离散复习

5.1 二元运算及其性质 二元运算及其性质——举例 举例
判断下列集合在普通加法运算” 和普通乘法运 判断下列集合在普通加法运算”+”和普通乘法运 下是否封闭。 算 * 下是否封闭。 （1）A={0,1,7} ） 关于” ”运算不封闭，关于“ 运算不封闭。 关于”*”运算不封闭，关于“＋”运算不封闭。 （2）B={x|x=2n,n∈N} ） ∈ 关于”*”运算封闭，关于“＋”运算不封闭。 运算不封闭。 关于” ”运算封闭，关于“ （3）C={-1,1,2,4} ） 关于” ”运算不封闭，关于“ 关于”*”运算不封闭，关于“＋”运算不封 闭。 （4）D={x|x=2n,n∈N} ） ∈ 关于” ”运算封闭，关于“ 运算封闭。 关于”*”运算封闭，关于“＋”运算封闭。
5.1 二元运算及其性质
定理： 上的二元运算, 定理：设◦为S上的二元运算 θl ,θr分别为运算◦ 上的二元运算 θ 分别为运算◦ 的左零元和右零元,则有 的左零元和右零元 则有 θl ＝θr ＝ θ 上关于运算◦ 且θ为S上关于运算◦的唯一的零元。 上关于运算 的唯一的零元。
证明
要会看运算表， 要会看运算表，例：P146 例5.1.8
5.1 二元运算及其性质
上的一个二元运算， 设ο是定义在集合A上的一个二元运算，∀a,b,c∈A 是定义在集合 上的一个二元运算 ∈ 1) 若有 οb∈A,则称二元运算ο在A上是封闭的。 若有aο ∈ 则称二元运算 则称二元运算ο 上是封闭的 上是封闭的。 2) 若有 οb=bοa,则称二元运算ο在A上满足交换律。 若有aο 则称二元运算ο 上满足交换律 ο 则称二元运算 上满足交换律。 3) 若有aο(bοc)=(aοb)οc，则称二元运算ο在A上满 若有 ο ο ο ο ，则称二元运算ο 上满 结合律。 足结合律。 4)设*，ο均可交换，若有 设 ， 均可交换， a*(aοb)=a ο aο(a*b)=a ο 则称运算*和 运算满足吸收律 吸收律。 则称运算 和ο运算满足吸收律。
5.1 二元运算及其性质
上的二元运算,如果存在 使得x◦ 设◦为S上的二元运算 如果存在 ∈S使得 ◦x=x， 上的二元运算 如果存在x∈ 使得 ， 则称x是 运算的幂等元 幂等元。 中的每个元素都是◦ 则称 是◦运算的幂等元。若S中的每个元素都是◦ 中的每个元素都是 运算的幂等元 则称◦运算适合幂等律 幂等元， 幂等律。 运算的幂是定义在集合S上的一个二元运算 是集合S上 设*是定义在集合 上的一个二元运算，e是集合 上 是定义在集合 上的一个二元运算， 是集合 关于*运算的幺元 对于任意的x∈ 运算的幺元， 关于 运算的幺元，对于任意的 ∈S (1)若存在一个元素 l∈S，使得 l*x=e，则称 是左 若存在一个元素b 若存在一个元素 ，使得b ，则称x是左 可逆的，并称b 的一个左逆元 可逆的，并称 l是x的一个左逆元。 的一个左逆元。 (2)若存在一个元素 r∈S，使得 若存在一个元素b 若存在一个元素 ，使得x*br=e，则称 是右 ，则称x是右 可逆的，并称b 的一个右逆元 可逆的，并称 r是x的一个右逆元。 的一个右逆元。 (3)若存在一个元素 ∈S，使得 若存在一个元素b∈ ，使得x*b=b*x=e，则称 若存在一个元素 ，则称x 是可逆的，并称b是 的逆元。 是可逆的，并称 是x的逆元。 互为逆元。 若a*b=b*a=e，则称 互为逆元。 ，则称a,b互为逆元 实数集上加法运算中x的逆元是 的逆元是-x； 例：实数集上加法运算中 的逆元是 ；非零实数集 上乘法运算中x的逆元是 的逆元是1/x。 上乘法运算中 的逆元是 。
5.1 二元运算及其性质
上的二元运算,如果存在元素 设◦为S上的二元运算 如果存在元素 或er)∈S使得 上的二元运算 如果存在元素el(或 ∈ 使得 对任何x∈ 对任何 ∈S, 都有 el ◦ x＝x(或x◦er =x)， 则称 或 ＝ 或 ◦ ， 则称el(或 er)是S中关于运算◦的一个左幺元 或右幺元 。 中关于运算◦ 左幺元(或 是 中关于运算 的一个左幺元 右幺元)。 关于◦ 则称e为 上 若e∈S关于◦既是左幺元 又是右幺元 则称 为S上 ∈ 关于 既是左幺元, 又是右幺元,则称 关于运算◦ 幺元。 关于运算◦的幺元。 例：自然数集合上，加法运算的幺元是? 0 自然数集合上，加法运算的幺元是 自然数集合上，乘法运算的幺元是? 自然数集合上，乘法运算的幺元是 1 在幂集P(S)上,∪运算的幺元是 ∅ 在幂集 上 ∪运算的幺元是? 在幂集P(S)上,∩运算的幺元是 运算的幺元是? S 在幂集 上 运算的幺元是
5.1 二元运算及其性质
是非空集合， 到 的一个函数 的一个函数f:A→A称为 的一 称为A的一 设A是非空集合，A到A的一个函数 是非空集合 称为 一元代数运算，简称为一元运算。 个一元代数运算，简称为一元运算。 是个非空集合， 的一个函数f:A 称为A 设A是个非空集合，A2到A的一个函数 2→A称为 是个非空集合 的一个函数 称为 的一个二元代数运算 简称为二元运算。 二元代数运算， 的一个二元代数运算，简称为二元运算。 (1)运算是函数，要具备函数的特性。 运算是函数，要具备函数的特性。 运算是函数 (2)Ranf⊆A,即运算结果是 中的元素，这称为运算 即运算结果是A中的元素 ⊆ 即运算结果是 中的元素， 封闭性。 的封闭性。 习惯上用+,-, ο,⊕等符号代表运算符。 习惯上用 ⊕等符号代表运算符。 注意：这里的“ 是抽象后的运算符， 注意：这里的“＋”，“－”是抽象后的运算符， 不是以前学过运算符的含义， 不是以前学过运算符的含义，代数运算中可以对这 些运算符进行重新定义。 些运算符进行重新定义。
零元也必须强调对哪个运算而言。 零元也必须强调对哪个运算而言。
上普通乘法的零元是? 例：自然数集N上普通乘法的零元是 自然数集 上普通乘法的零元是 普通加法零元是谁? 普通加法零元是谁 在幂集P(S)上∪运算的零元是?∩运算的零元是 上 运算的零元是 运算的零元是 运算的零元是? 在幂集 命题集合中，合取运算的零元是？析取运算的零元是？ 命题集合中，合取运算的零元是？析取运算的零元是？
幺元必须强调对哪个运算而言。 幺元必须强调对哪个运算而言。
5.1 二元运算及其性质
定理： 上的二元运算, 分别为运算◦ 定理：设◦为S上的二元运算 el,er分别为运算◦ 上的二元运算 分别为运算 的左幺元和右幺元,则有 ＝ ＝ 。 的左幺元和右幺元 则有 el＝er＝e。 上关于运算◦ 且e为S上关于运算◦的唯一的幺元。 为 上关于运算 的唯一的幺元。 证明： ＝ 证明：el＝el ◦ er, el ◦ er＝er ＝ 所以, el=er 所以 记作e。假设S中存在幺元 中存在幺元e’,则有 把el＝er记作 。假设 中存在幺元 则有 ＝ 记作 e’=e ◦ e’＝e ＝ 所以,e是 中关于运算 的唯一的幺元。 中关于运算◦ 所以 是S中关于运算◦的唯一的幺元。
逆元是针对某个元素而言。 逆元是针对某个元素而言。
5.1 二元运算及其性质
是定义在集合S上的一个 的二元运算， 设*是定义在集合 上的一个可结合的二元运算， 是定义在集合 e是S上关于 运算的幺元，若元素 ∈S同时存在 上关于*运算的幺元 是 上关于 运算的幺元，若元素x∈ 同时存在 左逆元x 和右逆元x 则有x 左逆元 l-1和右逆元 r-1，则有 l-1 ＝xr-1＝x-1，并 的唯一的一个逆元 且x-1是x的唯一的一个逆元。 的唯一的一个逆元。
5.1 二元运算及其性质
设*, ◦是定义在集合A上的两个二元运算， 是定义在集合 上的两个二元运算， 上的两个二元运算 ∀a,b,c∈A，若有： ∈ ，若有： a◦(b*c)=(a◦b)*(a◦c) (Ⅰ) ◦ ◦ ◦ Ⅰ (b*c)◦a=(b◦a)*(c◦a) (Ⅱ) ◦ ◦ ◦ Ⅱ 则称◦对于*适合分配律 适合分配律； 则称◦对于 适合分配律； 若只有(Ⅰ 式成立 则称◦ 适合左分配律 式成立， 适合左分配律； 若只有 Ⅰ)式成立，则称◦对*适合左分配律； 若只有(Ⅱ 式成立 则称◦ 适合右分配律 式成立， 适合右分配律。 若只有 Ⅱ)式成立，则称◦对*适合右分配律。 例：实数集合上普通乘法运算对普通加法运算是 可分配的，而加法对乘法运算则不可分配。 可分配的，而加法对乘法运算则不可分配。
5.1 二元运算及其性质 二元运算及其性质——举例 举例
设集合A={1,2,3,…,10}，下面定义的（ D ） ，下面定义的（ 设集合 运算关于集合A是不封闭的 是不封闭的。 运算关于集合 是不封闭的。 A.x*y=max(x,y); B.x*y=min(x,y); C.x*y=GCD(x,y)，即x,y的最大公约数 ， 的最大公约数; 的最大公约数 D.x*y=LCM(x,y)，即x,y的最小公倍数 ， 的最小公倍数; 的最小公倍数
5.1 二元运算及其性质 二元运算及其性质——举例 举例
在自然数集N上 指出下列 运算是否是可交换 在自然数集 上，指出下列*运算是否是可交换 或可结合的。 或可结合的。 A. a*b=a-b 该运算不可交换，也不可结合。 该运算不可交换，也不可结合。 B. a*b=max(a,b) 该运算可交换，也可结合。 该运算可交换，也可结合。 C. a*b=a+2b 该运算不可交换，也不可结合。 该运算不可交换，也不可结合。 D. a*b=|a-b| 该运算可交换，但不可结合。 该运算可交换，但不可结合。
5.1 二元运算及其性质
上的二元运算,若存在元素 设◦为S上的二元运算 若存在元素θl (或θr)∈S使得 上的二元运算 若存在元素θ 或 ∈ 使得 对任意的x∈ 有 对任意的 ∈S有 θl ◦x＝ θl (或x ◦ θr＝ θr)， 则称θl ＝ 或 ， 则称θ (或θr )是S上关于运算◦的左零元 或右零元 。 上关于运算◦ 左零元(或右零元)。 或 是 上关于运算 关于运算◦ 又是右零元,则称 若 θ∈S关于运算◦既是左零元 又是右零元 则称θ 为 关于运算 既是左零元,又是右零元 则称θ S上关于运算◦的零元。 上关于运算◦ 零元。 上关于运算