2018年秋高中数学 课时分层作业23 基本不等式 新人教A版必修5
[K12配套]2017_2018学年高中数学课时作业20基本不等式新人教A版必修5
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C．2abD．a＋b
解析：因为a，b∈(0,1)，所以a2<a，b2<b，
所以a2＋b2<a＋b，又a2＋b2>2ab(因为a≠b)，
所以2ab<a2＋b2<a＋b.
又因为a＋b>2 (因为a≠b)，所以a＋b最大．故选D.
答案：D
5．设a，b为正数，且a＋b≤4，则下列各式中正确的一个是()
当且仅当 ＝ ，即a＋b＝c时，取等号．
所以(a＋b＋c)· ≥4.
10．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：
(1)ab＋bc＋ac≤ ；
Hale Waihona Puke (2) ＋ ＋ ≥1.证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1，
当x，y异号时，③不正确；
当x＝y时， ＝xy，④不正确；
当x＝1，y＝－1时，⑤不正确．
答案：②
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．设a，b，c为正实数，求证：(a＋b＋c)· ≥4.
证明：因为a，b，c为正实数，
所以(a＋b＋c)·
＝[(a＋b)＋c]
＝1＋ ＋ ＋1≥2＋2 ＝2＋2＝4.
3．若a＋b＝1，恒有()
A．ab≤ B．ab≥
C．a2b2≤16 D．以上均不正确
解析：因为a＋b＝1>0，
所以a，b中至少有一个为正数．
故当a，b中有一个是负数或0时，显然有ab≤0< ；
当a，b均为正数时，有1＝a＋b≥2 ，
所以ab≤ .
答案：A
4．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，下列各式中最大的是()
【高考数学】2018最新版本人教版高二数学必修5课件：3.4基本不等式(23课时) (专题拔高配套PPT课件)
1.利用基本不等式解决简单的最大值、最小值 问题.（重点）
2.熟练掌握基本不等式及变形的应用（重点）
探究点1
基本不等式在求最值中的应用
例1
(1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜
园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱
笆最短.最短的篱笆是多少？ 【解题关键】设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
【小测】
（1）已知一个矩形面积为144m2，设该矩形的长为X,
宽为y，则XY= 144 ，矩形的周长为 2（x+y） .当周长
取最小时，X= 12 ，Y= 12 ,此时周长= 48
（2）已知一个矩形周长为36，设该矩形长为X，宽为 Y，当X= 面积为 9 81 . ,Y=
9
,该矩形面积最大，最大
例2 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其 容积为4 800 m3,深为3 m.如果池底每平方米的造 价为150元, 池壁每平方米的造价为120元,怎样设 计水池能使总造价最低?最低总造价是多少? 【解题关键】水池呈长方体形， 高为3 m,底面的长与宽没有确 定. 如果底面的长与宽确定了， 水池总造价也就确定了.因此
1 1 y有最大值，ymax . 当且仅当 3x = 1-3x ，即 x 时， 6 12
【规律总结】 合理地拆分转化，构造和为定值或积为定
值，并利用基本不等式的条件来求解，是解决
此类问题的关键.
3.整体代换型
已知x>0,y>0,且2x+y=1,求
【解析】设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则 2(x + y)= 36, x+ y=18， 矩形菜园的面积为xy m2 .
x y 18 因为 xy 9，得xy 81. 2 2
高中数学基本不等式 同步练习(一)新人教版必修5(A)
基本不等式 同步练习(一)选择题1、下列函数中，最小值为4的函数是（ ）A 、x x y 4+=B 、)0(sin 4sin π x xx y += C 、x x e e y -+=4 D 、81log log 3x x y +=2、已知正数y x ，满足194=+yx ，则xy 有（ ） A 、最小值12 B 、最大值12 C 、最小值144 D 、最大值1443、设*N n z y x ∈， ，且zx n z y y x -≥-+-11恒成立，则n 的最大值是（ ）A 、2B 、3C 、4D 、54、一批货物随17列货车从A 市以v km/h 匀速直达B 市，已知两地间铁路线长为400 km ，为了安全，两列货车间的间距不得小于220⎪⎭⎫ ⎝⎛v km ，那么这批货物全部运到B 市最快需要（ ）A 、6 hB 、8 hC 、10 hD 、12 h5、若)2lg()lg (lg 21lg lg 1b a R b a Q b a P b a +=+=⋅=，，， ，则（ ） A 、Q P R B 、R Q P C 、R P Q D 、Q R P6、若a ，b 是任意实数，且a b >，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．22a b >B ．1>ab C ．1<ba D ．0)(3>-ab 7、Rc b a ∈,,且b a >，则下列各式中恒成立的是（ ）A ．c b c a ->+B ．bc ac >C ．02>-ba c D ．0)(2≥-cb a 8、若b a >、dc >，那么（ ）A ．d b c a ->-B ．bd ac >C ．c b d a ->-D ．cd b a > 9、给定0>>b a ，R d ∈，下列各式中不正确的是（ ）A ．2b ab >B ．c b c a +>+C ．b a >D ．bc ac >解答题10．已知0,0,0>>>c b a ，求证：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．11．已知a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：)()()()(2222222b a c a c b c b a c b a +++++>++．12．已知a ，b ，c 都是正数，且1=++c b a ，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥---．答案：1、C2、C3、C4、B5、B6、D7、D8、C9、D10、证明略 11、证明略 12、证明略。
高中数学人教A版·必修5(有详解答案)：课时作业23：基本不等式
课时作业23 基本不等式时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分) 1．下列选项中正确的是( ) A ．当a ，b ∈R 时，a b ＋ba ≥2a b ×b a ＝2B ．当a >1，b >1时，lg a ＋lg b ≥2lg a lg bC ．当a ∈R 时，a ＋9a ≥2a ×9a ＝6D ．当ab <0时，－ab －1ab ≤－2解析：选项A 中，可能ba <0，所以A 不正确； 选项C 中，当a <0时，a ＋9a <0，所以C 不正确； 选项D 中，当ab <0时，－ab >0，－1ab >0， 则－ab －1ab ≥2，当且仅当－ab ＝－1ab ，即ab ＝－1时取等号，所以D 不正确； 很明显，选项B 中当a >1，b >1时，lg a >0，lg b >0， 则lg a ＋lg b ≥2lg a lg b 成立，所以B 正确． 答案：B2．设a >b >0，下列不等式中不正确的是( ) A ．ab <a 2＋b 22B ．ab <(a ＋b 2)2C.2ab a ＋b>ab D.ab >2aba ＋b解析：2ab a ＋b <2ab2ab ＝ab .答案：C3．设x 是实数，且满足等式x 2＋12x ＝cos θ，则实数θ等于( ) A ．2k π(k ∈Z ) B ．(2k ＋1)π(k ∈Z ) C ．k π(k ∈Z )D.12k π(k ∈Z ) 解析：若x >0，由x 2＋12x ≥2x 2×12x ＝1当且仅当x ＝1时取等号， ∴cos θ＝1.同理，当x ＝－1时，cos θ＝－1. ∴cos θ＝±1，∴θ＝k π(k ∈Z )． 故选C. 答案：C4．已知a >0，b >0，a ＋b ＝4，则下列各式中正确的不等式是( ) A.1a ＋1b ≤14 B.1a ＋1b ≥1 C.ab ≥2D.1ab ≥1解析：由a >0，b >0，知a ＋b2≥ab . 又a ＋b ＝4，∴ab ≤4，∴1ab ≥14. ∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab ≥1，即1a ＋1b ≥1. 答案：B5．如果0<a <b 且a ＋b ＝1，那么下列四个数中最大的是( ) A.12 B ．b C ．2abD ．a 2＋b 2解析：由0<a <b 且a ＋b ＝1知，b >12，ab <a 2＋b 22，于是ab <ab ＋a 2＋b 222＝(a ＋b 2)2＝14，2ab <12.由b >12，2ab >a ，于是b >a ＋b －2ab ＝1－2ab ＝(a ＋b )2－2ab ＝a 2＋b 2.答案：B6．已知f (x )＝(12)x ，a ，b ∈R ＋，A ＝f (a ＋b 2)，G ＝f (ab )，H ＝f (2ab a ＋b )，则A ，G ，H 的大小关系是( )A ．A ≤G ≤HB ．A ≤H ≤GC ．G ≤H ≤AD ．H ≤G ≤A解析：∵a >0，b >0，∴a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b ＝2ab a ＋b.又∵函数f (x )＝(12)x是减函数，∴A ≤G ≤H .故选A.答案：A二、填空题(每小题8分，共计24分)7．若x >0，则5－2x －1x 有________值是________． 解析：∵x >0，∴2x ＋1x ≥22x ·1x ＝22，当且仅当x ＝22时等号成立．∴5－2x －1x ≤5－2 2. 答案：最大 5－2 28．若a >1,0<b <1，则log a b ＋log b a 的取值范围是________．解析：∵a >1,0<b <1，∴log a b <0，log b a <0，∴－(log a b ＋log b a )＝(－log a b )＋(－log b a )≥2，∴log a b ＋log b a ≤－2.答案：(－∞，－2]9．函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn >0)上，则1m ＋1n 的最小值为________．解析：由题意知A (1,1)，∴m ＋n ＝1， ∴1m ＋1n ＝(1m ＋1n )(m ＋n )＝2＋n m ＋mn ≥4， 当且仅当m ＝n 时“＝”成立． 答案：4三、解答题(共计40分)10．(10分)判断下列各式的正误，并说明理由． (1)f (x )＝12x ＋3x 的最小值为12； (2)x >0时，函数f (x )＝1x 2＋2x ≥21x 2·2x ＝22x，∴当且仅当x 2＝2x 即x ＝2时，取最小值；(3)x >0时，x ＋1x ＋1x ＋1x的最小值为2.解：(1)错误．∵x 的正负不知，所以分x >0与x <0两种情况进行讨论． 当x >0时， f (x )＝12x ＋3x ≥212x ×3x ＝12，当且仅当12x ＝3x ，即x ＝2时，等号成立， ∴x >0时， f (x )有最小值12.x <0时， f (x )＝12x ＋3x ＝－[－12x ＋(－3x )]． ∵－12x ＋(－3x )≥2(－12x )·(－3x )＝12，∴f (x )≤－12，当且仅当x ＝－2时等号成立． ∴当x <0时， f (x )有最大值－12. (2)错误．∵1x 2·2x 不为定值(常数)， ∴x ＝2时， f (x )取不到最小值． (3)错误．等号当且仅当x ＋1x ＝1x ＋1x即(x ＋1x )2＝1时成立，又x >0，∴x ＋1x ＝1，即x 2－x ＋1＝0，此方程无解， ∴等号取不到，应该有x ＋1x ＋1x ＋1x>2.11．(15分)已知a ，b ，c 均为正数，a ，b ，c 不全相等．求证：bc a ＋ac b ＋abc >a ＋b ＋c .证明：∵a >0，b >0，c >0， ∴bc a ＋ac b ≥2abc 2ab ＝2c ，ac b ＋ab c ≥2a 2bcbc ＝2a ，bc a ＋ab c ≥2bc a ·abc ＝2b .又a ，b ，c 不全相等，故上述等号至少有一个不成立．∴bc a ＋ac b ＋abc >a ＋b ＋c .12．(15分)已知函数f (x )＝lg x (x ∈R ＋)，若x 1，x 2∈R ＋，比较12[f (x 1)＋f (x 2)]与f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22的大小，并加以证明． 解：12[f (x 1)＋f (x 2)]≤f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22. ∵f (x 1)＋f (x 2)＝lg x 1＋lg x 2＝lg(x 1x 2)，f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝lg x 1＋x 22， 又∵x 1，x 2∈R ＋，x 1x 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222， ∴lg(x 1x 2)≤lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222. ∴12lg(x 1x 2)≤lg x 1＋x 22. 即12(lg x 1＋lg x 2)≤lg x 1＋x 22.∴12[f (x 1)＋f (x 2)]≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22， 当且仅当x 1＝x 2时，等号成立．。
2018秋新版高中数学人教A版必修5：第三章不等式 3.4.1
(3)几何意义:弦长的一半不大于半径.如图所示,AC=a,CB=b,则
OD=
������+������ 2
,
������������
=
������������
=
1 2
������������,
则������������≤OD.
(4)变形:ab≤
������+������ 2
2
, ������ + ������ ≥ 2
=
1 2
log1(������
2
+
������),
那么������,
������,
������的大小顺序是(
).
A.P>Q>M B.Q>P>M C.Q>M>P D.M>Q>P
解析:因为 P=log1 ������+������ ,
22
Q= 1 (log1������ + log1������) = log1 ������������,
又 a+b>2
������������ > 0, ∴ 2 ������������ < 1,
������+������
由于 ������������ > 0, 两边同乘 ������������,
得
2 ������
������������ + ������
·
������������
<
������������,
2
2
所以 ������ + ������ > ������+������ > ������������. 而y=log1������在(0,+∞)上为减函数,
高中数学必修5课时作业：第3章不等式23
1 y＝log 2( x＋x＋ 6) 的最小值为
________．
8．若实数 x、 y 满足 x2＋ y2＋ xy＝ 1，则 x＋ y 的最大值是 ________．
x
9．若对任意
x＞
0，
x2＋
3x＋
≤ 1
a
恒成立
，则 a 的取值范围是
________ ．
三、解答题： ( 共 35 分，其中第 10 小题 11 分，第 11、 12 小题各 12 分)
x
1
为 x＞ 0，所以 y＝ x2＋ 3x＋ 1＝ 1 ≤
x＋ x＋ 3 2
1
1
＝ ，当且仅当 x＝ 1 时取等号，所以
1
5
x· x＋ 3
1 a 的取值范围是 [ 5，＋∞ ) ．
三、解答题
1 10．∵ 0＜ x＜ 3，∴ 1－ 3x＞ 0.
1
1 3x＋
∴ y＝ x(1 － 3x) ＝ 3·３x·(1 － 3x) ≤3[
2
sin x＝
得 sin x＝ 2?(0,1] ； D 中由 x＝ 4－ x 得 x＝ 2?(0,1) ．
sin x
6．B 若每批生产 x 件产品，则每件产品的生产准备费用是
800
x
x
，存储费用是
，总的费 8
800 x
800 x
800 x
用是 x ＋8≥２ x · 8＝ 20，当且仅当 x ＝8时取等号，即 x＝80.
y 9x
y 9x
∵ x＞ 0， y＞ 0，∴ x＋ y ≥２ x· y ＝ 6.
－ 3x 2
]
2
＝
1 12.
1 当且仅当 3x＝ 1－ 3x，即 x＝ 时，等号成立．
2018人教A版高中数学必修五第三章3.4基本不等式：ab≤a+b2练习.docx
[ 课时作业 ][A 组 基础巩固 ]1．下列不等式正确的是 ( )A ． a ＋ 1≥ 2a 2 1 C ． a ＋ a 2≥ 221a ＋ 2解析 ：因为 a 2＋ 12中 a 2>0，所以a ≥a21 2121即 2 a ＋ a 2 ≥ 1，所以 a ＋ a 2≥ 2.答案 ： C1B ． (－a)＋ － a ≤－ 2D ．(－a)2 ＋ －1a 2≤－ 221，a ·2a2．已知 m ＝ a ＋1＋ 1(a>0)， n ＝ 3x(x<1)，则 m ， n 之间的大小关系是 (aA ． m>nB ．m<nC ． m ＝ nD ．m ≤n1 1解析 ：因为 a>0，所以 m ＝a ＋ ＋ 1≥2a ·＋ 1＝ 3，当且仅当 a ＝ 1aax<1，所以 n ＝3 x <3 1＝ 3，所以 m>n.答案 ： A3．已知 0<x<1 ，则 x(3－ 3x)取得最大值时 x 的值为 ()1 1 A. 3B.232C.4D.3解析： 由 x(3－3x)＝ 1× 3x(3－ 3x)≤1× 9＝3，当且仅当 3x ＝ 3－ 3x ，即 3 3 4 4 答案： B4．已知 f(x)＝x ＋ 1－ 2(x<0) ，则 f(x)有 ()xA ．最大值为 0B ．最小值为 0C ．最大值为－ 4D ．最小值为－ 4解析： ∵ x<0 ，∴ f(x)＝－ － x ＋ 1－ 2≤ － 2－ 2＝－ 4，当且仅当－ － x 时取等号．答案： C5．下列不等式中正确的是())时等号成立．又因为x ＝ 12时等号成立．1x ＝ － x ，即 x ＝－ 1A ． a ＋4≥ 4B ． a 2 ＋b 2 ≥4abaa ＋ b23C. ab ≥2D ．x＋ 2≥ 2 3x解析： a<0 ，则 a ＋4≥ 4 不成立，故 A 错； a ＝ 1， b ＝1， a 2＋ b 2<4ab ，故 B 错， a ＝ 4， b ＝aa ＋ b，故 C 错；由基本不等式可知 D 项正确． 16，则 ab< 2答案： Da － c6．已知 a>b>c ，则 a － b b － c 与 2 的大小关系是 ________．解析 ：因为 a － b>0，b － c>0， a － c>0.所以 a － b b － c ≤ a － b ＋ b －ca － c2＝ 2 .当且仅当 a － b ＝ b － c ，即 2b ＝a ＋ c 时取等号．所以a －b b －c ≤ a －c2 .答案 ： a －b b － c ≤a －c27．当 x>1时，函数 y ＝ x ＋ 8 的最小值为 ________．22x － 11解析 ：设 t ＝ 2x －1，∵ x> ，∴ 2x － 1>0，即 t>0，t ＋ 18 t 8 1≥ 2 t 8 19 ∴y ＝＋ ＝ ＋ ＋ ·＋＝ .2 t 2 t 22 t 22当且仅当 2t ＝ 8t ，即 t ＝ 4， x ＝ 52时，取等号．答案 ： 928．若 x ， y 均为正实数，且x ＋ 4y ＝1，则 x ·y 的最大值为 ________．解析： 1＝ x ＋ 4y ≥ 2 4xy ＝ 4 xy ，∴ x y ≤ 1，当且仅当 x ＝4y 时等号成立．16答案：1169．已知不等式 ax 2－ 3x ＋ 2<0 的解集为 A ＝ { x|1<x<b} ． (1) 求 a ，b 的值；25(2) 求函数 f(x)＝ (2a ＋ b) x ＋ b － a x ＋a (x ∈ A)的最小值．解析 ： (1)由题意知， 1， b 是方程 ax 2－ 3x ＋ 2＝ 0 的两根，且 b >1，a － 3＋2＝ 0，a ＝ 1，∴解得b ＝ 2.ab 2－ 3b ＋2＝ 0，25＝ 4x ＋25(2) 由 (1)得 f(x)＝ (2× 1＋ 2)x ＋ 2－ 1 x ＋ 1 x ＋1＝4(x ＋1)＋ 25－ 4≥ 24 x ＋1 ·25－ 4＝ 16.x ＋ 1 x ＋1 当且 当 4(x ＋1) ＝25，即 x ＝ 3∈ A 等号成立．x ＋ 12∴函数 f(x) 的最小 16.10．某汽 公司 了4 大客 ， 每 200 万元，用于 途客运， 每 每年收入100 万元，每 第一年各种 用 16 万元，且从第二年开始每年比上一年所需 用要 增加 16 万元．(1) 写出 4 运 的 利 y (万元 )与运 年数 x(x ∈ N * ) 的函数关系式；(2) 4 运 多少年，可使年平均运 利 最大？解析： (1)依 意，每x 年 收入100x 万元，支出200＋ 16× (1＋2＋ ⋯ ＋ x)1＝200＋ 2x(x ＋ 1) ·16(万元 )．1∴ y ＝ 4 100x － 200－ 2x x ＋ 1 ·16＝ 16(－ 2x 2＋ 23x － 50)． (2) 年平均利y＝16 23－ 2x － 50 ＝ 16 23－ 2 x ＋ 25 .x x x 又 x ∈ N * ，∴x ＋25≥ 2 25x x · ＝10，x当且 当 x ＝5 ，等号成立，此 y≤ 16× (23－ 20)＝ 48.x∴运 5 年可使年平均运 利 最大，最大利48 万元．[B能力提升 ]x 2－ 2x ＋ 21．若－ 4< x<1， f(x)＝ 2x － 2( )A ．有最小 1B ．有最大 1C ．有最小 － 1D ．有最大 － 1x 2－2x ＋ 2 1 1＋又∵－ 4<x<1，∴ x － 1<0.∴－ (x － 1)>0.1 1∴f(x)＝－ 2 － x － 1 ＋ － x － 1 ≤ － 1.当且仅当 x －1＝ 1，即 x ＝ 0 时等号成立．x － 1 答案： Da ＋b 12．设 f(x)＝ ln x,0<a<b ，若 p ＝ f(ab)，q ＝ f(2 )，r ＝ 2(f(a)＋ f( b)) ，则下列关系式中正确的是( )A ． q ＝r<pB ． q ＝ r>pC ． p ＝ r<qD ．p ＝ r>q 解析： p ＝ f( ab)＝ ln ab ， q ＝ f(a ＋ba ＋b ，2 )＝ ln211a ＋ br ＝ 2( f(a)＋ f(b))＝ 2ln ab ＝ ln ab ，函数 f( x)＝ ln x 在 (0，＋ ∞ )上单调递增，因为2 > ab ，所以 f( a ＋ b 2 )>f( ab)，所以 q>p ＝ r.答案： C2≥ 7 在 x ∈ (a ，＋∞ )上恒成立，则实数 a 的最小值为 ________．3．已知关于 x 的不等式 2x ＋ x － a解析 ：因为 x ＞ a ，所以 2x ＋ 2 ＝ 2(x － a)＋ 2 ＋ 2a ≥ 22 x － a · 2＋2a ＝ 2a ＋4，即x －ax － a x － a332a ＋ 4≥ 7，所以 a ≥ 2.即 a 的最小值为 2.答案 ： 324．若正数 a ， b 满足 ab － (a ＋ b)＝ 1，则 a ＋ b 的最小值是 ________． 解析 ：由于 ab － (a ＋ b)＝ 1，所以 ab ＝ a ＋ b ＋ 1，而 ab ≤a ＋b 2，所以 a ＋ b ＋ 1 221≤( a ＋b) .4令 a ＋ b ＝ t(t>0)，所以 t ＋ 1≤ 1t 2，解得 t ≥2＋ 2 2，4 即 a ＋ b ≥ 2 2＋ 2.当且仅当 a ＝ b ＝ 1＋ 2时取等号．答案 ： 2 2＋ 25．函数 y ＝log a (x ＋ 3)－ 1(a>0， a ≠ 1)的图象恒过定点 A ，若点 A 在直线 mx ＋ ny ＋ 1＝ 0 上，其中 m ，n>0 ，则 m 1＋ 2n 的最小值为 ________．解析 ：函数 y ＝ log (x ＋ 3)－ 1(a>0 ，a ≠1)的图象恒过定点A( －2，－ 1)，且点 A 在直线 mx ＋ny＋ 1＝ 0 上，∴2m＋n＝ 1， m， n>0，1212∴m＋n＝m＋n·(2m＋n)＝4＋n4m n 4m＝8，＋≥ 4＋ 2·m n m n2m＋n＝ 1，1，m＝4当且仅当n ＝4m，即时等号成立．1m nn＝2答案： 8＋6．已知 a， b， c∈ R ，且 a＋ b＋ c＝ 1.求证：1a＋1b＋1c≥ 9.证明：∵ a， b， c∈ R＋，且 a＋ b＋ c＝ 1，∴1＋1＋1a b c＝a＋ b＋ c＋ a＋ b＋ c＋ a＋ b＋ ca b c＝3＋b＋a＋c＋a＋c＋b a ba cb c≥3＋ 2＋ 2＋ 2＝ 9.1当且仅当a＝ b＝ c＝时等号成立．。
数学人教A版必修5课时分层作业23 基本不等式：ab ≤a+b2
课时分层作业(二十三) 基本不等式：ab ≤a ＋b 2(建议用时：60分钟)一、选择题1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x ≥2C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值 B [A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性， 知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0，2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.]2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A.lg (x 2＋1)≥lg (2x ) B ．x 2＋1>2x C ．1x 2＋1≤1D ．x ＋1x ≥2C [对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立，故选C.]3．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A ．1a ＋1b <1B ．1a ＋1b ≥1C ．1a ＋1b <2 D ．1a ＋1b ≥2B [因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1.]4．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A ．a ＋d2>bc B ．a ＋d2<bc C ．a ＋d2＝bcD ．a ＋d2≤bcA [因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .]5．若x >0，y >0，且2x ＋8y ＝1，则xy 有( )A ．最大值64B ．最小值164 C ．最小值12D ．最小值64D [由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.]二、填空题6．若a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab ，则a 3＋b 3的最小值为 ． 42 [∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2（ab ）3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.]7．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为 ．12 [由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋3－3x 22＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．]8．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是 ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ [因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号，所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.] 三、解答题9．(1)已知x <3 ，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值； (2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值． [解] (1)∵x <3，∴x －3<0， ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋（3－x ）＋3≤－243－x·（3－x ）＋3＝－1， 当且仅当43－x＝3－x ， 即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋(y x ＋3x y )≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3x y ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号．又x ＋y ＝4，∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32.10．某种汽车，购车费用是10万元，每年使用保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？[解] 设使用x 年平均费用最少．由条件知，汽车每年维修费用构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列．因此，汽车使用x 年总的维修费用为0.2＋0.2x2x 万元． 设汽车的年平均费用为y 万元，则有 y ＝10＋0.9x ＋0.2＋0.2x2x x ＝10＋x ＋0.1x 2x＝1＋10x ＋x10≥1＋210x ·x10＝3.当且仅当10x ＝x10，即x ＝10时，y 取最小值． 即这种汽车使用10年时，年平均费用最少．1．若－4<x <1，则f (x )＝x 2－2x ＋22x －2( )A ．有最小值1B ．有最大值1C ．有最小值－1D ．有最大值－1D [f (x )＝x 2－2x ＋22x －2＝12[(x －1)＋1x －1]，又∵－4<x <1，∴x －1<0. ∴－(x －1)>0. 故f (x )＝－12[－(x －1)＋1－（x －1）]≤－1.当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝0时等号成立．]2．已知x >0，y >0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( ) A ．16 B ．25 C ．9D ．36B [(1＋x )(1＋y )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋x ）＋（1＋y ）22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋（x ＋y ）22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋822＝25，因此当且仅当1＋x ＝1＋y ，即x ＝y ＝4时，(1＋x )(1＋y )取最大值25，故选B.]3．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值为 ． 4 [由lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，得2x ·8y ＝2， 即2x ＋3y ＝21，∴x＋3y＝1，∴1x＋13y＝⎝⎛⎭⎪⎫1x＋13y(x＋3y)＝x＋3yx＋x＋3y3y＝1＋3yx＋x3y＋1≥2＋23yx·x3y＝2＋2＝4.当且仅当3yx＝x3y，即x＝12，y＝16时等号成立．]4．若实数x、y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是．233[∵x2＋y2＋xy＝1，∴(x＋y)2＝1＋xy.∵xy≤（x＋y）24，∴(x＋y)2－1≤（x＋y）24，整理求得－233≤x＋y≤233，∴x＋y的最大值是23 3.]5．某厂家拟在2019年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－km＋1 (k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用).(1)将2019年该产品的利润y(单位：万元)表示为年促销费用m的函数；(2)该厂家2019年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？[解](1)由题意，可知当m＝0时，x＝1，∴1＝3－k，解得k＝2，∴x＝3－2m＋1，又每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx元，∴y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1.5×8＋16x x －(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m ＝4＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋（m ＋1）＋29(m ≥0).(2)∵m ≥0，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3时等号成立，∴y ≤－8＋29＝21，∴y max ＝21.故该厂家2019年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．由Ruize收集整理。
2018年高二数学寒假作业(人教A版必修5)基本不等式word版含答案
2018年高二数学寒假作业（人教A版必修5）基本不等式(时间：40分钟)一、选择题1．已知a，b∈(0,1)且a≠b，下列各式中最大的是( )A．a2＋b2B．2abC．2ab D．a＋b2．下列命题中正确的是( )A．函数y＝x＋1x的最小值为2B．函数y＝x2＋3x2＋2的最小值为2C．函数y＝2－3x－4x(x>0)的最小值为2－4 3D．函数y＝2－3x－4x(x>0)的最大值为2－4 33．若0<x<32，则y＝x(3－2x)的最大值是( )A.916B.94C．2 D.9 84．设x>0，y>0，且2x＋y＝6，则9x＋3y有( ) A．最大值27 B．最小值27 C．最大值54 D．最小值545．若log4(3a＋4b)＝log2ab，则a＋b的最小值是( ) A．6＋2 3 B．7＋2 3 C．6＋4 3 D．7＋4 36．设a>0，若关于x的不等式x＋ax－1≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为( )A．16 B．9 C．4 D．2 二、填空题7．当x≥4时，x＋4x－1的最小值为________。
8．若a>0，b>0，a＋b＝1，则ab＋1ab的最小值为________。
9．已知x>－1，则函数y＝x2＋7x＋10x＋1的值域为________。
三、解答题10．已知lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)，(1)求xy的最小值；(2)求x＋y的最小值。
11．(2016·常州期末调研)某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图。
设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2)。
2018版高中数学第三章不等式3.4基本不等式：√ab≤(a+b)2(二)学案新人教A版必修5
3.4 基本不等式：√ab≤（a+b）2（二）[学习目标] 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．知识点一基本不等式求最值1．理论依据：(1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值，且这个值为s2 4 .(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值，且这个值为2p.2．基本不等式求最值的条件：(1)x，y必须是正数；(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．3．利用基本不等式求最值需注意的问题：(1)各数(或式)均为正．(2)和或积为定值．(3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可．(4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．知识点二基本不等式在实际中的应用基本不等式在实际中的应用是指利用基本不等式解决生产、科研和日常生活中的问题．解答不等式的应用题一般可分为四步：(1)阅读并理解材料；(2)建立数学模型；(3)讨论不等关系；(4)作出结论．题型一利用基本不等式求最值例1 (1)已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1(2)已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为____．(3)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为____．答案 (1)D (2)－2 (3)3解析 (1)f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝（x －2）2＋12（x －2）＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －2）＋1x －2≥1.当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立． (2)y ＝t 2＋1－4t t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1t，即t ＝1或t ＝－1(舍)时，等号成立，∴y 的最小值为－2.(3)xy ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3·y 4≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 3＋y 422＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝3， 当且仅当x 3＝y 4＝12，即x ＝32，y ＝2时，等号成立，∴xy 的最大值为3.反思与感悟 在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件． 跟踪训练1 (1)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知x ，y 为正数，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________．答案 (1)D (2)3＋2 2 解析 (1)a 2＋1ab＋1a （a －b ）＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a （a －b ）＝a (a －b )＋1a （a －b ）＋ab ＋1ab≥2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1且ab ＝1， 即a ＝2，b ＝22时取“＝”． (2)由2x ＋y ＝1，得1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋yy＝3＋y x＋2xy ≥3＋2 y x ·2xy＝3＋22， 当且仅当y x ＝2xy，即x ＝2－22，y ＝2－1时，等号成立．题型二 基本不等式的综合应用例2 (1)已知x ＞1，y ＞1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy ( )A ．有最大值eB ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最小值 e 答案 C解析 由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝14ln x ln y ，∴ln x ln y ＝14，∵x ＞1，y ＞1，∴ln x ln y ＞0， 又ln(xy )＝ln x ln y ≥2ln x ln y ＝1， ∴xy ≥e ，即xy 有最小值为e. (2)若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求a 的取值范围．解 设f (x )＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3，∵x ＞0，∴x ＋1x≥2，∴f (x )≤15，即f (x )max ＝15，∴a ≥15.反思与感悟将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的处理方法，其一般类型有： (1)f (x )＞a 恒成立⇔a ＜f (x )min . (2)f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max .跟踪训练2 (1)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．2B ．4C ．1 D.12(2)函数y ＝kx ＋2k －1的图象恒过定点A ，若点A 又在直线mx ＋ny ＋1＝0上，则mn 的最大值为________． 答案 (1)B (2)18解析 (1)由题意得，3a·3b＝(3)2，即a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab ＝4， 当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，等号成立．(2)y ＝k (x ＋2)－1必经过(－2，－1)，即点A (－2，－1)， 代入得－2m －n ＋1＝0， ∴2m ＋n ＝1，∴mn ＝12(2mn )≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋n 22＝18，当且仅当2m ＝n ＝12时，等号成立．题型三 基本不等式的实际应用例3 要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm ，请确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使矩形广告面积最小，并求出最小值． 解 设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，ab ＝9 000.① 广告的高为a ＋20，宽为2b ＋25，其中a ＞0，b ＞0. 广告的面积S ＝(a ＋20)(2b ＋25)＝2ab ＋40b ＋25a ＋500 ＝18 500＋25a ＋40b ≥18 500＋225a ×40b ＝18 500＋2 1 000ab ＝24 500.当且仅当25a ＝40b 时，等号成立，此时b ＝58a ，代入①式得a ＝120，从而b ＝75，即当a ＝120，b ＝75时，S 取得最小值24 500，故广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小，最小值为24 500 cm 2. 反思与感悟 利用基本不等式解决实际问题的步骤(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，应用基本不等式求出函数的最大值或最小值． (4)正确写出答案．跟踪训练3 一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时． 答案 8解析 设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则t ＝400＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202v＝400v ＋16v 400≥2 400v ×16v400＝8(小时)， 当且仅当400v ＝16v400，即v ＝100时，等号成立，此时t ＝8小时．1．下列函数中，最小值为4的函数是( ) A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x (0＜x ＜π)C ．y ＝e x＋4e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 81 答案 C解析 A 中x ＝－1时，y ＝－5＜4，B 中y ＝4时，sin x ＝2，D 中x 与1的关系不确定，选C.2．函数y ＝x 2－x ＋1x －1(x ＞1)在x ＝t 处取得最小值，则t 等于( )A ．1＋ 2B ．2C ．3D ．4 答案 B 解析 y ＝x （x －1）＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3， 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A ．6.5 m B ．6.8 m C ．7 m D ．7.2 m 答案 C解析 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．∵要求够用且浪费最少，故选C. 4．函数f (x )＝x (4－2x )的最大值为________． 答案 2解析 ①当x ∈(0，2)时，x ，4－2x ＞0， f (x )＝x (4－2x )≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（4－2x ）22＝2，当且仅当2x ＝4－2x ，即x ＝1时，等号成立． ②当x ≤0或x ≥2时，f (x )≤0，故f (x )max ＝2.5．当x ＜54时，函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值为________．答案 1解析 ∵x ＜54，∴4x －5＜0，∴y ＝4x －5＋14x －5＋3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（5－4x ）＋15－4x ＋3 ≤－2（5－4x ）·15－4x＋3＝1当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立．1.用基本不等式求最值(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y ＝x ＋px(p >0)的单调性求得函数的最值． 2．求解应用题的方法与步骤：(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．。
2017_2018学年高中数学课时作业20基本不等式新人教A版必修5 Word版 含答案
a2 b
b2 c
c2 a
a2 b2 c2 b c a a2 b2 c2 即 ＋ ＋ ≥a＋b＋c. b c a a2 b2 c2 所以 ＋ ＋ ≥1. b c a
故 ＋ ＋ ＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
x x2＋y2
x
xy
x
x
1 1 1 因为 x 与 同号，所以x＋ ＝|x|＋ ≥2，②正确； x x | x| 当 x，y 异号时，③不正确； x2＋y2 当 x＝y 时， ＝xy，④不正确； 2 当 x＝1，y＝－1 时，⑤不正确． 答案：② 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 1 ＋1≥4. 9．设 a，b，c 为正实数，求证：(a＋b＋c)· a＋b c 证明：因为 a，b，c 为正实数， 1 ＋1 所以(a＋b＋c)· a＋b c 1 ＋1 ＝[(a＋b)＋c] a＋b c ＝1＋
c a＋b ＋ ＋1≥2＋2 a＋b c
c a＋b · ＝2＋2＝4. a＋b c
当且仅当
a＋b ，即 a＋b＝c 时，取＋c)·
1 ＋1≥4. a＋b c
10．设 a，b，c 均为正数，且 a＋b＋c＝1.证明： 1 (1)ab＋bc＋ac≤ ； 3
|能力提升|(20 分钟，40 分)
1x a＋b，G＝f( ab)，H＝f 2ab ，则( 11．若 f(x)＝ ，a，b 均为正数，P＝f ) a＋b 2 2 A．P≤G≤H B．P≤H≤G C．G≤H≤P D．H≤G≤P 解析：因为 a，b 均为正数， a＋b ab ab 2ab 1 x a＋b 所以 ≥ ab ＝ ≥ ＝ ，又因为 f(x) ＝ 为减函数，所以 f 2 2 2 ab a＋b a＋b 2 2ab ，所以 P≤G≤H. ≤f( ab)≤f a＋b 答案：A 2 2 12．若 a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式①ab≤1；② a＋ b≤ 2；③a ＋b ≥2； 1 1 ④ ＋ ≥2，对满足条件的 a，b 恒成立的是________．(填序号)
2018年秋高中数学 课时分层作业23 基本不等式 新人教A版必修5
课时分层作业(二十三) 基本不等式：ab ≤a ＋b2(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．下列结论正确的是( )【导学号：91432353】A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2C ．当x ≥2时，x ＋1x的最小值为2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值B [A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性， 知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.] 2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x≥2C [对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立，故选C.] 3．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( )【导学号：91432354】A.1a ＋1b <1B.1a ＋1b ≥1C.1a ＋1b<2D.1a ＋1b≥2B [因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab≥214＝1.] 4．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( )A.a ＋d2>bc B.a ＋d2<bc C.a ＋d 2＝bcD.a ＋d2≤bcA [因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .]5．若x >0，y >0，且2x ＋8y＝1，则xy 有( )【导学号：91432355】A ．最大值64B ．最小值164C ．最小值12D ．最小值64D [由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.] 二、填空题6．若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab ，则a 3＋b 3的最小值为________．42 [∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab，即ab ≥2，当且仅当a ＝b＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2ab3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.]7．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________.【导学号：91432356】12 [由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3－3x 22＝34，当且仅当3x ＝3－ 3x ，即x ＝12时等号成立．]8．若对任意x >0，xx ＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ [因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号， 所以有x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.]三、解答题9．(1)已知x <3 ，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值； (2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y的最小值.【导学号：91432357】[解] (1)∵x <3， ∴x －3<0， ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x＋－x ＋3≤－243－x－x ＋3＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3x y，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号．又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32. 10．某种汽车，购车费用是10万元，每年使用保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？[解] 设使用x 年平均费用最少．由条件知，汽车每年维修费用构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列．因此，汽车使用x 年总的维修费用为0.2＋0.2x 2x 万元．设汽车的年平均费用为y 万元，则有y ＝10＋0.9x ＋0.2＋0.2x2x x ＝10＋x ＋0.1x 2x ＝1＋10x ＋x10≥1＋210x ·x10＝3. 当且仅当10x ＝x10，即x ＝10时，y 取最小值．。
2018年秋高中数学课时分层作业19一元二次不等式的应用新人教A版必修5
(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．不等式1＋x1－x≥0的解集为( )【导学号：91432298】A ．{x |－1<x ≤1}B ．{x |－1≤x <1}C ．{x |－1≤x ≤1} D．{x |－1<x <1}B [原不等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x －，x －1≠0，∴－1≤x <1.] 2．不等式x －2x －x ＋1<0的解集为( )A ．{x |－1<x <2或2<x <3}B ．{x |1<x <3}C ．{x |2<x <3}D ．{x |－1<x <2}A [原不等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x －，x －2≠0，∴－1<x <3且x ≠2.]3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1>a 2，x －4<2a 有解，则实数a 的取值范围是( )【导学号：91432299】A ．(－1,3)B ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) A [由题意得，a 2＋1<x <4＋2a .∴只须4＋2a >a 2＋1，即a 2－2a －3<0，∴－1<a <3.]4．若关于x 的不等式x 2－4x －m ≥0对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的最大值为( ) A ．1 B ．－1 C ．－3 D ．3C [x 2－4x －m 在x ∈[0,1]时，最小值为1－4－m ， ∴令－3－m ≥0，∴m ≤－3.]5．在R 上定义运算⊙：A ⊙B ＝A (1－B )，若不等式(x －a )⊙(x ＋a )<1对任意的实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为( )【导学号：91432300】A ．－1<a <1B ．0<a <2C ．－12<a <32D ．－32<a <12C [∵(x －a )⊙(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )， ∴不等式(x －a )⊙(x ＋a )<1，即(x －a )(1－x －a )<1对任意实数x 恒成立，即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 恒成立， 所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0， 解得－12<a <32，故选C.]二、填空题6．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________． (－∞，－5] [设f (x )＝x 2＋mx ＋4，要使x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立．则有⎩⎪⎨⎪⎧f ，f ，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＋4≤0，4＋2m ＋4≤0，解得m ≤－5.]7．偶函数y ＝f (x )和奇函数y ＝g (x )的定义域均为[－4，4]，f (x )在[－4,0]上，g (x )在[0,4]上的图象如图322所示，则不等式f xg x<0的解集为________.【导学号：91432301】图322{x ∈R |－2<x <0或2<x <4} [由已知得当x ∈(－4，－2)∪(2,4)时，f (x )>0，当x ∈(－2,2)时，f (x )<0，当x ∈(－4,0)时，g (x )>0，x ∈(0,4)时，g (x )<0.所以当x ∈(－2,0)∪(2,4)时，f xg x<0.所以不等式f xg x<0的解集为{x ∈R |－2<x <0或2<x <4}．] 8．某地每年销售木材约20万m 3，每m 3价格为2 400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t %征收木材税，这样每年的木材销售量减少52t 万m 3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t 的取值范围是________．[3,5] [设按销售收入的t %征收木材税时，税金收入为y 万元，则y ＝2 400×⎝⎛⎭⎪⎫20－52t ×t %＝60(8t －t 2)．令y ≥900，即60(8t －t 2)≥900，解得3≤t ≤5.] 三、解答题9．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}． (1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0； (2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R?【导学号：91432302】[解] (1)由题意知1－a <0，且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a <0，41－a＝－2，61－a ＝－3，解得a ＝3.∴不等式2x 2＋(2－a )x －a >0， 即为2x 2－x －3>0，解得x <－1或x >32，∴所求不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >32. (2)ax 2＋bx ＋3≥0，即3x 2＋bx ＋3≥0， 若此不等式解集为R ，则Δ＝b 2－4×3×3≤0， ∴－6≤b ≤6.10．某地区上年度电价为0.8元/kw·h，年用电量为a kw·h.本年度计划将电价降低到0.55元/kw·h 至0.75元/kw·h 之间，而用户期望电价为0.4元/kw·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k )．该地区电力的成本价为0.3元/kw·h.(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式；(2)设k ＝0.2a ，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%? [解] (1)设下调后的电价为x 元/千瓦时，依题意知，用电量增至kx －0.4＋a ，电力部门的收益为y ＝⎝⎛⎭⎪⎫k x －0.4＋a (x －0.3)(0.55≤x ≤0.75)．(2)依题意，有。
2018年秋高中数学 课时分层作业18 一元二次不等式及其解法 新人教A版必修5
课时分层作业(十八) 一元二次不等式及其解法(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－13 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13≤x ≤13 C ．∅D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝－13 D [(3x ＋1)2≤0， ∴3x ＋1＝0，∴x ＝－13.]2．若集合A ＝{x |(2x ＋1)(x －3)<0}，B ＝{x |x ∈N *，x ≤5}，则A ∩B 等于( )【导学号：91432284】A ．{1,2,3}B ．{1,2}C ．{4,5}D ．{1,2,3,4,5}B [(2x ＋1)(x －3)<0，∴－12<x <3，又x ∈N *且x ≤5，则x ＝1,2.]3．若0<t <1，则不等式(x －t )⎝⎛⎭⎪⎫x －1t <0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1t <x <t B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >1t 或x <t C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1t或x >t D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪t <x <1t D [t ∈(0,1)时，t <1t，∴解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪t <x <1t.] 4．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3，a <0，那么ax 2＋bx ＋c >0的解集为( )【导学号：91432285】A ．{x |x >3或x <－2}B ．{x |x >2或x <－3}C ．{x |－2<x <3}D ．{x |－3<x <2}C [由题意知，－2＋3＝－ba ，－2×3＝c a，∴b ＝－a ，c ＝－6a ， ∴ax 2＋bx ＋c ＝ax 2－ax －6a >0， ∵a <0，∴x 2－x －6<0，∴(x －3)(x ＋2)<0，∴－2<x <3.]5．在R 上定义运算“⊙”：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)B [根据给出的定义得，x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)<0，则(x ＋2)(x －1)<0，故不等式的解集是(－2,1)．]二、填空题6．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示)【导学号：91432286】(－4,1) [由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1.]7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是________．(－3,1)∪(3，＋∞) [f (1)＝12－4×1＋6＝3， 当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3， 解得x >3或0≤x <1； 当x <0时，x ＋6>3， 解得－3<x <0.所以f (x )>f (1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞)．]8．已知集合A ＝{x |3x －2－x 2<0}，B ＝{x |x －a <0}，且B ⊆A ，则a 的取值范围为________.【导学号：91432287】(－∞，1] [A ＝{x |3x －2－x 2<0}＝{x |x 2－3x ＋2>0}＝{x |x <1或x >2}，B ＝{x |x <a }． 若B ⊆A ，如图，则a ≤1.]三、解答题9．求下列不等式的解集： (1)x 2－5x ＋6>0； (2)－12x 2＋3x －5>0.[解] (1)方程x 2－5x ＋6＝0有两个不等实数根x 1＝2，x 2＝3，又因为函数y ＝x 2－5x ＋6的图象是开口向上的抛物线，且抛物线与x 轴有两个交点，分别为(2,0)和(3,0)，其图象如图(1)．根据图象可得不等式的解集为{x |x >3或x <2}．(2)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0，对于方程x 2－6x ＋10＝0，因为Δ＝(－6)2－40<0，所以方程无解，又因为函数y ＝x 2－6x ＋10的图象是开口向上的抛物线，且与x 轴没有交点，其图象如图(2)．根据图象可得不等式的解集为∅.10．解关于x 的不等式x 2－(3a －1)x ＋(2a 2－2)>0.【导学号：91432288】[解] 原不等式可化为 [x －(a ＋1)][x －2(a －1)]>0， 讨论a ＋1与2(a －1)的大小(1)当a ＋1>2(a －1)，即a <3时，x >a ＋1或x <2(a －1)． (2)当a ＋1＝2(a －1)，即a ＝3时，x ≠a ＋1.(3)当a ＋1<2(a －1)，即a >3时，x >2(a －1)或x <a ＋1， 综上：当a <3时，解集为{x |x >a ＋1或x <2(a －1)}， 当a ＝3时，解集为{x |x ≠a ＋1}，当a >3时，解集为{x |x >2(a －1)或x <a ＋1}．[冲A 挑战练]1．不等式mx 2－ax －1>0(m >0)的解集可能是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >14 B ．RC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13<x <32 D ．∅A [因为Δ＝a 2＋4m >0，所以函数y ＝mx 2－ax －1的图象与x 轴有两个交点，又m >0，所以原不等式的解集不可能是B 、C 、D ，故选A.]2．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则关于x 的不等式bx 2－ax －2>0的解集为( )【导学号：91432289】A ．{x |－2<x <1}B ．{x |x >2或x <－1}C ．{x |x >1或x <－2}D ．{x |x <－1或x >1}C [∵ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝－2，－ba ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，∴bx 2－ax －2>0，即x 2＋x －2>0， 解得x >1或x <－2.]3．不等式2x 2－x ＜4的解集为______.【导学号：91432290】{x |－1＜x ＜2} [∵2x 2－x ＜4， ∴2x 2－x ＜22，∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0， ∴－1＜x ＜2.]4．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．(－7,3) [当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0,5)．又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5,5)，所以－5<x ＋2<5，故所求解集为(－7,3)．]5．已知M 是关于x 的不等式2x 2＋(3a －7)x ＋3＋a －2a 2<0的解集，且M 中的一个元素是0，求实数a 的取值范围，并用a 表示出该不等式的解集.【导学号：91432291】[解] 原不等式可化为(2x －a －1)(x ＋2a －3)<0， 由x ＝0适合不等式得(a ＋1)(2a －3)>0， 所以a <－1或a >32.若a <－1，则－2a ＋3－a ＋12＝52(－a ＋1)>5， 所以3－2a >a ＋12，此时不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a ＋12<x <3－2a ； 若a >32，由－2a ＋3－a ＋12＝52(－a ＋1)<－54，所以3－2a <a ＋12，此时不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪3－2a <x <a ＋12.综上，当a <－1时，原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12，3－2a ，当a >32时，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2a ，a ＋12.。
人教版高中数学必修五课时作业23：§3.4 基本不等式：√ab≤(a b)_2(二)
§3.4 基本不等式：ab≤a ＋b 2(二)基础过关1.已知x ＞1，y ＞1且lg x ＋lg y ＝4，则lg x lg y 的最大值是( )A.4B.2C.1D.14解析 ∵x ＞1，y ＞1，∴lg x ＞0，lg y ＞0，lg x lg y ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x ＋lg y 22＝4，当且仅当lg x ＝lg y ＝2，即x ＝y ＝100时取等号. 答案 A2.已知点P (x ，y )在经过A (3，0)，B (1，1)两点的直线上，则2x ＋4y 的最小值为( )A.2 2B.4 2C.16D.不存在解析 ∵点P (x ，y )在直线AB 上，∴x ＋2y ＝3.∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝4 2. 当且仅当2x ＝4y ，即x ＝32，y ＝34时，等号成立.答案 B3.函数y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5(x ＞1)的最小值为( ) A.－3B.3C.4D.－4解析 ∵x ＞1，∴x －1＞0，∴x ＋1x －1＋5＝(x －1)＋1x －1＋6≥2（x －1）·1x －1＋6＝8. ∴log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5≥3， ∴y min ＝3.当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立.答案 B4.周长为2＋1的直角三角形面积的最大值为________.解析 设直角三角形的两条直角边边长分别为a ，b ，则2＋1＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ，解得ab ≤12，当且仅当a ＝b ＝22时取“＝”，所以直角三角形面积S ≤14，即S 的最大值为14.答案 145.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________.解析 一年的总运费与总存储费用之和y ＝6×600x ＋4x ＝3 600x ＋4x ≥2 3 600x ×4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时，y 有最小值240.答案 306.已知x ，y ＞0，且x ＋2y ＋xy ＝30，求xy 的取值范围.解 因为x ，y 是正实数，故30＝x ＋2y ＋xy ≥22xy ＋xy ，当且仅当x ＝2y ，即x ＝6，y ＝3时，等号成立.所以xy ＋22xy －30≤0.令xy ＝t ，则t ＞0，得t 2＋22t －30≤0，解得－52≤t ≤3 2.又t ＞0，知0＜xy ≤32，即xy 的取值范围是(0，18].7.已知正常数a ，b 和正变数x ，y 满足a ＋b ＝10，a x ＋b y ＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值.解 因为x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2，当且仅当ay x ＝bx y ，即y x ＝b a 时，等号成立，所以x ＋y 的最小值为(a ＋b )2＝18，又a ＋b ＝10，所以ab ＝16.所以a ，b 是方程x 2－10x ＋16＝0的两根，所以a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2.能力提升8.已知a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )(x ，y 为正实数)，若a ⊥b ，则xy 的最大值是( ) A.12B.－12C.1D.－1解析 ∵a ⊥b 则a ·b ＝0，∴4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴xy ＝12(2x )·y ≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝12， 当且仅当2x ＝y 时，等号成立.答案 A9.若直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b 的最小值为( )A.14B.12C.2D.4解析 圆方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，圆心为(－1，2)，半径为2，若直线被截得弦长为4，说明圆心在直线上，即－2a －2b ＋2＝0，∴a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b ) ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2＝4，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b 时，等号成立.答案 D10.某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数关系(二次函数的图象如图所示)，则每辆客车营运________年时，年平均利润最大.解析 二次函数顶点为(6，11)，设为y ＝a (x －6)2＋11，代入(4，7)得a ＝－1，∴y ＝－x 2＋12x －25，年平均利润为y x ＝－x 2＋12x －25x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ＋12≤－2 x ·25x ＋12＝2， 当且仅当x ＝25x ，即x ＝5时，等号成立.答案 511.若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________. 解析 a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥4，当且仅当a 2＝2b 2＝22时取等号. 答案 412.某基建公司年初以100万元购进一辆挖掘机，以每年22万元的价格出租给工程队.基建公司负责挖掘机的维护，第一年维护费为2万元，随着机器磨损，以后每年的维护费比上一年多2万元，同时该机器第x (x ∈N *，x ≤16)年末可以以(80－5x )万元的价格出售.(1)写出基建公司到第x 年末所得总利润y (万元)关于x (年)的函数解析式，并求其最大值；(2)为使经济效益最大化，即年平均利润最大，基建公司应在第几年末出售挖掘机？说明理由.解 (1)y ＝22x ＋(80－5x )－100－(2＋4＋…＋2x )＝－20＋17x －12x (2＋2x )＝－x 2＋16x －20＝－(x －8)2＋44(x ≤16，x ∈N *)，由二次函数的性质可得，当x ＝8时，y max ＝44，即有总利润的最大值为44万元.(2)年平均利润为y x ＝16－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋20x ，设f (x )＝16－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋20x ，x ＞0， 由x ＋20x ≥2x ·20x ＝45，当x ＝25时，取得等号.由于x 为整数，且4＜25＜5，f (4)＝16－(4＋5)＝7，f (5)＝7，即有x ＝4或5时，f (x )取得最大值，且为7万元.故使得年平均利润最大，基建公司应在第4或5年末出售挖掘机.创新突破13.设a ，b 为正实数，且1a ＋1b ＝2 2.(1)求a 2＋b 2的最小值；(2)若(a －b )2≥4(ab )3，求ab 的值.解 (1)∵a ，b 为正实数，且1a ＋1b ＝22≥21ab (a ＝b 时等号成立).即ab≥12(a＝b时等号成立).∵a2＋b2≥2ab≥2×12＝1(a＝b时等号成立).∴a2＋b2的最小值为1.(2)∵1a＋1b＝22，∴a＋b＝22ab，∵(a－b)2≥4(ab)3，∴(a＋b)2－4ab≥4(ab)3即(22ab)2－4ab≥4(ab)3.即(ab)2－2ab＋1≤0，(ab－1)2≤0，∵a，b为正实数，∴ab＝1.。
【精品】2017_2018学年高中数学课时作业21基本不等式的应用习题课新人教A版必修5
解析：(1)设捕捞n年后的总盈利为y万元，则
y＝50n－98－
＝
所以捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．
(2)年平均利润为 ＝－2
≤－2 ＝12，
当且仅当n＝ ，即n＝7时上式取等号．
所以，捕捞7年后的平均利润最大，最大是12万元．
(1)试用x，y表示S；
(2)若要使S最大，则x，y的值各为多少？
解析：(1)由题可得，xy＝1 800，b＝2a，则y＝a＋b＋6＝3a＋6，
S＝(x－4)a＋(x－6)b＝(3x－16)a＝
(3x－16) ＝1 832－6x－ y(x>6，y>6，xy＝1 800)．
(2)法一S＝1 832－6x－ y≤1 832－2 ＝1 832－480＝1 352，
当x＝5时，f(x)＝ ，
当x＝6时，f(x)＝ ，
故f(x)在定义域上的最小值为 .故选B.
答案：B
3．当x>1时，不等式x＋ ≥a恒成立，则实数a的取值范围是()
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(－∞，3]
解析：由于x>1，
所以x－1>0， >0，
于是x＋ ＝x－1＋ ＋1≥2＋1＝3，
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．(山东卷)若直线 ＋ ＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为________．
解析：由题设可得 ＋ ＝1，∵a>0，b>0，
∴2a＋b＝(2a＋b) ＝2＋ ＋ ＋2
≥4＋2 ＝8
.
故2a＋b的最小值为8.
答案：8
2018版高中数学人教版A版必修五学案：§3.4基本不等式：√ab≤ab2一全面版
[学习目标 ] 1.理解基本不等式的内容及证明.2.能娴熟运用基本不等式来比较两个实数的大小 .3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．知识点一重要不等式及证明假如 a， b∈R，那么 a2＋ b2≥ 2ab(当且仅当a＝ b 时取“＝” )．请证明此结论．证明∵ a2＋ b2－ 2ab＝ (a－ b)2≥0，∴a2＋ b2≥ 2ab，当且仅当 a＝ b 时取“＝”．知识点二基本不等式1．内容：a＋ bab≤2，此中a＞0，b＞0，当且仅当a＝ b 时，等号成立．2．证明：∵ a＋ b－ 2 ab＝ ( a)2＋( b)2－ 2 a·b＝( a－ b)2≥0.∴a＋ b≥ 2 ab.∴ab≤a＋b，当且仅当 a＝ b 时，等号成立．23．两种理解：(1)算术均匀数与几何均匀数：设 a>0， b>0，则 a， b 的算术均匀数为a＋ bab；基本不等式可表达为两个2，几何均匀数为正数的算术均匀数不小于它们的几何均匀数．(2)几何意义：以以下图，以长度为 a＋b 的线段 AB 为直径作圆，在直径 AB 上取一点 C，使AC ＝a， CB＝ b，过点 C 作垂直于直径 AB 的弦 DD ′，连接 AD， DB，易证 Rt △ ACD ∽ Rt △ DCB ，则 CD 2＝ CA ·CB ，即 CD ＝ ab.这个圆的半径为 a ＋ b ，明显它大于或等于 CD ，即 a ＋ b≥ ab ，当且仅当点 C 与圆心 O 重合，22即 a ＝b 时，等号成立．知识点三基本不等式的常用推论(1)ab ≤ a ＋ b 2 ≤a 2＋b 2 (a ， b ∈R )；2 2(2)b ＋ a≥ 2(a ， b 同号 )；a bb ＋ a≥ 2；当 ab<0 时， b ＋a≤－ 2；(3)当 ab>0 时， a ba b(4)a 2＋ b 2＋ c 2≥ ab ＋ bc ＋ca(a ， b ， c ∈R )．题型一 利用基本不等式比较大小例 1设 0<a<b ，则以下不等式中正确的选项是 ()a ＋b a ＋ bA ． a<b< ab< 2B ．a< ab< 2 <b a ＋b a ＋ bC ．a< ab<b< 2D. ab<a< 2<b答案 B分析方法一∵ 0<a<b ，∴ a<a ＋bb － a)>0，即 ab>a ，2 <b ，消除 A ，C 两项．又 ab －a ＝ a(消除 D 项，应选 B.方法二取 a ＝2， b ＝ 8，则 ab ＝ 4，a ＋ b＝ 5，所以 a ＜ ab ＜a ＋ b＜ b.22反思与感悟 若给定的代数式中既有 “ 和式 ” 又有 “ 积式 ” ，这即是应用基本不等式的题眼，可考虑能否利用基本不等式解决；在应用基本不等式时必定要注意能否满足条件，即 a ＞ 0，b ＞ 0，同时注意能否取等号．追踪训练1若 a ， b ∈R ，且 ab ＞ 0，则以下不等式中，恒成立的是 ()A ． a 2＋ b 2＞ 2abB ． a ＋ b ≥ 2 abC.1＋ 1＞ 2D. b ＋ a≥ 2a b ab a b答案 D分析对于 A ，应当为 a 2＋ b 2≥ 2ab ，漏等号，故A 错误；对于B ，当 a ＜ 0， b ＜0 时， ab ＞0，但 a ＋ b ＜ 2 ab ，故 B 不成立； 对于 C ，当 a ＜ 0，b ＜ 0 时，ab ＞ 0，故 C 不成立； 对于 D ，∵ ab＞0，则 ba＞ 0且ab＞ 0，∴ ba＋ ab≥ 2ba·ab＝ 2.当且仅当ba＝ ab，即a＝ b时，取“ ＝” ，故D 正确．题型二用基本不等式证明不等式例2已知a， b， c 为正数，且a＋ b＋ c＝ 1，证明：1＋ 1＋ 1≥ 9.a b c证明1＋ 1＋ 1＝a＋ b＋ c＋ a＋ b＋ c＋ a＋ b＋ca b c a b cb ac a c b＝ 3＋ (a＋ b)＋ (a＋ c)＋ (b＋ c)≥3＋ 2＋ 2＋ 2＝9.当且仅当a＝ b＝ c＝13时，等号成立．反思与感悟在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成合适的数、式，以便于利用基本不等式．追踪训练 2 已知 a， b，c 为正数，且a＋b＋ c＝ 1，证明： (1－ a)(1－ b)(1 － c)≥ 8abc.证明(1－ a)(1－ b)(1 － c)＝ (b＋ c)( a＋ c)( a＋ b)≥2 bc· 2 ac· 2 ab＝8abc.当且仅当b＝ c＝a＝13时，等号成立．1．若 0＜ a＜ 1， 0＜ b＜ 1，且 a≠ b，则 a＋ b， 222中最大的一个是 () ab， 2ab， a＋ bA ． a2＋ b2B． 2 abC．2ab D． a＋b答案D分析∵ 0＜ a＜1， 0＜ b＜ 1， a≠b，∴a＋ b＞ 2 ab， a2＋ b2＞ 2ab.∴四个数中最大的应从a＋ b， a2＋ b2中选择．而 a2＋ b2－ (a＋b)＝ a(a－ 1)＋ b(b－ 1)．又∵ 0＜ a＜ 1， 0＜ b＜ 1，∴ a(a－ 1)＜ 0，b(b－ 1)＜ 0，∴a2＋ b2－ (a＋ b)＜ 0，即 a2＋ b2＜ a＋ b，∴a＋b 最大．应选 D.2． a ， b 是 数，且a ＋b ＝ 3， 2a ＋ 2b 的最小 是 ( )A ．6B ． 4 2C ．2 6D ．8答案B分析∵ a ＋ b ＝3，∴ 2a ＋ 2b ≥ 2 2a · 2b ＝ 2 2a ＋b ＝ 2 8＝ 4 2.3．不等式 a 2＋ 4≥4a 中，等号成立的条件________．答案 a ＝ 2分析 令 a 2＋ 4＝4a ， a 2－ 4a ＋ 4＝ 0， ∴ a ＝ 2.1a ＋ b4．若 a ＞b ＞ 1，P ＝ lg a · lg b ，Q ＝ 2(lg a ＋ lg b)，R ＝ lg ， 它 的大小关系是 ________．2答案 R ＞Q ＞P分析 ∵ a ＞ b ＞1，∴ lg a ＞ lg b ＞0，∴ Q ＞ P ，1 1 a ＋ b又 Q ＝ (lg a ＋ lg b)＝ lg ab ＝lg ab ＜ lg＝ R ，222∴R ＞Q ＞P.1．两个不等式2 2≥ 2ab与 a ＋ b ＋ ；别的它 都是 有 a ＋ b ≥ ab 前者 a ，b ∈R ，后者 a ，b ∈ R2等号的不等式， 于 “ 当且 当 ⋯ ，取 ‘＝ ’” 句 的含 要有正确的理解．一方面：当 a ＝b ，a ＋ b＝ ab ；另一方面：当a ＋ b＝ ab ，也有 a ＝b.222．在 用基本不等式比 大小或 明不等式 ， 要熟 运用基本不等式的几 形， 同 注意等号成立的条件．只要我们坚持了，就没有战胜不了的困难。
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课时分层作业(二十三) 基本不等式：ab ≤a ＋b2(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．下列结论正确的是( )【导学号：91432353】A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2C ．当x ≥2时，x ＋1x的最小值为2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值B [A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性， 知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.]2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x≥2C [对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立，故选C.] 3．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( )【导学号：91432354】A.1a ＋1b <1B.1a ＋1b ≥1C.1a ＋1b<2D.1a ＋1b≥2B [因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab≥214＝1.] 4．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( )A.a ＋d2>bc B.a ＋d2<bc C.a ＋d 2＝bcD.a ＋d2≤bcA [因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .]5．若x >0，y >0，且2x ＋8y＝1，则xy 有( )【导学号：91432355】A ．最大值64B ．最小值164C ．最小值12D ．最小值64D [由题意xy ＝⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋8yxy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.] 二、填空题6．若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab ，则a 3＋b 3的最小值为________．42 [∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab，即ab ≥2，当且仅当a ＝b＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2ab3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.]7．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________.【导学号：91432356】12 [由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3－3x 22＝34，当且仅当3x ＝3－ 3x ，即x ＝12时等号成立．]8．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ [因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号， 所以有x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.]三、解答题9．(1)已知x <3 ，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值； (2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y的最小值.【导学号：91432357】[解] (1)∵x <3， ∴x －3<0， ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x＋－x ＋3≤－243－x－x ＋3＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3x y，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号．又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32. 10．某种汽车，购车费用是10万元，每年使用保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？[解] 设使用x 年平均费用最少．由条件知，汽车每年维修费用构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列．因此，汽车使用x 年总的维修费用为0.2＋0.2x 2x 万元．设汽车的年平均费用为y 万元，则有y ＝10＋0.9x ＋0.2＋0.2x2x x ＝10＋x ＋0.1x 2x ＝1＋10x ＋x10≥1＋210x ·x10＝3. 当且仅当10x ＝x10，即x ＝10时，y 取最小值．即这种汽车使用10年时，年平均费用最少．[冲A 挑战练]1．若－4<x <1，则f (x )＝x 2－2x ＋22x －2( )【导学号：91432358】A ．有最小值1B ．有最大值1C ．有最小值－1D ．有最大值－1 D [f (x )＝x 2－2x ＋22x －2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －＋1x －1，又∵－4<x <1， ∴x －1<0. ∴－(x －1)>0. 故f (x )＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x －＋1－x －≤－1.当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝0时 等号成立．]2．已知x >0，y >0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( ) A ．16 B ．25 C ．9D ．36B [(1＋x )(1＋y )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋x ＋＋y 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋x ＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋822＝25，因此当 且仅当1＋x ＝1＋y ，即x ＝y ＝4时，(1＋x )(1＋y )取最大值25，故选B.] 3．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y＝lg 2，则1x ＋13y的最小值为________.【导学号：91432359】4 [由lg 2x＋lg 8y＝lg 2，得2x·8y＝2， 即2x ＋3y＝21，∴x ＋3y ＝1，∴1x ＋13y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋13y (x ＋3y ) ＝x ＋3y x ＋x ＋3y3y＝1＋3y x ＋x3y＋1≥2＋23y x ·x 3y ＝2＋2＝4.当且仅当3y x ＝x 3y ，即x ＝12，y＝16时等号成立．] 4．若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． 233[∵x 2＋y 2＋xy ＝1， ∴(x ＋y )2＝1＋xy . ∵xy ≤x ＋y24，∴(x ＋y )2－1≤x ＋y24，整理求得－233≤x ＋y ≤233，∴x ＋y 的最大值是233.]5．某厂家拟在2017年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x (单位：万件)与年促销费用m (m ≥0)(单位：万元)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2017年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．(1)将2017年该产品的利润y (单位：万元)表示为年促销费用m 的函数； (2)该厂家2017年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？ [解] (1)由题意，可知当m ＝0时，x ＝1，∴1＝3－k ， 解得k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1， 又每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx元，∴y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1.5×8＋16x x －(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m ＝4＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋m ＋＋29(m ≥0)． (2)∵m ≥0，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3 时等号成立，∴y ≤－8＋29＝21，∴y max ＝21.故该厂家2017年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为 21万元．。