初二旋转提高题一
初二数学培优专题 (1)——共点“手拉手”模型(又称旋转“一拖二”模型)(答案详解)
共点手拉手模型（又称旋转“一拖二”模型）——兼谈最值、轨迹问题特点——公共点是等腰三角形顶角的顶点如图，若连接BB’、CC’，易证明△ABB’≌△ACC’（SAS）。
这就是传说中的“旋转一拖二”，又称为“手拉手模型”。
典型问题：【例1】（成都高新区2017-2018八年级上期27题）【例2】（成都金牛区2017-2018八年上期27题）如图，在△ABC中,∠B=45°，AB=22，2=BC，等腰直角∆ADE中，∠DAE=90°，2+3且点D是边BC上一点。
(1)（3 分）求AC的长；(2)（4 分）如图1，当点E恰在AC上时,求点E到BC的距离；(3)（3 分）如图2, 当点D从点B向点C运动时，求点E到BC的距离的最大值。
图1【例3】（2017届初二上期七中联盟半期）已知：ABC △是等腰直角三角形，动点P 在斜边AB 所在的直线上，以PC 为直角边作等腰直角三角形PCQ ，其中90PCQ =∠，探究并解决下列问题：（1）如图①，若点P 在线段AB上，且AC =，12PA =，则： ①线段PB =________，PC =________；②猜想：222,,PQ PA PB 三者之间的数量关系为_______________________；（2）如图②，若点P 在AB 的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程； （3）若动点P 满足4PA PB =,求PQAC的值．（提示：请利用备用图进行探求）图① 图② 备用图QCBPAQCB ACBA【例4】如图,已知30MON ∠=︒ ,B 为OM 上一点,BA ON ⊥ 于A ,四边形ABCD 为正方形,P 为射线BM 上一动点,连结CP ,将CP 绕点C 顺时针方向旋转90︒ 得CE ,连结BE ,若 4AB = ,则BE 的最小值为【例5】（成都武侯区2016-2017八年上期27题）如图，已知直线x y =过点A ，y AB ⊥轴于点B ，x AC ⊥轴于点C ，点P 是y 轴上的一动点，连接AP 交直线BC 于点E .点N 在直线BC 上，连接AN 且︒=∠90PAN ，在射线AN 上截取AE AD =，连接DE .（1）求证：2222AE EC BE =+；（2）若点A 的坐标是（6，m ），点P 的坐标是（0，m 32），求线段AD 的长； （3）当31=EC BE 时，求BPDE的值.27题【例6】（成都青羊区2016-2017八上期27题）在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，AC=BC ，D 为AB 上一点，连结CD ，将CD 绕C 点逆时针旋转90︒至CE ，连结DE ，过C 作CF ⊥DE 交AB 于F ，连结BE.（1）求证：AD=BE ；（2）求证：222AD BF DF +=； （3）若15ACD ∠=︒，1CD =+，求BF.【例7】（1）问题发现：如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，当△DCE 旋转至点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE ，易证△BCE ≌△ACD ．则 ①∠BEC ＝；②线段AD 、BE 之间的数量关系是 ． （2）拓展研究：如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，且∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点A 、D 、E 在同一直线上，若AE ＝15，DE ＝7，求AB 的长度．（3）探究发现：如图3，P 为等边△ABC 内一点，且∠APC ＝150°，且∠APD ＝30°，AP ＝5，CP ＝4，DP ＝8，求BD 的长．E答案典型问题：【例1】（2017-2018上期成都高新区27题）解：（1）∵∠BAC=∠DAE=︒90 ∴∠BAD=∠CAE∵AB=AC ，AD=AE ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）（2）取AB 的中点G ，连接DG（I ）∵∠BAC=∠DAE=︒120且点D是边BC上一点。
初二数学图形的对称平移与旋转试题
初二数学图形的对称平移与旋转试题1.下列运动中，是平移的是（）A．开门时，门的移动B．走路时手臂的摆动C．移动电脑的鼠标时,显示屏上鼠标指针的移动D．移动书的某一页时，这一页上的某个图形的移动【答案】C.【解析】根据平移的定义，对题中给出的选项进行分析，选择正确答案：A．开门时，门的移动，属于旋转现象；B．走路时手臂的摆动，属于旋转现象；C．移动电脑的鼠标时,显示屏上鼠标指针的移动，属于平移现象；D．移动书的某一页时，这一页上的某个图形的移动，属于旋转现象.故选C．【考点】生活中的平移现象．2.把边长为3、5、7的两个全等三角形拼成四边形，一共能拼成____________种不同的四边形，其中有____________个平行四边形．【答案】6、3【解析】因为将三角形的三边分别重合一次，可拼得3个四边形，通过旋转后可得3个，所以共有6个．其中有3个是平行四边形3.下列命题中正确的是（）A．全等三角形的高相等B．全等三角形的中线相等C．全等三角形的角平分线相等D．全等三角形对应角的平分线相等【答案】D【解析】因为全等三角形对应边上的高、对应边上的中线、对应角的平分线相等，A、B、C项没有“对应”，所以错误，而D项有“对应”，D是正确的．故选D．4.如图，三角形1与_____成轴对称图形，整个图形中共有_____条对称轴．【答案】2，4，有2．【解析】与三角形1成轴对称图形是三角形2与三角形4，对称轴有2条．【考点】轴对称的性质．5.在图示的方格纸中（1）作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；（2）说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？【答案】（1）作图见试题解析；（2）向右平移6个单位，再向下平移2个单位（或向下平移2个单位，再向右平移6个单位）．【解析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于MN的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据平移的性质结合图形解答．试题解析：（1）△A1B1C1如图所示；（2）向右平移6个单位，再向下平移2个单位（或向下平移2个单位，再向右平移6个单位）．【考点】1．作图-轴对称变换；2．作图-平移变换．6.在俄罗斯方块游戏中，若某行被小方格块填满，则该行中的所有小方格会自动消失.现在游戏机屏幕下面三行已拼成如图所示的图案，屏幕上方又出现一小方格块正向下运动，为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失，你可以进行以下哪项操作（）A．先逆时针旋转90°，再向左平移B．先顺时针旋转90°，再向左平移C．先逆时针旋转90°，再向右平移D．先顺时针旋转90°，再向右平移【答案】A.【解析】本题结合游戏，考查了旋转与平移的性质.在旋转和平移变换中，图形的形状和大小均不发生改变，由图可以看出，将屏幕上方出现一小方格块逆时针旋转90°，再向左平移后，竖直下来正好使屏幕下面三行中的小方格都自动消失.故选A.【考点】旋转与平移的性质.7.小亮在镜中看到身后墙上的时钟如图，你认为实际时间最接近八点的是（）【答案】D.【解析】根据平面镜成像原理可知，镜中的像与原图象之间实际上只是进行了左右对换，由轴对称知识可知，只要将其进行左可翻折，即可得到原图象，实际时间为8点的时针关于过12时、6时的直线的对称点是4点，那么8点的时钟在镜子中看来应该是4点的样子，则应该在C和D选项中选择，D更接近8点．【考点】镜面对称.8.在以下四个图形中,对称轴条数最多的一个图形是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题,A选项有两条对称轴,B选项有四条对称轴,C选项不是轴对称图形,无对称轴,D选项有一条对称轴,故选B.轴对称图形的定义是图形按照某条直线对折后,图形重合,这条直线叫做图形的对称轴,由题,A选项有两条对称轴,B选项有四条对称轴,C选项不是轴对称图形,无对称轴,D选项有一条对称轴,故选B.【考点】对称轴.9.如图，在平面直角坐标系中，A(1, 2)，B(3, 1)，C(-2, -1).（1）在图中作出关于轴对称的.（2）写出点的坐标.A1 _________ B1________ C1________.【答案】（1）详见解析；（2）【解析】已知三点坐标，根据在平面直角坐标系中，关于轴对称的点的坐标特点直接确定出的坐标，然后连线即可.试题解析：解：(1)如图，即为所求关于轴对称的图形.考点:画轴对称图形.10.小明上午在理发店理发时，•从镜子内看到背后墙上普通时钟的时针与分针的位置如图所示，此时时间是__________．【答案】10点45分【解析】轴对称图形，由题意分析，此类试题属于对轴对称图形的基本运算和对称的分析，指示是反过来是10点45分【考点】轴对称点评：此类试题属于对轴对称图形的基本运算和对称的分析11.如图，在正方形网格中每个小正方形的边长都是单位长度1，△的顶点都在格点上，且△与△关于点成中心对称.(1)在网格图中标出对称中心点的位置；(2)画出将△沿水平方向向右平移5个单位后的△.【答案】【解析】（1）连CF、BE后，所得交点即为O点（2）将A、B、C点各平移5个单位后，所得到的3个新的点互相连接，所得到的的图形即为所求图形【考点】图形的对称与平移点评：题目难度不大，学生可以通过多做此类题得出12.下列现象属于图形平移的是（）A．轮船在大海上航行B．飞速转动的电风扇C．钟摆的摆动D．迎面而来的汽车【答案】D【解析】平移的定义：把一个图形沿一定的方向移动一定的距离叫做图形的平移，简称平移. A、轮船在大海上航行，B、飞速转动的电风扇，C、钟摆的摆动，均不属于平移；D、迎面而来的汽车，符合平移的定义，本选项正确.【考点】平移的定义点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握平移的定义，即可完成.13.如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，∠BAD＝15°，△ABD经旋转后到达△ACE的位置，那么旋转了( ).A．75°B．60°C．45°D．15°【答案】B【解析】旋转角的定义：旋转对应边的夹角是旋转角。
初二数学专题：旋转题型含答案
旋转专题（含解析）1、将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转90°，所得图形一定与原图形重合的是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形2、如图，在平面直角坐标系中将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A1B1C1，设点A1的坐标为（m，n），则点A 的坐标为（）A．（﹣m，﹣n） B．（﹣m，﹣n﹣2） C．（﹣m，﹣n﹣1） D．（﹣m，﹣n+1）3、如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（）A．35° B．40° C．50° D．65°4、大自然中存在很多对称现象，下列植物叶子的图案中既是轴对称，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．5、在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )6、下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（）A. B. C. D.7、在下面的汽车标志图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形有（）A．2 个 B．3个 C．4个 D．5个8、如图，在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心是A.点AB.点BC.点CD.点D9、在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2016次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是．10、在平面直角坐标系中，点P（1，1），N（2，0），△MNP和△M1N1P1的顶点都在格点上，△MNP与△M1N1P1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为．11、下列图形中：①圆；②等腰三角形；③正方形；④正五边形，既是轴对称图形又是中心对称图形的有个．12、如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△AEC≌△ADB；（2）若AB=2，∠BAC=45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．13、如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，求△DCE的面积．14、如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DE、FG相交于点H．（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．15、在中, , 将绕点顺时针旋转角, 得, 交于点,分别交于两点.(1) 在旋转过程中, 线段与有怎样的数量关系? 证明你的结论;(2) 当时, 试判断四边形的形状, 并说明理由;(3) 在(2)的情况下, 求线段的长.参考答案一、选择题1、D【考点】旋转对称图形．【分析】根据旋转对称图形的性质，可得出四边形需要满足的条件，结合选项即可得出答案．【解答】解：由题意可得，此四边形的对角线互相垂直、平分且相等，则这个四边形是正方形．故选D．2、B【考点】坐标与图形变化-旋转．【分析】设点A的坐标为（x，y），然后根据中心对称的点的特征列方程求解即可．【解答】解：设点A的坐标为（x，y），∵△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A1B1C1，点A1的坐标为（m，n），∴=0，=﹣1，解得x=﹣m，y=﹣n﹣2，所以，点A的坐标为（﹣m，﹣n﹣2）．故选B．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟练掌握中心对称的点的坐标特征是解题的关键．3、C 【考点】旋转的性质．【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACC′=∠CAB，根据旋转的性质可得AC=AC′，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答．【解答】解：∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，∴AC=AC′，∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°，∴∠CAC′=∠BAB′=50°．故选C．4、D【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故选项错误；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故选项错误；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故选项正确．故选D．5、B6、A7、A8、B二、填空题9、3024π．【考点】轨迹；旋转的性质．【分析】首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可．【解答】解：∵AB=4，BC=3，∴AC=BD=5，转动一次A的路线长是：=2π，转动第二次的路线长是：=π，转动第三次的路线长是：=π，转动第四次的路线长是：0，以此类推，每四次循环，故顶点A转动四次经过的路线长为：π+π+2π=6π，2016÷4=504，顶点A转动四次经过的路线长为：6π×504=3024π．故答案为：3024．．10、（2，1）11、 2 个．三、简答题12、【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．【分析】（1）由旋转的性质得到三角形ABC与三角形ADE全等，以及AB=AC，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到两对边相等，一对角相等，利用SAS得到三角形AEC与三角形ADB全等即可；（2）根据∠BAC=45°，四边形ADFC是菱形，得到∠DBA=∠BAC=45°，再由AB=AD，得到三角形ABD为等腰直角三角形，求出BD的长，由BD﹣DF求出BF的长即可．【解答】解：（1）由旋转的性质得：△ABC≌△ADE，且AB=AC，∴AE=AD，AC=AB，∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，即∠CAE=∠DAB，在△AEC和△ADB中，，∴△AEC≌△ADB（SAS）；（2）∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC=45°，∴∠DBA=∠BAC=45°，由（1）得：AB=AD，∴∠DBA=∠BDA=45°，∴△ABD为直角边为2的等腰直角三角形，∴BD2=2AB2，即BD=2，∴AD=DF=FC=AC=AB=2，∴BF=BD﹣DF=2﹣2．13、【考点】旋转的性质．【分析】由旋转的性质得出△ACE≌△ABD得出AE=AD=5．CE=BD=6．∠DAE=60°，得出△ADE是等边三角形，因此DE=AD=5．作EH⊥CD垂足为H．设DH=x，由勾股定理得出方程，解方程求出DH，由勾股定理求出EH，即可得出△DCE 的面积．【解答】解：由旋转的性质得：△ACE≌△ABD，∴AE=AD=5．CE=BD=6．∠DAE=60°．∴DE=5．作EH⊥CD垂足为H．设DH=x．由勾股定理得：EH2=CE2﹣CH2=DE2﹣DH2，即62﹣（4﹣x）2=52﹣x2，解得：x=，∴DH=，由勾股定理得：EH===，∴△DCE的面积=CD×EH=．【点评】本题考查了旋转的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质，由勾股定理求出DH，EH是解决问题的关键．14、【考点】旋转的性质；正方形的判定；平移的性质．【专题】几何图形问题．【分析】（1）根据旋转和平移可得∠DEB=∠ACB，∠GFE=∠A，再根据∠ABC=90°可得∠A+∠ACB=90°，进而得到∠DEB+∠GFE=90°，从而得到DE、FG的位置关系是垂直；（2）根据旋转和平移找出对应线段和角，然后再证明是矩形，后根据邻边相等可得四边形CBEG是正方形．【解答】（1）解：FG⊥ED．理由如下：∵△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，∴∠DEB=∠ACB，∵把△ABC沿射线平移至△FEG，∴∠GFE=∠A，∵∠ABC=90°，∴∠A+∠ACB=90°，∴∠DEB+∠GFE=90°，∴∠FHE=90°，∴FG⊥ED；（2）证明：根据旋转和平移可得∠GEF=90°，∠CBE=90°，CG∥EB，CB=BE，∵CG∥EB，∴∠BCG=∠CBE=90°，∴四边形BCGE是矩形，∵CB=BE，∴四边形CBEG是正方形．【点评】此题主要考查了图形的旋转和平移，关键是掌握新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．15、(1) =. 1分由旋转可证明, 或者, 所以可得结论; 3分(2) 四边形为菱形. 1分先证四边形为平行四边形, 再由, 所以得菱形; 2分(3) 过点作于, 在中, 可求得, 1分所以. 2分(也可从∠, 先求得, 再求得.)。
初二数学下册平移和旋转练习题
初二数学下册平移和旋转练习题平移和旋转是初中数学下册的重要内容之一，本文将为你提供一些
平移和旋转的练习题，以帮助你更好地理解和掌握这些概念。
练习题一：
1. 将点A(3, 4)向左平移4个单位，得到点B，求点B的坐标。
2. 当一个图形按照向右平移5个单位后，再向上平移3个单位，得
到新位置。
如果原来一个顶点的坐标是(2, -1)，求它的新坐标。
3. 将线段AB平移到线段CD，并保持长度不变。
若线段AB的长度为5个单位，C和D的坐标分别为(1, 3)和(5, 7)，求A和B的坐标。
练习题二：
1. 将点E(2, 5)绕点O(0, 0)逆时针旋转90°，求旋转后点的坐标。
2. 将点F(-1, 3)绕点O(2, -1)顺时针旋转180°，求旋转后点的坐标。
3. 将线段GH绕点O(0, 0)逆时针旋转60°，线段GH的长度为6个
单位，求旋转后线段的端点坐标。
练习题三：
1. 已知正方形ABCD的边长为10个单位，将其顺时针旋转90°得到新的正方形EFGH，求点E、F、G、H的坐标。
2. 已知长方形IJKL的宽为8个单位，高为5个单位，将其绕点O(0, 0)逆时针旋转45°得到新的长方形MNOP，求点M、N、O、P的坐标。
3. 将原点O(0, 0)绕点A(3, 4)逆时针旋转30°，求旋转后点的坐标。
以上是初二数学下册平移和旋转练习题的部分内容，通过这些练习可以帮助同学们巩固和提升对平移和旋转的理解和运用能力。
希望大家认真完成练习，加深对这些知识点的记忆和理解，从而提高数学水平。
物理初二物体转动练习题
物理初二物体转动练习题物体转动是物理学中的重要概念之一，它描述了物体围绕固定轴线旋转的运动。
在初中物理学中，我们常常会遇到一些与物体转动相关的问题。
本文将给出一些物体转动的练习题，帮助初二学生更好地理解和掌握该知识点。
一、选择题1. 以下哪个是物体转动的必要条件？A. 质量B. 速度C. 力矩D. 位移2. 轴承是一种常见的减小摩擦力的机械装置，它在物体转动中的作用是什么？A. 使物体维持直线运动B. 支持物体转动C. 减小物体的质量D. 提供物体的动能3. 物体围绕一个轴线旋转时，哪个物理量决定了物体的转动惯量？A. 质量B. 速度C. 加速度D. 作用力4. 下面哪种情况下物体的转动惯量最小？A. 质量大、质心距离轴线小B. 质量大、质心距离轴线大C. 质量小、质心距离轴线小D. 质量小、质心距离轴线大二、填空题1. 质点沿着直径为d的圆轨道做匀速圆周运动，周期为T，则质点的角速度为______。
2. 一个轻质杆的一端固定在轴上，杆的另一端挂着质量为m的物块，物块下落时，杆在轴上的转动惯量为______。
3. 若一个物体的质量为m，质心距离旋转轴的距离为r，则该物体的转动惯量为______。
三、计算题1. 质量为2kg的物块以20m/s的速度绕固定轴线旋转，轴线上的转动惯量为4kg•m²。
求物块的角动量。
2. 一个质点以2m/s的速度绕半径为0.5m的圆轨道匀速运动，求该质点的角速度和角动量。
3. 一个质点绕轴旋转的圆形轨道半径为2m，转动惯量为8kg•m²。
当质点的角速度为2rad/s时，求质点的动能。
四、应用题1. 一个质量为0.5kg的物体围绕一个水平轴做匀速圆周运动，转动惯量为0.1kg•m²。
若物体的旋转周期为4s，求物体的角速度和转动动能。
2. 一个半径为0.2m、质量为3kg的圆盘以1rad/s的角速度绕轴旋转。
如果圆盘上有一只质量为0.5kg的小狗坐在圆盘边缘，求小狗受到的离心力大小。
初二平移与旋转练习题
初二平移与旋转练习题题目一：平移练习题1. 在平面直角坐标系中，顶点坐标分别是 (2,4)、(4,4)、(4,6)、(2,6)的正方形ABCD，向右平移3 个单位，求平移后的正方形的顶点坐标。
2. 在平面直角坐标系中，顶点坐标分别是 (-3,1)、(-2,5)、(-5,6)、(-6,2) 的四边形 EFGH，向下平移 4 个单位，求平移后的四边形的顶点坐标。
3. 在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为 (1,3)，将点 P 向右平移 2 个单位、向上平移 5 个单位，求平移后点 P 的坐标。
题目二：旋转练习题1. 将直角坐标系中的点 A(2,3) 逆时针旋转 90 度，求旋转后点的坐标。
2. 将直角坐标系中的点 B(-5,2) 顺时针旋转 180 度，求旋转后点的坐标。
3. 将直角坐标系中的点 C(-1,4) 逆时针旋转 270 度，求旋转后点的坐标。
题目三：平移与旋转综合练习题1. 以直角坐标系中的点 D(3,2) 为中心，将正方形 ABCD 逆时针旋转 90 度并向上平移 4 个单位，求旋转和平移后正方形的顶点坐标。
2. 以直角坐标系中的点 E(-2,5) 为中心，将四边形 EFGH 顺时针旋转 180 度并向右平移 3 个单位，求旋转和平移后四边形的顶点坐标。
3. 以直角坐标系中的点 F(0,-3) 为中心，将点 P(1,1) 逆时针旋转 120 度并向上平移 2 个单位，求旋转和平移后点 P 的坐标。
以上为初二平移与旋转练习题。
通过解答这些练习题，可以帮助你巩固平移与旋转的知识，提升解题能力。
希望你能认真思考并准确回答每个问题，加深对这两个概念的理解。
祝你学习进步！。
初二数学直角坐标系练习题
初二数学直角坐标系练习题直角坐标系是数学中非常重要的概念，它在解决各种几何问题和方程问题时起到了至关重要的作用。
在初二数学学习中，我们需要通过练习题来运用直角坐标系的基本概念和运算方法，进一步加深对其理解和应用。
本文将为大家提供一些初二数学直角坐标系练习题，帮助大家更好地掌握这一知识点。
练习一：平移与旋转1. 将点A(-2, 3)沿x轴正方向平移5个单位，求平移后点的坐标。
2. 将点B(4, -5)绕原点逆时针旋转90°，求旋转后点的坐标。
3. 将点C(6, 2)绕点D(3, -1)顺时针旋转180°，求旋转后点的坐标。
练习二：对称与中点1. 已知点E(4, -7)，求其关于y轴的对称点的坐标。
2. 已知三角形的顶点坐标分别为F(3, -2)，G(7, -2)，H(5, 4)，求三角形的重心坐标。
练习三：直线方程1. 过点I(2, 3)且与y轴平行的直线方程是什么？2. 过点J(-1, 5)且与x轴垂直的直线方程是什么？3. 过点K(4, -6)和点L(1, 2)的中点且斜率为2的直线方程是什么？练习四：图形问题1. 在平面直角坐标系中，连接点M(0, 4)、N(4, 0)和O(0, -4)，求三角形MON的面积。
2. 点P(x, y)在平面直角坐标系中满足条件x+y=6，且在x轴和y轴之间，求点P的坐标。
练习五：应用问题1. 某商店准备在平面直角坐标系中开设店面，已知店面左上角坐标为(0, 0)，右下角坐标为(5, -3)，求店面的面积。
2. 小明从家出发，经过平面直角坐标系中的点Q(4, -2)、R(8, -6)、S(10, -10)，最后到达学校，求小明从家到学校的距离。
以上是初二数学直角坐标系练习题的一部分，希望通过这些练习题，大家能够进一步巩固和应用所学的直角坐标系的相关知识。
通过解题过程中的思考和分析，相信大家能够更好地理解直角坐标系的概念和运用，提高数学解题能力。
2022-2023学年初二数学第二学期培优专题04 旋转之角度问题
2022-2023学年初二数学第二学期培优专题04 旋转之角度问题【模型讲解】【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，P A=1，PB=2，PC=3．你能求出∠APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连接PP′，求出∠APB的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．【类比探究】如图2，若点P是正方形ABCD外一点，P A=3，PB=1，PC=11，求∠APB的度数．【解答】（1）如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP′≌△CBP，∴∠PBP′=90°，BP′=BP=2，AP′=CP=3，在Rt△PBP′中，BP=BP′=2，∴∠BPP′=45°，根据勾股定理得，PP′=2BP=22，∵AP=1，∴AP2+PP′2=1+8=9，∵AP′2=32=9，∴AP2+PP′2=AP′2，∴△APP′是直角三角形，且∠APP′=90°，∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=90°+45°=135°；（2）如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP′≌△CBP，∴∠PBP′=90°，BP′=BP=1，AP′=CP=11，在Rt△PBP′中，BP=BP′=1，∴∠BPP′=45°，根据勾股定理得，PP′=2BP=2，∵AP=3，∴AP2+PP′2=9+2=11，∵AP′2=（11）2=11，∴AP2+PP′2=AP′2，∴△APP′是直角三角形，且∠APP′=90°，∴∠APB=∠APP′﹣∠BPP′=90°﹣45°=45°．【模型演练】1．如图，已知点P 是等边三角形ABC 内一点，且6PA =，8PB ＝，10PC ＝(1)在图中画出将BPC △绕点B 逆时针旋转60︒后得到的BEA △．(2)求APB ∠的度数．2．如图，点E 是正方形ABCD 内的一点，连接AE 、BE 、CE ，将ABE 绕点B 顺时针旋转90︒到CBF 的位置，连接EF ，EF 的长为22．(1)求BF 的长；(2)若1,3AE EC ==，求AEB ∠的度数．3．一节数学课上，老师提出一个这样的问题：如图，点P 是正方形ABCD 内一点，P A =1，PB =2，PC =3，你能求出∠APB 的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△PBC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△P 'BA ，连接P P '，求出∠APB 的度数．思路二：将△APB 绕点B 顺时针旋转90°，得到△C P 'B ，连接P P '，求出∠APB 的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．4．已知△AOB ，将△AOB 绕O 点旋转到△COD 位置，使C 点落在OB 边上，连接AC 、BD ．（1）若∠AOB =90°（如图1），小亮发现∠BAC =∠BDC ，请你证明这个结论；（2）若∠AOB =60°（如图2），小亮发现的结论是否仍然成立？说明理由；（3）若∠AOB 为任意角α（如图3），小亮发现的结论还成立吗？说明理由；5．如图1，在正方形ABCD 中，4=AD ，点E 是AD 的中点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接AG CE 、．将正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转，旋转角为()090αα︒<<︒．(1)如图2，在旋转过程中，判断AGD △与CED △是否全等，并说明理由；(2)如图3，延长CE 交直线AG 于点P ．①求证：AG CP ⊥；②在旋转过程中，线段PC 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．6．如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD 和一个长为2、宽为1的长方形CEFD 拼在一起，构成一个大的长方形ABEF ．现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至''CE FD ，旋转角为α．(1)当点D 恰好落在边EF 上时，点D 到边DC 的距离为____________，旋转角α=____________︒；(2)如图2，G 为BC 的中点，且090α︒<<︒，求证：GD E D ''=；(3)小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，DCD '与CBD '△能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，说明理由．7．已知：在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转一定的角度α得到AED △，点B 、C 的对应点分别是E 、D ．（1）如图1，若60α=︒时，连接BE ，求证：AB BE =；（2）如图2，当点E 恰好在AC 上时，求CDE ∠的度数；（3）如图3，点B 、C 的坐标分别是()0,0，()0,2，点Q 是线段AC 上的一个动点，点M 是线段AO 上的一个动点，是否存在这样的点Q 、M 使得CQM 为等腰三角形且AQM 为直角三角形？若存在，请求出满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．8．同题提出 如图（1），已知ABC ，90ABC ∠=︒，将边AB 绕点A 顺时针旋转α︒至AD 处，连接CD ，O 为CD 的中点，E 为边BC 中垂线上一点，EO AO ⊥．探究BEC ∠的值．问题探究 （1）先将问题特殊化．①如图（2），当180α=︒时，不存在确定的E 点，请说明理由；②如图（3），当D 在CA 的延长线上时，连接DE ，发现180BEC α∠=︒-︒，请证明这个结论； （2）再探究一般情形．如图（1），当90180α︒<<︒时，证明（1）②中的结论仍然成立．问题拓展 （3）当0360α<≤︒︒时，若AO OE =，请直接写出α的值．9．问题提出(1)如图，点M 、N 是直线l 外两点，在直线l 上找一点K ，使得MK NK +最小．问题探究(2)在等边三角形ABC 内有一点P ，且3PA =，4PB =，5PC =，求APB ∠度数的大小．问题解决(3)如图，矩形ABCD 是某公园的平面图，303AB =60BC =米，现需要在对角线BD 上修一凉亭E ，使得到公园出口A 、B ，C 的距离之和最小．问：是否存在这样的点E ？若存在，请画出点E 的位置，并求出EA EB EC ++的和的最小值；若不存在，请说明理由．10．【问题背景】如图1，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，我们可以通过把ABE 绕点A 逆时针旋转90°到ADG △，容易证得：EF BE DF =+．(1)【迁移应用】如图2，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，若B ∠、D ∠都不是直角，且180B D ∠+∠=︒，试探究EF 、BE 、DF 之间的数量关系，并说明理由．(2)【联系拓展】如图3，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 均在边BC 上，且45DAE =︒∠．猜想BD 、DE 、EC 满足的等量关系（直接写出结论，不需要证明）．11．【发现奥秘】(1)如图1，在等边三角形ABC 中，2AB =，点E 是ABC 内一点，连接,,AE EC BE ，分别将,AC EC 绕点C 顺时针旋转60°得到,DC FC ，连接,,AD DF EF ．当B ，E ，F ，D 四个点满足______时，BE AE CE ++的值最小，最小值为_______．【解法探索】(2)如图2，在ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，点P 是ABC 内一点，连接,,PA PB PC ，请求出当PA PB PC ++的值最小时BCP ∠的度数，并直接写出此时::PA PB PC 的值．（提示：分别将,PC AC 绕点C 顺时针旋转60°得到,DC EC ，连接,,PD DE AE ）【拓展应用】(3)在ABC 中，90,30,2ACB BAC BC ︒︒∠=∠==，点P 是ABC 内一点，连接,,PA PB PC ，直接写出当PA PB PC ++的值最小时，::PA PB PC 的值．12．【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P 是正方形ABCD 内一点，P A =1，PB =2，PC =3．你能求出∠APB 的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连接PP′，求出∠APB的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．【类比探究】如图2，若点P是正方形ABCD外一点，P A=3，PB=1，PC=11，求∠APB的度数．答案与解析【模型讲解】【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，P A=1，PB=2，PC=3．你能求出∠APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连接PP′，求出∠APB的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．【类比探究】如图2，若点P是正方形ABCD外一点，P A=3，PB=1，PC=11，求∠APB的度数．【解答】（1）如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP′≌△CBP，∴∠PBP′=90°，BP′=BP=2，AP′=CP=3，在Rt△PBP′中，BP=BP′=2，∴∠BPP′=45°，根据勾股定理得，PP′=2BP=22，∵AP=1，∴AP2+PP′2=1+8=9，∵AP′2=32=9，∴AP2+PP′2=AP′2，∴△APP′是直角三角形，且∠APP′=90°，∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=90°+45°=135°；（2）如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△AB P′≌△CBP，∴∠PBP′=90°，BP′=BP=1，AP′=CP=11，在Rt△PBP′中，BP=BP′=1，∴∠BPP′=45°，根据勾股定理得，PP′=2BP=2，∵AP=3，∴AP2+PP′2=9+2=11，∵AP′2=（11）2=11，∴AP2+PP′2=AP′2，∴△APP′是直角三角形，且∠APP′=90°，∴∠APB=∠APP′﹣∠BPP′=90°﹣45°=45°．【模型演练】 1．如图，已知点P 是等边三角形ABC 内一点，且6PA =，8PB ＝，10PC ＝(1)在图中画出将BPC △绕点B 逆时针旋转60︒后得到的BEA △．(2)求APB ∠的度数． 【答案】(1)见解析(2)150︒【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）证明PBE △是等边三角形，利用勾股定理的逆定理证明90APE ∠=︒即可．【解答】（1）（1）如图，BEA △即为所求；（2）∵PBC EBA ≌，∴PB ＝EB ，60EBP ＝ABC ＝∠∠︒，∴PBE △为等边三角形，∴8PE ＝PB ＝，60EPB ＝∠︒，∵10AE ＝PC ＝，6PA ＝，∴222PE AP ＝AE +，∴APE 为直角三角形，∴90APE ＝∠︒，∴9060150APB ＝＝∠︒+︒︒．【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质、等边三角形的判定、勾股定理的逆定理的应用，证得PBE △为等边三角形、APE 为直角三角形是解题的关键．2．如图，点E 是正方形ABCD 内的一点，连接AE 、BE 、CE ，将ABE 绕点B 顺时针旋转90︒到CBF 的位置，连接EF ，EF 的长为22．(1)求BF 的长；(2)若1,3AE EC ==，求AEB ∠的度数． 【答案】(1)BF =2(2)∠AEB =135°【分析】（1）由旋转的性质得到△BEF 为等腰直角三角形，根据勾股定理即可求出BF 的长； （2）根据AE =1，可得1CF AE ==，根据勾股定理逆定理()2222122CF EF +=+=9=32=CE 2得出90EFC ∠=︒，根据等腰直角三角形可求45EFB ∠=︒，再求135BFC EFB EFC ∠=∠+∠=︒，根据旋转性质，可得135AEB BFC ∠=∠=︒即可．（1）解：∵△ABE 绕点B 顺时针旋转90°得到△CBF ，∴BE =BF ，∠EBF =∠ABC =90°∴△BEF 为等腰直角三角形，设 BE =BF =x ，则x 2+x 2=（22）2 ，解得： x =2；（2）解：∵△ABE 绕点B 顺时针旋转90°得到△CBF ，∴∠AEB = ∠BFC ，AE =CF =1，在△CEF 中，EF =22，CF =1，EC =3，∵CF 2+EF 2=12+（22）2=9，CE 2=9，∴CF 2+EF 2=CE 2，∴△CEF 为直角三角形，∠EFC =90°，∴∠BFC =∠BFE +∠CFE =135°，∴∠AEB =135°．【点评】本题考查正方形的性质，旋转性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理逆定理，掌握，三角形旋转性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理逆定理是解题关键．3．一节数学课上，老师提出一个这样的问题：如图，点P 是正方形ABCD 内一点，P A =1，PB =2，PC =3，你能求出∠APB 的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△PBC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△P 'BA ，连接P P '，求出∠APB 的度数．思路二：将△APB 绕点B 顺时针旋转90°，得到△C P 'B ，连接P P '，求出∠APB 的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程． 【答案】∠APB =135°，解答过程见解析【分析】利用旋转法构造全等三角形以及直角三角形即可解决问题．【解答】解：思路一：如图1，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△B P 'A ，连接P P '，则△AB P '≌△CBP ，A P '=CP =3，B P '=BP =2，∠PB P '=90°∴∠BP P '=45°，根据勾股定理得，224422P P PB P B ''=+=+=，∵AP =1，∴22189AP P P '+=+=，又∵2239P A '==，∴222AP P P P A ''+=，∴△AP P '是直角三角形，且∠AP P '=90°，∴∠APB =∠AP P '+∠BP P '=90°+45°=135°．思路二：将△P AB 绕点B 顺时针旋转90°，得到△P 'CB ，连接P P '，∴P 'B =PB =2，P 'C =AP =1，∠P 'BP =90°，∠APB =∠B P 'C ，∴∠B P 'P =45°，224422P P PB P B ''=+=+=，∵PC =3，P 'C =1，∴222P C PP PC ''+=，∴∠P P 'C =90°，∴∠B P 'C =∠B P 'P +∠P P 'C =45°+90°=135°，∴∠APB =∠B P 'C =135°．【点评】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用旋转法构造全等三角形是解题的关键．4．已知△AOB ，将△AOB 绕O 点旋转到△COD 位置，使C 点落在OB 边上，连接AC 、BD ．（1）若∠AOB =90°（如图1），小亮发现∠BAC =∠BDC ，请你证明这个结论；（2）若∠AOB =60°（如图2），小亮发现的结论是否仍然成立？说明理由；（3）若∠AOB 为任意角α（如图3），小亮发现的结论还成立吗？说明理由；【答案】（1）证明见解析；（2）仍成立，理由见解析；（3）仍成立，理由见解析．【分析】（1）根据旋转的性质得OA =OC ，OB =OD ，∠BAO =∠DCO ，根据等腰直角三角形的性质得∠CAO=∠OCA=45°，∠ODB=∠OBD=45°，根据BAC BAO CAO∠=∠-∠，BDC DCO DBO∠=∠-∠，即可得；（2）根据旋转的性质得OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，即可得△ACO、△OBD是等边三角形，即可得∠OCA=∠OBD=∠OAC=60°，推出∠OCA=∠OBD=∠OAC=60°，根据∠BAC=∠BAO﹣∠CAO=∠BAO﹣60°，∠BDC=∠DCO﹣∠DBO=∠DCO﹣60°，即可得；（3）根据旋转的性质得OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，推出∠CAO=∠ACO，∠OBD=∠ODB，根据三角形内角和定理和角之间的关系得∠CAO=∠OBD，根据∠BAC=∠BAO﹣∠CAO，∠BDC=∠DCO﹣∠DBO，即可得．【解答】（1）证明：∵将△AOB绕O点旋转到△COD位置，∴OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠CAO=∠OCA=45°，∠ODB=∠OBD=45°，∴BAC BAO CAO∠=∠-∠，∠=∠-∠，BDC DCO DBO∠=∠；∴BAC BDC（2）仍成立，理由如下：解：将△AOB绕O点旋转到△COD位置，∴OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，∵∠AOB=∠COD=60°，∴△ACO、△OBD是等边三角形，∴∠OCA=∠OBD=∠OAC=60°，∴∠BAC=∠BAO﹣∠CAO=∠BAO﹣60°，∠BDC=∠DCO﹣∠DBO=∠DCO﹣60°，∴∠BAC=∠BDC；（3）仍成立，理由如下：解：将△AOB绕O点旋转到△COD位置，∴OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，∴∠CAO=∠ACO，∠OBD=∠ODB，∵∠CAO+∠ACO+∠AOB=180°，∠OBD +∠ODB +∠BOD =180°，∴∠CAO =∠OBD ，∵∠BAC =∠BAO ﹣∠CAO ，∠BDC =∠DCO ﹣∠DBO ，∵∠BAO =∠DCO ，∴∠BAC =∠BDC ．【点评】本题考查了等腰直角三角形，三角形内角和定理，等边三角形的判定，旋转的性质，解题的关键是掌握这些知识点．5．如图1，在正方形ABCD 中，4=AD ，点E 是AD 的中点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接AG CE 、．将正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转，旋转角为()090αα︒<<︒．(1)如图2，在旋转过程中，判断AGD △与CED △是否全等，并说明理由；(2)如图3，延长CE 交直线AG 于点P ．①求证：AG CP ⊥；②在旋转过程中，线段PC 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)C AGD ED ≅．理由见解析(2)①见解析；②存在，PC 的最大值为223+【解答】（1）如图2中，结论：C AGD ED ≅．证明：∵四边形EFGD 是正方形，∴DG DE =，90GDE ∠=︒，∵DA DC =，90ADC ∠=︒，∴GDE ADC ∠=∠，∴ADG CDE ∠=∠，∴C AGD ED ≅（SAS ）．（2）①证明：如图3中，设AD 交PC 于O ．∵C AGD ED ≅，∴DAG DCE ∠=∠，∵COD AOP ∠=∠，∴在APO 与COD 中90APO ADC ∠=∠=︒，∴CP AG ⊥．②存在∵90CPA ∠=︒，AC 是定值，∴当AP 最小时，PC 的值最大，∴当DE PC ⊥时，ACP ∠的值最小，此时PC 的值最大，此时点F 与P 重合，∵9042CED CD DE ∠===︒，，，∴22224223EC CD DE =-=-=，∵2EF DE ==， ∴223CP CE EF =+=+，∴PC 的最大值为223+．【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会寻找特殊位置解决最值问题，属于中考压轴题． 6．如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD 和一个长为2、宽为1的长方形CEFD 拼在一起，构成一个大的长方形ABEF ．现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至''CE FD ，旋转角为α．(1)当点D 恰好落在边EF 上时，点D 到边DC 的距离为____________，旋转角α=____________︒；(2)如图2，G 为BC 的中点，且090α︒<<︒，求证：GD E D ''=；(3)小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，DCD '与CBD '△能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，说明理由．【答案】(1)1，30(2)见解析(3)能，α为135︒或315︒【分析】（1）根据矩形的性质可知点D 到边DC 的距离等于F 到边DC 的距离，即DF =1，可知点D 到边DC 的距离为1；根据旋转的性质得2CD CD '==，即可判定30CD E ，然后根据平行线的性质即可得到30CD E α'∠=∠=︒ ；（2）由G 为BC 中点可得CG =CE ，然后根据“SAS” 可判断E GCD CD ''≌△△，则GD E D ''=； （3）根据正方形的性质得CB =CD ，而CD CD '=，则 BCD '和DCD '为腰相等的两等腰三角形，当两顶角相等时它们全等，当 BCD '和DCD '为钝角三角 形时，可计算出α=135°，当 BCD '和DCD '为锐角三角形时，可计算得到α=315°．（1）解：由题意可知，当点D 恰好落在边EF 上时，点D 到边DC 的距离等于F 到边DC 的距离，即DF =1， ∴点D 到边DC 的距离为：1，∵CE =1，2CD '=，∴在Rt CED '△中，30CD E ，∵CD EF ∥，∴30CD E α'∠=∠=︒，故答案为：1，30；（2）证明：∵G 为BC 中点，∴1CG =，∴CG CE =，∵长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至CE F D '''，∴90,'∠=∠=︒''==D CE DCE CE CE CG ，∴90∠=∠+'︒='GCD DCE α，在GCD '△和E CD '△中，∵CD CD GCD DCE CG CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=''⎩' ∴(SAS)''△≌△GCD E CD ，∴GD E D ''=；（3）能，理由如下：∵四边形ABCD 为正方形，∴CB =CD ，∵CD CD '=，∴BCD '和DCD '为腰相等的两等腰三角形，当BCD DCD ''∠=∠时，BCD DCD ''≅，当BCD '和DCD '为钝角三角形时，则旋转角α=360901352︒-︒=︒， 当BCD '和DCD '为锐角三角形时，1452BCD DCD BCD ''∠=∠=∠=︒ ， 则α=903603152︒︒-=︒， 即旋转角α的值为135°或315°时，BCD '和DCD '全等．【点评】此题属于四边形的综合题，考查了旋转的性质、正方形的性质、矩形的性质以及三角形全等的判定与性质，注意掌握旋转前后图形的对应关系是解此题的关键．7．已知：在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转一定的角度α得到AED △，点B 、C 的对应点分别是E 、D ．（1）如图1，若60α=︒时，连接BE ，求证：AB BE =；（2）如图2，当点E 恰好在AC 上时，求CDE ∠的度数；（3）如图3，点B 、C 的坐标分别是()0,0，()0,2，点Q 是线段AC 上的一个动点，点M 是线段AO 上的一个动点，是否存在这样的点Q 、M 使得CQM 为等腰三角形且AQM 为直角三角形？若存在，请求出满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）15°；（3）存在，23,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()423,0- 【分析】（1）由旋转的性质可知， ABE 是等边三角形，即可求证；（2）由旋转的性质可知，CA AD =，从而()118030752ACD ADC ∠=∠=︒-︒=︒，即可求解； （3）分两种情况：若90QMA ∠=︒，CQ MQ =时；若90AQM ∠=︒，CQ QM =时，分别求解即可．【解答】（1）证明：由旋转的性质可知60BAE α∠==︒，BA BE =，∴ABE 是等边三角形，∴AB BE =．（2）解：∵90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，∴60ACB ∠=︒，∵ABC 绕点A 顺时针旋转α得到AED △，点E 恰好在AC 上，∴CA AD =，30EAD BAC ︒∠=∠=，∴()118030752ACD ADC ∠=∠=︒-︒=︒， ∵60EDA ACB ∠=∠=︒，∴15CDE ADC EDA ∠=∠-∠=︒．（3）存在，理由如下：∵点B 、C 的坐标分别是()0,0，()0,2，∴2BC =，∵90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，∴24AC BC ==，223AB AC BC 2=-=，如图1，若90QMA ∠=︒，CQ MQ =时，图1设CQ QM x ==，∵30CAB ∠=︒，∴22==AQ QM x ，223=-=AM AQ QM x ，∴234=+=+==AC AQ CQ x x x ，∴43x =，∴433AM =， ∴43232333BM AB AM =-=-=， ∴点23,03M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．如图2，若90AQM ∠=︒，CQ QM =时，图2设CQ QM x ==，30CAB ∠=︒，∴22==AM QM x ，223=-=AQ AM QM x ，∴34AC x x =+=，∴232x =-，∴434AM =-，∴()23434423BM =--=-，∴点()423,0M -； 综上所述：23,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()423,0-． 【点评】本题主要考查了图形的变换——旋转，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，能够利用旋转的性质和分类讨论的思想是解题的关键．8．同题提出 如图（1），已知ABC ，90ABC ∠=︒，将边AB 绕点A 顺时针旋转α︒至AD 处，连接CD ，O 为CD 的中点，E 为边BC 中垂线上一点，EO AO ⊥．探究BEC ∠的值．问题探究 （1）先将问题特殊化．①如图（2），当180α=︒时，不存在确定的E 点，请说明理由；②如图（3），当D 在CA 的延长线上时，连接DE ，发现180BEC α∠=︒-︒，请证明这个结论； （2）再探究一般情形．如图（1），当90180α︒<<︒时，证明（1）②中的结论仍然成立．问题拓展 （3）当0360α<≤︒︒时，若AO OE =，请直接写出α的值． 【答案】（1）①见解析．②见解析；（2）180BEC α∠=︒-︒．（3）90︒或270︒．【分析】（1）①当180α=︒时，在图中找到BC 的中垂线，看能否满足EO AO ⊥即可；②先证明DEA △≌BEA △，根据D ABE ∠=∠，得到BAC BEC ∠=∠，最后利用180DAB BAC ∠+∠=︒，即可证明结论；（2）先证明出AOD FOC ≅△△，得到AE FE =，再证明出ABE CFE ≅△△，通过性质可证明出AOD FOC ≅△△，得到D DCF ∠=∠，根据AD GC ∥，得到AGC DAB α∠=∠=︒，最后根据180AGC BGC ∠+∠=︒，即可得证；（3）仿照（2）的过程依次证明AOE FOE ≅，ABE CFE ≅△△，再通过角的转换即可得到答案．【解答】解：（1）①当180α=︒时，AO 为DBC △的中位线，经过O 点的AO 的垂线与BC 的中垂线重合，∴此时E 点在BC 的中垂线上任何位置都能满足EO AO ⊥，故不存在确定的E 点．②证明：连接AE ．∵OE 垂直平分DC ，∴DE EC =，∴D ECD ∠=∠．∵E 在BC 的中垂线上，∴BE CE =，∴DE BE =．∵AD AB =，∴DEA △≌BEA △．∴D ABE ∠=∠．∴ABE ACE =∠∠．∴BAC BEC ∠=∠．∵180DAB BAC ∠+∠=︒，∴180BEC α∠=︒-︒．（2）延长AO 至F ，使得OF AO =，连接AE ，EF ．连接CF 并延长交AB 于点G ．∵OD OC =，AOD FOC ∠=∠，∴AOD FOC ≅△△．∴FC AD AB ==．∵OE AF ⊥，AO OF =，∴AE FE =．又∵BE CE =，∴ABE CFE ≅△△．∴ABE FCE ∠=∠，∴BGC BEC ∠=∠．∵AOD FOC ≅△△，∴D DCF ∠=∠．∴AD GC ∥．∴AGC DAB α∠=∠=︒，∵180AGC BGC ∠+∠=︒，∴180BEC α∠=︒-︒．（3）延长AO 至F ，使得OF AO =，连接EF 、CF 并延长交AB 于点G ，连接AE ，∵AO OE ⊥，AO OE =，∴45EAO OEA ∠=∠=︒，90AOE ∠=︒，∴()AOE FOE SAS ≅，∴45OEF ∠=︒，∵AE EF ⊥，由（2）可得()ABE CFE SAS ≅，∴AEB CEF ∠=∠，90BEC AEF ∠=∠=︒，∴18090BEC α∠=︒-=︒，∴90α=︒，当180360α︒<<︒时，延长AO 至F ，使得OF AO =，连接EF 、CF ，同理可得90BEC ∠=︒，∵36090BAD α∠=︒-=︒∴270α=︒，综上所述，α的值为90︒或270︒．【点评】本题考查三角形旋转的综合问题、全等三角形的性质和判定及辅助线作图，解题关键是作出正确的辅助线并找出三角形全等．9．问题提出(1)如图，点M 、N 是直线l 外两点，在直线l 上找一点K ，使得MK NK +最小．问题探究(2)在等边三角形ABC 内有一点P ，且3PA =，4PB =，5PC =，求APB ∠度数的大小．问题解决(3)如图，矩形ABCD 是某公园的平面图，303AB =米，60BC =米，现需要在对角线BD 上修一凉亭E ，使得到公园出口A 、B ，C 的距离之和最小．问：是否存在这样的点E ？若存在，请画出点E 的位置，并求出EA EB EC ++的和的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)150︒(3)对角线BD 上不存在这样的点E ，使得到公园出口A 、B ，C 的距离之和最小，理由见解析【分析】（1）根据两点间线段距离最短，连接点MN ，与直线l 交于点K ，点K 即为所求．；（2）把APB △绕点A 逆时针旋转60︒得到AP C '△，由旋转的性质可知APP '是等边三角形，从而得到60AP P ∠'=︒，由勾股定理逆定理可知90PP C ∠'=︒，从而求得150AP C ∠'=︒，即可求解；（3）连接AC ，设在ABC 内一点M ，把ABM 绕点B 逆时针旋转60︒得到GBM '，，由旋转的性质，M BM '、GAB △是等边三角形，根据两点间线段距离最短，可得当MA MB MC GC ++=时最短，从而得到MA MB MC ++最小值为BF 的长，点M 为CG 、BF 的交点，即可求解．【解答】（1）解：如图1，连接点MN ，与直线l 交于点K ，点K 即为所求．（2）解：如图2，把APB △绕点A 逆时针旋转60︒得到AP C '△，由旋转的性质，3P A PA '==，4P C PB '==，60PAP ∠'=︒，APP '∴是等边三角形，3PP PA '∴==，60AP P ∠'=︒，22223425PP P C '+'=+=，22525PC ==，222PP P C PC ∴'+'=，90PP C ∴∠'=︒，6090150AP C AP P PP C ∴∠'=∠'+∠'=︒+︒=︒；故150APB AP C ∠=∠'=︒；（3）解：如图，连接AC ，设在ABC 内一点M ，把ABM 绕点B 逆时针旋转60︒得到GBM '，由旋转的性质，303GB AB ==，BM BM '=，GM AM =，GB AB =，60M BM '∠=︒，60GBA ∠=︒， ∴M BM '、GAB △是等边三角形，BM MM '∴=，MA MB MC GM MM MC '∴++='++，根据两点间线段距离最短得：当MA MB MC GC ++=时最短，GAB 是等边三角形，∴以AC 为一边作等边三角形ACF ，MA MB MC ∴++最小值为BF 的长，此时点M 在线段BF 上，∴点M 为CG 、BF 的交点．若点M 与点E 重合，即M 在对角线BD 上，则点M 为BF 与BD 的交点，此时点M （E ）与点B 重合，显然不符合题意，故点M 不在对角线BD 上，即对角线BD 上不存在这样的点E ，使得到公园出口A 、B ，C 的距离之和最小．【点评】本题是四边形综合题，主要考查了旋转知识、三角形全等、特殊角直角三角形、等边三角形的性质和勾股定理，熟练掌握旋转知识构建全等三角形是解题的关键．10．【问题背景】如图1，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，我们可以通过把ABE 绕点A 逆时针旋转90°到ADG △，容易证得：EF BE DF =+．(1)【迁移应用】如图2，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，若B ∠、D ∠都不是直角，且180B D ∠+∠=︒，试探究EF 、BE 、DF 之间的数量关系，并说明理由．(2)【联系拓展】如图3，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 均在边BC 上，且45DAE =︒∠．猜想BD 、DE 、EC 满足的等量关系（直接写出结论，不需要证明）． 【答案】(1)EF BE DF =+，理由见解析(2)222DE BD EC =+【分析】（1）把ABE 绕点A 逆时针旋转90°到ADG △，证明()AFG AFE SAS △≌△，进而即可得到结论；（2）把ACE △绕点A 逆时针旋转90°到ABF △，连接DF ，证明()ADF ADE SAS ≌，从而得90DBF ABF ABC ∠=∠+∠=，进而即可得到结论．（1）解：数量关系是EF BE DF =+，理由如下：由题意得，AB AD =，90BAD ∠=︒，把ABE 绕点A 逆时针旋转90°到ADG △，如图2所示，则DAG BAE ∠∠=，ADG B ∠=∠，AG AE =，∵180B ADC ∠+∠=︒，∴180ADG ADC ∠+∠=︒，∴点F 、D 、G 在同一条直线上；∵45EAF ∠=︒，∴904545GAF DAG DAF BAE DAF ∠=∠+∠=∠+∠=︒-︒=︒，∴GAF EAF ∠=∠，∵AF AF =，∴()AFG AFE SAS △≌△，∴EF GF DG DF BE DF ==+=+．（2）解：数量关系是222DE BD EC =+，理由如下：把ACE △绕点A 逆时针旋转90°到ABF △，连接DF ，如图3所示，∴ABF ACE ≌△△，90FAE ∠=，∴FAB CAE ∠=∠，BF CE =，ABF C ∠=∠，∴90FAE BAC ∠=∠=，∵45DAE ∠=，∴904545FAD ∠=-=，∴45FAD DAE ∠=∠=，在ADF △和ADE 中，AF AE FAD DAE AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ADF ADE SAS ≌，∴DF =DE ，∵90BAC ∠=，AB =AC ，∴45ABC C ∠=∠=，∴45C ABF ∠=∠=，∴90DBF ABF ABC ∠=∠+∠=，∴BDF 是直角三角形，∴222DF BD BF =+，∴222DE BD EC =+．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，图形旋转的性质等知识，关键是正确画出图形．11．【发现奥秘】(1)如图1，在等边三角形ABC 中，2AB =，点E 是ABC 内一点，连接,,AE EC BE ，分别将,AC EC 绕点C 顺时针旋转60°得到,DC FC ，连接,,AD DF EF ．当B ，E ，F ，D 四个点满足______时，BE AE CE ++的值最小，最小值为_______．【解法探索】(2)如图2，在ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，点P 是ABC 内一点，连接,,PA PB PC ，请求出当PA PB PC ++的值最小时BCP ∠的度数，并直接写出此时::PA PB PC 的值．（提示：分别将,PC AC 绕点C 顺时针旋转60°得到,DC EC ，连接,,PD DE AE ）【拓展应用】(3)在ABC 中，90,30,2ACB BAC BC ︒︒∠=∠==，点P 是ABC 内一点，连接,,PA PB PC ，直接写出当PA PB PC ++的值最小时，::PA PB PC 的值．【答案】(1)四点共线，23(2)PA PB PC ++的值最小时45BCP ∠=，此时()::2:2:31PA PB PC =- (3)::4:2:1PA PB PC =【分析】(1)证明AEC DFC 得到AE DF =进而得到B ，E ，F ，D 四个点满足四点共线时，BE AE CE ++的值最小为BD ，再由等边△ABC 及2AB =求出BD 的长；(2)同(1)中思路证明()APC EDC SAS △≌△得到PA DE =，当B ，P ，D ，E 四点共线时，PA PB PC ++的值最小为BE ；进一步得到150BCE ∠=︒，BC CE =即可求出45BCP ∠=，再过点C 作CF AB ⊥于点F ，利用30FBP 即可求出::PA PB PC 的值；(3)同(2)中思路即可求解．(1)解：由旋转的性质，可知,,60CE CF CA CD ECFACD ， 60ACE ECF ACF ACF ，60DCF ACDACF ACF ， ∴ACE DCF ∠=∠，∴()ACE DCF SAS △≌△，∴AE DF =，且EC EF =，∴BE AE CE BE DF EF ，∴当B ，E ，F ，D 四点共线时，BE DF EF ++的值最小为BD ，如图所示：连接AC ，设AC 与BD 交于点O ，∵ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，∵△ABC 为等边三角形，∴∠OCB =60°，∴332322BO BC ，此时223BD BO ==．(2)解：由旋转的性质，可知,,60PC CD AC CE PCD ACE ==∠=∠=︒， 60PCA PCD ACD ACD ，60DCE ACE ACD ACD ，∴PCA DCE ，∴()APC EDC SAS △≌△，∴PA DE =，且PDC ACE △，△均为等边三角形，PC PD =, ∴PA PB PC DE PB PD ++=++，∴当B ，P ，D ，E 四点共线时，PA PB PC ++的值最小，如图1所示．∵PDC ACE △，△均为等边三角形， ∴1209060150BPC CDE CPA BCE ，，∵,AC BC AC CE ==，∴BC CE =．∴15PBC DEC ∠=∠=︒，∴45BCP ∠=︒，∴当B ，P ，D ，E 四点共线时，PA PB PC ++的值最小，此时45BCP ∠=︒； 过点C 作CF AB ⊥于点F ，如图1所示．∵,PB PA CB CA ，∴CP 是线段AB 的中垂线，∴C ，P ，F 三点共线，45FBC FAC ∠=∠=︒∴,30PA PB FBP FAP =∠=∠=︒，设1PF =，则2,3PB PA CF BF ====．∴31PC =-，∴::2:2:(31)PA PB PC =-．(3)解：分别将,PC AC 绕点C 顺时针旋转60°得到,DC EC ，连接,,PD DE AE ，过点E 作EF BC ⊥，交BC 的延长线于点F ，如图2所示：由(2)可知，当B ，P ，D ，E 四点共线时，PA PB PC ++的值最小，此时120BPC CDE CPA ∠=∠=∠=︒， 由(2)知：9060150APC EDC BCE △≌△，，∴30ECF ∠=︒，∵2BC =，∴23AC CE ==，∴3,3EF CF ==．∴235BF =+=，∴在Rt BEF △中由勾股定理得到22225(3)27BE BF EF =+=+=，过点C 作CG BE ⊥，垂足为G ，如图2所示． ∵1122BCE S BC EF BE CG =⨯⨯=⨯⨯△， ∴11232722CG ⨯=⨯⨯⨯， ∴217CG =， ∴3217377PG DG ， ∴在Rt BCG 中由勾股定理得到22222157277BG BC CG ， ∴27577472,7777PD PC PG BP BG PG ====-=-=， ∴47278727777PD DE BE BP PD ==--=--=， ∴::4:2:1PA PB PC =．【点评】本题考察了图形旋转的性质、三角形全等的判定方法、勾股定理求线段长等知识点，本题综合性强，难度大，需要根据题意做出合适的辅助线，属于中考常考压轴题．。
初二数学图形的对称平移与旋转试题
初二数学图形的对称平移与旋转试题1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，若以点C为旋转中心，将△ABC旋转θ°到△DEC的位置，使点B恰好落在边DE上，则θ值等于．【答案】70【解析】∵∠ACB=90°，∠A=35°，∴∠ABC=90°﹣35°=55°，∵以点C为旋转中心，将△ABC旋转θ°到△DEC的位置，使点B恰好落在边DE上，∴∠DEC=∠ABC=55°，∠ACD=∠BCE=θ°，CB=CE，∴∠CBE=∠BEC=55°，∴∠BCE=180°﹣∠CBE﹣∠BEC=70°，∴θ值为70．故答案为：70．【考点】旋转的性质2.如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形A′B′C′D′的位置，旋转角为，若∠1=110°，则∠= 度．【答案】20°.【解析】如图所示∵∠1=110°,∴∠2=∠1=110°(两直线相交，对顶角相等),∵四边形ABCD为矩形,∴∠D=∠B’ =∠BAD=90°,∴∠4＋∠2=360°－∠D－∠B’="180°" (四边形内角和为360°),∵∠2=110°,∴∠4=70°,∵∠BAD=90°,∴∠3=∠=20°.【考点】1.对顶角；2.余角；3.四边形内角和.3.如图（1）中，△和△都是等腰直角三角形，∠和∠都是直角，点在上，△绕着点经过逆时针旋转后能够与△重合，再将图（1）作为“基本图形”绕着点经过逆时针旋转得到图（2）.两次旋转的角度分别为（）A．45°，90°B．90°，45°C．60°，30°D．30°，60°【答案】A【解析】∵△和△都是等腰直角三角形，∴∠∠.又∵△绕着点沿逆时针旋转度后能够与△重合，∴旋转中心为点，旋转角度为45°，即45.若把图（1）作为“基本图形”绕着点沿逆时针旋转度可得到图（2），则454590，故选A．4.下列命题中正确的是（）A．全等三角形的高相等B．全等三角形的中线相等C．全等三角形的角平分线相等D．全等三角形对应角的平分线相等【答案】D【解析】因为全等三角形对应边上的高、对应边上的中线、对应角的平分线相等，A、B、C项没有“对应”，所以错误，而D项有“对应”，D是正确的．故选D．5.如图，△绕点旋转一定角度后得到△，若，，则下列说法正确的是（）A．B．C．∠是旋转角D．∠是旋转角【答案】D【解析】∵△绕点旋转一定角度后得到△，且，，∴是旋转角，故选D．6.剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产．下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形的是（）【答案】D.【解析】依据轴对称图形的定义，即一个图形沿某条直线对折，对折后的两部分能完全重合，则这条直线即为图形的对称轴，从而可以解答题目．A、不是轴对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，符合题意．故选：D．考点: 轴对称图形．7.∠AOB=45°，其内部有一点P，OP=8，在∠AOB的两边分别有两点Q，R（不同与点0），则△PQR的最小周长是。
初二数学平移旋转练习题
初二数学平移旋转练习题题目1：已知点A(2, 3)和B(-4, 1)，求将点A绕原点逆时针旋转90度后的坐标。
解答1：首先，将点A绕原点逆时针旋转90度可以等价于交换坐标，并将y坐标取反。
即原始点A(2, 3)旋转90度后的点为A'(-3, 2)。
题目2：已知图形A经过平移变换后得到图形B，平移向量为(4, -2)。
若图形A上某点坐标为C(-1, 3)，求图形B上对应的点的坐标。
解答2：根据平移变换的性质，我们可以通过将平移向量(4, -2)与图形A上各点的坐标进行相加，得到图形B上对应点的坐标。
对于图形A上的点C(-1, 3)，其在图形B上的对应点坐标为C'(3, 1)。
题目3：已知点D(5, -2)关于y轴进行镜像变换，求变换后的点坐标。
解答3：进行关于y轴的镜像变换时，只需要将点的横坐标取反即可。
对于点D(5, -2)，进行关于y轴的镜像变换后，得到点D'(-5, -2)。
题目4：已知图形E绕原点顺时针旋转120度后得到图形F。
若图形E上某点坐标为G(4, 2)，求图形F上对应点的坐标。
解答4：要将图形E绕原点顺时针旋转120度，可以通过将点G(4, 2)绕原点逆时针旋转240度来得到。
旋转240度后的点坐标为G'(-1, -3)。
题目5：已知图形H绕点(2, 1)逆时针旋转270度后得到图形I。
若图形H上某点坐标为J(3, -4)，求图形I上对应点的坐标。
解答5：要将图形H绕点(2, 1)逆时针旋转270度，可以通过先将图形H绕原点顺时针旋转90度，再平移回原来的位置得到。
将点J(3, -4)绕原点顺时针旋转90度后的坐标为J'(-4, 3)。
然后，将J'平移两个单位向右，一个单位向下，得到图形I上对应点的坐标为J''(-2, -1)。
初二数学图形的旋转练习题
初二数学图形的旋转练习题旋转是数学中常见的图形变换方式之一，通过对图形进行旋转可以帮助我们理解几何形状的性质和关系。
在初二数学学习中，图形的旋转也是一个重要的练习题型。
本文将通过几个练习题来帮助同学们巩固和提高对初二数学图形旋转的理解。
1. 点的旋转练习题：题目1：已知点A(2,3)，将该点绕原点逆时针旋转90度，求旋转后的坐标。
解析：将点A绕原点逆时针旋转90度相当于将A的x坐标和y坐标互换，并且将新的x坐标取负数。
根据这个规律，点A(2,3)绕原点逆时针旋转90度后的新坐标为(-3,2)。
题目2：已知点B(-4,5)，将该点绕原点顺时针旋转180度，求旋转后的坐标。
解析：将点B绕原点顺时针旋转180度相当于将B的x坐标和y坐标都取负数。
根据这个规律，点B(-4,5)绕原点顺时针旋转180度后的新坐标为(4,-5)。
2. 图形的旋转练习题：题目3：已知矩形ABCD，其中A(2,2)，B(6,2)，C(6,4)，D(2,4)，将该矩形绕原点逆时针旋转90度，求旋转后各顶点的坐标。
解析：首先，按照旋转规则，点A(2,2)绕原点逆时针旋转90度后的新坐标为(-2,2)。
同样，点B(6,2)绕原点逆时针旋转90度后的新坐标为(-2,6)，点C(6,4)旋转后的新坐标为(-4,6)，点D(2,4)旋转后的新坐标为(-4,2)。
这样，旋转后矩形的各顶点坐标为A'(-2,2)，B'(-2,6)，C'(-4,6)，D'(-4,2)。
3. 图形变换的综合练习题：题目4：已知图形ABCD是一个正方形，其中A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，将该正方形绕原点逆时针旋转45度，然后平移x轴正方向2个单位，求旋转和平移后各顶点的坐标。
解析：首先，按照旋转规则，将正方形的各顶点旋转45度后的新坐标为A'、B'、C'和D'。
根据题目要求平移x轴正方向2个单位，新的坐标为A''、B''、C''和D''。
初二数学全等三角形角6090旋转 易错题难题提优专项训练(1)
初二数学全等三角形角6090旋转 易错题难题提优专项训练(1)一、全等三角形角6090旋转1．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝30°，将△DCB 绕点C 顺时针旋转60°后，点D 的对应点恰好与点A 重合，得到△ACE ，若AB ＝3，BC ＝4，求BD 的长？2．如图1，AC ⊥CH 于点C ，点B 是射线CH 上一动点，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到△ADE （点D 对应点C ）．（1）延长ED 交CH 于点F ，求证：FA 平分∠CFE ；（2）如图2，当∠CAB ＞60°时，点M 为AB 的中点，连接DM ，请判断DM 与DA 、DE 的数量关系，并证明．3．在△ABC 中90AOB ∠=︒，AO=BO ，直线MN 经过点O ，且AC ⊥MN 于C ，BD ⊥MN 于D(1) 当直线MN 绕点O 旋转到图①的位置时，求证：CD=AC+BD ；(2) 当直线MN 绕点O 旋转到图②的位置时，求证：CD=AC-BD ；(3) 当直线MN 绕点O 旋转到图③的位置时，试问：CD 、AC 、BD 有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．4．（1）如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且12EAF BAD ∠=∠．求证：EF BE FD =+；（2）如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B ADC ∠+∠=︒，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且12EAF BAD ∠=∠．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．5．已知，四边形ABCD 中，,,,120,60AB AD BC CD BA BC ABC MBN ︒︒⊥⊥=∠=∠=，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交,AD DC （或它们的延长线）于E ，F ．当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF =时，如图（1），易证：AE CF EF +=．当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF ≠时，在图（2）和图（3）中这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段,,AE CF EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．6．平面直角坐标系中，四边形OABC 是正方形，点A,C 在坐标轴上，点B(8,8),P 是射线OB 上一点，将△AOP 绕点A 顺时针旋转90°，得△ABQ ，Q 是P 旋转后的对应点. （1）如图1，当2Q 的坐标；（2）如图2，设点P(x,y)（0<x<8），△APQ 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并写出当S 取最小值时，点P 的坐标；（3）当BP+BQ=102，求点Q 的坐标（直接写出结果即可）7．（探索发现）如图①，已知在△ABC 中，∠BAC= 45°，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE ⊥AC ，垂足为E ，AD 与BE 相交于F ．（1）线段AF 与BC 的数量关系是：AF BC ，（用>，<，=填空）；（2）若∠ABC=67.5°，试猜想线段AF 与BD 有何数量关系，并说明理由．（拓展应用）（3）如图②，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，已知∠BAC=45°，∠C=22.5°，AD=22 ，求△ABC 的面积．8．如图，BC 为等边△ABM 的高，AB ＝52，点P 为射线BC 上的动点（不与点B ，C 重合），连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转60°，得到线段PD ，连接MD ，BD ． （1）如图①，当点P 在线段BC 上时，求证：BP ＝MD ；（2）如图②，当点P 在线段BC 的延长线上时，求证：BP ＝MD ；（3）若点P 在线段BC 的延长线上，且∠BDM ＝30°时，请直接写出线段AP 的长度．9．在等腰ABC ∆中，AB AC =,AE 为BC 边上的高，点D 在ABC ∆的外部且60CAD ∠=，AD AC =,连接BD 交直线AE 于点F ，连接FC ．=；(1)如图①，当120∠<时，求证：BF CFBAC∠的度数；(2)如图②，当40∠=时，求AFDBAC=+．(3)如图③，当120BAC∠>时,求证：CF AF DF10．观察推理：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，点A、B在直线l 同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D、E．（1）求证：△AEC≌△CDB；（2）类比探究：如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，连接B′C，求△AB′C的面积；（3）拓展提升：如图3，∠E=60°，EC=EB=4cm，点O在BC上，且OC=3cm，动点P从点E 沿射线EC以2cm/s速度运动，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．要使点F恰好落在射线EB上，求点P运动的时间．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形角6090旋转1．5【分析】连接BE，如图，根据旋转的性质得∠BCE=60°，CB=CE，BD=AE，再判断△BCE为等边三角形得到BE=BC=4，∠CBE=60°，从而有∠ABE=90°，然后利用勾股定理计算出AE即可．【详解】解：连接BE，如图，∵△DCB 绕点C 顺时针旋转60°后，点D 的对应点恰好与点A 重合，得到△ACE ，∠BCE=60°，CB=CE ，BD=AE ，∴△BCE 为等边三角形，∴BE=BC=4，∠CBE=60°，∵∠ABC=30°，∴∠ABE=90°，在Rt △ABE 中，AE=223+4=5，∴BD=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．2．（1）见解析；（2）2DM +3AD ＝DE ，证明见解析．【分析】（1）根据直角三角形全等判定，得到对应角相等，根据角分线定义证明．（2）延长AD 交BC 于F ，连接CD ；利用旋转的到特殊值三角形，运用三角形的中位线定理，将DE 解转化到CB 决问题即可．【详解】（1）如图1中，∵△ADE 由△ABC 旋转得到，∴AC ＝AD ，∠ACF ＝∠ADE ＝∠ADF ＝90°，AF=AF∴ACF ADF ≌(HL)，AFC AFD ∴∠=∠， FA 平分∠CFE ； （2）结论：23DM DE =，理由如下：如图2中，延长AD 交BC 于F ，连接CD ，∵AC＝AD，∠CAD＝60°，∴△ACD为等边三角形，∴AD＝CD＝AC，∵∠ACF＝90°，∠CAF＝60°，∴∠AFC＝30°，∴AD＝AC＝1AF，2∴AD＝DF，∴D为AF的中点，又∵M为AB的中点，∴DM＝1FB，即FB=2DM2在Rt△AFC中，FC＝3AC=3AD，==+，DE CB FB FC∴+=+FB FC DM AD23∴23DM AD DE+=．【点睛】本题考查图形旋转、30°直角三角形性质及三角形中位线定理，综合运用所学知识，将DE 解转化为CB是解题关键．3．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）CD=BD-AC，证明见解析.【分析】（1）通过证明△ACO≌△ODB得到OC=BD，AC=OD，则CD=AC+BD；（2）通过证明△ACO≌△ODB得到OC=BD，AC=OD，则CD=AC-BD；（3）通过证明△ACO≌△ODB得到OC=BD，AC=OD，则CD=BD-AC．【详解】解：（1）如图1，∵△AOB中，∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，直线MN 经过点O ，且AC ⊥MN 于C ，BD ⊥MN 于D ，∴∠ACO=∠BDO=90°∴∠AOC+∠OAC=90°，∴∠OAC=∠BOD ，在△ACO 和△ODB 中，90ACO ODB OAC BOD AO OB ⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACO ≌△ODB （AAS ），∴OC=BD ，AC=OD ，∴CD=AC+BD ；（2）如图2，∵△AOB 中，∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，直线MN 经过点O ，且AC ⊥MN 于C ，BD ⊥MN 于D ，∴∠ACO=∠BDO=90°∴∠AOC+∠OAC=90°，∴∠OAC=∠BOD ，在△ACO 和△ODB 中，90ACO ODB OAC BOD AO OB ⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△ACO ≌△ODB （AAS ），∴OC=BD ，AC=OD ，∴CD=OD ﹣OC=AC ﹣BD ，即CD=AC ﹣BD ．（3）如图3，∵△AOB 中，∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，直线MN 经过点O ，且AC ⊥MN 于C ，BD ⊥MN 于D ，∴∠ACO=∠BDO=90°∴∠AOC+∠OAC=90°，∴∠OAC=∠BOD ，在△ACO 和△ODB 中，90ACO ODB OAC BOD AO OB ⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△ACO ≌△ODB （AAS ），∴OC=BD ，AC=OD ，∴CD=OC ﹣OD=BD ﹣AC ，即CD=BD ﹣AC ．【点睛】此题是一道几何变换综合题，需要掌握全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，是一个探究题目，对于学生的能力要求比较高.4．（1）见证明；（2）结论EF ＝BE +FD 不成立，应当是EF ＝BE ﹣FD ，证明见详解．【分析】（1）延长CB 至M ，使BM ＝DF ，连接AM ．先证明△ABM ≌△ADF ，得到AF ＝AM ，∠2＝∠3，再证明△AME ≌△AFE ，得到EF ＝ME ，进行线段代换，问题得证；（2）在BE 上截取BG ，使BG ＝DF ，连接AG ．先证明△ABG ≌△ADF ，得到AG ＝AF ，再证明△AEG ≌△AEF ，得到EG ＝EF ，进行线段代换即可证明EF ＝BE ﹣FD ．【详解】解：（1）证明：如图，延长CB 至M ，使BM ＝DF ，连接AM ．∵∠ABC +∠D ＝180°，∠1+∠ABC ＝180°，∴∠1＝∠D ，在△ABM 与△ADF 中，1AB AD D BM DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABM ≌△ADF （SAS ）．∴AF ＝AM ，∠2＝∠3．∵∠EAF 12=∠BAD ， ∴∠2+∠412=∠BAD ＝∠EAF ． ∴∠3+∠4＝∠EAF ，即∠MAE ＝∠EAF ．在△AME 与△AFE 中，AM AF MAE EAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AME ≌△AFE （SAS ）．∴EF ＝ME ，即EF ＝BE +BM ，∴EF ＝BE +DF ；（2）结论EF ＝BE +FD 不成立，应当是EF ＝BE ﹣FD ．证明：如图，在BE 上截取BG ，使BG ＝DF ，连接AG ．∵∠B +∠ADC ＝180°，∠ADF +∠ADC ＝180°，∴∠B ＝∠ADF ．∵在△ABG 与△ADF 中，AB AD ABG ADF BG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABG ≌△ADF （SAS ），∴∠BAG ＝∠DAF ，AG ＝AF ，∴∠BAG +∠EAD ＝∠DAF +∠EAD ＝∠EAF 12=∠BAD ， ∴∠GAE ＝∠EAF ．在△AGE 与△AFE 中， AG AF GAE EAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEG ≌△AEF ，∴EG ＝EF ，∵EG ＝BE ﹣BG ，∴EF ＝BE ﹣FD ．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题，解题时注意一些题目虽然图形发生变化，但是证明思路和方法是类似的，属于中考压轴题．5．图（2）成立，图（3）不成立；图（2）中有AE CF EF +=，理由见解析；在图（3）中，有结论EF AE CF =-，理由见解析【分析】根据已知可以利用SAS 证明△ABE ≌△CBF ，从而得出对应角相等，对应边相等，从而得出∠ABE ＝∠CBF ＝30°，△BEF 为等边三角形，利用等边三角形的性质及边与边之间的关系，即可推出AE +CF ＝EF ．同理图2可证明是成立的，图3不成立．【详解】解：∵AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，AB ＝BC ，AE ＝CF ，在△ABE 和△CBF 中，90AB BC A C AE CF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CBF （SAS ）；∴∠ABE ＝∠CBF ，BE ＝BF ；∵∠ABC ＝120°，∠MBN ＝60°，∴∠ABE ＝∠CBF ＝30°，∴AE ＝12BE ，CF ＝12BF ； ∵∠MBN ＝60°，BE ＝BF ，∴△BEF 为等边三角形；∴AE +CF ＝12BE +12BF ＝BE ＝EF ； 图2成立，图3不成立．证明图2．延长DC 至点K ，使CK ＝AE ，连接BK ，在△BAE 和△BCK 中，90AB CB A BCK AE CK =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩则△BAE ≌△BCK ，∴BE ＝BK ，∠ABE ＝∠KBC ，∵∠FBE ＝60°，∠ABC ＝120°，∴∠FBC +∠ABE ＝60°，∴∠FBC +∠KBC ＝60°，∴∠KBF ＝∠FBE ＝60°，在△KBF 和△EBF 中，BK BE KBF EBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△KBF ≌△EBF ，∴KF ＝EF ，∴KC +CF ＝EF ，即AE +CF ＝EF ．图3不成立，AE 、CF 、EF 的关系是AE ﹣CF ＝EF ．理由如下：延长DC 至G ，使CG ＝AE ，同理可知，△BAE ≌△BCG （SAS ），∴BE ＝BG ，∠ABE ＝∠GBC ，∠GBF ＝∠GBC ﹣∠FBC ＝∠ABE ﹣∠FBC ＝120°+∠FBC ﹣60°﹣∠FBC ＝60°，∴∠GBF ＝∠EBF ，∵BG ＝BE ，∠GBF ＝∠EBF ，BF ＝BF ，∴△GBF ≌△EBF ，∴EF ＝GF ，∴AE ﹣CF ＝CG ﹣CF ＝GF ＝EF ．【点睛】本题几何变换综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，正确作出辅助性、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．6．（1）Q 点坐标为（11，5）；（2）2832S x x =-+；P 点坐标为（4，4）；（3）Q 点坐标为（17，-1）【分析】（1）要求Q 点坐标，即求线段长，故作QE ⊥AB 于点E ，则OA+QE 即为Q 点横坐标，AE 即为Q 点纵坐标；（2）几何动态题，最好的解题方法是“解题思路的延续性”，（1）小题中“旋转性质即△APO ≌△AQB 的全等性质”是解题关键，故解决第（2）小题仍盯住这个解题关键便能解题；（3）先根据旋转的性质、正方形的性质得出BP OP +=OB =P 在OB 的延长线上，再根据线段的和差可得OP BP ==1）的方法可得△BAP ≌△NAQ ，最后根据三角形全等的性质、线段的和差可得出答案． 【详解】（1）如图3，作QE ⊥AB 于点E ，则OA+QE 即为Q 点横坐标，AE 即为Q 点纵坐标，由旋转性质可知∠POA=∠QBA=45°，，则在等腰直角三角形BEQ 中，可得BE=EQ=3，由B 点坐标可知OA=AB=8，则AE=5，故Q 点坐标为（11，5）；（2）如图4，由旋转性质可得∠PAO=∠QAB ，AP=AQ ，则易得△APQ 是等腰直角三角形，则212APQ S S AP ==△， 由于OP 是∠COA 的角平分线，则x=y ，作PM ⊥OA 于点M ，则OM=PM=x ，OA=8-x ，由勾股定理即可得()2222821664AP x x x x =+-=-+，由S 与x 的函数关系式为：()222112166483222S AP x x x x ==-+=-+； 当S 取最小值时： ∵212S AP =， ∴当AP 最短时S 有最小值，即当AP ⊥BO 时AP 最短，此时P 在正方形COAB 的对角线交点上，P 是OB 的中点，由中点坐标公式可得此时P 点坐标为（4，4）；（3）如图5，由题可知2，由（1）可知，若P在线段OB上，依旋转性质可知2所以2>OB，可知P在应在OB的延长线上，作QF⊥x轴于点F，由旋转性质可得OP=BQ，则2由图可知2，解方程组282BP OPOP BP⎧+=⎪⎨-=⎪⎩22，由旋转性质可得OP=BQ；设BQ与x轴交于点N，由∠OAP=∠BAQ可得∠PAQ=90°，由∠BAN=∠PAQ=90°可得∠BAP=∠NAQ，∵AP=AQ，∠P=∠Q，∴△BAP≌△NAQ，则2，AB=AN=8，则△BAN是等腰直角三角形，∠FNQ=∠BNA=45°，△FNQ是等腰直角三角形，且2，则易得QF=FN=1，则Q点坐标为（17，-1）．【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、解直角三角形、三角形全等的判定定理与性质、二次函数的性质等知识点，较难的是题（3），正确得出点P的位置是解题关键．7．（1）=；（2）AF=2BD，见解析；（3）8【分析】（1）证出△ABE是等腰直角三角形，得出BE=AE，证明△CBE≌△FAE（ASA），即可得出结论；（2）结论：AF=2BD．只要证明△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一的性质以及（1）得到的结论即可解决问题；（3）如图中，作CH⊥AB交AB的延长线于H，延长CH交AD的延长线于G．只要证明BC=2AD，利用三角形面积公式12BC AD⨯，即可解决问题．【详解】（1）∵∠BAC=45°，BE⊥AC，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴BE=AE ，∵AD ⊥BC ，∴∠C+∠CBE=∠C+∠FAE=90°，∴∠CBE =∠FAE ，在△CBE 和△FAE 中，90 CEB FEA BE AE CBE FAE ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△CBE ≌△FAE （ASA ），∴AF=BC ；（2）结论AF=2BD ．理由：∵∠BAC=45°，∠ABC=67.5°，∴∠C=180︒-∠BAC-∠ABC=67.5°，∴∠C=∠ABC ，∴△ABC 是等腰三角形，且AB=AC ，∵AD ⊥BC ，∴BD=CD=12BC ， 由（1）得：AF=BC=2BD ；（3）如图，作CH ⊥AB 交AB 的延长线于H ，延长CH 交AD 的延长线于G ．∵∠AHC=90°，∠HAC=∠HCA=45°，∴AH=HC ，∵AD ⊥CD ，∴∠ADB=∠BHC=90°，∵∠ABD=∠CBH ，∴∠GAH=∠BCH ，∵∠AHG=∠CHB=90°，∴△AHG ≌△CHB ，∴BC=AG ，∵∠ACB=22.5°，∠HCA=45°，∴∠ACD=∠GCD=22.5°，又∵CD ⊥AG ，∴△AGC 是等腰三角形，且GC=AC ，∴AD=GD=22， ∴BC=AG=2AD=42，∴△ABC 的面积为：114222822BC AD ⨯=⨯⨯=． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．8．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AP ＝52【分析】（1）由旋转定理，可得AP ＝DP ，结合∠APD ＝60°，可推导出△APD 是等边三角形；再通过角度之间加减关系，推导出∠BAP ＝∠MAD ，结合等边△ABM 的性质，可证明△BAP ≌△MAD ，即完成BP ＝MD 证明；（2）由旋转定理，可得AP ＝DP ，结合∠APD ＝60°，可推导出△APD 是等边三角形；再通过角度之间加减关系，推导出∠BAP ＝∠MAD ，结合等边△ABM 的性质，可证明△BAP ≌△MAD ，即完成BP ＝MD 证明；（3）由△BAP ≌△MAD 和BC 为等边△ABM 的高，计算得∠DBM ＝60°，从而证明点D 在BA 的延长线上，再利用Rt △BMD 和特殊角度三角函数，计算得到答案．【详解】（1）如图①，连接AD∵△ABM 是等边三角形∴AB ＝AM ，∠BAM ＝60°由旋转的性质可得：AP ＝DP ，∠APD ＝60°∴△APD 是等边三角形∴PA ＝PD ＝AD ，∠PAD ＝∠BAM ＝60°∴∠BAP ＝∠BAC ﹣∠CAP ，∠MAD ＝∠PAD ﹣∠CAP∴∠BAP ＝∠MAD∵AB AMBAP MADAP AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAP≌△MAD（SAS）∴BP＝MD；（2）如图②，连接AD∵△AMB是等边三角形∴AB＝AM，∠BAM＝∠AMB＝60°由旋转的性质可得：AP＝DP，∠APD＝60°∴△APD是等边三角形∴PA＝PD＝AD，∠PAD＝∠BAM＝60°∴∠BAP＝∠BAC+∠CAP，∠MAD＝∠PAD+∠CAP ∴∠BAP＝∠MAD在△BAP与△MAD中∵AB AMBAP MADAP AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAP≌△MAD（SAS）∴BP＝MD；（3）∵BC为等边△ABM的高∴∠ABC＝30°∵△BAP≌△MAD∴∠ABP＝∠AMD＝30°∴∠BMD＝∠AMB+∠AMD＝90°∴∠BMD＝90°∵∠BDM＝30°∴∠DBM＝60°∴点D在BA的延长线上如图③∵∠BDM ＝30°,∠BMD ＝90°∴BD ＝2BM ＝2∴AD ＝BD ﹣AB ＝2∵PA ＝PD ＝AD∴AP ＝AD ＝2．【点睛】本题考察了全等三角形、旋转、特殊角度三角函数等知识点；求解的关键在于结合图形，熟练掌握运用等边三角形、旋转的性质，推导证明全等三角形和直角三角形，并运用特殊角度三角函数计算得到答案．9．（1）见解析；（2）60AFD ∠=；（3）见解析【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质，可得AE 垂直平分BC ，F 为垂直平分线AE 上点，即可得出结论；（2）根据（1）的结论可得AE 平分∠BAC ，∠BAF=20°，由AB=AC=AD ，推出 40ABD ADB ∠=∠=，根据外角性质可得AFD BAF ABF ∠=∠+∠计算即可；（3）在CF 上截取CM=DF ，连接AM ，证明△ACM ≌△ADF （SAS ），进而证得△AFM 为等边三角形即可．【详解】（1）证明：∵AE 为等腰△ABC 底边BC 上的高线，AB=AC ，AE BC ∴⊥，∠AEB=∠AEC=90°，BE=CE ，∴AE 垂直平分BE ，F 在AE 上，BF CF ∴=；(2) ,AB AC AD AC ==，AB AD ∴=，100BAD BAC CAD ∠=∠+∠=，40ABD ADB ∴∠=∠=，由（1）知，AE 平分∠BAC ，20BAF CAF ∴∠=∠=，60AFD BAF ABF ∴∠=∠+∠=，故答案为：60°；(3) 在CF 上截取CM=DF ，连接AM ，由（1）可知，∠ABC=∠ACB ，∠FBC=∠FCB ，ABF ACF ∴∠=∠，AB AC AD ==，ABF D ∴∠=∠，ACF D ∴∠=∠，在△ACM 和△ADF 中，AC AD ACM ADF CM DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACM ≌△ADF （SAS ），,AF AM FAD MAC ∴=∠=∠，60FAM DAC ∴∠=∠=，∴△AFM 为等边三角形，FM AF ∴=，CF FM MC AF DF ∴=+=+．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．10．（1）证明见详解；（2）18；（3）2.5【分析】(1）根据题干可知本题考查全等三角形证明，先利用等角的余角相等得到∠EAC=∠BCD ，则可根据“AAS”证明△AEC ≌△CD ．(2)根据图2和条件，作B'D ⊥AC 于D ，先证明△B'AD ≌△A B'D 得到B'D=AC=6， 则可根据三角形面积公式计算；(3)根据图3，利用旋转的性质得∠FOP=120°，OP=OF ，再证明△BOF ≌△CPO 得到PC=OB=1，则EP=CE＋CP=5，然后计算点P运动的时间t．【详解】(1)∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠DCB=90°，∵BD⊥l，AE⊥l，∴∠AEC=∠BDC=90°，∴∠EAC＋∠ACE=90°，∴∠EAC=∠DCB，又∵AC=BC，∴△AEC≌△CDB(AAS)；(2)如图2，作B'D⊥AC于D，∵斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB'，∴AB’=AB，∠B’AB=90°，即∠B′AC＋∠BAC=90°，而∠B＋∠CAB=90°，∴∠B=∠B'AC，∴△B’AD≌△A BD(AAS)，∴B′D=AC=6，∴△A B′C的面积=6×6÷2=18；(3)如图3，由旋转知，OP=OF，∵△BCE是等边三角形，∴∠CBE=∠BCE=60°∴∠OCP=∠FBO=120°，∠CPO＋∠COP=60°，∵∠POF=120°，∴∠COP＋∠BOF=60°，∴∠CPO=∠BOF，在△BOF和△PCO中∠OBF=∠PCO=120°,∠BOF=∠CPO，OF=OP∴△BOF≌△PCO，∴CP=OB，∵EC=BC=4cm，OC=3cm，∴OB=BC-OC=1，∴CP=1，∴EP=CE＋CP=5，∴点P运动的时间t=5÷2=2.5秒．【点睛】本题难道角度特别是需要作辅助线，要明确本题考点几何的综合变换，结合全等三角形及辅助线技巧，大胆猜想，小心求证．。
初二数学培优专题 (1)——共点“手拉手”模型(又称旋转“一拖二”模型)(答案详解)
共点手拉手模型（又称旋转“一拖二”模型）——兼谈最值、轨迹问题特点——公共点是等腰三角形顶角的顶点如图，若连接BB’、CC’，易证明△ABB’≌△ACC’（SAS）。
这就是传说中的“旋转一拖二”，又称为“手拉手模型”。
典型问题：【例1】（成都高新区2017-2018八年级上期27题）【例2】（成都金牛区2017-2018八年上期27题）如图，在△ABC中,∠B=45°，AB=22，2=BC，等腰直角∆ADE中，∠DAE=90°，2+3且点D是边BC上一点。
(1)（3 分）求AC的长；(2)（4 分）如图1，当点E恰在AC上时,求点E到BC的距离；(3)（3 分）如图2, 当点D从点B向点C运动时，求点E到BC的距离的最大值。
图1【例3】（2017届初二上期七中联盟半期）已知：ABC △是等腰直角三角形，动点P 在斜边AB 所在的直线上，以PC 为直角边作等腰直角三角形PCQ ，其中90PCQ =∠，探究并解决下列问题：（1）如图①，若点P 在线段AB上，且AC =，12PA =，则： ①线段PB =________，PC =________；②猜想：222,,PQ PA PB 三者之间的数量关系为_______________________；（2）如图②，若点P 在AB 的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程； （3）若动点P 满足4PA PB =,求PQAC的值．（提示：请利用备用图进行探求）图① 图② 备用图QCBPAQCB ACBA【例4】如图,已知30MON ∠=︒ ,B 为OM 上一点,BA ON ⊥ 于A ,四边形ABCD 为正方形,P 为射线BM 上一动点,连结CP ,将CP 绕点C 顺时针方向旋转90︒ 得CE ,连结BE ,若 4AB = ,则BE 的最小值为【例5】（成都武侯区2016-2017八年上期27题）如图，已知直线x y =过点A ，y AB ⊥轴于点B ，x AC ⊥轴于点C ，点P 是y 轴上的一动点，连接AP 交直线BC 于点E .点N 在直线BC 上，连接AN 且︒=∠90PAN ，在射线AN 上截取AE AD =，连接DE .（1）求证：2222AE EC BE =+；（2）若点A 的坐标是（6，m ），点P 的坐标是（0，m 32），求线段AD 的长； （3）当31=EC BE 时，求BPDE的值.27题【例6】（成都青羊区2016-2017八上期27题）在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，AC=BC ，D 为AB 上一点，连结CD ，将CD 绕C 点逆时针旋转90︒至CE ，连结DE ，过C 作CF ⊥DE 交AB 于F ，连结BE.（1）求证：AD=BE ；（2）求证：222AD BF DF +=； （3）若15ACD ∠=︒，1CD =+，求BF.【例7】（1）问题发现：如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，当△DCE 旋转至点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE ，易证△BCE ≌△ACD ．则 ①∠BEC ＝；②线段AD 、BE 之间的数量关系是 ． （2）拓展研究：如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，且∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点A 、D 、E 在同一直线上，若AE ＝15，DE ＝7，求AB 的长度．（3）探究发现：如图3，P 为等边△ABC 内一点，且∠APC ＝150°，且∠APD ＝30°，AP ＝5，CP ＝4，DP ＝8，求BD 的长．E答案典型问题：【例1】（2017-2018上期成都高新区27题）解：（1）∵∠BAC=∠DAE=︒90 ∴∠BAD=∠CAE∵AB=AC ，AD=AE ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）（2）取AB 的中点G ，连接DG（I ）∵∠BAC=∠DAE=︒120且点D是边BC上一点。
初二数学图形的对称平移与旋转试题
初二数学图形的对称平移与旋转试题1.如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-2，3）、B（-6，0）、C（-1，0）．（1）画出△ABC，关于原点对称的三角形△A′B′C′；（2）将三角形A、B、C绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．【答案】（1）画图见解析；（2）作图见解析；（3）D（-7，3）或（-5，-3）或（3，3）．【解析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于原点对称的点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可；（2）根据网格结构找出点A、B、C绕坐标原点O逆时针旋转90°的对应点的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点B的对应点的坐标；（3）分AB、BC、AC是平行四边形的对角线三种情况解答．试题解析：（1）△A′B′C′如图所示；（2）如图所示，点B的对应点的坐标为（0，-6）；（3）D（-7，3）或（-5，-3）或（3，3）．【考点】1.作图-旋转变换；2.平行四边形的性质．2.如图是香港特别行政区的区徽，区徽中的紫荆花图形围绕自己的旋转中心，按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（）A．72°B．108°C．144°D．216°【答案】B．【解析】该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而A、C、D都正确，不能与其自身重合的是B．故选B．【考点】旋转对称图形．3.在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．因此，A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误．故选C．【考点】轴对称图形和中心对称图形.4.如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（-2，-1），B（-3，-3），C（-1，-3）, （1）、画出△ABC向右平移三个单位的对应图形△,并写出的坐标；（2）、画出△ABC关于原点O对称的△，并写出的坐标；【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析.【解析】（1）根据轴对称的性质找到A、B、C三点对称点，顺次连接可得△A1B1C1，结合直角坐标系可得点A1的坐标．（2）根据中心对称的性质找到A、B、C三点对称点，顺次连接可得△A2B2C2，结合直角坐标系可得点A2的坐标．试题解析：（1）所作图形如下：点A1的坐标为（-2，1）；（2）所作图形如下：点A2的坐标为（2，1）．考点: 1.作图-旋转变换；2.作图-轴对称变换.5.在以下四个图形中,对称轴条数最多的一个图形是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题,A选项有两条对称轴,B选项有四条对称轴,C选项不是轴对称图形,无对称轴,D选项有一条对称轴,故选B.轴对称图形的定义是图形按照某条直线对折后,图形重合,这条直线叫做图形的对称轴,由题,A选项有两条对称轴,B选项有四条对称轴,C选项不是轴对称图形,无对称轴,D选项有一条对称轴,故选B.【考点】对称轴.6.如图，A、B表示两个村庄，直线X表示高速公路，已知AB=50km,A、B到直线X的距离分别为10km和40km,要在高速公路旁修建一出口P.小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图(AP与直线X垂直，垂足为P),P到A、B的距离之和S1=PA+PB；图（2）是方案二的示意图(点A关于直线X的对称点是A'，连接BA'交直线X于点P),P到A、B的距离之和S2=PA+PB.(1)求S1、S2,并比较它们的大小.(2)请你说明S2=PA+PB的值为最小.(3)拟建的另一高速公路Y与高速公路X垂直，建立如图所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km,请你在X旁和Y旁各修建一出口P、Q,使P、A、B、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.【答案】（1）﹥(2) S2=BA'为最小(3) 四边形的周长为【解析】解:⑴图10（1）中过B作BC⊥AP,垂足为C,则PC=40,又AP="10,"∴AC=30在Rt△ABC 中，AB="50" AC=30 ∴BC=40∴ BP=S1=图10（2）中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C=50，又BC=40∴BA'=由轴对称知：PA=PA'∴S2=BA'=∴﹥(2)如图10（2），在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA'，由轴对称知MA=MA'∴MB+MA=MB+MA'﹥A'B∴S2=BA'为最小（3）过A作关于X轴的对称点A', 过B作关于Y轴的对称点B'，连接A'B',交X轴于点P, 交Y轴于点Q,则P,Q即为所求过A'、 B'分别作X轴、Y轴的平行线交于点G,A'B'=∴所求四边形的周长为【考点】三角形性质与轴对称等等点评：本题难度中等，主要考查学生学习了三角形即多边形等几何知识后综合运用能力。
初二数学 全等三角形旋转模型练习题附解析(1)
初二数学 全等三角形旋转模型练习题附解析(1)一、全等三角形旋转模型1．ABC △和ADE 都是等腰直角三角形，CE 与BD 相交于点,M BD 交AC 于点,N CE 交AD 于点H .试确定线段BD CE 、的关系.并说明理由.解析：BD CE ⊥且BD CE =【分析】由已知条件可证明BAD CAE ≅△△，再根据全等三角形的性质，得到BD CE ∴= ADB AEC ∠=∠，在AEH △中90AEC AHE ∠+∠=︒，又AHE MHD ∠=∠，可得：90HMD ∠=︒，即可证明BD CE ⊥且BD CE =.【详解】解： ABC 和ADE 是直角三角形BAC DAE ∴∠=∠AB AC =AD AE =则BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠即BAD CAE ∠=∠在BAD 与CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩S )AS BAD CAE ∴≅（△△BD CE ∴= ADB AEC ∠=∠在AEH △中90AEC AHE ∠+∠=︒又AHE MHD ∠=∠90ADB MHD ∴∠+∠=︒则MHD 中90HMD ∠=︒，即，BD CE ⊥，综上所述，BD CE ⊥且BD CE =.【点睛】本题主要考查三角形全等的判定方法和性质定理和等腰直角三角形的性质，从复杂的图形中找到全等三角形和“8”字形三角形是解题的关键.2．发现规律：（1）如图①，ABC 与ADE 都是等边三角形，直线,BD CE 交于点F ．直线BD ，AC 交于点H ．求BFC ∠的度数（2）已知：ABC 与ADE 的位置如图②所示，直线,BD CE 交于点F ．直线BD ，AC 交于点H ．若ABC ADE α∠=∠=，ACB AED β∠=∠=，求BFC ∠的度数 应用结论：（3）如图③，在平面直角坐标系中，点O 的坐标为(0,0)，点M 的坐标为(3,0)，N 为y 轴上一动点，连接MN ．将线段MN 绕点M 逆时针旋转60得到线段MK ，连接NK ，OK ，求线段OK 长度的最小值答案：A解析：（1）BFC ∠的度数为60︒；（2）BFC ∠的度数为180αβ︒--；（3）线段OK 长度的最小值为32【分析】（1）通过证明BAD CAE ≅△△可得ABD ACE ∠=∠，再由三角形内角和定理进行求解即可；（2）通过证明ABC ADE 可得BAC DAE ∠=∠，AB AC AD AE=，可证ABD ACE ，可得ABD ACE ∠=∠，由外角性质可得BFC BAC ∠=∠，再有三角形内角和定理进行求解即可；（3）由旋转的性质可得MNK △是等边三角形，可得MK MN NK ==，60NMK NKM KNM ∠=∠=∠=︒，如图③将MOK 绕点M 顺时针旋转60︒，得到MQN △，连接OQ ，可得60OMQ ∠=︒，OK =NQ ，MO =MQ ，则当NQ 为最小值时，OK 有最小值，由垂线段最短可得当QN y ⊥轴时，NQ 有最小值，由直角三角形的性质即可求解．【详解】 （1）∵ABC 与ADE 是等边三角形∴AB=AC ，AD=AE ，60BAC DAE ABC ACB ∠=∠=∠=∠=︒∴BAD CAE ∠=∠∴()BAD CAE SAS ≅ ∴ABD ACE ∠=∠∵60ABD DBC ABC ∠+∠=∠=︒∴60ACE DBC ∠+∠=︒∴18060BFC DBC ACE ACB ∠=︒-∠-∠-∠=︒；（2）∵ABC ADE α∠=∠=，ACB AED β∠=∠=∴ABC ADE∴BAC DAE ∠=∠，AB AC AD AE= ∴BAD CAE ∠=∠，AB AD AC AE = ∴ABD ACE ∴ABD ACE ∠=∠ ∵BHC ABD BAC BFC ACE ∠=∠+∠=∠+∠ ∴BFC BAC ∠=∠ ∵180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=︒ ∴180BFC αβ∠++=︒∴180BFC αβ∠=︒--；（3）∵将线段MN 绕点M 逆时针旋转60︒得到线段MK∴MN MK =，60NMK ∠=︒∴MNK △是等边三角形∴MK MN NK ==，60NMK NKM KNM ∠=∠=∠=︒如下图，将MOK 绕点M 顺时针旋转60︒，得到MQN △，连接OQ∴MOK MQN ≅，60OMQ ∠=︒∴OK =NQ ，MO =MQ∴MOQ △是等边三角形∴60QOM ∠=︒∴30NOQ ∠=︒∵OK =NQ∴当NQ 为最小值时，OK 有最小值，由垂线段最短可得当QN y ⊥轴时，NQ 有最小值 ∵点M 的坐标为(3,0)∴3OM OQ ==∵QN y ⊥轴，30NOQ ∠=︒ ∴1322NQ OQ == ∴线段OK 长度的最小值为32． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是解决本题的关键．3．如图，点B ，C ，D 在同一条直线上，△BCF 和△ACD 都是等腰直角三角形，连接AB ，DF ，延长DF 交AB 于点E ．（1）如图1，若AD ＝BD ，DE 是∠ADB 的平分线，BC ＝1，求CD 的长度；（2）如图2，连接CE ，求证：DE 2CE ＋AE ；（3）如图3，改变△BCF 的大小，始终保持点在线段AC 上（点F 与点A ，C 不重合）．将ED 绕点E 顺时针旋转90°得到EP ，取AD 的中点O ，连接OP ．当AC ＝2时，直接写出OP 长度的最大值．解析：（1）21CD =+；（2）证明见解析；（3）22+．【分析】 （1）根据等腰直角三角形的性质，求出1FC BC ==，再判断出FA FB =，即可得出结论；（2）先判断出ABC DFC ≅△△，得出BAC CDF ∠=∠，进而判断出ACE DCH ≅△△，得出AE DH =，CE CH =，即可得出结论；（3）先判断出2OE OQ ==，再判断出OED QEP ≅△△，进而求出2PQ OD ==．即可得出结论．【详解】（1）解：BCF 和ACD △都是等腰直角三角形，AC CD ∴=，1FC BC ==，2FB =，AD BD =，DE 是ABD ∆的平分线，DE ∴垂直平分AB ，2FA FB ∴==，21AC FA FC ∴=+=+，21CD ∴=+；（2）证明：如图2，过点C 作CH CE ⊥交ED 于点H ，BCF 和ACD △都是等腰直角三角形，AC DC ∴=，FC BC =，90ACB DCF ∠=∠=︒；BAC CDF ∴∠=∠，90ECH ∠=︒，90ACE ACH ∴∠+∠=︒，90ACD ∠=︒，90DCH ACH ∴∠+∠=︒，ACE DCH ∴∠=∠．在ACE 和DCH 中，BAC CDF AC DCACE DCH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ACE DCH ASA ∴≅△△，AE DH ∴=，CE CH =， 2EH CE ∴=．2DE EH DH CE AE =+=+；（3）OP 的最大值是22+．解：如图3，连接OE ，将OE 绕点E 顺时针旋转90︒得到EQ ，连接OQ ，PQ ，则2OQ OE =．由（2）知，90AED ABC CDF ABC BAC ∠=∠+∠=∠+∠=︒，在Rt AED △中，点O 是斜边AD 的中点，122222OE OD AD AC ∴===== 2222OQ OE ∴===，在OED 和QEP △中，OE QE OED QEP DE PE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，2∴==．PQ OD+=+，当且仅当O、P、Q三点共线时，取“=”号，22OP OQ PQ∴的最大值是22OP+．【点睛】此题是几何变换综合题，主要等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．4．探究：（1）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若∠B＝28°，则∠ACD的度数是．拓展：（2）如图②，∠MCN＝90°，射线CP在∠MCN的内部，点A、B分别存CM、CN 上，分别过点A、B作AD⊥CP、BE⊥CP于点D、E，若AC＝CB，则AD、DE、BE三者间的数量关系为．请说明理由；应用：（3）如图③，点A、B分别在∠MCN的边CM、CN上，射线CP在∠MCN的内部，点D、E在射线CP上，连结AD、BE、AE，且使∠MCN＝∠ADP＝∠BEP．当AC＝BC 时，△≌△；此时如果CD＝2DE，且S△CBE＝6，则△ACE的面积是．答案：D解析：（1）28°（2）DE＝AD﹣BE；理由见解析（3）ACD；CBE；9【分析】（1）利用直角三角形的两锐角互余，即可得出结论；（2）利用同角的余角相等判断出∠CAD＝∠BCE，进而判断出△ACD≌△CBE，即可得出结论；（3）利用等式的性质判断出∠ADC＝∠CEB，进而判断出△ACD≌△CBE，得出S△ACD＝S△CBE，再求出S△ADE＝3，即可得出结论．【详解】解：探究：∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∵∠B＝28°，∴∠BCD＝90°﹣∠B＝68°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝28°，故答案为：28°；拓展：(2)∵∠MCN ＝90°，∴∠ACD+∠BCE ＝90°，∵AD ⊥CP ，BE ⊥CP ，∴∠ADC ＝∠BEC ＝90°，∴∠ACD+∠CAD ＝90°，∴∠CAD ＝∠BCE ，在△ACD 和△CBE 中，ADC CEB CAD BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴CD ＝BE ，AD ＝CE ，∴DE ＝CE ﹣CD ＝AD ﹣BE ，故答案为：DE ＝AD ﹣BE ；应用：(3)∵∠MCN ＝∠ACD+∠BCD ，∠MCN ＝∠ADP ，∴∠ADP ＝∠ACD+∠BCD ，∵∠ADP ＝∠ACD+∠CAD ，∴∠CAD ＝∠BCE ，∵∠ADP ＝∠BEP ，∴∠ADC ＝∠CEB ，在△ACD 和△CBE 中，ADC CEB CAD BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴S △ACD ＝S △CBE ，∵S △CBE ＝6，∴S △ACD ＝6，∵CD ＝2DE ，∴S △ACD ＝2S △ADE ，∴S △ADE ＝12S △ACD ＝3， ∴S △ACE ＝S △ACD +S △ADE ＝9，故答案为：ACD ，CBE ，9．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质，同角的余角相等，等式的性质，全等三角形的判定和性质，判断出△ACD ≌△CBE 是解本题的关键．5．如图，直线y ＝﹣x +c 与x 轴交于点B （3，0），与y 轴交于点C ，过点B ，C 的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为A．（1）求抛物线的解析式和点A的坐标；（2）P是直线BC上方抛物线上一动点，PA交BC于D．设t＝PDAD，请求出t的最大值和此时点P的坐标；（3）M是x轴上一动点，连接MC，将MC绕点M逆时针旋转90°得线段ME，若点E恰好落在抛物线上，请直接写出此时点M的坐标．答案：A解析：（1）y＝﹣x2+2x+3，A（﹣1，0）；（2）t的最大值为916，此时P（32，154）；（3）M 933-，0933+0）．【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可；（2）连接AC，PC，PB，过点A作AE⊥BC于E，过等P作PF⊥BC于F．设P（m，﹣m2+2m+3）．利用相似三角形的性质构建二次函数解决问题即可；（3）过点E作EH⊥x轴于H．设M（m，0），利用全等三角形的性质求出点E的坐标（用m表示），再利用待定系数法解决问题即可．【详解】解：（1）∵直线y＝﹣x+c与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点C，∴0＝﹣3+c，解得c＝3，∴C（0，3），∵抛物线经过B，C，∴9303b cc-++=⎧⎨=⎩，解得23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，得到﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0）；（2）如图，连接AC，PC，PB，过点A作AE⊥BC于E，过点P作PF⊥BC于F．设P（m，﹣m2+2m+3）．∵AE∥PF，∴△PFD∽△AED，∴PDAD ＝PFAE，∵S△PBC＝12•BC•PF，S△ACB＝12•BC•AE，∴PDAD ＝PBCABCSS∆∆，∵S△ABC＝12•AB•OC＝12×4×3＝6，∴t＝PDAD ＝6PBCS∆＝211133(23)332226m m m⨯⨯+⨯⨯-++-⨯⨯＝﹣14m2+34m＝﹣14（m﹣32）2+916，∵﹣14＜0，∴m＝32时，t有最大值，最大值为916，此时P（32，154）；（3）如图，过点E作EH⊥x轴于H，∵∠COM＝∠EHM＝∠CME＝90°，∴∠EMH+∠CMH＝90°，∠EMH+∠MEH＝90°，∴∠MEH ＝∠CMO ，∵MC ＝ME ，∴△COM ≌△MHE （AAS ），∴OC ＝MH ＝3，OM ＝EH ，设M （m ，0），则E （m ﹣3，﹣m ），把E （m ﹣3，﹣m ）代入y ＝﹣x 2+2x +3，可得﹣（m ﹣3）2+2（m ﹣3）+3＝﹣m ， 整理得，m 2﹣9m +12＝0，解得m ＝9332-或9332+， ∴M （9332-，0）或（9332+，0）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，解题的关键是利用数形结合的思想，在二次函数图象上构造全等三角形或相似三角形，利用几何的性质进行点坐标的求解．6．已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝α，直线l 经过点A （不经过点B 或点C ），点C 关于直线l 的对称点为点D ，连接CD ，BD ， AD ．（1）如图1，①填空：∠ABD ∠ADB （填 >，=，<号）．②求∠BDC 的度数（用含α的式子表示）．（2）如图2，当α＝60°时，过点D 作BD 的垂线与直线l 交于点E ，求证：AE ＝BD ； （3）如图3，当α＝90°时，在直线l 绕点A 旋转过程中，记直线l 与CD 的交点为F ． ①若点M 为AC 的中点，连接MF ， MF 的长是否会发生变化？若不变，求出MF 的长；若会发生变化，说明理由；②连接BF ，当线段BF 的长取得最大值时，求tan ∠FBC 的值．答案：B解析：（1）①=；②∠BDC ＝12α；（2）详见解析；（3）①MF 的长在直线l 绕点A 旋转过程中，不会发生变化，MF=1；②13【分析】（1）①根据点C 关于直线l 的对称点为点D ，得到AD ＝AC ，且AB ＝AC ，则AD ＝AB ＝AC ，可得∠ADB ＝∠ABD ；②连接DA ，并延长DA 交BC 于点M ，由①可知AD ＝AB ＝AC ，则有∠ADB ＝∠ABD ，∠ADC ＝∠ACD ，可以得到∠BAM ＝2∠ADB ，∠MAC ＝2∠ADC ，利用∠BAC ＝∠BAM +∠MAC ，可得12BDC ＝， （2）连接CE ，根据∠BAC ＝60°，AB ＝AC ，得到△ABC 是等边三角形，则有BC ＝AC ，∠ACB ＝60°，根据12BDC ＝，可知∠BDC ＝30°，则有∠CDE ＝60°，易证△CDE 是等边三角形，可以得出△BCD ≌△ACE （SAS ），则有BD ＝AE ；（3）①根据∠AFC =90°，M 为AC 的中点，得到 MF =12AC =122⨯=1，则可知MF 的长在直线l 绕点A 旋转过程中，不会发生变化，②连接MB ，根据在△BMF 中，BM MF BC ，可知当点M ，点B ，点F 三点共线时，BF 最长，过点M 作MH ⊥BC ，根据∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，可得BC ＝2AC ，∠ACB ＝45°，且MH ⊥BC ，则有∠CMH ＝∠HCM ＝45°，可得出MC ＝2HC ，根据点M 是AC 中点，得到AC ＝22HC ，∴BC ＝2AC =4HC ，则可求出BH ＝BC ﹣HC ＝3HC ，利用tan ∠FBC ＝3MH HC BH HC=可得出结果． 【详解】解：（1）①ABD ADB ∠=∠．∵点C 关于直线l 的对称点为点D ，∴AD ＝AC ，且AB ＝AC ，∴AD ＝AB ＝AC ，∴∠ADB ＝∠ABD ．②如图1，连接DA ，并延长DA 交BC 于点M ，∵AD ＝AB ＝AC,∴∠ADB ＝∠ABD ，∠ADC ＝∠ACD ．∵∠BAM ＝∠ADB +∠ABD ，∠MAC ＝∠ADC +∠ACD ，∴∠BAM ＝2∠ADB ，∠MAC ＝2∠ADC ，∴∠BAC ＝∠BAM +∠MAC ＝2∠ADB +2∠ADC ＝2∠BDC ＝α ．∴12BDC ＝．（2）如图3，连接CE ，∵∠BAC＝60°，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝60°，∵12BDC＝，∴∠BDC＝30°，∵BD⊥DE，∴∠CDE＝60°．∵点C关于直线l的对称点为点D，∴DE＝CE，且∠CDE＝60°．∴△CDE是等边三角形．∴CD＝CE＝DE，∠DCE＝60°＝∠ACB，∴∠BCD＝∠ACE，且AC＝BC，CD＝CE，∴△BCD≌△ACE（SAS）．∴BD＝AE ．（3）①如图4，因为∠AFC=90°，M为AC的中点，∴ MF= 12AC=122=1．∴MF的长在直线l绕点A旋转过程中，不会发生变化．②法一：如图5，连接MB，∵在△BMF 中，BM +MF ≥BC∴当点M ，点B ，点F 三点共线时，BF 最长，如图6，过点M 作MH ⊥BC ，∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴BC ＝2AC ，∠ACB ＝45°，且MH ⊥BC ，∴∠CMH ＝∠HCM ＝45°，∴MH ＝HC ，∴MC ＝2HC ，∵点M 是AC 中点，∴AC ＝22HC ，∴BC ＝2AC =4HC ．∴BH ＝BC ﹣HC ＝3HC ．∴tan ∠FBC ＝3MH HC BH HC ＝13． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键． 7．（1）问题感知 如图1，在△ABC 中，∠C ＝90°，且AC ＝BC ，点P 是边AC 的中点，连接BP ，将线段PB 绕点P 顺时针旋转90°到线段PD ．连接AD ．过点P 作PE ∥AB 交BC 于点E ，则图中与△BEP 全等的三角形是 ，∠BAD ＝ °；（2）问题拓展 如图2，在△ABC 中，AC ＝BC ＝43AB ，点P 是CA 延长线上一点，连接BP ，将线段PB 绕点P 顺时针旋转到线段PD ，使得∠BPD ＝∠C ，连接AD ，则线段CP 与AD 之间存在的数量关系为CP ＝43AD ，请给予证明； （3）问题解决 如图3，在△ABC 中，AC ＝BC ＝AB ＝2，点P 在直线AC 上，且∠APB ＝30°，将线段PB 绕点P 顺时针旋转60°到线段PD ，连接AD ，请直接写出△ADP 的周长．答案：A解析：（1）△PAD ，90；（2）证明见解析；（3）623+．【分析】（1）由“SAS”可证△PAD ≌△BEP ，可得∠PAD=∠BEP=135°，依据∠ABC=45°，可得∠BAD=90°；（2）过点P 作PH ∥AB ，交CB 的延长线于点H ，由“SAS”可证△APD ≌△HBP ，可得PH=AD ，通过证明△CAB ∽△CPH ，可得HAC AB CP P =，即可得结论； （3）分两种情况讨论，由直角三角形的性质和相似三角形的性质可求解．【详解】证明：（1）∵点P 是边AC 的中点，PE ∥AB ，∴点E 是BC 的中点，∴CE ＝BE ，∵AC ＝BC ，∴BE ＝AP ，∵将线段PB 绕点P 顺时针旋转90°到线段PD ．∴PB ＝PD ，∵∠APD+∠BPC ＝90°，∠EBP +∠BPC ＝90°，∴∠EBP ＝∠APD ，又∵PB ＝PD ，∴△PAD ≌△BEP （SAS ），∴∠PAD ＝∠BEP ，∵∠C ＝90°，AC ＝BC ，∴∠BAC ＝∠ABC ＝45°，∵PE ∥AB ，∴∠ABC ＝∠PEC ＝45°，∴∠BEP ＝135°，∴∠BAD ＝∠PAD ﹣∠BAC ＝135°﹣45°＝90°，故答案为：△PAD ，90；（2）如图，过点P 作PH ∥AB ，交CB 的延长线于点H ，∴∠CBA ＝∠CHP ，∠CAB ＝∠CPH ，∵CB ＝CA ，∴∠CBA ＝∠CAB ，∴∠CHP ＝∠CPH ，∴BH ＝AP ，∵将线段PB 绕点P 顺时针旋转90°到线段PD ．∴PB ＝PD ，∵∠BPD ＝∠C ，∴∠BPD+∠BPC ＝∠C+∠BPC ，∴∠PBH ＝∠APD ，∴△APD ≌△HBP （SAS ），∴PH ＝AD ，∵PH ∥AB ，∴△CAB ∽△CPH ， ∴H AC PC AB P = ∴HAC AB CP P = ∵AC ＝BC ＝43AB ， ∴43CP PH =， ∴CP ＝43PH ＝43AD ； （3）当点P 在CA 的延长线上时，∵AC ＝BC ＝AB ＝2，∴△ABC 是等边三角形，∴∠ACB ＝60°，∵将线段PB 绕点P 顺时针旋转60°到线段PD ，∴BP ＝PD ，∠BPD ＝60°＝∠ACB ，过点P 作PE ∥AB ，交CB 的延长线于点E ，∵∠ACB ＝∠APB+∠ABP ，∴∠ABP ＝∠APB ＝30°，∴AB ＝AP ＝2，∴CP ＝4，∴P AB PE CA C = ∴CP ＝PE ＝4，由（2）得，PE ＝AD ＝4，∵∠APD ＝∠APB+BPD ＝90°，∴DP ＝2216423AD DP -=-=，∴△ADP 的周长＝AD+AP+DP ＝23+6，当点P 在AC 延长线上时，如图，同理可求△ADP 的周长＝6+23，综上所述：△ADP 的周长为6+23．【点睛】本题几何变换综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形或相似三角形，利用全等三角形的对应边相等，相似三角形的对应边成比例进行推算． 8．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 与x 轴交于A ，B 两点，其中A （3，0），B （﹣1，0），与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，直线y ＝kx+b 1经过点A ，C ，连接CD ． （1）求抛物线和直线AC 的解析式：（2）若抛物线上存在一点P ，使△ACP 的面积是△ACD 面积的2倍，求点P 的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q ，使线段AQ 绕Q 点顺时针旋转90°得到线段QA 1，且A 1好落在抛物线上？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．答案：A解析：（1）2y x 2x 3=-++；3y x =-+ ；（2）（﹣1，0）或（4，﹣5）；（3）存在；（1，2）和（1，﹣3）【分析】（1）将点A ，B 坐标代入抛物线解析式中，求出b ，c 得出抛物线的解析式，进而求出点C 的坐标，再将点A ，C 坐标代入直线AC 的解析式中，即可得出结论；（2）利用抛物线的对称性得出BD ＝AD ，进而判断出△ABC 的面积和△ACP 的面积相等，即可得出结论；（3）分点Q 在x 轴上方和在x 轴下方，构造全等三角形即可得出结论．【详解】解：（1）把A （3，0），B （﹣1，0）代入y ＝﹣x 2+bc+c 中，得93010b c b c -++=⎧⎨--+=⎩， ∴23b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x+3，当x ＝0时，y ＝3，∴点C 的坐标是（0，3），把A （3，0）和C （0，3）代入y ＝kx+b 1中，得11303k b b +=⎧⎨=⎩， ∴113k b =-⎧⎨=⎩ ∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x+3；（2）如图，连接BC ，∵点D 是抛物线与x 轴的交点，∴AD ＝BD ，∴S △ABC ＝2S △ACD ，∵S △ACP ＝2S △ACD ，∴S △ACP ＝S △ABC ，此时，点P 与点B 重合，即：P （﹣1，0），过B 点作PB ∥AC 交抛物线于点P ，则直线BP 的解析式为y ＝﹣x ﹣1①，∵抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x+3②，联立①②解得，10x y =-⎧⎨=⎩或45x y =⎧⎨=-⎩， ∴P （4，﹣5），∴即点P 的坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）；（3）如图，①当点Q在x轴上方时，设AC与对称轴交点为Q'，由（1）知，直线AC的解析式为y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝2，∴Q'坐标为（1，2），∵Q'D＝AD＝BD＝2，∴∠Q'AB＝∠Q'BA＝45°，∴∠AQ'B＝90°，∴点Q'为所求，②当点Q在x轴下方时，设点Q（1，m），过点A1'作A1'E⊥DQ于E，∴∠A1'EQ＝∠QDA＝90°，∴∠DAQ+∠AQD＝90°，由旋转知，AQ＝A1'Q，∠AQA1'＝90°，∴∠AQD+∠A1'QE＝90°，∴∠DAQ＝∠A1'QE，∴△ADQ≌△QEA1'（AAS），∴AD＝QE＝2，DQ＝A1'E＝﹣m，∴点A1'的坐标为（﹣m+1，m﹣2），代入y＝﹣x2+2x+3中，解得，m＝﹣3或m＝2（舍），∴Q的坐标为（1，﹣3），∴点Q的坐标为（1，2）和（1，﹣3）．【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及解析式的求解，与三角形面积有关的问题，三角形“k”字型全等，解题的关键是利用数形结合的思想，设点坐标并结合几何图形的性质列式求解．9．如图，△ABC和△CEF中，∠BAC＝∠CEF＝90°，AB＝AC，EC＝EF，点E在AC边上．（1）如图1，连接BE，若AE＝3，BE＝58，求FC的长度；（2）如图2，将△CEF绕点C逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），旋转过程中，直线EF分别与直线AC，BC交于点M，N，当△CMN是等腰三角形时，求旋转角α的度数；（3）如图3，将△CEF绕点C顺时针旋转，使得点B，E，F在同一条直线上，点P为BF 的中点，连接AE，猜想AE，CF和BP之间的数量关系并说明理由．答案：C解析：（1）422）22.5°或45°或112.5°；（3）CF＋AE2BP，见解析【分析】（1）利用勾股定理求出AB＝AC＝7，求出EC＝EF＝4即可解决问题；（2）分三种情形分别画出图形，利用等腰三角形的性质求解即可；（3）结论：CF＋AE2BP．如图3中，过点A作AD⊥AE，利用全等三角形的性质以及等腰直角三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）如图1中，在Rt △ABE 中，AB ＝()2222583497-=-==BF AE ，∴AC ＝AB ＝7，∴EF ＝EC ＝AC ﹣AE ＝7﹣3＝4， ∵∠CEF ＝90°，EC ＝EF ＝3，∴CF ＝22224442+=+=EF CE ； （2）①如图2﹣1中，当CM ＝CN 时， α＝∠MCE ＝∠ECN ＝12∠ACB ＝22.5°．如图2﹣2中，当NM ＝NC 时，α＝∠MCN ＝45°．如图2﹣3中，当CN ＝CM 时， ∠NCE ＝12∠BCM ＝67.5°，α＝∠ACE ＝45°＋67.5°＝112.5°．综上所述，满足条件的α的值为22.5°或45°或112.5°．（3）结论：CF＋AE＝2BP．理由：如图3中，过点A作AD⊥AE，∴∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵∠BAC＝∠BEC＝90°，∴∠ABP＝∠ACE，∵AB＝AC，∴△ABD≌△ACE（ASA），∴BD＝EC＝EF，AD＝AE，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE2AE，∵P是BF的中点，∴BP＝12BF，∵BP＝12BF＝12（2EF＋DE），CF2EF，DE2AE，∴BP＝122CF2AE），∴CF＋AE2．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．10．阅读下面材料：小炎遇到这样一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，连结EF，则EF=BE+DF，试说明理由．小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足_ 关系时，仍有EF=BE+DF；（2）如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1， EC=2，求DE的长．答案：B解析：（1）∠B+∠D=180°（或互补）；（2）∴5DE【解析】试题分析：(1)如图，△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，利用全等的知识可知，要使EF=BE+DF，即EF=DG+DF，即要F、D、G三点共线，即∠ADG+∠ADF=180°，即∠B+∠D=180°．(2) 把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合，通过证明△AEG≌△AED 得到DE=EG，由勾股定理即可求得DE的长．(1)∠B+∠D=180°（或互补）．(2)∵ AB=AC，∴把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合．则∠B=∠ACG，BD=CG，AD=AG．∵在△ABC中，∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°于，即∠ECG=90°．∴ EC2+CG2=EG2．在△AEG与△AED中,∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°-∠EAD=45°=∠EAD．又∵AD=AG，AE=AE，∴△AEG≌△AED ．∴DE=EG．又∵CG=BD,∴ BD2+EC2=DE2．∴5DE ．考点：1．面动旋转问题；2．全等三角形的判定和性质；3．勾股定理．11．如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连结DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是________，位置关系是__________；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连结MN，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若DE＝2，BC＝4，请直接写出△PMN面积的最大值．答案：C解析：（1）PM=PN，PM⊥PN，理由见详解；（2）△PMN是等腰直角三角形，理由见详解；（3）△PMN面积的最大值是94．【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM=12CE，PN=12BD，进而判断出BD=CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM=∠DCA，最后用互余即可得出结论；（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，同（1）的方法得出PM=12BD，PN=12BD，即可得出PM=PN，同（1）的方法即可得出结论；（3）先判断出BD最大时，△PMN的面积最大，而BD最大是AB+AD=14，即可得出结论．【详解】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，∴PN∥BD，PN=12BD，∵点P，M是CD，DE的中点，∴PM∥CE，PM=12CE，∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE，∴PM=PN，∵PN∥BD，∴∠DPN=∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM=∠DCA，∵∠BAC=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，∴PM⊥PN；故答案为：PM=PN，PM⊥PN；（2）△PMN 是等腰直角三角形； 理由：由旋转知，∠BAD=∠CAE ， ∵AB=AC ，AD=AE ， ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）， ∴∠ABD=∠ACE ，BD=CE ，同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN=12BD ，PM=12CE ， ∴PM=PN ，∴△PMN 是等腰三角形， 同（1）的方法得，PM ∥CE ， ∴∠DPM=∠DCE ，同（1）的方法得，PN ∥BD ， ∴∠PNC=∠DBC ，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC ， ∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC =∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC =∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC ， ∵∠BAC=90°， ∴∠ACB+∠ABC=90°， ∴∠MPN=90°，∴△PMN 是等腰直角三角形；（3）由（2）知，△PMN 是等腰直角三角形，PM=PN=12BD ， ∴PM 最大时，△PMN 面积最大，即：BD 最大时，△PMN 面积最大， ∴点D 在BA 的延长线上， ∵DE ＝2，BC ＝4，∴2AD ==4AB == ∴BD=AB+AD=∴PM=2，∴S △PMN 最大=12PM 2=219(224⨯=； 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质，解（1）的关键是判断出PM=12CE ，PN=12BD ，解（2）的关键是判断出△ABD ≌△ACE ，解（3）的关键是判断出BD 最大时，△PMN的面积最大，是一道中考常考题．12．如图，△ABC中，O是△ABC内一点，AO平分∠BAC，连OB，OC．（1）如图1，若∠ACB＝2∠ABC，BO平分∠ABC，AC＝5，OC＝3，则AB＝；（2）如图2，若∠CBO+∠ACO＝∠BAC＝60°，求证：BO平分∠ABC；（3）如图3，在（2）的条件下，若BC＝3B绕点O逆时针旋转60°得点D，直接写出CD的最小值为．答案：A解析：（1）8；（2）见解析；（3）33【分析】（1）先补充证明角平分线的性质定理：如图，△ABC中，AD是角平分线，则：BD DC＝AB AC ．如图1中，延长CO交AB于E，由OA平分∠EAC，推出AEAC＝OEOC，推出AEEO＝AC OC ＝53，设AE＝5k，OE＝3k，利用相似三角形的性质构建方程求出k即可解决问题．（2）如图2中，过点O作EF⊥OA交AB于E，交AC于F，作CG∥EF交AB于G，连接OG．证明△AGO≌△ACO（SAS），推出OG＝OC，推出∠OGC＝∠OCG，证明O，G，B，C 四点共圆，可得结论．（3）如图3中，以BC为边向上作等边△BCH，连接OH，作HM⊥BC于M．证明△HBO≌△CBD（SAS），推出OH＝CD，由（2）可知∠BOC＝120°，推出当点O落在HM 上时，OH的值最小．【详解】解：（1）先补充证明角平分线的性质定理：如图，△ABC中，AD是角平分线，则：BD DC＝AB AC．理由：过C作CE∥DA，交BA的延长线于E，∵CE∥DA，∴∠1＝∠E，∠2＝∠3，∠1＝∠2，∴∠E＝∠3，∴AE＝AC，∵BDDC ＝BAAE，∴BDDC ＝ABAC．如图1中，延长CO交AB于E，∵OA平分∠EAC，∴AEAC＝OEOC，∴AEEO ＝ACOC＝53，设AE＝5k，OE＝3k，∵OB平分∠ABC，∴OC平分∠ACB，∵∠ACB＝2∠ABC，∴∠BCE＝12∠ACB＝∠EBC，∴EB＝EC＝3k+3，∵∠ACE＝∠ABC，∠CAE＝∠BAC，∴△ACE∽△ABC，∴ACAB ＝AEAC，∴5533k k ＝55k，解得k＝58或﹣1（舍弃），∴AB＝8k+3＝8．故答案为：8．（2）如图2中，过点O作EF⊥OA交AB于E，交AC于F，作CG∥EF交AB于G，连接OG．∵AO平分∠AEF，∴∠OAE＝∠OAF，∵AO＝AO，∠AOE＝∠AOF＝90°，∴△AOE≌△AOF（ASA），∴AE＝AF，∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠FOC+∠FCO，∵∠OBC+∠FCO＝60°，∴∠FOC＝∠OBC，∵EF∥CG，∴∠AGC＝∠AEF＝60°，∠ACG＝∠AFE＝60°，∴∠AGC＝∠ACG，∴AG＝AC，∵∠GAO＝∠CAO，AO＝AO，∴△AGO≌△ACO（SAS），∴OG＝OC，∴∠OGC＝∠OCG，∵∠FOC＝∠OCG，∴∠OBC＝∠OGC，∴O，G，B，C四点共圆，∴∠ABO＝∠OCG，∴∠ABO＝∠OBC，∴OB平分ABC．（3）如图3中，以BC为边向上作等边△BCH，连接OH，作HM⊥BC于M．∵△OBD，△BCH都是等边三角形，∴∠HBC＝∠OBD＝60°，BH＝BC，BO＝BD，∴∠HBO＝∠CBD，∴△HBO≌△CBD（SAS），∴OH＝CD，由（2）可知∠BOC＝120°，∴当点O落在HM上时，OH的值最小，此时OH＝HM﹣OM＝3﹣3，∴CD的最小值为3﹣3．故答案为：3﹣3．【点睛】本题主要考查角平分线、三角形相似的判定和性质、三角形全等的判定和性质、等边三角形等相关知识点，解题关键在于作出辅助线构造相应图形．13．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．解析：（1）PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S△PMN最大＝492．【分析】（1）由已知易得BD CE =，利用三角形的中位线得出12PM CE =，12PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠，最后用互余即可得出位置关系；（2）先判断出ABD ACE ∆≅∆，得出BD CE =，同（1）的方法得出12PM BD =，12PN BD =，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论；（3）方法1：先判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大AM AN =+，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD 最大时，PMN ∆的面积最大，而BD 最大是14AB AD +=，即可得出结论．【详解】解：（1）点P ，N 是BC ，CD 的中点，//PN BD ∴，12PN BD =， 点P ，M 是CD ，DE 的中点， //PM CE ∴，12PM CE =， AB AC =，AD AE =，BD CE ∴=，PM PN ∴=，//PN BD ，DPN ADC ∴∠=∠，//PM CE ，DPM DCA ∴∠=∠，90BAC ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒，90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，PM PN ∴⊥，故答案为：PM PN =，PM PN ⊥；（2）PMN ∆是等腰直角三角形．由旋转知，BAD CAE ∠=∠，AB AC =，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，ABD ACE ∴∠=∠，BD CE =， 利用三角形的中位线得，12PN BD =，12PM CE =， PM PN ∴=，PMN ∴∆是等腰三角形，同（1）的方法得，//PM CE ，DPM DCE ∴∠=∠，同（1）的方法得，//PN BD ，PNC DBC ∴∠=∠，DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠，90BAC ∠=︒，90ACB ABC ∴∠+∠=︒，90MPN ∴∠=︒，PMN ∴∆是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN ∆是等腰直角三角形，MN ∴最大时，PMN ∆的面积最大，//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面，MN ∴最大AM AN =+，连接AM ，AN ，在ADE ∆中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒，22AM ∴=在Rt ABC ∆中，10AB AC ==，52AN =22522MN ∴=最大，222111149(72)22242PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大． 方法2：由（2）知，PMN ∆是等腰直角三角形，12PM PN BD ==， PM ∴最大时，PMN ∆面积最大，∴点D 在BA 的延长线上，14BD AB AD ∴=+=，7PM ∴=，2211497222PMN S PM ∆∴==⨯=最大．【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出12PM CE =，12PN BD =，解（2）的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆，解（3）的关键是判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大．14．如图，△ABC 是边长为4的等边三角形，点D 是线段BC 的中点，∠EDF=120°，把∠EDF 绕点D 旋转，使∠EDF 的两边分别与线段AB 、AC 交于点E 、F ．（1）当DF ⊥AC 时，求证：BE=CF ；（2）在旋转过程中，BE+CF 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由答案：D解析：（1）证明见解析；（2）是，2.【解析】【分析】（1）根据四边形内角和为360°，可求∠DEA=90°，根据“AAS”可判定△BDE ≌△CDF ，即可证BE=CF ；（2）过点D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，如图2，易证△MBD ≌△NCD ，则有BM=CN ，DM=DN ，进而可证到△EMD ≌△FND ，则有EM=FN ，就可得到BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=12BC=2. 【详解】（1）∵△ABC 是边长为4的等边三角形，点D 是线段BC 的中点，∴∠B=∠C=60°，BD=CD ，∵DF ⊥AC ，∴∠DFA=90°，∵∠A+∠EDF+∠AFD+∠AED=180°，∴∠AED=90°，∴∠DEB=∠DFC ，且∠B=∠C=60°，BD=DC ，∴△BDE ≌△CDF （AAS ）（2）过点D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，则有∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°．∵∠A=60°，∴∠MDN=360°-60°-90°-90°=120°．∵∠EDF=120°，∴∠MDE=∠NDF ．在△MBD 和△NCD 中，BMD CND B CBD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△MBD ≌△NCD （AAS ）BM=CN ，DM=DN ．在△EMD 和△FND 中，EMD FND DM DNMDE NDF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△EMD ≌△FND （ASA ）∴EM=FN ，∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=12BC=2. 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值等知识，通过证明三角形全等得到BM=CN ，DM=DN ，EM=FN 是解决本题的关键． 15．如图1，四边形ABCD 中，BD ⊥AD ，E 为BD 上一点，AE ＝BC ，CE ⊥BD ，CE ＝ED（1）已知AB ＝10，AD ＝6，求CD ；（2）如图2，F 为AD 上一点，AF ＝DE ，连接BF ，交BF 交AE 于G ，过G 作GH ⊥AB 于H ，∠BGH ＝75°．求证：BF ＝22GH+2EG ． 答案：B解析：（1）22；（2）证明见解析【分析】（1）由勾股定理得出BD ＝22-AB AD ＝8，由HL 证得Rt △ADE ≌Rt △BEC ，得出BE ＝AD ，则CE ＝ED ＝BD ﹣BE ＝BD ﹣AD ＝2，由等腰直角三角形的性质即可得出结果； （2）连接CF ，易证AF ＝CE ，AD ∥CE ，得出四边形AECF 是平行四边形，则AE ＝CF ，AE ∥CF ，得出∠CFD ＝∠EAD ，∠CFB ＝∠AGF ，由Rt △ADE ≌Rt △BEC ，得出∠CBE ＝∠EAD ，推出∠CBE ＝∠CFD ，证得△BCF 是等腰直角三角形，则BF ＝2BC ＝2CF ＝2AE ，∠FBC ＝∠BFC ＝45°，推出∠AGF ＝45°，∠AGH ＝60°，∠GAH ＝30°，则AG ＝2GH ，得出BF ＝2AE ＝2（AG+EG ），即可得出结论．【详解】（1）解：∵BD ⊥AD ，∴BD ＝22-AB AD ＝22106-＝8，∵CE ⊥BD ，∴∠CEB ＝∠EDA ＝90°，在Rt △ADE 和Rt △BEC 中，AE BC ED CE=⎧⎨=⎩， ∴Rt △ADE ≌Rt △BEC （HL ），∴BE ＝AD ，∴CE ＝ED ＝BD ﹣BE ＝BD ﹣AD ＝8﹣6＝2，∴CD 2＝CE ＝22；（2）解：连接CF ，如图2所示：∵AF ＝DE ，DE ＝CE ，∴AF ＝CE ，∵BD ⊥AD ，CE ⊥BD ，∴AD ∥CE ，∴四边形AECF 是平行四边形，∴AE ＝CF ，AE ∥CF ，∴∠CFD ＝∠EAD ，∠CFB ＝∠AGF ，由（1）得：Rt△ADE≌Rt△BEC，∴∠CBE＝∠EAD，∴∠CBE＝∠CFD，∵∠FBD+∠BFC+∠CFD＝90°，∴∠FBD+∠BFC+∠CBE＝90°，∴∠BCF＝90°，∵AE＝BC，∴BC＝CF，∴△BCF是等腰直角三角形，∴BFBC CF AE，∠FBC＝∠BFC＝45°，∴∠AGF＝45°，∵∠BGH＝75°，∴∠AGH＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∵GH⊥AB，∴∠GAH＝30°，∴AG＝2GH，∴BFAE（AG+EG），∴BF＝EG．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、含30°角直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质、作辅助线构建平行四边形是解题的关键．。
初二数学数学全等三角形旋转模型试题及解析
初二数学数学全等三角形旋转模型试题及解析一、全等三角形旋转模型1．我们定义：有一组对角为直角的四边形叫做“对直角四边形”．（1）如图①，四边形ABCD为对直角四边形，∠B=90°，若AB2-AD2=4，求CD2-BC2的值；（2）如图②，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC，若BD平分∠ADC，求证：四边形ABCD为对直角四边形；（3）在（2）的条件下，如图③，连结AC ，若35ACDABCSS=，求tan∠ACD的值．答案：A解析：⑴ 4；⑵见解析；⑶tan∠ACD的值为3或13．【分析】（1）利用勾股定理即可解决问题；（2）如图②中，作BE⊥CD于E，BF⊥DA交DA的延长线于F．只要证明∠EBF=90°即可解决问题；（3）如图③中，设AD=x，BD=y．根据35ACDABCSS=，构建方程即可解决问题.【详解】解：如图①中，∵四边形ABCD为对直角四边形，∠B=90°，∴∠D=∠B=90°，∴AC2=AB2+BC2=AD2+DC2，∴CD2-BC2=AB2-AD2=4．（2）证明：如图②中，作BE⊥CD于E，BF⊥DA交DA的延长线于F．∵BD 平分∠ADC ，BE ⊥CD ，BF ⊥AD ，∴BE=BF ，∵∠BFA=∠BEC=90°，BA=BC ，BF=BE ，∴Rt △BFA ≌Rt △BEC （HL ），∴∠ABF=∠CBE ，∴∠EBF=∠ABC=90°，∴ADC=360°-90°-90°-90°=90°，∵∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD 为对直角四边形．（3）解：如图③中，设AD=x ，BD=y ．∵∠ADC=90°，∴tan ∠ACD=x y，22x y + ∵AB=AC ，∠ABC=90°，∴AB=BC=2222x y + ∵35ACD ABC S S =， ∴()22132154xy x y =+， 整理得：3x 2-10xy+3y 2，∴3（x y ）2-10•x y+3=0，∴x y =3或13． ∴tan ∠ACD 的值为3或13． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了勾股定理，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题． 2．问题提出：（1）如图1，在ABC 中，AB AC BC =≠，点D 和点A 在直线BC 的同侧，BD BC =，90BAC ∠=︒，30DBC ∠=︒，连接AD ，将ABD △绕点A 逆时针旋转90︒得到ACD '，连接BD '（如图2），可求出ADB ∠的度数为______．问题探究：（2）如图3，在（1）的条件下，若BAC α∠=，DBC β∠=，且120αβ+=︒，DBC ABC ∠<∠ ，①求ADB ∠的度数．②过点A 作直线AE BD ⊥，交直线BD 于点E ，7,2BC AD ==．请求出线段BE 的长．答案：A解析：（1）30°；（2）①30︒；②73-【分析】（1）由旋转的性质，得△ABD ≌ACD '∆，则ADB AD C '∠=∠，然后证明BCD '∆是等边三角形，即可得到30ADB AD C '∠=∠=︒；（2）①将ABD △绕点A 逆时针旋转，使点B 与点C 重合，得到'ACD △，连接'BD ．与（1）同理证明D BC '∆为等边三角形，然后利用全等三角形的判定和性质，即可得到答案；②由解直角三角形求出3DE =【详解】解：（1）根据题意，∵AB AC BC =≠，90BAC ∠=︒，∴ABC ∆是等腰直角三角形，∴45ABC ACB ∠=∠=︒，∵30DBC ∠=︒，∴15ABD ∠=︒，由旋转的性质，则△ABD ≌ACD '∆，∴ADB AD C '∠=∠，15ABD ACD '∠=∠=︒，BC CD '=，∴60BCD '∠=︒，∴BCD '∆是等边三角形，∴60BD C '∠=︒，BD CD ''=∵AB AC =，AD AD ''=，∴ABD '∆≌ACD '∆，∴30AD B AD C ''∠=∠=︒，∴30ADB AD C '∠=∠=︒；（2）①DBC ABC ∠<∠，60120α︒︒∴<<．如图1，将ABD △绕点A 逆时针旋转，使点B 与点C 重合，得到'ACD △，连接'BD ．AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠，BAC α∠=，()111809022ABC αα︒︒∴∠=-=-， 1902ABD ABC DBC αβ︒∴∠=∠-∠=--， 119090180()22D CB ACD ACB αβααβ''︒︒︒∴∠=∠+∠=--+-=-+． 120,αβ︒+=60D CB '︒∴∠=．,BD BC BD CD '==，,BC CD '∴=D BC '∴为等边三角形，D B D C ''∴=，AD B AD C ''∴≌，AD B AD C ''∴∠=∠，1302AD B BD C ''︒∴∠=∠=， 30ADB ︒∴∠=．②如图2，由①知，30ADB ︒∠=，在Rt ADE △中，30,2ADB AD ︒∠==， 3DE ∴=．BCD '是等边三角形，7BD BC '∴==，7BD BD '∴==，73BE BD DE ∴=-=-．【点睛】本题考查了解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确利用旋转模型进行解题．3．△CDE 和△AOB 是两个等腰直角三角形，∠CDE ＝∠AOB ＝90°，DC ＝DE ＝1，OA ＝OB ＝a （a ＞1）．（1）将△CDE 的顶点D 与点O 重合，连接AE ，BC ，取线段BC 的中点M ，连接OM ． ①如图1，若CD ，DE 分别与OA ，OB 边重合，则线段OM 与AE 有怎样的数量关系？请直接写出你的结果；②如图2，若CD 在△AOB 内部，请你在图2中画出完整图形，判断OM 与AE 之间的数量关系是否有变化？写出你的猜想，并加以证明；③将△CDE 绕点O 任意转动，写出OM 的取值范围（用含a 式子表示）；（2）是否存在边长最大的△AOB ，使△CDE 的三个顶点分别在△AOB 的三条边上（都不与顶点重合）？如果存在，请你画出此时的图形，并求出边长a 的值；如果不存在，请说明理由．答案：A解析：（1）①OM ＝12AE ；②OM ＝12AE ，证明详见解析；③12a -≤OM ≤12a +；（2）【分析】 （1）①利用△CDE ≌△AOB 得出BC ＝AE ，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．②作辅助线，利用△COF ≌△EOA 及三角形中位线得出OM ＝12AE ． ③分两种情况，当OC 与OB 重合时OM 最大，当OC 在BO 的延长线上时OM 最小，据此求出OM 的取值范围．（2）分两种情况：当顶点D 在斜边AB 上时，设点C ，点E 分别在OB ，OA 上．由DM +OM ≥OF 求出直角边a 的最大值；当顶点D 在直角边AO 上时，点C ，点E 分别在OB ，AB 上时，利用△EHD ≌△DOC ，得出OD ＝EH ，在Rt △DHE 中，运用勾股定理ED 2＝DH 2+EH 2，得出方程，由△判定出a 的最大值．【详解】解：（1）①∵△CDE 和△AOB 是两个等腰直角三角形，∴CD ＝ED ，AO ＝B 0，∠CDE ＝∠AOB ，在△CDE 和△AOB 中，CD ED CDE AOB AO BO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CDE ≌△AOB （SAS ），∴BC ＝AE∵M 为BC 中点，∴OM ＝12BC ， ∴OM ＝12AE ． ②猜想：OM ＝12AE ． 证明：如图2，延长BO 到F ，使OF ＝OB ，连接CF ，∵M 为BC 中点，∴OM ＝12CF ， ∵△CDE 和△AOB 是两个等腰直角三角形，∴CD ＝ED ，AO ＝BO ＝OF ，∠CDE ＝∠AOB ，∵∠AOC +∠COB ＝∠BOE +∠COB ＝90°，∴∠AOC ＝∠BOE ，∠FOC ＝∠AOE ，在△COF 和△EOA 中，CD ED FOC AOE OF AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△COF ≌△EOA ，∴CF ＝AE ，∴OM ＝12AE ． ③Ⅰ、如图3，当OC 与OB 重合时，OM 最大，OM ＝11122a a -++=Ⅱ、如图4，当OC在BO的延长线上时，OM最小，OM＝12a+﹣1＝12a-，所以12a-≤OM≤12a+，（2）解：根据△CDE的对称性，只需分两种情况：①如图5，当顶点D在斜边AB上时，设点C，点E分别在OB，OA上．作OF⊥AB于点F，取CE的中点M，连接OD，MD，OM．∵△AOB和△CDE是等腰直角三角形，∠AOB＝∠CDE＝90°，OA＝OB＝a（a＞1），DC＝DE＝1，∴AB2a，OF＝12AB＝22a，∴CE2，DM＝12CE＝22，在RT△COE中，OM＝12CE2在RT△DOM中，DM+OM≥OD，又∵OD≥OF，∵DM+OM≥OF222，∴a≤2，∴直角边a的最大值为2．②如图6，当顶点D 在直角边AO 上时，点C ，点E 分别在OB ，AB 上，作EH ⊥AO 于点H ． ∵∠AOB ＝∠CDE ＝∠DHE ＝90°，∵∠HED +∠EDH ＝∠CDO +∠EDH ＝90°，∴∠HED ＝∠CDO ，∵DC ＝DE ，在△EHD 和△DOC 中，EHD COD HED CDO DE DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EHD ≌△DOC （AAS ）设OD ＝x ，∴OD ＝EH ＝AH ＝x ，DH ＝a ﹣2x ，在Rt △DHE 中，ED 2＝DH 2+EH 2，∴1＝x 2+（a ﹣2x ）2，整理得，5x 2﹣4ax +a 2﹣1＝0，∵x 是实数，∴△＝（4a ）2﹣4×5×（a 2﹣1）＝20﹣4a 2≥0，∴a 2≤5，∴a 2的最大值为5，∴a 5综上所述，a 5【点睛】本题主要考查了几何变换综合题及三角形全等的判定和性质，解题的关键是在取最大值时，对三角形的位置进行讨论分别求值．4．如图，已知ABC 和ADE 均为等腰三角形，AC ＝BC ，DE ＝AE ，将这两个三角形放置在一起．（1）问题发现：如图①，当60ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，则CEB ∠＝ °，线段BD 、CE 之间的数量关系是 ；（2）拓展探究：如图②，当90ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，请判断CEB ∠的度数及线段BD 、CE 之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图③，90ACB AED ∠∠︒＝＝，25AC ＝，AE ＝2，连接CE 、BD ，在AED 绕点A 旋转的过程中，当DE BD ⊥时，请直接写出EC 的长．答案：C解析：（1）60BD CE ，＝；（2）452CEB BD CE ∠︒＝，＝，理由见解析；（3）CE 的长为2或2【分析】（1）证明ACE ABD ≌，得出CE ＝BD ，AEC ADB ∠=∠，即可得出结论； （2）证明ACE ABD ∽，得出AEC ADB ∠=∠，2BD CE =，即可得出结论； （3）先判断出2BD CE =，再求出210AB =：①当点E 在点D 上方时，先判断出四边形APDE 是矩形，求出AP ＝DP ＝AE ＝2，再根据勾股定理求出，BP ＝6，得出BD ＝4；②当点E 在点D 下方时，同①的方法得，AP ＝DP ＝AE ＝1，BP ＝6，进而得出BD ＝BP +DP ＝8，即可得出结论．【详解】解：（1）ABC 为等腰三角形，60AC BC ACB ∠︒＝，＝，∴ABC 是等边三角形，同理可得ADE 是等边三角形6018012060BAD DAC DAC CAE BAD CAE AD AE AB ACEAC DAB ACE ABD SAS BD CEAEC ADB ADE AEC AED CEBCEB ∠+∠=∠+∠=︒∴∠=∠=⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩∴∴=∠=∠=︒-∠=︒∠=∠+∠∴∠=︒＝≌（）故答案为：60CEB BD CE ∠=︒=；．（2）452CEB BD CE ∠︒＝，＝，理由如下：在等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ，90ACB ∠︒＝，45AB CAB ∴∠︒，＝ ，同理，45AD ADE DAE ∠∠︒，＝＝， ∴AE AC AD AB =，DAE CAB ∠∠＝， EAC DAB ∴∠∠＝，ACE ABD ∴∽ ，∴BD AD CE AE== ∴AEC ADB BD ∠∠＝，，点B 、D 、E 在同一条直线上:180135ADB ADE ∴∠︒-∠︒＝＝135AEC ∴∠︒＝45CEB AEC AED ∴∠∠-∠︒＝＝；（3）由（2）知，ACE ABD ∽，BD ∴，在Rt ABC 中，AC ＝AB ∴＝，①当点E 在点D 上方时，如图③，过点A 作AP BD ⊥交BD 的延长线于P ，DE BD ⊥，PDE AED APD ∴∠∠∠＝＝，∴四边形APDE 是矩形，AE DE ＝ ，∴矩形APDE 是正方形，2AP DP AE ∴＝＝＝，在Rt APB △中，根据勾股定理得，6BP ，4BD BP AP ∴-＝＝，CE BD ∴＝ ②当点E 在点D 下方时，如图④同①的方法得，AP ＝DP ＝AE ＝2，BP ＝6，∴BD ＝BP +DP ＝8，CE ∴＝综上CE 的长为或．【点睛】本题是几何变换的综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，判断出三角形ACE和三角形ABD相似是关键．5．如图1所示，矩形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD的中点，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α≤360°），直线BE、DF相交于点P．（1）若AB＝AD，将△AEF绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，则线段BE与DF的数量关系是．（2）若AD＝nAB（n≠1），将△AEF绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明，若不成立，请写出正确结论，并说明理由．（3）若AB＝8，BC＝12，将△AEF旋转至AE⊥BE，请算出DP的长．答案：B解析：（1）BE＝DF；（2）不成立，结论：DF＝nBE；理由见解析（3）634或634【分析】（1）如图2中，结论：BE＝DF，BE⊥DF．证明△ABE≌△ADF（SAS），利用全等三角形的性质可得结论；（2）结论：DF＝nBE，BE⊥DF，证明△ABE∽△ADF（SAS），利用相似三角形的性质可得结论；（3）分两种情形画出图形，利用相似三角形的性质以及勾股定理求解即可．【详解】解：（1）结论：BE=DF，BE⊥DF，理由：∵四边形ABCD是矩形，AB=AD，∴四边形ABCD是正方形，AE=12AB，AF=12AD，∴AE=AF，∵∠DAB=∠EAF=90°，∴∠BAE=∠DAF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴BE=DF，故答案为：BE=DF；（2）结论不成立，结论：DF=nBE，∵AE=12AB，AF=12AD，AD=nAB，∴AF=nAE，∴AF∶AE=AD∶AB，∴AF∶AE=AD∶AB，∵∠DAB=∠EAF=90°，∴∠BAE=∠DAF，∴△BAE∽△DAF，∴DF∶BE=AF∶AE=n，∠ABE=∠ADF，∴DF=nBE；（3）如图4-1中，当点P在BE的延长线上时，在Rt△AEB中，∵∠AEB=90°，AB=8，AE=12AB=4，∴22AB AE=3∵△ABE∽△ADF，∴ABAD =BE DF，∴812=3DF，∴DF=63∵四边形AEPF是矩形，∴AE=PF=4，∴PD=DF-PF=634-； 如图4-2中，当点P 在线段BE 上时，同法可得DF=63，PF=AE=4，∴PD=DF ＋PF=634+，综上所述，满足条件的PD 的值为634-或634+．【点睛】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，注意应用分类思想解决问题， 是一道较难的几何综合题．6．如图，ABD △和ACE △都是等边三角形． （1）连接CD 、BE 交于点P ，求∠BPD ；（2）连接PA ，判断线段PA 、PB 、PD 之间的数量关系并证明；（3）如图，等腰ABC 中AB ＝AC ，∠BAC ＝α（0＜α＜90），在ABC 内有一点M ，连接MA 、MB 、MC ．当MA ＋MB ＋MC 最小时，∠ABM ＝ （用含α的式子表示）答案：D解析：（1）60BPD ∠=︒（2）PD PB PA =+，证明见详解（3）1602α︒-【分析】（1）证明()DAC BAE SAS ≅，得ADC ABE ∠=∠，就可以证明60BPD DAB ∠=∠=︒；（2）在DP 上截取PF=PB ，连接BF ，证明()DBF ABP SAS ≅，得DF PA =，即可证明PD PB PA =+；（3）分别以AB 和AC 为边，向两边作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接BE 和CD ，交于点M ，连接AM ，此时MA MB MC ++最小，然后利用等腰三角形ADC ，求出ADC ∠的度数，即可得到ABM ∠的度数．【详解】解：（1）∵ABD △和ACE △是等边三角形，∴AD AB =，AC AE =，60DAB CAE ∠=∠=︒，∵DAB BAC CAE BAC ∠+∠=∠+∠，∴DAC BAE ∠=∠，在DAC △和BAE △中，AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DAC BAE SAS ≅，∴ADC ABE ∠=∠，∵ADC DAB ABE BPD ∠+∠=∠+∠，∴60BPD DAB ∠=∠=︒；（2）如图，在DP 上截取PF=PB ，连接BF ，∵60BPD ∠=︒，PF PB =，∴PFB △是等边三角形，∴BF BP =，60FBP ∠=︒，∴DBA FBP ∠=∠，∵DBA FBA FBP FBA ∠-∠=∠-∠，∴DBF ABP ∠=∠，在DBF 和ABP △中，DB AB DBF ABP BF BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DBF ABP SAS ≅，∴DF PA =，∵PD PF FD =+，∴PD PB PA =+；（3）如图，分别以AB 和AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接BE 和CD ，交于点M ，连接AM ，此时MA MB MC ++最小，由（2）中的结论可得MD MA MB =+，则当D 、M 、C 三点共线时MA MB MC ++最小，即CD 的长，由（1）得ADC ABM ∠=∠，∵AD AB AC ==，60DAC α∠=︒+，∴()1806016022ADC αα︒-︒+∠==︒-， ∴1602ABM α∠=︒-，故答案是：1602α︒-．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，解题的关键是做辅助线构造全等三角形来进行证明求解．7．探究：（1）如图①，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，若∠B ＝28°，则∠ACD 的度数是 ．拓展：（2）如图②，∠MCN ＝90°，射线CP 在∠MCN 的内部，点A 、B 分别存CM 、CN 上，分别过点A 、B 作AD ⊥CP 、BE ⊥CP 于点D 、E ，若AC ＝CB ，则AD 、DE 、BE 三者间的数量关系为 ．请说明理由；应用：（3）如图③，点A 、B 分别在∠MCN 的边CM 、CN 上，射线CP 在∠MCN 的内部，点D 、E 在射线CP 上，连结AD 、BE 、AE ，且使∠MCN ＝∠ADP ＝∠BEP ．当AC ＝BC 时，△ ≌△ ；此时如果CD ＝2DE ，且S △CBE ＝6，则△ACE 的面积是 ．答案：D解析：（1）28° （2）DE ＝AD ﹣BE ；理由见解析 （3）ACD ；CBE ；9【分析】（1）利用直角三角形的两锐角互余，即可得出结论；（2）利用同角的余角相等判断出∠CAD ＝∠BCE ，进而判断出△ACD ≌△CBE ，即可得出结论；（3）利用等式的性质判断出∠ADC ＝∠CEB ，进而判断出△ACD ≌△CBE ，得出S △ACD ＝S △CBE ，再求出S △ADE ＝3，即可得出结论．【详解】解：探究：∵CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°，∵∠B ＝28°，∴∠BCD ＝90°﹣∠B ＝68°，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝90°﹣∠BCD ＝28°，故答案为：28°；拓展：(2)∵∠MCN ＝90°，∴∠ACD+∠BCE ＝90°，∵AD ⊥CP ，BE ⊥CP ，∴∠ADC ＝∠BEC ＝90°，∴∠ACD+∠CAD ＝90°，∴∠CAD ＝∠BCE ，在△ACD 和△CBE 中，ADC CEB CAD BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴CD ＝BE ，AD ＝CE ，∴DE ＝CE ﹣CD ＝AD ﹣BE ，故答案为：DE ＝AD ﹣BE ；应用：(3)∵∠MCN ＝∠ACD+∠BCD ，∠MCN ＝∠ADP ，∴∠ADP ＝∠ACD+∠BCD ，∵∠ADP ＝∠ACD+∠CAD ，∴∠CAD ＝∠BCE ，∵∠ADP ＝∠BEP ，∴∠ADC ＝∠CEB ，在△ACD 和△CBE 中，ADC CEB CAD BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴S △ACD ＝S △CBE ，∵S △CBE ＝6，∴S △ACD ＝6，∵CD ＝2DE ，∴S △ACD ＝2S △ADE ，∴S △ADE ＝12S △ACD ＝3， ∴S △ACE ＝S △ACD +S △ADE ＝9，故答案为：ACD ，CBE ，9．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质，同角的余角相等，等式的性质，全等三角形的判定和性质，判断出△ACD ≌△CBE 是解本题的关键．8．已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”．请利用上面信息解决以下问题：已知Rt ABC 中，AC BC =，90C ∠=︒，D 为AB 边的中点，90EDF ∠=︒，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．（1）当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图①），求证：12DEF CEF ABC S S S +=△△△； （2）当EDF ∠绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEF S △、CEF S △、ABCS又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明．答案：D解析：（1）见解析；（2）图2成立，图3不成立：12DEF CEF ABC S S S -=△△△ 【分析】 （1）根据等腰直角三角形和正方形的性质得到AED 、DFB △、EDF 、ECF △为全等的等腰直角三角形，据此即可证明；（2）对于图2：过点D 作DM AC ⊥，DN BC ⊥，根据中位线的性质和等量代换证得MD ND =和MDE NDF ∠=∠，结合90DME DNF ∠=∠=︒，证得DME DNF ∆≅∆，根据全等三角形的性质即可求证；对于图3：根据ASA 证明DME DNF ∆≅∆，根据全等三角形的性质即可求证．【详解】（1）证明：连接CD∵D 为AB 边的中点，AC BC =∴AD=CD=BD∴45DAC DCA DCB DBC ∠=∠=∠=∠=︒又∵DE AC ⊥，90EDF ∠=︒，90C ∠=︒，∴四边形ECFD 为矩形∴∠CFD=90°又∵∠DCF=45°∴CF=DF∴四边形ECFD 是正方形∴DE=DF∴DEF CEF DEC DFC S S S S +=+△△△△又∵12DCF DBF ABC S S S +=△△△，且DCF DBF S S =△△ ∴12DEF CEF ABC S S S +=△△△ （2）图2成立，图3不成立对于图2：过点D 作DM AC ⊥，DN BC ⊥，如图2，则90DME DNF MDN ∠=∠=∠=︒又∵90C ∠=︒∴DM BC ，DN AC∵D 为AB 边的中点 ∴根据中位线定理得到：12DN AC =，12MD BC = ∵AC=BC∴MD=ND∵90EDF ∠=︒ ∴90MDE EDN ∠+∠=︒，90NDF EDN ∠+∠=︒ ∴MDE NDF ∠=∠ 在DME ∆与DNF ∆中 DME DNF MD NDMDE NDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴DME DNF ∆≅∆ ∴DME DNF S S ∆∆= ∴DEF CEF DMCN DECF S S S S ∆∆==+四边形四边形∴12DMCN ABC S S =△ ∴12DEF CEF ABC S S S +=△△△ 对于图3：连接DC ，在DEC ∆与DBF ∆中 135DCE DBF DC DBCDE BDF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴DEC DBF ∆≅∆ ∴12DEF CFE DBC CFE ABC DBFEC S S S S S S ∆∆∆∆∆==+=+五边形∴12DEF CEF ABC S S S ∆∆∆-=． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，中位线的性质，等腰直角三角形的性质，题目较为综合，利用作出的辅助线将不规则的三角形转化为直角三角形进行解决．9．如图１，在△ABC 和△ADE 中，∠DAE=∠BAC ，AD=AE ，AB=AC ．（1）求证：△ABD ≌△ACE ；（2）如图2，在△ABC 和△ADE 中，∠DAE=∠BAC ，AD=AE ，AB=AC ，∠ADB=90°，点E 在△ABC 内，延长DE 交BC 于点F ，求证：点F 是BC 中点；（3）△ABC 为等腰三角形，∠BAC=120°，AB=AC ，点P 为△ABC 所在平面内一点，∠APB=120°，AP=2，BP=4，请直接写出 CP 的长．答案：D解析：（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）2713【分析】（1）因为∠DAE=∠BAC ，可以得到∠DAB=∠EAC ，因为AD=AE ，AB=AC ，即可得到△ABD ≌△ACE ；（2）连接CE ，延长EF 至点H ，取CF=CH ，连接CH ，由（1）可得△ABD ≌△ACE ，所以∠AEC=90°和CE=BD ，可以推出∠BDF=∠CEF ，再证明△DBF ≌△ECH ，所以BF=CH ，等量代换即可得到BF=FC ，即可解决；（3）点P 在△ABC 内部，将△ABP 逆时针旋转120°，得到ACP ∆'，连接PP '和PC ，可以得到△PP C '是直角三角形，利用勾股定理即可求出PC 的值；当点P 在△ABC 外部，将△APB 绕点A 逆时针旋转120︒得到PDC ∆，连接PP '和PC ，过点P 作PD ⊥'CP 于点D ，连接PD 可以得到△PP D '，△PP D '是直角三角形和，利用勾股定理即可求出'DP 及PC 的值．【详解】解：（1）证明：∵∠DAE=∠BAC∴∠DAB=∠EAC∵AD=AE ，AB=AC∴△ABD ≌△ACE（2）证明：连接CE ，延长EF 至点H ，取CF=CH ，连接CH ，如图所示：∵△ADB≌△AEC∴BD=EC，∠ADB=∠AEC=90°∵AD=AE∴∠ADE=∠AED∵∠ADE+∠EDB=∠AED+∠CEH=90°∴∠EDB=∠CEH∵CF=CH∴∠CFH=∠CHF∴∠DFB=∠H∵CE=BD∴△DBF≌△ECH∴BF=CH∴BF=CF∴点F是BC的中点∆'，连接（3）当点P在△ABC内部，如图所示，将△ABP逆时针旋转120°，得到ACPPP'和PC∆'∵将△ABP旋转120°得到ACP∴∠PAP'=120°，AP='AP=2，BP=CP'=4∴PP'3∵∠AP C'=120°，∠AP P'=30°，∴∠PP C'=90°，∴()2223427+=．当点P在△ABC外部，如图所示，将△APB 绕点A 逆时针旋转120︒到△'AP C ，过点P 作PD ⊥'CP 于点D ，连接PD ， ∵将△ABP 旋转120°得到ACP ∆'∴∠PAP '=120°，AP='AP =2，BP=CP '=4，∴PP '=23， ∵∠AP C '=120°,∠AP P '=30°，∴∠PP C '=150°，∴∠PP D '=30°，在Rt 'PDP 中，1'32PD PP ==， 22''3DP PP PD ∴=-=，''347DC DP P C ∴=+=+=，()222237213PC PD DC ∴=+=+= ． 综上所述，27213PC =或【点睛】本题主要考查了全等三角形以及旋转，合理的作出辅助线以及熟练旋转的性质是解决本题的关键．10．问题：如图（1），点M 、N 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠MAN ＝45°，试判断 BM 、MN 、ND 之间的数量关系．（1）研究发现如图1，小聪把△ADN 绕点A 顺时针旋转90°至△ABG ，从而发现BM 、MN 、DN 之间的数量关系为 （直接写出结果，不用证明）（2）类比引申如图2，在（1）的条件下，AM 、AN 分别交正方形ABCD 的对角线BD 于点E 、F ．已知EF ＝5，DF ＝4．求BE 的长．（3）拓展提升如图3，在（2）的条件下，AM、AN分别交正方形ABCD的两个外角平分线于Q、P，连接PQ．请直接写出以BQ、PQ、DP为边构成的三角形的面积．答案：B解析：（1）BM+DN＝MN，理由见解析；（2）BE＝3；（3）以BQ、PQ、DP为边构成的三角形的面积为36．【分析】（1）结论是：BM+DN＝MN，如图1，利用三角形AND旋转90º得三角形ABG，∠DAN=∠BAG，可证∠GAM=∠GAB+∠BAM=∠MAN，利用SAS证△AMN≌△AMG即可；（2）如图2，按同样方法△AFD顺时针旋转90º，使AD与AB重合，得△ABF′，连结EF′，△BEF′是直角三角形，用勾股定理求EF′=5，再证△AEF≌△AEF即可；（3）如图3，由（2）可得BD=12，可求正方形边长，构建△P′AQ，P′B=DP，将△ADP顺时针转90º，AD与AB重合，得△BQP′，连OP′，可证△BQP′是直角三角形，可证PQ=P′Q，再证△ABQ∽△PDA，将△P′BQ面积=12BQ•BP′=12BQ•DP=12AD•AB可求．【详解】（1）如图1，BM+DN＝MN，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABC＝∠BAD＝90°，小聪把△ADN绕点A顺时针旋转90°至△ABG，由旋转可得：BG＝DN，AN＝AG，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴∠ABG+∠ABM＝90°+90°＝180°，因此，点G，B，M在同一条直线上，∵∠MAN＝45°，∴∠2+∠3＝∠BAD﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，∵∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝45°，∴∠GAM＝∠MAN，∵AM＝AM，∴△AMN≌△AMG（SAS），∴MN＝GM，∵GM＝BM+BG＝BM+DN，∴BM+DN＝MN；故答案为：BM +DN ＝MN ；（2）如图2，把△ADF 绕点A 顺时针旋转90°至△ABF '，连接EF '，∴AF ′ ＝AF ，∠DAF ＝∠BAF '，∠ABF ′ ＝∠ADF ＝45°，BF ′ ＝DF ＝4，∵∠ABE ＝45°，∴∠EBF ′ ＝45°+45°＝90°，∵AE ＝AE ，同理得△EAF ≌△EAF '（SAS ），∴EF '＝EF ＝5，在Rt △EBF '中，由勾股定理得：BE ＝()()2222EF +BF =5-4=3''＝3； （3）由（2）知：BE ＝3，EF ＝5，DF ＝4，∴BD ＝3+4+5＝12，由勾股定理得：AB 2+AD 2＝BD 2，∵AB ＝AD ，∴AB 2＝72，如图3，把△ADP 绕点A 顺时针旋转90°至△ABP '，连接BP ′，则∠ABP′＝∠ADP ，PD ＝P ′B ，AP ＝AP ′，∵AM 、AN 分别交正方形ABCD 的两个外角平分线于Q 、P ，∴∠ADP ＝∠ABQ ＝135°，∴∠DAP +∠APD ＝45°，∵∠DAP +∠BAQ ＝45°，∴∠BAQ ＝∠APD ，∴△ADP ∽△QBA ，∴AD PD=BQ AB，∴BQ•PD＝AD•AB＝72，∵∠ABP'＝∠ABQ＝135°，∴∠QBP'＝360°﹣135°﹣135°＝90°，∴S△BP'Q＝12BQ•BP′＝12BQ•DP＝12×72＝36，∵AP＝AP'，∠PAQ＝∠P'AQ，AQ＝AQ，∴△QAP≌△QAP'（SAS），∴PQ＝P'Q，∴以BQ、PQ、DP为边构成的三角形的面积为36．【点睛】本题是感知，探究，创新新题型，主要考查了学生对正方形的性质，旋转变换，勾股定理及全等三角形与相似三角形的判定方法的综合运用．关键是灵活掌握所学知识，同时会从感知中学到方法，结合下一图形，找到解决问题的方法，以及突破口，在创新中，注意把给出的问题进行转化，利用转化思想来解决．11．已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，直线l经过点A（不经过点B或点C），点C 关于直线l的对称点为点D，连接CD，BD， AD．（1）如图1，①填空：∠ABD∠ADB（填 >，=，<号）．②求∠BDC的度数（用含α的式子表示）．（2）如图2，当α＝60°时，过点D作BD的垂线与直线l交于点E，求证：AE＝BD；（3）如图3，当α＝90°时，在直线l绕点A旋转过程中，记直线l与CD的交点为F．①若点M为AC的中点，连接MF， MF的长是否会发生变化？若不变，求出MF的长；若会发生变化，说明理由；②连接BF，当线段BF的长取得最大值时，求tan∠FBC的值．答案：B解析：（1）①=；②∠BDC＝12；（2）详见解析；（3）①MF的长在直线l绕点A旋转过程中，不会发生变化，MF=1；②1 3【分析】（1）①根据点C 关于直线l 的对称点为点D ，得到AD ＝AC ，且AB ＝AC ，则AD ＝AB ＝AC ，可得∠ADB ＝∠ABD ；②连接DA ，并延长DA 交BC 于点M ，由①可知AD ＝AB ＝AC ，则有∠ADB ＝∠ABD ，∠ADC ＝∠ACD ，可以得到∠BAM ＝2∠ADB ，∠MAC ＝2∠ADC ，利用∠BAC ＝∠BAM +∠MAC ，可得12BDC ＝， （2）连接CE ，根据∠BAC ＝60°，AB ＝AC ，得到△ABC 是等边三角形，则有BC ＝AC ，∠ACB ＝60°，根据12BDC ＝，可知∠BDC ＝30°，则有∠CDE ＝60°，易证△CDE 是等边三角形，可以得出△BCD ≌△ACE （SAS ），则有BD ＝AE ；（3）①根据∠AFC =90°，M 为AC 的中点，得到 MF =12AC =122⨯=1，则可知MF 的长在直线l 绕点A 旋转过程中，不会发生变化，②连接MB ，根据在△BMF 中，BM MF BC ，可知当点M ，点B ，点F 三点共线时，BF 最长，过点M 作MH ⊥BC ，根据∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，可得BC ＝2AC ，∠ACB ＝45°，且MH ⊥BC ，则有∠CMH ＝∠HCM ＝45°，可得出MC ＝2HC ，根据点M 是AC 中点，得到AC ＝22HC ，∴BC ＝2AC =4HC ，则可求出BH ＝BC ﹣HC ＝3HC ，利用tan ∠FBC ＝3MH HC BH HC=可得出结果． 【详解】解：（1）①ABD ADB ∠=∠．∵点C 关于直线l 的对称点为点D ，∴AD ＝AC ，且AB ＝AC ，∴AD ＝AB ＝AC ，∴∠ADB ＝∠ABD ．②如图1，连接DA ，并延长DA 交BC 于点M ，∵AD ＝AB ＝AC,∴∠ADB ＝∠ABD ，∠ADC ＝∠ACD ．∵∠BAM ＝∠ADB +∠ABD ，∠MAC ＝∠ADC +∠ACD ，∴∠BAM ＝2∠ADB ，∠MAC ＝2∠ADC ，∴∠BAC ＝∠BAM +∠MAC ＝2∠ADB +2∠ADC ＝2∠BDC ＝α ．∴12BDC ＝．（2）如图3，连接CE ，∵∠BAC＝60°，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝60°，∵12BDC＝，∴∠BDC＝30°，∵BD⊥DE，∴∠CDE＝60°．∵点C关于直线l的对称点为点D，∴DE＝CE，且∠CDE＝60°．∴△CDE是等边三角形．∴CD＝CE＝DE，∠DCE＝60°＝∠ACB，∴∠BCD＝∠ACE，且AC＝BC，CD＝CE，∴△BCD≌△ACE（SAS）．∴BD＝AE ．（3）①如图4，因为∠AFC=90°，M为AC的中点，∴ MF= 12AC=122=1．∴MF的长在直线l绕点A旋转过程中，不会发生变化．②法一：如图5，连接MB，∵在△BMF 中，BM +MF ≥BC∴当点M ，点B ，点F 三点共线时，BF 最长，如图6，过点M 作MH ⊥BC ，∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴BC ＝2AC ，∠ACB ＝45°，且MH ⊥BC ，∴∠CMH ＝∠HCM ＝45°，∴MH ＝HC ，∴MC ＝2HC ，∵点M 是AC 中点，∴AC ＝22HC ，∴BC ＝2AC =4HC ．∴BH ＝BC ﹣HC ＝3HC ．∴tan ∠FBC ＝3MH HC BH HC =＝13． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键． 12．问题发现：（1）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，点O 为AB 的中点，点M 为AC 上一点，将射线OM 顺时针旋转90︒交BC 于点N ，则OM 与ON 的数量关系为____；问题探究：（2）如图2，在等腰三角形ABC 中，120C ∠=︒，点O 为AB 的中点，点M 为AC 上一点，将射线OM 顺时针旋转60︒交BC 于点N ，则OM 与ON 的数量关系是否改变，请说明理由；问题解决：（3）如图3，点O 为正方形ABCD 对角线的交点，点P 为DO 的中点，点M 为直线BC 上一点，将射线OM 顺时针旋转90︒交直线AB 于点N ，若4AB =，当PMN 面积为252时，直接写出线段BN 的长．答案：B解析：（1）OM=ON；（2）不改变；证明见解析；（3）线段BN的长为172-或172+【分析】（1）连接，OC，证明△AOM≌△CON（ASA）可得结论．（2）数量关系不变．如图2中，过点O作OK⊥AC于K，OJ⊥BC于J，连接OC．证明△OKM≌△OJN（AAS）可得结论．（3）如图3中，过点P作PG⊥AB于G，PH⊥BC于H．证明△MOC≌△NOB（SAS），推出CM=BN，设CM=BN=m，根据S△PMN=252=S△PBM+S△BMN-S△PBN，构建方程求解即可．当点M在CB的延长线上时，同法可求．【详解】解：（1）如图1中，结论：OM=ON．理由：连接OC．∵CA=CB，∠ACB=90°，AO=OB，CO=OA=OB，OC⊥AB，∠A=∠B=45°，∠BCO=∠ACO=45°∴∠AOC=∠MON=90°，∴∠AOM=∠CON，∵∠A=∠CON，∴△AOM≌△CON（ASA），∴OM=ON．故答案为：OM=ON．（2）理由：如图2中，过点O作OK⊥AC于K，OJ⊥BC于J，连接OC．∵∠ACB=120°，∠OKC=∠OJC=90°，∠KOJ=60°=∠MON，∴∠MKO=∠NOJ，∵CA=CB，OA=OB，∴OC平分∠ACB，∵OK⊥CA，OJ⊥CB，∴OK=OJ，∵∠OKM=∠OJN=90°，∴△OKM≌△OJN（AAS），∴OM=ON．（3）如图3中，过点P作PG⊥AB于G，PH⊥BC于H．∵四边形ABCD是正方形，AB=AD=4，∠BAD=90°，∴22，∴2，2，∴3，∵四边形PGBH是正方形，∴PG=PH=3，∵∠MON=∠COB=90°，∴∠MOC=∠NOB，∵OM=ON，OC=OB，∴△MOC≌△NOB（SAS），∴CM=BN，设CM=BN=m，∵S△PMN=252=S△PBM+S△BMN-S△PBN，∴12•（4+m）•3+12•m•（4+m）12-•m•3=252，∴整理得：m2+4m-13=0，解得172或172-（舍去），∴172．当点M在CB的延长线上时，同法可得172．综上所述，满足条件的BN172172．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．13．如图，△ABC中，O是△ABC内一点，AO平分∠BAC，连OB，OC．（1）如图1，若∠ACB＝2∠ABC，BO平分∠ABC，AC＝5，OC＝3，则AB＝；（2）如图2，若∠CBO+∠ACO＝∠BAC＝60°，求证：BO平分∠ABC；（3）如图3，在（2）的条件下，若BC＝3B绕点O逆时针旋转60°得点D，直接写出CD的最小值为．答案：A解析：（1）8；（2）见解析；（3）33【分析】（1）先补充证明角平分线的性质定理：如图，△ABC中，AD是角平分线，则：BD DC＝AB AC ．如图1中，延长CO交AB于E，由OA平分∠EAC，推出AEAC＝OEOC，推出AEEO＝AC OC ＝53，设AE＝5k，OE＝3k，利用相似三角形的性质构建方程求出k即可解决问题．（2）如图2中，过点O作EF⊥OA交AB于E，交AC于F，作CG∥EF交AB于G，连接OG．证明△AGO≌△ACO（SAS），推出OG＝OC，推出∠OGC＝∠OCG，证明O，G，B，C 四点共圆，可得结论．（3）如图3中，以BC为边向上作等边△BCH，连接OH，作HM⊥BC于M．证明△HBO≌△CBD（SAS），推出OH＝CD，由（2）可知∠BOC＝120°，推出当点O落在HM 上时，OH的值最小．【详解】解：（1）先补充证明角平分线的性质定理：如图，△ABC中，AD是角平分线，则：BD DC＝AB AC．理由：过C作CE∥DA，交BA的延长线于E，∵CE∥DA，∴∠1＝∠E，∠2＝∠3，∠1＝∠2，∴∠E＝∠3，∴AE＝AC，∵BDDC ＝BAAE，∴BDDC ＝ABAC．如图1中，延长CO交AB于E，∵OA平分∠EAC，∴AEAC＝OEOC，∴AEEO ＝ACOC＝53，设AE＝5k，OE＝3k，∵OB平分∠ABC，∴OC平分∠ACB，∵∠ACB＝2∠ABC，∴∠BCE＝12∠ACB＝∠EBC，∴EB＝EC＝3k+3，∵∠ACE＝∠ABC，∠CAE＝∠BAC，∴△ACE∽△ABC，∴ACAB ＝AEAC，∴5533k k ＝55k，解得k＝58或﹣1（舍弃），∴AB＝8k+3＝8．故答案为：8．（2）如图2中，过点O作EF⊥OA交AB于E，交AC于F，作CG∥EF交AB于G，连接OG．∵AO平分∠AEF，∴∠OAE＝∠OAF，∵AO＝AO，∠AOE＝∠AOF＝90°，∴△AOE≌△AOF（ASA），∴AE＝AF，∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠FOC+∠FCO，∵∠OBC+∠FCO＝60°，∴∠FOC＝∠OBC，∵EF∥CG，∴∠AGC＝∠AEF＝60°，∠ACG＝∠AFE＝60°，∴∠AGC＝∠ACG，∴AG＝AC，∵∠GAO＝∠CAO，AO＝AO，∴△AGO≌△ACO（SAS），∴OG＝OC，∴∠OGC＝∠OCG，∵∠FOC＝∠OCG，∴∠OBC＝∠OGC，∴O，G，B，C四点共圆，∴∠ABO＝∠OCG，∴∠ABO＝∠OBC，∴OB平分ABC．（3）如图3中，以BC为边向上作等边△BCH，连接OH，作HM⊥BC于M．∵△OBD，△BCH都是等边三角形，∴∠HBC＝∠OBD＝60°，BH＝BC，BO＝BD，∴∠HBO＝∠CBD，∴△HBO≌△CBD（SAS），∴OH＝CD，由（2）可知∠BOC＝120°，∴当点O落在HM上时，OH的值最小，此时OH＝HM﹣OM＝3﹣3，∴CD的最小值为3﹣3．故答案为：3﹣3．【点睛】本题主要考查角平分线、三角形相似的判定和性质、三角形全等的判定和性质、等边三角形等相关知识点，解题关键在于作出辅助线构造相应图形．14．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，把∠EDF绕点D旋转，使∠EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F．（1）当DF⊥AC时，求证：BE=CF；（2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由答案：D解析：（1）证明见解析；（2）是，2.【解析】【分析】（1）根据四边形内角和为360°，可求∠DEA=90°，根据“AAS”可判定△BDE≌△CDF，即可证BE=CF；（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，易证△MBD≌△NCD，则有BM=CN，DM=DN，进而可证到△EMD≌△FND，则有EM=FN，就可得到BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=12BC=2. 【详解】 （1）∵△ABC 是边长为4的等边三角形，点D 是线段BC 的中点，∴∠B=∠C=60°，BD=CD ，∵DF ⊥AC ，∴∠DFA=90°，∵∠A+∠EDF+∠AFD+∠AED=180°，∴∠AED=90°，∴∠DEB=∠DFC ，且∠B=∠C=60°，BD=DC ，∴△BDE ≌△CDF （AAS ）（2）过点D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，则有∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°．∵∠A=60°，∴∠MDN=360°-60°-90°-90°=120°．∵∠EDF=120°，∴∠MDE=∠NDF ．在△MBD 和△NCD 中，BMD CND B CBD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△MBD ≌△NCD （AAS ）BM=CN ，DM=DN ．在△EMD 和△FND 中，EMD FND DM DNMDE NDF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△EMD ≌△FND （ASA ）∴EM=FN ，∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=12BC=2. 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值等知识，通过证明三角形全等得到BM=CN ，DM=DN ，EM=FN 是解决本题的关键． 15．问题背景：如图1，在四边形ABCD 中，90BAD ∠=︒，90BCD ∠=︒，BA BC =，120ABC ∠=︒，60MBN ∠=︒，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD 、DC 于E 、F ．探究图中线段AE ，CF ，EF 之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长FC 到G ，使CG AE =，连接BG ，先证明BCG BAE △≌△，再证明BFC BFE △≌△，可得出结论，他的结论就是_______________；探究延伸1：如图2，在四边形ABCD 中，90BAD ∠=︒，90BCD ∠=︒，BA BC =，2ABC MBN ∠=∠，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD 、DC 于E 、F ．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由． 探究延伸2：如图3，在四边形ABCD 中，BA BC =，180BAD BCD ∠+∠=︒，2ABC MBN ∠=∠，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD 、DC 于E 、F ．上述结论是否仍然成立？并说明理由．实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30的A 处舰艇乙在指挥中心南偏东70︒的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50︒的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E 、F 处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70︒，试求此时两舰艇之间的距离．答案：E解析：EF=AE+CF ．探究延伸1：结论EF=AE+CF 成立．探究延伸2：结论EF=AE+CF 仍然成立．实际应用：210海里．【分析】延长FC 到G ，使CG AE =，连接BG ，先证明BCG BAE △≌△，可得BG=BE ，∠CBG=∠ABE ，再证明BGF BEF ≌，可得GF=EF ，即可解题；探究延伸1：延长FC 到G ，使CG AE =，连接BG ，先证明BCG BAE △≌△，可得BG=BE ，∠CBG=∠ABE ，再证明BGF BEF ≌，可得GF=EF ，即可解题；探究延伸2：延长FC 到G ，使CG AE =，连接BG ，先证明BCG BAE △≌△，可得BG=BE ，∠CBG=∠ABE ，再证明BGF BEF ≌，可得GF=EF ，即可解题；实际应用：连接EF ，延长AE ，BF 相交于点C ，然后与探究延伸2同理可得EF=AE+CF ，将AE 和CF 的长代入即可．【详解】。
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21.（1）如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧
作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ． 求∠AEB 的大小；
（2）如图8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠)，求∠AEB 的大小.
解法一(利用三角形的边角关系)：如图7(1). ∵ △BOC 和△ABO 都是等边三角形， 且点O 是线段AD 的中点， ∴ OD=OC=OB=OA,∠1=∠2=60°, ∴ ∠4=∠5.
又∵∠4+∠5=∠2=60°,
∴ ∠4=30°， 同理，∠6=30°. ∵ ∠AEB=∠4+∠6, ∴ ∠AEB=60°.
解法二（利用菱形的对角线的性质）：如图7(2) ∵ △BOC 和△ABO 都是等边三角形， 且点O 是线段AD 的中点， ∴ OD=OC=OB=OA=AB=CD, ∠1=∠2=∠CDO=∠BAO=60°, ∵∠1＋∠2＋∠3＝180°， ∴∠3＝60°，
C B O
D 图7 A B
A O D C
E 图8
C
B
O
D
图7(1)
A
2 1 4
5
6
E 3
C B
O
D
图7（2）
A
2 1 4
5
E 3
∴CB=OB=OD=CD ， ∴四边形OBCD 是菱形， ∴∠4=30°. 同理∠5=30° ∴∠AEB=∠4+∠5 =60°.
解法三（利用三角形全等证明）：如图7(3) ∵ △BOC 和△ABO 都是等边三角形， 且点O 是线段AD 的中点， ∴ OD=OC=OB=OA, ∠1=∠2=60°, ∴∠1+∠3=∠2+∠3 即∠DOB=∠AOC
∴△DOB ≌△COA (SAS) ∴∠5=∠6
∵∠4+∠5=∠2 = 60°
∴∠AEB=∠4+∠6＝∠4+∠5 =60°.
解法四（利用三角形全等及三角形的内角和）：如图7(4) ∵ △BOC 和△ABO 都是等边三角形， 且点O 是线段AD 的中点， ∴ OD=OC=OB=OA, ∠1=∠2=60°, ∴∠1+∠3=∠2+∠3 即∠DOB=∠AOC ∴△DOB ≌△COA (SAS)
C
B
O
D
图7(3 )
A
2 1 4
5
6
E 3
C B
O
D
图7(4)
A
2 1 4
5
6
E 3
7
∴∠4=∠7
∴∠7+∠OCD+∠CDE=∠4+∠OCD+∠CDE=120° ∴∠AEB=∠CED=180°-120°=60°.
解法五（利用直角三角形的知识求解）：如图7(5)
∵ △BOC 和△ABO 都是等边三角形， 且点O 是线段AD 的中点， ∴OC=OD=OA=2
1
AD,
∴△ACD 是直角三角形,即∠ACD ＝90° 又∵CD=OD=OA=2
1AD,
∴∠1=30°. 同理∠2=30°.
∴∠AEB=∠1+∠2 =60°.
解法六（利用平行线的性质求解）：如图7(6). ∵ △BOC 和△ABO 都是等边三角形， 且点O 是线段AD 的中点， ∴ OD = OB ,∠1=∠CDO=60°, ∴∠2=∠3 ,OB ∥DC ∴∠4=∠3
∴∠2=∠4=2
1∠CDO=30°.
同理∠5=2
1∠BAO=30°
C
B
O
D
图7(5)
A
2
1
E
6
7
C B
O D
图7(6)
A
2
1
4
5
E
3
∴∠AEB=∠2+∠5 =60°.
解法七（利用圆周角定理）：如图7(7). ∵ △BOC 和△ABO 都是等边三角形， 且点O 是线段AD 的中点，
∴ OD=OC=OB=OA, ∠1=∠2=60°, ∴四边形内接于以OA 为半径的⊙O ， ∠3=∠4=2
1
∠1=30°,
∴∠AEB=∠3+∠4 = 60°.
解法八（利用三角形相似）：如图7(8) ∵ △BOC 和△ABO 都是等边三角形， 且点O 是线段AD 的中点， ∴ OD=OC=OB=OA, ∠1=∠2=60°, ∴∠1+∠3=∠2+∠3 即∠DOB=∠AOC ∴△DOB ≌△COA (SAS) ∴∠4=∠5 又∵∠AFB=∠AFO ∴△AFB ∽△AFO ∴∠AEB=∠2= 60°
图7(7)
C
B
O
D
A
2 1 3
4
E
C B
O
D
图7(8 )
A
2 1
5
4
E 3
F
（2）解法一（利用三角形边角关系）：如图8（1）. ∵ △BOC 和△ABO 都是等边三角形， ∴ OD=OC, OB=OA,∠1=∠2=60°， 又∵OD=OA,
∴ OD ＝OB ，OA ＝OC ， ∴ ∠4=∠5，∠6=∠7. ∵ ∠DOB=∠1+∠3, ∠AOC=∠2+∠3, ∴∠DOB=∠AOC.
∵ ∠4+∠5+∠DOB=180°, ∠6+∠7+∠AOC=180°, ∴ 2∠5=2∠6 , ∴ ∠5=∠6，
又∵ ∠AEB=∠8-∠5， ∠8=∠2+∠6 ， ∴ ∠AEB ＝∠2＋∠5－∠5＝∠2 ， ∴ ∠AEB ＝60°.
解法二（利用三角形全等）：如图8（1）. ∵ △BOC 和△ABO 都是等边三角形，且OD=OA,
∴ OD=OC=OB=OA,∠1=∠2=60°，
∴ ∠4=∠5，∠6=∠7. ∵ ∠DOB=∠1+∠3, ∠AOC=∠2+∠3, ∴∠DOB=∠AOC.
B
O
3 2 图8（1）
4
8
6
5
E 7
1 D C
B
O
3 2 图8（2） 4
8
6
5 A
E 7
1
D
C
∴△DOB ≌△COA (SAS) ∴∠4=∠7
∴∠7+∠OCD+∠CDE=∠4+∠OCD+∠CDE=120° ∴∠AEB=∠CED=180°-120°=60°.
解法三（利用圆周角定理）：如图8（3），连结AD 、BC
∵ △BOC 和△ABO 都是等边三角形， 且点O 是线段AD 的中点， ∴ OD=OC=OB=OA, ∠1=∠2=60°,
∴四边形ABCD 内接于以OA 为半径的⊙O ， ∠3=2
1
∠1=30°， ∠4= 2
1
∠2=30°
∴∠AEB=∠3+∠4 = 60°.
B
O
3
2 图8（3）
4
A
E
1 D C。