12[1].2-第二节 二重积分的计算

−a2
).
例9
求广义积分∫0 e
2
∞
− x2
dx .
2
解 D1 = {( x , y ) | x + y ≤ R }
2
D2 S
D2 = {( x , y ) | x + y ≤ 2 R }
2 2 2
D1
D S2 D
R
S = {( x , y ) | 0 ≤ x ≤ R,0 ≤ y ≤ R}
2R
{ x ≥ 0, y ≥ 0}
a a− a2 − y2
原式 = ∫ dy ∫ 2 y 0
f ( x , y )dx
2a 2a 2a
+ ∫0 dy ∫a +
a
2a
2a
a −y
2 2
f ( x , y )dx + ∫a dy ∫ y 2 f ( x , y )dx .
例 4 求 ∫∫ ( x + y )dxdy ，其中 D 是由抛物线
r = ϕ2 (θ)
ϕ 1 (θ ) ≤ r ≤ ϕ 2 (θ ).
β
o
α
D
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
A
= ∫ dθ ∫
α
β
ϕ 2 (θ )
ϕ1 (θ )
f (r cosθ , r sinθ )rdr.
区域特征如图： 区域特征如图： 极点在D外 （极点在 外）
r = ϕ1(θ )
∫∫ rdrdθ = ∫α dθ ∫ϕ (θ ) rdθ D
1
β
ϕ 2 (θ )
∫α
β
[ϕ 2 2 (θ ) − ϕ12 (θ )]dθ
ϕ (θ )
或σ =
∫α ∫0
dθ
β
1 rdθ = 2
∫α
β
ϕ 2 (θ )dθ
②确定积分限及积分次序：“先对r，后 θ 确定积分限及积分次序： 先对 ， 对 ”。 是圆形、 ③当区域D是圆形、环形、扇形或它们的部分 当区域 是圆形 环形、 区域或被积函数为
D3
D 1
D2
∫∫
D
= ∫∫ + ∫∫ + ∫∫ .
D1 D2 D3
注意：计算二重积分的关键是确定积分限及适当选择积分次序 计算二重积分的关键是确定积分限及适当选择积分次序
1 . 确定积分限：(直角坐标系） 后积先定限， 后积先定限，总是点 到 点； 限内画射线， 限内画射线，总是线 到 线； 先交为下限，后交为上限； 先交为下限，后交为上限； 区域少分块，积分计算简。 区域少分块，积分计算简。
例1
改变积分 ∫ dx ∫
0
1
1− x
0
f ( x , y )dy 的次序.
解 积分区域如图
y = 1− x
原式 = ∫ dy ∫
0
1
1− y
0
f ( x , y )dx .
例 2 改变积分
∫0 dx ∫0
1
2 x− x2
f ( x , y )dy + ∫1 dx ∫0

2
2− x
f ( x , y )dy 的次序 的次序.
d d
x = ϕ1 ( y )
D
x = ϕ2 ( y)
x = ϕ1 ( y )
D
c
c
x = ϕ2 ( y)
∫∫ f ( x , y )dσ = ∫
D
d
c
dy ∫
ϕ2 ( y)
ϕ1 ( y )
f ( x , y )dx .
3.如果积分区域为： 如果积分区域为： 如果积分区域为
a ≤ x ≤ b,
c ≤ y ≤ d.
x = r cosθ 解 在极坐标系下 y = r sinθ
x2 + y2 = 1
1 直线方程为r = , sinθ + cosθ
所以圆方程为 r = 1,
x+ y =1
∫∫ f ( x , y )dxdy= ∫
D
π
2
0
dθ ∫
1
1 sin θ + cosθ
f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
y= x
y = x2
y x
原式 = I = 1 dx
2
∫ ∫
1
x
2
x
e dy
y x
=∫
1
1 2
3 1 x (e − e )dx = e − e. 8 2
x
二、二重积分的变量代换法
二重积分化为累次积分， 二重积分化为累次积分，相对于用定义计算 二重积分来说，其计算简化了许多； 二重积分来说，其计算简化了许多；但并不能使 所有的二重积分的计算都简单化. 所有的二重积分的计算都简单化. 若适当地引入变 量代换，可以使被积函数简单化.更重要的是可将 量代换，可以使被积函数简单化. 给定的较复杂的积分区域变为简单区域，如矩形域、 给定的较复杂的积分区域变为简单区域，如矩形域、 圆域或部分圆域等. 我们先来回顾一下定积分变量 圆域或部分圆域等. 代换的要点. 代换的要点.
2
所围平面闭区域. y = x 和 x = y 所围平面闭区域
2 2
D
x = y2
解
两曲线的交点
y = x ⇒ (0,0) , (1,1), 2 x = y
2
y = x2
( x + y )dxdy = ∫ dx ∫ 2 ( x 2 + y )dy ∫∫ 0 x
2
1 x
D
1 33 4 = ∫ [ x ( x − x ) + ( x − x )]dx = . 0 2 140
解 积分区域如图
y = 2− x
y = 2x − x2
原式 = ∫0 dy ∫1−
1
2− y 1− y
2
f ( x , y )dx .
例 3 改变积分 ∫0 dx ∫ 的次序. 的次序
2a
2 ax 2 ax − x 2
f ( x , y )dy (a > 0)
解
2a
y = 2ax
a
a
2a
y = 2ax − x 2 ⇒ x = a ± a 2 − y 2
0
R
− x2
r = ϕ (θ )
D
0 ≤ r ≤ ϕ (θ ).
o
A
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
= ∫ dθ ∫
0
2π
ϕ (θ )
0
f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
注：①极坐标系下区域的面积： σ = ∫∫ rdrdθ 极坐标系下区域的面积：
D
σ=
1 = 2
= ri ⋅ ∆ri ⋅ ∆θ i ,
θ = θ i + ∆θ i
∆σ i
D
θ = θi
o
A
∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ . D D
区域特征如图：（极点在D外 ：（极点在 （１）区域特征如图：（极点在 外）
α ≤θ ≤ β,
r = ϕ1 (θ)
r = ϕ (θ )
α ≤θ ≤ β,
0 ≤ r ≤ ϕ (θ ).
o
D
β
α
A
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
= ∫ dθ ∫
α
β
ϕ (θ )
0
f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
区域特征如图：（极点在D内 ：（极点在 （３）区域特征如图：（极点在 内） π 0 ≤ θ ≤ 2π,
从定积分变量代换公式
∫a
b
f ( x )dx
x = ϕ(t)
∫α
β
f (ϕ ( t ))ϕ ′( t )dt
可以看出，它主要解决两个问题：一是积分限问题； 可以看出，它主要解决两个问题：一是积分限问题； 二是被积函数的表达式问题， 的变换问题． 二是被积函数的表达式问题，特别是 dx 的变换问题． 对二重积分变量代换法也要解决与上述类似的两个问题． 对二重积分变量代换法也要解决与上述类似的两个问题． 一是积分域的变换问题；二是被积函数表达式的变换问题． 一是积分域的变换问题；二是被积函数表达式的变换问题． 事实上， 事实上，二重积分在极坐标系中的计算就是变量代换的 一种特殊情况． 一种特殊情况．
例8
计算 ∫∫ e
D
− x2 − y2
dxdy ，其中 D 是由中心在
原点， 的圆周所围成的闭区域. 原点，半径为 a 的圆周所围成的闭区域
解
在极坐标系下
D： D： 0 ≤ r ≤ a ，0 ≤ θ ≤ 2π .
∫∫ e
D
− x2 − y2
dxdy = ∫ dθ∫ e
0 0
2π
a
−r2
rdr
= π(1 − e
［矩形区域］ 矩形区域］
d
∫∫ D
或
f ( x , y )d σ =
∫c ∫a
dy
d
d
b
D
f ( x , y )dx .
c
a
b
∫∫ D
f ( x , y )d σ =
∫c ∫a
dy
b
f ( x , y )dx .
X型区域的特点： 穿过区域且平行于 轴的直 型区域的特点 穿过区域且平行于y轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点. 线与区域边界相交不多于两个交点 Y型区域的特点：穿过区域且平行于 轴的直 型区域的特点 穿过区域且平行于x轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点. 线与区域边界相交不多于两个交点 若区域如图， 则必须分割 若区域如图， 则必须分割. 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式