信号与系统第三章(陈后金)3综述
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信号与系统 陈后金 第二版 课后习题答案(完整版)
（1） f (t) = 3sin 2t + 6 sinπ t
（2） f (t) = (a sin t) 2
（8）
f
(k)
=
cos⎜⎛ ⎝
πk 4
⎟⎞ ⎠
+
sin⎜⎛ ⎝
πk 8
⎟⎞ ⎠
−
2
cos⎜⎛ ⎝
πk 2
⎟⎞ ⎠
解：（1）因为 sin 2t 的周期为π ，而 sin πt 的周期为 2 。
显然，使方程
−∞
0
2-10 已知信号 f (t) 的波形如题 2-10 图所示，绘出下列信号的波形。
f (t)
2
1
−1 0
t 2
题 2-10 图
（3） f (5 − 3t) （7） f ′(t) 解：（3）将 f (t) 表示成如下的数学表达式
（5） f (t)u(1 − t)
由此得
⎧2
f
(t)
=
⎪ ⎨ ⎪ ⎩
f (t)u(1− t) 2
1
0.5
t
−1 0
1
（7）方法 1：几何法。由于 f (t) 的波形在 t = −1处有一个幅度为 2 的正跳变，所以 f ′(t) 在 此处会形成一个强度为 2 的冲激信号。同理，在 t = 0 处 f ′(t) 会形成一个强度为 1 的冲激信 号（方向向下，因为是负跳变），而在 0 < t < 2 的区间内有 f ′(t) = −0.5 （由 f (t) 的表达式可
第 1 页 共 27 页
《信号与系统》（陈后金等编）作业参考解答
（2）显然，该系统为非线性系统。 由于
T{f (t − t0 )}= Kf (t − t0 ) + f 2 (t − t0 ) = y(t − t0 )
信号与系统142-《信号与系统》课程教学大纲
《信号与系统》课程教学大纲一、课程总述本课程大纲是以2012年电子信息工程和通信工程本科专业人才培养方案为依二、教学时数分配注：第5章离散时间傅立叶变换和第11章线性反馈系统不讲。
三、单元教学目的、教学重难点和内容设置第一章信号与系统概论【教学目的】了解信号与系统的基本概念；掌握信号的描述、分类和运算；熟悉系统模型及其分类；掌握线性时不变系统的特征。
【重点难点】信号的运算；阶跃信号与冲激信号；线性时不变系统。
【教学内容】1．连续时间和离散时间信号2．信号的运算3．指数信号与正弦信号4．单位冲激信号与单位阶跃信号5．连续时间系统和离散时间系统6．系统基本性质第二章线性时不变系统的时域分析【教学目的】熟悉微分方程式的建立与求解；掌握零输入响应和零状态响应；掌握卷积、卷积的性质、卷积的应用。
【重点难点】零输入响应和零状态响应；卷积的性质与应用。
【教学内容】1．离散时间LTI系统的卷积和2．连续时间LTI系统的卷积积分3．线性时不变系统的性质4．用微分方程和差分方程描述的因果LTI系统注：本章中2.5节奇异函数不讲。
第三章周期信号的傅立叶级数【教学目的】掌握LTI系统对复指数信号的响应；连续时间周期信号的傅里叶级数表示和傅立叶级数收敛的条件。
【重点难点】连续时间周期信号的傅里叶级数表示。
【教学内容】1．LTI系统对复指数信号的响应2．连续时间周期信号的傅立叶级数表示3．傅立叶级数的收敛注：本章中3.5节~3.10节不讲。
第四章连续时间傅里叶变换【教学目的】掌握连续时间傅里叶变换的概念、性质和求解方法；熟悉傅里叶变换的卷积特性和相乘性质；掌握周期信号的傅立叶变换；掌握由线性常系数微分方程表征的系统。
【重点难点】傅里叶变换的概念、性质和求解方法；周期信号的傅里叶变换。
【教学内容】1．非周期信号的表示：连线时间傅立叶变换2．周期信号的傅立叶变换3．连续时间傅立叶变换的性质4．卷积性质5．相乘性质6．常用连续时间信号的傅立叶变换7．由线性常系数微分方程表征的系统第六章信号与系统的时域和频域特性【教学目的】掌握傅立叶变换的模和相位表示；掌握LTI系统的频率响应的模和相位表示；掌握理想低通滤波器的时域特性。
陈后金《信号与系统》(第2版)配套题库【名校考研真题+课后习题+章节题库+模拟试题】(上册)
图2-2
3．有一离散时间信号
（1）画出
（2）求序列 学]
使之满足
解：（1）
又 比较上述两式可得： 故如图2-3所示。
[电子科技大
图2-3
4．已知 如图2-4（a），画出
和
的波形。[北
京理工大学]
解：将 反转得 如图2-4（b）所示，将它们相加、减得 ，波形如图2-4（c）、（d）所示。
图2-4 5．已知f（t）的波形如图2-5所示，令r（t）＝tu（t）。
大学]
图1-2 解：因为：
故：
y2（t）的波形如图1-3所示。
图1-3 3．将如图1-4（a）、（b）所示的连续信号展成如下形式：
给出信号
最简单的解析表达形式。[北京航空航天大学]
图1-4
解：（a）该信号可分为两段：
和
可化简为
故
，即：
（b）该信号可分为三段： 可化简为 故
，即
4．求
的值。[北京航空航天大学2006研]
，应该与齐次解有关，即系统的特征根为－1和－3，故特征方程应为 ，即a0＝4，a1＝3。
（2）设系统对激励 rzs（t），则
的零输入响应和零状态响应分别为rzi（t）和
由于
，则由线性时不变系统的微分特性可知
同时，设系统的单位冲激响应为h（t），则由线性时不变系统的叠加性 可知
由式（1）、式（2），并设
陈后金《信号与系统》（第2版）配 套模拟试题及详解
第一部分 名校考研真题 第1章 信号与系统分析导论 一、选择题
1．方程 天大学2007研] A．线性时不变 B．非线性时不变 C．线性时变 D．非线性时变 E．都不对 【答案】B
描述的系统是（ ）。[北京航空航
信号与系统陈后金ppt
信号的时域分析
• 连续时间信号的时域描述 • 连续时间信号的基本运算 • 离散时间信号时域描述 • 离散时间信号的基本运算 • 确定信号的时域分解
连续时间信号的时域描述
• 典型普通信号
• 正弦信号 • 实指数信号 • 虚指数信号 • 复指数信号 • 抽样函数
• 奇异信号
• 单位阶跃信号 • 冲激信号 • 斜坡信号 • 冲激偶信号
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-
t0 -
(2)冲激信号具有强度，其强度就是冲激信号对时间的 定积分值。在图中用括号注明，以区分信号的幅值。
(3)冲激信号的物理意义： 表征作用时间极短，作用值很大的物理现象的数学模型
(4)冲激信号的作用：
A. 表示其他任意信号； B. 表示信号间断点的导数。
4) 冲激信号的极限模型
f (t) 1 2
二、奇异信号
1 单位阶跃信号
定义:
u(t
)
1 0
t >0 t<0
1 u(t - t0 ) 0
t >t0 t <t0
u (t ) 1
0
• 连续时间信号的时域描述 • 连续时间信号的基本运算 • 离散时间信号时域描述 • 离散时间信号的基本运算 • 确定信号的时域分解
连续时间信号的时域描述
• 典型普通信号
• 正弦信号 • 实指数信号 • 虚指数信号 • 复指数信号 • 抽样函数
• 奇异信号
• 单位阶跃信号 • 冲激信号 • 斜坡信号 • 冲激偶信号
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-
t0 -
(2)冲激信号具有强度，其强度就是冲激信号对时间的 定积分值。在图中用括号注明，以区分信号的幅值。
(3)冲激信号的物理意义： 表征作用时间极短，作用值很大的物理现象的数学模型
(4)冲激信号的作用：
A. 表示其他任意信号； B. 表示信号间断点的导数。
4) 冲激信号的极限模型
f (t) 1 2
二、奇异信号
1 单位阶跃信号
定义:
u(t
)
1 0
t >0 t<0
1 u(t - t0 ) 0
t >t0 t <t0
u (t ) 1
0
北京交通大学陈后金教授信号处理课件
第8章 数字滤波器的实现
第9章 数字语音信号
主要参考书
[1] 陈后金等译:数字信号处理及MATLAB仿真, 机械工业出版社, 2015
[2] S.K. Mitra. 数字信号处理(第4版） 清华大学出版社, 2012
[3] A.V.Oppenheim. 离散时间信号处理(第3版)英文版 ,电子工业出版社, 2011 [4] 胡广书.数字信号处理.清华大学出版社(第3版), 2012. [5]P.P. Vaidyanathan, Multirate systems and filter banks, Prentice Hall, Englewood Cliffs NJ,1993. [6] N.J.Fliege, Multirate digital signal processing. John Wiley &Sons, NY,1994. [7] I.Daubechies, 小波十讲（修订版） ,国防工业出版社, 2011 [8] S. Mallat 信号处理的小波导引：稀疏方法（第3版）英文影印版, 2012
第4章 IIR数字滤波器的设计
第5章 FIR数字滤波器的设计
第6章 随机信号功率谱估计
第7章 数字系统的结构 第8章 多速率信号处理基础Fra bibliotek主要教材
第1章 概述 第2章 离散时间信号 第3章 频域概念 第4章 抽样与重建 第5章 FIR滤波器设计与分析 第6章 IIR滤波器设计与分析 第7章 抽样速率转换
近代数字信号处理
(Advanced Digital Signal Processing)
信号与图像处理研究室 电子信息工程学院
主要教材
主教材: 普通高等教育“十一五”国家级规划教材
信号与系统第三章习题答案
T 0
−
T 0
e−
jnω0t dt
( ) =
1 − jnω0T
e− jnω0T
+
1 jnω0T
+
1 jnω0T 2
Te
−
jnω0
T
−1 − jnω0
e− jnω0t T 0
=
1 jnω0T
+
1 j2 n 2ω02T 2
e− jnω0T
−1 =
1 j2nπ
+
1 n 2π
2
1−
e− j2 nπ
=1 j2 nπ
n = ±1, ±2,L
∫ ∫ F0
=
1 T
T f (t ) dt = 1
0
T
T 0
1−
1 T
t
dt
=
1 2
该信号的指数型傅里叶级数为
( ) ∑∞
ft =
1 e jnω0t
n=−∞ j 2nπ
98
其频谱图如图 ３．２（ｂ）所示。
（２）由图 ３．１（ｂ）可知，其周期为T = 2π ，其频ω0 = 1，信号的解析式为：
2πn
100
即
bn
=
−
2E nπ
n为奇数
0
n为偶数
故得信号的傅里叶级数展开式为
f
(t )
=
−
2E π
sin
ω0t
+
1 sin 3
3ω 0t
+
1 sin 5
5ω 0t
+
L
+
1 n
sin
nω0 t
+
信号与系统陈后金版答案
1 k 1 k yzs [k ] = ∑ x[n]h[k − n] = u[k ] ∗ 3( ) − 2( ) u[k ] 3 2 n =−∞ ∞ 1 1 = ∑ u[n] ⋅ 3( ) k − n − 2( ) k − n u[k - n] 3 2 n =−∞ k 1 k −n 1 k −n = ∑ 3( ) − 2( ) 2 3 n=0
∴x
x
(−1)
(t) = ∫ { −τ [u(τ −1) −u(τ − 2)] + 3δ (τ −3)}dτ e
−∞
t −∞
t
(−1)
(t) = ∫
e−τ [u(τ −1) −u(τ − 2)]dτ + 3u(t −3)
0, t <1 t t −τ −τ ∫−∞ e [u(τ −1) −u(τ − 2)]dτ = ∫1 e dτ ,1< t < 2 2 e−τ dτ , t > 2 ∫1 0, t <1 t −1 −t −τ ,1 ∫−∞ e [u(τ −1) −u(τ − 2)]dτ = e −−e −2 < t < 2 e 1 −e ,t > 2
特征根为 s1 = -2, s2 = -5, 又因为 n > m , 所以： 则 h ( t ) = K 1e − 2 t u ( t ) + K 2 e − 5 t u ( t )
h '(t ) = − 2 K 1e −2 t u (t ) + K 1δ (t ) − 5 K 2 e −5 t u (t ) + K 2δ (t ) = − 2 K 1e −2 t u (t ) − 5 K 2 e −5 t u (t ) + ( K 1 + K 2 )δ (t ) h ''(t ) = 4 K 1e −2 t u (t ) − 2 K 1δ (t ) + 25 K 2 e −5 t u (t ) − 5 K 2δ (t ) + ( K 1 + K 2 )δ '(t ) 代入方程有： = K 1 + K 2 = '( t ) = 2 K 2δ ( t ) + 5 K∴K2 + (7/3; K1 )δ −1/3; 2δ '( t ) + 3δ ( t ) 1δ ( t )
∴x
x
(−1)
(t) = ∫ { −τ [u(τ −1) −u(τ − 2)] + 3δ (τ −3)}dτ e
−∞
t −∞
t
(−1)
(t) = ∫
e−τ [u(τ −1) −u(τ − 2)]dτ + 3u(t −3)
0, t <1 t t −τ −τ ∫−∞ e [u(τ −1) −u(τ − 2)]dτ = ∫1 e dτ ,1< t < 2 2 e−τ dτ , t > 2 ∫1 0, t <1 t −1 −t −τ ,1 ∫−∞ e [u(τ −1) −u(τ − 2)]dτ = e −−e −2 < t < 2 e 1 −e ,t > 2
特征根为 s1 = -2, s2 = -5, 又因为 n > m , 所以： 则 h ( t ) = K 1e − 2 t u ( t ) + K 2 e − 5 t u ( t )
h '(t ) = − 2 K 1e −2 t u (t ) + K 1δ (t ) − 5 K 2 e −5 t u (t ) + K 2δ (t ) = − 2 K 1e −2 t u (t ) − 5 K 2 e −5 t u (t ) + ( K 1 + K 2 )δ (t ) h ''(t ) = 4 K 1e −2 t u (t ) − 2 K 1δ (t ) + 25 K 2 e −5 t u (t ) − 5 K 2δ (t ) + ( K 1 + K 2 )δ '(t ) 代入方程有： = K 1 + K 2 = '( t ) = 2 K 2δ ( t ) + 5 K∴K2 + (7/3; K1 )δ −1/3; 2δ '( t ) + 3δ ( t ) 1δ ( t )
信号与系统-陈后金-北京交通大学-全-课件
时不变系统
时不变特性
时不变的连续系统表示为
f ( t ) ⎯⎯ → y f ( t ) f ( t − t 0 ) ⎯⎯ → y f ( t − t 0 )
时不变的离散时间系统表示为
f [ k ] ⎯⎯ → y f [ k ] f [ k − n ] ⎯⎯ → y f [ k − n ]
线性时不变系统可由定常系数的线性微分方程式 或差分方程式描述。
• 其中α，β为任意常数
连续系统
连续系统
连续系统
具有线性特性的离散时间系统可表示为
f1[k] ⎯⎯→ y1[k], f2[k] ⎯⎯→ y2[k] α ⋅ f1[k] + β ⋅ f2[k] ⎯⎯→α ⋅ y1[k] + β ⋅ y2[k]
其中α，β为任意常数
• 非线性系统：不具有线性特性的系统。
• 系统的数学模型 • 系统的方框图表示
• 系统的分类
• 连续时间系统与离散时间系 统
• 线性系统与非线性系统 • 时不变系统与时变系统 • 因பைடு நூலகம்系统与非因果系统 • 稳定系统与不稳定系统
系统是指由相互作用和依赖的若干事物组 成的、具有特定功能的整体。
输入信号
输出信号
信息源 传感 器
发送 设备
信道
⎣
�f 2 x2
[k ]⎤ [0]⎥⎦
⎫ ⎬ ⎭
=
a
y1[k
]
+
b
y2
[k
]
结论: 具有初始状态的线性系统，输出响应等于零输入响应
与零状态响应之和。
3．时不变系统与时变系统
• 系统的输出响应与输入激励的关系不随输入 激励作用于系统的时间起点而改变，就称为时不 变系统。否则，就称为时变系统。
时不变特性
时不变的连续系统表示为
f ( t ) ⎯⎯ → y f ( t ) f ( t − t 0 ) ⎯⎯ → y f ( t − t 0 )
时不变的离散时间系统表示为
f [ k ] ⎯⎯ → y f [ k ] f [ k − n ] ⎯⎯ → y f [ k − n ]
线性时不变系统可由定常系数的线性微分方程式 或差分方程式描述。
• 其中α，β为任意常数
连续系统
连续系统
连续系统
具有线性特性的离散时间系统可表示为
f1[k] ⎯⎯→ y1[k], f2[k] ⎯⎯→ y2[k] α ⋅ f1[k] + β ⋅ f2[k] ⎯⎯→α ⋅ y1[k] + β ⋅ y2[k]
其中α，β为任意常数
• 非线性系统：不具有线性特性的系统。
• 系统的数学模型 • 系统的方框图表示
• 系统的分类
• 连续时间系统与离散时间系 统
• 线性系统与非线性系统 • 时不变系统与时变系统 • 因பைடு நூலகம்系统与非因果系统 • 稳定系统与不稳定系统
系统是指由相互作用和依赖的若干事物组 成的、具有特定功能的整体。
输入信号
输出信号
信息源 传感 器
发送 设备
信道
⎣
�f 2 x2
[k ]⎤ [0]⎥⎦
⎫ ⎬ ⎭
=
a
y1[k
]
+
b
y2
[k
]
结论: 具有初始状态的线性系统，输出响应等于零输入响应
与零状态响应之和。
3．时不变系统与时变系统
• 系统的输出响应与输入激励的关系不随输入 激励作用于系统的时间起点而改变，就称为时不 变系统。否则，就称为时变系统。
信号与系统第三章(陈后金)3.
离散时间LTI系统的响应
3. 卷积法: 系统完全响应 = 零输入响应+零状态响应
y[k] yzi [k] yzs [k] yzi [k] x[k]* h[k]
✓ 求解齐次差分方程得到零输入响应
✓ 利用信号分解和线性非时变特性可求出 零状态响应
一、零输入响应
定义：系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系 统的初始状态单独作用而产生的输出响应。
离散时间LTI系统的响应
1. 迭代法
n
m
ai y[k i] bj x[k j]
i0
j0
已知 n 个初始状态{ y[1], y[2], y[2],∙∙∙∙, y[n] } 和输入，由差分方程迭代出系统的输出。
n
m
y[k] ai y[k i] bj x[k j]
C2
1 2
解得 C1=1，C2= 2
yzi [k] (1)k 2(2)k k 0
[例] 已知某线性时不变系统的动态方程式为: y[k]+4y[k1]+4y[k2]=x[k]
解： (2) 求非齐次方程y[k]5y[k1]+6y[k2] =x[k]的特解yp[k]
由输入x[k]的形式，设方程的特解为
yp[k] Ak2k , k 0
将特解带入原差分方程即可求得常数A= 2。
[例]已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程
y[k]5y[k1]+6y[k2] = x[k] 初始条件y[0] = 0，y[1] = 1，输入信号 x[k] = 2k u[k]，求系统的完全响应y[k]。
1) 若初始条件不变，输入信号 x[k] = sin0 k u[k]，
信号与系统-课件(陈后金)
f2(t) 0.5
0
t
y(t)=f1(t)+f2(t) 1
t 0
5 . 信号的相乘
f(t)=f1(t)·f2(t) ·…… ·fn(t)
f1(t) 1
t
-1
1
f (t) f1(t) f1(t) 1
f2(t) 1
t
-1
1
t
-2
2
6 . 信号的微分
y(t)=df(t)/dt=f '(t)
f (t) 1
0 t0
t
sin w0 (t - t0 ) u(t - t0 )
t 0 t0
2. 冲激信号
1)冲激信号的引出
单位阶跃信号加在电容两端，流过电容的电流 i(t)=C du(t)/dt可用冲激信号表示。 2)冲激信号的定义
狄拉克定义式：
(t)=0 , t0
+
(t) dt = 1 -
3) 冲激信号的图形表示
dt
性质：
'(t)dt 0
- t
'( )d (t)
-
f (t) ' (t) f (0) ' (t) - f ' (0) (t)
f (t) '(t)dt - f '(0)
-
'(t) (1)
t 0
冲激偶信号图形表示
•四种奇异信号具有微积分关系
'(t) d (t)
dt
t) du(t)
e j0k 的振荡频率不随角频率0的增加而增加。
e e e e j(0 +n2 )k
j0k j 2nk
j0k
周期性：
若e j0N 1
陈后金 信号与系统3 PPT
例2 已知某线性时不变系统的动态方程式为:
系统的初始状态为y(0)=1，y' (0)=3，求系统的零 输入响应yx(t)。
[解]
d2y dy 5 6 y (t ) 4 f (t ) 2 dt dt
t 0
系统的特征方程为 系统 2，s2 3
= 2(1 e 3t )u (t )
t 0 t 0
t 0 t0
连续时间系统的单位冲激响应
• 连续时间系统单位冲激响应的定义 • 冲激平衡法求系统的单位冲激响应 • 连续时间系统的单位阶跃响应
连续时间系统单位冲激响应的定义
在系统初始状态为零的条件下，以单位冲 激信号激励系统所产生的输出响应，称为系统的 单位冲激响应，以符号h(t)表示。
信号线性组合作用在系统上的响应，即系统在
任意信号f(t)激励下的零状态响应yf(t) 。
卷积法求解系统零状态响应yf (t)推导
(t ) h(t )
由时不变特性 由均匀特性 由积分特性
f (t )
(t ) h(t )
f ( ) (t ) f ( )h(t )
yh (t ) K1e s1t K 2e s2t K n e snt
(2) 特征根是相等实根s1=s2==sn
yh (t ) K1e s t K 2tes t K nt n1e s t
(3) 特征根是成对共轭复根 si i ji , i n / 2
1 t e 3
讨论
1) 若初始条件不变，输入信号 f(t) = sin t u(t)，则系 统的完全响应y(t) =？ 2) 若输入信号不变，初始条件y(0)=0, y’(0)=1, 则系 统的完全响应y(t)=？
信号与系统-陈后金-北京交通大学-全
Ä ¿ Ð µ
Ó Õ ¼ Ê è · É ±
« Ð ´ · ð Å
Ð Â Ä ¢ Ó Ó Ð Ï
ç Ó ã ¥ ¨Ä µ ³ î » µ Ê ¸ ² Í Ð Ï Í ¾ Í
ä è Ê È f(t)
¿ ì ó ·º µ Ë ¨ð Á ² Å
A/D
ý Ö ¦ Ê ×´ í µ ³ ¿ Ï Í
D/A
¼ ¬ Ë Å º Á ¨ð ² Å
2．线性系统与非线性系统 • 线性系统：具有线性特性的系统。线性特性包括
均匀特性与叠加特性。 (1)均匀特性：
若f1 (t ) y1 (t )
则Kf1 (t ) Ky1 (t )
(2)叠加特性：
若f1 (t ) y1 (t ), f 2 (t ) y2 (t )
数学解析式或图形
• 2. 表示
语音信号：空气压力随时间变化的函数
0
0.1
0.2
语音信号“你好”的波
0.3
0.4
静止的单色图象： 亮度随空间位置变化的信号f(x,y)。
静止的彩色图象： 三基色红(R)、绿(G)、蓝(B)随空间位置变化的信号。
I R ( x, y ) I ( x, y ) I G ( x, y ) I B ( x, y )
[例2] 试判断下列系统是否为时不变系统
(1)y(t)=sin[f(t)]
时不变系统
(2)y(t)=cost· f(t)
(3)y(t)=4f 2(t) +3f(t)
时变系统
时不变系统
(4)y(t)=2t· f(t)
时变系统
分析： 判断系统是否为时不变系统，只需判断当输入激励f(t) 变为f(t-t0)时，相应的输出响应y(t)是否变为 y(t-t0)。 注意：时不变特性只考虑系统的零状态响应，因此在判 断系统的时不变特性时，不涉及系统的初始状态。
信号与系统第3章(陈后金)4
y[k] = 0
k
k < 0时, RN [n]与RN [kn]图形没有相遇
0 k N 1时，重合区间为[0，k]
N1 < k 2N 2时，
y[k ] 1 k 1
n பைடு நூலகம்0
重合区间为[k (N1) ，N1]
RN[k]*RN[k] N
y[k ]
n k ( N 1)
y[k]
y[k ] a k n
n 0
1 k
0
例2 计算 y[k] = RN[k]* RN[k]
1 0 k N 1 R N [k ] 0 otherwise
RN[k] 或 RN[k]
1 k 0
RN[-n] 1 n
N- 1
n
-(N-1)
0
例2 计算 y[k] = RN[k]* RN[k]
4201??kx3541??kh1422?????kkkkxddd利用位移特性1422khkkkkhkx?????ddd1422?????khkhkh12262615741???khkxky冲激响应表示的系统特性级联系统的冲激响应并联系统的冲激响应因果系统稳定系统一级联系统的冲激响应h1txtztyth2t1thtxtz?212ththtxthtzty??根据卷积积分的结合律性质有2121ththtxththtxty??ht一级联系统的冲激响应结论
例4 计算 x[k ] k u[k ] 与 h[k ] k u[k ]
的卷积和。
解:
k u[k ] * k u[k ]
n
n u[n] k n u[k n]
k 1 k 1 k 0 u[k ] k k <0 ( k 1) a u[k ]
k
k < 0时, RN [n]与RN [kn]图形没有相遇
0 k N 1时，重合区间为[0，k]
N1 < k 2N 2时，
y[k ] 1 k 1
n பைடு நூலகம்0
重合区间为[k (N1) ，N1]
RN[k]*RN[k] N
y[k ]
n k ( N 1)
y[k]
y[k ] a k n
n 0
1 k
0
例2 计算 y[k] = RN[k]* RN[k]
1 0 k N 1 R N [k ] 0 otherwise
RN[k] 或 RN[k]
1 k 0
RN[-n] 1 n
N- 1
n
-(N-1)
0
例2 计算 y[k] = RN[k]* RN[k]
4201??kx3541??kh1422?????kkkkxddd利用位移特性1422khkkkkhkx?????ddd1422?????khkhkh12262615741???khkxky冲激响应表示的系统特性级联系统的冲激响应并联系统的冲激响应因果系统稳定系统一级联系统的冲激响应h1txtztyth2t1thtxtz?212ththtxthtzty??根据卷积积分的结合律性质有2121ththtxththtxty??ht一级联系统的冲激响应结论
例4 计算 x[k ] k u[k ] 与 h[k ] k u[k ]
的卷积和。
解:
k u[k ] * k u[k ]
n
n u[n] k n u[k n]
k 1 k 1 k 0 u[k ] k k <0 ( k 1) a u[k ]
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离散时间LTI系统的响应
1. 迭代法
i 0
n
ai y[k i] b j x[k j ]
j 0
m
已知 n 个初始状态{ y[1], y[2], y[2],∙∙∙∙, y[n] } 和输入，由差分方程迭代出系统的输出。
y[k ] ai y[k i] b j x[k j ]
解： (1) 求齐次方程y[k]5y[k1]+6y[k2] = 0的齐次解yh[k] 特征方程为
r 2 5r 6 0
特征根为 齐次解yh[k]
r1 2, r2 3
y h [k ] C1 2 k C2 3k
[例]已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程
y[k]5y[k1]+6y[k2] = x[k] 初始条件y[0] = 0，y[1] = 1，输入信号 x[k] = 2k u[k]，求系统的完全响应y[k]。
依此类推
y[1] u[1] 0.5 y[0] 1 0.5 1.5 1.75
y[2] u[2] 0.5 y[1] 1 0.5 1.75 1.875
缺点：很难得到闭合形式的解。
离散时间LTI系统的响应
2. 经典时域分析方法 差分方程的全解即系统的完全响应, 由齐次解 yh[k]和特解yp[k]组成:
离散时间LTI系统的响应
迭代法求系统响应 经典时域法求系统响应
卷积法求系统响应
零输入响应求解 零状态响应求解
离散时间LTI系统的响应
离散时间LTI系统的数学模型为
i 0
n
ai y[k i] b j x[k j ]
j 0
m
系统响应求解方法:
1. 迭代法 2. 经典时域分析方法 3. 卷积法
k
k
k
y[k ] C1r k C2 kr k Cn k n1r k
(3) 特征根是成对共轭复根
r1,2 a jb e j0
y[k ] C1 k cos 0 k C2 k sin 0 k
[例] 已知某线性时不变系统的动态方程式为: y[k]+3y[k1]+2y[k2]=x[k] 系统的初始状态为y[1]=0， y[2]= 1/2，求系 统的零输入响应yzi[k] 。
解： 系统的特征方程为 系统的特征根为
1 y[1] C1 C2 0 2 1 1 y[2] C1 C2 4 2
r 2 3r 2 0
r1 1, r2 2
y[k ] y h [k ] y p [k ]
齐次解yh[k]的形式由齐次方程的特征根确定 特解yp[k]的形式由方程右边激励信号的形式确定
[例]已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程
y[k]5y[k1]+6y[k2] = x [k] 初始条件y[0] = 0，y[1] = 1，输入信号 x[k] = 2k u[k]，求系统的完全响应y[k]。
1) 若初始条件不变，输入信号 x[k] = sin0 k u[k]，
则系统的完全响应y[k]=？
2) 若输入信号不变，初始条件y[0]=1, y[1]=1, 则系 统的完全响应y[k]=？
经典法不足之处
若差分方程右边激励项较复杂，则难以处理。 若激励信号发生变化，则须全部重新求解。 若初始条件发生变化，则须全部重新求解。 这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响 应的物理概念。
离散时间LTI系统的响应
3. 卷积法:
系统完全响பைடு நூலகம் = 零输入响应+零状态响应
y[k ] yzi[k ] yzs[k ] yzi[k ] x[k ] * h[k ]
求解齐次差分方程得到零输入响应 利用信号分解和线性非时变特性可求出 零状态响应
一、零输入响应
定义：系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系 统的初始状态单独作用而产生的输出响应。 数学模型:
解：
(3) 求方程的全解，即系统的完全响应y[k]
y[k ] yh [k ] yp [k ] C1 2k C2 3k k 2 k 1 , k 0
y[0] C1 C2 0
y[1] 2C1 3C2 2 1
解得 C1= 1，C2= 1
y[k ] 2k 3k k 2k 1, k 0
i 0
n
ai y[k i] 0
求解方法： 根据差分方程的特征根确定零输入响应的形式 再由初始状态确定待定系数。
一、零输入响应
齐次解的形式
(1) 特征根是不等实根 r1, r2, , rn
y[k ] C1r1 C2 r2 Cn rn
(2) 特征根是等实根 r1=r2==rn
解： (2) 求非齐次方程y[k]5y[k1]+6y[k2] =x[k]的特解yp[k] 由输入x[k]的形式，设方程的特解为
yp [k ] Ak 2 , k 0
k
将特解带入原差分方程即可求得常数A= 2。
[例]已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程
y[k]5y[k1]+6y[k2] = x[k] 初始条件y[0] = 0，y[1] = 1，输入信号 x[k] = 2k u[k]，求系统的完全响应y[k]。
i 1 j 0 n m
[例] 一阶线性常系数差分方程 y[k]0.5y[k1]=u[k], y[1] = 1，用迭代法求解差分方程。
解： 将差分方程写成 代入初始状态，可求得
y[0] u[0] 0.5 y[1] 1 0.5 1 1.5 y[k ] u[k ] 0.5 y[k 1]
信号与系统
Signals and Systems
普通高等教育“十一五”国家级规划教材 《信号与系统》
陈后金，胡健，薛健
高等教育出版社， 2007年
系统的时域分析
线性非时变系统的描述及特点 连续时间LTI系统的响应 离散时间LTI系统的响应 冲激响应表示的系统特性
离散时间LTI系统的响应
离散时间系统的零输入响应 离散时间系统的零状态响应 单位脉冲响应 序列卷积和