2021年高一下学期期末考试(数学)
2021-2022学年天津市河西区、四十一中高一下学期期末考试数学试题(解析版)
天津市河西区、四十一中2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．实部为2-，虚部为1的复数所对应的点位于复平面内的( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限〖解 析〗实部为2-，虚部为1的复数所对应的点的坐标为(2,1)-，位于第二象限． 〖答 案〗B2．在频率分布直方图中，各个长方形的面积表示( ) A ．落在相应各组的数据的频数 B ．相应各组的频率C ．该样本所分成的组数D ．该样本的样本容量〖解 析〗频率分布直方图中，各个长方形的面积表示相应数据的频率， 它等于这组的频数除以样本容量的值， 小长方形的个数表示该样本所分成的组数． 〖答 案〗B3．已知(5,2)a =-，(4,3)b =--，(,)c x y =，若230a b c -+=，则(c = ) A ．8(1,)3B ．138(,)33C ．134(,)33D ．134(,)33-- 〖解 析〗由题意可得：23(133,43)0a b c x y -+=++=， 所以1330x +=，并且430y +=，所以133x =-，43y =-． 〖答 案〗D4．将无盖正方体纸盒展开如图，则直线AB 、CD 在原正方体中的位置关系是( )A ．平行B ．相交且垂直C ．相交成60︒D ．异面〖解 析〗将正方体还原得到A ，B ，C ，D 的位置如图因为几何体是正方体，所以连接AC ，得到三角形ABC 是等边三角形，所以60ABC ∠=︒；〖答 案〗C5．已知||4a =，e 为单位向量，当向量a 与e 的夹角θ等于150︒时，则向量a 在向量e 上的投影向量为( ) A ．2eB ．2e -C ．3eD ．3e -〖解 析〗||4a =，e 为单位向量，向量a 与e 的夹角θ等于150︒时，∴||||cos15041(a e a e ⋅=︒=⨯⨯=-∴向量a 在向量e 上的投影||a ee ⋅为-a 在向量e 上的投影向量为3e -． 〖答 案〗D6．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数．则下列事件是互斥事件但不是对立事件的是( ) A ．恰好有1件次品和恰好有2件次品B ．至少有1件次品和全是次品C ．至少有1件正品和至少有1件次品D ．至少有1件次品和全是正品〖解 析〗从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数，∴在A 中，恰好有1件次品和恰好有2件次品不能同时发生，但能同时不发生， ∴恰好有1件次品和恰好有2件次品是互斥事件但不是对立事件，故A 成立；在B 中，至少有1件次品和全是次品，能同时发生， ∴至少有1件次品和全是次品不是互斥事件，故B 不成立；在C 中，至少有1件正品和至少有1件次品能同时发生， ∴至少有1件正品和至少有1件次品不是互斥事件，故C 不成立；在D 中，至少有1件次品和全是正品不能同时发生，也不能同时不发生， ∴至少有1件次品和全是正品是对立事件，故D 不成立．〖答 案〗A7．两条异面直线与同一平面所成的角，不可能是( ) A ．两个角均为锐角 B ．一个角为0︒，一个角为90︒ C ．两个角均为0︒D ．两个角均为90︒〖解 析〗两条异面直线与同一平面所成的角，两个角均为锐角，所以A 正确， 如果异面直线互相垂直时，一条直线与平面平行，另一条直线与平面垂直， 满足一个角为0︒，一个角为90︒，所以B 正确；如果两条异面直线都与平面平行，此时两条异面直线与同一平面所成的角两个角均为0︒，所以C 正确；如果两个角均为90︒，则两条直线与平面垂直，两条直线是平行线，所以D 不正确． 〖答 案〗D8．袋子中有大小和质地完全相同的4个球，其中2个红球，2个白球，不放回地从中依次随机摸出2个球．设A = “两个球颜色相同”， B = “两个球颜色不同”，则( ) A ．P （A ）P =（B ） B ．2P （A ）P =（B ）C ．P （A ）2P =（B ）D ．3P （A ）P =（B ）〖解 析〗袋子中有大小和质地完全相同的4个球，其中2个红球，2个白球，不放回地从中依次随机摸出2个球．基本事件总数246n C ==， 设A = “两个球颜色相同”， B = “两个球颜色不同”，则A 中包含的基本事件个数221222m C C =+=，B 中包含的基本事件个数112224m C C ==， P ∴（A ）2163==，P （B ）4263==，2P ∴（A ）P =（B ）． 〖答 案〗B9．如图，圆柱OO '中，AA '是侧面的母线，AB 是底面的直径，C 是底面圆上一点， 则( )A ．BC ⊥平面A AC 'B ．BC ⊥平面A AB 'C ．AC ⊥平面A BC 'D ．AC ⊥平面A AB '〖解 析〗C 是底面圆周上异于A ，B 的任意一点，且AB 是圆柱底面圆的直径，BC AC ∴⊥，AA '⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，AA BC '∴⊥，AA AC A '=，AA '⊂平面AA C '，AC ⊂平面AA C '，BC ∴⊥平面A AC '．〖答 案〗A二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.10．已知i 是虚数单位，若复数z 满足(1)2i z +=，则z 的虚部为 ；z = ． 〖解 析〗(1)2i z +=，22(1)11(1)(1)i z i i i i -∴===-++-， 故z 的虚部是1-，1z i =+． 〖答 案〗1-，1i +11．某中学有高中生3500人，初中生1500人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为 ． 〖解 析〗分层抽样的抽取比例为701350050=， 总体个数为350015005000+=，∴样本容量1500010050n =⨯=． 〖答 案〗10012．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则四棱锥111A BB D D -的体积为 ．〖解 析〗由题意可知四棱锥111A BB D D -的底面是矩形，边长：1四棱锥的高：1112AC =．则四棱锥111A BB D D -的体积为：11133⨯=．〖答 案〗1313．从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是 ． 〖解 析〗从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数共有2510C =种情况， 和为5的有(1，4)(2，3)两种情况，故所求的概率为：20.210=． 〖答 案〗0.214．已知a ，b ，c 是直线，给出下列命题： ①若//a b ，//b c ，则//a c ； ②若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥； ③若//a b ，b c ⊥，则a c ⊥；④若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直． 其中真命题是 （写出所有正确命题的序号） 〖解 析〗已知a ，b ，c 是直线，给出下列命题：①若//a b ，//b c ，根据平行线的传递性可得：//a c ，正确； ②若a b ⊥，b c ⊥，则a 与c 平行、相交或为异面直线，因此不正确； ③若//a b ，b c ⊥，则a c ⊥，正确；④若a 与b 异面，则有无数条直线与a ，b 都垂直，因此不正确． 其中真命题是 ①③． 〖答 案〗①③15．在ABC ∆中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =．若2BD DC =，()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为 ． 〖解 析〗如图所示，ABC ∆中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =，2BD DC =，∴AD AB BD =+23AB BC =+2()3AB AC AB =+-1233AB AC =+，又()AE AC AB R λλ=-∈，∴12()()33AD AE AB AC AC AB λ⋅=+⋅-221212()3333AB AC AB AC λλ=-⋅-+221212()32cos603243333λλ=-⨯⨯⨯︒-⨯+⨯=-， ∴1113λ=，解得311λ=． 〖答 案〗311三、解答题：本大题共5小题，共49分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（9分）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F ，G 分别是AD ，BC 的三等分点1(3AF AD =，13BG BC =．设AB a =，AD b =．（1）用a ，b 表示EF ，EG ； （2）如果3||||2b a =，EF ，EG 有什么位置关系？用向量方法证明你的结论． 解：（1）11113232EF AF AE AD AB b a =-=-=-，1111122323EG EB BG AB AF AB AD a b =+=+=+=+， （2）EF EG ⊥，证明：由（1）得，1132EF b a =-，1132EG b a =+，∴2222111111191()()0323294944EF EG b a b a b a a a ⋅=-⋅+=-=⨯-=，∴EF EG ⊥，EF EG ∴⊥．17．（10分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin cos()6b A a B π=-． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）设2a =，3c =，求b ． 解：（Ⅰ） 在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=，又sin cos()6b A a B π=-．可得sin cos()6B B π=-，1sin sin 2B B B ∴=+，则tan B ． 又(0,)B π∈，可得3B π=．（Ⅱ） 在ABC ∆中，由余弦定理及2a =，3c =，3B π=，2222cos 49223cos73b ac ac B π∴=+-=+-⨯⨯⨯=，解得b =．18．（10分）为了了解某学校高一年级的712名学生身高的情况，现从该学校386名女生中抽取一个样本容量为27的样本，其观测数据（单位：)cm 如下： 163.0 164.0 161.0 157.0 162.0 165.0 158.0 155.0 164.0 162.5 154.0 154.0 164.0 149.0 159.0 161.0 170.0 171.0 155.0 148.0 172.0 162.5 158.0 155.5 157.0 163.0 172.0 （1）计算女生身高的样本平均数；（2）若该学校男生平均身高为170.6cm ，试估计该校高一年级学生的平均身高； （3）根据女生的样本数据估计该学校高一年级女生身高的第75百分位数． 解：（1）根据题意，女生身高的样本平均数1(163.0164.0161.0157.0162.0165.0158.0155.0164.0162.5154.027x =++++++++++ 154.0164.0149.0159.0161.0170.0171.0155.0148.0172.0162.5158.0155.5157.0163.0172.0)160.6cm ++++++++++++++++≈，（2）根据题意，高一年级共712名学生，其中女生386名，则男生有712386326-=， 则高一年级学生的平均身高为386160.6326170.6165.2712cm ⨯+⨯=，（3）根据题意，女生身高从小到大排列为：148、149、154、154、155、155.5、157、157、158、159、161、161、162、162.5、162.5、163、163、164、164、164、165、170、171、172、172， 又由2775%20.25⨯=，则女生身高的第75百分位数为第21个数据，即164， 故该学校高一年级女生身高的第75百分位数为164cm ．19．（10分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14． （1）记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求0X =，1X =的概率； （2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 解：（1）由题意可知1111(0)(1)(1)(1)2344P X ==-⨯-⨯-=，11111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)23423423424P X ==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=． （2）两辆车共遇到1个红灯的概率为11111111142424448P =⨯+⨯=， 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148． 20．（10分）如图，在四面体ABCD 中，ABC ∆是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，2AB =，AD =90BAD ∠=︒．（Ⅰ）求证：AD BC ⊥；（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．（Ⅰ）证明：由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ⋂平面ABD AB =，AD AB ⊥， 得AD ⊥平面ABC ，故AD BC ⊥；（Ⅱ）解：取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ，M 为棱AB 的中点，故//MN BC ，DMN ∴∠（或其补角）为异面直线BC 与MD 所成角，在Rt DAM ∆中，1AM =，故DM =，AD ⊥平面ABC ，故AD AC ⊥，在Rt DAN ∆中，1AN =，故DN ==在等腰三角形DMN 中，1MN =，可得12cos MNDMN DM ∠==．∴异面直线BC 与MD （Ⅲ）解：连接CM ，ABC ∆为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM AB ⊥，CM =又平面ABC ⊥平面ABD ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ，则CDM ∠为直线CD 与平面ABD 所成角．在Rt CAD ∆中，4CD =，在Rt CMD ∆中，sin CM CDM CD ∠==．∴直线CD 与平面ABD ．。
哈尔滨市第六中学2021-2022年度高一下学期期末考试数学试卷含答案
试卷第1页，共6页哈尔滨市第六中学2021级高一下学期期末考试数学试题一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设()21i 2z -=，则z =（）A．2BC ．1D ．22．某校有男生3000人，女生2000人，学校将通过分层随机抽样的方法抽取100人的身高数据，若按男女比例进行分层随机抽样，抽取到的学生平均身高为165cm ，其中被抽取的男生平均身高为172cm ，则被抽取的女生平均身高为（）A ．154.5cm B ．158cm C ．160.5cm D ．159cm 3．如图，四面体ABCD中，BD =，2AC =，M 、N 分别为BC 、AD 的中点，1MN =，则异面直线AC 与BD ）A ．3πB ．2πC ．6πD ．4π4．对于数据：2、6、8、3、3、4、6、8，四位同学得出了下列结论：甲：平均数为5；乙：没有众数；丙：中位数是3；丁：75百分位数是7，正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．45．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 中心，,E F 分别是11,BB DD 的中点，则下列结论正确的是（）A ．1AO //EFB ．1A O EF ⊥C ．1AO //平面1EFB D ．1A O ⊥平面1EFB 6．甲、乙两名同学均打算高中毕业后去A ，B ，C 三个景区中的一个景区旅游，甲、乙到A ，B ，C 三个景区旅游的概率分别如表，则甲、乙去不同景区旅游的概率为（）去A 景区旅游去B 景区旅游去C 景区旅游甲0.40.2乙0.30.6A ．0.66B ．0.58C ．0.54D ．0.52试卷第2页，共6页7．四棱锥P ABCD -的外接球O 的半径为2，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，2AB =，则平面PAD 截球O 所得的截面面积为（）A ．4πB ．3πC ．2πD ．π8．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，1PA AB BC ===，90ABC ∠= ，120PAB ∠= ，AB //DC ，2DC PC ==，则点P 到平面ABCD 的距离为（）ABC ．2D ．13二、多选题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，漏选得2分，错选得0分．）9．新中国成立以来，我国共进行了7次人口普查，这7次人口普查的城乡人口数据如图所示．根据该图数据判断，下列选项中正确的是（）A ．乡村人口数均高于城镇人口数B ．城镇人口比重的极差是50.63%C ．城镇人口数达到最高峰是第7次D ．和前一次相比，城镇人口比重增量最大的是第6次10．已知复数1z ，2z 满足1225i z z +=-，1223i z z -=，则（）A．1z B ．22i z =+C ．123iz z ⋅=+D ．22023iz在复平面内对应的点位于第一象限试卷第3页，共6页11．已知向量)a = ，()()cos ,sin 0b θθθπ=≤≤，则下列命题不正确的是（）A ．若a b ⊥，则tan θ=B ．若b 在a，则a 与b 夹角为23πC ．与a共线的单位向量只有一个为33⎛ ⎝⎭D ．存在θ，使得a b a b+=-12．如图，在菱形ABCD 中，2AB =，π3BAD ∠=，将ABD ∆沿BD 折起，使A 到A '，且点A '不落在底面BCD 内，若点M 为线段A C '的中点，则在ABD ∆翻折过程中，以下命题中正确的是（）A ．四面体A BCD '-的体积的最大值为1B ．存在某一位置，使得BM CD⊥C ．异面直线BM 与A D '所成的角为定值D ．当二面角A BD C '--的余弦值为13时，2A C '=三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．）13．为迎接创卫考核，现从高二（11）班随机选取两名学生参加问卷调查．已知选中的两名学生都是男生的概率是352，选中的两名学生都是女生的概率是2952，则选中的两名学生是一男一女的概率是；14．有一组样本数据1x ，2x ，…，6x 如右表：由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，6y ，其中2(1,2,,6)3i i y x c i =+= ，c 为常数，则数据1y ，2y ，…，6y 的方差为；15．嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存最早的砖塔．如图，为测量塔的总高度AB ，选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ，现测得30BCD ∠= ，45BDC ∠=，CD =，在C 点测得塔顶A 的仰角为60 ，则塔的总高度为m ；16．在ABC ∆中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知2a =，222sin 3sin 2sin A B a C +=，则cos C 的最小值为．1x 2x 3x 4x 5x 6x 567576试卷第4页，共6页四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题10分）某高中学校为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需要了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生的认可系数（认可系数=100认可程度平均分）不低于0.85，“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改．为此该部门随机调查了600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中x 的值和中位数；(2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，该部门从评分低于80分的学生中用比例分配的分层随机抽样的方法随机选取30人进行座谈，求应选取评分在[60,70)的学生人数；(3)根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由．18．（本小题12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面11ADD A 为矩形，22AB AD ==，160D DB ∠=︒，1BD AA ==(1)证明：平面ABCD ⊥平面11BDD B ；(2)求三棱锥11D BCB -的体积．试卷第5页，共6页19．（本小题12分）某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下表：消费次数第1次第2次第3次第4次消费5次及以上收费比例10.950.900.850.80该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下表：消费次数第1次第2次第3次第4次消费5次及以上频数60201055假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：(1)估计该公司一位会员至少消费两次的概率；(2)某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；(3)该公司要从这100位里消费二次和三次的顾客中按消费次数用分层随机抽样方法抽出6人，再从这6人中抽出2人发放纪念品，求抽出的2人中恰有1人消费二次的概率．20．（本小题12分）在如图所示的几何体中，ABE ∆、BCE ∆、DCE ∆都是等腰直角三角形，AB AE DE DC ===，且平面ABE ⊥平面BCE ，平面DCE ⊥平面BCE ．(1)求证：AD ∥平面BCE ；(2)求直线AB 与平面EAD 所成角的正弦值．试卷第6页，共6页21．（本小题12分）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C的对边，且cos sin a C C b c -=-．(1)求角A (2)若2c =，角B 的平分线BD 交AC 于点D，且BD =ABC ∆的面积．22．（本小题12分）如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠= ，点,M N 分别是边,BC CD 的中点，1AC BD O = ，AC MN G = ．沿MN 将CMN ∆翻折到PMN ∆的位置，连接PA 、PB 、PD ，得到如图2所示的五棱锥P ABMND -．(1)在翻折过程中是否总有平面PBD ⊥平面PAG ？证明你的结论；(2)当四棱锥P MNDB -体积最大时，在线段PA 上是否存在一点Q ，使得平面QMN 与平面PMNQ的位置；若不存在，请说明理由．1-4.CADB 5-8.BABB 9.BC10.ACD 11.BCD 12.ABD13.51314.82715.64316.3417.(1)由图可知：10.0150.020.030.025,0.0110x x ++++=∴=，中位数：()0.50.10.150.252458010800.333-+++⨯=+=.(2)低于80分的学生中三组学生的人数比例为0.1:0.15:0.22:3:4=，则应选取评分在[)60,70的学生人数为：33010234⨯=++（人）.(3)由图可知，认可程度平均分为：550.1650.15750.2850.3950.2579.50.8510085⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=<⨯=，∴“美食"工作需要进一步整改.18.(1)证明：ABD △中，因为2AB =，1AD =，3BD =所以222AB AD BD =+.所以AD BD ⊥，又侧面11ADD A 为矩形，所以1AD DD ⊥，又1BD DD D = ，BD ，1DD ⊂平面11BDD B .所以AD ⊥平面11BDD B ，又AD ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面11BDD B .(2)解：因为AD BC ∥，AD ⊥平面11BDD B ，所以BC ⊥平面11BDD B ，易得1BC =，113B D =13B B =，1160D B B ∠=︒，所以11BB D △的面积11133333224BB D S ==△.三棱锥11D BCB -的体积1111111133313344D BCB C BB D BB D V V S BC --==⋅=⨯⨯=△19.(1)100位会员中，至少消费两次的会员有40位，所以估计一位会员至少消费两次的概率为400.4100=.(2)该会员第1次消费时，公司获得的利润为20015050-=（元），第2次消费时，公司获得的利润为2000.9515040⨯-=（元），所以公司获得的平均利润为5040452+=（元）.(3)因为20:10=2:1，所以用分层随机抽样方法抽出的6人中，消费2次的有4人，分别设为1234,,,A A A A ，消费3次的有2人，分别设为12,B B ，从中抽出2人，总的抽取方法有121314A A A A A A ，，，1112,A B A B ，23242122A A A A A B A B ，，，,343132414212A A A B A B A B A B B B ，，，，，，共15种，其中恰有1人消费两次的抽取方法有1112,A B A B ，2122A B A B ，，3132A B A B ，，4142A B A B ，，，共8种，所以抽出的2人中恰有1人消费两次的概率为815P =20.(1)证明：分别取,EB EC 的中点,O H ，连接,,AO DH OH ，设1AB AE DE DC ====，则2EB EC ==，,,AB AE BO OE AO BE ==∴⊥ ，又平面ABE ⊥平面BCE ，平面ABE 平面,BCE BE AO =⊂平面ABE ，AO ∴⊥平面BCE ，同理可证DH ⊥平面BCE ，//AO DH ∴，又因为22AO DH ==，所以四边形AOHD 是平行四边形，//AD OH ∴，又AD ⊄Q 平面,BCE OH ⊂平面BCE ，//AD ∴平面BCE ；(2)如图，取BC 的中点为F ，则OF BE ⊥，以点O 为坐标原点，,,OB OF OA 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则2222220,0,,,,,,,0,0222222A B D E ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则2222BA ⎛=-⎝⎭ ，则2222,0,,AE DE ⎛⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面ADE 的一个法向量为(),,n a b c =，则2200022022a c b c ⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪-=⎪⎩，令1a =，得平面ADE 的一个法向量为()1,1,1n=-，设直线BA 与平面EAD 夹角为θ，则6sin |cos ,|3B BA n BA n A nθ⋅=<>== ，所以直线BA 与平面EAD 夹角的正弦值为6321.(1)在 中，由正弦定理及cos 3sin a C a C b c =-得：()sin cos 3sin sin sin sin A C A C A C C =+-，整理得cos sin 3sin sin A C A C C =，而0πC <<，则cos 31A A =，即π1sin()62A +=，又0πA <<，有ππ7π666A <+<，解得π5π66A +=，所以2π3A =.(2)如图，在ABD △中，由余弦定理得：2222cos AB AD AB AD A BD +-⋅=，即2230AD AD +-=，解得1AD =，因BD 平分ABC ∠，11sin sin 2211sin sin(π)22ABD CBD AB BD ABD AD BD ADBS AB AD BC S CDBC BD CBD CD BD ADB ⋅∠⋅∠====⋅∠⋅-∠ ，即2BC AB CD AD ==，在BDC 中，2222cos 227CD BD BC BDC CD BD CD +-∠=⋅又22227cos cos 27AD BD AB BDC BDA BD AD +-∠=-∠=-=-⋅22727CD =，即23470CD CD --=，而0CD >，解得：73CD =，有103AC AD CD =+=，所以ABC 的面积1110353sin 222323AB AC A S =⋅=⨯⨯⨯.22.(1)在翻折过程中总有平面PBD ⊥平面PAG ，证明：∵点M ，N 分别是边CD ，CB 的中点，又60DAB ∠=︒，∴BD MN ∥，且PMN 是等边三角形，∵G 是MN 的中点，∴MN PG ⊥，∵菱形ABCD 的对角线互相垂直，∴BD AC ⊥，∴MN AC ⊥，∵AC PG G ⋂=，AC ⊂平面PAG ，PG ⊂平面PAG ，∴MN ⊥平面PAG ，∴BD ⊥平面PAG ，∵BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面PAG ．(2)要使得四棱锥P MNDB -体积最大，只要点P 到平面MNDB ∴当PG ⊥平面MNDB 时，点P 到平面MNDB 3假设符合题意的点Q 存在．以G 为坐标原点，GA ，GM ，GP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则()33,0,0A ，()0,1,0M ，()0,1,0N -，(3P ，AG PG ⊥，又AG MN ⊥，且MN PG G ⋂=，MN ⊂平面PMN ，PG ⊂平面PMN ，AG ⊥平面PMN ，故平面PMN 的一个法向量为()11,0,0n =u r，设AQ AP λ=（01λ≤≤），∵(33,0,3AP =- ，()333AQ λλ=-，故)()3313λλ-，∴()0,2,0NM =，)()331,1,3QM λλ=- ，平面QMN 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则20n NM ⋅= ，20n QM ⋅=，即)222220,33130,y x y z λλ=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩令21z =，所以()220,31y x λλ=⎧⎪⎨=⎪-⎩()()()()211,0,1,0,313131n λλλλ⎛⎫==- ⎪ ⎪--⎝⎭，则平面QMN 的一个法向量()(),0,31n λλ=-，设两平面夹角为θ，则()122110cos 1091n n n n λθλλ⋅==+- 12λ=，故符合题意的点Q 存在且Q 为线段PA 的中点．。
2021-2022学年山东省青岛市莱西市高一下学期期末考试数学试题(解析版)
山东省青岛市莱西市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数13z i =-+，i 为虚数单位，则z 的共轭复数为( ) A ．13i + B ．13i - C ．13i -- D ．3i -〖解 析〗13z i =-+，∴13z i =--．〖答 案〗C2．一支野外科学考察队有男队员56人，女队员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体队员中抽出一个容量为28的样本，如果样本按比例分配，那么下面说法正确的为( )A ．男队员应抽取12人B ．男队员应抽取16人C ．女队员应抽取6人D ．女队员应抽取14人〖解 析〗由分层抽样的定义可知，男队员应抽取5628165642⨯=+人，女队员应抽取281612-=人．〖答 案〗B3．若||2a =，(1,1)b =-，a 与b 共线，则向量a 的坐标可能为( )A ．(1,1)a =-B ．(1,1)a =C ．2(,2a = D ．2(,2a =-〖解 析〗设(,)a x y =，||2a =，(1,1)b =-，且a 与b 共线，则2220x y x y ⎧+=⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩或11x y =-⎧⎨=⎩，即(1,1)a =-或(1,1)a =-（舍去）． 〖答 案〗A4．下列命题正确的为( ) A ．两条直线确定一个平面 B ．一条直线和一个点确定一个平面C ．若直线在平面外，则这条直线与这个平面没有公共点D ．若两条直线没有公共点，则这两条直线为平行直线或异面直线〖解 析〗在A 中，由平面基本性质的推论2，3得到：两条相交直线能确定一个平面，两条平行直线能确定一个平面，故A 错误；在B 中，一条直线和这条直线外一个点可以确定一个平面，故B 错误；在C 中，若直线在平面外，包括直线和平面平行和直线和平面相交，若直线和平面相交，则这条直线与这个平面有一个公共点，故C 错误；在D 中，若两条直线没有公共点，则这两条直线为平行直线或异面直线，故D 正确． 〖答 案〗D5．下列说法正确的为( )A ．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B ．事件A 与事件B 中至少有一个发生的概率一定比A 与B 中恰有一个发生的概率大C ．事件A 与事件B 中同时发生的概率一定比A 与B 中恰有一个发生的概率小D ．设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，则()P AB P =（A ）P +（B ）()P AB -〖解 析〗对A ，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故A 错误； 对B ，当事件A 与事件B 为对立事件时，事件A 与事件B 中至少有一个发生的概率和A 与B 中恰有一个发生的概率相等，故B 错误；对C ，当A B =时，事件A 与事件B 中同时发生的概率等于A 与B 中恰有一个发生的概率，故C 错误；对D ，设A ，B 是一个随机试验中的两个事件， 则()P AB P =（A ）P +（B ）()P AB -正确，故D 正确．〖答 案〗D6．要得到()sin(4)3g x x π=+的图象，只需要将22()cos 2sin 2f x x x =-的图象( )A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移24π个单位长度C ．向左平移12π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度 〖解 析〗22()cos 2sin 2cos4sin(4)sin 4()sin 4[()]282412f x x x x x x x ππππ=-==+=+=++，又()sin(4)sin 4()312g x x x ππ=+=+，故要得到函数()sin(4)3g x x π=+的图象，只需将函数()sin 4[()]2412f x x ππ=++的图象向右平移24π个单位长度即可． 〖答 案〗B7．为了普及环保知识，某学校随机抽取了30名学生参加环保知识测试，得分（十分制，单位：分）的统计数据如表：设这30名学生得分的中位数为m ，众数为n ，平均数为x ，则下列选项正确的为( ) A ．m n x ==B ．m n x =<C ．m n x <<D ．n m x <<〖解 析〗这30名学生得分的中位数为565.52m +==，众数为5n =， 平均数1(324351066738292102) 5.9630x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 故n m x <<． 〖答 案〗D8．已知球O 是正三棱锥A BCD -（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，3BC =，AB =E 在线段BD 上，且3BD BE =．过点E 作球O 的截面，则所得截面面积的最小值是( ) A ．2πB ．3πC ．4πD ．5π〖解 析〗如图，1O 是A 在底面的射影，由正弦定理得，BCD ∆的外接圆半径131sin602r =⨯=︒；由勾股定理得棱锥的高13AO ==；设球O 的半径为R ，则22(3)R R =-，解得2R =，所以11OO =；在△1BO E 中，由余弦定理得2113211O E =+-⨯=，所以11O E =；所以在1OEO ∆中，OE ；当截面垂直于OE =2π． 〖答 案〗A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．连续抛掷一枚质地均匀的硬币两次，下面说法正确的为( ) A ．两次均正面朝上的概率为12 B ．两次均反面朝上的概率为14C ．两次中，一次正面朝上，另一次反面朝上的概率为14D ．两次中，至少一次正面朝上的概率为34〖解答〗对A ，两次均正面朝上的概率为111224⨯=，故A 错误；对B ，两次均反面朝上的概率为111224⨯=，故B 正确；对C ，两次中，一次正面朝上，另一次反面朝上的概率为1111122222⨯+⨯=，故C 错误；对D ，两次均正面朝上的概率为111224⨯=，故两次中，至少一次正面朝上的概率为13144-=，故D 正确． 〖答 案〗BD10．已知三个不同的平面α，β，γ和三条不同的直线m ，n ，l ，下列命题中为真命题的是( )A ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥B ．若//m n ，//m α，则//n αC ．若m αβ=，n α⊂，l β⊂，//n l ，则////m n lD ．若αγ⊥，//αβ，则βγ⊥〖解 析〗选项A ，由线面垂直的性质定理知，若//m n ，m α⊥，则n α⊥，即A 正确； 选项B ，若//m n ，//m α，则//n α或n α⊂，即B 错误； 选项C ，因为l β⊂，//n l ，n β⊂/，所以//n β，又m αβ=，n α⊂，所以//n m ，由平行线的传递性知，////m n l ，即C 正确；选项D ，由面面垂直的性质定理知，若αγ⊥，//αβ，则βγ⊥，即D 正确． 〖答 案〗ACD11．给出以下24个数据：148.0 149.0 154.0 154.0 155.0 155.0 155.2 157.0 158.0 158.0 159.0 159.5 161.5 162.0 162.5 162.5 163.0 163.0 164.0 164.1 165.0 170.0 171.0 172.0 对于以上给出的数据，下列选项正确的为( ) A ．极差为24.0B ．第75百分位数为164.0C ．第25百分位数为155.2D ．80%分位数为164.1〖解 析〗对于A ，由题意可得，极差为17214824-=，故A 正确， 对BCD ，25%246⨯=，75%2418⨯=，80%2419.2⨯=，∴样本数据的第25，75，80百分位数为第6，7为的平均数，第18，19的平均数，第20项数据，即分别为155155.2155.12+=，163164163.52+=，164.1，故BC 错误，D 正确． 〖答 案〗AD12．在ABC ∆中，135BAC ∠=︒，6AB =，AC =D 为BC 边上的一点，且D 到A ，B 距离相等，则下列结论正确的为( )A．sin ABC ∠=B．BD =C ．ABC ∆外接圆的面积为45πD ．18ABC S ∆=〖解 析〗在ABC ∆中，135BAC ∠=︒，6AB =，AC =由余弦定理可得2222cos 90BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=，BC ∴=由正弦定理可得sin sin AC BCABC BAC=∠∠，sin ACin BAC ABC BC ∠∴∠===，由角B为锐角知cos B A 错误； 过点D 作AB 的垂线DE ， 如图，由AD BD =得cos cos DAE B ∠=，132AE AB ==， Rt ADE ∆，3cos cos AE AD DAE B ====∠BD AD ∴==B 正确；由正弦定理可知，ABC ∆外接圆的直径2sin BC R A ==，R = ABC ∴∆外接圆的面积为245S R ππ==，故C 正确；由三角形面积公式可得11sin 6922ABC S AB AC A ∆=⋅⋅=⨯⨯=，故D 错误． 〖答 案〗BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数z 满足46z i zi +=+，其中i 为虚数单位，则复数z = ． 〖解 析〗设z a bi =+，a ，b R ∈，46z i zi +=+，46()6a bi i a bi i b ai ∴++=++=-+，即64a bb a =-⎧⎨+=⎩，解得5a =，1b =， 故5z i =+． 〖答 案〗5i +14．已知1sin cos 5αα+=，0απ，则cos 2α= ．〖解 析〗由1sin cos 5αα+=，两边平方得：112sin cos 25αα+=，可得242sin cos 25αα=-，0απ，∴2παπ<，则sin 0α>，cos 0α<，7sin cos 5αα∴-． 解得4sin 5α=，3cos 5α=-，∴cos2α．〖答 15．已知(12,1)a k =-，(3,)b k =-，若a 与b 的夹角为钝角，则实数k 的取值范围为 ． 〖解 析〗由已知条件可得，0a b ⋅<且,a b 不共线， 则3(12)0(12)3a b k k k k ⎧⋅=--<⎪⎨-≠-⎪⎩，解得37k <且1k ≠-，故实数k 的取值范围为(-∞，31)(1,)7--．〖答 案〗(-∞，31)(1,)7--16．（3分）某传媒机构举办闯关答题比赛，比赛分两轮，每轮共有4道题，参赛者必须从前往后逐道题回答．在第一轮中，若中途回答错误，立马淘汰，若四道题全部回答正确，就能获得一枚复活币并进入下一轮答题，这枚复活币在下一轮答题中最多只能使用一次；在第二轮中，若首次遇到某一道题回答错误时，系统会自动使用第一轮获得的一枚复活币复活一次，即视为答对该道题，其后若回答错误，和第一轮一样，立马淘汰；两轮都通过就可以获得优胜者纪念奖章．对于每轮的4道题，若某参赛者从前往后每道题回答正确的概率均依次为910，89，34，13，且每道题回答正确与否不受其它题的影响，则该参赛者能进入第二轮答题的概率为 ；该参赛者能获得优胜者纪念奖章的概率为 ． 〖解 析〗该参赛者能进入第二轮答题的概率为98311109435⨯⨯⨯=； 该参赛者能获得优胜者纪念奖章的概率：198311831913198119832257()510943109431094310943109431800⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=． 〖答 案〗15，2571800四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知复数22(710)(56)z m m m m i =-++-+，i 为虚数单位，m R ∈． （Ⅰ）若z 为纯虚数，求m 的值；（Ⅱ）若在复平面上表示复数z 的点位于第二象限，求m 的取值范围； （Ⅲ）若在复平面上表示复数z 的点位于直线2140x y --=上，求m 的值． 解：(I)z 为纯虚数，∴225607100m m m m ⎧-+≠⎨-+=⎩，解得5m =． (II)在复平面上表示复数z 的点位于第二象限，则225607100m m m m ⎧-+>⎨-+<⎩，解得35m <<，故m 的取值范围为(3,5)．(III)在复平面上表示复数z 的点位于直线2140x y --=上，则222(710)(56)140m m m m -+--+-=，解得0m =或9． 18．（12分）试分别解答下列两个小题：（Ⅰ）已知||6a =，||4b =，(2)(3)480a b a b +⋅-+=，求向量a 与b 的夹角θ； （Ⅱ）已知3sin()cos cos()sin 5βαβαββ---=，α是第三象限角，求3tan(2)4πα+的值． 解：（Ⅰ）由已知，||6a =，||4b =，(2)(3)480a b a b +⋅-+=， 所以22648a b a b --⋅=-，将||6a =，||4b =，代入上式得12a b ⋅=-， 故1cos 2||||a b a b θ⋅==-，[0θ∈，]π，故23πθ=；（Ⅱ）由3sin()cos cos()sin 5βαβαββ---=， 得3sin[()]sin()5βαβα--=-=，故3sin 5α=-，因为α为第三象限角，故4cos 5α=-，所以3tan 4α=，所以22tan 24tan 217tan ααα==-， 所以2413177tan(2)244311(1)7πα-+==-⨯-． 19．（12分）试分别解答下列两个小题：（Ⅰ）一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其它差异．采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球．设事件A = “第一次摸出球的标号小于3”，事件B = “第二次摸出球的标号小于3”，试判断事件A 与事件B 是否相互独立？请写出判断过程；（Ⅱ）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为1DD 的中点，N 为1CC 的中点，求证：平1//NBD 平面MAC ．(I)解：因为样本空间{(,)|m n m Ω=，{1n ∈，2，3，4}，且}m n ≠， {(1,2)A =，(1.3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)}， {(1,2)B =，(2.1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，由题意可知，P （A ）P =（B ）61122==，21()126P AB ==， 此时()P AB P ≠（A ）P （B ），因此事件A 与事件B 不相互独立； (II)证明：连接BD 交AC 于O ，连接OM ，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，可知ABCD 是平行四边形， 所以O 是BD 的中点，因为M 为1DD 的中点，所以1//MO D B ， 又MO ⊂平面MAC ，1BD ⊂/平面MAC ，所以1//BD 平面MAC ， 又因为M 为1DD 的中点，N 为1CC 的中点， 所以四边形1MCND 为平行四边形，所以1//ND CM ，又CM ⊂平面MAC ，1ND ⊂/平面MAC ，所以1//ND 平面MAC ， 又111BD ND D =，1BD ，1ND ⊂平面1BND所以平面1//NBD 平面MAC ．20．（12分）为调查禽类某种病菌感染情况，某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中A 指标的值．养殖场将某周的5000只家禽血液样本中A 指标值的检测数据进行整理，发现这些数据均在区间[1，15]内，现将这些数据分成7组：第1组，第2组，第3组，⋯，第7组对应的区间分别为[1，3)，[3，5)，[5，7)，⋯，[13，15]，绘成如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a 的值；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这5000只家禽血液样本中A 指标值的中位数和85%分位数（结果保留两位小数）；（Ⅲ）现从第2组A 指标值对应的家禽中抽取4只，分别记为1R ，2R ，3R ，4R ，从第5组A 指标值对应的家禽中抽取3只，分别记为1E ，2E ，3E ，然后将这7只家禽混在一起作为一个新的样本Ω，从Ω中任取2只家禽进行δ指标值的检测，求从Ω中取到的两只家禽的A 指标值的差的绝对值小于2的概率．解：（Ⅰ）由题意可得：2(0.020.060.180.050.030.02)1a ⨯++++++=，则0.14a =； （Ⅱ）由题意，每组的频率依次为：0.04，0.12，0.28，0.36，0.10，0.06，0.04， 0.040.120.280.440.50++=<，0.040.120.280.360.700.50+++=>，∴中位数位于[7，9)内，设为m ，则0.440.18(7)0.50m +⨯-=，7.33m ∴≈，0.040.120.280.360.800.85+++=<，0.040.120280.360.100.900.85++++=>， 85%∴分位数为[9，11)的中点10.00；（Ⅲ）从Ω中任取2只，共2721C =个基本事件，记“从Ω中取到的两只家禽的a 指标值的差的绝对值小于2”为事件B ，则事件B 共9个基本事件，∴从Ω中取到的两只家禽的A 指标值的差的绝对值小于2的概率P （B ）93217==． 21．（12分）如图①，在平行四边形11ABB A 中，160ABB ∠=︒，4AB =，12AA =，C ，1C 分别为AB ，11A B 的中点，现把平行四边形11AA C C 沿1CC 折起如图②所示．在图②中，连接1AB ，11A B ，若1AB =（Ⅰ）求证：平面11AAC C ⊥平面11BB C C ；（Ⅱ）求平面11AA B 与平面11BB C C 所成的锐二面角的大小． （1）证明：取1CC 的中点O ，连接OA ，1OB ，1AC ，在平行四边形11ABB A 中，160ABB ∠=︒，4AB =，12AA =，C 、1C 分别为AB 、11A B 的中点，1ACC ∴∆，△11B CC 为正三角形，则1AO CC ⊥，160ABB ∠=︒，4AB =，12AA =，C 、1C 分别为AB 、11A B 的中点，2AC ∴=，1OA OB ==1AB =22211OA OB AB +=，则三角形1AOB 为直角三角形，则1AO OB ⊥， 又1OB ⊂平面11BB C C ，1CC ⊂平面11BB C C ，11OB CC O =，AO ∴⊥平面11BB C C ，又AO ⊂平面11AA C C ，∴平面11AAC C ⊥平面11BB C C ；(II)解：以O 为原点，以OC ，1OB ，OA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(1C ，0，0)，1(0B0)，1(1C -，0，0)，(0A ，0， 则1(2CC =-，0，0)，则11(2AA CC ==-，0，0)，1(0AB =，(1AC =，0，， 设平面11AB A 的一个法向量为(n x =，y ，)z ，则113020n AB y n AA x ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1z =，则1y =，0x =，∴平面11AB A 的一个法向量为(0n =，1，1)，(0OA ∴=，0为平面11BB C C的一个法向量，则cos OA <，3||||3OA n n OA n ⋅>===⋅⨯OA <，45n >=︒，∴平面11AA B 与平面11BB C C 所成的锐二面角的大小45︒．22．（12分）如图所示，某住宅小区一侧有一块三角形空地ABO ，其中3OA km =，OB =，90AOB ∠=︒．物业管理拟在中间开挖一个三角形人工湖OMN ，其中M ，N 都在边AB 上(M ，N 不与A ，B 重合，M 在A ，N 之间），且30MON ∠=︒．（Ⅰ）若M 在距离A 点2km 处，求点M ，N 之间的距离；（Ⅱ）为节省投入资金，三角形人工湖OMN 的面积要尽可能小．试确定M 的位置，使OMN ∆的面积最小，并求出最小面积．解：（Ⅰ）在ABO ∆中，因为3,90OA OB AOB ==∠=︒，所以60OAB ∠=︒，在OAM ∆中，由余弦定理得：2222cos 7OM AO AM AO AM A =+-⋅=，所以OM所以222cos 2OA OM AM AOM AO AM +-∠==⋅， 在OAN ∆中，sin sin()sin(90)cos ONA A AON AOM AOM ∠=∠+∠=∠+︒=∠= 在OMN ∆中，由sin30sin MN OMONA =︒∠，得1724MN ==； （Ⅱ）解法1：设AOM θ∠=，060θ︒<<︒， 在OAM ∆中，由sin sin OM OAOAB OMA=∠∠，得OM =， 在OAN ∆中，由sin sin ON OAOAB ONA=∠∠，得ON =，所以111sin 222OMN S OM ON MON ∆=⋅∠=2716sin(60)cos θθ==+︒=60θ=<<︒．当26090θ+︒=︒，即15θ=︒时，OMNS∆所以应设计15AOM∠=︒，可使OMN∆2.解法2：设AM x=，03x<<．在OAM∆中，由余弦定理得22222cos39OM AO AM AO AM A x x=+-⋅⋅=-+，所以OM222cos2OA OM AMAOMOA OM+-∠==⋅，在OAN∆中，sin sin()ONA A AON∠=∠+∠sin(90)cosAOM AOM=∠+︒=∠=由sin sinON OAOAB ONA=∠∠，得36ONx==-，所以1sin2OMNS OM ON MON∆=⋅⋅∠1122==03x<<，令6x t-=，则6x t=-，36t<<，则：27339)9)4OMNS tt∆=-+⋅=当且仅当27tt=，即t=，6x=-OMNS∆所以M的位置为距离A点6-处，可使OMN∆的面积最小，最小面积是2．。
2021-2022学年四川省遂宁市高一下学期期末考试数学试题(解析版)
四川省遂宁市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．cos10cos20sin10sin20︒︒-︒︒等于( )A ．BC ．12D ．12-〖解 析〗因为cos10cos20sin10sin 20cos(1020)cos30︒︒-︒︒=︒+︒=︒= 〖答 案〗B2．已知等差数列{}n a 中，23a =-，35a =-，则9(a = ) A ．10-B ．17-C ．19-D ．21-〖解 析〗等差数列{}n a 中，23a =-，35a =-，322d a a ∴=-=-，9273(2)717a a d ∴=+=-+-⨯=-．〖答 案〗B3．若0a b >>，0c d <<，则一定有( ) A ．0a bc d-> B ．0a b c d-< C ．a b d c> D ．a b d c< 〖解 析〗0c d <<，0c d ∴->->，0a b >>，ac bd ∴->-，∴ac bd cd cd -->，∴a bd c<． 〖答 案〗D4．设一元二次不等式210ax bx ++>的解集为1(1,)3-，则ab 的值为( )A ．6-B ．5-C ．6D ．5〖解 析〗不等式210ax bx ++>的解集为1{|1}3x x -<<，0a ∴<，∴原不等式等价于210ax bx ---<，由根与系数的关系，得113ba-+=-，113a -⨯=，3a ∴=-，2b =-，6ab ∴=．〖答 案〗C5．下列函数中最小值为4的是( )A ．224y x x =++B ．4|sin ||sin |y x x =+C ．222x x y -=+D ．4y lnx lnx=+〖解 析〗对于A ，2224(1)33y x x x =++=++， 所以函数的最小值为3，故选项A 错误； 对于B ，因为0|sin |1x <，所以4|sin |2|sin |4|sin |y x x x =+=，当且仅当4|sin ||sin |x x =，即|sin |2x =时取等号， 因为|sin |1x ，所以等号取不到， 所以4|sin |4|sin |y x x =+>，故选项B 错误； 对于C ，因为20x >，所以24422222422x x x x xxy -=+=+⋅， 当且仅当22x =，即1x =时取等号， 所以函数的最小值为4，故选项C 正确； 对于D ，因为当1x e=时，1414541y ln e ln e=+=--=-<， 所以函数的最小值不是4，故选项D 错误． 〖答 案〗C6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π〖解 析〗由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为圆柱，圆柱的底面半径为1，高为4， 则圆柱的体积2144V ππ=⨯⨯=． 〖答 案〗A7．在数列{}n a 中，114a =-，111(2,*)n n a n n N a -=-∈，则2022a 的值为( )A ．14-B ．5C ．45D ．54〖解 析〗在数列{}n a 中，114a =-，111(2,*)n n a n n N a -=-∈，2111145a a ∴=-=+=，321415a a =-=，431114a a =-=-， ∴数列{}n a 是以3为周期的周期函数，20226743345a a a ⨯∴===． 〖答 案〗C8．三角形ABC 中，D 为边BC 上一点，且满足3BD DC =，则AD 等于( ) A ．1344AB AC + B ．3144AB AC + C ．1344AB AC - D ．3144AB AC - 〖解 析〗3313()4444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+．〖答 案〗A9．已知数列{}n a 为等比数列，且22642a a a π+=，则35tan()(a a = ) AB．C． D．〖解 析〗由等比数列{}n a 的性质可得：226354a a a a a ==，∴22643523a a a a a π+==，353a a π∴=．则35tan()tan 3a a π==．〖答 案〗A10．在2022北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同，即太阳照射物体影子的长度增长或减少的量相同，周而复始（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则大雪所对的晷长为( )A ．11.5尺B ．12.5尺C ．13.5尺D ．14.5尺〖解 析〗设相邻两个节气晷长减少或增加的量为(0)d d >，则立冬到大雪增加2d ， 大雪到雨水先增加一个d 再减少4d ，设大雪的晷长为x ，则49.510.52x d d d x +-=⎧⎨+=⎩，解得112.5d x =⎧⎨=⎩．〖答 案〗B11．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2sin sin c ba B C+=，则ABC ∆是( ) A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形 〖解 析〗根据题意，ABC ∆中，2sin sin c ba B C+=， 由正弦定理可得：sin sin 2sin sin sin C BA B C+=， 又由左式sin sin sin 22sin sin sin C B B B C C =+⨯=，当且仅当sin sin B C =时等号成立， 而右式2sin 2A ，则有sin sin B C =且sin 1A =，即b c =且2A π=，故ABC ∆是等腰直角三角形． 〖答 案〗C12．设等差数列{a n }满足：，公差d ∈（﹣1，0）．若当且仅当n ＝10时，数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值，则首项a 1的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．〖解 析〗由，得，整理，得，所以sin （3d ）＝﹣1，因为公差d ∈（﹣1，0），所以3d ∈（﹣3，0）， 则．所以， 设，其图像的对称轴方程为，由题意，当且仅当n ＝10时，数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值， 所以，解得，则首项a 1的取值范围是．〖答 案〗A二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知||1,||2a b ==，a 与b 的夹角60θ=︒，则向量b 在向量a 方向上的投影为 ． 〖解 析〗依题意，向量b 在向量a 方向上的投影为1||cos 212b θ=⨯=． 〖答 案〗114．已知等比数列{}n a 中，1354a a a ⋅⋅=，公比q ，则456a a a ⋅⋅= ．〖解 析〗等比数列{}n a 中，1354a a a ⋅⋅=，公比q =32645613544832a a a a a a q q q q ∴⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⨯=⨯=．〖答 案〗3215．已知圆锥的侧面积（单位：2)cm 为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：)cm 是 ．〖解 析〗圆锥侧面展开图是半圆，面积为22cm π，设圆锥的母线长为acm ，则2122a ππ⨯=，2a cm ∴=，∴侧面展开扇形的弧长为2cm π，设圆锥的底面半径OC rcm =，则22r ππ=，解得1r cm =． 〖答 案〗1cm16．已知方程22(2)(2)0x x m x x n -+-+=的四个根组成一个首项为14的等差数列，设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且4||b m n =-，2A B =，则a 的取值范围为 ．〖解 析〗设方程22(2)(2)0x x m x x n -+-+=的四根分别为1a 、2a 、3a 、4a ， 则数列1a 、2a 、3a 、4a 是首项为14的等差数列，设其公差为d ， 由等差数列的性质，可得1423a a a a +=+，无妨设1a 、4a 为方程220x x m -+=的两根，则2a 、3a 为方程220x x n -+=的两根， 由韦达定理，可得144124a a a +=+=，474a ∴=，41132a a d -==，则234a =，354a =，此时14716m a a ==，231516n a a ==，则1||2m n -=，2b ∴=，三角形ABC 为锐角三角形，∴02022032B B B ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，∴64B ππ<<，cos (2B ∴∈，由正弦定理，得sin sin a b A B =，∴2sin cos sin a b B B B=，4cos a B ∴=∈．〖答 案〗，三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）已知(1,2)a =，(2,3)b =-，c a b λ=+． （1）当1λ=-时，求a c ⋅的值； （2）若()a b c +⊥，求实数λ的值． 解：（1）当1λ=-时，(1,2)a =，(2,3)b =-，∴(1,5)c a b a b λ=+=-=-，∴1109a c ⋅=-+=．（2）(3,1)a b +=-，(12,23)c a b λλλ=+=+-，()a b c +⊥，()3(12)(23)190a b c λλλ∴+⋅=+--=+=，19λ∴=-．18．（12分）已知等比数列{}n a ，12a =，532a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 为正项数列（各项均为正），求数列{(21)}n n a +⋅的前n 项和n T ． 解：（1）由题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，12a =，532a =，4132a q ∴=，即4232q =，416q ∴=，解得2q =±，当2q =时，1222n n n a -=⋅=，*n N ∈， 当2q =-时，12(2)n n a -=⋅-，*n N ∈．（2）由题意及（1），可知2n n a =，*n N ∈，则(21)(21)2n n n a n +⋅=+⋅， 故123325272(21)2n n T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⋅，23123252(21)2(21)2n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅++⋅，两式相减，得123132222222(21)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅-+⋅2112262(21)212n n n ++-=+⨯-+⋅-1(21)22n n +=--⋅-，1(21)22n n T n +∴=-⋅+．19．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2c =且222cos 2cos b bc A a ac B -=-，（1）证明：ABC ∆为等腰三角形；（2）设ABC ∆的面积为S ，若 _______，求S 的值．在①7cos 2cos B C =；②2228a b c +=两个选项中，选择一个填入空白处并求解． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 （1）证明：因为222cos 2cos b bc A a ac B -=-， 所以22222cos 2cos b c bc A a c ac B +-=+-，由余弦定理可知，22a b =，即a b =，即ABC ∆为等腰三角形； （2）解：选①，由（1）可知，A B =，所以2C B π=-， 所以27cos 2cos 2cos(2)2cos224cos B C B B B π==-=-=-， 整理得24cos 7cos 20B B +-=，解得1cos 4B =，所以77cos cos 28C B ==，所以sin C ==又由2c =，sin B =， 由正弦定理可得4a b ==，所以11sin 4422S ab C ==⨯⨯选②，因为2228a b c +=，且a b =，2c =，所以4a b ==，所以222161647cos 22448a b c C ab +-+-===⨯⨯，所以sin C ==所以11sin 4422S ab C ==⨯⨯20．（12分）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，棱长1AB =．过点1A 的平面α与正方体的面相交，交线围成一个正三角形．（1）在图中画出这个正三角形（不必说明画法和理由）；（2）平面α将该正方体截成两个几何体，求体积较大的几何体的体积和表面积．解：（1）连接1A D ，AB ，BD ，则△1A BD 为所求三角形， 如图所示：连接11A C ，1A D ，1C D ，则△11A C D 为所求三角形，如图所示：连接11A C ，1A B ，1BC ，则△11A BC 为所求三角形，如图所示：（2）平面α将正方体截成三棱锥1A ABD -和多面体1111BCD A B C D -两部分 1111111326A ABD V -=⨯⨯⨯⨯=，111115166BCD A B C D V -=-=多面体．因此体积较大的几何体是多面体1111BCD A B C D -，其体积为56．由BD =11sin 602A BDS=︒又111122BCD S ∆=⨯⨯=，111S BB C C =正方形，故多面体1111BCD A B C D -1931322⨯+⨯=+． 21．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，顶点在坐标原点，以x 轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O 分别交于A ，B 两点，x 轴的非负半轴与单位圆O 交于点M ，已知OAM S ∆=，点B 的横坐标是（1）求cos()αβ-的值； （2）求2αβ-的值．解：（1）由题意知，||||1OA OM ==，点(cos ,sin )A αα，则有1||sin 2OAM S OM α∆=⋅=sin α， 又α为锐角，则cos α=， 因钝角β的终边与单位圆O 的交点B的横坐标是10-，则cos ββ=，所以cos()cos cos sin sin (αβαβαβ-=+=+= （2）由（1）知sin ααββ====则sin()sin cos cos sin (αβαβαβ-=-==，从而sin(2)sin[()]sin cos()cos sin()((αβααβααβααβ-=+-=-+-=因为α为锐角，sin α>， 则有(,)42ππα∈，即2(,)2παπ∈，又(,)2πβπ∈，因此2(,)22ππαβ-∈-，所以24παβ-=-．22．（12分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*,2)n a n N n =∈．（1）求证：数列是等差数列，并求{}na 的通项公式；（2）若[]x 表示不超过x 的最大整数，如[ 1.2]2-=-，[2.1]2=，求22212111[]n a a a +++的值；11 （3）设*1()(21)(2)n n b n N n a =∈-+，123n n T b b b b =++++，问是否存在正整数m ，使得对任意正整数n 均有2022n m T >恒成立？若存在求出m 的最大值；若不存在，请说明理由． （1）证明：因为n a =2n时，1n n S S --=，即+=而0n a >1(2)n -，所以数列1==为首项，公差为1的等差数列，1(1)1n n +-⨯=，即2n S n =，当2n时，121n a n n n ==+-=-，又11a =满足上式， 所以{}n a 的通项公式为21n a n =-．（2）解：由（1）知222111(21)441n a n n n ==--+， 当2n 时，2211111()4441n a n n n n <=---， 则22212111111111111151()1(1)1412231444n a a a n n n +++<+-+-++-=+-<+=-， 当1n =时，211514a =<， 即对任意的*n N ∈，都有22221121111514n a a a a =+++<， 所以22212111[]1n a a a +++=． （3）解：由（1）知，1111()(21)(21)22121n b n n n n ==--+-+， 则有11111111[(1)()()](1)2335212122121n n T n n n n =-+-+⋯+-=-=-+++， 因1110(21)(23)n n n T T b n n ++-==>++，则数列{}n T 单调递增，111()3n min T T b ===， 因对任意正整数n 均有2022n m T >成立， 于是得120223m <，解得20226743m <=， 而*m N ∈，则673max m =，所以存在正整数m ，使得对任意正整数n 均有2022n m T >总成立，m 的最大值为673．。
2021-2022学年重庆市高一下学期期末考试数学试题(解析版)
重庆市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数11i +的虚部是( ) A ．12- B ．12 C ．12i D ．1〖解 析〗111122i i =-+，∴复数11i +的虚部是12-． 〖答 案〗A2．设向量(2,1)a =，(3,)b m =，a b ⊥，则(m = ) A ．6-B ．32-C ．16-D ．32〖解 析〗(2,1)a =，(3,)b m =，a b ⊥，2310m ∴⨯+⨯=，解得6m =-．〖答 案〗A3．设空间中的平面α及两条直线a ，b 满足a α⊂/且b α⊂，则“a b =∅”是“//a α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件〖解 析〗当ab =∅时，两条直线a ，b 满足a α⊂/且b α⊂，a ∴与α可能相交，故充分性不成立，当//a α时，a α⊂/且b α⊂，ab ∴=∅，故“a b =∅”是“//a α”的必要不充分条件．〖答 案〗B4．某地区对居民用电实行阶梯电价以提高能源效率，统计该地区每户居民月均用电量，得到相关数据如表：如果将该地区居民用户的月均用电量划分为三档，第一档电量按照覆盖70%的居民用户的月均用电量确定，第二档电量按照覆盖90%的居民用户的月均用电量确定，则第二档电量区间为( ) A ．(162，173]B ．(173，195]C ．(173，220]D ．(220,)+∞〖解 析〗由题意知，第一档用电量区间为(0，173]，第二档用电量区间为(173，220]． 〖答 案〗C5．已知ABC ∆AB AC ⋅，则(BAC ∠= ) A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π〖解 析〗由题设，3||||cos 2ABC S AB AC AB AC BAC ∆⋅=∠，又1||||sin 2ABC S AB AC BAC ∆=∠sin BAC BAC ∠=∠，即tan BAC ∠=0BAC π<∠<，故3BAC π∠=．〖答 案〗C6．在正方体1111ABCD A B C D -中，与直线1AB 不垂直的直线是( ) A ．1A BB ．BCC ．1A DD ．1BD〖解 析〗如图所示，在正方形11ABB A 中，11AB A B ⊥；因为BC ⊥平面11ABB A ，故1BC AB ⊥； 连接1B C 、AC ，因为11//B C A D ，所以1AB 与1A D 所成的角为60︒，不垂直； 易得1BD ⊥平面1AB C ，所以11BD AB ⊥；所以C 正确． 〖答 案〗C7．已知某圆台上下底面的面积之比为1:9，侧面积为163π，母线长为2，则该圆台的高为( )A ．2B C ．43D ．1〖解 析〗设圆台的上底面半径为r ，母线长为l ，高为h ， 圆台上下底面的面积之比为1:9，∴下底面的半径为3r ，又母线长为2，圆台的侧面积为163π，则16(3)83r r l r πππ+⋅==，解得23r =，则圆台的高h ==．〖答 案〗B8．从三对夫妇中随机抽选2人参加采访活动，则恰好抽到一对夫妇的概率为( ) A ．16B ．15C ．14D ．13〖解 析〗从三对夫妇中随机抽选2人参加采访活动，基本事件总数2615n C ==，恰好抽到一对夫妇包含的基本事件个数133m C ==， 则恰好抽到一对夫妇的概率为31155m P n ===． 〖答 案〗B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．关于复数z 及其共轭复数z ，下列说法正确的是( ) A ．z z R +∈B ．||||z z =C ．2||z z z ⋅=D ．||||z z z z ⋅=⋅〖解 析〗设(,)z a bi a b R =+∈，则(,)z a bi a b R =-∈，则2z z a R +=∈，故A 正确；||||z z ==B 正确；2||||z z z ⋅=，故C 错误，D 正确． 〖答 案〗ABD10．设平面向量||1a =，||2b =，b 在a 方向上的投影向量为c ，则( ) A ．a c c b ⋅=⋅B ．a b a c ⋅=⋅C ．||2a c ⋅D ．||||a c a c ⋅=⋅〖解 析〗设b 与a 的夹角为θ，对于A ，当θ为锐角时，2||||||,||||cos ||a c a c c c b c b c θ⋅=⋅=⋅=⋅=，不一定相等， 故A 错误，对于B ．当θ为锐角时，||||cos ||cos ||||||a b a b b a c a c c θθ⋅=⋅==⋅=⋅=，成立， 当θ为钝角时，||||cos ||cos ||||||a b a b b a c a c c θθ⋅=⋅==⋅=-⋅=-，成立，当θ为直角时，0a b a c ⋅=⋅= 成立，故正确； 对于C ，||||||||||2a c a c c b ⋅=⋅==，故C 正确，对于D ，||||cos a c a c θ⋅=⋅，故D 错误． 〖答 案〗BC11．已知100个零件中恰有2个次品，现从中不放回地依次随机抽取两个零件，记事件1A = “第一次抽到的零件为次品”，事件2A = “第二次抽到的零件为次品”，事件A = “抽到的两个零件中有次品”，事件B = “抽到的两个零件都是正品”，则( ) A ．12()()P A P A =B ．P （A ）12()()P A P A =+C ．()P AB P =（A ）P +（B ）D ．P （B ）12(1())(1())P A P A =-⋅-〖解 析〗12111001()50C P A C ==，2492111()509950P A ⨯+⨯==⨯，所以A 正确． 因为12A A ≠∅，12A A A =，故P （A ）1212()()()P A P A P A A =+-，所以B 错误．因为AB ≠∅，AB =Ω，即A 、B 为对立事件，故()P A B P =（A ）P +（B ），所以C 正确．P （B ）2982100989710099A A ⨯==⨯，124949[1()][1()]5050P A P A P --=⨯≠（B ），所以D 错误． 〖答 案〗AC12．某学校规定，若五个工作日内学校某天有超过3个人的体温测量值高于37.5C ︒，则需全员进行核酸检测．该校统计了五个工作日内每天体温超过37.5C ︒的人数，则根据这组数据的下列信息，能断定该校不需全员进行核酸检测的是( ) A ．中位数是1，平均数是1 B ．中位数是1，众数是0 C ．中位数是2，众数是2D ．平均数是2，方差是0.8〖解 析〗A ．因为中位数是1，设五个工作日内每天体温超过37.5C ︒的人数为从小到大的顺序为a ，b ，1，c ，d ，因为平均数是1，所以15a b c d ++++=，若4d =，则0a b c ===，不合题意，故正确； B ．设五个工作日内每天体温超过37.5C ︒的人数为从小到大的顺序为0，0，1，2，4， 满足中位数是1，众数是0，但有一天超过3，故错误；C ．设五个工作日内每天体温超过37.5C ︒的人数为从小到大的顺序为0，2，2，3，4， 满足中位数是2，众数是2，但有一天超过3，故错误；D ．设五个工作日内每天体温超过37.5C ︒的人数为a ，b ，c ，d ，e ， 因为平均数是2，方差是0.8，则10a b c d e ++++=，222221[(2)(2)(2)(2)(2)]0.85a b c d e -+-+-+-+-=， 即22222(2)(2)(2)(2)(2)4a b c d e -+-+-+-+-=，则4e ，若4e =，从方差角度来说2a b c d ====，不满足10a b c d e ++++=， 所以4e <，故正确． 〖答 案〗AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在ABC ∆中，BC =，2AC =，34BCA π∠=，则AB = ． 〖解 析〗在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos AB AC BC AC BC BAC =+-⋅∠334222cos4222cos 622244ππ=+-⨯=+-⨯=-⨯=，所以AB〖答 14．如图，边长为2的正方形A B C D ''''是用斜二测画法得到的四边形ABCD 的直观图，则四边形ABCD 的面积为 ．〖解 析〗根据题意，正方形A B C D ''''的边长为2，其面积224S '=⨯=，则四边形ABCD 的面积S ='=〖答 案〗15．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，则点数之和为8的概率是 ．〖解 析〗连续投掷2次，骰子点数的样本空间为6636⨯=，2次点数之和为8的有：(2,6)，(3,5)，(4,4)，(6,2)，(5,3)，故有5种，其概率为536． 〖答 案〗53616．如图，ABCD 是棱长为6的正四面体，E ，F 为线段AB 的三等分点，G ，H 为线段CD 的三等分点，过点E ，F ，G ，H 分别作平行于平面BCD ，平面ACD ，平面ABD ，平面ABC 的截面，则正四面体ABCD 被这四个截面截去四个角后所得几何体的体积为 ．〖解 析〗如图，取BCD ∆中心O ，连接OA ，因为ABCD 是棱长为6的正四面体， 所以OA ⊥平面BCD ，根据几何关系：6,BO AB AO ===所以正四面体ABCD 的体积为：11166332A BCD BCD V S OA -∆=⋅=⨯⨯⨯=因为平面//EMN 平面BCD ，E 为线段AB 的三等分点，所以19EMN BCD S S ∆∆=，三棱锥A EMN -的高13h OA =，所以11327A EMN EMN A BCD V S h V -∆-=⋅===， 所以正四面体ABCD 被这四个截面截去四个角后所得几何体的体积为4A BCD A EMN V V ---=．〖答 案〗3四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在ABC ∆中，3AB =，2AC =，3A π=，点D ，E 分别在边AB ，BC 上，且AD DB =，2BE EC =，设DE xAB y AC =+．（1）求x ，y 的值； （2）求||DE ． 解：（1）AD DB =，2BE EC =，∴12DB AB =，22()33BE BC AC AB ==-， ∴1212()2363DE BE BD AB AC AB AB AC =-=--=-+，DE xAB y AC =+，16x ∴=-，23y =．（2）ABC ∆中，3AB =，2AC =，3A π=，∴22121412149()942326336963236DE AB AC =-+=⨯+⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=， ∴7||6DE =． 18．（12分）某学校派出甲、乙、丙三名同学参加英语演讲比赛，已知甲、乙、丙三人晋级的概率分别为13，34，23，且三人是否晋级彼此独立．（1）求甲、乙、丙三人中至少有一人晋级的概率； （2）求甲、乙、丙三人中恰有两人晋级的概率． 解：（1）设甲乙丙三人至少一人晋级的事件为A ．依题意P （A ）132171(1)(1)(1)34318=----=．（2）设甲乙丙三人至少一人晋级的事件为B ．依题意P （B ）132********(1)(1)(1)34343333436=-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯=．19．（12分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别为棱1AA ，BC 的中点．（1）证明：//AN 平面1BMC ；（2）证明：平面1BMC ⊥平面11BB C C ． 证明：（1）取1BC 的中点D ，连接ND ，MD ，则11////ND CC AA ，1122ND CC AM ===，得四边形AMDN 为平行四边形，//AN MD ∴，又MD ⊂平面1BMC ，AN ⊂/平面1BMC ，//AN ∴平面1BMC ； （2）在正三棱柱111ABC A B C -中，可得1BB ⊥平面ABC ，AN ⊂平面ABC ，1BB AN ∴⊥，又ABC ∆为正三角形，N 为棱BC 的中点． AN BC ∴⊥，又1BCBB B =，BC ，1BB ⊂平面11BB C C ，AN ∴⊥平面11BB C C ，由（1）可知//AN MD ，MD ∴⊥平面11BB C C ，MD ⊂平面1BMC ，∴平面1BMC ⊥平面11BB C C ．20．（12分）学校统计了高三年级1000名学生的某次数学考试成绩，已知所有学生的成绩均在区间[100，150]内，且粮据统计结果绘制出如下频率分布表和频率分布直方图．（1）求图中a 的值；（2）试估计这1000名学生此次数学考试成绩的中位数．解：（1）由题设频率直方表如下：100.15a ∴=，解得0.015a =．（2）由（1）知：0.05100.20.50.05100.40.6a a +=<<++=，∴中位数位于[120，130)内，令中位数为x ，则0.0510(120)0.040.2(120)0.040.5a x x ++-⨯=+-⨯=， 解得127.5x =．21．（12分）如图1，在梯形ABCD 中，//AB CD ，AD DC ⊥，224AB AD CD ===，将ADB ∆沿DB 折成如图2所示的三棱锥P DBC -，且平面PDB ⊥平面DBC ．（1）证明：PD BC ⊥；（2）设N 为线段PC 的中点，求直线DN 与平面PBC 所成角的正切值．（1）证明：在梯形ABCD 中，BD =，BC =4CD =，所以222BD BC CD +=，即BD BC ⊥， 取BD 的中点M ，连接PM ，CM ， 因为PD PB =，所以PM BD ⊥，又平面PDB ⊥平面DBC ，平面PDB ⋂平面DBC BD =，所以PM ⊥平面DBC ， 因为BC ⊂平面DBC ，所以PM BC ⊥， 因为BDPM M =，BD ，PM ⊂平面PBD ，所以BC ⊥平面PBD ，因为PD ⊂平面PBD ，所以PD BC ⊥．（2）解：由（1）知，PD BC ⊥，PD PB ⊥， 因为BCPB B =，BC ，PB ⊂平面PBC ，所以PD ⊥平面PBC ，所以PND ∠即为直线DN 与平面PBC 所成角，在PBD ∆中，12PM BD == 在BCM ∆中，2228210CM BC BM =+=+=， 由（1）知，PM ⊥平面DBC ，因为CM ⊂平面DBC ，所以PM CM ⊥，所以PC ==因为N 为线段PC 的中点，所以12PN PC ==tan PD PND PN ∠===，故直线DN 与平面PBC 22．（12分）如图，边长为2的等边ABC ∆所在平面内一点D 满足(0)CD t AB t =>，点P 在边BC 上，||PB m =．PDB ∆a AB =，b AC =．（1）用a ，b 及m 表示PC ； （2）求CB PD ⋅的最小值．解：（1）因为ABC ∆是边长为2的等边三角形，||PB m =，所以，||2PC m =-，所以2222222222m m m m mPC BC AC AB b a -----==-=-； （2）因为2222()2222m m m mPD PC CD b a ta b t a ----=+=-+=--，CB AB AC a b =-=-，1222,||||22a b a b ⋅=⨯⨯===，所以，22222()[()]24()4()2()22222m m m m mCB PD a b b t a m t t -----⋅=-⋅--=----+-224t m =+-，设三角形PBD 在PB 边上的高为h ，则12mh =h因为(0)CD t AB t =>，所以//,60CD AB BCD ∠=︒，所以11222sin 6022BCD S t ∆=⨯=⨯⨯︒，即2t m=，所以，44224242244CB PD t m m m m m ⋅=+-=+-⋅=，当且仅当42m m=，即m所以CB PD ⋅的最小值为4．重庆市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数11i +的虚部是( ) A ．12- B ．12 C ．12i D ．1〖解 析〗111122i i =-+，∴复数11i +的虚部是12-． 〖答 案〗A2．设向量(2,1)a =，(3,)b m =，a b ⊥，则(m = ) A ．6-B ．32-C ．16-D ．32〖解 析〗(2,1)a =，(3,)b m =，a b ⊥，2310m ∴⨯+⨯=，解得6m =-．〖答 案〗A3．设空间中的平面α及两条直线a ，b 满足a α⊂/且b α⊂，则“a b =∅”是“//a α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件〖解 析〗当ab =∅时，两条直线a ，b 满足a α⊂/且b α⊂，a ∴与α可能相交，故充分性不成立，当//a α时，a α⊂/且b α⊂，ab ∴=∅，故“a b =∅”是“//a α”的必要不充分条件．〖答 案〗B4．某地区对居民用电实行阶梯电价以提高能源效率，统计该地区每户居民月均用电量，得到相关数据如表：如果将该地区居民用户的月均用电量划分为三档，第一档电量按照覆盖70%的居民用户的月均用电量确定，第二档电量按照覆盖90%的居民用户的月均用电量确定，则第二档电量区间为( ) A ．(162，173]B ．(173，195]C ．(173，220]D ．(220,)+∞〖解 析〗由题意知，第一档用电量区间为(0，173]，第二档用电量区间为(173，220]． 〖答 案〗C5．已知ABC ∆AB AC ⋅，则(BAC ∠= ) A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 〖解 析〗由题设，3||||cos 2ABC S AB AC AB AC BAC ∆⋅=∠，又1||||sin 2ABC S AB AC BAC ∆=∠sin BAC BAC ∠=∠，即tan BAC ∠=0BAC π<∠<，故3BAC π∠=．〖答 案〗C6．在正方体1111ABCD A B C D -中，与直线1AB 不垂直的直线是( ) A ．1A BB ．BCC ．1A DD ．1BD〖解 析〗如图所示，在正方形11ABB A 中，11AB A B ⊥；因为BC ⊥平面11ABB A ，故1BC AB ⊥； 连接1B C 、AC ，因为11//B C A D ，所以1AB 与1A D 所成的角为60︒，不垂直； 易得1BD ⊥平面1AB C ，所以11BD AB ⊥；所以C 正确． 〖答 案〗C7．已知某圆台上下底面的面积之比为1:9，侧面积为163π，母线长为2，则该圆台的高为( )A ．2B C ．43D ．1〖解 析〗设圆台的上底面半径为r ，母线长为l ，高为h ， 圆台上下底面的面积之比为1:9，∴下底面的半径为3r ， 又母线长为2，圆台的侧面积为163π，则16(3)83r r l r πππ+⋅==，解得23r =，则圆台的高h ==．〖答 案〗B8．从三对夫妇中随机抽选2人参加采访活动，则恰好抽到一对夫妇的概率为( ) A ．16B ．15C ．14D ．13〖解 析〗从三对夫妇中随机抽选2人参加采访活动，基本事件总数2615n C ==，恰好抽到一对夫妇包含的基本事件个数133m C ==， 则恰好抽到一对夫妇的概率为31155m P n ===． 〖答 案〗B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．关于复数z 及其共轭复数z ，下列说法正确的是( ) A ．z z R +∈B ．||||z z =C ．2||z z z ⋅=D ．||||z z z z ⋅=⋅〖解 析〗设(,)z a bi a b R =+∈，则(,)z a bi a b R =-∈，则2z z a R +=∈，故A 正确；||||z z ==B 正确；2||||z z z ⋅=，故C 错误，D 正确． 〖答 案〗ABD10．设平面向量||1a =，||2b =，b 在a 方向上的投影向量为c ，则( ) A ．a c c b ⋅=⋅B ．a b a c ⋅=⋅C ．||2a c ⋅D ．||||a c a c ⋅=⋅〖解 析〗设b 与a 的夹角为θ，对于A ，当θ为锐角时，2||||||,||||cos ||a c a c c c b c b c θ⋅=⋅=⋅=⋅=，不一定相等， 故A 错误，对于B ．当θ为锐角时，||||cos ||cos ||||||a b a b b a c a c c θθ⋅=⋅==⋅=⋅=，成立， 当θ为钝角时，||||cos ||cos ||||||a b a b b a c a c c θθ⋅=⋅==⋅=-⋅=-，成立， 当θ为直角时，0a b a c ⋅=⋅= 成立，故正确； 对于C ，||||||||||2a c a c c b ⋅=⋅==，故C 正确，对于D ，||||cos a c a c θ⋅=⋅，故D 错误． 〖答 案〗BC11．已知100个零件中恰有2个次品，现从中不放回地依次随机抽取两个零件，记事件1A = “第一次抽到的零件为次品”，事件2A = “第二次抽到的零件为次品”，事件A = “抽到的两个零件中有次品”，事件B = “抽到的两个零件都是正品”，则( )A ．12()()P A P A =B ．P （A ）12()()P A P A =+C ．()P AB P =（A ）P +（B ）D ．P （B ）12(1())(1())P A P A =-⋅-〖解 析〗12111001()50C P A C ==，2492111()509950P A ⨯+⨯==⨯，所以A 正确． 因为12A A ≠∅，12A A A =，故P （A ）1212()()()P A P A P A A =+-，所以B 错误．因为AB ≠∅，AB =Ω，即A 、B 为对立事件，故()P A B P =（A ）P +（B ），所以C 正确．P （B ）2982100989710099A A ⨯==⨯，124949[1()][1()]5050P A P A P --=⨯≠（B ），所以D 错误． 〖答 案〗AC12．某学校规定，若五个工作日内学校某天有超过3个人的体温测量值高于37.5C ︒，则需全员进行核酸检测．该校统计了五个工作日内每天体温超过37.5C ︒的人数，则根据这组数据的下列信息，能断定该校不需全员进行核酸检测的是( ) A ．中位数是1，平均数是1 B ．中位数是1，众数是0 C ．中位数是2，众数是2D ．平均数是2，方差是0.8〖解 析〗A ．因为中位数是1，设五个工作日内每天体温超过37.5C ︒的人数为从小到大的顺序为a ，b ，1，c ，d ，因为平均数是1，所以15a b c d ++++=，若4d =，则0a b c ===，不合题意，故正确； B ．设五个工作日内每天体温超过37.5C ︒的人数为从小到大的顺序为0，0，1，2，4， 满足中位数是1，众数是0，但有一天超过3，故错误；C ．设五个工作日内每天体温超过37.5C ︒的人数为从小到大的顺序为0，2，2，3，4， 满足中位数是2，众数是2，但有一天超过3，故错误；D ．设五个工作日内每天体温超过37.5C ︒的人数为a ，b ，c ，d ，e ， 因为平均数是2，方差是0.8，则10a b c d e ++++=，222221[(2)(2)(2)(2)(2)]0.85a b c d e -+-+-+-+-=， 即22222(2)(2)(2)(2)(2)4a b c d e -+-+-+-+-=，则4e ，若4e =，从方差角度来说2a b c d ====，不满足10a b c d e ++++=， 所以4e <，故正确．〖答 案〗AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在ABC ∆中，BC =，2AC =，34BCA π∠=，则AB = ． 〖解 析〗在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos AB AC BC AC BC BAC =+-⋅∠334222cos4222cos 622244ππ=+-⨯=+-⨯=-⨯=，所以AB〖答 14．如图，边长为2的正方形A B C D ''''是用斜二测画法得到的四边形ABCD 的直观图，则四边形ABCD 的面积为 ．〖解 析〗根据题意，正方形A B C D ''''的边长为2，其面积224S '=⨯=，则四边形ABCD 的面积S ='=〖答 案〗15．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，则点数之和为8的概率是 ．〖解 析〗连续投掷2次，骰子点数的样本空间为6636⨯=，2次点数之和为8的有：(2,6)，(3,5)，(4,4)，(6,2)，(5,3)，故有5种，其概率为536． 〖答 案〗53616．如图，ABCD 是棱长为6的正四面体，E ，F 为线段AB 的三等分点，G ，H 为线段CD 的三等分点，过点E ，F ，G ，H 分别作平行于平面BCD ，平面ACD ，平面ABD ，平面ABC 的截面，则正四面体ABCD 被这四个截面截去四个角后所得几何体的体积为 ．〖解 析〗如图，取BCD ∆中心O ，连接OA ，因为ABCD 是棱长为6的正四面体， 所以OA ⊥平面BCD ，根据几何关系：6,BO AB AO ===所以正四面体ABCD 的体积为：11166332A BCD BCD V S OA -∆=⋅=⨯⨯⨯=因为平面//EMN 平面BCD ，E 为线段AB 的三等分点，所以19EMN BCD S S ∆∆=，三棱锥A EMN -的高13h OA =，所以11327A EMN EMN A BCD V S h V -∆-=⋅===， 所以正四面体ABCD 被这四个截面截去四个角后所得几何体的体积为4A BCD A EMN V V ---=．〖答 案〗3四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在ABC ∆中，3AB =，2AC =，3A π=，点D ，E 分别在边AB ，BC 上，且AD DB =，2BE EC =，设DE xAB y AC =+．（1）求x ，y 的值； （2）求||DE ． 解：（1）AD DB =，2BE EC =，∴12DB AB =，22()33BE BC AC AB ==-， ∴1212()2363DE BE BD AB AC AB AB AC =-=--=-+，DE xAB y AC =+，16x ∴=-，23y =．（2）ABC ∆中，3AB =，2AC =，3A π=，∴22121412149()942326336963236DE AB AC =-+=⨯+⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=， ∴7||6DE =． 18．（12分）某学校派出甲、乙、丙三名同学参加英语演讲比赛，已知甲、乙、丙三人晋级的概率分别为13，34，23，且三人是否晋级彼此独立．（1）求甲、乙、丙三人中至少有一人晋级的概率； （2）求甲、乙、丙三人中恰有两人晋级的概率． 解：（1）设甲乙丙三人至少一人晋级的事件为A ．依题意P （A ）132171(1)(1)(1)34318=----=．（2）设甲乙丙三人至少一人晋级的事件为B ．依题意P （B ）132********(1)(1)(1)34343333436=-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯=．19．（12分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别为棱1AA ，BC 的中点．（1）证明：//AN 平面1BMC ； （2）证明：平面1BMC ⊥平面11BB C C ． 证明：（1）取1BC 的中点D ，连接ND ，MD ，则11////ND CC AA ，1122ND CC AM ===，得四边形AMDN 为平行四边形，//AN MD ∴，又MD ⊂平面1BMC ，AN ⊂/平面1BMC ，//AN ∴平面1BMC ； （2）在正三棱柱111ABC A B C -中，可得1BB ⊥平面ABC ，AN ⊂平面ABC ，1BB AN ∴⊥，又ABC ∆为正三角形，N 为棱BC 的中点．AN BC ∴⊥，又1BCBB B =，BC ，1BB ⊂平面11BB C C ，AN ∴⊥平面11BB C C ，由（1）可知//AN MD ，MD ∴⊥平面11BB C C ，MD ⊂平面1BMC ，∴平面1BMC ⊥平面11BB C C ．20．（12分）学校统计了高三年级1000名学生的某次数学考试成绩，已知所有学生的成绩均在区间[100，150]内，且粮据统计结果绘制出如下频率分布表和频率分布直方图．（1）求图中a 的值；（2）试估计这1000名学生此次数学考试成绩的中位数．解：（1）由题设频率直方表如下：100.15a ∴=，解得0.015a =．（2）由（1）知：0.05100.20.50.05100.40.6a a +=<<++=，∴中位数位于[120，130)内，令中位数为x ，则0.0510(120)0.040.2(120)0.040.5a x x ++-⨯=+-⨯=， 解得127.5x =．21．（12分）如图1，在梯形ABCD 中，//AB CD ，AD DC ⊥，224AB AD CD ===，将ADB ∆沿DB 折成如图2所示的三棱锥P DBC -，且平面PDB ⊥平面DBC ．（1）证明：PD BC ⊥；（2）设N 为线段PC 的中点，求直线DN 与平面PBC 所成角的正切值．（1）证明：在梯形ABCD 中，BD =，BC =4CD =， 所以222BD BC CD +=，即BD BC ⊥， 取BD 的中点M ，连接PM ，CM ， 因为PD PB =，所以PM BD ⊥，又平面PDB ⊥平面DBC ，平面PDB ⋂平面DBC BD =，所以PM ⊥平面DBC ， 因为BC ⊂平面DBC ，所以PM BC ⊥， 因为BDPM M =，BD ，PM ⊂平面PBD ，所以BC ⊥平面PBD ，因为PD ⊂平面PBD ，所以PD BC ⊥．（2）解：由（1）知，PD BC ⊥，PD PB ⊥，因为BC PB B =，BC ，PB ⊂平面PBC ，所以PD ⊥平面PBC ，所以PND ∠即为直线DN 与平面PBC 所成角，在PBD ∆中，12PM BD == 在BCM ∆中，2228210CM BC BM =+=+=，由（1）知，PM ⊥平面DBC ，因为CM ⊂平面DBC ，所以PM CM ⊥，所以PC ==因为N 为线段PC 的中点，所以12PN PC ==tan PD PND PN ∠===，故直线DN 与平面PBC 22．（12分）如图，边长为2的等边ABC ∆所在平面内一点D 满足(0)CD t AB t =>，点P 在边BC 上，||PB m =．PDB ∆a AB =，b AC =．（1）用a ，b 及m 表示PC ；（2）求CB PD ⋅的最小值．解：（1）因为ABC ∆是边长为2的等边三角形，||PB m =，所以，||2PC m =-， 所以2222222222m m m m m PC BC AC AB b a -----==-=-； （2）因为2222()2222m m m m PD PC CD b a ta b t a ----=+=-+=--，CB AB AC a b =-=-， 1222,||||22a b a b ⋅=⨯⨯===， 所以，22222()[()]24()4()2()22222m m m m m CB PD a b b t a m t t -----⋅=-⋅--=----+- 224t m =+-，设三角形PBD 在PB 边上的高为h ，则12mh =h 因为(0)CD t AB t =>，所以//,60CD AB BCD ∠=︒，所以11222sin 6022BCD S t ∆=⨯=⨯⨯︒，即2t m=，所以，44224242244CB PD t m m m m m ⋅=+-=+-⋅=，当且仅当42m m=，即m所以CB PD ⋅的最小值为4．。
2021-2022学年山东省潍坊市高一下学期期末考试数学试题(解析版)
山东省潍坊市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在正方体1111ABCD A B C D -中，与棱1AA 异面的棱有( ) A ．8条B ．6条C ．4条D ．2条〖解 析〗如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，与棱1AA 异面的棱有：BC ，CD ，11C D ，11B C ． 〖答 案〗C2．下列命题正确的是( ) A ．若向量//a b ，//b c ，则//a c B ．模相等的两个平行向量是相等向量C ．方向不同的两个向量不可能是共线向量D ．若向量(3,6)a =--，则a 分别在x 轴，y 轴上的投影的数量之和为9-〖解 析〗A ．若a 与c 不共线，0b =，满足//a b ，//b c ，则得不出//a c ，A 错误； B ．模相等方向相反时，这两个向量不相等，B 错误； C ．方向相反的两个向量共线，C 错误；D.(3,6)a =--在x 轴上的投影为3-，在y 轴上的投影为6-，D 正确．〖答 案〗D3．下列各式化简结果为12的是( ) A ．212cos 75-︒ B ．sin15cos15︒︒C ．sin14cos16sin76cos74︒︒+︒︒D ．tan20tan25tan20tan25︒+︒+︒︒〖解 析〗对于A ，原式1(1cos150)cos150cos30=-+︒=-︒=︒=，故错误； 对于B ，原式1111sin302224=︒=⨯=，故错误；对于C ，原式1sin14cos16cos14sin16sin(1416)sin302=︒︒+︒︒=︒+︒=︒=，故正确； 对于D ，原式tan(2025)(1tan20tan25)tan20tan25=︒+︒-︒︒+︒︒tan45(1tan20tan25)tan20tan251tan20tan25tan20tan251=︒-︒︒+︒︒=-︒︒+︒︒=，故错误．〖答 案〗C4．定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，2()f z z =就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数()f z 之后，对任意一个复数0z ，通过计算公式1()n n z f z +=，n N ∈，可以得到一列值0z ，1z ，2z ，⋯，n z ，⋯．若2()f z z =，01z i =-，当3n 时，(n z = ) A ．122n -B ．22nC ．122n +D ．14n -〖解 析〗依题意，21(1)2z i i =-=-，22(2)4z i =-=-，243(4)2z =-=， 当3n 时，0n z >，由21n n z z +=，得：212log 2log n n z z +=，而23log 4z =，则2122n nlog z log z +=，当4n 时，252622422323242521n n n log z log z log z log z log z log z log z log z log z log z -=⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯31422n n --=⨯=， 23log 4z =满足上式，∴当3n 时，12log 2n n z -=，122n n z -=．〖答 案〗A5．在ABC ∆中，若3AB =，4BC =，30C =︒，则此三角形解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定〖解 析〗3AB =，4BC =，AB BC <，C A ∴<，A ∴必为大于30︒的角，故A 可以为锐角，也可以是钝角，∴此三角形有二解．〖答 案〗B 6．若tan 2θ=-，则sin cos2(sin cos θθθθ=- )A ．65-B ．25-C ．25D ．65〖解 析〗因为tan 2θ=-，所以sin cos2sin cos θθθθ-22sin ()sin cos cos sin θθθθθ-=-sin (cos sin )(cos sin )sin cos θθθθθθθ+-=-2sin cos sin θθθ=--222sin cos sin sin cos θθθθθ--=+22tan 1tan tan θθθ--=+2441-=+25=-． 〖答 案〗B7．如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为线段AD ，CD 的中点，且AF CE G =，则( )A ．12AF AD AB =-B ．2133AG AD AB =- C ．1()2EF AD AB =+D ．3BG GD =〖解 析〗E ，F 分别为线段AD ，CD 的中点，∴12EF AC =， AC AD AB =+，∴1()2EF AD AB =+，故选项C 正确； 12AF AD DF AD AB =+=+，故选项A 错误； 221333AG AF AD AB ==+，故选项B 错误； 2BG GD =，故选项D 错误．〖答 案〗C8．已知函数()cos (0)f x x x ωωω=>，若()f x 的图像在区间(0,)π上有且只有2个最低点，则实数ω的取值范围为( ) A ．137(,]62B ．725(,]26C ．814(,]33D ．28(,]33〖解 析〗函数()cos (0)2cos()3f x x x x πωωωω=>=+，若()f x 的图像在区间(0,)π上有且只有2个最低点，(33x ππω+∈，)3πωπ+， 353ππωππ∴<+，求得81433ω<． 〖答 案〗C二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分． 9．已知正四棱台上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，则( )A ．正四棱台的高为2BC ．正四棱台的表面积为20+D〖解 析〗对于A ，正四棱台上下底面对角线长为，∴正四棱台的高h ==错误；对于B ，正四棱台的斜高h '==B 正确；对于C ，正四棱台侧面积为14(24)2⨯⨯+4，16，∴正四棱台的表面积41620S =++=+C 正确；对于D ，正四棱台的体积1(416)3V =D 正确．〖答 案〗BCD10．设1z ，2z ，3z 为复数，且30z ≠，则下列命题正确的是( ) A ．若12||||z z =，则12z z =± B ．若1323z z z z =，则12z z = C ．若2313||z z z =，则13z z =D ．若21z z =，则1323||||z z z z =〖解 析〗当11z =，2z i =时，12||||z z =，但12z z ≠±，故选项A 错误；1323z z z z =，且30z ≠，12z z ∴=，故选项B 正确；当1z i =，3z i =-时，2313||z z z =，但13z z ≠，故选项C 错误； 若21z z =，则1313||||||z z z z =⋅，23231313||||||||||||||z z z z z z z z =⋅=⋅=⋅， 故选项D 正确． 〖答 案〗BD11．已知函数()cos(2)12f x x π=+，则下列说法正确的是( )A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图像关于直线1124x π=对称C ．函数()f x 的图像关于点7(,0)24π-对称D ．函数()f x 在(0,)4π上单调递减〖解 析〗对于函数()cos(2)12f x x π=+，对于A ：函数的最小正周期为22ππ=，故A 错误； 对于B ：当1124x π=时，1124()cos 12424f ππ==-，故B 正确； 对于C ：当724x π=-时，7142()cos()cos()02424242f ππππ--=+=-=，故C 正确； 对于D ：当(0,)4x π∈时，72(,)121212x πππ+∈，故函数在该区间上单调递减，故D 正确．〖答 案〗BCD12．在ABC ∆中，P ，Q 分别为边AC ，BC 上一点，BP ，AQ 交于点D ，且满足AP tPC =，BQ QC λ=，BD DP μ=，AD mDQ =，则下列结论正确的为( )A ．若12t =且3λ=时，则23m =，9μ=B ．若2μ=且1m =时，则13λ=，12t =C ．若121tλ-=时，则121t μ-=D ．(1)(1)(1)(1)t mt m μλμλ=++++ 〖解 析〗由题意得：1t AC AP t +=，1m AQ AD m+=，BQ QC λ=， ()AQ AB AC AQ λ-=-，即111AQ AC AB λλλ=⋅+⋅++， 即11111m t AD AP AB m t λλλ++=⋅⋅+⋅++， 所以111111t m mAD AP AB t m m λλλ+=⋅⋅+⋅++++，因为B ，D ，P 三点共线，所以1111111t m mt m m λλλ+⋅⋅+⋅=++++，当12t =，且3λ=时，11312111311312m m m m +⋅⋅+⋅=++++，解得23m =，1BP BD μμ+=，1BC BQ λλ+=，AP tPC =， ∴()BP BA t BC BP -=-，即111t BP BC BA t t=⋅+⋅++， 即11111t BD BC BA t t μλμλ++=⋅⋅+⋅++，所以111111t BD BC BA t t λλλλλλ+++=⋅⋅+⋅++，因为A ，D ，Q 三点共线，所以1111111t t t λμμλμμ+⋅⋅+⋅=++++， 当12t =，且3λ=时，131121113111122μμμμ+⋅⋅+⋅=++++，解得9μ=，故A 正确； 若2μ=且1m =时，11211t t λλλ+⋅+=++，，113112t t t λλ+⋅+=++，解得12λ=，13t =，故B 错误； 1111111t t t λμμλμμ+⋅⋅+⋅=++++，变形为1111t t t t λλλμ++=+++①， 若121t λ-=时，则2t t λλ-=，代入①式得1111t μ-=+， 假设1111t μ-=+成立，则121t t=+，解得2t =-，此时10λ=，显然无解，故假设不成立，故C 错，同理可得1111111m m m λμμλμμ++⋅⋅+⋅=+++，1111111m t m m t m μμμ++⋅⋅+⋅=+++，所以111111(1)(1)t m m t m m μμμμμ-⋅=-=++++++，111111(1)(1)m m m m m λμμλμμ-⋅=-=++++++， 所以(1)(1)(1)(1)t mt m μλμλ=++++．故D 正确． 〖答 案〗AD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把〖答 案〗填在答题卡的相应位置． 13．记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若222sin a c b B +-=，则B = ．〖解析〗因为222sin a c b B +-=，所以由余弦定理可得2cos sin ac B B =，所以可得tan B =， 又(0,)B π∈，则3B π=．〖答 案〗3π14．已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，侧棱长为2，则其外接球的表面积为 ． 〖解 析〗如图，设正三棱柱111ABC A B C -的上下底面中心分别为E ，F ，则由正三棱柱与球的对称性可知EF 的中点O 即为正三棱柱111ABC A B C -的外接球心， OA ∴即为外接球的半径R ，设正三角形ABC 的截面小圆半径为r ，又正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，∴由正弦定理可得12sin 60r =︒，∴r =，又12EF AA ==，1OF ∴=，在Rt AOF ∆中由勾股定理可得222r OF R +=，∴2113R +=，∴243R =，∴正三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为24164433R πππ=⨯⨯=． 〖答 案〗163π 15．如图所示，为测算某自然水域的最大宽度（即A ，B 两点间的距离），现取与A ，B 两点在同一平面内的两点C ，D ，测得C ，D 间的距离为1500米，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠=∠=︒，120ACB ∠=︒，则A ，B 两点的距离为 米．〖解 析〗由题意可知在ADC ∆中，13515150ADC ADB BDC ∠=∠+∠=︒+︒=︒， 则1801501515DAC ∠=︒-︒-︒=︒，故1500AD DC ==， 在BDC ∆中，15120135DCB ACD ACB ∠=∠+∠=︒+︒=︒， 故1801351530DBC ∠=︒-︒-︒=︒，故由sin sin BD CDDCB DBC=∠∠得1500sin 21sin 2CD DCB BD DBC ∠===∠，在ADB ∆中，2222cos135AB AD BD AD BD =+-⋅⋅︒，22215002150051500=++⨯⨯=⨯，故AB =)． 〖答案〗16．在平面直角坐标系xOy 中，给定1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，假设O ，A ，B 不在同一直线上，利用向量的数量积可以方便的求出OAB ∆的面积为12211||2S x y x y =-．已知三点(1,1)A ，(3,4)B -，2(,8)1tC t +，则ABC ∆面积的最大值为 ． 〖解 析〗依题意，在ABC ∆中，1(OA x =，1)y ，2(OB x =，2)y ， 则ABC ∆的面积为12211||2S x y x y =-， 当(1,1)A ，(3,4)B -，2(1t C t +，8)时，(4,3)AB =-，2(11t AC t =-+，7) 则ABC ∆面积22113|3(1)28||25|2121ABC t t S t t ∆=-+=+++， 显然ABC ∆面积取最大值时，必有0t >，因此，当0t >时，213131353(25)(25)(25)1212242ABC t S t t t t ∆=+=+=++⨯， 当且仅当1t =时取“=”， 所以ABC ∆面积的最大值为534． 〖答 案〗534四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知(3,)A m ，(2,1)B ，(2,1)C -，(,2)D n -是复平面内的四个点，其中m ，n R ∈，且向量AC ，BD 对应的复数分别为1z ，2z ，且1262z z i -=-+． （1）求1z ，2z ； （2）若复数12z tz z +=，t R ∈，在复平面内对应的点Z 在第四象限，求实数t 的取值范围． 解：（1）由已知可得(5,1)AC m =--，(2BD n =-，3)-， 则15(1)z m i =-+-，223z n i =--，所以123(4)62z z n m i i -=--+-=-+，则3642n m -=-⎧⎨-=⎩，解得2m =，9n =，所以15z i =--，273z i =-， （2）因为125(5)(73)(327)(223)73(73)(73)58z t i t t i i t t iz z i i i +--+-+-+-++-+====--+ 在复平面内对应的点在第四象限，则32702230t t -+>⎧⎨-+<⎩，解得322273t <<，即实数t 的范围为3222(,)73． 18．（12分）已知向量(1,2)a =，(2,5)b =-，2()c a tb t R =+∈． （1）若c b ⊥，求t 的值；（2）若c 与a 的夹角为锐角，求t 的取值范围． 解：（1）c b ⊥，(22,45)c t t =-+，∴2(22)5(45)0c b t t ⋅=--++=，∴1629t =-； （2）c 与a 的夹角为锐角，∴0c a ⋅>，且c 与a 不共线，∴222(45)0452(22)0t t t t -++>⎧⎨+--≠⎩，解得54t >-且0t ≠，t ∴的取值范围为：504t t t ⎧⎫-≠⎨⎬⎩⎭且．19．（12分）在ABC ∆中，点P 在边BC 上，3C π=，4AP =，记AC 的长为m ，PC 的长为n ，且16mn =． （1）求APB ∠；（2）若ABC ∆的面积为sin PAB ∠． 解：（1）在APC ∆中，由于3C π=，AC m =，PC n =，16AC PC mn ⋅==，所以利用余弦定理2222cos3AP AC PC AC PC π=+-⋅⋅，整理得：22216()3m n mn m n mn =+-=+-，解得8m n +=，故4m n ==， 则：AC PC AP ==，所以APC ∆为等边三角形，所以23APB π∠=． （2）由ABC S ∆=，所以1sin 2AC BC ⋅⋅⋅=7BC =，则3BP =；如图所示：作AD BC ⊥交BC 于点D ，由（1）可知：在等边三角形APC 中，AD =2PD =，在Rt ABD ∆中，AB = 在ABP ∆中，利用正弦定理：sin sin AB PBAPB PAB=∠∠，整理得：3sin74PAB ∠==．20．（12分）某景区为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图1)．现测量其中一个屋顶，得到圆锥SO 的底面直径AB 长为12m ，母线SA 长为18m （如图2)．（1）现用鲜花铺设屋顶，如果每平方米大约需要鲜花50朵，那么装饰这个屋顶（不含底面）大约需要多少朵鲜花（参考数据： 3.14)π≈；（2）若C 是母线SA 的一个三等分点（靠近点)S ，从点A 到点C 绕屋顶侧面一周安装灯光带，求灯光带的最小长度．解：（1）圆锥的侧面展开图的面积为：618339.12S rl ππ==⨯⨯≈， 需要的鲜花为：339.125016956⨯=（朵)； （2）圆锥的侧面展开图如图：122183ASC ππ∠==，18SA =，6SC =，在SAC ∆中，AC ==即灯光带的最小长度为米．21．（12分）已知函数5()sin(2)2cos()sin()644f x x x x πππ=--++． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()y f x k =-在区间11[,]612ππ-上有且仅有两个零点，求实数k 的取值范围． 解：（1）5()sin(2)2cos()sin()644f x x x x πππ=--++ sin 2cos cos2sin 2cos()sin()6644x x x x ππππ=-+++12cos2sin(2)22x x x π=-++12cos2cos22x x x =-+12cos22x x =+sin(2)6x π=+， 令222262k x k πππππ-+++，k Z ∈，所以36k x k ππππ-++，k Z ∈，所以函数()f x 的单调递增区间为：[3k ππ-+，]6k ππ+，k Z ∈．（2）函数()y f x k =-在区间11[,]612ππ-上有且仅有两个零点， 即曲线sin(2)6y x π=+与直线y k =在区间11[,]612ππ-上有且仅有两个交点， 由11[,]612x ππ∈-，可得2[66x ππ+∈-，2]π， 当11[,]612x ππ∈-时，()sin(2)[16f x x π=+∈-，1]， 设26t x π=+，则sin y t =，[6t π∈-，2]π，当(1k ∈-，1)(02-⋃，1)时，曲线sin y t =与直线y k =区间[6t π∈-，2]π上有且仅有两个交点．22．（12分）已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)ϕπ<，()f x 图像上相邻的最高点与最低点的横坐标相差2π，3x π=-是()f x 的一条对称轴，且()(1)6f f π>． （1）求()f x 的〖解 析〗式；（2）将函数()f x 的图像向右平移12π个单位得到函数()t x 的图像，若存在1x ，2x ，⋯，m x 满足1205m x x x π<<⋯<，且1223|()()||()()|t x t x t x t x -+-+⋯+1|()()|20(2m m t x t x m --=，*)m N ∈，求m 的最小值；（3）令()()cos2h x f x x =-，()[()]g x h h x =，若存在[,]123x ππ∈使得2()(2)()30g x a g x a +-+-成立，求实数a 的取值范围．解：（1）由题意，周期22T ππ=⨯=，故22,()sin(2)f x x πωϕπ===+， 且2()()32k k Z ππϕπ⨯-+=+∈，即7()6k k Z πϕπ=+∈， 因为||ϕπ<，故766ππϕπ=-=或75266ππϕπ=-=-， 故()sin(2)6f x x π=+或5()sin(2)6f x x π=-．当()sin(2)6f x x π=+时，()sin(2)1,(1)sin(2)16666f f ππππ=⨯+==+<， 故()sin(2)6f x x π=+成立；当5()sin(2)6f x x π=-时， 55()sin(2)1,(1)sin(2)16666f f ππππ=⨯-=-=->-．综上有()sin(2)6f x x π=+； （2）由题意，()sin[2()]sin 2126t x x x ππ=-+=，根据题意，要使m 的值尽量小， 则1|()()|m m t x t x --要尽量大．又1|()()|2m m t x t x --，结合()sin 2t x x =的图象可得，当12345673579110,,,,,,444444x x x x x x x ππππππ=======， 8910111213151719,,,,54444x x x x x πππππ=====时， m 的取值最小为12，（3）由（1）()2sin(2)6f x x π=+，所以1()()cos2sin(2)cos2cos2cos262h x f x x x x x x x π=-=+-=+-12cos2sin(2)26x x x π=-=-， 当[,]123x ππ∈时，0262x ππ-， 0()1h x ∴，所以，2()2666h x πππ---，所以，1()[()]sin[2()][,sin(2)]626g x h h x h x ππ==-∈--， ∴1()1[,1sin(2)]26g x π+∈+-，2223ππ<<，∴2362πππ<-<sin(2)16π<-<， 由2()(2)()30g x a g x a +-+-，可得2()2()3[()1]g x g x a g x +++，所以，22()2()3[()1]22()1()1()1()1g x g x g x a g x g x g x g x ++++==+++++，由基本不等式可得2()12[()()1g x g x g x ++++，当且仅当1()1[,1sin(2)]26g x π++-时，等号成立，所以，22a ．即a ∈)+∞．。
北京市房山区2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题(解析版)
北京市房山区2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．“点在直线a 上，但不在平面α内”，用数学符号表示正确的是( ) A ．A a ∈且A α∉ B ．A a ∈且A α⊂/C ．A a ⊂且A α∉D ．A a ⊂/且A α∈〖解 析〗“点在直线a 上，但不在平面α内”的符号语言为A a ∈且A α∉． 〖答 案〗A2．复数34i -的虚部是( ) A ．4B ．3C ．3-D ．4-〖解 析〗复数34i -的虚部是4-． 〖答 案〗D3．计算式子cos80cos20sin80sin20︒︒+︒︒的结果是( )A ．B ．12-C ．12D〖解 析〗cos80cos20sin80sin20︒︒+︒︒1cos(8020)cos602=︒-︒=︒=．〖答 案〗C4．若复数(2)(4)z m m i =++-是虚数，则实数m 取值的集合是( ) A ．{|4}m m >B ．{|4}m m <C ．{|4}m m ≠D ．{|}m m R ∈〖解 析〗复数(2)(4)z m m i =++-是虚数， 40m ∴-≠，解得4m ≠，故实数m 取值的集合是{|4}m m ≠． 〖答 案〗C5．在ABC ∆中，已知6BC =，4AC =，3sin 4A =，则角(B = ) A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 〖解 析〗由已知得sin sin BC ACA B=， 即643sin 4B =，解得1sin 2B =，又因为AC BC <，故6B π=． 〖答 案〗A6．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,3)-，则z 的共轭复数(z = ) A ．13i -+B ．13i --C ．3i -D ．3i +〖解 析〗复数z 对应的点的坐标是(1,3)-，13z i ∴=-+，∴13z i =--． 〖答 案〗B 7．若1tan 7β=，1tan()2αβ+=，则tan (α= )A ．115B ．112C ．16D ．13〖解 析〗若1tan 7β=，1tan()2αβ+=，则11tan()tan 127tan tan[()]111tan()tan 3127αββααββαββ-+-=+-===+++⨯． 〖答 案〗D8．已知一个圆柱与一个圆锥的底面半径相等，圆柱的高等于其底面直径，圆锥的高等于其底面直径的2倍．给出下列结论： ①设圆柱与圆锥的体积分别为1v ，2v ，则1232v v =； ②设圆柱与圆锥的轴截面面积分别为1S ，2S ，则1212S S =； ③设圆柱与圆锥的侧面积分别为3S ，4S，则34S S =④设圆柱与圆锥表面积分别为5S ，6S，则56S S =其中所有正确结论的序号是( ) A ．①B ．②③C ．①③④D ．①②③④〖解 析〗设圆锥和圆柱的底面半径为r ，则圆柱的高为2r ，圆锥的高为4r ，圆锥的母线．对于①，3232121422,433r V r r r V r r ππππ=⋅==⋅=，则1233242V V =⨯=，①对；对于②，222121(2)4,2442S r r S r r r ===⨯⨯=，则12S S =，②错；对于③，2234224,S r r r S r r πππ=⨯===，则34S S =对于④，22222256246,1)S r r r S r r r πππππ=+==+=，则56S S ，④对． 〖答 案〗C9．“sin cos x x =”是“cos20x =”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件〖解 析〗当sin cos x x =时，22cos2cos sin 0x x x =-=，即充分性成立， 当22cos2cos sin 0x x x =-=时，则cos sin x x =或cos sin x x =-， 则sin cos x x =不一定成立，即必要性不成立，即“sin cos x x =”是“cos20x =”的充分不必要条件． 〖答 案〗A10．如图，以正方形的各边为底可以向外作四个腰长为1的等腰三角形，则正方形与四个等腰三角形面积之和的最大值为( )A ．2B ．2+C ．D ．6〖解 析〗设等腰三角形的底角为θ，则(0,)2πθ∈，则等腰三角形的底边为2cos θ，高为sin θ，则21(2)42222222224S cos sin cos sin cos πθθθθθθ⎛⎫=+⨯⨯=++=++ ⎪⎝⎭阴，又2(44ππθ+∈，5)4π，当242ππθ+=，即8πθ=时，S 阴取最大值2+．〖答 案〗B二、填空题：本大题共6题，每小题5分，共30分. 11．已知复数43z i =-，则复数z 的模是 ． 〖解 析〗43z i =-，∴||5z =．〖答 案〗512．若复数112z i =-，234z i =+，则12z z = ． 〖解 析〗112z i =-，234z i =+，∴12(12)(34)12(34)(34)55z i i i z i i --==--+-． 〖答 案〗1255i --13．用一个平面截一个球，所得截面面积为216cm π，球心到截面的距离为3cm ，则该球的表面积为 2cm ，体积为 3cm ．〖解 析〗因为截面面积为216cm π，所以截面圆的半径为4cm ， 因为球心到截面的距离为3cm5cm =， 所以球的表面积为2245100cm ππ⨯=，球的体积为334500533cm ππ⨯=．〖答 案〗500100;3ππ 14．已知ABC ∆的三条边长分别为5，7，8，则此三角形的最大角与最小角之和为 ． 〖解 析〗由题意设5a =，7b =，8c =， 易知，中间角为B ，222cos 2a c b B ac +-=25644912582+-==⨯⨯，(0,)B π∈，3B π=，故23A C π+=． 〖答 案〗23π15．如图，甲船在A 处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B 处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A 处向南偏西60︒方向行驶，则经过 小时后，甲、乙两船相距最近．〖解 析〗设经过x 小时后，甲船和乙船分别到达C ，D 两点， 则8AC x =，2010AD AB BD x =-=-， 2222cos60CD AC AD AC AD ∴=+-⋅⋅︒221(8)(2010)28(2010)2x x x x =+--⋅⋅-⋅22704800244560400244()6161x x x =-+=-+， 当2CD 取得最小值时，CD 取得最小值．∴当7061x =时，CD 取得最小值． 此时，甲．乙两船相距最近． 答：经过7061小时后，甲．乙两船相距最近．〖答 案〗706116．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其表面积的值可能是 ．（只需写出一个可能的值）〖解 析〗由四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体， 如图，可取三条侧棱长均为2，底面边长2BC BD ==，1CD =．其表面积为11222122⨯⨯⨯⨯故其表面积的一个可能值为〖答 案〗 三、解答题：本大题共5小题，每题14分，共70分. 17．（14分）已知15sin 17α=，(2πα∈，)π，求值： （Ⅰ）sin()3πα-；（Ⅱ）cos2α；（Ⅲ）tan()4πα+．解：（Ⅰ）15sin 17α=，(,)2παπ∈，∴8cos 17α==-．∴1518sin()sin coscos sin()33317217πππααα-=-=⨯--=． （Ⅱ）2215161cos212sin 12()17289αα=-=-⨯=-．（Ⅲ）由（Ⅰ）知，15sin 17α=，8cos 17α=-， sin 15tan cos 8ααα∴==-．∴151tan tan784tan()154231tan tan 148παπαπα-+++===--⋅+． 18．（14分）已知函数()2sin cos 2f x x x x =． （Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 的值域．解：（Ⅰ）()2sin cos 2f x x x x =+12(sin 2)2sin(2)23x x x π==+，所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==．（Ⅱ）当22,32x k k Z πππ+=+∈时，函数()f x 有最大值2，当22,32x k k Z πππ+=-∈时，函数()f x 有最小值2-，所以函数()f x 的值域为[2-，2]．19．（14分）《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）．在如图所示的堑堵中，已知3AB =，4BC =，5AC =．当阳马111C ABB A -体积等于24时，求：（Ⅰ）堑堵111ABC A B C -的侧棱长； （Ⅱ）鳖臑1C ABC -的体积；（Ⅲ）阳马111C ABB A -的表面积．解：（Ⅰ）因为3AB =，4BC =，5AC =，所以222AB BC AC +=． 所以ABC ∆为直角三角形． 设堑堵111ABC A B C -的侧棱长为x ，则113A ABB S x =矩形，则111143243C AA BB V x -=⨯⨯=，所以6x =，所以堑堵111ABC A B C -的侧棱长为6；（Ⅱ）因为13462ABC S ∆=⨯⨯=，所以1111661233C ABC ABC V S CC -∆=⨯=⨯⨯=，所以鳖臑1C ABC -的体积为12； （Ⅲ）因为1111111346,641222A B C BB C S S =⨯⨯==⨯⨯=，111116515,3222AA C ABC SS =⨯⨯==⨯⨯113618A ABB S =⨯=矩形，所以阳马111C ABB A -的表面积为612151851++++=+20．（14分）在ABC ∆中，a =222a c b +=． （Ⅰ）求B ∠；（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC ∆存在且唯一确定，求ABC ∆的面积． 条件①：3b =； 条件②：4cos 5A =；条件③：ABC ∆的周长为4+解：（Ⅰ）由余弦定理知，222cos 2a c b B ac +-===因为(0,)B π∈，所以6B π=．（Ⅱ）选择条件①：把a =3b =代入222a c b +=中，化简得2630c c -+=，解得3c =， 所以存在两个ABC ∆，不符合题意； 选择条件②：因为4cos 5A =，(0,)A π∈，所以3sin 5A =，由正弦定理知，sin sin a bA B=，所以1235b ==因为341sin sin()sin cos cos sin 552C A B A B A B =+=+=+⨯=， 所以ABC ∆的面积11sin 22S ab C ==⨯=． 选择条件③：因为ABC ∆的周长为4+a =4bc +=，又222a c b +=，所以222126(4)c c b c +-==-，解得2b c ==， 所以ABC ∆的面积111sin 2222S ac B ==⨯⨯21．（14分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 上一点，且1:1:2CE EC =．（Ⅰ）试画出过1D ，A ，E 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得截面α； （Ⅱ）证明：平面1D AE 与平面ABCD 相交，并指出它们的交线．（Ⅰ）解：在BC 取点一点F ，使得13CF CB =，延长1A F ，DC ，1D E ，交于点G ，连结EF ，则平面AFED 就是过1D ，A ，E 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得截面α． （Ⅱ）证明：如图，因为A ∈面1D AE ，A ∈面ABCD ，所以面1D AE ⋂面ABCD ≠∅，即平面1D AE 与平面ABCD 相交．延长DC ，1D E ，设它们交于G ，因为G ∈直线1D E ，直线1D E ⊂面1D AE ， 所以G ∈面1D AE ．G ∈直线DC ，直线DC ⊂面ABCD ，G ∈面ABCD ． 所以G ∈面1D AE ⋂面ABCD ，从而AG 为面1D AE 与面ABCD 的交线．。
广东省惠州市高一数学下学期期末考试试卷(1)
惠州市2021-2021学年第二学期期末考试高一数学试题说明：1.全卷总分值150分，时刻120 分钟；2.答卷前，考生务必将自己的姓名、县区、学校、班级、试室、座位号，填写在答题卷上；3.考试终止后，考生将答题卷交回。
一、选择题：本大题共10小题，每题5分，总分值50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．在等比数列}{n a 中，假设93-=a ，17-=a ，那么5a 的值为（ ） A ．3- Ｂ．3 C ．6 D ．6- 2．已知ABC ∆中，4,30a b A ==∠=，那么B sin 等于（ ） A ．21 B ．21- C ． 23D ．23-3．已知两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ，那么a =（ ） Ａ．5 Ｂ．4 C ．3 D ．2 4．点()1,1-到直线10x y -+＝的距离是（ ） Ａ．21 Ｂ．32CD5.ABC ∆边长a b c 、、别离为5,7,8，那么∠B 等于（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒ 6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设972S =,那么159a a a ++=（ ） Ａ．36 Ｂ．24 C ．16 D ．8 7.已知,,a b c R ∈,以下命题中正确的选项是（ ）A ．22bc ac b a >⇒>B ．b a bc ac >⇒>22C ．ba b a 1133<⇒> D ．||22b a b a >⇒>俯视图8.如右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边 长为2的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，那么其体积是（ ）A ．433B. 423C ．36D. 839.设αβ、是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的选项是（ ） A ．假设l α⊥,αβ⊥，那么l β⊂ B ．假设//l α,//αβ，那么l β⊂ C ．假设l α⊥,//αβ，那么l β⊥ D ．假设//l α,αβ⊥，那么l β⊥ 10. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱线长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且22EF =，那么以下结论中错误．．的是 （ ） A ．AC BE ⊥ B ．//EF ABCD 平面C ．三棱锥A BEF -的体积为定值D ．异面直线,AE BF 所成的角为定值二、填空题：本大题共4小题，每题5分，总分值20分，请将答案填在答题卡相应位置. 11.已知0>x ，那么xx x f 2)(+=的最小值为 ． 12.长方体的一个极点上三条棱长别离是3、4、5，那么其体对角线长为 ． 13.通过点()2,3P －－, 在x 轴、y 轴上截距相等的直线方程是 ． 14.设数列}{n a 的前n 项和为n S ，令12nn S S S T n+++=，称n T 为数列12n a a a ⋯，，，的“理想数”，已知数列12100a a a ⋯，，，的“理想数”为101，那么数列121002a a a ⋯，，，，的“理想数”为____________． 三、解答题：本大题共6小题，总分值80分．解答须写出文字说明、证明进程和演算步骤． 15.（此题总分值12分）已知点()(1,)131A B --，，，直线l 过点50,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且与AB 平行，求直线l 的方程。
2021-2022学年山西省高一下学期期末考试数学试题(解析版)
山西省2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|}A x y lnx ==，集合{|sin B y y x ==，}x A ∈，则(A B = )A ．[1-，)∞B ．(0，1]C ．(0,1)D ．(0,)+∞〖解 析〗{|}(0,)A x y lnx ===+∞，集合{|sin B y y x ==，}[1x A ∈=-，1]，(0A B ∴=，1]，〖答 案〗B2．某次体育考试，甲、乙的成绩达到优秀的概率分别为0.4，0.9，两人的成绩互不影响，则甲、乙两人的成绩都未达到优秀的概率为( ) A ．0.06B ．0.36C ．0.28D ．0.64〖解 析〗甲、乙达到优秀的概率分别是0.4、0.9， 则甲、乙未达到优秀的概率分别是10.4-和10.9-， 又甲、乙两人考试成绩互不影响，相互独立．∴甲、乙都未达到优秀的概率为(10.4)(10.9)0.06P =-⨯-=．〖答 案〗A3．若复数z 满足1z i =-+，则下列说法正确的是( ) A ．z 的虚部为iB ．z 的共轭复数为1z i =+C ．z 在复平面内对应的点在第三象限D ．||z =〖解 析〗1z i =-+，z ∴的虚部为1，1z i =--，z 在复平面内对应的点(1,1)-在第二象限，|||1|z i =--=ABC 错误，D 正确．〖答 案〗D4．数据22，24，32，33，35，28，56，x 的第65百分位数为35，则x 的取值可以是() A ．20B ．25C ．30D ．35〖解 析〗865% 5.2⨯=，∴这组数据的第65百分位数是第6项数据35，35x ∴．〖答 案〗D5．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，3A π=，2b =，8c =，则2sin 2sin sin a b cA B C-+-+值等于( )AB． CD〖解 析〗由余弦定理得22212cos 464228522a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，解得a =ABC ∆外接圆半径为R ，则22sin 4sin 2sin 2sin 2sin sin sin 2sin sin sin a b c R A R B R C a R A B C A B C A -+-+=====-+-+． 〖答 案〗C6．设平面向量a ，b 满足||12a =，(1,22)b =，18a b ⋅=，则b 在a 方向上的投影向量为() A ．18aB ．18bC ．12aD ．12b〖解 析〗||12a =，18a b ⋅=，∴b 在a 方向上的投影向量1811||||12128a b a a a a a ⋅=⋅=⋅⋅=． 〖答 案〗A7．正三棱锥P ABC -的底面边长等于球O 的半径，且正三棱锥P ABC -的高等于球O 的直径，则球O的体积与正三棱锥P ABC -体积的比值为( ) ABC D ． 〖解析〗设球O 的半径为r，球O 的体积为3143V r π=，正三棱锥P ABC -的底面积2212S r =，2h r =，棱锥的体积为232123V r =⨯=．所以12V V 〖答 案〗C8．已知点P 在ABC ∆的边BC 上，2AP PC CA ===，ABC ∆，则sin (PAB ∠= )A B C D〖解 析〗因为2AP PC CA ===，故等边三角形APC 的面积212sin 602APC S ∆=⨯⨯︒=，又ABC ∆1sin1202ABP S PA PB ∆=⋅⋅︒=， 解得3PB =，故5BC =，所以在ABC ∆中，22226019AB BC AC BC AC =+-⋅⋅︒=，故AB =，所以sin sin AB BPAPB PAB=∠∠3sin PAB =∠，解得：sin PAB ∠=． 〖答 案〗D9．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是( )A ．直线CD 与直线GH 异面B ．直线CD 与直线EF 共面C ．直线AB 与直线EF 异面D ．直线GH 与直线EF 共面〖解 析〗如图，点C 与点G 重合，故A 错误；//CE BD ，且CE BD =，∴四边形CDBE 是平行四边形，//CD EF ∴，CD ∴与EF 是共面直线，故B 正确；AB EF B =，AB ∴与EF 相交，故C 错误；EF ，GH 不在一个平面内，且EF 与GH 既不平行也不相交，EF ∴，GH 是异面直线，故D 错误．〖答 案〗B10．甲、乙两盒中皆装有若干个不同色的小球，从甲盒中摸出一个红球的概率是13，从乙盒中摸出一个红球的概率是12，现小明从两盒各摸出一个球，每摸出一个红球得3分，摸出其他颜色小球得0分，下列结论错误的是( ) A ．小明得6分的概率为16B ．小明得分低于6分的概率为13C ．小明得分不少于3分的概率为23D ．小明恰好得3分的概率为12〖解 析〗设“从甲盒中摸出一个红球”为事件1A ，“从乙盒中摸出一个红球”为事件2A ， 则11()3P A =，21()2P A =，且1A ，2A 独立． 对选项A ，小明得（6分）的概率为111326⨯=，故A 正确；对选项B ，小明得分低于（6分）的概率为15166-=，故B 错误； 对选项C ，小明得分不少于（3分）的概率为122121()()1323P A P A -=-⨯=，故C 正确；在D 中，小明恰好得（3分）的概率为1121132322⨯+⨯=，故D 正确．〖答 案〗B11．下列四个等式中正确的是( )A．tan 205tan35205tan35︒+︒︒︒=B ．2tan811tan8ππ=-C ．221cos sin 882ππ-=D．14sincos1818π=〖解 析〗对于A，tan 205tan35tan 240tan(20535)1tan 205tan35︒+︒︒=︒+︒==-︒︒，tan 205tan35205tan35∴︒+︒︒⋅︒A 错误，对于B ，原式22tan1118tan 224218tan πππ=⋅==-，故B 错误，对于C，原式cos4π==，故C 错误， 对于D，7cos 2(coscossinsin )4cos11818183183181sincossincossin sin 18181818299ππππππππππππ---=== 4cos()4sin2994sin sin 99πππππ-===，故D 正确． 〖答 案〗D12．若点P 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -表面上的动点，点M 是棱11A D 的中点，AP DM ⊥，则线段AP 长度的最大值为( )AB．C ．3D．〖解 析〗分别取1DD ，1CC 中点E ，F ，连接EA ，EF ，FB ，首先EF 与CD 平行且相等，CD 与AB 平行且相等，因此EF 与AB 平行且相等，四边形EFBA 是平行四边形，在同一平面内，易得ADE ∆≅△1DD M ，1EAD MDD ∠=∠，所以190EAD MDA MDD MDA ∠+∠=∠+∠=︒，所以MD AE ⊥， 又AB ⊥平面11ADD A ，MD ⊂平面11ADD A ，所以AB MD ⊥， 又AEAB A =，AB ，AE ⊂平面ABFE ，所以MD ⊥平面ABFE ．而MD AP ⊥，则P ∈平面ABFE ，所以P 点轨迹是矩形ABEF （除A 点）， 四边形ABFE 是矩形，当P 与F 重合时，AF3=．〖答 案〗C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若幂函数()y f x =的图象过点1(2,)4，则此函数的〖解 析〗式为 ．〖解 析〗设幂函数为a y x =，幂函数()y f x =的图象过1(2,)4，∴124a =，解得2a =-．21()f x x∴=．〖答 案〗21x14．如图，作用于同一点O 的三个力1F ，2F ，3F 处于平衡状态，已知1||1F =，2||F ，1F 与2F 的夹角为34π，则3F 的大小为 ．〖解 析〗三个力1F ，2F ，3F 处于平衡状态，123F F F ∴+=-，1||1F =，2||F =，1F 与2F 的夹角为34π，∴22223121212()21221(1F F F F F F F =+=++⋅=++⨯=， 3F ∴的大小为1．〖答 案〗115．关于函数()sin()sin 6f x x x π=+-①其表达式可写成()cos(2)6f x x π=-+；②曲线()y f x =关于直线12x π=-对称；③()f x 在区间[,]63ππ上单调递增；④(0,)2πα∃∈，使得()(3)f x f x αα+=+恒成立．其中正确的是 （填写正确的序号）， 〖解 析〗函数11cos21()sin()sin cos )sin sin26224x f x x x x x x x π-=+=+=+11sin2sin(2)423x x x π==-， 对于①：由于11()sin(2)cos(2)2326f x x x ππ=-=-+，故①正确；对于②：函数()f x 满足11()sin()12222f ππ-=-=-，故②正确； 对于③：由于[,]63x ππ∈，故2[0,]33x ππ-∈，故函数在该区间上单调递增，故③正确；对于④，当4πα=时，使得3()()44f x f x ππ+=+恒成立，故④恒成立． 〖答 案〗①②③④16．如图所示，边长为a 的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，将ADE ，EBF ，FCD 分别沿DE ，EF ，FD 折起，使得A ，B ，C 三点重合于点A '，若四面体A EFD '的四个顶点在同一个球面上，且该球的表面积为6π，则a = ．〖解 析〗由题意可知△A EF '是等腰直角三角形，且90EA F ∠'=︒，又易知A E A D '⊥'，A F A D '⊥'，A E A F A ''='，A E '，A F '⊂平面A EF '，所以A D '⊥平面A EF '，将三棱锥的底面A EF '扩展为边长为2a的正方形， 然后扩展为底面边长为2a，高为a 的正四棱柱， 则三棱锥A EFD '-的外接球与正四棱柱的外接球相同，正四棱柱的对角线的长度就是外接，所以外接球的半径为R =，故球的表面积为222344)62S R a ππππ==⋅==，所以2a =． 〖答 案〗2三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．（10分）已知函数2()(22)x f x m m m =--⋅是指数函数．（1）求实数m 的值；（2）解不等式22(2)(1)mm x x +<-．解：（1）由题意函数2()(22)x f x m m m =--⋅是指数函数，可知222101m m m m ⎧--=⎪>⎨⎪≠⎩，求得3m =．（2）由（1）得，不等式即3322(2)(1)x x +<-，32y x =在[0，)+∞上单调递增，∴201021x x x x+⎧⎪-⎨⎪+<-⎩，解得122x -<-， 故原不等式的解集为1[2,)2--．18．（12分）为减少水资源的浪费，某市政府计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度．为了确定一个较为合理的用水标准，有关部门通过随机抽样调查的方式，获得过去一年4000户居民的月均用水量数据（单位：吨），并根据获得的数据制作了频率分布表：（1）求m ，n ，p ，q 的值；（2）求所获得数据中“月均用水量不低于30吨”发生的频率；（3）若在第4，5，6组用按比例分配的分层抽样的方法随机抽取6户做问卷调查，并在这6户中任选2户进行座谈会，求这2户中恰有1户是“月均用水量不低于50吨”的概率． 解：（1）由表中数据可得，4000(0.04610)1840m =⨯⨯=，0.046100.46n =⨯=，0.018100.0018p =÷=，40000.00624q =⨯=．（2）所获得数据中“月均用水量不低于30吨”发生的频率为0.0180.0120.0060.036++=．（3）用分层抽样的方法在4，5，6，组随机抽取6户做回访调查的人数分别为3，2，1， 设上述6户分别为A ，B ，C ，D ，E ，F ，在这6户中任选2户进行座谈会，分别有AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ，共15种，其中这2户中恰有1户是“月均用水量不低于50吨”的事件为AF ，BF ，CF ，DF ，EF ，共5种， 故所求概率为51153P ==． 19．（12分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，E 是线段PB 的中点，F 是线段DC 上的点，且12DF AB =．（1）证明：//EF 平面PAD ；（2）若AB ⊥平面PAD ，PD AD =，PH AD ⊥，且PHAD H =．记直线PB 与平面ABCD所成角为α，直线PB 与平面PAD 所成角为β，比较cos α与sin β的大小，并说明理由． （1）证明：取PA 的中点M ，连接DM ，EM ，E 是PB 的中点，//EM AB ∴，且12EM AB =， 又//AB CD ，12DF AB =， //EM DF ∴，且EM DF =，∴四边形EFDM 为平行四边形，//EF DM ∴，DM ⊂平面PAD ，EF ⊂/平面PAD ，//EF ∴平面PAD ．（2）解：连接BH ，AB ⊥平面PAD ，PH ⊂面PAD ，PH AB ∴⊥，又PH AD ⊥，ABAD A =，AB ，AD ⊂平面ABCD ，PH ∴⊥平面ABCD ，即PBH ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角，∴cos cos BHPBH PBα=∠=， AB ⊥平面PAD ，BPA ∴∠为直线PB 与平面PAD 所成角，又PA ⊂平面PAD ，PA AB ∴⊥，即sin sin ABBPA PBβ=∠=， 在PAD ∆中，PD AD =，H ∴与A 不重合，AB BH ∴≠， 在Rt ABH ∆中，AB BH <，sin cos βα∴<．20．（12分）已知复数1z a bi =+，a R ∈，b R ∈，0b ≠，2114z z z =+，221z -<． （1）求实数a 的取值范围； （2）若1122z z ω-=+，求22||z ω-的最小值． 解：（1）2122221444()()a b z z a b i z a b a b =+=++-++ 221z -<，2z ∴是实数，∴224bb a b=+，即224a b +=，22z a ∴=， 221z -<，221a ∴-<，即112a-<， 1z ∴的实部的取值范围为1(1,]2-；（2）2212212244422(2)842z a bi a b bi bi biz a bi a b a a ω--+-++=====+++++++， 222222()22(2)bi b z a a a a ω--=-=-++， 224a b +=，∴2222424222(2)5(2)22a a z a a a a a aω---=+=+=++-+++， 1(1,]2a ∈-，20a ∴+>，∴当42(2)2a a=++时，即2a =-22zω-取到最小值5， 又50>，故22||z ω-的最小值为5．21．（12分）如图，在四边形ABCD 中，3AB =，AD BCD ∆是以D 为直角顶点的等腰直角三角形，BAD θ∠=，(,)2πθπ∈．（1）当cos θ=时，求AC ； （2）当四边形ABCD 的面积取最大值时，求BD ．解：（1）由题干可知，在ABD ∆中，3AB =，AD =cos θ=．则由余弦定理可得到：2222cos 1414620BD AB AD AB AD θθ=+-⋅=-=+=．解得BD =又因为(,)2πθπ∈，故sin θ==．再根据正弦定理得sin sin BD ABBAD ADB =∠∠3sin ADB =∠． 解得3sin 5ADB ∠=，由题意知在BCD ∆中，D 为直角，且BCD ∆是等腰直角三角形，所以2CDB π∠=且CD BD ==故得到3cos cos()sin 25ADC ADB ADB π∠=∠+=-∠=-．在ACD ∆中，由余弦定理得AC =（2）根据第一问可得：214BD θ=-，2113sin 722ABCD ABD BCD S S S BD θθθ∆∆=+=⨯+⨯=+-1572cos )7sin()2θθθϕ=-=+-．此时sin ϕ=cos ϕ= 又因为(0,)2πϕ∈，当2πθϕ-=时，四边形ABCD 的面积取得最大值．即2πθϕ=+，解得sin θ=cos θ=所以21414(26BD θ=-=-=．即BD22．（12分）如图，在三棱柱111?ABC A B C 中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，160A AC ACB ∠=∠=︒，12C C AC BC ==，D 是BC 的中点．（1）证明：平面11A B D ⊥平面11BB C C ；（2）若2BC =，分别求过1A ，1B ，D 三点的截面将该三棱柱分得的两部分的体积． （1）证明：在三棱柱111ABC A B C -中，取AC 的中点H ，连接1A H ，HD ，1A C ， 因为H ，D 分别为AC ，BC 的中点，所以//HD AB ，所以11//HD A B ， 所以平面11A HDB 即为平面11A B D ，因为160A AC ∠=︒，1AA AC =，所以△1A AC 为正三角形，所以1A H AC ⊥， 又平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A ⋂平面ABC AC =，1A H ⊂平面11ACC A ， 所以1A H ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，所以1A H BC ⊥， 在ABC ∆中，2AC BC =，60ACB ∠=︒，由余弦定理可得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠，即AB ， 所以222AC AB BC =+，即AB BC ⊥，因为//HD AB ，所以BC HD ⊥， 因为1A HHD H =，1A H ⊂平面11A HDB ，HD ⊂平面11A HDB ，所以BC ⊥平面11A HDB ，又BC ⊂平面11BB C C ，所以平面11A HDB ⊥平11BB C C ，即平面11A B D ⊥平面11BB C C ； （2）解：因为2BC =，所以14AC AA ==，因为H ，D 分别为AC ，BC 的中点，且11111//,2HD A B HD A B =， 所以111HDC A B C -是三棱台，因为ABC ∆中，,2AB BC AB BC ⊥==，所以11222ABC S AB BC ∆=⋅=⨯=，所以111A B C S =14HDC ABC S S ∆∆==，又1A H ⊥平面ABC ，且1A H =111HDC A B C -的体积1111111111()33HDC A B C HDC A B C V A H S S S S∆∆=++⋅=⨯+ 173=⨯，所以剩余几何体的体积111111212752ABC A B C HDC A B C V V V --=-=⨯⨯=，所以过A ，1B ，D 三点的截面将该三棱柱分得的两部分的体积分别为5和7．山西省2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|}A x y lnx ==，集合{|sin B y y x ==，}x A ∈，则(A B = )A ．[1-，)∞B ．(0，1]C ．(0,1)D ．(0,)+∞〖解 析〗{|}(0,)A x y lnx ===+∞，集合{|sin B y y x ==，}[1x A ∈=-，1]，(0A B ∴=，1]，〖答 案〗B2．某次体育考试，甲、乙的成绩达到优秀的概率分别为0.4，0.9，两人的成绩互不影响，则甲、乙两人的成绩都未达到优秀的概率为( ) A ．0.06B ．0.36C ．0.28D ．0.64〖解 析〗甲、乙达到优秀的概率分别是0.4、0.9， 则甲、乙未达到优秀的概率分别是10.4-和10.9-， 又甲、乙两人考试成绩互不影响，相互独立．∴甲、乙都未达到优秀的概率为(10.4)(10.9)0.06P =-⨯-=．〖答 案〗A3．若复数z 满足1z i =-+，则下列说法正确的是( ) A ．z 的虚部为iB ．z 的共轭复数为1z i =+C ．z 在复平面内对应的点在第三象限D．||z =〖解 析〗1z i =-+，z ∴的虚部为1，1z i =--，z 在复平面内对应的点(1,1)-在第二象限，|||1|z i =--=ABC 错误，D 正确．〖答 案〗D4．数据22，24，32，33，35，28，56，x 的第65百分位数为35，则x 的取值可以是() A ．20B ．25C ．30D ．35〖解 析〗865% 5.2⨯=，∴这组数据的第65百分位数是第6项数据35，35x ∴．〖答 案〗D5．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，3A π=，2b =，8c =，则2sin 2sin sin a b cA B C-+-+值等于( )AB． CD〖解 析〗由余弦定理得22212cos 464228522a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，解得a =ABC ∆外接圆半径为R ，则22sin 4sin 2sin 2sin 2sin sin sin 2sin sin sin a b c R A R B R C a R A B C A B C A -+-+=====-+-+． 〖答 案〗C6．设平面向量a ，b 满足||12a =，(1,22)b =，18a b ⋅=，则b 在a 方向上的投影向量为()A ．18aB ．18bC ．12aD ．12b〖解 析〗||12a =，18a b ⋅=，∴b 在a 方向上的投影向量1811||||12128a b a a a a a ⋅=⋅=⋅⋅=． 〖答 案〗A7．正三棱锥P ABC -的底面边长等于球O 的半径，且正三棱锥P ABC -的高等于球O 的直径，则球O的体积与正三棱锥P ABC -体积的比值为( ) ABC D ． 〖解析〗设球O 的半径为r ，球O 的体积为3143V r π=，正三棱锥P ABC -的底面积2212S r =，2h r =，棱锥的体积为232123V r =⨯=．所以12V V〖答 案〗C8．已知点P 在ABC ∆的边BC 上，2AP PC CA ===，ABC∆，则sin (PAB ∠= )ABCD 〖解 析〗因为2AP PC CA ===，故等边三角形APC的面积212sin 602APC S ∆=⨯⨯︒=，又ABC ∆1sin1202ABP S PA PB ∆=⋅⋅︒=， 解得3PB =，故5BC =，所以在ABC ∆中，22226019AB BC AC BC AC =+-⋅⋅︒=， 故AB =， 所以sin sin AB BPAPB PAB=∠∠3sin PAB=∠，解得：sin PAB ∠=． 〖答 案〗D9．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是( )A ．直线CD 与直线GH 异面B ．直线CD 与直线EF 共面C ．直线AB 与直线EF 异面D ．直线GH 与直线EF 共面〖解 析〗如图，点C 与点G 重合，故A 错误；//CE BD ，且CE BD =，∴四边形CDBE 是平行四边形，//CD EF ∴，CD ∴与EF 是共面直线，故B 正确；AB EF B =，AB ∴与EF 相交，故C 错误；EF ，GH 不在一个平面内，且EF 与GH 既不平行也不相交，EF ∴，GH 是异面直线，故D 错误．〖答 案〗B10．甲、乙两盒中皆装有若干个不同色的小球，从甲盒中摸出一个红球的概率是13，从乙盒中摸出一个红球的概率是12，现小明从两盒各摸出一个球，每摸出一个红球得3分，摸出其他颜色小球得0分，下列结论错误的是( ) A ．小明得6分的概率为16B ．小明得分低于6分的概率为13C ．小明得分不少于3分的概率为23D ．小明恰好得3分的概率为12〖解 析〗设“从甲盒中摸出一个红球”为事件1A ，“从乙盒中摸出一个红球”为事件2A ， 则11()3P A =，21()2P A =，且1A ，2A 独立． 对选项A ，小明得（6分）的概率为111326⨯=，故A 正确；对选项B ，小明得分低于（6分）的概率为15166-=，故B 错误； 对选项C ，小明得分不少于（3分）的概率为122121()()1323P A P A -=-⨯=，故C 正确；在D 中，小明恰好得（3分）的概率为1121132322⨯+⨯=，故D 正确．〖答 案〗B11．下列四个等式中正确的是( )A．tan 205tan35205tan35︒+︒︒︒=B ．2tan811tan8ππ=-C ．221cos sin 882ππ-=D．14sincos1818π=〖解 析〗对于A，tan 205tan35tan 240tan(20535)1tan 205tan35︒+︒︒=︒+︒==-︒︒，tan 205tan35205tan35∴︒+︒︒⋅︒A 错误，对于B ，原式22tan1118tan 224218tan πππ=⋅==-，故B 错误， 对于C，原式cos4π==，故C 错误， 对于D，7cos 2(coscossinsin )4cos11818183183181sincossincossin sin 18181818299ππππππππππππ---=== 4cos()4sin2994sin sin 99πππππ-===，故D 正确． 〖答 案〗D12．若点P 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -表面上的动点，点M 是棱11A D 的中点，AP DM ⊥，则线段AP 长度的最大值为( )AB．C ．3D．〖解 析〗分别取1DD ，1CC 中点E ，F ，连接EA ，EF ，FB ，首先EF 与CD 平行且相等，CD 与AB 平行且相等，因此EF 与AB 平行且相等，四边形EFBA 是平行四边形，在同一平面内，易得ADE ∆≅△1DD M ，1EAD MDD ∠=∠，所以190EAD MDA MDD MDA ∠+∠=∠+∠=︒，所以MD AE ⊥， 又AB ⊥平面11ADD A ，MD ⊂平面11ADD A ，所以AB MD ⊥， 又AEAB A =，AB ，AE ⊂平面ABFE ，所以MD ⊥平面ABFE ．而MD AP ⊥，则P ∈平面ABFE ，所以P 点轨迹是矩形ABEF （除A 点），四边形ABFE 是矩形，当P 与F 重合时，AF 3=．〖答 案〗C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若幂函数()y f x =的图象过点1(2,)4，则此函数的〖解 析〗式为 ．〖解 析〗设幂函数为a y x =，幂函数()y f x =的图象过1(2,)4，∴124a =，解得2a =-．21()f x x∴=．〖答 案〗21x14．如图，作用于同一点O 的三个力1F ，2F ，3F 处于平衡状态，已知1||1F =，2||F ，1F 与2F 的夹角为34π，则3F 的大小为 ．〖解 析〗三个力1F ，2F ，3F 处于平衡状态，123F F F ∴+=-，1||1F =，2||F =，1F 与2F 的夹角为34π，∴22223121212()21221(12F F F F F F F =+=++⋅=++⨯-=，3F ∴的大小为1．〖答 案〗115．关于函数()sin()sin 6f x x x π=+-①其表达式可写成()cos(2)6f x x π=-+；②曲线()y f x =关于直线12x π=-对称；③()f x 在区间[,]63ππ上单调递增；④(0,)2πα∃∈，使得()(3)f x f x αα+=+恒成立．其中正确的是 （填写正确的序号）， 〖解 析〗函数11cos21()sin()sin cos )sin sin26224x f x x x x x x x π-=+=+=+11sin2sin(2)423x x x π==-， 对于①：由于11()sin(2)cos(2)2326f x x x ππ=-=-+，故①正确；对于②：函数()f x 满足11()sin()12222f ππ-=-=-，故②正确； 对于③：由于[,]63x ππ∈，故2[0,]33x ππ-∈，故函数在该区间上单调递增，故③正确；对于④，当4πα=时，使得3()()44f x f x ππ+=+恒成立，故④恒成立． 〖答 案〗①②③④16．如图所示，边长为a 的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，将ADE ，EBF ，FCD 分别沿DE ，EF ，FD 折起，使得A ，B ，C 三点重合于点A '，若四面体A EFD '的四个顶点在同一个球面上，且该球的表面积为6π，则a = ．〖解 析〗由题意可知△A EF '是等腰直角三角形，且90EA F ∠'=︒，又易知A E A D '⊥'，A F A D '⊥'，A E A F A ''='，A E '，A F '⊂平面A EF '，所以A D '⊥平面A EF '，将三棱锥的底面A EF '扩展为边长为2a的正方形， 然后扩展为底面边长为2a，高为a 的正四棱柱， 则三棱锥A EFD '-的外接球与正四棱柱的外接球相同，正四棱柱的对角线的长度就是外接，所以外接球的半径为R =，故球的表面积为222344)62S R a ππππ==⋅==，所以2a =． 〖答 案〗2三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．（10分）已知函数2()(22)x f x m m m =--⋅是指数函数． （1）求实数m 的值；（2）解不等式22(2)(1)mm x x +<-．解：（1）由题意函数2()(22)x f x m m m =--⋅是指数函数，可知222101m m m m ⎧--=⎪>⎨⎪≠⎩，求得3m =．（2）由（1）得，不等式即3322(2)(1)x x +<-，32y x =在[0，)+∞上单调递增，∴201021x x x x+⎧⎪-⎨⎪+<-⎩，解得122x -<-，故原不等式的解集为1[2,)2--．18．（12分）为减少水资源的浪费，某市政府计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度．为了确定一个较为合理的用水标准，有关部门通过随机抽样调查的方式，获得过去一年4000户居民的月均用水量数据（单位：吨），并根据获得的数据制作了频率分布表：（1）求m，n，p，q的值；（2）求所获得数据中“月均用水量不低于30吨”发生的频率；（3）若在第4，5，6组用按比例分配的分层抽样的方法随机抽取6户做问卷调查，并在这6户中任选2户进行座谈会，求这2户中恰有1户是“月均用水量不低于50吨”的概率．解：（1）由表中数据可得，4000(0.04610)1840m=⨯⨯=，0.046100.46n=⨯=，0.018100.0018p=÷=，40000.00624q=⨯=．（2）所获得数据中“月均用水量不低于30吨”发生的频率为0.0180.0120.0060.036++=．（3）用分层抽样的方法在4，5，6，组随机抽取6户做回访调查的人数分别为3，2，1，设上述6户分别为A，B，C，D，E，F，在这6户中任选2户进行座谈会，分别有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种，其中这2户中恰有1户是“月均用水量不低于50吨”的事件为AF，BF，CF，DF，EF，共5种，故所求概率为51153P==．19．（12分）如图所示，在四棱锥P ABCD-中，//AB CD，E是线段PB的中点，F是线段DC上的点，且12DF AB=．（1）证明：//EF 平面PAD ；（2）若AB ⊥平面PAD ，PD AD =，PH AD ⊥，且PHAD H =．记直线PB 与平面ABCD所成角为α，直线PB 与平面PAD 所成角为β，比较cos α与sin β的大小，并说明理由． （1）证明：取PA 的中点M ，连接DM ，EM ，E 是PB 的中点，//EM AB ∴，且12EM AB =， 又//AB CD ，12DF AB =， //EM DF ∴，且EM DF =，∴四边形EFDM 为平行四边形，//EF DM ∴，DM ⊂平面PAD ，EF ⊂/平面PAD ，//EF ∴平面PAD ．（2）解：连接BH ，AB ⊥平面PAD ，PH ⊂面PAD ，PH AB ∴⊥，又PH AD ⊥，ABAD A =，AB ，AD ⊂平面ABCD ，PH ∴⊥平面ABCD ，即PBH ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角，∴cos cos BHPBH PBα=∠=， AB ⊥平面PAD ，BPA ∴∠为直线PB 与平面PAD 所成角，又PA ⊂平面PAD ，PA AB ∴⊥，即sin sin ABBPA PBβ=∠=， 在PAD ∆中，PD AD =，H ∴与A 不重合，AB BH ∴≠， 在Rt ABH ∆中，AB BH <，sin cos βα∴<．20．（12分）已知复数1z a bi =+，a R ∈，b R ∈，0b ≠，2114z z z =+，221z -<． （1）求实数a 的取值范围；（2）若1122z z ω-=+，求22||z ω-的最小值． 解：（1）2122221444()()a b z z a b i z a b a b =+=++-++ 221z -<，2z ∴是实数，∴224bb a b=+，即224a b +=，22z a ∴=， 221z -<，221a ∴-<，即112a-<， 1z ∴的实部的取值范围为1(1,]2-；（2）2212212244422(2)842z a bi a b bi bi biz a bi a b a a ω--+-++=====+++++++， 222222()22(2)bi b z a a a a ω--=-=-++， 224a b +=，∴2222424222(2)5(2)22a a z a a a a a aω---=+=+=++-+++，1(1,]2a ∈-，20a ∴+>，∴当42(2)2a a=++时，即2a =-22z ω-取到最小值5， 又50>，故22||zω-的最小值为5．21．（12分）如图，在四边形ABCD 中，3AB=，AD BCD ∆是以D 为直角顶点的等腰直角三角形，BAD θ∠=，(,)2πθπ∈．（1）当cos θ=时，求AC ； （2）当四边形ABCD 的面积取最大值时，求BD ．解：（1）由题干可知，在ABD ∆中，3AB=，AD=cos θ=． 则由余弦定理可得到：2222cos 1414620BD AB AD AB AD θθ=+-⋅=-=+=．解得BD =又因为(,)2πθπ∈，故sin θ==．再根据正弦定理得sin sin BD ABBAD ADB =∠∠3sin ADB=∠． 解得3sin 5ADB ∠=，由题意知在BCD ∆中，D 为直角，且BCD ∆是等腰直角三角形，所以2CDB π∠=且CD BD ==故得到3cos cos()sin 25ADC ADB ADB π∠=∠+=-∠=-．在ACD ∆中，由余弦定理得AC =（2）根据第一问可得：214BD θ=-，2113sin 722ABCD ABD BCD S S S BD θθθ∆∆=+=⨯+⨯=+-1572cos )7sin()2θθθϕ=-=+-．此时sin ϕ=cos ϕ= 又因为(0,)2πϕ∈，当2πθϕ-=时，四边形ABCD 的面积取得最大值．即2πθϕ=+，解得sin θ=cos θ=所以21414(26BD θ=-=-=．即BD22．（12分）如图，在三棱柱111?ABC A B C 中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，160A AC ACB ∠=∠=︒，12C C AC BC ==，D 是BC 的中点．（1）证明：平面11A B D ⊥平面11BB C C ；（2）若2BC =，分别求过1A ，1B ，D 三点的截面将该三棱柱分得的两部分的体积．（1）证明：在三棱柱111ABC A B C -中，取AC 的中点H ，连接1A H ，HD ，1A C ， 因为H ，D 分别为AC ，BC 的中点，所以//HD AB ，所以11//HD A B ， 所以平面11A HDB 即为平面11A B D ，因为160A AC ∠=︒，1AA AC =，所以△1A AC 为正三角形，所以1A H AC ⊥， 又平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A ⋂平面ABC AC =，1A H ⊂平面11ACC A ， 所以1A H ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，所以1A H BC ⊥， 在ABC ∆中，2AC BC =，60ACB ∠=︒，由余弦定理可得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠，即AB ， 所以222AC AB BC =+，即AB BC ⊥，因为//HD AB ，所以BC HD ⊥， 因为1A HHD H =，1A H ⊂平面11A HDB ，HD ⊂平面11A HDB ，所以BC ⊥平面11A HDB ，又BC ⊂平面11BB C C ，所以平面11A HDB ⊥平11BB C C ，即平面11A B D ⊥平面11BB C C ； （2）解：因为2BC =，所以14AC AA ==，因为H ，D 分别为AC ，BC 的中点，且11111//,2HD A B HD A B =， 所以111HDC A B C -是三棱台，因为ABC ∆中，,2AB BC AB BC ⊥==，所以11222ABC S AB BC ∆=⋅=⨯=，所以111A B C S =14HDC ABC S S ∆∆==，又1A H ⊥平面ABC ，且1A H =111HDC A B C -的体积1111111111()33HDC A B C HDC A B C V A H S S S S∆∆=++⋅=⨯+ 173=⨯，所以剩余几何体的体积111111212752ABC A B C HDC A B C V V V --=-=⨯⨯=，所以过A ，1B ，D 三点的截面将该三棱柱分得的两部分的体积分别为5和7．。
上海市虹口高级中学2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题(解析版)
上海市虹口高级中学2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、填空题：（4*10＝40分）1．设复数z 满足32i z i ⋅=+，其中i 为虚数单位，则Imz = ． 〖解 析〗由32i z i ⋅=+可得32(32)23i i iz i i i i++===-⋅，3Imz ∴=-． 〖答 案〗3-2．已知向量(1,1)a =-，(,2)b m =，若存在实数λ，使得a b λ=，则实数m 的值为 ． 〖解 析〗0b ≠，且a b λ=，∴a 与b 共线，20m ∴--=，解得2m =-．〖答 案〗2-3．已知||2,4b a b =⋅=-，则向量a 在向量b 方向上的数量投影为 ． 〖解 析〗向量a 在向量b 方向上的数量投影为||cos a a ⋅<，4||22||||||a b a b b a a b b ⋅⋅->=⋅===-⋅．〖答 案〗2-4．将边长为2的正方形ABCD 水平放置，得到的直观图A B C D ''''的面积为 ． 〖解 析〗将边长为2的正方形ABCD 水平放置，原图面积为224⨯=，∴得到的直观图A B C D ''''的面积为4=〖答5．已知复数1z i =，若复数z 满足12iz z =，则复数z 的辐角主值为 ．〖解 析〗1z i =，12iz z =，∴1cos sin 233z i ππ====+， 故复数z 的辐角主值为3π． 〖答 案〗3π 6．已知复数z 满足：20(ii i z++=为虚数单位），则||z = ．〖解 析〗20i i z ++=，∴22(2)12i i iz i i i++===-+--， 12z i∴=--，∴||z〖答7ABC 中，设,,AB c BC a CA b ===，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅= ． 〖解 析〗933cos12032a b b c c a ⋅+⋅+⋅=⨯︒⨯=-．〖答 案〗92-8．已知一元二次方程220x px ++=的两个虚根分别为1x ，2x ，且满足12||2x x -=，则实数p 的值为 ．〖解 析〗因为一元二次方程220x px ++=的两个虚根1x ，2x 为共轭虚根， 所以可设1x a bi =+，2x a bi =-（其中a ，b R ∈，21)i =-． 所以由根与系数的关系可得12221222x x a px x a b +==-⎧⎨=+=⎩． 而12|||2|2x x bi -==，解得：1b =±，1a =±． 所以当1a =时，2p =-；当1a =-时，2p =． 故实数p 的值为2或2-． 〖答 案〗2或2-9．已知向量,OA OB 的夹角为3π，||5OA =，若||||OA OB OA tOB --对一切t R ∈恒成立，则||OB 的值为 ．〖解 析〗根据题意作出如下所示图形，向量tOB 可为图中向量(1i OB i =，2，3，)⋯⋯， 因为||||OA OB OA tOB --对一切t R ∈恒成立，所以||||i BA B A 恒成立，即||BA 是||i B A 的最小值，当且仅当点B 与点2B 重合时，||i B A 取得最小值2||B A ，此时22AB O π∠=，所以25||||||cos 5cos32OB OB OA AOB π==∠=⨯=．〖答 案〗5210．在复平面中，已知点(1,0)A -、(0,3)B ，复数1z 、2z 对应的点分别为1Z 、2Z ，且满足12||||2z z ==，12||4Z Z =，则12AZ BZ ⋅的最大值为 ．〖解 析〗由题意设1(2cos ,2sin )Z αα，2(2cos ,2sin )Z ββ，02απ<，02βπ<，由12||4Z Z =4=， 整理得cos()1αβ-=-，02απ<，02βπ<， 22παβπ∴-<-<，可得αβπ-=±，1(2cos 1,2sin )AZ αα=+，2(2cos ,2sin 3)BZ ββ=-，则12(2cos 1)2cos 2sin (2sin 3)AZ BZ αβαβ⋅=++-4cos cos 4sin sin 2cos 6sin 4cos()2cos 6sin αβαββααββα=++-=-+- 142cos()6sin 46sin 2cos )4(tan )3παααααϕϕ=-+±+-=---=-+-=，∴12AZ BZ ⋅的最大值为4．〖答 案〗4 二、选择题：（5*420分）11．已知复数z ，则“0z z +=”是“z 为纯虚数”的( )条件 A ．充分非必要 B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分也非必要〖解 析〗复数z ，若0z z +=，z 不一定为纯虚数，可以为0， 若z 为纯虚数，则0z z +=，故“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件． 〖答 案〗B12．在ABC ∆中，若2·0AB BC AB +=，则ABC ∆的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形〖解 析〗在ABC ∆中，，∴AB AC ⊥，2A π∴∠=，则ABC ∆为直角三角形．〖答 案〗B 13．下列命题中①空间中三个点可以确定一个平面． ②直线和直线外的一点，可以确定一个平面．③如果三条直线两两相交，那么这三条直线可以确定一个平面． ④如果三条直线两两平行，那么这三条直线可以确定一个平面． ⑤如果两个平面有无数个公共点，那么这两个平面重合． 真命题的个数为( ) A ．1个B ．2个C ．3个 D ．4个〖解 析〗命题①：空间中不共线三个点可以确定一个平面，错误； 命题②：直线和直线外的一点，可以确定一个平面，正确；命题③：三条直线两两相交，若三条直线相交于一点，则无法确定一个平面，错误； 命题④：如果三条直线两两平行，那么这三条直线不能确定一个平面，错误； 命题⑤：两个平面有无数个公共点，则两平面可能相交，错误． 〖答 案〗A14．设函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中R ϕ∈．若()()6f x f π对任意的x R ∈恒成立，则下列结论正确的是( ) A ．2(,0)3π为函数()f x 的一个对称中心 B ．()f x 的图像关于直线512x π=对称C ．()f x 在3[,]24ππ上为严格减函数D ．函数|()|f x 的最小正周期为2π〖解 析〗由()()6f x f π对任意的x R ∈恒成立得函数在6x π=取得最大值，所以sin(2)16πϕ⨯+=，则2,32k k Z ππϕπ+=+∈，所以2,6k k Z πϕπ=+∈，整理得()sin(22)sin(2)66f x x k x πππ=++=+，对于A ，229()sin(2)sin 13366f ππππ=⨯+==-，则2(,0)3π不是函数()f x 的对称中心，故A错误； 对于B ，55()sin(2)sin 012126f ππππ=⨯+==，则512x π=不是函数()f x 的对称轴，故B 错误； 对于C ，令11222,262k x k k Z πππππ-+++∈，解得,36k x k k Z ππππ-++∈， 显然不包含区间3[,]24ππ，故C 错误；对于D ，|()||sin(2)|6f x x π=+，所以|()|f x 的最小正周期为22242πππω==，故D 正确．〖答 案〗D15．欧拉公式cos sin (ix e x i x i =+为虚数单位，x R ∈，e 为自然对数的底数）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论： ①10i e π+=；②2299(cossin)(cossin )....(cos sin )101010101010i i i i ππππππ+++=． 其中所有正确结论的编号是( ) A ．①②均正确B ．①②均错误C ．①对②错D ．①错②对〖解 析〗根据欧拉公式cos sin (ix e x i x i =+为虚数单位，x R ∈，e 为自然对数的底数）， 对于①：1cos sin 10i e i πππ+=++=，故①正确； 对于②：2299(cossin)(cossin )....(cos sin )101010101010i i i ππππππ+++ 299 (10)1010299cossin 22i i i i eei i i ππππππ+++===+=． 〖答 案〗A三、解答题（6+8+8+8+10＝40分）16．（6分）已知向量x 、y 满足||1,||2x y ==，且(2)(2)15x y x y -⋅-=． （1）求向量x 与向量y 的夹角θ； （2）若()mx y y -⊥，求实数m 的值．解：（1）||1,||2x y ==，且(2)(2)15x y x y -⋅-=，∴2225225815x x y y x y -⋅+=-⋅+=，∴1x y ⋅=-，11cos ||||122x y x y θ⋅-∴===-⋅⨯，又[0θ∈，]π，23πθ∴=； （2）()mx y y -⊥，∴()0mx y y -⋅=，∴20mx y y ⋅-=，40m ∴--=，4m ∴=-．17．（8分）已知复数212(3)z a a i =++-，22(31)(z a i a R =-+∈，i 是虚数单位）． （1）若复数12z z -在复平面上对应点落在第一象限，求实数a 的取值范围； （2）若虚数1z 是实系数一元二次方程260x x m -+=的根，求实数m 的值． 解：（1）22(31)z a i =-+，∴22(31)z a i =++，22122(3)(2(31))(34)z z a a i a i a a a i -=++--++=+--，又复数12z z -在复平面上对应点落在第一象限，0a ∴>且2340a a -->， 解得4a >，即实数a 的取值范围为(4,)+∞，（2）虚数1z 是实系数一元二次方程260x x m -+=的根，∴虚数1z 也是实系数一元二次方程260x x m -+=的根，则112221136402(2)6(2)(3)m z z a z z a a m∆=-<⎧⎪+=+=⎨⎪⋅=++-=⎩，解得13m =．18．（8分）已知,(2cos ,sin cos ),(3sin ,sin cos ),0x R m x x x n x x x ωωωωωωω∈=+=->，记函数()f x m n =⋅，若函数图像相邻两条对称轴之间距离为2π． （1）求函数()f x 单调递增区间；（2）设ABC ∆的三个内角A 、B 、C 对应三边a 、b 、c ，满足f （B ）2=，且b =，求BA BC ⋅的最大值．解：（1）()23cos sin (sin cos)(sin cos )f xm n x x x x x x ωωωωωω=⋅=⋅++- 222sin cos 2cos22sin(2)6x x x x x x πωωωωωω=+--=-，因为函数图像相邻两条对称轴之间距离为2π，所以最小正周期22T ππ=⨯=，而22T πω=，所以1T ππωπ===，所以()2sin(2)6f x x π=-， 令2[262x k πππ-∈-，2]2k ππ+，k Z ∈，则[6x k ππ∈-，]3k ππ+，k Z ∈，故函数()f x 的单调递增区间为[6k ππ-，]3k ππ+，k Z ∈．（2）由f （B ）2sin(2)26B π=-=，得sin(2)16B π-=，因为(0,)B π∈，所以3B π=，由余弦定理知，2222cos b a c ac B =+-，所以2213222a c ac ac ac ac =+-⨯-=，当且仅当a c =时，等号成立， 所以ac 的最大值为3，所以13cos 322BA BC ca B ⋅=⨯=， 故BA BC ⋅的最大值为32． 19．（8分）已知向量2(cos2,2),(1,sin ),2a b m a b θθ=-=-=⋅+，在复平面坐标系中，i 为虚数单位．复数11m iz i+=-对应的点为1Z ． （1）求1||z ；（2）若点Z 为曲线11|2|1(z z z -=为1z 的共轭复数）上的动点，求Z 与1Z 之间距离的取值范围．解：（1）222222cos22sin cos sin 2sin cos sin 1a b θθθθθθθ⋅=+=-+=+=， 2123m a b ∴=⋅+=+=，13(3)(1)33124121(1)(1)22i i i i i iz i i i i +++++-+∴=====+--+，1|||12|z i ∴=+=． （2）由（1）可得112z i =-，1(1,2)Z ，曲线1|2|1z z -=， 即|(24)|1z i --=，∴曲线是复平面内以0(2,4)Z -圆心，半径为1的圆，0Z 与1Z ，Z ∴与1Z 之间距离的取值范围是11]．20．（10分）如图，已知正方形ABCD 边长为2，过中心O 的直线l 与两边AB 、CD 分别交于点M 、N ．（1）求BD DC ⋅的值；（2）若Q 是BC 的中点，求QM QN ⋅的取值范围；（3）若P 是平面上一点，且满足2(1)OP OB OC λλ=+-，求PM PN ⋅的最小值． 解：（1）90BCD ∠=︒，∴0BC DC ⋅=，∴22()()()4BD DC BC CD DC BC DC CD CD ⋅=+⋅=⋅-=-=-，（2）2()()||QM QN QO OM QO ON QO QO ON OM QO OM ON ⋅=+⋅+=+⋅+⋅+⋅，O 为MN 的中点，∴OM ON =-，∴22||||QM QN QO OM ⋅=-， ||1,1||2QO OM =，∴10QM QN -⋅，∴QM QN ⋅的取值范围[1-，0]，（3）22()()()()PM PN PO OM PO ON PO OM ⋅=+⋅+=-，设2OF OP =，则2(1)OF OP OB OC λλ==+-，T ∴、B 、C 三点共线，∴||1OF ，1||2OP ， 又1||2OM ，∴2217()()244PM PN PO OM ⋅=--=-， ∴PM PM ⋅的最小值为74-．。
安徽省黄山市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试卷(解析版)
安徽省黄山市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．若2ai b i +=-，其中a ，b R ∈，i 是虚数单位，则复数z a bi =+的虚部为( ) A ．i -B ．1-C ．2iD ．2〖解 析〗2ai b i +=-，则12a b =-⎧⎨=⎩，故12z a bi i =+=-+的虚部为2．〖答 案〗D2．以下说法正确的是( ) A ．零向量与任意非零向量平行 B ．若//,//a b b c ，则//a cC ．若0(a λλ=为实数），λ则必为零D ．若a 和b 都是单位向量，则a b =〖解 析〗A ，规定：零向量与任意向量平行，A ∴正确，B ，若0b =时，满足//a b ，//b c ，但a 与c 不一定共线，B ∴错误，C ，当0a =时，满足0a λ=，C ∴错误，D ，当a 与b 方向不相同时，a b ≠，D ∴错误．〖答 案〗A3．已知m ，n 是不同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题错误的序号是 ①若//m α，//m n ，则//n α ②若m α⊥，n β⊥，则n m ⊥ ③若m α⊥，//m β则αβ⊥④若αβ⊥，m α⊂，则(m β⊥ ) A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④〖解 析〗①若//m α，//m n ，则//n α或n α⊂，故①错误；②若m α⊥，n β⊥，由α与β的位置关系不确定，则n 与m 的位置关系不确定，故②错误； ③若//m β，则β内存在直线l 与m 平行，m α⊥，则l α⊥，可得αβ⊥，故③正确； ④若αβ⊥，m α⊂，则m β⊂或//m β或m 与β相交，相交也不一定垂直，故④错误．∴命题错误的序号是①②④．〖答 案〗C4．如图，△O A B '''是水平放置的OAB ∆的直观图，则OAB ∆的周长为( )A ．12B ．10+C ．7+D ．11〖解 析〗根据题意，OAB ∆的图形如图：其中90AOB ∠=︒，4OB =，6OA =，则AB =则OAB ∆的周长为10+〖答 案〗B5．现有以下两项调查：①从100台刚出厂的电视机中抽取3台进行质量检查；②某社区有1000户家庭，其中高收入家庭100户，中等收入家庭820户，低收入家庭80户，为了调查家庭每年生活费的开支情况，计划抽取一个容量为50的样本，则完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是( ) A ．①②都采用简单随机抽样 B ．①②都采用分层随机抽样C ．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样D ．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样〖解 析〗①从100台刚出厂的电视机中抽取3台进行质量检查采用简单随机抽样即可； 收入对家庭每年生活费的开支影响很大， 故②采用分层随机抽样较合适． 〖答 案〗C6．袋子里装有大小质地都相同的2个白球，1个黑球，从中不放回地摸球两次，用A 表示事件“第1次摸得白球”， B 表示事件“第2次摸得白球”，则A 与B 是( ) A ．互斥事件 B ．相互独立事件 C ．对立事件D ．不相互独立事件〖解 析〗互斥事件是指在一定条件下不可能同时发生的事件，由此判断A 和B 不互斥，则也不对立．由题意可知：P （A ）35=，P （B ）12=．故事件A 发生对事件B 的概率有影响，故A 和B 不是相互独立事件． 〖答 案〗D7．某省在新高考改革方案中规定：每位考生必选语文、数学、英语3科，再从物理、历史2科中选1科，从化学、生物、地理、政治4科中选2科，甲考生随机选择，最后他选择物理、化学、地理这个组合的概率是( ) A ．310B ．25C ．112D ．120〖解 析〗所有选科种数为：122412C C ⋅=．故概率112P =． 〖答 案〗C8．已知O 是ABC ∆所在平面内的一点，A ∠，B ∠，C ∠所对的边分别为3a =，2b =，4c =，若0aOA bOB cOC ++=，过O 作直线l 分别交AB 、AC （不与端点重合）于P 、Q ，若AP AB λ=，AQ AC μ=，若PAO ∆与QAO ∆的面积之比为32，则(λμ= )A ．56B ．13C ．43 D ．34〖解 析〗因为PAO ∆与QAO ∆的面积之比为32，可得32OP OQ =-，故2()3)0OA AB OA AC λμ+++=，即22()33()0OA OB OA OA OC OA λμ+-++-=， 整理得(523)230OA OB OC λμλμ--++=，因为0aOA bOB cOC ++=，且OA ，OB ，OC 均不共线， 故2234λμ=，解得34λμ=．〖答案〗D二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．复数21izi+=-，i是虚数单位，则下列结论正确的是()A．52 z z⋅=B．z的共轭复数为13 22i +C．z的实部与虚部之和为2D．z在复平面内的对应点位于第一象限〖解析〗2(2)(1)131(1)(1)22i i iz ii i i+++===+-+-，对于A，13135()()22222z z i i⋅=+-=，故A正确，对于B，1322z i=-，故B错误，对于C，z的实部与虚部之和为13222+=，故C正确，对于D，z在复平面内的对应点13(,)22位于第一象限，故D正确．〖答案〗ACD10．下列说法正确的有()A．掷一枚质地均匀的骰子一次，事件M=“出现奇数点”，事件N=“出现3点或4点”，则M和N相互独立B．袋中有大小质地相同的3个白球和2个红球．从中依次不放回取出2个球，则“两球同色”的概率是3 10C．甲，乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶率为0.8，乙的中靶率为0.9，则“至少一人中靶”的概率为0.98D．柜子里有三双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么“取出的鞋不成双”的概率是45〖解 析〗对于A ：掷一枚质地均匀的的骰子一次，1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，即()()()P MN P M P N =故事件M 和N 相互独立，A 正确；对于B ：若“两球同色”则都是白球或者都是红球，则“两球同色”的概率是22322525C C C +=，B 错误；对于C ：“至少一人中靶”的概率为1(10.9)(10.8)0.98---=，C 正确；对于D ：柜子里有三双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，共有15312-=种， 取出的鞋成双的只有3种，那么“取出的鞋不成双”有15312-=种，所以“取出的鞋不成双”的概率是124155=，D 正确． 综上可知正确的有ACD ． 〖答 案〗ACD11．下列命题正确的是( )A ．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅<”的充分不必要条件B ．点D 是ABC ∆边BC 的中点，若2||||||AB AC ADAB AC AD +=，则BA 在BC 的投影向量是BD C ．点D 是ABC ∆边BC 的中点，若点P 是线段AD 上的动点，且满足BP BA BC λμ=+，则λμ的最大值为18D ．已知平面内的一组基底1e ，2e ，则向量12e e +，12e e -不能作为一组基底 〖解 析〗对于A ，存在负数λ，使得m n λ=，所以20m n n λ⋅=<，充分性成立； 当0m n ⋅<时，不一定有“存在负数λ，使得m n λ=”，必要性不成立； 所以是充分不必要条件，选项A 正确． 对于B ，||AB AB ，||AC AC ，||ADAD 分别表示平行于AB ，AC ，AD 的单位向量， 由平面向量加法可知：||||AB ACAB AC +为BAC ∠ 的平分线表示的向量，因为2||||||AB AC ADAB AC AD +=，所以AD 为BAC ∠的平分线， 又因为AD 为BC 的中线，所以AD BC ⊥，如图1所示：BA 在BC 的投影为||||cos ||||||BD BC B BA BD BA =⨯=， 所以BD 是BA 在BC 的投影向量，选项B 正确； 对于C ，如图2所示：因为P 在AD 上，即A ，P ，D 三点共线， 设(1)BP tBA t BD =+-，01t ，又因为12BD BC =，所以12t BP tBA BC -=+， 因为BP BA BC λμ=+，则12t t λμ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，01t ，令21111()2228t y t t λμ-==⋅=--+， 12t =时，λμ取得最大值为18，选项C 正确．对于D ，平面内的一组基底1e ，2e ，则向量12e e +，12e e -不共线，可以作为一组基底，选项D 错误． 〖答 案〗ABC12．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，已知点P 在面对角线AC 上运动，点E ，F ，G 分别为11A D ，11A B ，1BB 的中点，点M 是该正方体表面及其内部的一动点，且//BM 平面1AD C ，则下列选项正确的是( ) A ．1//D P 平面11A BC B ．平面1PDB ⊥平面11A BCC ．过E ，F ，G 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -D ．动点M 的轨迹所形成区域的面积是〖解 析〗对于A ，11//AC AC ，11//AD BC ，1AC AD A =，1111A C BC C =，∴平面1//AD C 平面11A BC ，1D P ⊂平面1AD C ，1//D P ∴平面11A BC ，故A 正确；1111AC B D ⊥，111DD AC⊥，1111DD B D D =，11AC ∴⊥平面11DD B ，111B D AC ⊥，同理，11B D BC ⊥，1111BC A C C =，1B D ∴⊥平面11A BC ，1B D ∴⊂平面1PDB ，∴平面1PDB ⊥平面11A BC ，故B 正确；对于C ，如图，作出过E ，F ，G 三点的平面截面图形，，∴截面面积为26S ==C 错误； 对于D ，如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中， 点M 是该正方体表面及其内部的一动点，且//BM 平面1AD C ，由面面平行的性质得当BM 始终在一个与平面1AD C 平行的平面内，即满足题意， 作出过点B 的平面与平面1AD C 平行，连接1A B ，1BC ，11A C ，则平在11//A BC 平面1AD C ，∴动点M 的轨迹所形成区域的面积是1112A BC S=⨯=D 正确． 〖答 案〗ABD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题.） 13．已知向量a ，b ，c 满足，0,||2,||3,||5a b c a b c ++====，则a b ⋅= ． 〖解 析〗0a b c ++=，∴()c a b =-+，∴22()c a b =+，∴2222c a b a b =++⋅，又||2a =，||3b =，||5c =， ∴25492a b =++⋅，∴6a b ⋅=．〖答 案〗614．已知复数z 满足2022(1)1z i i -=-，则复数z = ． 〖解 析〗202245052()1i i i =⋅=-，2022(1)12z i i -=-=-，∴222(1)111(1)(1)i z i i i i i -+====+---+． 〖答 案〗1i +15．某同学5次上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，8，10，12．已知这组数据的平均数为10x y -的值为 ．〖解 析〗根据题意，数据x ，y ，8，10，12的平均数为10，，即其方差为2；则1(81012)105x y ++++=，221(64100144)10025x y ++++-=， 变形可得2220202x y x y +=⎧⎨+=⎩，则有2222()()198xy x y x y =+-+=， 则222()24x y x y xy -=+-=，则有2x y -=±． 〖答 案〗2±16．如图，已知平行四边形ABCD 中，AC AB m ==，120BAD ∠=︒，将ABC ∆沿对角线AC 翻折至△1AB C 所在的位置，若二面角1B AC D --的大小为120︒，则过A ，1B ，C ，D 四点的外接球的表面积为 ．〖解 析〗如图，平行四边形ABCD 中，AC AB m ==，120BAD ∠=︒，∴平行四边形ABCD 是边长为m 的菱形，且其中60ADC ∠=︒，BCA ∴∆与ACD ∆都是边长为m 的等边三角形，将ABC ∆沿对角线AC 翻折至△1AB C 所在的位置后，取AC 的中点H ，连接1B H ，DH ，则1B H AC ⊥且DH AC ⊥，∴二面角1B AC D --的平面角即为1120B HD ∠=︒，分别取BCA ∆与ACD ∆的中心E ，F ，即1B H 与DH 上靠近H 的三等分点E ，F ，再分别过E ，F 作平面BCA ，平面ACD 的垂线，且两垂线交于点O ， 则易证点O 即为过A ，1B ，C ，D 四点的外接球的球心，∴球的半径R OC =，1133HF HD ==，2CF DF HF ==，连接OH ，则易知OH 平分1B HD ∠，60OHF ∴∠=︒，12OF m ∴=，∴在Rt CFO ∆中，由勾股定理可得22222221173412R OC CF OF m m m ==+=+=， ∴所求的外接球的表面积为2227744123R m m πππ=⨯=． 〖答 案〗273m π四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卷的相应区域答题.）17．（10分）已知复数12z x i =-，21z yi =-，其中i 是虚数单位，x ，y 为实数． （1）若1x =-，1y =，求12||z z -的值；（2）若212z z =，求x ，y 的值．解：（1）1x =-，1y =，112z i ∴=--，21z i =-，122z z i ∴-=--，12||z z ∴-（2）212z z =，22(1)x i yi ∴-=-，即2212x i y yi -=--，即2122x y y⎧=-⎨--⎩，解得0x =，1y =．18．（12分）已知向量(3,2)a =，(,1)b x =-． （1）当(2)a b b -⊥时，求|2|a b +；（2）当(8,1)c =--，//()a b c +，求向量a 与b 的夹角α． 解：（1）向量(3,2)a =，(,1)b x =-，∴2(32,0)a b x +=+，2(6,5)a b x -=-，(2)a b b -⊥，∴(2)0a b b -⋅=，即(6x -，5)(x ⋅，1)0-=，2650x x -+=，解得1x =或5x =，当1x =，则，则2(5,0)a b +=，∴|2|5a b +=， 当5x =，|2|13a b +=， 综上所述，2513a b +=或．（2）(8,1)c =--，(3,2)a =，(,1)b x =-，则(8,2)b c x +=--，//()a b c +，3(2)2(8)0x ∴⨯--⨯-=，解得5x =，∴||13a =，||26b =，352(1)13a b ⋅=⨯+⨯-=，∴13cos ||||13a b a b α⋅==⨯，[0α∈，]π，∴4πα=．19．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，O 为AB 的中点，CA CB =，1AB AA =，160CAB BA A ∠=∠=︒．（1）证明：AB ⊥平面1A OC ；（2）若ABC ∆1OA OC ⊥，求三棱锥11A A BC -的体积． （1）证明：由题意得：ABC ∆，1ABA ∆均为等边三角形，O 为AB 的中点， 所以AB OC ⊥，1AB OA ⊥， 又1OCOA O =，所以AB ⊥平面1A OC ；（2）解：因为ABC ∆由正弦定理得2sin AB ACB =∠12,AA BAB S ==因为1OA OC ⊥，OC AB ⊥，1OA AB O =，所以OC ⊥平面1AA B ，因为1//CC 平面11AA B B ，所以1C 到平面11A B B 的距离等于C 到平面11A B B 的距离，即OC1111111133A BC A C AAB AA BV V S OC --==⋅==．20．（12分）某校有高中生3600人，其中男女生比例约为5:4，为了获得该校全体高中生的身高信息，采取了以下两种方案：方案一：采用比例分配的分层随机抽样方法，抽取了样本容量为n 的样本，得到频数分布表和频率分布直方图．方案二：按照性别分类进行简单随机抽样，抽取了男、女生样本容量均为25的样本，计算得到男生样本的均值为172，方差为16，女生样本的均值为160，方差为20．（1）根据图表信息，求n ，q 的值并补充完整频率分布直方图，估计该校高中生的身高均值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表）（2）计算方案二总样本的均值及方差；（3）你觉得是用方案一还是方案二总样本的均值作为总体均值的估计比较合适？（说明理由）解：（1）因为身高在区间[155，165)的频率为0.040100.4⨯=，频数20，所以20500.4n ==，504206416q =----=， 所以身高在区间[165，175)的频率为160.3250=，在区间[175，185)的频率为60.1250=，由此可补充完整频率分布直方图：由频率分布直方图可知，样本的身高均值为：1500.008101600.04101700.032101800.012101900.00810⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 126454.421.615.2167.2=++++=；估计该校高中生的身高均值为167.2cm ；（2）男生样本记为1x ，2x ，...，25x ，其均值记为x ，方差记为2x s ； 女生样本记为1y ，2y ，...，25y ，其均值记为y ，方差记为2y s ， 则总样本均值252525172251601662525252550z x y ⨯+⨯=+==++，又因为252511()250i i i i x x x x ==-=-=∑∑，所以2525112()()2()()0i i i i x x x z x z x x ==--=--=∑∑，同理可得2512()()0j j y y y z =--=∑，所以总样本方差2525222111[()()]50i j i j s x z y z ===-+-∑∑252522111[()()]50i j i j x x x z y y y z ===-+-+-+-∑∑ 22221{25[()]25[()]}50x y s x z s y z =+-++- 221{25[16(172166)]25[20(160166)]}50=+-++-54=； （3）用方案一比较合适， 因为方案一是按比例抽取样本，所以样本的代表性比较强，能够更好地反映总体的情况．21．（12分）如图所示，正四棱锥P ABCD -中，O 为底面正方形的中心，已知侧面PAD与底面ABCD 所成的二面角的大小为60︒，E 是PB 的中点．（1）请在棱AB 与BC 上各找一点M 和N ，使平面//MNE 平面PAC ，作出图形并说明理由；（2）求异面直线PD 与AE 所成角的正切值；（3）问在棱AD 上是否存在一点F ，使EF ⊥侧面PBC ，若存在，试确定点F 的位置；若不存在，说明理由．解：（1）分别取AB ，BC 的中点M ，N ，连接MN ，NE ，则平面//MNE 平面PAC ，证明：在ABF ∆中，M ，E 分别为AB ，PB 的中点，所以//ME AP ，同理，//NE PC ， 又ME ⊂平面MNE ，ME ⊂/平面PAC ，所以//ME 平面PAC ，同理//NE 平面PAC 又MENE E =，所以平面//MNE 平面PAC ，（2）连接AE ，OE ，因为//OE PD ，所以OEA ∠为异面直线PD 与AE 所成的角或其补角，因为AO BD ⊥，AO PO ⊥，POBD O =，PO ，BD ⊂平面PBD ，所以AO ⊥平面PBD ，又OE ⊂平面PBD ，所以AO OE ⊥，所以12OE PD ==，所以tan AO AEO EO ∠=则异面直线PD 与AE （3）存在点F 符合题意，且14AF AD =， 证明：取OB 得中点Q ，连接QF ，QE ，EF ，在POB ∆中，Q ，E 分别为BP ，BO 的中点，所以//QE PO ，所以QE ⊥平面ABCD ，因为BC ⊂平面ABCD ，所以QE BC ⊥， 又在ABD ∆中，14QB DB =，14AF AD =， 所以//QF AB ，所以QF BC ⊥，又QF QE Q =，所以BC ⊥平面QEF ，所以BC EF ⊥，在PFB ∆中，PF =，BF ， 所以PFB ∆是等腰三角形，所以FE PB ⊥， 又PBBC B =，所以FE ⊥平面PBC ，所以存在点F 符合题意， 所以存在这样的F 点，且14AF AD =． 22．（12分）如图，设ABC ∆中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD 为BC 边上的中线，已知1c =且12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+，1cos 2A =．（1）求ABC ∆的面积；（2）设点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，线段EF 交AD 于G ，且AEF ∆的面积为ABC ∆面积的14，求AG EF ⋅的取值范围． 解：（1）因为12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+，所以221224a cb ac a b bc ac +-⨯=-+，化简得4c b =，又1c =，所以4b =．所以11sin 4122ABC S bc A ∆==⨯⨯（2）设||,||AE x AF y ==，因为D 为中点，所以2AB ACAD +=， 因为AEF ∆的面积为ABC ∆面积的14，所以1sin 2AEF S xy A ∆=，即1xy =，设AG AD λ=，则22AG AD AB AC λλλ==+，又E ，G ，F 共线，设(1)AG AE AF μμ=+-，则(1)(1)4y AG AE AF x AB AC μμμμ-=+-=+， 所以2(1)42x y λμμλ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得4y x y μ=+，所以1144AG AB AC x y x y =+++，又4y EF AC xAB =-，所以1196()()4442(4)y y xAG EF AB AC AC xAB x y x y x y -⋅=+⋅-=+++， 又1xy =，化简得22296963212(4)2(41)44(41)y x x AG EF x y x x --⋅===-++++，又4y ，所以114x ，所以310AG EF⋅，当1x =时等号成立．6920AG EF ⋅， 当14x =时等号成立，综上3691020AG EF⋅，即3[10，69]20．安徽省黄山市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．若2ai b i +=-，其中a ，b R ∈，i 是虚数单位，则复数z a bi =+的虚部为( ) A ．i -B ．1-C ．2iD ．2〖解 析〗2ai b i +=-，则12a b =-⎧⎨=⎩，故12z a bi i =+=-+的虚部为2．〖答 案〗D2．以下说法正确的是( ) A ．零向量与任意非零向量平行 B ．若//,//a b b c ，则//a cC ．若0(a λλ=为实数），λ则必为零D ．若a 和b 都是单位向量，则a b =〖解 析〗A ，规定：零向量与任意向量平行，A ∴正确，B ，若0b =时，满足//a b ，//b c ，但a 与c 不一定共线，B ∴错误，C ，当0a =时，满足0a λ=，C ∴错误，D ，当a 与b 方向不相同时，a b ≠，D ∴错误．〖答 案〗A3．已知m ，n 是不同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题错误的序号是 ①若//m α，//m n ，则//n α ②若m α⊥，n β⊥，则n m ⊥ ③若m α⊥，//m β则αβ⊥④若αβ⊥，m α⊂，则(m β⊥ ) A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④〖解 析〗①若//m α，//m n ，则//n α或n α⊂，故①错误；②若m α⊥，n β⊥，由α与β的位置关系不确定，则n 与m 的位置关系不确定，故②错误； ③若//m β，则β内存在直线l 与m 平行，m α⊥，则l α⊥，可得αβ⊥，故③正确； ④若αβ⊥，m α⊂，则m β⊂或//m β或m 与β相交，相交也不一定垂直，故④错误．∴命题错误的序号是①②④．〖答 案〗C4．如图，△O A B '''是水平放置的OAB ∆的直观图，则OAB ∆的周长为( )A ．12B ．10+C ．7+D ．11〖解 析〗根据题意，OAB ∆的图形如图：其中90AOB ∠=︒，4OB =，6OA =，则AB =则OAB ∆的周长为10+〖答 案〗B5．现有以下两项调查：①从100台刚出厂的电视机中抽取3台进行质量检查；②某社区有1000户家庭，其中高收入家庭100户，中等收入家庭820户，低收入家庭80户，为了调查家庭每年生活费的开支情况，计划抽取一个容量为50的样本，则完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是( ) A ．①②都采用简单随机抽样 B ．①②都采用分层随机抽样C ．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样D ．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样〖解 析〗①从100台刚出厂的电视机中抽取3台进行质量检查采用简单随机抽样即可； 收入对家庭每年生活费的开支影响很大， 故②采用分层随机抽样较合适． 〖答 案〗C6．袋子里装有大小质地都相同的2个白球，1个黑球，从中不放回地摸球两次，用A 表示事件“第1次摸得白球”， B 表示事件“第2次摸得白球”，则A 与B 是( ) A ．互斥事件 B ．相互独立事件 C ．对立事件D ．不相互独立事件〖解 析〗互斥事件是指在一定条件下不可能同时发生的事件，由此判断A 和B 不互斥，则也不对立．由题意可知：P （A ）35=，P （B ）12=．故事件A 发生对事件B 的概率有影响，故A 和B 不是相互独立事件． 〖答 案〗D7．某省在新高考改革方案中规定：每位考生必选语文、数学、英语3科，再从物理、历史2科中选1科，从化学、生物、地理、政治4科中选2科，甲考生随机选择，最后他选择物理、化学、地理这个组合的概率是( ) A ．310B ．25C ．112D ．120〖解 析〗所有选科种数为：122412C C ⋅=．故概率112P =． 〖答 案〗C8．已知O 是ABC ∆所在平面内的一点，A ∠，B ∠，C ∠所对的边分别为3a =，2b =，4c =，若0aOA bOB cOC ++=，过O 作直线l 分别交AB 、AC （不与端点重合）于P 、Q ，若AP AB λ=，AQ AC μ=，若PAO ∆与QAO ∆的面积之比为32，则(λμ= )A ．56B ．13C ．43 D ．34〖解 析〗因为PAO ∆与QAO ∆的面积之比为32，可得32OP OQ =-，故2()3)0OA AB OA AC λμ+++=，即22()33()0OA OB OA OA OC OA λμ+-++-=， 整理得(523)230OA OB OC λμλμ--++=，因为0aOA bOB cOC ++=，且OA ，OB ，OC 均不共线， 故2234λμ=，解得34λμ=．〖答 案〗D二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．复数21izi+=-，i是虚数单位，则下列结论正确的是()A．52 z z⋅=B．z的共轭复数为13 22i +C．z的实部与虚部之和为2D．z在复平面内的对应点位于第一象限〖解析〗2(2)(1)131(1)(1)22i i iz ii i i+++===+-+-，对于A，13135()()22222z z i i⋅=+-=，故A正确，对于B，1322z i=-，故B错误，对于C，z的实部与虚部之和为13222+=，故C正确，对于D，z在复平面内的对应点13(,)22位于第一象限，故D正确．〖答案〗ACD10．下列说法正确的有()A．掷一枚质地均匀的骰子一次，事件M=“出现奇数点”，事件N=“出现3点或4点”，则M和N相互独立B．袋中有大小质地相同的3个白球和2个红球．从中依次不放回取出2个球，则“两球同色”的概率是3 10C．甲，乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶率为0.8，乙的中靶率为0.9，则“至少一人中靶”的概率为0.98D．柜子里有三双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么“取出的鞋不成双”的概率是45〖解析〗对于A：掷一枚质地均匀的的骰子一次，1()2P M=，1()3P N=，1()6P MN=，即()()()P MN P M P N=故事件M和N相互独立，A正确；对于B：若“两球同色”则都是白球或者都是红球，则“两球同色”的概率是22322525C CC+=，B错误；对于C：“至少一人中靶”的概率为1(10.9)(10.8)0.98---=，C正确；对于D ：柜子里有三双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，共有15312-=种， 取出的鞋成双的只有3种，那么“取出的鞋不成双”有15312-=种，所以“取出的鞋不成双”的概率是124155=，D 正确． 综上可知正确的有ACD ． 〖答 案〗ACD11．下列命题正确的是( )A ．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅<”的充分不必要条件B ．点D 是ABC ∆边BC 的中点，若2||||||AB AC ADAB AC AD +=，则BA 在BC 的投影向量是BD C ．点D 是ABC ∆边BC 的中点，若点P 是线段AD 上的动点，且满足BP BA BC λμ=+，则λμ的最大值为18D ．已知平面内的一组基底1e ，2e ，则向量12e e +，12e e -不能作为一组基底 〖解 析〗对于A ，存在负数λ，使得m n λ=，所以20m n n λ⋅=<，充分性成立； 当0m n ⋅<时，不一定有“存在负数λ，使得m n λ=”，必要性不成立； 所以是充分不必要条件，选项A 正确． 对于B ，||AB AB ，||AC AC ，||ADAD 分别表示平行于AB ，AC ，AD 的单位向量， 由平面向量加法可知：||||AB ACAB AC +为BAC ∠ 的平分线表示的向量， 因为2||||||AB AC ADAB AC AD +=，所以AD 为BAC ∠的平分线， 又因为AD 为BC 的中线，所以AD BC ⊥，如图1所示：BA 在BC 的投影为||||cos ||||||BD BC B BA BD BA =⨯=， 所以BD 是BA 在BC 的投影向量，选项B 正确； 对于C ，如图2所示：因为P 在AD 上，即A ，P ，D 三点共线， 设(1)BP tBA t BD =+-，01t ，又因为12BD BC =，所以12t BP tBA BC -=+， 因为BP BA BC λμ=+，则12t t λμ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，01t ，令21111()2228t y t t λμ-==⋅=--+，12t =时，λμ取得最大值为18，选项C 正确．对于D ，平面内的一组基底1e ，2e ，则向量12e e +，12e e -不共线，可以作为一组基底，选项D 错误． 〖答 案〗ABC12．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，已知点P 在面对角线AC 上运动，点E ，F ，G 分别为11A D ，11A B ，1BB 的中点，点M 是该正方体表面及其内部的一动点，且//BM 平面1AD C ，则下列选项正确的是( ) A ．1//D P 平面11A BC B ．平面1PDB ⊥平面11A BCC ．过E ，F ，G 三点的平面截正方体1111ABCD A B CD -D ．动点M 的轨迹所形成区域的面积是〖解 析〗对于A ，11//AC AC ，11//AD BC ，1AC AD A =，1111A C BC C =，∴平面1//AD C 平面11A BC ，1D P ⊂平面1AD C ，1//D P ∴平面11A BC ，故A 正确；1111AC B D ⊥，111DD AC⊥，1111DD B D D =，11AC ∴⊥平面11DD B ，111B D AC ⊥，同理，11B D BC ⊥，1111BC A C C =，1B D ∴⊥平面11A BC ，1B D ∴⊂平面1PDB ，∴平面1PDB ⊥平面11A BC ，故B 正确；对于C ，如图，作出过E ，F ，G 三点的平面截面图形，，∴截面面积为26S ==C 错误； 对于D ，如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中， 点M 是该正方体表面及其内部的一动点，且//BM 平面1AD C ，由面面平行的性质得当BM 始终在一个与平面1AD C 平行的平面内，即满足题意， 作出过点B 的平面与平面1AD C 平行，连接1A B ，1BC ，11A C ，则平在11//A BC 平面1AD C ，∴动点M 的轨迹所形成区域的面积是1112A BC S=⨯=D 正确． 〖答 案〗ABD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题.） 13．已知向量a ，b ，c 满足，0,||2,||3,||5a b c a b c ++====，则a b ⋅= ． 〖解 析〗0a b c ++=，∴()c a b =-+，∴22()c a b =+，∴2222c a b a b =++⋅，又||2a =，||3b =，||5c =， ∴25492a b =++⋅，∴6a b ⋅=．〖答 案〗614．已知复数z 满足2022(1)1z i i -=-，则复数z = ． 〖解 析〗202245052()1i i i =⋅=-，2022(1)12z i i -=-=-，∴222(1)111(1)(1)i z i i i i i -+====+---+． 〖答 案〗1i +15．某同学5次上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，8，10，12．已知这组数据的平均数为10x y -的值为 ．〖解 析〗根据题意，数据x ，y ，8，10，12的平均数为10，，即其方差为2；则1(81012)105x y ++++=，221(64100144)10025x y ++++-=，变形可得2220202x y x y +=⎧⎨+=⎩，则有2222()()198xy x y x y =+-+=， 则222()24x y x y xy -=+-=，则有2x y -=±． 〖答 案〗2±16．如图，已知平行四边形ABCD 中，AC AB m ==，120BAD ∠=︒，将ABC ∆沿对角线AC 翻折至△1AB C 所在的位置，若二面角1B AC D --的大小为120︒，则过A ，1B ，C ，D 四点的外接球的表面积为 ．〖解 析〗如图，平行四边形ABCD 中，AC AB m ==，120BAD ∠=︒，∴平行四边形ABCD 是边长为m 的菱形，且其中60ADC ∠=︒，BCA ∴∆与ACD ∆都是边长为m 的等边三角形，将ABC ∆沿对角线AC 翻折至△1AB C 所在的位置后，取AC 的中点H ，连接1B H ，DH ，则1B H AC ⊥且DH AC ⊥，∴二面角1B AC D --的平面角即为1120B HD ∠=︒，分别取BCA ∆与ACD ∆的中心E ，F ，即1B H 与DH 上靠近H 的三等分点E ，F ， 再分别过E ，F 作平面BCA ，平面ACD 的垂线，且两垂线交于点O ， 则易证点O 即为过A ，1B ，C ，D 四点的外接球的球心，∴球的半径R OC =，1133HF HD ==，2CF DF HF ==，连接OH ，则易知OH 平分1B HD ∠，60OHF ∴∠=︒，12OF m ∴=，∴在Rt CFO ∆中，由勾股定理可得22222221173412R OC CF OF m m m ==+=+=， ∴所求的外接球的表面积为2227744123R m m πππ=⨯=． 〖答 案〗273m π四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卷的相应区域答题.）17．（10分）已知复数12z x i =-，21z yi =-，其中i 是虚数单位，x ，y 为实数． （1）若1x =-，1y =，求12||z z -的值；（2）若212z z =，求x ，y 的值．解：（1）1x =-，1y =，112z i ∴=--，21z i =-，122z z i ∴-=--，12||z z ∴-（2）212z z =，22(1)x i yi ∴-=-，即2212x i y yi -=--，即2122x y y ⎧=-⎨--⎩，解得0x =，1y =．18．（12分）已知向量(3,2)a =，(,1)b x =-． （1）当(2)a b b -⊥时，求|2|a b +；（2）当(8,1)c =--，//()a b c +，求向量a 与b 的夹角α． 解：（1）向量(3,2)a =，(,1)b x =-，∴2(32,0)a b x +=+，2(6,5)a b x -=-，(2)a b b -⊥，∴(2)0a b b -⋅=，即(6x -，5)(x ⋅，1)0-=，2650x x -+=，解得1x =或5x =，当1x =，则，则2(5,0)a b +=，∴|2|5a b +=， 当5x =，|2|13a b +=， 综上所述，2513a b +=或．（2）(8,1)c =--，(3,2)a =，(,1)b x =-，则(8,2)b c x +=--，//()a b c +，3(2)2(8)0x ∴⨯--⨯-=，解得5x =，∴||13a =，||26b =，352(1)13a b ⋅=⨯+⨯-=，∴13cos ||||13a b a b α⋅==⨯，[0α∈，]π，∴4πα=．19．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，O 为AB 的中点，CA CB =，1AB AA =，160CAB BA A ∠=∠=︒．（1）证明：AB ⊥平面1A OC ；（2）若ABC ∆1OA OC ⊥，求三棱锥11A A BC -的体积． （1）证明：由题意得：ABC ∆，1ABA ∆均为等边三角形，O 为AB 的中点， 所以AB OC ⊥，1AB OA ⊥， 又1OCOA O =，所以AB ⊥平面1A OC ；（2）解：因为ABC ∆由正弦定理得2sin AB ACB =∠12,AA BAB S ==因为1OA OC ⊥，OC AB ⊥，1OA AB O =，所以OC ⊥平面1AA B ，因为1//CC 平面11AA B B ，所以1C 到平面11A B B 的距离等于C 到平面11A B B 的距离，即OC1111111133A BC A C AAB AA BV V S OC --==⋅==． 20．（12分）某校有高中生3600人，其中男女生比例约为5:4，为了获得该校全体高中生的身高信息，采取了以下两种方案：方案一：采用比例分配的分层随机抽样方法，抽取了样本容量为n 的样本，得到频数分布表和频率分布直方图．方案二：按照性别分类进行简单随机抽样，抽取了男、女生样本容量均为25的样本，计算得到男生样本的均值为172，方差为16，女生样本的均值为160，方差为20．（1）根据图表信息，求n，q的值并补充完整频率分布直方图，估计该校高中生的身高均值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表）（2）计算方案二总样本的均值及方差；（3）你觉得是用方案一还是方案二总样本的均值作为总体均值的估计比较合适？（说明理由）解：（1）因为身高在区间[155，165)的频率为0.040100.4⨯=，频数20，所以20500.4n==，504206416q=----=，所以身高在区间[165，175)的频率为160.32 50=，在区间[175，185)的频率为60.12 50=，由此可补充完整频率分布直方图：由频率分布直方图可知，样本的身高均值为：1500.008101600.04101700.032101800.012101900.00810⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 126454.421.615.2167.2=++++=；估计该校高中生的身高均值为167.2cm ；（2）男生样本记为1x ，2x ，...，25x ，其均值记为x ，方差记为2x s ； 女生样本记为1y ，2y ，...，25y ，其均值记为y ，方差记为2y s ， 则总样本均值252525172251601662525252550z x y ⨯+⨯=+==++，又因为252511()250i i i i x x x x ==-=-=∑∑，所以2525112()()2()()0i i i i x x x z x z x x ==--=--=∑∑，同理可得2512()()0j j y y y z =--=∑，所以总样本方差2525222111[()()]50i j i j s x z y z ===-+-∑∑252522111[()()]50i j i j x x x z y y y z ===-+-+-+-∑∑ 22221{25[()]25[()]}50x y s x z s y z =+-++- 221{25[16(172166)]25[20(160166)]}50=+-++-54=； （3）用方案一比较合适， 因为方案一是按比例抽取样本，所以样本的代表性比较强，能够更好地反映总体的情况．21．（12分）如图所示，正四棱锥P ABCD -中，O 为底面正方形的中心，已知侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角的大小为60︒，E 是PB 的中点．（1）请在棱AB 与BC 上各找一点M 和N ，使平面//MNE 平面PAC ，作出图形并说明理由；（2）求异面直线PD 与AE 所成角的正切值；（3）问在棱AD 上是否存在一点F ，使EF ⊥侧面PBC ，若存在，试确定点F 的位置；若不存在，说明理由．解：（1）分别取AB ，BC 的中点M ，N ，连接MN ，NE ，则平面//MNE 平面PAC ，证明：在ABF ∆中，M ，E 分别为AB ，PB 的中点，所以//ME AP ，同理，//NE PC ， 又ME ⊂平面MNE ，ME ⊂/平面PAC ，所以//ME 平面PAC ，同理//NE 平面PAC 又MENE E =，所以平面//MNE 平面PAC ，（2）连接AE ，OE ，因为//OE PD ，所以OEA ∠为异面直线PD 与AE 所成的角或其补角， 因为AO BD ⊥，AO PO ⊥，POBD O =，PO ，BD ⊂平面PBD ，所以AO ⊥平面PBD ，又OE ⊂平面PBD ，所以AO OE ⊥，所以12OE PD ==，所以tan AO AEO EO ∠=则异面直线PD 与AE （3）存在点F 符合题意，且14AF AD =， 证明：取OB 得中点Q ，连接QF ，QE ，EF ，在POB ∆中，Q ，E 分别为BP ，BO 的中点，所以//QE PO ，所以QE ⊥平面ABCD ，因为BC ⊂平面ABCD ，所以QE BC ⊥，又在ABD ∆中，14QB DB =，14AF AD =， 所以//QF AB ，所以QF BC ⊥，又QFQE Q =，所以BC ⊥平面QEF ，所以BC EF ⊥，在PFB ∆中，PF =，BF ， 所以PFB ∆是等腰三角形，所以FE PB ⊥，又PB BC B =，所以FE ⊥平面PBC ，所以存在点F 符合题意，所以存在这样的F 点，且14AF AD =． 22．（12分）如图，设ABC ∆中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD 为BC 边上的中线，已知1c =且12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+，1cos 2A =．（1）求ABC ∆的面积；（2）设点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，线段EF 交AD 于G ，且AEF ∆的面积为ABC ∆面积的14，求AG EF ⋅的取值范围． 解：（1）因为12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+， 所以221224a cb ac a b bc ac +-⨯=-+，化简得4c b =，又1c =，所以4b =．所以11sin 4122ABC S bc A ∆==⨯⨯ （2）设||,||AE x AF y ==，因为D 为中点，所以2AB AC AD +=， 因为AEF ∆的面积为ABC ∆面积的14，所以1sin 2AEF S xy A ∆=，即1xy =， 设AG AD λ=，则22AG AD AB AC λλλ==+，又E ，G ，F 共线，设(1)AG AE AF μμ=+-，则(1)(1)4y AG AE AF x AB AC μμμμ-=+-=+， 所以2(1)42x y λμμλ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得4y x y μ=+，所以1144AG AB AC x y x y =+++， 又4y EF AC xAB =-，所以1196()()4442(4)y y x AG EF AB AC AC xAB x y x y x y -⋅=+⋅-=+++， 又1xy =，化简得22296963212(4)2(41)44(41)y x x AG EF x y x x --⋅===-++++， 又4y ，所以114x ，所以310AG EF ⋅，当1x =时等号成立．6920AG EF ⋅， 当14x =时等号成立，综上3691020AG EF ⋅，即3[10，69]20．。
2021-2022年高一下学期期末考试数学试题含答案
试卷类型：A2021年高一下学期期末考试数学试题含答案注意事项：1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，用2B铅笔将答案涂在答题卡上。
第Ⅱ卷为非选择题，用0.5mm黑色签字笔将答案答在答题纸上。
考试结束后，只收答题卡和答题纸。
2．答第Ⅰ、Ⅱ卷时，先将答题卡首和答题纸首有关项目填写清楚。
3．全卷满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知α是第二限角，则下列结论正确的是（）A．sinα•cosα＞0 B．sinα•tanα＜0C．cosα•tanα＜0 D．以上都有可能2．化简= （）A．B．C．D．3．若为角终边上一点，则cos= （）A. B. C. D.4．若且的夹角为则的值（）A．B．C．D．5．下列函数中，最小正周期是的偶函数为（）A．B．C．D．6．将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式为（）A．B．C．D．7．如右图，该程序运行后的输出结果为（）A．0B．3C．12D．－28．函数y＝cos(－2x)的单调递增区间是（）A．[kπ＋，kπ＋π] B．[2kπ＋，2kπ＋π]C．[kπ－π，kπ＋] D．[2kπ－π，2kπ＋]（以上k∈Z）9．已知直线[﹣2,3]，则直线在y轴上的截距大于1的概率是（）A．B．C．D．10．右面是一个算法的程序．如果输入的x的值是20，则输出的y的值是（）A．100B．50C．25D．150第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本题共5小题，每题5分，共25分）11．若与共线，则＝.12．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5．现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号的产品有16件，那么此样本的容量n＝______.13．设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是.14．若，则= .15．函数y=Asin(ωx+φ)( A＞0，ω＞0，|φ|＜π，在同一个周期内，当x=时，y有最大值2,当x=0时,y有最小值－2,则这个函数的解析式为________.三、解答题（本大题共6小题,满分75分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．(本小题满分12分)某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形给出的信息，回答下列问题：(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分.17．(本小题满分12分)已知函数. （1）求函数的最小正周期及值域； （2）求函数的单调递增区间.18．(本小题满分12分)已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －3b . (1)当m 为何值时，c 与d 垂直？ (2)当m 为何值时，c 与d 共线？19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(m ，cos2x )，b ＝(1＋sin2x,1)，x ∈R ，且函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，2. (1)求实数m 的值；(2)求函数f (x )的最小值及此时x 值的集合．20．(本小题满分13分)已知，且； （1）求的值； （2）求的值.21．(本小题满分14分)某班数学兴趣小组有男生三名,分别记为,女生两名，分别记为,现从中任选2名学生去参加校数学竞赛. （1）写出这种选法的样本空间； （2）求参赛学生中恰有一名男生的概率； （3）求参赛学生中至少有一名男生的概率.富平县xx 年高一质量检测试题 数学参考答案及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
湖南省长沙市长沙县2021-2022学年高一下学期期末考试数学试卷(解析版)
湖南省长沙市长沙县2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，四边形ABCD 中，AB DC =，则相等的向量是( )A ．AD 与CBB ．OB 与ODC ．AC 与BDD ．AO 与OC〖解 析〗四边形ABCD 中，AB DC =，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AO OC =．〖答 案〗D2．设复数z 满足2z i =-（其中i 为虚数单位），则||(z = )A B C ．5 D〖解 析〗2z i =-，||z ∴= 〖答 案〗A3．圆柱内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，已知圆柱的体积为16π，则球O 的体积为( ) A ．323πB ．12πC ．16πD ．643π〖解 析〗设圆柱的内切球的半径为R ，则圆柱的底面圆的半径为R ，高为2R ，∴圆柱的体积为2216R R ππ⋅=，38R ππ∴=， ∴圆柱的内切球O 的体积为343233R ππ=． 〖答 案〗A4．为了丰富高一学生的课外生活，某校要组建数学、计算机、航空模型、绘画4个兴趣小组，小明要随机选报其中的2个，则该试验中样本点的个数为( ) A ．3B ．5C ．6D ．9〖解 析〗要组建数学、计算机、航空模型、绘画4个兴趣小组，小明要随机选报其中的2个，∴则该试验中样本点的个数为246C =个． 〖答 案〗C5．“治国之道，富民为始”共同富裕是社会主义的本质要求，是中国式现代化的重要特征，是人民群众的共同期盼．共同富裕是全体人民通过辛勤劳动和相互帮助最终达到丰衣足食的生活水平，是消除两极分化和贫穷基础上的普遍富裕．请你运用数学学习中所学的统计知识加以分析，下列关于个人收入的统计量中，最能体现共同富裕要求的是( ) A ．平均数小，方差大 B ．平均数小，方差小 C ．平均数大，方差大D ．平均数大，方差小〖解 析〗方差反映的是一组数据的波动情况，方差越大说明数据偏离平均水平的程度越大，平均数是整体的平均水平，是一组数据的集中程度的刻画，所以最能体现共同富裕要求的是平均数大，方差小． 〖答 案〗D6．设l ，m ，n 均为直线，其中m ，n 在平面α内，则“l α⊥”是“l m ⊥且l n ⊥” 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件〖解 析〗l ，m ，n 均为直线，m ，n 在平面α内， l l m α⊥⇒⊥且l n ⊥（由线面垂直性质定理）． 反之，如果l m ⊥且l n ⊥推不出l α⊥，也即//m n 时，l 也可能平行于α． 由充分必要条件概念可知，命题中前者是后者成立的充分非必要条件． 〖答 案〗A7．如图所示，在平行四边形ABCD 中，14AE AB =，14CF CD =，G 为EF 的中点，则(DG = )A ．1122AD AB - B ．1122AB AD - C ．3142AD AB - D ．3142AB AD - 〖解 析〗在平行四边形ABCD 中，14AE AB =，14CF CD =，∴14DE AE AD AB AD =-=-，3344DF DC AB ==， G 为EF 的中点，∴131111()288222DG DF DE AB AB AD AB AD =+=+-=-．〖答 案〗B8．人类通常有O ，A ，B ，AB 四种血型，某一血型的人可以给哪些血型的人输血，是有严格规定的．设X 代表O ，A ，B ，AB 中某种血型，箭头左边表示供血者，右边表示受血者，则输血规则如下：①X →X ；②O →X ；③X →AB ．已知我国O ，A ，B ，AB 四种血型的人数所占比例分别为41%，28%，24%，7%，在临床上，按照上述规则，若受血者为A 型血，则一位供血者能为这位受血者正确输血的概率为（ ） A ．0.31B ．0.48C ．0.65D ．0.69〖解 析〗若受血者为A 型血，则O 型血和A 型血可以为这位受血者输血，所以一位供血者能为这位受血者正确输血的概率为0.41+0.28＝0.69． 〖答 案〗D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．下列命题错误的是( ) A ．//a b ，//b a αα⊂⇒ B ．//a α，//b a b α⊂⇒ C ．//a α，////a b b α⇒D ．a α⊂/，//a b ，//b a αα⊂⇒〖解 析〗由//a b ，b α⊂，得a α⊂或//a α，故A 错误； 由//a α，b α⊂，得//a b 或a 与b 异面，故B 错误； 由//a α，//a b ，得b α⊂或//b α，故C 错误； 由a α⊂/，//a b ，b α⊂，得//a α，故D 正确． 〖答 案〗ABC10．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2a =、3b =、4c =，下面说法错误的是( )A ．sin :sin :sin 2:3:4ABC = B ．ABC ∆是锐角三角形C ．ABC ∆的最大内角是最小内角的2倍D ．ABC ∆内切圆半径为12〖解 析〗因为2a =，3b =，4c =，sin :sin :sin ::2:3:4A B C a b c ∴==，故A 正确；可得c 为最大边，C 为最大角，由余弦定理可得22249161cos 022234a b c C ab +-+-===-<⨯⨯，可得C 为钝角，即ABC ∆的形状是钝角三角形．故B 错误；对于C ，由22291647cos 2248b c a A bc +-+-===，由227171cos22cos 12()1cos 8324A A C =-=⨯-=≠-=，故2A C ≠，故C 错误；由1cos 4C =-，sin C ∴=，11sin 2322ABC S ab C ∆∴==⨯⨯ 设ABC ∆内切圆半径为r ，∴1()2ABC a b c r S ∆++⋅=，r ∴=D 错误． 〖答 案〗BCD11．下列命题中是真命题的有( )A ．有A ，B ，C 三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查，如果抽取的A 个体数为9，则样本容量为30B ．一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同C ．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲D ．某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间[114.5，124.5]内的频率为0.4〖解 析〗对于A ，由分层抽样原理知，样本容量为9183312n ==++，所以选项A 错误； 对于B ，数据1，2，3，3，4，5的平均数为1(123345)36x =⨯+++++=，众数为6，中位数也是3，所以它们的平均数、众数和中位数相同，选项B 正确； 对于C ，甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5； 它的平均数是1(569105)75x =⨯++++=，方差为2222221[(57)(67)(97)(107)(57)] 4.45s =⨯-+-+-+-+-=，这两组数据中较稳定的是乙，所以选项C 错误；对于D ，由题意知样本容量为10，样本数据落在区间[114.5，124.5]内的频数是4， 所以频率为0.4，选项D 正确． 〖答 案〗BD12．如图所示是正方体的平面展开图，那么在正方体中( )A ．AC EF ⊥B ．EF 和BC 所成的角是60︒ C ．直线AC 和平面ABE 所成的角是30︒D ．如果平面ABC ⋂平面CEF l =，那么直线//EF 直线l〖解 析〗如图，把正方体的平面展开图还原成正方体ADBG FCEH -，在正方体ADBG FCEH -中，可知//AC EG ，AC EG EF FG ===， 故异面直线AC 与EF 所成的角即为EG 与EF 所成的角为60︒，故A 项错误； 同理，EF 与BC 所成的角即为FG 与EF 所成的角为60︒，故B 项正确； 在正方体ADBG FCEH -中，AC CH =，HC EF ⊥，HC EB ⊥，EF EB E =，故HC ⊥平面ABEF ，则点C 到平面ABE 的距离为1122HC AC =，设直线AC 与平面ABE 所成的角为θ，则112sin 2HCAC θ==，故30θ=︒，故C 项正确； 在正方体ADBG FCEH -中，//AC EG ，//AB EF ，AC AB A =，EG EF E =，则平面//ABC 平面EFG ，平面EFG ⋂平面CEF 于直线EF ，平面ABC ⋂平面1CEF =，故直线//EF 直线l ，故D 项正确． 〖答 案〗BCD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．我国2021年9月至2022年3月的居民消费指数（上年同月100)=分别为100.7，101.5，102.3，101.5，100.9，100.9，101.5，则这组数据的第20百分位数是 ．〖解 析〗将这组数据按从小到大排列为100.7，100.9，100.9，101.5，101.5，101.5，102.3，由20%7 1.4⨯=，可知这组数据的第20百分位数为第2项数据，即100.9． 〖答 案〗100.914．甲、乙、丙三人中任选两名代表，则甲被选中的概率是 ．〖解 析〗由题意：甲、乙、丙三人中任选两名代表，共有三种情况：甲和乙、甲和丙、乙和丙，因每种情况出现的可能性相等，所以甲被选中的概率为23． 〖答 案〗2315．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则点B 到直线1AC 的距离为 ． 〖解 析〗如图，连接1AC ，过B 作1BH AC ⊥，则BH 即为点B 到直线1AC 的距离，在正方体1111ABCD A B C D -中，AB ⊥平面11BCC B ，1AB BC ∴⊥，在直角1ABC ∆中，11AB BC AC BH ⨯=⨯，且111,AB BC AC ===所以BH =，点B 到直线1AC ．〖答 16．已知AD 是ABC ∆的中线，若120A ∠=︒，2AB AC =-，则||AD 的最小值是 ． 〖解 析〗2||||cos AB AC AB AC A =-=，120A ∠=︒，||||4AB AC ∴=1||(2AD =)AB AC +，2221||(||||24AD AB AC ∴=++221)(||||4)4AB AC AB AC =+-1(2||||4)14AB AC -= ∴||1min AD =．〖答 案〗1四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知复数134z i =+，22z i =-，i 为虚数单位．（1）若12z z z =，求z 的共轭复数； （2）若复数12z az +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． 解：（1）134z i =+，22z i =-，∴12234(34)32222z i i i z i z i i ++====-+--，∴322z i =--．（2）123423(42)z az i ai a i +=+-=+-在复平面上对应的点在第一象限，420a ∴->，解得2a <，故实数a 的取值范围为(,2)-∞．18．（12分）从1~30这30个整数中随机选择一个数，设事件M 表示选到的数能被2整除，事件N 表示选到的数能被3整除．求下列事件的概率： （1）这个数既能被2整除也能被3整除； （2）这个数能被2整除或能被3整除； （3）这个数既不能被2整除也不能被3整除．解：（1）1~30这30个整数中既能被2整除也能被3整除的有5个， 51()306P MN ∴==； （2）1~30这30个整数中能被2整除的有15个，能被3整除的有10个， 151()302P M ∴==，101()303P N ==， 1112()()()()2363P MN P M P N P MN ∴=+-=+-=； （3）事件“这个数既不能被2整除也不能被3整除”与事件“这个数能被2整除或能被3整除”互为对立事件， 21()1()133P MN P MB ∴=-=-=． 19．（12分）已知向量(6,1)a =，(2,3)b =-，(2,2)c =，(3,)d k =-． （1）求2a b c +-；（2）若(2)//()a c c kb ++，求实数k 的值．（3）若a 与d 的夹角是钝角，求实数k 的取值范围． 解：（1）(6,1)a =，(2,3)b =-，(2,2)c =，∴2(6a b c +-=，1)(4+-，6)(2-，2)(0=，5)．（2）2(10,5)a c +=，(22,23)c kb k k +=-+，又(2)//()a c c kb ++，10(23)5(22)0k k ∴+--=，解得14k =-．（3）a 与d 的夹角是钝角，∴cos ,0||||a da d a d ⋅<>=<⋅，且cos ,1a d <>≠-，∴6(3)0a d k ⋅=⨯-+<，且361k -≠，解得18k <且12k ≠-， 故实数k 的取值范围为11(,)(,18)22-∞--．20．（12分）在锐角ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 2sin c A =． （1）求角C 的大小；（2）若c =6ab =，求ABC ∆的周长．解：（12sin c A =及正弦定理得sinsin a Ac C =，因为sin 0A >，故sin C =．又ABC ∆为锐角三角形，所以3C π=． （2）由余弦定理222cos73a b ab π+-=，6ab =，得2213a b +=，解得：23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩，ABC ∴∆的周长为5a b c ++=． 21．（12分）“垃圾分类”相关管理条例的出台，最大限度地减少垃圾处置量，实现垃圾资源利用，改善垃圾资源环境．某部门在某小区年龄处于〖20，45〗岁的人中随机地抽取x 人，进行了“垃圾分类”相关知识掌握和实施情况的调查，并把达到“垃圾分类”标准的人称为“环保族”，得到如图所示各年龄段人数的频率分布直方图和表中的统计数据．组数分组“环保族”人数占本组的频率第一组 〖20，25） 45 0.75 第二组 〖25，30） 25 y 第三组 〖30，35） 20 0.5 第四组 〖35，40） z 0.2 第五组 〖40，45） 30.1（1）求x、y、z的值；（2）根据频率分布直方图，估计这x人年龄的平均值（同一组数据用该区间的中点值代替，结果按四舍五入保留整数）；（3）从年龄段在〖25，35〗的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取9人进行专访，并在这9人中选取2人作为记录员，求选取的2名记录员中至少有一人年龄在〖30，35〗中的概率．解：（1）由题意得：x＝＝200，y＝＝0.625，z＝200×0.03×5×0.2＝6，（2）根据频率分布直方图，估计这x人年龄的平均值为：22.5×0.3+27.5×0.2+32.5×0.2+37.5×0.15+42.5×0.15＝30.75；（3）从年龄段在〖25，35〗的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取9人进行专访，从〖25，30）中选：9×＝5人，分别记为A，B，C，D，E，20 从〖30，35〗中选：9×＝4人，分别记为a，b，c，d，在这9人中选取2人作为记录员，所有的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，C），（B，D），（B，E），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），（C，D），（C，E），（C，a），（C，b），（C，c），（C，d），（D，E），（D，a），（D，b），（D，c），（D，d），（E，a），（E，b），（E，c），（E，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共36 种，选取的2名记录员中至少有一人年龄在〖30，35〗包含的基本事件有：（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），（C，a），（C，b），（C，c），（c，d），（D，a），（D，b），（D，c），（D，d），（E，a），（E，b），（E，c），（E，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共26种，因此，选取的2名记录员中至少有一人年龄在〖30，35〗中的概率＝．22．（12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面11ADD A 为矩形，22AB AD ==，160D DB ∠=︒，1BD AA ==（1）证明：平面ABCD ⊥平面11BDD B ； （2）求三棱锥11D BCB -的体积．（1）证明：ABD ∆中，因为2AB =，1AD =，BD = 所以222AB AD BD =+，所以AD BD ⊥， 又侧面11ADD A 为矩形，所以1AD DD ⊥， 又1BDDD D =，BD ，1DD ⊂平面11BDD B ，所以AD ⊥平面11BDD B ，又AD ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面11BDD B ；（2）解：因为//AD BC ，AD ⊥平面11BDD B ，所以BC ⊥平面11BDD B ，易得1BC =，11B D =，1B B =，1160D B B ∠=︒，所以△11BB D 的面积1112BB D S==，三棱锥11D BCB -的体积11111111133D BCB C BB D BB D V V SBC --==⋅==．。
2021-2022学年上海市七宝中学高一下学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年上海市七宝中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．设z C ∈，则0z z +=是z 为纯虚数的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】B【分析】根据共轭复数的特征，复数的概念，以及充分条件与必要条件的判断方法，即可得出结果. 【详解】对于复数z ，若0z z +=，则z 不一定为纯虚数，可以为0； 反之，若z 为纯虚数，则0z z +=，所以0z z +=是z 为纯虚数的必要非充分条件. 故选：B.2．一个棱锥所有的棱长都相等，则该棱锥一定不是（ ） A ．正三棱锥 B ．正四棱锥 C ．正五棱锥 D ．正六棱锥【答案】D【解析】根据正六变形的中心到底面顶点的距离等于边长判断. 【详解】因为正六变形的中心到底面顶点的距离等于边长， 所以正六棱锥的侧棱必大于底面棱长， 故选：D.3．非零复数1z 、2z 在复平面内分别对应向量1OZ 、2OZ （O 为坐标原点），若22120z z +=，则（ ） A ．O 、1Z 、2Z 三点共线 B ．12OZ Z 是直角三角形 C ．12OZ Z 是等边三角形 D ．以上都不对【答案】B【分析】设()()12i 0,i 0z a b ab z c d cd =+≠=+≠，根据22120z z +=，可得12i z z =±⋅，从而可将复数2z 用,a b 表示，再判断各个选项即可.【详解】解：设()()12i 0,i 0z a b ab z c d cd =+≠=+≠， 则()()21,,,Z a b Z c d ，故()()12,,,OZ a b OZ c d ==，因为22120z z +=，所以()222122i z z z =⋅=-，所以()12i i z z d c =±⋅=±-+，所以d a c b =-⎧⎨=⎩或d a c b=⎧⎨=-⎩，故()2,OZ b a =-或()2,OZ b a =-， 当()2,OZ b a =-时，120OZ OZ ⋅=， 当()2,OZ b a =-时，120OZ OZ ⋅=，所以12OZ OZ ⊥，所以12OZ Z 是直角三角形， 故O 、1Z 、2Z 三点不共线且12OZ Z 不是等边三角形. 故选：B.4．已知四面体ABCD 的棱AB平面α，且3CD =，其余的棱长均为2，有一束平行光线垂直于平面α，若四面体ABCD 绕AB 所在直线旋转，且始终在平面α的上方，则它在平面α内影子面积的最小值为（ ）A 33B ．112C 3D ．32【答案】C【分析】取AB 的中点M ，连接,MD MC ，证明AB ⊥平面MCD ，分别求出点M 到CD 的距离，点C 到MD 的距离，点D 到MC 的距离，从而可得出答案. 【详解】解：取AB 的中点M ，连接,MD MC ， 因为2AB BC AC BD AD =====，所以,MD AB MC AB ⊥⊥，且3MC MD == 又,,MD MC M MC MD ⋂=⊂平面MCD ， 所以AB ⊥平面MCD ，又CD ⊂平面MCD ，所以AB CD ⊥，设点M 到CD 的距离为1d ，点C 到MD 的距离为2d ，点D 到MC 的距离为3d ，则193342d =-=， 由123111222CD d MD d MC d ⋅=⋅=⋅，得2332d d ==，因为3322<， 所以影子面积的最小值为1332222⨯⨯=.故选：C.二、填空题5．三条互相平行的直线最多可确定____个平面． 【答案】3【分析】讨论三条直线的位置关系即可得到答案.【详解】解：若三条直线在同一个平面内，则此时三条直线只能确定一个平面， 若三条直线不在同一个平面内，则此时三条直线能确定三个平面， 所以三条互相平行的直线最多可确定3个平面. 故答案为：3.6．若复数z 满足(34)43i z i +=-，则z 的虚部为___.【答案】45-【分析】先根据复数的模以及除法法则化复数为代数形式，即得结果. 【详解】53434(34)4334555i i z i z i i -+=-∴===-+ 因此z 的虚部为45-.【点睛】本题考查复数的虚部、模以及除法法则，考查基本分析求解能力，属基础题. 7．若圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则此圆锥的体积为______．【分析】利用圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面周长，然后求出底面半径，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．【详解】圆锥的侧面展开恰为一个半径为4的半圆，所以圆锥的底面周长为：4π，底面半径为：2，圆锥的高为：212.3π⋅⨯. 【点睛】本题是基础题，考查圆锥的侧面展开图，利用扇形求出底面周长，然后求出体积，考查计算能力，常规题型．8．将复数化为三角形式：11i 22-=______．7π7πcos isin 44⎫+⎪⎝⎭【分析】根据复数的三角表示的定义计算即可.【详解】解：复数11i 22-中，r ==，设θ为复数的辐角主值，[0,2π)θ∈又7π7πcos44==所以117π7πi cos isin 2244⎫-=+⎪⎝⎭.故答案为：7π7πcos isin 244⎫+⎪⎝⎭. 9．若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，直线1AC 与底面ABCD 所成角的大小是60︒，则11A C 到底面ABCD 的距离为______．【分析】根据正四棱柱的几何性质由直线1AC 与底面ABCD 所成角的大小是60︒，确定线段1C C 的长，则则11A C 到底面ABCD 的距离即可求. 【详解】解：如图，连接AC正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，则1AD DC ==，所以22AC AD == 且1C C ⊥底面ABCD ，则直线1AC 与底面ABCD 所成角即160C AC ∠=︒ 则1tan60236C C AC =⋅︒=⨯=则在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，11A C 到底面ABCD 的距离为即1C 到到底面ABCD 的距离16C C =.故答案为：6.10．如下图所示，梯形1111D C B A 是水平放置的平面图形ABCD 的直观图（斜二测画法），若11111111112//,//,43A D O y ABCD A B C D ''==，111A D =，则四边形ABCD 的面积是_____．【答案】10【分析】根据直观图画法的规则，确定原平面图形四边形ABCD 的形状，求出底边边长以及高，然后求出面积．【详解】根据直观图画法的规则， 直观图中11A D 平行于y 轴，111A D =， 所以原图中//AD Oy ，从而得出AD ⊥DC ，且1122AD A D ==， 直观图中1111//A B C D ，1111243A B C D ==，所以原图中//AB CD ，243AB CD ==，即四边形ABCD 上底和下底边长分别为4，6，高为2，故其面积()1462102S =⨯+⨯=.故答案为：10.11．正四棱锥的相邻两侧面所成二面角的大小的取值范围是_______． 【答案】90,1()80︒︒【分析】采用极限思想,让顶点无限接近底面,让顶点无限远离底面,推出范围即可.【详解】假设顶点无限接近底面的中心,那么这四个侧面就趋向一个平面，那两个相邻侧面所成的二面角就无限接近180︒；假设顶点无限远离底面中心,那么四个侧面都垂直于底面,底面两边的夹角就是两个侧面所成二面角的平面角,大小为90︒,因此正四棱锥的两个侧面所成二面角的大小范围是90,1()80︒︒. 故答案为：90,1()80︒︒12．已知关于x 的方程2250(R)x px p -+=∈的两根为1x 、2x .若122x x -=，则实数p 的值是______．【答案】226±【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得1212,25x x p x x +==，则由()21212124x x x x x x -=+-p 的值.【详解】解：关于x 的方程2250x px -+=的两根为1x 、2x ， 所以224251000p p ∆=-⨯=-≥，1212,25x x p x x +==， 所以()2212121241002x x x x x x p -=+-=-=所以104226p ==±故答案为：226±13．已知正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -各棱长均为2，如果一只小蚂蚁从A 沿表面移动到1D 时，其最短路程为______．【答案】2523+##2235+【分析】根据可能走的路径，将所给的正六棱柱展开，利用平面几何知识求解比较. 【详解】解：将所给的正六棱柱下图（2）表面按图（1）展开， 11144222232A E ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，22162210AD '=+=，()2222111122322523AD AE E D =+=++=+，11AD AD '> ，故从A 沿正侧面和上表面到1D 的路程最短为2523+.故答案为：2523+.14．有以下4个命题：（1）底面是正多边形的棱锥是正棱锥，（2）侧棱和底面所成的角都相等，侧面和底面所成锐二面角也都相等的三棱锥是正三棱锥，（3）底面是正方形，侧面都是等腰三角形的棱锥是正四棱锥，（4）四个面都是全等三角形的四面体是正四面体．其中正确的命题有_______．（写出所有正确的序号） 【答案】（2）【分析】根据正棱锥的定义及结构特征逐一判断即可.【详解】解：（1）中，底面是正多边形，若顶点在底面的射影不落在底面的中心，此时的棱锥不是正棱锥，所以该命题错误;（2）中，侧棱和底面所成的角都相等，则顶点在底面的射影落在底面的外心，若侧面和底面所成锐二面角都相等，则顶点在底面的射影落在底面三角形的内心，所以该底面三角形的外心和内心重合，所以底面三角形为正三角形，故该棱锥为正三棱锥，所以该命题正确;（3）中，若当一条侧棱和底面边长相等时，另外三条侧棱相等，此时满足侧面都是等腰三角形，但该四棱锥不是正四棱锥,所以该命题错误;（4）中，当四面体有一组对棱相等，另外四条棱长相等时，四个面是全等三角形，但该四面体不是正四面体，所以该命题错误. 故答案为：（2）.15．在ABC 中，4BC BD =，E 为AD 的中点，过点E 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ．设AB mAM =，AC nAN =，复数i(,R)z m n m n =+∈，则||z 取到的最小值为__．【答案】4105##4105 【分析】先利用平面向量基本定理及M 、E 、N 三点共线，判断出31=188m n +，对22=z m n +消去n 后利用二次函数判断出||z 的最小值.【详解】在ABC 中，因为4BC BD =，所以()11314444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+.又AB mAM =，AC nAN =，所以31=44AD mAM nAN +.因为E 为AD 的中点，所以131==288AE AD mAM nAN +. 因为M 、E 、N 三点共线，所以31=188m n +，即83n m =-，复数i(,R)z m n m n =+∈，所以()22222=83104864z m n m m m m +=+--+令2212321048641055y m m m ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，故当125m =，z 324105=41016．,a b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与,a b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成30︒角；②当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成60︒角；③直线AB 与a 所成角的最小值为45︒； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60︒．其中正确的是__________(填写所有正确结论的编号) 【答案】②③【分析】由题意知，a b AC 、、三条直线两两相互垂直，如下图，设CD 为a 直线，CE 为b 直线，不妨设1AC CD CE ===，利用向量法求解判断即可【详解】由题意知，a b AC 、、三条直线两两相互垂直，如下图，设CD 为a 直线，CE 为b 直线，不妨设1AC CD CE ===则()1,0,0CD =，()0,1,0CE =，()0,0,1A ，依题意可设(),,0B x y ， 等腰直角三角形ABC 中，,AC BC AC BC =⊥, 则点B ∈平面CDE即点B 在平面CDE 内的轨迹在以C 为圆心，1为半径的圆周上，即有221x y +=，(),,1AB x y =-，设直线AB 与a 成θ角，直线AB 与b 成ϕ角则有cos cos ,,cos cos ,22x y CD AB CE AB θϕ====当直线AB 与a 成60︒1,22x=得到2x =由221x y +=，可得22y =1cos 2ϕ=，所以AB 与b 成60︒角，故②正确; ①不正确.由cos cos ,2xCD AB θ==,又1x ≤，故2cos θ⎡∈⎢⎣⎦，所以,42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 所以所以③正确，④错误综上可知选②③． 故答案为：②③．三、解答题17．给定不共面的4点，作过其中3个点的平面，所有4个这样的平面围成的几何体称为四面体（如图所示），预先给定的4个点称为四面体的顶点，2个顶点的连线称为四面体的棱，3个顶点所确定的三角形称为四面体的面．求证：四面体中任何一对不共顶点的棱所在的直线一定是异面直线．(1)请你用异面直线判定定理证明该结论； (2)请你用反证法证明该结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）根据异面直线的判定定理说明即可；（2）假设直线,AC BD 是共面于平面α，则,,,A B C D 四点共面，说明其与已知矛盾即可，即可得证. 【详解】（1）证明：因为A ∈平面ABD ，C ∉平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，A ∉直线BD ， 所以直线AC 与BD 是异面直线，同理AB 与CD ，AD 与BC 也是异面直线，所以四面体中任何一对不共顶点的棱所在的直线一定是异面直线； （2）证明：假设直线,AC BD 是共面于平面α，即,AC BD αα⊂⊂， 则,,,A C B D αααα∈∈∈∈，,,,A B C D 四点共面与已知四点不共面矛盾， 所以假设错误，即直线,AC BD 一定是异面直线， 同理AB 与CD ，AD 与BC 也是异面直线，所以四面体中任何一对不共顶点的棱所在的直线一定是异面直线.18．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，1A O ⊥面ABCD ，12AB AA ==(1)证明：1A C BD ⊥；(2)求直线AC 与平面11BB D D 所成的角θ的大小.【答案】(1)证明见解析 (2)4π【分析】（1）以O 为原点建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求得向量坐标，利用空间向量数量积证得1AC BD ⊥，11AC BB ⊥，然后利用线面垂直判定定理证得结论.（2）求AC 、平面11BB D D 的一个法向量，由线面角得到向量方法可得答案.【详解】（1）∵OA ､OB ､1OA 两两垂直，以O 为原点建立空间直角坐标系， ∵12AB AA ==∴11OA OB OA ===，∴()100A ，，，()010，，B ，()100，，-C ，()010D -，，，()1001，，A ， 由11AB A B =易得()1111B -，，， ∴()1101，，=--AC ，()020，，=-BD ，()1101，，=-BB ， ∴10AC BD ⋅=，110AC BB ⋅=，∴1AC BD ⊥，11AC BB ⊥，∴1AC BD ⊥，11AC BB ⊥，又1BD BB B ⋂=，且BD ､1BB ⊂平面11BB D D ，∴1AC ⊥平面11BB D D .∵BD ⊂平面11BB D D ，∴1A C BD ⊥.（2）由（1），()2,0,0AC =-， ()020，，=-BD ，()1101，，=-BB ，设平面11BB D D 的一个法向量为()n x y z =，，，所以100BD n BB n ⎧⊥=⎪⎨⊥=⎪⎩，即200y x z -=⎧⎨-+=⎩，令1x =，得1,0z y ==， 所以()101，，=n ，设直线AC 与平面11BB D D 所成的角0,2πθθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 则22sin cos ,222n ACn AC n AC θ⋅====⋅， 因为0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，所以4πθ=， 所以直线AC 与平面11BB D D 所成的角为4π.19．如图，1111ABCD A B C D -是棱长为1的正方体，P 为面对角线1AD 上的动点（不包括端点），PM ⊥平面ABCD 交AD 于点M ，MN BD ⊥于N ．(1)设AP x =，将PN 长表示为x 的函数()f x ，并求此函数的值域；(2)当PN 最小时，求异面直线PN 与11A C 所成角的大小．【答案】(1)()2321433f x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭(02)x <<；值域为3⎡⎫⎪⎢⎣⎭ (2)3【分析】（1）设(0AP x x =<<，利用平行线解线段成比例求得AM PM =，得到1MD x =，进一步求得MN ，再由勾股定理列式求解()f x ，结合二次函数求值域； （2）由（1）当x =时，PN最小，此时PN //MN AC ，又11//AC AC ，PNM ∠为异面直线PN 与11A C 所成角的平面角，通过解直角三角形PMN 得答案．【详解】（1）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，∴1AD =设(0AP x x =<<，因为PM ⊥平面ABCD ，故1PM DD ，则1APM AD D ~，故1AM PM AD DD ==，得AM PM =，故1MD =，同理得12MN x =-，()PN f x ∴===(0x <<.故当3x =时，()f xx ()1f x =， ∴函数()f x的值域为⎫⎪⎣⎭；（2）当x =PN最小，此时PN = 在底面ABCD 中，MN BD ⊥，AC BD ⊥，//MN AC ∴，又11//AC AC ，PNM ∴∠为异面直线PN 与11A C 所成角的角，在PMN 中，PMN ∠为直角，1sin PM PNM PN ∠===PNM ∴∠= ∴异面直线PN 与11A C所成角的大小为 20．对于任意的复数(,)z x yi x y R =+∈，定义运算P 为2()(cos sin )P z x y i y ππ=+．（1）设集合A ={|(),||1,Re ,Im P z z z z ωω=≤均为整数}，用列举法写出集合A ；（2）若2()=+∈z yi y R ，()P z 为纯虚数，求||z 的最小值；（3）问：直线:9=-L y x 上是否存在横坐标、纵坐标都为整数的点，使该点(,)x y 对应的复数z x yi =+经运算P 后，()P z 对应的点也在直线L 上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由．【答案】（1）{0,1}A =；（2）172；（3）存在，(3,6)-或(3,12)-- 【分析】（1）根据题意得到0,1,,,1=--z i i ，代入计算得到答案.（2）根据计算法则得到1()2=+∈y k k Z ，代入计算复数模，根据二次函数性质得到最值. （3）假设存在这样的点(,9)-x x ，计算得到2()[cos(9)sin(9)]P z x x i x ππ=-+-，讨论x 为奇数和x 为偶数两种情况，计算得到答案.【详解】（1）||1,Re ,Im z z z ≤均为整数，则0,1,,,1=--z i i ，(0)0P =，()11p =，()0p i -=，()0p i =，()11p -=，故{0,1}A =.（2）()4(cos sin )P z y i y ππ=+，∵()P z 是纯虚数，∴cos 0=y π且sin 0≠y π，∴1()2=+∈y k k Z ，∴21||42⎛⎫=++ ⎪⎝⎭z k ，0k =或1-时，||z 的最小值为172. （3）假设存在这样的点(,9)-x x ，设该点对应的复数为z ，则2()[cos(9)sin(9)]P z x x i x ππ=-+-，若x 为奇数，则2()=P z x ，∴209=-x ，3x =±；若x 为偶数，则2()=-P z x ，∴209=--x ，无解．综上，存在这样的点，坐标为(3,6)-或(3,12)--.【点睛】本题考查了复数运算的新定义，复数的模，复数对应的点，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21．圆锥的轴截面为等腰Rt SAB ，Q 为底面圆周上一点．(1)若QB 的中点为C ，OH SC ⊥，求证：OH ⊥平面SQB ；(2)如果60AOQ ∠=︒，3QB =(3)如果二面角A SB Q --的大小为arctan(22)，求AOQ ∠的大小．【答案】(1)证明见解析(2)42π (3)45AOQ ∠=︒【分析】（1）连接AQ ，由三角形中位线定理可得//OC AQ ，由圆周角定理我们可得OC BQ ⊥，由圆锥的几何特征，可得SO BQ ⊥，进而由线面垂直的判定定理，得到QB ⊥平面SOC ，则OH BQ ⊥，结合OH SC ⊥及线面垂直的判定定理得到OH ⊥平面SBQ ；（2）若60AOQ ∠=︒，易得30OBQ OQB ∠=∠=︒，又由23QB =，可求出圆锥的底面半径OA 长及圆锥的母线SB ，代入圆锥表面积公式即可；（3）作QM AB ⊥于点M ，由面面垂直的判定定理可得QM ⊥平面SAB ，作MP SB ⊥于点P ，连QP ，则MPQ ∠为二面角A SB Q --的平面角，根据二面角A SB Q --的大小为arctan(22)-，设OA OB R ==，AOQ α∠=，进而根据22MQ MP=-可求出AOQ ∠的大小. 【详解】（1）连接AQ ，因为O 为AB 的中点，QB 的中点为C ，所以//OC AQ ．因为AB 为圆的直径，所以90AQB ∠=︒，故OC BQ ⊥．因为SO ⊥平面ABQ ，BQ ⊂平面ABQ ，所以SO BQ ⊥.又OC SO O =，,OC SO ⊂平面SOC ，所以QB ⊥平面SOC .又OH ⊂平面SOC ，故OH BQ ⊥．又OH SC ⊥，SC BQ C =，,SC BQ ⊂平面SBQ ，所以OH ⊥平面SBQ ．（2）60AOQ ∠=︒，30OBQ OQB ∴∠=∠=︒，23BQ =4cos30BQ AB ∴==︒，2OA =，又SA SB ⊥，22SA SB ==故圆锥的侧面积π··42πS OA SB ==．（3）作QM AB ⊥于点M ，平面SAB ⊥平面ABQ 且平面SAB 平面ABQ AB =QM ∴⊥平面SAB ．再作MP SB ⊥于点P ，连QP ，QP SB ∴⊥MPQ ∴∠为二面角A SB Q --的平面角如图：(arctan 22MPQ ∴∠=，22MQ MP∴= 设OA OB R ==，AOQ α∠=，sin MQ R α∴=，cos OM R α=，(1cos )MB R α=+，45SBA ∠=︒，MP BP ∴=，22(1cos )MP α∴+，222(1cos )R α=+sin 211cos αα∴=+， 即22sincos 22212cos 2ααα=，tan 212α=，故22tan 2tan 11tan 2ααα==-，解得45α=︒，45AOQ ∠=︒.。
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2019年高一下学期期末考试（数学）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，用时120分钟。
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选
择一个符合题目要求的选项.）
1．下列命题中正确的是
（）
A．第一象限角必是锐角B．终边相同的角相等
C．相等的角终边必相同D．不相等的角其终边必不相同
2．已知角的终边过点，，则的值是（）
A．1或－1 B．或C．1或D．－1或
3．下列命题正确的是（）A．若·=·，则= B．若，则·=0
C．若//，//，则// D．若与是单位向量，则·=1
4．计算下列几个式子，①,
②2(sin35︒cos25︒+sin55︒cos65︒), ③ , ④，结果为的是（）
A．①②B．③C．①②③ D．②③④
5．函数y＝cos(－2x)的单调递增区间是（）A．[kπ＋，kπ＋π] B．[kπ－π，kπ＋]
C．[2kπ＋，2kπ＋π] D．[2kπ－π，2kπ＋]（以上k∈Z）
6．△ABC中三个内角为A、B、C，若关于x的方程有一根为1，则△ABC一定是
（）
A．直角三角形 B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形
7．将函数的图像左移，再将图像上各点横坐标压缩到原来的，则所得到的图象的解析式为
（）
A．B．
C． D．
8. 化简+，得到（）
A．－2sin5 B．－2cos5 C．2sin5 D．2cos5
9．函数f(x)=sin2x·cos2x是（）A．周期为π的偶函数B．周期为π的奇函数
C ．周期为的偶函数
D ．周期为的奇函数. 10．若| ， 且（）⊥ ，则与的夹角是 （ ） A ． B ． C ． D ． 11．正方形ABCD 的边长为1，记＝，＝，＝，则下列结论错误．．的是（ ）
A ．(－)·＝0
B ．(＋－)·＝0
C ．(|－| －||)＝
D ．|＋＋|＝
12．xx 年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，
它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正 方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是1， 小正方形的面积是的值等于（ ） A ．1 B ． C ． D ． －
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
请把正确答案填在题中的横线上） 13．已知曲线y =Asin(ωx ＋ϕ)＋k （A>0,ω>0,|ϕ|<π）在同一周期内的最高点的坐标为(, 4)，最
低点的坐标为(, －2)，此曲线的函数表达式是 ． 14．设sin α－sin β=，cos α+cos β=, 则cos(α+β)= ．
15．已知向量OP X 是直线设),1,5(),7,1(),1,2(===上的一点（O 为坐标原点），那么的最小值是___________．
16．关于下列命题：①函数在第一象限是增函数；②函数是偶函数； ③函数的一个对称中
心是（，0）；④函数在闭区间上是增函数; 写出所有正确的命题的题号： 。
三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）
已知，，，，求的值. 18．（本小题满分12分）
已知函数。
（I ）求的周期和振幅；
（II ）用五点作图法作出在一个周期内的图象; （III ）写出函数的递减区间.
19．（本小题满分12分）
已知关于x 的方程的两根为和，∈（0，π）. 求： （I ）m 的值； （II ）的值；
（III ）方程的两根及此时的值.
20．（本小题满分12分）
已知点A 、B 、C 的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),α∈(,). （I ）若||=||，求角α的值； （II ）若·=-1，求的值. 21．（本小题满分12分）
某港口海水的深度（米）是时间（时）（）的函数，记为：
经长期观察，的曲线可近似地看成函数的图象
（I ）试根据以上数据，求出函数的振幅、最小正周期和表达式；
（II ）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为米或米以上时认为是安全的（船舶
停靠时，船底只需不碰海底即可）。
某船吃水深度（船底离水面的距离）为米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？ 22．（本小题满分14分）
已知向量()()
)90sin(),90cos(,)sin(2),cos(2θθθθ--=--=
b a
（I ）求证：；
（II ）若存在不等于的实数和，使满足。
试求此时的最小值。
参考答案
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
）
1.C
2.B
3.B
4.C
5.B
6.B
7.B
8.A
9.D 10.B 11.D 12.D
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13． 14． 15．－8 16．③ 三、解答题： 17．（本小题满分12分）
解：∵ ∴ ---------------1分 又 ∴ ---------------3分 ∵ ∴ -------------4分 又 ∴ ----------6分
∴sin(α + β) = -sin[π + (α + β)] ----------------8分 =
)]4
3sin()4cos()43cos()4[sin(β+π
α+π+β+πα+π-= ------10分
-----------12分
18．（本小题满分12分）
解：（I ）＝ ＝ -----------2分 函数的周期为T ＝，振幅为2。
----------------4分 （II
0 2 0 -2 0
-----------------7分
图象如上。
----------------9分
（III）由解得：---------10分
所以函数的递减区间为-------12分
19．（本小题满分12分）
（I）由韦达定理得：----------1分
∴∴---------2分
由韦达定理得= ∴--------3分
（II）∵∴---4分
∵=
= ---------6分
∴原式= -----------------------7分
（III）>0
∵与同号，又∵>0
∴与同正号-------------------------8分
∵∈（0，π）∴∈（0，）------------------9分
∵，且
∴=，=；或=，= --------11分
∴=或=. ---------------------------12分
20．（本小题满分12分）
解：（I）∵=(cosα-3,sinα)，=(cosα,sinα-3), --2分
∴||=,
||=. --------------4分
由||=||得sinα=cosα.
又∵α∈(,)，∴α=. ----------------------6分
（II）由·=-1,
得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1.∴sinα+cosα= ---8分
由上式两边平方得1+2sinαcosα=,
∴2sinαcosα=. ----------------------------10分
又=2sinαcosα.
∴. -------------------------12分
21．（本小题满分12分）
解：（I）依题意有：最小正周期为：T=12 --------1分
振幅：A=3，b=10，---------2分
----------------------4分
（II）该船安全进出港，需满足：
即： ---------6分 ∴
-----------------------8分 又 或 ------------10分
依题意：该船至多能在港内停留：（小时） ----12分 22．（本小题满分14分）
解：由诱导公式得： ()())cos ,sin ,sin 2,cos 2θθθθ=-=b a
-------2分
-------------------------3分
（I ）0cos )sin 2(sin cos 2=⋅-+⋅=⋅θθθθb a
则 ---------5分
（II ）
-------------------------6分
即：
0)3()])(3([22
22=-+⋅--++-b t t b a k t t a k
∴ -----------------------9分
∴4
7
)2(41]7)2[(41434)(2222-+=-+=-+=+=t t t t t t k t f ------12分
即当时，的最小值为. ---------------14分。