ⊆，{}{},1,2,3s t ⊆，则m =__________．【答案】5-【解答】解：不妨记以A 为起点，其余顶点为终点的向量为1a u u r ，2a u u r ，3a u u r分别为AB u u u r ，AC u u u r ，AD u u u r ，以C为起点，其余顶点为终点的向量为1c u r ，2c u u r，分别为CD u u u r ，CA u u u r ，CB u u u r ．如图建立坐标系．（1）当1i =，2j =，1s =，2t =时，则()()[1,0)(1,1)][1,0)(1,1)5(((]i j s t a a c c +⋅+=+=-⋅+---u u r u u r u u r u r；（2）当1i =，2j =，1s =，3t =时，则()()[1,0)(1,1)][1,0)(0,1)]3(((i j s t a a c c +⋅+=+⋅+-=--u u r u u r u u r u r；（3）当1i =，2j =，2s =，3t =时，则()()[1,0)(1,1)][1,1)(0,1)4(((]i j s t a a c c +⋅+=++-⋅--=-u u r u u r u u r u r；（4）当1i =，3j =，1s =，2t =时，则()()[1,0)(0,1)][1,0)(1,1)3(((]i j s t a a c c +⋅+=+=-⋅+---u u r u u r u u r u r；同样地，当i ，j ，s ，t 取其它值时，()()5i j s t a a c c +⋅+=-u u r u u r u u r u r，4-或3-．则()()i j s t a a c c +⋅+u u r u u r u u r u r的最小值是5-．故答案为：5-．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）（几何证明选讲选做题）14．（5分）如图，在平行四边形ABCD 中，4AB =，点E 为边DC 的中点，AE 与BC 的延长线交于点F ，且AE 平分BAD ∠，作DG AE ⊥，垂足为G ，若1DG =，则AF 的长为__________．FCBAGD【答案】【解答】解：∵AE 为DAB ∠的平分线， ∴DAF BAF ∠=∠， ∵DC AB ∥， ∴BAF DEA ∠=∠， ∴DAF DEA ∠=∠， ∴AD ED =，又E 为DC 的中点， ∴DE CE =，∴11222AD DE DC AB ====，在Rt ADG △中，根据勾股定理得：AG则2AE AG == ∵平行四边形ABCD ， ∴AD BC ∥，∴DAE F ∠=∠，ADE FCE ∠=∠，在ADE △和FCE △中，DAE FADE FCE DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADE △≌()FCE AAS △， ∴AE FE =，则2AF AE ==．故答案是：．E DGABCF（坐标系与参数方程选做题）15．在平面直角坐标系中，已知曲线1C 和2C 的方程分别为3212x ty t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）和242x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点有__________个．【答案】1【解答】1解：已知曲线1C 方程3212x ty t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）转化为直角坐标方程为：20x y --=．曲线2C 的方程242x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），转化为直角坐标方程为：28x y = 所以：2820x yx y ⎧=⎨--=⎩，整理得：28160x x +=-，所以：64640∆=-=，则：曲线1C 和2C 的交点有1个．故答案为：1．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（12分）已知ABC △的三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，且::7:5:3a b c =．（1）求cos A 的值．（2）若ABC △的面积为ABC △的外接圆半径的大小．【答案】见解析．【解答】解：（1）根据题意设7a k =，5b k =，3c k =，∴2222222259491cos 2302b c a k k k A bc k +-+-===-，则2π3A =．（2）∵1sin 2ABC S bc A ==△∴21152k ⋅=k =，∴7a k == 由正弦定理2sin aR A =，得：142sin a R A ==． 17．（12分）某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在2060:岁的问卷中随机抽取了n 份，统计结果如图表所示．（1）分别求出a ，b ，c （2）从第3，4组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取6人，在所抽取的6人中随机抽取2人授予“环保之星”，记X 为第3组被授予“环保之星”的人数，求X 的分布列与数学期望．年龄【答案】见解析．【解答】（本小题满分12分）解：（1）根据频率直方分布图，得(0.0100.0250.035)101c +++⨯=，解得0.03c =．第3组人数为50.510÷=，所以100.1100n =÷=．第1组人数为1000.3535⨯=，所以28350.8b =÷=．第4组人数为1000.2525⨯=，所以250.410a =⨯=．（2）因为第3，4组答对全卷的人的比为5:101:2=，所以第3，4组应依次抽取2人，4人．依题意X 的取值为0，1，2．002426C C 2(0)C 5P X ===， 112426C C 8(1)5C 1P X ===， 202426C C 1(2)5C 1P X ===，所以X 的分布列为：所以2812012515153EX =⨯+⨯+⨯=．18．（14分）如图，已知六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的侧棱垂直于底面，侧棱长与底面边长都为3，M ，N 分别是棱AB ，1AA 上的点，且1AM AN ==．（1）证明：M ，N ，1E ，D 四点共面．（2）求直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值．F 1E 1C 1D 1A 1B 1N F ECB A D【答案】见解析．【解答】（1）证明：连接1A B ，11D B ，BD ，11A E ，在四边形1111A B D E 中，1111A E B D =，且1111A E B D ∥，在四边形11BB D D 中，11BD B D ∥，且11BD B D =，所以：11A E BD ∥，且11A E BD =，则四边形11A BDE 是平行四边形．所以11A B E D ∥．在1ABA △中，1AM AN ==，13AB AA ==，所以：1AM ANAB AA = 则：1MN BA ∥，且：1MN DE ∥，所以：M ，N ，1E ，D 四点共面；D A B CEFN B 1A 1D 1C 1E 1F 1（2）解：以点E 坐标原点，EA ，ED ，1EE 线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则B，9,,02C ⎫⎪⎪⎝⎭，(0,3,0)D ，10,(0,3)E，M ．3,,02BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，1(0,3,3)DE =-u u u u r，2,0)DM =-u u u u r ，设平面1MNE D 的法向量为：(,,)m x y z =u r ，则：100m DE m DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u u r u r u u u u r ，即：33020y z y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：m =，设直线BC 与平面1MNE D 所成的角为θ，则sin ||||m BC m BC θ⋅=u r u u u r u r u u u r ，故直线BC 与平面1MNE DFF19．（14分）已知点*(,)()n n n P a b n ∈N 在直线:31l y x =+上，1P 是直线l 与y 轴的交点，数列{}n a 是公差为1的等差数列．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式．（2）求证：2221213111111||||||6n PP PP PP ++++<L ．【答案】见解析．【解答】（1）解：∵点*(,)()n n n P a b n ∈N 在直线:31l y x =+上，∴31n n b a =+，直线l 与y 轴的交点为(0,1)，∴10a =，11b =．∵数列{}n a 是公差为1的等差数列，∴1n a n =-．∴3(1)132n b n n =-+=-．∴数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为：1n a n =-，32n b n =-．（2）证明：∵1)(0,1P ，1,3(2)n P n n --，∴1,31()n P n n ++．∴222211||(3)10n PP n n n +=+=， ∴1221111111111||1010521214n PP n n n n +⎛⎫=<⋅=- ⎪-+⎝⎭-． ∴当2n ≥时，22212131111111111111||||||10535572121n PP PP PP n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111111110532110156n ⎛⎫=+-<+< ⎪+⎝⎭．又当1n =时，212111||106PP =<． ∴2221213111111||||||6n PP PP PP ++++<L ． 20．（14分）已知圆心在x 轴上的圆C 过点(0,0)和(1,1)-，圆D 的方程为22(4)4x y -+=．（1）求圆C 的方程．（2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求||AB 的取值范围．【答案】见解析．【解答】解：（1）过两点(0,0)A 和(1,1)B -的直线的斜率为1-，则线段AB 的中垂线方程为：11122y x ⎛⎫-=⨯+ ⎪⎝⎭，整理得：1y x =+．取0y =，得1x =-．∴圆C 的圆心坐标为(1,0)-，半径为1，∴圆C 的方程为：22(1)1x y ++=；（2）设00)(,P x y ，(0,)A a ，(0,)B b ，则直线PA 方程为00y a x y a x -=-，整理得：000()0y a x x y ax -+=-．∵直线PA 与圆C1=，化简得2000(2)20x a y a x +--=；同理可得PB 方程2000(2)20x b y b x +--=，因而a ，b 为2000(2)20x x y x x +--=的两根，∴||||AB a b =-== 令02[,8]4t x =+∈，则||AB =，配方可求得min ||AB，max ||AB =．故答案为：⎦21．（14分）已知函数1()ln 1x f x a x x -=-+，()e x g x =（其中e 为自然对数的底数）．（1）若函数()f x 在区间(0,1)内是增函数，求实数a 的取值范围；（2）当0b >时，函数()g x 的图象C 上有两点(e ),b P b 、(,)e b Q b --，过点P 、Q 作图象C 的切线分别记为1l 、2l ，设1l 与2l 的交点为00)(,M x y ，证明：00x >．【答案】见解析．【解答】解：（1）∵2()ln 11f x a x x =+-+， ∴22(1)2()(1)a x x f x x x +-'=+，若函数()f x 在区间(0,1)内是增函数，则2(1)20a x x -+≥，∴2222(1)4x a x =++≥， ∴12a ≥．（2）∵()e x g x '=，∴()()e b g b g b '==，∴1:(e )e b b l y x b =-+…①，()()e b g b g b -'-=-=，∴2:(e )e b b l y x b --=++…②，由①②得：e )e e ()e (b b b b x b x b ---+=++，两边同乘以e b 得：22e )e (1b b x b x b -+=++，∴222(e 1)e e 1b b b x b b =-+-⋅+，∴2202e e 1e 1b b b b b x -++=-，分母2e 10b ->，令22()e e 1b b h b b b -=++， ∴22()2e e 1b b h b b -'=+， ∴2()4e 10b h b b ''=+>， ∴min ()(0)0h b h +''→→，∴min ()(0)0h b h b →→>， ∴00x >．。

2015年高考理科数学广东卷(含答案)

数学试卷第1页（共16页）数学试卷第2页（共16页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的方差2222121()()()n s x x x x x x n⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦，其中x 表示样本均值.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N = ( )A .∅B .{1,4}--C .{0}D .{1,4} 2.若复数i(32i)z =-（i 是虚数单位），则z =( )A .32i -B .32i +C .2+3iD .23i - 3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A .x y x e =+B .1y x x=+C .122x xy =+D.y 4.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( )A .1B .1121C .1021 D .5215.平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是( )A.20x y -=或20x y -= B.20x y +或20x y += C .250x y -+=或250x y --=D .250x y ++=或250x y +-=6.若变量x ，y 满足约束条件458,13,02,x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤≤≤则32z x y =+的最小值为( )A .315B .6C .235D .47.已知双曲线C ：22221x y a b -=的离心率54e =，且其右焦点为2(5,0)F ，则双曲线C 的方程为( )A .22143x y -= B .221169x y -= C .221916x y -= D .22134x y -= 8.若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( )A .大于5B .等于5C .至多等于4D .至多等于3二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题）9.在41)的展开式中，x 的系数为 .10.在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += . 11.设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a =，1sin 2B =，π6C =，则b = .12.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言（用数字作答）.13.已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p .若()30E X =，()20D X =，则p = . （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14.（坐标系与参数方程）已知直线l的极坐标方程为π2sin()4ρθ-点A的极坐标为7π)4A ，则点A 到直线l 的距离为 .姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷第3页（共16页）数学试卷第4页（共16页）15.（几何证明选讲）如图，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，EC 是圆O 的切线，切点为C ，1BC =.过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD = .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m =，n (sin ,cos )x x =，π(0,)2x ∈. （Ⅰ）若m ⊥n ，求tan x 的值；（Ⅱ）若m 与n 的夹角为π3，求x 的值.17.（本小题满分12分）（Ⅰ）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（Ⅱ）计算（Ⅰ）中样本的均值x 和方差2s ；（Ⅲ）36名工人中年龄在x s -与x s +之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01％）？18.（本小题满分14分）如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4PD PC ==，6AB =，3BC =.点E 是CD 边的中点，点F ，G 分别在线段AB ，BC 上，且2AF FB =，2CG GB =.（Ⅰ）证明：PE FG ⊥；（Ⅱ）求二面角P AD C --的正切值；（Ⅲ）求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.19.（本小题满分14分）设1a >，函数2()(1)x f x x e a =+-. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：()f x 在(,)-∞+∞上仅有一个零点；（Ⅲ）若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点(,)M m n 处的切线与直线OP 平行（O 是坐标原点），证明：1m .20.（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆1C ：22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B . （Ⅰ）求圆1C 的圆心坐标；（Ⅱ）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）是否存在实数k ，使得直线L ：(4)y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分14分）数列{}n a 满足：1212242n n n a a na -+++⋅⋅⋅+=-，*n ∈Ν. （Ⅰ）求3a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n T ；（Ⅲ）令11b a =，1111(1)(2)23n n n T b a n n n-=++++⋅⋅⋅+≥，证明：数列{}n b 的前n 项和n S 满足22ln n S n <+.2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理科)答案解析【解析】依据题意，可行域如右图所示，数学试卷第5页（共16页）数学试卷第6页（共16页）数学试卷第7页（共16页）数学试卷第8页（共16页）【解析】连接OC，数学试卷第9页（共16页）数学试卷第10页（共16页）数学试卷第11页（共16页）数学试卷第12页（共16页）(3740)+-+PECD E =，因此可得,AD PD AD ⊥在等腰三角形PDC数学试卷第13页（共16页）数学试卷第14页（共16页）34⎫⎧⎫±⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎭【解析】依题意得化成标准方程后的圆为：（Ⅰ）根据标准方程，圆心坐标为25A B x m =+23,1m m ⎫⎪+⎭，数学试卷第15页（共16页）数学试卷第16页（共16页）34⎫⎧⎫±⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎭.（Ⅰ）通过将圆1C 的一般式方程化为标准方程即得结论的方程为y。

2015年广东高考(理科)数学试卷及答案-word版【2】

绝密★启用前试卷类型：A2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

{}}{|(4)(1)0,|(4)(1)0M x x x N x x x =++==--=，则M N ⋂=}{A.1,4}{B.1,4--}{C.D.∅(32)z i i =-（i 是虚数单位），则z = A.23i -B.23i +C.32i +D.32i -3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A.y =1B.y x x=+1C.22x xy =+D.x y x e =+4. 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球，从袋中任取2个球，所取的2个球中恰好有1个白球，1个红球的概率为5A.2110B.2111C.21D.15. 平行于直线2++1=0x y 且与圆225x y +=相切的直线的方程是A.250250x y x y ++=+-=或B.2020x y x y +=+=或C.250250x y x y -+=--=或D.2020x y x y -=-=或6. 若变量,x y 满足约束条件4581302x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则32z x y =+的最小值为A.4 23B.5C.6 31D.57. 已知双曲线2222:1x y C a b -=的离心率54e =，且其右焦点为2(5,0)F ，则双曲线C 的方程为22A.143x y -= 22B.1916x y -= 22C.1169x y -= 22D.134x y -= 8. 若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值A.3至多等于B.4至多等于C.5等于D.5大于二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9-13题）9. 在4x （-1）的展开式中，x 的系数为 . 10. 在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += . 11. 设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，1sin 2B =，6C π=，则b= . 12. 某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言。

2015年高考理科数学真题及答案(广东卷)

第1页共 1 页2015年高考理科数学真题及答案（广东卷）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 若集合410x x x ,410x x x ,则N M ( ).A. B. }4,1{ C. }0{ D. }4,1{答案: A提示: {1,4},{1,4},.M N M N 2. 若复数))(23(是虚数单位i i i z ,则z ( ).A. i 23B. i 23C. i 32D. i32答案: D提示: 23,23z i z i .3. 下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ).A. x e x yB. x x y 1C. x x y 212D. 21xy 答案: A提示: 设(),,(),x x f x x e R f x x e 该函数的定义域为(),()(),(),().,,,,.x f x x e f x f x f x f x B C D 而-不恒等于也不恒等于-故既不是奇函数也不是偶函数三个选项中的函数依次为奇函数偶函数偶函数4. 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球,从袋中任取2个球,所取的2个球中恰好有 1 个白球,1个红球的概率为( ).A. 1B. 2111C. 2110D. 215答案: C提示: 所求概率为1110521550210.151421C C C 5. 平行于直线012y x 且与圆522y x 相切的直线的方程是( ).A. 052052y x y x 或B. 052052y x y x 或C. 052052y x y x 或 D. 052052y x y x 或答案: D提示: 设所求直线的方程为2||20,5,||5, 5.21a x y a a a 依题意即6. 若变量y x,满足约束条件2031854y x y x ,则y x z 23的最小值为( ).A. 531B. 6C. 523D. 4。

2015年广东高考理科数学试题(含答案)

绝密★启用前试卷类型：B2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

不按以上要求做大的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡得整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 表示样本均值.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则MN =A ．∅B ．{}1,4--C ．{}0D ．{}1,4 2．若复数z=i ( 3 – 2 i ) ( i 是虚数单位 )，则z =A ．3-2iB ．3+2iC ．2+3iD ．2-3i 3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A ．xe x y += B ．x x y 1+= C ．x xy 212+= D ．21x y +=4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。

广东省广州市2015年高考数学一模试卷(理科)【解析版】

＜（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜e．
广东省广州市2015届高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合M={3，4，5}，N={1， 2，5}，则集合{1，2}可以表示为（） A． M∩N B．（∁UM） ∩N C． M∩（∁UN） D．（∁UM）∩（∁UN）考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：根据元素之间的关系进行求解即可．解答：解：∵M={3，4，5}，N={1，2，5}， ∴M∩N={5}，（∁UM）∩N={1，2}， M∩（∁UN）={3，4}，（∁UM）∩（∁UN）=∅，故选：B 点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 2．（5分）已知向量 =（3，4），若|λ
C．
（﹣∞，﹣
简单线性规划．计算题；作图题；不等式的解法及应用．
分析：由题意作出其平面区域，先解出点A的坐标，再结合图象写出实数m的取值范围即可．解答：解：由题意作出其平面区域，
结合图象可得，，解得，A（﹣1，﹣3）；故m≥﹣1；故选B．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题． 6．（5分）已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为，则该椎体的俯视图可以是（）
又关于x的绝对值不等式|x|+|x﹣1|≤a有解， ∴a≥|x|+|x﹣1|的最小值，又∵|x|+|x﹣1|表示数轴上的点到0和1的距离之和， ∴|x|+|x﹣1|的最小值为1，即a≥1， ∵{a|a≥1}是集合{a|a≤﹣1或a≥1}的真子集， ∴|a|≥1是关于x的绝对值不等式|x|+|x﹣1|≤a有解的必要不充分条件，故选：B 点评：本题考查充要条件的判定，涉及绝对值不等式的恒成立问题，属基础题． 8．（5分）已知i是虚数单位，C是全体复数构成的集合，若映射f： C→R满足：对任意z1，z2∈C，以及任意λ∈R，都有f（λz1+（1﹣λ） z2）=λf（z1）+（1﹣λ）f（z2），则称映射f具有性质P．给出如下映射： ①f1：C→R，f1（z）=x﹣y，z=x+yi（x，y∈R）； ②f2：C→R，f2（z）=x2﹣y，z=x+yi（x，y∈R）； ③f3：C→R，f3（z）=2x+y，z=x+yi（x，y∈R）；其中，具有性质P的映射的序号为（） A． ①② B． ①③ C． ②③ D． ①②③ 考点：映射．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：求出两个向量的和的坐标；分别对三个函数求f（λz1+（1﹣ λ）z2）、λf（z1）+（1﹣λ）f（z2）的值，判断哪个函数具有 f（λz1+（1﹣λ）z2）=λf（z1）+（1﹣λ）f（z2）解答：解：设 z1=（x1，y1），z2=（x2，y2），则λ z1+（1﹣λ） z2=（λx1+（1﹣λ）x2，λy1+（1﹣λ）y2），对于①，f[λa+（1﹣λ）z2]=λx1+（1﹣λ）x2+λy1+（1﹣λ） y2+1=λ（x1+y1）+（1﹣λ）（x2+y2）+1 而λf（ a）+（1﹣λ）f（z2）=λ（x1+y1+1）+（1﹣λ）（x2+y2+1） ═λ（x1+y1）+（1﹣λ）（x2+y2）+1， f1满足性质p；f2（λa+（1﹣λz2））=[λx1+（1﹣λ）x2]2+[λy1+（1﹣

广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编.三角函数

广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编三角函数1．（2015届广州市）函数()sin y A x ωϕ=+()0,0,0A ωϕ>><<π的图象的一部分如图1所示，则此函数的解析式为A ．3sin y x ππ⎛⎫=+⎪44⎝⎭ B ．3sin y x π3π⎛⎫=+ ⎪44⎝⎭C ．3sin y x ππ⎛⎫=+⎪24⎝⎭ D ．3sin y x π3π⎛⎫=+ ⎪24⎝⎭2（2015届揭阳市）已知1sin()3πα+=，则cos 2α= A.429B.89C.79-D.793.（2015届茂名市）在△ABC 中,54sin =A ,6=∙AC AB ,则△ABC 的面积为（）. A ．3B ．125C ．6D ．44（2015届肇庆市）在∆ABC 中，AB =5，AC =3，BC =7，则∠BAC = A ．65π B ．32π C ．3π D ．6π 答案：A D D B二．填空题5（2015届广州市）已知()s i n 6fx x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，若3c o s 5α=02απ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则12f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ．6（2015届揭阳市）在△ABC 中，已知角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且2(cos cos )c a B b A b -=，则sin sin AB= ．答案：72102y xO 1 5 3 -3图1NMPoyx7（2015届潮州市）（本小题满分12分）已知向量⎪⎭⎫⎝⎛-=1,3sin x m ，)0(,3cos 21,23>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A x A A n ,函数()f x n m =⋅ 的最大值为2．（1）求()f x 的最小正周期和解析式；（2）设,[0,]2παβ∈，10(3)213f πα+=，6(32)5f βπ+=，求sin()αβ-的值．8（2015届广州市）（本小题满分12分）已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且::7:5:3a b c =．（1）求cos A 的值；（2）若△ABC 的面积为453，求△ABC 外接圆半径的大小．9（2015届惠州市）（本小题满分12分）已知函数()sin()6f x A x πω=+(0,0)A ω>>的最小正周期为6T π=，且(2)2f π=．（1）求()f x 的表达式；（2）设,[0,]2παβ∈，16(3)5f απ+=，520(3)213f πβ+=-，求cos()αβ-的值．10（2015届揭阳市）(本小题满分12分)已知函数()sin()6f x A x πω=+(00)A ω>>，的部分图象如图4示，其中M 1(,0)6-为图象与x 轴的交点，1(,2)3P 为图象的最高点．(1)求A 、ω的值；(2)若2()3f απ=，(,0)3πα∈-，求cos()3πα+的值．11（2015届茂名市）（本小题满分12分）已知函数)0,0)(6sin()(>>+=ωπωA x A x f 图象的一部分如图所示.（1）求函数)(x f 的解析式；（2）设]0,2[,πβα-∈，1310)3(=+παf , 56)253(=+πβf ,求sin()αβ-的值.12（2015届深圳市）（本小题满分12分）设函数)2cos()(ϕ+=x x f （其中π0<<ϕ，R ∈x ）．已知21)0(-=f ．（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若角θ满足)()3πsin(θθf =+，且π0<≤θ，求角θ的值．13（2015届肇庆市）（本小题满分12分）已知函数x x x x f 2cos )23sin()sin(3)(-++=ππ．（1）求函数)(x f 的最小正周期；（2）若]0,2[πθ-∈，103)32(=+πθf ，求)42sin(πθ-的值．7解：（1）⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=63(sin 3cos 213sin 233cos 213sin 23)(πx A x x A x A x A x f …3分 ()f x 的最小正周期2613T ππ== ……………………………………………4分因为 0A >，由题意知A=2, ……………………………5分所以 1()2sin(),36f x x x R π=-∈ (6)分（2）10132sin 32sin ,132326f πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=⨯+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭61(32)2sin (32)2sin 2cos ,5362f ππβπβπββ⎛⎫⎛⎫=+=⨯+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ………8分53sin ,cos ,135αβ∴==,[0,]2παβ∈22512cos 1sin 1,1313αα⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭2234sin 1cos 1,55ββ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭……………………………10分 5312433sin()=sin cos cos sin 13513565αβαβαβ--=⨯-⨯=- (12)分8（1）因为::7:5:3a b c =，所以可设7a k=，5b k=，3c k =()0k >，…………………………………………………………2分由余弦定理得，222cos 2b c a A bc +-=()()()222537253k k k k k+-=⨯⨯…………………………………………………………3分12=-．………………………………………………………………………………………………4分（2）由（1）知，1cos 2A =-，因为A 是△ABC 的内角，所以2s i A A =-32=．………………………………………………………………………6分由（1）知5b k =，3c k =，因为△ABC的面积为453，所以1s i n 4532b c A =，……………………………………………8分即135345322k k ⨯⨯⨯=，解得23k =．…………………………………………………………………………………………10分由正弦定理2s ina R A=，即71432s i n32k R A ==，…………………………………………………11分解得14R =．所以△ABC 外接圆半径的大小为14．…………………………………………………………………12分 9（本小题满分12分）解：(1)依题意得2π2π1==T 6π3ω=，∴x πf(x)=Asin(+)36， ……2分由f(2π)=2，得2ππAsin(+)=236，即5πAsin =26，∴A=4， ……4分 ∴x πf(x)=4sin(+)36. ……5分(2)由16f(3α+π)=5，得1π164sin[(3α+π)+)]=365，即π164sin(α+)=25，∴4cos 5α=， ……6分又∵πα[0]2∈，，∴3sin 5α=， ……7分由5π20f(3+)=213β-，得15ππ204sin[(3+)+)]=32613β-，即5sin(+π)=13β-，∴5sin β13=， ……9分又∵πβ[0]2∈，，∴12cos β13=， ……10分cos(α－β)= cosαcosβ+ sinαsinβ412356351351365=⨯+⨯=. ……12分 10解：（1）由1(,2)3P 为图象的最高点知2A =，---------------------1分又点M 1(,0)6-知函数()f x 的最小正周期114()236T =+=，-----------------------3分∵2T πω= ∴ωπ=,-------------------------------------------------5分(2)由（1）知，()2sin()6f x x ππ=+由2()3f απ=得1sin()63πα+=，----------------------------------------6分∵(,0)3πα∈- ∴666πππα-<+<----------------------------------------7分∴2122cos()1sin ()16693ππαα+=-+=-=-------------------------9分 ∵cos()cos()366πππαα+=++cos()cos sin()sin 6666ππππαα=+-+-------------11分∴cos()3πα+2231126132326-=⨯-⨯=------------12分 11解：（1）由图象可知2=A ， …………………………………………………………1分,2921143πππ=-=Tωππ26==∴T 31=∴ω. ………………………3分 )631sin(2)(π+=∴x x f . ………………………4分（2）∵10(3)2sin()2cos ,213f παπαα+=+==∴5cos 13α=，………………6分又∵56sin 2)sin(2)253(=-=+=+βπβπβf ∴53sin -=β，……………8分 ∵]0,2[,πβα-∈，,1312)135(1cos 1sin 22-=--=--=∴αα54)53(1sin 1cos 22=--=-=ββ. ………………………………………10分∴sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-.6533)53(13554)1312(-=-⨯-⨯-=………………………………12分 12（本小题满分12分）设函数()cos(2)f x A x =+ϕ（其中0A >，0π<<ϕ，R ∈x ）．已知π6x =时，()f x 取得最小值2-．（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若角θ满足π2sin()()3f +=θθ，且π0<≤θ，求πsin()3θ+的值．解：（1）由()f x 最小值2-且0A >，所以2A =． …………………………………………1分因为π()26f =-，所以πcos()13ϕ+=-， ……………………………………………………2分由0π<<ϕ可得ππ4π333ϕ<+<，所以ππ3ϕ+=， ………………………………………3分所以2π3ϕ=． ……………………………………………………………………………………4分故)(x f 的解析式为2π()2cos(2)3f x x =+． …………………………………………………5分（2）（法1）由（1），得)3π22cos()3πsin(+=+θθ，即)3π(sin 21)3πsin(2+-=+θθ，01)3πsin()3π(sin 22=-+++θθ， ……………………8分所以1)3πs in-=+θ或21)3πsin(=+θ． ………………………………………………10分又0πθ≤<，所以ππ4π333θ≤+<． …………………………………………………11分所以21)3πsi =+θ． ………………………………………………………………………12分（法2）由（1），得)3π22cos()3πsin(+=+θθ，即)3π22cos()6πcos(+=-θθ．………………………………………………………8分所以θθ-+=+6ππ23π22k 或θθ+-=+6ππ23π22k ，Z ∈k ． …………………………10分即6π3π2-=k θ或65ππ2-=k θ，Z ∈k ．又0πθ≤<，所以2π=θ． …………………………………………………………11分所以21)3πsi =+θ． ………………………………………………………………………12分13（本小题满分12分）解：（1）x x x x f 2cos cos sin 3)(-= （2分）212cos 2sin 23+-=x x （4分） 21)62sin(--=πx （5分）所以函数)(x f 的最小正周期ππ==22T . （6分）（2）由（1）得21cos 21)2sin(21]6)32(2sin[)32(-=-+=--+=+θπθππθπθf ，（7分）由10321cos =-θ，得54cos =θ. （8分）因为]0,2[πθ-∈，所以53sin -=θ. （9分）所以2524cos sin 22sin -==θθθ，2571cos 22cos 2=-=θθ，（11分）所以502314sin2cos 4cos2sin )42sin(-=-=-πθπθπθ. （12分）。

2015广东高考理科数学试卷(word文档)

2015年全国普通高等学校招生统一考试（广东卷)理科数学一、选择题1.若集合()(){}()(){}|410,|410M x x x N x x x =++==--=，则M N ⋂= A.∅ B.{}1,4-- C.{}0 D.{}1,42.若复数()32z i i =-（i 是虚数单位），则z =A.32i -B.32i +C.23i +D.23i - 3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A.x y x e =+B.1y x x =+C.122x x y =+D.y =4.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球，从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有一个1白球，1个红球的概率为A.1B.1121C.1021D.5215.平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是A.20x y -+=或20x y -=B. 20x y ++=或20x y += C.250x y -+=或250x y --= D. 250x y ++=或250x y +-=6.若变量,x y 满足约束条件45813,02x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩则32z x y =+的最小值为A.315 B.6 C.235D.4 7、已知双曲线C ：2222-1(00)x y a b a b =>>，的离心率为5e 4=，且其右焦点为F 2（5，0），则双曲线的方程为A 、22-143x y =B 、22-1169x y =C 、22-1916x y =D 、22-134x y = 8、若空间中n 个不同的点，两两距离都相等，则正整数n 的取值A 、大于5B 、等于5C 、至多等于4D 、至多等于3 二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）（一）必做题（9~13题）9、在41)的展开式中，x 的系数为．10、在等差数列{n a }中，若34567a a a a a ++++＝25，则28a a +＝＿＿＿11、设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1,26a B C π===，则b ＝＿＿＿12、某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了＿＿＿＿条毕业留言（用数字作答）13、已知随机变量X 服从二项分布B （n ，p ），若E （X ）＝30，D （X ）＝20，则p ＝＿＿＿（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14、（坐标系与参数方程选做题）已知直线l 的极坐标方程为2sin()4πρθ-=A 的极坐标为A （74π），则点A 到直线l 的距离为．15、（几何证明选讲选做题）如图1，已知AB 是圆O 的直径，4,=AB EC 是圆O 的切线，切点为C ，1=BC ，过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD =_______.三、解答题)2,0(),cos ,(sin 22-22x oy 1216π∈==x x x n m ），，（中，已知向量分）在平面直角坐标系、（（1）若m ⊥n ，求tanx 的值；（2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值；17、（本小题满分12分）某工厂36名工人的年龄数据如下表：（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值x 的方差s 2；（3）36名工人中年龄在x －s 与x ＋s 之间有多少人？所占的百分比是多少？（精确到0.01%）18、(本小题满分14分)如图2，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直，D C 4P =P =，6AB =，C 3B =．点E 是CD 边的中点，点F<G 分别在线段AB ，BC 上，且AF=2F ，CG=2GB 。

2015年高考理科数学广东卷

数学试卷第1页（共4页）数学试卷第2页（共4页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的方差2222121()()()n s x x x x x x n⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦，其中x 表示样本均值.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N =I ( ) A .∅B .{1,4}--C .{0}D .{1,4} 2.若复数i(32i)z =-（i 是虚数单位），则z =( )A .32i -B .32i +C .2+3iD .23i - 3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A .x y x e =+B .1y x x=+C .122x xy =+D.y 4.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( )A .1B .1121C .1021 D .5215.平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是( )A.20x y -+=或20x y - B.20x y ++=或20x y + C .250x y -+=或250x y --=D .250x y ++=或250x y +-=6.若变量x ，y 满足约束条件458,13,02,x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤≤≤则32z x y =+的最小值为( )A .315B .6C .235D .47.已知双曲线C ：22221x y a b -=的离心率54e =，且其右焦点为2(5,0)F ，则双曲线C 的方程为( )A .22143x y -=B .221169x y -= C .221916x y -=D .22134x y -= 8.若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( )A .大于5B .等于5C .至多等于4D .至多等于3二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题）9.在41)的展开式中，x 的系数为 .10.在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += . 11.设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a =，1sin 2B =，π6C =，则b = .12.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言（用数字作答）.13.已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p .若()30E X =，()20D X =，则p = . （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14.（坐标系与参数方程）已知直线l的极坐标方程为π2sin()4ρθ-点A的极坐标为7π)4A ，则点A 到直线l 的距离为 .姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷第3页（共4页）数学试卷第4页（共4页）15.（几何证明选讲）如图，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，EC 是圆O 的切线，切点为C ，1BC =.过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD = .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m 22(,)22=-，n (sin ,cos )x x =，π(0,)2x ∈. （Ⅰ）若m ⊥n ，求tan x 的值；（Ⅱ）若m 与n 的夹角为π3，求x 的值.17.（本小题满分12分）工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄 1 40 10 36 19 27 28 34 2 44 11 31 20 43 29 39 3 40 12 38 21 41 30 43 4 41 13 39 22 37 31 38 5 33 14 43 23 34 32 42 6 40 15 45 24 42 33 53 7 45 16 39 25 37 34 37 8 42 17 38 26 44 35 49 943183627423639（Ⅰ）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（Ⅱ）计算（Ⅰ）中样本的均值x 和方差2s ；（Ⅲ）36名工人中年龄在x s -与x s +之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01％）？18.（本小题满分14分）如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4PD PC ==，6AB =，3BC =.点E 是CD 边的中点，点F ，G 分别在线段AB ，BC 上，且2AF FB =，2CG GB =.（Ⅰ）证明：PE FG ⊥；（Ⅱ）求二面角P AD C --的正切值；（Ⅲ）求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.19.（本小题满分14分）设1a >，函数2()(1)x f x x e a =+-. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：()f x 在(,)-∞+∞上仅有一个零点；（Ⅲ）若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点(,)M m n 处的切线与直线OP 平行（O 是坐标原点），证明：321m a e--≤.20.（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆1C ：22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B . （Ⅰ）求圆1C 的圆心坐标；（Ⅱ）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）是否存在实数k ，使得直线L ：(4)y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分14分）数列{}n a 满足：1212242n n n a a na -+++⋅⋅⋅+=-，*n ∈Ν. （Ⅰ）求3a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n T ；（Ⅲ）令11b a =，1111(1)(2)23n n n T b a n n n-=++++⋅⋅⋅+≥，证明：数列{}n b 的前n 项和n S 满足22ln n S n <+.。

广东广州市2015届高考模拟考试数学(理科)

广东广州市2015届高考模拟考试数学（理科） 2015.1本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，按要求交回试卷和答题卡．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知i为虚数单位，复数对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2. 已知集合，，则A. B. C. D.3．设向量，, 若方向相反, 则实数的值是A． B． C． D．开始输入整数是否输出结束4．一算法的程序框图如图1，若输出的，则输入的的值可能为A． B． C． D．5. 将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，所得图象的函数解析式是A． B．C． D．6. 用,,表示空间中三条不同的直线, 表示平面, 给出下列命题:①若, , 则∥; ②若∥, ∥, 则∥;③若∥, ∥, 则∥; ④若, , 则∥.其中真命题的序号是A．①② B．②③ C．①④ D．②④图1 7. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，且点的横坐标为，则△的周长为A． B． C． D．8. 已知映射.设点，，点是线段上一动点，.当点在线段上从点开始运动到点结束时，点的对应点所经过的路线长度为A． B． C． D．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9. 不等式的解集是 .10. 已知数列是等差数列，且，则的值为 .11. 在平面直角坐标系中，设不等式组所表示的平面区域是，从区域中随机取点，则的概率是 .12. 由，，，…，这十个数字组成的无重复数字的四位数中，十位数字与千位数字之差的绝对值等于的四位数的个数是 .13. 已知函数, 则的.值为（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图2，圆的直径，直线与圆相切于点，于点D，若，设，则______．15．（坐标系与参数方程选讲选做题）图2在极坐标系中，设曲线与的交点分别为，，则线段的垂直平分线的极坐标方程为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数R，是函数的一个零点.（1）求的值，并求函数的单调递增区间；（2）若，且，，求的值.（本小题满分12分）17.广州某商场根据以往某种商品的销售记录，绘制了日销售量的频率分布表（如表）和频率分布直方图（如图）．分组频数频率表1将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．（1）求，的值.（2）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都高于100个且另1天的日销售量不高于50个的概率；（3）用表示在未来3天里日销售量高于100个的天数，求随机变量的分布列和数学期望．18.（本小题满分14分）如图，四边形是正方形，△与△均是以为直角顶点的等腰直角三角形，点是的中点，点是边上的任意一点.（1）求证：；（2）求二面角的平面角的正弦值.19.（本小题满分14分）已知数列的前项和满足：，为常数，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若，设，且数列的前项和为，求证：．20．（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为，且经过点．圆.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆C有且只有一个公共点，且与圆相交于两点，问是否成立？请说明理由．21.（本小题满分14分）已知函数，R .（1）讨论函数的单调性;（2）若函数有两个极值点,, 且, 求的取值范围;（3）在（2）的条件下, 证明:.2015年广州市高考模拟考试数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．题号12345678答案B B D C A D A B二．填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．9. 10. 11． 12． 13．14． 15．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）（1）解：∵是函数的一个零点，∴ . …………………………………………1分∴ .………………………………………………2分∴………………………………………………3分. ………………………………………………4分由，Z ，得，Z ， ………………………………………………5分∴ 函数的单调递增区间是Z. …………………6分（2）解：∵，∴.∴ . ………………………………………………7分∵ ，∴ . ………………………………………………8分 ∵，∴.∴ . ………………………………………………9分∵ ，∴ . ……………………………………………10分 ∴ …………………………………………11分. ………………………………………………12分17. （本小题满分12分）（1）解：，. …………………………2分(2) 解：设表示事件“日销售量高于100个”，表示事件“日销售量不高于50个”，表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量高于100个且另1天销售量不高于50个”．，，. ………………………………………………………5分(3)解：依题意，的可能取值为，，，，且. ……………………6分，，，， …………10分∴的分布列为01230.0640.2880.4320.216……………………………………11分∴.……………………………………12分18. （本小题满分14分）（1）证明：∵是的中点，且，∴ . ……………………………………………1分∵ △与△均是以为直角顶点的等腰直角三角形，∴ ，.∵ ，平面，平面，∴ 平面.∵ 平面，∴ . ……………………………………2分 ∵ 四边形是正方形，∴ . ……………………………………3分∵ ，平面，平面，∴ 平面.∵ 平面，∴ . ………………………………………………………4分∵ ，平面，平面，∴ 平面.………………………………………………………5分∵ 平面，∴ . ………………………………………………………6分（2）解法1：作于，连接，∵ ⊥平面，平面∴ . ………………………………………………………7分∵ ，平面，平面，∴ ⊥平面. ………………………………………………………8分∵ 平面，∴ . ……………………………………………………9分∴∠为二面角的平面角.…………………………………………………10分设正方形的边长为，则，，在Rt△中，， …………………11分在Rt△中，，，………………12分在Rt△中， . ………………………………………………13分∴ 二面角的平面角的正弦值为.……………………………………14分解法2：以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，则，，,.……………7分∴，.设平面的法向量为，由得 …………………8分令，得，∴ 为平面的一个法向量.…………………………………………9分∵ 平面，平面，∴ 平面平面.连接，则.∵ 平面平面，平面，∴ 平面. ………………………………………………10分∴ 平面的一个法向量为. ………………………………………………11分设二面角的平面角为，则. ……………………………………………12分∴. ………………………………………………13分∴ 二面角的平面角的正弦值为.……………………………………14分19.（本小题满分14分）（1）解：∵， ∴ . ………………………………………1分当时，， ………………………………………3分得， ………………………………………………4分∴ 数列是首项为，公比也为的等比数列． ………………………………………5分∴. ……………………………………………6分（2）证明：当时，， ………………………………………………7分∴. …………………………8分由，， ………………………………………………10分∴. …………………………………………… 11分∴ .…………13分∵ ，∴ ，即. …………………………………………………14分20．（本小题满分14分）（1）解：∵ 椭圆过点，∴ .…………………………………………1分∵， …………………………………………2分∴． …………………………………………3分∴椭圆的方程为. …………………………………………4分（2）解法1：由（1）知，圆的方程为，其圆心为原点.………………………5分∵直线与椭圆有且只有一个公共点，∴方程组（*）有且只有一组解．由（*）得． ……………………………………6分从而,化简得．① …………………7分，. ……………9分∴ 点的坐标为. (10)分由于，结合①式知，∴. ……………………………………11分∴ 与不垂直. ……………………………………12分∴ 点不是线段的中点. ……………………………………13分∴不成立. ……………………………………14分解法2：由（1）知，圆的方程为，其圆心为原点. ………………………5分∵直线与椭圆有且只有一个公共点，∴方程组（*）有且只有一组解．由（*）得． ……………………………………6分从而,化简得．① …………………7分， …………………………………………………8分由于，结合①式知，设,线段的中点为,由消去,得.………………………………9分∴ . (10)分若,得 ,化简得,矛盾. ………………………………11分 ∴ 点与点不重合. ……………………………………12分∴ 点不是线段的中点. ……………………………………13分∴ 不成立.……………………………………14分21. （本小题满分14分）(1)解: 函数的定义域为,, ………………………………………………1分令, 得, 其判别式,① 当,即时, ,, 此时,在上单调递增;2分② 当, 即时, 方程的两根为,,3分若, 则, 则时, , 时, ,此时, 在上单调递减, 在上单调递增; ………………………4分若,则, 则时, ,时, ,时, ,此时, 在上单调递增, 在上单调递减, 在上单调递增. ……5分综上所述, 当时, 函数在上单调递减, 在上单调递增;当时, 函数在上单调递增, 在上单调递减, 在上单调递增;当时, 函数在上单调递增. ………………………6分(2) 解:由(1)可知, 函数有两个极值点,,等价于方程在有两不等实根, 故. ………………………7分(3) 证明: 由(1), (2)得, , 且, . ………8分, …………………9分令, ,则, ………………………………………………10分由于, 则, 故在上单调递减. ………………………11分故. ………………………………………………12分∴. ………………………………………………13分∴. ………………………………………………14分。

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