北师版九年级数学上册期末复习(最新)

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北师大版九年级(上册)数学期末重点复习练习试题

北师大版九年级(上册)数学期末重点复习练习试题1.如图；在菱形ABCD中；AB＝5；∠BCD＝120°；则△ABC的周长等于( )A．20 B．15 C．10 D．52.如图；菱形ABCD的周长为20 cm；且tan∠ABD＝43；则菱形ABCD的面积为________cm2.3.已知矩形ABCD；AB＝3 cm；AD＝4 cm；过对角线BD的中点O作BD的垂直平分线EF；分别交AD；BC于点E；F；则AE的长为___cm.5.如图；已知菱形ABCD的对角线相交于点O；延长AB至点E；使BE＝AB；连接CE.(1)求证：BD＝EC；(2)若∠E＝50°；求∠BAO的大小．6.一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是( )A．－1 B．2 C．1和2 D．－1和27.如果关于x的一元二次方程x2－6x＋c＝0(c是常数)没有实根；那么c的取值范围是__________．8．解方程：(x－3)2＋4x(x－3)＝0.9.某制药厂两年前生产1吨某种药品的成本是100万元；随着生产技术的进步；现在生产1吨这种药品的成本为81万元．则这种药品的成本的年平均下降率为____．10.云南地震牵动全国人民的心；某单位开展了“一方有难；八方支援”赈灾捐款活动；第一天收到捐款10000元；第三天收到捐款12 100元．如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同；捐款增长率为；11.某县政府2013年投资0.5亿元用于保障性住房建设；计划到2015年投资保障性住房建设的资金为0.98亿元；如果从2013年到2015年投资此项目资金的年增长率相同；那么年增长率是( )A ．30%B ．40%C ．50%D ．10%12.若x 1；x 2是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根；则x 21＋x 2＝__________.13.山西特产专卖店销售核桃；其进价为每千克40元；按每千克60元出售；平均每天可售出100千克．后来经过市场调查发现；单价每降低2元；则平均每天的销售可增加20千克．若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2 240元；请回答：(1)每千克核桃应降价多少元？(2)在平均每天获利不变的情况下；为尽可能让利于顾客；赢得市场；该店应按原售价的几折出售？14.如图；某中学准备在校园里利用围墙的一段；再砌三面墙；围成一个矩形花园ABCD (围墙MN 最长可利用25 m)；现在已备足可以砌50 m 长的墙的材料；试设计一种砌法；使矩形花园的面积为300 m 2.15.袋子里有4个球；标有2；3；4；5；先抽取一个并记住；放回；然后再抽取一个；问抽取的两个球数字之和大于6的概率是( )34D. 58C. 712B.12A.16.一水库里有鲤鱼、鲫鱼、草鱼共2 000尾；小明通过多次捕捞试验；发现鲤鱼、草鱼的概率是51%和26%；则水库里有____尾鲫鱼．17.甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片；甲袋中的三张卡片上所标有的三个数值为－7；－1；3.乙袋中的三张卡片所标的数值为－2；1；6.先从甲袋中随机取出一张卡片；用x 表示取出的卡片上的数值；再从乙袋中随机取出一张卡片；用y 表示取出卡片上的数值；把x 、y 分别作为点A 的横坐标和纵坐标．(1)用适当的方法写出点A (x ；y )的所有情况；(2)求点A 落在第三象限的概率．18.如图；已知△ADE 与△ABC 的相似比为1∶2；则△ADE 与△ABC 的面积比为( )A ．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶119.如图；在矩形ABCD 中；AB ＝6；BC ＝8；沿直线MN 对折；使A ；C 重合；直线MN 交AC 于点O .(1)求证：△COM ∽△CBA ；(2)求线段OM 的长度．20．如图；在平行四边形ABCD 中；过点A 作AE ⊥BC ；垂足为点E ；连接DE ；点F 为线段DE 上一点；且∠AFE ＝∠B .(1)求证：△ADF ∽△DEC ；的长．AE ；求34＝AF ；36＝AD ；8＝AB 若(2)21.下图中几何体的俯视图是( )22.小华同学想到利用树影测校园内的树高；他在某一时刻测得小树高为1.5米；其影长为1.2米；当他测量教学楼旁的一棵树影长时；因大树靠近教学楼；有一部分影子在墙上；经测量；地面部分影长为6.4米；墙上影长为1.4米；那么这棵大树高约米.23.如图；△DEF 是由△ABC 经过位似变换得到的；点O 是位似中心；D ；E ；F 分别是OA ；OB ；OC 的中点；则△D EF 与△ABC 的面积比是（）A ．1︰2B ．1︰4C ．1︰5D ．1︰624.如图；花丛中有一路灯杆AB .在灯光下；小明在D 点处的影长DE ＝3米；沿BD 方向行走到达G 点；DG ＝5米；这时小明的影长GH ＝5米．如果小明的身高为1.7米；求路灯杆AB 的高度．(精确到0.1米)25.反比例函数y ＝k x 的图象经过点(－2；32)；则它的图象位于( )A ．第一、三象限B ．第二、四象限C ．第一、二象限D ．第三、四象限26.反比例函数y ＝k x的图象经过点(1；－2)；则k 的值为____．27.如图；点A 在双曲线y ＝k x上；AB ⊥x 轴于点B ；△ABO 的面积是2；则k ＝．28.如图所示；已知直线y 1＝x ＋m 与x 轴；y 轴分别交于A ；B 两点；与反比例函数y 2＝kx(k ≠0；x <0)交于C ；D 两点；且C 点的坐标为(－1；2)．(1)分别求出直线AB 及反比例函数的表达式；(2)求出点D 的坐标；.2y >1y 在什么范围内取值时；x 利用图象直接写出：当(3)29.如图；一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝m x的图象相交于A (－2；1)；B (1；n )两点．(1)求反比例函数与一次函数的表达式；(2)根据图象写出当一次函数的值大于反比例函数的值时；x 的取值范围．30.已知：如图；反比例函数y ＝kx的图象与一次函数y ＝x ＋b 的图象交于点A(1；4)；点B(－4；n)．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求△OAB 的面积；(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x 的取值范围．。

北师大版九年级数学上册第一章：特殊的平行四边形期末复习课课件

（1）
（2）
3.如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E 处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长度为______； MN= .
已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B,C重合），以AD为边作正方形ADEF,连接CF. （1）如图①，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；（2）如图②，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变； ①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系； ②若正方形ADEF的边长为，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求 OC的长度．
总结：遇到直角和中点时，联想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
D 12/5
总结：等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于腰上的高直角三角形的斜边上的高等于两直角边的积除以斜边。
75 C 15°或75°
5
13.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点P，Q分别是AB， AC上的动点，且满足BP＝AQ，点D是BC的中点． (1)求证：△PDQ是等腰直角三角形； (2)当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由．
特殊的平行四边形复习课
1.菱形具有而矩形不具有的性质是 ( B )
A．对角相等 B．四边相等 C．四角相等
D．对角线互相平分
2.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ C ）
A.对角相等
B.对边相等
C.对角线相等 D.对角线互相平分
3.（多选题）下列条件中，可以判定一个四边形是菱形的是（D, E ）

北师大版九年级上学期期末学业教学质量监测数学试题(含答案)

第1页（共23页）北师大新版九年级上册数学期末复习试卷说明：1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅰ卷，满分为120分，考试时间90分钟．2．用黑色或蓝色钢笔或圆珠笔在答卷上作答．第Ⅰ卷一．选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1．下列方程属于一元二次方程的是（）A ．x 2+y ﹣2=0B ．x +y =3C ．x 2+2x =3D ．x +x 1=52．已知3a =2b （a ≠0，b ≠0），下列变形错误的是( )A ．32b a= B ．32a b= C ．23a b= D ．3b2a=3．关于菱形，下列说法错误的是（）A ．对角线互相平分B ．对角线互相垂直C ．四条边相等D ．对角线相等4．在中ABC R △t 中，ⅠC = 90，若ⅠABC 的三边都缩小5倍，则A sin 的值（）A ．放大5倍B ．缩小5倍C ．不变D ．无法确定5．关于x 的一元二次方程9x 2﹣6x +k =0有两个不相等的实根，则k 的范围是（）A ．k ＜1B ．k ＞1C ．k ≤1D ．k ≥16．如图，已知Ⅰ1=Ⅰ2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ⅠABC ~ⅠADE 的是（）A ．DE BCAD AB = B ．AE ACAD AB = C ．ⅠB =ⅠD D ．ⅠC =ⅠAED第2页（共23页）7．如图，已知ABC R △t 中，斜边BC 上的高AD =3，B cos =53，则AC 的长为（） A ． 3 B ． 3.5 C ． 4.8 D ． 58．四张完全相同的卡片上，分别画有菱形、矩形、等边三角形、等腰梯形，现从中随机抽取一张卡片上画的恰好是中心对称图形的概率为（）A ．41B ．21C ．43 D ．1 9．如下表给出了二次函数y =x 2+2x ﹣10中x ，y 的一些对应值，则可以估计一元二次方程y =x 2+2x ﹣10的一个近似解（精确到0．1）为（）A ．2．2B ． 2．3C ． 2．4D ． 2．510. 如图，点A 在反比例函数y 1=x 20（x ＞0）的图象上，过点A 作AB Ⅰx 轴，垂足为B ，交反比例函数y 2=x8的图象于点C ，P 为轴上一点，连接P A ，PC ，则ⅠAPC 的面积为（）A ． 6B ． 8C ． 12D ． 20第6题图第7题图第10题图第Ⅰ卷二．填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）第3页（共23页）11．方程x 2=4x 的解是．12．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ,已知ⅠAOD =120°，AB =2．5则AC 的长为。

九年级上册数学(北师版)期末复习资料

北师版九年级上册数学期末总复习资料总结第一章证明(二)※等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

※等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的直角三角形，其中一个锐角等于30º，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。

※有一个角等于60º的等腰三角形是等边三角形。

※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有：①勾股定理：222a b c +=（注意区分斜边与直角边）②在直角三角形中，如有一个内角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现） ※垂直平分线是垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。

（注意着重号的意义） <直线与射线有垂线，但无垂直平分线>※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。

※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

※三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。

（如图1所示，AO=BO=CO ）※角平分线上的点到角两边的距离相等。

※角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。

角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。

※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。

(如图2所示，OD=OE=OF)第二章一元二次方程※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。

※把20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。

※解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变为2()0x m +=的形式>②公式法x = （注意在找abc 时须先把方程化为一般形式）③分解因式法把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。

北师大版2023-2024学年版数学九年级上册期末综合复习试题

2023—2024学年北师大版数学九年级上册期末综合复习试题一、单选题1．如图的几何体是由四个大小相同的正方体组成的，它的俯视图是（）A ．B ．C ．D ．2．利用求根公式求5x 2+ =6x 的根时，其中a=5，则b 、c 的值分别是（）A ．，6B ．6，C ．﹣6，D ．﹣6，﹣3．如图，的三个顶点分别为，，.若函数在第二象限内的图象与有交点，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．4．如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，连接EC ，FD ，点G ，H 分别是EC ，FD的中点，连接GH ，若AB ＝6，BC ＝10，则GH 的长度为（）A ．B ．C ．D ．25．对于双曲线y= ,当x>0时,y随x的增大而减小,则m的取值范围为（）A．m>0B．m>1C．m<0D．m<16．如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（）A．108°B．72°C．90°D．100°7．若ad=bc，则下列不成立的是（）A．B．C．D．8．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好.如图，若舞台AB长20米，主持人从舞台一侧进人，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上（BP长为x），则x满足的方程是（）A．B．C．D．以上都不对9．如图，将矩形ABCD沿AC折叠，使点B落在点B′处，B′C交AD于点E，若∠1＝25°，则∠2等于（）A．25°B．30°C．50°D．60°10．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为（）A．20B．24C．D．二、填空题11．若反比例函数y＝的图象经过点(－1，2)，则k的值是 .12．如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是．⑴EF= OE；⑵S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；⑶BE+BF= OA；⑷在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE= ．13．如图，为了测量一栋楼的高度，王青同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子里看到楼的顶部，如果王青身高1.55m，她估计自己眼睛距地面1.50m.同时量得LM＝30cm，MS＝2m，则这栋楼高 m.14．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（5，1），B1（10，2），若△ABC的面积为m，则△A1B1C1的面积为．15．如图，正方形ABCD的对角线上的两个动点M、N，满足，点P是BC的中点，连接AN、PM，若，则当的值最小时，线段AN的长度为．三、计算题16．解下列方程：（1）x2+3x﹣2＝0；（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9四、解答题17．一个容积为的正方体容器中装满水，现要将其中的水全部倒入到另一个长方体容器中，若长方体容器的长与宽相等且高是，则这个长方体容器的长与宽至少是多少？(结果精确到)18．小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图．小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在地上的影子高度，，（点A、E、C在同一直线上）．已知小明的身高是1.7m．请你帮小明求出楼高．19．如图，在中，平分，.若，，，求的长.20．如图,以直角三角形的三边为边分别向外作三个正方形,其中的两个正方形面积为A=25平方厘米,C=169平方厘米,求B面积.21．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场每天要获得利润1200元，请计算出每件衬衫应降价多少元？22．一个箱子里有2个白球，1个红球，它们除颜色外其它都一样．（1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？（2）从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出的球都是白球的概率．（请画出树状图或列出表分析）23．如图，菱形ABCD中，E是对角线BD上的一点，连接EA、EC，求证：∠BAE＝∠BCE.24．已知：如图，在中，，，垂足为，是外角的平分线，，垂足为，连接交于．（1）求证：四边形为矩形．（2）线段与有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．（3）当满足什么条件时，四边形是一个正方形？简述你的理由．。

北师大版初三数学九年级上册期末复习题及答案

北师大版初三数学九年级上册期末复习题及答案一、选择题1．已知圆锥的底面半径为3cm ，母线为5cm ，则圆锥的侧面积是 ( ) A ．30πcm 2B ．15πcm 2C ．152πcm 2 D ．10πcm 22．甲、乙两人参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为（） A ．34B ．14C ．13D ．123．电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关的动人故事．一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把平均每天票房的增长率记作x ，则可以列方程为（） A ．3(1)10x += B ．23(1)10x +=C ．233(1)10x ++=D ．233(1)3(1)10x x ++++=4．如图，已知O 的内接正方形边长为2，则O 的半径是（）A ．1B ．2C ．2D ．22 5．函数y=(x+1)2-2的最小值是（）A ．1B ．－1C ．2D ．－26．如图，点A 、B 、C 是⊙O 上的三点，∠BAC = 40°，则∠OBC 的度数是（） A ．80°B ．40°C ．50°D ．20°7．10件产品中有2件次品，从中任意抽取1件，恰好抽到次品的概率是（） A ．12B ．13C ．14D ．158．如图，在Rt ABC ∆中，90C CD AB ∠=︒⊥，，垂足为点D ，一直角三角板的直角顶点与点D 重合，这块三角板饶点D 旋转，两条直角边始终与AC BC 、边分别相交于G H 、，则在运动过程中，ADG ∆与CDH ∆的关系是（）A ．一定相似B ．一定全等C ．不一定相似D ．无法判断9．如图，AB 是O 的直径，AC 切O 于点A ，若70C ∠=︒，则AOD ∠的度数为（）A ．40°B ．45°C ．60°D ．70° 10．已知一组数据2，3，4，x ，1，4，3有唯一的众数4，则这组数据的中位数是( ) A ．2B ．3C ．4D ．511．如图1，在菱形ABCD 中，∠A ＝120°，点E 是BC 边的中点，点P 是对角线BD 上一动点，设PD 的长度为x ，PE 与PC 的长度和为y ，图2是y 关于x 的函数图象，其中H 是图象上的最低点，则a +b 的值为（）A ．73B ．234+C ．1433D ．223312．点P 1（﹣1，1y ），P 2（3，2y ），P 3（5，3y ）均在二次函数22y x x c =-++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（） A ．321y y y >> B ．312y y y >=C ．123y y y >>D ．123y y y =>13．如图，BC 是A 的内接正十边形的一边，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，则下列结论正确的有（）①BC BD AD ==；②2BC DC AC =⋅；③2AB AD =；④51BC AC -=．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．如图，AC 是⊙O 的内接正四边形的一边，点B 在弧AC 上，且BC 是⊙O 的内接正六边形的一边．若AB 是⊙O 的内接正n 边形的一边，则n 的值为（）A ．6B ．8C ．10D ．1215．将抛物线23y x =先向左平移一个单位，再向上平移两个单位，两次平移后得到的抛物线解析式为（）A ．23(1)2y x =++B ．23(1)2y x =+-C ．23(1)2y x =-+D ．23(1)2=--y x二、填空题16．平面直角坐标系内的三个点A （1，－3）、B （0，－3）、C （2，－3），___ 确定一个圆．（填“能”或“不能”）17．如图，△ABC 周长为20cm ，BC=6cm,圆O 是△ABC 的内切圆，圆O 的切线MN 与AB 、CA 相交于点M 、N ，则△AMN 的周长为________cm.18．O 的半径为4，圆心O 到直线l 的距离为2，则直线l 与O 的位置关系是______.19．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 为常数，且a ≠0）的图像上部分点的横坐标x 和纵坐标y 的对应值如下表 x … －1 0123 … y…－3 －3 －1 39…关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0一个负数解x 1满足k ＜x 1＜k +1（k 为整数），则k ＝________．20．某企业2017年全年收入720万元，2019年全年收入845万元，若设该企业全年收入的年平均增长率为x ，则可列方程____． 21．若关于x 的一元二次方程12x 2﹣2kx+1-4k=0有两个相等的实数根，则代数式（k-2)2+2k(1-k)的值为______．22．如图，在ABCD 中，13BE DF BC ==，若1BEG S ∆=，则ABF S ∆=__________．23．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，给出下列说法：①ab 0<；②方程2ax bx c 0++=的根为1x 1=-，2x 3=；③a b c 0++>；④当x 1>时，y 随x 值的增大而增大；⑤当y 0>时，1x 3-<<．其中，正确的说法有________（请写出所有正确说法的序号）．24．如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，AD AB ＝AEAC，AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12，则AD 的长为_____．25．小刚身高1.7m ，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m ，那么小刚举起的手臂超出头顶的高度为________m ． 26．圆锥的母线长是5 cm,底面半径长是3 cm,它的侧面展开图的圆心角是____.27．已知关于x 的一元二次方程2230x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是________．28．甲、乙两人在100米短跑训练中，某5次的平均成绩相等，甲的方差是0.12，乙的方差是0.05，这5次短跑训练成绩较稳定的是_____．（填“甲”或“乙”）29．如图，圆形纸片⊙O 半径为 52，先在其内剪出一个最大正方形，再在剩余部分剪出 4个最大的小正方形，则 4 个小正方形的面积和为_______．30．如图，C 、D 是线段AB 的两个黄金分割点，且CD ＝1，则线段AB 的长为_____．三、解答题31．（1）计算：()212cos6020202π-⎛⎫++-︒ ⎪⎝︒⎭（2）若关于x 的方程22210x x m ++-=有两个相等的实数根，求m 的值.32．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，求两辆车经过这个十字路口时，下列事件的概率：（1）两辆车中恰有一辆车向左转；（2）两辆车行驶方向相同．33．“早黑宝”葡萄品种是我省农科院研制的优质新品种，在我省被广泛种植，邓州市某葡萄种植基地2017年种植“早黑宝”100亩，到2019年“卓黑宝”的种植面积达到196亩.（1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率；（2）市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时减少库存，已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天获利1750元，则售价应降低多少元？34．已知关于x 的方程x 2-（m+3）x+m+1＝0．（1）求证：不论m 为何值，方程都有两个不相等的实数根；（2）若方程一根为4，以此时方程两根为等腰三角形两边长，求此三角形的周长． 35．（问题呈现）阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 是⊙O 的两条弦（即折线ABC 是圆的一条折弦），BC ＞AB ，点M 是ABC 的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD ＝DB +BA ．下面是运用“截长法”证明CD ＝DB +BA 的部分证明过程．证明：如图2，在CD 上截取CG ＝AB ，连接MA 、MB 、MC 和MG ． ∵M 是ABC 的中点， ∴MA ＝MC ① 又∵∠A ＝∠C ② ∴△MAB ≌△MCG ③ ∴MB ＝MG 又∵MD ⊥BC ∴BD ＝DG∴AB +BD ＝CG +DG 即CD ＝DB +BA根据证明过程，分别写出下列步骤的理由： ① ， ② ， ③ ；（理解运用）如图1，AB 、BC 是⊙O 的两条弦，AB ＝4，BC ＝6，点M 是ABC 的中点，MD ⊥BC 于点D ，则BD ＝；（变式探究）如图3，若点M 是AC 的中点，（问题呈现）中的其他条件不变，判断CD 、DB 、BA 之间存在怎样的数量关系？并加以证明．（实践应用）根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：如图4，BC 是⊙O 的直径，点A 圆上一定点，点D 圆上一动点，且满足∠DAC ＝45°，若AB ＝6，⊙O 的半径为5，求AD 长．四、压轴题36．已知，如图1，⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，连接OC 交对角线BD 于点F ，延长AO 交BD 于点E ，OE=OF.（1）求证：BE=FD ；（2）如图2，若∠EOF=90°，BE=EF ，⊙O 的半径25AO =，求四边形ABCD 的面积；（3）如图3，若AD=BC ；①求证：22•AB CD BC BD +=；②若2•12AB CD AO ==，直接写出CD 的长. 37．已知：在ABC 中，,90AC BC ACB ︒=∠=，点F 在射线CA 上，延长BC 至点D ，使CD CF =，点E 是射线BF 与射线DA 的交点．（1）如图1，若点F 在边CA 上；①求证：BE AD ⊥；②小敏在探究过程中发现45BEC ︒∠=，于是她想：若点F 在CA 的延长线上，是否也存在同样的结论？请你在图2上画出符合条件的图形并通过测量猜想BEC ∠的度数．（2）选择图1或图2两种情况中的任一种，证明小敏或你的猜想．38．如图，AB 是⊙O 的直径，AF 是⊙O 的弦，AE 平分BAF ∠，交⊙O 于点E ，过点E 作直线ED AF ⊥，交AF 的延长线于点D ，交AB 的延长线于点C .(1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若10,6AB AF ==，求AE 的长.39．如图，正方形ABCD 中，点O 是线段AD 的中点，连接OC ，点P 是线段OC 上的动点，连接AP 并延长交CD 于点E ，连接DP 并延长交AB 或BC 于点F ，（1）如图①，当点F 与点B 重合时，DEDC等于多少；（2）如图②，当点F 是线段AB 的中点时，求DEDC的值；（3）如图③，若DE CF =，求DEDC的值.40．如图，PA 切⊙O 于点A ，射线PC 交⊙O 于C 、B 两点，半径OD ⊥BC 于E ，连接BD 、DC 和OA ，DA 交BP 于点F ；（1）求证：∠ADC+∠CBD ＝12∠AOD ；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中相等的线段．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题解析：∵底面半径为3cm ， ∴底面周长6πcm ∴圆锥的侧面积是12×6π×5=15π（cm 2），故选B ．2．B解析：B 【解析】试题解析：可能出现的结果的结果有1种，则所求概率1.4P = 故选B.点睛：求概率可以用列表法或者画树状图的方法.3．D解析：D 【解析】【分析】根据题意分别用含x 式子表示第二天，第三天的票房数，将三天的票房相加得到票房总收入，即可得出答案．【详解】解：设增长率为x ，由题意可得出，第二天的票房为3(1+x)，第三天的票房为3(1+x)2，根据题意可列方程为233(1)3(1)10x x ++++=．故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，找出等量关系式．4．C解析：C【解析】【分析】如图，连接BD，根据圆周角定理可得BD为⊙O的直径，利用勾股定理求出BD的长，进而可得⊙O的半径的长.【详解】如图，连接BD，∵四边形ABCD是正方形，边长为2，∴BC=CD=2，∠BCD=90°，∴BD=2222+=22，∵正方形ABCD是⊙O的内接四边形，∴BD是⊙O的直径，∴⊙O的半径是1222⨯=2，故选：C.【点睛】本题考查正方形的性质、圆周角定理及勾股定理，根据圆周角定理得出BD是直径是解题关键.5．D解析：D【解析】【分析】抛物线y=(x+1)2-2开口向上，有最小值，顶点坐标为(-1，-2)，顶点的纵坐标-2即为函数的最小值.【详解】解：根据二次函数的性质，当x=-1时，二次函数y=(x+1)2-2的最小值是-2.故选D.【点睛】本题考查了二次函数的最值.6．C解析：C【解析】∵∠BOC=2∠BAC ，∠BAC=40° ∴∠BOC=80°， ∵OB=OC ，∴∠OBC=∠OCB=（180°-80°）÷2=50° 故选C ．7．D解析：D 【解析】【分析】由于10件产品中有2件次品，所以从10件产品中任意抽取1件，抽中次品的概率是21105=．【详解】解：()21P 105==次品．故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是用概率公式求事件的概率，根据题目找出全部情况的总数以及符合条件的情况数目是解此题的关键．8．A解析：A 【解析】【分析】根据已知条件可得出A DCB ∠∠=，ADG CDH ∠∠=，再结合三角形的内角和定理可得出AGD CHD ∠∠=，从而可判定两三角形一定相似．【详解】解：由已知条件可得，ADC EDF CDB C 90∠∠∠∠====︒， ∵A ACD ACD DCH 90∠∠∠∠+=+=︒， ∴A DCH ∠∠=，∵ADG EDC EDC CDH 90∠∠∠∠+=+=︒， ∴ADG CDH ∠∠=，继而可得出AGD CHD ∠∠=， ∴ADG ~CDH ．故选：A ．【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定定理，灵活利用三角形内角和定理以及余角定理是解此题的关键．9．A解析：A【解析】【分析】先依据切线的性质求得∠CAB的度数，然后依据直角三角形两锐角互余的性质得到∠CBA 的度数，然后由圆周角定理可求得∠AOD的度数．【详解】解：∵AC是圆O的切线，AB是圆O的直径，∴AB⊥AC，∴∠CAB=90°，又∵∠C=70°，∴∠CBA=20°，∴∠AOD=40°．故选：A．【点睛】本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质，求得∠CBA=20°是解题的关键．10．B解析：B【解析】【分析】根据题意由有唯一的众数4，可知x=4，然后根据中位数的定义求解即可．【详解】∵这组数据有唯一的众数4，∴x=4，∵将数据从小到大排列为：1，2，3，3，4，4，4，∴中位数为：3．故选B．【点睛】本题考查了众数、中位数的定义，属于基础题，掌握基本定义是关键．众数是一组数据中出现次数最多的那个数.当有奇数个数时，中位数是从小到大排列顺序后位于中间位置的数；当有偶数个数时，中位数是从小到大排列顺序后位于中间位置两个数的平均数. 11．C解析：C【解析】【分析】由A、C关于BD对称，推出PA＝PC，推出PC+PE＝PA+PE，推出当A、P、E共线时，PE+PC的值最小，观察图象可知，当点P与B重合时，PE+PC＝6，推出BE＝CE＝2，AB＝BC＝4，分别求出PE+PC的最小值，PD的长即可解决问题．【详解】解：∵在菱形ABCD 中，∠A ＝120°，点E 是BC 边的中点，∴易证AE ⊥BC ，∵A 、C 关于BD 对称，∴PA ＝PC ，∴PC +PE ＝PA +PE ，∴当A 、P 、E 共线时，PE +PC 的值最小，即AE 的长．观察图象可知，当点P 与B 重合时，PE +PC ＝6，∴BE ＝CE ＝2，AB ＝BC ＝4，∴在Rt △AEB 中，BE ＝∴PC +PE 的最小值为∴点H 的纵坐标a ＝∵BC ∥AD ， ∴AD PD BE PB= ＝2，∵BD ＝∴PD ＝23⨯=∴点H 的横坐标b ＝3，∴a +b ＝33=；故选C ．【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．12．D解析：D【解析】试题分析：∵22y x x c =-++，∴对称轴为x=1，P 2（3，2y ），P 3（5，3y ）在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，∵3＜5，∴23y y >，根据二次函数图象的对称性可知，P 1（﹣1，1y ）与（3，2y ）关于对称轴对称，故123y y y =>，故选D ．考点：二次函数图象上点的坐标特征．13．C解析：C【解析】【分析】①③，根据已知把∠ABD ，∠CBD ，∠A 角度确定相等关系，得到等腰三角形证明腰相等即可;②通过证△ABC∽△BCD,从而确定②是否正确,根据AD=BD=BC,即BC AC BC AC BC-=解得BC=12AC，故④正确.【详解】①BC是⊙A的内接正十边形的一边,因为AB=AC,∠A=36°,所以∠ABC=∠C=72°,又因为BD平分∠ABC交AC于点D,∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=36°=∠A,∴AD=BD,∠BDC=∠ABD+∠A=72°=∠C,∴BC=BD,∴BC=BD=AD,正确;又∵△ABD中，AD+BD＞AB∴2AD＞AB,故③错误.②根据两角对应相等的两个三角形相似易证△ABC∽△BCD,∴BC CDAB BC=,又AB=AC,故②正确,根据AD=BD=BC,即BC AC BC AC BC-=,解得BC=12AC,故④正确,故选C．【点睛】本题主要考查圆的几何综合,解决本题的关键是要熟练掌握圆的基本性质和几何图形的性质. 14．D解析：D【解析】【分析】连接AO、BO、CO，根据中心角度数＝360°÷边数n，分别计算出∠AOC、∠BOC的度数，根据角的和差则有∠AOB＝30°，根据边数n＝360°÷中心角度数即可求解．【详解】连接AO、BO、CO，∵AC是⊙O内接正四边形的一边，∴∠AOC＝360°÷4＝90°，∵BC是⊙O内接正六边形的一边，∴∠BOC＝360°÷6＝60°，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，∴n ＝360°÷30°＝12；故选：D ．【点睛】本题考查正多边形和圆，解题的关键是根据正方形的性质、正六边形的性质求出中心角的度数．15．A解析：A【解析】【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．【详解】抛物线23y x =先向左平移1个单位得到解析式：()231y x =+，再向上平移2个单位得到抛物线的解析式为：()2312y x =++．故选：A ．【点睛】此题考查了抛物线的平移变换以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．二、填空题16．不能【解析】【分析】根据三个点的坐标特征得到它们共线，于是根据确定圆的条件可判断它们不能确定一个圆．【详解】解：∵B（0，-3）、C （2，-3），∴BC∥x 轴，而点A （1，-3）与C 、解析：不能【解析】【分析】根据三个点的坐标特征得到它们共线，于是根据确定圆的条件可判断它们不能确定一个圆．【详解】解：∵B（0，-3）、C（2，-3），∴BC∥x轴，而点A（1，-3）与C、B共线，∴点A、B、C共线，∴三个点A（1，-3）、B（0，-3）、C（2，-3）不能确定一个圆．故答案为：不能．【点睛】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．17．8【解析】【分析】先作出辅助线,连接切点,利用内切圆的性质得到BE=BF,CE=CG,ME=MH,NG=NH,再利用等量代换即可解题.【详解】解：∵圆O是△ABC的内切圆，MN是圆O的切线解析：8【解析】【分析】先作出辅助线,连接切点,利用内切圆的性质得到BE=BF,CE=CG,ME=MH,NG=NH,再利用等量代换即可解题.【详解】解：∵圆O是△ABC的内切圆，MN是圆O的切线,如下图,连接各切点,有切线长定理易得,BE=BF,CE=CG,ME=MH,NG=NH,∵△ABC周长为20cm, BC=6cm,∴BC=CE+BE=CG+BF=6cm,∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+FM+GN=AF+AG,又∵AF+AG=AB+AC-(BF+CG)=20-6-6=8cm故答案是8【点睛】本题考查了三角形内接圆的性质,切线长定理的应用,中等难度,熟练掌握等量代换的方法是解题关键.18．相交【解析】【分析】由圆的半径为4，圆心O到直线l的距离为2，利用直线和圆的位置关系，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l与O的位置关系是相交．【详解】解：∵⊙O的半径为4，圆心O到直线L的解析：相交【解析】【分析】由圆的半径为4，圆心O到直线l的距离为2，利用直线和圆的位置关系，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l与O的位置关系是相交．【详解】解：∵⊙O的半径为4，圆心O到直线L的距离为2，∵4＞2，即：d＜r，∴直线L与⊙O的位置关系是相交．故答案为：相交.【点睛】本题考查知道知识点是圆与直线的位置关系，若d＜r，则直线与圆相交；若d>r，则直线与圆相离；若d=r，则直线与圆相切.19．－3【解析】【分析】首先利用表中的数据求出二次函数，再利用求根公式解得x1，再利用夹逼法可确定x1 的取值范围，可得k．【详解】解:把x=0,y=-3,x=1,y=-1,x=-1,y=-3解析：－3【解析】【分析】首先利用表中的数据求出二次函数，再利用求根公式解得x1，再利用夹逼法可确定x1的取值范围，可得k．【详解】解:把x=0,y=-3,x=1,y=-1,x=-1,y=-3代入y＝ax2＋bx＋c得3 1 3ca b c a b c-=⎧⎪-=++⎨⎪-=-+⎩，解得113abc=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴y=x²+x-3,∵△=b2-4ac=12-4×1×（-3）=13，∴==−1±2，∵1x<0,∴1x=−1-2＜0，∵-4≤-3，∴3222 -≤-≤-，∴-≤ 2.5 -，∵整数k满足k＜x1＜k+1，∴k=-3，故答案为:-3．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是求出二次函数的解析式.20．720（1+x）2=845．【解析】【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果该企业全年收入的年平均增长率为x，根据2017年全年收入720万元，2019解析：720（1+x）2=845．【解析】【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果该企业全年收入的年平均增长率为x，根据2017年全年收入720万元，2019年全年收入845万元，即可得出方程．【详解】解：设该企业全年收入的年平均增长率为x，则2018的全年收入为：720×（1+x）2019的全年收入为：720×（1+x）2．那么可得方程：720（1+x）2=845．故答案为：720（1+x）2=845．【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，解此类题的关键是掌握等量关系式：增长后的量=增长前的量×（1+增长率）．21．【解析】【分析】根据题意可得一元二次方程根的判别式为0，列出含k 的等式，再将所求代数进行变形后整体代入求值即可.【详解】解：∵一元二次方程x2﹣2kx+1-4k=0有两个相等的实数根，∴ 解析：72【解析】【分析】根据题意可得一元二次方程根的判别式为0，列出含k 的等式，再将所求代数进行变形后整体代入求值即可.【详解】解：∵一元二次方程12x 2﹣2kx+1-4k=0有两个相等的实数根， ∴2214241402b ac k k ,整理得，22410k k ， ∴21+22k k 2221k k k 224k k224k k当21+22k k 时， 224k k142=-+ 72= 故答案为：72. 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式与根个数之间的关系，根据根的个数确定根的判别式的符号是解答此题的关键.22．6【解析】【分析】先根据平行四边形的性质证得△BEG ∽△FAG ，从而可得相似比，然后根据同高的两个三角形的面积等于底边之比可求得，根据相似三角形的性质可求得，进而可得答案.【详解】解：∵四解析：6【解析】【分析】先根据平行四边形的性质证得△BEG ∽△FAG ，从而可得相似比，然后根据同高的两个三角形的面积等于底边之比可求得ABG S ∆，根据相似三角形的性质可求得AFG S ∆，进而可得答案.【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，AD ∥BC ，∴△BEG ∽△FAG ， ∵13BE DF BC ==， ∴12EG BE AG AF ==， ∴211,24BEG BEG ABG AFG S S EG BE S AG S AF ∆∆∆∆⎛⎫==== ⎪⎝⎭， ∵1BEG S ∆=，∴2ABG S ∆=，4AFG S ∆=，∴6ABF ABG AFG S S S ∆∆∆=+=.故答案为：6.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及三角形的面积等知识，属于常考题型，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键.23．①②④【解析】【分析】根据抛物线的对称轴判断①，根据抛物线与x 轴的交点坐标判断②，根据函数图象判断③④⑤．【详解】解：∵对称轴是x=-=1，∴ab ＜0，①正确；∵二次函数y=ax2+b解析：①②④【解析】【分析】根据抛物线的对称轴判断①，根据抛物线与x 轴的交点坐标判断②，根据函数图象判断③④⑤．【详解】解：∵对称轴是x=-2b a=1， ∴ab ＜0，①正确； ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0）， ∴方程x 2+bx+c=0的根为x 1=-1，x 2=3，②正确；∵当x=1时，y ＜0，∴a+b+c ＜0，③错误；由图象可知，当x ＞1时，y 随x 值的增大而增大，④正确；当y ＞0时，x ＜-1或x ＞3，⑤错误，故答案为①②④．【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数之间的关系，二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．24．3【解析】【分析】把AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12代入已知比例式，即可求出答案．【详解】解：∵＝，AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12，∴＝，解得：AD ＝3，故答案为：3．【点睛】本题解析：3【解析】【分析】把AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12代入已知比例式，即可求出答案．【详解】解：∵AD AB ＝AEAC ，AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12， ∴12AD ＝226 ，解得：AD ＝3，故答案为：3．【点睛】本题考查了成比例线段，灵活的将已知线段的长度代入比例式是解题的关键.25．5 【解析】【分析】根据同一时刻身长和影长成比例,求出举起手臂之后的身高,与身高做差即可解题. 【详解】解：设举起手臂之后的身高为x 由题可得：1.7:0.85=x ：1.1,解得x=2.2,解析：5 【解析】【分析】根据同一时刻身长和影长成比例,求出举起手臂之后的身高,与身高做差即可解题. 【详解】解：设举起手臂之后的身高为x 由题可得：1.7:0.85=x ：1.1,解得x=2.2,则小刚举起的手臂超出头顶的高度为2.2-1.7=0.5m 【点睛】本题考查了比例尺的实际应用,属于简单题,明确同一时刻的升高和影长是成比例的是解题关键.26．216°. 【解析】【分析】【详解】圆锥的底面周长为2π×3=6π(cm), 设圆锥侧面展开图的圆心角是n°,则=6π, 解得n=216. 故答案为216°. 【点睛】本题考查了圆锥的计算，解析：216°.【解析】【分析】【详解】圆锥的底面周长为2π×3=6π(cm),设圆锥侧面展开图的圆心角是n°,则π5 180n⨯=6π,解得n=216.故答案为216°.【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．27．【解析】【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．【详解】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求出k的取值范围. ，，方程有两个不相等的实数解析：3k<【解析】【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．【详解】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求出k的取值范围.1a，b=-，c k=方程有两个不相等的实数根，241240b ac k∴∆=-=->，3k∴<.故答案为：3k<．【点睛】本题考查了根的判别式．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．28．乙【解析】【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【详解】解：∵甲的方差为0解析：乙【解析】【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【详解】解：∵甲的方差为0.14，乙的方差为0.06，∴S甲2＞S乙2，∴成绩较为稳定的是乙；故答案为：乙．【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．29．16【解析】【分析】根据题意可知四个小正方形的面积相等，构造出直角△OAB，设小正方形的面积为x，根据勾股定理求出x值即可得到小正方形的边长，从而算出4 个小正方形的面积和.【详解】解：如解析：16【解析】【分析】根据题意可知四个小正方形的面积相等，构造出直角△OAB，设小正方形的面积为x，根据勾股定理求出x值即可得到小正方形的边长，从而算出4 个小正方形的面积和.【详解】解：如图，点A为上面小正方形边的中点，点B为小正方形与圆的交点，D为小正方形和大正方形重合边的中点，由题意可知：四个小正方形全等，且△OCD为等腰直角三角形，∵⊙O半径为，根据垂径定理得：∴OD=CD=522=5，设小正方形的边长为x ，则AB=12x ，则在直角△OAB 中， OA 2+AB 2=OB 2，即()()22215=522x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，解得x=2，∴四个小正方形的面积和=242=16⨯. 故答案为：16.【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、正方形的性质，熟练掌握利用勾股定理解直角三角形是解题的关键．30．2+ 【解析】【分析】设线段AB ＝x ，根据黄金分割点的定义可知AD ＝AB ，BC ＝AB ，再根据CD ＝AB ﹣AD ﹣BC 可列关于x 的方程，解方程即可【详解】∵线段AB ＝x ，点C 、D 是AB 黄金分割点解析：5【解析】【分析】设线段AB ＝x ，根据黄金分割点的定义可知AD 35AB ，BC 35AB ，再根据CD＝AB ﹣AD ﹣BC 可列关于x 的方程，解方程即可【详解】∵线段AB ＝x ，点C 、D 是AB 黄金分割点，∴较小线段AD ＝BC ＝32x -，则CD ＝AB ﹣AD ﹣BC ＝x ﹣x ＝1，解得：x ＝故答案为：【点睛】本题考查黄金分割的知识，解题的关键是掌握黄金分割中，较短的线段＝原线段的352倍．三、解答题31．（1）6；（2）1m =. 【解析】【分析】（1）根据负指数幂和0次幂法则，特殊三角函数值分别算出原算式中的每一项，然后进行实数运算即可.（2）根据一元二次方程根的判别式与根个数的关系，可得出b 2-4ac=0,列方程求解. 【详解】解：（1）()2012cos6020202π-⎛⎫++- ⎪⎝⎭︒12412=⨯++6=；（2）∵22210x x m ++-=有两个相等的实数根， ∴b 2-4ac=22-4(2m-1)=0, ∴m=1. 【点睛】本题考查实数运算和一元二次方程根的判别式与根个数的关系，掌握负指数幂，0次幂和特殊三角形函数值及根的判别式是解答此题的关键. 32．（1）49；（2）13【解析】【分析】此题可以采用列表法求解．可以得到一共有9种情况，两辆车中恰有一辆车向左转的有4种情况，两辆车行驶方向相同有3种情况，根据概率公式求解即可．【详解】解：列表得：相同有3种情况（1）P （两辆车中恰有一辆车向左转）=49；（2）P （两辆车行驶方向相同）=3193=．【点睛】列表法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，列举法适合于两步完成的事件，树状图法适合于两步或两步以上完成的事件．解题时注意看清题目的要求，要按要求解题．概率=所求情况数与总情况数之比．33．（1）该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为40%.（2）售价应降低3元【解析】【分析】（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x ，根据题意列出关于x 的一元二次方程，求解方程即可；（2）设售价应降低y 元，则每天售出（200+50y ）千克，根据题意列出关于y 的一元二次方程，求解方程即可. 【详解】（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x ，根据题意得2100(1)196x +=解得10.440%x ==，2 2.4x =-（不合题意，舍去）答：该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为40%. （2）设售价应降低y 元，则每天可售出(20050)y +千克根据题意，得(2012)(20050)1750y y --+=整理得，2430y y -+=，解得11y =，23y =∵要减少库存∴11y =不合题意，舍去，∴3y = 答：售价应降低3元. 【点睛】本题考查一元二次方程与销售的实际应用，明确售价、成本、销量和利润之间的关系，正确用一个量表示另外的量然后找到等量关系是列出方程的关键. 34．（1）见解析；（2）263。

(完整word)北师大版九年级数学上期期末复习试题

九年级上册第一章《证明二》期末复习练习题一、选择题1. 如图1, 在Rt ΔABC 中, ∠ACB ＝90°BC ＝3,AC ＝4,AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E, 则CE 的长为（）A. B. C. D. 2图1 图2 图3 2. （2009年广西钦州）如图2, AC ＝AD, BC ＝BD, 则有（）A. AB 垂直平分CDB. CD 垂直平分ABC. AB 与CD 互相垂直平分D. CD 平分∠ACB3．（2009年济宁市）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．如图3, 是一“赵爽弦图”飞镖板, 其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4．小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上）, 则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率是A. B. C. D.5.（2009恩施市）如图4, 长方体的长为15, 宽为10, 高为20, 点离点的距离为5, 一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点 , 需要爬行的最短距离是（）A. B. 25 C. D.6. （2009年宁波市）等腰直角三角形的一个底角的度数是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°7. （2009重庆綦江）如图5, 点A 的坐标是(2,2), 若点P 在x 轴上, 且△APO 是等腰三角形,则点P 的坐标不可能是（）A ．(4, 0)B ．（1．0）C ．（-2 , 0）D ．（2, 0）图7图5图88. （2009威海）如图6, AB ＝AC,BD ＝BC, 若∠A ＝40°, 则∠ABD 的度数是（）A. B. C. D.9．(2009年温州)如图7, △ABC 中, AB ＝AC ＝6, BC ＝8, AE 平分∠BAC 交BC 于点E, 点D为AB 的中点, 连结DE, 则△BDE 的周长是( )A. 7+B. 10C. 4+2D. 1210．(2009年云南省)如图11, 等腰△ABC 的周长为21, 底边BC ＝ 5, AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D, 交AC 于点E, 则△BEC 的周长为（）A. 13B. 14C. 15D. 1611．（2009呼和浩特）在等腰中, , 一边上的中线将这个三角形的周长分为15和12两个部分, 则这个等腰三角形的底边长为（）A. 7B. 11C. 7或11D. 7或10ADB E C12．已知在中, , 则的值为（）A. B. C. D.13．观察下列图形, 则第个图形中三角形的个数是（）A. B. C. D. 二、填空题1. （2009年重庆市江津区）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30º,腰长为4 cm, 则其腰上的高为 cm.2. （2009年滨州）某楼梯的侧面视图如图2所示, 其中米, , , 因某种活动要求铺设红色地毯, 则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为 .3. （2009年漳州）如图, 在菱形中, , 、分别是、的中点, 若 , 则菱形的边长是_____________.4．如图, OP 平分 , , , 垂足分别为A, B ．下列结论中不一定成立的是（）A. B. 平分 C. D. 垂直平分5. （2009年广州市）已知命题“如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直, 那么这个平行四边形是菱形”, 写出它的逆命题: ________________________________三、解答题1. （2009年崇左）如图, 在等腰梯形ABCD 中, 已知AD//BC, AB ＝DC,AD ＝2,BC ＝4, 延长BC 到E, 使CE ＝AD.（1）证明: ΔBAD ≌ΔDCE ；（2）如果AC ⊥BD, 求等腰梯形ABCD 的高DF 的值．2. （2009年浙江省绍兴市）如图, 在中, , 分别以为边作两个等腰直角三角形和 , 使.（1）求DBC 的度数；……第1个第2个第3个 D AB EC F（2）求证: .3. 如图, 已知△ABC 为等边三角形, 点D.E 分别在BC.AC 边上, 且AE=CD,AD 与BE 相交于点F.(1)求证: ≌△CAD ；(2)求∠BFD 的度数.4.（2009年衡阳市）如图, △ABC 中, AB ＝AC, AD.AE 分别是∠BAC 和∠BAC 和外角的平分线, BE ⊥AE. （1）求证: DA ⊥AE ；（2）试判断AB 与DE 是否相等？并证明你的结论.5. 在△ABC 中, AB=AC, D 是BC 的中点, 连结AD, 在AD 的延长线上取一点E, 连结BE, CE.（1）求证: △ABE ≌△ACE（2）当AE 与AD 满足什么数量关系时, 四边形ABEC 是菱形？并说明理由.A BC D E F。

北师版九年级上册数学期末单元复习讲义(最新版;可直接打印)

B. (x－1)2 =m－1
C. (x－1)2 =1－m
D. (x－1)2=m+1
6、三角形的两边长分别为 3 和 6，第三边长是方程 x2－6x＋8＝0 的解，则三角形的周长是( ) A．11 B．13 C．11 或 13 D．以上都不对
7、方程 x2－4x＝0 中，b2－4ac 的值为( ) A．－16 B．16 C．4 D．－4
A．3(x＋1)＝2(x2－3)
B．2x2－3x－9＝0
C．3x＋3＝2x2－6
D．2x2＋3x－9＝0
例 3、关于 x 的一元二次方程(m－1)x|m|＋1－2x＝3 是一元二次方程，则 m＝____．
例 4、已知关于 x 的方程(m2－4)x2＋(m－2)x＋4m＝0，当 m___时，它是一元二次方程，当 m____时，它是一元一次方程．
，一元二次方程有两个相等的实数根；
2a
当 b2－4ac<0 时，一元二次方程无实数根
2、公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
利用公式法求根的一般步骤：
（1）将方程化为 ax2+bx+c=0 (a≠0)，确定 a,b,c 的值
（2）把 a,b,c 的值直接代入公式 x b
b2 4ac
的结论：①△ODC 是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；
④S△AOE=S△COE，其中正确结论有（）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
6、如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=2，O 是 AD 的中点，连接 OB、OC，点 E
在线段 BC 上（点 E 不与点 B、C 重合），过点 E 作 EM⊥OB 于 M，EN⊥OC 于 N，

新北师大九年级数学上册期末复习培优练习(含答案)

新北师大九年级数学上册期末复习培优练习一．选择题（共9小题）1．已知C 是AB 的黄金分割点()AC BC <，若4AB =，则AC 的长为( )A ．(252)-B ．(625)-C ．(51)-D ．(35)-2．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是510.6182-≈，称为黄金比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此，此外，最美人体的头顶至咽喉与咽喉至肚脐的长度之比也是512-，若某人的身材满足上述两个黄金比例，且头顶至咽喉的长度为26cm ，则其身高可能是( )A ．165cmB ．178cmC ．185cmD ．190cm3．如图，//DE BC ，CD 与BE 相交于点O ，若14DOE BOC S S ∆∆=，则AE AC 的值为( )A ．14 B ．13 C ．12 D ．234．如图，在ABC ∆中，2AB AC ==，将ABC ∆绕点C 逆时针方向旋转得到DEC ∆，当点D 落在BC 边上时，ED 的延长线恰好经过点A ，则AD 的长为( )A ．1B ．23C ．51-D ．512- 5．如图，点O 是正方形ABCD 对角线的交点，以BO 为边构造菱形BOEF 且F 点在AB 上，连结AE ，则tan EAD ∠的值为( )A ．25B ．22C ．21-D ．22-6．如图，在边长4的正方形ABCD 中，E 是边BC 的中点，将CDE ∆沿直线DE 折叠后，点C 落在点F 处，再将其打开、展平，得折痕DE ．连接CF 、BF 、EF ，延长BF 交AD 于点G ．则下列结论：①BG DE =；②CF BG ⊥；③1sin 2DFG ∠=；④125DFG S ∆=，其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，A 、C 是反比例函数1(0)k y x x =>图象上的两点，B 、D 是反比例函数2(0)k y x x =>图象上的两点，已知////AB CD y 轴，直线AB 、CD 分别交x 轴于E 、F ，根据图中信息，下列结论正确的有( )①43DF =；②1234k k =-；③13CD AB =；④AE CF EB DF=A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．如图，正方形ABCD 中，O 为BD 中点，以BC 为边向正方形内作等边BCE ∆，连接并延长AE 交CD 于F ，连接BD 分别交CE 、AF 于G 、H ，下列结论：①45CEH ∠=︒；②2BG DG =；③//GF ED ；④2OH DH BD +=；⑤31:2BEC BGC S S ∆∆+=，其中正确的结论有( )A ．①②④B ．②③④C ．②④⑤D ．①③⑤9．如图．在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，点D 是斜边上的中点，点P 在AB 上，PE BD ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，若6AB =，3BC =，则(PE PF += )A 65B 352C 635D 332二．填空题（共7小题）10．如图，已知函数2y x =+的图象与函数(0)k y k x =≠的图象交于A 、B 两点，连接BO 并延长交函数(0)k y k x=≠的图象于点C ，连接AC ，若ABC ∆的面积为8．则k 的值为．11．如图，点E 是矩形ABCD 的一边AD 的中点，BF CE ⊥于F ，连接AF ；若4AB =，6AD =，则sin AFE ∠= ．12．如图，在ABC ∆中，AB AC =，tan 2ACB ∠=，D 在ABC ∆内部，且AD BD =，90ADB ∠=︒，连接CD ，若25AB =，则BCD ∆的面积为．13．如图，直线y x b =-+与双曲线1(0)y x x =>交于A 、B 两点，与x 轴、y 轴分别交于E 、F 两点，连接OA 、OB ，若AOB OBF OAE S S S ∆∆∆=+，则b = ．14．如图，点A 是双曲线6y x=-在第二象限分支上的一个动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为底作等腰ABC ∆，且120ACB ∠=︒，点C 在第一象限，随着点A 的运动点C 的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线k y x=上运动，则k 的值为．15．如图，已知(3,1)A ，(1,0)B ，PQ 是直线y x =上的一条动线段且2(PQ Q =在P 的下方），当AP PQ QB ++取最小值时，点Q 坐标为．16．如图，ABCD、CEFG是正方形，E在CD上，直线BE、DG交于H，且422HE HB=-，BD、AF交于M，当E在线段CD（不与C、D重合）上运动时，下列四个结论：①BE GD⊥；②AF、GD所夹的锐角为45︒；③2GD AM=；④若BE平分DBC∠，则正方形ABCD的面积为4，其中结论正确的是（填序号）三．解答题（共6小题）17．如图11，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，8OA=，4OC=，点P为对角线AC上一动点，过点P作PQ PB⊥，PQ交x轴于点Q．（1）tan ACB∠=；（2）在点P从点C运动到点A的过程中，PQPB的值是否发生变化？如果变化，请求出其变化范围；如果不变，请求出其值；（3）若将QAB∆沿直线BQ折叠后，点A与点P重合，则PC的长为．18．如图，E、F是正方形ABCD对角线AC上的两点，且AE EF FC==，连接BE、DE、BF、DF．（1）求证：四边形BEDF是菱形：（2）求tan AFD∠的值．19．如图，点P是反比例函数16(0)y xx=-<图象上的一动点，PA x⊥轴于点A，在直线3y x=上截取OB PA=（点B在第一象限），点C的坐标为(2-，23)，连接AC、BC、OC．（1）填空：OC=，BOC∠=；（2）求证：AOC COB∆∆∽；（3）随着点P的运动，ACB∠的大小是否会发生变化？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的大小．20．如图1，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，B点坐标是(8,4)，将AOC∆沿对角线AC翻折得ADC∆，AD与BC相交于点E．（1）求证：CDE ABE∆≅∆；（2）求E点坐标；（3）如图2，若将ADC'''（边A C''始终在直线AC上），是否存∆沿直线AC平移得△A D C在四边形DD C C''为菱形的情况？若存在，请直接写出点C'的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数(0)m y x x=>的图象交于点(,2)P n ，与x 轴交于点(4,0)A -，与y 轴交于点C ，PB x ⊥轴于点B ，且AC BC =．（1）求一次函数、反比例函数的解析式；（2）根据图象直接写出m kx b x+<的x 的取值范围；（3）反比例函数图象上是否存在点D ，使四边形BCPD 为菱形？如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，说明理由．22．已知：如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，点P为矩形外一点且满足AP PC=，AP PC⊥，PC交AD于点N，连接DP，过点P作PM PD⊥交AD于M．（1）若5AP=，13AB BC=，求矩形ABCD的面积；（2）若CD PM=，试判断线段AC、AP、PN之间的关系，并证明．新北师大九年级数学上册期末复习培优练习参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．已知C 是AB 的黄金分割点()AC BC <，若4AB =，则AC 的长为( )A ．(252)-B ．(625)-C ．(51)-D ．(35)-【解答】解：点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC BC <，512(51)2BC AB -∴==-， 42(51)625AC ∴=--=-，故选：B ．2．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是510.6182-≈，称为黄金比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此，此外，最美人体的头顶至咽喉与咽喉至肚脐的长度之比也是512-，若某人的身材满足上述两个黄金比例，且头顶至咽喉的长度为26cm ，则其身高可能是( )A ．165cmB ．178cmC ．185cmD ．190cm【解答】解：设某人的咽喉至肚脐的长度为xcm ，则260.618x≈，解得42.072x ≈，设某人的肚脐至足底的长度为ycm ，则2642.0720.618y+≈，解得110.149y ≈，∴其身高可能是110.1490.618178()cm ÷≈，故选：B ．3．如图，//DE BC ，CD 与BE 相交于点O ，若14DOE BOC S S ∆∆=，则AE AC的值为( )A ．14B ．13C ．12D ．23 【解答】解：//DE BC ， DOE COB ∴∆∆∽，2:()1:4DOE COB DE S S BC ∆∆∴==， ∴12DE BC =， //DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽，∴12AE DE AC BC ==，故选：C ．4．如图，在ABC ∆中，2AB AC ==，将ABC ∆绕点C 逆时针方向旋转得到DEC ∆，当点D 落在BC 边上时，ED 的延长线恰好经过点A ，则AD 的长为( )A ．1B ．23C 51D 51- 【解答】解：ABC ∆绕点C 逆时针方向旋转得到DEC ∆，2CD CA ∴==，B E ∠=∠，ADB CDE∠=∠，BAD DCE∴∠=∠，ACD BAD∴∠=∠，AB AC=，B ACD∴∠=∠，B BAD∴∠=∠，BD AD∴=，ABD CBA∠=∠，BAD ACB∠=∠，BAD BCA∴∆∆∽，∴BD ABAB BC=，即222BDBD=+，整理得2240BD BD+-=，解得51BD=-，51AD∴=-．故选：C．5．如图，点O是正方形ABCD对角线的交点，以BO为边构造菱形BOEF且F点在AB上，连结AE，则tan EAD∠的值为()A．25B．22C21D．22【解答】解：如图，设OE与AD交于M，AC与EF交于N，四边形ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥，45OAB DAO ∠=∠=︒，四边形BOEF 是菱形，//BO FE ∴，//OE AB ，OE AD ∴⊥，EF AO ⊥，45EON OAB ∠=∠=︒，45NFA ABO ∠=∠=︒，EON ∴∆，AFN ∆，OMA ∆是等腰直角三角形，设MO AM x ==，则2AO BO OE x ===，(21)EM x ∴=-，tan 21EM EAD AM∴∠==-，故选：C ．6．如图，在边长4的正方形ABCD 中，E 是边BC 的中点，将CDE ∆沿直线DE 折叠后，点C 落在点F 处，再将其打开、展平，得折痕DE ．连接CF 、BF 、EF ，延长BF 交AD 于点G ．则下列结论：①BG DE =；②CF BG ⊥；③1sin 2DFG ∠=；④125DFG S ∆=，其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：四边形ABCD 是正方形，4AB BC AD CD ∴====，90ABC BCD ∠=∠=︒，E 是边BC 的中点，2BE CE ∴==，将CDE ∆沿直线DE 折叠得到DFE ∆，4DF CD ∴==，2EF CE ==，90DFE DCE ∠=∠=︒，DEF DEC ∠=∠，EF EB ∴=，EBF BFE ∴∠=∠，1(180)2EBF BFE BEF ∠=∠=︒-∠，1(180)2CED FED BEF ∠=∠=︒-∠， GBE DEC ∴∠=∠，//BG DE ∴，//BE DG ，∴四边形BEDG 是平行四边形，BG DE ∴=，故①正确；EF CE =，EFC ECF ∴∠=∠，1180902FBE BCF BFE CFE ∴∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒， 90BFC ∴∠=︒，CF BG ∴⊥，故②正确；90ABG CBG BFE DFG ∠+∠=∠+∠=︒，ABG DFG ∴∠=∠，4AB =，2DG BE ==，2AG ∴=，BG ∴=，sin sinAG DFG ABG BG ∴∠=∠===③错误；过G 作GH DF ⊥于H ，1tan tan 2GFH ABG ∠=∠=， ∴设GH x =，则2FH x =，DH =，24DF FH DH x ∴=+=+=，解得： 1.2x =，2x =（舍去），1.2GH ∴=， 1124 1.225DFG S ∆∴=⨯⨯=，故④正确；故选：C ．7．如图，A 、C 是反比例函数1(0)k y x x =>图象上的两点，B 、D 是反比例函数2(0)k y x x =>图象上的两点，已知////AB CD y 轴，直线AB 、CD 分别交x 轴于E 、F ，根据图中信息，下列结论正确的有( )①43DF =；②1234k k =-；③13CD AB =；④AE CF EB DF =A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：设(,0)E a ，(,0)F b ，则13a b k ==，24a DF b k -=-=，43DF ∴=，1234k k =-，故①②正确； 4113773CD CF DF AB ++===， ∴③正确；313,4443AE CF EB DF ===， ∴④正确，故选：D ．8．如图，正方形ABCD 中，O 为BD 中点，以BC 为边向正方形内作等边BCE ∆，连接并延长AE 交CD 于F ，连接BD 分别交CE 、AF 于G 、H ，下列结论：①45CEH ∠=︒；②2BG DG =；③//GF ED ；④2OH DH BD +=；⑤31:2BEC BGC S S ∆∆+=，其中正确的结论有( )A ．①②④B ．②③④C ．②④⑤D ．①③⑤【解答】解：四边形ABCD 是正方形，AB BC CD AD ∴===，90ABC BCD CDA DAB ∠=∠=∠=∠=︒，45ADB CDB ∠=∠=︒． BEC ∆是等边三角形，BC BE CE ∴==，60EBC BCE BEC ∠=∠=∠=︒，AB BE CE CD ∴===，30ABE DCE ∠=∠=︒，75BAE BEA CED CDE ∴∠=∠=∠=∠=︒，15EAD EDA ∴∠=∠=︒，30DEF ∴∠=︒，45CEF ∴∠=︒．故①正确；②75EDC ∠=︒，45BDC ∠=︒，30EDB ∴∠=︒，DEF EDG ∴∠=∠．75EGD ∠=︒．90ADC ∠=︒，15DAF ∠=︒，75EFD ∴∠=︒，EFD EGD ∴∠=∠．在DEF ∆和EDG ∆中，EFD EGD DEF EDG DE ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DEF EDG AAS ∴∆≅∆，DF EG ∴=．EC DC =，EC EG DC DF ∴-=-，CG CF ∴=，75CGF CFG ∴∠=∠=︒，CED CGF ∴∠=∠，//GF ED ∴．故③正确；③O 为BD 中点，22()BD OD OH HD ∴==+．BD DH BH -=，2()222BH OH HD DH OH HD HD OH DH ∴=+-=+-=+．故④错误； ④作BM CG ⊥于M ，DN CG ⊥于N ，90BMC DNC ∴∠=∠=︒，sin60BM BC ∴=︒，sin30DN CD =︒．设AB BC CD AD x ====，3BM ∴=，12DN x =．BCG DCGS BG DG S ∆∆=． ∴132231122x CG BG DG x CG ==，即3BG DG =．故②错误； ⑤tan15GE DF AD ==︒，设AD CD BC AB x ====， CE x ∴=，CG x GE =-．tan1523︒=(23)GE DF x ∴==，(23)(31)CG x x x ∴=--=-．::BEC BGC S S EC GC ∆∆=，31:2(31)BEC BGC xS S x ∆∆+∴==-．故⑤正确．综上所述，正确的有①③⑤，故选：D ．9．如图．在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，点D 是斜边上的中点，点P 在AB 上，PE BD ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，若6AB =，3BC =，则(PE PF += )A ．655B ．352C ．635D ．332【解答】解：如图作BM AC ⊥于M ，连接PD ．90ABC ∠=︒，AD DC =，6AB =，3BC =，BD AD DC ∴==，2235AC AB BC =+=1122AB BC AC BM =， 65BM ∴=， ABD ADP BDP S S S ∆∆∆∴=+，∴111222AD BM AD PF BD PE =+， 65PE PF BM ∴+==．故选：A ．二．填空题（共7小题）10．如图，已知函数2y x =+的图象与函数(0)k y k x=≠的图象交于A 、B 两点，连接BO 并延长交函数(0)k y k x=≠的图象于点C ，连接AC ，若ABC ∆的面积为8．则k 的值为 3 ．【解答】解：如图，连接OA ．由题意，可得OB OC =，142OAB OAC ABC S S S ∆∆∆∴===．设直线2y x =+与y 轴交于点D ，则(0,2)D ，设(,2)A a a +，(,2)B b b +，则(,2)C b b ---， 12()42OAB S a b ∆∴=⨯⨯-=， 4a b ∴-=①．过A 点作AM x ⊥轴于点M ，过C 点作CN x ⊥轴于点N ，则12OAM OCN S S k ∆∆==， 4OAC OAM OCN AMNC AMNC S S S S S ∆∆∆∴=+-==梯形梯形， ∴1(22)()42b a b a --++--=，将①代入，得2a b ∴--=②，①+②，得26b -=，3b =-，①-②，得22a =，1a =，(1,3)A ∴，133k ∴=⨯=．故答案为3．11．如图，点E 是矩形ABCD 的一边AD 的中点，BF CE ⊥于F ，连接AF ；若4AB =，6AD =，则sin AFE ∠= 35．【解答】解：延长CE 交BA 的延长线于点G ，四边形ABCD 是矩形，//AB CD ∴，4AB CD ==，6AD BC ==，G GCD ∴∠=∠，且AE DEA =，AEG DEC ∠=∠()AGE DCE AAS ∴∆≅∆4AG CD ∴==，AG AB ∴=，且BF GF ⊥，4AF AG AB ∴===AFE AGF ∴∠=∠，8BG AG AB =+=，6BC =2210GC BG BC ∴=+3sin sin 5BC AFE AGF GC ∴∠=∠== 故答案为：35 12．如图，在ABC ∆中，AB AC =，tan 2ACB ∠=，D 在ABC ∆内部，且AD BD =，90ADB ∠=︒，连接CD ，若25AB =，则BCD ∆的面积为 2 ．【解答】解：过A 作AH BC ⊥于H ，过D 作DG BC ⊥于G ，25AB AC ==tan 2AH ACB CH∠==， ∴设2AH x =，CH x =， 22525AC AH CH x ∴=+=2x ∴=，4AH ∴=，2CH BH ==，4BC ∴=，过D 作DE AH ⊥于E ，则四边形DEHG 是矩形，90EDG DGH DEH ∴∠=∠=∠=︒，ADE BDG ∴∠=∠，在ADE ∆与BDG ∆中，90AED BDG AED BGD AD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ADE BDG AAS ∴∆≅∆，AE BG ∴=，90ADB ∠=︒，210BD AB ∴== 设DG x =，4BG AH x ∴==-，222BD DG BG =+，2210(4)x x ∴=+-，1x ∴=或3x =（不合题意舍去）， 1DG ∴=，BCD ∴∆的面积14122=⨯⨯=，故答案为：2．13．如图，直线y x b =-+与双曲线1(0)y x x=>交于A 、B 两点，与x 轴、y 轴分别交于E 、F 两点，连接OA 、OB ，若AOB OBF OAE S S S ∆∆∆=+，则b = 433．【解答】解：令0y =，则0x b -+=，解得x b =，令0x =，则y b =，所以，点(,0)E b 、(0,)F b ，所以，OE OF =，过点O 作OM AB ⊥于点M ，则ME MF =，设点1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，联立1y x b y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩，消掉y 得，210x bx -+=，根据根与系数的关系，121x x =，所以121y y =，所以12y x =，21y x =，所以OA OB =，所以AM BM =（等腰三角形三线合一），AOB OBF OAE S S S ∆∆∆=+，FB BM AM AE ∴===，所以点3(4A b ，1)4b ，点A 在双曲线1y x =上， ∴31144b b ⨯=，解得433b =．故答案为：433．14．如图，点A 是双曲线6y x=-在第二象限分支上的一个动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为底作等腰ABC ∆，且120ACB ∠=︒，点C 在第一象限，随着点A 的运动点C 的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线k y x=上运动，则k 的值为 2 ．【解答】解：作AD x ⊥轴于D ，CE x ⊥轴于E ，连接OC ，如图， AB 过原点，∴点A 与点B 关于原点对称，OA OB ∴=，CAB ∆为等腰三角形，OC AB ∴⊥，120ACB ∴∠=︒，30CAB ∴∠=︒，3OA OC ∴，90AOD COE ∠+∠=︒，90AOD OAD ∠+∠=︒，OAD COE ∴∠=∠，Rt AOD Rt OCE ∴∆∆∽， ∴22()(3)3AOD OCE S OA S OC∆∆===，而1|6|32OAD S ∆=⨯-=， 1OCE S ∆∴=，即1||12k =，而0k >，2k ∴=．15．如图，已知(3,1)A ，(1,0)B ，PQ 是直线y x =上的一条动线段且2(PQ Q =在P 的下方），当AP PQ QB ++取最小值时，点Q 坐标为 2(3，2)3．【解答】解：作点B 关于直线y x =的对称点(0,1)B '，过点A 作直线MN ，并沿MN 向下平移2单位后得(2,0)A '连接A B ''交直线y x =于点Q如图理由如下：2AA PQ '==，//AA PQ '，∴四边形APQA '是平行四边形．AP A Q '∴=．AP PQ QB B Q A Q PQ ''++=++且2PQ =．∴当A Q B Q ''+值最小时，AP PQ QB ++值最小．根据两点之间线段最短，即A '，Q ，B '三点共线时A Q B Q ''+值最小．(0,1)B '，(2,0)A '，∴直线A B ''的解析式112y x =-+． 112x x ∴=-+．即23x =， Q ∴点坐标2(3，2)3．故答案是：2(3，2)3． 16．如图，ABCD 、CEFG 是正方形，E 在CD 上，直线BE 、DG 交于H ，且422HE HB =-，BD 、AF 交于M ，当E 在线段CD （不与C 、D 重合）上运动时，下列四个结论：①BE GD ⊥；②AF 、GD 所夹的锐角为45︒；③2GD AM =；④若BE 平分DBC ∠，则正方形ABCD 的面积为4，其中结论正确的是 ①②③④ （填序号）【解答】解：①正确，证明如下：BC DC =，CE CG =，90BCE DCG ∠=∠=︒，BEC DGC ∴∆≅∆，EBC CDG ∴∠=∠，90BDC DBH EBC ∠+∠+∠=︒，90BDC DBH CDG ∴∠+∠+∠=︒，即BE GD ⊥，故①正确；②由于BAD ∠、BCD ∠、BHD ∠都是直角，因此A 、B 、C 、D 、H 五点都在以BD 为直径的圆上；由圆周角定理知：45DHA ABD ∠=∠=︒，故②正确；③由②知：A 、B 、C 、D 、H 五点共圆，则BAH BDH ∠=∠；又45ABD DBG ∠=∠=︒，ABM DBG ∴∆∆∽，得::2AM DG AB BD ==2DG AM =；故③正确；④过H 作HN CD ⊥于N ，连接EG ；若BH 平分DBG ∠，且BH DG ⊥，已知：BH 垂直平分DG ；得DE EG =，H 是DG 中点，HN 为DCG ∆的中位线；设CG x =，则：12HN x =，2EG DE x ==，(21)DC BC x ==+； HN CD ⊥，BC CD ⊥，//HN BC ∴，NHB EBC ∴∠=∠，ENH ECB ∠=∠， BEC HEN ∴∆∆∽，则::222BE EH BC HN ==+，即222BEEH =+；422222BEHE BH BH ∴==-+，即42BE BH =；DBH CBE ∠=∠，且90BHD BCE ∠=∠=︒， BDH BCE ∴∆∆∽，得：42DB BC BE BH ==，即2242BC =，得：24BC =，即正方形ABCD 的面积为4；故④正确；故答案为：①②③④．三．解答题（共6小题）17．如图11，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC 的顶点A 在x 轴上，顶点C 在y 轴上，8OA =，4OC =，点P 为对角线AC 上一动点，过点P 作PQ PB ⊥，PQ 交x 轴于点Q ．（1）tan ACB ∠= 12；（2）在点P 从点C 运动到点A 的过程中，PQ PB 的值是否发生变化？如果变化，请求出其变化范围；如果不变，请求出其值；（3）若将QAB ∆沿直线BQ 折叠后，点A 与点P 重合，则PC 的长为．【解答】解：（1）四边形OABC是矩形，90ABC∴∠=︒，8BC OA==，4AB OC==，在Rt ABC∆中，1 tan2ABACBBC∠==，故答案为：12；（2）PQPB的值不发生变化，其值为12，理由：如图，过点P作PF OA⊥于F，FP的延长线交BC于E，PE BC∴⊥，四边形OFEC是矩形，4EF OC∴==，设PE a=，则4PF EF PE a=-=-，在Rt CEP∆中，1 tan2PEACBCE∠==，22CE PE a∴==，822(4) BE BC CE a a∴=-=-=-，PQ PB⊥，90BPE FPQ∴∠+∠=︒，90BPE PBE∠+∠=︒，FPQ EBP∴∠=∠，90BEP PFQ∠=∠=︒，BEP PFQ∴∆∆∽，∴PE BE BP FQ PF PQ==，∴2(4)4a a FQ a-=-，12FQ a∴=，∴1122a PQ FQ PB PE a ===；（3）如备用图，将QAB ∆沿直线BQ 折叠后，点A 与点P 重合， BQ AC ∴⊥，12AD PD AP ==，在Rt ABC ∆中，4AB =，8BC =，根据勾股定理得，2245AC BC AB =+=， BAC DAB ∠=∠，90ADB ABC ∠=∠=︒， ABC ADB ∴∆∆∽，∴AB AC AD AB =， ∴4454AD =， 455AD ∴=， 45125245255PC AC AP AC AD ∴=-=-=-⨯=，故答案为：1255．18．如图，E 、F 是正方形ABCD 对角线AC 上的两点，且AE EF FC ==，连接BE 、DE 、BF 、DF ．（1）求证：四边形BEDF 是菱形：（2）求tan AFD ∠的值．【解答】（1）证明：连接BD 交AC 于点O ，四边形ABCD 是正方形，OA OC ∴=，OB OD =，且AC BD ⊥，AE CF =，OA AE OC CF ∴-=-，即OE OF =，又OB OD =，∴四边形BEDF 是平行四边形，又AC BD ⊥，∴平行四边形BEDF 是菱形；（2）解：2EF OF =，EF CF =，2CF OF ∴=，3OC OF ∴=，又OD OC =，3OD OF ∴=，在正方形ABCD 中，AC BD ⊥，90DOF ∴∠=︒，在Rt DOF ∆中，tan 3OD AFD OF∠==．19．如图，点P 是反比例函数16(0)y x x=-<图象上的一动点，PA x ⊥轴于点A ，在直线3y x =上截取OB PA =（点B 在第一象限），点C 的坐标为(2-，23)，连接AC 、BC 、OC ．（1）填空：OC = 4 ，BOC ∠= ；（2）求证：AOC COB ∆∆∽；（3）随着点P 的运动，ACB ∠的大小是否会发生变化？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的大小．【解答】（1）解：过点C 作CE x ⊥轴于点E ，过点B 作BF x ⊥轴于点F ，如图所示．点C 的坐标为(2-，23)，2OE ∴=，23CE =224OC OE CE ∴+=．tan 3CE AOC OE∠== 60AOC ∴∠=︒．直线OB 的解析式为3y x =，60BOF ∴∠=︒，18060BOC AOC BOF ∴∠=︒-∠-∠=︒．故答案为：4；60︒．（2）证明：60AOC ∠=︒，60BOC ∠=︒，AOC BOC ∴∠=∠．点P 是反比例函数16(0)y x x=-<图象上的一动点， 16PA OA ∴=．PA OB =， 216OB OA OC ∴==，即OA OC OC OB=， AOC COB ∴∆∆∽．（3）解：ACB ∠的大小不会发生变化，理由如下： AOC COB ∆∆∽，CAO BCO ∴∠=∠．在AOC ∆中，60AOC ∠=︒，120CAO OCA ∴∠+∠=︒，120BCO OCA ∴∠+∠=︒，即120ACB ∠=︒．20．如图1，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，B 点坐标是(8,4)，将AOC ∆沿对角线AC 翻折得ADC ∆，AD 与BC 相交于点E ．（1）求证：CDE ABE ∆≅∆；（2）求E 点坐标；（3）如图2，若将ADC ∆沿直线AC 平移得△A D C '''（边A C ''始终在直线AC 上），是否存在四边形DD C C ''为菱形的情况？若存在，请直接写出点C '的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）证明：四边形OABC 为矩形，AB OC ∴=，90B AOC ∠=∠=︒，CD OC AB ∴==，D AOC B ∠=∠=∠，又CED ABE ∠=∠，()CDE ABE AAS ∴∆≅∆，CE AE ∴=；（2）(8,4)B ，即4AB =，8BC =．∴设CE AE n ==，则8BE n =-，可得222(8)4n n -+=，解得：5n =，(5,4)E ∴；（3）设点C 在水平方向上向左移动m 个单位，则在垂直方向上向上移动了2m 个单位，则点C '坐标为(m -，14)2m +，则四边形DD C C ''为菱形，2222215()()1624CC m m m CD ∴'=-+===，解得：855m =±，故点C '的坐标为85(5-，454)5+或85(5，454)5-． 21．如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数(0)m y x x =>的图象交于点(,2)P n ，与x 轴交于点(4,0)A -，与y 轴交于点C ，PB x ⊥轴于点B ，且AC BC =．（1）求一次函数、反比例函数的解析式；（2）根据图象直接写出m kx b x+<的x 的取值范围；（3）反比例函数图象上是否存在点D ，使四边形BCPD 为菱形？如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，说明理由．【解答】解：（1）AC BC =，CO AB ⊥，(4,0)A -， O ∴为AB 的中点，即4OA OB ==，(4,2)P ∴，(4,0)B ，将(4,0)A -与(4,2)P 代入y kx b =+得：4042k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得：141k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数解析式为114y x =+，将(4,2)P代入反比例解析式得：8m=，即反比例解析式为8yx =．（2）观察图象可知，mkx bx+<时，x的取值范围04x<<．（3）如图所示，点(0,1)C，(4,0)B224117BC∴=+=，17PC=，∴以BC、PC为边构造菱形，四边形BCPD为菱形，PB∴垂直且平分CD，PB x⊥轴，(4,2)P，∴点(8,1)D．22．已知：如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，点P为矩形外一点且满足AP PC=，AP PC⊥，PC交AD于点N，连接DP，过点P作PM PD⊥交AD于M．（1）若5AP=，13AB BC=，求矩形ABCD的面积；（2）若CD PM=，试判断线段AC、AP、PN之间的关系，并证明．【解答】解：（1）AP PC=，AP PC⊥，252AC AP ∴==222AB BC AC +=，13AB BC =， 5AB ∴=，35BC =15ABCD S AB BC ∴=⨯=四边形（2）AC AP PN =+如图．延长AP ，CD 交于点EAP PC =，AP PC ⊥，90APC ∴∠=︒，45PAC PCA ∠=∠=︒四边形ABCD 是矩形90ADC ∴∠=︒，ADC APC ∴∠=∠∴点A ，点C ，点D ，点P 四点共圆45PDA PCA ∴∠=∠=︒，PCD PAD ∠=∠，DPC DCA ∠=∠， PM PD ⊥45PMD PDM ∴∠=∠=︒PM PD ∴=，且PM CD =PD CD ∴=，DPC DCP ∴∠=∠PAD DAC ∴∠=∠，且AD AD =，90ADE ADC ∠=∠=︒ ()ADE ADC ASA ∴∆≅∆AC AE ∴=，AP PC =，90APC EPC ∠=∠=︒，PCE PAD ∠=∠ ()PAN PEC ASA ∴∆≅∆PN PE∴=∴==+=+ AC AE AP PE AP PN。

北师大版九年级数学上册九年级期末复习

A B C D九年级期末复习1一、选择题1. 1、下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x2 + 2x + y = 1 B．011=-+xxC．x(x + 1)= x2 + 2 D．322132+=-xx2．若方程（m+2）22-mx+ 3mx +1 =0是关于x的一元二次方程，则( )A．m = ±2 B．m = 2 C．m = -2 D．m ≠±23．与如图所示的三视图对应的几何体是( )4、一个四边形四边中点依次连接得到一个菱形，则原四边形一定为（）A、菱形B、矩形C、对角线互相垂直的四边形D、对角线相等的四边形5.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m3 ) 的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（）．A．不小于54m3B．小于54m3C．不小于45m3 D．小于45m36. 如图1－1－16，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为2：3，顶宽为3米，路基高为4米，则路基的下底宽是（）A．15米B．12米C．9米D．7米二、填空题7.方程（x－2）(2x+3)=0的解是。

8.生物工作者为了估计一片山林中雀鸟的数量，设计了如下方案：先捕捉100只雀鸟，给它们做上标记后放回山林；一段时间后，再从中随机捕捉500只，其中有标记的雀鸟有5只．请你帮助工作人员估计这片山林中雀鸟的数为只．9.如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6 cm,8 cm ,AE⊥BC于点E，则AE的长是10.如图，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全（第4落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，其影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米，则树高为米．11.用配方法将2611y x x=-+化成2()y a x h k=-+的形式为___________________.12用火柴棒按下列方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第n个图形需根火柴棒。

北师大版九年级数学上册期末压轴题综合复习题(含答案)

2021-2022年北师大版九年级数学上册期末压轴题综合复习题1、如图，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，点P是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BP，作PE⊥PB，交射线DC于点E，以线段PE，PB为邻边作矩形BPEF．过点P 作GH⊥CD，分别交AB、CD于点G、H．（1）求证：△PGB∽△EHP；（2）求的值；（3）求矩形BPEF的面积的最小值．2、已知：如图，菱形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，且BE＝BF＝DH＝DG．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）已知∠B＝60°，AB＝6．请从A，B两题中任选一题作答，我选择题．A题：当点E是AB的中点时，矩形EFGH的面积是．B题：当BE＝时，矩形EFGH的面积是8．3、在△ABC中，∠ABC＝90°，ABnBC，M是BC上一点，连接AM．（1）如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN．（2）过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q．①如图2，若n＝1，求证：CP BM．PQ BQ②如图3，若M是BC的中点，求证：∠BPQ ＝∠BAC．4、已知：矩形OABC的顶点O在平面直角坐标系的原点，边OA、OC分别在x、y轴的正半轴上，且OA＝3cm，OC＝4cm，点M从点A出发沿AB向终点B运动，点N从点C 出发沿CA向终点A运动，点M、N同时出发，且运动的速度均为1cm/秒，当其中一个点到达终点时，另一点即停止运动．设运动的时间为t秒．（1）当点N运动1秒时，求点N的坐标；（2）试求出多边形OAMN的面积S与t的函数关系式；（3）t为何值时，以△OAN的一边所在直线为对称轴翻折△OAN，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形？5、已知：如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝3cm，点P由B点出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s；点Q由A点出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为cm/s；若设运动的时间为t（s）（0＜t＜3），解答下列问题：（1）如图①，连接PC，当t为何值时△APC∽△ACB，并说明理由；（2）如图②，当点P，Q运动时，是否存在某一时刻t，使得点P在线段QC的垂直平分线上，请说明理由；（3）如图③，当点P，Q运动时，线段BC上是否存在一点G，使得四边形PQGB为菱形？若存在，试求出BG长；若不存在请说明理由．6、如图，已知菱形ABCD中，AB＝5，点E是BC边上一点（不与B，C重合），以BE为边构造菱形BEFG，使点G落在AB的延长线上，连接BD，GE，射线FE交BD于点H．（1）求证：四边形BGEH是平行四边形；（2）请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择题．A．若四边形BGEH为菱形，则BD的长为．B．连接HC，CF，BF，若BD＝6，且四边形BHCF为矩形，则CF的长为3．7、如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣4，2），点B在第一象限，AB平行于x轴且AB＝5．（1）点B的坐标为．（2）如图1，过点A作AC⊥x轴于C，在x轴上是否存在点D，使得△AOC与△BOD 相似？（3）如图2，将△AOB折叠，使得点A刚好落在O处，此时折痕交AB于点D，交AO 于点E，在直线AO上有两个动点P，Q（点P在点Q的左侧），且线段PQ＝，求四边形BDPQ的周长最小值．8、如图1，已知四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点M是BC边的中点，过点M作ME∥AC交BD于点E，作MF∥BD交AC于点F．（1）如图2，若四边形ABCD是菱形，求证：四边形OEMF是矩形；（2）如图3，若四边形ABCD是矩形，则四边形OEMF是（在横线上填一个特殊平行四边形的名称）（3）如图4，若四边形ABCD是矩形，点M是BC延长线上的一个动点，点F落在AC的延长线上，点E落在线段OD上，其余条件不变，写出OB，ME，MF三条线段之间存在的数量关系，并说明理由．9、如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD折叠，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G．（1）求证：BG＝DG；（2）求C′G的长；（3）如图2，再折叠一次，使点D与A重合，折痕EN交AD于M，求EM的长．10、如图（1）是矩形纸片ABCD连续两次对折展开平铺后的图形，折痕分别为EF，MN，GH．（1）如图（2），连接BD，与折痕GH，EF，MN分别交于点S，O，T，求证：OE=OF；（2）如图（3），连接ET并延长交CD于点Q，连接FS并延长交AB于点P，连接EP，FQ．求证：四边形EPFQ是菱形；（3）若四边形EPFQ是正方形，则矩形ABCD需满足的条件是．12、如图1，在正方形ABCD的外部，分别以AB，CD为边作菱形ABEF和菱形CDGH，连接EH，FG（1）求证：FG=EH（2）请从A，B两个题目中任选一题作答A 如图2，若AB=4，∠BAF=60°，∠CDG=30°，求四边形AFGD的面积B 如图3，若∠BAF=∠CDG，求证；四边形EFGH是矩形13、问题情境：如图1，在菱形ABCD中，点E、F分别为AB，BC边上的点，连接AF，DE相交于点O，且∠AOE=∠ADC，试探究：AF与DE的数量关系．特例探究：如图2，当菱形ABCD是正方形时，AF与DE有怎样的数量关系呢？请你直接写出结论，不必证明；类比解答：类比特例探究的结论，猜想问题情境中AF与DE的数量关系，并说明理由；拓展延伸：将图1中的菱形ABCD改为▱ABCD（如图3）其中AB=a，AD=b，点E、F、G、H 分别为AB、BC、CD、DA边上的动点，连接EG、HF相交于点O，且∠HOE=∠ADC，试探究：EG与FH的数量关系，用含a、b的式子直接写出的值，不必说明理由．14、问题情境：已知，菱形ABCD，点B关于直线AD的对称点为点E，连接AE、CE，线段CE交直线AD于点F，连接BF．（1）特例研究：如图1，当∠ABC=90°时，点A、B、E在同一条直线上，求证：BF=CE．（2）类比思考：请从下列A、B两题中任选一题作答：我选择A或B题．当90°＜∠ABC＜180°时，小彬提出如下问题：A、若点E、D、C三点在同一直线上，请在下面画出符合条件的图形，并直接写出∠ABC的度数；B、如图2，若点E、D、C三点不在同一直线上，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，说明理由．（3）拓展分析：请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择A或B题．A：如图3，当∠ABC=135°时，CD的延长线交AE于点G，直接写出的值；B：当∠ABC=45°时，直线AE与CD相交于点G，请在下面画出符合条件的图形，并直接写出的值．15、阅读下列材料，完成任务：自相似图形定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．任务：（1）图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为；（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的相似比为；（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）．请从下列A、B两题中任选一条作答：我选择题．A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=（用含b的式子表示）；②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=（用含n，b的式子表示）；B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=或（用含b的式子表示）；②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=（用含m，n，b的式子表示）．16、综合与实践问题情境：正方形折叠中的数学已知正方形纸片ABCD中，AB＝4，点E是AB边上的一点，点G是CE的中点，将正方形纸片沿CE所在直线折叠，点B的对应点为点B′．（1）如图1，当∠BCE＝30°时，连接BG，B′G，求证：四边形BEB′G是菱形；深入探究：（2）在CD边上取点F，使DF＝BE，点H是AF的中点，再将正方形纸片ABCD沿AF 所在直线折叠，点D的对应点为D′，顺次连接B′，G，D′，H，B'，得到四边形B′GD′H．请你从A，B两题中任选一题作答，我选择题．A题：如图2，当点B'，D′均落在对角线AC上时，①判断B′G与D′H的数量关系与位置关系，并说明理由；②直写出此时点H，G之间的距离．B题：如图3，点M是AB的中点，MN∥BC交CD于点N，当点B'，D′均落在MN上时，①判断B′G与D′H的数量关系与位置关系，并说明理由；②直接写出此时点H，G之间的距离．17、如图，直线y＝x+n交x轴于点A（﹣8，0），直线y＝﹣x﹣4经过点A，交y轴于点B，点P是直线y＝﹣x﹣4上的一个动点，过点P作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两条垂线交于点D，连接PB，设点P的横坐标为m．（1）若点P的横坐标为m，则PD的长度为（用含m的式子表示）；（2）如图1，已知点Q是直线y＝x+n上的一个动点，点E是x轴上的一个动点，是否存在以A，B，E，Q为顶点的平行四边形，若存在，求出E的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，将△BPD绕点B旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′＝∠OCA，当点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标．18、如图，在平面直角坐标系中，过原点O及A（8，0）、C（0，6）作矩形OABC，连接AC，一块直角三角形PDE的直角顶点P始终在对角线AC上运动（不与A、C重合），且保持一边PD始终经过矩形点B，PE交x轴于点Q（1）＝；（2）在点P从点C运动到点A的过程中，的值是否发生变化？如果变化，请求出其变化范围，如果不变，请说明理由，并求出其值；（3）若将△QAB沿直线BQ折叠后，点A与点P重合，则PC的长为．19、在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC，连接OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连接DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连接EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．（1）如图1，当t＝3时，求DF的长．（2）如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的值．（3）连接AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值．20、如图①，已知点A（﹣1，0），B（0，﹣2），▱ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD的中点，双曲线y＝经过C、D两点．（1）求k的值；（2）点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标；（3）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图③），点T是边AF上一动点，M是HT 的中点，MN⊥HT，交AB于N，当点T在AF上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明．参考答案1、如图，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，点P是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BP，作PE⊥PB，交射线DC于点E，以线段PE，PB为邻边作矩形BPEF．过点P 作GH⊥CD，分别交AB、CD于点G、H．（1）求证：△PGB∽△EHP；（2）求的值；（3）求矩形BPEF的面积的最小值．1、【解答】（1）证明：∵∠PGB＝∠EHP＝∠BPE＝90°，∴∠PBG＝∠EPH（同角的余角相等），∴△PGB∽△EHP；（2）解：连接BE，∵PE⊥PB，∴∠BPE＝90°，∵∠BCE＝90°，∴∠BCE+∠BPE＝180°，∴P，B，E，C四点共圆，∴∠PBE＝∠PCE，在Rt△BPE与Rt△ADC中，∠D＝∠BP E＝90°，∠ACD＝∠PBE，∴Rt△BPE∽Rt△ADC，∴＝，即＝＝；（3）设AP的长为x．∵AD＝3，AB＝4，∴由勾股定理得到：AC＝＝＝5∵cos∠GAP＝＝＝，∴AG＝AP＝x．同理，sin∠GAP＝＝＝．则GP＝x．在Rt△PBG中，PB2＝BG2+PG2＝（4﹣x）2+（x）2＝x2﹣x+16，∵＝＝．∴PE＝PB，∴S矩形BPEF＝PB•PE＝PB2＝（x2﹣x+16）＝（x﹣）2+，∵0＜x＜5，∴x＝时，S有最小值．2、已知：如图，菱形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，且BE＝BF＝DH＝DG．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）已知∠B＝60°，AB＝6．请从A，B两题中任选一题作答，我选择A或B题．A题：当点E是AB的中点时，矩形EFGH的面积是9．B题：当BE＝2或4时，矩形EFGH的面积是8．2、【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝AD，∴∠A+∠B＝180°，∵BE＝BF＝DH＝DG，∴AE＝AH＝CF＝CG，∴∠AEH＝∠AHE＝（180°﹣∠A），∠BEF＝∠BFE＝（180°﹣∠B），∴∠AEH+∠BEF＝（180°﹣∠A）+（180°﹣∠B）＝90°，同法可证：∠EFG＝∠EHG＝90°，∴四边形EFGH是矩形．（2）解：A题：连接AC，BD交于点O．∵AE＝BE，∴AH＝DH，BF＝CF，CG＝GD，∴EF＝AC，EH＝BD，∵AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝6，∵OB⊥AC，∴OB＝3，BD＝2OB＝6，∴EF＝3，EH＝3，∴S矩形EFGH＝EF•EH＝9．故答案为9．B题：设BE＝x，则AE＝6﹣x，EF＝x，EH＝（6﹣x），由题意：x•（6﹣x）＝8，解得x＝4或2，∴BE＝2或4．故答案为A或B，9，2或4．3、在△ABC中，∠ABC＝90°，ABnBC=，M是BC上一点，连接AM．（1）如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN．（2）过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q．①如图2，若n＝1，求证：CP BMPQ BQ=．②如图3，若M是BC的中点，求证：∠BPQ ＝∠BAC．3、【解答】（1）证明：如图1中，延长AM交CN于点H．∵AM⊥CN，∴∠AHC＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠BAM+∠AMB＝90°，∠BCN+∠CMH＝90°，∵∠AMB＝∠CMH，∴∠BAM＝∠BCN，∵BA＝BC，∠ABM＝∠CBN＝90°，∴△ABM≌△CBN（ASA），∴BM＝BN．（2）①证明：如图2中，作CH∥AB交BP的延长线于H．∵BP⊥AM，∴∠BPM＝∠ABM＝90°，∵∠BAM+∠AMB＝90°，∠CBH+∠BMP＝90°，∴∠BAM＝∠CBH，∵CH∥AB，∴∠HCB+∠ABC＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABM＝∠BCH＝90°，∵AB＝BC，∴△ABM≌△BCH（ASA），∴BM＝CH，∵CH ∥BQ ， ∴＝＝．②简解：(射影定理)证2BM PM AM = 由BM =CM 得2CM PM AM = 则△PMC ∽△CMA 可得∠BPQ ＝∠BAC4、已知：矩形OABC 的顶点O 在平面直角坐标系的原点，边OA 、OC 分别在x 、y 轴的正半轴上，且OA ＝3cm ，OC ＝4cm ，点M 从点A 出发沿AB 向终点B 运动，点N 从点C 出发沿CA 向终点A 运动，点M 、N 同时出发，且运动的速度均为1cm /秒，当其中一个点到达终点时，另一点即停止运动．设运动的时间为t 秒．（1）当点N 运动1秒时，求点N 的坐标；（2）试求出多边形OAMN 的面积S 与t 的函数关系式；（3）t 为何值时，以△OAN 的一边所在直线为对称轴翻折△OAN ，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形？4、【解答】解：（1）∵t ＝1∴CN ＝1，AM ＝1 过N 作NE ⊥y 轴，作NF ⊥x 轴 ∴△CEN ∽△COA ，∴，即，∴EN ＝．（1分）由勾股定理得：，，∴．（2分）（2）由（1）得，∴∴N 点坐标为． ∵多边形OAMN 由△ONA 和△AMN 组成 ∴＝（3分）＝（4分） ∴多边形OAMN 的面积S ＝．（0≤t≤4）（5分）（3）①直线ON为对称轴时，翻折△OAN得到△OA′N，此时组成的四边形为OANA′，当AN＝A′N＝A′O＝OA，四边形OANA’是菱形．即AN＝OA，∴5﹣t＝3∴t＝2．（6分）②直线OA为对称轴时，翻折△OAN得到△OAN′，此时组成的四边形为ONAN′，连接NN′，交OA于点G．当NN′与OA互相垂直平分时，四边形ONAN′是菱形．即OA⊥NN′，OG＝AG＝，∴NG∥CO，∴点N是AC的中点，∴CN＝，∴（7分）③直线AN为对称轴时，翻折△OAN得到△O′AN，此时组成的四边形为ONO′A，连接OO’，交AN于点H．当OO′与AN互相垂直平分时，四边形ONO’A是菱形．即OH⊥AC，AH＝NH＝，由面积法可求得OH＝，在Rt△OAH中，由勾股定理得，AH＝．∴，∴．（8分）综上所述，t的值为．5、已知：如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝3cm，点P由B点出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s；点Q由A点出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为cm/s；若设运动的时间为t（s）（0＜t＜3），解答下列问题：（1）如图①，连接PC，当t为何值时△APC∽△ACB，并说明理由；（2）如图②，当点P，Q运动时，是否存在某一时刻t，使得点P在线段QC的垂直平分线上，请说明理由；（3）如图③，当点P，Q运动时，线段BC上是否存在一点G，使得四边形PQGB为菱形？若存在，试求出BG长；若不存在请说明理由．5、【解答】解：（1）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝3cm，∴AB＝6，由运动知，BP＝2t，AQ＝t，∴AP＝6﹣2t，∵△APC∽△ACB，∴，∴，∴t＝；（2）存在，理由：如图②，由运动知，BP＝2t，AQ＝t，∴AP＝6﹣2t，CQ＝3﹣t，∵点P是CQ的垂直平分线上，∴QM＝CM＝CQ＝（3﹣t）＝（3﹣t），∴AM＝AQ+QM＝t+（3﹣t）＝（t+3）过点P作PM⊥AC，∵∠ACB＝90°，∴PM∥BC，∴，∴∴t＝1（3）不存在，理由：由运动知，BP＝2t，AQ＝t，∴AP＝6﹣2t，假设线段BC上是存在一点G，使得四边形PQGB为平行四边形，∴PQ∥BG，PQ＝BG，∴△APQ∽△ABC，∴，∴，∴t＝，PQ＝，∴BP＝2t＝3，∴PQ≠BP，∴平行四边形PQGB不可能是菱形．即：线段BC上不存在一点G，使得四边形PQGB为菱形．6、如图，已知菱形ABCD中，AB＝5，点E是BC边上一点（不与B，C重合），以BE为边构造菱形BEFG，使点G落在AB的延长线上，连接BD，GE，射线FE交BD于点H．（1）求证：四边形BGEH是平行四边形；（2）请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择A题．A．若四边形BGEH为菱形，则BD的长为5．B．连接HC，CF，BF，若BD＝6，且四边形BHCF为矩形，则CF的长为3．6、【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，∴CD∥AG∥FH，BC∥GF，∠ABD＝∠ABC，∠BGE＝∠BGF，∴∠ABC＝∠BGF，∴∠ABD＝∠BGE，∴BH∥GE，∵EH∥BG，∴四边形BGEH是平行四边形；（2）解：A、∵四边形ABCD和四边形BGEH为菱形，∴AB＝AD，∠ABD＝∠CBD＝∠GBE＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝5；故答案为：A，5；B、如图所示：∵四边形BHCF为矩形，∴CE＝BE，∵EH∥BG，∴EH∥CD，∴EH是△BCD的中位线，∴BH＝BD＝3，∴CF＝3；故答案为：3；8、如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣4，2），点B在第一象限，AB平行于x轴且AB＝5．（1）点B的坐标为（1，2）．（2）如图1，过点A作AC⊥x轴于C，在x轴上是否存在点D，使得△AOC与△BOD 相似？（3）如图2，将△AOB折叠，使得点A刚好落在O处，此时折痕交AB于点D，交AO 于点E，在直线AO上有两个动点P，Q（点P在点Q的左侧），且线段PQ＝，求四边形BDPQ的周长最小值．7、【解答】解：（1）∵点A（﹣4，2），点B在第一象限，AB平行于x轴且AB＝5，∴点B（1，2），故答案为：B（1，2）；（2）如图1，过点B作BD⊥CO，则点D（1，0），∴OD＝1，BD＝2，∵AC⊥x轴，点A（﹣4，2），∴AC＝2，CO＝4，∴，且∠ACO＝∠ODB＝90°，∴△ACO∽△ODB，∴当点D为（1，0）时，△AOC与△BOD相似；∵△ACO∽△ODB，∴∠AOC＝∠OBD，∠CAO＝∠BOD，∵∠AOC+∠CAO＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝90°，∴AO⊥BO，∵AC＝2，CO＝4，∴AO＝＝＝2，∵OD＝1，BD＝2，∴OB＝＝＝，过点B作BD'⊥OB，交x轴于D'，∵∠ACO＝∠OBD'，∠BOD＝∠CAO，∴△ACO∽△OCD'，∴，∴OD'＝＝5，∴D'（5，0）综上所述：当点D为（1，0）或（5，0）时，△AOC与△BOD相似；（3）连接DO，∵将△AOB折叠，使得点A刚好落在O处，∴AD＝DO，∵DN2+ON2＝DO2，∴DN2+4＝（4﹣DN）2，∴DN＝，∴点D坐标（﹣，2），∴BD＝2+＝，∵四边形BDPQ的周长＝BD+PQ+PD+BQ＝++PD+BQ，∴当PD+BQ最小时，四边形BDPQ的周长有最小值，作点B关于AO的对称点B'（﹣1，﹣2），过点D作DH∥AO，且DH＝，∴H（，1），∴B'H为PD+BQ的最小值，∴B'H＝＝，∴四边形BDPQ的周长最小值＝++＝．8、如图1，已知四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点M是BC边的中点，过点M作ME∥AC交BD于点E，作MF∥BD交AC于点F．（1）如图2，若四边形ABCD是菱形，求证：四边形OEMF是矩形；（2）如图3，若四边形ABCD是矩形，则四边形OEMF是菱形（在横线上填一个特殊平行四边形的名称）（3）如图4，若四边形ABCD是矩形，点M是BC延长线上的一个动点，点F落在AC的延长线上，点E落在线段OD上，其余条件不变，写出OB，ME，MF三条线段之间存在的数量关系，并说明理由．8、【解答】证明：（1）如图2，∵ME∥AC，MF∥BD，∴四边形OEMF是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC=90°，∴▱OEMF是矩形；（2）如图3，若四边形ABCD是矩形，则四边形OEMF是菱形，理由是：由（1）得：四边形OEMF是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OB=BD，OC=AC，AC=BD，∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵EM∥OC，∴∠EMB=∠OCB，∴∠EMB=∠OBC，∴BE=EM，∵BM=MC，EM∥OC，∴BE=OE，∴OE=EM，∴▱OEMF是菱形；故答案为：菱形；（3）如图4，ME=OB+MF，理由是：由（2）得：OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵MF∥BE，∴∠OBC=∠BMF，∴∠OCB=∠BMF，∵∠OCB=∠FCM，∴∠FCM=∠BMF，∴FC═FM，由（1）得四边形OEMF是平行四边形，∴OF=EM，∵OF=OC+FC=OB+FM，∴ME=OB+MF．9、如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD折叠，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G．（1）求证：BG＝DG；（2）求C′G的长；（3）如图2，再折叠一次，使点D与A重合，折痕EN交AD于M，求EM的长．9、【解答】解：（1）∵沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，∴∠A＝∠C′，AB＝C′D，∴在△GAB和△GC′D中，，∴△GAB≌△GC′D（AAS），∴BG＝DG；（2）∵△GAB≌△GC′D，∴AG＝C′G，设C′G＝x，则GD＝BG＝8﹣x，∴x2+62＝（8﹣x）2，解得：，∴；（3）∵点D与点A重合，得折痕EN，∴DM＝4cm，∵AD＝8cm，AB＝6cm，∴在Rt△ABD中，BD＝10cm，∵EN⊥AD，AB⊥AD，∴EN∥AB，∴MN是△ABD的中位线，∴DN＝BD＝5cm，在Rt△MND中，MN＝＝3（cm），由折叠的性质可知∠NDE＝∠NDC，∵EN∥CD，∴∠END＝∠NDC，∴∠END＝∠NDE，∴EN＝ED，设EM＝x，则ED＝EN＝x+3，由勾股定理得ED2＝EM2+DM2，即（x+3）2＝x2+42，解得x＝，即EM＝cm．10、如图（1）是矩形纸片ABCD连续两次对折展开平铺后的图形，折痕分别为EF，MN，GH．（1）如图（2），连接BD，与折痕GH，EF，MN分别交于点S，O，T，求证：OE=OF；（2）如图（3），连接ET并延长交CD于点Q，连接FS并延长交AB于点P，连接EP，FQ．求证：四边形EPFQ是菱形；（3）若四边形EPFQ是正方形，则矩形ABCD需满足的条件是AB=AD．11、【解答】证明：（1）如图（2），∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，由折叠得：G、E、M将AD四等分，∴ED=BF，∵∠EOD=∠FOB，∴△EOD≌△FOB，∴OE=OF；（2）由（1）得：△EOD≌△FOB，∴OD=OB，连接AC，∴A、O、C共线，∵GT∥EO，∴=1，∴DT=OT，∵AE=ED，OT=DT，∴ET∥AC，ET=AO，即EQ∥AC，同理得：TQ=OC，∴EQ=AC，同理得：PF=AC，PF∥AC，∴PF=EQ，PF=EQ，∴四边形EPFQ是平行四边形，∵PF∥AC，F是BC的中点，∴P为AB的中点，同理得：Q为DC的中点，∴AP=QD=AB，∵AE=AD，∠BAD=∠ADC=90°，∴△APE≌△DQE，∴PE=EQ，∴▱EPFQ是菱形．（3）当AB=AD时，四边形EPFQ是正方形，理由是：∵E是AD的中点，P是AB的中点，∴AE=AD，AP=AB，∵AB=AD，∴AP=AE，∴△APE是等腰直角三角形，∴∠AEP=45°，同理∠QED=45°，∴∠PEQ=90°，由（2）得：四边形EPFQ是菱形，∴四边形EPFQ是正方形；故答案为：AB=AD．12、如图1，在正方形ABCD的外部，分别以AB，CD为边作菱形ABEF和菱形CDGH，连接EH，FG（1）求证：FG=EH（2）请从A，B两个题目中任选一题作答A 如图2，若AB=4，∠BAF=60°，∠CDG=30°，求四边形AFGD的面积B 如图3，若∠BAF=∠CDG，求证；四边形EFGH是矩形12、【解答】解：（1）∵AB，CD为边作菱形ABEF和菱形CDGH，∴EF∥AB，EF=AB，HG∥CD，HG=CD，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB=CD，∴EF∥HG，EF=HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∴FG=EH；（2）A、如图2，延长FA，GD交于M，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠ADC=90°，∴∠BAF+∠DAM=90°，∠CDG+∠ADM=90°，∵∠BAF=60°，∠CDG=30°，∴∠DAM=30°，∠ADM=60°，∴∠ADM=180°﹣∠DAM﹣∠ADM=90°在Rt△ADM中，∠DAM=30°，AD=4，∴DM=AD=2，AM=2，∵AF=DG=4，∴FM=AF +AM=4+2，MG=MD +DG=6，∴S 四边形AFGD =S △FMG ﹣S △MAD=×FM ×GM ﹣×AM ×DM=×（4+2）×6﹣×2×2=12+4，B 、方法1、如图3．连接FD ，AG （简化图），∵∠BAF=∠CDG ，∴∠DAF=∠ADG在△ADF 和△ADG 中，，∴△ADF ≌△ADG ，∴∠ADF=∠DAG ，DF=AG ，∴∠ADF=（180°﹣∠AOD ）在△AFG 和△DGF 中，， ∴△AFG ≌△DGF ，∠AGF=∠DFG ，∴∠DFG=（180°﹣∠FOG ）∵∠FOG=∠AOD ，∴∠ADF=∠DFG ，∴AD ∥FG ，∵AB ⊥AD ，∴AB ⊥FG ，∵AB ∥EF ，∴EF ⊥FG ，∴∠EFG=90°，由（1）知，四边形EFGH 为平行四边形，∴平行四边形EFGH 是矩形，即：四边形EFGH是矩形．方法2、延长FA，GD交于M，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠ADC=90°，∵∠BAF=∠CDG，∴∠MAD=∠MDA，∴MA=MD，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∵四边形ABEF，CDGH是菱形，∴MF=MG，∠AFE=∠DGH，∴∠EFG=∠HGF，由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，∴∠AFE+∠HGF=180°，∴∠EFG=90°，∴平行四边形EFGH是矩形．13、问题情境：如图1，在菱形ABCD中，点E、F分别为AB，BC边上的点，连接AF，DE相交于点O，且∠AOE=∠ADC，试探究：AF与DE的数量关系．特例探究：如图2，当菱形ABCD是正方形时，AF与DE有怎样的数量关系呢？请你直接写出结论，不必证明；类比解答：类比特例探究的结论，猜想问题情境中AF与DE的数量关系，并说明理由；拓展延伸：将图1中的菱形ABCD改为▱ABCD（如图3）其中AB=a，AD=b，点E、F、G、H 分别为AB、BC、CD、DA边上的动点，连接EG、HF相交于点O，且∠HOE=∠ADC，试探究：EG与FH的数量关系，用含a、b的式子直接写出的值，不必说明理由．13、【解答】解：（1）特例探究：AF=DE．理由：如图2，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BA，∠DAE=∠B=90°，∵∠AOE=∠ADC=90°，∴∠ADE+∠DAO=∠BAF+∠DAO=90°，∴∠ADE=∠BAF，∴在ADE和△BAF中，，∴△ADE≌△BAF（ASA），∴AF=DE；（2）类比解答：AF与DE的数量关系为AF=DE．理由：如图1，在AB上取点M使得DM=DA，连接DM，交AF于N，则∠DAM=∠DMA，DM=AD=AB，∵∠DAB+∠B=180°，∠DMA+∠DME=180°，∴∠DME=∠B，∵∠AOE=∠ADC，∴∠ADO+∠DAO=∠ADO+∠CDO，∴∠DAO=∠CDO，又∵CD∥AB，AD∥BC，∴∠CDO=∠MED，∠DAO=∠BFA，∴∠MED=∠BFA，在△MED和△BFA中，，∴△MED≌△BFA（AAS），∴AF=DE；（3）拓展延伸：=．如图3，过G作GM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，DC∥AB，∵平行四边形ABCD的面积=AB×GM=BC×HN，∵AB=a，AD=b，∴=，∵GM⊥AB，HN⊥BC，∴∠GME=∠HNF=90°，∵∠ADC=∠HOE，∴∠ADC+∠HOG=∠EOH+∠HOG=180°，∴∠DHO+∠DGE=360°﹣180°=180°，∵AD∥BC，DC∥AB，∴∠NFH=∠DHF，∠DGE+∠GEM=180°，∴∠HFN=∠GEM，∴△GME∽△HNF，∴==．14、问题情境：已知，菱形ABCD，点B关于直线AD的对称点为点E，连接AE、CE，线段CE交直线AD于点F，连接BF．（1）特例研究：如图1，当∠ABC=90°时，点A、B、E在同一条直线上，求证：BF=CE．（2）类比思考：请从下列A、B两题中任选一题作答：我选择A或B题．当90°＜∠ABC＜180°时，小彬提出如下问题：A、若点E、D、C三点在同一直线上，请在下面画出符合条件的图形，并直接写出∠ABC的度数；B、如图2，若点E、D、C三点不在同一直线上，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，说明理由．（3）拓展分析：请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择A或B题．A：如图3，当∠ABC=135°时，CD的延长线交AE于点G，直接写出的值；B：当∠ABC=45°时，直线AE与CD相交于点G，请在下面画出符合条件的图形，并直接写出的值．14、【解答】解：（1）如图1中，∵∠ABC=90°，四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是正方形，根据对称性可知，AE=AB，BE⊥AD，∴B、A、E共线，∵AF∥BC，∴EF=FC，∴BF=EC．（2）A、如图2中，当E、D、C共线时，由（1）可知：DE=DC，∵EB⊥AD，AD∥BC，∴EB⊥BC，∴∠EBC=90°，∴BD=DC=DE=CB，∴△BDC是等边三角形，∴∠C=60°，∵AB∥CD，∴∠ABC=180°﹣60°=120°．B、（1）中结论成立．理由如下：如图3中，设BE交AD于H．∵B、E关于AD对称，∴BE⊥AD，EH=BH，∵AD∥BC，∴BE⊥BC，∴∠EBC=90°，∵EH=HB，HF∥BC，∴EF=FC，∴BF=EC．故答案为A或B．（3）A、如图4中，作FH⊥CD于H．∵∠ABC=135°，AD∥BC，∴∠EAF=∠BAF=45°，∠ADC=135°，∠ADG=45°，∴∠AGD=90°，∵∠FHC=90°，∴∠FHC=∠EGC=90°，∴FH∥FG，∵FE=FC，∴HC=HG，∴FH=EG，∵△DFH是等腰直角三角形，∴DF=FH，∴EG=DF，∴=．B、如图5中，作FH⊥CD于H．同法可证：EG=2FH，DF=FH，∴=．故答案为A或B．15、阅读下列材料，完成任务：自相似图形定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．任务：（1）图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为；（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的相似比为；（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）．请从下列A、B两题中任选一条作答：我选择A或B题．A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=（用含b的式子表示）；②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=（用含n，b的式子表示）；B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=或（用含b的式子表示）；②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=b 或b（用含m，n，b的式子表示）．15、【解答】解：（1）∵点H是AD的中点，∴AH=AD，∵正方形AEOH∽正方形ABCD，∴相似比为：==；故答案为：；（2）在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，根据勾股定理得，AB=5，∴△ACD与△ABC相似的相似比为：=，故答案为：；（3）A、①∵矩形ABEF∽矩形FECD，∴AF：AB=AB：AD，即a：b=b：a，∴a=b；故答案为：②每个小矩形都是全等的，则其边长为b和a，则b：a=a：b，∴a=b；故答案为：B、①如图2，由①②可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等，∴DN=b，Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，∵矩形FMND∽矩形ABCD，∴FD：DN=AD：AB，即FD：b=a：b，解得FD=a，∴AF=a﹣a=a，∴AG===a，∵矩形GABH∽矩形ABCD，∴AG：AB=AB：AD即a：b=b：a得：a=b；Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，∵矩形DFMN∽矩形ABCD，∴FD：DN=AB：AD即FD：b=b：a解得FD=，∴AF=a﹣=，∴AG==，∵矩形GABH∽矩形ABCD，∴AG：AB=AB：AD即：b=b：a，得：a=b；故答案为：或；②如图3，由①②可知纵向m块矩形全等，横向n块矩形也全等，∴DN=b，Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，∵矩形FMND∽矩形ABCD，∴FD：DN=AD：AB，即FD：b=a：b，解得FD=a，∴AF=a﹣a，∴AG===a，∵矩形GABH∽矩形ABCD，∴AG：AB=AB：AD即a：b=b：a得：a=b；Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，∵矩形DFMN∽矩形ABCD，∴FD：DN=AB：AD即FD：b=b：a解得FD=，∴AF=a﹣，∴AG==，∵矩形GABH∽矩形ABCD，∴AG：AB=AB：AD即：b=b：a，得：a=b；故答案为：b或b．16、综合与实践问题情境：正方形折叠中的数学已知正方形纸片ABCD中，AB＝4，点E是AB边上的一点，点G是CE的中点，将正方形纸片沿CE所在直线折叠，点B的对应点为点B′．（1）如图1，当∠BCE＝30°时，连接BG，B′G，求证：四边形BEB′G是菱形；深入探究：（2）在CD边上取点F，使DF＝BE，点H是AF的中点，再将正方形纸片ABCD沿AF 所在直线折叠，点D的对应点为D′，顺次连接B′，G，D′，H，B'，得到四边形B′GD′H．请你从A，B两题中任选一题作答，我选择A或B题．A题：如图2，当点B'，D′均落在对角线AC上时，①判断B′G与D′H的数量关系与位置关系，并说明理由；②直写出此时点H，G之间的距离．B题：如图3，点M是AB的中点，MN∥BC交CD于点N，当点B'，D′均落在MN上时，①判断B′G与D′H的数量关系与位置关系，并说明理由；②直接写出此时点H，G之间的距离．16、【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，由折叠可知：BE＝BE′，∠CB′E＝∠ABC＝90°，在Rt△BCE和Rt△ECB′中，∵EG＝GC，∴BG＝EC，GB′＝EC，∴BG＝GB′，在Rt△BCE中，∵∠BCE＝30°，∴BE＝CE，∴BE＝EB′＝B′G＝BG，∴四边形BEB′G是菱形．（2）选A或B．故答案为A或B．A题：①结论：B′G＝D′H，B′G∥D′H．理由：如图2中，由（1）得到：B′G＝CE，∵点G是CE的中点，∴CG＝CE，∴B′G＝CG，∴∠1＝∠2，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠D＝90°，AD＝BC，∵BE＝DF，∴△BCE≌△ADF（SAS），∴CE＝CF，∠3＝∠4，由折叠可知：∠D＝∠AD′F＝90°，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∴∠2＝∠5＝∠1，在Rt△AD′F中，∵H是AF的中点，∴D′H＝AH＝AF，∴B′G＝D′H，∠5＝∠6，∴∠1＝∠6，∴B′G∥D′H．②连接GH，则四边形AEGH是平行四边形，∴AE＝GH，设BE＝EB′＝m，则AE＝m，∴m+m＝4，∴m＝4﹣4，∴GH＝AE＝8﹣4B题：①结论：B′G＝D′H，B′G∥D′H．理由：由（1）得到：B′G＝CE，∵点G是CE的中点，∴CG＝CE，∴B′G＝CG，∴∠1＝∠2，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠D＝90°，AD＝BC，AD∥BC，∵BE＝DF，∴△BCE≌△ADF（SAS），∴CE＝CF，∠3＝∠4，由折叠可知：∠D＝∠AD′F＝90°，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∴∠2＝∠5＝∠1，在Rt△AD′F中，∵H是AF的中点，∴D′H＝AH＝AF，∴B′G＝D′H，∠5＝∠6，∴∠1＝∠6，∵MN∥BC，∴MN∥BC∥AD，∴∠AD′M＝∠DAD′＝2∠4，∠CB′N＝∠BCB′＝2∠3，∴∠AD′M＝∠CB′N，。

北师大版九年级上册数学期末复习基础训练题

北师大版九年级上数学期末复习基础训练题(四)一、选择题(本大题共13小题)1.已知2x ＝3y ，则下列比例式成立的是( )A.x 2＝3yB.x ＋y y ＝43C.x 3＝y2 D.x ＋y x ＝35 2．sin30°的值为( ) A ．12B ．32C ．22D ．333．已知△ABC 如图，则下列4个三角形中，与△ABC 相似的是( )A ．B ．C ．D ．4.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列关系式错误的是( ) A.a ＝b tan A B.b ＝c cos A C.a ＝c sin A D.c ＝bsin A5.已知点A (－2,y 1)， B (－1,y 2)在函数 y ＝3x 的图象上，则y 1与y 2的大小关系是( )A.y 1＞y 2B.y 1＜y 2C.y 1＝y 2D.无法确定6．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cos α＝1213，则小车上升的高度是( ) A ．5米B ．6米C ．6.5米D ．12米7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝3，AC ＝10，则S △ABC 等于( ) A ．3B ．300C ．503D ．150 8.如图，无法保证△ADE 与△ABC 相似的条件是( ) A.∠1＝∠CB.∠A ＝∠CC.∠2＝∠BD.AD AC ＝AEAB9．反比例函数y ＝kx (k ＞0)在第一象限内的图象如图，点M 是图象上一点，MP 垂直x 轴于点P ，如果△MOP 的面积为1，那么k 的值是( )A ．1B ．2C ．4D ． 210．抛物线y ＝﹣(x ﹣2)2﹣1的顶点坐标是( )A ．(﹣2，1)B ．(﹣2，﹣1)C ．(2，1)D ．(2，﹣1)11．如图，在⊙O 中，弦AC 与半径OB 平行，若∠BOC ＝50°，则∠B 的大小为( ) A ．25° B ．30° C ．50° D ．60°12.如图，点D (0，3)，O (0，0)，C (4，0)在⊙A 上，BD 是⊙A 的一条弦，则sin ∠OBD 等于( )A.12B.34C.45D. 3513．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图，则反比例函数y ＝a x 与一次函数 y ＝bx ＋c 在同一直角坐标系中的大致图象是( )二、填空题(本大题共9小题)14.如图，圆O 是△ABC 的外接圆，∠A ＝68°，则∠OBC 的度数是．15．计算：tan45°﹣2cos60°＝．16．抛物线y ＝﹣x 2﹣2x ＋3与x 轴交点为．17．如图，点D (0，3)，O (0，0)，C (4，0)，B 在⊙A 上，BD 是⊙A 的一条弦．则sin ∠OBD ＝．18．电杆AB 与木棒CD 都垂直于地面，且相距4米，某一时刻电杆的影子BE 与木棒的影子CE 的顶端重合于点E ，现测得木棒 CD 长1.2米，它的影长CE 为1米，则电杆AB 的高度是米19．一个扇形的圆心角是120°，面积为3πcm2，那么这个扇形的半径是．20．已知抛物线y＝x2－4x＋m与x轴交于A、B两点，若A的坐标是(﹣1，0)，则B的坐标是．21．如图，直角坐标平面内，小明站在点A(﹣10，0)处观察y轴，眼睛距地面1.5米，他的前方5米处有一堵墙DC，若墙高DC＝2米，则y轴上OE的长度为米．22．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，下列结论：①二次三项式ax2＋bx＋c的最大值为4；②4a＋2b＋c＜0；③一元二次方程ax2＋bx＋c＝1的有两个不相等的实数根；④当x≥0时．y≤3;其中正确的是__________；三、解答题(本大题共5小题，共50分)23.计算：（1）sin245°－27＋12×(3－2020)0＋4cos30°＋(12)－1（2）tan260°﹣2cos60°﹣sin45°24.如图所示，在塔AB前的平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为30°，从C点向塔底走100米到达D点，测出看塔顶的仰角为45°，求塔AB的高．25．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件。

6章末复习-2024-2025学年初中数学九年级上册(北师版)上课课件

y2）和 C（3，y3）都在反比例函数
y
k
x
的图象上，比
较 y1，y2与y3的大小.
k
k
解：由题意得 y1 －，y2 －k，y3
2
3
当k＞0时， y3＞y1＞y2，
当k＜0时， y2＞y1＞y3.
k 的几何意义：反比例函数图象上的点 (x，y) 具有
两坐标之积 (xy＝k) 为常数这一特点，即过双曲线上任
意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围
成的矩形的面积为常数 |k|.
规律：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线
，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为
||
常数
．
2
3. 反比例函数的应用
比例函数，其中 x 是自变量，y 是 x 的函数，k 是比例
系数．
k
三种表达方法：y 或 xy=k 或 y=kx－1(k≠0)．
x
注意：(1)k≠0；(2)自变量x≠0；(3)函数y≠0.
2.反比例函数的图象和性质
k
（1）反比例函数的图象：反比例函数 y (k≠0)的
x
图象是双曲线，它既是轴对称图形，又是中心对称图形.
6 章末复习
初中数学
九年级上册 BSD
知识梳理
概念
反
比
例
函
数

一般地，形如 = ( k 为常
数，k≠0)的函数，叫做反比例
函数
表达式求法
待定系数法
形状
反
比
例
函
数
特征
图
象
画法
位置
双曲线
双曲线的两个分支无限接近坐
标轴，但永远不与坐标轴相交

北师大版数学九年级上册全册复习PPT课件

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5．矩形的判定 (1)有一个角是直角的__平__行__四__边__形___是矩形； (2)有三个角是直角的___四__边__形____是矩形； (3)对角线相等的__平__行__四__边__形____是矩形．
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10
6．正方形的性质
(1)正方形的对边平__行_______； (2)正方形的四边_相__等______；
(3)正方形的四个角都是_直__角_____； (4)正方形的对角线相等、互相垂直、互相平分，每条对角线平分一组对角；
(5)正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴有 ___四_____条，对称中心是对角线的交点．
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11
7．正方形的判定
(1)有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形；
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方法技巧正方形是一种特殊的四边形，它里面隐含着许多线段之间的关系或角之间的关系，我们要充分利用正方形的特性，结合图形大胆地探索、归纳、验证即可使问题获解.
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第二章一元二次方程
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┃知识归纳┃
1．一元二次方程
只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为
ax2＋bx＋c＝0
(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的
(1)由于菱形是平行四边形，所以菱形的面积＝底×高；
(2)因为菱形的对角线互相垂直平分，所以其对角线将菱形分成4个全等的三角形，故菱形的面积等于两对角线乘积的一半．
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4．矩形的性质 (1)矩形的对边_平__行__且__相__等______； (2)矩形的对角__相__等_______； (3)矩形的对角线__互__相__平__分____、__相__等______；