2018届苏教版(文) 三角函数、平面向量与解三角形 检测卷

三角函数、平面向量与解三角形1．若点(sin 5π6，cos 5π6)在角α的终边上，则sin α＝________. 答案 －32解析 根据任意角的三角函数的定义，得sin α＝cos 56π1＝－32. 2．若tan α＝12，tan(α－β)＝－13，则tan(β－2α)＝________. 答案 －17解析 tan(β－2α)＝tan(β－α－α)＝tan β－α －tan α1＋tan β－α tan α＝13－121＋13²12＝－17. 3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，若AB ＝5，则ω的值为________．答案 π3解析 AB ＝5＝ 42＋ T 2 2， 解得T ＝6＝2πω，ω＝π3. 4．将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象沿x 轴向左平移π8个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，若函数y ＝f (x )的图象过原点，则φ＝________.答案 3π4解析 由题设可知f (x )＝sin[2(x ＋π8)＋φ]， 由题意f (0)＝0，即sin(π4＋φ)＝0，注意到0<φ<π，所以φ＝3π4. 5．如果满足∠ABC ＝60°，AC ＝12，BC ＝k 的锐角△ABC 有且只有一个，那么实数k 的取值范围是__________．答案 (43，12]解析 当AC ＝BC ²sin∠ABC ，即k sin 60°＝12，k ＝83时，三角形为直角三角形，不合题意．当0<BC ≤AC ，即0<k ≤12时，三角形只有一解，其中要使△ABC 为锐角三角形，应有BC >ACtan∠ABC ＝12tan 60°＝43，所以实数k 的取值范围是43<k ≤12.6.函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0,0<φ<π)的图象的一部分如图所示，则此函数的解析式为________________．答案 y ＝3sin(π4x ＋π4) 解析 由图象知A ＝3，T 2＝5－1＝4，所以T ＝8. 因为T ＝2πω＝8，所以ω＝π4，所以f (x )＝3sin(π4x ＋φ)． 因为函数f (x )的图象过点(1,3)，所以3sin(π4＋φ)＝3， 即sin(π4＋φ)＝1.因为π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，又因为0<φ<π，所以φ＝π4，所以函数f (x )的解析式是f (x )＝3sin(π4x ＋π4)． 7．已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6) (ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是__________． 答案 [－32，3] 解析 由题意可得ω＝2.∵x ∈[0，π2]， ∴ωx －π6＝2x －π6∈[－π6，5π6]， 由三角函数图象知：f (x )的最小值为3sin(－π6)＝－32，最大值为3sin π2＝3， ∴f (x )的取值范围是[－32，3]．8．在△ABC 中，设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若a ＝5，A ＝π4，cos B ＝35，则边c ＝________.答案 7解析 由cos B ＝35，得sin B ＝45， 由a sin A ＝bsin B ，得b ＝42， 由cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，得c 2－6c －7＝0，c ＝7或c ＝－1(舍)． 9．设a ，b ，c 为△ABC 的三边长，a ≠1，b <c ，若log (c ＋b )a ＋log (c －b )a ＝2log (c ＋b )²a log (c －b )a ，则△ABC 的形状为________三角形．答案 直角解析 ∵log (c ＋b )a ＋log (c －b )a ＝2log (c ＋b )a ²log (c －b )a ，∴1log c －b a ＋1log c ＋b a ＝2， 即log a (c －b )＋log a (c ＋b )＝2，∴log a (c 2－b 2)＝2，即c 2－b 2＝a 2，即c 2＝a 2＋b 2，故△ABC 的形状为直角三角形．10．已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx sin(ωx ＋π2)(ω>0)的最小正周期为π，则f (x )在区间[0，2π3]上的值域为__________． 答案 [0，32] 解析 f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx sin(ωx ＋π2) ＝sin 2ωx ＋3sin ωx ²cos ωx＝1－cos 2ωx 2＋32sin 2ωx ＝32sin 2ωx －12cos 2ωx ＋12 ＝sin(2ωx －π6)＋12. 因为T ＝2π2ω＝πω＝π，所以ω＝1，即f (x )＝sin(2x －π6)＋12. 当x ∈[0，2π3]时，2x －π6∈[－π6，7π6], 所以sin(2x －π6)∈[－12，1]， 所以f (x )的值域为[0，32]． 11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积，若a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则B ＝________.答案 45°解析 由正弦定理得sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin 2C ，sin(A ＋B )＝sin 2C ，sin C ＝sin 2C ，于是sin C ＝1，C ＝90°.从而S ＝12ab ＝14(b 2＋c 2－a 2)＝14(b 2＋b 2)， 解得a ＝b ，因此B ＝45°.12．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数，给出下列函数：①f 1(x )＝sin x ＋cos x ；②f 2(x )＝2sin x ＋2；③f 3(x )＝2(sin x ＋cos x )；④f 4(x )＝sin x ；⑤f 5(x )＝2cos x 2(sin x 2＋cos x 2)，其中“互为生成”函数的有________．(请填写序号)答案 ①②⑤解析 f 1(x )＝2sin(x ＋π4)，f 3(x )＝2sin(x ＋π4)， f 5(x )＝sin x ＋cos x ＋1＝2sin(x ＋π4)＋1，其中①②⑤都可以由y ＝2sin x 平移得到，它们是“互为生成”函数，③④不能由y ＝2sin x 平移得到，相互也不能平移得到，故填①②⑤.13．已知α∈(0，π2)，且tan(α＋π4)＝3，则lg(8sin α＋6cos α)－lg(4sin α－cos α)＝________.答案 1解析 ∵α∈(0，π2)，且tan(α＋π4)＝3，∴tan α＋11－tan α＝3，∴tan α＝12， ∴lg(8sin α＋6cos α)－lg(4sin α－cos α)＝lg 8sin α＋6cos α4sin α－cos α＝lg 8tan α＋64tan α－1＝lg 10＝1. 14．函数y ＝tan ωx (ω>0)与直线y ＝a 相交于A ，B 两点，且AB 最小值为π，则函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx 的单调增区间为________________．答案 [2k π－π3，2k π＋2π3](k ∈Z ) 解析 由函数y ＝tan ωx (ω>0)的图象可知，函数的最小正周期为π，则ω＝1，故f (x )＝2sin(x －π6)． 由2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )． 15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知向量m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(4a－b ，c )，且m ∥n .(1)求cos C 的值；(2)若c ＝3，△ABC 的面积S ＝154，求a ，b 的值． 解 (1)∵m ∥n ，∴c cos B ＝(4a －b )cos C ，由正弦定理，得sin C cos B ＝(4sin A －sin B )cos C ，化简，得sin(B ＋C )＝4sin A cos C .∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin A ＝sin(B ＋C )．又∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴cos C ＝14. (2)∵C ∈(0，π)，cos C ＝14， ∴sin C ＝ 1－cos 2C ＝ 1－116＝154. ∵S ＝12ab sin C ＝154，∴ab ＝2.① ∵c ＝3，由余弦定理得3＝a 2＋b 2－12ab ， ∴a 2＋b 2＝4，②由①②，得a 4－4a 2＋4＝0，从而a 2＝2，a ＝±2(舍负)，∴b ＝2，∴a ＝b ＝ 2.16．(2016²山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan B cos A. (1)证明：a ＋b ＝2c ；(2)求cos C 的最小值．(1)证明 由题意知2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin B cos A cos B， 化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，从而sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理得a ＋b ＝2c .(2)解 由(1)知c ＝a ＋b 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab ＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －14≥12，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故cos C 的最小值为12. 17．(2016²北京)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac .(1)求角B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值．解 (1)由a 2＋c 2＝b 2＋2ac 得，a 2＋c 2－b 2＝2ac . 由余弦定理得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22. 又0＜B ＜π，所以B ＝π4. (2)A ＋C ＝π－B ＝π－π4＝3π4， 所以C ＝3π4－A,0＜A ＜3π4. 所以2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A ＝2cos A ＋cos 3π4cos A ＋sin 3π4sin A ＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22sin A ＋22cos A＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4. 因为0＜A ＜3π4，所以π4＜A ＋π4＜π， 故当A ＋π4＝π2， 即A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1. 18．(2016²天津)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ²cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3. (1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性． 解 (1)f (x )的定义域为{x |x ≠π2＋k π，k ∈Z }． f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3 ＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3 ＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3 ＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z . 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z . 设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝{x |－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z }，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4. 所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减．19．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＋c 2＝b 2－ac .(1)求B 的大小；(2)设∠BAC 的平分线AD 交BC 于D, AD ＝23，BD ＝1，求cos C 的值． 解 (1)因为a 2＋c 2＝b 2－ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac2ac ＝－12，因为B ∈(0，π)，所以B ＝23π.(2)在△ABD 中，由正弦定理得：AD sin B ＝BDsin∠BAD ，所以sin∠BAD ＝BD sin B AD ＝1²3223＝14，所以cos∠BAC ＝cos 2∠BAD＝1－2sin 2∠BAD ＝1－2³116＝78.所以sin∠BAC ＝1－cos 2∠BAC＝ 1－ 78 2＝158.所以cos C ＝cos(π3－∠BAC ) ＝cos π3cos∠BAC ＋sin π3sin∠BAC＝12³78＋32³158＝7＋3516， 即cos C 的值为7＋3516.。