河南省郑州市新郑二中分校高考数学一模试卷理(含解析)

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【精品高考数学试卷】2019年河南省郑州市高考数学一模试卷(理科)+答案

2019年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的 1．（5分）若复数12()2aia R i+∈-的实部和虚部相等，则实数a 的值为( ) A ．1B ．1-C ．16 D ．16-2．（5分）已知集合{|34}M x x =-<„，2{|280}N x x x =--„，则( ) A ．M N R =U B ．{|34}M N x x =-<U „ C ．{|24}M N x x =-I 剟D ．{|24}M N x x =-<I „3．（5分）已知矩形ABCD 中，24BC AB ==，现向矩形ABCD 内随机投掷质点M ，则满足0MB MC u u u r u u u u rg …的概率是( ) A ．4π B ．44π- C ．2π D ．24π-4．（5分）下列函数既是奇函数，又在[1-，1]上单调递增的是( ) A ．()|sin |f x x = B ．()e xf x lne x-=+ C ．1()()2x x f x e e -=-D ．2()(1)f x ln x x =+-5．（5分）在ABC ∆中，三边长分别为a ，2a +，4a +，最小角的余弦值为1314，则这个三角形的面积为( )A ．1534B ．154 C ．2134 D ．3534 6．（5分）如图，在ABC ∆中，23AN NC =u u u r u u u r ，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则实数t 的值为( )A ．23B ．25C ．16D ．347．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，实轴长为6，渐近线方程为13y x =±，动点M 在双曲线左支上，点N 为圆22:(6)1E x y ++=上一点，则2||||MN MF +的最小值为( )A ．8B ．9C ．10D ．118．（5分）已知函数()sin()(0f x x ωθω=+>，)22ππθ-剟的图象相邻的两个对称中心之间的距离为2π，若将函数()f x 的图象向左平移6π后得到偶函数()g x 的图象，则函数()f x 的一个单调递减区间为( ) A ．[,]36ππ-B ．7[,]412ππC ．[0，]3πD ．5[,]26ππ9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．2(32162165)π+B ．162(162165)π+C ．2(32322325)π+D ．162(163225)π+10．（5分）已知直三棱柱111ABC A B C -中的底面为等腰直角三角形，AB AC ⊥，点M ，N 分别是边1AB ，1A C 上动点，若直线//MN 平面11BCC B ，点Q 为线段MN 的中点，则Q 点的轨迹为( )A ．双曲线的一支（一部分）B ．圆弧（一部分）C ．线段（去掉一个端点）D ．抛物线的一部分11．（5分）抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足60AFB∠=︒，过弦AB的中点C作该抛物线准线的垂线CD，垂足为D，则|| || AB CD u uu ru u u r的最小值为()A．3B．1C．23D．212．（5分）已知函数23236,0()34,0x x xf xx x x⎧-+=⎨--+<⎩…，设{|(())0A x Z x f x a=∈-…，若A中有且仅有4个元素，则满足条件的整数a的个数为()A．31B．32C．33D．34二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的13．（5分）已知21()nxx+的展开式的各项系数和为64，则展开式中3x的系数为14．（5分）已知变量x，y满足240260x yxx y-+⎧⎪⎨⎪+-⎩„…„，则13yzx+=-的取值范围是15．（5分）《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味，若《沁园春g长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐g六盘山排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春g长沙》与《清平乐g六盘山》不相邻且均不排在最后，则六场的排法有种．（用数字作答）．16．（5分）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点．设顶点(,)P x y的轨迹方程是()y f x=，则对函数()y f x=有下列判断：①函数()y f x=是偶函数；②对任意的x R∈，都有(2)(2)f x f x+=-③函数()y f x=在区间[2，3]上单调递减；④函数()y f x=的值域是[0，1]；⑤21()2f x dxπ+=⎰．其中判断正确的序号是．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个考生都必须作答第223题为选考题，考生根据要求作答本小题满分60分17．（12分）已知数列{}n a 为等比数列，首项14a =，数列{}n b 满足2log n n b a =，且12312b b b ++=．()I 求数列{}n a 的通项公式（Ⅱ）令14nn n n c a b b +=+g ，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18．（12分）已知四棱锥中P ABCD -，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E 、M 分别是BC 、PD 上的中点，直线EM 与平面PAD 所成角的正弦值为15，点F 在PC 上移动．（Ⅰ）证明：无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF ⊥平面PAD ．（Ⅱ）求点F 恰为PC 的中点时，二面角C AF E --的余弦值．19．（12分）2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布 2.5PM 数据．资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善，郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数()AQI ，其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2，5，2个监测站点，以9个站点测得的AQI 的平均值为依据，播报我市的空气质量．（Ⅰ）若某日播报的AQI 为118，已知轻度污染区AQI 的平均值为74，中度污染区AQ 的平均值为114，求重度污染区AQI 的平均值；（Ⅱ）如图是2018年11月的30天中AQI 的分布，11月份仅有一天AQI 在[170，180)内．组数分组天数第一组 [50，80) 3 第二组 [80，110) 4 第三组[110，140)4①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的AQI 为标准，如果AQI 小于180，则去进行社会实践活动．以统计数据中的频率为概率，求该校周日去进行社会实践活动的概率；②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到的AQI 不小于180的天数为X ，求X 的分布列及数学期望．20．（12分）设M 点为圆22:4C x y +=上的动点，点M 在x 轴上的投影为N ．动点P 满足2PN =u u u r u u u r，动点P 的轨迹为E ．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设E 的左顶点为D ，若直线:l y kx m =+与曲线E 交于两点A ，(B A ，B 不是左右顶点），且满足||||DA DB DA DB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，求证：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标． 21．（12分）已知函数2()8()f x x x alnx a R =-+∈．()I 当1x =时，()f x 取得极值，求a 的值并判断1x =是极大值点还是极小值点；（Ⅱ）当函数()f x 有两个极值点1x ，212()x x x <，且11x ≠时，总有21111(43)1alnx t x x x >+--成立，求t 的取值范围． [选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线221:(3)9C x y +-=，A 是曲线1C 上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点A 绕点O 逆时针旋转90︒得到点B ，设点B 的轨迹方程为曲线2C ．（Ⅰ）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）射线5(0)6πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于P ，Q 两点，定点(4,0)M -，求MPQ ∆的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|32||22|()f x x a x a R =-+-∈．（Ⅰ）当12a =时，解不等式()6f x >；（Ⅱ）若对任意0x R ∈，不等式000()34|22|f x x x +>+-都成立，求a 的取值范围．2019年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的【解答】解：Q 复数12(12)(2)22142(2)(2)55ai ai i a ai i i i +++-+==+--+的实部和虚部相等， ∴221455a a-+=，解得16a =．故选：C ．【解答】解：Q 集合{|34}M x x =-<„，2{|280}{|24}N x x x x x =--=-剟?， {|34}M N x x ∴=-U 剟， {|24}M N x x =-<I „．故选：D ．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则(0,0)B ，(4,0)C ，(0,2)A ，(4,2)D设(,)M x y ，则(,)MB x y =--u u u r ，(4,)MC x y =--u u u u r，由0MB MC u u u r u u u u rg …得：22(2)4x y -+…，由几何概型可得：24184S p S ππ-==-=阴矩，故选：B ．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，()|sin |f x x =，为偶函数，不符合题意；对于B ，()e x f x ln e x -=+，其定义域为(,)e e -，有()()e x e xf x ln ln f x e x e x+--==-=--+，为奇函数，设21e x et e x x e-==-+++，在(,)e e -上为减函数，而y lnt =为增函数，则()e xf x lne x-=+在(,)e e -上为减函数，不符合题意；对于C ，1()()2x x f x e e -=-，有11()()()()22x x x x f x e e e e f x ---=-=--=-，为奇函数，且1()()02x x f x e e -'=+>，在R 上为增函数，符合题意；对于D，())f x ln x =，其定义域为R ，()))()f x ln x ln x f x -==-=-，为奇函数，设t x ==，y lnt =，t 在R 上为减函数，而y lnt =为增函数，则())f x ln x =在R 上为减函数，不符合题意；故选：C ．【解答】解：设最小角为α，故α对应的边长为a ，则22222(4)(2)122013cos 2(4)(2)2121614a a a a a a a a a α+++-++===++++，解得3a =．Q 最小角α的余弦值为1314，∴sin α==∴11(4)(2)sin 3522ABC S a a α∆=⨯++=⨯=．故选：A ．【解答】解：由题意及图，()(1)AP AB BP AB mBN AB m AN AB mAN m AB =+=+=+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，又，23AN NC =u u u r u u u r ，所以25AN AC =u u u r u u u r ，∴2(1)5AP mAC m AB =+-u u u r u u u r u u u r ，又13AP t AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，所以12153m t m -=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得56m =，16t =，故选：C ．【解答】解：由题意可得26a =，即3a =，渐近线方程为13y x =±，即有13b a =，即1b =，可得双曲线方程为2219x y -=，焦点为1(10F -，0)，2F ，(10，0)，由双曲线的定义可得211||2||6||MF a MF MF =+=+，由圆22:(6)1E x y ++=可得(0,6)E -，半径1r =， 21||||6||||MN MF MN MF +=++，连接1EF ，交双曲线于M ，圆于N ，可得1||||MN MF +取得最小值，且为1||6104EF =+=，则则2||||MN MF +的最小值为6419+-=．故选：B ．【解答】解：函数()sin()(0f x x ωθω=+>，)22ππθ-剟的图象相邻的两个对称中心之间的距离为2π，则：T π=，所以：2ω=将函数()f x 的图象向左平移6π后，得到()sin(2)3g x x πθ=++是偶函数，故：()32k k Z ππθπ+=+∈，解得：()6k k Z πθπ=+∈，由于：22ππθ剟，所以：当0k =时6πθ=．则()sin(2)6f x x π=+，令：3222()262k x k k Z πππππ+++∈剟，解得：2()63k x k k Z ππππ++∈剟，当0k =时，单调递减区间为：2[,]63ππ，由于72[,][,]41263ππππ⊂，故选：B ．【解答】解：根据几何体的三视图得到：该几何体是由：上面是一个长方体，下面是由两个倒扣的圆锥构成，故：上面的正方体的表面积为：18S =，设中间的圆锥展开面的圆心角为n ，16π=，解得：n =，所以圆锥的展开面的面积为S ==，所以：中间的圆锥的表面积为2168S π=+-，同理得：下面的圆锥的表面积为316S π=+，所以总面积为：123(32S S S S π=++=+，故选：A ．【解答】解：如图当N 与C 重合，M 与1B 重合时，MN ⊂平面11BCC B ， MN 的中点为O ；当N 与1A 重合，M 与A 重合时，//MN 平面11BCC B ， MN 的中点为H ；一般情况，如平面//PQRK 平面11BCC B ，可得点M ，N ，取MN 的中点D ，作DE KR ⊥于E ， NF KR ⊥于F ，易知，E 为KR 中点，且D 在OH 上，故选：C ．【解答】解：设||AF a =，||BF b =，由抛物线定义，得||||AF AQ =，||||BF BP = 在梯形ABPQ 中，2||||||CD AQ BP a b ∴=+=+．由余弦定理得，22222||2cos60AB a b ab a b ab =+-︒=+- 配方得，22||()3AB a b ab =+-，又(ab Q „)2a b + 2， 222231()3()()()44a b ab a b a b a b ∴+-+-+=+…得到1||()||2AB a b CD +=…．∴||1||AB CD u u u r u u u r …，即||||AB CD u u u r u u u r 的最小值为1．故选：B ．【解答】解：0x A =∈Q ，符合条件的整数根，除零外有且只有三个即可．画出()f x 的图象如下图：当0x >时，()f x a …；当0x <时，()a f x …．即y 轴左侧的图象在y a =下面，y 轴右侧的图象在y a =上面， f Q （3）39189=-⨯+=-，f （4）3162424=-⨯+=-，32(3)(3)3(3)44f -=---⨯-+=，32(4)(4)3(4)420f -=---⨯-+=，平移y a =，由图可知：当249a -<-„时，{1A =，2，3}，符合题意； 0a =时，{1A =-，1，2}，符合题意；23a 剟时，{1A =，1-，2}-，符合题意； 420a <„时，{1A =-，2-，3}-，符合题意；∴整数a 的值为23-，22-，21-，20-，19-，18-，17-，16-，15-，14-，13-，12-，11-，10-，9-，0，2，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，共34个．故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的【解答】解：令1x =，可得21()n x x +的展开式的各项系数和为264n =，6n ∴=，故22611()()n x x x x+=+的展开式的通项公式为3616r r r T C x -+=g ，令363r -=，可得3r =，故展开式中3x 的系数为3620C =，故答案为：20．【解答】解：由变量x ，y 满足240260x y x x y -+⎧⎪⎨⎪+-⎩„…„作出可行域如图：(2,3)A ，24060x y x y -+=⎧⎨+-=⎩解得8(3B ，10)3， 13y z x +=-的几何意义为可行域内动点与定点(3,1)D -连线的斜率． 31423DA k +==--Q ，101313833DBk +==--． 13y z x +∴=-的取值范围是[13-，4]-．故答案为：[13-，4]-．【解答】解：《沁园春g 长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐g 六盘山》，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，由已知有B 排在D 的前面，A 与F 不相邻且不排在最后．第一步：在B ，C ，D ，E 中选一个排在最后，共144C =（种)选法第二步：将剩余五个节目按A 与F 不相邻排序，共52452472A A A -=g （种)排法，第三步：在前两步中B 排在D 的前面与后面机会相等，则B 排在D 的前面，只需除以222A =即可，即六场的排法有4722144⨯÷=（种) 故答案为：144．【解答】解：当21x --剟，P 的轨迹是以A 为圆心，半径为1的14圆，当11x -剟时，P 的轨迹是以B 214圆，当12x 剟时，P 的轨迹是以C 为圆心，半径为1的14圆，当34x 剟时，P 的轨迹是以A 为圆心，半径为1的14圆， ∴函数的周期是4．因此最终构成图象如下：①，根据图象的对称性可知函数()y f x =是偶函数，故①正确；②，由图象即分析可知函数的周期是4．即(4)()f x f x +=，即(2)(2)f x f x +=-，故②正确； ③，函数()y f x =在区间[2，3]上单调递增，故③错误；④，由图象可得()f x 的值域为[0，2]，故④错误；⑤，根据积分的几何意义可知22201111()(2)11182422f x dx πππ=+⨯⨯+⨯=+⎰g ，故⑤正确．故答案为：①②⑤．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个考生都必须作答第223题为选考题，考生根据要求作答本小题满分60分【解答】解：()I 数列{}n a 为等比数列，首项14a =，公比设为q ，数列{}n b 满足2log n n b a =，且12312b b b ++=，即有212223log log log 12a a a ++=，2123log ()12a a a =，即31222a =，即有216a =，4q =，则4n n a =；（Ⅱ）22log log 4n n b a ==2n n =， 1411144(1)1n n n n n n c a b b n n n n +=+=+=-+++g ，前n 项和11111(1)(4164)2231n n S n n =-+-+⋯+-+++⋯++ 14(14)1114n n -=-++-14413n n n +-=++．【解答】证明：（Ⅰ）Q 四棱锥中P ABCD -，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E 、M 分别是BC 、PD 上的中点， AE PA ∴⊥，AE AD ⊥，PA AD A =Q I ，AE ∴⊥平面PAD ，Q 点F 在PC 上移动，AE ∴⊂平面AEF ，∴无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF ⊥平面PAD ．解：（Ⅱ）直线EM 与平面PAD，点F 恰为PC 的中点时，以A 为原点，AE 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，设2AB =，AP x =，则E 0，0)，(0M ，1，)2x，1,)2xME =--u u u r ，平面PAD 的法向量(1n =r ，0，0)，|||cos ,|||||ME n ME n ME n ∴<>===u u u r ru u u r g r u u u r r g解得2x AP ==，C 1，0)，(0A ，0，0)，(0P ，0，2)，E 0，0)，1,1)2F ，AC =u u u r，AE =u u u r，1,1)2AF =u u u r ，设平面ACF 的法向量(n x =r，y ，)z ，则0102n AC y n AF y z ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，取1x =，得(1n =r，0)，设平面AEF 的法向量(m x =r，y ，)z ，则0102m AE m AF y z ⎧==⎪⎨=++=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，取2y =，得(0m =r ，2，1)-，设二面角C AF E --的平面角为θ，则||cos ||||m n m n θ===r rg r r g ．∴二面角C AF E --．【解答】解：（Ⅰ）设重度污染区AQI 的平均值为x ，则 742114521189x ⨯+⨯+=⨯，解得172x =；（Ⅱ）①11月份仅有一天AQI 在[170，180)内，则AQI 小于180的天数为18天，则该校周日去进行社会实践活动的概率为183305P ==； ②由题意知，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3；计算318330204(0)1015C P X C ===，211812330459(1)1015C C P X C ===g ， 121812330297(2)1015C C P X C ===g ， 31233055(3)1015C P X C ===，X ∴的分布列为：X 0123 P2041015 4591015 2971015551015数学期望为2044592975512186()0123101510151015101510155E X =⨯+⨯+⨯+⨯==．【解答】解：（Ⅰ）设(,)P x y ，0(M x ，0)y ，则0(N x ，0)，∴0(,)PN x x y =--u u u r ，0(0,)MN y =-u u u u r，Q 2PN =u u u r u u u r ，0x x ∴=，0y y =，代入圆的方程得，22443x y +=，即22143x y +=，故动点P 的轨迹为E 的方程为：22143x y +=；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，(2,0)D -， Q ||||DA DB DA DB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，DA DB ∴⊥，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：222(34)84120k x kmx m +++-=，∴122834kmx x k +=-+，212241234m x x k -=+，⋯①1212()()y y kx m kx m ∴=++221212()k x x mk x x m =+++，⋯② 由DA DB ⊥得： 1212122y yx x ⨯=-++，即1212122()4y y x x x x -=+++，⋯③由②③得：221212(1)(2)()40k x x mk x x m ++++++=，⋯④ 把①代入④并整理得：2271640m km k -+=，得：(72)(2)0m k m k --=，即27m k =或2m k =，故直线l 的方程为2()7y k x =+，或(2)y k x =+，当直线l 的方程为2()7y k x =+时，l 过定点2(,0)7-；当直线l 的方程为(2)y k x =+时，l 过定点(2,0)-，这与A ，B 不是左顶点矛盾．故直线l 的方程为2()7y k x =+，过定点2(,0)7-．【解答】解：()()28aI f x x x'=-+，(0)x >，Q 当1x =时，()f x 取得极值，f ∴'（1）280a =-+=，解得6a =，此时，2()86f x x lnx =-+，62(1)(3)()28x x f x x x x--'=-+=，令()0f x '>，解得：3x >或1x <，令()0f x '<，解得：13x <<，故()f x 在(0,1)递增，在(1,3)递减，在(3,)+∞递增，故1x =是极大值点；()II 当函数()f x 在(0,)+∞内有两个极值点1x ，212()x x x <且11x ≠时，则2()280u x x x a =-+=在(0,)+∞上有两个不等正根． ∴6480(0)020a u a x =->⎧⎪=>⎨⎪=>⎩V ，08a ∴<<． 124x x ∴+=，122ax x =，120x x <<， 214x x ∴=-，121122(4)a x x x x ==-，可得102x <<．∴21111(43)1alnx t x x x >+--成立，即1111112(4)(4)(1)1x x lnx t x x x ->-+-，即11112(1)1x lnx t x x >+-，即11112(1)01x lnxt x x -+>-，即211111(1)[2]01x t x lnx x x -+>-，且101x <<时，1101xx >-． 112x <<时，1101x x <-．即2(1)()2(02)t x h x lnx x x-=+<<． 222()tx x th x x ++'=(02)x <<，①0t =时，2()0h x x'=>．()h x ∴在(0,2)上为增函数，且h （1）0=，(1,2)x ∴∈时，()0h x >，不合题意舍去．②0t >时，()0h x '>．同①不合题意舍去． ③0t <时，()i △0„时，解得1t -„，()0h x '„，在(0,2)内函数()h x 为减函数，且h （1）0=，可得：01x <<时，()0h x >． 12x <<时，()0h x <，∴2(1)[2]01x t x lnx x x-+>-成立． ()ii △0>时，10t -<<，()h x '分子中的二次函数对称轴11x t =->，开口向下，且函数值2(1)0t =+>，即1{a min t=-，2}，则(1,)x a ∈时，()0h x '>，()h x 为增函数，h （1）0=，()0h x >，故舍去．综上可得：t 的取值范围是1t -„． [选修4-4：坐标系与参数方程]【解答】1解：（Ⅰ）知曲线221:(3)9C x y +-=，整理得：22699x y y +-+=，转换为极坐标方程为：6sin ρθ=，A 是曲线1C 上的动点，以极点O 为中心，将点A 绕点O 逆时针旋转90︒得到点B ，设点B 的轨迹方程为曲线2C ．所以得到的直角坐标方程为：22(3)9x y ++=，转换为极坐标方程为：6cos ρθ=-．（Ⅱ）由于射线5(0)6πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于P ，Q 两点，则：15||6sin 36OQ πρ===，25||6cos6OP πρ=== 所以：1511||||sin 4332622MOP S OM OP π∆===g g g g g ，1511||||sin 42622MOQ S OM OQ π∆===g g g g g所以：3MPQ MOQ MOP S S S ∆∆∆=-=． [选修4-5：不等式选讲]21 / 21【解答】解：（Ⅰ）12a =时，|31||22|6x x -+->，故131226x x x ⎧⎨-+->⎩…或11331226x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+->⎩或1313226x x x ⎧⎪⎨⎪-+->⎩„，解得：95x >或35x <-，故不等式的解集是(-∞，39)(55-⋃，)+∞；（Ⅱ）若对任意0x R ∈，不等式000()34|22|f x x x +>+-都成立，则00|32|34x a x -+>恒成立，故023x a …时，0624x a >+恒成立，故26243a a ⨯>+，解得：2a >， 023x a <时，24a >，解得：2a >，综上，(2,)a ∈+∞．。

河南省郑州市新郑一中分校高考数学一模试卷理(含解析)

河南省郑州市新郑一中分校2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B=( )A．（0，2）B．[0，2] C．|0，2| D．{0，1，2}2．已知=b+i，（a，b∈R），其中i为虚数单位，则ab=( )A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣23．下列命题错误的是( )A．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p为：∀x∈R，均有x2+x+1≥0B．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件4．已知函数，则的值为( )A．1 B．C．D．25．运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为( )A．1007 B．1008 C．2013 D．20146．若对任意角θ，都有，则下列不等式恒成立的是( )A．a2+b2≤1B．a2+b2≥1C．D．7．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A．B．C．D．8．设α、β是两个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中真命题是( )A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b∥β，则α∥βC．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥βD．若a、b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b9．若不等式组表示的平面区域为M，x2+y2≤1所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为( )A．B．C．D．10．已知点O为△ABC的外心，且则=( ) A．2 B．4 C．D．611．如图，F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．12．设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数m满足∀x∈M（M⊆D），均有x+m∈D，且f（x+m）≥f（x），则称f（x）为M上的m高调函数．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣a2|﹣a2，且f（x）为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是( )A．[﹣1，1] B．（﹣1，1）C．[﹣2，2] D．（﹣2，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置上．13．若的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数为__________．14．若数列{a n}满足a1=2，a n+1=（n∈N*），则该数列的前2014项的乘积a1•a2•a3•…a2014=__________．15．已知函数f（x）=有三个不同的零点，则实数a的取值范围是__________．16．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为__________（用数字作答）．三．解答题（本小题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，b=2，求△ABC的面积S．18．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=2CD=2，PB=PC，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中点．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）求证：PA⊥BD（3）若二面角D﹣PA﹣O的余弦值为，求PB的长．19．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85）[85，90）后得到如图的频率分布直方图．问：（1）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值．（2）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求抽出的2辆车中车速在[65，70）的车辆数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．20．已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为4；l1，l2是过点P（0，2）且互相垂直的两条直线，l1交E于A，B两点，l2交E交C，D两点，AB，CD的中点分别为M，N．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求l1的斜率k的取值范围；（Ⅲ）求的取值范围．21．已知x＞，函数f（x）=x2，h（x）=2e lnx（e为自然常数）．（Ⅰ）求证：f（x）≥h（x）；（Ⅱ）若f（x）≥h（x）且g（x）≤h（x）恒成立，则称函数h（x）的图象为函数f（x），g（x）的“边界”．已知函数g（x）=﹣4x2+px+q（p，q∈R），试判断“函数f（x），g（x）以函数h（x）的图象为边界”和“函数f（x），g（x）的图象有且仅有一个公共点”这两个条件能否同时成立？若能同时成立，请求出实数p、q的值；若不能同时成立，请说明理由．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．选修4-5：平面几何选讲（本小题10分）22．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与⊙O1、⊙O2交于C，D两点．求证：（1）PA•PD=PE•PC；（2）AD=AE．选修4-5：坐标系与参数方程．23．已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=5时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范围．河南省郑州市新郑一中分校2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B=( ) A．（0，2）B．[0，2] C．|0，2| D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：由题意可得A={x|﹣2≤x≤2}，B={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，从而可求解答：解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}B={x|≤4，x∈Z}={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16} 则A∩B={0，1，2}故选D点评：本题主要考查了集合的交集的求解，解题的关键是准确求解A，B，属于基础试题2．已知=b+i，（a，b∈R），其中i为虚数单位，则ab=( )A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由复数代数形式的乘除运算化简等式左边，然后由复数相等的条件求得a，b，则ab 可求．解答：解：由=，又=b+i，∴2﹣ai=b+i，则a=﹣1，b=2．∴ab=﹣2．故选：D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．3．下列命题错误的是( )A．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p为：∀x∈R，均有x2+x+1≥0B．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件考点：复合命题的真假．专题：阅读型．分析：根据命题：∃x∈R，使得x2+x+1＜0是特称命题，其否定为全称命题，即：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，从而得到答案．故A对；根据逆否命题的写法进行判断B即可；P∧q为假命题⇒P、q不均为真命题．故C错误；利用充分不必要条件的判定方法即可进行D的判定．解答：解：∵命题：∃x∈R，使得x2+x+1＜0是特称命题∴否定命题为：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，从而得到答案．故A对B命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”故②正确；C：若P∧q为假命题，则P、q不均为真命题．故③错误；D“x＞2”⇒“x2﹣3x+2＞0”，反之不成立，“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，故选C．点评：这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．本题考查命题的真假判断与应用，解题时要认真审题，仔细解答．4．已知函数，则的值为( )A．1 B．C．D．2考点：三角函数的恒等变换及化简求值．专题：计算题．分析：先通过诱导公式找到规律，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=（cos+cos）+（cos+cos）=﹣（cos+cos）+（cos+cos）=0，然后再利用诱导公式及周期性求解．解答：解：∵f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=（cos+cos）+（cos+cos）=﹣（cos+cos）+（cos+cos）=0，f（5）=cosπ=﹣1；f（6）+f（7）+f（8）+f（9）=cos（π+）+cos（π+）+cos（π+）+cos（π+）=﹣（cos+cos+cos+cos）=﹣[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]=0，f（10）=cos2π=1；∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）+f（8）+f（9）+f（10）=0函数的周期T==10，因此从f（1）起，每连续10项的和等于0，∴f（1）+f（2）+f（3）+…f=f+f+f=f（1）+f（2）+f（3）=cos+cos+cos=cosf（11）+f（22）+f（33）=f（1）+f（2）+f（3）=cos+cos+cos=cos∴原式=1故选A．点评：本题主要考查函数的规律的探索，学习三角函数关键是熟练应用相关公式，将问题进行转化．5．运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为( )A．1007 B．1008 C．2013 D．2014考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：程序运行的功能是求S=1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）k﹣1•k，根据计算变量n判断程序终止运行时的k值，利用并项求和求得S．解答：解：由程序框图知：程序运行的功能是求S=1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）k﹣1•k，当n=2014时，不满足条件n＜2014，程序运行终止，此时k=2014，∴输出的S=1﹣2+3﹣4+…（﹣1）2012•2013=1+1006=1007．故选：A．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据计算变量n判断程序终止运行时的k值是解答本题的关键．6．若对任意角θ，都有，则下列不等式恒成立的是( ) A．a2+b2≤1B．a2+b2≥1C．D．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：先换元，对任意角θ，都有，可转化成直线与单位圆有交点，利用圆心到直线的距离小于等于半径建立不等关系即可．解答：解：设x=cosθ，y=sinθ则对任意角θ，都有，可看成直线与单位圆有交点，化简得，故选D．点评：本题主要考查了基本不等式，转化成直线和圆恒有交点，属于中档题．7．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：根据由已知底面是正三角形的三棱柱的正视图，我们可得该三棱柱的底面棱长为2，高为1，进而求出底面外接圆半径r，球心到底面的球心距d，球半径R，代入球的表面积公式．即可求出球的表面积．解答：解：由已知底面是正三角形的三棱柱的正视图我们可得该三棱柱的底面棱长为2，高为1则底面外接圆半径r=，球心到底面的球心距d=则球半径R2==则该球的表面积S=4πR2=故选B点评：本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据截面圆半径、球心距、球半径满足勾股定理计算球的半径，是解答本题的关键．8．设α、β是两个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中真命题是( )A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b∥β，则α∥βC．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥βD．若a、b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b考点：平面与平面之间的位置关系．专题：证明题；数形结合；综合法．分析：A选项用空间中直线的位置关系讨论；B选项用面面平行的条件进行讨论；C选项用面面垂直的判定定理进行判断；D选项用线线的位置关系进行讨论，解答：解：A选项不正确，a∥α，b∥α，两直线的位置关系可能是平行，相交、异面B选项不正确，两个平面平行于同一条直线，两平面的位置关系可能是平行或者相交．C选项正确，由b⊥β，a⊥b可得出β∥a或β⊃a，又a⊥α故有α⊥βD选项不正确，本命题用图形说明，如图三棱锥P﹣ABC中，侧棱PB垂直于底面，PA，PC两线在底面上的投影垂直，而两线不垂直．故选C点评：本题考查平面与平面之间的位置关系，考查了面面垂直的判定面面平行的判定，考查了空间想像能力．9．若不等式组表示的平面区域为M，x2+y2≤1所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为( )A．B．C．D．考点：几何概型；二元一次不等式（组）与平面区域．专题：计算题．分析：分别求出不等式组表示的平面区域为M，即为图中的三角形OAB的面积及区域N的为图中的阴影部分面积为，代入几何概率的计算公式可求．解答：解：不等式组表示的平面区域为M，即为图中的三角形OAB，A（） B（4，4）设y=2x﹣4与x轴的交点为M（2，0）S△AOB=S OBM+S△OAM=区域N的为图中的阴影部分，面积为由几何概率的计算公式可得P=故选C点评：本题主要考查了几何概率的求解，还考查了线性规划的知识，属于简单综合．10．已知点O为△ABC的外心，且则=( ) A．2 B．4 C．D．6考点：平面向量数量积的运算；三角形五心．专题：计算题．分析：先根据向量的线性运算，直接表示中根据向量的数量积运算可求得最后结果．解答：解：因为点O为△ABC的外心，取P为AC的中点．且，∴•====（）（）=（||2﹣||2）=16﹣4）=6．故选D．点评：本题主要考查向量的线性运算和数量积运算．2015届高考对向量的考查一般以基础题为主，平时要注意基础题的练习．11．如图，F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；解三角形；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由△BAF2为等边三角形，设AF2=t，则AB=BF2=t，再由双曲线的定义，求得t=4a，再由余弦定理可得a，c的关系，结合离心率公式即可计算得到．解答：解：由△BAF2为等边三角形，设A为右支上一点，且AF2=t，则AB=BF2=t，由双曲线的定义可得，AF2﹣AF1=2a，BF1﹣BF2=2a，BF1=AB+AF1，即有t+2a=2t﹣2a，解得，t=4a，AF1=6a，AF2=4a，F1F2=2c，由余弦定理可得，F1F22=AF12+AF22﹣2AF1•AF2cos60°，即有4c2=36a2+16a2﹣2×6a×4a×，即为4c2=28a2，则有e==．故选D．点评：本题考查双曲线的离心率的求法，考查双曲线的定义的运用，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．12．设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数m满足∀x∈M（M⊆D），均有x+m∈D，且f（x+m）≥f（x），则称f（x）为M上的m高调函数．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣a2|﹣a2，且f（x）为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是( )A．[﹣1，1] B．（﹣1，1）C．[﹣2，2] D．（﹣2，2）考点：函数最值的应用．专题：作图题；新定义．分析：定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣a2|﹣a2，画出函数图象，根据高调函数的定义可知4≥3a2﹣（﹣a2），解之即可求出a的取值范围．解答：解：定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣a2|﹣a2=，根据解析式和函数是奇函数进行画图，图象如右图，∵f（x）为R上的4高调函数，当x＜0时，函数的最大值为a2，要满足f（x+4）≥f（x），4大于等于区间长度3a2﹣（﹣a2），∴4≥3a2﹣（﹣a2），∴﹣1≤a≤1，即实数a的取值范围是[﹣1，1]．故选A．点评：本题主要考查学生的阅读能力，应用知识分析解决问题的能力，考查数形结合的能力，用图解决问题的能力，属中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置上．13．若的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数为21．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项式系数和为2m，列出方程求出m；利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为﹣3，求出展开式中含的系数．解答：解：∵展开式中二项式系数之和为2m∴2m=128解得m=7∴=展开式的通项为令解得r=6故展开式中的系数为3C76=21故答案为21点评：本题考查二项式系数的性质：二项式系数和为2n、考查利用二次展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．14．若数列{a n}满足a1=2，a n+1=（n∈N*），则该数列的前2014项的乘积a1•a2•a3• (2014)﹣6．考点：数列递推式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：先由递推关系式，分析得到数列{a n}的规律．即数列是以4为循环的数列，再求解．解答：解：由递推关系式，得a n+2=﹣，a n+4=a n．∴{a n}是以4为循环的一个数列．由计算，得a1=2，a2=﹣3，a3=﹣，a4=，a5=2，…∴a1a2a3a4=1，∴a1•a2…a2010•a2014=1×a2013•a2014=a1•a2=﹣6．故答案为：﹣6．点评：递推关系式是数列内部之间关系的一个式子．当遇到如题中的连续多项计算，特别是不可能逐一计算时，往往数列本身会有一定的规律，如循环等，再利用规律求解．15．已知函数f（x）=有三个不同的零点，则实数a的取值范围是＜a≤1．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：数形结合．分析：由题意可得需使指数函数部分与x轴有一个交点，抛物线部分与x轴有两个交点，由函数图象的平移和二次函数的顶点可得关于a的不等式，解之可得答案．解答：解：由题意可知：函数图象的左半部分为单调递增指数函数的部分，函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为x=，最多两个零点，如上图，要满足题意，必须指数函数的部分向下平移到与x轴相交，由指数函数过点（0，1），故需下移至多1个单位，故0＜a≤1，还需保证抛物线与x轴由两个交点，故最低点＜0，解得a＜0或a＞，综合可得＜a≤1，故答案为：＜a≤1点评：本题考查根的存在性及根的个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题．16．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）．考点：等可能事件的概率．专题：概率与统计．分析：三门文化课排列，中间有两个空，若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为，若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为•（•）•=216，三门文化课中相邻排列，则排法种数为=144，而所有的排法共有=720种，由此求得所求事件的概率．解答：解：把语文、数学、外语三门文化课排列，有种方法，这三门课中间存在两个空，在两个空中，①若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为=72，②若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为•（•）•=216，③若语文、数学、外语三门文化课相邻排列，把三门文化课捆绑为为一个整体，然后和三门艺术课进行排列，则排法种数为=144，而所有的排法共有=720种，故在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为=，故答案为．点评：本题主要考查等可能事件的概率，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．三．解答题（本小题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，b=2，求△ABC的面积S．考点：解三角形；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，整理后可求得sinC和sinA的关系式，则的值可得．（Ⅱ）先通过余弦定理可求得a和c的关系式，同时利用（Ⅰ）中的结论和正弦定理求得a 和c的另一关系式，最后联立求得a和c，利用三角形面积公式即可求得答案．解答：解：（Ⅰ）由正弦定理设则===整理求得sin（A+B）=2sin（B+C）又A+B+C=π∴sinC=2sinA，即=2（Ⅱ）由余弦定理可知cosB==①由（Ⅰ）可知==2②再由b=2，①②联立求得c=2，a=1sinB==∴S=acsinB=点评：本题主要考查了解三角形和三角函数中恒等变换的应用．考查了学生基本分析问题的能力和基本的运算能力．18．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=2CD=2，PB=PC，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中点．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）求证：PA⊥BD（3）若二面角D﹣PA﹣O的余弦值为，求PB的长．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；向量语言表述线线的垂直、平行关系．专题：计算题；证明题．（1）由已知中，PB=PC，O是BC的中点，由等腰三角形“三线合一”的性质，可得PO⊥BC，分析：结合侧面PBC⊥底面ABCD，由面面垂直的性质定理可得PO⊥平面ABCD；（2）以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，设OP=t，分别求出直线PA与BD的方向向量，根据两个向量的数量积为0，即可得到PA⊥BD（3）分别求出平面DPA与平面PAO的法向量，根据二面角D﹣PA﹣O的余弦值为，代入向量夹角公式，构造关于t的方程，解方法即可得到PB的长．解答：解：（1）证明：因为PB=PC，O是BC的中点，所以P O⊥BC，又侧面PBC⊥底面ABCD，PO⊂平面PBC，面PBC∩底面ABCD=BC，所以PO⊥平面ABCD．…（2）证明：以点O为坐标原点，建立如图空间直角坐标系O﹣xyz，设OP=t（t＞0），则P（0，0，t），A（1，2，0），B（1，0，0），D（﹣1，1，0），=（1，2，﹣t），=（﹣2，1，0），因为•=0，所以⊥，即PA⊥BD．…（3）设平面PAD和平面PAO的法向量分别为=（a，b，c），=（x，y，z），注意到=（﹣1，1，﹣t），=（1，2，0），=（0，0，t），由，令a=1得，=（1，﹣2，），由令y=﹣1得，=（2，﹣1，0），所以cos60°===，解之得t=，所以PB==2为所求．…点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，向量语言表述线线的垂直、平行关系，其中（1）的关键是熟练掌握空间线线垂直、线面垂直及面面垂直之间的相互转化，（2），（3）的关键是建立空间坐标系，将空间中直线与平面之间的关系及夹角转化为向量的夹角．19．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85）[85，90）后得到如图的频率分布直方图．问：（1）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值．（2）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求抽出的2辆车中车速在[65，70）的车辆数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．考点：离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，由此能求出众数的估计值，设图中虚线所对应的车速为x，则0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x﹣75）=0.5，由此能求出中位数的估计值．（2）从图中可知ξ=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及其均值．解答：解：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值为：77.5．设图中虚线所对应的车速为x，则0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x﹣75）=0.5，解得x=77.5，即中位数的估计值为77.5．（2）从图中可知，车速在[60，65）的车辆数为：m1=0.01×5×40=2（辆），车速在[65，70）的车辆数为：m2=0.02×5×40=4（辆），∴ξ=0，1，2，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，∴ξ的分布列为ξ0 1 2P均值E（ξ）==．点评：本题考查车速的众数和中位数的估计值的求法，考查离散型随机变量的分布列的均值的求法，是中档题，解题时要注意频率分布直方图的合理运用．20．已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为4；l1，l2是过点P（0，2）且互相垂直的两条直线，l1交E于A，B两点，l2交E交C，D两点，AB，CD的中点分别为M，N．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求l1的斜率k的取值范围；（Ⅲ）求的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：（1）设椭圆的标准方程，根据离心率求得a和c关系，进而根据a求得b，则椭圆的方程可得．（2）由题意知，直线l1的斜率存在且不为零设直线l1和l2的方程，分别于椭圆方程联立消去y，根据判别式求得k的范围，最后综合可得答案．（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），根据韦达定理求得x0和y0的表达式，进而表示M和N的坐标，最后表示出根据k的范围确定答案．解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为，由∴椭圆方程为；（2）由题意知，直线l1的斜率存在且不为零∵，∴．由消去y并化简整理，得（3+4k2）x2+16kx+4=0根据题意，△=（16k）2﹣16（3+4k2）＞0，解得．同理得，∴；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）那么，∴，∴同理得，即∴∵，∴∴即的取值范围是．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．此类题综合性强，要求学生要有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．21．已知x＞，函数f（x）=x2，h（x）=2e lnx（e为自然常数）．（Ⅰ）求证：f（x）≥h（x）；（Ⅱ）若f（x）≥h（x）且g（x）≤h（x）恒成立，则称函数h（x）的图象为函数f（x），g（x）的“边界”．已知函数g（x）=﹣4x2+px+q（p，q∈R），试判断“函数f（x），g（x）以函数h（x）的图象为边界”和“函数f（x），g（x）的图象有且仅有一个公共点”这两个条件能否同时成立？若能同时成立，请求出实数p、q的值；若不能同时成立，请说明理由．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；新定义．分析：（I）把两个函数相减构造新函数，求函数的导数，使得导数大于0，得到函数的函数的单调区间，求出函数的最小值，最小值等于0，得到两个函数之间的大小关系．（II）构造新函数v（x）=h（x）﹣g（x）=2elnx+4x2﹣px﹣q，v（x）≥0恒成立”与“函数f（x），g（x）的图象有且仅有一个公共点”同时成立，利用导数求出新函数的单调区间和最值，求出两个函数同时成立时p，q的值．解答：解：（I）证明：记u（x）=f（x）﹣h（x）=x2﹣2elnx，则，令u'（x）＞0，注意到，可得，所以函数u（x）在上单调递减，在上单调递增．，即u（x）≥0，∴f（x）≥h（x）．（II）由（I）知，f（x）≥h（x）对恒成立，当且仅当时等号成立，记v（x）=h（x）﹣g（x）=2elnx+4x2﹣px﹣q，则“v（x）≥0恒成立”与“函数f（x），g（x）的图象有且仅有一个公共点”同时成立，即v（x）≥0对恒成立，当且仅当时等号成立，所以函数v（x）在时取极小值，注意到，由，解得，此时，由知，函数v（x）在上单调递减，在上单调递增，即=0，q=﹣5e，综上，两个条件能同时成立，此时．点评：本题考查函数的导数在最值中的应用，解题的关键是构造新函数，利用函数恒成立的思想解决问题，注意本题的运算也比较多，不要在这种运算上出错．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．选修4-5：平面几何选讲（本小题10分）22．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与⊙O1、⊙O2交于C，D两点．求证：（1）PA•PD=PE•PC；（2）AD=AE．考点：与圆有关的比例线段．专题：综合题．分析：（1）根据切割线定理，建立两个等式，即可证得结论；（2）连接AC、ED，设DE与AB相交于点F，证明AC是⊙O2的切线，可得∠CAD=∠AE D，由（1）知，可得∠CAD=∠ADE，从而可得∠AED=∠ADE，即可证得结论．解答：证明：（1）∵PE、PB分别是⊙O2的割线∴PA•PE=PD•PB又∵PA、PB分别是⊙O1的切线和割线∴PA2=PC•PB由以上条件得PA•PD=PE•PC（2）连接AC、ED，设DE与AB相交于点F∵BC是⊙O1的直径，∴∠CAB=90°∴AC是⊙O2的切线．由（1）知，∴AC∥ED，∴AB⊥DE，∠CAD=∠ADE又∵AC是⊙O2的切线，∴∠CAD=∠AED又∠CAD=∠ADE，∴∠AED=∠ADE∴AD=AE点评：本题考查圆的切线，考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-5：坐标系与参数方程．23．已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．考点：简单曲线的极坐标方程；轨迹方程；直线和圆的方程的应用；直线的参数方程；圆的参数方程．专题：综合题；压轴题．分析：（I）先消去参数将曲线C1与C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．解答：解：（Ⅰ）当α=时，C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2=1．联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0）．（Ⅱ）C1的普通方程为xsinα﹣ycosα﹣sinα=0①．则OA的方程为xcosα+ysinα=0②，联立①②可得x=sin2α，y=﹣cosαsinα；A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：，P点轨迹的普通方程．故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．点评：本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力．。

2022年河南省高考理科数学模拟试卷及答案解析

2022年河南省高考理科数学一模试卷注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知命题p ：∃x 0＞3，log 3x 0≤1，则￢p 为（）A ．∃x 0＞3，log 3x 0＞1B ．∃x 0＜3，log 3x 0＞1C ．∀x ＞3，log 3x ≤1D ．∀x ＞3，log 3x ＞1 2．（5分）已知复数z 满足（4+3i ）（z +i ）＝25，则|z |＝（）A ．2√2B ．4C ．4√2D ．323．（5分）已知集合A ＝{x |x ＝3n +1，n ∈N }，B ＝{x |x ＝2n +1，n ∈N }，则下列集合为A ∩B 的子集的是（）A ．{1，7，13，19}B ．{1，5，7，11，13}C ．{1，3，5，9，11}D ．{1，3，5，7，9，11}4．（5分）某同学用一个半径为100√10mm ，圆心角为√10π5的扇形铁片卷成了一个简易的圆锥形状的容器（接缝处忽略不计），口朝上放在院子中间接雨水来测量降雨量（容器不漏），24h 所收集的雨水的高度达到容器高度的一半，然后将这些雨水倒入底面半径为100mm 的圆柱形量杯中，则量杯中水面高度为（）A ．37.5mmB ．25mmC ．15mmD ．12.5mm 5．（5分）若x ，y 满足不等式组{x ≤4，x −2y +4≥0，x +y −2≥0，则z ＝2x +y 的最大值为（）A ．6B ．8C ．12D ．166．（5分）圆C 1：（x ﹣5）2+（y ﹣5）2＝16与曲线C 2：（x ﹣1）（3x +4y ﹣20）＝0的公共点的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．47．（5分）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面是边长为2的等边三角形，异面直线AB 1与A 1C 1所成的角的余弦值为√24，则该三棱柱的高为（） A ．1 B ．√2 C ．2 D ．48．（5分）已知函数f （x ）＝x 2+px ﹣q （p ，q ∈N *）有两个不同的零点a ，b ，若a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则q ﹣p ＝（）A ．36B ．28C ．9D ．﹣19．（5分）已知人的血压在不断地变化，心脏每收缩和舒张一次构成一个心动周期，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压．已知某人某次测量自己的血压得到收缩压为126mmHg ，舒张压为78mmHg ，心动周期约为0.75s ，假设他的血压p （mmHg ）关于时间t （s ）近似满足函数式p （t ）＝b +a sin ωt （ω＞0），当t ∈[0，0.75]时，此人的血压在[90，114]mmHg 之间的时长约为（）A ．0.125sB ．0.25sC ．0.375sD ．0.5s10．（5分）已知抛物线C ：x 2＝2py （0＜p ＜6）的焦点为F ，P 为C 上一点，点A （3，0），B （1，﹣2），设∠ABP 取最小值和最大值时对应的点分别为P 1，P 2，且BP 1→•BP 2→=0，则p ＝（）A ．4B ．3C ．2D ．1 11．（5分）下列各组x ，y 的值满足x 2﹣y 2＜2（2log 4y ﹣log 2x ）的是（）A ．x ＝e 3，y ＝3eB ．x ＝e π，y ＝πeC ．x ＝3π，y ＝π3D ．x ＝3e ，y ＝e π12．（5分）在四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，AA 1＝1，cos ∠DAA 1＝cos ∠BAA 1=14，则下列结论中正确的个数为（）①A 1C ⊥DB ；②A 1C =√11；③A 1C ⊥平面B 1BDD 1；④四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积为√11．A ．4B ．3C ．2D ．1 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数f(x)=x 3cos(x +n 2π)为偶函数，且当x ∈（0，π）时，f （x ）＞0，则n 的值可能为．14．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），点A （0，√3c ），且线段F 2A 的中点在C 的渐近线上，当点P 在C 的右支上运动时，|PF 1|+|P A |的最小值为6，则双曲线C 的实轴长为．15．（5分）已知点A ，B 是⊙O 上的两个点，∠AOB ＝θ（0＜θ＜π2），点C 为劣弧AB̂的中点，若sin θ+sin （θ+π3）=√3，OC →=xOA →+yOB →，则x +y ＝． 16．（5分）已知函数f （x ）＝ax 3+bx 的图象在点（1，1）处的切线方程为2x ﹣y ﹣1＝0，则函数h （x ）＝[f （x ）]3+f （x ）﹣2x 的零点个数为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）如图所示，在圆内接四边形ABCD 中，M 为对角线AC 的中点，BC ＝3，BM ＝3√2，AD =√11，cos ∠ABC =13．（Ⅰ）求AB ；（Ⅱ）求sin ∠ACD ．18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n ﹣1．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }满足b 1＝a 1，b n +1＝2a n +3b n ，求{b n }的前n 项和T n ．19．（12分）如图所示，在四棱锥A ﹣BCDE 中，CD ∥EB ，CD ＝2DE ＝2BE ＝2BC ＝2，△ADE 为等边三角形，AC ＝2，F 为棱AC 的中点．（Ⅰ）证明：CE ⊥BF ；（Ⅱ）求平面ADE 与平面BDF 所成的锐二面角的余弦值．20．（12分）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥梁及山谷的竖直截面图如图所示，谷底为点O ，O 'O 为铅垂线（O '在桥梁AB 上）．以O 为原点建立直角坐标系，左侧山体曲线AO 的方程为y =149x 2−17x （﹣70≤x ≤0），右侧山体曲线BO 的方程为y =−1675x 3+5x （0≤x ≤30），其中x ，y 的单位均为m ．现在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，其中C 在线段O 'A 上，E 在线段O 'B 上，且O 'E ＝15m ，CD ＝2EF ．（Ⅰ）求CE 的长；（Ⅱ）为了增加桥梁的结构强度，要在桥梁上的C ，E 之间找一点P ，修建两个支撑斜柱DP 和FP ，当∠DPF 最大时，求CP 的长．（结果精确到0.1m ，参考数据：√82≈9.06．）21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2=1（a ＞1）的离心率为√32，F 1，F 2是C 的左、右焦点，P 是C 上在第一象限内的一点，F 1关于直线PF 2对称的点为M ，F 2关于直线PF 1对称的点为N ．（Ⅰ）证明：|MN |≤4；（Ⅱ）设A ，B 分别为C 的右顶点和上顶点，直线y ＝kx （k ＞0）与椭圆C 相交于E ，F 两点，求四边形AEBF 面积的取值范围．22．（12分）已知函数f （x ）＝alnx +x ﹣1（a ∈R ）．（Ⅰ）讨论f （x ）的单调性；（Ⅱ）若函数y＝f（e x）﹣ax+1与y＝e a（lnx+a）的图象有两个不同的公共点，求a的取值范围．2022年河南省高考理科数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知命题p ：∃x 0＞3，log 3x 0≤1，则￢p 为（）A ．∃x 0＞3，log 3x 0＞1B ．∃x 0＜3，log 3x 0＞1C ．∀x ＞3，log 3x ≤1D ．∀x ＞3，log 3x ＞1 【解答】解：根据题意，命题p ：∃x 0＞3，log 3x 0≤1是特称命题，其否定为∀x ＞3，log 3x ＞1；故选：D ．2．（5分）已知复数z 满足（4+3i ）（z +i ）＝25，则|z |＝（）A ．2√2B ．4C ．4√2D ．32【解答】解：∵（4+3i ）（z +i ）＝25，∴z +i =254+3i =25(4−3i)(4+3i)(4−3i)=4−3i ， ∴z ＝4﹣4i ，∴|z |=√42+(−4)2=4√2．故选：C ．3．（5分）已知集合A ＝{x |x ＝3n +1，n ∈N }，B ＝{x |x ＝2n +1，n ∈N }，则下列集合为A ∩B 的子集的是（）A ．{1，7，13，19}B ．{1，5，7，11，13}C ．{1，3，5，9，11}D ．{1，3，5，7，9，11}【解答】解：因为集合A ＝{x |x ＝3n +1，n ∈N }，B ＝{x |x ＝2n +1，n ∈N }，所以A ∩B ＝{x |x ＝6n +1，n ∈N }，故选：A ．4．（5分）某同学用一个半径为100√10mm ，圆心角为√10π5的扇形铁片卷成了一个简易的圆锥形状的容器（接缝处忽略不计），口朝上放在院子中间接雨水来测量降雨量（容器不漏），24h 所收集的雨水的高度达到容器高度的一半，然后将这些雨水倒入底面半径为100mm 的圆柱形量杯中，则量杯中水面高度为（）A ．37.5mmB ．25mmC ．15mmD ．12.5mm【解答】解：设圆锥的高为h ，底面半径为r ，由题意得：2πr ＝100√10×√10π5，解得r ＝100，h =√(100√10)2−1002=300，所以雨水的体积为V =13×3002×π(1002)2=(1002)3π，设量杯中水面高度为h ′，则π1002•h ′＝（1002）3π，解得h ′＝12.5，故选：D ．5．（5分）若x ，y 满足不等式组{x ≤4，x −2y +4≥0，x +y −2≥0，则z ＝2x +y 的最大值为（）A ．6B ．8C ．12D ．16 【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立{x =4x −2y +4=0，解得A （4，4），由z ＝2x +y ，得y ＝﹣2x +z ，由图可知，当直线y ＝﹣2x +z 过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为12．故选：C ．6．（5分）圆C 1：（x ﹣5）2+（y ﹣5）2＝16与曲线C 2：（x ﹣1）（3x +4y ﹣20）＝0的公共点的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：因为圆C 1：（x ﹣5）2+（y ﹣5）2＝16的圆心为（5，5），半径为4，曲线C 2：（x ﹣1）（3x +4y ﹣20）＝0，即x ＝1或3x +4y ﹣20＝0，由于圆心到直线x ＝1的距离为4，故直线x ＝1与圆相切，切点为A （1，5），即有1个交点，圆心到直线3x +4y ﹣20＝0的距离d =√3+4=3＜4，所以直线3x +4y ﹣20＝0与圆相交，即有2个交点，且不经过点（1，5），故有3个公共点．故选：C ．7．（5分）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面是边长为2的等边三角形，异面直线AB 1与A 1C 1所成的角的余弦值为√24，则该三棱柱的高为（） A ．1 B ．√2 C ．2 D ．4【解答】解：在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面是边长为2的等边三角形，设该三棱柱的高为a ，则AB 1＝CB 1=√4+a 2，∵AC ∥A 1C 1，∴∠B 1AC 是异面直线AB 1与A 1C 1所成的角（或所成角的补角），∵异面直线AB 1与A 1C 1所成的角的余弦值为√24， ∴cos ∠B 1AC =AB 12+AC 2−CB 122×AB 1×AC =4+a 2+4−4−a 22×2×√4+a=√24，解得a ＝2．故选：C ．8．（5分）已知函数f （x ）＝x 2+px ﹣q （p ，q ∈N *）有两个不同的零点a ，b ，若a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则q ﹣p ＝（）A ．36B ．28C ．9D ．﹣1【解答】解：由题意可得a +b ＝﹣p ，ab ＝﹣q ，因为p ，q ∈N *，可得ab ＜0，a +b ＜0，不妨设a ＜0，b ＞0，又a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得{−2a =b 2a +b =−4或{−2a =b 2b −2=2a ，解得{a =−8b =4或{a =−12b =1，若a ＝﹣8，b ＝4，则p ＝4，q ＝32，此时q ﹣p ＝28；若a =−12，b ＝1，则q =12∉N *，不合题意．综上可得q ﹣p ＝28．故选：B ．9．（5分）已知人的血压在不断地变化，心脏每收缩和舒张一次构成一个心动周期，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压．已知某人某次测量自己的血压得到收缩压为126mmHg ，舒张压为78mmHg ，心动周期约为0.75s ，假设他的血压p （mmHg ）关于时间t （s ）近似满足函数式p （t ）＝b +a sin ωt （ω＞0），当t ∈[0，0.75]时，此人的血压在[90，114]mmHg 之间的时长约为（）A ．0.125sB ．0.25sC ．0.375sD ．0.5s 【解答】解：由题意可知{b +a =126b −a =78，解得b ＝102，a ＝24，由ω=2πT =2π×43=8π3，则p （t ）＝24sin 8π3t +102，由90≤24sin8π3t +102≤114，得出−12≤sin 8π3t ≤12，令x =8π3t ，x ∈[0，2π]，则−12≤sin x ≤12，函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象如图所示，由图可知，此人的血压在[90，114]mmHg 之间的时长约为[π6+（7π6−5π6）+（2π−11π6）]×38π=0.25．故选：B ．10．（5分）已知抛物线C ：x 2＝2py （0＜p ＜6）的焦点为F ，P 为C 上一点，点A （3，0），B （1，﹣2），设∠ABP 取最小值和最大值时对应的点分别为P 1，P 2，且BP 1→•BP 2→=0，则p ＝（）A ．4B ．3C ．2D ．1 【解答】解：如图：当BP 1与抛物线相切时，∠ABP 取最小值，当BP 2与抛物线相切时，∠ABP 取最大值，不妨令P （x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），∵x 2＝2py ，∴y =x 22p， ∴y ′=x p ，则直线BP 1的斜率k 1=x 1p =y 1+2x 1−1=x 122p +2x 1−1，即12x 12﹣x 1＝2p ，①，同理可得直线BP 2的斜率k 2=x 1p ，即12x 22﹣x 2＝2p ，②，由①②可得x 1，x 2是方程12x 2﹣x ﹣2p ＝0的两个根， ∴x 1x 2＝﹣4p ，∵BP 1→•BP 2→=0，∴k 1k 2=x 1x 2p 2=−1，即x 1x 2＝﹣p 2， ∴p 2＝4p ，解得p ＝4，故选：A ．11．（5分）下列各组x ，y 的值满足x 2﹣y 2＜2（2log 4y ﹣log 2x ）的是（） A ．x ＝e 3，y ＝3eB ．x ＝e π，y ＝πeC ．x ＝3π，y ＝π3D ．x ＝3e ，y ＝e π【解答】解：因为x 2﹣y 2＜2（2log 4y ﹣log 2x ）等价于x 22+log 2x ＜y 22＜log 2y ，于是构造函数f （x ）=x 22+log 2x ，上式子等价于f （x ）＜f （y ），又因为函数f （x ）=x 22+log 2x 是增函数，故只需要x ＜y 即可．构造函数g （x ）=lnx x ，g '（x ）=1−lnxx 2，可得到函数g （x ）在（0，e ）上为增函数，在（e ，+∞）上为减函数，所以g （e ）＞g （3）＞g （π），即lne e＞ln3π＞lnππ，所以e 3＞3e ，e π＞πe ，3π＞π3，故可排除A ，B ，C ；对于D ，因为ln3π＜lnππ＜lne e，所以3e ＜e π，故选项D 正确．故选：D ．12．（5分）在四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，AA 1＝1，cos ∠DAA 1＝cos ∠BAA 1=14，则下列结论中正确的个数为（） ①A 1C ⊥DB ； ②A 1C =√11； ③A 1C ⊥平面B 1BDD 1；④四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积为√11．A．4B．3C．2D．1【解答】解：对于①，∵在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，AA1＝1，cos∠DAA1＝cos∠BAA1=1 4，∴A1D＝A1B=√1+4−2×1×2×14=2，BD＝2，连接AC，BD，交于点O，连接A1O，A1C，则AC⊥BD，A1O⊥BD，∵AC∩A1O＝A，∴BD⊥平面ACC1A1，∵A1C⊂平面ACC1A1，∴A1C⊥DB，故①正确；对于②，∵AA1＝1，A1O＝AO=√4−1=√3，AC＝2√3，∴cos∠A1AC=2×1×√3=√36，∴A1C=1+12−2×1×2√3×√36=√11，故②正确；对于③，∵BD⊥平面ACC1A1，∴BD⊥A1C，∵AA12+A1C2＝AC2，∴AA1⊥A1C，∵DD1∥AA1，∴DD1⊥A1C，∵DD1∩BD＝D，∴A1C⊥平面B1BDD1，故③正确；对于④，S四边形ABCD＝2×12×2×√3=2√3，A1到平面ABCD的距离d＝sin∠A1AC=1−(√36)2=√336，∴四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积为：V＝S四边形ABCD•d＝2√3•√336=√11，故④正确．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数f(x)=x 3cos(x +n2π)为偶函数，且当x ∈（0，π）时，f （x ）＞0，则n 的值可能为 n ＝4m ﹣1，m ∈Z ．【解答】解：函数f(x)=x 3cos(x +n2π)为偶函数，可得f （﹣x ）＝f （x ），即﹣x 3cos （﹣x +n2π）＝x 3cos （x +nπ2），即有cos （﹣x +n2π）＝﹣cos （x +nπ2），可得cos x cos nπ2+sin x sin nπ2=−（cos x cosnπ2−sin x sinnπ2），化为cos x cos nπ2=0，可得cosnπ2=0，可得nπ2=k π+π2，k ∈Z ，解得n ＝2k +1，k ∈Z ，当x ∈（0，π）时，f （x ）＞0，即有cos （x +nπ2）＞0，而k 为偶数时，cos （x +nπ2）＝cos （x +k π+π2）＝﹣sin x ＜0， k 为奇数时，cos （x +nπ2）＝cos （x +k π+π2）＝sin x ＞0，则n 的值可能为n ＝4m ﹣1，m ∈Z ，故答案为：n ＝4m ﹣1，m ∈Z ． 14．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），点A （0，√3c ），且线段F 2A 的中点在C 的渐近线上，当点P 在C 的右支上运动时，|PF 1|+|P A |的最小值为6，则双曲线C 的实轴长为 2 ．【解答】解：∵F 2（c ，0），点A （0，√3c ）， ∴F 2A 的中点为：（c2，√32c ）， ∵线段F 2A 的中点在C 的渐近线上， ∴√32c =b a •c2⇒b =√3a ，① ∵|PF 1|+|P A |＝2a +|PF 2|+|P A |≥2a +|AF 2|＝2a +√c 2+(√3c)2=2a +2c ，∵|PF 1|+|P A |的最小值为6， ∴2a +2c ＝6⇒a +c ＝3，② 又a 2+b 2＝c 2，③联立①②③解得a ＝1，b =√3，c ＝2， ∴双曲线C 的实轴长为2a ＝2．故答案为：2．15．（5分）已知点A ，B 是⊙O 上的两个点，∠AOB ＝θ（0＜θ＜π2），点C 为劣弧AB̂的中点，若sin θ+sin （θ+π3）=√3，OC →=xOA →+yOB →，则x +y ＝2√33．【解答】解：根据题意，如图，连接AB ，设OC 与AB 交于点G ，点C 为劣弧AB ̂的中点，则G 为AB 的中点，则有OG →=12（OA →+OB →），若sin θ+sin （θ+π3）=√3，即sin θ+sin θcos π3+cos θsinπ3=32sin θ+√32cos θ=√3sin （θ+π6）=√3，则有sin （θ+π6）＝1，又由0＜θ＜π2，则π6＜θ+π6＜2π3，则θ+π6=π2，即θ=π3，则有OG OA =cosπ6=√32，则有OG →=√32OC →，则有12（OA →+OB →）=√32OC →，变形可得OC →=√33（OA →+OB →）=√33OA →+√33OB →，又由OC →=xOA →+yOB →，则x ＝y =√33，故x +y =2√33，故答案为：2√33．16．（5分）已知函数f （x ）＝ax 3+bx 的图象在点（1，1）处的切线方程为2x ﹣y ﹣1＝0，则函数h （x ）＝[f （x ）]3+f （x ）﹣2x 的零点个数为 3 ．【解答】解：因为f （x ）＝ax 3+bx ，则f ′（x ）＝3ax 2+b ，则{f′(1)=2f(1)=1，即{3a +b =2a +b =1，解得{a =12b =12，则f(x)=x 3+x 2，而f′(x)=3x 2+12＞0，所有f （x ）是R 上的增函数，令h （x ）＝0，可得[f （x ）]3+f （x ）＝2x ，即 [f(x)]3+f(x)2=x ，ℎ(x) 的零点对应方程f （f （x ））＝x 的实根，利用函数的单调性知，函数f （x ）是R 上的增函数，任取f （f （x ））＝x 的实根x 0，若f （x 0）＞x 0，则必有x 0＝f （f （x ））＞f （x 0）＞x 0，矛盾，若f （x 0）＜x 0，则必有x 0＝f （f （x ））＜f （x 0）＜x 0，矛盾，所以f （x 0）＝x 0，即x 03+x 02=x 0，可知h （x ）的所有零点为0，1，﹣1三个，故答案为：3．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）如图所示，在圆内接四边形ABCD 中，M 为对角线AC 的中点，BC ＝3，BM ＝3√2，AD =√11，cos ∠ABC =13．（Ⅰ）求AB ；（Ⅱ）求sin ∠ACD ．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，BA →+BC →=2BM →，两边平方得BA →2+BC →2+2BA →⋅BC →=4BM →2，即|BA →|2+9+2×|BA →|×3×13=4×18，解得|BA →|=7或|BA →|=−9（舍去），即AB ＝7．（Ⅱ）由余弦定理可得AC 2＝BA 2+BC 2﹣2BA ⋅BC cos ∠ABC ＝44，所以AC =2√11，由题意知∠ABC +∠ADC ＝π，所以cos∠ADC =−13，所以sin∠ADC =√1−19=2√23．根据正弦定理得ACsin∠ADC−AD sin∠ACD，因此sin∠ACD =ADsin∠ADC AC =√11×2√232√11=√23． 18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n ﹣1．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }满足b 1＝a 1，b n +1＝2a n +3b n ，求{b n }的前n 项和T n ．【解答】解：（Ⅰ）∵数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n ﹣1，① ∴S 1＝2a 1﹣1⇒a 1＝1，当n ≥2时，S n ﹣1＝2a n ﹣1﹣1，② ①﹣②整理得：a n ＝2a n ﹣1，∴数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， ∴a n ＝2n ﹣1，（Ⅱ）∵数列{b n }满足b 1＝a 1，b n +1＝2a n +3b n ， ∴b n +1＝2n +3b n ⇒b n +1+2n +1＝3（b n +2n ），又b 1+21＝3，∴{b n +2n }以3为首项，3为公比的等比数列， ∴b n +2n ＝3n ， ∴b n ＝3n ﹣2n ，∴{b n }的前n 项和T n ＝（31﹣21）+（32﹣22）+......+（3n﹣2n）=3(1−3n)1−3−2(1−2n)1−2=3n+12−2n +1+12． 19．（12分）如图所示，在四棱锥A ﹣BCDE 中，CD ∥EB ，CD ＝2DE ＝2BE ＝2BC ＝2，△ADE 为等边三角形，AC ＝2，F 为棱AC 的中点．（Ⅰ）证明：CE ⊥BF ；（Ⅱ）求平面ADE 与平面BDF 所成的锐二面角的余弦值．【解答】（I ）证明：如图，设CD 的中点为G ，连接BG ，FG ，则BG ∥DE ，FG ∥AD ，因为BG ⊄平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，所以BG ∥平面ADE ， FG ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以FG ∥平面ADE ，因为BG ∩FG ＝G ，所以平面ADE ∥平面FGB ，由平面几何知识可得CE ⊥DE ，∠CDE ＝60°，CE =√3，因为AE ＝DE ＝1，AC ＝2，CE =√3，所以AE 2+CE 2＝AC 2，即CE ⊥AE ，又因为AE ∩DE ＝E ，所以CE ⊥平面ADE ，因此CE ⊥平面BGF ，所以CE ⊥BF ；（Ii ）因为CE ⊥平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面BCDE ，取DE 的中点为O ，连接AO ，GO ，则AO ⊥DE ，GO ⊥DE ，GO ⊥AO ，以O 为坐标原点，OE ，OG ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D （−12，0，0），B （1，√32，0），A （0，0，√32），C （12，√3，0），所以F （14，√32，√34），DB →=（32，√32，0），DF →=（34，√32，√34），设平面BDF 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），则{DB →⋅n →=0DF →⋅n →=0，即{32x +√32y =034x +√32y +√34z =0，令x ＝1，则y =−√3，z =√3，所以平面BDF 的一个法向量为n →=（1，−√3，√3），易知平面ADE 的一个法向量为m →=（0，1，0）设平面ADE 与平面BDF 所成的锐二面角为θ，则cosθ=||=||||||=||=√217，故平面ADE与平面BDF所成的锐二面角的余弦值为√21 7．20．（12分）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥梁及山谷的竖直截面图如图所示，谷底为点O，O'O为铅垂线（O'在桥梁AB上）．以O为原点建立直角坐标系，左侧山体曲线AO的方程为y=149x2−17x（﹣70≤x≤0），右侧山体曲线BO的方程为y=−1675x3+5x（0≤x≤30），其中x，y的单位均为m．现在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD和EF，其中C在线段O'A上，E在线段O'B上，且O'E＝15m，CD＝2EF．（Ⅰ）求CE的长；（Ⅱ）为了增加桥梁的结构强度，要在桥梁上的C，E之间找一点P，修建两个支撑斜柱DP和FP，当∠DPF最大时，求CP的长．（结果精确到0.1m，参考数据：√82≈9.06．）【解答】解：（1）对于曲线OA，令x＝﹣70得y＝110，对于曲线OB，令x＝30，得y＝110，所以AB所在直线的方程为y＝110，所以点E(15，110)，EF=110+1675×153−5×15=40，设C （t ，110）（﹣70≤t ≤0），因为CD ＝2EF ，所以CD =110−149t 2+17t =80，解得t ＝﹣35 或 t ＝42（舍去），所以CE ＝15﹣t ＝50，即CE 长50m ．（2）由（1）可知CE ＝50，CD ＝80，EF ＝40，设CP ＝n （0＜n ＜50），则tan∠DPF =tan(π−∠CPD −∠EPF)=−tan(∠CPD +∠EPF)=tan∠CPD+tan∠EPFtan∠CPDtan∠EPF−1，所以tan∠DPF−80n +4050−n 80n ×4050−n −1=40(100−n)n 2−50n+3200．令k ＝100﹣n ∈（50，100），则tan∠DPF =40kk 2−150k+8200=40k+8200k−150≤40√k⋅8200k −150=42√82−15，当且仅当k 2＝8200，即k ≈90.6时取等号，此时n ＝100﹣k ≈9.4，即当∠DPF 最大时，CP 的长约为9.4m ． 21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2=1（a ＞1）的离心率为√32，F 1，F 2是C 的左、右焦点，P 是C 上在第一象限内的一点，F 1关于直线PF 2对称的点为M ，F 2关于直线PF 1对称的点为N ．（Ⅰ）证明：|MN |≤4；（Ⅱ）设A ，B 分别为C 的右顶点和上顶点，直线y ＝kx （k ＞0）与椭圆C 相交于E ，F 两点，求四边形AEBF 面积的取值范围．【解答】证明：（I ）C 的离心率为√32，即√a 2−1a =√32，解得a ＝2．由题意知|PF 1|＝|PM |，|PF 2|＝|PN |， |MN |≤|PM |+|PN |＝|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝4，解：（II ）直线AB ，EF 的方程分别为x +2y ＝2，y ＝kx （k ＞0），设E （x 1，kx 1），F （x 2，kx 2），其中x 1＜x 2，由{y =kx ，x 24+y 2=1，得 x 1=2√1+4k x 2=2√1+4k ，所以点E ，F 到AB 的距离分别为ℎ1=11√5=√2√5(1+4k 2)，h 2=22√5=√2√5(1+4k 2)，又|AB |=√22+1=√5，所以四边形AEBF 的面积为S =12|AB|(ℎ1+ℎ2)=12×√54(1+2k)√5(1+4k 2)=2√1+4k 2+4k 1+4k 2=2√1+4k 1+4k 2=2√1+41k+4k 当k ∈（0，+∞）时，1k+4k ∈[4，+∞)，则41k+4k∈(0，1]，所以 √1+4k +4k ∈(2，2√2]，即四边形AEBF 面积的取值范围为（2，2√2]． 22．（12分）已知函数f （x ）＝alnx +x ﹣1（a ∈R ）．（Ⅰ）讨论f （x ）的单调性；（Ⅱ）若函数y ＝f （e x ）﹣ax +1与y ＝e a （lnx +a ）的图象有两个不同的公共点，求a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为f （x ）＝alnx +x ﹣1（a ∈R ），所以f ′（x ）=a x +1=x+ax（x ＞0）． ①当a ≥0，f ′（x ）＞0，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增； ②当a ＜0，令f （x ）＝0，得x ＝﹣a ，所以x ∈（0，﹣a ）时，f ′（x ）＜0；x ∈（﹣a ，+∞）时，f ′（x ）＞0，所以f （x ）在（0，﹣a ）上单调递减，在（﹣a ，+∞）上单调递增．综上所述，当a ≥0，f （x ）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间；当a ＜0，f （x ）的单调递增区间为（﹣a ，+∞），f （x ）的单调递减区间为（0，﹣a ）．（Ⅱ）根据题意可知：方程f（e x）﹣ax+1＝e a（lnx+a），即e x＝e a（lnx+a）有两个不同的实根，由e x＝e a（lnx+a）可得xe x＝e a+lnx（lnx+a）．令g（x）＝xe x，因为x＞0时，g′（x）＝（x+1）e x＞0，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，要使g（x）＝g（lnx+a）有两个不同的实根，则需x＝lnx+a有两个不同的实根．令h（x）＝x﹣lnx﹣a，则h′（x）＝1−1x=x−1x，当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，所以h（x）min＝h（1）＝1﹣a．①若a＜1，则h（x）＞0，h（x）没有零点；②若a＝1，则h（x）≥0，当且仅当x＝1时取等号，h（x）只有一个零点；③若a＞1，则h（1）＝1﹣a＜0，h（e﹣a）＝e﹣a＞0，h（e a）＝e a﹣2a．令φ（a）＝e a﹣2a，则当a＞1时，φ′（a）＝e a﹣2＞e﹣2＞0，即φ（a）在（1，+∞）上单调递增，所以φ（a）＞φ（1）＝e﹣2＞0，即h（e a）＞0．故此时h（x）在（0，1）上有一个零点，在（1，+∞）上有一个零点，符合条件．综上可知，实数a的取值范围是（1，+∞）．第21 页共21 页。

2020届河南省郑州市一模数学(理科)试卷及答案

2020年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合{|||2}A x N x =∈ ，2{|1}B y y x ==-，则A B 的子集个数为()A ．2B ．4C ．8D ．162．（5分）若复数z 满足1iz i+=（其中i 为虚数单位），则z 在复平面的对应点在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是()A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．（5分）定义在R 上的函数||1()()23x m f x -=-为偶函数，21(log )2a f =，131(())2b f =，()c f m =，则()A ．c a b <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．b a c<<5．（5分）“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是()A ．165B ．185C ．10D ．3256．（5分）已知向量a，b 的夹角为3π，且||1a = ，|2|3a b -= ，则||(b = )A ．1B ．2C ．3D ．27．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为3，1，则输出的n 等于()A ．5B ．4C ．3D ．28．（5分）函数21()cos 21x x f x x +=-的图象大致是()A ．B ．C．D．9．（5分）第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种()A ．60B ．90C ．120D ．15010．（5分）已知抛物线22y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于M ，N 两点，若3PF MF =，则||(MN =)A ．163B ．83C ．2D．311．（5分）已知三棱锥P ABC -内接于球O ，PA ⊥平面ABC ，ABC ∆为等边三角形，且O 的表面积为16π，则直线PC 与平面PAB 所成的角的正弦值为()ABCD12．（5分）2|21|,1()log (1),1x x f x x x +<⎧=⎨->⎩，32515()244g x x x m =-++，若(())y f g x m =-有9个零点，则m 的取值范围是()A ．(0,1)B ．(0,3)C ．5(1,3D ．5(,3)3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）曲线221x y xe x =-+在点(0,1)处的切线方程为．14．（5分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若10a ≠，213a a =，则105S S =．15．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做圆，圆A 与双曲线C 的一条渐近线相交于M ，N 两点，若3(2OM ON O =为坐标原点），则双曲线C 的离心率为．16．（5分）已知数列{}n a 满足：对任意*n N ∈均有122(n n a pa p p +=+-为常数，0p ≠且1)p ≠，若2a ，3a ，4a ，5{18a ∈-，6-，2-，6，11，30}，则1a 的所有可能取值的集合是．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知ABC ∆外接圆半径为R ，其内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，设222(sin sin )()sin R A B a c C -=-．（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若12b =，8c =，求sin A 的值．18．（12分）已知三棱锥M ABC -中，MA MB MC AC ====，2AB BC ==，O 为AC的中点，点N 在线BC 上，且23BN BC = ．（1）证明：BO ⊥平面AMC ；（2）求二面角N AM C --的正弦值．19．（12分）已知椭圆2222:1(0)y x E a b a b +=>>的离心率为2，且过点(1,0)C ．（1）求椭圆E 的方程；（2）若过点1(3-，0)的任意直线与椭圆E 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，求证，恒有||2||AB CM =．20．（12分）水污染现状与工业废水排放密切相关，某工厂深人贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过A 系统处理，处理后的污水(A 级水）达到环保标准（简称达标）的概率为(01)p p <<．经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B 系统处理后直接排放．某厂现有4个标准水量的A 级水池，分别取样、检测，多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标，若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放．现有以下四种方案：方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验；方案三；三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；方案四：四个样本混在一起化验．化验次数的期望值越小，则方案越“优“．（1）若223p =，求2个A 级水样本混合化验结果不达标的概率；（2）①若3p =，现有4个A 级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优“？②若“方案三”比“方案四“更“优”，求p 的取值范围．21．（12分）已知函数()x e f x x lnx x=--．（1）求()f x 的最大值；（2）若1()(1x f x x e bx x++- 恒成立，求实数b 的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线E 经过点3(1,)2P ，其参数方程cos (x a y ααα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线E 的极坐标方程；（2）若直线l 交E 于点A ，B ，且OA OB ⊥，求证：2211||||OA OB +为定值，并求出这个定值．[选修4-5不等式选讲]（10分）23．已知函数()|1||21|=--++．f x x x m（1）求不等式()f x m>的解集；（2）若恰好存在4个不同的整数n，使得()0f n ，求m的取值范围．2020年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合{|||2}A x N x =∈ ，2{|1}B y y x ==-，则A B 的子集个数为()A ．2B ．4C ．8D ．16【解答】解：{|22}{0A x N x =∈-= ，1，2}，{|1}B y y = ，{0A B ∴= ，1}，A B ∴ 的子集个数为224=个．故选：B ．2．（5分）若复数z 满足1iz i+=（其中i 为虚数单位），则z 在复平面的对应点在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：21(1)()1i i i z i i i ++-===-- ，z ∴在复平面的对应点的坐标为(1,1)-，在第四象限．故选：D ．3．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是()A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【解答】解：由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：月接待游客量逐月有增有减，故A 错误；年接待游客量逐年增加，故B 正确；各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C 正确；各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D 正确；故选：A ．4．（5分）定义在R 上的函数||1()()23x m f x -=-为偶函数，21(log )2a f =，131(())2b f =，()c f m =，则()A ．c a b <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．b a c<<【解答】解：定义在R 上的函数||1()()23x m f x -=-为偶函数，则()()f x f x -=，即||||11()2()233x m x m ----=-；所以0m =，所以||1()()23x f x =-，且在[0，)+∞上是单调减函数；又21log 12=-，13110()22<<，0m =；所以13211(log )(())(0)22f f f <<，即a b c <<．故选：C ．5．（5分）“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是()A ．165B ．185C ．10D ．325【解答】解：根据题意，设阴影部分的面积为S ，则正方形的面积为9，向正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分内，则向正方形内随机投掷一点，其落到阴影部分的概率800220005P ==；而9s P =，则295s =，解可得，185S =；故选：B ．6．（5分）已知向量a，b 的夹角为3π，且||1a = ，|2|a b -= ，则||(b = )A ．1B C D ．2【解答】解：由|2|a b -=，得2222|2|(2)4||4||3a b a b a a b b -=-=-+= ，又向量a，b 的夹角为60︒，且||1a = ，224141||cos60||3b b ∴⨯-⨯⨯︒+=，整理得：2||2||10b b -+= ，解得||1b =．故选：A ．7．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为3，1，则输出的n 等于()A ．5B ．4C ．3D ．2【解答】解：模拟程序的运行，可得3a =，1b =1n =92a =，2b =不满足条件a b ，执行循环体，2n =，274a =，4b =不满足条件a b ，执行循环体，3n =，818a =，8b =不满足条件a b ，执行循环体，4n =，24316a =，16b =此时，满足条件a b ，退出循环，输出n 的值为4．故选：B ．8．（5分）函数21()cos 21x x f x x +=-的图象大致是()A ．B ．C ．D ．【解答】解：由题意，21()cos()()21x x f x x f x --+-=-=-- ，函数是奇函数，排除A ，B ；0x +→，()f x →+∞，排除D ．故选：C ．9．（5分）第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种()A ．60B ．90C ．120D ．150【解答】解：根据题意，分2步进行分析①、将5项工作分成3组若分成1、1、3的三组，有3115212210C C C A =种分组方法，若分成1、2、2的三组，有2215312215C C C A =种分组方法，则将5项工作分成3组，有101525+=种分组方法；②、将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有336A =种情况；所以不同的安排方式则有256150⨯=种，故选：D ．10．（5分）已知抛物线22y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于M ，N 两点，若3PF MF =，则||(MN =)A ．163B ．83C ．2D 【解答】解：抛物线2:2C y x =的焦点为1(2F ，0)，准线为1:2l x =-，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，M ，N 到准线的距离分别为M d ，N d ，由抛物线的定义可知11||2M MF d x ==+，21||2N NF d x ==+，于是12||||||1MN MF NF x x =+=++． 3PF MF = ，∴直线MN 的斜率为，1(2F ，0)，∴直线PF 的方程为12y x =-，将12y x =-，代入方程22y x =，并化简得2122030x x -+=，1253x x ∴+=，于是1258||||||1133MN MF NF x x =+=++=+=．故选：B ．11．（5分）已知三棱锥P ABC -内接于球O ，PA ⊥平面ABC ，ABC ∆为等边三角形，且O 的表面积为16π，则直线PC 与平面PAB 所成的角的正弦值为()A B C D 【解答】解：设三棱锥外接球的球心为O ，半径为R ，则2416S R ππ==球，故2R =，设M 为ABC ∆的中心，N 为AB 的中点，则OM ⊥平面ABC ，且2OC =，由ABC ∆32NC =，1MC =，OM ∴==PA ⊥ 平面ABC ，故2PA OM ==，且PA CN ⊥，PN ∴=，又CN AB ⊥，AB PA A = ，CN ∴⊥平面PAB，则PC =，32sin NC NPC PC ∴∠==．故选：D．12．（5分）2|21|,1()log (1),1x x f x x x +<⎧=⎨->⎩，32515()244g x x x m =-++，若(())y f g x m =-有9个零点，则m 的取值范围是()A ．(0,1)B ．(0,3)C ．5(1,3D ．5(,3)3【解答】解：令()t g x =，32515()244g x x x m =-++，2215151515()(2)(2)4244g x x x x x x x '=-=-=-，当(,0)x ∈-∞，(2,)+∞时，函数()g x 递增，当(0,2)x ∈时，函数()g x 递减，函数()g x 有极大值(0)2g m =+，极小值g （2）3m =-，若(())y f g x m =-有9个零点，画出图象如下：观察函数()y f t =与y m =的交点，当0m <时，1t >，此时函数()y f t =与y m =最多有3个交点，故不成立，当0m =时，112t =-，22t =，(0)2g =，g （2）3=-，1()g x t =，有三个解，()2g x =有2个解，共5个解不成立；当3m >时，显然不成立；故要使函数有9个零点，03m <<，根据图象，每个y t =最多与()y g x =有三个交点，要有9个交点，只能每个t 都要有3个交点，当03m <<，()y f t =与y m =的交点，1122t -<<-，2112t -<<，329t <<，(0)2(2g m =+∈，5)，g （2）3(3,0)m =-∈-，当322t m <<+时，由233(1),21m log t m t -==+，即2212m m <+<+时，得01m <<时，323t <<时3()x t =，有三个解，2()g x t =，要有三个解132m -<-，即52m <，1()g x t =有三个解32m -<-，即1m <，综上，(0,1)m ∈，故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）曲线221x y xe x =-+在点(0,1)处的切线方程为1y x =+．【解答】解：求导函数可得，(1)4x y x e x '=+-当0x =时，1y '=∴曲线221x y xe x =-+在点(0,1)处的切线方程为1y x -=，即1y x =+．故答案为：1y x =+．14．（5分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若10a ≠，213a a =，则105S S =4．【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则由10a ≠，213a a =可得，12d a =，∴1011051510()5()S a a S a a +=+112(29)24a d a d+=+11112(218)428a a a a +==+，故答案为：4．15．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做圆，圆A 与双曲线C 的一条渐近线相交于M ，N 两点，若3(2OM ON O =为坐标原点），则双曲线C的离心率为5．【解答】解：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为(,0)A a ，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．则点A 到渐近线0bx ay -=的距离为||AB =r b =，2||b BN c∴=， 32OM ON =，25||5||b OB BN c∴==，||OA a = ，42222225b a b a c c∴=+，2242225a c b a b ∴=+，2224()25a c b b ∴-=，2222555a b c a ∴==-，即2265a c =，=，5c e a ∴==，故答案为：5．16．（5分）已知数列{}n a 满足：对任意*n N ∈均有122(n n a pa p p +=+-为常数，0p ≠且1)p ≠，若2a ，3a ，4a ，5{18a ∈-，6-，2-，6，11，30}，则1a 的所有可能取值的集合是{2-，0，66}-．【解答】解：由题意，对任意*n N ∈，均有12(2)n n a p a ++=+，当20n a +=，即120a +=，即12a =-时，23452a a a a ====-．当20n a +≠时，构造数列{}n b ：令2n n b a =+，则1n n b pb +=．故数列{}n b 是一个以p 为公比的等比数列．2a ，3a ，4a ，5{18a ∈-，6-，2-，6，11，30}，2b ∴，3b ，4b ，5{16b ∈-，4-，0，8，13，32}．①当24b =-，38b =，416b =-，532b =时，2p =-．此时，21422b b p -===-，112220a b =-=-=；②当232b =，316b =-，48b =，54b =-时，12p =-．此时，21326412b b p ===--，11264266a b =-=--=-．1a ∴的所有可能取值的集合是{2-，0，66}-．故答案为：{2-，0，66}-．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知ABC ∆外接圆半径为R ，其内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，设222(sin sin )()sin R A B a c C -=-．（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若12b =，8c =，求sin A 的值．【解答】解：(22)2(sin sin )()sin I R A B a c C -=- ，2222(sin sin )()sin 2R R A B a c C R ∴-=- ，即：222a c b ac +-=，∴2221cos 22a cb B ac +-==．因为0B π<<，所以3B π∠=，()II 若12b =，8c =，由正弦定理，sin sin b cB C=，sin 3C =，由b c >，故C ∠为锐角，cos C =，∴1sin sin()sin()32A B C C π=+=+=18．（12分）已知三棱锥M ABC -中，MA MB MC AC ====，2AB BC ==，O 为AC 的中点，点N 在线BC 上，且23BN BC =．（1）证明：BO ⊥平面AMC ；（2）求二面角N AM C --的正弦值．【解答】解：(1)如图所示：连接OM ，AC ，OM 相交于O ，在ABC ∆中：2,AB BC AC ===90,ABC BO ∠=︒=OB AC ⊥．在MAC ∆中：MA MC AC ===，O 为AC 的中点，则OM AC ⊥，且OM =在MOB ∆中：BO OM MB ===，满足：222BO OM MB +=根据勾股定理逆定理得到OB OM ⊥，故OB ⊥平面AMC ；（2）因为OB ，OC ，OM 两两垂直，建立空间直角坐标系O xyz -如图所示．因为MA MB MC AC ====，2AB BC ==则(0,(0,0,A B C M ，由23BN BC =所以，(33N 设平面MAN 的法向量为(,,)m x y z =，则252252(,0)(,,)0,3333(,,)0AN n x y z x y AM n x y z ⎧==+=⎪⎨⎪===⎩令y =，得(1)m =--，因为BO ⊥平面AMC，所以OB =为平面AMC 的法向量，所以(1)m =--与OB =所成角的余弦为cos ,m OB <>== ．所以二面角的正弦值为2|sin ,|m OB <>==．19．（12分）已知椭圆2222:1(0)y x E a b a b +=>>的离心率为2，且过点(1,0)C ．（1）求椭圆E 的方程；（2）若过点1(3-，0)的任意直线与椭圆E 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，求证，恒有||2||AB CM =．【解答】解：()I 由题意知1b =，2c a =，又因为222a b c =+解得，a =所以椭圆方程为2212y x +=．（Ⅱ）设过点1(,0)3-直线为13x ty =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 由221312x ty y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22(918)12160t y ty +--=，且△0>．则12212212,91816,918t y y t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩又因为11(1,)CA x y =-，22(1,)CB x y =-，2212121212121222444161641216(1)(1)()()(1)()(1)0333991839189t t CA CB x x y y ty ty y y t y y t y y t t t -=--+=--+=+-++=+-+=++，所以CA CB ⊥ ．因为线段AB 的中点为M ，所以||2||AB CM =．20．（12分）水污染现状与工业废水排放密切相关，某工厂深人贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过A 系统处理，处理后的污水(A 级水）达到环保标准（简称达标）的概率为(01)p p <<．经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B 系统处理后直接排放．某厂现有4个标准水量的A 级水池，分别取样、检测，多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标，若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放．现有以下四种方案：方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验；方案三；三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；方案四：四个样本混在一起化验．化验次数的期望值越小，则方案越“优“．（1）若p =2个A 级水样本混合化验结果不达标的概率；（2）①若3p =，现有4个A 级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优“？②若“方案三”比“方案四“更“优”，求p 的取值范围．【解答】解：(1)该混合样本达标的概率是28(39=，所以根据对立事件原理，不达标的概率为81199-=．(2)①方案一：逐个检测，检测次数为4．方案二：由①知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1，概率为89；若不达标则检测次数为3，概率为19．故方案二的检测次数记为2ξ，2ξ的可能取值为2，4，6．其分布列如下，2ξ246p 64811681181可求得方案二的期望为26416119822()246818181819E ξ=⨯+⨯+⨯==方案四：混在一起检测，记检测次数为4ξ，4ξ可取1，5．其分布列如下，4ξ15p 64811781可求得方案四的期望为46417149()15818181E ξ=⨯+⨯=．比较可得42()()4E E ξξ<<，故选择方案四最“优”．②方案三：设化验次数为3η，3η可取2，5．3η25p 3p 31p -3333()25(1)53E p p p η=+-=-；方案四：设化验次数为4η，4η可取1，54η15p 4p 41p -4444()5(1)54E p p p η=+-=-；由题意得34343()()53544E E p p p ηη<⇔-<-⇔<．故当304p <<时，方案三比方案四更“优”．21．（12分）已知函数()x e f x x lnx x=--．（1）求()f x 的最大值；（2）若1()(1x f x x e bx x++- 恒成立，求实数b 的取值范围．【解答】解：（1）()xe f x x lnx x=--，定义域(0,)+∞，221(1)(1)()()1x x e x x x e f x x x x---'=--=，由1x e x x +> ，()f x 在(0，1]增，在(1,)+∞减，()max f x f =（1）1e =-．（2）111()()1110()x x x x x x x min e e xe lnx x xe lnx x f x x e bx lnx x xe bx lnx x xe bx b b x x x x x--+--+++-⇔-+-++-⇔-++--⇔⇔ ，令1()x xe lnx x x x ϕ--+=，2()x x e lnx x xϕ+'=，令2()x h x x e lnx =+，()h x 在(0,)+∞单调递增，0x →，()h x →-∞，h （1）0()e h x =>在(0,1)存在零点0x ，即02000()0x h x x e lnx =+=，0001200000010()()ln x x x lnx x e lnx x e ln e x x +=⇔=-=，由于x y xe =在(0,)+∞单调递增，故0001x ln lnx x ==-，即001x e x =，()x ϕ在0(0,)x 减，在0(x ，)+∞增，00000000111()2x min x e lnx x x x x x x ϕ--++-+===，所以2b ．（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线E 经过点3(1,)2P ，其参数方程cos (x a y ααα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线E 的极坐标方程；（2）若直线l 交E 于点A ，B ，且OA OB ⊥，求证：2211||||OA OB +为定值，并求出这个定值．【解答】解：()I 将点3(1,)2P 代入曲线E 的方程，得1cos ,3,2a αα=⎧⎪⎨=⎪⎩解得24a =，所以曲线E 的普通方程为22143x y +=，极坐标方程为22211(cos sin )143ρθθ+=．（Ⅱ）不妨设点A ，B 的极坐标分别为1212(,),(,),0,02A B πρθρθρρ+>>，则22221122222211(cos sin )1,4311(cos (sin ()1,4232ρθρθππρθρθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎩即22212222111cos sin ,43111sin cos ,43θθρθθρ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩．2212111174312ρρ+=+=，即22117||||12OA OB +=．[选修4-5不等式选讲]（10分）23．已知函数()|1||21|f x x x m =--++．（1）求不等式()f x m >的解集；（2）若恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n ，求m 的取值范围．【解答】解：（1）由()f x m >，得|1||21|0x x --+>，即|1||21|x x ->+，不等式两边同时平方，得22(1)(21)x x ->+，即220x x +<，解得20x -<<，∴不等式()f x m >的解集为{|20}x x -<<；（2）设()|1||21|g x x x =--+，1221()31221x x g x x x x x ⎧+-⎪⎪⎪=--<⎨⎪-->⎪⎪⎩，(2)(0)0g g -== ，(3)1g -=-，(4)2g -=-，g （1）3=-，又恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n ，∴(3)0(4)0ff-⎧⎨-<⎩，即1020mm-+⎧⎨-+<⎩，解得12m<，故m的取值范围为[1，2)．。

河南省郑州市2021 2021学年高考数学一模试卷(理科) Word版含解析

河南省郑州市2021 2021学年高考数学一模试卷(理科) Word版含解析河南省郑州市2021-2021学年高考数学一模试卷(理科)word版含解析2021-2021学年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分后，共60分后，在每个大题得出的四个选项中，只有一项就是渡河题目建议的.1．设全集u={x∈n*|x≤4}，集合a={1，4}，b={2，4}，则?u（a∩b）=（）a．{1，2，3}b．{1，2，4}c．{1，3，4}d．{2，3，4}2．设z=1+i（i是虚数单位），则=（）a．ib．2ic．1id．0=，则cosb=（）3．b，c所对的边分别为a，b，c，在△abc中，角a，若a．b．c．d．4．函数f（x）=excosx在点（0，f（0））处的切线方程就是（）a．x+y+1=0b．x+y1=0c．xy+1=0d．xy1=05．已知函数f（x）=（）xcosx，则f（x）在[0，2π]上的零点个数为（）a．1b．2c．3d．46．按如下程序框图，若输入结果为273，则推论框内？细细的补足的条件为（）a．i＞7b．i≥7c．i＞9d．i≥97．设双曲线+=1的一条渐近线为y=2x，且一个焦点与抛物线y=x2的焦点相同，则此双曲线的方程为（）a．x25y2=1b．5y2x2=1c．5x2y2=1d．y25x2=18．a4031是函数（fx）=x34x2+6x3的极值点，正项等比数列{an}中的a1，则=（）a．1b．2c．d．19．如图是一个四面体的三视图，这个三视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为（）a．b．c．d．210．已知函数f（x）=x+，g（x）=2x+a，若?x1∈[，1]，?x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是（）a．a≤1b．a≥1c．a≤2d．a≥211．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为f1，f2，过f2的直线与椭圆交于a、b两点，若△f1ab就是以a为直角顶点的全等直角三角形，则距心率为（）a．b．2c．2d．12．未知函数f（x）=，若关于x的不等式[f（x）]2+af（x）b2＜0恰存有1个整数求解，则实数a的最大值就是（）a．2b．3c．5d．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．二项式的展开式中，x2项的系数为．14．若不等式x2+y2≤2所表示的区域为m，不等式组则表示的平面区域为n，现随机向区域n内抛一粒豆子，则豆子落在区域m内的概率为．15．△abc的三个内角a，b，c，若=tan（π），则2cosb+sin2c的最大值为．16．已知点a（0，1），b（3，0），c（1，2），平面区域p是由所有满足=λ+μ＜λ≤m，2＜μ≤n）的点m组成的区域，若区域p的面积为6，则m+n的最小值为．三、答疑题（满分60分后）17．已知数列{an}的首项a1=1，前n项和sn，且数列{}就是公差为2的等差数列．（2（1）谋数列{an}的通项公式；（2）若bn=（1）nan，求数列{bn}的前n项和tn．18．某中药栽种基地存有两处种植区的药材可于下周一、周二两天内栽种完，基地员工一天可以顺利完成一处种植区的栽种，由于下雪可以影响药材品质，基地收益如下表中右图：周一无雨无雨存有雨存有雨周二无雨存有雨无雨存有雨20万15万10万7.5万收益若基地额外聘用工人，可以在周一当天顺利完成全部栽种任务；无雨时收益为20万元；存有雨时收益为10万元，额外聘用工人的成本为a万元．未知下周一和之下周二存有雨的概率相同，两天与否下雪互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36．（1）若不额外聘用工人，写下基地收益x的原产P43EI245SJ基地的预期收益；（2）该基地是否应该外聘工人，请说明理由．19．例如图，矩形cdef和梯形abcd互相横向，∠bad=∠adc=90°，ab=ad=cd，be⊥df．（1）若m位ea的中点，求证：ac∥平面mdf；（2）求平面ead与平面ebc所成的锐二面角的大小．20．未知点m（1，0），n（1，0），曲线e上任一一点到点m的距离均就是至点n的距离的倍．（1）求曲线e的方程；（2）未知m≠0，设立直线l：xmy1=0交曲线e于a，c两点，直线l2：mx+ym=0交曲线e于b，d两点，c，d两点均在x轴下方，当cd的斜率为1时，求线段ab的长．21．设函数f（x）=x2mlnx，g（x）=x2（m+1）x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当m≥1时，探讨函数f（x）与g（x）图象的交点个数．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲.22．例如图，∠bac的平分线与bc和△abc的外接圆分别平行于d和e，缩短ac没上d，e，c三点的圆于点f．（1）澄清：ec=ef；（2）若ed=2，ef=3，谋ac?af的值．选修4-4：坐标系与参数方程23．未知曲线c1的参数方程为曲线c2的极坐标方程为ρ=2cos（θ），以极点为座标原点，极轴为x轴正半轴创建平面直角坐标系则．（1）谋曲线c2的直角坐标方程；（2）求曲线c2上的动点m到直线c1的距离的最大值．报读4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x2||x+1|．（1）解不等式f（x）＞1．（2）当x＞0时，函数g（x）=a的取值范围．（a＞0）的最小值总大于函数f（x），试求实数2021年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是渡河题目要求的.1．设立全集u={x∈n*|x≤4}，子集a={1，4}，b={2，4}，则?u（a∩b）=（）a．{1，2，3}b．{1，2，4}c．{1，3，4}d．{2，3，4}【考点】缴、并、闭集的混合运算．【分析】由已知中全集u={x∈n*|x≤4}，a={1，4}，b={2，4}，根据补集的性质及运算方法，我们求出a∩b，再求出其补集，即可求出答案．【答疑】求解：∵全集u={x∈n*|x≤4}={1，2，3，4}，a={1，4}，b={2，4}∴a∩b={4}，∴?u（a∩b）={1，2，3}故选：a．2．设z=1+i（i就是虚数单位），则=（）a．ib．2ic．1id．0【考点】复数代数形式的秦九韶运算．【分析】把复数z代入，然后直接利用复数代数形式的除法运算化简求值【解答】解：z=1+i（i是虚数单位），则=故选：d．3．b，c面元的边分别为a，b，c，在△abc中，角a，若a．b．c．d．=，则cosb=（）（1i）=1+i=1i1+i=0，【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由已知及正弦定理可得求b=，即可暂解cosb=．=，，cosb=sinb，=，解得tanb=，融合范围0＜b＜π，可以【解答】解：∵又∵由正弦定理可得：∴∴tanb=∴b==，解得：，0＜b＜π，，cosb=．。

2015届河南省新郑二中分校高三第一次(7月)调研考试理科数学试卷

2015届河南省新郑二中分校高三第一次调研考试理科数学试卷一、选择题：（每题5分，共60分）1、已知集合},1|{2R x x y y M ∈-==，}2|{2x y x N -==，则M N ⋂= ( B )A. ),1[+∞-B. ]2,1[-C. ),2[+∞D.[1,2] 2、设2log 2.0=a ，22.0=b ，2.02=c ，则（ A ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<3、设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当zxy取得最小值时，2x y z +-的最大值为（） A.0 B.98 C.2 D.94【解题指南】此题可先利用已知条件用x,y 来表示z ，再经过变形，转化为基本不等式的问题，取等号的条件可直接代入2x y z +-，进而再利用基本不等式求出2x y z +-的最值. 【解析】选C. 由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+.所以1342344322=-⋅≥-+=+-=x y y x x y y x xy y xy x xy z ，当且仅当4x yy x=，即2x y =时取等号此时22y z =，所以()222222242222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-=-=-+=-+y y y y y y y y y z y x ，当且仅当y=2-y 时取等号.4、“1a >”是“对任意的正数，不等式21ax x+≥成立”的（ A ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5、已知实数,x y 满足不等式组2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩,目标函数()z y ax a R =-∈.若z 取最大值时的唯一最优解是(1,3),则实数a 的取值范围是 ( B )A ．[)+∞,1B ．()+∞,1C ．[)+∞,2D ．),2(+∞ 6、下列结论错误的是( )()命题“若p ，则q ”与命题“若⌝q,则⌝p ”互为逆否命题 ()命题p:∀x ∈[0,1],e x≥1,命题q:∃x 0∈R,x 02+x 0+1<0,则p ∨q 为真()“若am 2<bm 2，则a<b ”的逆命题为真命题 ()若p ∨q 为假命题，则p 、q 均为假命题选.选项的逆命题“若a<b,则am 2<bm 2”,当m=0时不成立，故选. 7、下列四个命题中的真命题为( )()∃x 0∈R ，使得sinx 0-cosx 0=-1.5 ()∀x ∈R ，总有x 2-2x-3≥0 ()∀x ∈R ，∃y ∈R ，y 2＜x ()∃x 0∈R ，∀y ∈R ，y ·x 0=y选.当x 0=1时，对∀y ∈R ，y ·x 0=y 恒成立，故选.8、已知a ＞0，设p:存在a ∈R ，使y=a x 是R 上的单调递减函数； q:存在a ∈R ，使函数g(x)=lg(2ax 2+2x+1)的值域为R ，如果“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，则a 的取值范围是( )()(12,1) ()(12,+∞) ()(0, 12］∪［1,+∞) ()(0, 12) 选.由题意知p:0＜a ＜1，q:0＜a ≤12,因为“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，所以p 、q 一真一假.当p 真q 假时，得12＜a ＜1，当p 假q 真时，a 的值不存在，综上知12＜a ＜1.9、若不等式x 2+ax+1≥0对于一切x ∈(0, 12]恒成立,则a 的最小值是 ( )()0 ()2 ()-52()-3【解析】选.方法一：设g(a)=ax+x 2+1,∵x ∈(0, 12],∴g(a)为单调递增函数.当x=12时满足：12a+14+1≥0即可，解得a ≥-52.方法二：由x 2+ax+1≥0得a ≥-(x+1x )在(0,12]上恒成立,令g(x)=-(x+1x ),则知g(x)在(0, 12]为增函数,∴g(x)max =g(12)=-52,∴a ≥- 52.【方法技巧】关于二元不等式恒成立问题的求解技巧：(1)变换主元法：求解二元不等式,在其中一个元所在范围内恒成立问题，当正面思考较繁或难以入手时，我们可以变换主元，将问题转化为求解关于另一个变量的函数的最值或值域问题，从而求解.(2)分离参数法：根据题设条件将参数(或含有参数的式子)分离到不等式的左边，从而将问题转化为求不等式右边函数的最值问题. 10、某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(1≤t ≤30)的关系大致满足f(t)＝t 2＋10t ＋16，则该商场前t 天平均售出(如前10天的平均售出为()f 10)10的月饼最少为( ) (A)18(B)27()20(D)16【解析】选A.平均销售量()2f t t 10t 1616y t 1018.t t t ≥＋＋＝＝＝＋＋当且仅当16t t＝，即t ＝4∈［1,30］等号成立，即平均销售量的最小值为18.11、函数f(x)=ax 2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数a 的取值范围是( ) ()[-3,0) ()(-∞,-3] ()[-2,0] ()[-3,0]【解析】选.当a=0时,f(x)=-3x+1显然成立,当a ≠0时，需a 0,a 312a⎧⎪-⎨-≤-⎪⎩＜解得-3≤a ＜0,综上可得-3≤a ≤0.【误区警示】本题易忽视a=0这一情况而误选,失误的原因是将关于x 的函数误认为二次函数. 12、若a 、b 为实数，则“0＜ab ＜1”是“11a b b a＜或＞”的( )(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件 ()充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件解析：选A.0＜ ab ＜1可分为两种情况:当a ＞0,b ＞0时，由0＜ab ＜1两边同除以b 可得;1a b＜当a ＜0,b ＜0时，两边同除以a 可得.1b a ＞∴“0＜ab ＜1”是“11a b b a＜或＞”的充分条件，反之，当11a b b a＜或＞时，可能有ab ＜0,∴“0＜ab ＜1”是 “11a b b a＜或＞”的不必要条件，故应为充分不必要条件.二、填空题：（每空5分，共20分）13、不等式x a x a x cos 1cos sin 22+≥++对一切R x ∈成立，则实数的取值范围为___________．1a ≥或2a ≤-14、若命题“存在实数x ，使210x ax ++<”的否定是假命题，则实数a 的取值范围为 22a a <->或． 15、已知p:-4＜x-a ＜4，q:(x-2)(3-x)＞0,若⌝p 是⌝q 的充分条件，则实数a 的取值范围是_________. 【解析】p:-4＜x-a ＜4⇔a-4＜x ＜a+4,q:(x-2)(3-x)＞0⇔2＜x ＜3, 又⌝p 是⌝q 的充分条件，即⌝p ⇒⌝q,等价于q ⇒p,所以a 42a 43-≤⎧⎨+≥⎩，解得-1≤a ≤6.答案：［-1,6］【误区警示】解答本题时易弄错p 、q 的关系，导致答案错误，求解时，也可先求出⌝p 、⌝q ，再根据其关系求a 的取值范围.16、设实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ≥1，y ≥1，x －y ＋1≥0，x ＋y ≤6，则z ＝x ＋2y 2x ＋y的取值范围是________．解析作出满足x ≥1，y ≥1，x ＋y ≤6，x －y ＋1≥0的可行域如图中的阴影部分，四个顶点的坐标分别为A (1,1)、B (1,2)、C ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，72、D (5,1)，将目标函数变形为z ＝x ＋2y2x ＋y＝1＋2yx 2＋y x＝ 1＋2k 2＋k ，而k ＝yx表示可行域中的点(x ，y )与原点连线的斜率，数形结合易得可行域中的点D 、B 与原点连线的斜率分别取得最小值、最大值，故k ＝y x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，2，再由函数的性质易得z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤711，54.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤711，54三、解答题：（共70分，直接写出结果不给分，要写出必要的过程和步骤）17、函数()f x =A ，关于x 的不等式21()2()2x a xa -->∈R 的解集为B ，求使A B B ⋂=的实数a 的取值范围．解：由201xx +≥-解得21x x ≤->或于是(,2](1,)A =-∞-⋃+∞ 22111()2()()2222x a x x a x x a x x a --+>⇔>⇔<+⇔<所以(,)B a =-∞因为,A B B B A ⋂=⊆所以，所以2a ≤-，即的取值范围是(,2]-∞-18、已知p:x 1和x 2是方程x 2-mx-2=0的两个实根，不等式a 2-5a-3≥|x 1-x 2|对任意实数m ∈［-1,1］恒成立；q:不等式ax 2+2x-1>0有解，若p 为真，q 为假，求a 的取值范围.【解题指南】根据已知先得出p 真时a 的范围，再通过讨论a 得到q 真时a 的范围，最后根据p 真q 假，得a 的取值范围.【解析】∵x 1,x 2是方程x 2-mx-2=0的两个实根，∴x 1+x 2=m ，x 1·x 2=-2, ∴|x 1-x 2=,∴当m ∈［-1,1］时，|x 1-x 2|max =3,由不等式a 2-5a-3≥|x 1-x 2|对任意实数m ∈［-1,1］恒成立,可得：a 2-5a-3≥3,∴a ≥6或a ≤-1,① 若不等式ax 2+2x-1>0有解，则当a>0时，显然有解，当a=0时，ax 2+2x-1>0有解，当a<0时，∵ax 2+2x-1>0有解，∴Δ=4+4a>0,∴-1<a<0,所以不等式ax 2+2x-1>0有解时a>-1. ∴q 假时a 的范围为a ≤-1② 由①②可得a 的取值范围为a ≤-1.19、已知函数f(x)=x 2+2ax+3,x ∈[-4,6]. (1)当a=-2时,求f(x)的最值；(2)求实数a 的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数； (3)当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.解析：(1)当a=-2时,f(x)=x 2-4x+3=(x-2)2-1,则函数在［-4,2)上为减函数,在(2,6］上为增函数,∴f(x)min =f(2)=-1,f(x)max =f(-4)=(-4)2-4×(-4)+3=35. (2)函数f(x)=x 2+2ax+3的对称轴为,=-=-2ax a 2∴要使f(x)在[-4,6］上为单调函数,只需-a ≤-4或-a ≥6,解得a ≥4或a ≤-6.(3)当a=-1时,f(|x|)=x 2-2|x|+3()(),,⎧++=++≤⎪=⎨-+=-+⎪⎩2222x 2x 3x 12x 0x 2x 3x 12x 0＞其图象如图所示：所以f(|x|)的单调增区间是（-1,0］，（1,6）单调减区间是[-6,-1],（0,1）20、在平面直角坐标系xOy 中，直线的参数方程为⎩⎨⎧-=--=ty tx 322（为参数），直线与曲线1)2(:22=--x y C 交于B A ,两点（1）求||AB 的长；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P 的极坐标为)43,22(π，求点P 到线段AB 中点M 的距离．【答案】解（1）直线的参数方程化为标准型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 232212（为参数）代入曲线C 方程得01042=-+t t 设B A ,对应的参数分别为21,t t ，则421-=+t t ，1021-=t t ，所以142||||21=-=t t AB（2）由极坐标与直角坐标互化公式得P 直角坐标)2,2(-，所以点P 在直线，中点M 对应参数为2221-=+t t ，由参数几何意义，所以点P 到线段AB 中点M 的距离2||=PM 21、设不等式1|12|<-x 的解集是M ，M b a ∈,．（I ）试比较1+ab 与b a +的大小；（II ）设max 表示数集A 的最大数．⎭⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+=b ab ba ah 2,,2max 22,求证：2≥h ．22、如图，已知：C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，CH ⊥AB 于点H ，直线AC 与过B 点的切线相交于点D ，E 为CH 中点，连接AE 并延长交BD 于点F ，直线CF 交直线AB 于点G（1）求证：点F 是BD 中点；（2）求证：CG 是⊙O 的切线；（3）若FB=FE=2，求⊙O 的半径．解答：(1)证明：∵CH ⊥AB ，DB ⊥AB ，∴△AEH ∽AFB ，△ACE ∽△ADF∴FDCEAF AE BF EH ==，∵HE ＝EC ，∴BF ＝FD(2)方法一：连接CB、OC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°∵F是BD中点，∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO∴∠OCF=90°，∴CG是⊙O的切线方法二：可证明△OCF≌△OBF(略)(3)解：由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC可证得：FA＝FG，且AB＝BG由切割线定理得：（2＋FG）2＝BG×AG=2BG2 ……○1在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2＝FG2－BF2 ……○2由○1、○2得：FG2-4FG-12=0解之得：FG1＝6，FG2＝－2（舍去）∴AB＝BG＝24∴⊙O半径为22。

2014届新郑二中分校全真模拟一(理数)

2014届新郑二中分校全真模拟一理科数学命题人：曹长明、刘晓红、吴新慧一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1.已知i 是虚数单位，且201411i ii z +-+=，则z 的共轭复数对应复平面内的点在（） A.第一象限 B.第二象限 C .第三象限 D .第四象限 2．已知a ∥面α，b ∥面α，则直线a ，b 的位置关系：①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相4．已知i 为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式的展开式中含x ﹣2的系数是（）5. 已知集合{}{}4,3,2,1,3,2,1==N M .定义函数N M f →:,若点))2(,2()),1(,1(f B f A ,))3(,3(f C ,△ABC 的外接圆圆心为D ,且)(R ∈=+λλ,则满足条件的函数)(x f 的个数有( )A. 6个B. 10个C. 12个D.16个6. 已知边长都为1的正方形ABCD 与DCFE 所在的平面互相垂直，点P ，Q 分别是线段BC ，DE 上的动点（包括端点），PQ PQ 中点的轨迹为ℜ，则ℜ 的长度为( )A ．2BC ．2πD ． 4παA C BDP 7、已知a ＞0， ,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥)3(31x a y y x x ，若23z x y =-＋y 的最小值是1，则a ＝（）A 、41 B 、21C 、1D 、2 8、如图，已知平面l αβ=，A 、B 是l 上的两个点，C 、D 在平面β内，且,,DA CB αα⊥⊥4AD =，6,8AB BC ==，在平面α上有一个动点P ，使得APD BPC ∠=∠，则P A B CD -体积的最大值是（） βA. B.16 C.48 D.1449、在平面上，12AB AB ⊥，121OB OB ==,12AP AB AB =+.若12OP<，则OA 的取值范围是（） A、⎛⎝⎦ B 、⎝⎦ C 、⎝ D 、⎝ 10．下列叙述中：①在△ABC 中，若cosA ＜cosB ，则A ＞B ； ②若函数f （x ）的导数为f ′（x ），f （x 0）为f （x ）的极值的充要条件是f ′（x 0）=0； ③函数的图象可由函数y=sin2x 的图象向左平移个单位得到；④在同一直角坐标系中，函数f （x ）=sinx 的图象与函数f （x ）=x 的图象仅有三个公共点．游客观赏道路，其中曲11．右图是某果园的平面图，实线部分线部分EF 是以AB 为直径的半圆上的一段弧，点O 为圆心，ABD ∆是以AB 为斜边的等腰直角三角形，其中2＝AB 千米，x FOB EOA 2＝＝∠∠(40π<<x ),若游客在路线DF DE 、上观赏所获得的“满意度”是路线长度的2倍，在路线EF 上观赏所获得的“满意度”是路线的长度，假定该果园的“社会满意度”y 是游客在所有路线上观赏所获得的“满意度”之和，则下面图象中能较准确的反映y 与x 的函数关系的是（）12．对定义域为D 的函数，若存在距离为d 的两条平行直线l l ：y=kx+m l 和l 2：y=kx+m 2（m l <m 2），使得当x ∈D 时，kx+m 1≤f （x ）≤kx+m 2恒成立，则称函数f （x ）在（x ∈D ）有一个宽度为d 的通道。

2015年河南省郑州市新郑二中分校高考一模数学试卷(理科)【解析版】

2015年河南省郑州市新郑二中分校高考数学一模试卷（理科）一、选择题：（每题5分，共60分）1．（5分）已知集合M＝{y|y＝x2﹣1，x∈R}，N＝{x|y＝}，则M∩N＝（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，]C．[，+∞）D．∅2．（5分）设a＝log0.22，b＝0.22，c＝20.2，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c 3．（5分）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z＝0，则当取得最小值时，x+2y ﹣z的最大值为（）A．0B．C．2D．4．（5分）“a＞1”是“对任意的正数x，不等式成立”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知实数x，y满足线性约束条件，目标函数z＝y﹣ax（a∈R），若z取最大值时的唯一最优解是（1，3），则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（﹣1，0）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）6．（5分）下列结论错误的是（）A．命题“若p，则q”与命题“若￢q，则￢p”互为逆否命题B．命题p：∀x∈[0，1]，e x≥1，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，则p∨q为真C．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题D．若p∨q为假命题，则p、q均为假命题7．（5分）下列四个命题中的真命题为（）A．∃x∈R，使得sin x+cos x＝1.5B．∀x∈R，总有x2﹣2x﹣3≥0C．∀x∈R，∃y∈R，y2＜xD．∃x∈R，∀y∈R，y•x＝y8．（5分）已知a＞0，设p：存在a∈R，使y＝a x是R上的单调递减函数；q：存在a∈R，使函数g（x）＝lg（2ax2+2x+1）的值域为R，如果“p∧q”为假，“p∨q”为真，则a的取值范围是（）A．（，1）B．（，+∞）C．（0，]∪[1，+∞）D．（0，）9．（5分）若不等式x2+ax+1≥0对一切成立，则a的最小值为（）A．0B．﹣2C．D．﹣310．（5分）某商场中秋前30天月饼销售总量f（t）与时间t（0＜t≤30）的关系大致满足f（t）＝t2+10t+16，则该商场前t天平均售出（如前10天的平均售出为）的月饼最少为（）A．18B．27C．20D．1611．（5分）函数f（x）＝ax2+（a﹣3）x+1在区间[﹣1，+∞）上是递减的，则实数a的取值范围是（）A．[﹣3，0）B．（﹣∞，﹣3]C．[﹣2，0]D．[﹣3，0] 12．（5分）若a、b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜”或“b＞”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题：（每空5分，共20分）13．（5分）不等式sin2x+a cos x+a2≥1+cos x对一切x∈R成立，则实数a的取值范围为．14．（5分）若命题“存在实数x，使x2+ax+1＜0”的否定是假命题，则实数a 的取值范围为．15．（5分）已知p：﹣4＜x﹣a＜4，q：（x﹣2）（3﹣x）＞0，若¬p是¬q的充分条件，则实数a的取值范围是．16．（5分）设实数x，y满足不等式组，则z＝的取值范围是．三、解答题：（共70分，直接写出结果不给分，要写出必要的过程和步骤）17．（8分）不等式f（x）＝的定义域为集合A，关于x的不等式＞2﹣a﹣x，（a∈R）的解集为B，求使A∩B＝B的实数a取值范围．18．（12分）已知命题p：x1和x2是方程x2﹣mx﹣2＝0的两个实根，不等式a2﹣5a﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1，1]恒成立；命题q：不等式ax2+2x﹣1＞0有解，若命题p是真命题，命题q是假命题，求a的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）＝x2+2ax+3，x∈[﹣4，6]（1）当a＝﹣2时，求f（x）的最值．（2）求实数a的取值范围，使y＝f（x）在区间[﹣4，6]上是单调函数．（3）当a＝1时，求f（|x|）的单调区间．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C：（y﹣2）2﹣x2＝1交于A，B两点（1）求|AB|的长；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．21．（12分）选修4﹣5；不等式选讲．设不等式|2x﹣1|＜1的解集是M，a，b∈M．（I）试比较ab+1与a+b的大小；（II）设max表示数集A的最大数．h＝max，求证：h≥2．22．（14分）如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD 于点F，直线CF交直线AB于点G，（1）求证：点F是BD中点；（2）求证：CG是⊙O的切线；（3）若FB＝FE＝2，求⊙O的半径．2015年河南省郑州市新郑二中分校高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每题5分，共60分）1．（5分）已知集合M＝{y|y＝x2﹣1，x∈R}，N＝{x|y＝}，则M∩N＝（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，]C．[，+∞）D．∅【解答】解：集合M＝{y|y＝x2﹣1，x∈R}＝{y|y≥﹣1}，对于，2﹣x2≥0，解得，N＝{x|}，则M∩N＝[﹣1，+∞）∩[]＝．故选：B．2．（5分）设a＝log0.22，b＝0.22，c＝20.2，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【解答】解：∵a＝log0.22＜log0.21＝0，0＜b＝0.22＜0.20＝1，c＝20.2＞20＝1，∴a＜b＜c，故选：A．3．（5分）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z＝0，则当取得最小值时，x+2y ﹣z的最大值为（）A．0B．C．2D．【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z＝0，∴z＝x2﹣3xy+4y2，又x，y，z为正实数，∴＝+﹣3≥2﹣3＝1（当且仅当x＝2y时取“＝”），即x＝2y（y＞0），∴x+2y﹣z＝2y+2y﹣（x2﹣3xy+4y2）＝4y﹣2y2＝﹣2（y﹣1）2+2≤2．∴x+2y﹣z的最大值为2．故选：C．4．（5分）“a＞1”是“对任意的正数x，不等式成立”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：对任意的正数x，不等式成立⇔对任意的正数x，的最小值大于或等于1∵x＞0时，≥2＝2∴2≥1即a≥∴命题“对任意的正数x，不等式成立”的充要条件为a≥∵{a|a＞1}⊂{a|a≥}∴“a＞1”是“对任意的正数x，不等式成立”的必要不充分条件故选：A．5．（5分）已知实数x，y满足线性约束条件，目标函数z＝y﹣ax（a∈R），若z取最大值时的唯一最优解是（1，3），则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（﹣1，0）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【解答】解：不等式的可行域将目标函数变形得y＝ax+z，当z最大时，直线的纵截距最大，画出直线y＝ax 将a变化，结合图象得到当a＞1时，直线经过（1，3）时纵截距最大故选：C．6．（5分）下列结论错误的是（）A．命题“若p，则q”与命题“若￢q，则￢p”互为逆否命题B．命题p：∀x∈[0，1]，e x≥1，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，则p∨q为真C．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题D．若p∨q为假命题，则p、q均为假命题【解答】解：根据四种命题的构成规律，选项A中的结论是正确的；选项B中的命题p是真命题，命题q是假命题，故p∨q为真命题，选项B中的结论正确；当m＝0时，a＜b⇒am2＝bm2，故选项C中的结论不正确；当p，q有一个真命题时，p或q是真命题，选项D中的结论正确．故选：C．7．（5分）下列四个命题中的真命题为（）A．∃x∈R，使得sin x+cos x＝1.5B．∀x∈R，总有x2﹣2x﹣3≥0C．∀x∈R，∃y∈R，y2＜xD．∃x∈R，∀y∈R，y•x＝y【解答】解：∵sin x+cos x＝sin（x+）∈[﹣，]，由 1.5∉[﹣，]，故A错误；当x＝0时，x2﹣2x﹣3＝﹣3＜0，故B错误；当x＝0时，y2＜x恒不成立，故C错误；当x＝1时，∀y∈R，y•x＝y，故D正确；故选：D．8．（5分）已知a＞0，设p：存在a∈R，使y＝a x是R上的单调递减函数；q：存在a∈R，使函数g（x）＝lg（2ax2+2x+1）的值域为R，如果“p∧q”为假，“p∨q”为真，则a的取值范围是（）A．（，1）B．（，+∞）C．（0，]∪[1，+∞）D．（0，）【解答】解：由题意知，命题p等价于“0＜a＜1”，在命题q中，由题意知，真数2ax2+2x+1可取到任何一个正数，所以a＞0，且函数y＝2ax2+2x+1的图象与x轴必有交点，所以在方程2ax2+2x+1＝0中，有△≥0，即22﹣4×2a≥0，得0＜a≤．于是q等价于“0＜a≤”．因为“p∧q”为假，“p∨q”为真，所以p，q一真一假．当p真q假时，有，得＜a＜1；当p假q真时，有，可知a的值不存在．综上知＜a＜1．故选：A．9．（5分）若不等式x2+ax+1≥0对一切成立，则a的最小值为（）A．0B．﹣2C．D．﹣3【解答】解：设f（x）＝x2+ax+1，则对称轴为x＝若≥，即a≤﹣1时，则f（x）在〔0，〕上是减函数，应有f（）≥0⇒﹣≤a≤﹣1若≤0，即a≥0时，则f（x）在〔0，〕上是增函数，应有f（0）＝1＞0恒成立，故a≥0若0≤≤，即﹣1≤a≤0，则应有f（）＝恒成立，故﹣1≤a≤0综上，有﹣≤a．故选：C．10．（5分）某商场中秋前30天月饼销售总量f（t）与时间t（0＜t≤30）的关系大致满足f（t）＝t2+10t+16，则该商场前t天平均售出（如前10天的平均售出为）的月饼最少为（）A．18B．27C．20D．16【解答】解：平均销售量y＝＝＝t++10≥18．当且仅当t＝，即t＝4∈[1，30]等号成立，即平均销售量的最小值为18．故选：A．11．（5分）函数f（x）＝ax2+（a﹣3）x+1在区间[﹣1，+∞）上是递减的，则实数a的取值范围是（）A．[﹣3，0）B．（﹣∞，﹣3]C．[﹣2，0]D．[﹣3，0]【解答】解：∵函数f（x）＝ax2+（a﹣3）x+1在区间[﹣1，+∞）上是递减的，①当a＝0时，f（x）＝﹣3x+1，∵﹣3＜0，∴f（x）在R上单调递减，符合题意；②当a＞0时，函数f（x）＝ax2+（a﹣3）x+1为二次函数，∵二次函数在对称轴右侧单调递增，∴不可能在区间[﹣1，+∞）上递减，故不符合题意；③当a＜0时，函数f（x）＝ax2+（a﹣3）x+1为二次函数，对称轴为x＝﹣，∵二次函数在对称轴右侧单调递减，且f（x）＝ax2+（a﹣3）x+1在区间[﹣1，+∞）上是递减的，∴﹣≤﹣1，解得﹣3≤a＜0，∴实数a的取值范围是﹣3≤a＜0．综合①②③，可得实数a的取值范围是[﹣3，0]．故选：D．12．（5分）若a、b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜”或“b＞”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵a、b为实数，0＜ab＜1，∴“0＜a＜”或“0＞b＞”∴“0＜ab＜1”⇒“a＜”或“b＞”．“a＜”或“b＞”不能推出“0＜ab＜1”，所以“0＜ab＜1”是“a＜”或“b＞”的充分而不必要条件．故选：A．二、填空题：（每空5分，共20分）13．（5分）不等式sin2x+a cos x+a2≥1+cos x对一切x∈R成立，则实数a的取值范围为a≥1或a≤﹣2．【解答】解；不等式等价于1﹣cos2x+a cos x+a2﹣1﹣cos x≥0，恒成立，整理得﹣cos2x+（a﹣1）cos x+a2≥0，设cos x＝t，则﹣1≤t≤1，g（t）＝﹣t2+（a﹣1）t+a2，要使不等式恒成立需，求得a≥1或a≤﹣2，故答案为：a≥1或a≤﹣2．14．（5分）若命题“存在实数x，使x2+ax+1＜0”的否定是假命题，则实数a 的取值范围为a＜﹣2或a＞2．【解答】解：∵命命题“存在实数x，使x2+ax+1＜0”的否定是假命题，∴原命题为真命题，即“存在实数x，使x2+ax+1＜0”为真命题，∴△＝a2﹣4＞0∴a＜﹣2或a＞2故答案为：a＜﹣2或a＞215．（5分）已知p：﹣4＜x﹣a＜4，q：（x﹣2）（3﹣x）＞0，若¬p是¬q的充分条件，则实数a的取值范围是[﹣1，6]．【解答】解：p：﹣4＜x﹣a＜4⇔a﹣4＜x＜a+4，q：（x﹣2）（3﹣x）＞0⇔2＜x＜3，又¬p是¬q的充分条件，即¬p⇒¬q，等价于q⇒p，所以解得﹣1≤a≤6．故答案为：[﹣1，6]16．（5分）设实数x，y满足不等式组，则z＝的取值范围是[，]．【解答】解：作出满足x≥1，y≥1，x+y≤6，x﹣y+1≥0的可行域如图中的阴影部分，四个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（1，2）、C（）、D（5，1），将目标函数变形为z＝＝，令k＝，则z＝，而k＝表示可行域中的点（x，y）与原点连线的斜率，数形结合易得可行域中的点D、B与原点连线的斜率分别取得最小值、最大值，故k＝∈，再由函数的性质易得z∈．故答案为：．三、解答题：（共70分，直接写出结果不给分，要写出必要的过程和步骤）17．（8分）不等式f（x）＝的定义域为集合A，关于x的不等式＞2﹣a﹣x，（a∈R）的解集为B，求使A∩B＝B的实数a取值范围．【解答】解：由解得x≤﹣2或x＞1于是A＝（﹣∞，﹣2]∪（1，+∞）．⇔2x＜a+x⇔x＜a．所以B＝（﹣∞，a）．因为A∩B＝B，所以B⊆A，所以a≤﹣2，即a的取值范围是（﹣∞，﹣2]．18．（12分）已知命题p：x1和x2是方程x2﹣mx﹣2＝0的两个实根，不等式a2﹣5a﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1，1]恒成立；命题q：不等式ax2+2x﹣1＞0有解，若命题p是真命题，命题q是假命题，求a的取值范围．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣mx﹣2＝0的两个实根∴∴|x1﹣x2|＝＝∴当m∈[﹣1，1]时，|x1﹣x2|max＝3，由不等式a2﹣5a﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1，1]恒成立．可得：a2﹣5a﹣3≥3，∴a≥6或a≤﹣1，∴命题p为真命题时a≥6或a≤﹣1，命题q：不等式ax2+2x﹣1＞0有解．①当a＞0时，显然有解．②当a＝0时，2x﹣1＞0有解③当a＜0时，∵ax2+2x﹣1＞0有解，∴△＝4+4a＞0，∴﹣1＜a＜0，从而命题q：不等式ax2+2x﹣1＞0有解时a＞﹣1．又命题q是假命题，∴a≤﹣1，故命题p是真命题且命题q是假命题时，a的取值范围为a≤﹣1．19．（12分）已知函数f（x）＝x2+2ax+3，x∈[﹣4，6]（1）当a＝﹣2时，求f（x）的最值．（2）求实数a的取值范围，使y＝f（x）在区间[﹣4，6]上是单调函数．（3）当a＝1时，求f（|x|）的单调区间．【解答】解：（1）当a＝﹣2时，f（x）＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，f（x）在[﹣4，2]上递减，在[2，6]上递增，所以f（x）min＝f（2）＝﹣1，又f（﹣4）＝35，f（6）＝15，所以f（x）max＝f（﹣4）＝35．（2）f（x）图象的对称轴为x＝﹣a，开口向上，f（x）的减区间是（﹣∞，﹣a]，增区间是[﹣a，+∞），要使f（x）在[﹣4，6]上是单调函数，则有﹣a≥6，或﹣a≤﹣4，解得a≤﹣6，或a≥4，所以实数a的取值范围是[4，+∞）∪（﹣∞，﹣6]．（3）当a＝1时，f（x）＝x2+2x+3，f（|x|）＝x2+2|x|+3，作出f（|x|）的图象，如图所示：由图象得f（|x|）的减区间为[﹣6，0]，增区间为[0，6]．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C：（y﹣2）2﹣x2＝1交于A，B两点（1）求|AB|的长；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．【解答】解：（1）由（t为参数），参数t消去得，y﹣2＝（x+2），代入曲线C：（y﹣2）2﹣x2＝1，消去y整理得：2x2+12x+11＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣6，x1•x2＝．…（3分）所以|AB|＝|x1﹣x2|＝2＝2．…（5分）（2）易得点P在平面直角坐标系下的坐标为（﹣2，2），根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为＝1．…（8分）所以由t的几何意义可得点P到M的距离为|PM|＝2．…（10分）21．（12分）选修4﹣5；不等式选讲．设不等式|2x﹣1|＜1的解集是M，a，b∈M．（I）试比较ab+1与a+b的大小；（II）设max表示数集A的最大数．h＝max，求证：h≥2．【解答】解：（I）由不等式|2x﹣1|＜1 可得﹣1＜2x﹣1＜1，解得0＜x＜1，从而求得M＝（0，1）．由a，b∈M，可得0＜a＜1，0＜b＜1．∴（ab+1）﹣（a+b）＝（a﹣1）（b﹣1）＞0，∴（ab+1）＞（a+b）．（II）设max表示数集A的最大数，∵h＝max，∴h≥，h≥，h≥，∴h3≥＝4•≥8，故h≥2．22．（14分）如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD 于点F，直线CF交直线AB于点G，（1）求证：点F是BD中点；（2）求证：CG是⊙O的切线；（3）若FB＝FE＝2，求⊙O的半径．【解答】解：（1）证明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF，∴，∵HE＝EC，∴BF＝FD（2）证明：连接CB、OC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°∵F是BD中点，∴∠BCF＝∠CBF＝90°﹣∠CBA＝∠CAB＝∠ACO∴∠OCF＝90°，又∵OC为圆O半径∴CG是⊙O的切线．（3）解：由FC＝FB＝FE得：∠FCE＝∠FEC，∵∠FEC＝∠AEH，∴∠FCE＝∠AEH，∵∠G+∠FCE＝90°，∠F AB+∠AEH＝90°，∴∠G＝∠F AB，∴F A＝FG，∵FB⊥AG，∴AB＝BG．由切割线定理得：（2+FG）2＝BG×AG＝2BG2①在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2＝FG2﹣BF2②由①、②得：FG2﹣4FG﹣12＝0，解之得：FG1＝6，FG2＝﹣2（舍去）∴AB＝BG＝4，∴⊙O半径为2．。

河南省郑州市高考数学一模试卷(理科)

河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共10题；共20分)1. （2分）已知集合，则（）A .B .C .D .2. （2分）复数(2＋i)2等于（）A . 3＋4iB . 5＋4iC . 3＋2iD . 5＋2i3. （2分） (2018高一上·延边月考) 下列四个命题中错误的个数是（）①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；④垂直于同一个平面的两个平面相互平行.A . 1B . 2C . 34. （2分）(2017·临沂模拟) 某地市高三理科学生有30000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ～N（100，σ2），已知P（80＜ξ≤100）=0.45，若按分层抽样的方式取200份试卷进行成绩分析，则应从120分以上的试卷中抽取（）A . 5份B . 10份C . 15份D . 20份5. （2分）若椭圆过抛物线y2=8x的焦点，且与双曲线x2﹣y2=1有相同的焦点，则该椭圆的方程为（）A .B .C .D .6. （2分） .定义在R上的函数y=f(x)是减函数，且函数y=f(x-1)的图象关于(1,0)成中心对称，若s，t满足不等式．则当时，的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分）设正实数a，b满足a+λb=2（其中λ为正常数）．若ab的最大值为3，则λ=（）B .C .D .8. （2分） (2016高三上·承德期中) 已知不等式组表示平面区域Ω，过区域Ω中的任意一个点P，作圆x2+y2=1的两条切线且切点分别为A、B，当∠APB最大时，的值为（）A . 2B .C .D . 39. （2分）一个几何体的三视图如下图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高二下·顺德期末) 若点在椭圆内，则被所平分的弦所在的直线方程是，通过类比的方法，可求得：被所平分的双曲线的弦所在的直线方程是（）A .B .C .D .二、填空题： (共5题；共6分)11. （1分）(2016·枣庄模拟) 如图所示的程序框图中，x∈[﹣2，2]，则能输出x的概率为________．12. （1分）函数，若关于的方程在区间内恰有5个不同的根，则实数的取值范围是________．13. （1分）形如45132的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1，2，3，4，5可构成不重复的五位“波浪数”的个数为________ ．14. （2分）(2019·浙江模拟) 已知点M为双曲线x2- =1左支上一动点，右焦点为F，点N（0，6），则该双曲线的离心率为：________ ；|MN|+|MF|的最小值为________．15. （1分） (2016高二上·湖州期中) 有下列五个命题：①平面内，到一定点的距离等于到一定直线距离的点的集合是抛物线；②平面内，定点F1、F2 ， |F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是椭圆；③在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件；④“若﹣3＜m＜5，则方程 =1是椭圆”．⑤已知向量，，是空间的一个基底，则向量 + ，﹣，也是空间的一个基底．其中真命题的序号是________．三、解答题： (共6题；共55分)16. （10分） (2019高一下·浙江期中) 在中，角所对的边分别为，且满足.（1）求的值；（2）若，且的面积，求的值.17. （10分） (2019高一下·哈尔滨月考) 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，CC1 ，AD的中点.（1）求异面直线EG与B1C所成角的大小；（2）棱CD上是否存在点T，使AT∥平面B1EF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.18. （5分）(2017·怀化模拟) 为了政府对过热的房地产市场进行调控决策，统计部门对城市人和农村人进行了买房心理预测调研，用简单随机抽样的方法抽取了110人进行统计，得到如下列联表：买房不买房纠结城市人515农村人2010已知样本中城市人数与农村人数之比是3：8．（Ⅰ）分别求样本中城市人中的不买房人数和农村人中的纠结人数；（Ⅱ）从参与调研的城市人中用分层抽样方法抽取6人，进一步统计城市人的某项收入指标，假设一个买房人的指标算作3，一个纠结人的指标算作2，一个不买房人的指标算作1，现在从这6人中再随机选取3人，令X=再抽取3人指标之和，求X的分布列和数学期望．19. （10分） (2016高二上·宁阳期中) 已知数列{an}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设Sn为数列{an}的前n项和，bn= ，求数列{bn}的前n项和Tn ．20. （10分）(2017·许昌模拟) 已知函数．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若﹣1＜x＜1时，均有f（x）≤0成立，求实数a的取值范围．21. （10分） (2017高二上·莆田月考) 已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆上异于其顶点的任意一点作圆的两条切线，切点分别为（不在坐标轴上），若直线在轴，轴上的截距分别为，证明：为定值.参考答案一、选择题： (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题： (共5题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题： (共6题；共55分) 16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、。

河南省郑州市数学高考理数一模试卷

河南省郑州市数学高考理数一模试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）已知集合则=（）A . {1}B . {2}C . {1,2}D . {2,4}2. （2分）(2020·哈尔滨模拟) 已知公差不为0的等差数列的前项的和为，，且成等比数列，则（）A . 56B . 72C . 88D . 403. （2分）如果执行框图，输入N=12，则输出的数等于（）A . 156B . 182C . 132D . 784. （2分）在一次射击比赛中，8个泥制的靶子挂成三列（如图），其中有两列各挂3个，一列挂2个，一位射手按照下列规则去击碎靶子：先挑选一列，然后必须击碎这列中尚未击碎的靶子中最低一个，若每次射击都严格执行这一规则，击碎全部8个靶子的不同方法有（）A . 560B . 320C . 650D . 3605. （2分） (2019高二下·滦平期中) 已知曲线C：（θ为参装）和直线l：（t为参数，b为实数），若曲线C上恰有3个点到直线l的距离等于1，则b等于（）A .B . -C . 0D . ±6. （2分） (2019高二上·德惠期中) “k＞9”是“方程表示双曲线”的（）A . 充要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分） (2018高三上·太原期末) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A . 80B . 160C . 240D . 4808. （2分）坐标平面内与两个定点F1（1，0），F2（﹣1，0）的距离的和等于2的动点的轨迹是（）A . 椭圆B . 圆C . 线段D . 双曲线二、填空题 (共5题；共6分)9. （1分）设 x 是纯虚数， y 是实数，且,则x+y等于________．10. （2分） (2020高一下·和平期中)（1）已知面积为，，则 ________；（2）已知中，，，，边上的高等于________.11. （1分）与双曲线有相同渐近线，且过的双曲线方程是________．12. （1分） (2017高三上·商丘开学考) 如果实数x，y满足条件，且（x+a）2+y2的最小值为6，a＞0，则a=________．13. （1分） (2020高二下·天津期中) 已知函数，，则________．三、解答题 (共6题；共60分)14. （10分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的一段图象如下所示．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调减区间，并指出f（x）的最大值及取到最大值时x的集合．15. （10分） (2016高三上·兰州期中) 随着苹果6手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一部分大学生可望而不可及，因此“国美在线”推出无抵押分期付款购买方式，某分期店对最近100位采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示：付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数3525a10b已知分3期付款的频率为0.15，并且店销售一部苹果6，顾客分1期付款，其利润为1千元；分2期或3期付款，其利润为1.5千元；分4期或5期付款，其利润为2千元，以频率作为概率．（1）求事件A：“购买的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率；（2）用X表示销售一该手机的利润，求X的分布列及数学期望E（x）16. （10分） (2020高一下·苏州期末) 如图，在斜三棱柱中，已知，，分别为，的中点，侧面是菱形，（1）求证： //平面；（2）求证：平面平面．17. （15分）已知函数f（x）=alnx+bx（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为x﹣2y﹣2=0．（1）求a，b的值；（2）当x＞1时，f（x）+ ＜0恒成立，求实数k的取值范围；（3）证明：当n∈N* ，且n≥2时， + +…+ ＞．18. （5分）(2017·大庆模拟) 已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆，离心率，且椭圆过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）椭圆左，右焦点分别为F1 ， F2 ，过F2的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，则△F1AB的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．19. （10分）某商店采用分期付款的方式促销一款价格为每台6000元的电脑．商店规定，购买时先支付货款的，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息．（1）已知欠款的月利率为0.5%，到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？（2）假设货主每月还商店元，写出在第 ( ＝1,2，…，36)个月末还款后，货主对商店欠款数的表达式．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共5题；共6分)9-1、10-1、10-2、11-1、12-1、13-1、三、解答题 (共6题；共60分)14-1、14-2、15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、19-2、。

郑州一模理数试卷高三

郑州一模理数试卷高三一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 若函数f(x)=x^2-4x+c，且f(1)=0，则c的值为A. 1B. 3C. 5D. 72. 已知向量a=(2,1)，向量b=(-1,2)，则向量a与向量b的夹角θ满足A. θ∈(0,π/2)B. θ∈(π/2,π)C. θ∈(0,π)D. θ∈(π,2π)3. 已知函数y=f(x)在区间(a,b)上连续，且f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在区间(a,b)内A. 无实根B. 有且仅有一个实根C. 有且仅有两个实根D. 有无数个实根4. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，d=2，则S5的值为A. 15B. 25C. 35D. 455. 已知函数f(x)=x^3-3x，求f'(x)的值为A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. x^2-3xD. x^2+3x6. 已知复数z=1+i，则|z|的值为A. √2B. 2C. √3D. 37. 已知函数y=x^2-6x+10，求其顶点坐标为A. (3,-1)B. (3,1)C. (-3,-1)D. (-3,1)8. 已知直线l1: x-y+1=0，l2: 2x+y-3=0，求l1与l2的交点坐标为A. (1,2)B. (2,1)C. (1,0)D. (0,1)9. 已知圆C: x^2+y^2-6x+8y+24=0，求圆心坐标为A. (3,-4)B. (3,4)C. (-3,4)D. (-3,-4)10. 已知抛物线y^2=4px(p>0)，求其焦点坐标为A. (p/2,0)B. (p,0)C. (p/2,p/2)D. (p,p)11. 已知双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，求其渐近线方程为A. y=±(b/a)xB. y=±(a/b)xC. y=±(a/b)x^2D. y=±(b/a)x^212. 已知正弦函数y=Asin(ωx+φ)，若A=2，ω=1，φ=π/4，则其周期T为A. 2πB. πC. 4πD. 2二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分。

郑州市高考数学一模试卷(理科)(I)卷

郑州市高考数学一模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设集合A={x|（x+1）（2﹣x）＞0}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）A . （﹣1，3）B . （﹣1，1）C . （1，2）D . （2，3）2. （2分） (2015高二下·临漳期中) 已知i是虚数单位，复数z满足 =i，则复数z所对应的点位于复平面的（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分）(2018·宣城模拟) 通过模拟试验，产生了20组随机数7130 3013 7055 7430 77404122 7884 2604 3346 09526107 9706 5774 5725 65765929 1768 6071 9138 6254每组随机数中，如果恰有三个数在1,2,3,4,5,6中,则表示恰有三次击中目标，问四次射击中恰有三次击中目标的概率约为（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高二上·孝感期末) 若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（bmodm），例如10≡2（bmod4）．下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的i等于（）A . 4B . 8C . 16D . 325. （2分） (2016高三上·临沂期中) 已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤ ），其图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π，若f（x）＞1对∀x∈（﹣，）恒成立，则φ的取值范围是（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高三·三元月考) 已知函数 f （ x）的部分图象如图所示，则 f （ x）的解析式可以是（）A . f（x）=B . f（x）=C . f（x）=D . f（x）=7. （2分）若定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，则有（）A . f（3）＜f（﹣2）＜f（1）B . f（1）＜f（﹣2）＜f（3）C . f（﹣2）＜f（1）＜f（3）D . f（3）＜f（1）＜f（﹣2）8. （2分） (2018高三上·贵阳月考) 已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（）A . 求和B . 求和C . 求和D . 求和9. （2分）设为向量。

河南省郑州市高考数学模拟试卷(理科)

河南省郑州市高考数学模拟试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若复数满足（是虚数单位），则（）A .B .C .D .2. （2分）(2018·凯里模拟) 已知复数，其中是虚数单位，则在复平面内，的共轭复数对应的点所在象限是（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分）设和为双曲线的两个焦点, 若，，是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为（）A .B .C . 2D . 34. （2分） (2019高三上·吉林月考) 若，则（）A .B .C .D .5. （2分）运行如图的程序框图，若输出的结果是s=1320，则判断框中可填入A .B . k<10?C . k<9?D .6. （2分） (2016高一下·海珠期末) 若角α的终边过点（﹣1，2），则tan 的值为（）A .B .C . 或D . 或7. （2分）(2016·山东模拟) 已知变量x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+y（其中a＞0）仅在点（1，1）处取得最大值，则a的取值范围为（）A . （0，2）B . （0，）C . （0，）D . （）8. （2分）把函数的图像向左平移后,得到的图像,则与的图像所围成的图形的面积为（）A . 4B .C .D . 29. （2分） (2017高一下·河北期末) 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体毛坯的三视图，第一次切削，将该毛坯得到一个表面积最大的长方体，第二次切削沿长方体的对角面刨开，得到两个三棱柱，第三次切削将两个三棱柱分别沿棱和表面的对角线刨开得到两个鳖臑和两个阳马，则阳马与鳖臑的体积之比为（）A . 3：1B . 2：1C . 1：1D . 1：210. （2分） (2016高二上·长春期中) 焦点在x轴上的椭圆C： =1，过右焦点作垂直于x轴的直线交椭圆与A，B两点，且|AB|=1，则该椭圆的离心率为（）A .B .C .D .11. （2分）已知正方体的棱长为2，则此正方体全面积是（）A . 4B . 12C . 24D . 4812. （2分） (2016高二下·珠海期中) 如果曲线y=f（x）在点（x0 ， f（x0））处的切线方程为xln3+y﹣=0，那么（）A . f′（x0）＞0B . f′（x0）＜0C . f′（x0）=0D . f′（x）在x=x0处不存在二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）dx=________14. （1分）依次写出数列a1=1、a2、a3…，法则如下：若an﹣2为自然数，则an+1=an﹣2，否则an+1=an+3．则a6=________．15. （1分） (2017高二下·呼伦贝尔开学考) 已知双曲线C：，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的率心率为________．16. （1分）如图，Ox、Oy是平面内相交成120°的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量=x+y，则将有序实数对（x，y）叫做向量在坐标系xOy中的坐标．若=（3，2），则||=________三、解答题 (共7题；共50分)17. （10分）(2020·山东模拟) 在中，内角，，的对边分别为，，，设的面积为， .（1）求的值；（2）若，，求的值．18. （10分） (2018高二下·临泽期末) 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研究新产品成功的概率分别为和，现安排甲组研发新产品，乙组研发新产品，设甲、乙两组的研发相互独立.（1）求恰好有一种新产品研发成功的概率；（2）若新产品研发成功，预计企业可获得利润120万元，不成功则会亏损50万元；若新产品研发成功，企业可获得利润100万元，不成功则会亏损40万元，求该企业获利万元的分布列.19. （10分） (2015高二上·淄川期末) 如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=2，AA1=3，D为BC中点，（1）证明：A1C∥平面B1AD；（2）求二面角B1﹣AD﹣B的余弦值．20. （5分）已知圆C的方程为：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）求m的取值范围；（2）若圆C与直线3x+4y﹣6=0交于M、N两点，且|MN|=2，求m的值；（3）设直线x﹣y﹣1=0与圆C交于A、B两点，是否存在实数m，使得以AB为直径的圆过原点，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．21. （5分） (2016高二下·南昌期中) 设l为曲线C：y= 在点（1，0）处的切线．（Ⅰ）求l的方程；（Ⅱ）证明：除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方．22. （5分） (2017高二下·新余期末) 已知曲线C在直角坐标系xOy下的参数方程为（θ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（I）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρcos（θ﹣）=3 ，射线OT：θ= （ρ＞0）与曲线C交于A点，与直线l交于B，求线段AB的长．23. （5分）若3x＋4y＝2，求x2+y2的最小值参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共50分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、23-1、。