三角函数讲义2

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2019版高考数学(文)讲义：第3章三角函数、解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式

[考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 α，β 为锐角，则 sin2α＋cos2β＝1.( )
[ ] 4
π
3
，π
(2)已知 sinα＝5，α∈ 2 ，则 cosα＝5.( )
(3)sin(π＋α)＝－sinα 成立的条件是 α 为锐角．( )
(4)六组诱导公式中的角 α 可以是任意角．( )
1
1
A.2 1
B．－ 3 1
C．－ 2
D.3
答案 C
sinα·cosα
解析 ∵f(α)＝－cosαtanα＝－cosα，
( ) ( ) ( ) 31π
31π
π
π1
－
－
10π＋
∴f 3 ＝－cos 3 ＝－cos
3 ＝－cos3＝－2.
( ) ( ) π 1
7π
α＋
α＋
5．已知 sin 12 ＝3，则 cos 12 的值为( )
命题角度 2 同角关系和诱导公式的综合应用
例 3 [2016·全国卷Ⅰ]已知 θ 是第四象限角，且
( ) ( ) π 3
π
θ＋
θ－
sin 4 ＝5，则 tan 4 ＝________.
4
答案－3
( ) ( ) π 3
π
θ＋
θ－
解析因为 sin 4 ＝5，所以 cos 4 ＝sinError!Error!＝sin
3
3
A．－ 2
B. 2
3
3
C．－ 4
D.4
答案 B
5π 3π
解析 ∵ 4 ＜α＜ 2 ，
∴cosα＜0，sinα＜0 且|cosα|＜|sinα|，∴cosα－sinα＞0. 13

高考一轮复习第3章三角函数解三角形第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式

第二讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式知识梳理·双基自测知识梳理知识点一同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系： sin 2x ＋cos 2x ＝1 . (2)商数关系： sin xcos x ＝tan x .知识点二三角函数的诱导公式重要结论1．同角三角函数基本关系式的变形应用：如sin x ＝tan x·cos x，tan 2x ＋1＝1cos 2x，(sinx ＋cos x)2＝1＋2sin xcos x 等．2．诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”．“奇”与“偶”指的是诱导公式k·π2＋α(k∈Z)中的整数k 是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k·π2＋α(k∈Z)中，将α看成锐角时k·π2＋α(k∈Z)所在的象限．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( × )(2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( × )(3)sin (π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × ) (4)若sin (kπ－α)＝13(k ∈Z)，则sin α＝13.( × )[解析] (1)根据同角三角函数的基本关系式知当α，β为同角时才正确．(2)cos α≠0时才成立．(3)根据诱导公式知α为任意角．(4)当k 为奇数和偶数时，sin α的值不同．题组二走进教材2．(必修4P 22B 组T3改编)已知tan α＝12，则sin α－cos α3sin α＋2cos α＝( A )A ．－17B ．17C ．－7D ．7[解析] sin α－cos α3sin α＋2cos α＝tan α－13tan α＋2＝12－13×12＋2＝－17.故选A.3．(必修4P 22B 组T2改编)化简cos α1－sin α1＋sin α＋sin α1－co s α1＋cos α⎝⎛⎭⎪⎫π<α<3π2得( A )A ．sin α＋cos α－2B ．2－sin α－cos αC ．sin α－cos αD ．cos α－sin α[解析] 原式＝cos α1－sin α2cos 2α＋sin α1－cos α2sin 2α，∵π<α<32π，∴cos α<0，sin α<0.∴原式＝－(1－sin α)－(1－cos α)＝sin α＋cos α－2.4．(必修4P 29B 组T2改编)若sin(π＋α)＝－12，则sin(7π－α)＝ 12 ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝ 12 . [解析] 由sin(π＋α)＝－12，得sin α＝12，则sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝12，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2－2π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α＝12.题组三走向高考5．(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝( D )A ．－2－ 3B ．－2＋ 3C ．2－ 3D ．2＋ 3[解析] 由正切函数的周期性可知，tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝33＋11－33＝2＋3，故选D.另：tan 225°＝tan 75°>tan 60°＝3，∴选D.6．(2015·福建)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( D )A.125B ．－125C ．512D ．－512[解析] 因为sin α＝－513，且α为第四象限角，所以cos α＝1213，所以tan α＝－512，故选D.7．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( A )A ．－79B ．－29C ．29D ．79[解析] 将sin α－cos α＝43的两边进行平方，得sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝169，即sin 2α＝－79，故选A.考点突破·互动探究考点一同角三角函数的基本关系式——师生共研例1 (1)已知α为第三象限角，cos α＝－817，则tan α＝( D )A ．－815B ．815C ．－158D ．158(2)已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为－5 .(3)若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为－3 .[解析] (1)因为α是第三象限角，cos α＝－817，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－8172＝－1517，故tan α＝sin αcos α＝158.选D.(2)由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，所以cos 2α＝910，易知cos α<0，所以cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105. (3)由角α的终边落在第三象限，得sin α<0，cos α<0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－c os α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3.名师点拨(1)已知一个角的三角函数值求这个角的其他三角函数值时，主要是利用公式sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α求解，解题时，要注意角所在的象限．并由此确定根号前的正、负号，若不能确定角所在象限要分类讨论．(2)遇sin α，cos α的齐次式常“弦化切”，如：asin α＋bcos αcsin α＋dcos α＝atan α＋b ctan α＋d ；sin αcos α＝sin αcos α1＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α； sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝sin 2α＋sin αcos α－2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋tan α－21＋tan 2α. 〔变式训练1〕(1)若α是第二象限角，tan α＝－512，则sin α＝( C )A.15 B ．－15C ．513D ．－513(2)已知α是第二象限角，化简1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α＝ 23. (3)(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝ 31010 .[解析] (1)∵tan α＝－512，∴sin αcos α＝－512.∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－125sin α2＝1，∴sin α＝±513.又α为第二象限角，∴sin α＝513，故选C.(2)解法一：原式＝1－cos 2α1＋cos 2α－sin 4α1－cos 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 6α ＝sin 2α1＋cos 2α－sin 2αsin 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α ＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α ＝2cos 2α3cos 2α＝23. 解法二：∵1－cos 4α－sin 4α＝1－(cos 2α＋sin 2α)2＋2sin 2αcos 2α＝2sin 2αcos 2α， ∴原式＝2sin 2αcos 2α1－cos 2α＋sin 2αcos 4α－cos 2αsin 2α＋sin 4α ＝2sin 2αcos 2α1－cos 4α－sin 4α＋cos 2αsin 2α ＝2sin 2αcos 2α3sin 2αcos 2α＝23. (3)由tan α＝2得sin α＝2cos α. 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝15.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝55，sin α＝255.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝55×22＋255×22＝31010. 考点二诱导公式及其应用——多维探究角度1 利用诱导公式化简三角函数式例2 (1)化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 22π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin π＋α＝－1sin α .(2)化简1－2sin 10°sin 100°cos 80°－1－sin 2170°＝－1 . [解析] (1)原式＝cos α－cos αtan 2αsin α－sin α－sin α＝－cos 2α·sin 2αcos 2αsin 3α＝－1sin α. (2)∵cos 10°>sin10°，∴原式＝1－2sin 10°cos 10°sin 10°－cos 10°＝sin 210°－2sin 10°cos 10°＋cos 210°sin 10°－cos 10°＝|sin 10°－cos 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°－cos 10°－sin 10°＝－1.角度2 “换元法”的应用例3 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是 0 .[解析] 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0. 名师点拨(1)诱导公式的两个应用方向与原则：①求值：化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简：化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了．(2)注意已知中角与所求式子中角隐含的互余、互补关系、巧用诱导公式解题，常见的互余关系有π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等，互补关系有π3＋α与2π3－α；π4＋α与3π4－α等．〔变式训练2〕(1)(角度1)已知f(α)＝sin α－3πcos 2π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos －π－αsin －π－α.①化简f(α)；②若α是第三象限的角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f(α)的值． (2)(角度2)(2021·唐山模拟)已知α为钝角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－74 ，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝ 34 .[解析] (1)①f(α)＝sin α－3πcos 2π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos －π－αsin －π－α＝－sin α·cos α·－cos α－cos α·sin α＝－cos α.②因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α，所以sin α＝－15. 又α是第三角限的角，所以cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝－265.所以f(α)＝265.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，因为α为钝角，所以34π<π4＋α<54π，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α<0.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝－74.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34.名师讲坛·素养提升sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin xcos x 之间的关系例4 (2021·北京东城模拟)已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝－125. [解析] 解法一：因为sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝49169，sin θcos θ＝－60169.由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x 2－713x －60169＝0的两根，所以x 1＝1213，x 2＝－513.因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0.所以sin θ＝1213，cos θ＝－513，tan θ＝sin θcos θ＝－125.解法二：同解法一，得sin θcos θ＝－60169，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝－60169，弦化切，得 tan θtan 2θ＋1＝－60169，解得tan θ＝－125或tan θ＝－512. 又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝713>0，sin θcos θ＝－60169<0.∴θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin θ>|cos θ|，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θcos θ＝|tan θ|>1，∴tan θ＝－125.解法三：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝713，sin 2θ＋cos 2θ＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝1213，cos θ＝－513或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－513，cos θ＝1213.(舍去)故tan θ＝－125.名师点拨sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin xcos x 之间的关系为(sin x ＋cos x)2＝1＋2sin xcos x ，(sin x －cos x)2＝1－2sin xcos x ，(sin x ＋cos x)2＋(sin x －cos x)2＝2.因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．〔变式训练3〕(1)(2021·山东师大附中模拟)已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则1cos 2α－sin 2α的值为( C ) A.75 B ．725 C ．257D ．2425(2)若1sin α＋1cos α＝3，则s in αcos α＝( A )A ．－13B ．13C ．－13或1D ．13或－1 [解析] (1)解法一：∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝125，∴sin αcos α＝－1225，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴sin α<0，cos α>0，∴cos α－sin α＝sin α－cos α2＝1－2sin αcos α＝75.∴1cos 2α－sin 2α＝1cos α－sin αcos α＋sin α＝257，故选C. 解法二：由解法一知⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝－75，得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝45，sin α＝－35.∴tan α＝sin αcos α＝－34.∴1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝1＋tan 2α1－tan 2α ＝1＋9161－916＝257，故选C.(2)由1sin α＋1cos α＝3，可得sin α＋cos α＝3sin αcos α，两边平方，得1＋2sin αcosα＝3sin 2αcos 2α，解得sin αcos α＝－13或sin αcos α＝1.由题意，知－1<sin α<1，－1<cos α<1，且sin α≠0，cos α≠0，所以sin αcos α≠1，故选A.。

2三角函数的图像与性质-简单难度-讲义

三角函数的图像及性质知识讲解一、三角函数的图像和性质1.正弦函数图像和性质1）图像：2）定义域：R 3）值域：[11]，- 4）单调性：[22]22x k k ππππ?++，（k Z Î）增函数3[22]22x k k ππππ?+，（k Z Î）减函数5）奇偶性：奇函数 6）最小正周期：2π7）对称性：对称轴2x k k Zππ=+?，；对称中心(0)k k Z πÎ，，． 2.余弦函数图像和性质1）图像xy -11-2π-π2ππo2）定义域：R 3）值域：[11]，- 4）单调性：[22]x k k πππ?+，（k Z Î）增函数 [22]x k k πππ?，（k Z Î）减函数5）奇偶性：偶函数 6）最小正周期：2π7）对称性：对称轴x k k Z π=?，；对称中心(0)2k k Zππ+?，，．3.正切函数图像和性质1）定义域：{|}2x x k k Z ππ??，2）值域：R3）单调性：在()22k k ππππ，-++（k Z Î）增函数．4）奇偶性：奇函数 5）最小正周期：π6）对称性：对称中心(0)2k k Z πÎ，，．二、三角函数的图像变换三角函数的几种变换：1）平移变换：函数sin()(0)y x ϕϕ=+?的图像可以看做将函数sin y x =的图像上的所有的点向左（当0ϕ>时）或向右（当0ϕ<时）平移ϕ个单位而得到．2）周期变换：函数sin()y x ωϕ=+（0ω>且1ω¹）的图像可以看做是把sin()y x ϕ=+的图像上所有的点的横坐标缩短为（当1ω>时）或伸长（当01ω<<时）到原来的1ω倍（纵坐标不变）而得到．3）振幅变换：函数sin()y A x ωϕ=+（0A >且1A ¹）的图像可以看做是将sin()y x ωϕ=+的图像上所有的点的纵坐标伸长（当1A >时）或缩短（当1A <时）到原来的A 倍（横坐标不变）而得到．经典例题一．选择题（共15小题）1．（2018•新课标Ⅲ）函数f （x ）=tanx 1+tan 2x的最小正周期为（）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π【解答】解：函数f （x ）=tanx1+tan 2x =sinxcosxcos 2x+sin 2x =12sin2x 的最小正周期为2π2=π，故选：C ．2．（2018•海南三模）函数f(x)=1+12sin2x 的最小正周期与最小值分别为（）A ．2π，12B ．π，12C ．2π，1D ．π，1【解答】解：函数f(x)=1+12sin2x 的最小正周期为 2π2=π，它的最小值为 1﹣12=12，故选：B ．3．（2018•福建模拟）将函数y=sin2x 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=f （x ）的图象，则（） A ．y=f （x ）的图象关于直线x =π8对称B ．f （x ）的最小正周期为π2C ．y=f （x ）的图象关于点(π2，0)对称D ．f （x ）在(−π3，π6)单调递增【解答】解：函数y=sin2x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，可得：y=sinx，即f（x）=sinx．根据正弦函数的图象及性质：可知：对称轴x=π2+kπ，∴A不对．周期T=2π，∴B不对．对称中心坐标为：（kπ，0），∴C不对．单调递增区间为[2kπ−π2，π2+2kπ]，k∈Z，∴f（x）在(−π3，π6)单调递增．故选：D．4．（2018•广西模拟）函数f(x)=cos(πx−π6)的图象的对称轴方程为（）A．x=k+23(k∈Z)B．x=k+13(k∈Z)C．x=k+16(k∈Z)D．x=k−13(k∈Z)【解答】解：函数f(x)=cos(πx−π6)，令πx−π6=kπ，k∈Z可得：πx=kπ+π6，即x=k+16，k∈Z．故选：C．5．（2018•宝鸡一模）函数f(x)=2sin(ωx+φ)(0＜ω＜12，|φ|＜π2)，若f(0)=−√3，且函数f（x）的图象关于直线x=−π12对称，则以下结论正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为π3B．函数f（x）的图象关于点(7π9，0)对称C．函数f（x）在区间(π4，11π24)上是增函数D ．由y=2cos2x 的图象向右平移5π12个单位长度可以得到函数f （x ）的图象【解答】解：函数f(x)=2sin(ωx +φ)(0＜ω＜12，|φ|＜π2)，∵f(0)=−√3，即2sinφ=−√3，∵−π2＜φ＜π2 ∴φ=−π3又∵函数f （x ）的图象关于直线x =−π12对称， ∴−ω×π12−π3=π2+kπ，k ∈Z ．可得ω=12k ﹣10， ∵0＜ω＜12． ∴ω=2．∴f （x ）的解析式为：f （x ）=2sin （2x ﹣π3）．最小正周期T=2π2=π，∴A 不对．当x=7π9时，可得y ≠0，∴B 不对．令﹣π2≤2x ﹣π3≤π2，可得−π12≤x ≤5π12，∴C 不对．函数y=2cos2x 的图象向右平移5π12个单位，可得2cos2（x ﹣5π12）=2cos （2x ﹣5π6）=2sin （2x ﹣5π6+π2）=2sin （2x ﹣π3）．∴D 项正确．故选：D ．6．（2018•长沙一模）函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象中相邻对称轴的距离为π2，若角φ的终边经过点(3，√3)，则f(π4)的值为（）A ．√32B ．√3C ．2D ．2√3【解答】解：由题意相邻对称轴的距离为π2，可得周期T=π，那么ω=2，角φ的终边经过点(3，√3)，在第一象限．即tanφ=√33，∴φ=π6故得f （x ）=sin （2x +π6）则f(π4)=sin （π2+π6）=cos π6=√32．故选：A ．7．（2018•永州三模）将函数f （x ）=sin （2x +φ）（|φ|＜π2）的图象向左平移π6个单位后的图形关于原点对称，则函数f （x ）在[0，π2]上的最小值为（）A ．√32 B ．12C ．﹣12D ．﹣√32【解答】解：函数f （x ）=sin （2x +φ）（|φ|＜π2）的图象向左平移π6个单位后，得到函数y=sin [2（x +π6）+φ]=sin （2x +π3+φ）的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得π3+φ=kπ，k ∈z ，∴φ=﹣π3，f （x ）=sin （2x ﹣π3），由题意x ∈[0，π2]，得2x ﹣π3∈[﹣π3，2π3]，∴sin （2x ﹣π3）∈[﹣√32，1]∴函数y=sin （2x ﹣π3）在区间[0，π2]的最小值为﹣√32．故选：D ．8．（2018•全国三模）已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)，f （x 1）=2，f （x 2）=0，若|x 1﹣x 2|的最小值为12，且f(12)=1，则f （x ）的单调递增区间为（）A ．[−16+2k ，56+2k ]，k ∈ZB ．[−56+2k ，16+2k ]，k ∈ZC ．[−56+2kπ，16+2kπ]，k ∈ZD ．[16+2k ，76+2k ]，k ∈Z【解答】解：由f （x 1）=2，f （x 2）=0，且|x 1﹣x 2|的最小值为12可知：T 4=12，∴T=2⇒ω=π，又f(12)=1，则φ=±π3+2kπ，k ∈Z ，∵0＜φ＜π2，∴φ=π3，f（x ）=2sin （πx +π3），2k π−π2≤πx +π3≤2k π+π2，k ∈Z ，故可求得f （x ）的单调递增区间为：[﹣56+2k ，16+2k ]，k ∈Z ，故选：B ．9．（2018•广州一模）已知函数f （x ）=sin （ωx +π6）（ω＞0）在区间[﹣π4，2π3]上单调递增，则ω的取值范围为（） A ．（0，83]B ．（0，12]C ．[12，83]D ．[38，2]【解答】解：函数f （x ）=sin （ωx +π6）（ω＞0）在区间[﹣π4，2π3]上单调递增，∴{−πω4+π6≥−π2+2kπ2ωπ3+π6≤π2+2kπ，k ∈Z解得：{ω≤83−8kω≤12+3k∵ω＞0，当k=0时，可得：0＜ω≤12．故选：B ．10．（2018•珠海二模）若函数f （x ）=cos （2x +φ）在（0，π2）上单调递减，则φ的值可能是（） A ．2πB ．πC ．π2D ．﹣π2【解答】解：x ∈（0，π2）时，2x +φ∈（φ，π+φ）；由f （x ）=cos （2x +φ）在（0，π2）上单调递减，∴{2kπ≤φ2kπ+π≥π+φ，解得2kπ≤φ≤2kπ，k ∈Z ；当k=1时，取得φ=2π．故选：A ．11．（2018•全国）要得到y=cosx ，则要将y=sinx （） A ．向左平移π个单位B ．向右平移π个单位C ．向左平移π2个单位D ．向右平移π2个单位【解答】解：要将y=sinx 的图象向左平移π2个单位，可得y=sin （x +π2）=cosx 的图象，故选：C ．12．（2018•榆林一模）已知曲线C 1：y =sinx ，C 2：y =cos(12x −5π6)，则下列说法正确的是（）A ．把C 1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移π3，得到曲线C 2B ．把C 1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移2π3，得到曲线C 2C ．把C 1向右平移π3，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12，得到曲线C 2D ．把C 1向右平移π6，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12，得到曲线C 2【解答】解：根据曲线C 1：y =sinx ，C 2：y =cos(12x −5π6)=sin （12x ﹣π3），把C 1上各点横坐标伸长到原来的2倍，可得y=sin （12x ）的图象；再把得到的曲线向右平移2π3，得到曲线C 2：y=sin （12x ﹣π3）的图象，故选：B ．13．（2018•凌源市模拟）将函数f （x ）=2√3cos 2x ﹣2sinxcosx ﹣√3的图象向左平移t （t ＞0）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为（） A ．2π3B ．π3C ．π2D ．π6【解答】解：将函数f （x ）=2√3cos 2x ﹣2sinxcosx ﹣√3=√3cos2x ﹣sin2x=2cos （2x +π6）的图象向左平移t （t ＞0）个单位，可得y=2cos （2x +2t +π6）的图象．由于所得图象对应的函数为奇函数，则2t +π6=kπ+π2，k ∈Z ，则t 的最小为π6，故选：D ．14．（2018•四川模拟）若将函数y=sin2x+√3cos2x的图象向左平移π6个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为（）A．x=kπ2−π12(k∈Z)B．x=kπ2+π2(k∈Z)C．x=kπ2(k∈Z)D．x=kπ2+π12(k∈Z)【解答】解：将函数y=sin2x+√3cos2x=2sin（2x+π3）的图象向左平移π6个单位长度，可得y=2sin（2x+π3+π3）=2sin（2x+2π3）的图象，令2x+2π3=kπ+π2，可得x=kπ2﹣π12，k∈Z，则平移后图象的对称轴方程为x=kπ2﹣π12，k∈Z，故选：A．15．（2018•河南模拟）已知点A(0，2√3)，B(π6，0)是函数f（x）=4sin（ωx+φ）(0＜ω＜6，π2＜φ＜π)的图象上的两个点，若将函数f（x）的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的图象的一条对称轴的方程为（）A．x=π12B．x=π6C．x=π3D．x=5π12【解答】解：∵f(0)=4sinφ=2√3，π2＜φ＜π，∴φ=2π3．由f(π6)=4sin(π6ω+2π3)=0，得π6ω+2π3=kπ，ω=6k﹣4（k∈Z），∴ω=2，故f（x）=4sin（2x+2π3）．又将函数f（x）的图象向右平移π6个单位长度，得到g（x）=4sin[2（x﹣π6)+2π3]=4sin(2x+π3)+2π3]=4sin（2x+π3）的图象．将选项代入验证可知x=π12是一条对称轴方程，故选：A ．二．填空题（共8小题）16．（2018•宝山区二模）函数 f （ x ）=2sin 4x cos 4x 的最小正周期为 π4【解答】解：∵f （ x ）=2sin4xcos4x=sin8x ，∴f （ x ）的最小正周期T=2π8=π4．故答案为π4．17．（2018•浦东新区三模）函数y=cos （2x +π4）的单调递减区间是 [kπ−π8，kπ+3π8](k ∈Z) ．【解答】解：由2kπ≤2x +π4≤2kπ+π，即kπ﹣π8≤x ≤kπ+3π8，k ∈Z故函数的单调减区间为[kπ−π8，kπ+3π8](k ∈Z)，故答案为：[kπ−π8，kπ+3π8](k ∈Z)．18．（2017•江苏模拟）若函数f （x ）=sin （ωx +π6），（ω＞0）最小正周期为π，则f （π3）的值为 12．【解答】解：∵函数f （x ）=sin （ωx +π6）（ω＞0）最小正周期为2πω=π，∴ω=2，则f （π3）=sin （2•π3+π6）=sin 5π6=sin π6=12，故答案为：12．19．（2017•上海一模）函数y=sin （ωx ﹣π3）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=2 ．【解答】解：∵y=sin （ωx ﹣π3）（ω＞0），∴T=2π|ω|=π，∴ω=2．故答案是：2．20．（2018•江苏）已知函数y=sin （2x +φ）（﹣π2＜φ＜π2）的图象关于直线x=π3对称，则φ的值为 −π6 ．【解答】解：∵y=sin （2x +φ）（﹣π2＜φ＜π2）的图象关于直线x=π3对称，∴2×π3+φ=kπ+π2，k ∈Z ，即φ=kπ﹣π6，∵﹣π2＜φ＜π2，∴当k=0时，φ=﹣π6，故答案为：﹣π6．21．（2018•浙江模拟）已知函数f （x ）=2sin （2x +π3）+1，则f （x ）的最小正周期是 π ，f （x ）的最大值是 3【解答】解：函数f （x ）=2sin （2x +π3）+1，则f （x ）的最小正周期是T=2πω=π，当2x +π3=π2+2kπ，k ∈Z ，即x=π12+kπ，k ∈Z 时，f （x ）取得最大值是2+1=3．故答案为：π，3．22．（2018•南通模拟）函数f （x ）=Asin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0≤φ＜2π）在R 上的部分图象如图所示，则f （2018）的值为 2 ．【解答】解：由函数f （x ）=Asin （ωx +φ）的部分图象知，3T4=11﹣2=9，解得T=12，ω=2πT =π6；又f （0）=Asinφ=1， ∴sinφ=1A；f （2）=Asin （π6×2+φ）=A ，∴φ=π6，∴1A =sin π6=12， ∴A=2，∴f （2018）=f （168×12+2）=f （2）=A=2．故答案为：2．23．（2017•江苏模拟）将函数y=5sin （2x +π4）的图象向左平移φ（0＜φ＜π2）个单位后，所得函数图象关于y 轴对称，则φ= π8．【解答】解：∵y=5sin （2x +π4）的图象向左平移φ（0＜φ＜π2）个单位后得：g （x ）=f （x +φ）=2sin （2x +2φ+π4），∵g （x ）=2sin （2x +2φ+π4）的图象关于y 轴对称，∴g （x ）=2sin （2x +2φ+π4）为偶函数，∴2φ+π4=kπ+π2，k ∈Z ，∴φ=12kπ+π8，k ∈Z ．∵0＜φ＜π2，∴φ=π8．故答案为：π8．三．解答题（共6小题）24．（2016•海淀区模拟）已知函数f （x ）=2√2sinxcos （x +π4）．（Ⅲ）若在△ABC 中，BC=2，AB=√2，求使f （A ﹣π4）=0的角B ．（Ⅲ）求f （x ）在区间[π2，17π24]上的取值范围．【解答】解：（I ）∵f(A −π4)=2√2sin(A −π4)cosA =0，∴sin(A −π4)=0或cosA =0，∴在三角形中，得A =π4或π2．∵△ABC 中，BC=2，AB=√2，∴当A=π2时，△ABC 为等腰直角三角形，B=π4；当A=π4时，由正弦定理可得2sin π4=√2sinC，求得sinC=12，∴C=π6 或C=5π6（舍去），∴B=π﹣A ﹣C=7π12．综上可得，B=π4 或B=7π12．（II ）f(x)=2√2sinx(√22cosx −√22sinx)=2sinxcosx −2sin 2x =sin2x +cos2x −1=√2(√22sin2x +√22cos2x)−1=√2sin(2x +π4)−1，∵π2≤x ≤17π24，∴5π4≤2x +π4≤5π3，∴−√2≤√2sin(2x +π4)≤−1，∴﹣√2﹣1≤sin （2x ﹣π4）≤﹣2．由正弦函数的性质可知，当2x +π4=3π2，即x =5π8时，f(x)取最小值−√2−1；当2x+π4=5π4，即x=π2时，f(x)取最大值−2．所以，f（x）在区间[π2，17π24]上的取值范围是[−√2−1，−2]．25．（2018•海淀区二模）如图，已知函数f（x）=Asinx（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）在一个周期内的图象经过B(π6，0)，C(2π3，0)，D(5π12，2)三点（Ⅲ）写出A，ω，φ的值；（Ⅲ）若α∈(5π12，2π3)，且f（α）=1，求cos2α的值．【解答】解：（Ⅲ）由题意可得A=2，12⋅2πω=2π3﹣π6，∴ω=2，再结合五点法作图可得2×π6+φ=0，求得φ=−π3．（Ⅲ）由（Ⅲ）得，f(x)=2sin(2x−π3)，∵f（α）=1，∴sin(2α−π3)=12．∵α∈(5π12，2π3)，∴2α−π3∈(π2，π)，∴2α−π3=56π，∴2α=76π，∴cos2α=cos 76π=−√32．26．（2018•朝阳区二模）已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）﹣a的图象经过点（π2，1），a∈R．（1）求a的值，并求函数f（x）的单调递增区间；（2）若当x∈[0，π2]时，不等式f（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）﹣a的图象经过点（π2，1），∴2sin π2（sin π2+cos π2）﹣a=1，即2﹣a=1，解得a=1；∴函数f （x ）=2sinx （sinx +cosx ）﹣1 =2sin 2x +2sinxcosx ﹣1 =2×1−cos2x2+sin2x ﹣1=sin2x ﹣cos2x=√2sin （2x ﹣π4）；令﹣π2+2kπ≤2x ﹣π4≤π2+2kπ，k ∈Z ；解得﹣π8+kπ≤x ≤3π8+kπ，k ∈Z ；∴f （x ）的单调递增区间为[﹣π8+kπ，3π8+kπ]，k ∈Z ；（2）当x ∈[0，π2]时，2x ﹣π4∈[﹣π4，3π4]，∴√2sin （2x ﹣π4）≥√2×（﹣√22）=﹣1；又不等式f （x ）≥m 恒成立， ∴实数m 的取值范围是m ≤﹣1．27．（2017•北京）已知函数f （x ）=√3cos （2x ﹣π3）﹣2sinxcosx ．（I ）求f （x ）的最小正周期；（II ）求证：当x ∈[﹣π4，π4]时，f （x ）≥﹣12．【解答】解：（Ⅲ）f （x ）=√3cos （2x ﹣π3）﹣2sinxcosx ，=√3（12co2x +√32sin2x ）﹣sin2x ，=√32cos2x +12sin2x ， =sin （2x +π3），∴T=2π2=π，∴f （x ）的最小正周期为π，（Ⅲ）∵x ∈[﹣π4，π4]，∴2x +π3∈[﹣π6，5π6]，∴﹣12≤sin （2x +π3）≤1，∴f （x ）≥﹣1228．（2018•玉溪模拟）已知函数f （x ）=sin 2x +√3sinx•cosx +2cos 2x ，x ∈R （1）求函数f （x ）的最小正周期和单调递减区间；（2）函数f （x ）的图象可以由函数y=sin2x 的图象经过怎样的变换得到？【解答】解：（1）f （x ）=sin 2x +√3sinx ⋅cosx +2cos 2x ，=√32sin2x +cos 2x +1， =√32sin2x +cos2x+12+1， =sin(2x +π6)+32，函数的最小正周期为：T=2π2=π．令：π2+2kπ≤2x +π6≤3π2+2kπ（k ∈Z ），解得：π6+kπ≤x ≤kπ+2π3（k ∈Z ），函数的单调递减区间为：[π6+kπ，2π3+kπ]（k ∈Z ）．（2）函数y=sin2x 的图象向左平移π12个单位得到函数y=sin （2x +π6）的图象，再将函数图象向上平移32各单位得到f （x ）=sin （2x +π6）+32的图象．29．（2018•海淀区校级三模）若函数y =sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示．求：（Ⅲ）ω和φ；（Ⅲ）f（x）在区间(0，π3)上的取值范围．【解答】解：（Ⅲ）由函数f（x）的部分图象知，T 2=5π12−π6=π4，又T=2πω=π2，∴ω=4；又1 2(π2−5π12)=π24，π24+π6=5π24，∴f（x）的图象过点(5π24，1)，即1=sin(4⋅5π24+φ)；又|φ|＜π2，∴φ=−π3；（Ⅲ）由（Ⅲ）知，f(x)=sin(4x−π3)，当0＜x＜π3时，−π3＜4x−π3＜π，∴﹣√32＜x≤1；∴f（x）在区间(0，π3)上的取值范围是(−√32，1]．。

高考数学复习第3章三角函数与解三角形第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式

考向 3 证明
例 4：求证：tatannαα－·ssininαα＝tatannαα＋·ssininαα.
证明：方法一，右边＝ tan
tan2α－sin2α α－sin α·tan αsin
α
＝tantaαn－2α－sintaαn2·αtacnosα2sαin
α＝tan
tan2α1－cos2α α－sin α·tan αsin
10°cos 10° 1－cos210°.
解：原式＝ csoisn1100°°－－|scions1100°°|2＝
|sin cos
10°－cos 10°－sin
10°|＝cos 10° cos
10°－sin 10°－sin
1100°°＝1.
【规律方法】化简三角函数式应看清式子的结构特征并作有目的的变形,注意“1”的代换、乘法公式、切化弦等变形技巧, 对于有平方根的式子,去掉根号的同时加绝对值号再化简.
答案：C
【规律方法】已知sin α,cos α,tan α三个三角函数值中的一个,就可以求另外两个.但在利用平方关系开方时,符号的选择要看α属于哪个象限,这是易出错的地方,应引起重视.而当角α的象限不确定时,则需分象限讨论,不要遗漏终边在坐标轴上的情况.
考向 2 化简
例
3：化简：cos11－0°2－sin
考点 2 同角三角函数基本关系式考向 1 三角函数求值例 2：(1)(2019 年新课标Ⅱ)已知 α∈0，π2，2sin 2α＝cos 2α ＋1，则 sin α＝( )
1
5
A.5
B. 5
3 C. 3
25 D. 5
解析：2sin 2α＝cos 2α＋1,即4sin αcos α＝2cos2α, 则 2sin α＝cos α, 联立2sisnin2αα＋＝ccoos2sαα＝，1 ，得 sin α＝± 55，又 α∈0，π2，∴sin α＝ 55. 答案：B

第九讲三角函数讲义(二)

第九讲三角函数讲义（二）一、【知识要点】R 二、【知识应用】（一）、求定义域例1．求函数1sin 2cos 1)2cos 2lg(--++=x xx y 的定义域。

（二）、利用三角函数的性质比较大小例1．设75sin π=a 、72cos π=b 、72tan π=c ，则（） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<（三）、复合型三角函数图像的识别例1．函数x y cos ln = 其中22ππ<<-x 的图象是（）（四）、求值域、最值1、利用三角函数的有界性求值域1、形如y=asinx+bcosx+c 型引入辅助角公式化为22b a +sin(x+φ)+c 再求值域. 例1、求函数f(x)=2sinx+cos(x+3π)的值域2、形如y=asin 2x+bsinxcosx+ccos 2x 型通过降幂转化为Asinx+Bcosx 再求值域. 例2、f(x)=23asinx ·cosx-2asin 2x+1（a>0）的值域2、用换元法化为二次函数求值域1、形如y=sin 2x+bsinx+c 型令sinx=t 转化为二次函数再求值域. 例3、k<-4，求y=cos2x+k(cosx-1)的值域2、形如y=asinx·cosx+b （sinx±cosx ）+c ，换元令sinx±cosx=t 转化为二次函数在]2,2[-上的值域问题例4、求函数y=sinx ·cosx+sinx+cosx 的值域xxA ．B ．C ．D ．3、考察结构特征，用分离常数法求值域形如y=d x c bx a ++cos cos 型，可用分离常数法转化为y=a+xb 再求值域.例5、求函数y=1cos 21cos 2-+x x 的值域.4、反函数思想求值域形如y=d x c bx a ++sin cos 可用反函数思想转化为f(y)sin(x+φ)=g(y)求值域.例6、求y=3sin 22cos 3--x x 的值域.5、化为一元二次方程用判别式求值域形如y=dx c bx a ++sin cos 也可用判别式求值域例7、求函数y=xxcos 2sin +的值域6、根据代数函数的单调性求值域形如y=asint+tb sin ，令sint=x ，根据函数y=ax+x b的单调性求值域.例8、θ∈(0,π)，则函数y=sin θ+θsin 2的值域为_________.（五）、求三角函数的周期例1．已知函数x x x x y 22cos 3cos sin 2sin +⋅+=，（1）求该函数的最小正周期；（2）求函数的最小值及相应的x 的集合。

§1.2.1-2 任意角的三角函数(二)

即： M P = s in , O M = co s ,
O P=1
在 O M P中， O M +M P>O P
y

P M x
o
即： s in + c o s > 1
2013-1-11
重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@
12
§1.2.1-2 任意角的三角函数(二)

4
MP是正弦线 OM是余弦线
P
y
o
AT是正切线
重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@
o M
A x T
8
2013-1-11
§1.2.1-2 任意角的三角函数(二)
练习：不查表，比较大小
(1) sin 2 3 和 sin 4 5 (2) cos 2 3 和 cos 4 5 (3) ta n 2 3 和 ta n 4 5
2013-1-11
§1.2.1-2 任意角的三角函数(二)
例 1 .作出下列各角的三角正弦线 , 余弦线 , 正切线 , 并根据三角函数线求它的正弦值 ,余弦值 ,正切值 . (1)

4

(2)
4 3
y
T P A M x

4 3

2

s in 1 cos

1 cos s in

证明：如图连接 AP 在直角 CPA中，
PCA APM
y

P x MA

2
C
2
o
在直角 AM P中， MA OA OM 1 cos ta n A P M MP MP s in

人教版高三数学三角函数知识精讲2

高三数学三角函数知识精讲一. 本周教学内容：三角函数任意角的三角函数，三角函数线，同角三角函数关系与诱导公式，三角函数的图像和性质［基本知识点］1° 角的概念的推广（1）终边相同的角：{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}表示与角α终边相同的角的集合。

（2）象限角：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴正半轴重合，角的终边落在第几象限，就称这个角是第几象限角。

（3）坐标轴上的角：角的终边落在坐标轴上的角，也称轴限角，这个角不属于任何象限。

终边落在轴上的角，终边落在轴上的角，，x k k Z y k k Z {|}{|}ααπααππ=∈=+∈22° 弧度制（1）意义：圆周上弧长等长半径的弧所对的圆心角的大小为1弧度，它将任意角的集合与实数集合之间建立一一对应关系。

（2）弧度与角度的互换 180118011805718===≈πππ弧度弧度弧度，，()()'（3）弧度公式，扇形面积公式： l r =⋅||α S lr r 扇形==12122||α3° 任意角的三角函数（1）定义：设P(x ，y)是角α的终边上任意一点，且|PO|＝r ，则sin cos ααα===yr x r tg y x ，， csc sec ααα===ryr x ctg x y，，（2）三角函数的符号与角所在象限有关，如下表所示。

规律：一全正，二正弦，三双切，四余弦注意：角的范围的讨论及三角函数的定义的理解是三角的重要内容；而度数与弧度数的互化，弦长公式，扇形的面积公式的应用是难点内容，应注意熟练掌握。

（1）在讨论角的范围时，不要遗漏坐标轴上的角；（）角22α终边所在的位置与α终边的位置及k 的取值有关，要对k 的取值结合α的范围情况进行讨论。

（3）三角函数值的大小仅与角有关，而与终边上所取的P 点的位置无关，当角的终边所在象限不确定时，要分情况讨论。

5-2-1三角函数的概念(第二课时)-22-23高一上学期数学人教A版必修第一册

)
B．cosa tana＞0
D．sina＞0
分析，角a的终边过点(-3，-2)，则角a是第三
象限角。sina<0,cosa<0, tana>0
选C
四课堂小结
1 三角函数的定义？
2 怎样利用角的终边上任意一点的坐标求它的三角函
数？
五作业
p182
4,5
是_____
3 已知点P在半径为2的圆上按顺时方向做匀速运动，
角速度为1rad/s，求2s时点P所在的位置.
分析：
（1）16+b2 =25
b=±3
3
∵α的终边经过P(-b，4)，且cosα=- ,
5
∴ b=3
(2) α的终边经过P(-1，1 ),r= 2
sinα=
2
,cosαα
2
=−
2
,
2
tanα=-1
所以2s时，点P在该坐标系中的位置为
Q(2cos2，-2sin2)
三角函
数值的
符号
问题
y
( +
)
o
( - )
( +
y
)
x
( -
sin
)
( - )
o
( - )
y
( +
)
x
(
cos
+ )
(
-
) ( + )
o
( + )
x
( - )
tan
角α的正弦函数值的符号取决于它的终边上任意一点
的纵坐标的符号；角α的余弦函数值的符号取决于它
|P0 M0| |P M|

三角函数2

• 2.三角函数值的符号例5 确定下列三角函数值的符号:
7 11 0 (1) cos ; (2) sin( 465 0; (3) tan . 12 3
例6 已知sinα<0,tanα>0,确定角α所在的象限.
• 例7 已知α∈[0,2π), 且sinα＞0, cosα≤0,求α的取值范围. 例8 求函数f(x)=lqcosx的定义域. 例9 已知点P(cosα,sinα)在第三象限,问α为第几象限角？ • 例10 已知α是第一象限角,且 sin sin , 2 2 确定α/2所在的象限.
T
2
.

• 例4 f(x)是周期为2定义域为R的周期函数,它在[-1,1]上的图象如图所示,画出它的图象.
y
1 0
1
x
课堂练习与课外作业
课堂练习P27 1,2 课外作业 P27 3,4 P45 1
第8课时正余弦函数的图象和性质
• 1.正弦和余弦函数的图象 • 2.正弦和余弦函数的情质 (1)定义域 R (2)值域 [-1,1] (3)周期性 T=2π (4)奇偶性正弦函数为奇函数,它的图象关于原点对称;余弦函数为偶函数,它的图象关于 y轴对称.
在第三象限 ,求 3 sin ,
5
• 例2 已知tanα=
求sinα,cosα 的值. 12 , 5 • 例3 已知2sinα=cosα,求 sin 2 cos 的值. 2 sin cos 例4 已知π/2<α<π,且sinα+cosα=1/5,求tanα 的值.
例4 (1)求证
3 3 sin( ) cos , cos( ) cos . 2 2
(2)已知cos(750+α)=1/3,且－1800<α<－900,求cos(150－α)的值.

三角函数专题复习讲义

三角函数专题复习讲义1. 弧度与角度1.1 弧度的定义弧度（radian）是角度的一个度量单位。

它是一种以弧长为单位来衡量角度的方式。

在一个半径为1的圆中，角度θ对应的弧长与半径的比值就是角度θ的弧度表示，数学上用符号rad来表示。

1.2 角度与弧度的互相转换角度与弧度的转换关系可以用以下公式表示：- 弧度转角度：角度 = 弧度× (180/π)- 角度转弧度：弧度 = 角度× (π/180)其中π表示圆周率，约等于3.。

2. 三角函数2.1 正弦函数（sin）正弦函数是三角函数中的一种，用sin表示。

对于一个角度θ，其正弦值为对应单位圆上从原点引出的线段与x轴的交点的纵坐标。

2.2 余弦函数（cos）余弦函数是三角函数中的一种，用cos表示。

对于一个角度θ，其余弦值为对应单位圆上从原点引出的线段与x轴的交点的横坐标。

2.3 正切函数（tan）正切函数是三角函数中的一种，用tan表示。

对于一个角度θ，其正切值为对应单位圆上从原点引出的线段与x轴的交点纵坐标与横坐标的比值。

3. 三角函数的基本性质3.1 周期性三角函数具有周期性，即一个三角函数图像在一个周期内重复出现。

正弦函数和余弦函数的周期为2π，而正切函数的周期为π。

3.2 奇偶性正弦函数是奇函数，即sin(-θ) = -sin(θ)，余弦函数是偶函数，即cos(-θ) = cos(θ)，而正切函数既不是奇数也不是偶数函数。

3.3 反函数三角函数都有反函数，即反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。

它们可以用来求解给定三角函数的值的角度。

4. 三角函数的应用4.1 几何应用三角函数在几何中有广泛的应用，例如通过已知两个边长求解夹角、求解三角形的面积等。

4.2 物理应用正弦函数和余弦函数在物理学中有很多应用，例如描述质点的周期性运动、波动现象和振动等。

4.3 工程应用三角函数在工程学中也有许多应用，例如在三角测量、建筑设计和信号处理等方面的应用。

高考复习指导讲义第二章三角、反三角函数

高考复习指导讲义第二章三角、反三角函数一、考纲要求1.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确进行弧度和角度的互换。

2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义。

3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。

4.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简，求值和恒等式的证明。

5.了解正弦函数、余弦函数，正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数，余弦函数和函数y=Asin(wx+ϕ)的简图，理解A 、w 、ϕ的物理意义。

6.会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx 、arccosx 、arctgx 表示。

7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决三角形的计算问题。

8.理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图像得出反三角函数的性质，能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题。

9.能够熟练地写出最简单的三角方程的解集。

二、知识结构1.角的概念的推广：(1)定义：一条射线OA 由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按一定方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α。

其中射线OA 叫角α的始边，射线OB 叫角α的终边，O 叫角α的顶点。

(2)正角、零角、负角：由始边的旋转方向而定。

(3)象限角：由角的终边所在位置确定。

第一象限角：2k π＜α＜2k π+2π,k ∈Z 第二象限角：2k π+2π＜α＜2k π+π,k ∈Z 第三象限角：2k π+π＜α＜2k π+23π,k ∈Z第四象限角：2k π+23π＜α＜2k π+2π,k ∈Z(4)终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角，连同α角在内(而且只有这样的角)，可以表示为k ²360°+α，k ∈Z 。

(5)特殊角的集合：终边在坐标轴上的角的集合｛α｜α＝2πk ，k ∈Z ｝终边在一、三象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π+4π，k ∈Z ｝终边在二、四象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π-4π，k ∈Z ｝终边在四个象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π-4π，k ∈Z ｝2.弧度制：(1)定义：用“弧度”做单位来度量角的制度，叫做弧度制。

专题2 第2讲三角函数的图象与性质(学生版)

第2讲三角函数的图象与性质【要点提炼】考点一三角函数的定义、诱导公式及基本关系1．同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z .2．诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．【热点突破】【典例】1 (1)已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角α的最小正值为( )A.5π6 B.11π6 C.5π3 D.2π3(2)(2020·山东师范大学附中模拟)若sin θ＝5cos(2π－θ)，则tan 2θ等于( )A ．－53 B.53 C ．－52 D.52【拓展训练】1 (1)(2020·全国Ⅲ)已知2tan θ－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝7，则tan θ等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2(2)已知α∈(0，π)，且cos α＝－1517，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan(π＋α)等于( )A ．－1517 B.1517 C ．－817 D.817【要点提炼】考点二三角函数的图象与【解析】式三角函数图象的变换【热点突破】【典例】2 (1)已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且f(x)的最小正周期为π，将y ＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8等于( ) A ．－2 B ．－ 2 C. 2 D ．2(2)设函数g(x)＝sin ωx(ω>0)向左平移π5ω个单位长度得到函数f(x)，已知f(x)在[0,2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是________． ①f(x)在(0,2π)上有且只有3个极大值点，2个极小值点；②f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10上单调递增； ③ω的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫125，2910. 【拓展训练】2 (1)(2020·全国Ⅰ)设函数f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6在[－π，π]上的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为( ) A.10π9 B.7π6 C.4π3 D.3π2(2)已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，ω>0的图象在y 轴右侧的第一个最高点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1，在原点右侧与x 轴的第一个交点为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，则f⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值为( )A ．1 B.12 C.22 D.32【要点提炼】考点三三角函数的性质函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的性质(1)奇偶性：φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝Asin(ωx ＋φ)为奇函数；φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝Asin(ωx ＋φ)为偶函数．(2)三角函数的周期性：f(x)＝Asin(ωx ＋φ)和f(x)＝Acos(ωx ＋φ)的最小正周期为2πω；y ＝Atan(ωx ＋φ)的最小正周期为πω.(3)根据y ＝sin t 的性质研究y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的性质：由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )可得增区间，由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )可得减区间；由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )可得对称中心；由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )可得对称轴．【热点突破】【典例】3 (1)已知函数f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ，把y ＝f(x)的图象向左平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是( ) A ．g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝32B ．g(x)的图象关于直线x ＝π2对称 C ．g(x)的一个零点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0 D ．g(x)的一个单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12(2)设函数f(x)＝3sin ωx ＋cos ωx(ω>0)，其图象的一条对称轴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内，且f(x)的最小正周期大于π，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B ．(0,2) C ．(1,2) D ．[1,2) 【拓展训练】3 (1)(多选)(2020·武汉模拟)已知函数f(x)＝|cos x|－|sin|x||，下列说法正确的是( ) A ．f(x)是偶函数B ．f(x)是周期为π的函数C ．f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2上单调递减D ．f(x)的最大值为 2(2)(2020·北京海淀区模拟)已知函数f(x)＝2sin ωx ，g(x)＝2cos ωx ，其中ω>0，A ，B ，C 是这两个函数图象的交点，且不共线． ①当ω＝1时，△ABC 的面积的最小值为________；②若存在△ABC 是等腰直角三角形，则ω的最小值为________．专题训练一、单项选择题1．已知角α的终边过点P(－3,8m)，且sin α＝－45，则m 的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.322．已知直线3x －y －1＝0的倾斜角为α，则cos α－2sin αsin α＋cos α的值为( )A ．－1110B ．－12C ．－114D ．－543．若f(x)＝sin x ＋3cos x 在[－m ，m](m>0)上是增函数，则m 的最大值为( ) A.5π6 B.2π3 C.π6 D.π34．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移7π12个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移7π12个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度，得到曲线C 25．已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2，f ()x 1＝1，f ()x 2＝0，若||x 1－x 2min ＝12，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，则f(x)的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16＋2k ，56＋2k ，k ∈ZB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56＋2k ，16＋2k ，k ∈ZC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56＋2k π，16＋2k π，k ∈ZD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16＋2k ，76＋2k ，k ∈Z 6．已知函数f(x)＝asin x －bcos x(a ，b 为常数，a ≠0，x ∈R )的图象关于x ＝π4对称，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－x 是( )A ．偶函数且它的图象关于点(π，0)对称B ．偶函数且它的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0对称C ．奇函数且它的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0对称D ．奇函数且它的图象关于点(π，0)对称7．已知函数f(x)＝12cos ωx －32sin ωx ()ω>0在[0，π]内的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则ω的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，43B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，43 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 D.(]0，18．已知函数f(x)＝tan(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2的相邻两个对称中心的距离为32，且f(1)＝－3，则函数y ＝f(x)的图象与函数y ＝1x －2(－5<x<9且x ≠2)的图象所有交点的横坐标之和为( )A ．16B ．4C ．8D ．12 二、多项选择题9．(2020·新高考全国Ⅰ)如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)的部分图象，则sin(ωx ＋φ)等于( )A ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3B ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2xC ．cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 D ．cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2x10．(2020·河北衡水中学考试)已知向量a ＝(2sin x ，－1)，b ＝(sin x ＋3cos x,1)，且函数f(x)＝a ·b ，则下列说法正确的是( )A ．若x 1，x 2是方程f(x)＝1的两根，则x 1－x 2是π的整数倍B ．当x ＝π6时，f(x)取得最大值C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3是函数f(x)的一个单调递增区间 D ．将函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度后得到一个偶函数的图象11．(2020·佛山模拟)已知函数f(x)＝sin x ＋sin πx ，下列结论正确的是( )A ．f(x)是奇函数B ．f(x)是周期函数C ．f(x)在区间(0，π)上有三个零点D ．f(x)的最大值为212．设函数f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，已知f(x)在[0,2π]上有且仅有3个极小值点，则( )A ．f(x)在(0,2π)上有且仅有5个零点B ．f(x)在(0,2π)上有且仅有2个极大值点C ．f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，π6上单调递减D ．ω的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤73，103三、填空题13．(2017·全国Ⅱ)函数f(x)＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．14．已知函数f(x)＝3sin xcos x ＋12cos 2x ，若将其图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后所得的图象关于原点对称，则φ的最小值为________．15. (2020·北京市八一中学调研)已知函数f(x)＝1sin ωx ＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则ω＝________，φ＝________.16．(2020·济南模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中ω>0，|φ|<π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，f(x)≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8恒成立，且f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π24上单调，则下列说法正确的是________．(填序号)①存在φ，使得f(x)是偶函数；②f(0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4；③ω是奇数；④ω的最大值为3.。

2013高考数学总复习讲义2：三角函数性质与图像

高三数学总复习讲义——三角函数性质与图像知识清单：反三角函数符号的运用:arcsin ,22a ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦、[]arccos 0,a π∈、arc tan (,)22a ππ∈-注意：反三角数符号只表示．．．这个范围的角，其他范围的角需要用诱导公式变到这个范围.备注：以上性质的理解记忆关键是能想象或画出函数图象．．．．．．．．．．. 函数sin()y A x ωϕ=+的图像和性质以函数sin y x =为基础,通过图像变换来把握.如①sin y x=−−−−→图例变化为②sin()y A x ωϕ=+(A >0,ω>0)相应地，sin y x =cos y x =()ϕω+=x A y sin （A 、ω＞0）定义域 RRR值域 [1,1]- [1,1]-[]A A ,-周期性π2π22πω奇偶性奇函数偶函数当,0≠ϕ非奇非偶, 当,0=ϕ奇函数单调性[2,2]22k k ππππ-++上为增函数；3[2,2]22k k ππππ++上为减函数. （Z k ∈）()[21,2]k k ππ-上为增函数;()[2,21]k k ππ+上为减函数. （Z k ∈）12222,k k ππϕππϕωω⎡⎤--+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦上增函数；32222,k k ππϕππϕωω⎡⎤+-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦上减函数（Z k ∈） tan y x =cot y x =定义域 1|,2x x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭且{}|,x x R x k k Z π∈≠∈且值域 RR周期性 ππ奇偶性奇函数奇函数单调性⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππk k 2,2上为增函数（Z k ∈）()()ππ1,+k k 上为减函数（Z k ∈）①的单调增区间2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦−−−→变为2222k x k πππωϕπ-+++≤≤的解集是②的增区间.注:⑴)sin(ϕω+=x y 或cos()y x ωϕ=+（0≠ω）的周期ωπ2=T ;⑵sin()y x ωϕ=+的对称轴方程是2x k ππ=+（Z k ∈），对称中心(,0)k π；cos()y x ωϕ=+的对称轴方程是x k π=（Z k ∈），对称中心1(,0)2k ππ+；)tan(ϕω+=x y 的对称中心（0,2πk ）. 课前预习1．函数sin cos y x x =-的最小正周期是 . 2．函数1π2sin()23y x =+的最小正周期T = ． 3．函数sin2xy =的最小正周期是（） (A)2π(B)π (C) 2π (D) 4π 4．函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是( )(A)]3,0[π (B)]127,12[ππ (C) ]65,3[ππ (D)],65[ππ 5．函数22cos()()363y x x πππ=-≤≤的最小值是（）()2A - ()3B - ()1C - ()1D6．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（）(A)向右平移6π个单位长度 (B)向右平移3π个单位长度 (C)向左平移6π个单位长度 (D)向左平移3π个单位长度7．将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象上所有点向左平移3π个单位，所得图象的解析式是__________________. 8．函数sin 3cos y x x =+在区间[0,2π]的最小值为______.9．适合13sin ,,32x x ππ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦的角x 是（）1()arcsin()3A - 1()arcsin 3B - 1()2arcsin()3C π+- 1()arcsin()3D π--10．已知f (x )=5sin x cos x -35cos 2x +325（x ∈R ） ⑴求f (x )的最小正周期； ⑵求f (x )单调区间；⑶求f (x )图象的对称轴，对称中心。

高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形2第2讲同角三角函数的基本关系及诱导公式课件理

(教材习题改编)已知
tan
α
＝
2
，
则
sin sin
α＋cos α－cos
α α
的
值
为
________．
解析：sin sin
α＋cos α－cos
α＝tan α tan
αα＋－11＝22＋－11＝3.
答案：3
同角三角函数基本关系式的应用(多维探究)
角度一公式的直接应用
(1)已知 sin α＝ 55，π2≤α≤π，则 tan α＝( )
角度三 sin α±cos α，sin αcos α 之间的关系已知 α∈(－π，0)，sin α＋cos α＝15.
(1)求 sin α－cos α 的值； (2)求sin12－α＋ta2nsαin2α的值．
【解】 (1)由 sin α＋cos α＝15，平方得 sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝215，整理得 2sin αcos α＝－2245. 所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝4295. 由 α∈(－π，0)，知 sin α<0，又 sin α＋cos α>0，所以 cos α>0，则 sin α－cos α<0，故 sin α－cos α＝－75.
【解】由已知得 tan α＝12.
(1)ssiinnαα－＋3ccoossαα＝ttaann αα－＋31＝－53.
(2)sin2α＋sin
αcos
α＋
2＝
sin2α＋sin αcos sin2α＋cos2α
α＋2＝tanta2nα2＋α＋tan1
α
＋2＝121222＋＋112＋2＝153.
利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．

第2讲三角函数的图象及性质

结合正弦函数、余弦函数的图象,同时注意考虑所有可能情况,避免漏解.
(3)若函数g(x)=f(x)+1在区间(a,b)上恰有10个零点,求b-a的最大值.
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解析
(1)由图象可得A=2,
T 4
=
3
-
12
=
2
4ω
,则ω=2,所以f(x)=2sin
2x
3
.
(2)令- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z,得-5 +kπ≤x≤ +k高π考,k导∈航Z,
即g(x)在
4
,
3
4
上的值域为
3 2
,
3
.
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题型二由三角函数的局部图象求解析式并研究其性质
例2
(2018江苏扬州中学阶段测试)已知函数f(x)=Asin
ω高x考导3航(A>0,ω>0)的
部分图象如图所示.
(1)求A和ω的值;
(2)求函数y=f(x)在[0,π]的单调增区间;
=cos 2x-
3
sin
2x+2=2cos
2x
3
+2,当2x+
3
=2kπ+π(k∈Z),即x=kπ+
3
(k∈Z)
时,f(x)取得最小值0.
此时,自变量x的取值集合为
x
|
x
k
π 3
,
k
Z.
(2)因为f(x)=2cos
2x
3
+2,
令π+2kπ≤2x+ ≤2π+2kπ(k∈Z),

数学讲义：三角函数的基本关系 (2)

三角函数的基本关系一、基本题：【1】a ＝cos1，则下列叙述何者正确？(已知sin36。

＝45210－) (A) 0≤a ＜0.2 (B) 0.2≤a ＜0.4 (C) 0.4≤a ＜0.6 (D) 0.6≤a ＜0.8 (E) 0.8≤a ＜1。

[解答]：(C)【详解】：∵ 1弧度＝π。

180≒57。

⇒cos60。

＜cos1＜cos54。

⇒21＜cos1＜sin36。

＝45210－≒45.5≒0.58【2】下列各函数在2π＜x ＜π是增函数？(A) y ＝sin x (B) y ＝cos x (C) y ＝tan x(D) y ＝cot x (E) y ＝sec x 。

[解答]：(C)(E)【详解】：观察各三角函数的图形知2π＜x ＜π时y ＝tan x ，y ＝sec x ，y ＝csc x 为增函数而y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝cot x 为减函数【3】下列各函数的周期，何者是π？(A) y ＝sin x (B) y ＝2|cos x | (C) y ＝tan x (D) y ＝sin πx (E) y ＝3sin2x ＋5。

[解答]：(B)(C)(E)【详解】：(A) y ＝sin x 之周期为2π(B) y ＝2|cos x |之周期22π＝π(C) y ＝tan x 之周期为π(D) y ＝sinπx 之周期为ππ2＝2(E) y ＝3sin2x ＋5之周期为22π＝π 二、进阶题：【1】半径为1的三个圆互相外切，则此三圆间所围成的面积为。

[解答]：3－2π【详解】：三圆间所围成的面积就是斜线部分的面积＝(正三角形ABC 的面积)－(三个扇形APQ 的面积)＝43∙22－3∙21∙12∙3π＝3－2π 【2】方程式10sin x ＝x 共有个实根。

[解答]：7个【详解】：10sin x ＝x ⇒sin x ＝10x 的实根个数，就是y ＝sin x 的图形与y ＝10x的图形之交点个数，其图形如上：故y ＝sin x 与y ＝10x之交点有7个，即10sin x ＝x 有7个实根【3】当x 介于0与2π之间，直线x y -=1，与函数x y tan =的图形，共有几个交点?(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4[解答]：(D)【详解】：方程式1－x ＝tan x 的实根个数，就是y ＝1－x 与y ＝tan x两图形的交点个数，图形如上：∴ y ＝1－x 与y ＝tan x 两图形有三个交点故方程式1－x ＝tan x 有3个实根【4】考虑函数 f (x ) = 2 sin 3 x ，试问下列选项何者为真？(A) – 2≤f (x )≤2 (B) f (x )在x =6π时有最大值 (C) f (x )的周期为32π (D) y = f (x )的图形对称于直线x =2π(E) f (2) > 0。

第2讲三角函数的诱导公式-简单难度-讲义.

三角函数的诱导公式知识讲解一、同角三角函数的基本关系式平方关系：sin2x+cos2x=1，sec2x−tan2x=1，csc2x−cot2x=1商数关系：sin xcos x =tan x，cos xsin x=cot x倒数关系：sec x=1cos x ,csc x=1cos x,tan x=1cot x教师内容:1.注意“同角”，至于角的形式无关重要，如sin24α+cos24α=1等；2.注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如tanα⋅cotα=1,α≠kπ2,(k∈Z)3.对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：cosα=±√1−sin2α，sin2α=1−cos2α，cosα=sinαtanα等．4.特殊角的三角函数值二、诱导公式（1）角α与α+k⋅2π(k∈Z)的三角函数间的关系；sin(α+2kπ)=sinα,cos(α+2kπ)=cosα,tan(α+2kπ)=tanα;（2）角α与−α的三角函数间的关系；sin(−α)=−sinα,cos(−α)=cosα,tan(−α)=−tanα;（3）角α与α+(2k+1)π(k∈Z)的三角函数间的关系；sin[α+(2k+1)π]=−sinα,cos[α+(2k+1)π]=−cosα,tan[α+(2k+1)π]=tanα;（4）角α与α+π2的三角函数间的关系．sin(α+π2)=cosα,cos(α+π2)=−sinα,tan(α+π2)=−cotα．教师内容:诱导公式的记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”，具体指的是对于任意三角函数，以y=sin(m⋅π2+φ)为例，若m为π2的偶数倍，则函数名不改变，根据角φ所在象限判断变换后的三角函数的符号，若m为π2的奇数倍，则函数名改变成余弦，符号同理仍然看象限．典例精讲一．选择题（共12小题）1．（2017秋•绍兴期末）cos（π+x）=（）A．cosx B．﹣cosx C．sinx D．﹣sinx 【分析】直接利用诱导公式写出结果即可．【解答】解：cos（π+x）=﹣cosx．故选：B．2．（2017秋•重庆期末）tan390°的值等于（）A．√33B．√3C．﹣√33D．﹣√3【分析】利用诱导公式化简求值即可．【解答】解：tan390°=tan30°=√33．故选：A．3．（2018春•嘉兴期末）已知cosα=45，则cos（π﹣α）=（）A．−45B．45C．35D．−35【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．【解答】解：cosα=45，则cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣45．故选：A．4．（2018•北京模拟）已知sinα=513，那么sin（π﹣α）等于（）A．−1213B．−513C．513D．1213【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．【解答】解：已知sinα=513，那么sin（π﹣α）=sinα=513，故选：C ．5．（2018春•古冶区校级期中）若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是（） A ．cos （A +B ）=cosC B ．sin （A +B ）=﹣sinCC ．tan （A +C ）=tanBD ．sinB+C 2=cos A2【分析】由题意利用三角形内角和公式、诱导公式，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则A +B=π﹣C ，∴cos （A +B ）=cos （π﹣C ）=﹣cosC ，sin （A +B ）=sin （π﹣C ）=sinC ，故A 、B 均错误．由A +C=π﹣B ，可得tan （A +C ）=﹣tanB ，故C 错误，由B +C=π﹣A ，可得B+C 2=π2﹣A 2，∴sin B+C 2=sin （π2﹣A 2）=cos A2，故D 正确，故选：D ．6．（2018春•福州期中）若cos （α﹣2π）＞0，sin （π﹣α）＜0，则角α的终边在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】根据三角函数的在各个象限中的符号，得出结论．【解答】解：∵cos （α﹣2π）=cosα＞0，sin （π﹣α）=sinα＜0，则角α的终边在第四象限，故选：D ．7．（2018•香坊区校级四模）已知cos(π2−α)−3cosαsinα−cos(π−α)=2，则tan(α+π2)=（）5【分析】由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式可求tanα的值，进而化简所求即可计算得解．【解答】解：∵cos(π2−α)−3cosαsinα−cos(π−α)=2，∴sinα−3cosαsinα+cosα=tanα−3tanα+1=2，解得：tanα=﹣5， ∴tan(α+π2)=﹣1tanα=﹣1−5=15．故选：C ．8．（2018•武侯区校级一模）已知sin （7π6+α）=√33，则cos （2π3﹣2α）=（）A ．﹣23B ．﹣13C ．23D ．13【分析】由题意利用诱导公式求得cos （π3﹣α）=﹣√33，再利用二倍角公式求得cos （2π3﹣2α）的值．【解答】解：∵sin （7π6+α）=﹣sin （π6+α）=√33，∴sin （π6+α）=﹣√33，即cos （π3﹣α）=﹣√33，则cos （2π3﹣2α）=2cos 2(π3−α)﹣1=23﹣1=﹣13，故选：B ．9．（2018•陕西三模）计算cos2025°=（） A ．√22B ．−√22C ．√6−√24D ．√2−√64【分析】直接利用三角函数的诱导公式化简求值．【解答】解：cos2025°=cos （360°×6﹣135°）=cos （﹣135°）=cos135°=−√22．故选：B ．10．（2018•广东二模）若cos(α+π6)=45，则sin(α−π3)=（）55【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．【解答】解：若cos(α+π6)=45，则sin(α−π3)=﹣cos（π2+α−π3）=﹣45．故选：D．11．（2018春•东安区校级月考）已知cos（5π12﹣θ）=13，则sin（π12+θ）的值是（）A．﹣13B．﹣2√23C．13D．2√23【分析】由已知利用诱导公式化简所求即可得解．【解答】解：∵cos（5π12﹣θ）=13，∴sin（π12+θ）=cos[π2﹣（π12+θ）]=cos（5π12﹣θ）=13．故选：C．12．（2018春•桂林期末）若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是（）A．cos（A+B）=cosC B．sin（A+B）=﹣sinCC．cos（A2+C）=sinB D．sinB+C2=cosA2【分析】利用三角形的内角和公式、诱导公式逐一判断各个选项中的式子是否成立，从而得出结论．【解答】解：∵角A，B，C是△ABC的三个内角，∴A+B=π﹣C，∴cos（A+B）=cos（π﹣C）=﹣cosC，故排除A；又sin（A+B）=sin（π﹣C）=sinC，故排除B；∵sin B+C2=sinπ−A2=cosA2，故D满足条件；由于A2+C有可能为钝角，故cos（A2+C）可能小于零，而sinB＞0，故C不一定成立；故选：D．二．填空题（共6小题）13．（2017秋•红桥区期末）cos120°=−12．【分析】直接利用有时间的三角函数求解即可．【解答】解：cos120°=﹣cos60°=﹣12．故答案为：﹣12．14．（2018•铜山区一模）已知tan（π6﹣α）=√33，则tan（5π6+α）=−√33．【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵tan（π6﹣α）=√33，∴tan（5π6+α）=tan[π﹣（π6﹣α）]=﹣tan（π6﹣α）=﹣√33．故答案为：﹣√3315．（2018•嘉定区一模）已知sinα=45，则cos(α+π2)=−45．【分析】原式利用诱导公式化简，将sinα的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵sinα=45，∴cos（π2+α）=﹣sinα=﹣45．故答案为：﹣4516．（2018•上海模拟）已知cosα=45，则cos(α−π2)+2sin(π−α)2tan(π+α)+cot(π2+α)=125．【分析】利用诱导公式化简，再代入即可得出结论．【解答】解：∵cosα=45，∴cos(α−π2)+2sin(π−α)2tan(π+α)+cot(π2+α)=sinα+2sinα2tanα−tanα=3cosα=125．故答案为：125．17．（2018•黄浦区一模）已知sin （α+π2）=13，α∈（﹣π2，0），则tanα= ﹣2√2 ．【分析】由α∈（﹣π2，0）sin （α+π2）=13，利用诱导公式可求得cosα，从而可求得sinα与tanα．【解答】解：∵sin （α+π2）=cosα，sin （α+π2）=13，∴cosα=13，又α∈（﹣π2，0），∴sinα=﹣2√23，∴tanα=sinαcosα=﹣2√2．故答案为：﹣2√2．18．（2018春•思明区校级月考）若cos （π2−α）=﹣13，且π＜α＜3π2，则tan （π﹣α）= ﹣√24．【分析】由已知利用诱导公式可求sinα=﹣13，结合角的范围，利用同角三角函数基本关系式可求cosα，根据诱导公式，同角三角函数基本关系式即可求得tan （π﹣α）的值．【解答】解：∵cos （π2−α）=sinα=﹣13，且π＜α＜3π2，∴cosα=﹣√1−sin 2α=﹣2√23，∴tan （π﹣α）=﹣tanα=﹣sinαcosα=﹣√24．故答案为：﹣√24．三．解答题（共4小题）19．（2018春•兴庆区校级期中）已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P （m ，√154）．（1）求实数m 的值；（2）求sin(α−π2)sin(π+α)−sin(3π2−α)+1的值．【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得m 的值．（2）利用诱导公式化简所给的式子，可得结果．【解答】解：（1）角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P （m ，√154）， ∴m 2+1516=1，且m ＜0，求得m=﹣14，∴cosα=m=﹣14，sinα=√154；（2）sin(α−π2)sin(π+α)−sin(3π2−α)+1=−cosα−sinα+cosα+1=14−√154−14+1=3−√15=﹣3+√156． 20．（2018春•陆川县校级月考）若cosa=23，a 是第四象限角，求sin(a−2π)+sin(−a−3π)cos(a−3π)cos(π−a)−cos(−π−a)cos(a−4π)的值．【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．【解答】解：∵cosa=23，a 是第四象限角，∴sina=﹣√1−cos 2a =﹣√53，∴sin(a−2π)+sin(−a−3π)cos(a−3π)cos(π−a)−cos(−π−a)cos(a−4π)=sina+sina⋅(−cosa)−cosα+cosa⋅cosa =sina(1−cosa)cosa(cosa−1)=−√53⋅1323⋅(−13)=√52． 21．（2018春•葫芦岛期末）已知f （α）=sin(α−π2)cos(3π2−α)tan(7π−α)tan(−5π−α)sin(α−3π)．（1）化简f （α）；（2）若tan （α﹣3π2）=﹣2，且α为第一象限角，求f （α）的值．【分析】（1）由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．（2）由题意应用诱导公式、同角三角函数的基本关系求得cosα的值，可得f （α）的值．【解答】解：（1）f （α）=sin(α−π2)cos(3π2−α)tan(7π−α)tan(−5π−α)sin(α−3π)=−cosα⋅(−sinα)⋅(−tanα)−tanα⋅(−sinα)=﹣cosα．（2）若tan （α﹣3π2）=﹣cotα=﹣cosαsinα=﹣2，∴cosαsinα=2．由sin 2α+cos 2α=1，∵α为第一象限角，∴cosα=2√55，∴f （α）=﹣cosα=﹣2√55．。