圆的培优专题(含解答)
高一圆与圆的方程培优专题(含解析)期末考试选择填空难题汇编
圆与圆的方程培优
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题（共14小题）
1．已知圆，考虑下列命题：①圆C上的点到（4，0）的距离的最小值为；②圆C上存在点P到点的距离与到直线
的距离相等；③已知点，在圆C上存在一点P，使得以AP为直径的圆与直线相切，其中真命题的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（）
A．[2，6]B．[4，8]C．[，3] D．[2，3]
3．直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点且|AB|=2，则a=（）
A．1 B．C．2 D．3
4．点M（x，y）在曲线C：x2﹣4x+y2﹣21=0上运动，t=x2+y2+12x﹣12y﹣150﹣a，且t的最大值为b，若a，b∈R+，则的最小值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．设集合A={（x，y）|（x+3sinα）2+（y+3cosα）2=1，α∈R}，B={（x，y）|3x+4y+10=0}，记P=A∩B，则点集P所表示的轨迹长度为（）
A．B．C．D．
6．若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2，则直线l的斜率的取值范围是（）
A．[2﹣，1]B．[2﹣，2+]C．[，]D．[0，+∞）
7．平面内，已知点A为定圆O外的一个定点，点B为圆O上的一个动点，点A 关于点B的对称点为点C，若BD⊥AC且CD∥OB，则点D的轨迹是（）A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆
天津中考数学培优专题复习圆的综合练习题
天津中考数学培优专题复习圆的综合练习题
一、圆的综合
1．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）．
（1）求⊙M的半径；
（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH．
（3）在（2）的条件下求AF的长．
【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4．
【解析】
【分析】
（1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长；
（2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论；
（3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．【详解】
（1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM，
∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径，
∴BT=TC=1
2
3
∴124
；
（2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，∵CE⊥AB，
∴∠HBC+∠BCH=90°
在△COF中，
∵∠OFC+∠OCF=90°，
∴∠HBC=∠OFC=∠AFH，
在△AEH和△AFH中，
∵AFH AEH AHF AHE AH AH ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△AEH ≌△AFH （AAS ）， ∴EH=FH ；
（3）由（1）易知，∠BMT=∠BAC=60°， 作直径BG ，连CG ，则∠BGC=∠BAC=60°， ∵⊙O 的半径为4， ∴CG=4， 连AG ， ∵∠BCG=90°， ∴CG ⊥x 轴， ∴CG ∥AF ， ∵∠BAG=90°， ∴AG ⊥AB ， ∵CE ⊥AB ， ∴AG ∥CE ，
(全国通用)中考数学复习几何培优训练：圆(含答案)
中考数学 几何专题：圆（含答案）
1.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC ＝30°，点P 在线段OB 上运动.设∠ACP ＝x ，则x 的取值范围是________.
2.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，F 是CG 的中点，延长AF 交⊙O 于E ，CF ＝2，AF ＝3，则EF 的长为________.
3.如图，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，它们相交于点P .连接AD ，BD ，已知AD ＝BD ＝4，PC ＝6，那么CD 的长为________.
4.如图，圆内接四边形ABCD 中的两条对角线相交于点P ，已知AB ＝BC ，CD ＝1
2BD ＝
1.设AD ＝x ，用x 的代数式表示P A 与PC 的积：P A ·PC ＝__________.
5.如图，ADBC 是⊙O 的内接四边形，AB 为直径，BC ＝8，AC ＝6，CD 平分∠ACB ，则AD ＝( )
A ．50
B ．32
C ．5 2
D ．4 2
第4题图第5题图第6题图
6.如图，在△ABC 中，AD 是高，△ABC 的外接圆直径AE 交BC 边于点G ，有下列四个结论：①AD 2＝BD ·CD ；②BE 2＝EG ·AE ；③AE ·AD ＝AB ·AC ；④AG ·EG ＝BG ·CG .其中正确结论的个数是( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7.如图，正△ABC 内接于⊙O ，P 是劣弧»BC
上任意一点，P A 与BC 交于点E ，有如下结论：①P A ＝PB ＋PC ；②
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2020中考数学 培优专题：圆的综合应用(解析版)
2020中考数学培优专题：圆的综合应用（解析版）
【例题1】如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，
（1）求证：DE=DB；
（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．
【分析】（1）由角平分线得出∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，得出，由圆周角定理得出∠DBC=∠CAD，证出∠DBC=∠BAE，再由三角形的外角性质得出∠DBE=∠DEB，即可得出DE=DB；
（2）由（1）得：，得出CD=BD=4，由圆周角定理得出BC是直径，∠BDC=90°，由勾股定理求出BC==4，即可得出△ABC外接圆的半径．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠BAC，AD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，
∴，
∴∠DBC=∠CAD，
∴∠DBC=∠BAE，
∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DE=DB；
（2）解：连接CD，如图所示：
由（1）得：，
∴CD=BD=4，
∵∠BAC=90°，
∴BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∴BC==4，
∴△ABC外接圆的半径=×4=2．
【点评】本题考查了三角形的外接圆的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
【例题2】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O 的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若DE+EA=8，⊙O的半径为10，求AF的长度．
2023年九年级数学中考复习《圆综合压轴题》解答题培优提升专题训练
2022-2023学年九年级数学中考复习《圆综合压轴题》解答题培优提升专题训练（附答案）1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是∠BAC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O与直线AO交于点E和点D．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）连接CE，求证：△ACE∽△ADC；
（3）若＝，⊙O的半径为6，求tan∠OAC．
2．如图，点O是矩形ABCD中AB边上的一点，以O为圆心，OB为半径作圆，⊙O交CD 边于点E，且恰好过点D，连接BD，过点E作EF∥BD．
（1）若∠BOD＝120°，
①求∠CEF的度数；
②求证：EF是⊙O的切线．
（2）若CF＝2，FB＝3，求OD的长．
3．如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CE切⊙O于点C，点D为BC上一个动点，DF⊥AB于点F，FD的延长线交弧BC于点G，交CE于点E．
（1）求证：EC＝ED．
（2）若⊙O的半径为6，∠ABC＝30°．
①当点F为OB的中点时，CE的长为；
②当弧CG的长为时，四边形OCGB为菱形．
4．如图，矩形ABCD内接于⊙O，AB＝4，点E在边AD上，AE＝EC，GD∥CE，交OE 延长线于点G．
（1）求证：DG＝DE．
（2）连结OD交CE于点F，当CF＝4时，求DG的长．
（3）连结OD交CE于点F．
①当OF：FD＝2：3时，求△EDG的周长．
②当点G在⊙O上时，求矩形ABCD的面积．
5．已知AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，DE⊥AC于E．（1）如图1，求证：DE是⊙O的切线；
（2）如图1，若AB＝10，AC＝6，求ED的长；
培优点 隐圆(阿波罗尼斯圆)问题
培优点隐圆(阿波罗尼斯圆)问题
隐圆问题近几年在高考题和各地模拟题中都出现过，难度为中高档，在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转化、发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆问题”．
考点一 利用圆的定义、方程确定隐形圆
例1 (1)(2022·滁州模拟)已知A ，B 为圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋3＝0上的两个动点，P 为弦AB 的中点，若∠ACB ＝90°，则点P 的轨迹方程为( ) A ．(x －1)2＋(y －2)2＝14
B ．(x －1)2＋(y －2)2＝1
C ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝1
4
D ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝1 答案 B
解析 圆C 即(x －1)2＋(y －2)2＝2，半径r ＝2，
因为CA ⊥CB ， 所以|AB |＝2r ＝2， 又P 是AB 的中点， 所以|CP |＝1
2
|AB |＝1，
所以点P 的轨迹方程为(x －1)2＋(y －2)2＝1.
(2)(2022·茂名模拟)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，若向量c 满足|a ＋b －2c |＝1，则|c |的取值范围是( ) A ．[1，5－1] B.⎣⎢
⎡⎦⎥⎤3－1
2
，
3＋12 C.⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤5－12，5＋12
D.⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤5＋12，52
答案 C
解析 |a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，
以a 为y 轴，b 为x 轴，建立平面直角坐标系， 设OA →＝a ＝(0,1)，OB →
2020-2021备战中考数学培优专题复习圆的综合练习题附答案解析
2020-2021备战中考数学培优专题复习圆的综合练习题附答案解析
一、圆的综合
1．如图，点P在⊙O的直径AB的延长线上，PC为⊙O的切线，点C为切点，连接AC，过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交⊙O于点E．
(1)如图1，求证：∠DAC=∠PAC；
(2)如图2，点F（与点C位于直径AB两侧）在⊙O上，»»
BF FA
=，连接EF，过点F作AD 的平行线交PC于点G，求证：FG=DE+DG；
(3)在(2)的条件下，如图3，若AE=2
3
DG，PO=5，求EF的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=32．
【解析】
【分析】
（1）连接OC，求出OC∥AD，求出OC⊥PC，根据切线的判定推出即可；
（2）连接BE交GF于H，连接OH，求出四边形HGDE是矩形，求出DE=HG，FH=EH，即可得出答案；
（3）设OC交HE于M，连接OE、OF，求出∠FHO=∠EHO=45°，根据矩形的性质得出
EH∥DG，求出OM=1
2
AE，设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE=
2
3
DG，DG=3a，
求出ME=CD=2a，BM=2a，解直角三角形得出tan∠MBO＝
1
2
MO
BM
=，tanP=
1
2
CO
PO
=,设
OC=k，则PC=2k，根据OP=5k=5求出k=5，根据勾股定理求出a，即可求出答案．【详解】
（1）证明：连接OC，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∵AD⊥PC，
∴OC∥AD，
∴∠OCA=∠DAC，
∵OC=OA，
∴∠PAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠PAC；
（2）证明：连接BE交GF于H，连接OH，
中考数学《圆》精选基础题经典培优专题训练(含有答案解析)
九年级上册数学《圆》专项训练
一、选择题（每小题3分，共33分）
1．（2005·资阳）若⊙O 所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最
小距离为b（a>b），则此圆的半径为（）
A．
2
b
a+
B．
2
b
a-
C．
2
2
b
a
b
a-
+
或D．b
a
b
a-
+或
2．（2005·浙江）如图24—A—1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）
A．4 B．6 C．7 D．8
3．已知点O为△ABC的外心，若∠A=80°，则∠BOC的度数为（）
A．40°B．80°C．160°D．120°
4．如图24—A—2，△ABC内接于⊙O，若∠A=40°，则∠OBC的度数为（）
A．20°B．40°C．50°D．70°
5．如图24—A—3，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（）
A．12个单位B．10个单位
C．1个单位D．15个单位
6．如图24—A—4，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠B=60°，则∠A等于（）A．80°B．50°C．40°D．30°
7．如图24—A—5，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（）
A．5 B．7 C．8 D．10
8．若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的底面直径为4m，母线长为3m，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，则这块油毡的面积是（）
A．2
6m B．2
《圆》中尺规作图专题培优训练
《圆》中尺规作图专题培优训练
1、（1）在图①中，已知点A 、B 和直线l 1，在直线l 1上作点P ，使得∠APB=90°；
（2）在图②中，已知点C 、D 和直线l 2，在直线l 2上作点Q ，使得∠CQD=45°．
（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）
2.如图，O 是ABC △的外接圆，AB AC =，P 是O 上一点.
（1）请你只用无刻度的直尺．．．．．．
，分别画出图①和图②中P ∠的平分线； （2）结合图②，说明你这样画的理由.
3.按要求尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）
（1）如图，已知点A 和点B 和直线l,在直线l 上作点P ，使∠APB=90°；
(2) 如图，已知点A 和点B 和直线m,在直线m 上作点C ，使∠ACB=45°；
①
②
4．下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图1，⊙O 及⊙O 上一点P ．
求作：过点P 的⊙O 的切线．
作法：如图2， ①作射线OP ；
②在直线OP 外任取一点A ，以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，与射线OP 交于另一点B ；
③连接并延长BA 与⊙A 交于点C ；
④作直线PC ；
则直线PC 即为所求．
根据小元设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵BC 是⊙A 的直径，
∴∠BPC ＝90°（ ）（填推理的依据）．
∴OP ⊥PC ．
又∵OP 是⊙O 的半径，
∴PC 是⊙O 的切线（ ）（填推理的依据）．
5．已知：AB 为⊙O 的直径，P 为AB 延长线上的一个动点，过点P 作⊙O 的切线，设切点为C 。
六年级圆的学习培优题
《第一单元圆》培优专题练习
1、一个圆形喷水池的直径是8米，在距离喷水池边缘2米处围上一圈栏杆，栏杆全长多少米？
2、一个圆形喷水池的直径是8米，在它周围铺一条2米宽的草坪，铺草坪的面积是多少平方米？
3、求下列图形的周长和面积
4、用一张长为36厘米、宽为18厘米的长方形纸最多能剪出几个半径是3厘米的圆片？
5、求下列各图阴影部分的面积。
r=6cm
r=6cm
6、下图中圆的半径是10厘米，圆的周长和长方形的周长相等，求阴影部分的周长。
7、笑笑和淘气在一个直径是100米的圆周上的同一点，向相反的方向走去，笑笑没分钟走12.56米，淘气每分钟走18.84米，当他们相遇时，笑笑比淘气少走路多少米？
8、右图正方形的边长是4厘米，求中间阴影部分的面积。
9、把4个啤酒瓶如图所示捆扎在一起，捆4圈至少用绳子多少厘米？
10、王老伯要靠墙围一个半圆形栅栏，这个半圆的直径是15米，栅栏长多少米？
11、王老伯用28.26米长的篱笆靠围墙围了一个半圆形花坛，这个花坛的面积是多少平方米？
12、用一张长20厘米，宽12厘米的长方形纸剪了一个最大的圆形，还剩多少平方厘米的纸？
13、一块正方形的铁皮，周长是80分米，把这个铁皮剪成一个最大的圆，圆的面积是多少？
14、用一根铁丝正好可以围成边长是4.71厘米的正方形，如果用它围城一个圆形，这个圆形的面积是多少？
15、闹钟的时针长2.75米，请问时针针尖一昼夜走过的路程时多少米？
16、一个挂钟时针长15厘米，分针长20厘米。从中午12时到下午3时，分针扫过的面积是多少平方厘米？
【九年级数学几何培优竞赛专题】专题1 巧构圆,妙解题【含答案】
第一章 圆
专题1巧构圆，妙解题
知识解读
在处理平面几何中的许多问题时，常常需要借助圆的性质，问题才能解决.而有时候我们需要的圆并不存在，这就需要我们能利用已知的条件，借助图形的特点把实际存在的圆找出来，从而运用圆中的性质来解决问题，往往有事半功倍的效果，使问题获得巧解或简解，这是我们解题必须要掌握的技巧. 作辅助圆的常用依据有以下几种：
①圆的定义：若几个点到某个固定点的距离相等，则这几个点在同一个圆上； ②有公共斜边的两个直角三角形的顶点在同一个圆上；
③对角互补的四边形四个顶点在同一个圆上，简记为：对角互补，四点共圆；
④若两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且在公共边的同侧，则这两个三角形有公共的外接圆，简记为：同旁张等角，四点共圆.
培优学案
典例示范
例1将线段AB 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AC ，继续旋转(0120)αα<
①如图1-1-1①，若α=80°，则∠BDC 的度数为；
②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC 的大小是否改变？若不变，求出∠BDC 的度数；若改变，请说明理由；
(2)如图1-1-1②，以AB 为斜边作Rt △ABE ，使得∠B =∠ACD ，连接CE ，DE .若∠CED =90°，求α的值.
图1-1-1
②
①
E
D
C
B
A
D
B
A
【提示】(1)①∠BDC =∠ADC -∠ADB ，利用“等边对等角及三角形内角和为180°”可求出∠BDC 为30°； ②由题意知，AB =AC =AD ，则点B ，C ，D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上，利用“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”可快速求出∠BDC 仍然为30°；
2020年中考数学专题培优圆解答题（含答案）
2020年中考数学专题培优圆解答题（含答案）
2020年中考数学专题培优圆解答题
1.如图，点D是以AB为直径的⊙O上⼀点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，
E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若OB=BF，EF=4，求AD的长．
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB上⼀点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长交BC的延长线于点F．
（1）求证：∠BDF=∠F；
（2）如果CF=1，sinA=0.6，求⊙O的半径．
3.如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上⼀点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两点．
（1）求证：MD=MC；
4，求MC的长．
（2）若⊙O的半径为5，AC=5
4.如图，已知AB为⊙O直径，AC是⊙O的切线，连接BC交⊙O于点F，取的中点D，连接AD交BC于点
E，过点E作EH⊥AB于H．
（1）求证：△HBE∽△ABC；
（2）若CF=4，BF=5，求AC和EH的长．
5.如图，已知AB为⊙O的直径，AB=8，点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点，连接OC、AC，且
∠BOC＜90°，直线BC和直线AD相交于点E，过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F，与直线AD 相交于点G，且∠GAF=∠GCE
（1）求证：直线CG为⊙O的切线；
（2）若点H为线段OB上⼀点，连接CH，满⾜CB=CH.
①△CBH∽△OBC；②求OH＋HC的最⼤值.
6.如图，AB是以O为圆⼼的半圆的直径，半径CO⊥AO，点M是弧AB上的动点，且不与点A、C、B重合，
中考数学一轮培优微专题 辅助圆问题
针对演练 1. 如图，已知OC＝3，点A、B分别是平面内的动点，且OA＝2，BC＝4，请在平面内 画出点A、B的运动轨迹． 解：如解图，点A的运动轨迹为⊙O，点B的运动轨迹为⊙C.
第1题图
第1题解图
2. 如图，在▱ABCD中，点E为边AD上的定点，点F为边AB上的动点，将△AEF沿EF折 叠得到△A′EF，请在图中画出点A′在▱ABCD内(含边上的点)的运动轨迹．
第6题图
模型六 线圆最值 模型分析
1．如图，AB为⊙O的一条定弦，点C为圆上一动点． (1)如图①，若点C在优弧AB上，当CH⊥AB且CH过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB 的最大距离，此时S△ABC的面积最大. (2)如图②，若点C在劣弧AB上，当CH⊥AB且CH的延长线过圆心O时，线段CH即为点 C到弦AB的最大距离，此时S△ABC的面积最大．
2. 当D点在⊙O上时，d＝r，如图③、④：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值， DE的最大值为d＋r＝2r(即为⊙O的直径)，DE的最小值为d－r＝0(点D、E重合)；
3. 若D点在⊙O内时，d<r，如图⑤、⑥：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值， DE的最大值为d＋r，DE的最小值为r－d.
A. 1
B. 6
5
C. 2
D. 5
第7题图
8. 如图，平面直角坐标系中，已知⊙C和直线AB：y＝ 3 x＋ 3 ，点Q为⊙C上一个动 点，已知⊙C的半径为1，C(3，0)，则点Q到直线AB距离的最大值是_2___3_＋__1__，最小 值是_2___3__-_1_．
2020-2021备战中考数学培优专题复习圆与相似练习题附详细答案
2020-2021备战中考数学培优专题复习圆与相似练习题附详细答案
一、相似
1．如图，在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，连接BO，以AB为斜边向三角内部作Rt△ABE，且∠AEB=90°，连接EO．求证：
（1）∠OAE=∠OBE；
（2）AE=BE+ OE．
【答案】（1）证明：在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，
∴OB⊥AC，
∴∠AOB=90°，
∵∠AEB=90°，
∴A，B，E，O四点共圆，
∴∠OAE=∠OBE
（2）证明：在AE上截取EF=BE，
则△EFB是等腰直角三角形，
∴，∠FBE=45°，
∵在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，
∴∠ABO=45°，
∴∠ABF=∠OBE，
∵，
∴，
∴△ABF∽△BOE，
∴ = ，
∴AF= OE，
∵AE=AF+EF，
∴AE=BE+ OE．
【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质，可证得∠AOB=∠AEB=90°，可得出A，B，E，O四点共圆，再利用同弧所对的圆周角相等，可证得结论。
（2）在AE上截取EF=BE，易证△EFB是等腰直角三角形，可得出BF与BE的比值为，再证明∠ABF=∠OBE，AB与BO的比值为，就可证得AB、BO、BF、BE四条线段成比例，然后利用两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△ABF∽△BOE，可证得AF= OE，由AE=AF+EF，可证得结论。
2．在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，M是AD边的中点，P是AB边上的一个动点（不与A、B重合），PM的延长线交射线CD于Q点，MN⊥PQ交射线BC于N点。
初三培优圆辅导专题训练
本文为本人珍藏，有较高的使用、参考、借鉴价值！！
初三培优圆辅导专题训练
大纲要求：1、点（直线、圆）和圆的位置关系及其性质
2、“三选二”垂径定理及其推论
3、圆心角，圆周角、弦切角、弦、弦心距、弧的定义及其关系
4、切线性质及其判定方法
5、弧长、扇形面积计算公式及其圆柱、圆锥的侧面展开图
例题精选：
1、平行四边形中，AB=10，AD=m,，∠D=60°，以AB为直径作圆O,
1）求圆心O到CD的距离（用m的代数式表示）。
2）当m取何值时，CD与圆O相切？
2、圆内接△ABC中，AB=BC=AC，OD，OE为圆O的半径，D，E为圆O上的动点，∠EOD=120°，OD，OE分别交
△ABC的边为F，G。试判断OD、OE和△ABC所围成的面积是否为一个定值。如果是，请给出证明，并求出该定值；如果不是，请说明理由。
3、RT△ABC中，∠BAC=90°，∠C=60°，BC=24，点P是BC边上的动点（P与B，C不重合），过点P作PD∥
BA交AC于点D。
1）当PC为多少时，△APD的面积最大？最大多少？
2）若以线段AC为直径的圆和以线段BP为直径的圆相外切，求线段BP的长。
4、RT△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，圆O经过A、B、D三点，
CB的延长线交圆O于点E。
1）求证：AE=CE
2）EF与圆O相切于点Ｅ，交AC的延长线于点F，若CD=CF=2cm,求圆O的直径3）若CF/CD=n（n>0）,求sin∠CAB
C
B
F
D
B C
O
5、一个圆锥形帽子，母线长为30cm,底面半径是10cm,她想在帽子上缠一根漂亮
中考专题复习 和圆有关的计算(培优训练)
与圆有关的计算（培优训练）
类型一正多边形的计算
例1 的内接正五边形时，先做了如下几个步骤：
(1)作O的两条互相垂直的直径，再作OA的垂直平分线交OA于点M，如图1；
(2)以M为圆心,BM长为半径作圆弧,交CA于点D,连结BD,如图2.若O的半径为1,则由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式是( )
A. B. C. D.
【变式题组】1. 以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是( )
A. B. C. D.
类型二弧长的计算
例2：如图，在，，以BC的中点O为圆心
分别与AB，AC相切于D，E两点，则的长为（）
A. B. C. D.
【变式题组】
2.如图,已知等边△ABC的边长为6,以AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于
D. E两点,则劣弧的长为 .
3. 如图，半径为2cm，圆心角为90的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）
A. B. C.1 D.
类型四阴影部分的面积
类型五圆锥的有关计算
类型六“最短路线”问题
例6：如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯,纸杯开口圆的直径EF长为10cm,母线OE(OF)长为10cm.在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短距离___cm.
【变式题组】
例6：如图，正方形ABCD的边长为a，分别以正方形的四个顶点为圆心，边长为半径，在正方形内画弧，求图中阴影部分的面积。
课后练习
9. 如图,在△ABC中,∠ACB=90,AC=1,AB=2,以点A为圆心、AC的长为半径画弧,交AB边于点D,则弧CD的长等于 .(结果保留π)
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一运用辅助圆求角度
1、 如图，△ ABC 内有一点 D , DA = DB = DC ，若 DAB = 20 , DAC = 30 ,
1
贝U 乙 BDC = _______ . ( • BDC = "2- ■ BAC = 100 )
2、 如图，AE = BE = DE = BC = DC ,若 C = 100 ，则 BAD = __________________ . ( 50 )
3、 如图，四边形 ABCD 中，AB = AC = AD ，/ CBD = 20，/ BDC = 30，贝卩
乙 BAD = _________ .(厶 BAD = Z BAC + Z CAD = 40 °+ 60 ° = 100*)
解题策略：通过添加辅助圆，把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角问题，思维更明朗!
4、 如图，口 ABCD 中，点E 为AB 、BC 的垂直平分线的交点，若 • D = 60 ,
贝U AEC = _________ . (/ AEC = 2 ^B = 2 ^D = 120 )
5、 如图，O 是四边形 ABCD 内一点，OA = OB = OC , ABC = ADC = 70 ,
贝U DAO + DCO = ______________ .(所求=360 - Z ADC —乙 AOC = 150
)
A
第1题
第2题 第3题
第5题 第6题
第4题 :第6题有两个直角三角形共斜边，由直角所对的弦为直径，易得到
(ABC = ADC = 25 )
6、如图，四边形ABCD 中，ACB = ■ ADB = 90 , - ADC = 25，则ABC = ___________________
ACBD共圆.
运用圆周角和圆心角相互转化求角度
9、如图，AB为O O的直径, BC = 3AC，则—ABC =
解题策略：以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径!
10、如图，AB为O O的直径，点C、D在O O上，• BAC = 50，则.ADC = ___________________
11、如图，O O的半径为1,弦AB = ，弦AC = 3 ，则• BOC = _________ 12、如图，PAB、PCD是O O的两条割线，PAB过圆心O,若AC =CD , - P= 30 ,
则• BDC = ___________ .（设.ADC = x，即可展开解决问题）
解题策略：在连接半径时，时常会伴随出现特殊三角形一一等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形或等边三角形，是解题的另一个关键点！
圆的四接四边形的外角等于内对角，是一个非常好用的一个重要性质!
1、如图，AB是O O的弦，OD_AB，垂足为C,交O O于点D，点E在O O上，若.BED
7、如图，AB为O O的直径，C为AB的中点, D为半圆AB上一点，则• ADC =
8、如图，AB为O O的直径, CD过OA的中点E并垂直于OA，则.ABC
=
第10题第11题第12题
=30 , O O的半径为4，则弦AB的长是_____________ .
略解：••• OD _AB ,••• AB = 2AC，且.ACO = 90 ,
••• . BED = 30 . AOC = 2 BED = 60
•. OAC = 30 , OC=-^- OA = 2,贝U AC = 2、3，因此AB = 4 3.
2、如图，弦AB垂直于O O的直径CD , OA = 5, AB = 6,贝U BC = ___________ .
1
略解：•••直径CD _ 弦AB ,• AE = BE =1 AB=3
•OE = 52—3 =4，贝U CE= 5+ 4 = 9
• BC = - 92 32 =3.10
第1题第2题第3题
3、如图，O O的半径为25 , 弦AB 丄CD ,垂足为P, AB = 8, CD = 6,贝U OP= _____________ 略解：如图，过点O作OE_AB , OF_CD，连接OB , OD.
则BE = 2 AB = 4, DF =十CD = 3,且OB = OD = 2 5
OE = ,(2、、5)2-42=2 , OF= •.(2I5)2-32T1
又AB _CD，则四边形OEPF是矩形，则OP= ,22(.11)2
4、如图，在O O内，如果OA = 8, AB = 12, • A = ■ B = 60，则O O的半径为______________ 略解：如图，过点O作OD _ AB，连接OB」AD = | AB = 4,因此，BD = 8, OD = 4、3 • OB = 4.7 .
5、如图，正△ ABC 内接于O O , D 是O O 上一点，.DCA = 15 , CD = 10,贝U BC = __________ 略解：如图，连接 OC , OD ，则.ODC = . OCD
•/△ ABC 为等边三角形，则
OCA = ■ OCE = 30 ,二 ODC = • OCD = 45
•••△ OCD 是等腰三角形，则 OC = 5、2
6、如图，O O 的直径AB = 4, C 为AB 的中点，E 为OB 上一点，• AEC = 60 , CE 的延
长线交O O 于点D ，贝y CD = __________
则 DE = 2CD = 2 .200
2
-1502 =100 ・ 7 ,
所以受影响的时间为 100--7 “10・7 =10 （时）
过点O 作OE _ BC , 贝V BC = 2CE
=
第5题 第6题
略解：如图，连接 OC ,贝U OC = 2
如图，以A 为圆心200千米为半径作O A 交BF 于 D 、E 两点，连接AD ,