计数原理、概率与统计(A)

计数原理、概率与统计（A ）

一、选择题:

1．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ，则1log

2=Y X

的概率为

A ．61

B ．36

5 C ．121 D ．21

2．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10

人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分 层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统 一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段。如果抽得号码有下列四种情况： ①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270； 关于上述样本的下列结论中，正确的是 A ．②、③都不能为系统抽样 B ．②、④都不能为分层抽样 C ．①、④都可能为系统抽样

D ．①、③都可能为分层抽样

3．从长度分别为1，2，3，4的四条线段中，任取三条线段，可组成三角形的概率为 A ．0 B ．14

C ．

12

D ．34

4．若(

x 3

-

n

的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为

A ．-540

B ．-162

C ．162

D ．540 5．已知集合A =｛5｝,B =｛1,2｝,C =｛1,3,4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为

A ．33

B ． 34

C ．35

D ．36

6．从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是

A ．

95 B ．

94 C ．2111 D ．

21

10

7．在正方体的8个顶点中任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为 A ．

17

B ．

27

C ．

37

D ．

47

8．已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下 放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第 3次才取得卡口灯炮的概率为： A ．

2140

B ．

1740

C ．

310

D ．

7120

二、填空题

9．在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，在第一次抽到理科题的 条件下，第2次也抽到理科题的概率为________________

10．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体

中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是

11．已知某离散型随机变量ξ的数学期望

7

Eξ=，ξ的分布列如下

则__________

a=

12．某轻轨列车有4节车厢，现有6位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为

三、解答题

13．盒中装着标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意任取3张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求：

(1)抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率；

(2)抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概率；

(3)抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率

14．6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？

(1)一堆一本，一堆两本，一堆3本；(2)甲得一本，乙得两本，丙得三本；

(3)一人得一本，一人得两本，一人得三本；(4)平均分给甲、乙、丙三人；(5)平均分成三堆。

15．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠.若该电梯在底层载有5位乘 客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为

3

1，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的

人数.求：（1）随机变量ξ的分布列；（2）随机变量ξ的期望.

16．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A 、B 两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为A 级时，产品为一等品，其余均为二等品.

（1）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结 果为A 级的概率如表一所示，分别求生产 出的甲、乙产品为一等品的概率P 甲、P 乙； （2）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、 η分别表示一件甲、乙产品的利润，在 （I ）的条件下，求ξ、η的分布列及 E ξ、E η；

（3）已知生产一件产品需用的工人数和资金额 如表三所示.该工厂有工人40名，可用资. 金60万元.设x 、y 分别表示生产甲、乙产 品的数量，在（II ）的条件下，x 、y 为何 值时，ηξyE xE z +=最大？最大值是多少？ （解答时须给出图示）

参考答案

一、选择题

9．

12

10．36 11．13

12．128

45

三、解答题

13．解：(1)“抽出的3张卡片上最大的数字是4”的事件记为A 则1

2

2

1

2626

38

9()14

C C C C P A C +=

=

(2)“抽出的3张中有2张卡片上的数字是3”的事件记为B 则2

12638

3()28

C C P B C ==

(3)“抽出的3张卡片上的数字互不相同”的事件记为C ，“抽出的3张卡片上有两个数字相同”

的事件记为D ，由题意，C 与D 是对立事件 因为1

2

1

426

38

3()7

C C C P

D C =

=

，所以34()1()17

7

P C P D =-=-

=

14．解： (1) 12365360C C C =； (2) 123

65360C C C = ；

(3) 12336533360C C C A = ； (4) 222

64290C C C = ；

(5)

222

642

33

15C C C A

=

15

．(1)ξ的分布列为

（2）得ξ的期望为E ξ=0×

243

32+１×

243

80+2×

243

80+3×

243

40+4×

243

10+5×

243

1=

243

405=

3

5.

16解：（Ⅰ）解：.6.08.075.0,

68.085.08

.0=⨯=⨯=乙甲P P

（Ⅱ）解：随机变量ξ、η的分别列是