数学物理方法 (2)
数学物理方法概述
数学物理方法概述数学物理方法是一门交叉学科，它将数学工具和物理理论相结合，用数学方法来解决物理问题。
数学物理方法在现代物理学的发展中起着至关重要的作用，它不仅帮助我们理解自然界的规律，还推动了科学技术的进步。
本文将对数学物理方法进行概述，介绍其基本概念、应用领域以及在物理学中的重要性。
一、基本概念数学物理方法是一种将数学工具应用于物理问题的方法论。
它主要包括数学分析、微分方程、变分法、群论、复变函数等数学工具，以及量子力学、统计物理学、电磁学、流体力学等物理理论。
通过数学物理方法，我们可以建立物理模型，推导物理规律，解决物理问题。
1.1 数学分析数学分析是数学物理方法中的基础工具之一，它包括微积分、级数、极限等内容。
在物理学中，我们经常需要对物理量进行微分、积分运算，利用微积分理论可以描述物理系统的变化规律，求解运动方程等问题。
1.2 微分方程微分方程是描述物理系统演化规律的数学工具，它在数学物理方法中扮演着重要角色。
通过建立微分方程模型，我们可以预测物理系统的未来状态，研究系统的稳定性和动力学行为。
1.3 变分法变分法是一种优化方法，它在物理学中被广泛应用于求解最优控制问题、能量最小化问题等。
通过变分法，我们可以得到物理系统的最优解，优化系统的性能。
1.4 群论群论是一种抽象代数学，它研究对称性和变换的数学结构。
在物理学中，群论被用来研究对称性和守恒律，揭示物理规律背后的对称性原理。
1.5 复变函数复变函数是研究复数域上的函数的数学分支，它在量子力学、电磁学等领域有重要应用。
复变函数理论为我们提供了处理振荡、波动等问题的有效工具。
二、应用领域数学物理方法在物理学的各个领域都有广泛应用，包括量子力学、统计物理学、电磁学、流体力学等。
下面我们将分别介绍数学物理方法在这些领域的应用。
2.1 量子力学量子力学是描述微观世界的物理理论，它通过波函数和算符等数学工具来描述微粒的运动和相互作用。
数学物理方法在量子力学中扮演着至关重要的角色，它帮助我们理解量子力学的基本原理，推导薛定谔方程，研究量子力学中的对称性和守恒律。
数学物理方法第二章复变函数的积分
一般而言,复变函数的积分不仅与起点和终点有 关, 同时还与路径有关。
§2.2 柯西（Cauchy）定理
——研究积分与路径之间的关系 （一）单连通域情形 单连通域： 在其中作任何简单闭合围线，围 线内的点都是属于该区域内的点。 单连通区域的Cauchy 定理 ：如果函数 f (z) 在闭 单连通区域 B 中单值且解析， 则沿 B 中任 何一个分段光滑的闭合曲线 l (也可以是 B 的 边界 l0 ), 函数的积分为零。
lim f( z z ) k)( k k 1
n
存在且与 k 的选取无关, 则这个和的极限称为 函数 f (z) 沿曲线 l 从 A 到 B 的路积分，记为
即
l
f (z) dz
n k k k 1
z ) d z lim f ( )( z z f(
l n k 1 max | z | 0 k
l 1 l 2
f (z)=Re (z)不是解析函数!
y i l2 o l1 1 l2
I1 Rez d z xd( x iy) 1 xd x i d y i 0 0 2 ( y = 0) (x=1)
1 1
1+i
l1 x
1 I 0 id y x d x 2 0 0 (x=0) ( y=i ) 2
l l l
v u u v d x d y i d x d y s s x y y x
又u、v 满足C-R条件 u v u v , x y y x
y
f ( z ) d z 0
l
B
l
o
数学物理方法2
第一章 复变函数论
例： f(z)=z2
2 2 2 ( z z ) z 2 z z z f ' ( z ) lim lim 2z z 0 z 0 z z
例：f(z)=Re(z)
Re( z z ) Re( z ) Re( z x) Re( z ) f ( z ) lim lim 1 z 0 x 0 z x
u u 2 0 2 x y
2 2
同样有：
v v 2 0 2 x y
2 2
第一章 复变函数论
u(x,y)和v(x,y)满足2维的Laplace方程，称之为调和函数。U 和v互为共轭，称之为共轭调和函数。
u u u ( x, y ) ( , ) x y 2u 2u u ( x, y ) 2 2 0 x y
续)，而且满足Cauchy-Riema 复变函数论
沿径向和横向分别逼近，可以得到极坐标下的CauchyRiemann方程：
u 1 v 1 u v
第一章 复变函数论
复变函数可微 vs 二元函数可微
第一章 复变函数论
第一章 复变函数论
将 Cauchy-Riemann 方程两边分别相乘：
u v u v , x y y x u v u v 0 x x y y u u v v ( , ) ( , ) 0, u v 0 x y x y
'
沿虚轴逼近：
w u iv u v f ( z ) lim lim i y 0 z y 0 iy y y
'
因此：
u v u v , x y y x
(Cauchy-Riemann方程)
梁昆淼 数学物理方法第1和2章
1 2 1 2 2 ( x ) y ( ) 圆上各点 4 4
例：计算 W
解： 令
a ib
z a 2 b2
1/ 2
z a ib z (cos i sin )
W a ib [ z (cos i sin )]
z
1/ 2
sin cos
所定义的函数分别叫做反正弦函数及反余弦函数记为22柯西定理23不定积分24柯西公式21复变函数积分21复变函数积分idydxzdzreixdyxdxzdzre由此可见对于有些被积函数而言积分与路径有关ixdyxdxzdzreixdyxdxixdyxdxzdzreixdyxdxxydydxbaxyxydydx由此可见对于有些被积函数而言积分与路径无关一单连通区域qdypdx22柯西定理cddz为区域内境界线积分沿境界线正向进行内外境界线逆时针积分相等23不定积分单连通区域中解析函数reid
（二）、区域概念 （1）、邻域 由
z z0 确定的平面点集，称为定点z0的—邻域
（2）、内点 定点z0的—邻域全含于点集E内，称z0为点集E的内点 （3）、外点 定点z0及其—邻域不含于点集E内，称z0为点集E的外点 （4）、边界点
定点z0的—邻域既有含 于E内，又有不含于E内的 点，称z0为点集E的边界 点。
y1 y2 y1 y2
y
z1 z2 x1
z1 z2
x
x2 x1 x2
z1 z2 ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2
arg z arctg[( y1 y2 ) /( x1 x2 )]
有三角 关系：
z1 z2 z1 z2
z1 z2 z1 z2
数学物理方法2复变函数的积分
目的与要求：掌握复变函数积分的概念、基本性 质及运算；柯西定理、不定积分、柯西公式。 重点： 1. 复积分的基本定理；
2. 柯西积分公式与高阶导数公式。 难点：复合闭路定理与复积分的计算。
1
2.1复变函数的积分 ——复平面上的线积分
(与实函数积分相似，定义为和的极限)
（一）积分的定义
设函数 w = f (z) 定义在区域 B 内, l 为区域
B 内起点为 a 终点为 b 的一条光滑的有向曲线 ,
把曲线 l 任意分成 n 个弧段, 设分点为 a = z0 , z1, L , zk1, zk ,L , zn = b ,
在每个弧段 zk1zk (k = 1,2,L ,n)
上任意取一点 k ,
l
l
5
积分的计算法2:参数方程法
设路径l的方程（参数方程）为: z=z(t) (α≤t≤β)
由求导法则， dz=z’(t) dt, 则有
f (z)dz = f [z(t)]z(t)dt
l
(三)性质： 设l是简单逐段光滑曲线，f,g在l上连续，则
(1)全路径上的积分等于各段上积分之和
n
f (z)dz =
tdt
0
= (3 4i)2 . 2
y
4i
3, 4
·
o
x
3
8
例2 计算 z dz, 其中 l 为 : 圆周 z = 2. l
解 积分路径(圆心在原点圆)的参数方程为
l : z = 2ei (0 2π),
f z = z = 2ei , dz = 2iei d
z dz = 2π 2 2iei d
滑闭曲线l（也可以是B的边界），
l
数学物理方法课后答案 (2)
2
2+ 4 i
1+i
[( x 2 − y 2 ) + 2ixy ](dx + idy )
86 − 6i 3
= ∫ [ x 2 − (3 x − 2) 2 + 2ix(3 x − 2)](1 + 3i ) dx = −
（3）沿1 + i 到 2 + i ，再到 2 + 4i 的折线。
I =∫
2 1
2+ 4 i
L
∫ ∫
L
f (ξ )[
f (ξ ) Δ z ∫ L (ξ − z ) 2 (ξ − z − Δ z ) d ξ
ξ − z ( ξ − z − Δz )
2
d ξ ， 现 在 讨 论 能 否 找 到 δ ( ε )， 使 当 Δ z < δ 时 d ,同 时 将 2
上 式 成 立 。 因 本 题 是 讨 论 Δ z → 0时 的 积 分 极 限 ， 不 妨 令 Δ z < min z − ξ = d 代 入 有 Δ I ≤ δ
4 4 1 1 0 0
I3 = ∫ {[2(t2 + 3) + (2t)2 ]2dt + [3(2t)-(t2 + 3)]2tdt} = ∫ (24t 2 + 12 − 2t 3 − 6t )dt =
数学物理方法第2章复变函数积分-2016方案
(2.1.3)
(2) 化为参数积分计算．设积分曲线L的参数方程为z(t)，
将z(t)及dz(t)＝z'(t)dt代入式(2.1.4)，可得
3
【例2.1.1】计算积分I=
其中曲线L是
(1)沿1+ i 到2+4 i 的直线，见图2.2(a)；
(2)沿1+ i 到2+i，再到2+4 i 的折线，见图2.2(b)；
§2.2.1 单通区域的柯西定理
定理 若函数f(z)在单通区域D 内解析，则f(z)在D内沿任意 闭曲线的积分为零
∮l f(z)dz = 0 (2.2.1)
证明 这个定理的严格证明比较复 杂, 为简单起见, 我们在“f(z)在D 内连续” 附加条件下证明这个定 理．
先将复变积分化为两个实变积 分的线性叠加
29
这就是解析函数的定积分公式，它与实变 函数中的牛顿-莱布尼茨公式具有相同的形 式。
通常把f(z)的原函数的集合
称f(z)的不定积分，式中C为复常数。
30
(2.2.8)
31
§2.2.3 复通区域的柯西定理
定理 若f(z)在闭复通区域 解析，则f(z)沿所
有内、外边界线(L=L0+ 之和为零
37
【2.2.2】试计算 其中积分回路分别(图2.11) (1) |z-i|＝2；(2) |z+i|＝2；(3) |z|＝3.
38
解 首先，将被积函数分解为部分分式(利用通 分可以凑出来)
≠0
=0
39
40
【例2.2.3】若f(z)=1/(z-a) 在z=a的无心邻域内 连续，积分回路是以a点为圆心的圆弧
由于a点在D内随意变动时，柯西公式依然成立， 有时分别用z和x代替式 (2.3.1)的a和z。将柯西公 式改写为
数学物理方法 第二章 复变函数的积分
证明： 1 dz 1 f (α )dz (1)已知f (α ) = f (α ) ⋅ ∫l z − α = 2πi ∫l z − α 2πi 1 f ( z )dz 1 f ( z ) − f (α ) 与f (α ) = 比较，只需证明 ∫l z − α ∫l z − α dz = 0即可. 2πi 2πi f ( z ) − f (α ) (2)因为z = α为 的奇点，因此，以α为圆心，取任意小 z −α f ( z ) − f (α ) ε为半径做小圆Cε , 这样在l及Cε 所围复通区域上 单值解析。 z −α f ( z ) − f (α ) 1 f ( z ) − f (α ) 1 根据柯西定理， ∫ dz = ∫Cε z − α dz l 2πi z −α 2πi 对于Cε 上的z有：z − α = εe iϕ , dz = iεeiϕ dϕ 于是, 有： 1 f ( z ) − f (α ) 1 2π f ( z ) − f (α ) iϕ 1 iεe dϕ = iϕ ∫l z − α dz = 2πi ∫0 εe 2πi 2π
wuxia@
∫
2π
0
[ f ( z ) − f (α )]dϕ
(3)现在需要对上式右端做估计 因为f ( z )连续，一定可以找到∆ > 0,当 | z − α |≤ ∆时， | f ( z ) − f (α ) |≤ ε ′ 因而有： 1 2π 1 2π 1 ∫0 [ f ( z ) − f (α )]dϕ ≤ 2π ∫0 | f ( z ) − f (α ) |⋅ | dϕ |< 2π 2π =ε 1 f ( z ) − f (α ) 1 f ( z) ∴ dz = 0, f (α ) = ∫l z − α ∫l z − α dz 2πi 2πi
数学物理方法第2章复变函数积分-2016
49
50
【例2.3.2】试计算积分，
积分回路L为x2 + y2=2x 解 (1) 积分回路的形状： (x-1)2+y2=1
(2)被积函数的奇点．
方程z4+1=0有四个根：z=exp[i (p+2kp)/4]， k=0,1,2,3，因此，被积函数有四个奇点，但仅有 z1与z4位于积分回路之内
51
2. 复通区域的柯西公式
设f (z)在闭复通区域D中解析，a为D的内点， 则 式中积分沿D的内外边界线的正方向．
32
证明 为了应用单通区域的柯西定理，作割线把外边界线 L0与内边界线连接起来，将闭复通区域变成闭单通区域。
33
推论3 在f(z)的解析区域中，积分回路连 续变形时，其积分值不变．
证明 取变形前后的积分回路 作为复通区域 的内外边界 线，如图2.9所示．由式 (2.2.21a) 可得
移项后，改变l2的积分方向，即有
复变积分性质(5)及式(2.2.34)，可证
43
由于e可任意地小，(q2-q1)为常量，式
(2.2.35)表明
可任意地小根据极限的定义，可得
44
2. 大圆弧引理
若j(z)在无穷远点的无心邻域内连续，在大 圆弧CR(z=Reiq, R→∞,q1<q<q2 )上
这两个引理为计算沿圆弧的积分带来方便． 2.3节将分别用来证明单通区域及无界区域的 柯西公式．
(3)按复通区域的柯西定理及柯西公式计算以小圆周c1 和c2分别包围奇点z1和z4 ，则被积函数在外边界线l 与内边界线c1 ， c2 所围的复通区域解析。按复通区 域的柯西定理，沿l的积分等于沿C1与C2积分之和， 后两个积分可按柯西公式算出，即
数学物理方法答案2
1 2n
1 2n
1，
故 lim a 2 n b 2 n 2 n max a, b 。 n 于是所求级数的收敛半径 R max a, b 。
an a 2 n 2 b2 n 2 或： R lim ， R lim 。 n n a a 2 n b2 n n 1
2
解: a.
z 1 z 1 2 1 2 2 2 2 。 z ( z 1) z ( z 1) z z ( z 1)
2 1 1 z n ， 1 z z 1 n 0
在 0 z 1 内,
3
z 1 1 1 1 n2 n 2 z 2 z 2 zn 。 2 2 z 2 ( z 1) z 2 z z n 0 n 2 n 1
z 1 。
b.
2 2 1 z 1 1 3 1 z 1 z2 z2 3
1
2 n z 1 n z 1 1 1 2 1 n1 3 n0 3 3 n0 n n
z 1 3
2
c.
2
n
d 1 ， dz z i
n
1 1 1 1 1 1 z i n z i 2i z i 2i 1 z i 2i n 0 2i 2i
n0
【 i 1 2 】
1
1
n 1 2
z 0 是 z z 2 1 的一阶零点，从而是
z z 2 1
z 1
2
的一阶极点；
5
2 z z 2 1
z i
2 2 z 1 4 z 2 z 2 1 z i 0 ，
数学物理方法复习资料及参考答案(二)
数学物理方法复习资料及参考答案(二)一、选择题:1. 函数()f x 以0z 为中心的Taylor 展开的系数公式为：（ )A ξξξπd z f i k C c k ⎰-=)()(20 B !)(0)(k z f C k k =C ξξξπd z f i C c k k ⎰+-=10)()(21 D ξξξπd z f i k C c k k ⎰+-=10)()(2 2。
⎰=-l dz a z )(（ ） （其中l 表示以为a 中心ρ为半径的周围)。
A i ⋅πB iC i ⋅-πD 0 3. 非齐次边界条件)(),(0t u t u l x x νμ====，转化为齐次边界条件的方法：（ )A )()(tB x t A + B x t A )(C )(t BD x t B x t A )()(2+ 4。
)(t f 是定义在半无界区间),0(∞上的函数，⎩⎨⎧<<<=)(0)0()(t T T t ht f在边界条件0)0(='f 下，把)(t f 展为实数形式傅立叶积分：（ ） Aw h 12π B w wT h cos 2π C w wT h sin 2π D wwTh cos 12-π 5. 齐次边界条件0,00====l x x xu u 的本征值和本征函数：（ ） A ),3,2,1,0(cos )(,222 ===n l xn C x X l n nn n ππλB ),3,2,1(sin )(,222 ===n l xn C x X l n nn n ππλC ),3,2,1,0()21(cos )(,)21(222 =+=+=n l xn C x X ln n n n ππλD ),3,2,1,0()21(sin )(,)21(222 =+=+=n l xn C x X l n nn n ππλ6. 若集合是（ ）,则该集合是区域。
A 开集B 连通开集C 连通闭集D 连通集 7. 设a 是)(z f 的可去奇点，则有：（ ）Alim ()Z af Z →存在且有限 Blim ()Z af Z →不存在C )(z f 在a 点的主要部分只有有限项D )(z f 在a 点的主要部分有无限多项8。
2《数学物理方法》第二讲复数的运算&复变函数
相当于 x x 0 ， y y 0 因而，有关复数的极限可归结为
一对实数的极限，，因而，关于实数的和差积商的极限定理，关于实数
的极限存在的判据，全部都适用与复数。
二、复变函数
2、1 复变函数的定义： 若在复平面（或复数球）上存在一个点集E（复数的集合），对于E 的每一点（每一个z值），按照一定的规律，有一个或多个复数值
实现方法：测地投影； 最后结果：（1）、有限远点和球面上的点一一对应（坐标原点与南极重合），
引入复数球（Riemman空间）
目的：使平面上的点与球面上的点一一对应；
（2）、无限远点和北极对应。
------《数学物理方法》第二讲------
1、5
复数与实数之间的联系： 由 z x iy 和 z 0 x 0 iy 0 可知：
(cos 隶莫弗公式： n i sin n ) cos i sin
------《数学物理方法》第二讲------
n
开方：n z 是个多值函数，共有n个不同的复根。
n
z
n
e
i
n
e
i
n
i
n
(co s
n
i sin
n
)
说明产生n个根的原因：
z e
数学物理方法第二讲
复数的运算&复变函数（2学时）
一、复数与运算
1、1 复数的概念：
定义：表达式 z x iy 叫做复数（或叫做复数的代数式）， 其中：i 叫做虚数单位。
性质： i 2 1
i
2 ( 2 k 1)
i i
3
i 1
数学物理方法2-1Fourier变换new
第二章
积分变换及其应用
第一节 Fourier变换
定理2.1.1 Fourier积分收敛定理 设 f ( x ) 在 ( , ) 上满足： 1°在任一有限区间满足 Dirichlet 条件；
2°绝对可积
f (t ) dt
1 -i w x iwt 则 f x dx dw ( ( )e )e 2 在 t 点连续 f ( t ), 1 ( f ( t 0) f ( t 0))， 其它 2 注:满足条件1°才能保证函数在任意有限区间上能展为 Fourier级数;满足条件2°才能保证T→+∞时极限存在。
T 则当T→+∞时，等价于△w → 0,从而
1 T -i wn x i wnt 2 ( ( )e ) e f (t ) lim f x dx w T T T 2 n 2 1 ( f ( x)e-i wxdx)ei wtdw 2
第二章
积分变换及其应用
第一节 Fourier变换
注:
1.
ˆ ( w ) | dw 收敛 | f ( x ) | dx 收敛保证，不一定保证 | f
2.能否扩大Fourier变换（逆变换）定义空间
1 ˆ 1 ˆ ˆ 3. f (t ) f ( w) F [ f ](t ) ， F [ f ](t )等于f (t )？ 1
第二章
积分变换及其应用
第一节 Fourier变换
1, t 1 例 1 求矩形脉冲函数 f (t ) 的Fourier积分。 0, t 1
1 e it it ˆ f ( w) f (t )e dt e dt 1 i it 1
武汉大学数学物理方法2达朗贝尔公式
3、用初始条件定特解： 由方程<2>可得：
f1 ( x) + f 2 ( x ) = ϕ ( x ) <5>
由方程<3>可得：
df 1 ( x + at ) d ( x + at ) d ( x + at ) dt
+
t =0
df 1 ( x − at ) d ( x − at ) d ( x − at ) dt
解：
∂2 ∂ ∂2 ( 2 +2 + 3 2 )u = 0 ∂x∂y ∂x ∂y
由上式可得：
∂ ∂ ∂ ∂ ( +3 )( − )u = 0 ∂x ∂y ∂x ∂y
x = ξ + η 我们令： y = 3ξ − η
<4> <5>
∴
∂x ∂ξ = 1 ∂y = 1 ∂ξ
x = x (ξ , η ) 若引入 t = t (ξ , η )
使得： ∂ = ∂ ∂ t + ∂ ∂ x = A ( ∂ + a ∂ )
∂ξ ∂t ∂ξ ∂x ∂ξ ∂t ∂x
∂ ∂ ∂t ∂ ∂x ∂ ∂ = + = A( + a ) ∂η ∂t 将上两式带入<4>式，得到：
1 u ( x , t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] 2 1 x + at + ψ (α ) d α <7> ∫ 2 a x − at
三、分析解答： 1、适定性： 含参变量求导公式： ∂ ∂t
∫
x + at
x − at
数学物理方法第二章
证 设光滑曲 C由线参数方程给出
zz(t)x(t)i y(t), t
正方向为参数增加的方向,
参数 及 对应A 于 及起 终 B , 点 点
数学物理方法第二章
6
并 z ( t) 且 0 , t,
如f(果 z) u (x ,y) iv(x ,y)在 D 内处 , 处 那u 么 (x,y)和 v(x,y)在 D内均为连 , 续函
n
n
f(k)zk [u(k,k)xkv(k,k)yk]
k1
k1
n
i[v(k,k)xku(k,k)yk]
k1
C f(z)dz CudxvdyiCvdxudy
数学物理方法第二章
9
公式 C f(z)dz CudxvdyiCvdxudy
在形式上可以看成是
f(z)uiv与 dzdxidy相乘后求 : 积
f(z)dzf ( z ) d z f ( z ) d z f ( z ) d z .
C
C 1
C 2
C n
在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的, 曲线 C 是按段光滑的.
数学物理方法第二章
12
性质：
设L是简单逐段光滑曲线，f,g在L上连续，则
(1)f(z)dz f(z)d;z反转积分路径，积分反号
z2
z2
f(z)dzudxvdyivdxudy
z1
z1
z1
因此可得到复变函数的积分与路径无关的充要条件
数学物理方法第二章
24
单连通区域柯西定理：
如果函数f (z)在闭单连通域B 上解析，则沿B上任一分段光滑 闭曲线l（也可以是B的边界）， 有
f (z)dz 0
数学物理方法习题解答（完整版）
数学物理方法习题解答（完整版）数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux=?，0v y ?=?，u v x y ??≠??。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件，所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ??= =??。
v vx y==0 ??。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y, 在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ===='=+=-= ? ?????????。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z→?→?=?=?'==?=?-?=?。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=?→?→?→+?+?+??==+??→。
【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z zz z==??】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ?+++≠?=+，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ?-+≠?=+?+??， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ?++≠?=+?+??。
数学物理方法第二章
证明：对 [ f (z)]n 应用柯西公式
[ f (z)]n 1 [ f ( )]n d
2 i l z
若 |f(z)| 在l上极大值为M，|z| 的极小值为，l的长为s
f (z) n M n s
2
1
f
(z)
M
s
2
n
n
f (z) M
21
Liouville定理：如 f(z) 在全平面上解析，并且是有界 的，即 |f(z)| N，则 f(z) 必为常数。
f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz
l
l1
l2
ln
13
柯西定理总结 1. 闭单通区域上的解析函数沿境界线的积分为零。
2. 闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向 的积分和为零。
3. 闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向的 积分等于沿所有内境ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ线逆时针方向的积分的和。
P Q y x
由于复变函数的积分可转化为两个实变线积分
z2
z2
z2
f (z)dz udx vdy i vdx udy
z1
z1
z1
因此可得到复变函数的积分与路径无关的充要条件
7
单连通区域柯西定理： 如果函数f (z)在闭单连通域B上解析，则沿B上任
一分段光滑闭曲线l（也可以是B的边界），有
f (z) f ()dz
max f (z) f ()
2 0
C z
18
如果l是圆周z= +reiθ，
f () 1 2 f ( rei )d 2 0
这就是说，一个解析函数在圆心处的值等于它
在圆周的平均值。
数学物理方法 第二版 (武仁 著) 北京大学出版社 课后答案 习题01-04
⎛π ⎞ i π 4+2 nπ ) 2 π 2+ 2 nπ i ⎜ + nπ ⎟ ⎤ i 1 + i ⎡ 2e ( π ⎝4 ⎠ 2 =⎢ = = e e （8） ， ( n = 0， 1)， Am = 1 ， Arg = + nπ + 2kπ ， ⎥ −iπ 4 1 − i ⎣ 2e 4 ⎦
( −1) Re =
（1）
（3） arg (1 − z ) = arg (1 − x − iy ) = 0 ⇔ 1 − x > 0 且 y = 0 ，即 x < 1 ， y = 0 ；
w.
ww
arg (1 + z ) = arg (1 + x + iy ) =
arg ( z + 1 − i ) = arg ⎡ ⎣ x + 1 + i ( y − 1) ⎤ ⎦=
课后答案网，用心为你服务！
最全最多的课后习题参考答案，尽在课后答案网（）！
Khdaw团队一直秉承用心为大家服务的宗旨，以关注学生的学习生活为出发点，
爱校园（） 课后答案网（） 淘答案（）
则 z ′ = z − z0 ，即 x′ + iy′ = x − x0 + i ( y − y0 ) ，由此得 x′ = x − x0 ， y′ = y − y0 。
ww
如图，
w.
AB i∠A z1 − z3 AC i∠C AB AC z2 − z1 ， ∠A = ∠ C 。 e ， e 。所以 = = = z3 − z1 AC z2 − z3 BC AC BC AB AC 可得 AB = BC = AC ，即 = AC BC
⎛ 2n + 1 ⎞ ⎛ 2n + 1 ⎞ Re = cos ⎜ π ⎟ ， Im = sin ⎜ π ⎟； ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学物理方法
课程类别校级优秀□省级优质√省级精品□国家精品□项目主持人李高翔
课程建设主要成员陈义成、王恩科、吴少平、刘峰数学物理方法是理科院校物理类学生的一门重要基础课，该课程所涉内容，不仅为其后续课程所必需，而且也为理论和实际研究工作广为应用。
因此，本课程教学质量的优劣，将直接影响到学生对后续课程的学习效果，以及对学生分析问题和解决问题的能力的培养。
数学物理方法是物理专业师生公认的一门“难教、难学、难懂”的课程，为了将其变为一门“易教、易学、易懂”的课程，我们对该课程的课程体系、内容设置、教学方法等方面进行了改革和建设，具体做法如下：
一、师资队伍建设
优化组合的教师队伍，是提高教学质量的根本保证。
本课程师资队伍为老、中、青三结合，其中45岁以下教师全部具有博士学位，均具有高级职称。
课程原责任教师汪德新教授以身作则，有计划地对青年教师进行传、帮、带，经常组织青年教师观摩老教师的课堂教学、参与数学物理方法教材编写的讨论；青年教师主动向老教师学习、请教，努力提高自身素质和教学水平。
现在该课程已拥有一支以中青年教师为主的教师队伍。
同时，系领导对该课程教师队伍的建设一直比较重视，有意识地安排青年教师讲授相关的后续课程，例如，本课程现责任教师李高翔教授为物理系本科生和函授生多次主讲过《电动力学》、《量子力学》、《热力学与统计物理》等课程，使得他们熟知本门课程与后续专业课程的连带关系，因此在教学中能合理取舍、突出重点，并能将枯燥的数学结果转化为具体的物理结论，有利于提高学生的学习兴趣。
培养学生独立分析问题和解决问题能力的一个重要前提是教师应该具有较强的科研能力，该课程的任课教师都是活跃在国际前沿的学术带头人或学术骨干，近5年来，他们承担国家自然科学基金项目共8项，在国内外重要学术刊物上发表科研论文60余篇，并将科研成果注入教学中。
此外，本课程大多数教师有多次出国合作研究的经历，并且在学校教务处和外事处的支持下，吴少平副教授参加了由国家留学基金委员会组织的赴英“双语教学研修项目”，为本课程双语教学的开展打下了良好的基础。
二、教学内容
数学物理方法是联系高等数学和物理专业课程的重要桥梁，本课程的重要任务是教会学生如何把各种物理问题翻译成数学的定解问题，并掌握求解定解问题的多种方法。
本门课程的基本教学内容主要包括复变函数论、数学物理方程两部分。
与国内流行的教材和教学内容相比，在讲解数理方程的定解问题时，本门课程教学内容的特色之一是按解法分类而不按方程的类型分类，这样，可以避免同一方法的多次重复介绍；特色之二是把线性常微分方程的级数解法和特殊函数置于复变函数论之后、数学物理方程之前，一方面可将这些内容作为复变函数理论的一个直接应用，使学生进一步巩固已学的相关知识，另一方面可使正交曲线坐标系中分离变量法的叙述更加流畅，并通过与直角坐标系中分
离变量法的横向对比，更鲜明地显示出它们在方法上的共同特征；同时，还将球函数和柱函数直接用于求解数理方程的定解问题，而不是仅仅停留在介绍这些函数的性质上。
在讲授本课程时，任课教师还结合自己的科研成果，对本课程教学内容进行改革和拓展。
例如，对复变函数论部分，除讲授解析函数、解析函数积分、无穷级数和留数理论以外，李高翔教授依据当前物理前沿课题（如光子晶体中原子的自发发射和受激发射等）研究中经常遇到一些多值复变函数的积分，重点讲授了多值函数和解析延拓，增强了教学内容的针对性。
在讲授积分变换时，他还将自己发表在Phys.Rev.A上发表的论文“囚禁于光腔中两个离子振动的纠缠和压缩”中发展的一些方法介绍给学生，不仅深化和拓宽了教学内容，而且还激发了学生独立思考和研究的兴趣。
此外，我们还依据学科的发展，增加了“小波变换法简介”等近期发展出的新理论方法。
总之，在教学内容的改革方面，我们一方面注重探讨出课程本身的一个最佳体系，另一方面，加强了该课程与各相关课程之间的联系，并能根据当前学科发展的情况，及时更新教学内容。
三、教学方法
采用启发式、讨论式的教学方式，老师在学生讲课时积极引导、启发学生，分析问题和解决问题。
这种教学方式改变了以老师为中心满堂灌的教学方式，而以学生为中心，学生学习的主动性大大提高，积极思考，勇于发言，而且对问题的讨论很深入、彻底，效果很好。
此外，我们引入现代化教学手段，进一步提高教学质量。
目前已制作完成本课程多媒体课件，并将课件放在物理学院的网页上供学生浏览，以便于学生课后复习和增加了信息量。
四、教材
教材是教学的基本工具。
物理学院对本门课程教材的建设一直十分重视，先后出版了三本教材，分别是：1.李家荣主编，数学物理方法，华中师范大学出版社，1989年；2.刘连寿、王正清编著，数学物理方法，高等教育出版社，1990年；3.汪德新，数学物理方法，华中科技大学出版社，1997年（第一版），2001年（第二版）。
在教材的编写过程中，一方面教材的编著者们博览国内外有关数学物理方法的书籍和资料，对传统的去粗取精，推陈出新；另一方面注意积累教学中的经验和反馈信息，使得三本教材各具特色，各有千秋。
此外，根据近期国外出版的该课程的著名英文原版教材，如G.Arfken, Mathematical Methods for Physicsits(Fifth Edition),Academic Press(2001)；K．F．Riley，M.P.Hobson,and S.J.Bence,Mathematical Methods for Physics and
Engineering(Second Edition),Cambridge University Press(2002)，李高翔编辑了数学物理方法补充材料，主要内容有：多值函数的积分、群论简介、小波变换及应用等。
五、教学管理
教学档案资料的收集、保存与管理也是本课程建设的一项重要工作，本课程有专人负责档案管理工作。
我们保存了近几年来所使用的教学大纲、教学日历、教材、教师参考书、习题、试卷及考试成绩分布等，不断收集学生对教学的反映、评价。